Mihoc, Gheorghe - Elemente de teoria probabilitatilor si statisticii

Acod. Gh. Mihoc N. Micu

Elemenle

de leoria
probabilit5lilor

slalislici

&'\\,
Monuol pentru
p€-bn
o n u I lV
q^-BP
liceu o'"io'l

Editurc didoctici li pedogogicd
Bucuregti, 1972

I Guprins m STmp de probabilitate finit

lry t-

Capitolul l. CiMP DB PI{OBABII]ITATE }TINIT J $ 1" Evenimente
$ l. Evenimente 11
1. Probo. Eveniment
g 2. Ptobabilitate 26
2S Si considerinr experierr!a aruncirii urrui z.ar. Estc, eviclent, v'orba
Probleme de o experietQd ateatiare'; adice o experienli a1 cirei reatltat vanazil
3l
Capitolul 2. ITORMULD ;il SCHIIIIE CLASICE DE PROBABILITATE 1a irrtimplare.
$ l. Irormule pentm calcularea unor probabilitifi 34 S[ not5"m cu {1} aparilia felei cu un singur punc!, cu {2} apari}ia
felei cu doui Puncte etc.
$ 2. Schcme clasice de probabilitate JO oblinem unul clin rezultatele
ln urma unei aruuciri
Probleme 42
49 (r) [u, {2J, {3}, {4}, {5}, 16}.
Capitolul 3. VARIABIITIi ALEATOARE. VALORI MEDII 53
$ l. Definilia variabilei aleatoare. $xemple Alte rezultate uu rnai sint posibile gi unul dintre ele se pr6duce
$2. Operalii cu variabile aleatoate 69 neapirat. Acestea silt l>robele experienlei'
$3. Valori rnedii 74 itt g"n"ru1 probi se nunre;te rezttltat:ul unes experienle aleatoare'
$4. Alte valori tipice ale variabilei aleatoate in iegiturd cu arullcarea zarului ne putem pune o serie de intre-
B1 biri ale ciror rispunsuri nu le putem cunoagte decit dupd aparigia
Probleme uneia dln probele (I). De pi1c15, ne putem intreba dacd vom obline
87 o fa!5 cu un nllmel
Capitoiul 4. EI,EM]iNTD DD STATISTICA }TATEMATICA 90 ( 4 Puncte etc.
97
$ 1. Nofiunile de bazi. ale statisticii matematice
$ 2. Reprezentatea graficd a seriilor statistice
$ 3. Elemente ca--acteristice ale unei serii statistice
$ 4. Distribufii teoretice 9i distribulii experimentale

Probleme

Indicafii gi rispunsuri

BibliograJie

Toate aceste situalii legate de experienla noastri 9i despre care
puten spune cu certitudine ci s-au prodtls sau nu, dupl efectuarea
experienlei, poarti numele de eaenint'ente"

pentru precizarea acestor noliuni si re1u6m experienla aruncSrii
untri zat 9i sd presupunem ci ne punem intrebarea dacS vom obline

Redoctor: EUGENIA PANTETIMON * CuTintul ,,aleator.. are sens de intiruplitbr gi provine de la latiuescul ulea' cate

Tehnored,octor : NAZARU PEf RE inseamnd, zar.

3

o rafb' cu un numir par de puncte. in acest chz, experienla este arun- cevveennimimeentnutluAllnuss--aatteeaahliizzaatt,.PDriombpeoletrcivadre,dtaeacl6izaeaazphd, reuvteprrriombean(t3ul,5A),insslnetamnicS

carea zarului, proba este rezultatul care se obfine.la sfirgitul experien- (2,6), (3.5). (4,4)" (5.3). (6,2).
!ei, iar evenimentul. care ne intereseazd este apar$ia unui num6r par 2. Fie (A\ gd (B) d,oud pelsoane. Ne |ntrebdm caye d,in aceste doud, persoane ua li
de puncte. Evenimentul se realizeazL, dach, se obline una d.in problle An tiald gi care mw, d,wpd' trecerea unui an'
Este vorba de o experienla aleatoare, deoarece nu putem gti cu certitudine, dac6
{2}, {4}, {6}, gi nu se realizeaz\, in caz contrat Existl deci, trei probe persoani va fi fur viafd sau nu peste un an'
o 56 not6m ca A faptd ca (e; este ln viaf6 peste un an 9i cu A, laptal ci nu este.
care realizeaz[ evenimentul gi acest eveniment este perfect determinat
La fel, notdm cu B qi cu B laptul ce (B) este, respectiv cd. nu este ln vialb peste
de cele trei probe.
Daci ln cadrul aceleiagi experienle ne interese azE apafilia. felei un an.

cu un punct, slntem in prezenla unui evenimept care poate fi reali- Atunci, Probele eTPerienlei slnt
zat de o singuri prob5, gi anume proba {l}.
lA; B), V, E\. 6, B\. (A, r1,
Evenimentul care poate fi realizat de o pro![ gi numai dg una se
lrnde am notat cu:
nume$te eaenirnent elernentar.
(1, B) faptul ch ctupd. trecefea u:rui an, ambele persoane sl:lt in viaf6;
Celelalte evenimente le numim corn/>use.

Alte exem ple 1A, E1 laptvl ci dupb u:1 a.n, (/) este in via{n 9i (A) nu;
(A, E) fapLul cb dup5. tn an, (A\ nu este in viaf6, iat (B) este;

1,1, E1 faptut cb clup6 un a.n ambele persoane nu mai sint ln viaf6'

l. sd cons'idevd,rn e*perienia oonstina dnn aluncureA unux zar de doud. oy,i. la stnd. Considerate la laceputrd experienfei, acestea slnt evenimentele elementare. Avem,
Rezultatui experienfei nu va mai putea ti reprezentat pdfltr-un numdr, ci printr-o eveninente. De exemplu, ne putem
pereche de numere, desigur, gi alte intreba daci peste un an cel

pugin una din persoanele (l) 5i (B) este in viafd. Nu putem cunoagte cu certitudine
ia inceputul experienlei, rdspunsul. Este vorba deci de un eveniment legat de experienfa.
Probele experienfei slnt
noasttd. Probele care xealizeazd acest eveniment sint (1, Br' (A' B), (A' B)'
(l.l) tr"zl (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) B. S.d, consideydm aa experienld, al,eatoare tra,gerea, cu un tun a cdrui bd'taie maxi,wt'll.
(2"1) (2,5)
(3,1) \(23..221) Q.3) t2.4i (s,s) (2,E .este a, I'unwl, fiind,:ttr, centrwl oxelor ile coovdonale, rezultatwl tragerii oste atingerea unui.
(4,1) (\45,,221) (r4s,,B3)) (s,4) (4,5) (3,6) pwnct (x, y) d,in Plan cu xz I Y" < e'.
' (5,1) (6,2) (5,8) 14,4' (5,5) (4.6) Sintem ln prezenfa unei expetienle aleatoare cu o infinitate tle probe qi deci de
(6,1) (6,s) (5,4) (6.s) (5.6)
(6,4) (6.6) evenimente elementare.
j) :unde prin (i, (i'" 4 1,2,3,4,5"6) am notat aparifia feJei cu i puncte la prima aruncare
Ifn eveniment al acestei experienfe este atingetea unui punct d.intr-o porfiune dat6

ln interiornl cercului x2 * Yz: a'.

gi a lefei cn / puncte la a doua aruncare.

Ele, considerate insinte de inceperea experienlei, slnt evenimente elemeatarg 2" Eveniment sigur. Eveniment imposibil
Dupd terninarea expedenfei, vorn avea unui gi numai unul din aceste rezultate.
Existi ntrlte evenimente regate de aceastd experien!6, c.a, Fiecirei experiente i se atageazd" do1J5" evenimente cu cafactef
teior apdrute sd fie B, ca num6rul de puncte de pe fala iegiti de exemplu, Quma puac, :special eae%irnentul, sigwr 9i eaenimentul' imposibil'.
la prima aruacare sd fie
ruai mare decit numbtul de puncte de pe fafa iegita la a doua arimca^re etc. Eaenirnentul sigur este un eveniment care se tealizeazd cu cefti;
Despre fiecare din acestea putem spune cu certitudine dacr s-a tealizat sau rru,
duBd efectuarea erperienfei, pdn cunoagterea probei tezultate din experienfi. tudine la fiecare, efectuare a experiCnlei.
SE considerdm astfel, evenimentul l, consfind h obfinetea numbrului g pria hsu- De exemplu, la artncarea unui zar, aparilta uneia din felele 1,2,
marea sun5rului de puncte realizate ln doua aruncari ale unui zar, si pres[punem
ci am efectuat experienla gi ne-a iegit proba (9, 6). Irtmctt g + 6 - 9, fuseamn{ c6 3,4,5,6 este evenimentul sigur al-experienfei' Scoaterea unei bile de

4 5

4. Evenimente compotibile.

Evenimente incompotibile .

- Este clar c5. evenimentul irnposibil constd in ner eaTizat ea evenimen- Evenimentele z4 gi B se numesc comfatibite dacd se pot. reaTrza
tului sigur, sau ci evenimentul sigur in nerealizarea everiimen- simultan, adic5 daci existi probe care realizeazS, atlt pe ,4 cit gi B.
consti
tului irnposibil. in caz contrar, evenimentele sint incompatibile.

bil Evenimentul sigur il vom nota cu litera F iar etrenjn1snlut La aruncarea unui zat, evenimenttll A constind din aparifia uneia
din tetele 1,2 sau 3 gi B, constind din aparilia uneia din felele 2,3
ct @. sau 5 sint compatibile, deoarece daci vom obline ca rc:";rtltat al expe-
rienlei apartlia fefei 3, lnseamnd. c[ s-au rcalizat arnbele evenirnente.
3. Evenimente controre Acelagi lucru se intimplS daci oblinem flala 2.

oaazBbBfzacebatiaatullurecserereenenliEivuenslnnasaenccelrrtiutiveoinueluia4tigncitcgimtdunuai,reoicnir5eeruzentcebdzd,i,lainhJaa46s4emul5d.tilzl4ivueen'zudgaeaalnsacanniirscclnetuoreu,eteiae;iexntnii,bfuzstue4vetreeiemucda'nnecluxcrerurghrs,ietvci'lsceeireeeavevBau,urvenlaaoii'gziie1civrmrrm,meae,'ni4eeuei2nrpnmeeanani',diaet8snnlez5ieid,privztdptieiuunniaue,fcsnbrinrltuareaninaitenlctdreeaiB-arimousciropendidenecnaael.deeaetecuulrt'rngrisrtfoiizareeiuliiaurtzinnreeearelae_iai.ordi.fr4sgeicafzez,b.iSpuuocx;n|elafi.un,iotnaBnarl'Befnludaznteecurifdega,uemliaisienmerraBicilBeuBinrelculd.tiian<,sina,liaellceusieuf,r,iuSeoibaneoevncb,l'ierroeeOLnlu's.reeinibutnet.eieribrrla_trmnSite.envliacr-iluevazdenee,pt2aeerrlnmr.niecarn,zaittd8^azi*aalm.cubdcriurnorra,oere"aeruneuarAnnarlanragbvirtte..r-caueiaad"/r1isncerr,laiuegiiun,.--iii Dac[ not6m cu C evenirnentul aparlfiei uneia din felele 4 sau 5,
.ccaoznERtcrveauemrneVairurncnsedanumttluCalcldActuo.iea'itv.nreanalicmuenesunt itcuealvzse, insgiimunrtengetvi iAtelevneflt,erivmroeemrlra'toufltiaiilmedpeo'rs@aibcLial zLsirn'4at
'A=='A; E:Q; b=n. otlservim ci evenimentele .4 gi C sint inconepatibile, iar evenimentele
i B$Csintcompatibile.

6 Evenimentele contrare sint incompatibile. tn general u.n num6r
finit de evenirnente Ar., Ar, . . ., Ao sint compatibile daci se pot

realiza simultan, adici dacl existd cel pufin o probi care realizeaz1.
pe fiecare din aceste evenimente

in caz contrar vom sprne ci evenimenteTe Ar, Ar, ..., A, sirrt
incompatibile in totalitatea' 1or, sau mai scurt incompatibile.

Daci evenimentele Ay 42, ..,., i4o slnt cornpatibile doul cite
doub nu inseamni ci sint compatibile in tot4litatea 1or. La aruncarea

zartrltai sd consideritn evenimentele Aa, A2, ,4.r, constind respectiv

in: apartlia uneia din felele I sau 2; apaifia uneia din felele 2 sau

3; aparilia uneia din fefele 3 sau 1. Se observd imediat c5. evenimentele
Ar, Ar, A, sint compatibile doui cite doui, dar nu sint compatibile
in totalitatea 1or.

5. Evenlment implicot de olt eveniment

Prin d,efinifie vom spune c5, eaen'irnentul B este iml>licat dv eveni-

mentul, A, sau e5" eaenimentu,l, A irnplicd eaen,irnental fi, d,acd B se

realizeazd. fle Ji.ecare d,utd cind, se reo.l,izeazd. A.

S[ considerim.o urn[ care gon]ine 10 bile numerotate cu numerele

1,2, ...,10. Si notS.nr cu A aparilia uneia din bilele. 1,4,7 gi crt B

7

L*

aparilia uneia din bilele I,4,7,10, atunci crnd se face o extragere din (
de maisus, ,4 tn caztl aruncdrii de doui ori a zantlui, d.aci ne intereseaz| ob-
llmt"pi:llcaI*l'. evident, ci in conformitate cu definilia
finerea sumei 8, ne intereseazb dacl apdre sau nu una din probele
Orice eaeniment implicd. euenirnentul sigwr.
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) gi deci evenimentul respectiv il vom
Pentru generalizarea unor rezulta\e se admite ca even,irnentaJ
scrie ca o mullime ale cirei elemente sint perechi de numere: {(2,6),
imposibil, impl,icd orice euenirnant. (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)).

sd re1u6m experienla cu ulna care conline r0 bile gi sd notim cu Acum este justificati gi notarea evenimentului imposibil prin b,
{2} evenimentrd apari}iei bilei
{l}, evenimentul aparitiei bilei r, cu deoarece mullimea probelor care il realizeazd, este vidi. Este justifi-
cati de asemenea, notarea evenimentului contrar fui A prin Q,A.
2 etc.
Am vdzrt mai inainte ci evenimentul elementar este re4lizat de o
Acestea sint evenimente elementare ale experien$ei. si observim
singuri prob6. El este perfect d.eterminat de proba care ll realizeazd..
cr toate aceste evenimente au o proprietate comuni: nu sint impli-
Am vdzut cd ,,A implici .B", inseamnL c6. rcalizarea evenimentului
cate de alte evenimente. Astfel, apartjia bilei l, nu poate t o
pecovineatAnti"ecimaefeiaunslntutuuialiputair[olBtcparrcieeadrtteaa7tftaieont,ic]iaace$roaanaccste,letolrclinzrine.llnai.zeda,xeerrve.epanlluiizmtfuaereniitmeervaeei "nshuims*,e;;rne;t;au;l'"ilz;uoiariir*e2e'4a--. A atrage dupi sine rcalizarea evenimentulrti B, adici printre probele
care realizeazS, pe B se gisesc toate probele care realizeaz| pe A gi

deci putem scrie .,49 B.

7. Operolii cu. evenimente ,t

6. Reprezentoreo evenimentelor cq mullimi Fiind. d.ate doui evenimente A gi B, nurnim rewniunea lor gd notd,rn

cind in cfaadprtu, lnuonienieexJpixe6rimenlaetenneliafixaismuparateunnliaeiapsiurlf*.adutn"u;;itre;v_e- prin A l) B, eaenimentul, a cdrui realizare constd. tn real,izarea a cel
ni'ment, de Pulin wnuia d.in cel,e d,owd. eaenimente. Uneori evenimentul A V B
se mai citegte ,,A san B"
mea- probelor experienfei.
La antncarea zafll'fui sI considerim evenimentele
imrcniomteanrAsteditsisandtefdceianizli,onbabl.aclaeEinpsavetareemurnintliircnsaeaareiruuennpaRteruouilzbfuaeeennlsea'g.trei'cd,iudp,ineeducrpanfirecolnclibutenpmdleuee6teiltrn[em)tpei,mari{edr4inse}d,ean,e,a1it'ibpzdf1iiuec.neaevcm.ettevuno,o$imrnmirmoe,nies;tucau;rr;rimefozri{-.*,
A : {1, 2, 3}; B : {2, 3, 5}.

Evenimentul ,4 se rcaTizeazd daci obfinem una din probele {l},
{2}, {3}, iar B se realizeazi, daci obginem{21, {3}, sau {5}. Deci, pentru
a se realiza cel pufin unul din evenimentele A, B, trebuie s[ obfinem
A : {2, 4, 6}. una din probele {U, {2}, {3}, {5} gi deci

ui7rmrEeDiavraeliimcznieimnadeezani:cintui{t1elar,rpee2ass,erpea3ez,cudtn4iv}aa. epdsatireniJidapertuoenbrneenlieinfea{tlLe}d,ce{uZm}uu,nr{iglmn}u,em{a4idr}e_9p(i ra4otbipt."un""crte* l

AUB:{1,2,3,5}.

Interseclia euenimentelor A gi B este prin d,ef,inilie evenimentul
A n B a cd.rui real,izare constd. in real,izarea sirnultand. a wemimente-

8

9

:'a

lor A, B. Uneori, vom citi ,4 gi $ 2. Probobilitote
B in loc de ,4 intersectat cu B"
1. Frecvenld
in cazul de mai sus
' Sii considerim o experien!5 gi un eveniment.4 corespunzator acestei
AnB:{2,3\.
experienle. Si repetim aceasti experienli de z ori iu condilii identice,
Si presupunem c[ se trage un
s[ notim prin a numirul de realiziri a1e evenimentului .4. 9i prin
foc asupra unei linte circulare (n - o.) nurnbrul de uerealiziri ale hti A.
(fig. 1). Si notim cu ,4 eveni-
mentul ca si fie atinsi jumita- Nwmdrul
tea superioari a lintei (fig. 1, a) \,
fn: d
gi cu B evenimentul ca si fie
n
atinsi jumdtatea din dreapta a
foartd nwntele de frecaenld..
lintei (fig. l, b). Atunci eveni-
De exemplu, sil aruncbm o moned1 de 100 ori gi si adnritcrn ci fa(a corrfinirrd
mentul A U B inseamnd atinge- stema a aplrut de 53 de ori.
rea porliunii hagurate in figura
Nu'ritrul
l, c,iar A n B, inseamni atinge
r Jloo -_ sg
rea portiunii hagurate in figura
10O
l, d.
Fis. I Definiliile de mai sus se reprezintl {recvenfa apariliei stemei in aceste 100 de experienle.

,finit de evenimente. De exempt nnfft;131n""J;'"Jln"iT"; Frecvenla vanaz| de la experienli la experienfS. Ea are un carac-

cirui realizare consti in realizarea a cel pulin unuia din evenimen- ter empiric, experimental.
Nurn[rul a poate varia de la 0 la a inclusiv.
tele A, B, C, iar A n B n C este evenimentul a cdrui realizare
inseamni realizatea simultani a evenimentelor .d, B, C. Avem a * 0, cind din n rcpetfui consecutive ale experienfei,

8. Cimp de evenimente t eveninrentul A n1J s-a realizat niciodat5. Dimpotrivi, dac[ din n
experienfe consecuti\ze, evenirnentul / s-a realizat in toate experienlele,
Mul{im.ea tuturor euenimentelar legate d,e o experienlrl (inclusiv rcznlth. (x: n. in toate celelalte cazari
0.--a<n.
evenimentul sigur gi evenimentul imposib il) formeazd. u,n cintp de eae- De aici rezrltd 0 < .f, { 1, oricare ar ti n.
Experienla arat6" cL pentru multe fenomene de masl frecvenla/,,
nimente. pentru z crescind necontenit, se apropie din ce in ce mai rnult de o
annrnitl constant5. Aceasti proprietate poarti numele de lege a
Si consider5m o urni confinind patru bile numerotate l, 2, 3, 4. nwmerelor nmyi.
Cimpul de evenimente al experienlei constind intr-o extragere din

aceastiurnieste format din@,ll]1, {2}, {3}, {4}, {1,2), {1,3},{1,4},
3}, 4}, 4}, 2, 3\, 2, 4}, 3, .t2, 3, 4},
{2, {2, {3, {1, {1, {I, 41, {1, 2,
3, 4;: g,

10 11

2. Evenimente egol posibile tele elementafe sint egal posibiTe. Eaenimentele elernentare, an cazu'|,
i'nainte ca'zuri ega1'
Fie ,4 gi B doui evenimente referitoare la aceeagi experienfd. ctnd. toate si'nt egal poiOAi, k aorn nuil^i d'e aici
Daci tlin motive de perfecti simetrie, putem afirma ci ambele eveni-
mente au aceeagi gansi de a fi rca7izate, spunem ci evenimentele sint posibile.

egal, posibil,e. 3. Probsbilitote .trt.

Qer,61r,

Exemple Defini{ie.Probabilitateaunuievenimentesteegal5eu

raportuldintrenumeruleazuriloregalposilrileearereaLizcazh
evenimentul gi numirul eazurilor egal posibile'

1. Experienfa consti din aruncarea unei monede" Fie I qi B evenimentele tle a Maipescuft,vomspuneciprobabititateaevenimentului./este
iegi respectiv o fa!h. sau cea1alt6. dintrJ num6rui xn a7 cazrtrilor favorabile reaiizarii
egald cu raportul posibile. Vom scrie
Dacd moneda este perfect5, nu avem nici un motiv si admitem cb una clin fele gi numeful n aI caau;lor egal
are o gansb mai mate de aparilie decit alta. Acest lucru se confirmd experimental eienimentiui zi
prin faptul cd atuncind moneda de un numbr mare cle ori cele dou5, fefe apar aproxi-
mativ 1a fel de des. Evenimentele I fl B sint egal posibile. P@): +.

2. Experienfa constd, de data aceasta din aruncarea lurritoi zar perfect cubic qi con- e Exemple
struit dintr-un material omogen, ast{el ca centrul de simetrie sd coincid6 cu centrul de ,
gfeutate. Vom ptesupune de asemenea c5, aruncatea se face pe o suprafali perfect nete- l. O wrnd' conli'ne 20 d'e bi'le id'enti'ce, mumelotate cw 1' 2' " '' 20' Cave este probabili'
d6. In aceste concli{ii nu avem lrici un motiv sh' pfesupunem cb la ul numir mare de .i tatea' aa printr'o extraclie sd' obli'nem o bild nutnerotatd' cu um pd'tva't perfert?
atunciri va iegi cu prechdere o anumitb fajd" a zatrtlrti' Evenimentele elementate ll
{l}, {2), {3}, {4}, {5}, t6} au aceeagi qansi de a se verifica. Spunem cb sint evenimente SS,notdmculevenimentulcbtuiavtemsS-icalcul5nrptobabilitatea.Numirul
egal posibile. Ff d cazudlor egal posibile este 20. Numarul cazurilor favorabile realizdtii evenimentului

3. lntr-o urn6 avem z bile identice ca m6rirne gi mas6, numerotate cle la I la n AesleA.Acestepatrucazurislnt:extragereabileiT'abtlei4'abileigsauabilei16'

ilclusiv. Avem deci

Scoatem din urni o bili fdri ca sb ne uitdm la numbt declt clupb ce am scos bila. p(A): 4l
fie {ft} evenimentul de a scoate tlin urn[ bila purtind pe ea uumdrul A.
ro:;.
concliliile in care efectud,m experienfa ne permit s6 alirmim c6 evenimentele {ft},
h : l, 2, ..., zr sint egal posibile. 2.Careesteprobab,ilitete&aaaywnc|nddoud'zaruyi'sd'ob|i'nemo,,dubld,,,adicdsd
obli,neno la fiecare dintre oele d'oud' zarwvi' acela;i' numd'r de puncte?
Obseruali,e. ln exemplele de mai sus, evenimentele egal posi-
Notindculunuldinzarud.qicuBpecelslalt,avemS6decazuriposibile,duph
bile considefate sint elementafe. Mai mult decit atit, toate everrimen- cur:e reiese din urmdtorul tabel:

12 1,3

,$ c,) Sd. scriem toate cazurile posibile
t:
,t, (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1.6), (t,7)

'l (2,1 ). ( 2,2) , (2,3), (2 4), (2,s), ),( 2,6 (2,7 )
(3,6), (3,7)
.i_l 2t 31 4t 51 61 .,t ( 3,7 ), ( 3.2), ( 3.3). ( 3,4), (3,s),
( 4,6). (.r,7)
t2 22 42 52 62 { (4.1), ('1,2), ( 4,3) , ( 4,4). (4.5).
(5,1), (5,2), (5.6), (5,7)
l3 zo i.l 43 53 63 I (5.3), (5,4), (s,5).
(6,6), _(6,7)
t4 24 34 .4 4. 5,1 6rl ,l (6,1 ). (6,2), (6.3), (6,4). (6,5), (7,6), (7.7)
l5 25 JC 45 .5 5 65 (7,1). (7,2), (7,3), (8,6), (8,7 ),
l6 26 Jt) 46 56 ()b t (8,1), (8,2), (8,3), (7,4), (7,5).
(8,,1). (8,5),

Cazurile favorabilc sir.rt in nuui.:ir <le 6. I)eci. probabilitatea ciLutati este C.rzurile favorabile au fost subliniate cu o lilie. E1e sint in 1111It1:Ir de 21.
2l :a
E1
i66 Deci, probabilitatea ciutati. este egali C1r 5-:68 -'

8. Ca.re cste probabilitalca ca avuuci'ud doud zarttc'i sti oblinent dorrd fele insumf,ttd 7 4. Proprietoli ole probsbilitdlilor

)unate ? Probabilitatea unui eveniment y', pe care o notenr prin P(.,{),

Cazurile {avcrabile sinL (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5. 2) 9i (6, 7). I)eci, pro- se bucure de urmdtoarele proprietili
rabilitatea este3-6:G-1.6
lo.0< P(A)<1.
Si olrsenirn ci in ultimele exenpie aruncarea a 2 z.atri poate fi inlocuiti cu 2 2". P(E) : t.
rtunciri ale aceluiagi zar. 3". P(@) :0.

Cete douir esperienle sint rlin punct de veclere teoretic ccltiztalcnte. 4". P(A U B) : P(A) + P(B), daci AnB:9.

4. Sd frcswPtrnetn cii ancm douti u.t,ne, prima conlinittd I bile numryotatt 1 , 2,. ., 8, 5'.P(A):|-P(A).
ar a doua 7 bil.e, nttmrrotatc eu l, 2, ..., 7, a) Carc eslc .frobabilitalta ca fdctnd citc o
xtraclie din fieca'rc ut,nii sd. oblinern tlin.lbri,na uytzd.. u,n tuund,r int,far,, r,ay rl,iu, a d,oua Relaliile 1" rez;tt7tl" irnediat din faptul evident ce 0 < ,n < n ,i
tvmd un ttutndr par ? b) Dar probabilitattn de a obline d,oud ntunt,rc de parildli diferitt. ? deci o< i3< t.
) Dar />robabilitalra ca ntrnt.rirtrl inscris ft b,ila e:vtrttsd din,l>rinta urnd, sd, fie ma.i nt1c
lecit ccl tle lte bila crlrasd din. a doua ttr+tti? Pentru a demonstra rclatia 2o, vom observa cd pentru evenimentul

a/ Cazutile favorabiie la prirrra dilr aceste probleme le putent fig:nra prt:t (7,2), sigtr m : n. intr-adevir, in cazul evenimentului sigur, daci am avea
t, 4), (1,6), (3, 2), (3, 4), (.7, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6),si (2, 4), (7,2), (7,6). nt, < n, inseamni ci existi evenimente elemelrtare pentru care eve-
)nrn nnm:irnl cl.zutilot posibile este egal cu 56, probabiiitatea cirutatir este nimentul E nu se verificS, ceea ce este imposibil intrucit gtim ci eve-
23 nimentul E se realizeazd intotdeauna.

t;:14' 15
b) l+ a doua problen.rii avetn lr ai multe cazuri falorabile. Pe lirrg5 cele de nrai

us rrrai rrvertr;i (2,1), (2,3), (2, s), (2,7), (4,7), (4,3), (4,5), (4,7), (6,7),

6, 3), (6,5), i5,7), (s, t), (8, 3), (8, 5), (8, 7')5.P6t2c:babilitatea "rt" T: l.

t4

Relalia 3o rezaltd din faptul cd pentru evenimentul D avem m : 16m ptobabilitatea ca aiuncind de 4 ori un zar sd nu oblinem niciodati fala 6. Numbtul
: 0. lntr-aclev6r daci am avea )%t, 0 irlseamnb ci existi cel pulin cazurilor posibile va fi egal cu numdrul sistemelor cle cite 4 numete care se pot forma

lufl caz posibil care realizeazL pe @, ceea ce este absurd. 'cu numerele 1,2,3,4,5, 6. Daci notdm cu E mullimea {1 , 2, 3, 4, 5, 6}, observim

Pentru a demonstra rrllalia 4o, notim prin n numirul cazurilor c5 num5rul sistemelor de 4 elemente din E este egal cu numirul elementelor mulfimii

egal posibile, prin m n'umdral cazurilor favorabile realizb:ii evenimen- E x E x E x E : Ea, ldeci cu 6a.

ttlrri A, prin s numirul cazurilor favorabile rcalizdrii evenimentului ,| Numirul cazrrilor favorabile este egal cu numdrul sistemelor de cite 4 elemente

B. Deoarece A n B : @ inseamni c[ evenimentele 1 9i B sint incom- $t care se pot forma cu numerele 1, 2, 3, 4, 5, deci cu 5a. Probabilitatea ciutati este

patibile intre e1e. Nici unul din cazurile favorabile tealizilrii eveni- ,tr deci e"salS cu -6544: 625 i

mentului .4 nu poate realiza pe B invers. Rezulti c6' rn { s reprezinti l'f. 7296

numlrul caz:uilor egal posibile favorabile evenimentului A U B. :,rl Rezuiti ci pro-b.abilitatea oblinerii felei 6 din pahu aruncSri ale zarului este

Conform definiliei probabilit5lii avem 'li 625

tn P(B): t P(AuB): ?n+s {l 5 I 296
, n
P(A) i Obseraalia. I in relalia 4" observdm ch evenimentele I gi
B sint incompatibile intre ele, deoarece .4 O B : @. Din aceastd
{
caazi., relalia 4o exprimi urmS.toarea
1

gi deci Regulfr de adunare a probabilitn{ilor. Fie

P(A l) B) : P(A) + P(B)' dacd, A (\ B : O. A qi B doui evenimente ineompatibile intre ele avind respeetiv

Pentru a demonstra relalia 5o, observim ci probabilitifile I qi g. Probabilitatea ea si se intimple eel pulin
uirul dintre ele este P * q.
Al)A:8, AnA:A.
Obseraalia II. in cazr;J cind evenimentele sint in num5r
In baza egalitilii 4o, reiese infinit, proprietdlile l, 2, 3, 4, ntt pot fi toate demonstrate, ca mai

P(A)+P(A):P(E). sus. Prin analogie cu ceea ce se intimpli in cazul unui numdr finit de
experienfe, ele sint admise ca &xiorne.
Jinind seama de 2", oblinem imediat egalitatea 5o.
Aceasti ultimi relalie prezinti, deseori interes la rezolvarea pro-
blemelor. Dacd vrem si calculim probabilitatea unui evenirnent ,4.
cgai locbusluelrvpirmobcaibirlaitldiolini aemveennimtuel n9tiucluailcucolenletrasrinAt
mai dificile d,ecit la

calcul5m mai intii
probabilitatea P(A) a acestuia din urmi gi apoi calculim P(A) :

- r - P(A). 5. Evenimente independente

Exemplu FieA;iB d,owd. eaenim,ente. Dacd 17

Care este l>robabi,li,tatea ca in patrw ar:wncd,ri ale unui zar sd, oblinem, cel, putin o datd P@na:P(A).P(B)
{a!a 6 ?
euenimentele A ;i B si.nt, prin definilie, ind,ePendente.
ltcercind s5 calculim direct aceastd. probabilitate, vom observa ci intirnpindrn unele
ilificultifi, Si incercbm s5 calcul5m probabilitatea evenimentului contrar,-adici si calcu- 2 - Elemente de teorja probabilitAlilor $i statistica, anul IV.

16

Exemple i Pentru evenimentul I avem 3 ! : 6 cazuri favorabile. Ele sint date de permutlrile.

!. expelienla i nnul rogu gi celdlalt (4r23), (4231), (4312), (4t32), (42t3)' (43211

Considerdm consttnd, din ayuncayea a doud. zQruri,

rctde. Fie A euenimentul ca zavwl ro;u in experienld sd apard, cu'1atro I ;i, B euenimentul ca in crre cifra 4 ocup6 prirnul loc, iar cifrele 1, 2, 3 se permuti. in toate rnotlurile posibile:
:arul uerd,e sd, apar,fr. cu fala 5. Sint euenim,entele A gi Il ikdepend,ente ? Prin urmare
Pentru a rdspunde la intrebare trebuie si calculSm i valoarea probabilit6filor
P@ n q, P@), P(BI. P(,4\ : 6t 7
l
Penttu B, in rnoii aflalog, avetu utn^it_oarele sase cazuri favorabile:
Dvenimentele elementare sint (i, h), li:1, 2, 3, 4, fi, 6; h: l, 2, 3, 4, 5,6),
unde ,7 inseamah num6rul de puncte de pe Iala zarului roqir gi i cle pe fala zarului (2134), (3142). 14123), (2143). \sr24). (4132)

verde. Toa.te aceste evenimente sint egal posibile.

Avem prin urmare 36 de cazuri egal posibile.

Avem ua singur caz favorabil pentru. ,4 fl B, gi anume (1,5). Prin urmare qi deci

P(/ n B) :-.I 61
P(tr) -- 1-!--;.

Penttu I avem $ase cazuri favorabile: Pentru I fl B, avern doui cazuri far-orabile
(1. i). (r, 2), (1. 3). (1. 4). (1. 5), (1, 6). (4123), (4132).

Deci Rezu-td P@nB):%2:nl'

PU\: 6l Cum P(l n B) I P(A) ' P(B),
JOO
deoarece
Pentru I avem cazuri favorabile:
(1. 5), (2, 5). (3, 5). (4. 5), (5, 5), (6, 5). lll

12-4 4

Rezulti P(B\: 8u6:6 t . rezultir cb evenimentele I 5i B nu slnt inrlependente.
'Relafia
Deci refinem ci : et)enime%tele A ;i B stnt independente, dacd' pro'
P@ n B\: P(A). P(E
babilitatea intersec{iei lor este egald. cw frod.uswl, probabil'itd.lil'or lor.
este indeplinitE qi deci evenimentcle A Si B sint indepentlente. I)espre ufl numdr oarecare de evenimente, spunem ci sint indepen-

2. Inh^o uvnd. sint pahu bile nunxevotate de ta I la 4 inctwsi,u. Extragem succesiu dente, dac[ probabiiitatea oriclrei interseclii f[cute cu evenimentele
bil'etele din wrnd. Fie A euen,imenlul, ca dupd ce le-ant. efrtvas pe toate di.n uvnri, bilelul cu fespective, este egali cu produsul probabilitililor evenimentelof inter-
nwmd.vwl 4 sd'iasd pri,mul, 'iav B eaenunentul ca bileiwl cu nxtm.dvul 1 sd. apard; 'in exl'raclia
a doua.. sectate.

Sint euenimentele A ;i B independente ? Astfel, evenimentele A, B, C sint independente, daci avem toate
Avem 4 | : 24 caz'sri egal posibiie, date <le mrmbrul de petmutdri de 4 obiecte,
deoarece numerele l, 2, 3,4 pot iegi rn cele patru extracfii in toate nodurile posr- egattalile: Pp@@nncF)):P:P(A(A).)P-P(C(B),I,

bile. .P(AnPB(BOnCC))::PI('(BA))..PP((CB)).,P(C).

18 19

l

6. Regulo inmullirii probobilitolilor 2. Uyna U conline gapte bile albe 9i trei ro;ii, iar urna V tvei bile albe gi gapte rc5ii.
l Extragem mai. intii o bild, din uvna U 9i, indiJ'erent de cwloavea ei, o punem in uvna
V. Extragem apod d,ln uvna V o bild. Carc estc probabi.li.tatea ca sd ob!'inetn doud bil,e
Ralionamentul pe care l-am ficut la exemplul l, pct. 5, are loc
albe ?
ln cazul general a doul eveni.mente AlegSiituBricoinrdtrsepuen1zel.tolnareacleastdcoauz,i
care nu au nici o $i aici avem de a face cu doui experienle: exttagerea unei bile din prima urnd gi
experienfe,6rSiE, extragerea unei bile tlin a doua urni. Dar aici cele doui experiente sint legate iltre
ele. Rezultatele de la a doua experienli depincl de ceie cle la prima experienlE gi deci
numdrarea caz:utilor egal posibile gi favorabile se face ca in exemplul nu avem dreptul sb folosim regula de inrnultire a ptobabilit5lilor.

I gi putem considera evenimentele z{ gi B independente. ln consecinfi, Pentru rezolvafea,problemei evaludm numirrul cazurilor posibile gi numirul cazuri-
d,acd. i.nsernndtn prin p probabil,itatea realizd.rii eaenimentwlwd A ;i !>ri'n lor favorabile.
g probabilitatea realizd.rii eaenitnentul,ui B, probabilitatea realizd.rii
evenirnentul,wi A (\ B este fq. Pentru a gdsi numbrul cazurilor posibile, si otrservim ci clupi ce am inttodus o
bil6 in urna Iz putem scoate o bi15. din aceasti urni in 1l moduri. Dat con{orm
Exemple enunlului, bila introdusb, poate fi scoash din urna U in l0 moduri qi deci nurnirul
chutat este 16 ;a 1l : 110.
l. (Jrna (J conline sapte bile albe gi trei rogi.i, iar urna V trei. bile albe 9i gapte rogii.
Extragem ctte o bi,ld din fi.ecare uvnd,. Care este probabi,litatea ca ambele bi,le extrase sd' fie O bild albd poate fi scoasi rlin anrta U in 7 moduri, iat dupb introtlucerea ei in
anna V, putem scoate din aceasti urni o bil6 albE in 4 moduri. Deci nurnirul cazurilor
albe ? favorabile este 7 X 4 : 28.

Fie I evenimentul de a scoate o bild albb, din urna U" Avem l0 cazuri egal posibile, Probabilitatea cdutati este

clintre care 7 sint favorabile. Deci 'O10:7 2A'4
Fie B evenimentul cle a scoate o bda atba clin urna 7. Avem tot 10 cazuri egal
r10 5s
posibile, insi dintre acestea numai 3 sint favorabile. Prin urmare
7. Cirnp de probobilitote
.J
MuQirnea tuturor eaenimentelor l,egate de o experientd, i,?npreund cu
o'1:-0- probabil,itdgil'e respect'iae formeazd. un ci,mp de probabil,itate.

Sd observdm ci, fie cb am scos o bil6 albi tlin U, fie ci am scos o bild rogie, numhtul ProbabilitSlile calculate se referi la evenimentele legate de expe-
cazurilor egal posibile din urna Z rdmine tot 10, iar numdrul cazurilor egal posibile favo-
tabile tot 3. La fel scoaterea unei bile albe sau rogii din urna tr/ nu influenleazi condi- rienle avind un nunrer finit d.e cazuri posibile (evenimente elementare),
fiile <le extragete a unei bile din urna U. Evenimentele I gi B sint independente qi deci am avut de-a face cu cimpuri finite de probabilitate.
deci putem aplica regula de inrnullire a probabilitblilor, Probabilitatea de a scoate
doui bile albe este: Probleme rezolvqte

7321 !. Intr-o wvnd sint 6 bile, dintre care trei, albe numerctate l, 2, 3 gi lrei negre numero-
lo' 10: roo' tate la fel. Sd notdm eu

Calculul acestei probabilitSli se poate face Ei tdrS aplicarea teoremei inmullitii A eaenimentul oblinerii wnei bile albe 7
probabilitSfilor, insi este mai c<.rmplicat. B eucnimentul oblinerii unei bilc negre;
{h) eueni,mentul ob,tinerii wnei bile nurneyotate cu h (h: l, 2, 3).
20 Folosind nuntai aceste euenirnente gi operali'tle rlintye ele sd se sct'ic:
. a) euenimentwl oblinarii biled albe cu numd,rul 3 i

21

b) eacnimcntttl oblin,eri.i unei bilc albe sau, d, unai bi.le cw numdrul. l; Rezulth cd nunrdrul cazurilot favorabile este egal cu Pa : 81 : 1 . 2, .8
c) euutttucntu! obli,ncrr,i unci bile cw ttu.nzdrul. 7, satt a unei btlc cu qurndmtl 2-
gi probabilitatea citrtatd este
Ilozolvirrc. a) Dac:a bila extrasi este albir, se realizeazi. l, iar daci poattd,
nirui 3 se realizeazh {3}. Evenirnentul este realiz,at daci sint realizate anrbele 1.r... . r.10 : :9.1I0T : go'
nimente de nrai sus gi deci il putem scrie I fl {3}.
Probleme
b ) IJ.ealizarca evenirnentu-
lui constir irr realizarea .a cel {, Si se demonstreze folosind atit limbajul teoriei mullimilor cit gi cel al evenimen-
pu{in unuia din evenimentele telor ci
I ;i {l} ;i tleci poatc fi scris -
r.t@uIr):CAnCB.
A v \tj. -i 0
2. C@ n.B) : f,/ g Sa.
c) lrr acest caz, eveni-
Si. se generalizeze cele doul relafii.
mentul se scrie eviclent, {l} g
g {2}. Totodatri, daci obser- 3. rJn zar are felele 1, 2 vopsite rogu, fefele 3, 4 vopsite galben, Ietele 5, 6 vopsitc
virm ci pentru a fi realizat albastru. Se aruncS acest zar gi se noteazi:
trebuie si nu ob{inern bila 3, el
.,1 - eveninrentul obfinerii unei fele rogii;
rnai poate Ii scris {f,. r. 19 - evenimentul oblinerii unei fele galbene;
2. Sd. yeluiim exemplul cu
C "- evenimentul oblinerii unei fele albastre;
linta din. pct. 7, g 1. D * evenimentul obfinerii unui numir par;
Sd se ayate cu ajutorul,
.L- - evenimentul oblinerii unui nnmd.r i.npar;
fi.gurilor cd {A} - evenimentul oblirrerii felei cu ft puncte (ir : l, 2, 3, 4, 5, 6).
Si se arate ci
a\AUB:enE.
AAna-aUE. a\AUA:snu:C:
b) ll: El
AUD Rezolr.aro. c) A fi D : {2}; B t\ D: {a}; c ft D : {6};

Fis. 2 Avern figurile corespunzd.- A nE: {t}; zt n 1]: {3}; c fi I : {s};
d) (l U B) n D: (-{ n a) u (a n D): {z} u {s}.
toare evenirnentelor scrise sub
ele (lig. 2). 4. O linti este formati elin l0 cercuri concentrice de raze lk (h : l, 2, ,.., l0l
ar 1 lz I ,. . ( /ro. Dvenirnentnl l;, consti in limerirea cercului de razd 24. Str se
11. L,ste d,at un pach,et d,c l0 spun6 ce inseamni. evenimentele
cd.Qi,, purtin,d ncnnerele l, 2,
..., 10. Care este probabili- a) A -- As - .'l 8*; 2, ..., 9),
1r) B:4"-Ar.i
talea, ca. primele do'u.d cd.r!i. sd
Q c: fe-
poarfu nurn(rete I si 2 in accas-
fi rtrdinc ? Si se arate cir:

Iiezolvare. Numirul cazu- d) :1 pc t|p-y, (h :1,
dlor egal posibile este numlrul
de feluti in care pot fi atan- * Prin definilie X - y :X n Cy.
jate cele l0 cdrfi, adici Pro:
:10 t:1.2.... 10. Dac5.
doui citrli ocupi in pachet
locuri determinate, rdmin opt
cirli care pot fi ararrjate in
toate felurile posibile.

23

pr\o-Bnfri-.b*i\,li#tut.auflslracelacoermnocneeldmd uplitn3i clncl oblinem deasupra fala cu stema' Care este
aruncdri ?
5. O persoanb urmeazi si dea qapte telefoane la gapte nllmere diferite' Fiecare
mbr este lormat o singurd datd. Notbm cu I evenimentul c[ la chemarea a nu pri- l/r.Ourn6contineebiiealbeEipbilenegre.Dinaceasteufneesteextrasiobila
de culc,are uecunoscute. care este probabilitatea ca la o noub, extragere s5 oblinem o
lqte rdspuns. Cum se scriu evenirrentele: bil6 alhn ?

a,/ primeqte tdspuns la toate chem6tile; lS.oumaconfine2bilealbeqi3negre,iatoalrt|urnecon'ine3bilealbe
D,) la cel mult o chemare nu primegte rbspuns; 4 ucgre" Din liecare utni este exttasi cite o biih'
c) la cel pufin o chemare nu primeqte tispuns; Ei a) Caxe este ptobabilitatea oblinerii a 2 bile albe ?
d) la o singurb chemare nu primegte respuns;
a,,l nu primeqte tdspuns la prima chemare qi la incd una din celelalte gase chembri, a) Cut" estc probabilitatea ob,tinerii a 2 bile negre ?
: la celelaite cinci chemSri primeqte rbspuns; i1 Cut" este probabifitatea oblinerii cel pulin a unei bile albe ?
/,) nu primegte rbspuns cel mult la prima chemare. i1 Cn . este pfobabilitatea oblinerii a 2 bile albe de aceeagi culoare ?

6. O urnd contine z bile numerotate cu 1, 2, ,.., z. Nothm at {MhJ evenimentul lG. Pistrind condiliile Ei notafiile problemei 6' sd' se arate ci
la o extragere sb oblinem o bil6 numerotat[ cu rrn multiplu de ft. Sd se arate cd
[*1
a) {tw 21} : {M 36))U: {M 7}i
b) {.nr 10} v tM {M a) P({Ma)\:+
30}:

c) d.acd {Ma) c {Mbl, atunci b este un divizor al hti. a qi reciptoc;
d) {Ma} n {Mb} : {Mfa, bl}" unde prin [cr] rot6m partea lntteagb a numirului or;
rde fa, bl este cel mai mic multiplu comun al numerelor a gi b. uj aaca ra este multiplu de a, atuaci probabilitatea obfinerii unui num6r cafe llt

7. O urni conline 10 bile albe qi 6 bile negre. Din aceasti urn6 se extrag 2 bile se divrtle la a este +t
rnindu-se inapoi prima bil6 extrasS.
. cere: a) dacb a qi b sint prime intre ele gi a este multiplu de a qi b' atunci evenimen'
tele {.VIa} Si {Mb} sint independente.
a,) probabilitatea ca cele 2 bile s5 fie albe;
b,) probabilitatea ca cele 2 bile si fie negre; @
c,/ probabilitatea ca prima bil6 sd. fie albd qi a doua neagr5,;
d,) probabiJitatea ca prima bili si fie neagrd qi a doua albd,; -
e) probabilitatea ca bilele si fie de aceea$i culoare;

/,/ probabilitatea ca bilele sd fie de culori diferite.
'8. Intr-un fiqier sint 10000 cle fige, Care este probabilitatea ca numflrul primei
p extrase sb confind cifra 5 ?

''9. Din 100 mere, l0 sint stricate. Care este probabilitatea ca scofincl 5 mere la
timplare se scoatem gi mere stricate ?

!0. Din mullimea numerelor de 7 cifte ce se pot forma cu cifrele 1" 2, 3, 4, 5, 6,
se ia la intimplare un numir. Care este probabilitatea ca rumerul ales sb conlindpe
gi 2 ca cifre consecutive in ordine crescitoare ?

11. O utnb confine 3 bile albe gi 4 bile negre. Din aceastb urnb se scoate o tri15
in locul ei se pune o bili de cealalti culoare gi apoi se face o noub extragere.

a) C'are este probabilitatea ca a doua bi15. extrasi sb fie neagrb ?
b,). Care este probabilitatea si obfinem bile de crrlori diferite ?
a) Cate este probabiliLatea ca a doua bil6 sd fie neagrd. gtiind cd prima bil6 a
st a1b5 ?

.l2.,Se aruncd 6 zaturi. Care este probabilitatea obfinerii tuturor numerelor de la I
r 6 ? Dat probabilitatea sd apard cel pufin o dat6, fafa 5 ?

25

l4

lntr-adevir, confotm relaliei precedente avem

: :P(A U B U C) P((A U B) U C)

a Formule $i scheme qtasice -P(A uB) + r'(C)*P((AUB)nc):P(A) +P(B) -

t- de probabilitato -P(A (\ B) + P(c) - P((A n c) n (B n c)) :

- - - -P(A) + P(B) + P(:C) P(An B) P(A U c) P(B n c) +
Pt04nc) n(Bflc)J:
; -- P(A) " ':"),:i8 ; ;fri""'
n c)

Ji.'^

$ 1. Formule pentru colculoreq unor probobilitdli Extinsi pentru z evenimente, reialia se scrie

P(/' U A,l)...UA"): P(Ar)* P(4,) + "" + P(A)+'.. +
+ p(A,,) - P(A, (\ Ar) - P(A, n ,4J
l. P(AuB): P(A)+ P(B) - P(AnB) - P(A,_r. n A,,) +
*P(Ar(\ A,n,4,) +...+ (-l)"+1P(Arn Arn ... n A).
Fie n numirul cazurilor egal posibile ale experienfei in raport cu
rre ,4 gi B sint evenimente, rn numdrul cazurilor favorabile lui ,4 Demonstralia acestei relalii se face prin induclie.

s numirul cazurilor favorabile lui B. Si presupunem ci din cele zr | ;\plica!ie. l. O uvnd. conline 3 bile albe si 7 b'tle ncgve, iar al'ta co'nlinc 7 bile albe
rzuri favorabile lui A, t sint favorabile hi A (\ B. ,si 3 bile negra. l.)in .liecat,e urnd. se cztrdga oite o b'ild'. Cave estc prcbabilitalea
Numirul cantrilor favorabile lai AgB este rnis _l (gi nu sd, ob!'incn cel pr'tiitc o bilii albd ?
r f s, deoarece in t
la B). Rezulti acest caz, cazrri ar fi nurndrate de Z oi gi la A Ilezolvare. Fie I evenirnentul exttagerii unei biie aibe din ptima urnir Ei B eveni-
mentlli extragerii uuei biie albe din a doua urni. Avern de caiculat probabilitatea eveli-
P@): t; P(B)::iP(AUB): i p(An14:* rnerrtnlui A U I)

deci relafia P(A g B) : t'(A) + P(B) - P@ n B).

m*s-t_-ts_t dar
n-nnn
: ;3o;7r(a) : to

:" poate scrie gi deoarece A Si B sint independente

P(A u B): P(A) + P(B) _ P(A n B). Pltt t\ B) : P(A) . P(B) : 37.21: 100

2. Relafia precedenti se extinde in cazul a trei evenimente astfel l0 l0

P(A u B t) C) : p(A) + p(q + p(c) _ p(Ao rB) _ qi deci
- P(A n c) _ P(B n c) + P(A n B n q.
PIA tr D\: -r3o7+2t1079 luo r00

5 27

Aplica!,ia. 2. Problewa comcordam{elor Probabilitatea de a nu obfine nici o concordan!6 este
O t,rrnd conline n bi,le num,evotate 1.
O 2' ,.., n. Se .faa extraclii succesite fdtd' a Ittl ..'
zt- Bl+ 4!-
pune bila |napoi 6n urnd, Se cere probabilitatea obltnerir, a cel tsuttn. xutei contos' 1- P(A\: + \-t)';;
d,anle (uonc spume cd. am c)blinwt o concolddntd, l.a extragerea h, daad. la acea
l Sepoateatillacbexptesiaclinrrrembrulaldoileaalultinreiegalit5litinclechtre
ertlageYe atn ob|i'nut bi'la h). c:r.d n tinde cdtre infinit.

sd not[fir ctt A4(i, : l, 2, ..., ,2) evenimentul oblinerii unei concordanle la extta- e

rea de rangul i.

pentru a calcula P(A6), se ol:servir ci ccle z bile pot fi luate in zl moduri, dintre
de rangut i. lntr-adevdr, dacir indicii l' 2, "'. t".
re (n -sc1ri)c!rn<Iianu o concordantA posibile, astfel ca i sd nu-qi schirnbe locr;l, obliuem $ 2. Scheme closice de probobilitote
. a ii toate rnoduritre
- 1) ! grupe, aclicd numirut pennutirilor celorla{i n - 1 indici' Deci

P(Ar): P(Ar): ..,:P\An)- (a -- 1) !: I 1. Schemo lui Poisson
n! '

n

56 calctrl5m acum probabilitatea unei intetsecfii de cloui errenimente : A; o A;. Se d'au fl ulne (Jr, (Jr, ..., (i:Un cave contin bile albe 9i negre i'n
soarcce .lcum vom pastra nenri$cali 2 irdici, vom obline (n - 2) I grupe. Deci
t propor{'ii' date. Cunoagtem d'eci probabit-itti'tite p6 l'2" "' nl c'a
.
P@i nA" r:+t:t ! caye este et(tresd. o bild atbd. d,in urlx{I (i i. se cere probabilitatea. d'e a
r(ii- t)
esadtei(ntereaStxxsugt5tirereraanngkgAaoeeobt[io[c(lI'metiit:be1qaict,liobe_rAe?bn;qii,lie:'dra'.n.:g.C.r-e|,A-hcn, l)iePbnv'eiole,uven(renininme:aigmerUnlee,,t,.nu2altu,tcluo.n.dnce-t,iraacnrt)naedxlp' tbdrlaoiignbeaAfbuioe'ilcibtaEarivteleiidauaernnldbd-te,i'
ln total avem Ck interseclii de cite 2 evenimente. Ralionind la fel oblinem eAnvee.Pnv'.ieemnn{eit\rrnnuteAenaoletueef,rx4AtEf;oau9gSe*ii,Tnfftrnb-Eisleiohnt*a'e,libnvneedne"gip'imenenOn-dteefnkut4,en,.seigenErervte,oetatrnaleiizmlbietuaeaitenzetiatstcliu1sAoerp;',rrOeoabl/iazt,beOzilei-

PVdn 41 .rA1,\: *=+t*^

ln total avem C'$, interseclii de cite 3 evenimente.
In genetal

P(AitnA;,,fl... nAdh) n(n - 1)... (a - A + 1) tatea fo,. p;;"" ... ?tn' Iin-rr' Qin+n' ... ' (1d,, (indicii i1, ir, '" ' in, re-
avcrn Cf, intersec{ii cle ft evenimente. prezint|" o permuta;e a inb-icilot l, 2, ..., n). Evenimentul ciruia
vrem sa-i calculam probabilitatea este leuniullea tuturor evenimentelor
Daci notirn cu I eveuimentul oblinerii unei concorclanfe, putem scrio
A: A, \J At U ... \.) An, <le forma de mai sus ti deci probabilitatea sa este egala cu suma tutu-

P(Al : P(A, U A2 U ... \) A'tl

nplicind fotnrula demonstratl mci sus - ... fr vn.n-,'n--t-n-l_*__--1--l))!'-+..r.1 ror produselor de forma

P\A)-"'+-ci,, ,1 ^ +ci n\n.-l\lst-21 ?a' !n, " ' Pto ' Qoun,' Qto*n" ' It*'

P(A) :, - lll - arn-+... +(-l)'*1 L;- "' unde litera p apare de rt ori cu diferili indici, iar q de n - k ori cu ind"ici

ur+,.,., care nu apar \a p.

29

Se observb u;or ci dupd aceeagi reguli se calculeaz[ coeficientul ppruo;bPinay;bo"ib"tidatabetie"ti'taiaiit-oeibairttidn,aee"ratidi .sucbnoieatatiebik.inleabpialoelbi,eaelbsi,tenetdPr-,'o,in,,skni:ngecxuit,rr4da''gee4xr"it-rk.ad,g'uiennrtder-eo;0!urqneds.t:'e,
lui xk in polinorn-ul :l-b.
problemele in care se cefe probabili-
P(x) : (f ,x * *Q,,)(bzx qu) ... (P,,x * q"). schema lui Bernoulli rezolvi de ft ori intr-o serie
tatea realizdrii unui eveniment de a efectuiri
Schema lui Poisson ajuti 1a rezolvar.ea problemelor in cate se cere
probabilitatea rcalizdrii de fr ori a unui eveniment intt-o experierrld a unei experienle, atunci cind se cunoagte probabilitatea evenimentului
la o singuri efectuare a experienfei'
ce consti in efectuarea a n experienfe independerite, atunci citid
.Aplicalial.Searl,mcdomonedd,ae4ol.i.Secereprobabililateadeaobli'neos'in.
cunoa;tem probabilitatea realizhrii eveniurentului in fiecare din cele gwrd dald' slema.
z experienfe.
Avem
Q Apliea{ic. Intr-utt atelier sint 3 mas'iml,. Pvima dd A,9of; rebuturi, a doua loyo gi a
treta l,3o/o. Se ia la rntint.plarc cite o prcsri de la .fiecate tnastnd, sL se cele probabili- l1 i n:4;h:l
tatea cq, 2 din pi,csele laata sd, fie lntne si uu,ct sd .l'ie rebwt. ;'s:;

Sintem in cadrul schelrei lui Poisson. Probabilitatea ciutatd va fi coelicrentul lu ir
*2 dur produsul
:Pu,, c,n[+)' (+). : +.
(?'x * qt)(P& * qz\@* * qr)'
I Apliea{ia 2. Se aruncti,un zay.d'e 5 oyi, Se cere probabil,i'tatea' Ce fa'|e Cu un punat
unde sd apard' de 2 ovi' 9i d'e 3 ori, sd' nw apard'

p, : 0,991 ' 2, : 0,99' ?. :4,987, Aveln;
qr : 0,009 | Q2: 0.Al ' (j : 0,013.
o-+'n-* in-5ih=2
2. Schemo lui Bernoulli
:St 625
Si presupunem ce in schema 1ui Pclisson urnele {Jr, (Jr, ...,(J, Ps,z: cl{+r [;]' 3 888

sint jdentice. Atunci putem lua Probleme

fr:fz-... :fn=f ; q,,:Q.t:... *Q,:q:1-p. l. o urn6 conline l0 bile numerotate cu 1,2, ...,10. se face o extfagefe laintim'
plare din aceasta urn5. Care este probabilitatea oblinerii uaei bile cu ure num5,t mai
Probabilitatea extrageni a k bile albe va fi in acest caz coeficien- a 'unei bile cu un numar par ? '"
tul lui xh din polinomul Ln "2.""pa5s,trlsnadu condiliile gi notafiile problemei 6'de .. I,

P(x):(Fx*q)". la sfir$itul capitolului sb se
adicd va fi ega15 ca Cl,Pk qrr-e. Recunoa;teminaceastd expresie ter-
menr1l general al ridicirii 1a. puterea n, a binomt:Jui f * q- Pentru arate ci
:a\ P$PM({zMti3l 0.}'
acest motiv schema se urai numegte binomial[. -b)
Deoarece urnele sint identice, putem considera c5 toate extrageriie : -c) P(lMrla| blll'
P({MT} u IM7}'t: P({M3}) + P({Mv\)
se fac dintr-o singuri urn6, bila extrasi punindu-se inapoi in urni P({n46} u {n1ro}) :r1"11rue;1 + P({n4lo)
dupi fiecare extragere. Obtinem astfel schema lui Bernoulli: P({Ma} tMb}) P({Ma}) + F({MbIl
U
30
31

3. Doi trbghtori trag cite un foc asupra unei finte. primul nirneregte linta cu pro- 1$. Se atuncd 2 zanlri de 10 ori' Cate este probabilitatea s5 obfinem suma 7
79
exact de 3 ori, ? 8 ori' Care este ptobabilitatea si oblinem de 4 ori
babilitatea -I, iar al doilea cu p^robabilitatea -lt . care este probabilitatea ca fi:rta sd 11. Se aruncd' o moued6 <le probabilitatea s[ obfinem de cel pulin'l oti stema?
fie atinsi ? ori. care este probabilitatea oblinerii de 4 ori a unei
stema gi de 4 ori banul? Dar
4. O urnh confine 12 bile numerotate cu 1,2, ..., 12. Se face o extragere din aceas- lp. se arunci un zar de l0
tb urni. Care este probabilitatea oblinerii sau a unui numdr par, sau a unui num6r mai un numbr mai mare de 4 puncte ?
mic ca 5, sau a unui pdtrat perfect ? fele cu se clau 4 rlrre: uf conline g tite aibe qi 4 negre, I/, conline 2 bile albe 9i 5
13. 4 bile albe
5. 3 trbgbtori trag clte un foc asupra unei finte, independent unul de altul. negre, U, conline 5 bile albe 9i 2 negte' Uu conline 9i 3 bile uegre' Di:r prima

Primul nimeregte finta cu probabilitat"" +4,'5 ai doilea cu probabflitat". {, tu. ul urnesefac3extrageripo"i"tltt-s"tlefiecareclatdbiiainapoiinurni'iardincelelalte
3s5nCaeaunugrererCgna1ereae4e.sr2.etJsieS)eebi(inpsJiflttaezecolicoe*bpae4ncarlasobbcirbceiebilatlietei9blaule:itirIloei,ntau.aa'linebtuecsae"faaet,ntaneoc"igeftlleai+;etnnrg"'e'gor"U2'6rgo'i'ui,ccrilUniints(ee,aJ,uust5r-Um[ab"ol4i2t'lboeUfbba'iniorilpleeeeuralennaavillnib32bndeedubr'uE-ic5nlsieoeeunmna?bealpiblgoaenzreeiqelaiiiixlge3tUrrbaaUbsidn-liei-'i4lnrna5eppbgroiirblmieei'liaenaialubautrelnrbdn'deibn4''
treilea cu probabilitatea |t) . "ur" este probabilitatea ca linta s6 fie atinsl ?

6. Cu notaliile problemei 6 de ia capitolul precedent si se arate ci

a) P({M2} u {M3} u {M5}) : p({Mz}) + l'{(Ms}) +
P+({ptv(I{6,1}4g5}){n-at.oP}({sM6{]}l),f-ts})p(:{ltapl(0{n})46-}).P+({rM,({tns}4)to+}) p({na30})
b) 3 a treia umd. se oblinem alt[ combinalie ? Din fiecare url1e se extrage
+ 15. Si consicletlrtr urnele clin problerna
prececlent6'

c) P+P{{((PMM{a3(M,0t14v2v){+}M{+MbP}4(p{2U{M)(M{1uh57t}c{o)M}\\-)7:+02}PP.Pg({{{(r(M{wnl}43ar110})00\)55;+}})) : P{(na30}) + ecisteteobpirloeb,baiblaileitxattreaasicrpaucnleind3uo-srei isniapoobil.iDneamc[soeebfile6ctauiebai zEidi 2e5boilreienxepgerefie? [la,care
tl) - 3p{(tn2t0});

P{(Mb}) +
1P{(Mc\) - e@{la, b1}- P({tMta.. c1\) - P(IMlb, cll) t({Mla,bclfi,
Sb se generalizeze uitima relafie.

7. Cu notaliile de mai sus sA se arate cb daci a, b, c sint nurlere uaturale prime 3;
intre ele doub cite doud atuaci
.,
a) e({tra} U {Mb} u {mcil : P({Mal) + P({Mb}) +
{ P({Mc}) - Pl{Mab\) - P({Mac}) - P({Mba}) I P({araba\|"

Si se generalizeze.

b) Dacd in pius a este multipl;rl- de a, b q1 c, atunci evenimentele {Ma}, {Mb},
{Mc} sint independente ire totalitatea lor. ln acest caz

P({Ma} U {Mb} U {MlcJ) : I * (1 - Pal(r - Pb)(t - Po),

uf1de r1ot6m

pa : pl\Majl

pentfu oc natural. SE se generalizeze. '!5rJn

B. lntr-o clasb slnt 14 bSiefi gi 16 fete, in alta sint 15 bbiefi qi 15 fete, iar ia
a treia 18 beieliqi 14fete. Din fieca,re clasdeste iuat la intlmplate cite unelev. Cate este
probabilitatea si fie algsi doi beiefi qi o fatd ?

0. lntr-o cutie sint 4 pachete a cite 20 fig5ri. ln primul pachet este o figari rupt6,
ln al doilea sint 2 ligdri rupte, iu al treilea 3 figeri rupte, iar in al patrulea, 4. I)in fie-
care pachet se.ia cite o figari. Care 6ste probabilitatea sd iasd 3 ligeri bune qi una
rupte ? Dar probabilitatea sd iasi cel pulin 3 figdri nerupte I

32

J

\IlV/ /{ t\, t,1v t O variabil5 aleatoare X o vom nota schematic:

/ t(r',;', ...7,)'

Gl Uariabile aleatoare. Ualori medii unde in primul rind al tabloului am trecut valorile posibile a1e varia-
bilei gi sub fiecare valoare, probabilitatea cu care X ia aceastl valoare.
$ 1. Definillo voriobilei oleqtoore. Exennple Tabloul de mai sus define;te Sistribctli(r. sat- repartilia aayiabilei X.

ln viala de toate zileie intilnim 1a tot pasul mirimi care iau valori i; af; mai multe ori in calcule este suficient id. cunoa;tem valorile
pe care le ia variabila aleatoare ;i probabilit5lile respective. Dar, in
ce se schimbi sub influenla unor factori intimplStori. Aga sint, de general, cunoagterea acestor date nu este suficientd pentru d.eter-
minarea completi a variabilei aleatoare. Si arltdm acest lucru pe
exemplu, nurnbrul de zile dintr-un an in cate cade ploaia peste o un exemplu.
anumiti regiune, numirul biielilor din 100 nou-nisculi, num5.ru1
Si considerim un joc cu zarul. Se acor<li celui care aruncS zaflili
de puncte care apar 1a aruncarea unui zar, ntmirrul de bile albe care I punct dac5" apare una din felele / salu 2;
2 puncte dacd apare una din fele1e .7 satt 4;
apar in n extrageri dintr-o urni care conline bile de diferite culori, 3 puncte daci apare una din felele 5 sau 6.
printre care ;i bile a1be, masa unui bob de mazdre luat dintr-o anu- Daci notim cu X numirul de puncte oblinute de un jucitor 1a
miti recolti", rezrtltat:ul oblinut in urma misuririi unei mirimi fizice, o aruncare a zartTai, oblinem o variabili aleatoare avincl distribulia
viteza unei molecule de gaz etc. in capitolui de fali ne intereseaz5.
dintre aceste mdrimi numai acelea care iau un numir finit de valori. "(1,, ?,"'?,")
'Fiecare din mirimile de mai sus poate lua diferite valori in diversele
Si considerdn paralel un a1t joc cu care se acord5:
efectuiri ale experienlei, chiar daci toate condiliile rdmin neschim- I punct dac5. apare una clin felele / sau 6 ;
bate la fiecare efectuare a experienfei. Modificarea valorilor are 1a 2 puncte daci apare una din felele 2 sau 5;
3 puncte dac5. apare una din felele 3 sa'a 4.
b?zd factori intimpl5tori. De aceea vom nurni aceste mhrimi aariabile Oblinem analog variabila aleatoare Y cu distribulia:

-qfu1toare ( inti,ntpl d.to ar e ) . variabile aleatoare trebuie si cunoagtem "6, 1, i,)

Pentru cunoasterea unei ln exemplul nostru, variabilele X ;i Y nu sint egale, dar au aceeagi
distribulie. intr-adev5.r, X poate si ia valoarea 3, in timp ce Y ia
in primul rind valorile pe care le poate lua. Dar cunoagterea acestor valoarea 1, daci a ie;it fala 6. Mai mu1t, atunci cind una din cele
doui variabile ia valoarea 2, cealaltd. nu poate lua aceeagi valoare.
valori este departe de a fi suficientS. Dupi cum am vlzttt, fiecare
$tim cb aruncarea zarului este o experienli care di nagtere la un
valoare este luati sub influenla unor factori intimplitori. Deci, unele
cimp de probabilitate. Am notat mullimea evenimentelor elementare
valori pot apdrea mult mai des decit ce1ela1te. Variabila aleatoare va
J5Jtr
fi mult mai bine ptecizatl, dacl vom cunoagte gi probabilitatea cu

care este luati fiecare valoare.

34

dpedfiinniEtd-pe{'1E, 2, ,c3a,re4,ia5,u6rm}.dStoeavreeldeevcadlovria: riabila X este o funcfie aX are distribulia

X(lll) : | ; X({2}) : r' X({3}) : 2 ; X$al : 2; o*(o*,' oo*,' . .. ax,\
X({5}) : 3; x(6}) : 3.
...p,)'

La fel: rat

y({7}) :v ({6}) :t, v({2}) : Y ({5}) -2, v(i3}):Y(t4\\:3. a.+ x(' ;,-' " ;,*' '...' ;_-")
ln general, la orice variabila aleatoare ne intereseazi probabili-
2. Adunqreo voriobilelor oleotoore
tatea ca ea s5 ia o anumiti valoare. Dar pentru a putea vorbi de pro-

babilitate, trebuie si avem in vedere un cimp de probabilitate.
Vom spune deci ci o variabili aleatoare este o funclie definiti

pe mullimea evenimentelor elementare ale unui cimp de probabili-

tate. d.e forrna X : xr sint euenitnente. in exemplul de mai Fiind. date douh variabile aleatoare X 9i Y, vom numi suma lor
Egalit6li1e echivalenta cu et'ertinterrtul1l, 2). intr- !:M =)( lY.v
r-93^x,- !-!rr *ts valoarea
x:,
.o.,-ig;fit"t"u- X: t eite iar 2 :1f-11 r?199. -lYE -X

-adevar, aceasth egalitate se realizeazh., daci;i numaj daci se realizeaz[" Y ia valoarea Y1.

acest eveniment, cu alte cuvinte jucitorul respectiv capatS un punct, tr"a X ti V-t"-iGpectiv distribufiile:
daci gi numai dacS obline una din felele I sau 2. I)eoarece egalit6li1e
X: frt; X: xzi...; X: xn sint incompatibile doui cite doud- ,"(T, .;,...N)'
F-urr. din ele ie realizeazi neapdrat, avem
:-P(x x')
l-'l nn) ''
i,f,'I;,f' : iv-_.^ J
. t: "(r: ';, ... ';)'

$ 2. Operofii cu voriobile oleotoore X +Y are distribulia

1. Produsul gi sumo dintre o constontd X +'-Y\I/x,fI,, lt

gi o voriobild oleotoore A 1: ?., : t't ml ,i : 1' a2=l'e-a''rtyo"oa;rvenX=) ,yeiY.st,e...p,Vro,lasbuilmitaate1oar

=s!gr.g1tip5:, g_eg_qlilliil9l

date mai rnulte variabile
xDacb este o variabili aleatoare gi a o constanta, ax este vatia- {y$Jo-
axo, atttnci cind X ia valoarea xn, iat a +X
bila care ia valoarea regllz{ri
variabila care ia valoarea a * xt cind. x ia valoatea rr. Dac6 Fiind
este
X are distribufia. se definegte aseminitor: X +y+...+ Z este variabila care ia
valoarea xr * h * ,.. * an, daci X, Y, ..., V iau respectiv
*(;";" ...7.)' valorile )ti, !j, , . ,, 0h.

36 37

De exemplu, fiind date 3 variabile aleatoare. 3. Produsul voriqbilelor oleotoore

X\(fxr'Px', '' . t"\, Fiind date doui variabile aleatoare X gi Y, vom numi prodtlsul
lor variabila XY, care ia valoatea xoy1, atunci cind X ia valoatea
1,,,,) xn gi Y ia valoarea rrj.

" (,:;: o;.), Dacd X ;i Y au distribuliile

'(7,7,: : : :"), , (;:,;,,: : i:,,),

putem scrie 1' {\ J'' t' "..t;)'

x+Y1-z ' Q' q' '

xY are distributia

Cind scriem tabloul de distribulie al unei variabile aleatoare este sY (xt')'' t')'" " ' x;!i "' T:')'
bine si aven! in vedere ca valorile din primui rind sd fie diferite doud J", .-- lii
cite doui. \lr'

tnde pai este probabilitatea realizirii simu ltane a egalitifilor

! Aplieafie. Pyobabilitatea extragerii, unei, bile albe d'inty-o urnd, este p. Din aceastd, Ov_: ", *,, \,/_:y.i.

uvnd, se fac 2 exlrageri, pundndu-se /inapoi bila dupd printa e lvageve, Se cottsiderd Fiind date mai mnlte variabile aleatoare X,Y,..., V, vom numi
produsul 1or variabila X'1'....'V, care ia vaioarea frtii...ut,,
uayiabi,lele X, 9i, Xr, prima reprezenti'nd numrirul de bile albe iegi,te la pr'ima ex- dac[ X, y, ..., I/ iau respect.iv valorile fr;, !.i, ..., 't)k.
tragere 9i a doua mumd,vul d,e bile albc iegite la a dowa exh,agere. Sd, se scri,e d,i,s-
I)e exemplu, fiind date 3 variabile aleatoare
tvi,butia sttntei celo'r d,oud uavi,abi,le a,lealoave.

Eviclent, ce.le douir vadabile au distri'butia:

*'l(o10\ oJt t'lotl0\ ,i)'

unde 4 : 1 * f. Conform iiefinifiei sumei variabilelor aleatoare puten.l scrie

';"*, * *,(t jt r+0 0",i1o-l' 0";+"01
)

Vom scrie

x' t x' t2 2 1 0\ putem scrie

lo, fq s,l' xvz(.1;1,, .f:J,' '.'.'..;t:'r '... . ij,'),

Variabila suml reprezinti numirul de bile albe ieqite in 2 extrageri din ura6.

38 39

ande piie este probabilitatea realizhrii simultane a relaliilor Fiind date doui variabile aleatoare X gi Y, astfel ca Y sd nu ia
X:x;, Y:!t, Z:zn.
valori egale cu zero, vom uumi raportul 1or variabila Jt'l , ""re ia va',
tj:
! Apliealie. Sd se scyie distri.bulia prod,usttltti XrXr, unde J, qi X, sint tayiabilelc loarea yj , dac6, X ia valoarea xL gi Y ia valoatea yi.
de la aplicalia din paragraful precctlent.

!'olosiutl direct definifia produsului r,ariabilelor aleatoare putern scrie

x'.Y' (7.1 1.0 0.1 0.0\ 6. Voriobile oleqtoore independente

I p, pq sp ,1" )'

Vom scrie deci Am vizut cd de cite ori avem de efectuat o operalie cu doub. va-

(1 n j. riabile aleatoare X gi Y, ne irltere9eaz6, prohabilitatea realizirii simul-
tane a egalitifilor de forrna X : xi, gi Y =(Xyi:.
x'x' lp' l2pq q'J' Noi arn notat aceasti
plobpbilftale cu 71;;. I)aci evenimentele
x,) gi (Y : rr;) sint
indepg4dgqte pentru-toate valorile indicilor i gi 7', vom spulle cd varia-
bil*InXacpes! t! sint independente.
4. Ridicoreo lo putere o unei voriobile oleotoore caz putem scrie

Fiind dati o variabili aleatoare X, vom numi puterea r a variabilei p,o: P(X - x,, Y -J,'r) - P((X: x) n (Y : !)) -
: P(X - xt) - P(Y : yt1
X variabila X' care ia valoarea x', dacd X ia vaioatea xd.
DacA distribulia lui X este sau daci

l;";:*ulx, x, ' -'\ P(X : x) : fi 9i P(Y : J,t) : Qj,
;:,,",)' ',fl;i :h,'Qi.',

distribulia variabilei X" este Dacd arrem mai rnulte rrJtlutit" *tu"toor" X, Y, . . . , I,' , \rorr spurl€
c5 ele sint independente d.aci toate evenimentele de forma:
x'(xi x:" "'xi\-
(X : x,J, (Y ::-), ..., (V : an)
\1, f, ... p")

5. Alte operotii cu vqriobile oleotoore sint independente in totalitatea 1or.

Daci

Vom numi inversa unei variabile aleatoare X, care ia valori nenule, x (r' xt -. . t,,), \, (!' J', . .. rq")"J, z (,, 2,, ". z.)
\f t f , . .. '1,^l \{r Qz \rt .,. r,J
-l'-.t gxlg ia r,

variabila ^ valoarea -l-, cind X ia valoatea tq. sint variabile aleatoare independente, atunci putem scrie
este variabile aleatoare,
Acesta un caz xi gi y (*t + 1', nt * -\'t "' tci * li r'' * r;\
\ fflt Pflz PiSi f,,Q, )'
particular al puterii unei
anume, cazal r: * l. X +

40 41

yy (x'!' xrlz . .. X, * X, avind distribulia
X,* X,ltp2,1
\f ,q, ?fl2 0\

x+Y +z (*'*Y'+" xt*yr*zz .. . xi-lyiizh ... x,**Jt**2,\ "pn n)

\ h,Q{, f flrrz Pflirn h*Q,(, ) "r". are valoarea medie

Variabilele X, gi X, din aplicalia de 1a punctul 2 din acest paragraf 2p' + 1 . z4q + 0 . q" :2P(P * q) :2P.

sint independente. intr-adevdr, evenimental Xr: 1 este evenirnen- Daci luim ca variabili X numbrul de puncte iegite 1a aruncarea
tLn:oi zar, distribulia variabilei X este
tul oblinerii unei bile albe 1a prima extragere, iar Xr: I este eveni-
merrtul obfinerii unei bile aibe la a doua extragere. Noi gtim cd aceste Xlr(lrr
doui ci 2 3 4 5 6\
evenimente sint independ.ente. La fei deducem evenimenteri r r t t
Xr : independente tl,
l, Xr:0 sint etc. \a ; G 6 G EJ

$ 3. Vqlori medii iar valoarea medie a acestei variabile este

Def inilie. Fiind dati o variabilf, aleatoare -M-\--El \:I.-l- 6 +' 2.!6+3' .f 6 +4.L6+S.f6 +6. r :2.

G2

*\^lx-,, x.,... *.\ 56 scoatem in evidenli citeva proprietS{i ale vaiorii medii.
p",...;,)
1) Valoarea rned,ie a unei constan['e este egald' cw constattla.

vom numi valoarea merlie a aeestei variabile numirul Distribulia unei r,'ariabile aieatoare care ia o singurd valoare

este de forma /i I si deci valoarea medie va fi egali c1t a ' 1 : a.

M(X) : Pfcr * fzx.z+ ... * p,x* :bp,in \1/

2) Dacd. X este o aariabild aleatoare ;i a o conslantd., atunci sAnl' ade:

udvate relaliile r4i.'r'u i - ^"1i1'' k "

Exemple ai !-I(a* X) : aI A[(X),

Variabilele X, 5i X, din aplicalia de la punctul 2 din $ 2, avind. Q M(aX) : ax'IlX).

distribuliiie intr-adev5r, fie

n0\ ,(;";" "".r.)

tp E)' distribufia variabilei X. Distribulia variabilei a -F X este

au valoarea meclie a.+ x( ;,.' " f,*' '.'.'.n

L.p+O.q:f. ;.*"),

r.2 '43

gi media

(a* x,)fr* (a* x,)fr*...+ (a{ x,)p,,: Fie
-a(fr*?z*...+ P,) + (frxr*?zxz*...+ pnx,,):
,(;'. ;', ....;.), Y (;,;: ...';')
- a I M(x).
doud vadabile aleatoare. Ne propunem s6 calculim valoarea medie a
Distribulia variabilei aX este
variabilei X-rY:
...
ox P\ f*tt axz ... o*,\ X +r'y\ Pt?+r"lt \ * lz... xi * fi ... x*+ltl.
1r, . ?r, fi; l,,n )

ar media ?, )'

Pr@xr) * p2(axr) + ... *p^(ax,,):a(p$r* fzxz+... *f,x,): Conform definifiei valorii medii putem scrie:
: aM(X).
M(X + Y) : ?rr(*, * yr,) * frr(x, * yr) *,.. + Prn{xt-1- y,} *
3) Valoarea ntedie a unei aariabile aleatoare * frt(xr*yJ l- Pr,(x, * yrl + ... + f,o(x, * y,) *

X"\(p*,, xt... xn\ a...o

lrr...h) * f*t(x,,*yt) * ?nz(x,, * yrl -f ... + P,n,(x,, * y).

este cr'prinsd. i,ntre cea tnai micd. si cea tnai mare di,,t aalorile posibite Se observi in aceasti relalie cE x, apare in toate parantezele din
prima ltnie, x, in parantezele dirr a doua iinie, . . ., x,n in parantezele
ate aariabilei din a nt-a linie. La fel, y, apare in parantezele <tin coloana I, y" io
cele din coloana a If*a, . . ., ),, in cele din coioana a-a. Deci, daci
A, intr-adevir , fie a cea. mai micd <lirrtre rralorile fr11 fr21 . . ., frn gi vom desface parantezeie ;i apoi vom da factor comun p? Nt, 2(22 ...,
cea mai mare dintre aceste valori. in relafia
Xrr, ytt, !2, . . ., ),tnt VOm Obline
M(X) : fixr * frxr+ ... * h,xn,
membrul drept se M(X +Y) : xt(Fn * f',+ .." -l ?',1 * xJfn * Pr,+ ... +
micsoreazr dacd" inrocuinr toate varorile xn(i : * f r,l + ... * t\,(fn, * f,,, + ... f ,,.,) +
- l, 2, ..., n) cl a:

M(X))?&*fza + "., *!,a:(h*fr+i ... + Pn)a:a. aa

Daci inlocuim toaf,e valorile x, (i : 1, 2, . . ., n) ca A membrul drept * ),t(?t' -f fn * ".. + f,,r) * },r(!e * her *

se mhrepte + "'*f,nz) -i- "'-l)',(hr,*!r,* "..?,n,).
Si scriem aceasti relalie mai restrins
IV(X) 1 p,A * f"A+ ... * b,A : A.
M(X + Y) : ,r, -f f p* ,
Deci
D xi(fn f,*) +Dyt(f
a<M(X)<A. ... * ,i*pr;*...*f*i.

4) valoarea ntedie a uner sr,t?ne tintte d,e aariabile alearoare esr,e (XR:xea)Omin(tYim:icld. prin ?nr am notat probabiiitatea evenimentului
cgald. cu s.tlt,a a&iovtlor nrcdtt aie aariabi.!etor rttcaroir.fs respectzue.

44 45

Evenimentele d,o(uYi.:lgJi , (Y - !zl, ..., (y :3,) sint incompa= In general, daci ;tim ci

tibile doui cite M(X., * X, -F ... -l X") : A,I(X) * M(Xr) + ... + X'I(X"),

(Y:l',) U(y:J/rl U... U (y: .t,,)_8, din relafia

unde E este evenimentul sigur. Deci Xr* Xr+ .". Xn ! Xuar: (Xt * X, * ... + X) * X"+r
(X:4 -* (X - x) n E: (X::v) fl [(y:-1/i) U (y:J,r) U..n
rcns1rt6.

(X: x,l:i(X:;,) "' U (L' ::t;)J, M(X, * X' * ... + Xu* Xn*tt: M(Xt * X* * ... + X") +
f) (Y:J,r)l Ut(X : x)A (y:yr)(J... * M(X"+rl : M(X) * M(Xr) + ".. + Xl(X,,) + l,I(X"+i.
... : 4 i\
p: u [(X pl(X: (Y:-1],)1 ; + O Apticalia l. Si corsiilerirn variabilele X, ;i X, de la aplicalia cie ia punctul 2
P(X: (I,,:3,,)l
x:): x) O (y:l!)l din 92. Anr r-dzut cir
Pi(X : x,) A (y: j,r;1 + ... + pi(,\ : x) O
+ nl(xr) : p, t/(xr) : p.

sau Rezuit[ cir

t', : ?it * P* 1- ... * P,,. tr(xr + x") : n1(x1) + n4(x)\ :2p,

Acest rezuitat i-am gisit qi pe alti cale (la inceputui acestui paragraf).

Rafionind la fel se poate arita cd I Aplicatia 2. Se amtncci 4 ;avuri. Sti se calculeze aaloa;ea ncedie a nwmdyului de

fi:?tt*fri*... *f,,;. pznzcte ob!.i,nttte.

Putem deci scrie S5, notim cu Xr, Xr, X.,, X,, respectiv numirrul c1e puncte obtinute la ptimul. ia aI
doilea, la al treilea si la al patrulea zai. Distribr-rtia ficcirruia din aceste variabile
Itf(x +Y):.D n$t i--)r,lr,:
?:1 l:l aleatoare este

x,I(x] + M(y). Ir\Ir't-1,-rrrzi-l.so 4 s 6\

s?t, valoavea medie a ,net s,,r,e de crottd variabile areatoare este egatd 6 ri -of)
sulna ualorilor urcd[,i ale celoy clotd aanabiie.
Daci notim cu X suml, lumetelor de puncte iesite pe fiecarc clin cele 4 zaruri,
x+Y*Z:(X+yr+2.rdeecuPvrareornpidrf'iibe. itlPaeteeanaltereausttoeaacareeda.sentvaeirreanstotie'spsteruanttgicriueansatucmse5as. touebni suaeifrivn'drurmranficriiifsipneuitftaeocanerescpcarrrieie' pcrtru a calcula vaicarca lredie a lariabilei X este suticient s[ observlm ci

\z-\-rVr\-rY

Din aceast5 reiafie rez.,s7tb proprietatea pentru trei variabire De aici rezvlt:.t

rleatoare l/(r) - ri1(Xr) f r'11(Xr) f n/(xj) + II(xq) :14.

5) Valoarea rtedie a cnnti ptotitts fittit de vayiabil,e aleatoare,

Fiind date doud variabile aleatoare

M(X +Y + z): Itr(X + y) + M(z) : M(X) + M(y) + M(Z). (;, ,:'..'. ;,,), " (;:'; .'..;),

l6

'47

yaloarea medie a rzariabilei I Aplieafia l. Vayiabilele & tr: X, dix aplicalia de la ptrnctui 2 diu g2 -si.nt tnde.

xt_rt ... KtJ'i .. - x*y,\ l>cndtnlr si
P,,, )
Xy(r\tP-r'ttr ft, ... f,,.... .Avem deci i11(X1) -,U(X:):p.
l\r(xrxe) _ p2.
:ste
La acelagi rezultat ajungem consiclerind clistributia r.ariabilei XrXs
M(XY\ : fy.xrJrt * .f*xt),2+ . . . * f t,K,rJ', *
* fzix{'r *p*x{,2 -1- ... * P,,xzJ,, t
X,A'\l.[t'1,:"P.,l.Io \
q"1] .

* *1- f,rt.\:r,J'r f*zxr,lz+ . . . 1r,,,,,.y,u),u. Apliea[ia P. 'Sri sr calatle:c z,altto.reo nzcdic ct frodusului numerelor dc ftyrcte care
rn caz-'a'7 general, aceast[
nsd variabilele aleatoare x gi expresie nu se poate simplifica. r)aci. apar la aTuntert{t o dottti. zat'tly,i-
iciri insemnate. $tim c5" in Y sint indepenclente, se pioduc simpli-
Fie X numirul de puncte carc apar 1a primutr zar Si Y, rurnirrul de p'ncte care
acest caz putem scrie apar la celilalt zar. l)acir Z cstc proclusnl cliruia r-rem si-i calculiim yaloarca ruerlie.
?r : feLi,
M(XY) : Prg#tj-r * ?$txitz+ .. . * f$,h!, * atunci

* ?zQrxt):t * fzQznz),t + . .. i af>,,q,,t,r1,,, z:x"y.

* f.Q$,n!', * p,nqr:v,,3', + . . . * !,,Q,x,,)tn. Deoarece variabiiele X ;i Y sint iraclepenrlente
xL(z): nc(x) . n/(y).
Dincl factor comun prx, in prinia
a 'n|-a, re7.L77te $tim cE nf(x) : M(Y) : Z. n""l

n linie j>rx" in a c1oua, . . -, ?,,x,o

M(XY) :/>;xJQtJ\ 1- q{,, + . .. 4- q,J,,) i AllZt : 4'.9
4

* * + ... * *t>"xr(,qtJ,t ,l"J'"
Q,,),,,)

: lM(xy) (fn, *I,l:?@|.t.^ f-i.'riu,;, Jr,';l''l ".. * qny), $ 4, Alte volori tipice qle vsrlqbilei oleqtosre
M(XY): M(X) . X[(y).
1. Momente
valoarea m,edie a w,nwi !>rod.ws de dor'td aqriabile aleatoave ind,ependente
Fiind datl o variabill aleatoare X, aotn nfftni rnat?rent de oydinw
ste egai'd' cu prodarcotl ualorilor m,etlii ale uariabilelor consideyate. al acestei aar'iabiLe ailloare& maLiie a variabilei X/,. Vorn scrie

Daci se face observafia hrh(X): lI1(Xa).

:xYZ (XY)Z, Daci X are distribulia

ez;':/'tl, pe baza unui ralionament asemindtor cu ce1 din cazul sumei, x, ... xr\
5 valoarea medie a unui nurnirfinit oarecare de variabile aleatolre
ndependente in totalitatea jor este egal6 cu produsui valorilor medii ^(; f , ,.. /r^)'
,le variabilelor considerate.
19
t8

ncl Se observi cX semnul expresiil.or xi - nl nu influenleazi valoarea

M(Xo) : f,x\ * frxL+ "' + p'xl'' abaterii medii.

O variabili aleatoare care ia numai valori pozitive are momente isnatcPMaultcyeu(mXle.l-uFaoncata)rttielnedcticcoa.mtFooordloaisleiirsmetaeprainib;taisetceriirriiiimvmabreidafo,bilioileessiirteXeafgoeiaxMprtreel6siineci-ommo)d')i
tuIt(X - nt)z).
:i=i:zn7oulFdocmtareV'acriirderiXtlirean,icee,naaldew0oa-1odalb_buorceartldaaMtrrlementittrrnaelaati(eiaderunXp*embeclooa)oif-reflinetorn*advsv,i"itt'itaasa"e("tanrrr"Xoii""tautaa"i;i'o,-rib-bo;'-"i;tairi"o]l;#lr"elt-;otpao;iiia)'*"at"nueXa'tlut"e''ro"u'a"iaP-ri'totiaeoaoa-anabcr"arielitcel"rseu"uittraiX"uoerdtoiXriieaap.qvb'ia-1odiairaal'ueae0oratiimgar-'oixrfcabetraoo,c-btifb,all.nli-iesilel^cnlesipnLtutva'ecaa^ealXllne^enmvrif+ta:tiiarnab-xtuaerobmigiaaa.iola,toe-rebv-'e'm:iaiciullMenraeXeaisiaMonsra'lbmtaXlteu(Vlin'elo'xleaunna\siilrurtnnaiuea:X1buial--["'
2. Dispersio
- : - :0'ntr-adevbr M(X il'I(X)) lrl(x) n/(x)
Vom nurni disirersie a unei variabile aleatoare X momentul centrat
r)nubedrauimtclavuvataloltolroorinrrleiiui,mmv1aaeerrodiiaciibv' i"al;ei"'rifii*;ad;pt;ertiallia;atvimieeaealroctiaoliieraevraaaelmaonbereiadliontieetter'rivieTasdrereeiaba1ubzairielaemsciedialdlsideeteaantbomuilaiumprelotausitnnee de ordinul a1 doilea al acestei variabile. Vom scrie

o":Dz(X)-Mt\X-nt)zl,

andem: A,I(X).

DacE X are distribulia

.(r',;: ...;:)'

D'(X): Flxr - *ut)z fr(x, - +ntt)z ... * P,(x,- m)'-
:pr@i-2nrxr-lm,) *fr(x,-Zncxr*nf) + ... +
-2m*(pp,r1xx:ri,*-hX'r[2(nXn,zz)x+,-*.2.mn.tzr*)*/:rntxn(pz,,r:lx;)i -X+'nt(pXc'2zr);(!.-1+>iM.,*.(.PXr+)*1.'lz.r".,*|+,)
c:bvpaoaielrmdraipcacaeatbnelreiestlaeiezoatiaozXaaavcro,"'e".m"apeisp'ntir'lo"ri"mr"tri-"^tp'"iitirEo"log'uitdott'ie"iteTia"rte'neimt'ocetl'neett*eododirafeiierreve'tsacDcelotaestcr's"[id'ttc"eaX-altivuriiiaaln6cardpetbeessdtnoeiziltmsulrmtutnreioebirmiuiXdclpiieafr-edt'gariMtrtiieea(rX'-es)aeL - -

j,,,)

Si scoatem in evidenlI citeva proprietili nai insemnate ale dis-

persiei.

"'X(\xyr','rf',t "' 'r"\ a1 Dtspersia unei consLante este nuld.

l'',J :D2(a) Q.

atunci distdbu,tia abaterii absolute estelx" -rrll\. Este adevirati ;i reciproca acestei afirrrrafii.

t f, F, p,( xt - ntl \x, - nl "' )' b1 Douti uaviabile care dijerd. prinlr-o conslanld aw di,spersii egale.
Sd considerdm variabila

:tnde wr, M(X\, iar abaterea nleclie este x(\"f'f"x'".."t''"Jr'\
Prlxt - ml * ltz\x, -' ml * "' + l"lx" -'nl'
51

50

Y:X_FA, care are distribulia: De obicei, gratlu,l de i,mprdstiere aI u,nei aayiabile aleatoare X se

y-\(*r+be, xrl&...xo*o\: ex'frimd. nu />rin dispersie, ci prin abaterea medie pdtraticd D(X) d"atd

!, P, )' cle relalia

nl ca m' : M(Y) : I[(X) * a: nt' I a, o : D(X) :\,[F1x1 : VnGr) - LrU(x]f.

D'()') : fr(x, *?fnar(a--x. -re*-)'t')n'u+')r2,:)z*..+f.t.(lr**.r.t(.x?*,,**(x&!*a,-,|-(xnaL,n,t---")zn0rn-r)y')-z+.:.a.D)z+z:(X). Aceasta are avantajul ci se exprimh irrin acelea;i unitSli de rn5-

I ?,(x* { sura ca gi valorile variabilei X. Proprietllile nrai importante ale aba-
terii medii pltratice sint :
: * Fr@, {tna)'-*
fr(xr- D(a) :0, daci a este o constanti ;
D{X + a) : D(X) i
c\ Dispersia l>rodusuhi dintre o conslantd, 5i o aariabild. aleatoare L)(aX) : aD(X).

;te egald cot, produsttl dintre pdtralttl con.statiei ;i tlispersia aariabt'l'ea Aceste proprietili le are gi trebuie s5 le aib5 orice rnirime meniti si
mdsoare gradul c1e imprigtiere, ele exprimind proprietafi intuitive ale
Dt(aX) : a2D2\X), gradului de irnpri;tiere. in plus, abaterea nredie pdtratici are proprie-

d) una din cele mai importaute proodetili a1e dispersiei este tatea ci dach
rnritoarea: dispersia. unei stnne .finite dc z'ttrial.tile aleatoare 'ind'e-' or : D(Xr) I 6z : D(Xr);. .. i o,": D(Xn),
endente este cgald. cu sx.{'lrt(7 dispcrsiilor uariubiielov adunate
unde Xr, X", .." X,, sint variabile aleatoere independente,
D"(X, * X, J- ... +,\") : r'?(Xr) t D'(Xr) + ... + D'(X*),
aLunc.'
.aci Xr, Xr,. . ., X, sint iuclependertte in totalitatea 1or.
o : D(X, * X,*... +X,) :V;f+;X+ ... + %.
i5 notim Y:Xr*Xri-... +'Y".

lrn vizut ci Dr(Y) : I,I
... + X,,)
-(.V2) [r1l (Y)].:,
MI(X' +
X. +
: : -*D'(lXx[,(*XtX+, ... Probleme
-l- + X")'l
X, + ... + X,;)7" M(Xi+x:+ t. Se arunci clou5. zaruri qi se nr:tcaz6. cu ,5 nunrirrul total de puncte care apar.
... +X.+ Si. sc formeze tabloul distribuliei lui 5'.

2X1X' + ... + 2X,_tXn) - iM(X,) + M(XrJ + ... +
.. +
+ xr(x")Jz: ff(x?) + M(x?) + n16')")
++ 2. Se aruuci doui zaruri. Se acordir 12 puncte clacir suma fetelor care apar este
+ 2I,t(X)At\X,) * . . . + 2A'I(X,-)M(X,,) - -i- I/I(X,)]2 2 sar 12; 4 puncte daci aceasti sum5. cstc 7 gi I punct pentru celelalte cazuri. 56
- -i AI(X,)12 ... -- l-AI(X,,)l' -XI(ZXlt;)(r+,)n/(.x*,)
se sctie distribulia nutndrului N de puncte acordat celui care arunci zarul.
LVI(X,-)AI(X,): XI(X|) -f
M(X;) 3. ln conrlitii)e problemelor 1 qi 2 si se faci tabloul pentru s' f I r;i pentru 2rv

--(Ml(xM(xl("(x)X))',]J)z)':l*+Di2xL(nIx(1rx)(x2*l))1D-'-'($x.I,.()X. +,-))'..[.ln./+(+x,',D.),]'l'(+x:")l.M(X".) 4. Se di variabila aleatoare ,/'.!-L:-{ \ c\/)i,..,/ {
t,)
.= iff(x?) - *"([6o,sto';1/-. ," , .1 o.> p,)

- SB se facX tabloul pentru Xa{z Q N). ''

1.=x.

,2 53

5. Se dau r'ariabilele Si se scrie repattiliile variabiielor X + X' 5i X 1- Xt.
1?. Sii se calcuieze valoarea medie a variabi-lelor care apar ia problemele l, 2, 3, 4t
t-i 0 1'1 (-t I \
5, 6,7, 9.
"[0., 0,, on )t' lor o,r J'
13. Variabila X are distribulia
Si se faci tabloul de distribulie pentru Xa gi Yu (z Q l/).
6. Distribulia vari,abilet X este xltt 2 3 4\l.
t0,3 0.1 0,2 0.1J
rl 2 3 4\
Si se calculeze fM(X)f'z, M(X'),i{(X - l), M(X2 - 2X).
xl n 1.1. 11. Si se calculeze valoarea medie a nurndrului de puncte ce se ob{.in la aruncarea
a 2 zantri. S5. se rezolve problema folosind qi rezuitatul prob;emei 1.
\o ;,; ;/
15. Sd se calcuieze valoatea medje a numdrului total de puncte care apar la aru[-
Care este probabilitatea ca X si ia o valoare ( 3 ? cafea a 6 zcruri,

7. Sd se scrie tabloui cle distributie al sumei variabilelor aleatoare indepeudente lG. Sb se calculeze valoarea rueclie a vatiabilelor

"[; ;;:; ;) '(: i; ;;;) xlltl o 2 3 4 ... ,, \
I_
S. Dacb vadabiiele de la problerna 5 sirrt independente ce distriltulie are surrra r l 1 l r l'
ttatelsr lor ?
\z"-t 2 4 8"'2n-tJ
0. Ce clistributie are suma variabilelor aleatoare independente
v"llrIttt'22.3tI t-t 1
"'zrz+lt
'l-I
I l'
\;; ; )
x(;;; +) "(;;: j ;)
17. S5 se calcnleze dispersiiie variabilelor aleatoare care apar in problemele l, 2, 3,
4, 5, 6,7.

Dar proilusul lor ? 18. Irie -Y o variabili aleatoare cu meclia re 9i dispersia oe., Si se calculeze valoarea

10, Se dau variabilele aleatoare independente meclie Ei dispersia variabilei v_- 'X-tn

l-l 0 l\ ta 0 f\ o
"l\r*;r s+T, ;,)l,o{ ,
\; zr,-c 'l ^@totatt) 10, Sd se calculeze dispersia uurnirului total <le puncte care apar la aruncarea a

t2p,) qase zcfurr.

$i se scrie distribulia variabilei X +Y. Pentru ce val.oare a lui a avem 20. Se consid.eri variabila

P-\-t-x+|Y-:o)>-t-'? c tl\tl;, i2r.eli , 4\
g'
*J
11. Variabila X are distribu!ia

sh se afle at Si a2, ast{el ca variabila I
Y:arXlaz
" (;'+ i)
sd aibi media 0 pi clispersia 1.

55

!1. Se dau vaticl;ilele independente

"(; )"ru' i-,") @ Elemente de statistict matematici
4
w
Si se calculeze a. astfel ca variabila X - Y sE aibd dispersia egali cu 9
$ 1. Noliunile de bozd ole stotisticii motemqtice
:3.2u.nOt!rinigt[iteosrtenfiomrerrnegatteidiinu4incteerricoururliccoenluciemnatri imceic'Dceet'ac dciustparonbtaabditliutanter'a]e0s'e05 gl
e:aqtneimire.reuqletestc"uu"pro4b0atrditeitapteuanc0te'2, in coroana dintre cel mai mlc cerc 9i cel de-ai 1. Populolie stotisticd. Cqrocteristicd
9i prime;t3 10 puncte' irr coroana urmltoare
I
robabilitatea 0,3 gi primegte 6 puncte, in ultima coroanS nimereqte cu probabilitatea
5 puncte. Daci trage in afara celui mai mare celc nu primeqte nici un Statistica matematici se ocupi cu gruparea, analiza gi interpretarea
;i primegte fach tabloul distribufiei numdrului datelor referitoare la un anumit fenomen, preculn gi cu unele previziun
de puncte oblinute oe tr5adtor
rt.' sa r" privind prod.ucerea lui viitoare.
trage un loc. Daci trdgdtorul trage 3 focuri, sd se caicuteze valoarea meclie qi dis-
in cadrul analizer statistice a unui fenomen aclioneazil mai intii
ia nurniruiut de lluncte obfinute.
statistica descriptivi care se ocupi cu culegerea datelor asupra feno-
fryfi menului respectiv gi cu inregistrarea acestor date apoi intervine sta-
tistica matematic5, care grrpeazd" datele, 7e anaTizeazi gi 1e interpre-

teazd in vederea unor prediclii privind comportarea viitoare a

fenomenului.

Vom numi populalie statisticd. orice mulline care totmeazl obiectul
snei analize statistice.

Elernentele unei populalii statistice se numesc wnitdli statistice

saa indivizi.

Trlsitura comuni tuturor unitSlilor unei popula]ii care ne inte-
reseazi in cadrui analizei statistice se nume;te ca,racte'yisticd..

Analizastatistici sepoate face dupi una san mai multecaracteristici.

Exemple

a) Daci ne intereseazh",rezultatele oblinute, )a tezd la matematici,

de elevii din auul IV a unui liceu; atunci:

'57

rG

- mu1limea tuturor elevilor anului IV din acel liceu for.meaza numirul cigtigitorilor 1a loto intr-un orag etc.). Aceste caracteristici se

nlalia statisticl; numesc discrete sa:u d,iscontinu,e.

- ii"""r" elev din anul IV al acestui liceu este o unitate O caracteristici care poate lua orice valoare dintr-un interval finit
isticS ; sau infinit se numegte continud,.
nota 7a teza 1a matematici este caracteristica studiatS'
b- ) Dac6, ne intereseaz| mtmdrul locuitorilor din fiecare ora; a1 Este cazul taliei, greutdfii, lungimii firului de pir 1a oi etc. Culoarea
p[rului, culoarea ochilor, sexul, profesia etc. sint eremple de carac-
i 1a o anumiti dat5, atunci: teristici calitative.
-ulamliau1slitmateisatictu5t;uror oragelor !5rii la data respectivl formeaza
fiecare orag constituie o unitate statisticl; 2. Gruporeo dotelor

- nurn[rul d.e locuitori la datarespectivi este caracteristica studiat[. Si presupunenr. ci s-a misurat in5llimea unui grup de 120 de per-
c- ) Dacd" ne intereseazS diametrul unor piese de acelagi fe1 fabricate soane. Rezultatele oblinute (in5llimea in centirnetri) sint date in
tabela 1, in ordinea in care ele au apirut.
:-o intreprindere dat6, atunci :
Tabela 1
- mullimea pieselor fabricate de intreprindere este populalia
fd--is,)tiodcDliaap;mcie|nesetiruicnlotpenirseetssiteeuiaieezlsotdeiusctnraiirbtaauctletiaesriutsantiutciisagtisrcutiu;pdira1etdc'opii dupl culoarea 1.76 173 l6l 17t 774 168 178 166 169 t'72
Pirului, atunci i81 172 t74 173 175 158 182
^ri_lo^rrgriiocfugloi*a"r.ea grupului considerat formeazi popirlafia 186 190 163 169 169 172 t72 188 175
162 170 173 173 171 776 175 176 176
t_is_tic6, "oiiito, din grrrputr respectiv este o rrnitate statisticd, 170 176 176 174 17L 162 175 175 180
fi""^," 174 177 179 180 i78 169 180
copil in parte 188 t7l i78 t64 174
- c*loarea tchilor gi culoarea plrutui sint caracteristiciie care ne iB3 164 l83 177 178 181 159
168 173 175 177 176 177 169
162 174 170 165 168 17t
173 179 t72 174 l86 t76 174 177
t79 177 t67 181 175 1'73 115
178 179 t77 776 177 184 174 172
168 171 175 171
177 va 165 i82 170 166
17a 167
t73 185 172
179
185 175
165
171
178

;ereseaz[. nenum5rate alte exemple d'e mullimi care pot constitui Este clar c[ sub aceastl formi, tabela nu ne permite s5. tragem

i" pot da prea multe concluzii cu caracter mai general. De aceea, este necesar
,iectul unei analize statistice: distribulia unui grup cle persoane clupl
lie, virstl gi distribulia oraqelor dupi numlrul de saiadati, clistri- si facem o grupare a acestor date. O primi posibilitate de grupare
rlia car<1iaci1or printre fumitori etc'
este aceea din tabela 2.

Tabcla 2

Din inslgi exemplele date rezulti existenla a doui feluri de cafac-

:ristici. 158 I 165 32 t7t a 777 -7I 183 2
159 I 166 172 7 178 tBA -l
O caracteristicl se nume,ste cantitatiud. dacl Se poate mSsura. In caz I 167 2 173 8 179 5 185
mtrar, catacteristica se numeSte calitatiud" 161 168 4 174 I rtB8tO 3 186 2
162 J 169 5 175 10 3 I88 2
Nota la teza, num[rul de loctritori, diametrnl piesei; virsta, talia, 163 176 I 190
rlar.,ul lunar etc. sint exemple de caracteristici cantitative. intre 764 I 170 5 182 2 2
ceste caracteristici d.istingem unele care pot lua nurnai valori intregi
rumirul de locuitori al unui ora$, numerul de copii dintr-o familie, .) I

;8 59

A.ceasta este o' tabela cu dou[ coloane, dar a fost astfel pfezen- Tabela 4

. deoarece are foarte multe linii. in prima coloanl este in1llimea
entimetri, jar in coloana a rloua numirul de perSoane cafe au aceasti
ifiim, eir.raStugbi*eaacecadsrtei iaforimi cbo,rteasbpeulnadenecpeet rmmaitiemsa[retranguemmlurndel'ee con-
per-

ne este 175 cm, inbllirnilor apropiate de 175 cm 1e corespund un negfl 240
nir mai mare de persoalle, decit celor mai depirtate etc' citptui
752
In tabela 3, sint prezentaterezultatele oblinute de elevii irnei clase terz.i 302
albagtri 206

I s00

teza de matematicS'

Tabcla 3 Dup[ cum se vecle, in acest caz, caracteristica ia patru valori:
negru, clprui, verde, albastru, care llu sint rralori nurnerice. Daci.
., I 7 15 impi{im un grup de persoane dupi prentune, atunci caracteristica
I I 6
3 I ia una din valorile: Ion, Gheorghe, Maria etc., iar in tabeii, in dreptul
4 2 J fiecdrui nume trecem numirul de persoane care poart[ acest nume.
5
4 r0 I in acest capitol, ne vorn ocupa cu precddere, de serii cu caracte-

67 ristici cantitativg.

Atunci cind analiza statistici a uuei populalii se face dupi doui

'caracteristici, rezultatele oblinute se trec intr-o tabeli cu dubld intrare.

Astfel, in tabeia 5 este redati distribulia unui numir d.e I 500 de copii
dupd culoarea ochilor pi culoarea pirului.

Din aceastS tabell putem trage concluzii referitoare la nivelul 1a Tabela 5
re s-a prezentat clasa respectivi 1a teza de matematici'
Din aceste exemple rezrsltd c6. analiza statistici a unui fenomen, in lregfll 145 285 30 1l 47t
port cu o singura caracteristicS. ne cond"uce la o serie de perechi de castaniu 62 431 87
blond 33 36 185 67 617
iori, pe cafe o vom numi serie statistic[. in exemplele noastre este Total 240 752 302 128 382

,rba de perechi de numere, primul num5r al unei perechi reprezentind 206 I s00

.loarea caracteristicii (inilfimea in centimetri, nota la tezi), iar cel Din aceastl tabe15 reiese ci au fost gdsifi 37 d.e copii cu ochii verzi

:-al doilea numir reprezentind numirul de unitili statistice cores- gi pir castaniu, 33 de copii cu ochi negri gi pbr blond, ll copii cu ochi
albagtri gi plr negru etc.
tnzttoateacelei valori a caracteristicii (numSrul de pefsoane, numdrul
61
: elevi).

ln cazul. caracteristicilor calitative, prima valoare a unei petechi nu
ai este numericd.

ln tabeia 4 este prezentati impirlirea unui grup de I 500 de per'
ane dupi culoarea Pchilor.

l

.1

Tabela 7

.rictccn1ieuelcneauteczguu, ulddsraieoncruil.iliiloncaruouslmontaaolntrriuesc-tl'iocvaneatcailcuotcrzruiioliomgsreianpnueegrufacorlaeisrtceaaes1lr-eaetlpcpiratraeercz*isea"tnr:iaTctaci,:tte"ep*remiisntatirciuassuoteusbs'dftiesniaienitn-'t 150- 154 38
: de 20. 154- 158
eoJCaoo.rivrniaolodlurgamrccoeiapnsru-atotnceautseamir-is6cE1trsiaecttiesei t1e"?oundr.'eocRpliae5tvsu;eeitbn,,c"icnti1etciulirpefl5aa' tciatnatbtbteearltcerteaeiatiJesl'etsSe'i;misndieptinuglarrtlelaiimeobaesilemea'uifm61iinlpimduenae 65
-158 162 175
Tahela 6 -162 166 r89

166- 170 lll
peste 170
62

610

Aici lungimea intervalelor alese (amplitudinea claselor) este de

4 cm. i

< 160 I 3. Frecvenlo obsolutd. Frecvenfo relotivd.

1G0- 165 7 Frecvenle cumulote
16
116750-- 170 Numirul tuturor elementelor unei popula$ii statistice se nurnegte
40 efectivul total al acelei populafii.
t75 1l
7 Astfel, in tabela 7, populalia este multimea elevilor unei ;co1i
175- 180 720 gi are un efectiv total de 640 de elevi.

-180 185 Se nwme;ie trenentd absolutd, a unei talori x a caracteyist'icii, nu-

185- 190 md'yul de wni,tdli ale l>opttLatiei. corespw,nzd.toare acelei aal,ori. De exemplu,

La aceste (ctcaluabseealxecreofaptcl-iaeil,moevceocnuntpvureainnl dalieauvlctaiamloereixlietcrelramseait)laesteicaanrtaulcreatepariapsrttiliciuiail, in tabela 2, valoarea 179 cm a caracteristicii are frecvenla absolutl
egal5 cu 5, iar in tabela 3, nota 5 are frecvenla absoluti egal5 cu 4.
iecirei clase
Este clar, c[ suma frecvenlelor absolute ale tuturor' valorilor
lasei. Astfel,
rentru care 165 -< x < 170' caracteristicii este egali cu efectivul total al poprrlatiei.
fvr:au"ereeni,nrstuctcuefaaaoiuzlmtiutcipl",lapsousaees'"lcie"iamd"e"r"upex,,tl|q'rr."elaioimrmleueta"png"rg[pi"enifm'zaimeienfna'itxetDa;lri'vet,uaeii1lalrteatifmeisiarnavcid)aef'ial1eIea'sulteicninrigdtreeiemmpmgriauelieniziaijeaupcnsduettiatsicnettioiomdsratciisclneailtxa'secnAreevuclpaeletulasei''t Se nume;te frearcntd relaiiad (saw fe scurt, tiecuent.i) a unei aalori

nr,uJo)"d-sdeaei.mrtcapa'lnirzeeaprtaeorattditreaiaabuenelealelovinril(ociaruzcuulnal esci'eagdracecovtlaeirldoisrutii.cpdileioarinmc[lofpinmlittiunedu' 'ein' iiengtaalbeeslaauT x a caracteyisticii,, ra'l>ortwl dlntre trecaen{a. absoluid a aal,orii x gi efec=

ti,au! total, al, populaliei. Vom scrie

.f@) :7,

unde.f(*) este frecvenla relativ[ a valorii x,nxeste frecvenla absol'uti

a acestei valor:i, iar n efectivul totai al populafiei.
Deseori, frecvenfa este dati ln procente

63

52

Tabela I

tn tabela 2, frecvenla reJativl a valorii 179 este h: h este
,alorii 175, I : 5
1ar tabela 3, trecvenla valorii

ccii!0loala:ruelsanii1nfocfrtaoaeo7fbicroqerve"pleetuu"ole."sie"lsf""tda"iutnoiUstt;fi*0,cJieo"t;ic"""up'oed'ti9looeiu'v16f'ir1'ectpc*ovol\oeaaantnegleeJzfeiap' usrcet1ceelrammistiiavinetcel'aorncAinnasittitfciaen[bl'decteolaalboc8aea'ntlarae3ao' xl h
:, Jz

:

xfr In

Tabela 8 , ln prima coloani sint trecute valorile caracteristicii, iar in cea de-a

doua frecvenlele corespunzdtoare.

De altfel, noliunile de variabili aleatoare 9i probabilitate sint

modelele teoretice ale noliunilor de caracteristici gi respectiv frecvenli

,) 0"025 care sint noliuni cu caracter experimental.
J 0,025
a 0,050 De multe ori, in 1oc de caracteristici se spune ttariabild statistic'i, satt
5 0,100 pe scurt aariabil,d. gi noi vom folosi in cele ce urmeazl 9i aceastS denurnire.
6 0,17s
7 0,37s vom spune c5 o tabeli de genul tabelei 9 definegte d.istribufia sau
8 0,150
repartilia statisticd a variabilei respective.
I 0,07s
Este u;or de observat ci suma frecvenlelor relative ale tuturor
10 0.025
valorilor variabilei este 1.
evsiiave-ilfDdoptmeoreianlcot"liel,rfiior""neo"mucotn"aa'""er'zctpi"aaovalra"r'crt*l"iaia*lltt]ab-ii1.'ci-lLueqeiiran^i"stot;rtreiqceaiitltiotord*ra*oeriecutaa"ionimi.tf"sirtcieaix$"ctle^iivmvmteei.inu' {taieleceleolnostutrecnoattearleerbease:pt-oulmeanurzes$b'citmooDataerciaen6'
se numegte frecvenld. absol,wtd. cu,ncwlatd crescd.toare a u,mei aalori x a
Xt ... Xr\
aariabilei swrna frecaenlelor absolwte ale tutttror aal'orilor uariabilei care
(;" :f, "' !)
apar pind. la x inclusiu.
ulpinnudineez[ppteor\oapbrreiamb,ari,loilti"dni ileitl"e'sulcnJot ir"ter'seiipctiuucnteizdcvtaoa,l1aonrr^etiil-et:a.1avtca;^;erisattbosirlecvii'eaimalor rlcin'atcaienbaettcallaeb-aecdloaor€u9sa''
se nuwe;te frecaen{d absolutd cwm,wlqtd descrescd.toaye a unei aalori x
64
& a aariabilei swna frecaen!;elor absolute ale tuturcr valorilov care apa'r de la
x ,inclusia (in caztT caracteristicilor cantitative vom considera de aici
ordine
inainte numai tabele in care valorile variabilei sint scrise in

I, crescetoare)l
Astfel, frecvenla absolutb cumulatS cresc5toare a valorii 6 din

tabela 3 este 15,'iar frecvenla absoluti cumulat5. descresc[toare a
aceleiagi valori este 32; pentru valoarea 9 a aceleia;i variabile, cele
doul frecvenle sint respective 4 qi 39.

in mo4 analog, definim frecvenla relativi (sau scurt, frecvenfa)
cumulatd crescdtoare ;i frecvenla cumulatl descrescitoare.

S - Elcmente de teoria probabilitetii Fi staiistice 65

cibnailrreesif,reaescputatamteurna,elddstewtcewltawmfrreowxcrlaaiftnerdecnchlddutesesuituct,tr.neerwsocrldataotadarroecrreislosrctvndt,g&toaatrureehaatlr>ooarrr,,irpeeiicnvutaie.rnotyayeiloxxr a aaria- Noliunile introduse in raport cu valorile individuale ale variabilei
pot fi extinse gi la cazul tabelelor cu clase de valori. Astfel, frecvenfa
incrusia, absoluti a unei clase este numlrul de unitdfi corespunzbtoare valorilor
aalorilor variabilei care aparfin clasei respective, iar frecvenla relativi (frecvenfa)
unei clase este raportul dintre frecvenla sa absoluth gi efectivul total
dtraoa1i'tptaprRoleoreaptuzfulrl'lpe'atdoc,li.iepvniuce.trlniaellfaireferiae,ccbviavesrenot'flfaruaetcciavucbemusnruolnalluauclttauiitriccn"uruedmlasetcsudciltarodetaersrsceccitrrneeeasssrccetdert.topeoaiaxrerpeefreidscrenitivaeruatfeilpcgottoirivttaduuelll al populaliei. Astfel din tabela 6, rezult6" cE frecvenla absolutd a clasei

tprIaeaolbtaaietit'reiulraadfrcei1ec0culce..omamc,wemplaoultedrdmteacerlteiatsezccdodu,troeapatcrtieec,i.snftEuetsn'rftercecelziucatc;'neodrr'd.!eedur.etemTopb,uarsarret"tiirdfuivea,.3ot orccuiotifm.arnebtpceerri,ere-dgItnae1straitraedccteiuusvmetininuctea_i 160-165 este 7, iar frecvenla sa relativi este 1.
\ 1.20
Tabela 1O
Se nwme;te frecaentd absolutd cwtnwlqtd crescdtoave a unei cl,ase sunta

trearcnlel,or absohfte aLe twtwror claselor care apat' pi,nd ia clasa conside-

ratd. inclusia.
J Se numegte frecaenld. absoltfid cwmt.tlatd clescrescdtoare a u,nai clase surn.a

trecuenlelor absotwte a tuturor cl,o,sel.or care apar d'e la clasa co'tt:;tda atd

inclusiu.

Completind cu aceste frecvenfe tabela 6 oblinem tabela ll.

Tabela.7'l

2 1 0,025 40 r I 0,025 <160 2 2 120
I 0,025 39 2 0.s75 0,050 160- 165 7 118
4 2 0.0s0 36 4 0-950 0,100 165- 170 16 I
5 4 0,100 36 8 0.900 0,200 t70- 175 37 ll1
6 7 0,175 32 15 0.800 0,375 175- 180 4A 25
7 15 0.375 25 30 0,625 0.750 180- 185 ll 95
8 6 0.150 l0 0.250 o.soo 185-190 7 62 58
3 0,075 l0 39 0.100 0,975 rc2 18
l0 l 0,025 40 0,025
4 I 1 13 7
120
1

ne d*edorlebAnvsis'mtcfeeudrtr,anumolatdretmieemiu'raunilitFdmdtefiiincccviloeisnrneaitasuapae'angbzsads-l,aeotolufcalturiecco6uvioam(adrnuoealrcailitoabcr ucEsr-tnearioscacttelttmaodbaaeerier2me,(ici3"rle,0,s(4cnmr.eeassisc.pmlt6uoa)an.rreie)p)cseaai avuecaeexigeoisaartlgdeiii Cum se face citirea unei astfel de tabeie ?
cu Frecverrla absoluti cumulath crescdtoare a unei clase ne c15 numirul
de unitdli .corespunzitoare valorilor mai mici (strict) decit lirnita
15' superioarb a intervalului, iar frecvenla absoiuti cumulatd descrescd-

mttr4aer)rbal:ag'i:pr.biltu,66ndt_ieecrc0c'iirti,itm1csa7'p+uc6nbleA,e;teoecxc/to.cibs.aPt:0b-tu,1,Btue0:omdteIe0in%emteleard'piiinrcmeuetaalnre,iovddtie.eeacmuaitsaueBiommtee(inilcereinacac,i ai9dm.Bagti,eci rsite0add)eu,icn1ict06c5oe0lc(l,dae2env:cei2iiec}nouo6/toengoida7teet. 2anm.soa3tt-.ei toare ne di numhrul unitdlilor corespunzdtoare valorilor mai mari
(sau egale) cu iirnita inferioari a intervaluiuj. Astfel din tabela ll
reztltd ci dintre persoanele rrisurate 62 sint uiai scurte de 175 cm;

95 persoane au cel pufin 170 cm inillime etc.

66 67

Frecvenla relativ[ cumulat5. crescS.toare (frecvenla cumulati) a ln coloana stingi avem tfecute momente precise de timp, spre <leo-
unei clase este s.nma frecvenlelor claselor care apar pin5. 1a clasa sebire de tabela 13, unde avem trecute in coloana stingS intervale
de timp.
ccrnsiderati, inclwsiv sa1l, ceea ce este totuna, raportul dintre frecvenla
Tabela 7 3
absoluti cumulatS. crescbtoare si efectivul total al populaliei. in mod
NUMARUL ABSOLVENTILOR UNEI 9COLI
analog se definegte frecvenla relativi cumulati descrescitoare a unei
7 950- 1 954 I 000
clase.
.'-r \ 71995650--11 959 997
Din tabela ll rczaltd ci frecvenla cumulatd a clasei 175-180 I 964
este It20 :0,85: S5%. Vom spune cn B5o/" din persoanele mdsurate I 002
.J J 7 964-196E I 018
au inilfimea sub 180 cm. Frecvenla cumulati descrescitoare a clasei
165-170 este 0,925, deci 92,5o/o din persoanele considerate au in[l- (In tabelele 12 Ei lii clatele sint imaginare')

limea de cel pulin 165 cm. $ 2. Reprezentoreo groficd q seriilor stotistice

4. Serii cronologice ssetartiiiisnetiscateeceucsntuepoaorriasfgionraagrftuenreiscbvaogrmeasctoitvceiu,rpiseataicdc[e.onrReterpipbreruzeienzndet.natlraaeraeoagprgrariafmicf-[iiciani tsaeerrpuiirnleoer-i
cale vizuali a datelor. Deseori reprezentarea grafica
Tot in cadrul seriilor statistice sint incluse gi aga-numitele serii tare intuitivd, pe
cronolog'ice care prezinti evolulia ln timp a unor m6rimi. legea pe care o trneaz6. feno'renul studiat.
sugereazd i'safi
in cazrl unei tabele corespunzitoare unei serii cronologice, in
1. Reprezentoreo groficd o seriilor
prima coloani sint trecute anumite momente sau intervale de timp,
cu corocteristico colitqtivd
iar in coloana a doua valorile corespunzltoare ale mirirnii conside-
rate. Astfel sd presupunem ci se mdsoari temperatura apei unui lac Reprezentafea acestor distribulii constituie un capitol deosebit
intr-un anumit punct, in fiecare an la 15 iulie ora 12a0, iar rentlta- de important al reprezentarii grafice, dat fiintl cS ilustreazl, prin desene,
tele obfinute sint trecute in tabeTa 12. antlmite rapoarte numerice. Graficul numele "
corespunzltor poarti
TabeLa 12
de d'iagrarnd.
Fffimw- WW
S[consider[mdeexempludistribufiainvestifiilorperamuriale

economiei nafionale in anii 1966-1970 (tab' l4)'

Tabcla 7 4

15 iulie 1960 20 Totai investifii: toooh
15 iulie 1961 22 lnCustrie
15 iulie 1962 t9 Atrriculturi 57 4oA
15 iulie 1963 Tiansporturi 9i telecomunicafii
18 lGnovsiqpoedrndrirnet,ccoumltuunrXallE9i isiloncituaintefe t3,t%
15 iulie 1964 tt.8%
15 iulie 1965 20 Celelalte ramu<i
15 iulie 1966 8,7%
20 3,5%
15 iulie 1967
2t 5,5r'/o

20

68 69

SZ+7; t3,t% It,8% 8,7% 3,5% i,5% o't \ Tabela 75

Fis. 3. \ DtsTRrBUT|A FAMTLiltOR
., DINTR-UN BLOC
Datele pot fi reprezentate prin dreptunghiuri de baze egale gi cu
ffiDUPA NUMARUL COPIILOR
nSltimi proporlionale cu procentele sau prin sectoare de cerc, cu 06
rnghiurile proporlionale cu aceleagi numere (fig. 3). I l8
2 23
2. Reprezentoreo seriilor
.t 20
cu corocteristicd contitotivd
4 t4
Seriile cu caracteristicd cantitativi se reprezinti grafic in raport cu 56

m sistem de axe rectangulare. Alegerea unitifii pe fiecare dintre 6
.xe este la indemina statisticianului, care are griji ca alegerea sb.
L$ureze oblinerea concluziilor dorite, cit ;i ca desenul sd rimind in 7I

:adrul hirtiei. Oblinem reprezentarea in batoane din figura 4.

a) Reprezenlarea in batoane. Aceastd reprezentare se folose;te Deci pe axa orizontal[ sint trecute punctele reprezentind valorile
variabilei gi din aceste puncte se ridici segmente verticale de lungime
nai ales pentrti seriile in care variabila ia un numdr mic de valori. egali cu frecvenfa absolut5, sau relativd a valorii respective. Segmen-
tele riclicate sint mdsurate cu unitatea de pe O1'.
Si considerdm datele din tabela 15.
b) Ilislograrud.. Fiind, dati o serie cu clase de valoare de ampli-
'0 tudini egale oblinem histograma acestei serii, luind pe axa orl'zontal6.

o succesiune de segmente egale (reprezentind amplitudinea claselor, 9i

5676 I

Nt copit 204

Fis. 4. d rjl-[h.
/0 20 30 /,0 50 60

Fis. 5.

71'

idicind, pe fiecare din aceste segmente considerate ca baze, drept-
frecvenlele (relative ,"o
unghiuri de inillimi proporlionale cu

absolute) ale claselor respective.

Histograma corespunzitoare seriei din tabela 16 este datd in figura 5.

Tabela 76

DTSTR|BUTIA UNOR ptESE DUPA DTAMETRUL LOR 60

.40

lr\ 20 JV

+, 0 toc tio lls t6o 185 l9o Fis, 9.

\ Fis. 8.
)
10-20 t0 l0 dreapti a intervalului unei clase, iar y frecvenla cumulatS. a clasei
20-30
30-40 -- 15 25 respective, la care mai adiugim punctul (0, a), unde a este limita
12 61
40-50 52 inferioarl a primei clase.
l5 60
50-60 Astfel, poligonul frecvenlelor cuntulate corespunzitor tabelei 11
8
este dat in figura B.
Histograma corespunzitoare tabelei II este datd in figura G. in mod analog se definegte curba frecvenlelor cumirlate descrescb-

c) Daci din mijlocul fiecirui segment de pe axa onzontall ridicine toare. Dacb punctele din figuri le unim nu prirrtr-o linie poligonall,
:gmentele proporlionale cu frecvenlele claselor corespunzitoare fie-
[rui segment gi unim printr-o linie poligonali extremitilile superioare ci printr-o curbi, oblinem curba cumulativi a seriei considerate.
le acestor segmente oblinem poligonul frecvenfelor. Astfel, poligonul
3. Reprezentoreo seriilor cronologice
'ecvenlelor corespunzltor tabelei 16 este dat in fiigtra T.
Sd presupunem cb intr-un internat se dau zilnic note fiecbrui
d) Daci aceleagi puncte de 1a alineatul precedent le ur:im nu dormitor pentru intrelinerea curbfeniei" Rezultatele oblinute de un
rintr-o linie po1igonal5, ci printr-o curbi, oblinem curba de distri-
alie a seriei respective. anumit dormitor intr-o siptirnirrh sint date in tabela 17.

Poligonul frecvenlelor cumulate (cresc6toare) se obline ulind T'abela 17
rintr-o linie poligonali punctele (.r, y), unde .r este extremitatea

t,| 'no t0 V 8

Is l0

D I

9

Ilt 10

Diagrama corespunzatoare acestei tabele este dati in figura 9.

trr acela;r mocl se tac graficele realizlrrlor zilnice {siptiminale,

Ittnare) * individuale sau colective - intr-o lntreprind.ere. Abscisele

73

I

runctelor care se uliesc prin linia poligonald sint nrijloacele atunci vom lua ca medianS. media aritmeticd a numerelor situate 1a

egmentelor reprezentind intervalele de tinrp (sau punctele reprezen- nrijloc (daci ele au fost in ordinea mirimii). ln acest caz, mediana
ind mornentele), iar ordonatele, valorile mirimii considerate, in
ntervalul de timp corespunzitor. este 4,5. Utreori se consideri ca rnediani oricare din cele doub numere.

Curn se ca1cu1eaz5. mediana in cazul unei variabile continue, vom
arita pe rln exemplu. Si consid.erS.m pentru aceasta tabela 16.

$ 3. Elemente corocteristice \: Daci piesele ar fi aranjate in ordinea diametrelor lor, noi vrem si
qle unei serii stotistice
\ calculbm cliametrul celei de-a 30-a. Diarnetrul acestei piese este cu-
ln cele ce urnreazi vom ntlmi aaloaye centrald a u,nei clase la aeriatie,
+2 prins intre ll0 ;i 40 mrn. Clasa 30-40 are frecvenla absoluti 12. Vorn
wetlia aritnreticd. a extrem,itdlilor acestei c/ase. Astfel, valoarea central5. presupunc ci diametrul celor 12 piese corespunzbtoare creste uriiforrn
\
a clasei 165-170 din tabela ll este 167,5. ) de la 30 la 40. Deci creSterea diametrului de la o piesl 1a urruitoarea

este 40 - :t(t Pe de alti parte, a 30-a piesl a populafiei este a
19

1. Modul 30-25 : a 5-a piesi a clasei (deoarece existi 25 de piese cu diamet-

Motlwl sau dom,inanta unei serii slatistice se numeste valoarea rul < 30). Deci, diametrul celei de-a 30-a piesd este

caracteristicii corespunzdtoare celei mai mari frecvenle hr cazul cind -S0 + (30 "25) ry: 34,16 rnnr.

valorile caracteristicii sint date individual ;i valoarea centraI5. a clasei 3. Medio oritmeticd

corespunzitoare celei mai mari frecvenle, in cazul variabilelor continue, Dacir !t1, %t, . . ., x) sint n, valori, se gtie c6" medta lor ar.i,tnceticd
cind se dau clase de varialie. Aceasti noliune prezinti. interes mai ales este t't'L ' r,')-.., + x*.

in cazurile ciud. avem o singuri domirrantd. ,11
in cazul prezentat in tabela 3, dominatrta este 7, iar in cazlnl ta-
Fiind dati distribulia unei variabile *
belei 11 este 177,5.
,tr !r
2. Mediono N, lz

Nlecliana wnei serii este un numir r astfel ci existi tot atitea uni- xA tr
thfi statistice corespunzdtaarc valorilor < n, ca gi cele corespuuzitoare
valorilor > .r.

I)ac5. o caracteristici ia valorile
1,3,3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9,

atunci 5 este mediana, deoarece existS. 5 valori<5qi5valori>5.

Daci aven valorile
7,3,3, 3, 4, 5, G, 7,'7, g,

74

75

-. rr\

valoarea nedie a variabi lei respective este Tabela 18

i; : xtgt-l xzgz* .., * t"y" (1)

lt*12*..'*ln

Dac5.l/ : h *-Is * . .. * y)este efectivul total a1 populafiei, atunci

lrN v1 \ l0*20 l0 15 i50
N 20-30 25 375
*t, 30-40 15
sau, daci notim cu fl - yn frecvenla reiativdavalorii xn(i: l, 2,..n) 12 35 420
-^/ \ 40--50 45 675
50*60 t5 55 440

*: xrfi* xzfz + ... * x,f,,. I 2 060

60

Expresia (1) are intr-adevir semnificalia unei me<lii aritmetice. g,: 2o6o :34,3.

Variabila r ia dupd cum reiese din tabeld de 1', ori valoarea xr, de y, 60

ori valoarea x, S.a.m.d.. Deci pentru a calcula valoarea medie a vatia' Daci vrem si lucrim c11 numere mai mici clecit cele ce ne sint
date in tabeie facem urmetoarele observafii. Arrern pentru orice a
bilei, caiculim media aritmetici a numerelor

fr1rx1" . . ,x1, 2t2,x2...2)621...2 tcil,xk,.,.,rttu K;: xtt * (xt - xo)'
xrli : xo!r, -l (*u - *o)Yn'
y1 or1 y2 orL --Y, ori

gi oblinem chiar expresia din membrul drept a1 relaliei (1). Aceasti Dind 1ui i valorile l, 2, :' ', ra oblinem n telalti care aclunate ter-

expresie se mai numegte media aritrnetici ponderatb a numetelor men cu termen ne dau
)ct, fiz, " . ., 26n, numerele !t, j,o, . . ., !* fiincl ponderile respective
xrlt * xzlz + ... * xuln: ro(Ji 4- Yr* "' + 3A +
ale acestor valori.
-tr wl* t - xo)yr1_ (x"- +xu)),r. ... * \x, - xulY,
Dac5. vom considera datele tabelei 3 reztilLd ci media pe intreaga

clasb la notele la matematicd este

10x l*9 x 3+8x6+7 x 15+6x7+s x4+4x2+3x l*2x.1 :6,625. sau, imPirfind' cu N:yo * y"* ... * !o,
40
(tr-ni y1+ (n2-xa) yz+ .. + (rn*nJyn
-M-M-+ '"0 t -
Cazul beriilor cu varialie continue, il reducem 7a cantl precedent,
N
substituind fiecare clasi cu valoarea sa central5.
Aceastd relalie o mai putem scrie
Astfel in exemplul prezentat in tabela 16 se obfin datele din
*- frn: fr - frtt'
tabela 18.

76 77

ln exeurpl.ul prececlent, lu?ncl fro - SS, avem calculele prezelltate unde N:Jlr*J,,*.. ,*),, gi fr-s{r1 +xzyzt"'+);rtyn sint
in tabela 19. .V

Tctbela 19 respectiv efectivul tolal ai populapiei qi valoarea medie, dispersia

t\ cofesptlnzit(lare este

q" J, 62: (x, - il?, -l (.r. * .r)?v, r ... -l- (.r,, - i)2y,
N

MSrimea

10 --20 10 15 *20 -200 ":VF
20--30
15 25 -10 - 150 se rrumegte abaterea medie p[tratici. Ea se exprirni in aceleasi unit5]i
-30 .10 35 o
t2 0 ca ;i caracteristica seriei.
40 -- 50
15 .15 l0 150 fn cazul caracteristicilor cortinue se substituie fiecare interval c1e
50*60 varialie prin valoarea sa centra16.
I 55 20 160
Si ddm gi o alti formi dispersiei. Vom clezvolta expresia
*40

r:35--{:sa,e.

| l-(, r, - i)"yr'i (x, - x)\,, * ... +- (x,, - *)'y,,f
;
4. Dispersio

gi oblinem

Fiind date n vaTari xr, xz, ..., x,, a cSror'reclie este .r, se'umeste o-t : I l"-"*il', 1- x|,l, * + -. . . r)7-\',, 2.i(r,rr, * xrl" + . . . * *x,,J',,)

dispersia acestor vaiori, rni.rimea ,

-L L il\z * x"(J', *-vr*... f J',)7: o---a r --o
lrw-

Fiind datd seria statistici \ .ri.lr .l!.1':-... r \i1,r (2)

, Deci

rr tt Dacb am fi inlocuit mbriruile xo prin frt - xo unde ro este o con-
stant6, an fi oblinut
,: n:

!n ct' : 8, - to)"y, * (xz - to)ryz i ... -l @, - -'vo)ry, (* - *u)' (z',)
78
79

r'\
--!

unde prin V am notat media aritmetici a mirimiTor xl, 108, , . ., xo $ 4. Distribufii teoretice
cu ponderile !t, !2, ..., !n. Am regisit o proprietate a dispersiei unei
gi distribufii experimentsle
variabile aleatoare.
Dispersia sau mai bine zis, abaterea medie p5tratici indici gradul 1. Generolitoli

de irnprigtiere a valorilor in jurul valorii medii. O valoare mici a Dupl cum se gtie o funclie teoretici y : f(x) este o coresponden!5
abaterii indici o pronunlati grupare a valorilor in jurul mediei arit-
cil> pur matematici intre o multime de elemente x ;i o mullime de e1e-
rnetice. mente y. Se considerlm, spre exemplu, funclia
"t pentru t )- 0 prin relalia S : f(r) definiti
SI calcul6m tabela 19 cu datele necesare calculului dispersiei o2.
Vom calcula oz atit clirect cit gi folosind formula (2'). q_6', -t2 1, 2, 3,

I,uim xo : 35 ;i ;tim cd * :34,3. Se oblin datele din tabela 20. 2

Tabela 20 unde g:0,98. Dacl dim 1ui I diverse valori (, :0,

oblinem tabeTa 21.

T'abela 2l

tl ()

sl 0 0,49 1,96 4,41

t0-20 10 l5 -20 - 19.3 400 372,49 4000 3 724,90 Graficul corespunzetor este ce1 din figura 10.
20-30 15 -10 - 9,3 86,43 I 500 1296,45
30-40 12 25 0 0,7 100 0,49 0 5,88 Dac[ I este misurat in secunde, iar g in 10 m/sz, atunci funclia
40-50 15 35 0
50-60 45 de mai sus reprezinti legea clderii corpurilor in vid.. Daci vrem si
B 55 10 10,7 100 114,49 1 500 | 7t7,35
verificbm experimental aceast[ lege, l5sim un corp sb cadi gi vom
20 20,7 400 428,49 3 200 3 427,92 misura spaliile parcurse Sr, Sr, Sr, . . ., corespunzitoare momen-

l0 200 l0 172,50 telor lr, t2, ts, .. . Corespondenla intre mirimile experimentale I gi
S defineste o funclie empiricl. ln general, nu vom obline la fiecare
\ efectuare a experienlei aceleagi valori pentru S
Deci , corespunzd,toare valorilor alese p"rrtrt.i l, ele 4

oz - lo 172'5 : 169,5 schimbindu-se in raport cu condiliile in care se

60 efectueazd experienla.

sau folosind (2') in tabela 22 sint trecute datele obfinute expe-

- - :('".:- I X.. 10 200 (34,3 3S;z 169,5. rimental.
60
Tabela 22
Se observl cd alegind convenabil valoarea lt:i xo, calculele se sim-
0,44 2,1 4,6 7,5
plific6.
6-
80

-*

Problema care se pune, este ca din datele Fonna histograrnei sugereazi lcgea normald. Folosind datele din tabeld oblinem:

experimentale (care definesc distribulia empirici m :80,67; oe : 325,03; o : 18,03.

sau experimentall a fenomenului stucliat) si de- Raportind la acelagi sistem de axe histrograma distribuliei empirice gi graficul
legii norruale cu parametrii ru :80,67 gi o : 18,03 se observb o d.eplinb concordanli
ducem cu o precizie cit mai mare distribulia teo- intre cele doui curbe - empiric[ qi teoretici (fig. l2).

reticS, atunci cind. aceasta din urmi nu este Tahela 23

cunoscuti dinainte (cum am presupus in exemplul Wre ffi

nostru, pentru a ne face mai u;or infelegi). Aceasta

este o problem[ de ajustare (a distribuliei expe-
rimentale, dupi o distribulie teoretici).
in figura 11 sint trecute, in raport cu acelagi

Fis. 11. sistem de axe, punctele oblinute experimental gi

graficul funcliei teoretice. 0- 10 0,04
10- 20 0,04
Distribuliile intilnite mai inainte, ca distribulia binomiall, distri- 20- 30 0,08
30- 40 0,60
lia normall etc. sint d.istribulii teoretice. 4 ori. Probabilitatea 40- 50 3,08 si
S[ 50- 60 8,72
presupunem ci se arunci o monedl de 60- 70 15,t2 e
70- 80 20.76
finerii ,,stemei" de 2 ori gi a ,,banului" de 2 crri este ti (;)' (+)" : 80- 90 2t,80 t
16,64
0,375. Acest numir reprezinti pentru noi frecvenla teoreticb, nu- 90-100 8,88 50 t00 t50 200
irul in jurul ciruia oscileazi frecvenlele experimentale, daci facem d.e 100-110 2,76
r num6r mare de ori experienfa, in ipotez[ c[ moneda este ,,corectE". 1,08 Lloso griulur tn grome
r l0- 120 0,48
lci vom efectua I 000 de serii de cite 4 aruncdri, numdrul seriilor 0,08 Fig. 12.
-120 130 0,00
care a apirut fiecare fa!6 tle 2 ori va fi exact 375, dar dac6 rnoneda -130 140 0,00
0,04
te perfect simetrici, va fi un numir apropiat de 375. 140- 150 0,00
in general, pentru ca o distribulie teoretici si aproximeze o dis- 0,00
ibulie empirica, trebuie ca frecvenlele experimentale si nu difere 150 160 0,00
0,00
u1t de cele teoretice. Aceasta face ca gi elementele caracteristice ale -*160 170

:1or doui distribulii si ia valori apropiate. 170- 180
lB0- i90
Dupi cum am mai spus, grafieul unei serii statistice poate sugera
stribulia teoretic[ corespunzStoare. Un grafic sub forml aproxima- 190 - 200
v6 de clopot gi cu o pronunlata tendinla spre simetrie sugereaz5 o
200-210
ge norma16. Si luim urmbtoarea: 2to-220

Apfieatie. Efectuindu-se o cercetaye statisticd a masei boabelor de griw oulcse pe 2. Ajustoreo liniord

fiecare rnetru pd.trat at unor ari,i o, I n, o1'ttogeixe din toate pttnatele de uedeve Daci punctele coresprnzdtoare unei serii experimentale sint dis'
tribuite aproximativ dupi o dreapt1, problema care se pune este de a
s-au oblinut vezultatele prezentate in' tabela 23. determina aceastS. dreapti. De exemplu, daci misurlm lungimile r,
ale unei bare metalice la temperaturile l;, punctele (4, xt) sint situate
2
83

ximativ pe aceeagi dreapti (cind l; iau valori cuprinse intre anu- Observim ci S se scrie ca un

limite). polinom de gradul 1I in a gi b:

;5 presupunem ci vrem se determinim dreapta de ajustare cores- 5 : (}x)az ! 2(2xn) ab I
* nb' - 2 (Zxny;)a - 2(2yn)b t
'.6toare tabelei de date experimentale (tab. 24).
-L| 4t"-'y2i.
Tabela 24
Ne trebuie valorile lui a. Fi&
Una dintre metodele de ajustare liniati" este metoda rned,iilor dis-
linwe. Ea consti in impirlirea sistemului de puncte oblinute experi- pentru care S este minim. Vom

ttal in doud grupe 9i determinarea d.reptei care trece prin tezolva mai intii aceastd. pro-
trul de greutate A al fiecdrei grupe. ln feneral, fiecare impdrlire blemi in caztl general.

grupe de puncte ne va da alti, dreaptl de ajustare. Observim ci polinomul
ln exemplul nostru (tab. 24), centrul de greutate (punctul mediu)
sistemului format din punctele (0; 1,2), (1;1,7), (2;1,7) este punc- P(o; b) : traz { 2Bab * Cb, * 2Da + 2Eb + F
A (l;1,5), iar cel al sistemului (3;2,4), (4;2,8),5;3,8) este punc-
se mai poate scrie
B (4;3). Dreapta care trece prin A gi B este
P(a; b):f, en + cb+E),+ittor-Bz)aza
(d) v:+x+L
+ z(CD - BE)a + (CF - E)1,
ln figura 13 sint reprezentate punctele corespunziloate tabelei 24 P(a; b): | {un + cb + E),;+ *:_",,fft;c - B,)o +

dreapta (d). + (cD - BE)1, +: pF - E") -S!-J!L

O alti metodi de ajustare este metod,a celor rnai rnici pd'trate. Con- Deci P se scrie ca o sumb de pdtrate plus o constantd dacd c > 0,
.erdm n puncte A,(xn, yn) gi dreapta (d) y : ax * b. Notim pAlCtra-te82es>teoz' eirno. acest caz, P este minim, daci fiecare di' cele doui

a;:lt-@xr{b) Deci
erenla d.intre ordonata punctului Aa $'e abscisi rr) gi ordonata
nctului d.e abscisi rn de pe dreapta (d) gi ne propunem si de- Ba*Cb+E:0,
minim q gi b, astfel ca suma p[tratelor acestor diferen]e:
? : S s-l \ f^i.e minin6. Avem (AC - Br)a * (CD - BE) :9. (1)
S : X lyn - @x, + b)1, : 2y? - 22y,(axi+ b) + 2(axa I b)z :
Din a doua relalie rezulti
: Zy| - 2aZrnya - 2bZyn { a22x! { 2ab2x6 * nb'.
A,-- BE_CD (2)
AC_82

85

r observe ci S rezulti din P' luind t\vem

: Lxl, 3 : Zxi, C :'tL' D - - |,x'Ya' E : - )\'\^'i., LF - lrr2 :9 -x 2,si JAt- - 13,5 :2,25i n:6;
-Jt _

6

-reetezoubolts5ien, relvigniaicnl5it.daCtce:ocnnut nd)oes0rce.ulRatilei9i1laiesliea(1d)Ae9Cmi -o(Zns)8t2rce:[azinS 2*l -pri(nXinr;d)'?uc;fie0' a_ 42,1 --333,775,5_ 8,65 :0,4g.
u;or 55
l7,5

este minim cind Jininrl cont de rclalia (4) rezvlt6"

-E-ls-,rn2.ti.\'i - Ir'; )i'; b : ! - ai : 2,25 -0,49' 2,5 : 1,025.
Vom ardta c5 daci inlocuim )c; c17 x; - ro ii !nucnlrliriit-oyruol valoarea
alx;*nb- ZYo:0' lui expresiei
a nu se schimb6. S[ facem aceste schimbiri 1a

care d5 pe a. Avem

\ceste doui relalii se scriu Z(xu- xo)(yr --YJ - n(n - xn)b'-J'u) :
-lxryn - xollt - !r2xn { nxoyu - nx, ! n,xri * nyox -'tt'xa)to -
g, : _2t:,:;_t';_;-!_ ttt'Y (3)

onnt':i' (4) - Zxilr - nxi.
(Am linut cont ci n*: \xi; lxt:EYi.)
daci notlm Zx;: llfi', : zyr: ?Li. (x; F[cind acelea;i inlocuiri la numitor oblinem
Rernarclm c[ reialia (+)
ne asigurii ci Punctul 3') se g6se;te Pe 2(*r- xo)'-n(i- xo)':2x? * 2xotxn{n'x'i;-niz! 2n'xri -

dreapta. - nxfi: 2x? - nxz'

y:axlb Deci, ficind substituliile respective atit numdritorul cit ;i nunitorul
r6min neschirnbate in relalia (3). Alegind convenabil Pe xo qi !o,
Si glsim folosincl metoda celor mai mici pitrate' dreapta de ajus- calculele se pot simplifica. Relalia (3) capntd o formd mai simp15
tare pentru tabela 2'1' Avem datele cliu tabela 25'
daci inlocuin pe fr riy prin X:lc-n SiY:y-j7. in acest caz
Tabelu 25
r"\'iY;
n- zXi '

Ob se ru aI i e. I.a aceeagi relalie ajungem prin substituliile X :

: x- r, ;i l'- y - yo, unde 1'o este o cottstantd arbittard.

0 t,2 0 0

1 1,6 1 1,6 Probleme

2 1,7 4 3,4 t. S[ se dea exernple de popnla]ii statistice 9i caracteristici.
g. stabilili repartilia elevilor clasei din care faceli parte, irr raport cu nunirul
4 2,4 I 7,2 lra!ilor.
5
2,4 16 tl,2 87
Total 15
3,8 25 l9

13,5 55 42,4

86

3. Stabilili repartifia elevilor clasei din care faceli parte dupi media la mate' Tabela 27
maticd in clasa a XI-a.
150- 154 38
4. Aruncali un zar de 120 de ori. intocmili tabela rezultatelor oblinute' comparafi 65
frecvenlele absolute ale fiec6tei fele cu num[rul 20' -154 158 175
189
5.Facelitabeladisttibulieielevilorclaseidup6meclialamatematicbqimedia 158- 162 111
la fizicd oblinuti ln clasa a XI-a (tabeia cu dubli intrare)' 162- 166 62
toirb,"linGEui. "Ctoooffmar'e!p[cciveuetanulleinltneaubcemulme6luetlqacStoepr.euIsnpnuccnatzerbu?tolLaparreocbitlpeermoaebriulen/mrcsebelorsitse2.sa'po3ub'n4bli:nculautoIcfraeltfec6vaecrnuufenlcebrtiesla-a- 166- 170
un nuruir ;: 5 Puncte ? 170-174 640

7. In tabela 26 sint trecrLte tezultatele oblinute intr-o cursb de 100 m de citre Sb se completeze tabela. 56 se conskuiasci histograma corespurlzitoare. SE se calcu-
40 de ParticiPanfi. leze gi sh se interpreteze dominanta qi media.:ra, sd se calculeze indJfimea medie a
elevilor gcolii.
Tabela 26

13. Sd se calculeze dispersiile seriilor de la problemele 2, 3, 4,7. lZ"

10,5-10,7 I 11,5 -11,7 7 14. Sd se teprezinte gtafic punctele cotespunz5.toate fiecdreia din tabela de mai
10,7-10,e I 11,7-11,9 6 jos. Sn se determine dreapta cle ajustare, atit grafic* cit ;i prin metoda mediilor dis-
10,9-11,1 contirue, qi metoda celor mai mici pbtrate,
l1,r-11,3 2 -I 1,9 12,1 5
I 1,3- ll,5 5 a) --lX; I 012 1,8 0.9 0,3
t2,l-12,3 4 lil 3.2 2,4
7 t2.3-\2,5 o
nil0 23 45

;t1b) Y' I l,l l 8 3.1 4"2 4,$ 5.8 7,2

fSreiscevecnofneplelecteumzeutlaabt,eel.aScduvsaelocriitleeacsecnitpraeletaableeclalasoeblloinr,uctu6freccilvi eanlleerlgeirteolraitiavet qitceuali'zal' Sb se compare rezultatele oblinute prin ceie 3 metode.
timpurimaibunedell,Ts,Cateesteprocentuldealergdtoricafeaurea|izattimpuri
mai bune de ll,5 s. * Pentru a determiaa grafic dreapta de ajrrstare. reprezettem pe o hirtie milinret-
rici puactele seriei, apoi cbutlm sS gdsim pozilia unei drepte" ffasatd pe o hrrt:e
B. 56 se reprezinte gralic, in batoane' setiile de la problemele 2' 8' /t' transparentb printre punctele reprezentate Eratic, astlet incit aceast-a si ss distfibure
g. 56 se construiascd histograma, poligonul frecvenlelor'qi poligonul frecvenfelor cit mai uniforrn c1e o parte Ei de alta a dreptei. E trine si ligurdm $i centrul de qreu-
cumulate crescS,toate pentru setia din problema 7'
tate al sistemulni de puncte qi sb lacem ca dreapta se trea:a prrn acest punc.t,
l0.Sisecalculezedominan'ta,nre<lianagivaloareameclie(mediaaritmeticd)pentru 89

seriile de la Problemele 2' il' !t'

lr.Sb.sestabileascdtirrrpulrrrecliutealizatpel00mclec6,tre40clealerg5tori,.
ale cdror rezuttate sirrt trc:ute in tabela 26'

12. fu' tabela 27 este prezentatd distribulia elevilor dintr-o qcoald generala' dupd'

talie,

88

c) clacti a este multiplu de 6, atuuci orice rnultiplt al lui a, este Ei nmltiplu al
lui b gi de aceea putem spune cd eveuimertul (X[a) lmplicit eveninentul (r'l1r).

J b) ;: ltt f);

7. a) ') n; a) ;t ");;

8

A lndicatii $i rispunsuri B. Calculdm mai intii probatrilitatea eveniruentului contrar: ca prirna fiqn
extrasi sd nu conlini cifra 5. Nurnlrul cazurilor fav,:rabile este eg;al cu numirul sis-
terrelor de 4 cifre ce se pot forma cu

i, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, B, I,

ailic5 9a : 6 561 qi probabilitatea ciutati este .6- 561 : 0,6561. Probabiiitatea din

enlrof este I - 0,65G1 : 0,3+39. l0 000

Obserua{i,e. Am considerat c6 numbrul fiecdrei fiqe este format din 4 cifre.
Astfel fiqa cu numdrul I poarti scris r:umirul 0001, iar cea cu numdrul 35 cste
not.rti. cu 0035, ln loc de numdrul 0000 consiiletdm nuuirul l0 00O,
Ccp. 1
9. Ind,icali,e, Se calculeazd mai intii probabilitatea evenimentului cortlar.

1. Pertru a arilta c6 X: Y, aratam cd er.eninenteie x qi Y se implici reciproc, Ilisp-uns: I - :-:t.

ru cl muifimile X qi Y se contin feciptoc. s5 arStim. spre exempiu" cd eveniflentul cioo
GB. lntr-adev5t dace $(l g B) se realizeaz'6
,,1 U B) implica, everimertul cl n U B, ailicd nu se tealizeazb ]dici A, nict B' 10. Ceie 7 cifre pot fi scrise ia 7 ! moduri. DacX ciirele I qi 2 au locurile stabilite
se reallzeazb A atun':i celelalte citre se pot scrie ;n 5 ! mocluri, Dar cifreie I gi 2 pot ocupa locuri
r-qeanrn5, cb nu consecutive in ordinea 1,2 in 6 trroduri.
,ceasta inseamnd cd se tealizeazd 5i f,l qt SI3. cleci CA n ttts. La fet se' aratb ci
',A n CB implicb Cil U E)" Mai general. avem

C(1, U A, t) ..tJ Ao\:EA\ fi Cl, f] ...ftCA* : :'uJg

4.6t Eimerifea corrauei dintre cercurile de raze ru 9i 16i RisPuns' 7t 7
b"i nimerirea cotoauei. circulare dintle cercurite de taze \ Sr ,1i ll. al Indica{aa. Fie I evenirncntnl ca prina bil5 si fie aibd 9i a doua si lie
raze neagri. qi B er-eniurentul ca priila bili si fie neagii ti a dona tot neagfd,. A qi ts stlnt
cl nimerirea coroaflei citcrriare dintte cercurile de ',pqi vro, sau nimerirea cvearillente i::cornpatibile. Avem de calcr.llat P(A U ts).
fintei;
iir aiara

d\ dacl, este nimedt interiorni cetcutoi de taz\, /8. estenimerit 5i interrorur cer- IlIspu*s : 2-7-.
:uiui de taz| rpa1, deoatece primur este contlntrt in al doiiea.

i.a\ A1 nA,nA,nAAnAsnA"nAr; b) (ir nAnn A, n arn Arn \ b) 31 ,) 5
n.4c) u ilrn7.rnAtnArnA6frAr)u@rnA, n 7r n 2n nAu n 7?) u ;et
U ... u lArnAsn ArnA^n zufl 2r); c) Ar\JAnUl,) U Aa U Ar U A, u -'
g lr; d) tA1 n d, n;, n A4n A"n Arn Ar) tJ (Lrn Arn A" n Ao n A, fl
nAtn A) u...a@r_n ArnAun Ann Anfi Aun ar\ie) Ar Q lAe U As l) te. 6*t : 0,015; l--:05,s665.
l.J Ar'J Ao l) Aa l) A7\: @t n A) u (l , fl ll,t\ t) ... u lVt fr Zr);l) A, n7'n 6d
nr*n 46nAsn41.
l*" Ind'ica:!i','. Dacd A este eveitinentul ca la prima aruucare sb oblinem sterna,
6. a) Pelt*u a se realiza evenimentul {n{:}} n {i}17} trebuie s5. oblinem o biid B evenimentul ca la prima artlrca:e sA obliflelu banul gi ia a doua stefia, C everl-
:are s5 fie in acelaqi timp mnltiolu de 3 $i de 7. deci de 21, actica s tealizeazh {Mzil. mer:.tul ca la prima si obfjnem bauLrl, la a cloua banui gi ia a treia stema. -A.vem de
Iteciproc, dac6 obfinern o bii6 numetotatS cu ua muitiplu de 21, ar:r obfinul in acela'qi carcurot PtAuUuCl.
Limp un murtipiu de 3 gi 7. Se :afioneazh la f.eL penttu punctele b) 9i d) 3
7

Rrispuns : -,

91

9C

,l

14. Fie I evenimentul ca prima bil6 extrasi sd lie albd qi a doua biid extrasi si B. Indicalie. Sintem in cadnrt schemei lui pois.son.
tot a1b5, iar lJ evenimentul ca prirna si fie ueagrS, iar a doua alb6. Avem de calcu-
R{sPuns: E].
P(A U B).
256
Rispuns , a-+* .I 5297 132ss

6122318 20 u00' 2u 000
J-J; b) .-'C; c)
15. a) J-Jt d) .-'I.

t$. Indi'aalic. probab'itatea ca ra o aruncafe a zarur'or sb obfinem suma -L.

18. a) Itie A num6rul multiplilor cle a. care se gisesc printre numetele 1,2,3,..., 7 ".t" 6

Acegti rnultipli sint: a,2a,3a...., ha. I{ezult[ ch n.: halr, und.e 0 <n <d. Sintem in cazul schemei lui Bernouili cu ,t: l0; p: *b,I, ,: r,
!
n -a gidecil[_n.ll:rt, Pentru exitagerea uuui multiplu dea,
utem scrie -a:h+ Lr) tA I
* l;lvem ll caz.uri iavora'bi'le
Rispuns, Cl, , S.
D,,l Calculdm mai intii
din zz posibile. Probabilitatea cdutat{ este -nn: a-,. Deoarece -1-'r.-_oc. 23I u*-:13-25:8, J( ;rI" + csI; + ... + "t*: H
probabilitatea uuui ruultiplu de
p a obiinerii

:Aa. avern f :..-f:t-l. rp. Indicatie. probabilitatea oblinerii unei fele cu mai mult de 4 puncte
lui Bernoulli crt n _ I0,
ltA a la o
A:
c) Tnd,toalie. P(\Mat; U {Mb}) : P({Mab}). Se aplici rezuitatul de la punctul 6,). aruncare a zarurilor este I . Sintem in cazul schemei
-

:4, p:TI

Cop. 2

1.. lndi,ca('ie. Dacd I este evenimentul oblinerii unei bile cu un num6r mai mare Rispunr scius1. 2r
:a 5 gi B evenimentul obliuerii unui uum5,r par se aplicb relagl.a P1A U 6) : 1t(.41 +
F.
I P(B) - PU n Rl.
siauaiprntnltiiPc,1ei(3mivaB.er)InnfiBondprt'erieecrnravbuteteaitenaz.iirnanpDdes(aerAcctphu6ee,UnAm"_dleeleBtsil"tt)le*eu:r.ei.p]v.Ppe(iAou(ilsi))'2sreo+nbns.tiepulel(Bcaoal)bbl_cteiuni@lgeeiraiuizndana2pBnbee)il,aebgaalriliznbeadinignsdicuuhcnremaomnhnetetoaicaglrburerilecBAliBenrpaquorrijrmn,e.B'ai,
Rlspuns: *7-'

B.5-9- 4. lnd.i.catie. Se aplich tcirtnula P(A U R U C) : P(A) + P(A) + P(C) -
99
ro8 ' 146
-P@n B\-P\t3 nC)-P\AnC) +P(ln IJnC). rdso' uns, 31943*' 146
34gz
3 343-

Rlspuns: -. fcPieencliesasr15oe4ne.pcxIenttrdanb.giace-az:rlaii3eds.' icnhFhiee:umptn2eiaig(liiutc/:iau.BplP,erorr2obn,baobau3ibl)lliii.plittr6aottib7eaeabpiclrit,earrtu)e2tae, 1os)ebst.cinapelrcoruibileaaab2zilribtdpile!e'ebala1brze.asgesi cc3haenlcreungreereialzuinSi

Obsetoalie. Se poate calcui,a direct. utnHritrcl cazutile favorabile. ccleteruo1ti5e'rxertnzradugiletebarleide-dinipnsefciebhacezamareasulcuhrienmiBeseiirlnuooibulplilnoi iescmsuonopasberialc6maealctlr'brieidapgz,iddnpo:ruodbSanb,eiAlgitra:et.egpa.ropbacbaili{tdactienad

5. Se altcd totmuta de ta indicafia clin ptoblema precedenti 6i se {ine cont cX
rvem de-a face cu evenimente iudependetrte

lti rlruns: l tn

-20.

92 93

Cop. 3 10, T-ablout tui. X ! y este

t2 3 4 5 b 7 a 9 l0 1l rq-l a af I -l 0 I 2\
tt\st; -rs 12 9 Jti o Bo I t2 l8
r.sl f\; ,,tx+v
r r 1l s l 5 II I r 'z _e2 _t ,l.
ft_ e e
-e sJ

/12 4 l\ Trebuie ca 0 sd ruai aparir cel ,pu!ir: o dati in primul riad al tabioului.

e.r\'frra, ;r/l. Rispuns. a:li a:0; a: -l

I

Ij

13 4 5 6 7 8i9 l0 ll fi "11. "'(; ;) ". "{; ; ;)
W6)l' : 4,41 ; M(X,) - 5,3; aIlX - r) : l,t ; llI(X2-2X):1.t.
3.s+ll II\i.o*I r-IerIzeIa6s cI;-356 I _1- ;;) )' "(; ; ;)

L] 1')

n. ,,(o t '1. 14. 7. 15. 2t; 16. M(Xl :. S - '2; at1v1 : n-J-f-7 .
[0.3 0,7/
lli. llf ()/) : 0; Dz(Y) : l;
X"lt-t 0 I \I clacd z ieste tl ,lu) u""u n este par i
to,3
0,3 0.4/ irmn'pat t "'\o,,
,5.

Y"l (-t I \I dac[ n este inmpaf L8, tndt'ca!,ie. se !i[e cont si calcur5m c]rs1:ersia sumei a gase variabile indepencle.te

[ 0,s 0.s/

o"/t1r\J daci n este Par' Risp,ros , {.

2O. xr'- 6ll fl.,:--.
,-;
1/:ti 1 35
6. Indicalii. P(X < 3) : P(X: 1) + P(X:2) + P(X:3). 2 se calculeazd
lind cont ci suma elementelor din al doilea rind al tabloului <listtibrifiei lui
I este l. Rdspunsui se poate obline clirect lilrind cout cd P(X < 3) : P(X l4| -- 21. Itrdtcalie. Se fine cont ce Dr(-Y - l/) ==7]r(X) + Dr(t).
15 l. Rirspuns: a: l;
=l-P(X:4):l-:: 66 'Irebuic totrrqi sri;tinrcd distritrufia este posibili

dici c6 0 <P < l. Cop. 4

?. Se obline acelagi tablou ca 1a variabila S cle la problema l.

(2 1rl. ll. 11,62 s; 12. Dolrinanta : 164 crir, Mediana : 162,8g. Ilediana: 162,85;
B.X2+y2l 13.0,1796:,26,76. 14. a) prin tretoda mediiior cliscontinue, dacd cere doui grupe cle
t0,7 0.3J pnucte siat rormate de primele B gi respectiv ultirnele 3 puncte,
oblinem dreapta
!. Indicali.e. Se calculeazi y' gi q finind cont cd suura elementelor din liuia a doua
r orice tablou de distributje este l. Y:- 1,6 9,4

t'+ 3'

,4

95

Pnu metoda celor mai mici pdtrate. obfinem

1r:- 97 223
rTsr+ 1;
1.S Cele doub tezrtltate slnt compatabile.
D) Prin metoda medii]or discontinue, considerind sistemele iormate din primele

3 puncte qi respectiv ultimele 4 puncte, obtjnem

y:xtl.

Prin metoda celor ma1 mici pdttate obginem acela.qi rezultat.

@tw Bibliografie

&.x

6.x l. Ciucu. G.
El,emente d,e teoyia probabili.td,ti,tor 9d staiist'icd' matematicd. Editura tliclactic6 9i
Yr(
pedagogicd, Bucuregti. 1963.
v"(
2. Mihoc, G., Urseanu' V' Ediitura Academiei R.s.R. Bucuregti, 1962.
G. 1 Matematici aplicate an stutisti,cd,,

nd c< 3. Mihoc, G., Micu, N.
:ste I Eletnenie d,e teoria probabiLitdti,lor 9'i stat'isticd. proiect de mallual pertfu clasa a
l-] XII-a Editura clidacticb qi pedagogicd, tsucureqti, 1966"
cb ci
4. Onicescu, O. apl,ioalii, Ilditura didactici qi pedagogic5, Bucuregti
t. i Teori,a p,robabi,titdliloy ;i

9. I 1963.

orice 5. Ciucu, G., Craiu, V., Sbcrr'iu, I.,
Culegere de probleme d,e teoria probabititd.{ilor. Editura tehnic6' Bucureqti 1967,
l
6. Iaglom, A. IvI., Iaglom I. M.
Probleqte neelementare, tlatd.te elementar, Edit:ua tehnicS" Bucureiti, 19ti2.

Nr. colilor de tiPar : 6 t,

Combinatul Poligrafic i
:!,

,,CASA SCINTF]'II"

CBoumc.urnerg.ti20- R.S.R.
249,18 103

I