Ecuatii diferentiale

53

A1) Rezolvarea ecua iei omogene

Forma generalã a unei ecuaţii cu coeficienţi constanţi este
y(n) + a1 y(n−1) + ... + an−1 y '+ an y = 0
(9)

Problema rezolvãrii ecuaţiei (9) se reduce deci la determinarea unul

sistem fundamental de soluţii. În cele ce urmeazã prezentãm principala

metodã de rezolvare pentru ecuaţiile liniare.

O soluţie a ecuaţiei se cautã sub forma y ( x) = eλx , prin analogie cu cazul
n = 1 . Prin înlocuire în ecuaţia (9) se obţine, dupã simplificarea cu eλx ,
ecuaţia caracteristicã
λ n + a1λ n−1 + ... + an−1λ + an = 0 (10)

Teorema 4 : Fie λ1,λ2 ,...,λn solu iile ecua iei (10).
a) - dacã λ1,λ2 ,...λn sunt reale şi distincte ale ecua iei (10), atunci

eλ1x , eλ2x ,..., eλnx sunt solu ii liniar independente ale ecua iei (9).

b) - dacã λ1 este rãdãcinã realã cu ordinul de multiplicitate p pentru
ecua ia (10), atunci eλ1x , xeλ1x , …, x p−1eλ1x sunt p solu ii liniar

independenteale ecua iei (9).
c) -dacã λ1 = a + ib este rãdãcinã complexã de ordinul p a ecua iei (10)

atunci eax cos(bx), eax sin (bx)

xeax cos(bx), x eax sin (bx)
x2eax cos(bx), x 2eax sin (bx)

.............................................................

xn−1eax cos (bx), xn−1 eax sin (bx)

sunt solu ii liniar independente ale ecua iei (9).

54

Sistemul fundamental de soluţii se obţine prin însumarea
soluţiilor liniar independente corespunzãtoare tuturor rãdãcinilor ecuaţiei
(10), iar soluţia generalã a ecuaţiei (9) se obţine folosind formula (8) .

Exemple : Sã se determine soluţia generalã a urmãtoarelor ecuaţii :
1. y '''− 6 y ''+ 11y '− 6 y = 0
Ecuaţia caracteristicã este λ3 − 6λ 2 + 11λ − 6 = 0 şi are soluţiile
λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 , Se aplicã a) din Teorema 4 şi se obţine sistemul
fundamental de (trei) soluţii format din y1 = ex , y2 = e2x , y3 = e3x .
Soluţia generalã este

y ( x) = C1ex + C2e2x + C3e3x

2. y '''+ 3y ''+ 3y '+ y = 0
Ecuaţia caracteristicã este λ3 + 3λ 2 + 3λ +1 = 0 şi are soluţiile
λ1 = λ2 = λ3 = 1. Se aplicã b) din Teoremã pentru p = 3 . Sistemul
fundamental de (trei) soluţii este format din y1 = ex , y2 = xex , y3 = x2ex ,
iar soluţia generalã este

y ( x) = C1ex + C2 xex + C3x2ex

3. y ''+ 4 y '+ 5y = 0
Ecuaţia caracteristicã este λ 2 + 4λ + 5 = 0 şi are soluţiile λ1 = −2 + i şi
λ2 = −2 − i deci se aplicã c) din Teoremã pentru a = −2, b = 1, p = 1.
Sistemul fundamental de (douã) soluţii este format din soluţiile
y1 = e−2x cos x şi y2 = e−2x sin x iar soluţia generalã este

y ( x) = C1e−2x cos x + C2e−2x sin x

4. yIV − 4 y '''+ 5y ''− 4 y '+ 4 y = 0
Ecuaţia caracteristicã este λ4 − 4λ3 + 5λ2 − 4λ + 4 = 0 cu soluţiile
λ1 = λ2 = 2 , λ3 = i şi λ4 = −i .
Soluţia generalã este

y ( x) = C1e2x + C2 xe2x + C3 cos x + C4 sin x

55

A2) Determinarea unei solu ii particulare a ecua iei neomogene

Forma generalã a ecuaţiei neomogene cu coeficienţi constanţi este

y(n) + a1 y(n−1) + ... + an−1 y '+ an y = f ( x) .

Nu existã metode generale de determinare a unei soluţii particulare dar,
în unele cazuri simple, se pot folosi rezultatele urmãtoare :

Dacã f ( x) = P ( x) este un polinom de grad k atunci soluţia particularã

este un polinom de acelaşi grad, cu coeficienţi necunoscuţi care se vor
determina prin înlocuirea în ecuaţie.

a) Dacã f ( x) = eax P( x) unde P ( x) este un polinom de grad k existã

douã situaţii
- Dacã a nu este rãdãcinã a ecuaţiei caracteristice soluţia

particularã se cautã sub forma yP = eaxQ ( x) , unde Q este un polinom

de grad k cu coeficienţi necunoscuţi
- Dacã a exte rãdãcinã de ordin r a ecuaţiei caracteristice atunci

soluţia particularã se cautã sub forma yP = xreaxQ ( x) , unde Q este un

polinom de grad k cu coeficienţi necunoscuţi

b) Dacã f ( x) = eax ( P ( x)cos(bx) + Q ( x)sin(bx)) atunci existã de

asemeni douã situaţii
- Dacã z = a + bi nu este soluţie a ecuaţiei caracteristice soluţia

particularã se cautã sub forma

yp ( x) = eax (S ( x)cos(bx) + T ( x)sin (bx)) , unde R( x) şi S ( x) sunt

polinoame cu coeficienţi necunoscuţi avand drept grad cel mai mare
dintre gradele lui P şi Q

56

- Dacã z = a + bi este soluţie de ordin r a ecuaţiei caracteristice
soluţia particularã se cautã
sub forma
yp ( x) = xreax (S ( x)cos(bx) + T ( x)sin (bx)) , unde T (x) şi S ( x) sunt
polinoame cu coeficienţi necunoscuţi avand drept grad cel mai mare
dintre gradele lui P şi Q .

În unele situaţii, pentru determinarea soluţiilor particulare, se
poate aplica principiul superpoziţiei :

Dacã yP1 şi yP2 sunt soluţii ale ecuaţiilor

y(n) + a1 ( x) y(n−1) + .... + an ( x) y = f ( x) , respectiv
y(n) + a1(x)y(n−1) + ... + an (x)y = g(x) , atunci yP! + yP2 este soluţie a

ecuaţiei

y(n) + a1(x)y(n−1) + ... + an (x)y = f (x)+ g(x) .

Exemple : Sã se determine câte o solu ie particularã pentru

urmãtoarelor ecua ii :
1. y ''− 2 y '+ y = x

Funcţia f ( x) este un polinom de gradul I, deci soluţia particularã se
cautã sub forma yP ( x) = ax + b . Atunci y '( x) = a şi y ''( x) = 0 .

Introducând în ecuaţie obţinem 0 − 2a + ax + b = x şi din identificarea
coeficienţilor rezultã a = 1 şi, adicã b = 2 . Soluţia particularã este

yP ( x) = x + 2 .
Soluţia generalã a ecuaţiei este y ( x) = C1ex + C2 xex + x + 2

2. y ''− 2 y '+ y = xex

Deoarece f ( x) = xex = e1⋅xP ( x) se încadreazã la b) pentru
a = 1, P ( x) = x şi a = 1 este rãdãcinã dublã a ecuaţiei caracteristice ,
soluţia particularã se va cãuta sub forma yP ( x) = x2ex ( Ax + B) .

( )Atunci y '( x) = ex Ax3 + Bx2 + 3Ax2 + 2x

57

( )şi y ''( x) = ex Ax3 + Bx2 + 6Ax2 + 4Bx + 6Ax + 2B . Introducând în

ecuaţie obţinem ex (6Ax + 2B) = xex . Din identificarea coeficienţilor se

obţine A = 1/ 6 şi B = 0 .
Soluţia particularã este deci yP = x3ex / 6 .

Soluţia generalã a ecuaţiei este y ( x) = C1ex + C2 xex + x3ex / 6 .

3. y ''+ y = x sin x

Funcţia f ( x) = xsin x = e0x (0 ⋅ cos x + xsin x) se încadreazã la c) pentru
a = 0, b = 1, P ( x) = 0 şi Q ( x) = x . Deoarece z = 0 + i este soluţie a

ecuaţiei caracteristice λ2 +1 = 0 , soluţia particularã se va cãuta sub

forma yP = xe0x ⎡⎣( Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x⎤⎦ . Înlocuin în ecuaţie şi

identificând coeficienţii se obţine sistemul
2A + 2D = 0, 4C = 0, − 2B + 2C = 0, − 4A = 1

cu soluţia A = 1/ 4, B = 0, C = 0, D = 1/ 4 . Soluţia perticularã este deci
−x2 cos x / 4 + x sin x / 4 .
Soluţia generalã a ecuaţiei este

y ( x) = C1 cos x + C2 sin x − x2 cos x / 4 + x sin x / 4

4.1.2. Ecua ii cu coeficien i variabili

Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei omogene cu
coeficienţi variabili nu exista metode generale. Dacã însã aceastã soluţie
poate fi precizatã, pentru determinarea unei soluţii particlare se poate
folosi metoda variaţiei constantelor.

Teorema 5: Fie C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn solu ia generalã a ecua iei
omogene

y(n) + a1 ( x) y(n−1) + ... + an−1 y '+ an y = 0 .
Dacã C1 ( x),C2 ( x),...,Cn ( x) satisfac sistemul

58

⎨⎧⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪.CCCC..1111..''''.((((..xxxx..))))..yyyy.1111..(('.nn++.−−.1.C2C.)).2.+2+.'.'(C.(C.xx.2.2).)'.'(y.(y.x22x..).)+'+.y.y..2..2...(.(..n.n..−+−.+1.2).C)C.+.+n.n...'..'.(..(...x..x.+).+)..CyyC.n.nn.n.=''.('.=(.0x.x.0).).y.y.n.n((nn−−1)2)== 0 x )

f(
atunci y ( x) = C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 + ... + Cn ( x) yn este solu ie a ecua iei

(7)

Exemplu : Sã se determine solu ia generalâ a ecua iei
xy ''+ y ' = x, x > 0
Se noteazã y ' = z . Ecuaţia omogenã asociatã este xz '+ z = 0 .Rezultã

z = C1 1 adicã y = C1 ln ( x) + C2 Se foloseşte metoda variaţiei
x
constantelor pentru y1 ( x) = ln x şi y2 ( x) = 1. Sistemul devine
'( )
⎨⎩⎪⎧⎪CC11 '( x ) ln x + C2 ' = 0 cu soluţiile ⎧⎩⎪⎪⎨CC12 (x) = x2 2 . Rezultã
x 1 + C2 '⋅ 0 = x (x) = −x
x ln x

⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪CC12 (x) = x3 + A x3 .
(x) = 3 ln 9
− x3 x + + B

3

Soluţia generalã a ecuaţiei este y ( x) = x3 + Aln x + B .

9
Observa ie: Metoda varia iei constantelor poate fi folositã si pentru
determinarea solu iilor particulare ale ecua iilor omogene cu

coeficien i constan i atunci când func ia f ( x) nu se încadreazã în

situa iile prezentate anterior.

59

Exemplu: Sã se determine solu ia generalã a ecua iei

y ''− 2 y '+ y = ex , x > 0 .
x

Soluţia generalã a ecuaţiei omogene este yG ( x) = C1ex + C2 xex . Se
aplicã variaţia constantelor pentru y1 ( x) = ex şi y2 ( x) = xex .

obţinut este ⎨⎪⎧⎩⎪CC11 ' e x + C2 ' xex = 0 cu soluţiile
' e x + C2 ' ex + xex
( )Sistemul = ex
x

⎩⎨⎪⎧⎪CC12 (x) = −x + A .
(x) = ln x + B

Soluţia generalã a ecuaţiei este y ( x) = (−x + A)ex + xex (ln x + B) .

4.2. Ecua ii incomplete
Ecuaţiile diferenţiale incomplete de ordin n sunt ecuaţii (în
general neliniare) în expresia cãrora nu apar toate derivatele funcţiei
necunoscute pânã la ordinul n-1 . Penrtu rezolvarea lor se folosesc
substitutii care le micşoreaza ordinul.
4.2.1 Ecua ii in care func ia necunoscutã apare doar prin

( )derivatele sale

Ecuaţiile de forma F x, y(k ), y(k +1),..., y(n) = 0 se reduc la o ecuaţie de
ordin n-k prin substituţia z = y(k ) .

Exemplu : y''= 1+ (y')2 se transforma într-o ecuaţie de ordinul I

folosind substituţia z = y' . Ecuaţia z'= 1+ z2 este o ecuaţie cu

60

variabile separabile şi are soluţia generalã z = 1 e−x − C ex . Rezultã
2C 2

∫deci cã y(x) = z(x)dx = C1 − 1 e− x − C e x .
2C 2

4.2.2. Ecua ii în care variabila independentã nu apare
explicit

( )Aceste ecuaţii au forma F y, y',..., y(n) = 0 .

Se noteazã y'= p( y) . Atunci

( )y''= (y')'= (p(y))'= p'(y)y'= p ⋅ p'(y)

y'''= (y'')'= p ⋅ p''+(p')2 ⋅ p
( )..............................

Si ecuaţia devine f y, p, p',....p(n−1) = 0 . Aceeaşi procedurã se poate

aplica pentru a micşora ordinul în continuare.
Sunt numeroase cazurile în care derivata apare în ecuaţie doar la puteri

pare. În acest caz se face notaţia p = (y')2 .
Exemplu : y ⋅ y'' = 1+ (y')2 .
Se noteazã p = (y')2 . Rezultã cã p'(x) = p'(y(x))y'(x) = 2y'(x)y''(x) deci

y''= p'/ 2 .

Din ecuaţia cu variabile separabile p'= 2(1+ p)⋅ 1 rezultã p = Cy2 −1

y

adicã y'= ± Cy2 −1 .

Prin integrare directǎ de obţine 1 y ln⎝⎛⎜ Cy+ Cy2 −1⎞⎠⎟ = ± x + A .
C
( ( ) )Soluţia ecuaţiei este
y = C1e± C x 2 −1 .
2 C C1e±
Cx

61

4.3. Exerci ii propuse :

Determina i solu iile generale ale urmãtoarelor ecua ii :

1. y ''− 4 y '+ 4 y = x2 ( )R : y(x) = (C1 + x)e2 + 1
2. y ''− y '+ y = x2 + 6 C2 x 8 2x2 + 4x + 3

3. y ''+ 2 y '+ y = e2x R:
4 y ''− 8y '+ 7 y = 14
5. y ''− y ' = ex y(x) = x ⎜⎛⎜⎝ C1 cos x3 + C2 sin x3 ⎟⎟⎠⎞
6. y ''+ y '− 6 y = xe2x 2 2
7. y ''+ y = cos x e2
8. y ''+ y = sin2 x
9. y '''−13y ''+12 y = 0 + x2 + 2x + 6
10. y '''− y = 0
R: y ( x) = (C1 + C2 x)e−x + 1 e2x
11. yIV + 4 y = 0 9

R : y ( x) = C1ex + C2e7x + 2

R: y(x) = C1e x + C2e− x + x ex
2

R: y ( x) = C1e2x + C2e−3x + x ⎜⎝⎛ x − 1 ⎞⎟⎠ e2x
10 25

R: y ( x ) = C1 cos x + C2 sin x + 1 x sin x
2

R: y ( x ) = C1 cos x + C2 sin x + 1 cos (2x)
6

R : y ( x) = C1 + C2ex + C3e12x

y = C1e x +

R :+ −x ⎛⎜⎜⎝ C 2 cos x3 + C3 sin x3 ⎠⎟⎞⎟
2 2
e2

( ( ) )R
: y = cos x C1e x + C3e−x +
+ sin x C2e x + C4e−x

62

12. yIV − 2 y '''+ y '' = ex R: y ( x) = C1 + C2 x + ⎛⎝⎜ C3 + C4 x + x2 ⎟⎞⎠ ex
13. y ''+ 2 y '+ y = e−x , x > 0 2

x R : y ( x) = (C1 + xC2 )e−x + xe−x ln x

14. R : ec. omogenã are soluţia
x2 y ''− 2xy '+ 2 y = 2 + 2x3 sin 2x
y ( x) = C1x + C2 x2 .

Ec. iniţială are soluţia

y = 1+ C1 x + C2 x 2 − x sin 2x −
2

15. x2 y ''+ 4xy '+ 2 y = ln (1+ x) − x2 cos x
R: ec omogenã are soluţia

y(x) = A + B
x x2
(1 + x)2
y = C1 + C2 + ln(1 + x)−
x x2 2x2

− 3 −3
2x 4

63

CAPITOLUL 5

Sisteme de ecua ii diferen iale de ordinul I

5.1 Considera ii generale

Forma explicitã a unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I este
⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪.yyy..12n..'''.==.=...fff.1.2n.(.((.x.xx,.,,.y.yy.1.11,.,,.y.yy.2.22,.,.,...........,..,,y.y.yn.nn.).))...
(11)

unde f1, f2 ,..., fn sunt funcţii date, continue pe un domeniu din Rn+1 .

O problemã Cauchy este formatã dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale şi

un set de condiţii iniţiale,

y1 ( x0 ) = a1, y2 ( x0 ) = a2 ,..., yn ( x0 ) = an (12)

O soluţie a sistemului (11) este formatã din funcţiile y1, y2 ,..., yn care

verificã sistemul.

Astfel de sisteme de ecuaţii diferenţiale apar în mod natural în dinamicǎ,

acolo unde legea fundamentalǎ ( F = m ⋅ a ) se poate scrie (ţinând cont cǎ

a = (x''(t), y''(t), z''(t))şi
F = ( f1(t, x, y, z, x', y', z'), f2(t, x, y, z, x', y', z'), f3(t, x, y, z, x', y', z')) .

Ecuaţile de mişcare sunt deci ff12((tt,,xx,,yy,,zz,,xx'',,yy'',,zz''))
f3(t, x, y, z, x', y', z')
⎧⎪⎨⎪⎩xzy''''''===
iar prin notaţia x'= u, y'= v, z'= w se obţine un system de 6 ecuaţii

diferenţiale de ordinul I.

In legaturǎ cu soluţile sistemelor de ecuaţii diferenţiale existǎ câteva

rezultate importante.

64

Teorema 1 Orice sistem de n ecuaţii diferenţiale diferenţiale de ordinul
I scris sub forma (11) este echivalent cu o ecuaţie diferenţialã de ordin n
şi reciproc, orice ecuaţie diferenţialã de ordin n este echivalentã cu un
sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I

Observa ie: soluţia sistemului (11) poate fi gãsitã rezolvând ecuaţia de

ordin n ataşatã prin metoda substituţiei ( se deriveazã una din ecuaţiile
sistemului de n −1 ori, celelalte de n − 2 ori şi se eliminã n −1 funcţii
necunoscute). Aceastã metodã se mai numeşte şi metoda ecuaţiei

rezolvante.

Exemplu : Sã se rezolve sistemul ⎩⎨⎧ y' = z y .
z' = −

Derivând prima ecuaţie obţinem y '' = z ' . Inlocuind aici z ' = − y (din a
doua ecuaţie a sistemului) onţinem ecuaţia de ordinul II y ''+ y = 0 cu
y ( x) = C1 cos x + C2 sin x .
soluţia Rezultã

z(x) = y'(x) = −C1 sin x + C2 cos x .

5.2 Sisteme liniare şi omogene de ecua ii diferen iale cu coeficien i

constan i

Forma generalã a sistemului este

⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎪.yyy..12n..'''.=.==..a.aa.1.2n1.11.yy.y1.11..+++...aaa.1.n2.2.22y.y.y2.22..+.++..............+.++..a.aa.1.n2n.nn.y.yy.n.nn.... (13)

Sistemului (13) i se asociazã matricea coeficienţilor, anume

A = ⎛⎜⎜ a11....a1n ⎞⎟⎟ .
............
⎝⎜ an1...ann ⎠⎟

65

Dacã notãm Y = ( y1, y2 ,..., yn )τ şi Y ' = ( y1 ', y2 ',..., yn ')τ atunci sistemul

se scrie în forma matricealã (13’)
Y ' = A⋅Y
şi rezultatele prezentate la ecuaţii diferenţiale liniare de ordin n aratǎ cǎ

mulţimea soluţiilor sistemului reprezintǎ un spaţiu vestorial de

dimensiune « n ».

Soluţiile fundamentale ale sistemului vor fi cãutate sub forma

( )Yi = α1i α2i ....αni τ eλix unde λi sunt valori proprii a matricii A , adicã

soluţiile ecuaţiei caracteristice a sistemului :
a11 − λ a12 ... a1n

a21 a22 − λ ... a2n = 0 (14)

an1 an2 ... ann − λ

iar constantele αij trebuiesc determinate din sistem.

Dacǎ Y1, Y2, ...,Yn sunt n soluţii liniar independente atunci soluţia

generalã a sistemului este

Y = C1Y1 + C2Y2 + ... + CnYn (15)

Existã urmãtoarele situaţii importante :

- Dacã ecuaţia caracteristicã (14) are soluţiile reale şi distincte
λ1,λ2 ,...,λn şi V1,V2 ,...,Vn sunt vectorii corespunzãtori acestor valori

atunci soluţia sistemului este

( )Y x = C1V1eλ1x + C2V2eλ2x + ... + CnVneλnx

- Dacã ecuaţia caracteristicã (14) are soluţii multiple (reale sau
complexe), fiecare soluţie λ cu ordinul de multiplicitate p

contribuie în suma (15) cu termenii

Y1 = V1eλx , Y2 = eλx ⎜⎛⎝ 1x!V1 + V2 ⎠⎟⎞ , …,
⎛⎜⎜⎝ ⎞⎟⎟⎠
Yp = eλx ( x p −1 + ( x p−2 + ... + xV p −1 + Vp
p p 1!
− 1)!V1 − 2)!V2

66

unde V1,V2 ,...Vp sunt vestorii proprii corespunzãtori valorii proprii λ .

Problema rezolvãrii sistemului (13) se reduce deci la determinarea
valorilor proprii pentru matricea A şi a vectorilor proprii corespunzãtori
acestor valori.

Metoda de rezolvare :

a) Se scrie matricea A a sistemului ;
b) Se determinã valorile proprii ale matricii rezolvand ecuaţia (14) ;
c) Pentru fiecare valoare proprie λi se determinã vectorii proprii (atâţia

cât e ordinul de multiplicitate al lui λi şi se scriu soluţiile
corespunzãtoare lui λi ;
d) Se scrie sistemul fundamental de soluţii al sistemului ;
e) Se scrie soluţia generalã.

Exemple : Sã se determine solu ia generalã a sistemelor urmãtoare

1. ⎪⎩⎧⎪⎨ y1 ' = 3y1 − y2 + y3
y2 ' = − y1 + 5 y2 − y3
y3 ' = y1 − y2 + 3y3

a) Matricea sistemului este A = ⎝⎜⎜⎜⎛ 3 −1 −131⎟⎠⎟⎞⎟
−1 5

1 −1

b) Valorile proprii ale matricii A sunt λ1 = 2 , λ2 = 3 şi λ3 = 6 , adicã

soluţiile ecuaţiei
3−λ −1 1

−1 5 − λ =0

1 −1 3−λ

67

c) Valoarea λ1 are ordinul de multiplicitate 1, deci va avea un singur

vector propriu V1 = (α1,α2 ,α3 ) care verificã ecuatia
α1 α1
⎜⎜⎜⎛⎝ 3 −1 −131⎟⎟⎟⎞⎠ ⋅ ⎜⎜⎛⎜⎝ α2 ⎟⎟⎞⎟⎠ = 2 ⋅ ⎜⎜⎜⎛⎝ α2 ⎟⎟⎞⎟⎠ .
−1 5 α3 α3

1 −1

Din rezolvarea sistemului compatibil nederminat cu un grad de

libertate ⎩⎪⎨⎧⎪α3−αα1 1−1 −+αα52α2++23−αα333α==322=αα213α2
ee obţine soluţia ⎜⎛⎜⎜⎝α0−α ⎞⎟⎟⎟⎠ . Se dã lui α o valoare particularã, de exemplu

α = 1 şi obţinem V1 = ⎝⎜⎛⎜⎜10−1⎠⎟⎞⎟⎟ . In mod asemãnãtor obţinem V2 = ⎜⎜⎜⎝⎛111⎟⎟⎟⎠⎞ şi

V3 = ⎛⎜⎜⎝⎜11−2⎟⎟⎟⎠⎞ corespunzând valorilor λ2 şi λ3 .

d) Sistemul fundamental este Y1 = e2x ⎜⎜⎝⎜⎛10−1⎟⎟⎠⎞⎟ = ⎛⎜ e2x ⎟⎟⎠⎞⎟ , Y2 = ⎛⎜⎝⎜⎜⎜ e3x ⎠⎟⎟⎟⎞⎟ ,
⎜0 e3x
⎜⎝ −e2x e3x

Y3 = ⎜⎛⎜⎜⎜⎝ e6x x ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ .

−2e6
e6x

68

e) Soluţia generalã este ⎝⎜⎜⎛⎜ y1 ⎠⎞⎟⎟⎟ = C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 ,
y2
y3

adicǎ ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧ y1 = C1e 2 x + C2e3x + C3e6 x x
y2 = C1e2 x + C2e3x − 2C3e6
y3 = C2e3x + C3e6 x

2. ⎪⎨⎪⎧⎩ y1 ' = y2 + y3 .
y2 ' = y3 + y1
y3 ' = y1 + y2

Matricea sistemului este A = ⎝⎜⎜⎜⎛110 1 1 ⎟⎠⎟⎟⎞ . Ecuaţia caracteristicã ,
0 1
1 0

λ3 − 3λ − 2 = 0 are rãdãcinile λ1 = 2 şi λ2 = λ3 = −1 . Un vector propriu

al lui λ1 este V1 = ⎜⎝⎜⎛⎜111⎞⎠⎟⎟⎟ .
Subspaţiul valorii proprii λ2 = λ3 are dimensiunea 2. Vectorii proprii

satisfac ecuaţia ⎜⎛⎝⎜⎜110 1 1 ⎟⎞⎟⎟⎠ ⋅ ⎜⎛⎜⎜⎝ α1 ⎟⎞⎟⎟⎠ = −1 ⋅ ⎜⎛⎜⎝⎜ α1 ⎟⎞⎟⎠⎟ , adicã sistemul cu douã
0 1 α2 α2
1 0 α3 α3

grade de nedeterminare ⎧⎪⎨⎩⎪ααα111 + α2 + α3 =0 Alegând α1 = −1,α2 =0 se
+ α2 + α3 =0.
+ α2 + α3 =0

69

obţine α3 = 1 şi pentru α1* = 0,α2* = 1 se obţine α3* = −1 . Cei doi

vectori proprii principali vor fi V2 = ⎛⎜⎝⎜⎜10−1⎟⎟⎞⎟⎠ şi V3 = ⎜⎜⎜⎛⎝10−1⎟⎟⎞⎟⎠ .
Valorile α1,α2,α1*,α2 * se aleg astfel încât

α1 α2 = α1α2 * −α2α1* ≠ 0.
α1 * α2 *

Soluţia generalã a sistemului este

Y = C1V1e2x + C2V2e−x + C3(xV2 + V3)e−x adicã

( )⎪⎪⎨⎧⎩⎪⎪
y1 = C1e2x − C2e−x − C3xe−x .
y2 = C1e2x + C3e− x
y3 = C1e2x e−x
+ C2e−x + C3 x −1

5.3. Sisteme liniare neomogene cu coeficien i constan i

Forma generalã este (16)

Y '(x) = A⋅Y (x) + F (x)

Ca şi în cazul ecuaţiilor liniare neomogene, soluţia generalã a sistemului

neomogen este suma dintre soluţia generalã a sistemului omogen si o
soluţie particularã a sistemului neomogen.
Pentru determinarea soluţiei particulare se poate folosi metoda variaţiei

constantelor.

Teoremã : Dacã Y = C1Y1 + ... + CnYn este solu ia sistemului omogen

asociat lui (16) atunci o solu ie particularã a acestuia este

YP = C1 ( x)Y1 + ... + Cn ( x)Yn unde func iile C1 ( x),...,Cn ( x) satisfac

ecua ia

C1 '( x)Y1 + C2 '( x)(Y2 ) + ... + Cn '( x)Yn = F ( x) (17)

70

Din ecuaţia (17) se calculeazã C1 '( x),...,Cn '( x) şi apoi, prin integrare se

obţin C1,C2 ,...,Cn .

Exemplu : S se rezolve sistemul ⎪⎧⎨⎩⎪ x'= 5x −3y + 2e3t
y'= x+ y+ 5e−t

Sistemul omogen ⎨⎧⎩xy''== 5x −3 y are matricea coeficienţilor data de
x+ y

A = ⎜⎜⎝⎛15 − 3⎞⎟⎟⎠ .
1

Valorile sale proprii sunt λ1 = 4 şi λ2 = 2 , vectorii proprii

corespunzator acestora sunt V1 = ⎛⎝⎜⎜13⎠⎟⎟⎞ , respective V2 = ⎝⎛⎜⎜11⎟⎞⎠⎟ iar soluţia
generalǎ a sistemului este

⎜⎛⎝⎜ xG ⎟⎟⎞⎠ = C1 ⋅V1 ⋅ e4t + C2 ⋅ V2 ⋅ e2t = ⎜⎜⎝⎛ 3C1e4t + C2e2t ⎞⎟⎠⎟
yG C1e4t + C2e2t

Expresiile pentru C1 şi C2 se determinǎ din sistemul
⎨⎩⎪⎧⎪C3C1'1e'e4t4t++CC2 '2e'e2t2t==5e2−et3t .

Soluţii ale acestui sistem sunt este
C1 = e−5t / 2 − e−t , C2 = −et − 5e−3t / 2

O soluţie particularǎ a sistemului neomogen

⎛⎝⎜⎜ xP ⎠⎟⎞⎟ = ⎝⎛⎜⎜ − e−t − 4e3t ⎠⎟⎟⎞
yP − 2e−t − 2e3t

Rezultǎ cǎ soluţia generalǎ a sistemului este

71

⎨⎩⎪⎪⎧ x = 3C1e4t + C2e2t − e−t − 4e3t
y = C1e4t + C2e2t − 2e−t − 2e3t

5.4 Exerci ii propuse

I Sã se rezolve sistemele urmãtoare :

1. ⎪⎩⎪⎨⎧ y '+ 2 y + 4z =1+ 4 x R : y ( x) = C1e2x + C2e−3x + x2
z '+ y − z = 3x2 / 2
z = −C1e2x + C2e−3x / 4 − x2 / 2 + x,

2. ⎨⎧⎩ zy ''−+ 2y + z = sin x x R: y = C1e x + C2e−2x − 3 cos x − 1 sin x
4y − 2z = cos 88

z = sin x − 2 y − y'

⎪⎨⎪⎧⎩uzy''' = z R:
= u
3. = y y(x) = C1e x + C2e−x / 2 cos x 3 + C3e− x / 2 sin x3
2 2
z(x) = y'(x)
u(x) = z'(x)
x (t ) = C1et + C2e−3t
4. ⎩⎨⎧ xy ' = −x + 2y R: y (t ) = C1et − C2e−3t
' = 2x − y

5. ⎨⎧⎩ xy ' = x+ y + t x (t ) = C1 + C2e2t − t2 − t −1
' = x− y 4 48
R:
t2
y (t ) = −C1 + C2e2t + 4 − t − 1
4 8

6. ⎩⎨⎪⎧⎪uzy''' = z +u R : ⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩uzy(((xxx)))=== C1e 2 x − (C2 + C3 )e−x
= y +u C1e 2 x +
= y +z C1e 2 x + C3e− x )e− x

(xC3 + C2 − C3

72

7. ⎪⎩⎪⎨⎧xzy'''=== 4x − y + z R : ⎪⎧⎪⎪⎪⎩⎨ x = [C2 + C3(t + 2)]e3t + 1)]e3t
x +3y − z y = + [2C2 + C3(2t
y+z z = C1e2t + (C2 + C3t)e3t

C1e2t

8. R :

⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎩ y1/ = 3y1 − 8 y2 + 4 y3 ⎜⎜⎜⎝⎛ y1 ⎟⎞⎟⎠⎟ = C1 ⎜⎜⎜⎛⎝ −2 ⎟⎟⎠⎞⎟ ⋅ e−x + C2 ⎜⎜⎝⎛⎜ 0 ⎟⎟⎠⎞⎟ ⋅ ex + C3 ⎝⎜⎜⎛⎜ 4 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⋅ e− x
y2/ = − y1 + 5 y2 − 2 y3 y2 1 1
y3/ = −3y1 +14 y2 − 6 y3 y3 2 −2
4 −5

9. ⎧⎩⎨ x' = y + tg 2t − 1 R: ⎧⎩⎨ x = C1 cos t + C2 sin t + tgt
y' = − x + tgt y = −C1 sin t + C2 cos t +2

⎧⎩⎨ x' = 2x − y (( ))R ⎪⎧⎩⎪⎨xy
10. y'= x + 2et : = C1 + C2t + C2 − t 2 et
= C1 + C2t + 2t − t 2 et

⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨ y/ − 1 2 x ⋅ y = 0
z/ − y + x2
y(1) =
II S se rezolve problema Cauchy + 1 ⋅z = x .
x
⎩⎪
2 , z(1) = 1

R : ⎪⎨⎩⎪⎧ y(x) = 1 + x2 − 1
z(x) = x + x2 3x
3

73

CAPITOLUL 6
Elemente de calcul opera ional
şi aplica ii în teoria ecua iilor diferen iale

Calculul operaţional se ocupã cu studiul transformãrilor
integrale. Acestea, numite şi “operatori integrali”, transformã derivarea şi
integrarea în operaţii algebrice. Ecuaţiilor diferenţiale şi integrale le
corespund ecuaţii algebrice. Pentru a rezolva o ecuaţie diferenţialã este
suficient sã se rezolve ecuaţia algebricã şi sã se aplice transformarea
integrală inversă soluţiei obţinute. Cele mai directe aplicaţii în studiul
ecuaţiilor diferenţiale îl are transformata Laplace.

6.1. Transformata Laplace

Transformata Laplace este un operator între douã spaţii de funcţii,
operator care transformã derivarea şi integrarea în operaţii algebrice.
Notãm FR = { f : R → R} .
Defini ie: Func ia f ∈ FR este un original dacã satisface condi iile

urmãtoare:

a) f (t ) = 0 pentru orice t < 0

b) f e derivabilã pe por iuni

c) existã M > 0 şi s > 0 astfel încât | f (t ) |< M ⋅ est pentru orice

t >0.

{ }Numãrul pozitiv s0 = min s | | f (t ) |< M ⋅ est , ∀t > 0 se numeşte
indice de creştere (sau abscisã de convergen ã).

Mul imea func iilor original se noteazã OR .

Exemple: Urmãtoarele funcţii sunt funcţii original:

a) f (t ) = ⎪⎨⎧⎪⎩0ekt , t≥0 ( M = 1, s0 = k )
, t<0

74

b) σ (t) = ⎩⎨⎪⎪⎧110/ 2 ,t>0 ( M = 1 , s0 = 0 )
, t=0
,t<0

Aceastã funcţie se numeşte “treapta lui Heaviside”.

c) Dacã funcţia f satisface condiţiile b) şi c) din definiţia precedentã

atunci φ (t ) = σ (t ) ⋅ f (t ) este un original.

Defini ie : Aplica ia definitã de

∫(Lf )( p) = ∞ f (t )e− ptdt
0

se numeşte transformata Laplace.
Func ia Lf : (s0 ,∞) → R este imaginea lui f prin transformata
Laplace.

Prin calcul direct se pot obţine transformatele Laplace pentru multe
funcţii elementare.

Exemple : Sã se calculeze transformatele Laplace ale funcţiilor

1) f (t ) = σ (t ) ⋅ ekt .
∞ ∞
( ) ∫ ∫(Lf )p= 0 ekt ⋅ e− pt dt = 0 e(k − p)t dt = 1 e( k − p)t t =∞ = 1 .
− t =0 p−k
k p

2) f (t ) = σ (t )sin t

∞ ∞

e − pt −
∫ ∫(Lf
)(p) = sin tdt = −e − pt cos t |t =∞ pe − pt cos tdt =

t =0

00

∫= 1− p⎛⎜⎜⎝ e− pt sin t |t=∞ ∞ pe − pt sin tdt ⎠⎞⎟⎟.

t=0 +

0

75

Rezultã ( Lf )( p) = 1
p2 +1 .

Principalele proprietãţti ale transformatei Laplace sunt listate în tabelul

urmãtor.

Numele Formula

proprietã ii

Defini ie ∞

∫Lf ( p) = f (t )e− ptdt0

Teorema L ( f (λt )) ( p) = 1 ( Lf ) ⎛⎜⎝ p ⎠⎞⎟
omotetiei λ λ

Derivarea (Lf ')( p) = p ⋅ ( Lf )( p) − f (0)
originalului ( Lf '')( p) = p2 ⋅ ( Lf )( p) − p ⋅ f (0) − f '(0)

..................................

( )Lf (n) ( p) = pn ( Lf )( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f '(0) − ... − f (n−1) (0)
∞
Derivarea ∫( Lf )(n) = f (t )e− ptdt
imaginii (−t )n

Integrarea 0
originalului
∫⎜⎝⎛⎜ L t f (τ ) dτ ⎞⎟⎠⎟ = ( Lf )( p)
Integrarea 0
imaginii p

∫∞ ) ( q ) dq = ⎛⎜⎜⎝ L⎛⎝⎜⎜ f (t ) ⎞⎠⎟⎟ ⎞⎟⎠⎟ ( p)

( Lf t

p

∫ ∫pentru p = 0 ∞ f (t) dt = ∞ (Lf )(q)dq
t
00

76

Teorema ( )L e p0t f (t ) ( p) = ( Lf )( p − p0 )
transla iei
Teorema L( f (t −τ ))( p) = e− pt (Lf )( p)
întârzierii
L ⎜⎜⎛⎝ t f (τ ) g (t −τ ) dt ⎠⎟⎞⎟ ( p ) = ( Lf ) ( p ) ⋅ ( Lg )( p)
Imaginea
produsului de ∫

convolu ie 0

Folosind formulele din tabelul de mai sus (toate formulele se
demonstreazã prin calcul direct) se pot calcula transformatele Laplace
ale multor funcţii elementare.

Exemple : Gãsiţi imaginile urmãtoarelor funcţii original :

1. f (t ) = σ (t ) ⋅ sin(λt)

Se foloseşte teorema de omotetie şi rezultã
λ
( Lf )( p) = 1 ⋅ ( p2 1 + 1) = p2 + λ2 .
λ /λ2
2. f (t ) = σ (t )sin2 t

Se foloseşte derivarea originalului. Din

f '(t ) = σ (t )2sin t cost = σ (t )sin (2t ) şi

( Lf ')( p) = p(Lf )( p) − f (0) rezultã ( Lf )( p) = 2 .
p2 + 4
( )p
3. g (t ) = t2et
Se foloseşte derivarea imaginii pentru f (t ) = et şi n = 2 . Rezultã

( ( ))L (− t)2et(p) = (Lf )' ' ( p ) = ⎜⎝⎜⎛ p 1 1 ⎞⎠⎟⎟'' = (p 2 .
−
−1)3

4. h(t ) = sin t

t

77

Se foloseşte integrarea imaginii :

sin∫ ∫L⎜⎝⎛t⎞⎠⎟(p) = ∞ (Lf )(q)dq = ∞ 1 dq = arctg (q) q=∞ =π / 2 − arctg(p) .
t p p q2 +1 q= p

Imaginile celor mai importante funcţii elementare sunt conţinute în

tabelul urmãtor :

Originalul Imaginea
1
1
tn , n∈N
tn ⋅ eλt p

eλt n!
sin ωt pn+1
cosωt
n!
sh(ωt ) = eωt − e−ωt
( p − λ )n+1
2
1
ch(ωt) = eωt + e−ωt p−λ

2 ω
eλt sinωt p2 + ω2

eλt cosωt p
p2 + ω2

ω
p2 −ω2

p
p2 −ω2

ω

( p − λ )2 + ω2

p−λ

( p − λ )2 + ω2

78

t sinωt 2 pω
t cosωt
( )p2 + ω 2 2
sin (t −τ ) p2 −ω2
cos(t −τ )
( )p2 + ω2 2
ln t e− pτ

p2 +1

pe− pτ
p2 +1

1 ⎜⎝⎛ ln 1 −γ ⎞⎠⎟ cu γ ≈ 0.57722
p p

6.2. Inversa transformatei Laplace

Prin transformata Laplace L definitã pe OR se calculeazã
imaginile funcţiilor original f ∈OR . Prin transformata Laplace inversã
L−1 se regãseşte funcţia original care corespunde unei imagini date.

Principalele cazuri în care funcţia original poate fi determinatã

analitic sunt prezentate în cele ce urmeazã.

1. Dacã F( p) = Q( p) este o frac ie ra ionalã atunci ea se
R( p)

descompune în frac ii simple şi se gãseşte originalul
fiecãrei frac ii folosind tabelul anterior.

Exemple : Sã se determine originalul urmãtoarelor funcţii

79

1

p( p −1)
( )a) F ( p) = p2 +4

1 = − 1 1 + 1 1 + 1 p − 1 1
4 p 5 p −1 20 p2 + 4 5 p2 + 4
p(p −1) p2 + 4
( )Se observã cã .

Originalul lui 1 este 1 ( în tabelul transformatelor Laplace pe coloana
p

din stânga corespunzãtoare lui 1/ p este scrisã funcţia "1" , originalul lui

1 eate et , originalul lui p este cos 2t iar originalul lui 1
p −1 p2 + 4 p2 + 4

este 1 sin 2t .
2

Rezultã cã originalul lui F ( p) este

f (t ) = − 1 ⋅1+ 1 et + 1 cos 2t − 1 sin 2t .
4 5 20 10

( )b) F ( p) = 1
p2 +1 2

Se observã cã F( p) = p 1 1 ⋅ 1 este imaginea unui produs de
2+ p2 +1

convoluţie, adicã

∫F ( p) =p1 1 ⋅ 1 1 = L ⎝⎜⎜⎛ t sinτ ⋅ sin (t −τ )dτ ⎟⎞⎠⎟( p) = (Lf )( p).
2+ p2 + 0

Rezultã cã

∫ ∫f (t ) = t sinτ ⋅ sin (t −τ ) dτ = t cos(t − 2τ ) − cost dτ = 1 t cost − 1 sin t .
2 22
00

80

F ( p) = ( p − p1 )n1 ⋅ Q( p)
p − p2 n2 ⋅...⋅ ( p − pk )nk
( )2. Dacã este o

frac ie în care n1, n2 ,..., nk ≥ 2 atunci descompunerea în

frac ii simple este dificilã şi se poate folosi direct formula

∑ ( )f(t) k 1 (ni −1)
= i =1 ⋅ lim F ( p) ⋅ e pt ⋅ ( p − pi )ni
( ni − 1)!
p→ p1

unde exponentul (ni −1) aratã cã expresia din parantezã se
deriveazã de (ni −1) ori în raport cu p .

( )Exemplu : Sã se determine originalul lui F ( p) = p
p2 −1 2

Deoarece F ( p) = ( 1 + 1)2 se foloseşte formula anterioarã

p −1)2 ( p

pentru p1 = 1, p2 = −1, n1 = n2 = 2 .
Deci

f (t ) = (2 1 lpi→m1⎛⎝⎜⎜ ( 1 e pt ⎟⎞⎟⎠' + 1 pl→im−1⎝⎜⎜⎛ (p 1 e pt ⎟⎞⎠⎟'
−1)!
−1)! p + 1)2 (2 −1)2

= lpi→m1⎜⎝⎜⎛ e pt ⎜⎜⎛⎝ (p t − 2 (p 1 ⎟⎟⎞⎠ ⎠⎞⎟⎟ + pl→im−1⎝⎜⎛⎜ e pt ⎝⎜⎜⎛ (p t − 2 (p 1 ⎟⎞⎠⎟ ⎞⎟⎟⎠

+ 1)2 + 1)3 − 1)2 −1)3
= t ⋅ ch(t) + sh(t)
( ) ( )=⎛⎜⎝ t 2 ⎠⎟⎞ ⎜⎝⎛ t 2 ⎞⎟⎠ t +1
et 4 − 8 + e−t 4 + 8 = 4 et + e−t 4 et + e−t 22

3.Dacã func ia F ( p) con ine factorul e−λ p se foloseşte

teorema întârzierii.

Exemplu : Sã se determine originalul funcţiei F( p) = 2e− p .
p2

81

( )Deoarece 2!
F ( p) = e−p p2 = e− p (Lt2 )( p) = L(t −1)2 ( p) , ceea ce s-a

obţinut aplicând teorema întârzierii pentru τ = 1 şi t = t2 , rezultã cã

f (t ) = (t −1)2 ⋅σ (t −1) . Inmulţirea cu σ (t −1) este necesarã pentru ca

f sã fie o funcţie original.

6.3. Calcul opera ional

Calculul operaţional, numit şi calcul simbolic, a fost introdus la
sfârşitul secolului XIX de fizicianul englez O. Heaviside. Acesta a pus în
evidenţã (fãrã nici o justificare matematicã) faptul cã este posibilã
rezolvarea rapidã a unor ecuaţii folosind un operator simbolic, evitând
astfel calcule lungi ce apar în rezolvarea clasicã. Aceastã metodã se
justificã parţial folosinf Transformata Laplace care transformã derivarea
în înmulţire cu variabila p şi integrarea în împãrţire la aceeaşi variabilã.

Pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuaţii (E) folosind
transformata Laplace se parcurg urmãtoarele etape :
a) Se formeazã ecua ia opera ionalã (EO) prin aplicarea
transformatei Laplace celor doi membri ai ecua iei.
Ecuaţie operaţionalã este o ecuaţie algebricã de gradul I având drept
necunoscutã imaginea (prin transformata Laplace) a necunoscutei
ecuaţiei.
b) Se rezolvã ecua ia opera ionalã
Soluţia (unicã) a ecuaţiei este imaginea necunoscutei din ecuaţia iniţialã
c) Se determinã originalul func iei solu ie de la b). Acesta reprezintã
solu ia ecua iei ini iale.

Principalele aplicaţii ale calcului operaţional sunt :
- calculul inegralelor improprii
- rezolvare ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
- rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi

constanţi

82

- rezolvarea unor ecuaţii integrale
- rezolvarea unor ecuaţii integro-diferenţiale
- rezolvarea ecuaţiilor cu argument întârziat
- rezolvarea unor ecuaţii cu derivate partiale

6.3.1 Rezolvarea ecua iilor liniare cu coeficien i constan i şi a
problemelor Cauchy ataşate

Problema Cauchy având necunoscuta y = y (t ) are forma
⎧⎩⎨⎪⎪ayn(y0()n ) + an−1 y(n−1)
+ ... + a0 y = f (t) (E).
= y00 , y '(0) =01, ..., y(n 0) =
−1) ( y0 n −1

Aplicând transformata Laplace ecuaţiei (E) se obţine ecuaţia

operaţionalã
an (Ly(n) )( p) + an−1(Ly(n−1) )( p) + ... + a0 (Ly)( p) = (Lf )( p) .
Se noteazã ( Ly)( p) = Y ( p) , se foloseşte teorema de derivare a

( )originalului şi se obţine ecuaţia operaţionalã

an pnY ( p) + pn−1y (0) + ...y(n−1) (0) + ... + a1 ( pY ( p) − y (0)) + a0Y ( p) = F ( p)
(EO).

Se aplicã apoi algoritmul de rezolvare prezentat anterior.
Metoda se poate folosi şi pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei

diferenţiale. In acest caz valorile y (0), y '(0). ..., y(n−1) (0) reprezintã

cele n constante ce apar în soluţia generalã.

Exemple : 1. Sã se determine soluţia generalã a ecuaţiei
y''−3y'+2 y = e−t .

a) Ecuaţia operaţionalã este

( )p2 Y ( p)− py (0) − y'(0) + 3y(0) = 1
−3p +2 p+ 1 .

b) Soluţia ecuaţiei operaţionale este

83

Y ( p) = (p − 1)( p 1 2)( p − 3) + y(0) (p p − 2) +
−
− 1)( p

+ ( y' (0) + 3 y(0)) ( p − 1 p − 2)

1)(
Dupã descompunerea în fracţii simple rezultã

Y (p) = ⎛⎝⎜ − 1 + 2 y(0)+ y ' (0)⎟⎠⎞ 1 + 1 1 1 + ⎝⎜⎛ 1 + 5y(0)+ 3y'(0)⎟⎠⎞ 1 =
2 p −1 6 p+ 3 p−2

= C1 1 1 + C2 p 1 2 + 1 1 .
p− − 6 p+ 1

c) Originalul lui Y ( p) este y (t ) = C1et + C2e2t + 1 e−t . Aceasta este
6

soluţia generalã a ecuaţiei liniare.
In aceastã situaţie aplicarea transformatei Laplace pentru rezolvarea
ecuaţiei nu uşureazã calculele. Aplicarea ei este justificatã mai ales în

rezolvarea problemelor Cauchy.

2. Sã se rezolve problema Cauchy ⎪⎩⎨⎧⎪ y ''+ y = 2 cos t = 1
y
(0) = 0, y '(0)

a) Ecuaţia operaţionalã este p2Y ( p) − py (0) − y '(0) + Y ( p) = 2p
p2 +1 .

( )b) Soluţia ecuaţiei operaţionale este Y ( p) = 2p 2 + p 1 1 .
p2 +1 2+

Pentru a nu efectua operaţii aritmetice inutile este recomandabil sã nu se
aducã fracţiile la acelaşi numitor.

c) Originalul clui Y ( p) este y (t ) = σ (t )(t sin t + sin t ) .
Soluţia problemei Cauchy este y (t ) = (t +1)sin t .

84

6.3.2. Rezolvarea sistemelor de ecua ii diferen iale liniare cu
coeficien i constan i

Pentru a rezolva astfel de sisteme se obţine sistemul de ecuaţii

operaţionale aplicând transformata Laplace tuturor ecuaţiilor sistemului.

Soluţiile sistemului sunt imaginile funcţiilor necunoscute ale

sistemului iniţial. Prin aplicarea transformatei Laplace inversã se obţin

soluţiile cãutate.

Exemplu : Sã se rezolve problema Cauchy

⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪ xxx ''+ x + y ''− y ' = et = 0, x '(0) .
'+ 2x − y '+ y = e−t =1

(0) = y(0) = y '(0)

Sistemul operaţional este

⎪⎪⎨⎪⎩⎧⎪ p2 X ( p) −1+ pX ( p) + p2Y ( p) − Y ( p) = 1 . El este un sistem de
p)+ 2X ( p) pY ( p)+Y ( p) = p −1
pX ( − 1
p +1
ecuaţii liniare cu necunoscutele X ( p) şi Y ( p) .

⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪YX((pp))==381 1 + 3 ( p 1 − 1 1
p −1 4 8
+ 1)2 p +1
( )Soluţia .
sistemului este 3p
p2 −1 2

Soluţia sistemului este ⎧⎩⎪⎨⎪⎪⎪xy((tt)) = 1 ⋅ sht + 3 te−t .
= 4 4
3 t ⋅ sht
4

Calculul operaţional este folosit de majoritatea soft-urilor pentru

rezolvarea problemelor Cauchy liniare cu coeficienţi constanţi .

85

6.3 Exerci ii propuse :

Aplicând metodele calcului operaţional sã se rezolve urmãtoarele

probleme Cauchy : ( )R : y (t ) = 1 cos 2t 5
2
1. y''+20y = 0, y(0) = 0.5, y'(0) = 0
2. x '+ x = e−t , x (0) = 1 R : x(t ) = (t +1)e−t
3. x '− x = 1, x(0) = −1 R : x(t ) = −1
4. x '+ 2x = sin t, x(0) = 0
5. x '' = 1, x(0) = 0, x '(0) = 1 ( )R : x(t ) = 1 e−2t − cost + 2sin t
6. x ''+ x ' = 1, x(0) = 0, x '(0) = 1 5

R : x(t) = t + 1 t2

2

R : x(t) = t
7. x ''+ 3x ' = et , x (0) = 0, x '(0) = −1 R : x (t ) = 1 et + 5 e−3t − 2
4 12 3
R : x(t ) = t − sin t
8. ⎨⎧⎩xx(''0'+) =x' =1 = x' ' (0) =
0
x' (0)

9. ⎩⎨⎧xx'('0'+) =x' =t (0) = −1, x"(0) = R: x (t ) = 1 t2 −1 + cost − sin t
0, x'
0 2

10. ⎩⎨⎧ x' ' '− x' '= sin t x' ' (0) = 0 R:

x(0) = x'(0) = x(t) = 1 et − t −1− 1 sin t − 1 cos t

2 22

( )11. x ''− 2x ' = e2t , x(0) = x '(0) = 0 R : x(t ) = 1 1− e2t + 2te3t
4

86

⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩ x'''+x''= sin t

12. x(0) = −1 R:
x'(0) = 2
x''(0) = 0 x (t ) = 3 e−t sin 2t − 4 e−t cos 2t − 1
55 5

13. ⎪⎩⎪⎨⎧xxx(''''0('+0) =x) '='x='0(s0i)n=t 1 ( )R : x(t ) = 2t + 1 e−t + cost − sin t
2

14. R : x(t) = 1 (t sin t − cost + sin t )
2
x ''+ x = cost, x(0) = −1, x '(0) = 1
R : x (t ) = t2 − 4t + 6 − 5e−t − te−t
15. x(0) = 1, x'(0) = 0
x ''+ 2x '+ x = t2 ,

87

CAPITOLUL 7

Aplica ii ale ecua ilor diferen iale de ordin superior si ale

sistemelor de ecua ii diferen iale

7.1 Oscila ii armonice

7.1.a. Oscila ii neamortizate (ecua ie liniar )

Ecuaţia oscilaţiilor neamortizate este

x''(t)+ ω02 ⋅ x(t) = a ⋅ sin ωt.

Ea este o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul II cu coeficienţi

constanţi. Ecuaţia caracteristicǎ ataşatǎ este r2 + ω02 = 0 şi are soluţiile
r1 = ω0 ⋅ i , respectiv r2 = −ω0 ⋅ i .

Soluţia generalǎ a ecuxagţ(ite)i omogene este
= C1 cosω0t + C2
sin ω0t .

Pentru a gǎsi o soluţie particularǎ se disting douǎ cazuri :
ω0 ≠ ω
- dacǎ A cos ωt + o soluţie particularǎ are forma
sin ωt .
x(t) = B
In aceastǎ situaţie x'(t) = − Aω sin ωt + Bω cosωt şi
( ) ( )x''(t) = −Aω2 cosωt − Bω2 sin ωt . Introducând în ecuaţie obţinem

ω02 − ω 2 Acosωt + ω02 − ω 2 B sin ωt = a sin ωt şi, din identificarea
a
coeficienţilor rezultǎ A = 0 şi B = ω02 − ω 2 . Soluţia particularǎ este

deci

xp (t ) = ω02 a ω2 sin ωt .
−

Soluţia generalǎ a ecuaţiei va fi

x(t ) = C1 cosω0t + C2 sin ω0t + ω02 a ω2 sin ωt .
−

88

- dacǎ (ωA0t = ω soluţia particularǎ se cautǎ sub forma
Din calcule similare celor
xp (t) = + B)sin ω0t + (Ct + D)cosω0t .

precedente rezultǎ x p (t ) = − a t cos ω0t şi soluţia generalǎ este
2ω0

x(t ) = (C1 − a t) ⋅ cos ω0t + C2 sin ω0t .
2ω0

In acest caz amplitudinea mişcǎrii devine considerabilǎ, ceea ce permite

obţinerea unor efecte enorme folosind un termen perturbator mic

(valoarea lui a este micǎ).

Acest efect este important (de exemplu) pentru obţinerea unor tensiuni

ridicate necesare amplificǎrii unor semnale radio.

7.1.b. Oscila ii amortizate

Dacǎ se ţine cont de amortizarea oscilaţiilor se obţine ecuaţia

x''(t)+ 2α ⋅ x'(t)+ Ω2 ⋅ x(t) = a ⋅sin ωt .

Ecuaţia carateristicǎ asociatǎ, r2 + 2αr + Ω2 = 0 , are soluţiile

r1.2 = −α ± α 2 − ω 2

- dacǎ α 2 > Ω2 soluţia generalǎ este

( )xg t = C1e⎛⎝⎜ −α + α 2 −Ω2 ⎞⎠⎟t + C2e⎛⎜⎝ −α − α 2 −Ω2 ⎞⎠⎟t
- dacǎ α 2 = Ω2 soluţia generalǎ este xg (t ) = (C1t + C2 )e−αt

- dacǎ α 2 < Ω2 soluţia generalǎ este

xg (t ) = e−αt ⎜⎝⎛C1 cos⎛⎝⎜t Ω2 − α 2 ⎞⎟⎠ + C2 sin⎛⎝⎜t Ω2 − α 2 ⎠⎟⎞⎞⎟⎠ .)
α >0 (t =
Condiţia aratǎ cǎ lim xg 0 adicǎ, în absenţa unui termen

t →∞

perturbator, mişcarea este amortizatǎ .

Deoarece ecuaţia caracteristicǎ pn(ut ) are rǎdǎcini pur imaginare, soluţia
particularǎ se cautǎ sub forma x =A sin ωt + B cos ωt .

89

Inlocuind x'(t) = Aω cosωt − Bω sin ωt şi

x''(t) = − Aω2 sin ωt − Bω2 cosωt în ecuaţia iniţialǎ obţinem, prin

coeficienţilor, ecuaţiile ⎪⎩⎪⎨⎧(2Ωαω2 −Aω+ 2)A − 2αωB = a
( )identificarea Ω2 − ω2 B = 0 din care

rezultǎ 2αω
Ω2 − ω 2 2 + 4α 2ω 2
Ω2 −ω2 B = −a
Ω2 − ω 2 2 + 4α 2ω 2
( ) ( )A = a şi .

In acest caz soluţia particularǎ este

Ω2 −ω2 2αω
Ω2 −ω2 2 + 4α 2ω 2 − ω 2 2 + 4α 2ω 2
( ) ( )xp(t) = a
cosωt − a Ω2 sin ωt

Ca de obicei, soluţia generalǎ a ecuaţiei este x(t) = xg (t)+ xp (t) .

Exemplu: Sǎ se resolve ecuaţia x"+4x'+9x = 3sin 2t.
In acest caz α = 2 , Ω = 3 , ω = 2 .

Ecuaţia caracteristicǎ r2 + 4r + 9 = 0 are soluţiile r1,2 = −2 ± i 5 , deci

soluţia generalǎ a ecuaţiei omogene este

( )x g (t ) = e −2 t C 1 cos 5t + C 2 sin 5 t .

Soluţia particularǎ este x p (t ) = 15 sin 2t − 24 cos 2t . Ea se mai poate
89 89

scrie sub forma xp (t) = 3 sin(2t −φ ), unde tgφ = 8 . Ea are perioada

89 5

principalǎ T = 2π = 2π =π care este consideratǎ perioada de
ω 2

oscilaţie.

Sǎ observǎm însǎ cǎ soluţia generalǎ
( )x(t) = e−2t C1 cos
5t + C2 sin 5t + 3 (5sin 2t − 8cos 2t)

89

Nu este o funcţie periodicǎ.

90

7.2. Mişcarea unui pendul (ecua ie liniar )
S se descrie mişcarea unui pendul legat de punctul O printr-un
fir de lungime l, dac acest pendul este deviat de la verticala
locului cu unghiul la centru θ0 şi viteza sa ini iala este v0 .

O

θ

TM

A

θ

P

Figura 3. Pendulul matematic

Se considerǎ ca variabilǎ independentǎ unghiul dintre verticala locului

şi =fixru(θl )OrMepr(epzeinntdǎulaurlcusle aflǎ în punctul M ). Funcţia necunoscutǎ
x OM. Asupra corpului aflat în M acţioneazǎ

greutatea G = mg dirijatǎ pe verticalǎ în jos şi tensiunea în fir dirijatǎ

de-a lungul firului spre punctul O. Forţa rezultantǎ este

F = −mg sinθ ⋅ t + (T − mg cosθ )⋅ n , unde t, n reprezintǎ vectorul

tangent, respectiv normal, la traiectorie.

Proiectând legea fundamentalǎ F = m ⋅ a de-a lungul tangentei la
traiectorie şi tinând cont cǎ acceleraţia este a doua derivatǎ a spaţiului,
obţinem ecuaţia

91

x''(θ ) = −g sinθ .
Dacǎ θ < 10o atunci se poate face aproximaţia sinθ ≈ θ = x(θ )/ l şi

ecuaţia devine x''= −g ⋅ x / l

Aceasta poate fi consideratǎ o oscilaţie neamortizatǎ dacǎ vom

considera ω0 = g / l . Soluţia sa generalǎ (vezi paragraful 1 sect 1a.)

este x(t) = C1 cos⎝⎛⎜⎜ g ⋅ t ⎟⎠⎟⎞ + C2 sin⎝⎜⎜⎛ g ⋅t ⎞⎠⎟⎟ . Ea se mai poate scrie
l l

x(t) = C12 + C22 ⎛⎝⎜⎜sinφ ⋅ cos⎝⎛⎜⎜ g ⋅t ⎟⎟⎠⎞ + cosφ ⋅ sin⎝⎜⎜⎛ g ⋅t ⎟⎞⎟⎠⎟⎞⎠⎟ = M sin⎜⎛⎜⎝ g ⋅t + φ ⎠⎟⎟⎞
l l l

,

unde φ ∈ (− π ,π ) este unghiul ce are cosφ = C2 şi
C12 + C22

sinφ = C1 iar M = C12 + C22 .
C12 + C22

Aceasta este cea mai simplǎ mişcare periodicǎ, numitǎ şi mişcare

armonicǎ.

Perioada mişcǎrii este T = 2π / ω0 = 2π ⎝⎛⎜⎜ l ⎟⎞⎟⎠ , care este independentǎ
g

de masa pendulului.

Constantele mişcǎrii ( C1 , Cx2' (0s)a=u M ,φ ) se determinǎ din condiţiile
/180 v0 .
iniţiale x(0) = π ⋅l ⋅θ0 ,

7.3. Calculul perioadei unui circuit oscilant (ecua ie liniar ) L)
Un circuit oscilant este format dintr-o bobin (de inductan
legat de un condensator de capacitate C . Codensatorul,
înc rcat în prealabil, se descarc în bobin .

92

-Via(tr)iaibnitleanisnidtaetpeeancduernetnǎtuelsutei timpul t. Se noteazǎ
la momentul t
- q(t) sarcina electricǎ a condensatorului la momentul t
- v(t) = q(t)/ C diferenţa de potenţial la bornele condensatorului la

momentul t.

Feo=rţ−aLel⋅eic'(ttr)omiaor tloeagreeadluatioKraitrǎchvoafrfiaaţriaetiǎdceǎfliu(tx)î=n(bvo(tb)i+nǎe(ets))te/ R .
Inlocuind toate aceste expresii in funcţie de q(t) obţinem ecuaţia

q' ' (t ) + R ⋅ q' (t ) + 1 q(t ) = 0
L L⋅C

Ceea ce reprezintǎ un oscillator amortizat fǎrǎ termen perturbator

(paragraful 1, secţiunea 1b.), considerând α= R şi Ω2 = 1 .
2L L⋅C

Reluând rezultatele prezentate acolo obţinem:

- dacǎ R > 2 L (adicǎα 2 > Ω2 ) atunci soluţia generalǎ este
C

( )q t = A ⋅ e⎛⎝⎜ α 2 −Ω2 −α ⎟⎠⎞t + Be⎛⎝⎜ − .α 2 −Ω2 −α ⎞⎠⎟t q(0) = q0

Constantele A şi B se determinǎ din condiţiile iniţiale şi

i(0) = 0

Din sistemul ⎪⎧⎪⎨⎩ A+ B = q0 −α ⎟⎞⎠ − B⎛⎜⎝ ⎜⎝⎛ α 2 − Ω2 + α ⎠⎟⎞⎟⎞⎠ = 0 rezultǎ
A⎜⎝⎛ α 2 − Ω2

A = q0 ⋅ α 2 − Ω2 + α şi B = q0 α 2 − Ω2 − α .
2 α 2 − Ω2 2 α 2 − Ω2

şSiǎdreecmi alrimcǎmq(tc)ǎ=p0u.terile ce apar la exponenţi sunt amândouǎ negative
t →∞

93

- dacǎ R = 2 ⋅ L (adicǎα 2 = Ω2 ) atunci soluţia generalǎ este
C

q(t) = (At + B)⋅ e−αt .

Coeficienţii A şi B sunt în acest caz A = −q0 şi B = q0 şi soluţia se

scrie

q(t) = q0 (t −1)⋅ e−αt .

- dacǎ R < 2 L (adicǎα 2 < Ω2 ) atunci soluţia generalǎ este
C

q(t) = e−αt ⎝⎛⎜ M cos⎝⎛⎜ Ω2 − α 2 ⋅ t ⎠⎞⎟ + N sin⎝⎛⎜ Ω2 −α 2 ⋅ t ⎠⎞⎟⎟⎠⎞ .
q0α
Din condiţiile iniţiale rezultǎ M = q0 şi N = ⎛⎝⎜ Ω2 −α ⎠⎞⎟ .

2

In problemele legate de circuite electrice este mai importantǎ

studierea funcţiilor i(t) şi v(t) decât cunoaşterea lui q(t), de aceea le

explicitǎm în acest ultim caz.

Se noteazǎ Ω2 − α 2 /α = tgφ , deci cosφ = α / Ω şi

sinφ = Ω2 − α 2 / Ω şi se obţine

v(t) = q0 ⋅ Ω e−αt ⋅ sin⎛⎝⎜ Ω2 −α2 ⋅t +φ ⎟⎞⎠
i(t) = C Ω2 −α 2 cos⎝⎛⎜ Ω2 −α2 ⋅t ⎠⎟⎞
.
q0Ω2 e−αt
Ω2 −α 2

Ea reprezintǎ o mişcare oscilantǎ amortizatǎ, neperiodicǎ, dar distanţa
între punctele de extrem este constantǎ, T = 2π . Aceasta
1 R2
LC − 4L2

formulǎ a fost obţinutǎ de William Thomson şi este cunoscutǎ sub

numele de “perioadǎ a circuitului oscilant”.

94

Un astfel de circuit este un generator de oscilaţii amortizate.

In situaţii concrete α 2 este mult mai mic decât Ω2 deci cosφ ≈ 0 şi
sinφ ≈ 1, ceea ce aratǎ cǎ φ ≈ π / 2 . In aceste condiţii se obţin

v(t) = q0 e−αt sin⎜⎝⎛ Ωt + π ⎞⎠⎟ = q0 e−αr cos Ωt .
C 2 2

i(t ) = q0Ωe−αt sin Ωt

In aceastǎ situaţie perioada circuitului este T = 2π LC .

7.4. Oscila ii ale unei coloane de lichid (ecua ie liniar )
Se consider un tub în forma de U, deschis la ambele capete, cu
sec iunea S con inând un lichid. Se provoac o denivelare a
lichidului fa de pozi ia de echilibru radicând nivelul s u într-o
arip a tubului cu x0 . S se descrie mişcarea lichidului.

Δx
Δx

Figura 4. Oscilatia unei coloane de lichid

xV=arxia(tb)il,acairnedempǎesnodaernǎtdǎifeesrteenţtaimdpeunlivteliadrinfturencpţoiaziţnieacduenoescchuiltiǎbreustşei

nivelul licidului mǎsuratǎ pe o aripǎ a tubului.
Se considerǎ cunoscute m = masa lichidului, S = secţiunea tubului, l =
lungimea tubului ocupatǎ de lichid, ρ = densitatea lichidului şi g =
acceleraţia gravitaţionalǎ.

95

Deoarece tubul poate fi asimilat cu unul cilindric se poate considera
cǎ m = ρ ⋅ l ⋅ S .

Lichidul se pune în mişcare pentru cdǎeasluicphraidluciuacîţnioǎnlţeiamzeǎafo2rţxa(td)e.
greutate corespunzǎtoare coloanei
Mǎrimea acestei forţe este F (t) = 2 ⋅ x(t)⋅ S ⋅ ρ ⋅ g . Scriind legea

fmun⋅ dxa' 'm(t e) n=ta−l2ǎ ⋅ x(t )⋅ a ⋅ dinamicii obţinem ecuaţia
⋅ρ adicǎ
S g ,

x''(t)+ 2g x(t) = 0.

l
Ea reprezintǎ un oscillator neamortizat (paragraful 1, secţiunea 1a.)

dacǎ notǎm ω02 = 2g .
l

Soluţia generalǎ este x(t) = x0 sin⎜⎜⎛⎝ 2g ⋅t + φ ⎞⎟⎠⎟ ceea ce aratǎ cǎ, în
l

cazul ideal (fǎrǎ amortizare datoratǎ frecǎrii) lichidul va avea o

mişcare oscilantǎ în jurul poziţiei de echilibru.

Dacǎ se ia în considerare şi frecarea se obţine o mişcare oscilantǎ

amortizatǎ asemǎnǎtoare celei din paragraful anterior.

7.5 Propagarea c ldurii într-o bar (ecua ie liniar )

Se consider o bar de lungime mare, teoretic infinit care este

încastrat cu o extremitate într-un mediu a caarui temperatur

este mai mare decât cea a mediului ambiant. S se descrie

distribu ia temperaturii de-a lungul barei atunci când este atins

regimul permanent, adic temperatura nu se modific în timp.

Variabila independentǎ este x, distanţa la punctul de fixare,

cTor=eTsp(uxn)z.ǎtor lui x=0. funcţia necunoscutǎ este temperatura

Cantitatea de cǎldurǎ ce traverseazǎ secţiunea S a barei ⋅(Saf⋅lTat'ǎ(xl)a.
distanţa x de punctul de fixare) într-o secundǎ este Q = −K

Coeficientul K mǎsoarǎ conductivitatea termicǎ a materialului şi

96

semnul “-“ aratǎ cǎ temperatura se micşoreazǎ atunci când ne

depǎrtǎm de punctul de fixare..
Δx
Pe distanţa T'' (x) se pierde o cantitate de cǎldurǎ
ΔQ −K ⋅ S ⋅ Δx .
= ⋅

Aceastǎ ⋅ pierdere poate fi calculatǎ şi folosind formula
ΔQ = −α Δx unde α este coeficientul de dispersie a
T(x)⋅ p ⋅

cǎldurii (care depinde de calitǎţile suprafeţei exerioare, de exemplu
porozitate, culoare) iar p este aria lateralǎ a barei de lungime Δx .
⋅dTo(uxǎ)⋅ obţinem ecuaţia
Egalând ⋅ 'c' (exle) = −α ⋅ expresii
− K ⋅ S ⋅ Δx T p Δx , adicǎ

T ''(x)− ω02 ⋅T (x) = 0
unde ω02 = p ⋅α /(K ⋅ S ). Soluţia generalǎ a ecuaţiei este
T (x) = A ⋅ eω0x + B ⋅ e−ω0x .
Deoarece condiţia lim T (x) = 0 este naturalǎ rezultǎ cǎ A = 0 . Din
x→∞
T (0) = T0 se
deduce

T (x) = T0 ⋅ e−ω0x

ceea ce aratǎ cǎ temperatura scade exponenţial în raport cu distanţa.

7.6 Ecua ii de mişcare (ecua ii liniare)
7.6.1. C derea corpurilor (mişcare rectilinie)
Miscarea rectilinie a unui corp de mas m asupra c ruia

ac ioneaz o for de atrac ie propor ional cu distan a x la un

punct fix O este descris de ecxu''a(t)ia= −g
unde x = x(t) reprezintǎ distanţa de la corp pâna la O, mǎsuratǎ la

mDaocmǎentnuoltdǎme timvp(tt). = x'(t) obţinem ecuaţia v'(t) = −g cu soluţia

v(t) = −gt + C1 şi din x'(t) = −gt + C1 rezultǎ x(t) = − 1 gt2 + C1t + C2 .

2

97

Dacǎ la momentul iniţial t = 0 corpul se afla la distanţa x0 faţǎ de
origine şi a fost lansat cu atunci legea de mişcare a
viteza v(0) = v0

corpului va fi

x(t ) = − 1 gt 2 + v0t + x0 .
2

7.6.2. Mişcarea unui corp într-un câmp de for e centrale (mişcare

plan )

S se descrie mişcare unui punct material într-un plan dac acesta

este atras de centrul O cu o for propor ional cu distan a la O.

Mişcarea începe dintr-un punct aflat la distan a a de centrul O şi

viteza ini ial , perpendicular pe raza OA, are m rimea v0 .

xV=arxia(tb)ilşaiinyd=epye(ntd) ecnatrǎeersetperetizminptuǎlctoioarrdfounnactţeiilleepnuenccutnuolusicumteatseurinatl la

momentul t.

Ecuaţia fundamentalǎ a dinamicii se scrie ⎪⎧⎩⎪⎨mm ⋅ x''= −k 2 ⋅ x .
⋅ y''= −k 2 ⋅ y

SAe(ac,o0n)s.iderǎ (pentru simplificarea calculelor) cǎ mişcarea începe din
Condiţiile iniţiale sunt deci ⎩⎧⎨xx'((00))==a0 y(0) = 0
y'(0) = v0 .

Soluţia generalǎ a sistemului de ecuaţii (independente una de cealaltǎ)

este

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ xy((tt)) == A⋅ cos⎛⎝⎜⎜ k t ⎟⎠⎟⎞ + B ⋅ sin⎝⎛⎜⎜ k t ⎟⎠⎞⎟
C ⋅ cos⎛⎜⎝⎜ m m t ⎠⎞⎟⎟
k .
⎞⎠⎟⎟ ⋅ sin⎜⎝⎛⎜ m
k t + D
m

Din condiţiile iniţiale rezultǎ A = a , B = 0, C = 0, D = v0 ⋅ m , deci
k

soluţia sistemului este

98

x(t) = a ⋅ cos⎜⎛⎜⎝ k t ⎞⎟⎠⎟ , y(t) = v0 ⋅ m ⋅ sin⎝⎜⎜⎛ k t ⎠⎞⎟⎟ .
m k m

Din eliminarea lui t între cele douǎ ecuaţii rezultǎ cǎ traiectoria

punctului are ecuaţia

x2 + k2 y2 =1
a2 m ⋅ v02

ceea ce aratǎ ca punctul se mişcǎ pe o elipsǎ

7.7 Determinarea coeficientului de frecare (ec neliniară)
Un punct material de mas m se mişc cu frecare pe un cerc
vertical. La momentul ini ial se afl la o extremitate a
diametrului orizontal şi are viteza ini ial v0 = 0 . El atinge cel

mai coborât punct de pe cerc cu o vitez egal cu 0. S se
determine coeficientul de frecare μ dintre punct şi cerc.

A

ϕ
Ff

G

B

Figura 5. Mişcare cu frecare

99

Vφ a=riφa(bti)lacairnedempǎesnodaernǎtǎunegshtieultilma pcuelntriuarfofrumnacţtiadenreaczuanovseccutotǎareesctue

raza vectoare iniţialǎ OA.

Considerǎm tC şi nC vectorii tangent, respective normal la cercul

(C). iar acceleraţia este

Viteza corpului este v(t) = r ⋅φ'(t)⋅tC
a(t) = r ⋅φ''(t)⋅ tC + r ⋅ v2(t)⋅ nC

Ecuaţia de mişcare, m ⋅ a = G + R + Ff , proiectatǎ dupǎ direcţia

normalei şi a tangentei la cerc aceasta conduce la sistemul

⎩⎪⎧⎪⎨GR cosφ − Ff = m⋅r ⋅φ'' deci ⎧⎩⎨m− m⋅ r⋅⋅rφ⋅'φ'='2 m ⋅ g ⋅ cosφ − μ ⋅R .
− G ⋅sinφ = −m ⋅ r ⋅φ'2 = m ⋅ g ⋅ sin φ − R

Eliminând R = m ⋅ g ⋅ sinφ + m ⋅ r ⋅φ'2 între cele douǎ ecuaţii obţinem

ecuaţia diferenţialǎ neliniarǎ de ordinul II incompletǎ (variabila
independentǎ nu apare explicit)

r ⋅φ''+μ ⋅φ'2 +μ ⋅ g sinφ − g ⋅ cosφ = 0 .

Se noteazǎ z = φ'2 şi , deoarece z'= 2 ⋅φ'⋅φ''= z'(φ')⋅φ' , se obţine

φ''= 1 z' . Ecuaţia de ordinal II devine
2

r ⋅ z'+μ ⋅ r ⋅ z = g ⋅ (cosφ − μ ⋅ sinφ )

2

care este o ecuaţie liniarǎ de ordinul I.
Ecuaţia omogenǎ ataşatǎ, z'= −2 ⋅ μ ⋅ z are soluţia generalǎ

z = C ⋅ e−2⋅μ⋅φ . variaţiei obţinem

Aplicând metoda constantei

C'(φ ) = 2 ⋅ g ⋅ e2⋅μ⋅φ (cosφ − μ ⋅sinφ ) şi, prin integrare directǎ

r

100

rezultǎ C (φ ) = 2⋅g e 2 μφ 3μ ⋅ cosφ + (1− 2 ⋅ μ 2 ) ⋅ sinφ + K , ceea ce
r 1+ 4⋅μ2

aratǎ cǎ ecuaţia liniarǎ are soluţia

z(φ ) = 2g 3μ ⋅ cosφ + (1− 2 ⋅ μ 2 ) ⋅ sinφ + K ⋅ e−2μφ .
r 1+ 4⋅μ2

Aceastǎ ecuaţie nu poate fi rezolvatǎ analitic dar acest lucru nici nu

este necesar deoarece, din condiţiile iniţiale v(0) = 0, v⎛⎜⎝ π ⎟⎞⎠ = 0 ,
2

adicǎ z(0) = 0, z⎝⎛⎜ π ⎟⎞⎠ = 0
2

⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧ 2⋅g ⋅ 1 3⋅ μ 2 + K =0
r +4 ⋅μ + K ⋅ e−μ⋅π
( )rezultǎ adicǎ
2⋅g 1− 2μ2
r ⋅ 1+ 4⋅μ2 = 0

1− 2 ⋅ μ 2 − 3⋅ μ ⋅ e−μ⋅π = 0
Nici aceastǎ ecuaţie iraţionalǎ cu necunoscuta μ nu poate fi rezolvatǎ

analitic dar soluţia ei, aproximatǎ numeric cu o eroare de 0.01 este
μ = 0.62 .

7.8. Determinarea ecua iei unei curbe (ecua ie neliniară)

S se determine curbele plane care au raza de curbur constant
R > 0.
Ecuaţia curbei cǎutate va fi y = y(x) . Raza de curburǎ este definitǎ
( )de ρ = 1− (y')2 3/ 2 , deci ecuaţia problemei este
y''
( )1− (y')2 3/ 2 = R ⋅ y'' .

101

Aceastǎ ecuaţie neliniarǎ incompletǎ se transformǎ într-un sistem de

( )ecuaţii de ordinul I ⎪⎧⎩⎪⎨Ry'⋅=uu'= 1+ u2 3/ 2 .
Din ultima ecuaţie a sistemului rezultǎ, prin integrare directǎ
u = x−C x−C
u2 +1 R adicǎ u = ± . Inlocuind u în prima
R2 − (x − C)2

ecuaţie şi integrand obţinem y = − R2 − (x − C)2 + C1 , adicǎ
(y − C1)2 + (x − C )2 = R2 .

AAc(Cea,sCtǎ1 ) relaţie aratǎ ca doar cercurile de razǎ R (şi centru arbitrar
) au raza de curburǎ constantǎ, egalǎ cu R.

102