DWIBAHASA MATEMATIK Noraini Kassim Nurul Nadiah Mohamed Fauzi Nur Hidayah Ahmad Kaharuddin bin Mohamad Nor Ditulis oleh Panel Guru Pakar dan Guru Cemerlang Mata Pelajaran SBP KSSM 5 TINGKATAN TINGKATAN TINGKATAN 2.0 SEKOLAH BERASRAMA PENUH MODUL & AKTIVITI Nota Ringkas Jawapan Bahan digital KOD QR PdPc Abad Ke-21 Konsep PBD Objektif Pentaksiran Nota Efektif Peta Pemikiran Sudut KBAT Kertas Model SPM HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
Rekod Pencapaian Murid iii Objektif Pentaksiran vi Ubahan 1 Variation 1.1 Ubahan Langsung 2 1.2 Ubahan Songsang 8 1.3 Ubahan Bergabung 13 Sudut KBAT 17 Aktiviti PAK-21 18 Praktis Sumatif 19 Matriks 23 Matriks 2.1 Matriks 24 2.2 Operasi Asas Matriks 27 Sudut KBAT 45 Aktiviti PAK-21 45 Praktis Sumatif 46 Matematik Pengguna: Insurans 50 Consumer Mathematics: Insurance 52 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 63 Sudut KBAT 63 Aktiviti PAK-21 64 Praktis Sumatif 70 Matematik Pengguna: Percukaian 72 Consumer Mathematics: Taxation 4.1 Percukaian 84 Sudut KBAT 84 Aktiviti PAK-21 85 Praktis Sumatif Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 89 Congruency, Enlargement and Combined Transformation 5.1 Kekongruenan 91 5.2 Pembesaran 93 5.3 Gabungan Transformasi 100 5.4 Teselasi 105 Sudut KBAT 106 Aktiviti PAK-21 107 Praktis Sumatif 108 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 111 Ratios and Graphs of Trigonometric Functions 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi 113 Sudut θ,0°≤θ≤360° 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 118 Sudut KBAT 123 Aktiviti PAK-21 124 Praktis Sumatif 125 Sekatan Serakan Data Terkumpul 129 Measures of Dispersion for Grouped Data 7.1 Serakan 130 7.2 Sukatan Serakan 139 Sudut KBAT 149 Aktiviti PAK-21 150 Praktis Sumatif 151 Pemodelan Matematik 155 Mathematical Modeling 8.1 Pemodelan Matematik 156 Sudut KBAT 166 Aktiviti PAK-21 166 Praktis Sumatif 167 Kertas Model SPM 170 1 BAB 6 BAB 7 BAB 8 BAB 2 BAB 3 BAB 4 BAB 5 BAB JAWAPAN bit.ly/abcde KANDUNGAN HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
1 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 1 1 Ubahan langsung ialah perkaitan antara dua pemboleh ubah, dengan keadaan apabila pemboleh ubah y bertambah, maka pemboleh ubah x juga bertambah pada kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan ini ditulis sebagai y berubah secara langsung dengan x. Direct variation explains the relation between two variables, such that when variable y increases, then variable x also increases at the same rate and vice versa. This relation can be written as y varies directly as x. 2 y berubah secara langsung dengan xn , ditulis menggunakan simbol ∝ sebagai y ∝ xn , dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2 atau 1 3 . y varies directly as xn , written using a symbol ∝ as y ∝ xn , such that n = 1, 2, 3, 1 2 or 1 3 . 3 y ∝ xn boleh ditulis dalam bentuk persamaan sebagai y = kxn , dengan keadaan k ialah pemalar ubahan. y ∝ xn can be written in the form of equation as y = kxn , where k is the constant of the variation. 4 Graf y melawan xn ialah garis lurus melalui asalan dengan keadaan k ialah kecerunan. The graph of y against xn is a straight line passing through the origin where k is the gradient. 5 Hubungan antara nilai pemalar k dengan konsep perkadaran: Relation between the value of constant k and the concept of proportion: x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 k = y1 x1 = y2 x2 = y3 x3 6 Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah secara langsung dengan hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. Joint variation is a direct variation in which one variable varies directly as a product of two or more variables. 1 BAB Ubahan Variation NOTA EFEKTIF Ubahan Langsung Direct Variation 1.1 7 Jika y berubah secara langsung dengan um dan vn , maka y ∝ um vn atau y = kumv n , dengan keadaan m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 dan k ialah pemalar. If y varies directly as um and vn , thus y ∝ umvn or y = kumvn , where m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 and k is a constant. Ubahan Songsang Inverse Variation 1.2 1 y berubah secara songsang dengan xn , ditulis menggunakan simbol ∝ sebagai y ∝ 1 xn , dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2 atau 1 3 . y varies inversely as xn , written using a symbol ∝ as y ∝ 1 xn , such that n = 1, 2, 3, 1 2 or 1 3 . 2 y ∝ 1 xn boleh ditulis dalam bentuk persamaan sebagai y = k xn , dengan keadaan k ialah pemalar ubahan. y ∝ 1 xn can be written in the form of equation as y = k xn , where k is the constant of the variation. 3 Graf y melawan 1 xn ialah garis lurus melalui asalan (x ≠ 0), dengan keadaan k ialah kecerunan. The graph of y against 1 xn is a straight line passing through the origin (x ≠ 0), where k is the gradient. 4 Hubungan antara nilai pemalar k dan konsep perkadaran: Relation between the value of constant k and the concept of proportion: x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 k = x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 0 y 1 x n 0 x n y HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 2 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 1 Ungkapkan pernyataan berikut dengan menggunakan simbol ∝ dan dalam bentuk persamaan. SP1.1.1 TP 1 OP 1 Express the following statements using the symbol ∝ and in the form of equations. CONTOH Ubahan Langsung Direct Variation 1.1 Ubahan Bergabung Combined Variation 1.3 1 y berubah secara langsung dengan xm dan secara songsang dengan zn , ditulis menggunakan simbol ∝ sebagai y ∝ xm zn , dengan keadaan m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 dan n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 . y varies directly as xm and inversely as zn , written using a symbol ∝ as y ∝ xm z n , such that m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 and n =1, 2, 3, 1 2 , 1 3 . 2 y ∝ xm zn boleh ditulis dalam bentuk persamaan sebagai y = kxm zn , dengan keadaan k ialah pemalar. y ∝ xm zn can be written in the form of equation as y = kxm zn , where k is a constant. Pernyataan Simbol ∝ Persamaan Statement Symbol ∝ Equation m berubah secara langsung dengan n. m varies directly as n. (a) y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x. y varies directly as the square root of x. y ∝ x y = k x (b) Elaun Ahmad, s, berubah secara langsung dengan jumlah masa dia bekerja, t. Ahmad’s allowance, s, varies directly as his total working time, t. s ∝ t s = kt (c) Isi padu, l, sebuah tangki air berubah secara langsung dengan kuasa tiga tapaknya, p. The volume, l, of a water tank varies directly as the cube of its base, p. l ∝ p3 l = kp3 2 Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y. Lengkapkan jadual dan tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. SP1.1.2 TP 2 OP 1 The following tables show the values of two variables, x and y. Complete the tables and determine whether y varies directly as x. CONTOH NOTA RINGKAS bit.ly/3GZllpw Berkadaran Langsung Directly Proportional Buku Teks: m.s 2-16 x 6 8 10 12 14 y 3 4 5 6 7 y x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Penyelesaian y berubah secara langsung dengan x kerana nilai y x ialah pemalar. y varies directly as x because the value of y x is a constant. m ∝ n m = kn TIP Pintar y ∝ xn adalah benar jika dan hanya jika n = 1 y ∝ xn is true if and only if n = 1 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
3 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 1 (a) x 1 2 3 4 5 y 4 16 36 64 100 y x2 4 4 4 4 4 y berubah secara langsung dengan x2 kerana nilai bagi y x2 ialah pemalar. (b) x 1 2 3 4 5 y 3 24 81 192 500 y x3 3 3 3 3 4 y tidak berubah secara langsung dengan x3 kerana nilai bagi y x3 bukan pemalar. 3 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan. Seterusnya, ungkapkan ubahan itu dalam bentuk persamaan. SP1.1.2 TP 2 OP 2 In each of the following, determine the constant of the variation. Hence, express the variation in the form of equation. (b) m berubah secara langsung dengan n3 . Diberi m = 16 apabila n = 2. m varies directly as n3 . Given that m = 16 when n = 2. m ∝ n3 m = kn3 16 = k(23 ) k = 16 23 = 16 8 = 2 m = 2n3 (c) p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q. Diberi p = 4 apabila q = 49. p varies directly as the square root of q. Given that p = 4 when q = 49. p ∝ q p = k q 4 = k( 49) k = 49 4 = 4 7 p = 4 7 q CONTOH (a) p berubah secara langsung dengan q. Diberi p = 2.5 apabila q = 0.5. p varies directly as q. Given that p = 2.5 when q = 0.5. p ∝ q p = kq 2.5 = k(0.5) k = 2.5 0.5 = 5 p = 5q y berubah secara langsung dengan x. Diberi y = 9 apabila x = 27. y varies directly as x. Given that y = 9 when x = 27. Penyelesaian y ∝ x y = kx 9 = k(27) k = 9 27 = 1 3 y = 1 3 x HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 4 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 4 Selesaikan setiap yang berikut. SP1.1.2 TP 3 OP 3 Solve each of the following. CONTOH (a) Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan x2 dan y = 24 apabila x = 8. It is given that y varies directly as x2 and y = 24 when x = 8. (i) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. (ii) Hitung nilai y apabila x = 4. Calculate the value of y when x = 4. (i) y ∝ x2 y = kx2 24 = k(82 ) k = 24 64 = 3 8 y = 3 8 x2 Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q dan p = 24 apabila q = 4. It is given that p varies directly as the square root of q and p = 24 when q = 4. (i) Ungkapkan p dalam sebutan q. Express p in terms of q. (ii) Hitung nilai q apabila p = 60. Calculate the value of q when p = 60. (i) p ∝ q p = k q 24 = k 4 k = 24 2 = 12 p = 12 q (b) Diberi bahawa p ∝ q3 dan p = 3 apabila q = 2. It is given that p ∝ q3 and p = 3 when q = 2. (i) Ungkapkan p dalam sebutan q. Express p in terms of q. (ii) Hitung nilai q apabila p = 3. Calculate the value of q when p = 3. (i) p ∝ q3 p = kq3 3 = k(23 ) k = 3 23 = 3 8 p = 3 8 q3 (c) Diberi bahawa y ∝ x 3 dan y = 9 apabila x = 27. It is given that y ∝ x 3 and y = 9 when x = 27. (i) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. (ii) Hitung nilai x apabila y = 5. Calculate the value of x when y = 5. (i) y ∝ x 3 y = k x 3 9 = k( 27 3 ) k = 27 3 9 = 3 y = 3( x 3 ) (ii) 60 = 12 q q = 5 q = 25 (ii) 3 = 3 8 q3 q3 = 8 q = 8 3 q = 2 (ii) 5 = 3( x 3 ) x 3 = 5 3 x = 1 2 5 3 3 x = 125 27 (ii) y = 3 8 (4)2 y = 6 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
19 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Praktis Sumatif 1 Jadual menunjukkan nilai bagi pemboleh ubah x dan y. The table shows the values of variables x and y. x 15 m y 2.5 6 Diberi bahawa x berubah secara langsung dengan y. Hitung nilai m. It is given that x varies directly as y. Calculate the value of m. A 18 C 36 B 25 D 40 2 M berubah secara langsung dengan punca kuasa dua P dan secara songsang dengan Q. Ubahan bergabung ini boleh diwakilkan dengan M varies directly as the square root of P and inversely as Q. This combined variation can be represented as A M ∝ PQ B M ∝ Q P C M ∝ Q P D M ∝ Q P 3 Jadual menunjukkan nilai-nilai a, b dan c. The table shows the values of a, b and c. a b c 30 5 9 Diberi bahawa a berubah secara langsung dengan b dan c . Ungkapkan a dalam sebutan b dan c. Given a varies directly as b and c . Express a in terms of b and c. A a ∝ b c B 2a = 3bc C a ∝ 2b c D c = 2b c 4 Graf berikut menunjukkan hubungan antara F dan H. The following graph shows the relation between F and H. 0 1 H F Pilih persamaan yang mewakili hubungan tersebut. Choose the equation that represents the relation. A F H = 50 B F H = 50 C FH = 50 D H F = 50 5 Diberi bahawa y x 1 2 = k, dengan keadaan k ialah pemalar. Antara berikut, graf manakah yang mewakili hubungan antara y dan x? Given that y x 1 2 = k, where k is a constant. Which of the following graphs represents the relation between y and x? A C y 0 x2 B D y 0 x2 y 0 x 1 2 KERTAS 1 y 0 x 1 2 OP 1 OP 1 OP 1 OP 1 OP 1 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 50 Matematik Tingkatan 5 Bab 3 Risiko dan Perlindungan Insurans Risk and Insurance Coverage 3.1 1 Risiko ialah kemungkinan berlakunya musibah yang tidak dapat dielakkan. Risk is the possibility of a disaster that cannot be avoided. 2 Insurans ialah satu perlindungan diri sebagai jaminan apabila mengalami kerugian kewangan. Insurance is a self-protection as a guarantee when experiencing financial loss. 3 Insurans bertujuan untuk memindahkan risiko daripada individu kepada organisasi insurans. Insurance is intended to transfer risks from individuals to insurance organisations. 4 Dalam kontrak ini, syarikat insurans perlu membayar ganti rugi atau pampasan bagi kerugian yang dilindungi seperti yang dinyatakan dalam polisi, sebagai balasan kapada bayaran premium yang telah dibuat oleh pemegang polisi. Under this contract, the insurance company promises to pay compensation for the loss covered in the policy, in return for the premium paid by the policyholder. Membayar premium Pays a premium Membayar pampasan bagi kerugian yang berlaku Pays compensation for any loss incurred Syarikat insurans Insurance company Pemegang polisi Policyholder 5 Syarikat insurans ialah pihak yang bersetuju untuk membayar pampasan atas kerugian yang telah diinsuranskan. Insurance company is the party that agrees to pay compensation for the losses of the agreed terms. 6 Pemegang polisi ialah pihak yang akan menuntut dan menerima pampasan atas kerugian yang dialami. Policyholder is the individual who will claim and receive compensation for the losses. 3 BAB Matematik Pengguna: Insurans Consumer Mathematics: Insurance NOTA EFEKTIF 7 Kontrak insurans ialah suatu polisi dan sebagai bukti kepada perjanjian yang telah dibuat antara syarikat insurans dengan pemegang polisi. Insurance contract is a policy and evidence of an agreement made between the insurance company and the policyholder. 8 Premium ialah jumlah wang yang dibayar oleh pemegang polisi kepada syarikat insurans. Premium is the amount of money payable by the policyholder to the insurance company. 9 Jenis-jenis insurans Types of insurance (a) Insurans hayat/ Life insurance (b) Insurans am/ General insurance (c) Insurans berkelompok/ Group insurance 10 Insurans hayat Life insurance (a) Risiko yang dilindungi ialah kematian, penyakit kritikal dan hilang upaya. The risks covered are death, critical illness and loss of ability. (b) Nilai premium dibayar bergantung pada nilai muka yang dipilih, umur, jantina dan sama ada merokok atau tidak. The amount of premium paid depends on the chosen face value, age, gender and smoking status. (c) Rumus mengira premium insurans hayat. Formula to calculate the premium of life insurance. Premium = Nilai muka polisi RMx × 1 2 Kadar premium per RMx Premium = Face value of policy RMx × 1 2 Premium rate per RMx 11 Insurans am General insurance (a) Jenis insurans am Types of general insurance • Insurans motor Motor insurance • Insurans kebakaran Fire insurance • Insurans perubatan dan kesihatan Medical and health insurance HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
51 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 3 • Insurans kemalangan diri Personal accident insurance • Insurans perjalanan Travel insurance (b) Tempoh perlindungan bagi kebanyakan polisi insurans am ialah satu tahun atau kurang dari tempoh satu tahun. The coverage period for most general insurance policies is one year or less than a year. 12 Insurans motor Motor insurance (a) Insurans motor memberikan perlindungan terhadap sebarang kerugian atau kerosakan berkaitan dengan penggunaan kenderaan berenjin. Motor insurance provides coverage against any loss or damage related to the use of a motor vehicle. (b) Insurans motor wajib dimiliki oleh setiap pemilik kenderaan di Malaysia yang tertakluk bawah Akta Pengangkutan Jalan 1987. Motor insurance is compulsory for every motor vehicle in Malaysia under the Road Transport Act 1987. 13 Insurans kebakaran Fire insurance (a) Risiko yang dilindungi ialah kebakaran, kilat dan letupan. The risks covered are fire, lightning and explosion. (b) Pemegang polisi boleh memasukkan perlindungan tambahan seperti taufan, banjir, rusuhan dan sebagainya dalam polisi kebakaran yang sedia ada dengan tambahan premium. Policyholder may incorporate additional coverages such as hurricane, flood, riot and others into the existing fire policy at an additional premium. 14 Insurans perubatan dan kesihatan Medical and health insurance (a) Polisi yang terdapat dalam insurans ini The policies that are in this insurance • Insurans hospital dan pembedahan Hospitalisation and surgical insurance • Insurans penyakit kritikal Critical illness insurance • Insurans pendapatan akibat hilang upaya Disability income insurance • Insurans pendapatan hospital Hospital income insurance 15 Insurans kemalangan diri Personal accident insurance (a) Perlindungan diberikan sekiranya pemegang polisi mengalami kecederaan, kecacatan atau meninggal dunia berpunca secara langsung daripada kemalangan. Coverage is given if the policyholder suffers injury, disability or death resulting directly from accident. 16 Insurans perjalanan Travel insurance (a) Perlindungan diberikan sekiranya pemegang polisi mengalami kecacatan kekal, kehilangan bagasi, pasport dan duit atau meninggal dunia semasa dalam perjalanan. Coverage is given if the policyholder suffers permanent disability, loss of luggage, passport, and money or death during travel. 17 Insurans berkelompok Group insurance (a) Insurans berkelompok kepada organisasi. Group insurance for organisation. (b) Insurans berkelompok kepada murid. Group insurance for pupils. 18 Deduktibel ialah suatu jumlah yang perlu ditanggung oleh pemegang polisi sebelum layak membuat tuntutan daripada syarikat insurans. Deductible is an amount that must be borne by the policyholder before they can make a claim from the insurance company. 19 Jika jumlah kerugian melebihi deduktibel, maka tuntutan boleh dibuat. Jika jumlah kerugian kurang daripada deduktibel, maka tuntutan tidak boleh dibuat. If the total loss exceeds the deductible amount, hence a claim can be made. If the total loss is less than the deductible amount, hence a claim cannot be made. 20 Ko-insurans ialah perkongsian bersama kerugian antara syarikat insurans dengan pemegang polisi. Co-insurance is the cost sharing of the loss between the insurance company and the policyholder. HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 52 Matematik Tingkatan 5 Bab 3 1 Nyatakan risiko yang dilindungi oleh insurans berikut. SP3.1.1 TP 1 TP 2 OP 1 State the risks covered by the following insurance. Insurans Insurance Risiko Risk (a) Insurans hayat Life insurance Kematian, penyakit kritikal dan hilang upaya (b) Insurans motor Motor insurance Kerugian dan kerosakan (c) Insurans perjalanan Travel insurance Kehilangan bagasi dan pasport (d) Insurans berkelompok kepada murid Group insurance for pupils Kecacatan dan lumpuh 2 Nyatakan jenis insurans yang sesuai bagi setiap situasi berikut. SP3.1.1 TP 1 TP 2 OP 1 State the suitable type of insurance for each of the following situations. Situasi Situation Jenis insurans Type of insurance (a) Kaki Encik Akmal patah kerana terlibat dalam kemalangan motor semasa kesesakan lalu lintas. Encik Akmal's leg broke because he was involved in a motorcycle accident during a traffic jam. Insurans kemalangan diri (b) Encik Latif menjalani pembedahan buah pinggang di sebuah hospital swasta. Encik Latif undergoes kidney surgery at a private hospital. Insurans perubatan dan kesihatan (c) Puan Mastura bimbang jika bagasinya hilang semasa transit di Lapangan Terbang Sydney. Puan Mastura worries if her luggage is lost during transit at the Sydney Airport. Insurans perjalanan (d) Encik Ali mengambil polisi insurans yang memberikan perlindungan kepada rumah kediamannya daripada risiko kebakaran, kilat dan letupan. Encik Ali takes an insurance policy that provides protection for his home against the risk of fire, lightning and explosion. Insurans kebakaran (e) Syarikat Suhail menyediakan perlindungan kewangan kepada pekerja-pekerjanya. Suhail’s company provides a financial protection to their employees. Insurans berkelompok Risiko dan Perlindungan Insurans Risk and Insurance Coverage 3.1 Buku Teks: m.s 74-90 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 64 Matematik Tingkatan 5 Bab 3 Praktis Sumatif 1 Antara berikut, situasi yang manakah seorang pemegang polisi tidak boleh menuntut pampasan daripada insurans hayat? Which of the following situations a policyholder cannot claim compensation from life insurance? A Kematian pemegang polisi Death of policyholder B Kebakaran rumah House fire C Penyakit kritikal Critical illness D Hilang keupayaan Loss of ability 2 Antara faktor berikut, yang manakah tidak mempengaruhi premium yang dibayar bagi insurans hayat? Which of the following factors does not affect the premium paid for life insurance? A Umur Age B Jantina Gender C Bangsa Race D Nilai muka polisi Face value of policy 3 Berdasarkan maklumat di bawah, hitung premium yang dibayar oleh pemegang polisi. Based on the information below, calculate the premium payable by the policyholder. Nilai muka polisi Face value of policy RM180 000 Kadar premium per RM1 000 Premium rate per RM1 000 RM6.56 A RM1 180.80 B RM1 771.20 C RM2 080.45 D RM2 361.60 KERTAS 1 Soalan 4 dan 5 berdasarkan jadual berikut. Questions 4 and 5 are based on the following table. Jadual menunjukkan kadar premium tahunan bagi setiap RM1 000 nilai muka polisi insurans hayat. The table shows the annual premium rate for every RM1 000 of face value of the life insurance policy. Umur (Tahun) Age (Year) 42 43 Bukan perokok Non-smoker (RM) Lelaki Male 7.56 8.12 Perempuan Female 7.02 7.63 Perokok Smoker (RM) Lelaki Male 9.23 10.56 Perempuan Female 8.54 9.83 4 Aida yang berumur 42 tahun ialah seorang bukan perokok. Dia ingin membeli satu polisi insurans hayat dengan nilai muka RM140 000. Hitung premium yang perlu dibayar oleh Aida. Aida who is 42 years old is a non-smoker. She wants to buy a life insurance policy with a face value of RM140 000. Calculate the premium payable by Aida. A RM846.80 C RM882.80 B RM928.60 D RM982.80 5 David yang berumur 43 tahun ialah seorang perokok. Dia ingin membeli satu polisi insurans hayat dengan nilai muka RM165 000 dan satu polisi penyakit kritikal sebanyak RM90 000. Kadar premium polisi penyakit kritikal ialah RM1.86 bagi setiap RM1 000. Hitung premium yang perlu dibayar oleh David. David who is 43 years old is a smoker. He wants to buy a life insurance with a face value of RM165 000 and a critical illness policy of RM90 000. The premium rate of the critical illness policy is RM1.86 per RM1 000. Calculate the premium payable by David. A RM1 742.80 C RM1 909.80 B RM1 808.60 D RM2 016.80 OP 1 OP 1 OP 2 OP 3 OP 3 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 66 Matematik Tingkatan 5 Bab 3 1 Jadual berikut menunjukkan kadar premium insurans perjalanan untuk melancong ke Australia dan New Zealand. OP 4 The following table shows the premium rates of travel insurance for Australia and New Zealand tours. Bilangan hari Number of days Kadar/ Rate (RM) Dewasa Adult Kanak-kanak (Bawah 12 tahun) Child (under 12 years old) Keluarga Family 1 – 5 39 27 128 6 – 10 58 45 191 11 – 15 79 62 285 16 – 22 91 79 396 Setiap tambahan minggu Each additional week 24 19 105 Tarikh melancong/ Tour date Dari/ From 15.6.2022 hingga/ to 12.7.2022 Ahli keluarga Encik Shafie Encik Shafie’s family member Umur (tahun) Age (years) Encik Shafie 53 Isteri/ Wife 48 Anak sulung/ Eldest child 25 Anak kedua/ Second child 17 Anak ketiga/ Third child 14 Pelan keluarga adalah untuk bapa, ibu dan dua orang anak yang berumur 18 tahun ke bawah. Pelan keluarga adalah terhad kepada 4 orang sahaja. The family plan is for the father, mother and two children below 18 years old. The family plan is limited to 4 persons only. (a) Nyatakan tempoh, dalam hari, perjalanan itu. State the duration, in days, of the tour. (b) Hitung jumlah premium minimum bagi insurans perjalanan keluarga Encik Shafie. Calculate the minimum total of the premium for the travel insurance of Encik Shafie’s family. (a) 28 hari (b) RM396 + RM105 + RM91 + RM24 = RM616 KERTAS 2 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
111 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° θ 360° The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° θ 360° 6.1 1 Nisbah trigonometri boleh ditentukan melalui sebuah bulatan yang berjejari 1 unit yang berpusat pada asalan (0, 0) pada satah Cartes. Paksi-x dan paksi-y membahagikan bulatan unit kepada 4 sukuan yang sama iaitu sukuan I, sukuan II, sukuan III dan sukuan IV. Koordinat P(x, y) pula ialah satu titik yang bergerak di sepanjang lilitan bulatan. Trigonometric function can be determined from a circle with a radius of 1 unit about the origin (0, 0) on a Cartesian plane. x-axis and y-axis divide a unit circle into 4 equal quadrants, quadrant I, quadrant II, quadrant III and quadrant IV. Coordinate P(x, y) is a point that moves along the circumference. Sudut lawan arah jam daripada asalan Anticlockwise angle from the origin P(x, y) Sudut tirus Acute angle 180° x 0°, 360° –1 1 y 1 θ α 270° 90° –1 • O 2 Titik P yang bergerak di sepanjang lilitan bulatan akan membentuk satu sudut oleh jejari bulatan OP iaitu θ dari paksi-x yang positif mengikut arah lawan jam. Di sepanjang sukuan I, II, III dan IV, nilai positif atau negatif sinus, kosinus dan tangen akan diperoleh. Point P that moves along the circumference of the circle will form an angle by the radius of the circle OP which is θ from the positive x-axis in an anticlockwise direction. Throughout the quadrants I, II, III and IV, the positive or negative values of sine, cosine and tangent will be obtained. 6 BAB Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri Ratios and Graphs of Trigonometric Functions NOTA EFEKTIF 3 Rumus bagi menentukan sudut rujukan sepadan, α, bagi setiap sukuan. Formula of determining the corresponding reference angle, α, for every quadrant. Sukuan II/Quadrant II Sukuan III/Quadrant III Sukuan IV/Quadrant IV Sukuan I/Quadrant I a = q – 180° a = 180° – q a = q a = 360° – q a a a a 4 Rumus bagi sinus, kosinus dan tangen dapat diterbitkan seperti rajah bulatan unit di bawah. The formula for sine, cosine and tangent can be derived as a unit circle diagram below. –1 1 x y 1 –1 P(x, y) O θ Sukuan II (S) Quadrant II sin θ = +y kos θ = –x cos θ = –x tan θ = – y x Sukuan III (T) Quadrant III sin θ = –y kos θ = –x cos θ = –x tan θ = + y x Sukuan I (A) Quadrant I sin θ = +y kos θ = +x cos θ = +x tan θ = + y x Sukuan IV (C) Quadrant IV sin θ = –y kos θ = +x cos θ = +x tan θ = – y x 270° y 90° 180° x 0°, 360° HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 112 Matematik Tingkatan 5 Bab 6 5 Bagi mencari nilai sinus, kosinus dan tangen tanpa menggunakan kalkulator, dua segi tiga pada bulatan unit digunakan untuk mencari nilai-nilai tersebut. To determine the values of sine, cosine and tangent without using a calculator, two triangles at the unit circle are used to find the values. y 90° 270° 180° x 0°, 360° 2 2 1 1 1 60° 1 60° 30° 30° 3 3 2 1 2 1 2 1 1 –1 1 –1 2 45° 1 45° O 30° 60° 45° sin θ 1 2 3 2 1 2 kos θ cos θ 3 2 1 2 1 2 tan θ 1 3 3 1 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions 6.2 1 Lakaran graf sinus, kosinus dan tangen pada 0° x 360°. Graph sketching of sine, cosine and tangent at 0° x 360°. y = sin x y 1 –1 0 x 90° 180° 270° 360° y = kos x/cos x y 1 –1 0 x 90° 180° 270° 360° y = tan x y 2 1 –1 –2 0 x 90° 180° 270° 360° 2 Amplitud ialah jarak maksimum yang diukur dari garis keseimbangan. Amplitud dapat ditentukan dengan rumus: Amplitude is the maximum distance measured from the centre line. Amplitude can be determined by the formula: amplitud = nilai maksimum – nilai minimum 2 amplitude = maximum value – minimum value 2 3 Tempoh ialah selang satu kitaran lengkap. Period is the interval of one complete cycle. (a) Pada graf y = sin x dan y = kos x, tempoh dapat ditentukan dengan rumus: On the graphs of y = sin x and y = cos x, period can be determined by the formula: Tempoh/ Period = 360° b (b) Pada graf y = tan x, tempoh dapat ditentukan dengan rumus: On the graph of y = tan x, period can be determined by the formula: Tempoh/ Period = 180° b Sudut Nisbah Angle Ratio HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
113 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 1 Tentukan sudut rujukan sepadan, , bagi setiap sudut berikut. SP6.1.1 TP 1 OP 1 Determine the corresponding reference angle, , for each of the following angles. Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° θ 360° The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° θ 360° 6.1 Buku Teks: m.s 174-183 (a) 70° 70° berada di sukuan I. Maka, α = 70° y 70° x O (b) 133° 133° berada di sukuan II. Maka, α = 180° – 133° = 47° y x 133° 47° O (c) 151° 151° berada di sukuan II. Maka, α =180° – 151° = 29° y 151° x O 29° (d) 225° 225° berada di sukuan III. Maka, α = 225° – 180° = 45° y 225° x 45° O (e) 325° 325° berada di sukuan IV. Maka, α = 360° – 325° = 35° y 325° x O 35° CONTOH 80° Penyelesaian 80° berada di sukuan I. Maka, α = 80° 80° is in quadrant I. Hence, α = 80° y x O 80° HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 114 Matematik Tingkatan 5 Bab 6 2 Nyatakan hubungan fungsi trigonometri yang berikut dengan sudut rujukan sepadan. SP6.1.1 TP 2 OP State the relationship between the following trigonometric functions with its corresponding reference angle. 3 Jawab soalan berikut. SP6.1.1 TP 2 OP 1 Answer the following question. CONTOH (a) kos 215° cos 215° kos 215° terletak dalam sukuan III. Jadi sudut 215° bernilai negatif. kos 215° = –kos (215° – 180°) = –kos (35°) (b) tan 300° tan 300° terletak dalam sukuan IV. Jadi sudut 300° bernilai negatif. tan 300° = –tan (360° – 300°) = –tan (60°) (c) tan 200° tan 200° terletak dalam sukuan III. Jadi sudut 200° bernilai positif. tan 200° = tan (200° – 180°) = tan (20°) sin 110° Penyelesaian sin 110° terletak dalam sukuan II. Maka, sudut 110° bernilai positif. sin 110° is located in quadrant II. Hence, angle 110° has a positive value. sin 110° = sin (180° – 110°) = sin (70°) sin 110° = sin 70° Rajah menunjukkan satu bulatan unit dengan sudut θ dan sudut β. Cari nilai bagi The diagram shows a unit circle with angles θ and β. Find the values of (a) sin θ, kos θ, tan θ, sin θ, cos θ, tan θ, (b) sin β, kos β, tan β. sin b, cos b, tan b. (a) sin θ = –0.92 kos θ = –0.42 tan θ = – 0.92 – 0.42 = 2.19 (b) sin β = 0.92 kos β = 0.42 tan β = 0.92 0.42 = 2.19 y x θ β 0 Q(0.42, 0.92) R(–0.42, –0.92) HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
115 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 CONTOH 4 Tentukan nilai bagi setiap yang berikut berdasarkan sudut rujukan sepadan. SP6.1.2 TP 3 OP 2 Determine the value of each of the following based on the corresponding reference angle. (a) kos 125° cos 125° 125° berada dalam sukuan II. Kosinus bernilai negatif. Maka, α = 180° – 125° = 55° kos 125° = –kos 55° = –0.5736 (b) tan 215° 215° berada dalam sukuan III. Tangen bernilai positif. Maka, α = 215° – 180° = 35° tan 215° = tan 35° = 0.7002 CONTOH (c) sin 305° 305° berada dalam sukuan IV. Sinus bernilai negatif. Maka, α = 360° – 305° = 55° sin 305° = –sin 55° = –0.8192 (d) tan 132°17′ 132°17′ berada dalam sukuan II. Tangen bernilai negatif. Maka, α = 180° – 132°17′ = 47°43′ tan 132°17′ = –tan 47°43′ = –1.0996 (e) kos 200°54′ cos 200°54′ 200°54' berada dalam sukuan III. Kosinus bernilai negatif. Maka, α = 200°54′ – 180° = 20°54′ kos 200°54′ = –kos 20° 54′ = –0.9342 5 Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator. SP6.1.2 TP 3 OP 2 Find the value for each of the following without using a calculator. CONTOH sin 120° Penyelesaian sin 120° = sin (180 – 120)° = sin 60° = 3 2 (a) kos 150° cos 150° kos 150° = –kos (180 – 150)° = –kos 30° = – 3 2 (b) tan 225° tan 225° = tan (225 – 180)° = tan 45° = 1 ZON KALKULATOR Untuk menentukan nilai tan 41°43′ daripada kalkulator saintifik, tekan To determine the value of tan 41°43′ from the scientific calculator, press tan 4 1 °″ 4 3 °″ = Pastikan kalkulator saintifik anda adalah dalam mod “Deg”. Make sure your scientific calculator is in “Deg” mode. sin 142° Penyelesaian 142° berada dalam sukuan II. Sinus bernilai positif. 142° is in quadrant II. Sine is positive. Maka, Hence, α = 180° – 142° = 38° sin 142° = sin 38° = 0.6157 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
123 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 SUDUT KBAT ( Jadual menunjukkan ketinggian Danish semasa meluncur papan selaju di trek. The table shows Danishʼs height when he is skateboarding on a track. Masa (saat) Time (seconds) 0 5 10 15 20 Tinggi (m) Height (m) 2.5 1.5 0.5 1.5 2.5 (a) Berdasarkan jadual, nyatakan jenis fungsi trigonometri yang boleh mewakilinya. Based on the table, state the type of trigonometric function that can represent it. (b) Seterusnya, jika y ialah tinggi Danish dari permukaan tanah, dalam m, dan x ialah masa, dalam saat, lukis graf dan nyatakan fungsi trigonometri yang mewakili maklumat di dalam jadual di atas. Hence, if y is Danishʼs height from the ground, in m, and x is the time, in seconds, draw the graph and state the trigonometric function representing the information in the table above. (a) Kosinus (b) a = 2.5 – 0.5 2 = 1 360° b = 20 b = 18 y = a kos bx + c 2.5 = (1) kos 18(0) + c 2.5 = 1(1) + c c = 1.5 y = kos 18x + 1.5 2 2.5 1.5 1.0 0.5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t (s) y (m) 3 • • • • • 0 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
© Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) 124 Matematik Tingkatan 5 Bab 6 AKTIVITI PAK -21 PAK-21 bit.ly/3WoMUwq Bahan Bab 6 Materials for Chapter 6 Bahan/ Materials 1 Set soalan berkenaan nisbah dan graf fungsi trigonometri. Sets of questions of ratios and graphs of trigonometric functions. Arahan/ Instructions 1 Imbas kod QR untuk mendapatkan bahan. Scan the QR code to get the material. 2 Murid dibahagikan kepada 4 orang setiap kumpulan. The students are divided into a group of 4. 3 Setiap kumpulan diberi satu set soalan untuk dibincangkan selama 30 minit. Each group is given a set of questions to discuss within 30 minutes. 4 Jawapan tersebut dihantarkan kepada guru. The answers are submitted to the teacher. 5 Guru mengumpul semua set soalan dan mengedarkannya secara rawak kepada semua kumpulan untuk disemak. The teacher collects all sets of questions and randomly distributes them file to all the groups to be checked. 6 Setiap kumpulan yang mendapat set soalan baru hendaklah membincangkan dan membentangkannya di hadapan kelas. Each group that gets a new set of questions must discuss the answers and present them in front of the class. 7 Kumpulan yang mendapat markah tertinggi akan diberi hadiah. Group with the highest marks will be rewarded. HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
125 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 Praktis Sumatif 1 Diberi bahawa tan θ = – 4 3 , dengan keadaan θ ialah sudut cakah. Cari sin θ. Given that tan θ = – 4 3 , where θ is an obtuse angle. Find sin θ. A 4 5 B – 4 5 C – 4 3 D 4 3 2 Rajah menunjukkan satu bulatan unit dengan titik R dan S. The diagram shows a unit circle with points R and S. y x O β R(0.7, 0.6) S(–0.8, –0.4) Tentukan nilai sin α – kos β + 2 tan β. Determine the value of sin α – cos β + 2 tan β. A 0.4 B 0.8 C 1.2 D 2.4 3 Diberi bahawa tan A = 9 12, dengan keadaan A ialah sudut tirus. Cari kos A. Given that tan A = 9 12 , where A is an acute angle. Find cos A. A 9 15 C 12 15 B – 12 15 D – 9 15 KERTAS 1 4 Rajah menunjukkan gabungan segi tiga OPQ dan OQR. The diagram shows the combination of triangles OPQ and OQR. O P Q R 15 cm x Diberi sin x = 0.8667, cari panjang OR. Given that sin x = 0.8667, find the length of OR. A 7.5 cm B 13 cm C 22.5 cm D 26 cm 5 Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak LMN. KLM ialah garis lurus. The diagram shows a right-angled triangle LMN. KLM is a straight line. Cari nilai bagi tan x. Find the value of tan x. A 5 13 B 5 12 C – 5 12 D – 5 13 K M N L x 13 cm 5 cm OP 2 OP 3 OP 2 OP 3 OP 2 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
127 © Penerbit Mahir Sdn. Bhd. (183897-P) Matematik Tingkatan 5 Bab 6 KERTAS 2 1 Rajah menunjukkan sebuah graf fungsi trigonometri y = a kos bx + c. OP 3 The diagram shows a trigonometric function graph y = a cos bx + c. y 5 4 3 2 1 0 x 90° 180° 270° 360° Nyatakan nilai bagi a, b, dan c. State the values of a, b and c. a = amplitud = 5 – 1 2 = 2 360° b = 180° b = 2 y = a kos bx + c 5 = 2 kos 2(0) + c 5 = 2(1) + c c = 3 a = 2, b = 2, c = 3 2 Rajah menunjukkan sebuah graf fungsi trigonometri y = a sin bx + c. OP 3 The diagram shows a trigonometric function graph y = a sin bx + c. y 1 –1 –5 0 x 180° 360° Nyatakan nilai bagi a, b, dan c. State the values of a, b and c. a = amplitud = 1 – (–5) 2 = 3 360° b = 360° b = 1 y = a sin bx + c –1 = 3 sin (1)(0) + c –1 = 0 + c c = –1 a = 3, b = 1, c = –1 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR
9 Semenanjung Malaysia (WM) Sabah & Sarawak (EM) : RM13.90 : RM14.90 Siri SUPERB 2.0 SBP (Sekolah Berasrama Penuh) ialah buku yang berformatkan modul dan aktiviti yang digubal oleh kumpulan Panel Guru Pakar dan Guru Cemerlang mata pelajaran SBP. Kandungan modul ini ditulis selaras dengan hasrat Kementerian Pendidikan Malaysia yang ingin memperkasakan Pentaksiran Berasaskan Sekolah (PBS) melalui kaedah Pentaksiran Bilik Darjah (PBD). Latihan dan aktiviti yang dihasilkan selaras dengan buku teks dan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) yang mengandungi Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), Pembelajaran dan Pemudahcaraan (PdPc) Abad Ke-21, peta pemikiran dan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM). Semua elemen ini bertujuan meningkatkan tahap kemahiran murid menguasai setiap topik yang dipelajari. Kandungan modul ini turut dilengkapi dengan bahan-bahan yang dimuat naik dalam kod QR seperti video, bahan interaktif serta jawapan. Siri ini dapat memberikan manfaat kepada murid sebagai pemangkin kecemerlangan pada masa hadapan. DWIBAHASA MATEMATIK 2.0 SEKOLAH BERASRAMA PENUH MODUL & AKTIVITI SUBJEK TINGKATAN TINGKATAN Judul-judul dalam siri ini: Bahasa Melayu English Matematik Sejarah Pendidikan Islam Fizik Kimia Biologi 9 786294 710795 ISBN 978-629-471-079-5 HAK CIPTA PENERBIT MAHIR