Diktat Matematika SMP/MTs Kelas IX Semester I

DIKTAT MATEMATIKA
KELAS IX

RINGKASAN MATERI Penulis
SOAL - PEMBAHASAN Drs.Suritno, M.Si

LATIHAN SOAL
SOAL PENALARAN

PENGESAHAN

Yang bertanda tangan di bawah ini Kepala Madrasah Tsanawiyah Negeri 5 Sleman,
menyatakan bahwa “Diktat Matematika Kelas IX SMP/MTs Semester I” disusun oleh

Nama : Drs. Suritno, M.Si
NIP : 19671024 199503 1 001
Mengajar : Mata pelajaran matematika

merupakan salah satu sumber belajar yang digunakan oleh siswa kelas IX MTsN 5 Sleman
tahun pelajaran 2020/2021

Sleman, 2 November 2020
Kepala,

Etyk Nurhayati, S.PdI, M.Pd
NIP. 198009302003012007

ii

KATA PENGANTAR

Kami bersyukur ke hadrat Alloh SWT yang telah membimbing dan memberi kekuatan sehingga
Diktat Matematika Kelas IX SMP/MTs Semester I tahun pelajaran 2020/2021 dapat kami
selesaikan.
Diktat ini sebagai bahan pelengkap untuk membantu para siswa MTs Negeri 5 Sleman kelas IX
dalam memahami materi matematika semester I, karena sejatinya proses pembelajaran harus
berdasarkan materi kurikulum yang ada dibuku tek pelajaran/buku siswa. Materi yang ada di diktat ini
telah disesuaikan dengan Kompetensi Dasar serta Tujuan pembelajaran Matematika siswa kelas IX
semsester I.
Secara umum diktat ini memuat:
1. Kompetensi dasar
2. Ringkasan materi
3. Contoh sosl-soal dan pembahasanya
4. Soal-soal latihan
5. Soal-soal penalaran
Semoga diktat ini bermanfaat bagi siswa-siswa MTs Negeri 5 Sleman, dalam memahami materi
matemaika kelas IX semester I

Sleman, Oktober 2020
Penyusun

iii

DAFTAR ISI

HalamanJudul....................................................................................................................... i
Pengesahan............................................................................................................................ ii
Kata pengantar...................................................................................................................... iii
Daftar Isi .............................................................................................................................. iv

BAB I BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR……………………... 1
BAB II PERSAMAAN KUADRAT………………………………………………….. 12
BAB III FUNGSI KUADRAT………………………………………………………… 21
BAB IV TRANFORMASI……………………………………………………………... 36
47
Daftar Pustaka....................................................................................................

iv

BAB I
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

A. Kompetensi Dasar
3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-
sifatnya
4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat
dan bentuk akar

B. Ringkasan Materi

Bilangan berpangkat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, missal :

 Massa molekul hidrogen sekitar 0,000.000.000.000.000.000.000.000.003.340 kg

 Massa bumi sekitar 5.940.000.000.000.000.000.000.000 kg

Kita akan kesulitan menuliskan bilangan-bilangan tersebut. Oleh karena itu, massa
molekul hidogen ditulis singkat menjadi 3,34x10-27 kg. Massa bumi ditulis menjadi
5,94x1024 kg. Demikian juga dengan kecepatan cahaya, akan terasa lebih mudah
menuliskan 3x1011 m/s daripada menulis 300.000.000.000 m/s.

1. Pengertian pangkat bilangan bulat
Perhatikan : 23 = 2 x 2 x 2  ada 3 kali perulangan angka 2
(-5)5= (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) ada 5 kali perkalian angka -5
215= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x…x 2  ada 15 kali perulangan(faktor)
a10= a x a x a x a x…x a  ada 10 faktor

Dengan demikian, untuk a bilangan real dapat ditulis
an= a x a x a x a x…x a n faktor

Dengan a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar n disebut pangkat atau eksponen

Bilangan berpangkat dapat diperoleh dari perkalian berulang dengan faktor-faktor yang

sama.

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat.
a) ap x aq = ap+q

b) = ap-q, a≠0

c) (ap)q = apxq
d) (a x b)n= an x bn, n bilangan bulat

e)  a n = an , b≠0, n bilangan bulat
b bn

1

3. Pangkat Bulat Negatif

Dari sifat-sifat perpangkatan di atas ap = ap-q, a≠0 , bagaimana jika p < q?
aq

Perhatikan bahwa : 54 = 54-7 = 5-3 dalam bentuk panjang dapat ditulis
57

54 = 5555 = 1= 1 = 5-3
57 5555555 555 53

maka a4 aaaa = 1= 1 diperoleh hubungan a-3 = 1
a7 = aaaaaaa aaa a3 a3

Hubungan tersebut menyatakan bahwa setiap bilangan dengan eksponen bulat negatif

dapat diubah ke dalam eksponen bulat positif atau sebaliknya

Secara umum, kita dapat mendefinisikan bahwa untuk setiap a bilangan real dengan

a≠0, berlaku 1 = a-n atau an= 1
an a n

3. Pangkat Nol

Perhatikan 35 = 35-5= 30
35

Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya. Pembagian tersebut dapat

dinyatakan sebagai berikut 35 = 33333 = 1
35 33333

Dengan demikian, kita memperoleh hubungan 30 = 1

Secara umum, setiap a bilangan real yang tidak nol berlaku a0 = 1

4. Pangkat Pecahan

1 3 1 5

Perhatikan a 2 , a 4 , 2 2 , 2 2

Bilangan berpangkat tersebut terlihat bilangan pangkatnya berbentuk p dengan p dan

q

q bilangan bulat.

p

Jadi, bilangan berpangkat pecahan dapat ditulis a q dengan p dan q bilangan bulat.

5. Pengertian akar suatu bilangan.
Jika a dan b bilangan bulat dan an = b, maka a adalah akar pangkat n dari b, ditulis
a = √ dan dibaca a adalah akar pangkat n dari b.
Jika x2 = a dan x > 0 maka √ = x.

2

6. Sifat-sifat akar dan bilangan berpangkat pecahan.
Sifat-sifat bentuk akar antara lain sebagai berikut:
a) √ √ √

b) √ √
√

7. Hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan

Bentuk akar √ dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan, yaitu .
Sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat pecahan antara lain sebagai berikut:

a) . = √ √ √ ()

b) √ √ ()
√

c) ( ) ( √ )

8. Merasionalkan bentuk akar.
Kegiatan menyederhanakan bentuk akar yang memuat bilangan pecahan dinamakan
merasionalkan bentuk akar. Adapun cara merasionalkan bentuk akar adalah sebagai
berikut:

a) Bentuk √

Bentuk √ dapat kamu rasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan

penyebut dengan √ .
√

b) Bentuk √

Bentuk √ , dapat kamu rasionalkan dengan cara mengalikan √

dengan √
√

c) Bentuk √ √

Bentuk √ √ dapat kamu rasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan

penyebut dengan √ √
√ √

9. Notasi Ilmiah adalah cara yang singkat untuk menuliskan bilangan yang sangat besar
atau sangat kecil. Notasi Ilmiah ditulis sebagai perkalian dua faktor. Faktor pertama

3

adalah sebuah bilangan yang lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari 10.
Sedangkan faktor kedua adalah bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 10.

Bentuk baku bilangan yang lebih dari 1 atau sangat besar
a x 10n dengan 1

Bentuk baku bilangan yang sangat kecil
a x 10-n dengan 1

C. Contoh Soal-soal dan Pembahasan

1. Nyatakan dengan perkalian berulang bingan berpangkat berikut:

a. 23 Pembahasan:

b. (-3)2 a. 23 = 2 × 2 × 2 = 8

 1 5 b. (-3)2 = (-3) × (-3) = 9
 2 
c.  1 5
 2 
c.  11111  1  1  1
22222 22222 26 32

2. Nyatakan menjadi bilangan berpangkat baru dengan menggunakan sifat-sifat bilangan

berpangkat

a. 24  23 Pembahasan :

24 a. 24  23  243  27
23
b. b. 24  243 2
23

c. (32)3 c. (32 )3  32x3  36

d. (-3 4)5 d. (-3 4)5  (-3)5  45

e.  2 4 e.  2 4  24
 3   3  34

3. Tentukanlah hasilnya

a. 25 Pembahasan :

b.  5 2 a. 25  1  1
 7  25 32

c. 2x4 b.  5 2  1  1  1  49
 7   5 2  25  25
 7   5 . 5   49 
 7 7 

4

c.  2x4  1  1 1
(2)4 x4 16 x 4
 2x4

4. Tentukanlah hasilnya

31 Pembahasan

a. 42  273 a. 3 1 3 2 3  23 8

5 42  273  (22 )2 2 2

b. (82 )6 b. 5 5 6 5  25  1  1
25 32
c. (-3)3 + (-3)2 + (-3)1 + (-3)0 (82 )6  (232 )6 2 6

c. (-3)3 + (-3)2 + (-3)1 + (-3)0 = –27 + 9 – 3+ 1 = – 20

5. Rasionalkan penyebut pecahan akar berikut:

1 Pembahasan:
a.
a. 1 1 5= 5 = 5 =1 5
5 = .
b. 3 5 5 5 25 5 5

2 3 b. 3 = 3 . 2  3 = 3(2  3)
c. 2 2  3 2  3 2  3 (2  3)(2  3)

2 2 5

= 63 3 = 63 3
43

c. 2 = 2 . 2 2  5
2 2 5 2 2 5 2 2 5

2(2 2  5) 4 2  2 5
==
(2 2)2  ( 5)2
85

= 4 2  2 5) = 1 (4 2  2 5)
33

6. Tentukan bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah ini!
a. 75.000.000.000.000
b. 0,000001301
c. 3/16
Prmbahasan
a. 1. 75.000.000.000.000
a = bilangan pokoknya adalah 75
n = banyaknya jumlah angka 0 setelah bilangan pokok adalah 12

5

Jadi, bentuk baku dari bilangan tersebut adalah 7,5 x 1013
b. 0,000001301

a = bilangan pokoknya adalah 1301
n = banyaknya jumlah angka di belakang koma adalah 9
Jadi, bentuk baku dari bilangan tersebut adalah 1301 x 10-9 atau

c. 3. 3/16
kita ubah ke bentuk pecahan desimal terlebih dahulu menjadi 0,1875.
a = bilangan pokoknya adalah 1875
n = banyaknya jumlah angka di belakang koma adalah 4
Jadi, bentuk baku dari bilangan tersebut adalah 1875 x 10-4 atau

D. Soal-soal Latihan
1. Perkalian berulang dari 199 adalah…….
a. 19 x 9
b. 1 x 9 x 9
c. 19 x 19 x 19 x 9 x 9 x 9
d. 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19 x 19
2. Bentuk dari 35 – 34 hasilnya adalah…..
a. 3
b. 9
c. 81
d. 162
3. 85 dapat ditulis sebagai…..
a. 410
b. 1010
c. 210
d. 215

6

4. Bentuk bilangan berpangkat sederhana dari 198 x 1914 adalah…..
a. 19-6
b. 196
c. 1922
d. 1932

5. Bentuk lain dari adalah….
a. 5-4
b. (-5)4
c. 54

d. ( )
6. Hasil dari 5-6 adalah…..

a.

b.

c.

d.

7. Hasil dari 2-1 + 3-1 adalah....
a.5
b.- 5
c.

d.

8. Hasil dari (-5)3 + (-5)2 + (-5)1 + (-5)0 =...

a. 156
b. – 104

c. 30 adalah …
d. – 105

9. Hasil dari

a. 29

b. 27

c. 26

d. 25

10. Hasil dari 33 x 32 adalah … .
a. – 3

b.  1
3

c. 1
3

d. 3

7

23 1

11. Hasil dari 83 + 92 – 1002 adalah ….

a. 21

b. 31

c. 36

d. 41

 5

12. Hasil dari 82 6 adalah ....

a. 1
4

b. 1
16

c. 1
8

d. 1
32

13. Bentuk akar dari adalah….

a. √

b. √

c. √

d. 3 √

14. Nilai bilangan dalam bentuk akar pangkat sederhana dari ( √ ) adalah….

a. 64

b. √

c. 8

d. √ ) adalah….
15. Dengan menggunakan sifat dari pangkat bilangan, nilai dari (

a. √

b. √

c. √

d.

8

16. Bilangan √ x √ hasilnya adalah…..
a. 4
b. 6
c. 12
d. 16

17. Hasil dari √ √ adalah ….
a. √
b. √
c. √
d. √

18. Hasil dari √ + √ - √ adalah …
a. √
b. 8
c. √
d. 6

19. Hasil dari 12 + 48 + 75 adalah … .

a. 8 3
b. 10 3

c. 11 3

d. 12 3
20. Bentuk rasional dari pecahan √ adalah……

a. √
b. √
c. √
d. √

21. Sebuah pecahan √ √ . Bentuk rasionalnya adalah…..
a. 4√ + 2√
b. 4√ - 2√
c. 2√ + 4√
d. 2√ - 4√

9

22. Bentuk √ dapat disederhanakan menjadi…..
a. 2 - 2√
b. 5 - 2√
c. ( 5 - 2√ )

d. ( 5 - 2√ )

23. Sebuah pecahan √ √ bentuk rasionalnya adalah….
a. 2√ - 2√
b. 4√ - 4√
c. 4√ + 4√
d. 2√ +2√

24. Nilai x dari bentuk = 49√ adalah…..

a. 2

b. 4

c. 6

d. 8

25. Bentuk baku dari 17.200.000 adalah….
a. 1,72 x 106
b. 1,72 x 107
c. 1,72 x 10-6
d. 1,72 x 10-7

E. Soal-soal Penalaran
1. Diketahui 330 + 915 + 2710 = 3y, tentukan nilai y

2. Tentukan angka satuan dari : 325

3. Bilangan 22015  22014  22013  2n . Tentukan nilai n
14

4. Apakah benar , urutan nilai bilangan berpangkat berikut dari yang terkecil sampai yang
terbesar: 272, 354, 536. Jelaskan

5. Seekor amuba membelah diri menjadi 2 setiap 20 menit. Jika pada pukul 07.00 terdapat 4
ekor amuba, nyatakan banyaknya amuba pada pukul 10.00 dengan bilangan berpangkat

6. Diketahui 330 + 915 + 2710 = 3y, tentukan nilai y

10

7. Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik
kapal pada sudut 45° dan ketinggian layar 150 m

√√

8. Sederhanakan bentuk : √ √
9. Jika m = 4 + 2√ dan n = 4 - 2√ . Berapa nilai m2 + n2 ?
10. Amir membeli flashdisk berkapasitas 16 GB dengan kapasitas yang dapat digunakan

95%. Berapa byte kapasitas flashdisk yang bisa digunakan? Nyatakan dalam bentuk baku!
11. Setiap kantung darah yang didonasikan oleh para pendonor kepada Palang Merah

Indonesia (PMI) berisi 0,5 L darah (1 mm3 = 10-3 mL). Jika dalam setiap 1 mm3 darah
mengandung 3 × 104 sel darah putih, berapa mm3 jumlah sel darah putih dalam satu
kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk baku

11

BAB II
PERSAMAAN KUADRAT

A. Kompetensi Dasar
3..2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta
cara penyelesaiannya
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

B. Ringkasan Materi
Mengapa materi persamaan kuadrat perlu dipelajari? Salah satu contoh penerapan
Persamaan kuadrat adalah pada bidang militer atau kepolisian . Misalnya digunakan
militer dalam menentukan jarak tembak, digunakan polisi dalam menentukan kecepatan
ketika terjadi tabrakan mobil
1. Pengertian Persamaan kudrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0,
a,b,c ϵ R. Persamaan kuadrat terbagi menjadi 3, yaitu
a) Persamaan kuadrat lengkap : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, b, c ϵ R
b) Persamaan kuadrat tak lengkap : ax2 + bx = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, b ϵ R
c) Persamaan kuadrat murni : ax2 + c = 0, a ≠ 0 untuk setiap a, c ϵ R
2. Cara Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kudrat dapat diselesaikan dengan cara : Memfaktorkan, melengkapkan
kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc
a) Memfaktorkan
Persamaan kuadarat ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan :
(x + m)(x + n), m + n = b, m x n = c untuk a = 1
(x + )(x + ) = 0 , m + n = b, m x n = c untuk a ≠ 1

b) Melengkapkan kuadrat sempurna
Cara melengkapkan kuadrat sempurna:
- Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
- Bagilah kedua ruas dengan a
- Tambahkan kedua ruas dengan ( 2

c) Menggunakan Rumus abc

x1,2   b  b 2  4ac
2a

12

3. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat yang dinyatakan dengan x1 dan x2 adalah pengganti dari
x sedemikan rupa sehingga jika x1 dan x2 disubtitusikan ke persamaan ax2+ bx + c =
0 maka diperoleh pernyataan yang benar . Akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c =
0, berhubungan erat dengan koefisien-koefisien a, b, dan c.
Berdasarkan penyelesaian persamaan kudrat yang menggunakan rumus abc :

x   b  b2  4ac
2a

diperoleh x1 dan x2 yaitu:

x1   b  b2  4ac dan x2   b  b2  4ac
2a 2a

Sehingga jumlah akar-akar: x1  x2 b
a

Dan hasil kali akar-akar: x1. x2  c
a

4. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat
Tidak semua persamaan kuadrat memiliki akar-akar, tergantung dari nilai b2  4ac .
Nilai b2  4ac disebut dengan diskriminan, disingkat D
Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda
Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama
Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar

5. Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui akar- akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2 maka dapat
disusun persamaan kuadrat yang berbentuk:
a) (x - x1) (x – x2) = 0
b) x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0

13

C. Contoh Soal-soal dan Pembahasan
1. Diberikan bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dari bentuk bentuk

dibawah ini tentukan masing-masing nilai dari a, b, dan c!

a. 2x(x – 3) = 8 b. x2 -5x = – 12 c. 3x + 6/x = 5

Pembahasan:

Ubah bentuknya menjadi ax2 + bx + c = 0

a. 2x(x – 3) = 8

2x2 -6x = 8, maka diperoleh 2x2 -6x – 8 = 0, jadi , a = 2, b = -6 dan c = -8

b. x2 -5x = -12

x2 -5x + 12 = 0, maka a = 1, b = -5 dan c = 12

c. x + 6/x = 5

Ruas kiri dikalikan x, ruas kanan juga dikalikan x sehingga

(3x + 6/x)x = 5x
x2 + 6 = 5x

3x2 – 5x + 6 = 0, maka a = 3, b = - 5, c = 6

2. Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan

pemfaktoran;

a. x2  8x 15  0

b. x2  6x  0

c. x  3  60
x 1

Pembahasan:

a. x2  8x 15 = 0

(x  3)(x  5) = 0

(x  3) = 0 atau (x  5) = 0

x = 3 atau x =5

Jadi, HP = {3, 5}

b. x2  6x = 0

x(x  6) = 0

x = 0 atau (x  6) = 0

x = 6

Jadi, HP = {  6 , 0}

14

c. x  3  60 kalikan kedua ruas dengan (x 1)
x 1

(x 1)(x  3)  60

x2  2x  63  0
(x  7)(x  9)  0

(x  7) = 0 atau (x  9) = 0

x = 7 atau x =  9
Jadi, HP = {  9 , 7}

3. Faktorkan Persamaan Kuadrat : 2x2 + 13x + 15 = 0
Pembahasan:
a = 2, b = 13, c = 15
Carilah dua bilangan : jika dikalikan = a x c Jika dijumlahkan = b

4. Selesaikan persamaan 2x2  8x 1  0 dengan melengkapkan kuadrat.
Pembahasan:
2x2  8x 1  0
2x2  8x  1
2(x2  4x)  1

x2  4x   1
2

x2  4x  (2) 2  (2) 2  1 tiap ruas ditambah dengan ( 1 b)2
2 2

(x  2)2  7
2

x2 7
2

Jadi, x  2  7 atau x  2  7
2 2

5. Gunakan rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan x2  8x 15  0

Pembahasan:

x2  8x 15  0 c = 15
Maka, a = 1, b = – 8,

15

Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc x1,2   b  b2  4ac
Sehingga, 2a

x1,2   (8)  (8)2  4(1)(15)

2(1)

x1,2  8  64  60
2

x1  8  2 atau x2  82
2 2

x1  5 atau x2  3

D. Soal – soal Latihan
1. Jika bentuk persamaan kuadrat x2 - 3x + 2 = 0, adalah ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b,

c berturut-turut adalah…
A. 1, -3, 2
B. 1, 3, 2
C. 1, -3, -2
D. 1, 3, -2
2. Bentuk umum persamaan x2 – 4 = 3( x – 2 ) adalah ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b, c
berturut-turut adalah…
A. 1, -3 , 2
B. 1, -2 , 3
C. 1, 3, -2
D. 1, -3 , -10
3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut!
(i) 2x2 – 5=0
(ii) 2x2 + 3x3=0
(iii) 3x + 6=0
(iv) 3x2 + 5x + 9=0
Yang merupakan persamaan kuadrat adalah…
A. (i) dan (ii)
B. (i) dan (iii)
C. (ii) dan (iv)
D. (i) dan (iv)

16

4. Jika p + q = 5 dan p x q = - 24 maka nilai p dan q berturut-turut adalah
A. 9, -4
B. 8, -3
C. 6, -4
D. 12, -2

5. Diketahui nilai p+q=17 dan pq = 52. Nilai dari p2+q2 adalah ….
A. 189
B. 185
C. 175
D. 169

6. Akar-akar dari persamaan kuadrat x² − 6x + 9 = 0 adalah :
A. x1 = 3 dan x2 = 3
B. x1 = 3 dan x2 = -3
C. x1 = -3 dan x2 = -3
D. x1 = -3 dan x2 = 3

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan: x2 + 5x + 6 = 0 yaitu …
A. {-2, -3}
B. {-2, 3}
C. {-3, 2}
D. {3, 4}

8. Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 yaitu…
A. (x + 3)2 = 16
B. (x – 3)2 = 16
C. (x – 4)2 = 16
D. (x – 5)2 = 25

9. Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x + c = 0 adalah 3, maka akar lainnya
adalah ....
A. x = -5
B. x = 5
C. x = 3
D. x = 15

17

10. Nilai Diskriminan dari x2 + 7x + 12 = 0 adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 11

11. Nilai Diskriminan dari persamaan kudrat 3x2 – 5x + c = 0 adalah 49, maka nilai c
adalah…
A. – 3
B. – 2
C. 2
D. 3

12. Agar persamaan kuadrat 4x2– 12 x + p=0 memiliki akar kembar/sama, maka nilai p =…
A. – 9
B. – 3
C. 3
D. 9

13. Diantara persamaan kuadrat berikut ini yang akar-akarnya nyata dan berlaianan adalah…
A. x2 + 8x – 4 = 0
B. x2 + 12x + 36 = 0
C. x2 + 3x + 4 = 0
D. x2 + 2x + 6 = 0

14. Jika akar-akar persamaan x2 - 3x - 10 = 0 adalah x1 dan x2, maka hasil penjumlahan dari
x1 + x2 adalah…
A. x1 + x2 = 3
B. x1 + x2 = 5
C. x1 + x2 = -3
D. x1 + x2 = 13

15. Suatu persamaan kuadrat 2x2 - 12x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Maka nilai
perkalian akar-akarnya (p . q) adalah .....
A. 3
B. 6
C. -3
D. -2

18

16. Jika persamaan ax2 - 4x + 10 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 . x2 = 5,
maka x1 + x2 = .....
A. -8
B. -4
C. -2
D. 2

17. Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah…..
A. x² - 3x - 10 = 0
B. x² + 3x - 10 = 0
C. x² - 3x + 10 = 0
D. x² + 3x + 10 = 0

18. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 4 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru
yang akar akarnya (m + 2) dan (n + 2) adalah…
A. x2 - 2x + 4 = 0
B. x2 + 2x + 4 = 0
C. x2 – 4x + 2 = 0
D. x2 + 4x + 2 = 0

19. Apabila akar-akar dari persamaan x2 + bx + c = 0 yaitu -1 dan 3, maka nilai b yang
memenuhi persamaan itu ialah …..
A. b = 4
B. b = 2
C. b = -1
D. b = -2

20. Jika jumlah suatu bilangan positif dengan kuadratnya adalah 12 maka dua kali bilangan
positif tersebut adalah…
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

19

E. Soal-soal Penalaran
1. Luas kebun Pak Akhmad yang berbentuk persegi panjang sama dengan 4320 m2. Ukuran

panjangnya 12 m lebih panjang dari ukuran lebarnya. Berapakah panjang dan lebar
kebun Pak Akhmad ?
2. Dari tali yang panjangnya 6 m dibuat segitiga siku-siku dengan ukuran sisi miringnya 2
m. Tentukan panjang sisi siku-sikunya agar luasnya sama dengan 1,5 m!
3. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi (x – 7) cm, x cm dan (x + 1) cm.
Tentukan ukuran panjang sisi-sisi segitiga tersebut!
4. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + 4x + 10 = 0, tentukan nilai x12
+ x22 !
5. Persamaan kuadrat x2– 9x + m = 0 memiliki akar- akar α dan β. Jika α = 2β.
Tetentukan nilai m !

20

BAB III
FUNGSI KUADRAT
A. Kompetensi Dasar
3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik
3.4 Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminan fungsi kuadrat dengan
grafiknya
4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik
4.4.Menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat
fungsi kuadrat
B. Ringkasan Materi
1. Pengertian Fungsi kudrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y є R.
Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c.
2. Menggambar grafik f(x) = ax2 + bx + c
Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik f(x) = ax2 + bx + c berbentuk
parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.
a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas

b. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

21

3. Langkah-langkah menggambarkan grafik f(x) = ax2 + bx + c
a. Tentukan titik potong f(x) = ax2 + bx + c terhadap sumbu x, yaitu

nilai x saat y = 0 Nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan

kuadrat ax2 + bx + c = 0

b. Tentukan titik potong terhadap sumbu y, yaitu nilai y saat x = 0

c. Tentukan titik puncak (titik balik maks atau titik balik min) grafiknya. Titik puncak

merupakan titik dimana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau nilai

minimum sehingga parabola nya akan berbalik arah

d. Koordinat titik puncak/titik balik parabola adalah  b , f (b ) atau
 2a 2a

 b , D 
 2a 4a 

D adalah Diskriminan, yaitu D = b2 – 4 ac

e. Setelah mendapatkan semua titik di atas, maka kita baru dapat menggambar grafik

fungsi kuadrat dengan menghubungkan semua titik di atas dengan garis yang

berbentuk parabola

f. Agar parabola terlihat lebih halus, kita dapat menghitung atau menentukan titik-

titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi y = f(x)

4. Sumbu Simetri dan nilai optimum
Persamaan sumbu simetri, x  b

2a

Nilai optimum fungsi y  D

4a

5. Menentukan fungsi kuadrat yang melalui beberapa titik

a. Diketahui memotong sumbu x di ( x1, 0) dan (x2, 0) serta melalui sebuah titik (m,n)
maka fungsi kuadratnya y = a (x – x1)(x –x2). Subtitusikan x1, x2, m, dan n maka
akan diperoleh nilai a.

b. Diketahui titik puncak (xp, yp) dan sebuah titik (m, n)
Fungsi kuadratnya adalah y – yp = a ( x –xp)2 . Subtitusikan xp, yp, m dan n maka
akan diperoleh nilai a.

22

C. Contoh Soal-soal dan Pembahasan
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 -2x – 8 !
Pembahasan :
Secara sepintas kita akan mengetahui sketsa grafik menggunakan nilai a dan D:
Nilai a = 1 > 0 artinya grafik akan terbuka ke atas.
Nilai D = b2 - 4ac = 36 > 0, nilai D > 0 artinya grafik akan memotong sumbu x pada
dua titik.
Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah.

Secara lebih detail, gambarnya dapat dilihat dengan mengikuti langkah-langkah
berikut.

Langkah 1: Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)

Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu (4, 0) dan (-2, 0).

Langkah 2 : Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
y = x2 – 2x – 8

23

y = 02 – 2(0) – 8
y=–8
Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0, – 8)

Langkah 3: menentukan titik puncak

Koordinat titik puncak grafik  b , f ( b ) 
 2a 2a 

x  2 1
2(1)

f ( b )  f (1)  12  2(1)  8  9
2a

Jadi koordinat titik puncak grafik adalah (1, 9)

24

Langkah 4: menghubungkan titik-titik yang sudah ditentukan

2. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 - x - 2 dengan sumbu x
dan sumbu y.
Pembahasan:
Titik potong pada sumbu x dapat diperoleh jika y = 0.
3x2 - x - 2 = 0
⇒ (3x + 2)(x - 1) = 0
⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1
Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).
Titik potong pada sumbu y dapat diperoleh dengan x = 0.
⇒ y = 3x2 - x - 2
⇒ y = 3(0)2 - (0) - 2
⇒ y = -2
Jadi titik potongnya (0,-2)

3. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x2 - 20x + 1.
Pembahasan:
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x  b . Dari

2a

fungsi kuadrat tersebut diperoleh a = 5 dan b = -20.
25

x    20  2
2(5)

Jadi sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x2 – 20 x + 1 adalah x = 2.

4. Tentukan titik balik fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 2)2 + 3.

Pembahasan:

Terlebih dahulu kita uraikan fungsi kuadrat di atas menjadi :
f(x) = 2(x + 2)2 + 3
⇒ f(x) = 2(x2 + 4x + 4) + 3
⇒ f(x) = 2x2 + 8x + 8 + 3
⇒f(x) = 2x2 + 8x + 11

Dari fungsi di atas diperoleh a = 2, b = 8.

Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) =  b , f ( b ) 
 2a 2a 

x  8  2
2(2)

⇒ y = f(-2)
⇒ y = 2(-2)2 + 8(-2) + 11
⇒ y = 2(4) - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒y=3
Jadi, titik balik untuk fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 2)2 + 3 adalah (-2,3).

5. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x2 harus digeser untuk memperoleh grafik
fungsi kuadart f(x) = x2 - 6x + 7.

Pembahasan:
Fungsi kuadrat f(x) = x2 memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas.
⇒ b = 0 sehingga titik balik parabola berada pada sumbu y.
⇒ c = 0 sehingga grafik parabola melalui titik (0,0).
Fungsi kuadrat f(x) = x2 - 6x + 7 memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas

26

⇒ b = - 6 maka 0 sehingga titik balik ada di kanan sumbu y.
⇒ c = 7 > 0 sehingga parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x2 harus digeser ke arah

kanan sumbu x.

Koordinat titik bali fungsi adalah ( x, y) =  b , f ( b ) 
 2a 2a 

x  (6)  3
2(1)

y = f(3) = 32 – 6(3) + 7 = - 2 , maka koordinat titik balik f adalah (3, - 2 )
Jadi untuk mendapatkan fungsi kuadrat f(x) = x2 - 6x + 7, maka f(x) = x2 digeser

sejauh 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke bawah satuan seperti gambar di bawah ini :

6. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2)
dan melalui titik (2,3).

Pembahasan:
Misalkan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c maka kita harus menentukan nilai a, b,
dan c.
Titik balik minimum (1,2) maka :
sumbu simetri = x = 1
⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
nilai ekstrim = y = 2
⇒ f(-b/2a) = 2
⇒ a(1)2 + b(1) + c = 2
⇒ a + b + c = 2 → ganti b dengan -2a.

27

⇒ a - 2a + c = 2
⇒ -a + c = 2
Melalui titik (2,3), maka :
⇒ f(2) = 3
⇒ a(2)2 + b(2) + c = 3
⇒ 4a + 2b + c = 3
⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
⇒ 4a - 4a + c = 3
⇒c=3
Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.
⇒ -a + 3 = 2
⇒ -a = -1
⇒a=1
Karena a = 1 maka :
⇒ b = -2a
⇒ b = -2(1)
⇒ b = -2
Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2)
adalah f(x) = x2 - 2x + 3.

7. Jumlah panjang sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku sama dengan 8 cm. Jika
luas dari segitiga siku-siku tersebut dinyatakan dengan L, tentukan model matematika
untuk L dalam bentuk fungsi kuadrat!

Pembahasan:
Misalkan sisi-sisi siku-sikunya adalah x dan y, maka
⇒x+y=8
⇒y=8−x
Model matematika untuk luas segitiga :
⇒ L = ½ alas x tinggi
⇒ L = ½ x.y
⇒ L = ½ x (8 − x)
⇒ L = 4x − ½ x2
⇒ L = -½ x2 + 4x

28

Jadi, model matematika untuk luasnya adalah :
⇒ L(x) = -½ x2 + 4x

8. Jumlah dua bilangan x dan y sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu

dinyatakan dengan P, maka nyatakan perkalian dua bilanagan itu dalam persamaan P

sebagai fungsi x?

Pembahasan:

Jumlah bilangan :
⇒ x + y = 20
⇒ y = 20 − x

Hasil kali :
⇒ P = x.y
⇒ P = x (20 − x)
⇒ P = 20x − x2
⇒ P = -x2 + 20x

Jadi, model matematika untuk P sebagai fungsi x adalah :
⇒ P(x) = -x2 + 20x
9. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, tentukan nilai a2 – a!

Pembahasan:

Nilai maksimal fungsi : y  D  16 12a  11
4a 4a

3a2 – 4 = -11a

3a2 + 11 a - 4 = 0

(3a – 1)(a + 4) = 0

A = 1/3 a = -4

Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang memenuhi
adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20

29

10. Perhatikan grafik fungsi kuadrat di bawah ini

Tentukan fungsi kuadrat dari grafik diatas!
Pembahasan:
Karena memotong sumbu-x di titik (-2, 0) dan (3, 0) maka fungsi kuadratnya adalah
f(x) = a(x + 2)(x – 3)
Fungsi f melalui (0, 3) maka
f(0) = a(0 + 2)(0 – 3) = 3, diperoleh a = - ½
Jadi fungsi kuadratnya adalah f(x) = ½ (x + 2)(x – 3)
11. Diketahui sebuah fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak (–1, –9) dan
melalui sebuah titik ( 1, –5). Tentyukan fungsi kuadrat tersebut!
Pembahasan
Fungsi kuadratnya adalah y – yp = a ( x –xp)2

–5 – –9 = a (1 – –1)2
4 = 4a maka a = 1

Fungsi kuadratnya adalah y – – 9 = 1 (x – – 1)2
y + 9 = x2 + 2x + 1
y = x2 + 2x – 8

30

D. Soal-soal Latihan
1. Gambar grafik fungsi kuadrat beriku f(x) = x2 + x – 6 adalah....
A. B

CD

2. Fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini adalah...

A. y = 2x2 + x – 6
B. y = 2x2 + 4x – 6
C. y = 2x2 – 2 x – 6
D. y = 2x2 – 4x – 6
3. Titik potong grafik y = x2 – 6x + 8 dengan sumbu x adalah....
A. (- 2 , 0) dan (4, 0)
B. ( 2, 0) dan (- 4, 0)
C. (-2, 0) dan (-4, 0)
D. (2, 0) dan (4, 0)
4. Fungsi f(x)=x² - 5x + 6 memotong sumbu y di titik...
A. (0,-5)
B. (0,6)
C. (-5,0)
D. (6,0)

31

5. Fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu x adalah...
A. y = x² - 5x – 14
B. y = x² - 25
C. y = 2x² + 5x + 3
D. y = 3x² - 7x + 5

6. Grafik fungsi f(x) = x2 + 7x – 18 akan ….
A. memotong sumbu y di dua titik
B. tidak memotong sumbu x
C. menyinggung sumbu x
D. memotong sumbu x di dua titik

7. Persamaan sumbu simetri fungsi y = 3(x - 5)² - 40 adalah...
A. x = -10
B. x = -5
C. x = 5
D. x = 10

8. Fungsi f(x) = 2x² + mx + 9 memiliki sumbu simetri x = 3, maka nilai m =....
A. -12
B. -6
C. 6
D. 12

9. Nilai minimum fungsi f(x) = x² - 6x - 16 adalah...
A. y = -25
B. y = -16
C. y = -9
D. y = -7

10. Koordinat titik puncak grafik y = x² - 4x - 12 adalah...
A. (-2,-16)
B. (-2,16)
C. (2,-16)
D. (2,16)

11. Fungsi f(x) = mx² + 6x + 8 mempunyai nilai minimum 5,
maka nilai m² + m =....
A. 8
B. 9

32

C. 12
D. 16
12. Grafik fungsi f(x) = x2 + 7x – 18 akan ….
A. memotong sumbuy di dua titik
B. tidak memotongsumbu x
C. menyinggungsumbu x
D. memotong sumbux di dua titik
13. Pernyataan berikut yang tidak sesuai dengan grafik fungsi f(x) = -4x² + 8x - 3
adalah...
A. memotong sumbu x di dua titik
B. persamaan sumbu simetri x = 1
C. nilai minimum y = 1
D. nilai maksimum y = 1
14. Koordinat titik puncak grafik y = x² - 4x - 12 adalah...
A. (-2,-16)
B. (-2,16)
C. (2,-16)
D. (2,16)
15. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyi titik puncak (4,-1) dan melalui
titik (1,8) !
A. y = x² - 8x + 17
B. y = x² - 8x + 16
C. y = x² - 8x + 15
D. y = x² + 8x +17
16. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya digambarkan seperti di bawah

A. y = -x² + 2x + 8
B. y = -x² - 2x + 8
C. y = x² - 2x - 8
D. y = x² - 2x + 8

33

17. Tentukan persamaan fungsi yang melalui titik-titik (0,15), (1,6) dan (3,0)!
A. y = x² + 3x + 15
B. y = 2x² + 11x + 5
C. y = -2x² - 11x + 15
D. y = 2x² - 11x + 15

18. Jika y = x2 jika digeser 3 satuan ke atas, maka rumus fungsinya menjadi…
A. y = x² – 3
B. y = x² + 3
C. y = (x - 3)²
D. y = (x + 3)²

19. Posisi grafik fungsi y = (x + 4)² terhadap grafik fungsi y = x² adalah...
A. 4 satuan di atas
B. 4 satuan di bawah
C. 4 satuan di kanan
D. 4 satuan di kiri

20. Kearah manakah grafik fungsi kuadrat y = x2 digeser untuk mendapatkan grafik
fungsi kuadrat y = x2 - 2x – 3
A. Satu satuan ke bawah dan 4 satuan ke kanan
B. Satu satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas
C. Satu satuan ke kiri dan 4 satuan ke kanan
D. Satu satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas

E. Soal-soal Penalaran
1. Jumlah sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku adalah 24. Jika f(x) menyatakan
luas segitiga tersebut, tentukan luas maksimal segitiga tersebut !
2. Suatu persegi panjang kelilingnya 60 cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar
mempunyai luas maksimum.
3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki sumbu simetri x = – ½ yang
memotong sumbu-x pada titik koordinat (2, 0) dan memotong sumbu-y pada koordinat
(0, 2).
4. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai
fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan h(t) = –4t2 + 40t.
Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan!

34

5. Jumlah dua bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang
maksimum, tentukan kedua bilangan tersebut.

35

BAB IV
TRANSFORMASI

A. Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan transformasi geometri (refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi) yang
dihubungkan dengan masalah kontekstual
4.5 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri
(refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi)

B. Ringkasan Materi
1. Pengertian transformasi
Tranformasi adalah adalah perpindahan atau perubahan suatu benda atau obyek, atau
suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama
Tranformasi ada 2 :
 Transformasi Isometri : Translasi, Refleksi, Rotasi
 Dilatasi

2. Translasi/pergeseran
Translasi merupakan perpindahan suatu titik (objek) dari satu tempat ke tempat lain
dikarenakan adanya pergeseran.
Secara matematis, konsep translasi dituliskan sebagai berikut:
Misalkan x, y, a dan b bilangan riil, trasnlasi titik A(x, y) menggeser absis x sejauh a
dan menggeser ordinat y sejauh b diperoleh titik A’(x + a, y + b) atau

a

A( x, y) T b  A '(x  a, y  b)

36

Sifat-sifat translasi:
 Titik ( objek ) yang ditranslasi tidak mngalami perubahan bentuk
 Titik ( objek) yang ditanslasi meengalami perubahan posisi

3. Refleksi/pencerminan

Pada refleksi :

 Semua titik pada gambar dipindahkan menurut suatu garis yang tegak lurus

terhadap garis yang invariant (tetap).

 Bangun dan bayangannya berjarak sama terhadap garis invariant.

 Kedudukan gambar berubah tanpa terjadi perubahan panjang sisi atau ukuran sudut

serta luas. ( )
Garis yang invariant disebut

Rumus-rumus refleksi/pencerminan pada bidang koordinat ( )
 Refleksi suatu titik terhadap sumbu –x : ( ) →

 Refleksi suatu titik terhadap sumbu-y : ( ) → ()

 Refleksi suatu titik terhadap garis : ( )→ ()

37

 Refleksi suatu titik terhadap garis : ( )→ ()

 Refleksi terhadap titik O(0, 0) : ( ) →( ) ( )

 Refleksi suatu titik terhadap garis x = h : ( ) → ()

38

 Refleksi suatu titik terhadap garis y = k : ( ) → ( )

4. Rotasi/perputaran
Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar
α berlawanan arah jarum jam, gambarnya seperti dibawah ini

 Rotasi positif adalah rotasi berlawanan arah jarum jam
 Rotasi pada bidang koordinat dengan pusat O(0,0) adalah sbb:

Rotasi sebesar 900 : A(x, y) [O,900 ] A'( y, x)
Rotasi sebesar - 900 : A(x, y) [O,900 ] A'( y, x)
Rotasi sebesar 1800 : A(x, y) [O,1800 ] A'(x,  y)
Rotasi sebesar 2700 : A(x, y) [O,2700 ] A'( y, x)

39

5. Dilatasi
Dilatasi adalah trasformasi yang merubah ukuran atau skala bangun geometri, tetapi
tidak mengubah bentuk bangun.
Dilatasi sebuah titik dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k :

A(x, y) [O,k] A '(kx, ky)

C. Contoh Soal-soal dan Pembahasan

1. Tentukan bayangan titik P(3,-7) oleh translasi 4
 
 2 

Pembahasan:

 4

P(3, 7) 2 P '(3  4, 7  2)

Jadi bayangan titik P adalah P’(7, - 5)

2. Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh karena translasi 2 diperoleh
 
 a 

bayangan titik P yaitu P'(-2a, -4). Tentukanlah nilai a.

Pembahasan:

 2

P(4, 1) a  P '(4  2, 1  a)

maka – 2a = 6, a = – 3

3. Titik P'(3, 5) adalah bayangan titik P(2, - 4) oleh translasi T. Tentukanlah translasi T.

Pembahasan:

a

P(2, 4) b  P '(3, 5)

Maka 2 + a = 3, a = 1
–4 + b = 5, b = 9

1
jadi T  
 9 

4. Tentukan koordinat bayangan titik A(2, - 3) apabila dicerminkan terhadap

a. Sumbu- x

b. Garis y = x

40

c. Garis x = 5
d. Garis y = - 2

Pembahasan:

a. ( ) → ()

( )→ ()

b. ( ) → ()

( )→ ()

c. ( ) → ()

( )→ ()

d. ( ) → ()

( )→ () dan
5. Tentukan bayangan titik ( ) jika dicerminkan terhadap garis y = x

dilanjutkan dengan y = 5!

Pembahasan: ( )→ ( )
( )→ ( )→ ()
( )→

6. Diketahui A( ) setelah dicerminkan terhadap garis ( dan dilanjutkan
dicerminkan terhadap garis y = k menghasilkan bayangan ) Tentukanlah
nilai

Pembahasan:

( )→ ( )→ ( )

2h – (- 4) = - 8 ,

2h = - 4, maka h = - 2

2k – 8 = 2,

2k = 10, maka k = 5

41

7. Titik A(-2,8) di transalsikan oleh T(3,6) dialnjutkan refleksi terhadap garis x = 3 dan
dilanjutkan oleh rotasi 900 , tentukan koordinat bayangan titik A

Pembahasan: ) ) ) →[ ] ( ( ) ( ))
((
()

( )→ (
→

Maka adalah titik (-(8 + 6), 2(3) – ( -2 + 3))

Jadi koordinat bayangan titik A adalah (- 14, 5)

8. Titik C’(- 4, 6 ) merupakan bayangan titik C oleh [O, ½ ]. Tentukan koordinat titik C!

Pembahasan: ( )
( ) ⌊→ ⌋

Maka ½ x = - 4, x = - 8
½ y = 6, y = 12

Jadi koordinat titik C(8, 12)

9. Titik P (- 12, 6) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = . Tentukan

koordinat bayangan titip P ). Jadi P’(-8, 4)
Pembahasan
Koordinat bayangan titik P adalah (

10. Tentukan koordinat bayangan titik B(0,2), jika didilatasi dengan titik pusat A(-2,1)
dan faktor skala 3!
Pembahasan
Posisi titik B(0, 2) dari titik A(- 2, 1) adalah 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas,
maka koordinat bayangan titik B diperoleh dengan cara menggeser titik B, 4 satuan
kekanan dan 2 satuan ke atas, yaitu B’(4, 4)

42

D. Soal – soal Latihan
1. Perhatikan gambar berikut

Transformasi yang digunakan pada gambar di atas adalah
A. Traslasi
B. Rotasi
C. Refleksi
D. Dilatasi
2. Perhatikan puzzle di bawah ini

Tariklah garis lurus dari titik P ke arah pusat puzzle tersebut. Jika puzzle tersebut
dirotasikan 2700 searah jarum jam dengan pusat rotasi di titik P maka diperoleh bayangan
...

ABC D

43

3. Perhatikan gambar dibawah ini

Persegi panjang EFGH diperoleh dari persegi panjang ABCD dengan transformasi

A. Translasi dilanjutkan dilatasi

B. Traslasi dilanjutkan refleksi

C. Refleksi dilanjutkan rotasi

D. Rotasi dilanjutkan dilatasi
4. Bayangan titik A dengan A(−1,4) jika direfleksikan terhadap garis y = −x adalah ⋯⋅

A. A′(4,1)
B. A′(−4,1)
C. A′(−4,−1)
D. A′(4,−1)

5. Diketahui titik A( 2, 3). Bayangan titik A jika dicerminkan terhadap garis y = 5
adalah…

A. (8, 3)

B. (7, 3)

C. (2, 7)

D. (2, 13)

6. Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis , maka bayangan titik A adalah
titik A’ dengan koordinat….

A. ( 8, - 1)

B. (-1, 8)

C. ( 8, 8 )

D. (7, 8) menghasilkan bayangan titik A’(0,2),
7. Titik A( ) dicerminkan terhadap garis

maka nilai ( )adalah….

A. (2, 4)

B. (-2, 4)

44

C. (4, 2)
D. (-4, -2)

8. Tentukan bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis dilanjutkan

dengan refleksi terhadap garis !

A. (9, 4)

B. (4, 9)

C. ( - 8, 10)

D. (8, -10)

9. Bayangan titik B ( 3, 4) oleh traslasi ( ) adalah…

A. (- 4, -7)

B. (2, -1)

C. (- 4, 7)

D. (2, 1)
10. Diketahui titik P′(3,−13) adalah bayangan titik P oleh translasi T = ( ) . Koordinat

titik P adalah ⋯⋅
A. (13,−20)
B. (−5,−4)
C. (13,−4)

D. (4,20)
11. Bayangan titik T(9, -5) yang ditraslasikan oleh ( ) adalah Tl(-3, 1). Nilai a + b

adalah…
A. – 18

B. 6
C. – 6

D. 18
12. Bayangan titik P(2,−3) oleh rotasi R[O,90∘] adalah ⋯⋅

A. P′(3,2)
B. P′(2,3)
C. P′(−2, 3)
D. P′(−3,2)
13. Diketahui bayangan titik A(-3, 2) 0leh rotasi dengan pusat O(0, 0) adalah Al ( 2, 3).
Besarnya sudut rotasi dan arah perputarannya adalah…
A. 900 searah putaran jarum jam
B. 900 berlawanan arah putaran jarum jam

45

C. 1500 searah putaran jarum jam
D. 1800 searah putaran jarum jam
14. Bayangan titik P( -2, 3) oleh dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan factor skala 3
adalah…
A. (6, -3)
B. (-6, 9)
C. (-6, 3)
D. (9,-6)
15. Diketahui titik C( 2, -3). Bayangan titik C oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dengan
faktor skala 2, kemudian direfleksikan terhadap garis y = x adalah…
A. (-6, 4)
B. (-6, -4)
C. (4, -6)
D. (-4, 6)
16. Titik P1(-10, 15) merupakan bayangan titik P(4, -6) oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0)
dengan faktor skala k. nilai k adalah
A. 5/2
B. 2/5
C. – 5/2
D. – 2/5
17. Titik M( 2,3) dirotasi sejauh 900 dengan pusat O(0,0) berlawanan arah jarum jam,
kemudian ditranslasi (x – 3, y + 2). Koor dinat bayanagan titik M adalah…
A. (– 9, 6)
B. ( - 9, -6)
C. (6, - 9 )
D. (- 9, 6 )
18. Jika segiempat ABCD didilatasi menjadi A′B′C′D′ seperti gambar, maka faktor skala
yg sesuai adalah ⋯

46