Chilarescu, Constantin - Bazele Statisticii. Teoria Probabilitatilor

3.1. REPARTIT¸ II DISCRETE 101

Demonstra¸tie. Da˘m ¸si aici doua˘ variante de solu¸tionare:
Varianta 1. Cum X este o variabila˘ discret˘a, avem:

∞ λk ∞ λk ∞ λk−1
k k! k k! (k − 1)!
M (X) = e−λ = e−λ = e−λλ = λ, (3.21)

k=0 k=0 k=1

deoarece ∞ λk−1
(k − 1)! .
eλ = (3.22)

k=1

Pentru calculul lui M (X2) vom proceda la fel ca ˆın cazul reparti¸tiei binomiale:

∞ λk ∞ λk
k! − 1)!
M (X2) = k2 e−λ = k (k e−λ

k=0 k=0

∞ λk−1
(k − 1)!
= e−λλ (k − 1 + 1)

k=1

∞ λk−2 ∞ λk−1
(k − 2)! (k − 1)!
= λ2e−λ + λe−λ

k=2 k=1

= λ2e−λeλ + λe−λeλ

= λ2 + λ

Prin urmare,

D2(X) = M (X2) − M 2(X) = λ2 + λ − λ2 = λ. (3.23)

Varianta 2. Am va˘zut ˆın Propozi¸tia 3.1.6 c˘a mX (t) = eλ(et−1), ∀t ∈ R. Prin ur-
mare, putem determina momentele reparti¸tiei Poisson calculˆand derivatele acestei

func¸tii ˆın zero:

M (X) = d mX (t)|t=0 = eλ(et−1)λet|t=0 = λ, (3.24)
dt (3.25)

M (X2) = d2 mX (t)|t=0 = eλ(et−1)λet + eλ(et−1)λ2e2t|t=0 = λ2 + λ,
dt2

de unde, la fel ca mai sus, deducem D2(X) = λ.

Teorema 3.1.3 Daca˘ X1, X2 sunt variabile aleatoare independente ¸si daca˘ X1 ∼
P o(λ1) ¸si X2 ∼ P o(λ2), atunci X1 + X2 ∼ P o(λ1 + λ2).

102 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Demonstra¸tie. Pentru orice k num˘ar natural, avem:

k

P (X1 + X2 = k) = P (X1 = j, X2 = k − j)

j=0

k k λ1j λk2−j
j! (k − j
= P (X1 = j) · P (X2 = k − j) = e−λ1 · )! eλ2

j=0 j=0

e(λ1 + λ2) k
k!
= Ckj λj1λk2−j =

j=0

= (λ1 + λ2)k e−(λ1 +λ2) ,
k!

deci ˆıntr-adev˘ar X1 + X2 ∼ P o(λ1 + λ2).

Desigur, se poate da ¸si o alta˘ variant˘a de demonstra¸tie, bazˆandu-ne pe proprieta˘¸tile

func¸tiei caracteristice sau func¸tiei generatoare care au fost prezentate mai sus.

3.1.3 Reparti¸tia hipergeometrica˘

Fie N, n doua˘ numere naturale nenule cu n ≤ N ¸si fie p ∈ [0, 1] astfel ˆıncaˆt N p
este un num˘ar natural.

Defini¸tia 3.1.3 Vom spune ca˘ X urmeaza˘ o reparti¸tie hipergeometric˘a de

parametri N, n, p daca˘: CNk pCNn−q k
CNn
P (X = k) = , (3.26)

pentru orice k ce verifica˘ max(0, n − N q) ≤ k ≤ min(n, N p) (q = 1 − p).

Not˘am ˆın acest caz X ∼ H(N, n, p).

Observa¸tia 3.1.3 Reparti¸tia hipergeometric˘a are la baz˘a schema bilei nerevenite:
considerˆand o urna˘ ce con¸tine N bile, dintre care N p albe, iar restul negre, prob-
abilitatea ca ˆın urma a n extrageri f˘ara˘ revenire din acea urna˘ s˘a ob¸tinem k bile
de culoare alba˘ este data˘ de formula (3.26).

Propozi¸tia 3.1.8 Daca˘ X ∼ H(N, n, p) (N > 1), atunci

M (X) = np,

D2 (X ) = N − n npq.
N − 1

3.1. REPARTIT¸ II DISCRETE 103

Se poate ara˘ta c˘a pentru valori mari ale lui N reparti¸tia H(N, n, p) se poate
aproxima cu repart¸tia Bi(n, p).

3.1.4 Reparti¸tia geometrica˘

Defini¸tia 3.1.4 Spunem ca˘ variabila aleatoare X are o reparti¸tie geometric˘a
de parametru p (0 ≤ p ≤ 1), dac˘a X ia valorile 0, 1, ..., cu probabilita˘¸tile

P (X = k) = pqk, (∀)k = 0, 1, 2, ..., (3.27)

unde q = 1 − p. Vom nota ˆın acest caz X ∼ Geom(p).

Observa¸tia 3.1.4 Cu alte cuvinte, X ∼ Geom(p) dac˘a ¸si numai dac˘a X este o
variabila˘ aleatoare discret˘a cu tabloul de reparti¸tie

X 0 1 ··· k ··· . (3.28)
p pq · · · pqk · · ·

Denumirea acestei reparti¸tii provine din faptul c˘a probabilita˘¸tile de pe linia a doua
a tabloului de mai sus formeaz˘a o progresie geometric˘a de ra¸tie q.

Propozi¸tia 3.1.9 Daca˘ X ∼ Geom(p) (0 < p < 1), atunci func¸tia generatoare
de momente este:

mX (t) = M (etX ) = p 1 1 , ∀t < − ln q, (3.29)
− qet

iar func¸tia caracteristica˘:

ϕX (t) = M (eitX ) = p 1 1 , ∀t ∈ R. (3.30)
− qeit

Demonstra¸tie. Conform defini¸tiei, avem

∞ ∞ 1
− qet
mX (t) = ektpqk = p (qet)k = p1 ,

k=0 k=0

pentru orice t < − ln q.
Analog se procedez˘a ¸si pentru a calcula func¸tia generatoare.

Propozi¸tia 3.1.10 Daca˘ X ∼ Geom(p) (0 < p < 1), atunci

M (X) = q , D2 (X ) = q . (3.31)
p p2

104 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Demonstra¸tie. Vom calcula aceste caracteristici numerice cu ajutorul derivatelor
func¸tiei generatoare de momente:

m′X (t) = (1 pqet
− qet)2

¸si

m′X′ (t) = pqet(1 − qet)2 + 2p(qet)2(1 − qet)
(1 − qet)4

pentru orice t < − ln q. Luˆand t = 0, avem

M (X) = m′X (0) = q
p

¸si

M (X2) = mX′′ (0) = pq + 2q2
p2 .

De aici rezulta˘ imdediat, pe baza formulei de calcul a dispersiei, c˘a

D2 (X ) = q
p2 .

3.2 Reparti¸tii continue

3.2.1 Reparti¸tia uniforma˘

Defini¸tia 3.2.1 Vom spune ca˘ X urmeaza˘ o reparti¸tie uniforma˘ pe intervalul
[a, b] (a < b) daca˘ densitatea sa de reparti¸tie este

f (x) = b 1 a 1[a,b](x).
−

Se noteaza˘ X ∼ U (a, b).

Propozi¸tia 3.2.1 Daca˘ X ∼ U (a, b), atunci X −a ∼ U (0, 1).
b−a

Cu alte cuvinte, se poate face o standarziare a reparti¸tiilor uniforme, luaˆndu-se
drept element de referin¸t˘a reparti¸tia U (0, 1).

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 105

Propozi¸tia 3.2.2 Daca˘ X ∼ U (a, b), atunci func¸tia de reparti¸tie F a variabilei

aleatoare X este:  0, x≤a

x−a
F (x) = b−a , x ∈ (a, b] .

 1, x > b

Demonstra¸tie. Avˆand ˆın vedere formula de leg˘atura˘ dintre F ¸si f , avem

 0, x≤a 
x x ∈ (a, b] 
x  dt 0, x≤a
f (t)dt = b−a , x>b x ∈ (a, b]
F (x) = = x−a , x>b .
a b−a
 b  1,
−∞ dt
b−a ,

a

Propozi¸tia 3.2.3 Daca˘ X ∼ U (a, b), atunci

M (X) = b+a ¸si D2 (X ) = (b − a)2 .
2 12

Demonstra¸tie. Cu defini¸tiile uzuale, avem:

b tdt b + a,
b−a 2
M (X) = =

a

b t2dt b2 + ab + a2
b−a 3 ,
M (X2) = =

a

de unde D2 (X ) = M (X2) − (M (X))2 = (b−a)2 .
12

ˆIn ce prive¸ste func¸tia caracteristic˘a ¸si func¸tia generatoare de momente, avem
urma˘torul rezultat:

Propozi¸tia 3.2.4 Daca˘ X ∼ U (a, b), atunci

ϕX (t) = 1, t = 0, , (3.32)

eitb −eita , t=0
it(b−a)

mX (t) = 1, t = 0, . (3.33)

etb −eta , t=0
t(b−a)

106 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Demonstra¸tie. Fie Y = X −a . Din Propozi¸tia 3.2.1 rezulta˘ c˘a Y ∼ U (0, 1).
b−a
Evalua˘m mai ˆıntˆai func¸tia caracteristic˘a a variabilei Y :

ϕY (t) = 1 eitxdx = eit − 1
it

0

pentru t = 0. ˆIn zero, orice func¸tie caracteristic˘a are valoarea 1. Func¸tia caracter-
istic˘a a lui X se deduce u¸sor aplicaˆnd formula dat˘a ˆın Propozi¸tia 2.5.1. Analog se
procedez˘a pentru determinarea func¸tiei generatoare.

3.2.2 Reparti¸tia Normala˘

Este una dintre cele mai importante reparti¸tii, pe ea bazˆandu-se foarte multe
analize statistice.

Defini¸tia 3.2.2 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare X are o reparti¸tie normal˘a
(sau gaussian˘a) de parametri m ¸si σ, dac˘a X are densitatea de reparti¸tie

√1 (x−m)2
2σ2
f (x) = e ,− x ∈ R. (3.34)
σ 2π

Vom nota X ∼ N (m, σ2).
Daca˘ X ∼ N (0, 1), vom spune ca˘ X are o reparti¸tie normal˘a standard ¸si

vom nota densitatea ei cu φ(x), iar func¸tia sa de reparti¸tie cu Φ(x), adica˘:

φ(x) = √1 e− x2 , x ∈ R, (3.35)
2 (3.36)

2π

x √1 e− u2
2
Φ(x) = du, (∀)x ∈ R,
−∞ 2π

Func¸tia Φ mai poarta˘ numele de func¸tia lui Laplace.

Referitor la no¸tiunile introduse ˆın defini¸tia de mai sus, da˘m ˆın continuare cˆateva
proprieta˘¸ti imediate.

Propozi¸tia 3.2.5 Daca˘ X ∼ N (m, σ2), atunci X −m ∼ N (0, 1).
σ

Aceast˘a propozi¸tie ne arata˘ c˘a este suficient s˘a ne restraˆngem aten¸tia asupra
reparti¸tiei normale standard, deoarece proprieta˘¸tile unei repati¸tii normale oare-
care pot fi u¸sor deduse pe baza transforma˘rii pusa˘ ˆın eviden¸ta˘ mai sus. Aceast˘a

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 107

idee apare ˆın multe din rezultatele de mai jos. Datorita˘ acestui rol de referin¸ta˘ a
reparti¸tiei N (0, 1), pentru func¸tia sa de reparti¸tie Φ s-au ˆıntocmit tabele de val-
ori, foarte utile atunci cˆand avem de calculat probabilita˘¸ti concrete ale reparti¸tiei
normale sau cˆand efectu˘am testarea anumitor ipoteze statistice bazate pe legea
normala˘. Aceste tabele statistice cu valorile lui Φ sunt ˆın general ˆıntocmite doar
pentru valorile pozitive ale lui x, deoarece pentru aflarea celorlalte valori se poate
utiliza:

Propozi¸tia 3.2.6 Func¸tia lui Laplace verifica˘: (3.37)
Φ(x) + Φ(−x) = 1, (∀)x ∈ R.

Exemplul 3.2.1 Sa˘ evalua˘m cu ajutorul tabelului statistic al valorilor func¸tiei Φ
urma˘toarele probabilita˘¸ti: P (m − σ ≤ X ≤ m + σ), P (m − 2σ ≤ X ≤ m + 2σ) ¸si
P (m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ), unde X ∼ N (m, σ2). Conform formulelor uzuale care
leaga˘ probabilitatea ca o variabila˘ aleatoare s˘a ia valori ˆıntr-un interval ¸si func¸tia
sa de reparti¸tie, avem:

P (m − σ ≤ X ≤ m + σ) = P (−1 ≤ Y ≤ 1)

= Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0, 6826

P (m − 2σ ≤ X ≤ m + 2σ) = P (−2 ≤ Y ≤ 2)

= Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) − 1 = 0, 9544

P (m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ) = P (−3 ≤ Y ≤ 3)

= Φ(3) − Φ(−3) = 2Φ(3) − 1 = 0, 9974

unde Y = X −m ∼ N (0, 1). Prin urmare, ˆın cazul reparti¸tiei normale, regula celor
σ
3σ func¸tionez˘a cu un procentaj de 99, 74%.

Sa˘ determina˘m acum func¸tia generatoare ¸si func¸tia caracteristic˘a pentru reparti¸tia
X ∼ N (m, σ2).

Teorema 3.2.1 Daca˘ X ∼ N (m, σ2), atunci func¸tia sa generatoare de momente

este σ2 t2
2
mX (t) = M (etX ) = emt+ , (∀)t ∈ R, (3.38)

iar func¸tia sa caracteristica˘

ϕX (t) = M (eitX ) = eimt− σ2 t2 , (∀)t ∈ R. (3.39)
2

108 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Demonstra¸tie. Avˆand ˆın vedere comportamentul acestor func¸tii la transforma˘ri
liniare, este suficient s˘a le evalu˘am ˆın cazul reparti¸tiei normale standard. Prin
urmare, vom calcula doar mY ¸si ϕY , unde

Y = X −m ∼ N (0, 1),
σ

conform Propozi¸tiei 3.2.5. Cu defini¸tiile uzuale, func¸tia generatoare a lui Y este

mY (t) = M (etY ) = ∞ √1 etx · e− x2 dx = ∞ √1 e− 1 (x2−2tx)dx
2 2

−∞ 2π −∞ 2π

= ∞ √1 t2 · e− (x−t)2 dx = t2 · ∞ √1 e− (x−t)2 dx
2 2
e2 e2
−∞ 2π −∞ 2π

t2 ∞ √1 e− u2 t2 ∞ t2
2 2
= e2 · du = e2 · φ(u)du = e , (∀)t ∈ R.
−∞ 2π
−∞

Am fa˘cut mai sus schimbarea de variabila˘ u = x − t ¸si am folosit apoi faptul c˘a φ

este o densitate de reparti¸tie, prin urmare

∞

φ(u)du = 1.

−∞

Analog se procedez˘a ¸si pentru a ara˘ta c˘a func¸tia caracteristic˘a a lui Y este ϕY (t) =
t2
e− 2 , (∀)t ∈ R.

Teorema 3.2.2 Daca˘ X ∼ N (m, σ2) atunci

M (X) = m, ¸si D2(X) = σ2. (3.40)

Demonstra¸tie. Varianta 1. Cacul˘am mai ˆıntaˆi media ¸si dispersia variabilei

aleatoare Y = X −m ∼ N (0, 1). Avem
σ

∞

M (Y ) = uφ(u)du = 0,

−∞

pentru c˘a φ este o func¸tie para˘. Momentul de ordinul 2 este

∞∞
u2 √1 √1
M (Y 2) = e− u2 du = (−u)(−ue− u2 )dt
2 2

2π 2π
−∞ −∞

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 109

= √1 ∞ ∞ ∞∞
+ √1 √1
(−ue− u2 ) | | e− u2 du = e− u2 du = φ(u)du = 1.
2 2 2

2π −∞ 2π 2π
−∞ −∞ −∞

Prin urmare M (Y ) = 0 ¸si D2(Y ) = 1, de unde

M (X) = σM (Y ) + m = m,

D2(X) = σ2D2(Y ) = σ2.

Varianta 2. Media ¸si momentul de ordinul 2 se ob¸tin u¸sor, calculˆand derivatele
ˆın zero ale func¸tiei caracteristice sau generatoare, ambele calcule fiind f˘acute ca ˆın
Teorema 3.2.1.

Teorema 3.2.3 Daca˘ X ∼ N (0, σ2), atunci

M (X2k−1) = 0, (∀)k ≥ 1 (3.41)

M (X2k) = 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)σ2k = (2k − 1)! σ2k , ∀k ≥ 1. (3.42)
2k−1(k − 1)!

Demonstra¸tie. Aplicˆand defini¸tiile momentelor respective ¸si integraˆnd prin
pa˘r¸ti, ob¸tinem urma˘toarea formula˘ de recuren¸t˘a:

M (Xk) = (k − 1)σ2M (Xk−2), k = 3, 4, . . . ,

ˆInsa˘ M (X) = 0, M (X2) = D2(X) = σ2 , de unde prin ˆınlocuiri succesive ob¸tinem
imediat formulele din enun¸tul teoremei.

Ca alternativa˘ de calcul, se observ˘a ca aceea¸si formula˘ de recuren¸t˘a poate fi
ob¸tinuta˘ si derivaˆnd func¸tia generatoare de momente (sau func¸tia caracteristic˘a)
asociata˘ reparti¸tiei N (0, σ2).

Teorema 3.2.4 Daca˘ X1, X2, · · · , Xn sunt n variabile aleatoare independente ast-
fel ˆıncaˆt Xi ∼ N (mi, σi2), i = 1, 2, · · · , n, atunci

n nn

aiXi ∼ N ( aimi, ai2σi2),

i=1 i=1 i=1

oricare ar fi a1, a2, · · · , an numere reale.

Demonstra¸tia acestei teoreme are la baz˘a idei similare cu cele prezentate ˆın cazul
variantei 2 de demonstrare a Teoremei 3.1.1.

110 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

3.2.3 Reparti¸tia Log-Normal˘a

Defini¸tia 3.2.3 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare X are o reparti¸tie Log-
normal˘a de parametrii a ¸si σ, dac˘a X are densitatea de reparti¸tie

√1 (ln x−a)2
2σ2
f (x) = e ,− x > 0. (3.43)
σx 2π

Vom nota X ∼ LogN (a, σ2).

Propozi¸tia 3.2.7 Daca˘ X ∼ LogN (a, σ2), atunci ln X ∼ N (a, σ2).

Propozi¸tia 3.2.8 Daca˘ X ∼ LogN (a, σ2), atunci

M (X ) = ea+ σ2 ,
2

D2(X) = e2a+σ2 (eσ2 − 1).

Demonstra¸tie. Rezulta˘ imediat folosind leg˘atura cu reparti¸tia normala˘, ¸si
anume, notˆand Y = ln X ∼ N (a, σ2), avem X = eY , deci

M (X) = ϕY (1) = ea+ σ2 ,
2

M (X2) = ϕY (2) = e2a+2σ2 ,
de unde, aplicaˆnd formula de calcul a dispersiei, ob¸tinem

D2(X) = M (X2) − M 2(X) = e2a+σ2 (eσ2 − 1).

3.2.4 Reparti¸tia Gamma

Defini¸tia 3.2.4 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare reala˘ X are reparti¸tia gamma
de parametri α ¸si β (α > 0, β > 0) daca˘ densitatea sa de reparti¸tie este

f (x) = βα 1 e− x xα−1 · 1R+ (x), ∀x ∈ R, (3.44)
Γ(α) β

·

∞

unde Γ(α) = e−xxα−1dx, ∀α > 0 este func¸tia lui Euler.

0

Vom nota X ∼ γ(α, β).

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 111

Folosind integrarea prin pa˘r¸ti, se verific˘a u¸sor urma˘toarea proprietate de recuren¸ta˘

a func¸tiei Γ:

Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1), ∀p > 1. (3.45)

Se deduce imediat de aici c˘a

Γ(n) = (n − 1)!, ∀n ∈ N∗. (3.46)

Printr-un calcul direct sau f˘acaˆnd apel la proprieta˘¸tile densita˘¸tii normalei standard,
se deduce u¸sor ¸si urma˘toarea valoare important˘a a func¸tiei Γ:

Γ( 1 ) = √ (3.47)
2 π.

ˆIn ce prive¸ste func¸tia caracteristic˘a ¸si func¸tia generatoare a reparti¸tiei Gamma,
avem:

Propozi¸tia 3.2.9 Daca˘ X ∼ γ(α, β), atunci

mX (t) = M (etX ) = (1 − β · t)−α, (∀)t < 1, (3.48)
β

iar func¸tia sa caracteristica˘

ϕX (t) = M (eitX ) = (1 − iβ · t)−α, (∀)t ∈ R. (3.49)

Deducem imediat din propozi¸tia anterioar˘a valoarea mediei, dispersiei, precum ¸si
a momentelor reparti¸tiei Gamma:

Propozi¸tia 3.2.10 Daca˘ X ∼ γ(α, β), atunci

M (X) = αβ, (3.50)
(3.51)
D2(X) = αβ2, (3.52)

M (Xr) = βrΓ(α + r) , ∀r ∈ N.
Γ(α)

Folosind Propozi¸tia 3.2.9, se poate acum u¸sor demonstra:

Teorema 3.2.5 Fie X ¸si Y doua˘ variabile aleatoare independente, cu reparti¸tiile
γ(α1, β) ¸si, respectiv, γ(α2, β). Atunci variabila aleatoare X + Y ∼ γ(α1 + α2, β).

112 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

3.2.5 Reparti¸tia exponen¸tiala˘

Defini¸tia 3.2.5 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare reala˘ X are reparti¸tia exponen¸tial˘a
de parametru a (a > 0), dac˘a densitatea sa de reparti¸tie este

f (x) = 0, x≤0 . (3.53)
ae−ax, x>0

Vom nota X ∼ Exp(a).

Observa¸tia 3.2.1 Se observ˘a c˘a reparti¸tia Exp(a) coincide cu reparti¸tia γ(1, 1 ),
a
prin urmare proprieta˘¸tile de baz˘a ale reparti¸tiei Exp(a) se pot deduce din cele ale

reparti¸tiei Gamma.

Propozi¸tia 3.2.11 Daca˘ X ∼ Exp(a), atunci func¸tia de reparti¸tie F a lui X este

F (x) = 0, x≤0 .
1 − e−ax, x>0

Propozi¸tia 3.2.12 Daca˘ X ∼ Exp(a), atunci

P ({t < X < s}|{t < X}) = P (X < s − t), oricare ar fi 0 < t < s. (3.54)

Demonstra¸tie. Din defini¸tia probabilita˘¸tilor condi¸tionate avem

P ({t < X < s}|{t < X }) = P (t < X < s) = F (s) − F (t) = F (s − t).
P (t < X) 1 − F (t)

Observa¸tia 3.2.2 Reciproc, se poate ar˘ata c˘a dac˘a X este o variabila˘ aleatoare
continua˘ ¸si pozitiv˘a ce verific˘a rela¸tia (3.2.12), atunci X are o reparti¸tie exponen¸tial˘a.

Propozi¸tia 3.2.13 Daca˘ X ∼ Exp(a), atunci

M (X) = 1, (3.55)
a (3.56)

D2 (X ) = 1
a2 .

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 113

Demonstra¸tie. ˆIn acest caz particular al reparti¸tiei Gamma, se poate face ¸si un

calcul direct pentru determinarea mediei ¸si dispersiei. Astfel, integraˆnd prin pa˘r¸ti,

ob¸tinem imediat: ∞

M (X) = xae−axdx = 1
,
a

0

∞∞

M (X2) = a x2e−axdx = −x2e−ax|∞0 + 2 xe−axdx =

00

2 ∞ 2 2
a a a2
= xae−axdx = M (X ) = .

0

Prin urmare, 2 1 1
a2 a2 a2
D2 (X ) = − = .

3.2.6 Reparti¸tia χ2

Defini¸tia 3.2.6 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare reala˘ X are reparti¸tia χ2
cu n grade de libertate daca˘ densitatea sa de reparti¸tie este

f (x) = 1 e− x x n −1 1R+ (x), ∀x ∈ R. (3.57)
2n/2Γ( 2 2
n )
2

Vom nota X ∼ χ2(n).

Observa¸tia 3.2.3 Se observ˘a c˘a reparti¸tia χ2(n) coincide cu reparti¸tia γ ( n , 2) ¸si
2
prin urmare, putem deduce proprieta˘¸tile de baz˘a ale reparti¸tiei χ2(n) din cele ale

reparti¸tiei Gamma. Vom rezuma ˆın continuare aceste proprieta˘¸ti.

Propozi¸tia 3.2.14 Daca˘ X ∼ χ2(n), atunci

mX (t) = M (etX ) = (1 − 2 · t)− n , (∀)t < 1 (3.58)
2 2, (3.59)

iar func¸tia sa caracteristica˘

ϕX (t) = M (eitX ) = (1 − i · 2 · t)− n , (∀)t ∈ R,
2

114 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Propozi¸tia 3.2.15 Daca˘ X ∼ χ2(n), atunci

M (X) = n, (3.60)

D2(X) = 2n, (3.61)
(3.62)
M (Xr) = 2r Γ( n + r) , ∀r ∈ N.
2
n
Γ( 2 )

Teorema 3.2.6 Daca˘ X ¸si Y sunt doua˘ variabile aleatoare independente, care
au respectiv reparti¸tiile χ2(n) ¸si χ2(m), atunci variabila aleatoare X + Y este
repartizata˘ χ2(m + n).

Foarte mult utilizata˘ ˆın statistic˘a este urma˘toarea caracterizare a reparti¸tiei
χ2(n):

Teorema 3.2.7 Daca˘ X1, ..., Xn sunt n variabile aleatoare independente ¸si identic
repartizate,

Xi ∼ N (0, 1), ∀i = 1, . . . , n,

n

atunci Xi2 ∼ χ2(n).

i=1

Pornind de la aceast˘a proprietate ajungem ˆın mod natural la urma˘toarea
defini¸tie pentru Legea χ2 descentrata˘:

Defini¸tia 3.2.7 Daca˘ X1, ..., Xn sunt n variabile aleatoare independente astfel
ˆıncaˆt ¸si identic repartizate,

Xi ∼ N (mi, 1), ∀i = 1, . . . , n,

n

atunci reparti¸tia variabilei aleatoare Xi2 poarta˘ numele de reparti¸tie χ2 de-

i=1

scentrata˘ cu n grade de libertate ¸si parametrul de excentricitate θ =

n

m2i . Not˘am aceasta˘ reparti¸tie χ2(n, θ).

i=1

ˆIn ce prive¸ste caracteristicile numerice de baz˘a ale acestei reparti¸tii, avem

Propozi¸tia 3.2.16 Daca˘ X ∼ χ2(n, θ), atunci

M (X) = n + θ, (3.63)
D2(X) = 2(n + 2θ). (3.64)

3.2. REPARTIT¸ II CONTINUE 115

3.2.7 Reparti¸tia Student

Defini¸tia 3.2.8 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare reala˘ X are reparti¸tia Stu-
dent cu n grade de libertate daca˘ densitatea sa de reparti¸tie este

√Γ( n+1 ) 1 + x2 n+1
2 n 2
f (x) == n ,− ∀x ∈ R. (3.65)
nπΓ( 2 )

Vom nota X ∼ t(n).

Caracteristicile numerice esen¸tiale ale acestei reparti¸tii sunt:

Propozi¸tia 3.2.17 Daca˘ X ∼ t(n) (n > 2), atunci

M (X) = 0 ¸si D2 (X ) = n n 2. (3.66)
−

Leg˘atura reparti¸tiei Student cu alte reparti¸tii continue importante este data˘
de teorema urma˘toare.

Teorema 3.2.8 Fie X ¸si Y doua˘ variabile aleatoare independente repartizate
N (0, 1), respectiv χ2(n). Atunci

X ∼ t(n). (3.67)

Y
n

Teorema precedent˘a da˘ o caracterizare important˘a a reparti¸tiei Student, ce st˘a
la baza diferitelor metode de testare a ipotezelor statistice.

3.2.8 Reparti¸tia Fisher-Snedecor

Defini¸tia 3.2.9 Vom spune ca˘ o variabila˘ aleatoare reala˘ X are reparti¸tia Fisher-
Snedecor cu m ¸si n grade de libertate, dac˘a densitatea sa de reparti¸tie este

Γ( m+n ) m m m mx − m+n
2 n 2 n 2
f (x) == · 2 · x −1 1 + 1R+ (x), , ∀x ∈ R. (3.68)

Γ( m ) · Γ( n )
2 2

Vom nota X ∼ F (m, n).

ˆIn ce prive¸ste media ¸si dispersia acestei reparti¸tii, avem:

Propozi¸tia 3.2.18 Daca˘ X ∼ F (m, n), atunci

M (X) = n n 2 (n > 2), (3.69)
− (3.70)

D2 (X ) = 2n2(n + m − 2) (n > 4).
m(n − 4)(n − 2)2

116 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

O alt˘a caracterizare a reparti¸tiei F (m, n), foarte important˘a din punct de
vedere statistic, este oferit˘a de teorema urma˘toare:

Teorema 3.2.9 Daca˘ X ¸si Y sunt doua˘ variabile aleatoare independente, repar-
tizate χ2(m), respectiv χ2(n), atunci

X

m ∼ F (m, n).
Y

n

Avˆand ˆın vedere acest rezultat, putem acum defini u¸sor reparti¸tiile F descentrate:

Defini¸tia 3.2.10 Daca˘ X ¸si Y sunt doua˘ variabile aleatoare independente, astfel
ˆıncaˆt X ∼ χ2(m, θ) iar Y ∼ χ2(n), atunci repart¸tia variabilei aleatoare

X

m ,
Y

n

poarta˘ numele de reparti¸tie Fisher-Snedecor descentrata˘, de parametru de
excentricitate θ, cu m ¸si n grade de libertate.

3.3 Propriet˘a¸ti asimptotice

3.3.1 Tipuri de convergen¸te

Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare pe cˆampul de probabilitate (Ω, K, P ).

Defini¸tia 3.3.1 Vom spune ca˘ ¸sirul de variabile aleatoare (Xn)n∈N∗ converge
aproape sigur la o variabila˘ aleatoare X, dac˘a

P ({ω : lim Xn(ω) = X (ω)}) = 1. (3.71)

n→∞

Vom nota atunci Xn a→.s. X.

Da˘m ˆın continuare cˆateva caracteriz˘ari ale acestui tip de convergen¸ta˘.

Propozi¸tia 3.3.1 S¸irul de variabile aleatoare (Xn)n∈N∗ converge aproape sigur la
X, dac˘a ¸si numai daca˘ pentru orice ǫ > 0 :

∞

lim P ({ω ∈ Ω : |Xk(ω) − X(ω)| ≥ ǫ}) = 0. (3.72)

n→∞ k=n

3.3. PROPRIETA˘T¸ I ASIMPTOTICE 117

Teorema 3.3.1 (Lema Borel-Cantelli) Fie (Xn)n∈N un ¸sir de variabile aleatoare.
Daca˘ pentru orice ǫ > 0

∞ (3.73)

P (ω ∈ Ω : |Xn(ω) − X(ω)| ≥ ǫ) < ∞,

n=1

atunci Xn a→.s. X.

Aceast˘a teorem˘a ofera˘ un criteriu simplu de convergen¸ta˘ aproape sigura˘, destul
de des folosit.

Defini¸tia 3.3.2 Vom spune ca˘ un ¸sir (Xn)n∈N∗ de variabile aleatoare converge
complet la o variabila˘ aleatoare X daca˘ pentru orice ǫ > 0 avem

n

lim P ({ω ∈ Ω : |Xk(ω) − X(ω)| ≥ ǫ}) < ∞. (3.74)

n→∞ k=1

Not˘am ˆın acest caz Xn →c X.

Din lema Borel-Cantelli de mai sus este evident c˘a

[Xn →c X] ⇒ [Xn a→.s. X]. (3.75)

Reciproca nu este, ˆın general, adeva˘rata˘.

Defini¸tia 3.3.3 Vom spune ca˘ un ¸sir (Xn)n∈N de variabile aleatoare converge
ˆın probabilitate la o variabila˘ aleatoare X daca˘ pentru orice ǫ > 0 avem

lim P ({ω ∈ Ω : |Xn(ω) − X (ω)| < ǫ}) = 1. (3.76)

n→∞

Vom nota ˆın acest caz Xn →P X.

Observa¸tia 3.3.1 Din defini¸tia de mai sus rezulta˘ c˘a

Xn →P X ⇔ lim P ({|Xn − X| ≤ ε}) = 0, ∀ε > 0. (3.77)

n→∞

Propozi¸tia 3.3.2 Daca˘ Xn a→.s. X, atunci Xn →P X.
Demonstra¸tie. Sa˘ considera˘m urma˘toarele evenimente aleatoare:

Ak = {ω ∈ Ω : |Xk(ω) − X(ω)| ≥ ǫ}, k ∈ N.

118 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Din cele spuse mai sus, avem:

Xn →P X ⇔ lim P (An) = 0, (3.78)
(3.79)
n→∞
(3.80)
a→.s. ∞

Xn X ⇔ lim P ( Ak) = 0.

n→∞ k=n

Astfel, datorita˘ faptului c˘a

rezulta˘ c˘a ∞

P ( Ak) =≥ P (An),

k=n

[Xn a→.s. X] ⇒ [Xn →P X].

Reciproca acestei propozi¸tii nu este, ˆın general, adeva˘rata˘, dar are loc urma˘torul
rezultat:

Teorema 3.3.2 (Slu¸tki) Daca˘ un ¸sir de variabile aleatoare este convergent ˆın
probabilitate, atunci el admite un sub¸sir convergent aproape sigur.

Defini¸tia 3.3.4 Vom spune ca˘ un ¸sir (Xn)n∈N∗ de variabile aleatoare converge
ˆın distribu¸tie (sau ˆın reparti¸tie) la o variabila˘ aleatoare X daca˘

lim Fn(x) = F (x), (3.81)

n→∞

ˆın orice punct x de continuitate al lui F (.), unde F este func¸tia de reparti¸tie a lui
X iar Fn reprezinta˘ func¸tia de reparti¸tie a lui Xn, (∀)n ∈ N∗. Vom nota ˆın acest
caz Xn →D X.

Teorema 3.3.3 Daca˘ un ¸sir de variabile aleatoare este convergent ˆın probabilitate
la X, atunci el converge ¸si ˆın distribu¸tie la X.

Reciproca acestei teoreme nu este, ˆın general, adeva˘rata˘, dar are loc urma˘torul
rezultat:

Propozi¸tia 3.3.3 Daca˘ ¸sirul de variabile aleatoare (Xn)n∈N∗ converge ˆın distribu¸tie
la o constant˘a c, atunci (Xn)n∈N∗ converge ¸si ˆın probabilitate la c.

3.4. LEGI ALE NUMERELOR MARI S¸I TEOREMA LIMITA˘ CENTRALA˘119

Defini¸tia 3.3.5 Daca˘ X, Xn ∈ Lr(Ω, R)(r ≥ 1), ∀n ∈ N∗, vom spunem ca˘ Xn
converge ˆın medie de ordinul r la variabila aleatoare X ¸si vom scrie Xn →Lr X,

daca˘

lim E(|Xn − X |r ) = 0. (3.82)

n→∞

Cu alte cuvinte Xn →Lr X dac˘a Xn − X r→ 0.

Teorema 3.3.4 Daca˘ un ¸sir de variabile aleatoare este convergent ˆın media de
ordinul r la variabila aleatoare X, atunci el converge ¸si ˆın probabilitate la X.

Demonstra¸tie. Folosind inegalitatea Markov (2.76), rezulta˘ c˘a:

P (|Xn − X| ≥ ǫ) ≤ E(|Xn − X |r ) (3.83)
ǫr

pentru orice ǫ > 0 ¸si cum limn→∞ E(|Xn − X|r) = 0, ob¸tinem prin trecere la limit˘a
rezultatul dorit.

Teorema 3.3.5 Daca˘ Xn →Lr X ¸si daca˘ (3.84)

∞ (3.85)
(3.86)
E(|Xn − X|r) < ∞,

n=1

atunci Xn a→.s. X.

Da˘m acum o scurta˘ sintez˘a a rezultatelor prezentate mai sus:

[Xn →c X] ⇒ [Xn a→.s. X] ⇒ [Xn →P X] ⇒ [Xn →D X]

¸si
[Xn →Lr X] ⇒ [Xn →P X] ⇒ [Xn →D X].

3.4 Legi ale numerelor mari ¸si Teorema Limit˘a
Central˘a

Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare reale, cu medii finite, definite pe cˆampul
de probabilitate (Ω, K, P ). Nota˘m Sn = X1 + ... + Xn, ∀n ∈ N∗.

120 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Defini¸tia 3.4.1 Vom spune ca˘ (Xn)n∈N∗ verifica˘ legea slaba˘ a numerelor
mari (prescurtat LSNM) daca˘

Sn − M (Sn) = X1 + ... + Xn − M (X1) + ... + M (Xn) →P 0. (3.87)
nn

Vom spune ca˘ (Xn)n∈N∗ verifica˘ legea tare a numerelor mari (prescurtat

LTNM) daca˘

Sn − M (Sn) =a→.s. 0. (3.88)
n

Teorema 3.4.1 (Cebˆa¸sev) Daca˘ (Xn)n∈N∗ este un ¸sir de variabile aleatoare in-
dependente doua˘ caˆte doua˘ ¸si cu dispersii egal ma˘rginite, atunci (Xn)n∈N∗ verifica˘
LSNM.

Demonstra¸tie. Dispersiile fiind egal m˘arginite, rezulta˘ c˘a exist˘a o constant˘a
pozitiv˘a c astfel ˆıncˆat

D2Xn ≤ c, ∀n ≥ 1.

Cum variabilele aleatoare din acest ¸sir sunt independente doua˘ cˆate doua˘, din
formula (2.86) ob¸tinem

n

D2(Sn) = D2Xk ≤ n · c.

k=1

Utilizˆand acum inegalitatea lui Cebaˆ¸sev pentru variabila aleatoare X = Sn , ob¸tinem
n

P ( |Sn − M (Sn)| D2 Sn
n n
≥ ǫ) ≤
ǫ2

= D2(Sn) ≤ n·c = c → 0.
n2ǫ2 n2ǫ2 nǫ2

ceea ce demonstreaz˘a teorema.

Teorema 3.4.2 Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare din L2(Ω, R), inde-
pendente doua˘ caˆte doua˘ ¸si identic repartizate. Atunci (Xn)n∈N∗ verifica˘ LSNM.
Cu alte cuvinte,

Sn →→P m,
n

unde m este media comuna˘ a variabilelor ¸sirului.

3.4. LEGI ALE NUMERELOR MARI S¸I TEOREMA LIMITA˘ CENTRALA˘121

Demonstra¸tie. Deoarece variabilele ¸sirului sunt din L2(Ω, R) ¸si sunt identic
distribuite, rezulta˘ c˘a D2Xn = σ2, ∀n ¸si prin urmare putem aplica Teorema 3.4.1
de mai sus, ob¸tinaˆnd astfel concluzia dorita˘.

Teorema 3.4.3 (Bernoulli) Daca˘ (Xn)n∈N∗ este un ¸sir de variabile aleatoare
simple, independente doua˘ caˆte doua˘ ¸si avaˆnd tablourile de reparti¸tie

Xn 01 , ∀n ∈ N∗, (3.89)
p 1−p

atunci Sn) →P p.
n

Observa¸tia 3.4.1 Afirma¸tia acestei teoreme este, desigur, echivalenta˘ cu faptul

c˘a (Xn)n∈N∗ verific˘a LSNM ¸si ea fundamenteaz˘a defini¸tia statistic˘a a proba-

bilita˘¸tii, deoarece frecven¸ta relativa˘ a unui eveniment A, ˆın cadrul unei experien¸te
Sn)
aleatoare E, poate fi scris˘a sub forma n , unde Xn are reparti¸tia (3.89) de mai sus

(p reprezint˘a acum probabilitatea de realizarea a lui A), Xn luaˆnd valoarea 1 dac˘a

evenimentul A s-a realizat la cea de-a n repetare a experien¸tei E ¸si 0 ˆın caz contrar,
∀n ∈ N∗. ˆIn plus, ˆın acest context, variabilele aleatoare din ¸sirul (Xn)n∈N∗ sunt

independente ˆın totalitate ¸si nu doar doua˘ cˆate doua˘, a¸sa cum cere Teorema 3.4.3.

Urm˘atorul rezultat generalizez˘a Teorema 3.4.1:

Teorema 3.4.4 Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare din L2(Ω, R), inde-
pendente doua˘ caˆte doua˘. Daca˘

1 n
n2
lim D2(Xi) = 0, (3.90)

n→∞ i=1

atunci (Xn)n∈N∗ verifica˘ LSNM.

ˆIn ce prive¸ste legile tari ale numerelor mari, da˘m ˆın continuare doua˘ rezultate
fundamentale:

Teorema 3.4.5 Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare independente din L2(Ω, R),

Daca˘ ∞ D2(Xn)
n=1 n2
< ∞, (3.91)

atunci (Xn)n∈N∗ verifica˘ LTNM.

122 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

Teorema 3.4.6 (Markov) Fie (Xn)n∈N∗ un ¸sir de variabile aleatoare din L1(Ω, R),
independente ¸si identic distribuite. Atunci (Xn)n∈N∗ verifica˘ LTNM.

Rezultatele de mai sus analizez˘a convergen¸tele ˆın probabilitate sau aproape sig-
ure ale ¸sirului sumelor standardizate de variabile aleatoare. Exista˘, ˆınsa˘, ¸si rezul-
tate, foarte importante ˆın statistic˘a, care analizez˘a convergen¸ta lor ˆın distribu¸tie.
Pentru toate rezultatele de acest tip, se folose¸ste termenul generic de Teorem˘a
limit˘a central˘a (sau, pe scurt, TLC). Prezenta˘m ˆın continuare o versiune sim-
plificata˘ a Teoremei limita˘ centrala˘ a lui Lindeberg ¸si L´evy.

Teorema 3.4.7 Fie X1, X2, ... un ¸sir de variabile aleatoare independente, identic
repartizate, de dispersii finite ¸si nenule ¸si fie µ = M (Xn), D2(Xn) = σ2 ¸s i
Sn := X1 + ... + Xn, ∀n ∈ N∗. Atunci pentru orice x avem

Sn −√ nµ ≤ x = √1 x
σn
lim P 2π e−t2/2dt. (3.92)

n→∞

−∞

Cu alte cuvinte, ˆın condi¸tii destul de generale, sumele standardizate de variabile
aleatoare au aproximativ reparti¸tia normal˘a standard dac˘a num˘arul variabilelor
sumate este foarte mare. O astfel de aproximare st˘a la baza foarte multor analize
statistice a datelor experimentale.

3.5 Exerci¸tii ¸si probleme

1. 30% din piesele produse de o ma¸sina˘ sunt defecte. Care este probabilitatea
ca dintre 10 produse alese la ˆıntˆamplare:
(a) unul s˘a fie defect;
(b) cel mult trei sa˘ fie defecte?

2. Dac˘a probabilitatea ca un articol sa˘ fie defect este de 0,2, s˘a se calculeze
media ¸si dispersia num˘arului de articole defecte din 5 articole controlate.
Notaˆnd cu X acest num˘ar de articole defecte, determina¸ti func¸tia de reparti¸tie
a lui X.

3. Un om iese ˆın stare de ebrietate dintr-un bar. La fiecare pas el se mi¸sc˘a

la dreapta cu un metru cu probabilitatea p sau la stˆanga cu probabilitatea
n+X
1 − p. Fie X pozi¸tia sa dupa˘ n pa¸si. Ar˘ata¸ti c˘a 2 ∼ Bi(n, p). La cˆa¸ti

metri de intrarea ˆın bar ne a¸stept˘am sa˘ fie acest om dupa˘ n pa¸si ?

3.5. EXERCIT¸ II S¸I PROBLEME 123

4. Dac˘a X1 ∼ P o(λ1), X2 ∼ P o(λ1), cu λ2 > λ1, ar˘ata¸ti c˘a
P (X1 ≤ k) > P (X2 ≤ k), ∀k ∈ N.

5. Fie X ∼ P o(λ) ¸si (Yi)n≥1 un ¸sir de variabile aleatoare i.i.d., cu reparti¸tia

comuna˘

01 .
qp

X

Sa˘ se arate c˘a variabila aleatoare Yi are o reparti¸tie Poisson.

i=1

6. Fie X : Ω → N ¸si Y : Ω → N doua˘ variabile aleatoare cu urma˘toarele
proprieta˘¸ti:
1. X ∼ P o(µ);
2. Pentru n = 0, 1, 2, ... are loc

P [{Y = k}|{X = n}] = Cnkpk(1 − p)n−k pentru k = 0, 1, ..., n
0
pentru k>n

unde 0 < p < 1. Determina¸ti reparti¸tia variabilei aleatoare Y.

7. Fie X o variabila˘ aleatoare a c˘arei func¸tie de reparti¸tie F este strict cresc˘atoare.
Determina¸ti reparti¸tia variabilei aleatoare Y = F (X).

8. FalieeaXtoa∼reUY(0=, 1X).2D+e1t;erZm=ina√¸tiXde+ns1i;ta˘T¸til=e de reparti¸tie ¸si mediile variabilelor
eX−1, U = ln(1+X); V = sin πX.

9. Fie X ∼ U (0, 2π) ¸si fie Y1 = cos X ¸si Y2 = sin X. Determina¸ti cov(Y1, Y2).
Sunt Y1 ¸si Y2 independente?

10. Fie (Xn)n≥1 un ¸sir de variabile aleatoare discrete astfel ˆıncˆat Xn are tabloul

de reparti¸tie

Xn a + k a + 2k ... a + nk

1 1 ... 1
n n n

unde a, k ∈ R. Sa˘ se arate c˘a M (Xn) = a+ k· n+1 , µ2(Xn) = k2 · n(21n1−2X1 n¸si)ns≥˘a1s.e
studieze convergen¸ta ˆın reparti¸tie a ¸sirului 2
de variabile alatoare

11. Fie X variabila aleatoare care indica˘ eroarea de m˘asurare a unui aparat.

S¸tiind c˘a X ∼ N (0, 1 ), determina¸ti probabilitatea ca din 5 ma˘sur˘atori
25
independente, cel pu¸tin doua˘ s˘a fie din intervalul (−0.2, 0.2).

124 CAPITOLUL 3. REPART. CLASICE., DECEM BER5, 2001

12. Fie X variabila aleatoare care indica˘ eroarea de m˘asurare a unui aparat.
S¸tiind c˘a X ∼ N (0, σ2), determina¸ti (ˆın func¸tie de Φ) probabilitatea ca

media aritmetic˘a a n ma˘sur˘atori independente sa˘ apr¸tina˘ intevalului (−ǫ, ǫ).

13. Presupunaˆnd c˘a beneficiul zilnic al unui firme este o variabila˘ aleatoare X ∼
N (106, 100), sa˘ se calculeze:

(i) Probabilitatea ca beneficiul s˘a fie mai mic de 750.000 lei

(ii) Probabilitatea ca beneficiul sa˘ fie cuprins ˆıntre 950.500 ¸si 1.500.000 lei.

14. Fie X ∼ Exp(λ). Calcula¸ti valoarea medie a variabilei aleatoare Y =

max(X, 1 ).
λ

15. Durata de via¸ta˘ a unui anumit tip de imprimant˘a produs de o firm˘a este
o variabila˘ aleatoare X cu reparti¸tia Exp(a). S¸tiind c˘a media de via¸ta˘
a imprimantelor de acest tip este de 10 ani, determina¸ti parametrul a ¸si
calcula¸ti P (5 ≤ X < 8).

16. Dac˘a X1, X2, . . . , Xn sunt i.i.d. ¸si dac˘a Xi ∼ Exp(a), ∀i = 1, . . . , n, determina¸ti
densita˘¸tile ¸si mediile urma˘toarelor variabile aleatoare

1) X1 + X2, X1 − X2, min(X1, X2).
2) X1 + . . . + Xn;
3) max(X1, . . . , Xn).

17. Unui vaˆnz˘ator de ˆınghe¸tata˘ i se livreaza˘ zilnic o cantitate de ˆınghe¸tata˘ spre
comercializare. El ¸stie c˘a cererea de ˆınghe¸tata˘ este o variabila˘ aleatoare
repartizata˘ exponen¸tial. Pre¸tul de cump˘arare al unei unita˘¸ti de ˆınghe¸tata˘
este de p1 lei, iar cel de vaˆnzare al aceleia¸si unita˘¸ti este de p2 lei. La sfˆar¸situl
zilei se arunca˘ ˆıntreaga cantitate de ˆınghe¸tata˘ nevaˆnduta˘. Caˆte unita˘¸ti de
ˆınghe¸tata˘ trebuie s˘a comande vaˆnz˘atorul ˆın fiecare zi, astfel ˆıncaˆt cˆa¸stigul
scontat sa˘ fie maxim?

Bibliografie

[1] Billingsley P.: Probability and Measure, John Wiley&Sons, 1995

[2] Ciucu G., Craiu V., Sa˘cuiu I.: Probleme de teoria probabilita˘¸tilor, Ed.
Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1974

[3] Ciucu G., Saˆmboan G.: Teoria Probabilita˘¸tilor ¸si Statistica˘ Matematic˘a,
Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1962

[4] Ciucu G., Tudor C.: Probabilita˘¸ti ¸si Procese Stocastice, vol. I., Ed.
Academiei, Bucure¸sti, 1979

[5] Constantin Gh.: Curs de Teoria Probabilita˘¸tilor ¸si Statistica˘ Matematic˘a,
Tip. Univ. Timi¸soara, 1977

[6] Constantin Gh. ¸s.a.: ˆIndruma˘tor pentru rezolvarea problemelor de teoria
probabilita˘¸tilor, Tip. Univ. Timi¸soara, Partea I, 1980, Partea II, 1981

[7] Craiu, V.: Teoria probabilita˘¸tilor cu exemple ¸si probleme, Editura Funda¸tia
pentru Romaˆnia de mˆaine, Bucure¸sti, 1997.

[8] Cuculescu I.: Curs de Teoria Probabilita˘¸tilor, Tip. Univ. Bucure¸sti, 1976

[9] Gnedenko B. V.: The Theory of Probability, Mir Publishers, Moscow, 1973

[10] Grimmet G. R., Stirzaker D. R.: Probability and Random Processes,
Clarendon Press, Oxford, 1992

[11] Iaglom A. M., Iaglom I. M.: Probleme neelementare tratate elementar,
Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1983

[12] Iosifescu M., Mihoc G., Theodorescu R.: Teoria Probabilita˘¸tilor ¸si
Statistica˘ Matematic˘a, Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1969

[13] Karr, A.F.: Probability, Springer-Verlag, New York, 1993.

125

126 BIBLIOGRAFIE

[14] Leonte A., Trandafir R.: Clasic ¸si Actual ˆın Teoria Probabilita˘¸tilor, Ed.
Dacia, Cluj Napoca, 1974

[15] Meschkowski, H.: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik,
B.I., Mannheim, 1972.

[16] Mihoc Gh., Micu N.: Teoria Probabilita˘¸tilor ¸si Statistica˘ Matematic˘a, Ed.
Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1980

[17] Onicescu O., Mihoc G., Ionescu Tulcea C. T.: Calculul Probabilita˘¸tilor
¸si Aplica¸tii, Ed. Academiei, Bucure¸sti, 1956

[18] Radu V.: Calculul Probabilita˘¸tilor, Tip. Univ. Timi¸soara, 1986

[19] Radu V., ¸s. a.: Elemente de Teoria Probabilita˘¸tilor ¸si Aplica¸tii, Editura
Mirton, Timi¸soara, 1997.

[20] Ramm, B.; Hofmann, G.: Biomathematik, Ferdinand Enke Verlag, 1976.

[21] Reischer C., Saˆmboan A.: Culegere de Probleme de Teoria Proba-
bilita˘¸tilor ¸si Statistica˘ Matematic˘a, Ed. Did. ¸si Ped., Bucure¸sti, 1972

[22] Schervish, M.J.: Theory of statistics, Springer-Verlag, New York, 1995.

[23] Spanos, A.: Probability Theory and Statistical Inference, Cambridge Uni-
versity Press, 1999.