MATEMATIK TAMBAHAN PENERAJU KERTAS PEPERIKSAAN KOLEKSI KERTAS PEPERIKSAAN AKHIR SIJIL PENDIDIKAN Maktab Rendah Sains MARA MRSM Diterbitkan secara Skema Pemarkahan disediakan dalam Kod QR Digubal oleh panel lantikan dan Guru Cemerlang MRSM dengan izin Bahagian Pendidikan Menengah MARA EKSKLUSIF dengan kerjasama Badan Permuafakatan Pendidikan MARA Malaysia (MUAFAKAT) Diterbitkan secara TERBAHARU 2023 Kertas Peperiksaan SPM MRSM DWIBAHASA SET Kertas Peperiksaan Akhir Sijil Pendidikan MRSM (SPMRSM) 2021, 2022 & 2023 SET Kertas Peperiksaan Intensif Sijil Pelajaran Malaysia 3 2 PENERBIT MAHIR SDN BHD
ii KANDUNGAN FORMAT INSTRUMEN PEPERIKSAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN iii SENARAI RUMUS iv Kertas 1 1 – 20 Kertas 2 21 – 38 Kertas 1 39 – 60 Kertas 2 61 – 82 Kertas 1 83 – 106 Kertas 2 107 – 125 Kertas 1 126 – 143 Kertas 2 144 – 162 Kertas 1 163 – 180 Kertas 2 181 – 202 SKEMA JAWAPAN 1 2 Peperiksaan Akhir Sijil Pendidikan MRSM 2022 Peperiksaan Akhir Sijil Pendidikan MRSM 2021 Peperiksaan Intensif Sijil Pelajaran Malaysia Peperiksaan Intensif Sijil Pelajaran Malaysia Peperiksaan Akhir Sijil Pendidikan MRSM 2023 rb.gy/qg1w47 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 42 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 3 Rajah 2 menunjukkan graf y = f(x) dan y = g(x). Diagram 2 shows the graphs of y = f(x) and y = g(x). y y x x –1 O O 4 6 2 5 –4 4 y = g(x) y = f(x) Rajah/Diagram 2 (a) Tentukan sama ada graf y = f(x) atau y = g(x) yang mewakili suatu fungsi dan nyatakan alasan anda. Determine either the graph y = f(x) or y = g(x) that represents a function and state your reason. [1 markah/mark] (b) Seterusnya, nyatakan Hence, state (i) domain, the domain, (ii) julat, the range, (iii) tatatanda fungsi, the function notation, bagi fungsi itu. of the function. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 3 4 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 43 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 4 (a) Diberi fungsi g : x → 5 + 2x 3 dan gf : → 2 x – 1, x ≠ 0, cari f(3). Given the function g : x → 5 + 2x 3 and gf : x → 2 x – 1, x ≠ 0, find f(3). [3 markah/marks] (b) Diberi bahawa h–1(x) = 4x – 7. It is given that h–1(x) = 4x – 7. (i) Cari h(x). Find h(x). (ii) Seterusnya, ungkapkan p dalam sebutan k jika h–1h(k + 5) = h(p). Hence, express p in terms of k if h–1h(k + 5) = h(p). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 4 6 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 49 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa (b) Rajah 5 menunjukkan sebuah sisi empat KLMN. Diagram 5 shows a quadrilateral KLMN. L M N K a ~ + b 3a ~ ~ λ(5a ~ + b ~) Rajah/Diagram 5 Buktikan bahawa vektor LM adalah selari dengan vektor KN. Prove that vector LM is parallel to vector KN. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: 9 8 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 50 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 10 (a) Diberi bahawa sin α = – 3 5 dan tan β = 2, dengan keadaan sudut α dan β berada dalam sukuan yang sama. Jika kos (α – β) = m√5 5 , cari nilai m. It is given that sin α = – 3 5 and tan β = 2, such that angle α and β are in the same quadrant. If cos (α – β) = m√5 5 , find the value of m. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 56 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 13 8 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 57 3472/1 3472/1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 14 Rajah 7 menunjukkan lengkung x = y3 bersilang dengan lengkung x = y2 pada titik O dan titik B. Diagram 7 shows the curve x = y3 intersecting the curve x = y2 at the point O and point B. y x O B x = y 2 x = y 3 Rajah/Diagram 7 (a) Cari Find (i) koordinat bagi titik B, the coordinates of point B, [2 markah/marks] (ii) luas rantau berlorek. the area of the shaded region. [3 markah/marks] (b) Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung x = y2 , garis lurus y = –x + 2 dan paksi-y dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. Calculate the volume generated, in terms of π, when the region bounded by the curve x = y2, the straight line y = –x + 2 and the y-axis is revolved through 360° about the y-axis. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 63 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 2 (a) Buktikan kot2 x 1 + kot2 x = kos2 x. Prove that cot2 x 1 + cot2 x = cos2 x. [2 markah/marks] (b) (i) Lakarkan graf y = 2 kos x kot2 x 1 + kot2 x + 1 untuk 0 < x < 2π. Sketch the graph of y = 2 cos x cot2 x 1 + cot2 x + 1 for 0 < x < 2π. [3 markah/marks] (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 kos x kot2 x 1 + kot2 x = x π – 1 untuk 0 < x < 2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 2 cos x cot2 x 1 + cot2 x = x π – 1 for 0 < x < 2π. State the number of solutions. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 8 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 64 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 3 (a) Diberi d dx (3x2 – x) = f(x), cari nilai ∫ 1 0 f(x) dx. Given d dx (3x2 – x) = f (x), find the value of ∫ 1 0 f(x) dx. [3 markah/marks] (b) Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 3x – h. Tangen kepada lengkung itu pada titik (5, 7.5) memotong paksi-x pada x = 3.75. Cari persamaan lengkung itu. The gradient function of a curve is 3x – h. The tangent to the curve at point (5, 7.5) cuts the x-axis at x = 3.75. Find the equation of the curve. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 3 6 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 70 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa Bahagian B Section B [30 markah] [30 marks] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. Answer any three questions from this section. 8 (a) Didapati bahawa kebarangkalian seorang pesakit mengalami kesan sampingan apabila mengambil ubat-ubatan baharu ialah p. It is found that the probability that a patient will experience side effect while taking the new medications is p. (i) Diberi bilangan pesakit yang mengalami kesan sampingan apabila mengambil ubatubatan baharu mempunyai min 20 dan varians 16, cari nilai p. Given the number of patients who experience side effect while taking the new medications has a mean of 20 and a variance of 16, find the value of p. (ii) Jika 10 orang pesakit dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa 3 orang pesakit mengalami kesan sampingan apabila mengambil ubat-ubatan baharu. If 10 patients are selected at random, find the probability that 3 patients will experience the side effect while taking the new medications. [4 markah/marks] (b) Tekanan darah diastolik untuk seorang wanita di sebuah daerah tertentu adalah mengikut taburan normal dengan min µ mmHg dan sisihan piawai 50 mmHg. Jika seorang wanita dipilih secara rawak, didapati bahawa kebarangkalian tekanan darah diastoliknya kurang daripada 72 mmHg ialah 0.4364. The diastolic blood pressure for a woman in a certain district follows a normal distribution with a mean of µ mmHg and a standard deviation of 50 mmHg. If a woman is randomly selected, it is found that the probability of her diastolic blood pressure less than 72 mmHg is 0.4364. (i) Cari nilai µ. Find the value of µ. (ii) Rawatan khas akan diberikan kepada wanita yang mempunyai tekanan darah diastolik melebihi 144.1 mmHg. Cari kebarangkalian wanita yang layak mendapat rawatan khas. A special treatment will be given to the women who have diastolic blood pressure more than 144.1 mmHg. Find the probability of the women who eligible to get the special treatment. (iii) Seterusnya, jika terdapat 3 500 orang wanita di daerah itu, cari jumlah kos rawatan sekiranya rawatan tersebut bernilai RM150 seorang. Hence, if there are 3 500 women in the district, find the total cost of the treatment if the treatment is worth RM150 per person. [6 markah/marks] PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 71 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 8 10 Jawapan/Answer: PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 77 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) [Lihat halaman sebelah SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa Bahagian C Section C [20 markah] [20 marks] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Answer any two questions from this section. 12 Suatu zarah bergerak dalam satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, diberi oleh v = ht2 + kt, dengan keadaan h dan k ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Zarah tersebut berhenti seketika apabila t = 3 s dan pecutannya ialah –3 m s–2 apabila t = 1 s. [Anggap gerakan ke arah kanan sebagai positif] A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v m s–1, is given by v = ht2 + kt, where h and k are constants and t is the time, in seconds, after passing through O. The particle stops instantaneously when t = 3 s and its acceleration is –3 m s–2 when t = 1 s. [Assume motion to the right is positive] (a) Cari nilai-nilai h dan k. Find the values of h and k. [4 markah/marks] (b) Cari julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri. Find the time interval, in seconds, when the particle moves to the left. [3 markah/marks] (c) Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dari t = 2 hingga t = 5. Calculate the total distance, in m, travelled by the particle from t = 2 to t = 5. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 12 10 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 78 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 13 Sebuah nurseri menghasilkan dua jenis baja organik, A dan B. Diberi bahawa nurseri itu mengeluarkan x botol baja organik jenis A dan y botol baja organik jenis B dalam sehari. Pengeluaran kedua-dua jenis baja organik itu adalah berdasarkan kekangan yang berikut: A nursery produces two types of organic fertilizer, A and B. It is given that the nursery produces x bottles of organic fertilizer type A and y bottles of organic fertilizer type B daily. The production of both the organic fertilizers is based on the following constraints: I: Nisbah bilangan baja organik jenis A kepada bilangan baja organik jenis B adalah selebihlebihnya 3 : 2. The ratio of the number of organic fertilizer type A to the number of organic fertilizer type B is at most 3 : 2. II: Jumlah baja organik jenis A dan jenis B yang dikeluarkan oleh nurseri itu tidak melebihi 80 botol. The total number of organic fertilizers type A and type B produced does not exceed 80 bottles. III: Bilangan baja organik jenis B melebihi bilangan baja organik jenis A selebih-lebihnya 40 botol. The total number of organic fertilizer type B exceeds the number of organic fertilizer type A by at most 40 bottles. (a) Tulis tiga ketaksamaan selain daripada x > 0 dan y > 0 yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities other than x > 0 and y > 0 which satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 botol pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 10 bottles on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Gunakan graf yang dibina di 13(b) untuk menjawab soalan-soalan yang berikut: Use the graph constructed in 13(b) to answer the following questions: (i) Pada suatu hari tertentu, hanya 50 botol baja organik jenis B boleh dikeluarkan. Tentukan bilangan minimum baja organik jenis A yang dikeluarkan pada hari itu. On a particular day, only 50 bottles of organic fertilizer type B can be produced. Determine the minimum number of organic fertilizer type A produced on that day. (ii) Seterusnya, cari kos maksimum, dalam RM, bagi pengeluaran baja organik pada hari tersebut jika kos pengeluaran sebotol baja jenis A dan jenis B masing-masing ialah RM20 dan RM30. Hence, find the maximum cost, in RM, of producing the organic fertilizers on that day if the cost of producing a bottle of fertilizer type A and type B are RM20 and RM30 respectively. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: 13 10 PENERBIT MAHIR SDN BHD
SULIT 82 3472/2 3472/2 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) SULIT Untuk Kegunaan Pemeriksa 15 10 KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT END OF QUESTION PAPER Jawapan/Answer: PENERBIT MAHIR SDN BHD
: +603 7772 7800 : +603 7785 1800 8, Jalan 7/152, Taman Perindustrian OUG, Batu 6 1 /2, Jalan Puchong, 58200 Kuala Lumpur. PENERBIT MAHIR SDN. BHD. (183897-P) Tel Fax [email protected] MATEMATIK TAMBAHAN Semenanjung Malaysia Sabah & Sarawak : RM16.90 : RM18.60 Soalan digubal oleh panel lantikan dan Guru Cemerlang MRSM Soalan digubal berdasarkan format peperiksaan SPM terkini Memantapkan kemahiran dan persediaan murid untuk menghadapi peperiksaan Soalan-soalan berkualiti tinggi setaraf dengan soalan peperiksaan SPM sebenar Skema pemarkahan disediakan Kelebihan siri ini ialah: BAHASA MELAYU BAHASA INGGERIS MATEMATIK MATEMATIK TAMBAHAN FIZIK KIMIA BIOLOGI SEJARAH PENDIDIKAN ISLAM KOLEKSI KERTAS PEPERIKSAAN AKHIR SIJIL PENDIDIKAN MRSM SPM MATEMATIK TAMBAHAN KOLEKSI KERTAS PEPERIKSAAN AKHIR SIJIL PENDIDIKAN Maktab Rendah Sains MARA Judul-judul dalam siri ini: MRSM DWIBAHASA 9 786294 711853 ISBN 978-629-471-185-3 PENERBIT MAHIR SDN BHD