Galih Bayu Anggara

MAKALAH RELASI DAN FUNGSI
Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Kajian Matematika SMP 1
Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si.,M.Pd.

Disusun oleh: (14144100113)
Kelompok 8 (14144100118)
1. Yusie Kristiawan (14144100136)
2. Zola Fitri Nuraini (14144100150)
3. Andon Insani Fahrika
4. Ambar Retno Mutia
Kelas: III A4

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2015

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
limpahan Rahmat dan karunia-Nya, sehingga makalah “Relasi dan Fungsi” ini
dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Dengan terselesainya makalah ini, Penulis mengucapkan terima kasih
kepada :

1. Ibu Koryna Aviory, S,Si.,M.Pd. yang telah membimbing dan membantu
hingga makalah ini dapat terselesaikan.

2. Teman-teman semua yang telah mendukung, bekerja sama serta
memberikan motivasi dan semangat sehingga makalah ini terselesaikan.

3. Semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan satu-persatu, termasuk
kedua orangtua yang telah mendukung dan membatu sepenuhnya dalam
pembuatan makalah ini.

Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari
sempurna. Maka dari itu, Penulis mengharap kritik mapun saran yang bersifat
membangun.

Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, November 2015

Penulis

ii

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. i
DAFTAR ISI.......................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 1
C. Tujuan Makalah ........................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................ 2
A. Relasi............................................................................................................ 2
B. Fungsi/Pemetaan .......................................................................................... 4
BAB III KESIMPULAN....................................................................................... 19
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 20

iii

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Fungsi dan relasi adalah bagian dari pelajaran matematika, dimana

fungsi dan relasi ini saling berhubungan satu dengan yang lain. Dalam
banyak hal, fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi dan bidang lain
yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel
satu sama lainnya saling mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan
waktu dapat diukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi
dari waktu.

Di dalam fungsi dan relasi ada yang namanya daerah asal, daerah
kawan, dan daerah hasil. Daerah asal disebut domain, daerah kawan
disebut kodomain, sedangkan daerah hasil disebut range.

B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa

masalah sebagai berikut :
1. Apa pengertian dari relasi?
2. Bagaimana cara menyatakan relasi?
3. Apa pengertian dari fungsi?

C. Tujuan Makalah
Berdasarakan rumusan masalah yang telah disebutkan di atas, maka

tujuan dari penulisan makalah ini yaitu :
1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan relasi.
2. Untuk mengetahui cara menyatakan relasi.
3. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi.

1

BAB II
PEMBAHASAN

A. Relasi
1. Pengertian
Perhatikan gambar dibawah ini.

Gambar 1.1
Gambar 1.1 menunjukkan suatu kumpulan anak yang terdiri atas Tino,
Atu, Togar, dan Nia berada di sebuah toko alat tulis. Mereka berencana
membeli buku dan alat tulis.

Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membeli
penggaris dan penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dan
tempat pensil, sedangkan Nia membeli pensil dan penggaris.

Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak = {Tino,
Ayu, Togar, Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis, pensil,
penggaris, penghapus, bolpoin, tempat pensil}. Himpunan anak dengan
himpunan alat tulis dihubungkan oleh kata membeli. Dalam hal ini,
kata membeli merupakan relasi yang menghubungkan himpunan anak
dengan himpunan alat tulis.

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan
yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-
anggota himpunan B.

Relasi (hubungan) dari suatu himpunan ke himpunan lain adalah
pasangan anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota-anggota
himpunan.

2

2. Menyatakan Relasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan

diagram panah, diagram Cartesisus, dan himpunan pasangan berurutan.

Perhatikan uraian berikut!

Tabel 1.1

Nama Siswa Pelajaran yang Disukai

Buyung IPS, Kesenian

Doni Keterampilan, Olahraga

Vita IPA

Putri Matematika, Bahasa Inggris

Tabel 1.1 di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah,

diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan seperti di bawah

ini. Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian,

keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan
“pelajaran ynag disukai” adalah relasi yang menghubungkan

himpunan A ke himpunan B.

a. Dengan Diagram Panah

Gambar 1.2 di bawah ini menunjukkan relasi pelajaran yang

disukai dari himpunan A ke himpunan B. Arah panah

menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan

anggota-anggota tertentu pada himpunan B.

Gambar 1.2
3

b. Dengan Diagram Cartesius
Relasi antara himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan

dengan diagaram Cartesius. Anggota-anggota himpunan berada
pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B berada
pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan A yang
berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik atau
noktah. Gambar 1.3 menunjukkan diagram Cartesius dari relasi
pelajaran yang disukai dari data pada Tabel 1.1.

Gambar 1.3
c. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari data pada Tabel 1.1
sebagai berikut.
{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni,
olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, bahasa
Inggris)}.

B. Fungsi/Pemetaan
1. Pengertian Fungsi
Perhatikan uraian berikut.
Pengambilan data mengenai berat badan dari enam siswa kelas VIII
disajikan pada tabel berikut:

4

` Tabel 1.2 Berat Badan (kg)
Nama Siswa 35
Anik 34
Andre 30
Gita 35
Bayu 33
Asep 32
Dewi

Gambar 1.4
Gambar 1.4 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi berat
badan dari data pada Tabel 1.2.

Dari diagram panah pada Gambar 1.4 dapat diketahui hal-hal
sebagai berikut:
a. Setiap siswa memiliki berat badan.

Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan atau pasangan
dengan anggota B.
b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.
Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau
pasangan dengan anggota B.

Berdasarkan uraian di atas dapat diambil kesimpulan bahwa relasi
dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasi

5

yang demikian dinamakan fungsi (pemetaan). Jadi, fungsi (pemetaan)
dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah:
a. Setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
b. Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
2. Notasi dan Nilai Fungsi

Gambar 1.5
Diagram di atas menggambarkan fungsi yang memetakkan
anggota himpunan A ke anggota himpunan B. Notasi fungsinya
dapat ditulis sebagai berikut:
∶  y atau ∶  ( )
dibaca: fungsi f memetakkan x anggota A ke y anggota B
Himpunan A disebut domain (daerah asal)
Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan C  B yang memuat disebut range (daerah hasil)

Dalam hal ini, = ( ) disebut bayangan (peta) oleh
fungsi . Variabel dapat diganti dengan sebarang anggota
himpunan A dan disebut variabel bebas. Adapun variabel anggota
himpunan B yang merupakan bayangan oleh fungsi ditentukan
(bergantung pada) oleh aturan yang didefinisikan, dan disebut variabel
bergantung.

Misalkan bentuk fungsi ( ) = + . untuk menentukan
nilai fungsi untuk tertentu, dengan cara mengganti (mensubstitusi)
nilai pada bentuk fungsi ( ) = + .

6

Contoh:

a. Perhatikan diagram panah pada
Gambar 1.6. Tentukan:
i. Domain
ii. Kodomain
iii. Range
iv. Bayangan dari 1, 2, 3, 4 dan 5 oleh
fungsi .

Gambar 1.6
b. Diketahui fungsi didefinisikan sebagai ( ) = 2 2 – 3 + 1.

Tentukan nilai fungsi ( ) untuk:
i. = 2
ii. = -3
Penyelesaian:
a. Berdasarkan Gambar 1.6
i. Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}
ii. Kodomain = B = { , , , , }
iii. Range = { , , }
iv. Bayangan 1 oleh fungsi adalah (1) =

Bayangan 2 oleh fungsi adalah (2) =
Bayangan 3 oleh fungsi adalah (3) =
Bayangan 4 oleh fungsi adalah (4) =
Bayangan 5 oleh fungsi adalah (5) =
b. Diketahui fungsi ( ) = 2 2 – 3 + 1.
i. Substitusi nilai = 2 ke fungsi ( ) = 2 2 – 3 + 1.
Sehingga ( ) = 2 2 – 3 + 1.

(2)= 2 2 – 3 + 1
=8–6+1=3

ii. Substitusi nilai = -3 ke fungsi ( ),
Sehingga ( ) = 2 2 – 3 + 1

7

(-3)= 2(-3)2 – 3(-3) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28

3. Cara Menyatakan Fungsi

Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam 3 cara yaitu: diagram

panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi :

AB ditentukan dengan ( ) = – 2 maka:

(1) = 1 – 2 = −1

(3) = 3 – 2 = 1

(5) = 5 – 2 = 3

Diagram panah yang menggambarkan fungsi tersebut sebagai

berikut:

A B
1● ● -2

3 ● ● -1

5● ●0

●1

●2

●3
Gambar 1.7

a. Diagram Cartesius dari fungsi sebagai berikut:

Gambar 1.8
b. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut adalah {(1, -

1), (3, 1), (5, 3)). Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat
satu kali pada komponen pertama pada pasangan berurutan.

8

4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan
Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua

himpunan, perhatikan uraian berikut:
a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) =1. Satu-satunya

pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah
seperti tampak pada Gambar 1.9

AB

1● ●a

Gambar 1.9
b. Jika A ={1,2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1. Pemetaan

yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram
panah pada Gambar 1.10

AB
1●
2● ●a

Gambar 1.10

c. Jika A = {1} dan B ={a, b} maka n(A) = 1 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 2, seperti

tampak pada diagram panah pada Gambar 1.11

AB AB
1● ●a 1● ●a

●b ●b
Gambar 1.11

d. Jika A = {1,2,3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu, seperti

tampak pada diagram panah pada Gambar 1.12

9

AB
1●

2 ● ●a

3●
Gambar 1.12

e. Jika A = {1} dan B ={a,b,c} maka n(A) =1 dan n(B) = 3.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti

tampak pada diagram panah berikut ini.

AB AB A B

●a ●a ●a

1● ● b 1● ● b 1● ●b

●c ●c ●c

Gambar 1.13

f. Jika A = {1,2} dan B = {a,b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat, seperti

tampak pada diagram panah pada Gambar 1.14

AB AB

1● ● a 1 ● ● a
2● ● b 2 ● ● b

AB AB
1● ●a 1● ●a
2● ●b 2● ●b

Gambar 1.14
g. Jika A = {1,2,3}dan B ={a,b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti
tampak pada diagram panah pada Gambar 1.15

10

A B AB AB
1● ●a 1● ●a 1● ●a
2● ●b 2● ●b 2● ●b
3● 3● 3●
3 B
●a AB AB
A ●b 1● ●a 1● ●a
2● ●b 2● ●b
1● 3● 3●
2●
3●

AB AB

1● ●a 1● ●a
2● ●b
3● 2● ●b

3●
Gambar 1.15

Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan

banyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapat

dilihat pada tabel berikut:

Tabel 1.3

Banyaknya Anggota Banyaknya Banyaknya

Pemetaan yang Pemetaan yang

Himpunan Himpunan Mungkin dari A ke Mungkin dari

AB B B ke A

11 1 = 11 1 = 11

21 1 = 12 2 = 21

12 2 = 21 1 = 12

31 1 = 13 3 = 31

13 3 = 31 1 = 13

22 4 = 22 4 = 22

32 8 = 23 9 = 32

11

Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut.
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya
anggota himpunan B adalah n(B) = b maka:
1) Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba .
2) Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab .
Contoh:
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal,
hitunglah banyaknya pemetaan:
a. dari A ke B;
b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya.
Penyelesaian :
a. A= {2,3}, n(A) = 2

B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52= 25
b. A= {2,3}, n(A) = 2
B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 25= 32
5. Merumuskan Bentuk Fungsi

Pada pembahasan ini yang dipelajari hanyalah fungsi linear,
yaitu ( ) = + , dengan dan konstanta dan variabel
maka rumus fungsinya adalah ( ) = + . Jika nilai variabel
= maka nilai ( ) = + . Dengan demikian, dapat
ditentukan bentuk fungsi jika diketahui nilai-nilai fungsinya.
Selanjutnya, nilai konstanta dan ditentukan berdasarkan nilai-nilai
fungsi yang diketahui.
Contoh:
Diketahui fungsi linear dengan (0) = −5 dan (−2) = −9.
Tentukan:
a. Nilai dan ,
b. Bentuk fungsinya

12

c. Bayangan dari 3
Penyelesaian:
a. Karena fungsi linear, maka ( ) = +

Dengan demikian diperoleh
(0) = −5
(0) = (0) + = −5
0 + = −5

= −5
untuk menentukan nilai , perhatikan langkah berikut.

(−2) = −9
(−2) = (−2) + = −9
−2 – 5 = −9

−2 = −9 + 5
−2 = −4

= −4

−2

= 2
Jadi, nilai = 2 dan = −5.
b. Nilai ( ) = + , = 2 dan = −5
( ) = 2 + (−5)
( ) = 2 – 5
Jadi, bentuk fungsinya adalah ( ) = 2 – 5
c. ( ) = 2 – 5
d. (3) = 2(3)– 5
e. = 6 – 5
f. = 1
g. Jadi, bayangan dari 3 adalah 1.
6. Menggambar Grafik Fungsi dalam Koordinat Cartesius
Misalkan peubah pada himpunan M = {0, 1, 2, 3, 4}, dan
fungsi ∶  2 + 1 dari himpunan M ke himpunan bilangan
cacah.

13

Untuk memudahkan cara menulis maupun membaca fungsi dari

setiap , maka dibuat dalam bentuk tabel berikut ini.

Tabel 1.4

2 + 1 Pemetaan Pasangan berurutan

0 2(0) + 1 = 1 ∶ 0  1 (0, 1)

1 2(1) +1 = 3 ∶ 1  3 (1, 3)

2 2(2) + 1 = 5 ∶ 2  5 (2, 5)

3 2(3) + 1 = 7 ∶ 3  7 (3, 7)

4 2(4) + 1 = 9 ∶ 4  9 (4, 9)

Dengan menggunakan pasangan berurutan pada Tabel 1.4, maka

dapat di gambar grafik Cartesius untuk fungsi ∶  2 + 1,

sebagai berikut:

(a) (b)
Gambar 1.16

Gambar 1.16(a) adalah grafik fungsi ∶  2 + 1 dengan x
peubah pada {0, 1, 2, 3, 4}, yang ditunjukkan dengan titik-titik pada
gambar.

14

Gambar 1.16(b) adalah grafik fungsi ∶  2 + 1 dengan x

peubah pada himpunan semua bilangan positif dan nol, yang

ditunjukkan dengan garis yang melalui titik-titik pada grafik 1.16(a)

Contoh:

1. Buatlah tabel pemetaan ∶  + 1 dari himpunan {1, 2, 3,

4, 5} ke himpunan bilangan cacah, dan gambarkan grafiknya.

2. Gambarlah grafik pemetaan ∶  + 1 pada himpunan

semua bilangan positif dan nol.

Penyelesaian:

1. Tabel pemetaan dan grafik

Tabel 1.5

1 2 3 4 5

+ 1 2 3 4 56

Pasangan (1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 6)

berurutan

Gambar 1.17
2. Grafik pemetaan

15

Gambar 1.18
7. Korespondensi Satu-satu

Perhatikan gambar berikut!

Gambar 1.19
Perhatikan deretan rumah di suatu kompleks rumah
(perumahan). Setiap rumah memiliki nomor rumah tertentu yang
berbeda dengan nomor rumah yang lain.
Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Atau
mungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentu
saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satu nomor
rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah dikatakan
sebagai korespondensi satu-satu.

16

Contoh lain yang menggambarkan korespondensi satu-satu
sebagai berikut. Enam orang siswa bermain bola voli dengan nomor
punggung 301-306. Ternyata
Bonar bernomor punggung 301;
Asti bernomor punggung 302;
Reni bernomor punggung 303;
Asep bernomor punggung 304;
Buyung bernomor punggung 305;
Beta bernomor punggung 306;

Selanjutnya, jika kita misalkan A = {Bonar, Reni, Asep,
Buyung, Beta} dan B = {301, 302, 303, 304, 305, 306} maka
“bernomor punggung“ adalah relasi A ke B.

Relasi “bernomor punggung“ dari himpunan A ke himpunan B
pada kasus di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah
berikut:

Gambar 1.20
Perhatikan bahwa setiap anggota A mempunyai tepat satu
kawan di B. Dengan demikian, relasi “bernomor punggung“ dari
himpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan. Selanjutnya,
amati bahwa setiap anggota B yang merupakan peta (bayangan) dari
anggota A di kawankan dengan tepat satu anggota A.
Pemetaan dua arah seperti contoh di atas disebut korespondensi
satu-satu atau perkawanan satu-satu.
Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut:

17

Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan
anggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota A dan B
dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan
dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan
tepat satu anggota A. Jadi, banyak anggota himpunan A dan B harus
sama atau n(A) = n(B).

18

BAB III
KESIMPULAN

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang
memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan
B. fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasi dan fungsi
dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: diagram panah, diagram Cartesius, dan
himpunan pasangan berurutan.

Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) maka fungsi f yang
memetakkan x ke y dinotasikan dengan f : x → y, dibaca fungsi f memetakan x ke
y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f.

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya
anggota himpunan B adalah n(B) = b maka:

1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba .
2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab .

Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan
pada nilai fungsinya.

Dua impunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika semua
anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A
berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan
dengan tepat satu anggota A.

19

DAFTAR PUSTAKA
Dewi, Tri.2008.Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP dan

MTs 2.Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Cholik,Sugiyono.2005.Matematika 2A Edisi Kedua untuk SMP Kelas VIII

Semester 1.Jakarta: Erlangga

20