SuperbSBp Matematik Tingkatan 4

MODUL & AKTIVITI

superb

PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
SEKOLAH BERASRAMA PENUH tingkatan

4matematik
DWIBAHASA

ciri eksklusif Ditulis oleh Panel Guru Pakar
dan Guru Cemerlang
Pembelajaran & Pemudahcaraan Mata Pelajaran SBP
(PdPc) Abad Ke-21
Pentaksiran Bilik Darjah (PBD)
Objektif Pentaksiran
Nota Efektif
Peta Pemikiran
Kemahiran Berfikir Aras
Tinggi (KBAT)
Kertas Model SPM

1BAB Matematik Tingkatan 4 Bab 1

Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu
Pemboleh Ubah

Quadratic Functions and Equations in One Variable

NOTA EFEKTIF

Fungsi dan Persamaan Kuadratik
1.1 Quadratic Functions and Equations
Ungkapan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Quadratic Expressions in One Variable

1 Bentuk umum ax2 + bx + c
General form

dengan keadaan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah (satu pemboleh ubah).
where a, b and c as constants, a ≠ 0 and x as variables (one variable).
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
2 Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah dua.
The highest power of a variable is two.

Ciri-ciri Fungsi Kuadratik
The Characteristics of Quadratic Functions
1 Bentuk graf bagi fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c bergantung kepada nilai a.

The shape of a quadratic function (x) = ax2 + bx+ c depends on the value of a.
a < 0 graf berbentuk parabola dengan titik maksimum
a < 0 a parabolic graph with a maximum point
a > 0 graf berbentuk parabola dengan titik minimum
a > 0 a parabolic graph with a minimum point
2 Paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik adalah selari dengan paksi-y dan melalui titik maksimum atau min-
imum.
The axis of symmetry of the graph of a quadratic function is parallel to the-y axis and passes through the maximum or min-
imum point.

Titik maksimum Paksi simetri
Maximum point Axis of symmetry

Titik minimum
Minimum point

Kesan Perubahan Nilai a, b dan c Terhadap Graf Fungsi Kuadratik
The Effects of Changing the Values of a, b and c on Graph of Quadratic Functions
Bagi suatu graf fungsi kuadratik g(x) = ax2 + bx + c,
For a graph of a quadratic function g(x) = ax2 + bx + c,
1 perubahan nilai a menentukan kelebaran bukaan lengkung graf.

the changing of the value of a determines the opening width of the curve of the graph.

g(x) = a2x2 g(x) = a1x2 g(x) = a1x2

a1 < a2 g(x) = a2x2
a1 < a2

1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

2 perubahan nilai b menentukan kedudukan paksi simetri.
the changing of the value of b determines the position of the axis of symmetry.

a > 0 g(x) g(x) g(x)

b=0 b=0 b=0

b<0 g(x) g(x)
g(x) b=0
b=0
b=0

3 nilai c menentukan nilai bagi pintasan–y.PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
the value of c determines the value of the y-intercept.

a>0 a>0

cc

Membentuk Persamaan Kuadratik
Form a Quadratic Equation
f(x) = ax2 + bx + c Fungsi kuadratik/ Quadratic function
ax2 + bx + c = 0 Persamaan kuadratik/ Quadratic equation

Punca Suatu Persamaan Kuadratik
Roots of a Quadratic Equation
1 Punca-punca persamaan kuadratik ialah nilai-nilai pemboleh ubah x yang memuaskan persamaan kuad-

ratik tersebut.
Roots of a quadratic equations are values of the variables which satisfy the quadratic equation.
2 Punca-punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaian persamaan.
Roots of an equation are also known as the solution of an equation

Kaedah Pemfaktoran
Factorisation Method
Kaedah pemfaktoran memerlukan persamaan kuadratik dalam bentuk am ax2 + bx + c = 0 ditulis dalam bentuk
(x − a)(x − b) = 0. Kemudian, samakan setiap faktor dengan sifar untuk mendapatkan punca persamaan kuadratik
The factorisaton method requires a quadratic equation in the general form ax2 + bx + c = 0 to be written in the form (x − a)(x − b)
= 0. Then equate each factor to zero to get the roots of the quadratic equation.

Melakar Graf Fungsi Kuadratik f(x)
Sketch Graphs of Quadratic Functions
Langkah-langkah untuk melakar graf fungsi kuadratik f(x) = x2 − 5x + 4.
Steps to sketch the graph of quadratic function f(x) = x2 − 5x + 4.
1 Tentukan bentuk graf.
Determine the shape of the graph. a>0→

2 Tentukan pintasan-y. y=4
Determine the y-intercept.
3 Tentukan pintasan-x. x
Determine the x-intercept. x2 − 5x + 4 = 0 O1 4

4 Lakarkan graf. (x − 4)(x − 1) = 0
x = 4, 1
Sketch the graph.

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 2

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik
Quadratic Functions and Equations

Buku Teks: m.s 34-49

1 Lengkapkan jadual di bawah. SP1.1.1 TP 1 OP1
Complete the table below.

Ungkapan Kuasa tertinggi Bilangan Adakah ungkapan kuadratik tersebut
Expressions pemboleh ubah pemboleh ubah dalam satu pemboleh ubah?
The highest power of the
CONTOH Number of Is the quadratic expression in one
3 − 2x + 5x variable variables variable?

11 Tidak
No

2x2 − 3x + 1 2 1 Ya
PENERBIT MAHIR SDN. BHD. Yes

(a) 3x2 + x − 6 2 1 Ya
(b) 4x − 6 1 1 Yes

Tidak
No

(c) 2 − 5y − 3y2 2 1 Ya
(d) 4x2 + xy − 3 2 2 Yes

Tidak
No

(e) 2x − x2 21 Ya
(f) 82 − x 11 Yes

Tidak
No

2 Tentukan nilai a, b dan c dalam setiap ungkapan kuadratik berikut. SP1.1.1 TP 1 OP1
Determine the values of a, b and c in each of the following quadratic expressions.

CONTOH a b c
x2 − 3x + 2 1 −3 2

(a) 4x2 + 3x + 8 4 3 8
(b) y2 + 4x + 3 1 4 3
(c) 2 − 4m2 −4 0 2
(d) −p2 + 2p −1 2 0

3 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

3 Nyatakan nilai a, ketaksamaan bagi a dan kenal pasti bentuk graf fungsi kuadratik berikut. SP1.1.2 TP 2

OP1

State the value of a, the inequality for a and identify the shape of graph of the following quadratic function.

Fungsi kuadratik Nilai a Ketaksamaan bagi a Bentuk graf
Quadratic function Value of a The inequality of a Shape of graph

CONTOH atau/or
f(x) = x2 + 2x − 3
1 1>0

(b) f(x) = x2 − x − 6 1 1>0

(b) g(x) = 5x + 2 − 3x2PENERBIT MAHIR SDN. BHD. −3 −3 < 0
2 2>0
(b) ℎ(x) = 2x2 − 1
2

(d) f(x) = x + 2 − x2 −1 −1 < 0

4 Tentukan titik maksimum atau minimum. Nyatakan persamaan paksi simetri bagi setiap graf fungsi kuadratik

berikut. SP1.1.2 TP 2 OP1

Determine the maximum point or minimum point.State the equation of the axis of symmetry for each of the following graph

of the quadratic function.

(a) (b)

f(x) Titik maksimum (0.5, 4) f(x)
4 Maksimum point (0.5, 4) 10

25

–2 –1 O x –4 –2 O x
–5
12 246

x = 0.5
–2

–4 –10

Titik maksimum = (0.5, 4) Titik minimum = (2, –10)
Maximum point = (0.5, 4) Minimum point = (2, –10)
Persamaan paksi simetri, x = 0.5 Persamaan paksi simetri, x = 2
Equation of the axis of symmetry, x = 0.5 Equation of the axis of symmetry, x = 2

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 4

(c) f(x) (d) Matematik Tingkatan 4 Bab 1
f(x)

4 x 10 x
2 5
12 3 24 6
–2 –1 O –4 –2 O
–2 –5
–4 –10

Titik maksimum = (1, 4)PENERBIT MAHIR SDN. BHD. Titik minimum = (2, –5)
Maximum point = (1, 4) Minimum point = (2, -5)

Persamaan paksi simetri, x = 1 Persamaan paksi simetri, x = 2
Equation of the axis of symmetry, x = 1 Equation of the axis of symmetry, x = 2

5 Fungsi kuadratik berikut melalui titik yang dinyatakan. Hitung nilai c bagi setiap fungsi tersebut. SP1.1.3

TP 3 OP1
The following quadratic function passes through a given point. Calculate the value of c for each of the function.

CONTOH (a) f(x) = x2 − 2x + c (1, 2)
f(x) = x2 − 7x + c
(1, 3) f(x) = x2 − 2x + c
Penyelesaian 2 = 12 − 2(1) + c
f(x) = x2 − 7x + c
c = 2 + 1
3 = 12 − 7(1) + c c = 3
c = 3 + 6
c = 9

(b) f(x) = 2x2 − 3x + c (0, −6) (c) f(x) = 3x2 + x + c (−1, −2)

f(x) = 2x2 − 3x + c f(x) = 3x2 + x + c
−2 = 3(−1)2 + (−1) + c
−6 = 2(0)2 − 3(0) + c c = −2 − 2
c = −6 + 0 c = −4
c = −6

(d) f(x)= c + 4x − x2 (0, 6) (e) f(x) = 3x2 + 6x + c (1, 5)

f(x) = c + 4x − x2 f(x) = 3x2 + 6x + c
6 = c + 4(0) − (0)2 5 = 3(1) + 6(1) – c

c = 6 − 0 c = 9 − 5
c = 6 c = 4

5 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 1 SP1.1.4 TP 3

6 Bentukkan fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik berdasarkan setiap situasi berikut.

OP1

Form a quadratic function and a quadratic equations based on each of the following situations.

Situasi (i) Fungsi kuadratik
Situation Quadratic function

(ii) Persamaan kuadratik
Quadratic equation

CONTOH Penyelesaian
(i) f(x) = (2x + 5)(2x + 5)
Luas sebuah lukisan berbentuk segi empat sama dengan sisi
(2x + 5) cm ialah 49 cm2. f(x) = 4x2 + 10x + 10x + 25
The area of a square drawing with sides (2x + 5) cm is 49 cm2.
f(x) = 4x2 + 20x + 25

(ii) 4x2 + 20x + 25 = 49
4x2 + 20x + 25 − 49 = 0
4x2 + 20x − 24 = 0
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
(a) Luas sebuah bendera berbentuk segi empat tepat dengan (i) f(x) = (2x − 3)x
panjang sisi (2x − 3) cm dan x cm ialah 12 cm2.
f(x) = 2x2 − 3x

The area of a rectangular flag with side length (2x – 3) cm and (ii) 2x2 − 3x = 12
x cm is 12 cm2. 2x2 − 3x − 12 = 0

(b) Umur Sharon adalah 3 tahun lebih muda daripada (i) f(x) = x(x − 3)

kakaknya, Elsa. Hasil darab umur mereka ialah 180 tahun. f(x) = x2 − 3x

Sharon’s age is 3 years younger than her sister, Elsa. The product (ii) x2 − 3x = 180
of their ages is 180 years. x2 − 3x − 180 = 0

(c) Sebotol jus oren berharga RMx. Encik Hamid telah (i) f(x) = x(3x + 4)

membeli (3x + 4) botol jus oren dengan harga RM132. f(x) = 3x2 + 4x

A bottle of orange juice costs RMx. Encik Hamid has bought (ii) 3x2 + 4x = 132
(3x + 4) bottles of orange juice for RM132. 3 x2 + 4x − 132 = 0

(d) Diberi luas trapezium ialah 15 cm2. (i) f(x) = 1 [(x + 4) + (x + 2)]x
Given the area of the trapezium is 15 cm2. 2

(x – 4) cm f(x) = 1 (2x2 + 2)x
2
x cm
(ii) 1 [(2x – 2) = 15
(x + 2) cm 2
Rajah 1
Diagram 1 2x2 − 2x − 30 = 0

x2 − x − 15 = 0

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 6

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

7 Bagi setiap graf fungsi kuadratik berikut, tandakan dan tentukan punca-punca bagi persamaan kuadratik yang
diberi. SP1.1.5 TP 3 OP1

For each graph of the following quadratic function, mark and determine the roots of the given quadratic equation.

CONTOH (a) x2 − 8x + 12 = 0
x2 − 3x − 4 = 0

Penyelesaian f(x)
f(x)

4 10
2 5

–2 O x
–5
–10 246
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.x
–4 –2 O
–2 24

–4

Punca ialah –1 dan 4. Punca ialah 2 dan 6.
The roots are –1 and 4. The roots are 2 and 6.

(b) 8 + 2x + x2 = 0 (c) –x2 − 4x – 3 = 0

f(x) f(x)

10 x 4 x
5 2
24 12 3
–4 –2 O –1 O
–5 –2
–10 –4

Punca ialah –2 dan 4. Punca ialah 1 dan 3.
The roots are –2 and 4. The roots are 1 and 3.

7 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

8 Tentukan sama ada setiap nilai yang diberi ialah punca bagi persamaan kuadratik atau bukan. SP1.1.5 TP 3

OP1

Determine whether the each of the value given is a root of the quadratic equation.

CONTOH
2x2 − x − 3 = 0; x = −1, x = 1

Penyelesaian

Gantikan/ Substitute x = −1 Gantikan/ Substitute x = 1
2x2 − x − 3 = 0
2x2 − x − 3 = 0 2(−1)2 − (−1) − 3 = 0
–2 ≠ 0
2(−1)2 − (−1) − 3 = 0

0 = 0

−1 ialah punca persamaan kuadratik 1 bukan punca persamaan kuadratik
−1 is the root of the quadratic equation 1 is not the root of the quadratic equation

(b) 3y2 − 2y − 1 = 0; y = 1, y = 3 PENERBIT MAHIR SDN. BHD.Gantikan/ Substitute y = 3
3y2 − 2y − 1 = 0
Gantikan/ Substitute y = 1 3(3)2 − 2(3) − 1 = 0
3y2 − 2y − 1 = 0 20 ≠ 0
3(1)2 − 2(1) − 1 = 0
0 = 0 3 bukan punca persamaan kuadratik
3 is not the root of a quadratic equation
1 ialah punca persamaan kuadratik
1 is the root of a quadratic equation

(b) p2 − 9p − 10 = 0; p = –1, p = 10 Gantikan/ Substitute p = 10
p2 − 9p − 10 = 0
Gantikan/ Substitute p = 1 (10)2 − 9(10) − 10 = 0
p2 − 9p − 10 = 0 0 = 0
(–1)2 − 9(–1) – 10 = 0
0 = 0 10 ialah punca persamaan kuadratik
10 is the root of a quadratic equation
–1 ialah punca persamaan kuadratik
–1 is the root of a quadratic equation

(b) y2 − 3q − 18 = 0; q = 1, q = 3 Gantikan/ Substitute q = 3
q2 − 3q − 18 = 0
Gantikan/ Substitute q = 2 (3)2 − 3(3) − 18 = 0
q2 − 3q − 18 = 0 0 = 0
(2)2 − 3(2) − 18 = 0
–8 ≠ 0 3 bukan punca persamaan kuadratik
3 is not the root of a quadratic equation
2 bukan punca persamaan kuadratik
2 not the root of a quadratic equation

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 8

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

9 Tentukan punca bagi persamaan kuadratik yang berikut menggunakan kaedah pemfaktoran. SP1.1.6 TP 3

OP1

Determine the roots of the following quadratic equations using the factorisation method.

CONTOH atau/or x − 3 = 0 x –2 –2x
x = 3 × ×+
x2 − 5x + 6 = 0 x
–3 –3x
Penyelesaian x2
x2 − 5x + 6 = 0 +6 –5x

(x − 2)(x − 3) = 0
x − 2 = 0

x = 2

(a) x2 − 2x − 8 = 0 (b) x2 = 3x + 4

(x − 4)(x + 2) = 0 x2 − 3x − 4 = 0
(y − 4)(y + 1) = 0
x − 4 = 0 atau/or x + 2 = 0 y − 4 = 0

y = 4
x = 4 PENERBIT MAHIR SDN. BHD.x = −2 atau/or y + 1 = 0
y = −1

(c) 2p2 − 7p − 4 = 0 (d) m2 = −3(m + 6)

(p − 4)(2p + 1) = 0 atau/or 2p + 1 = 0 m2 = −3m – 18
p − 4 = 0 m2 + 3m + 18 = 0
(2m + 3)(2m + 3) = 0
p = 4 p = 1 2m + 3 = 0 atau/or 2m + 3 = 0
2

m = – 3 m = – 3
2 2

(e) 2q – 7 − q+6 (f) 2q – 7 − q+6
2 3q – 4 2 3q – 4

(2q − 7) (3q − 4) = 3(q + 6) (p + 1)(6p) = 5(7 – p)

6q2 − 8q − 21q + 28 = 3q + 18 6p2 + 6p = 35 – 5p
6q2 − 32q + 10 = 0
6p2 + 6p + 5p – 35 = 0

3q2 − 16q + 5 = 0 6p2 + 11p – 35 = 0

(q − 5)(3q − 1) = 0 (3p – 5)(2p + 7) = 0

q − 5 = 0 atau/or 3q − 1 = 0 3p – 5 = 0 atau/or 2p + 7 = 0

q = 5 q = 1 p = 5 p = – 7
3 3 2

9 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

ZON KALKULATOR

Punca bagi persamaan kuadratik boleh ditentukan dengan menggunakan kalkulator.
The roots of a quadratic equation can be determined using a calculator.
2x2 − 7x + 3 = 0
Tekan/Press:

MODE MODE MODE 1 ▲ 2

a? → 2 =

b? → – 7 =

c? → 3 =

x = 3 atau/or x = 1
2

10 Lakarkan graf bagi fungsi kuadratik berikut. SP1.1.7 TP 4 OP1PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
Sketch the graph of the following quadratic function.

(a) f(x) = x2 − 2x – 3 (b) f(x) = x2 − 9

1>0→ 1>0→ f(x)

Pintasan-y/ y-intercept = c = −3 Pintasan-y/ y-intercept = c = −9
f(x) = 0, f(x) = 0,

x2 − 2x2 − 3 = 0 x2 − 9 = 0
( x + 1)(x − 3) = 0 ( x + 3)(x − 3) = 0

x = −1, x = 3 x = −3, x = 3

f(x)

–3 O x
–9 3

–1 O x
–3 3

(c) f(x) = 2x2 + 8x (d) f(x) = –x2 – 3x + 4

–2 > 0 → –1 > 0 →

Pintasan-y/ y-intercept = c = 0 Pintasan-y/ y-intercept = c = 4

f(x) = 0, f(x) = 0,

–2x2 + 8x = 0 –x2 –3x + 4 = 0

–2x(x − 4) = 0 ( –x + 1)(x + 4) = 0

–2x = 0 –x + 1 = 0 x + 4 = 0

x = 0 f(x) x = 1 x = –4

f(x)

4

O x
4

–4 O 1 x

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 10

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

Praktis Sumatif

KERTAS 1

1 Antara berikut, yang manakah ungkapan kuadratik 5 Rajah 1 menunjukkan satu graf fungsi kuadratik.
OP1 dalam satu pemboleh ubah? OP1 Diagram 1 shows a graph of a quadratic function.

Which of the following is a quadratic expression in one f(x)

variable? 1
A p2 + 2pq − 8
C 3x2 + 2x2 – 5

B 2q2 − 3q + 7 D 1 + 3 +1 x
2x2 2x
PENERBIT MAHIR SDN. BHD. –3 O 1

2 Jika 4 + K − y2 ialah ungkapan kuadratik dalam
OP1 satu pemboleh ubah, maka K mewakili
–3

If 4 + K − y2 is a quadratic expression in one variable,

then K represents Rajah 1
Diagram 1
A –m C 3y
Antara berikut, yang manakah persamaan bagi
B xy D 7 graf itu?

3 Selesaikan persamaan kuadratik: Which of the following is the equation of the graph?
A f(x) = x2 − 2x − 3 C f(x) = −x2 − 2x − 3
O P1 Solve the quadratic equation: B f(x) = x2 + 2x − 3 D f(x) = −x2 + 2x – 3

2x2 + 7x − 4 = 0

A x = 0.5, 4 C x = −0.5, 4

B x = 0.5, −4 D x = −0.5, − 4 6 Diberi bahawa (2x − 1)(x + 5) = 0, maka nilai-nilai
OP1 x ialah
4 Tentukan punca bagi persamaan (x – 3)² = 9.
O P1 Determine the root of the equation (x – 3)² = 9. Given that (2x − 1)(x + 5) = 0, then the values of x are

A 3 A 1 , 5 C 1 , –5
B 6 2 2
C 9
D 12 B – 1 , 5 D – 1 , –5
2 2

KERTAS 2

1 Selesaikan/Solve: 2x2 + 9x − 5 = 0 [2 markah/marks]
[2 markah/marks]
OP1

(x + 5)(2x − 1) = 0 1
2
x = 5, x =

2 Selesaikan persamaan berikut/Solve the following equation:

OP1 2p2 + 7
p
= 15

2p2 + 7 = 15p

2p2 − 15p + 7 = 0

(p − 7)(2p − 1) = 0 1
2
p = 7, p =

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 14

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

3 Laila berumur x tahun. Puspa 7 tahun lebih muda daripada Laila. Hasil darab umur mereka ialah 120. Tuliskan

OP1 persamaan kuadratik bagi hasil darab umur mereka. Seterusnya, cari umur Laila dan Puspa.

Laila is x years old. Puspa is 7 years younger than Laila. The product of their ages is 120. Write a quadratic equation for

the product of their ages. Then, find the ages of Laila and Puspa. [3 markah/marks]

x(x − 7) = 120

x2 − 7x − 120 = 0

(x − 15)(x + 8) = 0

x = 15, x = −8

Umur Laila/ Laila’s age = 15 tahun/years old

Umur Puspa/ Puspa’s age = 15 – 7 = 8 tahun/years old

4 Rajah 2 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki.
O P1 Diagram 2 shows an isosceles triangle.

PENERBIT MAHIR SDN. BHD. x cm

(x – 3) cm [3 markah/marks]

Rajah 2
Diagram 2

Diberi luas segi tiga itu ialah 27 cm2. Hitung nilai x.
Given the area of shaded region is 27 cm2. Calculate the value of x.

Luas/Area:

12 × (x2 + 3) × x = 27

x2 + 3x = 54

x2 + 3x – 54 = 0

(x − 6)(x + 9) = 0

x = 6, x = −9

Ambil/Take x = 6

15 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

2BAB Matematik Tingkatan 4 Bab 2

Asas Nombor

Number Bases

NOTA EFEKTIF

Asas Number
2.1 Number Bases

Nombor dalam asas yang berbeza
Numbers in different bases

Asas nombor Nombor
Number base Number
1002 1012 1102 1112 10002 10012 10102
Asas 2 PENERBIT MAHIR SDN. BHD.02 12 102 112113 123 203 213 223 1003 1013
Base 2 104 114 124 134 204 214 224
0, 1 45 105 115 125 135 145 205
Asas 3 46 56 106 116 126 136 146
Base 3 03 13 23 103 47 57 67 107 117 127 137
0, 1, 2 48 58 68 78 108 118 128
Asas 4 49 59 69 79 89 109 119
Base 4 04 14 24 34 410 510 610 710 810 910 1010
0, 1, 2, 3
Asas 5
Base 5 05 15 25 35
0, 1, 2, 3, 4
Asas 6
Base 6 06 16 26 36
0, 1, 2, 3, 4, 5
Asas 7
Base 7 07 17 27 37
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Asas 8
Base 8 08 18 28 38
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Asas 9
Base 9 09 19 29 39
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Asas 10
Base 10 010 110 210 310
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Nilai tempat dalam asas nombor
Place value in number bases

Nombor dalam asas 10 Nombor dalam asas 3
Number in base 10 Number in base 3

257310 2 5 7 3 22013 2 2 0 1
103 102 101 100 33 32 31 30

Nombor dalam asas 2 Nombor dalam asas 5 4 0 3
Number in base 2 Number in base 5 52 51 50

101015 1 0 1 0 24035 2
23 22 21 20 53

1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

Nombor dalam asas 7 Nombor dalam asas 9
Number in base 7 Number in base 9

62137 62 1 3 38279 3 8 2 7
73 72 71 70 93 92 91 90

Penukaran nombor dalam suatu asas tertentu kepada asas yang lain
Conversion a number in a certain base to another base

Asas m Asas 10 Asas n
Base m Base 10 Base n

2.1 Asas Nombor
Number Bases

PENERBIT MAHIR SDN. BHD. Buku Teks: m.s 34-49

1 Tulis tiga urutan nombor selepas nombor asas berikut. SP2.1.1 TP 1 OP1
Write the three sequence of numbers after the following base numbers.

CONTOH

(i) 10102 (ii) 225 (iii) 168 (iv) 179
(ii) 235, 245, 305
Penyelesaian (iv) 189, 209, 219

(i) 10112, 11002, 11012
(iii) 178, 208, 218

(a) 100002 (b) 1103
100012, 100102,100112 1113, 1123, 1203
(c) 234 (d) 335
304, 314, 324 345, 405, 415
(e) 246 (f) 157
256, 306, 316 167, 207, 217
(g) 668 (h) 269
678, 708, 718 279, 309, 319

2 Bulatkan nombor yang bukan mewakili nombor dalam asas lapan. SP2.1.1 TP 1 OP1
Circle the numbers which do not represent numbers in base eight.

516 176 318 41 564 290 119 226 801

3 Nyatakan nilai digit yang bergaris bagi setiap nombor yang berikut. SP2.1.1 TP 1 OP1
State the value of the underlined digit in each of the following numbers.
(iii) 24215
CONTOH Penyelesaian
53 52 51
(i) 1012 (ii) 12313 242
Penyelesaian 24215 = 2 × 51
Penyelesaian = 10
32 32 31
22 21 20 123 30 50
1 11 1 1
12312 = 3 × 31
1012 = 1 × 22 = 9
=4

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 2

(a) 1112 = 1 × 21 = 2 (b) 11012 = 1 × 22 = 4 20 Matematik Tingkatan 4 Bab 2
22 21 20 23 22 21 1 (c) 21013 = 2 × 33 = 54
1 11 110
33 32 31 30
(d) 14033 = 4 × 32 = 36 (e) 13025 = 3 × 52 = 75 21 01
33 32 31 30 53 52 51 50
14 03 13 02 (f) 24305 = 2 × 53 = 250
53 52 51 50
(g) 1237 = 2 × 71 = 14 (h) 34028 = 3 × 83 = 1536 2 4 03
72 71 70 83 82 81 80
1 23 34 02 (i) 1639 = 6 × 91 = 54
92 91 90
1 63

PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
4 Tentukan nilai nombor bagi setiap yang berikut dalam asas sepuluh. SP2.1.1 TP 2 OP1
Determine the values of the following numbers in base ten.

CONTOH (ii) 2314 (iii) 1235 (iv) 1056 (v) 1278
(i) 111012
Penyelesaian

(i) 111012 (ii) 2314
= 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 20 = 2 × 42 + 3 × 41 + 1 × 40
= 29 = 45

(iii) 1235 (iv) 1056
= 1 × 52 + 2 × 51 + 3 × 50 = 1 × 62 + 0 × 61 + 5 × 60
= 38 = 41

(v) 1278
= 1 × 82 + 2 × 81 + 7 × 80
= 87

(a) 10112 (b) 223
= 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
= 11 =8

(c) 1124 (d) 2345
= 1 × 42 + 1 × 41 + 2 × 40 = 2 × 52 + 3 × 51 + 4 × 50
= 22 = 69

(e) 456 (f) 2317
= 4 × 61 + 5 × 60 = 2 × 72 + 3 × 71 + 1 × 70
= 29 = 120

(g) 2078 (h) 829
= 2 × 82 + 0 × 81 + 7 × 80 = 8 × 91 + 2 × 90
= 135 = 74

3 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

5 Hitung hasil tambah nilai digit 4 dan digit 2 dalam nombor berikut. SP2.1.1 TP 2 OP1
Calculate the sum of the values of digit 4 and digit 2 in the following numbers.

CONTOH (a) 441×2552

14729 + 2 × 50 = 102
Penyelesaian
4 × 92 + 2 × 90 = 326

(b) 3426 (c) 54267 (d) 8428
4 × 61 + 2 × 60 = 26 4 × 72 + 2 × 71 = 210 4 × 81 + 2 × 80 = 34

6 Hitung beza antara nilai digit 3 antara pasangan nombor berikut. SP2.1.1 TP 2 OP1
Calculate the difference between the values of digit 3 in the following number pair.

CONTOH Penyelesaian
25317 dan 2346
25317 and 2346 3× 71 = 21
3× 61 = 18
PENERBIT MAHIR SDN. BHD. Beza antara nilai digit 3
Difference between the values of digit 3
= 21 – 18
=3

(a) 1365 dan 234 (b) 63157 dan 3425
1365 and 234 63157 and 3425

3 × 51 = 15 3×72 = 147
3 × 40 = 3 3× 52 = 75
∴ 147 – 75 = 72
∴ 15 – 3 = 12

(c) 3548 dan 3267 (d) 3049 dan 3045
3548 and 3267 3048 and 3045

3 × 82 = 192 3 × 92 = 243
3 × 72 = 147 3 × 52 = 75
∴ 92 – 147 = 45 ∴ 243 – 75 = 168

7 Tukarkan setiap nombor asas berikut kepada nombor asas yang diberikan dalam kurungan. SP2.1.2 TP 2 OP1
Convert each of the following number base to the number base given in the brackets.

CONTOH

(i) 3510 [asas/base 2] KESILAPAN UMUM

Penyelesaian Baki
Baki
2 35 Remainder
2 35 Remainder

2 17 1 2 17 1 ∴ 3510 = 1100012

28 1 28 1 Jawapan dibaca dari
24 0 atas ke bawah.
22 0 1000112 24 0 The answer is read from
the top to downwards.
22 0

21 0 21 0

01 00

∴ 3510 = 1100012

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 4

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

CONTOH

(ii) 5710 [asas/ base 5] ( iii) 16310 [asas/ base 8]

Penyelesaian Penyelesaian
Baki Baki

Remainder Remainder

5 57 8 163

5 11 2 2125 8 20 2 2438
52 1 82 1
2
0 02

∴ 5710 = 2125 ∴ 6310 = 2438

(a) 1910 [asas/ base 2] (b) 3610 [asas/ base 2] (c) 8710 [asas/ base 3]

2 19 Baki 2 36 Baki Baki
Remainder Remainder 3 87 Remainder
2 18 0
29 1 3 29 1

24 PENERBIT MAHIR SDN. BHD.029 0 39 2

22 0 24 1 33 0

21 0 22 0 31 0

20 0 21 0 30 1

01

∴ 1910 = 100112 ∴ 3610 = 1001002 ∴ 8710 = 100203

(d) 6910 [asas/ base 3] (e) 24110 [asas/ base 5] (e) 58710 [asas/ base 5]

Baki Baki Baki
3 69 Remainder 5 241 Remainder 5 587 Remainder

3 23 0 5 48 1 5 117 2

37 2 59 3 5 23 2

32 1 51 4 54 3

02 01 04

∴ 6910 = 21203 ∴ 24110 = 14315 ∴ 58710 = 43225

(g) 5810 [asas/ base 7] (h) 86110 [asas/ base 7] (i) 37710 [asas/ base 8]

Baki Baki Baki
7 58 Remainder 7 861 Remainder 8 377 Remainder

78 2 7 123 0 8 47 1

71 1 7 17 4 85 7

01 72 3 80 5

02

∴ 5810 = 1127 ∴ 86110 = 23407 ∴ 86110 = 5718

(j) 8710 [asas/ base 8] (k) 35110 [asas/ base 9] (l) 58410 [asas/ base 9]

Baki Baki Baki
8 87 Remainder 9 351 Remainder 9 584 Remainder

8 10 7 9 39 0 9 64 8

81 2 94 3 97 1

80 1 90 4 07

∴ 8710 = 1278 ∴ 35110 = 4309 ∴ 58410 = 7189

5 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

8 Tukar setiap nombor asas berikut kepada nombor asas yang diberikan dalam kurungan. SP2.1.2 TP 2 OP1
Convert each of the following number base to the number base given in the brackets.

CONTOH

2113 [asas/ base 7] Baki TIP
Penyelesaian Remainder Pintar

2113 7 22 Pastikan pembahagian
= (2 × 32) + (1 × 31) + (1 × 30) dilakukan sehingga
= 18 + 3 + 1 73 1 mendapat baki sifar.
= 2210 Make sure the divsion is
03 complete until a zero remainder
∴ 2113 = 317 is obtained.

(a) 1112 [asas/ base 5] (b) 325 [asas/ base 3]
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
= (1 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) = (3 × 51) + (2 × 50)

=4+2+1 = 175 Baki

= 710 Baki Remainder
Remainder
3 17

57 35 2

51 2 31 2

01 01

∴ 1112 = 125 ∴ 325 = 1223

(c) 3022 [asas/ base 7] (d) 2113 [asas/ base 9]

= (3 × 42) + (0 × 41) + (2 × 40) = (2 × 32) + (1 × 31) + (1 × 30)
= 18 + 3 + 1
= 48 + 0 + 2 = 2210

= 5010 Baki Baki
Remainder
Remainder 9 22

7 50 92 4

771 02

710

01

∴ 3024 = 1017 ∴ 2113 = 249
(f) 859 [asas/ base 4]
(e) 3416 [asas/ base 8] = (8 × 91) + (5 × 90)
= 72 + 5
= (3 × 62) + (4 × 61) + (1 × 60) = 7710

= 108 + 24 + 1 ∴ 859 = 10314

= 13310 Baki Baki
Remainder
Remainder 4 77

8 133 4 19 1

8 16 5 4 43

8 20 4 10

02 01

∴ 3416 = 2058

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 6

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

9 Tukarkan setiap nombor dalam asas dua berikut kepada nombor dalam asas lapan. SP2.1.2 TP 2 OP1
Convert each of the following number in base two to a number in base eight.

CONTOH TIP Pintar
101012
Penyelesaian 22 21 20 Kaedah Alternatif 0002 08
101 0012 18
21 21 20 (1 × 22) + (1 × 20) atau/ or 10101 → 10 101 0102 28
10 25 0112 38
5 1002 48
(1 × 21) ∴ 101012 = 258 1012 58
2 1102 68
1112 78
∴ 101012 = 258

(a) 11012 = 158 PENERBIT MAHIR SDN. BHD.2022 21 20(b) 101012 = 258 20 22 21 20
21 21 1 101 0 101
(1 × 22) + (1 × 20) 21 21 (1 × 22) + (1 × 20)
(1 × 20) 1
2 5 5
(1 × 21)
2

∴ 10012 = 158 ∴ 101012 = 258

(c) 11012 = 138 20 22 21 20 (d) 110012 = 318 22 21 20
21 21 1 011 21 21 20 001
(1 × 21) + (1 × 20) 11
(1 × 20) (1 × 21) + (1 × 20) (1 × 20)
1 3 3 1

∴ 10112 = 138 ∴ 110012 = 318

(e) 111012 = 358 22 21 20 (f) 1101012 = 658 22 21 20
21 21 20 101 21 21 20 101
11 (1 × 22) + (1 × 20) 110 (1 × 22) + (1 × 20)
(1 × 21) + (1 × 20) (1 × 22) + (1 × 21)
3 5 6 5

∴ 111012 = 358 ∴ 1101012 = 658

7 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2 SP2.1.2 TP 2 OP1

10 Tukarkan nombor dalam asas lapan berikut kepada nombor dalam asas dua. INFO
Convert the following number in base eight to a number in base two. Penukaran nombor dalam
asas 8 kepada nombor
CONTOH dalam asas 2 boleh
428 dilakukan menggunakan
Penyelesaian kalkulator.

42 A number in base 8 can be
22 21 20 22 21 20 converted to a number in base
1 0 0 0 1 0 ∴ 428 = 1000102 2 by using a calculator.

(a) 458 = 1001012 (b) 1248 = 10101002

45 124
421 4 2 1 421421421
100 1 0 1
1 0 1 01 0 0
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
∴ 458 = 1001012 ∴ 1248 = 10101002

(c) 368 = 111102 (d) 5728 = 1011110102
572
3 6
42 1 421 421421421
110 1 0 1 1 1 10 1 0
11
∴ 5728 = 1011110102
∴ 368 = 111102

(e) 518 = 1010012 (f) 3278 = 110101112
51 327

421 4 2 1 421421421
101 0 0 1 11010111

∴ 518 = 1010012 ∴ 3278 = 110101112

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 8

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

ZON KALKULATOR

1 Tukarkan nombor dalam asas 10 kepada nombor dalam asas 2.
Convert a number in base 10 to a number in base 2.
4210 = 1010102

Tekan/Press: MODE MODE BASE 3 DEC 42= BIN

2 Tukarkan nombor dalam asas 10 kepada nombor dalam asas 8.
Convert a number in base 10 to a number in base 8.
3910 = 478

Tekan/Press: MODE MODE BASE 3 DEC 39= OCT

3 Tukarkan nombor dalam asas 2 kepada nombor dalam asas 10.
Convert a number in base 2 to a number in base 10.
11102 = 1410

Tekan/Press: MODE MODE BASE 3 BIN 1110= DEC
OCT
4 Tukarkan nombor dalam asas 8 kepada nombor dalam asas 10.PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
Convert a number in base 8 to a number in base 10.
738 = 5910

Tekan/Press: MODE MODE BASE 3 OCT 73= DEC

5 Tukarkan nombor dalam asas 2 kepada nombor dalam asas 8.
Convert a number in base 2 to a number in base 8.
T1e0k1a1n1/0P2r=ess5:68



MODE MODE BASE 3 BIN 101110=

6 Tukarkan nombor dalam asas 8 kepada nombor dalam asas 2.
Convert a number in base 8 to a number in base 2.
1268 = 10101102

Tekan/Press: MODE MODE BASE 3 OCT 126= BIN

11 Hitung nilai bagi setiap yang berikut. SP2.1.3 TP 3 OP1
Calculate the value for each of the following.

CONTOH

(i) 11112 + 11012 = 111002 (ii) 1123 + 223 = 2113
Penyelesaian Penyelesaian

111 11

1 1 1 12 1 1 23
+ 1 1 0 12 + 2 23

1 1 1 0 02 2 1 13

1 + 1 = 210 = 102 2 + 2 = 410 = 113
1 + 1 + 0 = 210 = 102 1 + 1 + 2 = 410 = 113
1 + 1 + 1 = 310 = 112 1 + 1 + 210 = 23
1 + 1 + 1 = 310 = 112
∴ 1123 + 223 = 2113
∴ 11112 + 11012 = 111002

9 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2 (iv) 8739 + 1079 = 10819
CONTOH Penyelesaian
(iii) 7658 + 1468 = 11338
Penyelesaian 1

11 8 7 39
+ 1 0 79
7 6 58
+ 1 4 68 1 0 8 19

1 1 3 38 3 + 7 = 1010 = 119

5 + 6 = 1110 = 138 1 + 7 + 0 = 810 = 89

1 + 6 + 4 = 1110 = 138 8 + 1 + 910 = 109

1 + 7 + 1 + 910 = 118 ∴ 8739 + 10793 = 10819

∴ 7658 + 1468 = 11338 (b) 2123 + 113 = 10003
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
(a) 1011102 + 1011112 = 10111012 02 1
12
1 111 2 1 23
12 + 1 13
10111
+ 10111 1 0 0 03

101110 (d) 425 + 135 = 1105

(c) 1334 + 224 = 2214 1

11 4 25
+ 1 35
1 3 34
+ 2 24 1 1 05

2 2 14 (f) 1567 + 1427 = 20317

(e) 1536 + 246 = 2216 11

11 1 5 67
+ 1 4 27
1 5 36
+ 2 46 3 3 17

2 2 16 (h) 479 + 1439 = 2019

(g) 178 + 1018 = 1208 11

1 4 79
+ 1 4 39
1 78
+ 1 0 18 2 0 19

1 2 08 10

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

Praktis Sumatif

KERTAS 1

1 Ungkapkan 3610 sebagai satu nombor dalam asas 8 Ungkapkan 62 + 63 + 65 + 1 sebagai satu nombor
OP1 dua.
OP1 dalam asas 6.

Express 3610 as a number in base two. Express 62 + 63 + 65 + 1 as a number in base 6.

A 1000002 C 1001002 A 1011016 C 1101016
B 1010002 D 1100002 B 1110016 D 1111016

2 Apakah nilai digit, dalam asas sepuluh, bagi digit 9 Ungkapkan 43 + 42 + 41 + 1 sebagai satu nombor
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
OP1 yang bergaris dalam nombor 26738? OP1 dalam asas 8.
What is the digit value, in base ten, of the underlined
Express 43 + 42 + 41 + 1 as a number in base 8.

digit in the number 26738? A 1258 C 3218
A 64 C 384 B 11118 D 44418

B 389 D 3 072

10 Ungkapkan 1 × 62 + 1 × 63 + 65 sebagai satu

3 Antara berikut, yang manakah adalah benar? OP1 nombor dalam asas 6.
O P1 Which of the following is true?
A 110012 = 3910 Express 1 × 62 + 1 × 63 + 65 as a number in base 6.
B 318 = 110012
C 6310 = 1225 A 1000006 C 1011016
D 245 = 138 B 1000106 D 1100006

4 2 × 53 + 4 × 52 + 0 × 51 + 1 × 50, diungkapkan 11 1357 + 367 = C 1100002
O P1 A 1000112 D 1110112
OP1 sebagai satu nombor dalam asas lima ialah B 1010112

2 × 53 + 4 × 52 + 0 × 51 + 1 × 50 , expressed as a number 12 Diberi 1001m = 51310, apakah nilai m?

in base five is O P1 Given 1001m = 51310, what is the value of m?

A 24105 C 12405 A 2 C 8
B 24015 D 10425
B 5 D 16

5 Diberi 10112 < m < 11012, cari nilai m sebagai satu 13 Ungkapkan 1011112 sebagai satu nombor dalam
OP1 nombor dalam asas lapan. OP1 asas lapan.

Given 10112 < m < 11012, find the value of m as a number Express 1011112 as a number in base eight.
in base eight. A 578 C 5708

A 138 C 318 B 758 D 7508
B 148 D 418

6 Diberi bahawa K5=1028. Cari nilai K. 14 1101012 – 10112 = C 1100002
O P1 It is given that K5=1028. Find the value of K. O P1 A 1110112 D 1000002
A 132 C 231 B 1010102

B 213 D 312 15 Nyatakan nilai bagi digit 4, dalam asas sepuluh,

7 Diberi 100112 + k2 = 1110002, cari nilai k. OP1 bagi nombor 24035.
O P1 Given 100112 + k2 = 1110002, find the value of k. State the value of digit 4, in base ten, of the number

A 1011002 C 1001012 24035. C 25
B 1100002 D 1001002 A 20

B 100 D 104

15 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 2 19 Lengkapkan urutan nombor berikut dalam asas
OP1 dua.
16 Diberi bahawa 142P5= 23910, cari nilai P. Complete the following sequence number in base two.
O P1 Given that 142P5=23910, find the value of P.
A 1 1 00012 K 100112 L 101012
B 3
C 2 Tentukan nilai-nilai K dan L. L
D 4 Determine the values of K and L. 111002
110002
17 Hitung beza antara 1000112 dengan 110002. K 101002
O P1 Calculate the difference between 1000112 and 110002 1111112
A 10012 A 110102

B 100012
C 10112 B 101112

D 100102 C 100102

D 111112

18 Given that P2 = 1368, cari nilai P. 20 Arman, Ben, Chandran dan Dave merupakan
O P1 Diberi bahawa P2 = 1368, find the value of P.
A 1001101 OP1 sahabat baik. Umur mereka masing-masing ialah
B 1010101
C 1110101
D 1011110
PENERBIT MAHIR SDN. BHD. KBAT 345, 256, 317 dan 248 tahun. Siapakah yang paling
tua di antara mereka?

Arman, Ben, Chandran and Dave are good friends. Their

ages are 345, 256, 317 and 248 years old respectively.
Who is the oldest among them?

A Arman C Chandran

B Ben D Dave

KERTAS 2

1 Rajah berikut menunjukkan sebatang paip yang dipotong kepada tiga bahagian yang sama panjang.
O P1 The following diagram shows a pipe that has been cut into three parts of equal size.

0 304 x6 1215

Rajah 1 [2 markah/marks]
Diagram 1

Tentukan nilai x.
Calculate the value of x.

Jawapan/Answer:

1215 = 1 × 52 + 2 × 51 + 1 × 50 = 3610

x6 = 2 × 3610 = 2410
3

2410 = x6 Baki
6 24 Reminder

64 0

04

2410 = 406
∴ x = 40

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 16

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

2 Pada minggu pertama persekolahan, perbelanjaan Maria di kantin sekolah pada hari Isnin, Rabu dan Jumaat

masing-masing ialah RM123, RM134 dan RM10002. Pada hari Selasa dan Khamis, Maria membawa bekal
makanan ke sekolah.

During the first week of school, Maria’s expenses at the school canteen on Monday, Wednesday and Friday are RM123,
RM134 and RM 10002 respectively. On Tuesday and Thursday, Maria brings food to school.

Berapakah jumlah perbelanjaan Maria pada minggu itu dalam asas sepuluh? OP1

How much did Maria spend that week in base ten? [3 markah/marks]

Jawapan/Answer:

123 = 1 × 31 + 2 × 30 = 510
134 = 1 × 41 + 3 × 40 = 710
10002 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 = 810
5 + 7 + 8 = 20
∴ 123 + 134 + 10002 = RM2010

3 Sebuah kedai peralatan elektrik menawarkan diskaun bagi pembelian beberapa jenama peti sejuk bersempena
Hari Raya Aidilfitri. Rajah berikut menunjukkan harga asal bagi dua jenama peti sejuk.

An electrical shop offers discounts for several brands of refrigerators in conjunction with Hari Raya Aidilfitri. The
following diagram shows the original price of two brands of refrigerators.
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
Jenama X Jenama Y
Brand X Brand Y

RM990 RM1 020

Rajah 2
Diagram 2

Setelah diskaun, Seroja membeli peti sejuk jenama X dengan harga RM12658 dan Kamala membeli peti sejuk
jenama Y dengan harga RM16357. Siapakah yang mendapat diskaun yang lebih tinggi? OP1
After the discount, Seroja buys brand X refrigerator, which costs RM12658 and Kamala buys brand Y refrigerator which
costs RM16357. Who gets, the higher discount?
[3 markah/marks]

Jawapan/Answer:

Jenama X/Brand X Jenama Y/Brand Y
Harga selepas diskaun/Price after discount
= RM12658 = 1 × 83 + 2 × 82 + 6 × 81 + 5 × 80 = 69310 Harga selepas diskaun/Price after discount

Diskaun/Discount = RM16357 =1 × 73 + 6 × 72 + 3 × 71 + 5 × 70 = 66310
= RM990 – RM693 = RM297
Diskaun/Discount

= RM1020 – RM663 = RM357

Peratus diskaun/Discount percentage Peratus diskaun/Discount percentage

= 297 × 100 = 30% = 357 × 100 = 35%
990 1020

∴ Kamala mendapat diskaun yang lebih tinggi.
Kamala gets a higher discount.

17 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

BAB PENAAKULAN LOGIK

3 LOGICAL REASONING

NOTA EFEKTIF

Pernyataan
3.1 Statement
Pernyataan dan Nilai Kebenaran
Statement and The Truth Value
1 Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu,

tetapi bukan kedua-duanya.
A statement is a sentence of which the truth value can be determined, that is either true or false, but not both.

PENERBIT MAHIR SDN. BHD.Pernyataan Pernyataan benar
Statement True statement

Pernyataan palsu
False statement

2 Bukan pernyataan ialah suatu ayat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya, sama ada benar atau
palsu.

A non-statement is a sentence of which the truth cannot be determined, either true or false.
3 Nilai kebenaran bagi semua pernyataan ayat matematik boleh ditentukan.
The truth values of the mathematical statements can be determined.

Perhatikan situasi berikut. Nasi kerabu berwarna biru bunga telang.
Observe the following situation. Nasi dicampur dengan ikan kering atau ayam
goreng, telur masin, ulam dan budu.
Kedai ini ada jual nasi kerabu. Nasi kerabu is blue in colour. It is served with dried fish
Bagaimanakah rupa nasi kerabu? or fried chicken, salted egg, fresh local herbs, and budu.
This stall sells nasi kerabu. What does
nasi kerabu look like?

Seri, adakah nasi Ya, nasi kerabu terkenal
kerabu terkenal di di negeri Kelantan.
negeri Kelantan? Yes, nasi kerabu is popular in
Seri, is nasi kerabu Kelantan.
popular in Kelantan?

Saya nak beli 9
bungkus!
I want to buy 9 packets!

6 + 3 = 9. 9 ialah nombor perdana.
6 + 3 = 9. 9 is a prime number.

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 34

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

Berdasarkan situasi tersebut, semua ayat dikelaskan seperti jadual berikut.
Based on the situation, all the sentences are classified as the following table.

Pernyataan Nilai kebenaran
Statement True value

Nasi kerabu berwarna biru bunga telang. Nasi Boleh ditentukan nilai kebenarannya.
dicampur dengan ikan kering atau ayam goreng, The truth value can be determined.
telur masin, ulam dan budu. Pernyataan ini benar.
Nasi kerabu is blue in colour. It is served with dried fish or This statement is true.
fried chicken, salted egg, fresh local herbs, and budu.

Ya, nasi kerabu popular di negeri Kelantan dan Boleh ditentukan nilai kebenarannya.
Terengganu. The truth value can be determined.
Yes, nasi kerabu is popular in Kelantan and Terangganu. Pernyataan ini benar.
This statement is true.

6+3=9 Boleh ditentukan nilai kebenarannya.
9 ialah nombor perdana. The truth value can be determined.
9 is a prime number. Pernyataan matematik ini benar.
This mathematical statement is true.
Boleh ditentukan nilai kebenarannya.
The truth value can be determined.
Pernyataan ini palsu.
This statement is false.
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
Bukan pernyataan Nilai kebenaran
Non-statement True value

Kedai ini ada jual nasi kerabu. Bagaimanakah rupa nasi Tidak boleh ditentukan nilai kebenarannya.
kerabu? The truth value cannot be determined.

This stall sells nasi kerabu. What does nasi kerabu look like?

Seri, adakah nasi kerabu terkenal di negeri Kelantan? Tidak boleh ditentukan nilai kebenarannya.
Seri, is nasi kerabu popular in Kelantan? The truth value cannot be determined.

Saya nak beli 9 bungkus! Tidak boleh ditentukan nilai kebenarannya.
I want to buy 9 packets! The truth value cannot be determined.

Tolong beratur! Tidak boleh ditentukan nilai kebenarannya.
Line up, please! The truth value cannot be determined.

4 Pengkuatiti semua menunjukkan setiap objek atau kes memenuhi syarat tertentu dalam suatu
pernyataan.
The quantifier all shows every object or case satisfies certain rules in a statement.

5 Pengkuatiti sebilangan menunjukkan sekurang-kurangnya satu daripada objek atau kes memenuhi
syarat tertentu dalam suatu pernyataan.
The quantifier some shows at least one object or case satisfies certain rules in a statement.

Menafikan suatu Pernyataan
Negate a Statement
1 Perkataan “bukan” atau “tidak” digunakan untuk menafikan suatu pernyataan.
The words “no” or “not” are used to negate a statement.

Penafian pernyataan p ditulis sebagai ~p. INFO
The negation of statement p is written as ~p. ~p disebut sebagai tilda p.

~p is read adtilde p.

35 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

2 Nilai kebenaran bagi pernyataan bertukar daripada benar kepada palsu atau sebaliknya melalui proses
penafian.

The truth values of a statement change from true to false or vice versa through the process of negation.

Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majmuk
Determine The Truth Value of a Compound Statement

1 Penyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan perkataan “dan”
atau “atau”.

A compound statement is a combination of two or more statements by using the word “and” or “or”.
2 Jadual berikut menunjukkan nilai kebenaran bagi suatu pernyataan majmuk.
The following table shows the truth value of a compound statement.

p PENERBIT MAHIR SDN. BHD. q p dan q p atau q
p and q p or q
Benar Benar Benar Benar
True True True
Benar Palsu True Benar
True False Palsu True
Palsu Benar False Benar
False True Palsu True
Palsu Palsu False Palsu
False False Palsu False
False

Pernyataan dalam Bentuk Implikasi
Statement in the Form of Implication

Implikasi “Jika p, maka q” Implikasi “p jika dan hanya jika q”
Implication “If p, then q” Implication “p if only if q”
Penyataan“jika p, maka q”dikenali sebagai implikasi Implikasi “p jika dan hanya jika q” terdiri daripada
dengan keadaan: dua implikasi berbeza:
The statement “if p, then q” is known as an implication An implication “p if only if q” consists of two different
where: implications:
p ialah antejadian Implikasi 1: jika p, maka q
p is the antecedent Implikasi 1: if p, then q
q ialah akibat Implikasi 2: jika q, maka p
p is the consequent Implikasi 2: if q, then p

Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majmuk
Determine The Truth Value of a Compound Statement
1 Jadual berikut menunjukkan akas, sonsangan dan kontrapositif bagi implikasi “jika p, maka q”.
The following table shows the converse, inverse and contrapositive of the implication “if p, then q”.

Pernyataan Jika p, maka q
Statement If p, then q
Akas
Converse Jika q, maka p
If q, then p
Songsangan
Inverse Jika bukan p, maka bukan q
If not p, then not q
Kontrapositif
Contrapositive Jika bukan q, maka bukan p
If not q, then not p

2 Jadual berikut menunjukkan nilai kebenaran bagi implikasi “jika p, maka q”, akas, sonsangan dan kontra-
positif.

The following table shows the truth values of the implication “if p, then q”, converse, inverse and contrapositive.

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 36

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

pq Pernyataan Akas Sonsangan Kontrapositif
Statement Converse Inverse Contrapositive
Benar Benar Jika q, maka p Jika ~q, maka ~p
True True Jika p, maka q If q, then p Jika ~p, maka ~q
Benar Palsu If p, then q If ~p, then ~q If ~q, then ~p
True False Benar Benar Benar Benar
Palsu Benar True True True True
False True Palsu Benar Benar Palsu
Palsu Palsu False True True False
False False Benar Palsu Palsu Benar
True False False True
Benar Benar Benar Benar
True True True True

3.2 Hujah
Argument

Hujah, Hujah Deduktif dan Hujah InduktifPENERBIT MAHIR SDN. BHD. INFO
Arguments, Deductive Arguments and Inductive Arguments Hujah ringkas terdiri

1 Hujah tediri daripada beberapa premis dan satu kesimpulan. daripada dua premis
An argument consists of several premises and one conclusion. dan satu kesimpulan.
2 Pernyataan umum ialah pernyataan yang menerangkan sesuatu konsep A simple argument consists
of two premises and one
secara menyeluruh. conclusion.
The general statements are statements that describe a concept.
3 Pernyataan khusus ialah pernyataan yang khas merujuk sesuatu kes tertentu.
The specific statements are statements that refer to a particular case.
4 Hujah deduktif ialah proses kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum.
The deductive argument is a process of making a specific conclusion based on general premises.
5 Hujah induktif ialah proses kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus.
The deductive argument is a process of making a general conclusion based on specific premises.

Khusus
Spesific

Deduktif Induktif
Deductive Inductive

Umum VIDEO
General
Bentuk Hujah Deduktif yang Sah Bbiet.nlyt/u3kEHxTubjaAho
The Forms of a Valid Argument Forms of Argument
1 Terdapat tiga bentuk hujah deduktif yang sah.
There are three forms of the valid arguments.

Premis 1 Bentuk I Bentuk II Bentuk III
Premises 1 Form I Form II Form III
Premis 2
Premises 2 Semua A ialah B Jika p, maka q Jika p, maka q
Premis 3 All A are B If p, then q If p, then q
Premises 3 C ialah A
C is A p adalah benar Bukan q adalah benar
C ialah B p is true Not q is true
C is B
q adalah benar Bukan p adalah benar
p is true Not p is true

37 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3
Menentukan sama ada Hujah yang Sah itu Munasabah
Determine whether the Valid Argument is Sound
1 Hujah sah mematuhi ketiga-tiga bentuk deduktif yang sah.
The valid arguments comply the three forms of a valid argument.
2 Sesuatu hujah adalah munasabah apabila semua permis dan kesimpulan benar.
An argument is sound when all premises and the conclusion are true.
Menentukan Kekuatan suatu Hujah Induktif
Determine the Strength of an Inductive Argument
1 Hujah induktif terdiri daripada hujah kuat dan hujah lemah.
The inductive argument consists of strong argument and weak argument.
2 Hujah induktif yang kuat bergantung pada nilai kebenaran kesimpulan.
The strong inductive argument depends on the truth value of the conclusion.

Hujah induktif
Inductive argument

KuatPENERBIT MAHIR SDN. BHD. Lemah
Strong Weak
Semua premis benar Semua premis palsu Tidak meyakinkan
All premises are true All premises are true Not cogent

Meyakinkan Tidak meyakinkan Buat satu
Cogent Not cogent kesimpulan umum.

Membentuk Hujah Induktif yang Kuat Make a general
Form an Inductive Argument conclusion.
1 Langkah-langkah membentuk suatu hujah induktif yang kuat:
Steps to form an inductive argument:

Perhatikan beberapa contoh atau Perhatikan ciri yang
situasi yang khusus. sepunya Observe the

Observe some examples or specific common features
situations.

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 38

3.1 Pernyataan Matematik Tingkatan 4 Bab 3
Statement
Buku Teks: m.s 56-70
1 Tentukan sama ada ayat berikut adalah pernyataan atau bukan
pernyataan. Kemudian, tentukan sama ada ayat itu benar atau palsu. INFO
Ayat tanya, ayat seruan dan ayat
SP3.1.1 TP 1 OP1 perintah bukan pernyataan.

Determine whether each of the following sentence is a statement or not a Question, exclamation and command
statement. Then, determine whether the sentence is true or false. sentences are not statements.

Ayat PENERBIT MAHIR SDN. BHD.Pernyataan atau bukan Benar atau Palsu
Sentence Statement or not True or False
Ya
CONTOH Yes Benar
True
(i) Kuantan ialah ibu negeri Pahang. Bukan
Not Benar
Kuantan is the capital of Pahang. Ya True
Palsu
(ii) 3k + 2 = 6k Yes False

(a) (x + 5)² = x² + 10x + 25 Ya Palsu
Yes False
(b) Sebuah heksagon mempunyai 7 sisi.
A hexagon has 7 sides. Bukan Benar
Not True
(c) Tolong bersihkan dewan ini!
Please clean up this hall! Ya
Yes
(d) Kuasa dua bagi –4 ialah –16.
The square of –4 is –16. Bukan
Not
(e) Mari belajar menulis.
Let’s learn to write. Ya
Yes
(f) 8 adalah nombor genap.
8 is an even number. Ya
Yes
(g) a ∈{a, b, c, d, e}

2 Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut benar atau palsu. SP3.1.1 TP 2 OP1
Determine whether each of the following statements are true or false.
Benar atau Palsu
Pernyataan True or False
Statement

CONTOH Palsu
False
Semua segi empat ialah segi empat sama sisi.
All rectanglse are equilateral rectangle. Palsu
False
(a) Semua burung boleh terbang.
All birds can fly. Benar
True
(b) Semua trapezium mempunyai sepasang sisi selari.
All trapeziums have a pair of parallel sides. Palsu
False
(c) Semua nombor perdana ialah nombor ganjil.
All prime numbers are odd numbers. Palsu
False
(d) Sebilangan gandaan empat adalah nombor perdana.
Some multiples of four are prime numbers.

39 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

3 Bentuk satu penafian (~p) bagi setiap pernyataan (p) berikut dengan menggunakan simbol. Tentukan nilai
kebenaran penafian tersebut. SP3.1.2 TP 2 OP1

Form a negation (~p) for each of the following statements (p) by using the symbols =, ≠, >, <, ⊂, ⊄ or ∉. Determine the
truth of the negation.

CONTOH

(i) 3y + 5y = 8y (ii) {j, k} ⊄ { j, k, l, m}

Penyelesaian

(i) 3y + 5y ≠ 8y (ii) {j, k} ⊂ { j, k, l, m}

Palsu Benar

False True

(a) {K, E, H} ∈ {K, E, L, A, T} (b) 3.72 × 10–2  3.72 × 10-4
{K, E, H} ∉ {K, E, L, A, T} 3.72 × 10–2  3.72 × 10-4
Palsu
Benar
True False
(c) {a, p, i} ⊄ {t, e, r, b, a, k, a, r}
{a, p, i} ⊂ { t, e, r, b, a, k, a, r } PENERBIT MAHIR SDN. BHD.(d) 1 1 + 3 = 2 1
Palsu 2 4 4
False
= 1 + 3 ≠ 1 1
(e) k5 × k2 ≠ k10 2 4 4
K5 × k2 = k10
Benar Palsu
False
True
(f) –9  –12
–9  –12
Benar

True

4 Bentuk satu penafian (~p) bagi setiap pernyataan (p) berikut dengan menggunakan perkataan ‘tidak’ atau
‘bukan’. Nyatakan nilai kebenarannya. SP3.1.2 TP 2 OP1

Form a negation (~ p) for each of the following statements (p) by using the words ‘no’ or ‘not’. State the truth value.

CONTOH

(i) Segi empat sama tidak mempunyai semua sisi yang sama panjang. (Palsu)
A square does not have all sides of equal length. (False)

Penyelesaian (ii) 84 bukan gandaan 8. (Palsu)
(i) Segi empat sama mempunyai semua 84 is not a multiple of 8. (False)
sisi yang sama panjang.
A square has all sides of equal length.

(a) Silinder mempunyai tapak rata berbentuk (b) 112 adalah nombor kuasa dua sempurna.
bulatan.
112 is a perfect square number.
A cylinder has a flat, circular base.
Silinder tidak mempunyai tapak rata berbentuk 112 bukan nombor kuasa dua sempurna. (Benar)
bulatan. (Palsu) 112 is not a perfect square number. (True)

A cylinder does not have a flat, circular base. (False)

(c) Bilangan angka bererti bagi 0.0516 ialah empat. (d) Hasil tambah sudut pedalaman sebuah segi tiga
The number of significant figures for 0.0516 is four. ialah 180°.
Bilangan angka bererti bagi 0.0516 bukan empat.
The sum of the interior angles of a triangle is 180°.
(Benar Hasil tambah sudut pedalaman sebuah segi tiga bukan

The number of significant figures for 0.0516 is not four. 180°. (Palsu)

(True) The sum of the interior angles of a triangle is not 180°. (False)

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 40

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

5 Gabungkan pernyataan p dan q berikut dengan menggunakan perkataan yang diberi dalam kurungan untuk
membentuk pernyataan majmuk. SP3.1.3 TP 2 OP1

Combine the following p and q statements using the words given in the brackets to form a compound statement.

CONTOH (a) p: Jarak boleh diukur dalam sentimeter. (atau)

p: 6 boleh dibahagi tepat dengan 2. (atau) Distances can be measured in centimetres. (or)

6 is divisible by 2. (or) q: Jarak boleh diukur dalam kilometre.

q: 8 boleh dibahagi tepat dengan 2. Distances can be measured in kilometres.

8 is divisible by 2. Jarak boleh diukur dalam sentimeter atau kilometre.
Distances can be measured in centimetres or kilometre.
Penyelesaian

6 atau 8 boleh dibahagi tepat dengan 2.
6 or 8 are divisible by 2.

(b) p: Kota Bharu ialah bandar di Malaysia. (dan) (c) p: Heksagon mempunyai enam sisi. (dan)

Kota Bharu is a city in Malaysia. (and) Hexagon has five sides. (and)

q: Seremban ialah bandar di Malaysia. q: H eksagon mempunyai jumlah sudut
pedalaman 720°.
Seremban is a city in Malaysia.
Hexagon has a sum of interior angles of 720°.
Kota Bharu dan Seremban ialah bandar di Malaysia.
Kota Bharu and Seremban are the cities in Malaysia. Heksagon mempunyai enam sisi dan jumlah sudut
pedalaman 720°.

Hexagon has five sides and a sum of interior angles of 720°.
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
6 Nyatakan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan majmuk berikut. SP3.1.3 TP 2 OP1
State the truth value of each of the following compound statements.

CONTOH (a) Proton ialah kereta tempatan dan Perodua juga
(i) 8 – 2 = 6 dan/and 23 < 6 ialah kereta tempatan.
(ii) Burung berkaki dua dan itik juga berkaki dua.
A bird has two legs and a duck also has two legs. Proton is a local car and Perodua is also a local car.

Penyelesaian Benar
(i) Palsu/False True
(ii) Benar/True

(b) 9 ialah nombor perdana dan 15 ialah nombor (c) –3 > –5 dan/and 10 m = 100 cm
Hexagon has five sides
genap.

9 is a prime number and 15 is an even number.

Palsu Palsu
False False

7 Nyatakan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan majmuk berikut. SP3.1.3 TP 2 OP1
State the truth value of each of the following compound statements.

CONTOH TIP Pintar

Segi empat tepat mempunyai semua sisi sama panjang atau 42 ialah Dan membawa maksud kedua-dua.
nombor perdana. Atau membawa maksud salah satu
A rectangle has sides of equal length or 42 is a prime number. atau kedua-dua.
And means both.
Penyelesaian Or means one of them or both.
Palsu
False

41 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

(a) 1 boleh ditulis sebagai 0.4 atau 4–1. (b) 40 000 m = 4 × 104 m atau  27 = 4
4 40 000 m = 4 × 104 m or27 = 4

1 can be written as 0.4 or 4–1. Palsu
4 False

Benar
True

(c) 5 minggu = 1 bulan atau 3 ialah faktor bagi 16 (d) 7 – 3 atau 3 ialah pecahan tidak wajar.
5 weeks = 1 month or 3 is a factor of 16 4

Palsu 7 – 3 or 3 is an improper fraction.
False 4

Benar
True

PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
8 Nyatakan antejadian dan akibat bagi implikasi “jika p, maka q” berikut. SP3.1.4 TP 2 OP1
State the antecedent and consequent of the following implication “if p, then q”.

COonNtTohOH (a) Jika x = –2, maka x2 – 4 = 0
Jika 2 dan 3 ialah faktor bagi 12, maka 2 × 3 = 3 × 2. If x = –2, then x2 – 4 = 0
If 2 and 3 are factors of 12, then 2 × 3 = 3 × 2.
Antejadian/ Antecedent: x = –2
Penyelesaian Akibat/ Consequent: x2 – 4 = 0
Antejadian: 2 dan 3 ialah faktor bagi 12
Antecedent: 2 and 3 are factors of 12

Akibat: 2 × 3 = 3 × 2
Consequent: 2 × 3 = 3 × 2

(b) Jika y ialah nombor bulat, maka 2y ialah nombor (c) Jika PQR ialah segi tiga sama sisi, maka PQ =
genap. QR = RQ.

If y is an integer, then 2y is an even number. If PQR is an equilateral triangle, then PQ = QR =
RQ.
Antejadian: y ialah nombor bulat.
Antecedent: y is an integer. Antejadian: PQR ialah segi tiga sama sisi.
Antecedent: PQR is an equilateral triangle.
Akibat: maka 2y ialah nombor genap.
Consequent: 2y is an even number. Akibat: PQ = QR = RQ
Consequent: PQ = QR = RQ

9 Tulis implikasi “jika p, maka q” dengan antejadian dan akibat berikut. SP3.1.4 TP 2 OP1
Write an implication “if p, then q” with the following antecedent and consequent.

CONTOH (a) Antejadian: y = 1 x+2
Antejadian: x = 5 2
Antecedent: x = 5 1
Antecedent: y = 2 x+ 2
Akibat: x2 + 3x = 40
Consequent: x2 + 3x = 40 Akibat: m = 1
2
Penyelesaian 1
Jika x = 5, maka x2 + 3x = 40. Consequent: m = 2
If x = 5, then x2 + 3x = 40.
Jika y = 1 , maka m = 1 .
2 2

If y = 1 , then m = 1 .
2 2

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 42

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

(b) Antejadian: x ialah nombor negatif. (c) Antejadian: x = 60°
Antecedent: x is a negative number.
Antecedent: x = 60°
Akibat: x2 ialah nombor positif.
Consequent: x2 is a positive number. Akibat: cos x = 1
2
Jika ialah nombor negatif, maka x2 ialah nombor 1
positif. Consequent: cos x = 2

If x is a negative number, then x2 is a positive number. Jika x = 60°, maka cos x = 1 .
2
1
If x = 60°, then cos x = 2 .

10 Tulis dua implikasi berdasarkan implikasi “p jika dan hanya jika q” yang berikut. SP3.1.4 TP 2 OP1
Write two implications based on the following implication “p if and only if q”.

CONTOH (a) ∠PQR < 90o jika dan hanya jika ∠PQR ialah
4p2 + 3p < 10 jika dan hanya jika –2 ≤ p ≤ 1. sudut tirus.
4p2 + 3p < 10 if and only if –2 ≤ p ≤ 1.
∠PQR < 90o if and only if ∠PQR is an acute angle.
Penyelesaian Implikasi 1: Jika ∠PQR < 90o, maka ∠PQR ialah
Implikasi 1: Jika 4p2 + 3p < 10, maka –2 ≤ p ≤ 1.
Implication 1: If 4p2 + 3p < 10, then –2 ≤ p ≤ 1. sudut tirus.

Implikasi 2: Jika –2 ≤ p ≤ 1, maka 4p2 + 3p < 10. Implication 1: If ∠PQR < 90°, then ∠PQR is an acute angle.
Implication 2: If –2 ≤ p ≤ 1, then 4p2 + 3p < 10. Implikasi 2: Jika ∠PQR ialah sudut tirus, maka

∠PQR < 90o.

Implication 2: If ∠PQR is an acute angle, then ∠PQR < 90o.
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
(b) jika dan hanya jika n  9. (c) y = 1 jika dan hanya jika 2y + 3 = 5.
y = 1 if and only if 2y + 3 = 5.
if and only if n  9.
Implikasi 1: Jika y = 1, maka 2y + 3 = 5.
Implikasi 1: Jika n  0, maka n  9. Implication 1: If y = 1, then 2y + 3 = 5.
Implication 1: If n 9 n  9.
Implikasi 2: Jika 2y + 3 = 5, maka y = 1.
9 , then Implication 2: If 2y + 3 = 5, then y = 1.

Implikasi 2: Jika n 9, t9h,enmankan90..
Implication 2: If n  9

11 Tulis implikasi “p jika dan hanya jika q” bagi implikasi yang berikut. SP3.1.4 TP 2 OP1
Write an implication “p if and only if q” with the following implications.

CCOoNnTtOoHh (a) Implikasi 1: Jika 3 y ,maka y = 8.
Implication 1: If 3 y , then y = 8.
Implikasi 1: Jika p4 + 1 = q4 + 1, maka p = q. Implikasi 2: Jika y = 8, maka 3 y.
Implication 1: If p4 + 1 = q4 + 1, then p = q. Implication 2: If y = 8, then 3 y.

Implikasi 2: Jika p = q, maka p4 + 1 = q4 + 1. 3y – 3 jika dan hanya jika y = 8.
Implication 2: If p = q, then p4 + 1 = q4 + 1. 3y – 3 if and only if y = 8.

Penyelesaian
p4 + 1 = q4 + 1 jika dan hanya jika p = q.
p4 + 1 = q4 + 1 if and only if p = q.

(b) Implikasi 1: Jika JKLM ialah segi empat sama, (c) Implikasi 1: Jika x5 – 2 = –3, maka x = –1.
maka JK = KL = LM = MJ. Implication 1: If x5 – 2 = –3, then x = –1.
Implication 1: If JLMN is a square, then JK = KL = Implikasi 2: Jika x = –1, maka x5 – 2 = –3.
LM = MJ. Implication 2: If x = –1, then x5 – 2 = –3.

Implikasi 2: Jika JK = KL = LM = MJ, maka x5 – 2 = –3 jika dan hanya jika x = –1.
JKLM ialah segi empat sama. x5 – 2 = –3 if and only if x = –1.
Implication 2: If JK = KL = LM = MJ, then JLMN is
a square.
JKLM ialah segi empat sama jika dan hanya jika
JK = KL = LM = MJ.
JKLM is a square if and only JK = KL = LM = MJ.

43 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

Praktis Sumatif

KERTAS 1

1 Antara berikut, yang manakah bukan pernyataan? B Trapezium mempunyai lima sisi dan pentagon
mempunyai lima sisi.
O P1 Which of the following is not a statement?
A trapezium has five sides and a pentagon has five
A 2x + 3x = 5x C 5 < 3 sides.

B 8y + 2 = 18 D 42 = 16 C 7 > 8 atau
7 > 8 or
2 Antara berikut, yang manakah pernyataan? D 2 ialah nombor perdana dan nombor genap.
O P1 Which of the following is a statement? 2 is a prime number and an even number.

A Jumlahkan 4 dan 3? 6 Rajah 1 menunjukkan satu implikasi.
Total up 4 and 3? O P1 Diagram 1 shows an implication.

B Tolong cari perbezaan antara 8 dengan 2. Jika suatu poligon mempunyai lapan sisi, maka
Please find the differences between 8 and 2. poligon itu ialah octagon.
If a polygon has eight sides, then the polygon is an
C 4 ialah faktor bagi 12. octagon.
4 is a factor of 12.
D x 8
PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
3 Antara berikut, pernyataan yang manakah benar? Rajah 1
O P1 Which of the following statements is true? Diagram 1
A 32 = 6
B 1 ialah nombor perdana. Antara berikut, yang manakah antejadian bagi
1 is a prime number. implikasi di atas?

C 8 boleh dibahagi tepat dengan 2. Which of the following is the antecedent of the
8 is divisible by 2. implication above?
D 52 = 25
A Poligon itu ialah octagon.
4 Antara berikut, yang manakah pernyataan majmuk The polygon is an octagon.
OP1 yang benar? B Poligon mempunya lapan sisi.
Which of the following is a true compound statement? A polygon has eight sides.
C Poligon itu bukan octagon.
A Semua poligon mempunyai sisi yang sama The polygon is not an octagon.
panjang atau semua nombor perdana adalah D Poligon tidak mempunya lapan sisi.
nombor ganjil. A polygon does not have eight sides.

All polygons have sides of equal length or all prime 7 Rajah 2 menunjukkan satu implikasi.
numbers are odd O P1 Diagram 2 shows an implication.

B {1, 2, 3}  {1, 3, 5} = {1} atau {3}  {1, 3, Jika x = 5, maka x + 6 = 11.
5} If x = 5, then x + 6 = 11.

{1, 2, 3}  {1, 3, 5} = {1} atau {3}  {1, 3, 5} Rajah 2
Diagram 2
C 4 × –3 = 12 and 3 > –5
4 × –3 = 12 and 3 > –5

D 45 boleh dibahagi tepat dengan 4 dan 5.
45 is divisible by 4 and 5.

5 Antara berikut, yang manakah pernyataan majmuk Nyatakan akibat bagi implikasi di atas.
OP1 yang palsu?
Which of the following is a false compound statement? State the consequences of the implication above.

A −4 > −3 dan 1 km = 102 m A x ≠ 5 C x = 5
−4 > −3 and 1 km = 102 m
B x + 6 ≠ 11 D x + 6 = 11

53 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

Matematik Tingkatan 4 Bab 3 If 12 ≠ 4, then 4 × 3 = 12
3
8 Rajah 3 menunjukkan satu implikasi. 12
O P1 Diagram 3 shows an implication. 3

Jika 4 + m = 14, maka m = 10. B Jika ≠ 4, maka 4 × 3 ≠ 12
If 4 + m = 14, then m = 10.
If 12 ≠ 4, then 4 × 3 ≠ 12
3
12
Rajah 3 C Jika 3 = 4, maka 4 × 3 = 12
Diagram 3
If 12 = 4, then 4 × 3 = 12
Nyatakan akas bagi implikasi di atas. 3
State the converse of the implication above. 12
A Jika m ≠ 10, maka 4 + m ≠ 14. D Jika 3 ≠ 4, maka 4 × 3 ≠ 12
If m ≠ 10 then, 4 + m ≠ 14.
B Jika m = 10, maka 4 + m ≠ 14. If 12 ≠ 4, then 4 × 3 ≠ 12
If m = 10, then 4 + m ≠ 14. 3
C Jika m ≠ 10, maka 4 + m = 14.
If m ≠ 10, then 4 + m = 14. 11 Rajah 6 menunjukkan suatu hujah.
D Jika m = 10, maka 4 + m = 14. O P1 Diagram 6 shows an argument.
If m = 10, then 4 + m = 14.
Premis 1: Semua heptagon mempunyai 7 sisi.
Premise 1: All heptagons have 7 sides.

Premis 2: PQRSTU ialah sebuah heptagon.
Premise 2: PQRSTU is a heptagon.

Kesimpulan:
Conclusion:
9 Rajah 4 menunjukkan satu implikasi. PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
O P1 Diagram 4 shows an implication.

Jika x = –3, maka x3 = –27 Rajah 6
If x = –3, then x3 = –27 Diagram 6

Rajah 4 Antara berikut, yang manakah kesimpulan bagi
Diagram 4 hujah di atas?

Antara berikut, yang manakah songsangan bagi Which of the following gis the conclusion of the
implikasi di atas? argument above?

Which of the following is the inverse of the implication A PQRSTU tidak mempunyai 7 sisi.
above? PQRSTU does not have 7 sides.

A Jika x ≠ 3, maka x3 ≠ 27 B PQRSTU mempunyai 7 sisi.
If x ≠ 3, then x3 ≠ 27 PQRSTU has 7 sides.
B Jika x = 3, maka x3 ≠ 27
If x = 3, then x3 ≠ 27 C Heptagon mempunyai 7 sisi.
C Jika x3 ≠ 27, maka x ≠ 3 Heptagon has 7 sides.
If x3 ≠ 27, then x ≠ 3
D Jika x3 = 27, maka x = 3 D Heptagon tidak mempunyai 7 sisi.
If x3 = 27, then x = 3 Heptagon does not have 7 sides.

10 Rajah 5 menunjukkan satu implikasi. 12 Rajah 7 menunjukkan suatu hujah.
O P1 Diagram 5 shows an implication. O P1 Diagram 7 shows an argument.

Jika 4 × 3 = 12, maka 12 = 4 Premis 1: Jika x > 5, maka x2 > 25.
3 Premise 1: If x > 5, then x2 > 25.

If 4 × 3 = 12, then 12 = 4 Premis 2:
3 Premise 2:

Kesimpulan: 102 > 25
Conclusion: 102  25

Rajah 5 Rajah 7
Diagram 5 Diagram 7

Nyatakan kontrapositif bagi implikasi di atas. Tulis premis 2 bagi hujah di atas

State the contrapositive of the implication above. write premise 2 for the above arguments

A Jika 12 ≠ 4, maka 4 × 3 = 12 A 10 > 5 C 102 < 5
3
B 10 > 25 D 102 < 25

© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 54

Matematik Tingkatan 4 Bab 3

KERTAS 2

1 (a) Rajah 1.1 menunjukkan suatu ayat.
Diagram 1.1 shows a sentence.

5 ialah nombor perdana.
5 is a prime number.

Rajah 1.1
Diagram 1.1

Adakah ayat di atas merupakan pernyataan atau bukan pernyataan?
Is the sentence above a statement or a non-statement?

(b) Rajah 1.2 menunjukkan suatu implikasi.
Diagram 1.2 shows an implication.

Jika x > 4, maka x2 > 16.PENERBIT MAHIR SDN. BHD.
If x > 4, then x2 > 16.

Rajah 1.2
Diagram 1.2

Nyatakan akas bagi implikasi di atas dan tentukan sama ada akas itu benar atau palsu.
State the converse of the implication above and determine whether the converse is true or false.

[2 markah/marks]
Jawapan/Answer:
(a) Pernyataan

Statement
(b) Jika x2 > 16, maka x > 4.
If x2 > 16, then x > 4.

2 (a) Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu [2 markah/marks]
Determine whether the following statement is true or false.
(i) Unsur-unsur dalam Set P = {b, c, d, f, g} ialah huruf konsonan.

Elements in set P = {b, c, d, f, g} are the consonant letter.
(ii) Semua bunga raya berwarna merah.

All hibiscuses are red.

(b) Adakah hujah berikut sah dan munasabah? Jika tidak, justifikasi jawapan anda.
Does the following argument valid and sound? If it is not, justify your answer.

Premis 1: Semua gandaan 3 ialah gandaan 7.
Premise 1: All multiples of 3 are multiples of 7.
Premis 2: 24 ialah gandaan 3.
Premise 2: 24 is a multiple of 3.
Kesimpulan: 24 ialah gandaan 7.
Conclusion: 24 is a multiple of 7.

Jawapan/Answer:
(a) (i) Benar

True
(ii) Palsu

False
(b) Sah tetapi tidah munasabah. Premis 1 dan kesimpulan palsu.
Valid but not sound. Premise 1 and the conclusion are false.

55 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P)

MODUL & AKTIVITI MODUL & AKTIVITI SUPERB SBP

superb

SEKOLAH BERASRAMA PENUH tingkatan

4matematik
DWIBAHASA

PENERBIT MAHIR SDN. BHD. MATEMATIK
Siri SUPERB SBP (Sekolah Berasrama Penuh) ialah buku yang berformatkan modul dan aktiviti. Siri
ini digubal oleh kumpulan Panel Guru Pakar dan Guru Cemerlang mata pelajaran SBP. Kandungan TINGKATAN 4
modul ini ditulis selaras dengan hasrat Kementerian Pendidikan Malaysia yang ingin memperkasakan
Pentaksiran Berasaskan Sekolah (PBS) melalui kaedah Pentaksiran Bilik Darjah (PBD).

Latihan dan aktiviti yang dihasilkan bertepatan dengan buku teks terkini dan Dokumen Standard
Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP). Selain itu, latihan dan aktiviti juga mengandungi pendekatan
Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), Pembelajaran Abad Ke-21, peta pemikiran dan Sains, Teknologi,
Kejuruteraan & Matematik (STEM). Semua elemen ini bertujuan meningkatkan tahap kemahiran
murid menguasai setiap topik yang dipelajari.

Seiring dengan teknologi masa kini, kandungan modul ini turut dilengkapi dengan bahan-bahan
yang dimuat naik dalam kod QR. Murid-murid dapat mengakses bahan tambahan dengan mudah
seperti video, audio, bahan interaktif serta jawapan. Siri modul ini diharap dapat memberikan manfaat
kepada murid-murid, seterusnya menjadikan generasi kini semakin cemerlang pada masa hadapan.

Semenanjung Malaysia (WM) : RM12.90

Sabah & Sarawak (EM) : RM13.90

ISBN 978-967-0045-52-8

99 789670 045528