WM RM5.50 EM RM5.90 Matematik Tambahan Dwibahasa Semenanjung Malaysia (WM) Sabah & Sarawak (EM) : RM5.50 : RM5.90 Matematik Tambahan Kertas 1 (3472/1) Zaimus 4 set Kertas Model SPM Format Instrumen Peperiksaan SPM Matematik Tambahan Jawapan Lengkap Format SPM 9 789670 089638 ISBN 978-967-0089-63-8 Siri Kertas Model SPM ditulis berdasarkan Format Pentaksiran SPM terkini yang memenuhi piawaian daripada Lembaga Peperiksaan Malaysia. KSSM KSSM Judul-judul dalam siri ini: Bahasa Melayu (Kertas 1 & Kertas 2) Bahasa Inggeris (Kertas 1, Kertas 2, Kertas 3 & Kertas 4) Matematik (Kertas 1) Matematik (Kertas 2) Matematik Tambahan (Kertas 1) Matematik Tambahan (Kertas 2) Sains (Kertas 1) Sains (Kertas 2) Fizik (Kertas 1) Fizik (Kertas 2 & Kertas 3) Kimia (Kertas 1) Kimia (Kertas 2 & Kertas 3) Biologi (Kertas 1) Biologi (Kertas 2 & Kertas 3) Pendidikan Islam (Kertas 1 & Kertas 2) Sejarah (Kertas 1) Sejarah (Kertas 2) Geografi (Kertas 1) Geografi (Kertas 2) KERTAS MODEL KERTAS MODEL TERKINI Kertas 1 (3472/1) Kertas Model SPM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) 1 [Lihat halaman sebelah Kertas soalan ini mengandungi 16 halaman bercetak. SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2023 MATEMATIK TAMBAHAN 3472/1 Kertas 1 2 jam Dua jam 1. Tulis nombor kad pengenalan dan angka giliran anda pada petak yang disediakan. 2. Kertas soalan ini adalah dalam dwibahasa. 3. Soalan dalam bahasa Melayu mendahului soalan yang sepadan dalam bahasa Inggeris. 4. Calon dibenarkan menjawab keseluruhan atau sebahagian soalan sama ada dalam bahasa Melayu atau bahasa Inggeris. MAKLUMAT UNTUK CALON INFORMATION FOR CANDIDATES 1. Kertas ini mengandungi dua bahagian: Bahagian A dan Bahagian B. Jawab semua soalan di Bahagian A dan mana-mana dua soalan di Bahagian B. This question paper consists of two sections: Section A and Section B. Answer all questions in Section A and any two questions in Section B. 2. Tulis jawapan anda dalam ruang yang disediakan dalam kertas soalan. Write your answers in the spaces provided in the question paper. 3. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Show your working. It may help you to get marks. 4. Rajah yang mengiringi soalan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan. The diagrams in the questions provided are not drawn to scale unless stated. 5. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogramkan. You may use a non-programmable scientific calculator. JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU Untuk Kegunaan Pemeriksa Soalan Markah Penuh Markah Diperoleh BAHAGIAN A 1 5 2 5 3 4 4 7 5 4 6 6 7 5 8 6 9 5 10 5 11 6 12 6 BAHAGIAN B 13 8 14 8 15 8 Jumlah 80 NO. KAD PENGENALAN ANGKA GILIRAN 3 K SET ERTAS MODEL 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 1 24/7/2023 9:01:33 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-3 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 2 Rajah 1 menunjukkan graf bagi ln y melawan ln x, iaitu graf garis lurus yang melalui titik P(0.2, 2.3) dan titik Q(0.6, 1.7). Diagram 1 shows the graph of ln y against ln x, which is a straight line passing through the points P(0.2, 2.3) and Q(0.6, 1.7). P(0.2, 2.3) Q(0.6, 1.7) ln y ln x 0 Rajah 1 Diagram 1 (a) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, cari nilai y apabila x = 4. Hence, find the value of y when x = 4. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 2 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 3 24/7/2023 9:01:33 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-4 Untuk Kegunaan Pemeriksa 3 (a) Ungkapkan log2(x + 1) − log4(x − 3) sebagai logaritma tunggal dalam asas 2. Express log2(x + 1) − log4(x − 3) as a single logarithm of base 2. [2 markah/marks] (b) Seterusnya, selesaikan persamaan log2(x + 1) − log4(x − 3) = 2. Hence, solve the equation log2(x + 1) − log4(x − 3) = 2. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 3 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 4 24/7/2023 9:01:33 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-5 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 4 (a) Cari nilai bagi had x→2 3 – 4x + 1 x – 2 . Find the value of lim x→2 3 – 4x + 1 x – 2 . [2 markah/marks] (b) Rajah 2 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = −x4 − 4x3 + 16x + 10 yang melalui dua titik pegun A dan B. Diagram 2 shows part of the curve y = −x4 − 4x3 + 16x + 10, that passes through two stationary points A and B. y = –x 4 – 4x 3 + 16x + 10 B A y x 0 Rajah 2 Diagram 2 (i) Cari koordinat bagi titik pegun A dan B. Find the coordinates of stationary points A and B. [3 markah/marks] (ii) Tentukan sama ada setiap titik pegun itu ialah titik maksimum, titik minimum atau titik lengkok balas. Determine whether each stationary point is a maximum point, minimum point or a point of inflection. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 7 4 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 5 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-6 Untuk Kegunaan Pemeriksa 5 Rajah 3 menunjukkan sebuah sisi empat ABCD dengan koordinat titik A ialah (2, −2), titik B ialah (5, 5) dan titik C ialah (8, 4). Pepenjuru AC dan BD bersilang di titik M(7, 3). Diagram 3 shows a quadrilateral ABCD where the coordinates point A are (2, −2), the point B are (5, 5) and the point C are (8, 4). Diagonals AC and BD intersect at the point M(7, 3). x y O B(5, 5) C(8, 4) D A(2, –2) M(7, 3) Rajah 3 Diagram 3 Diberi bahawa BM = MD, hitung Given that BM = MD, calculate (a) luas dalam unit2 , sisi empat ABCD, the area in unit2 , of quadrilateral ABCD, [2 markah/marks] (b) nisbah AM : MC. the ratio AM : MC. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 5 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 6 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-7 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 6 (a) Dua biji dadu dilambungkan sekali. Jika Y ialah jumlah bagi kedua-dua nombor yang muncul pada dadu, senaraikan kesudahan yang mungkin diperoleh sebagai pemboleh ubah rawak Y. Two dice are tossed once. If Y is the sum of the numbers shown on the dice, list the possible outcome of the random variable Y. [1 markah/mark] (b) (i) Kebarangkalian mendapat angka apabila sekeping duit syiling yang tidak adil dilambungkan ialah 1 4 . Apabila duit syiling itu dilambung n kali, kebarangkalian mendapat tepat 2 angka adalah sama dengan kebarangkalian mendapat tepat 3 angka. Cari nilai n. The probability of getting heads when an unfair coin tossed is 1 4 . When the coin is tossed n times, the probability of getting exactly 2 heads is the same as the probability of getting exactly 3 heads. Find the value of n. [3 markah/marks] (ii) Rajah 4 menunjukkan graf taburan normal bagi masa yang diambil oleh sebuah bas untuk sampai ke destinasinya. Diagram 4 shows a normal distribution graph for the time taken by a bus to reach its destination. f(x) x 25% 25% 2 minit 2 minutes 2 minit 2 minutes Rajah 4 Diagram 4 Tentukan sisihan piawai bagi taburan itu. Determine the standard deviation of the distribution. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 6 6 0 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 7 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-9 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 8 (a) Jumlah tiga sebutan pertama suatu janjang geometri untuk r 1 ialah 57. Jika sebutan ke-3 janjang itu berkurang 3, maka janjang itu menjadi janjang aritmetik. Cari The sum of the first three terms of a geometric progression for r 1 is 57. If the 3rd term is reduced by 3, then the progression becomes an arithmetic progression. Find (i) nisbah sepunya, r, the common ratio, r, (ii) sebutan pertama, a, janjang geometri itu. the first term, a, of the geometric progression. [4 markah/marks] (b) Mukhriz mempunyai 8 potong tali dengan setiap potongan tali itu membentuk janjang geometri seperti yang berikut: Mukhriz has 8 pieces of ropes with each piece of ropes form a geometric progression as follows: 1 m, 2 m, 4 m, 8 m, … Hitung jumlah panjang tali, dalam m, yang dimiliki oleh Mukhriz. Calculate the total length of the ropes, in m, owned by Mukhriz. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 6 8 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 9 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-10 Untuk Kegunaan Pemeriksa 9 Rajah 5 menunjukkan suatu lengkung dengan keadaan dy dx = 4 − x dan titik P terletak di atas lengkung itu. Diagram 5 shows a curve such that dy dx = 4 − x and the point P lies on the curve. x y 0 P(2, 9) Q Rajah 5 Diagram 5 Normal kepada lengkung di titik P bertemu lengkung sekali lagi di titik Q. Cari The normal to the curve at point P meets the curve again at point Q. Find (a) persamaan lengkung itu, the equation of the curve, [2 markah/marks] (b) koordinat Q. the coordinates of Q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 9 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 10 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-11 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 10 Rajah 6 menunjukkan dua lengkung y = f(x) dan y = g(x). Lengkung y = f(x) mempunyai verteks (2, −4) dan menyilang paksi-x di x = 4. Diagram 6 shows two curves y = f(x) and y = g(x). The curve y = f(x) has vertex (2, −4) and intersects x-axis at x = 4. x y 0 4 y = f(x) y = g(x) (2, –4) Rajah 6 Diagram 6 Cari/Find (a) persamaan kedua-dua lengkung itu, f(x) dan g(x), the equations of the two curves, f(x) and g(x), [2 markah/marks] (b) luas, dalam unit2 , kawasan berlorek. the area, in unit2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 10 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 11 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-12 Untuk Kegunaan Pemeriksa 11 Rajah 7 menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak PQR dengan PQ = 8 cm dan ∠QPR = 40°. Diagram 7 show a right-angled triangle PQR with PQ = 8 cm dan ∠QPR = 40°. 8 cm 40° Q T R P S Rajah 7 Diagram 7 PQS dan RST ialah masing-masing sektor bagi dua buah bulatan berpusat P dan R. Cari PQS and RST are sectors of the two circles with centers P and R. Find (a) panjang lengkok TS, dalam cm, the arc length of TS, in cm, [2 markah/marks] (b) luas kawasan berlorek, dalam cm2 . the area of shaded region, in cm2 . [4 markah/marks] [Guna/Use π = 3.142] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 11 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 12 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-13 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 12 (a) Rajah 8 menunjukkan jalan-jalan yang menghubungkan lima buah kampung D, E, F, G dan H. Diagram 8 shows the roads that connect the five villages D, E, F, G and H. D G E H F Rajah 8 Diagram 8 Tentukan bilangan jalan yang boleh menghubungkan kampung D dan kampung H. Determine the number of roads that can connect village D and village H. [2 markah/marks] (b) 3 orang lelaki dan 3 orang wanita duduk secara berselang seli. Cari bilangan cara menyusun kedudukan mereka, jika mereka duduk secara 3 men and 3 women sit alternately. Find the number of ways of arranging their positions, if they sit (i) sebaris, in a row, (ii) membulat. in a circle. [2 markah/marks] (c) Daripada perkataan MATEMATIKA, tentukan bilangan susunan huruf yang berbeza jika huruf pertama ialah M dan huruf terakhir ialah K. From the word MATEMATIKA, determine the number of arrangements of different letters if the first letter is M and the last letter is K. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) (c) 6 12 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 13 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-15 [Lihat halaman sebelah Untuk Kegunaan Pemeriksa 14 (a) Tanpa menggunakan kalkulator, ungkapkan ( 5 – 3)2 5 + 1 dalam bentuk a 5 + b, dengan a dan b ialah integer. Without using a calculator, express ( 5 – 3)2 5 + 1 in the form a 5 + b, where a and b are integers. [3 markah/marks] (b) Rajah 9 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki PQR dengan PR = QR. Diagram 9 shows an isosceles triangle PQR where PR = QR. R P Q S (5 – 3 )cm (2 + 4 3 ) cm Rajah 9 Diagram 9 Diberi bahawa PQ = (2 + 4 3) cm dan tinggi, RS segi tiga itu ialah (5 – 3) cm. Cari Given that PQ = (2 + 4 3 ) cm and the height, RS of the triangle is (5 – 3 ) cm. Find (i) luas segi tiga PQR, dalam bentuk a + b 3, dengan a and b ialah integer, the area of triangle PQR, in the form a + b 3 , where a and b are integers, (ii) tan ∠PQR, dalam bentuk c + d 3, dengan c dan d ialah integer. tan ∠PQR, in the form c + d 3 , where c and d are integers. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 8 14 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 15 24/7/2023 9:01:34 AM
3472/1 © Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) S3-16 Untuk Kegunaan Pemeriksa 15 (a) (i) Tunjukkan bahawa persamaan 3 sin θ tan θ = 8 boleh ditulis sebagai 3 kos2 θ + 8 kos θ − 3 = 0. Show that the equation 3 sin θ tan θ = 8 can be written as 3 cos2 θ + 8 cos θ − 3 = 0. (ii) Seterusnya, selesaikan persamaan untuk 3 sin θ tan θ = 8 untuk 0° θ 360°. Hence, solve the equation 3 sin θ tan θ = 8 untuk 0° θ 360°. [4 markah/marks] (b) Diberi bahawa tan 2A = – 24 7 untuk 90° A 180°, cari nilai bagi kos A. Given that for tan 2A = – 24 7 for 90° A 180°, find the value of cos A. [3 markah/marks] (c) Jika kos x = 3 5 dan 3 2 π x 2π, cari tan 1 2 x. If cos x = 3 5 and 3 2 π x 2π, find tan 1 2 x. [1 markah/mark] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (c) 8 15 03 AddMaths SPM S3 K1-5P.indd 16 24/7/2023 9:01:34 AM
i Bil. Perkara Kertas 1 (3472/1) Kertas 2 (3472/2) 1 Jenis instrumen Ujian bertulis 2 Jenis item • Subjektif respons terhad • Subjektif respons terhad berstruktur 3 Bilangan soalan Bahagian A 12 soalan (64 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B 3 soalan (16 markah) (Jawab dua soalan) Bahagian A 7 soalan (50 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B 4 soalan (30 markah) (Jawab tiga soalan) Bahagian C 4 soalan (20 markah) (Jawab dua soalan) 4 Jumlah markah 80 100 5 Konstruk • Mengingat dan memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta • Mengingat dan memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta 6 Tempoh ujian 2 jam 2 jam 30 minit 7 Cakupan konstruk Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM (Tingkatan 4 dan Tingkatan 5) 8 Aras kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi 5 : 3 : 2 9 Kaedah penskoran Analitik 10 Alatan tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram FORMAT INSTRUMEN PEPERIKSAAN SPM MULAI TAHUN 2021 MATA PELAJARAN MATEMATIK TAMBAHAN (3472) 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 1 24/7/2023 8:58:38 AM
1 x = –b ± √b2 – 4ac 2a 2 loga b = logc b logc a 3 Tn = a + (n – 1)d 4 Tn = ar n – 1 5 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] 6 Sn = a(r n – 1) r – 1 = a(1 – r n ) 1 – r , r ≠ 1 7 Z = X – µ σ 8 P(X – r) = n Crpr qn – r, p + q = 1 9 n Pr = n! (n – r)! 10 n Cr = n! (n – r)!r! 11 I = Q1 Q0 × 100 12 I = ΣWi Ii ΣWi 13 sin2 A + kos2 A = 1 sin2 A + cos2 A = 1 14 sek2 A = 1 + tan2 A sec2 A = 1 + tan2 A 15 kosek2 A = 1 + kot2 A cosec2 A = 1 + cot2 A 16 sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B 17 kos (A ± B) = kos A kos B ± sin A sin B cos (A ± B) = cos A cos B ± sin A sin B 18 tan (A ± B) = tan A ± tan B 1 ± tan A tan B 19 sin 2A = 2 sin A kos A sin 2A = 2 sin A cos A 20 kos 2A = kos2 A – sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A cos 2A = cos2 A – sin2 A = 2 cos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A 21 tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A 22 a sin A = b sin B = c sin C 23 a2 = b2 + c 2 – 2bc kos A a2 = b2 + c 2 – 2bc cos A 24 Luas segi tiga/Area of triangle = 1 2 ab sin C SENARAI RUMUS LIST OF FORMULA ii 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 2 24/7/2023 8:58:38 AM
JAWAPAN 24/7/2023 8:58:39 AM
© Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) J2 Jadi/Thus, b – a 2 = c – b 2 b − a = c − b a = 2b − c Diberi/Given, a + b + c b + 1 = 4 Maka/Hence, 2b – c + b + c b + 1 = 4 3b = 4b + 4 b = −4 (b) (i) a = 3 dan/and r = 3 Diberi/Given Sn = 363 Maka/Hence, 3(3n − 1) 3 – 1 = 363 3n − 1 = 242 3n = 243 = 35 n = 5 (ii) Laluan bola jatuh, 6, 4, 8 3 , ... ialah The path of the ball falling down, 6, 4, 8 3 , ... is S∞ = 6 1 – 2 3 = 6 ÷ 1 3 = 18 m Laluan bola memantul ke atas, 4, 8 3 , 16 9 , ... ialah The path of the ball bounces up, 4, 8 3 , 16 9 , ... is S∞ = 4 1 – 2 3 = 4 ÷ 1 3 = 12 m Maka,panjanglaluan/Hence, the total path is18+12=30m. 8 (a) had x → 3 2 – x + 1 x – 3 = had x → 3 2 – x + 1 x – 3 × 2 + x + 1 2 + x + 1 = had x → 3 4 – (x + 1) (x – 3) (2 + x + 1 ) = had x → 3 3 – x (x – 3) (2 + x + 1 ) = had x → 3 –(x – 3) (x – 3) (2 + x + 1 ) = had x → 3 –1 2 + x + 1 = –1 2 + 3 + 1 = –1 2 + 4 = – 1 4 (b) (i) Persamaan garis lurus/The equation of straight line: y = – 5 4 x + 5 Maka, luas segi empat tepat berlorek, A Hence, the area of shaded rectangle, A A = x – 5 4 x + 5 = 5x − 5 4 x2 (Tertunjuk/Shown) (ii) dA dx = 0 – 5 2 x + 5 = 0 5 2 x = 5 x = 2 Apabila/When x = 2, y = – 5 4 (2) + 5 = – 5 2 + 5 = 2 1 2 Maka, koordinat titik A ialah 2, 2 1 2 . Hence, the coordinates of point A is 2, 2 1 2 . 9 (a) (i) Bilangan cara masuk stadium = 4 cara Number of ways to enter the stadium = 4 ways Bilangan cara keluar stadium 4 P2 Number of ways out of the stadium 4 P2 Maka, bilangan cara/Hence, the number of ways = 4 × 4 P2 = 4 × 12 = 48 cara/ways (ii) n + 1C4 = n C3 (n + 1)! (n + 1 – 4)!4! = n! (n – 3)!3! (n + 1)! (n – 3)!4! = n! (n – 3)!3! (n + 1)! n! = 4! 3! (n + 1)n! n! = 4 × 3! 3! n + 1 = 4 n = 3 (b) Bilangan susunan nombor 3 digit/Number of 3-digit arrangenments = 5 × 5 × 4 = 100 Bilangan susunan nombor 2 digit/Number of 2-digit arrangenments = 5 × 5 = 25 Bilangan susunan nombor 1 digit/Number of 1-digit arrangenments = 5 Maka, bilangan cara berbeza yang kurang daripada 1000 Hence, the number of different arrangements less than 1000 = 100 + 25 + 5 = 130 cara/ways 10 Luas/The area of ∆ABC = 10 unit2 1 2 3 4 x 0 1 –2 3 4 = 10 |−2x + 4 − 4x + 6| = 20 |10 − 6x| = 20 10 – 6x = –20 atau/or 10 − 6x = 20 6x = 30 6x = −10 x = 5 x = −1 2 3 Maka/Hence, C1 = (5, 0) dan/and C2 = −1 2 3 , 0 . 11 (a) P(X = 3) = 5 C3 13 20 3 7 20 2 = 0.3364 Maka/Hence, m = 0.3364. 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 2 24/7/2023 8:58:39 AM
© Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) J6 Pada titik/At point (3, 11), 11 = 1 2 [3(3) − 1] 4 3 + 2(3) + c 11 = 1 2 (8)4 3 + 6 + c 11 = 8 + 6 + c 11 = 14 + c c = −3 Maka/Hence, y = 1 2 (3x − 1) 4 3 + 2x − 3 12 (a) P(X > 3700) = 0.0668 Jadi/Thus, z = 1.5 Maka/Hence, 3 700 − 2 500 σ = 1.5 σ = 1 200 1.5 = 800 (b) P(X < y) = 20 100 = 0.2 Jadi/Thus, z = −0.842 Maka/Hence, y − 2 500 800 = −0.842 y − 2 500 = −673.6 y = 2 500 − 673.6 = RM1 826.40 BAHAGIAN B SECTION B 13 (a) y ≥ –1 (b) f ialah fungsi satu kepada satu untuk x ≥ −2. f is one-to-one function for x ≥ −2. (c) (i) y y = f(x) y = f –1(x) y = x x 3 3 (–1, –2) (–2, –1) Domain f −1 : x ≥ −1 (ii) f −1(x) = x + 1 – 2 (d) [ln(x + 4) + 2]2 − 1 = 48 [ln(x + 4) + 2]2 = 49 ln(x + 4) + 2 = ±7 ln(x + 4) + 2 = 7 atau/or ln(x + 4) + 2 = −7 ln(x + 4) = 5 ln(x + 4) = −9 x = e5 − 4 x = e −9 − 4 14 (a) y = 6 + x 3 + x Apabila/When x = 6, y = 6 + 6 3 + 6 × 3 – 6 3 – 6 = 18 – 6 6 + 3 6 – 6 9 – 6 = 12 – 3 6 3 = 4 – 6 (b) (i) Luas/Area of ABCD = 15( 5 + 2) cm2 1 2 (x + 2 + 4 + 5 )( 45) = 15( 5 + 2) 1 2 (x + 6 + 5 )(3 5 ) = 15( 5 + 2) x + 6 + 5 = 10( 5 + 2) 5 x = 10( 5 + 2) 5 − 6 − 5 = 10 5 + 20 − 6 5 − 5 5 = 4 5 + 15 5 × 5 5 = 20 + 15 5 5 = 4 + 3 5 (ii) 4 3 15 (a) (i) tan θ 1 + sek θ + 1 + sek θ tan θ = tan2 θ + (1 + sek θ) 2 tan θ(1 + sek θ) = tan2 θ + 1 + 2 sek θ + sek2 θ tan θ(1 + sek θ) = 2sek2 θ + 2 sek θ tan θ(1 + sek θ) = 2 sek θ(sek θ + 1) tan θ(1 + sek θ) = 2 sek θ tan θ = 2 1 kos θ sin θ kos θ = 2 sin θ (Terbukti/Proven) (ii) 2 sin θ = 1 + 3 sin θ 2 = sin θ + 3 sin2 θ 3 sin2 θ + sin θ − 2 = 0 (3 sin θ − 2)(sin θ + 1) = 0 sin θ = 2 3 atau/or sin θ = −1 θ = 41°49′, 138°11′ θ = 270° Maka/Hence, θ = 41°49′, 138°11′, 270° (b) x = sek2 θ x = 1 + tan2 θ tan2 θ = x − 1 ……….. (1) y + 2 = kot2 θ y + 2 = 1 tan2 θ ………… (2) Gantikan/Substitute (1) dalam/into (2): y + 2 = 1 x − 1 y = 1 x − 1 − 2 = 1 − 2x + 2 x − 1 = 3 − 2x x − 1 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 6 24/7/2023 8:58:40 AM
© Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) J8 6 (a) Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (b) (i) P(X = 2) = P(X = 3) n C2 1 4 2 3 4 n – 2 = n C3 1 4 3 3 4 n – 3 n! (n − 2)! 2! 1 4 2 3 4 n – 2 = n! (n − 3)! 3! 1 4 3 3 4 n – 3 (n − 3)! 3! (n − 2)! 2! = 1 4 × 4 3 (n − 3)! 3 × 2! (n − 2)(n − 3)! 2! = 1 3 9 = n − 2 n = 11 (ii) 2 – 0 σ = 0.674 σ = 2 0.674 = 2.97 minit/minutes 7 (a) (i) 15 20 (ii) 8 6 (b) Laju/Speed = 82 + 62 = 100 = 10 km j −1 Masa/Time, t = 120 10 = 12 jam/hours Apabila/When t = 12, rB = 15 + 8(12) 20 + 6(12) = 111 92 8 (a) (i) a + ar + ar2 = 57 a(1 + r + r 2 ) = 57 a = 57 1 + r + r 2 ……….. (1) JA/AP: a, ar, ar2 − 3, … Jadi/Thus, ar − a =, ar2 − 3 − ar 3 = ar2 − 2ar + a 3 = a(r 2 − 2r + 1) a = 3 r 2 −2r + 1 ……….. (2) Maka/Hence, 57 1 + r + r 2 = 3 r 2 −2r + 1 19(r 2 − 2r + 1) = 1 + r + r 2 18r 2 − 39r + 18 = 0 (9r − 6)(2r − 3) = 0 r = 3 2 (r > 1) (ii) Apabila/When r = 3 2 , a = 3 3 2 2 − 2 3 2 + 1 = 3 9 4 –3 + 1 = 3 1 4 = 12 (b) a = 1 dan/and r = 2 Maka/Hence, S8 = 1(28 − 1) 2 − 1 = 256 − 1 = 255 m 9 (a) dy dx = 4 − x y = ∫(4 − x)dx = 4x − 1 2 x2 + c Pada titik /At point P(2, 9), 9 = 4(2) − 1 2 (2)2 + c 9 = 8 − 2 + c c = 3 Maka/Hence, y = 3 + 4x − 1 2 x2 (b) Apabila/When x = 2, dy dx = 4 − 2 = 2 Persamaan/Equation of PQ : y − 9 = −1 2 (x − 2) 2y − 18 = −x + 2 2y = −x + 20 y = −1 2 x + 10 Selesaikan dua persamaan secara serentak Solve two equations simultaneously: 3 + 4x − 1 2 x2 = −1 2 x + 10 6 + 8x − x2 = −x + 20 x2 − 9x + 14 = 0 (x − 2)(x − 7) = 0 x = 7 Apabila/When x = 7, y = −1 2 (7) + 10 = 61 2 Maka/Hence, Q7, 6 1 2 10 (a) f(x) = a(x − 2)2 − 4 Pada titik /At point (4, 0), 0 = a(4 − 2)2 − 4 4a = 4 a = 1 Maka/Hence, f(x) = (x − 2)2 − 4 = x2 − 4x g(x) = ax2 Pada titik /At point (2, −4), −4 = a(2)2 4a = −4 a = −1 Maka/Hence, g(x) = −x2 (b) Luas Kawasan berlorek/The area of shaded region = ∫0 2 [–x2 − (x2 − 4x)]dx = ∫0 2 (4x − 2x2 )dx = 2x2 − 2 3 x3 2 0 = 8 − 16 3 = 2 2 3 unit2 11 (a) 8 PR = kos 40° PR = 8 kos 40° = 10.443 cm SR = 10.443 − 8 = 2.443 cm ∠SRT = 50° = 0.873 rad Maka/Hence, sTS = jθ = 2.443(0.873) = 2.133 cm 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 8 24/7/2023 8:58:40 AM
© Global Mediastreet Sdn. Bhd. (762284-U) J9 (b) QR = 10.4432 − 82 = 6.712 cm Luas/Area of ∆PQR = 1 2 (8)(6.712) = 26.848 cm2 Luas sektor/Area of sector QPS = 1 2 j 2 θ = 1 2 (82 )(0.698) = 22.336 cm2 Luas sektor/Area of sector SRT = 1 2 j 2 θ = 1 2 (2.4432 )(0.873) = 2.605 cm2 Maka, luas kawasan berlorek/Hence, the area of shaded region = 26.848 − 22.336 − 2.605 = 1.907 cm2 12 (a) Bilangan jalan/Number of roads = (2 × 2 × 2) + (2 × 3 × 1) = 8 + 6 = 14 (b) (i) 2 × 3! × 3! = 72 cara/ways (ii) (3 − 1)! × 3! = 12 cara/ways (c) P2,3,2 = 2 × 8! × 1 2!3!2! = 3 360 cara/ways BAHAGIAN B SECTION B 13 (a) f(x) = 2x2 − 8x + 11 = 2 x2 − 4x + 11 2 = 2 x2 − 4x + (−2)2 − (−2)2 + 11 2 = 2 (x − 2)2 + 3 2 = 2(x − 2)2 + 3 (b) Julat bagi f ialah f(x) ≥ 3 /Range of f is f(x) ≥ 3 (c) f bukan fungsi satu-dengan-satu/f is not one-to-one function (d) (i) 2 (ii) f −1(x) = − x − 3 2 + 2, f −1(x) ≤ 2 14 (a) ( 5−3)2 5 + 1 = 5 – 6 5 + 9 5 + 1 = 14 – 6 5 5 + 1 × 5 – 1 5 – 1 = 14 5 – 14 – 30 + 6 5 5 – 1 = 20 5 – 44 4 = 5 5 – 11 (b) (i) Luas/Area of ∆PQR = 1 2 (2 + 4 3 )(5 − 3 ) = 1 2 (10 − 2 3 + 20 3 − 12) = 1 2 (18 3 − 2) = −1 + 9 3 (ii) tan ∠PQR = 5 − 3 1 + 2 3 × 1 − 2 3 1 − 2 3 = 5 − 10 3 – 3 + 6 1 – 12 = 11−11 3 –11 = −1 + 3 15 (a) (i) 3 sin θ tan θ = 8 3 sin θ sin θ kos θ = 8 3sin2 θ = 8 kos θ 3(1 − kos2 θ) = 8 kos θ 3 − 3kos2 θ = 8 kos θ 3 kos2 θ + 8 kos θ − 3 = 0 (Tertunjuk/Shown) (ii) kos2 θ + 8 kos θ − 3 = 0 (3 kos θ − 1)(kos θ + 3) = 0 kos θ = 1 3 θ = 70° 32′, 289° 28′ (b) tan 2A = −24 7 2 tanA 1 − tan2 A = −24 7 14 tan A = −24 + 24tan2 A 24tan2 A − 14 tan A − 24 = 0 12tan2 A − 7 tan A − 12 = 0 (4 tan A + 3)(3 tan A − 4) = 0 tan A = − 3 4 (90° < A < 180°) Maka/Hence, kos A = − 4 5 (c) tan 1 2 x = 1 − kos x 1 + kos x = 1 − 3 5 1 + 3 5 = 1 4 SET 4 BAHAGIAN A SECTION A 1 (a) (i) 5 − 2x = 0 2x = 5 x = 5 2 (ii) f(3) = 4 2m 5 − 2(3) = 4 2m 5 − 6 = 4 2m = −4 m = −2 (b) Diberi/Given f(x + 5) = g(2x − 1) Jadi/Thus, f −1[g(2x − 1)] = x + 5 Katakan/Let g(2x − 1) = u 2x − 1 = g−1(u) 2x = g−1(u) + 1 x = g−1(u) + 1 2 00 Pre & Jaw addMath K1 5P.indd 9 24/7/2023 8:58:41 AM
WM RM5.50 EM RM5.90 Matematik Tambahan Dwibahasa Semenanjung Malaysia (WM) Sabah & Sarawak (EM) : RM5.50 : RM5.90 Matematik Tambahan Kertas 1 (3472/1) Zaimus 4 set Kertas Model SPM Format Instrumen Peperiksaan SPM Matematik Tambahan Jawapan Lengkap Format SPM 9 789670 089638 ISBN 978-967-0089-63-8 Siri Kertas Model SPM ditulis berdasarkan Format Pentaksiran SPM terkini yang memenuhi piawaian daripada Lembaga Peperiksaan Malaysia. KSSM KSSM Judul-judul dalam siri ini: Bahasa Melayu (Kertas 1 & Kertas 2) Bahasa Inggeris (Kertas 1, Kertas 2, Kertas 3 & Kertas 4) Matematik (Kertas 1) Matematik (Kertas 2) Matematik Tambahan (Kertas 1) Matematik Tambahan (Kertas 2) Sains (Kertas 1) Sains (Kertas 2) Fizik (Kertas 1) Fizik (Kertas 2 & Kertas 3) Kimia (Kertas 1) Kimia (Kertas 2 & Kertas 3) Biologi (Kertas 1) Biologi (Kertas 2 & Kertas 3) Pendidikan Islam (Kertas 1 & Kertas 2) Sejarah (Kertas 1) Sejarah (Kertas 2) Geografi (Kertas 1) Geografi (Kertas 2) KERTAS MODEL KERTAS MODEL TERKINI Kertas 1 (3472/1) Kertas Model SPM