The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Harga: RM33.90 (WM), RM35.90 (EM)

• Berdasarkan Format SPM Mulai 2021
• Komprehensif dan Efektif
• Halaman Berwarna dan Bergrafik
• Memenuhi Keperluan Terkini
- Peperiksaan-KBAT-i-THINK-
• Penulis yang Berwibawa
• Segala-galanya tentang Peperiksaan!

Bonus: Jawapan Lengkap Berserta Langkah Penyelesaian (Bahagian Praktis Fokus SPM)

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by SASBADI, 2021-02-02 22:20:06

MasterClass SPM Matematik Tambahan Tingkatan 4 & 5 KSSM

Harga: RM33.90 (WM), RM35.90 (EM)

• Berdasarkan Format SPM Mulai 2021
• Komprehensif dan Efektif
• Halaman Berwarna dan Bergrafik
• Memenuhi Keperluan Terkini
- Peperiksaan-KBAT-i-THINK-
• Penulis yang Berwibawa
• Segala-galanya tentang Peperiksaan!

Bonus: Jawapan Lengkap Berserta Langkah Penyelesaian (Bahagian Praktis Fokus SPM)

Keywords: MasterClass,guidebook,KSSM,SPM2021,Sasbadi

Rujukan Komprehensif dan Efektif
SASBADI

Dr. Wong Mee Kiong PenulisBukuTeksKSSM SPM

Grace Lien Poh Choo Pensyarah
Penulis Buku KSSM

Chang Tze Hin PenulisBukuKSSM

Moh Sin Yee KetuaPanitiaMatematik

Tingkatan 4&5 KSSM

Matematik
Tambahan

IMBAS KOD QR FACEBOOK SAMPEL
MASTERCLASS SASBADI

(http://www.facebook.com/
groups/sasbadi.masterclass)

BERDASARKAN

FORMAT
SPM

MULAI TAHUN

2021

PRAKATA

MASTERCLASS SPM mengetengahkan reka bentuk trend terkini, segar, berwarna-warni lagi meriangkan seperti yang
diperlukan oleh murid hari ini. Yang paling utama, kandungan siri ini diolah berdasarkan keperluan buku teks, silibus
KSSM terkini, Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP), dan keperluan SPM terkini baik dari segi
notanya mahupun praktis dan pentaksiran yang disediakan.

Setiap nota dan praktis diolah secara teliti daripada tema dan bab buku teks Tingkatan 4 dan Tingkatan 5. Kesemuanya
ini direncanakan oleh panel pengarang yang berwibawa, yang mahir tentang silibus, format dan keperluan SPM serta
yang mempunyai bertahun-tahun pengalaman dalam pengajaran dan pembelajaran. Setiap fakta dan kata kunci
bercetak tebal serta disokong oleh bahan grafik dan ilustrasi supaya menarik, mudah difahami, dan diingat oleh murid.
Soalan berformat dan berpiawai SPM terkini disediakan secukupnya sebagai latih tubi bagi persediaan untuk menghadapi
peperiksaan pada masa akan datang.

EP ISTIMBEeWrdAasMarAkaSnTERCLAS S SPM

format SPM mulai 2021
KONS
Nota dan praktis paling segar –
SAMPELterkini – memenuhi keperluan
Buku Teks dan format SPM

Konsep pembelajaran kontekstual
dan terkini turut diterapkan
melalui KBAT dan i-THINK

Siri ini diterbitkan khusus Reka bentuk trend
untuk membantu calon-calon SPM paling kini, segar, dan
menguasai pelajaran di Tingkatan 4
berwarna-warni
dan di Tingkatan 5. Oleh itu,
keberkesanan buku ini sebagai Kata kunci dan isi
penting bercetak
medium untuk mencapai
keputusan yang cemerlang harus tebal
diyakini. Sebagai nilai tambah dan

memenuhi keperluan terkini,
konsep pembelajaran kontekstual

turut diterapkan melalui KBAT
dan i-THINK.

PENERBIT

(iii)

KANDUNGAN

PERBANDINGAN FORMAT (vi) BAB 99
INTRUMEN PEPERIKSAAN SPM (vii)
MATEMATIK TAMBAHAN (3472) 6 HUKUM LINEAR 99
1 103
FORMULA MATEMATIK 1 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 110
8 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 113
TINGKATAN 4 14 6.3 Aplikasi Hukum Linear
20
BAB PRAKTIS FOKUS SPM

1 FUNGSI BAB 117

1.1 Fungsi 7 GEOMETRI KOORDINAT
1.2 Fungsi Gubahan
1.3 Fungsi Songsang 7.1 Pembahagi Tembereng Garis 117

PRAKTIS FOKUS SPM

BAB 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang 121

2 FUNGSI KUADRATIK 23 7.3 Luas Poligon 125

2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 23 7.4 Persamaan Lokus 128
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 29
2.3 Fungsi Kuadratik 33 PRAKTIS FOKUS SPM 131
44
PRAKTIS FOKUS SPM BAB

BAB 47 8 VEKTOR 137

3 SISTEM PERSAMAAN 47 8.1 Vektor 137
8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor 143
3.1 Sistem Persamaan Linear dalam 51 8.3 Vektor dalam Satah Cartes 150
Tiga Pemboleh Ubah 55 154
PRAKTIS FOKUS SPM
3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu
Persamaan Linear dan Satu Persamaan BAB 157
Tak Linear
9 PENYELESAIAN SEGI TIGA 157
PRAKTIS FOKUS SPM 161
9.1 Petua Sinus 164
BAB 57 9.2 Petua Kosinus
9.3 Luas Segi Tiga 168
4 INDEKS, SURD DAN LOGARITMA 57 9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua Kosinus dan 173
61
4.1 Hukum Indeks 66 Luas Segi Tiga
4.2 Hukum Surd 73
4.3 Hukum Logaritma 77 PRAKTIS FOKUS SPM
4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma
SAMPEL
PRAKTIS FOKUS SPM

BAB BAB 177

5 JANJANG 1079 NOMBOR INDEKS 177
182
5.1 Janjang Aritmetik (J.A.) 79 10.1 Nombor Indeks 189
5.2 Janjang Geometri (J.G.) 86 10.2 Indeks Gubahan
95 PRAKTIS FOKUS SPM
PRAKTIS FOKUS SPM
(iv)

TINGKATAN 5 BAB 295

BAB 195 6 FUNGSI TRIGONOMETRI

1 SUKATAN MEMBULAT 195 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 295
196 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 296
1.1 Radian 200 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 301
1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 205 6.4 Identiti Asas 306
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut
1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 208 307
Berganda 312
PRAKTIS FOKUS SPM 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri
316
BAB PRAKTIS FOKUS SPM

2 PEMBEZAAN 213

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 213 BAB 319

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 216 7 PENGATURCARAAN LINEAR 319
322
2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 221 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 327
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear
2.4 Aplikasi Pembezaan 222
PRAKTIS FOKUS SPM
PRAKTIS FOKUS SPM 236

BAB 241 BAB

3 PENGAMIRAN 8 KINEMATIK GERAKAN LINEAR 331

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan 241 8.1 Sesaran sebagai Fungsi Masa 331
8.1 Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 334
3.2 Kamiran Tak Tentu 242 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan
334
3.3 Kamiran Tentu 246 Linear
8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan 334
3.4 Aplikasi Pengamiran 257 341
Linear 344
PRAKTIS FOKUS SPM 259 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear

BAB 263 PRAKTIS FOKUS SPM

4 PILIH ATUR DAN GABUNGAN 263 KERTAS MODEL SPM 347 – 366
269 JAWAPAN 367 – 399
4.1 Pilih Atur 272
4.2 Gabungan

PRAKTIS FOKUS SPM

BAB 275 SAMPEL

5 TABURAN KEBARANGKALIAN 275
279
5.1 Pemboleh Ubah Rawak 283
5.2 Taburan Binomial 291
5.3 Taburan Normal

PRAKTIS FOKUS SPM

(v)

PERBANDINGAN FORMAT
INSTRUMEN PEPERIKSAAN SPM
MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

KERTAS 1 (3472/1) FORMAT SEHINGGA 2020 FORMAT MULAI 2021
BIL. PERKARA Ujian Bertulis
1 Jenis Instrumen • Objektif Ujian Bertulis
2 Jenis Item
3 Bilangan Soalan (Respons Diberi) • Subjektif Respons Terhad
25 soalan • Subjektif Berstruktur
4 Jumlah Markah (Jawab semua soalan)
5 Tempoh Ujian Bahagian A
6 Konstruk 80 markah 12 soalan (64 markah)
2 jam (Jawab semua soalan)
• Pengetahuan (20%)
• Kemahiran Mengaplikasi (80%) Bahagian B
3 soalan (16 markah)
(Jawab 2 soalan)

80 markah

2 jam

• Mengingat dan Memahami
• Mengaplikasi
• Menganalisis
• Menilai
• Mencipta

KERTAS 2 (3472/2) FORMAT SEHINGGA 2020 FORMAT MULAI 2021
BIL. PERKARA Ujian Bertulis
1 Jenis Instrumen • Subjektif Respons Terhad Ujian Bertulis
2 Jenis Item • Subjektif Berstruktur
3 Bilangan Soalan Bahagian A • Subjektif Respons Terhad
6 soalan (40 markah) • Subjektif Berstruktur
4 Jumlah Markah (Jawab semua soalan)
5 Tempoh Ujian Bahagian B Bahagian A
6 Konstruk 5 soalan (40 markah) 7 soalan (50 markah)
(Jawab 4 soalan) (Jawab semua soalan)
Bahagian C
4 soalan (20 markah) Bahagian B
(Jawab 2 soalan) 4 soalan (30 markah)
100 markah (Jawab 3 soalan)
2 jam 30 minit
• Kemahiran Mengaplikasi (60%) Bahagian C
• Penyelesaian Masalah (40%) 4 soalan (20 markah)
(Jawab 2 soalan)
(vi)
100 markah

2 jam 30 minit

• Mengingat dan Memahami
• Mengaplikasi
• Menganalisis
• Menilai
• Mencipta
SAMPEL

FORMULA MATEMATIK

ALGEBRA

1 x = –b ± b2 – 4ac 8 loga b = logc b
2a logc a

2 am × an = am + n 9 Tn = a + (n – 1)d

3 am ÷ an = am – n 10 Sn = n [2a + (n – 1)d]
2
4 (am)n = amn
11 Tn = arn – 1
5 loga mn = loga m + loga n
a(rn – 1) a(1 – rn)
6 loga m = loga m – loga n 12 Sn = r–1 = 1 – r , r ≠ 1
n
a ,|r|Ͻ1
7 loga mn = n loga m 13 S∞ = 1–r

1 y = uv, dy = u dv + v du KALKULUS
dx dx dx
͵ ͵4 Luas di bawah suatu lengkung
u dy v du – u dv = b y dx atau b x dy
v dx dx dx aa
2 y = , =
v2 ͵ ͵5 Isi padu janaan
= b πy2 dx atau b πx2 dy
aa

3 dy = dy × du
dx du dx

STATISTIK

1 I = Q1 × 100 6 Pilih atur bagi n objek dalam bulatan = (n – 1)!
Q0
7 Pilih atur bagi n objek dalam bulatan apabila

2 I– = ∑Iiwi susunan ikut arah jam dan lawan arah jam tiada
∑wi
beza = (n – 1)!
2
nPr n!
3 = (n – r)! 8 P(X = r) = nCrprqn – r, p + q = 1

n! 9 Min, μ = np SAMPEL
– r)!
4 nCr = (n r! 10 Sisihan piawai, σ = npq

5 Pilih atur bagi objek secaman = nPn 11 Z= X–μ
a! b! c! σ

dengan keadaan a, b dan c ialah bilangan bagi

setiap objek secaman

(vii)

GEOMETRI

1 Jarak = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 5 | ~r | = x2 + y2
2 Titik tengah, (x, y) = x1 + x2 , y1 + y2 x~i + y~j
6 ~rˆ = x2 + y2
΂ ΃2 2

3 Satu titik yang membahagikan suatu tembereng 7 Panjang lengkok, s = jθ

΂ ΃garis (x, y) = nx1 + mx2 , ny1 + my2 8 Luas sektor, L = 1 j2θ
m+n m+n 2

4 Luas segi tiga

= 1 | (x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3) |
2

TRIGONOMETRI

1 sin2 A + kos2 A = 1 9 tan 2A = 2 tan A
1 – tan2 A
2 sek2 A = 1 + tan2 A

3 kosek2 A = 1 + kot2 A 10 a = b = c
sin A sin B sin
4 sin 2A = 2 sin A kos A C

5 kos 2A = kos2 A – sin2 A 11 a2 = b2 + c2 – 2bc kos A

= 2 kos2 A – 1 12 Luas segi tiga = 1 ab sin C
= 1 – 2 sin2 A 2

6 sin (A Ϯ B) = sin A kos B ± kos A sin B 13 Rumus Heron:

7 kos (A Ϯ B) = kos A kos B ϯ sin A sin B Luas segi tiga = s(s – a)(s – b)(s – c),

8 tan (A Ϯ B) = tan A Ϯ tan B dengan keadaan s = a + b + c
1 ϯ tan A tan B 2

(viii) SAMPEL

BAB 1 FUNGSI

1.1 Fungsi 4. Pertimbangkan set P = {–2, –1, 1, 2, 3} dan
set Q = {1, 4, 9}.

A. Perwakilan grafik dan tatatanda fungsi kuasa dua
P
1. Suatu fungsi ialah satu padanan atau Q
pemetaan antara unsur-unsur dalam dua
set dengan keadaan setiap unsur dalam set –2 O O 1
pertama sepadan dengan satu dan hanya satu –1 O O 4
unsur dalam set kedua. 1O O 9
2O
2. Pertimbangkan set A = {1, 2, 3, 4} dan 3O
set B = {3, 6, 9, 12}. Setiap unsur dalam set B
adalah tiga kali bagi satu unsur yang sepadan Perhatikan bahawa unsur –2 dan 2 dalam TINGKATAN 4
dalam set A. Rajah di bawah menunjukkan set P dipetakan kepada unsur 4 dalam set Q,
hubungan ‘tiga kali’ antara unsur-unsur dalam dan unsur –1 dan 1 dalam set P dipetakan
set A dan set B. kepada unsur 1 dalam set Q. Hubungan ini
ialah hubungan banyak dengan satu.
tiga kali B 5. Hubungan banyak dengan satu juga ialah satu Bab
A fungsi kerana setiap unsur dalam set pertama
sepadan dengan satu dan hanya satu unsur 1
1 O O 3 dalam set kedua.
2 O O 6 6. Dalam tatatanda matematik, satu fungsi boleh
3 O O 9 diwakili dengan huruf kecil seperti f, g dan h.
4 O O 12 7. Fungsi yang menunjukkan hubungan ‘tiga kali’
boleh ditulis sebagai
(a) Jenis perwakilan di atas dinamakan
gambar rajah anak panah. f : x → 3x Dibaca sebagai ‘fungsi f
atau memetakan x kepada 3x’.
(b) Hubungan di atas juga boleh diwakilkan
dalam bentuk pasangan bertertib seperti f(x) = 3x Dibaca sebagai ‘fungsi f bagi
berikut: x adalah sama dengan 3x’.
{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
Di sini, x ialah objek dan 3x ialah imej.
(c) Jenis perwakilan yang satu lagi ialah dalam
bentuk graf. Input Ekstra

Set B Fungsi yang menunjukkan hubungan ‘kuasa dua’
boleh ditulis sebagai f : x → x2 atau f (x) = x2.
12

9 CONTOH 1 SAMPEL
6
Tentukan sama ada setiap hubungan berikut ialah
3
0 Set A suatu fungsi atau bukan. Terangkan jawapan anda.

1234 (a) (b) AB
AB
3. Hubungan di atas ialah satu fungsi yang
merupakan hubungan satu dengan satu. aO Op aO Op
bO Oq bO
cO Or cO O q
Os dO Or

1

BAB 1 Fungsi B (d) A B CONTOH 2

(c) A Op aO Op Tentukan sama ada setiap graf berikut ialah suatu
Oq Oq
aO Or bO Or fungsi atau bukan. Beri alasan untuk jawapan
bO cO
cO anda.

(a) y (b)

Penyelesaian y
(a) Bukan fungsi
O x x
Kerana unsur a dalam set A dipadankan dengan O x
dua unsur dalam set B. (c)
(d) y
(b) Bukan fungsi y
Kerana unsur d dalam set A tidak terlibat xO
dalam padanan itu. O

(c) Fungsi Penyelesaian
Kerana setiap unsur dalam set A dipadankan (a) y
dengan satu dan hanya satu unsur dalam set B
walaupun unsur p tidak mempunyai objek. O

(d) Bukan fungsi
Kerana unsur a dan unsur b dalam set A
dipadankan dengan lebih daripada satu unsur
dalam set B.

Gerakkan garis
mencancang ini ke
x kiri dan ke kanan.

Input Ekstra Fungsi
Kerana garis mencancang menyilang graf itu
• Untuk menentukan sama ada suatu hubungan ialah pada satu titik sahaja.
fungsi, pertimbangkan padanan unsur dalam dua set
yang berkenaan. (b) Bukan fungsi
y Kerana garis
• Hanya hubungan satu dengan satu dan hubungan
banyak dengan satu ialah fungsi. mencancang

8. Ujian garis mencancang digunakan untuk menyilang graf itu
menentukan sama ada hubungan yang
diberikan dalam bentuk graf ialah fungsi O x lebih daripada satu
atau bukan. Lukis garis mencancang untuk titik.
menyilang graf itu. Gerakkan garis mencancang
itu ke kiri dan ke kanan jika perlu. (c) Bukan fungsi
(a) Jika garis mencancang menyilang graf itu y Kerana garis
hanya pada satu titik, maka graf itu ialah
suatu fungsi. mencancang
(b) Jika garis mencancang menyilang graf itu
lebih daripada satu titik, maka graf itu menyilang graf itu
bukan suatu fungsi.
O x lebih daripada satu
Imbas Maya titik.

Video GeoGebra mengenai ujian garis (d) y SAMPEL Fungsi
mencancang. Kerana garis
O mencancang
menyilang graf itu
x pada satu titik
sahaja.

2

BAB 1 Fungsi

CONTOH 3 CONTOH 5

Diberi set A = {3, 4, 8, 9} dan set B = {2, 3}. (a) Lakar graf bagi fungsi f (x) = 2x – 4 untuk
Fungsi f dari set A kepada set B ditakrifkan sebagai semua nilai nyata x.
‘faktor bagi’.
(a) Wakilkan fungsi f dalam bentuk pasangan (b) Seterusnya, lakar graf bagi f (x) = | 2x – 4 |
untuk semua nilai nyata x.
bertertib.
(b) Nyatakan jenis hubungan bagi fungsi f. Penyelesaian
(a) f (x) = 2x – 4 atau y = 2x – 4 ialah persamaan
Penyelesaian
(a) {(3, 3), (4, 2), (8, 2), (9, 3)} bagi satu garis lurus.

(b) Fungsi ini ialah hubungan banyak dengan satu. Kecerunan garis lurus = 2

Pintasan-y = –4
Garis lurus ini melalui titik (0, –4).

CONTOH 4 Apabila y = 0, 2x – 4 = 0
2x = 4
Satu fungsi diwakilkan dalam bentuk pasangan x=2
bertertib {(1, –3), (2, – 4), (3, –3), (4, 0), (5, 5)}.
(a) Wakilkan fungsi itu dalam bentuk graf. Garis lurus melalui titik (2, 0).
(b) Nyatakan jenis hubungan bagi fungsi itu.
Lakaran graf f (x) = 2x – 4: TINGKATAN 4

y

Penyelesaian y = 2x – 4
(a) y

5 x

4 O2 Bab
4
3 1

2

1 Graf ini terdiri daripada

0 12345 x titik sahaja. Ini ialah
–1 fungsi diskret.

–2 (b) f (x) = | 2x – 4 | ialah satu fungsi nilai mutlak.
Grafnya boleh diperoleh dengan memantulkan
–3 bahagian negatif graf f (x) = 2x – 4 pada
paksi-x.
–4
Lakaran graf f (x) = | 2x – 4 |:
(b) Fungsi ini ialah hubungan banyak dengan satu.
y
y = I 2x – 4 I

4

Input Ekstra O2 x

Apabila unsur dalam set pertama diperluaskan kepada Peringatan! SAMPEL
nombor nyata, iaitu semua nombor pada paksi-x, titik-
titik yang diplot itu akan menjadi satu lengkung licin | x | ialah modulus atau nilai mutlak bagi x dan bersamaan
seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. dengan magnitud x tanpa mengambil kira tandanya.

y |x| = x, apabila x у 0
y = x2 – 4x Graf ini ialah satu –x, apabila x Ͻ 0
lengkung licin. Ini ialah
Misalnya, | 5 | = 5, | –4.8 | = 4.8
O x fungsi selanjar.

Lengkung ini berbentuk parabola yang merupakan
sejenis graf fungsi yang anda pernah belajar dalam
Tingkatan 2. Persamaannya melibatkan kuasa dua
bagi sebutan x.

3

BAB 1 Fungsi

CONTOH 6 (c) Setiap unsur dalam kodomain yang telah
dipetakan oleh objek ialah imej.
Dengan merujuk kepada graf bagi y = 1 dalam
x (d) Set imej {3, 6, 9} ialah julat bagi fungsi f.
2. Domain dan julat bagi suatu fungsi dapat
CONTOH 2 (a), lakar graf bagi y = x 2 3.
– ditentukan daripada perwakilannya, sama ada
gambar rajah anak panah, pasangan bertertib
Penyelesaian atau graf, dan juga daripada persamaan fungsi
itu.
Graf bagi y = 1 terdiri daripada dua bahagian,
x Input Ekstra

satu bahagian pada sukuan I dan satu bahagian Pada umumnya, satu fungsi f ditakrifkan untuk nilai x
tertentu. Set nilai x dinamakan domain bagi f dan set
lagi pada sukuan III, yang tidak bersambung. nilai f (x) dinamakan julat bagi f.

Apabila x = 0, y = 1 Tidak tertakrif.
0

Graf itu terputus pada x = 0.

Untuk y = x 2 3 : CONTOH 7


Apabila x = 3, y = 2 3 = 2 Tidak tertakrif. Diberi bahawa set A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3},
3– 0 set B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan fungsi f
dari set A kepada set B ditakrifkan sebagai
Fungsi itu tidak tertakrif pada x = 3. f : x → x2. Tentukan domain dan julat bagi fungsi itu.

Graf bagi y = x 2 3 mempunyai bentuk yang sama Penyelesaian
– Domain = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}

dengan y = 1 tetapi terputus pada x= 3.
x
Diberi fungsi f : x → x2.
y f (–3) = (–3)2 = 9

y = –x –2 3 Graf y = 1 f (–2) = (–2)2 = 4 Input Ekstra
x
f (–1) = (–1)2 = 1
digerakkan 3 unit f (0) = 02 = 0 Dalam bentuk pasangan
f (1) = 12 = 1 bertertib, fungsi f ialah
ke kanan. f (2) = 22 = 4 {(–3, 9), (–2, 4), (–1, 1),
f (3) = 32 = 9 (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
O3 x

x=3 Maka, julat = {0, 1, 4, 9}

B. Domain dan julat bagi suatu fungsi Peringatan!

1. Rajah di bawah menunjukkan satu gambar • Fungsi f di atas ialah fungsi diskret dan wujud untuk
rajah anak panah bagi fungsi f : x → 3x. bilangan unsur yang terbilang sahaja.

AfB • Imej yang muncul lebih sekali hanya perlu ditulis sekali
sahaja dalam senarai set julat.

1 O ● 3 CONTOH 8
2 O O 6 Julat
3 O O 9 Diberi fungsi g : x → 2x2, dengan domain
–3 р x р 3 dan x ialah nombor nyata. Lakar graf
O 10 fungsi g dan tentukan julatnya.

Penyelesaian
Domain = {x : –3 р x р 3, x ialah nombor nyata}

Ini merupakan domain selanjar
yang mengandungi bilangan
unsur yang tak terhingga.
Domain Kodomain SAMPEL

(a) Set A = {1, 2, 3} dinamakan domain dan
setiap unsur dalam domain ialah satu
objek.

(b) Set B = {3, 6, 9, 10} dinamakan kodomain.

4

BAB 1 Fungsi

g(x) = 2x2 Gantikan nilai pada CONTOH 10
g(3) = 2(3)2 = 18 hujung selang domain,
g(–3) = 2(–3)2 = 18 iaitu x = 3 dan x = –3, Tentukan julat bagi fungsi f (x) = | 3x | untuk setiap
g(0) = 2(0)2 = 0 dan juga x = 0. domain berikut.
Lakaran graf: (a) {x : –3 р x р 2, x ialah integer}
g(x) (b) {x : –3 Ͻ x Ͻ 2, x ialah nombor nyata}

g(x) = 2x2 Penyelesaian
18 (a) Domain = {x : –3 р x р 2, x ialah integer}

= {–3, –2, –1, 0, 1, 2}

–3 O 3x Apabila x = –3, f (x) = | 3x |
Apabila x = –2, f (x) = | 3(–3) | = | –9 | = 9
Maka, julat bagi fungsi itu ialah Apabila x = –1, f (x) = | 3(–2) | = | –6 | = 6
{g(x) : 0 р g(x) р 18, g(x) ialah nombor nyata}. Apabila x = 0, f (x) = | 3(–1) | = | –3 | = 3
Apabila x = 1, f (x) = | 3(0) | = | 0 | = 0
Apabila x = 2, f (x) = | 3(1) | = | 3 | = 3
f (x) = | 3(2) | = | 6 | = 6

CONTOH 9 Julat bagi fungsi f ialah {0, 3, 6, 9} atau TINGKATAN 4
{f (x) : 0 р f (x) р 9, x ialah integer}.

f(x)

Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi 9

h(x) = 1 .
x2
6
h(x) Bab
Ini ialah satu

fungsi diskret. 1

h(x) = —x12– 3

Ox x
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3
Berdasarkan graf ini, nyatakan domain dan julat
bagi fungsi h. Nilai x adalah dari –3 hingga 2, tetapi
tidak termasuk titik-titik pada dua hujung.
Penyelesaian
(b) Domain = {x : –3 Ͻ x Ͻ 2, x ialah nombor
Fungsi h wujud untuk semua nilai nyata x kecuali nyata}
Berdasarkan (a), lakaran graf bagi fungsi itu
x = 0. adalah seperti yang ditunjukkan di bawah.

Apabila x = 0, h(x) = 1 = 1 Tidak tertakrif. f(x)
02 0 9

Setiap nilai x, selain daripada 0, dipadankan dengan 6 Ini ialah satu
satu nilai pada paksi-y. fungsi selanjar.

Maka, domain = {x : x ialah nombor nyata, x ≠ 0} 3

Setiap imej yang dihitung dengan h(x) = 1 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
x2
mempunyai nilai positif. Julat bagi fungsi f ialah {f (x) : 0 р f (x) Ͻ 9,
x ialah nombor nyata}.
Apabila nilai x mendekati 0 (x → 0), nilai h(x)
menjadi sangat besar. Nilai f(x) berada dalam selang 0 hingga 9,
termasuk 0 tetapi tidak termasuk 9.
Apabila nilai x menjadi sangat besar atau sangat SAMPEL

kecil, iaitu x mendekati ketakterhinggaan dalam

arah positif dan arah negatif (x → ±ϱ), h(x)
menjadi sangat kecil dan hampir sifar.

Maka, julat = {h(x) : h(x) ialah nombor nyata
positif lebih daripada 0}.

5

BAB 1 Fungsi CONTOH 13 x f(x)
4 k
Input Ekstra Gambar rajah anak 2 1
panah di sebelah
• –3 р x р 2 termasuk nilai pada dua hujung. menunjukkan fungsi –1 –9
Ini ditunjukkan dengan simbol ‘●’ pada dua hujung. f : x → ax + b.
Cari nilai k. …… ➊
• –3 Ͻ x Ͻ 2 tidak termasuk nilai pada dua hujung. …… ➋
Ini ditunjukkan dengan simbol ‘●’ pada dua hujung. Penyelesaian
f (x) = ax + b
• 0 р y Ͻ 9 termasuk 0 tetapi tidak termasuk 9.
Ini ditunjukkan seperti berikut.

Apabila x = –1, f (x) = –9

–a + b = –9

Apabila x = 2, f (x) = 1

2a + b = 1

C. Menentukan imej suatu fungsi apabila ➋ – ➊: 3a = 10
objek diberi dan sebaliknya
a = 10
3
CONTOH 11
10
Diberi fungsi f : x → 3x – 8, cari imej bagi 4. Gantikan a = 3 ke dalam ➊.

Penyelesaian Tulis f : x → y dalam bentuk f(x) = y – 10 + b = –9
f (x) = 3x – 8 supaya senang membuat pengiraan. 3

Apabila x = 4, f (4) = 3(4) – 8 b = – 17
= 12 – 8 3
=4
Maka, f (x) = 10 x – 17
3 3

Maka, imej bagi 4 ialah 4. Apabila x = 4, f (x) = k

Input Ekstra 10 (4) – 17 = k
3 3
‘Imej bagi 4 ialah 4’ juga bermaksud ‘4 dipetakan
kepada diri sendiri’. 23 = k
3

k = 7 2
3

CONTOH 12 CONTOH 14
Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi
Diberi fungsi g : x → | 5 – 3x |, cari objek yang f : x → | 6 – 3x | untuk domain –1 р x р 8.
mempunyai imej 10.
f(x)
Penyelesaian 18
g(x) = | 5 – 3x |
(–1, 9)
Imej = 10 ⇒ g(x) = 10

Maka, | 5 – 3x | = 10 SAMPEL

5 – 3x = 10 atau 5 – 3x = –10
3x = 15
3x = –5 x=5 O8 x

x = –1 2 Nyatakan
3 (a) objek bagi 18.
(b) imej bagi 4.
Maka, objek ialah –1 2 dan 5. (c) domain bagi 0 р f (x) р 9.
3

6

BAB 1 Fungsi

Penyelesaian 4. Gunakan ujian garis mencancang untuk
(a) Objek bagi 18 ialah 8.
f(x) menentukan sama ada setiap graf berikut ialah

(b) f (4) = | 6 – 3(4) | suatu fungsi atau bukan.
= | –6 |
18 (a) y (b) y

=6 x
O
(–1, 9)
(c) Apabila f (x) = 9,
Ox
| 6 – 3x | = 9

6 – 3x = 9 –1 O 2 5 8 x
3x = –3
(c) y (d) y
x = –1 (Telah diberi)

atau 6 – 3x = –9

3x = 15

x=5 Ox O x

Maka, domain ialah –1 р x р 5.

5. Diberi bahawa set A = {1, 2, 3, 4} dan

Praktis Formatif 1.1 set B ={0, 1 , 1 , 1 , 1}. Fungsi f dari set A TINGKATAN 4
4 3 2

1. Tentukan sama ada setiap hubungan berikut kepada set B ditakrifkan sebagai ‘salingan bagi’.
ialah suatu fungsi atau bukan. Terangkan
(a) Wakilkan fungsi f dalam bentuk pasangan

jawapan anda. bertertib.

(a) A B (b) A (b) Nyatakan julat bagi fungsi f. Bab

B (c) Nyatakan jenis hubungan bagi fungsi f. 1

pO eO p O O e 6. Satu fungsi diwakilkan dalam bentuk pasangan
qO qO bertertib {(–2, 9), (–1, 7), (0, 5), (1, 3), (2, 1)}.
fO rO fO (a) Nyatakan domain bagi fungsi itu.
rO gO O g (b) Nyatakan julat bagi fungsi itu.
sO (c) Wakilkan fungsi itu dalam bentuk graf.
O h

(c) A B (d) A B 7. Wakilkan fungsi {(0, 0), (1, 2), (2, 2), (3, 0),
(4, –4)} dalam bentuk graf. Seterusnya, nyatakan
pO eO O e (a) domain bagi fungsi itu.
qO fO p O fO (b) julat bagi fungsi itu.
rO gO q O O g (c) jenis hubungan bagi fungsi itu.
O h

2. Tentukan sama ada setiap graf berikut ialah

suatu fungsi atau bukan. Beri alasan untuk

jawapan anda. 8. (a) Lakar graf bagi y = x + 1 untuk semua nilai
nyata x.
(a) y (b) y
(b) Seterusnya, lakar graf bagi y = | x + 1 | untuk
48 semua nilai nyata x.

26 9. (a) Cari nilai bagi ungkapan | 2x – 1 | apabila

–2 0 x 4 x= –1, 0, 1 , 1, 2.
–2 24 2 2

(b) Nyatakan julat bagi fungsi diskret
SAMPEL
–4 –2 0 2 4x f:x → | 2x – 1| untuk domain {–1, 0, 1 ,
2

3. Tentukan sama ada setiap pasangan bertertib 1, 2}. Wakilkan fungsi itu dalam bentuk
berikut mewakili satu fungsi atau bukan. Beri
sebab untuk jawapan anda. graf.
(a) {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 5)}
(b) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3. 2), (4, 3)} (c) Nyatakan julat bagi fungsi selanjar

g : x → | 2x – 1 | untuk domain

{x : –1 р x р 2, x ialah nombor nyata}.

Wakilkan fungsi itu dalam bentuk graf.

7

BAB 1 Fungsi

10. Diberi bahawa fungsi f (x) = x 1 5. 17. Diberi bahawa fungsi g : x → 4x 9 12 , x ≠ k.
– –
Cari
(a) Cari imej bagi setiap objek berikut.
(a) nilai k.
(i) 0
(b) imej bagi
(ii) 3
(i) 6.
(iii) 5
3
(iv) 7 (ii) 4 .

(b) Lakar graf bagi fungsi f. (c) nilai x dengan keadaan h(x) = –3.

(c) Nyatakan domain dan julat bagi fungsi f.

11. Rajah di sebelah y 18. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi
f : x → | 8 – 2x | untuk domain h р x р 15.
menunjukkan graf
f(x)
bagi fungsi
k
f (x) = x 1 , –2 O x
– k

x ≠ k.

(a) Nyatakan nilai k.

(b) Seterusnya, cari (h, 12)

(i) imej apabila x = 0.

(ii) objek apabila f (x) = 5.

12. Diberi fungsi f : x → 4x – 7, cari nilai bagi setiap O x
yang berikut. 15

(a) f (–2) (a) Cari nilai h dan nilai k.
(b) Cari nilai x apabila f (x) = 0.
(b) f (5) (c) Nyatakan domain bagi 0 р f (x) р 12.

(c) f (2.5)

13. Diberi fungsi g : x → 7 – 2x – 3x2, cari nilai bagi 1.2 Fungsi Gubahan
setiap yang berikut.
A. Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi
(a) g(–1)

(b) g(0)

(c) g(3)

14. Diberi fungsi h : x → ax + b, h(2) = 5 dan 1. Dua fungsi, f dan g, boleh digabungkan untuk
h(5) = 14, cari membentuk fungsi gubahan.

(a) nilai a dan nilai b. 2. Jika x ialah objek bagi fungsi f, maka imejnya
ialah f(x). Seterusnya, jika f(x) ialah objek
(b) imej bagi –3. bagi fungsi g, hasilnya ialah fungsi gubahan
g[f(x)] atau gf(x).
15. Diberi fungsi f : x → | 4x – 7 |, cari
(a) imej bagi –2, 0 dan 3. fg g[f(x)]
x f(x)
(b) objek yang mempunyai imej 10.

(c) nilai x yang dipetakan kepada diri sendiri.

16. Gambar rajah anak panah di bawah menunjukkan gf(x)
fungsi f : x → ax + b.
3. Jika x ialah objek bagi fungsi g, maka imejnya
x f ax + b ialah g(x). Seterusnya, jika g(x) ialah objek
bagi fungsi f, hasilnya ialah fungsi gubahan
3k f[g(x)] atau fg(x).
SAMPEL
13 g f f[g(x)]
x g(x)
–2 –1

(a) Cari nilai a dan nilai b. fg(x)
(b) Seterusnya, cari nilai k.

8

BAB 1 Fungsi

4. Suatu fungsi f juga boleh digabungkan dengan Penyelesaian
(a) fg(x) = f [g(x)]
diri sendiri. Hasilnya ialah ff(x) dan biasanya
= f (b – 5x)
ditulis sebagai f2(x). = a(b – 5x) – 2
fg(x) = –5ax + ab – 2
ff f[f(x)]
x f(x)

Bandingkan dengan fg(x) = 10 – 15x.

f f(x) atau f 2(x) –5a = –15 Samakan pekali bagi
a=3 sebutan x.
5. Proses ini boleh diulangi lebih daripada dua
kali untuk mendapat f3(x), f4(x), … dan dan Samakan sebutan malar
seterusnya. ab – 2 = 10 dan gantikan a = 3.
3b – 2 = 10

B. Menentukan fungsi gubahan 3b = 12

b=4

CONTOH 15 (b) f (x) = 3x – 2 dan g(x) = 4 – 5x

Diberi bahawa f:x → 4x – 1 dan g : x→ x + 2. gf (x) = g[f (x)]
3 = g(3x – 2)
= 4 – 5(3x – 2)
Cari fungsi gubahan berikut dalam bentuk yang = 4 – 15x + 10
= 14 – 15x
sama. (c) f 2 TINGKATAN 4

(a) gf (b) fg

Penyelesaian Input Ekstra (c) g2(x) = g[g(x)]
(a) gf (x) = g[ f (x)] = g(4 – 5x)
= 4 – 5(4 – 5x)
= g(4x – 1) g(x) = x + 2 = 4 – 20 + 25x
3 = 25x – 16
= 4x – 1 + 2 Maka, untuk g(4x – 1), Bab
3
gantikan x dengan 4x – 1. 1
1
= 3 (4x + 5)

Maka, :x → 1 (4x + 5). CONTOH 17
3
gf 5
2x –
(b) fg(x) = f [g(x)] Diberi bahawa f:x → 4x dan g:x → 3,

= f ΂ x + 2΃ x≠ 3 . Cari
3 2

= 4΂ x + 2΃ – 1 (a) fg.
3
(b) gf.
4
= 3 x + 7 (c) nilai x apabila fg = gf.

Maka, :x 4 + 7. Penyelesaian
3
fg → x (a) fg(x) = f [g(x)]

(c) f 2(x) = ff (x) = f ΂ 2x 5 3΃

= f [ f (x)]
4΂ 5 3΃
= f (4x – 1) = 2x –

= 4(4x – 1) – 1 20 3
2x – 2
= 16x – 4 – 1 = 3 , x ≠

= 16x – 5 20 3
2x – 2
Maka, f 2 : x → 16x – 5. Maka, fg : x → 3, x ≠ .

(b) gf (x) = g[f (x)] SAMPEL

CONTOH 16 = g(4x)

Diberi bahawa f : x → ax – 2 dan g : x → b – 5x. = 5
Jika fg : x → 10 – 15x, cari 2(4x) – 3
(a) nilai a dan nilai b.
(b) gf. = 8x 5 3 , x ≠ 3
(c) g2. – 8

Maka, gf : x → 5 3, x ≠ 3 .
8x – 8

9

BAB 1 Fungsi

y Input Ekstra 9. Diberi g : x → x 2x , x ≠ 1 dan h : x → 2 – x,
13 –1
Apabila x = 0,
8 y = | 2 – 3(0) | cari nilai
= |2|
–2 O 32– =2 (a) gh(0). (b) hg(–1).

Graf itu menyilang paksi-y 10. Diberi bahawa f:x → x k 2, x ≠ 2 dan
pada y = 2. –

5x g : x → x + 3. Jika fg(4) = 1, cari

(a) nilai pemalar k. (c) f 2(0).

Julat bagi y ialah 0 р y р 13. (b) gf(4).

11. Diberi bahawa g : x → mx + 2 dan

h:x → x 2x , x ≠ 3. Jika hg tidak tertakrif
–3
Praktis Formatif 1.2
apabila = 1 , cari
x 4

1. Diberi bahawa f : x → 2x dan g : x → 3x – 2. (a) nilai m.

Cari fungsi gubahan berikut dalam bentuk yang (b) nilai x apabila gh(x) = 0.

sama. (c) f 2 (d) g2 9
+
(a) fg (b) gf 12. Diberi bahawa f : x → 4x – 3, g : x → ax b , TINGKATAN 4

2. Diberi g(x) = 5 – 3x2 dan h(x) = 1 (x + 1), x ≠ k dan fg(3) = 0.
2
(a) Ungkapkan b dalam sebutan a.

cari setiap yang berikut. (b) Jika gf (x) tidak tertakrif apabila x = 0, cari

(a) gh (b) hg (c) g2 (d) h2 nilai k. Bab

3. Diberi bahawa f : x → ax – 1 dan g : x → b – 2x. 13. Diberi f : x → x dan fg : x → 1 (2 – 5x), cari 1
3 3
Jika fg : x → 20 – 6x, cari
fungsi g.
(a) nilai a dan nilai b.
(b) f 2.
(c) gf. 14. Diberi g : x → x – 5 dan fg : x → 3x + 7, cari
fungsi f.
4. Diberi h:x → ax + b dan h2 : x → 4 x – 5 .
9 6
15. Diberi h : x → 2x + 1 dan gh : x → 4x2 – 5, cari
Cari nilai-nilai yang mungkin bagi a dan b. fungsi g.

5. Diberi bahawa f : x → 3 – 4x dan Fungsi ditakrifkan sebagai : 1 + x, 1.
1 – x
g : x → 1 x + 2. Cari 16. f f x → x ≠
2
(a) Cari f 2, f 3 dan f 4.
(a) fungsi fg dan nilai x dengan keadaan fg (b) Seterusnya, deduksikan f 41.

memetakan x kepada diri sendiri.

(b) fungsi gf dan nilai x dengan keadaan gf 17. Fungsi g ditakrifkan sebagai g:x → x 1,
+
memetakan x kepada diri sendiri. x

6. Diberi bahawa g : x → x + 3 dan h : x → x2 – 2. x ≠ –1.

(a) Cari (a) Tunjukkan bahawa g2 : x → 2x x 1,
+
(i) gh. (ii) hg.
x ≠ – 1 .
(b) Seterusnya, cari nilai x dengan keadaan 2

gh = hg. (b) Cari g3 dan g4.

x (c) Seterusnya, deduksikan gn untuk n = 1, 2, 3,SAMPEL

7. Diberi f : x → x + 4 dan g : x → x 2, x ≠ 2. ….

Cari 18. Diberi bahawa f : x → 2x – 1 dan g : x → 3x ,

(a) fg. (b) gf. x 1

(c) nilai x dengan keadaan fg(x) = 0. x ≠ 1.

8. Diberi f : x → 2x2 dan g : x → 3 – 2x, cari nilai (a) Cari nilai x dengan keadaan fg = gf.

(a) fg(–2). (b) gf (–2). (b) Lakar graf bagi y = | 2x – 1 | untuk

–2 р x р 5. Nyatakan julat bagi y.

13

BAB 1 Fungsi CONTOH 27

1.3 Fungsi Songsang Tentukan sama ada setiap fungsi berikut
tidak.
A. Memerihalkan songsangan suatu fungsi mempunyai fungsi songsang atau

1. Suatu fungsi f ialah satu padanan atau Terangkan jawapan anda.
pemetaan daripada set A kepada set B.
Jika x ʦ A dan y ʦ B, maka f : x → y. (a) y (b) y

2. Apabila pemetaan itu disongsangkan, iaitu Ox
daripada set B kepada set A, hasilnya tidak
semestinya suatu fungsi. Ox

3. Jika hasilnya merupakan suatu fungsi, maka Penyelesaian
fungsi songsang untuk fungsi f itu wujud. (a) y

4. Hanya fungsi satu dengan satu mempunyai Gerakkan garis
fungsi songsang. mengufuk ini ke atas
dan ke bawah.
5. Ujian garis mengufuk digunakan untuk
menentukan sama ada suatu fungsi ialah Ox
hubungan satu dengan satu atau hubungan
banyak dengan satu. Lukis garis mengufuk Garis mengufuk menyilang graf itu pada lebih
merentasi satah suatu graf. Gerakkan garis daripada satu titik. Fungsi ini merupakan
mengufuk itu ke atas dan ke bawah jika hubungan banyak dengan satu.
perlu. Maka, fungsi ini tidak mempunyai fungsi
(a) Jika terdapat hanya satu titik persilangan, songsang.
maka fungsi itu ialah hubungan satu
dengan satu dan mempunyai fungsi (b) y Garis mengufuk
songsang. menyilang graf itu
(b) Jika terdapat lebih daripada satu titik
persilangan, maka fungsi itu ialah pada satu titik sahaja.
hubungan banyak dengan satu dan tidak
mempunyai fungsi songsang. O x Fungsi ini merupakan
hubungan satu dengan

satu.

Maka, fungsi ini mempunyai fungsi songsang.

B. Sifat-sifat fungsi songsang
1. Peta pokok berikut menerangkan jenis fungsi dan kewujudan fungsi songsangannya.

Songsangan

A B AB

O O OO
O O
O O O O Fungsi

A B OO

O O AB
O O
O O O O Bukan
O O
A SAMPEL O
B O O fungsi
O
O O O
O
O AB
A
B O O Bukan
O O
O O O O fungsi
O O
O AB

O O Bukan
O O
O O fungsi

14

BAB 1 Fungsi

2. Perhatikan peta pokok di sebelah. Apabila (b) f –1(3) = 1 (3 + 7)
arah anak panah diterbalikkan dalam 5
songsangan setiap fungsi, hanya fungsi satu
dengan satu yang melibatkan semua unsur = 1 (10)
dalam set kedua memuaskan takrifan fungsi. 5

3. Maka, hanya fungsi satu dengan satu, f, =2
mempunyai fungsi songsang, f–1.
CONTOH 29
4. Sifat-sifat fungsi songsang:
(a) Domain bagi f(x) ialah julat bagi f–1(x). Diberi fungsi g : x → 3x + 1 , x ≠ 5 , cari g–1(x).
Julat bagi f(x) ialah domain bagi f–1(x). 2x – 5 2
(b) Graf bagi y = f–1(x) adalah pantulan graf
bagi y = f(x) pada garis y = x. Bentuk Penyelesaian
kedua-dua graf itu sama.
(c) Jika titik (h, k) terletak pada graf y = f(x), Kaedah 1
maka titik (k, h) terletak pada graf Katakan g(x) = y, maka x = g–1(y).
y = f–1(x).
y = 3x +1
C. Menentukan fungsi songsang 2x –5

Diberi fungsi f : x → y, fungsi songsangnya ditulis y(2x – 5) = 3x + 1
sebagai f–1 dan f–1 : y → x.
2xy – 5y = 3x + 1 TINGKATAN 4
Jika f(x) = y
maka, x = f–1(y) 2xy – 3x = 5y + 1
x(2y – 3) = 5y + 1

x = 5y +1
2y –3

Maka, g–1(y) = 5y + 1 Bab
2y – 3
1
g–1(x) 5x + 1 3
Jadi, = 2x – 3 , x ≠ 2

CONTOH 28

Diberi fungsi f : x → 5x – 7, cari Kaedah 2
(a) f –1(x).
(b) f –1(3). Katakan g–1(x) = y

Maka, x = g(y)

Penyelesaian x = 3y +1
(a) f (x) = 5x – 7 2y –5

2xy – 5x = 3y + 1

Kaedah 1 2xy – 3y = 5x + 1
Katakan f (x) = y, maka x = f –1(y).
y(2x – 3) = 5x + 1

y = 5x – 7 y = 5x +1
2x –3
5x = y + 7
5x + 1 3
x = 1 (y + 7) Jadikan x sebagai perkara rumus. Maka, g–1(x) = 2x – 3 , x ≠ 2
5

Maka, f –1(y) = 1 (y + 7)
5

Jadi, f –1(x) = 1 (x + 7) Gantikan y dengan x. CONTOH 30
5 Diberi fungsi f : x → 7 – 4x, cari nilai f –1(19).

Kaedah 2 Penyelesaian SAMPEL

Katakan f –1(x) = y Katakan y = f –1(19)

Maka, x = f (y) Maka, f (y) = 19

x = 5y – 7 Diberi f(x) = 5x – 7. 7 – 4y = 19 Cari objek bagi imej 19.
–4y = 12 Tidak perlu cari f –1(x).
5y = x + 7

y = 1 (x + 7) y = –3
5

Jadi, f –1(x) = 1 (x + 7) Jadi, f –1(19) = –3
5

15

BAB 1 Fungsi

PROJEK MINI

Sediakan folio berjudul ‘Lengkung Biasa dalam Matematik’.

Sasaran: Mengenal pasti lebih kurang 20 jenis lengkung
Tugasan: Untuk setiap jenis lengkung:

(a) Huraikan lengkung dengan persamaannya.
(b) Lakar graf.
(c) Nyatakan sifatnya seperti

(i) sama ada graf itu mewakili suatu fungsi atau tidak,
(ii) pelbagai bentuk grafnya,
(iii) sejarahnya, dan sebagainya.

Semasa di Tingkatan dua, anda telah mempelajari lima jenis graf berikut:
2. Kuadratik, y = ax2 + bx + c 3. Kubik, y = ax3 + bx2 + cx + d
1. Linear, y = mx + c

4. Salingan, y = a 5. Salingan bagi kuadratik, y = a y
x x2

Cuba anda kaji beberapa jenis graf yang belum pernah anda pelajari. 2 x2 + y2 = 4

Sebagai contoh: Bulatan
• Persamaan: x2 + y2 = r2
• Bentuk lengkung ditunjukkan dalam rajah di sebelah. –2 O 2x

• Graf ini tidak mewakili satu fungsi kerana gagal dalam ujian

garis mencancang. –2

Lengkung lain yang dicadangkan:

Ellipse, asteroid, nephroid, cissoids, leminscate, cardioid, folium of Descartes, …

Anda mungkin perlu menggunakan perisian semasa melukis graf untuk membantu anda. Terdapat banyak
perisian percuma yang boleh dimuat turun.
Satu daripadanya ialah Graph Calc (http://www.graphcalc.com/download.shtml).
Pautan untuk ujian garis mencancang dan ujian garis mengufuk dengan menggunakan GeoGebra terdapat
di https://www.geogebra.org/download?lang=en.

PRAKTIS FOKUS SPM Penyelesaian
Lengkap

KERTAS 1 2. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi
f : x → | 2 – 3x | untuk domain –3 р x р 5.
1. Rajah di bawah menunjukkan hubungan antara
set P, set Q dan set R. f (x)
13
P (–3, 11)

gh : x → x2 – 4x – 1 Q O 5x

R Nyatakan
(a) objek bagi 13.
(b) imej bagi 4.
(c) domain bagi 0 р f (x) р 11.
Diberi bahawa set P dipetakan kepada set Q oleh SAMPEL

fungsi x–2 dan dipetakan kepada set R oleh
3
gh : x → x2 – 4x – 1.

(a) Tulis fungsi yang memetakan set P kepada

set Q dengan menggunakan tatatanda fungsi.

(b) Cari fungsi yang memetakan set Q kepada

set R.

20

3. Diberi fungsi h : x → 3x – 10, cari BAB 1 Fungsi
(a) h–1(x).
x f(x)
10

΂ ΃(b) h2 2k
nilai k dengan keadaan 5 = 32.

4. Diberi fungsi f : x → 5x – 6, cari 44
(a) nilai x apabila f (x) memetakan kepada diri 3

sendiri. (a) Cari nilai a dan nilai b.
(b) Nyatakan nilai k.
(b) nilai m dengan keadaan f (4 – m) = 2m. (c) Cari f –1(1).

5. (a) Diberi bahawa fungsi f : x → ax + 7, 11. (a) Diberi f : x → 2x – 9 dan g : x → ax + b,
g : x → 5x – 1 dan fg : x → 5ax + b. dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Jika
Ungkapkan a dalam sebutan b.
fg(2) = 5, ungkapkan a dalam sebutan b.
(b) Rajah di bawah menunjukkan fungsi
f : x → x – 3c, dengan keadaan c ialah (b) Diberi fungsi f : x → mx + n, dengan keadaan
pemalar. m dan n ialah pemalar dan m Ͼ 0. Jika
f 2 : x → 64x – 27, cari nilai m dan nilai n.
x f x – 3c
12. Fungsi g dan fungsi h ditakrifkan sebagai: TINGKATAN 4
3 O O 12
g : x → mx + 4 dan h : x → nx – 7
Cari nilai c. (a) Jika gh = hg, ungkapkan m dalam sebutan n. Bab
(b) Diberi m = 5, cari nilai n.
6. Diberi bahawa fungsi h : x → 4x + 3 dan (c) Seterusnya, cari nilai x dengan keadaan 1
gh : x → 16x2 + 8x – 6. Cari
(a) h–1(x). h2 = h.
(b) g(x).
13. Diberi fungsi f : x → ax + b, dengan keadaan a
7. Rajah di bawah menunjukkan fungsi gubahan hg KBAT dan b ialah pemalar, memetakan set A kepada
yang memetakan p kepada r.
set B. Dua set itu diwakili oleh dua garis nombor
hg selari dan sebahagian daripada gambar rajah
anak panah ditunjukkan dalam rajah di bawah.

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A

pO qO Or f

Nyatakan B
(a) fungsi yang memetakan p kepada q. –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(b) h–1(r).
(a) Cari nilai a dan nilai b.
(b) Cari objek dan imej bagi anak panah yang

paling pendek.

8. (a) Diberi fungsi f (x) = 4x dan g(x) = a – bx, 14. Lakar graf bagi setiap fungsi berikut untuk
KBAT domain –5 р x р 5. Seterusnya, nyatakan julat
dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
bagi setiap fungsi itu.
Ungkapkan a dalam sebutan b dengan (a) f (x) = | x |
(b) h(x) = | x | + 2
keadaan gf (3) = 8.
15. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi
(b) Diberi f : x → 4x + 7 dan g : x → 3x – 5.
Cari gf (x).

f (x) = | 3x – 7 | untuk domain 0 р x р 6.
SAMPEL
9. Diberi fungsi f : x → 2x – 7, cari y Cari
(a) f (5). (a) nilai k dan nilai c.
(b) nilai k dengan keadaan 4f –1(k) = f (5).
y = f(x) (b) julat yang sepadan

dengan domain

10. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian c yang diberi.

daripada fungsi f : x → 20 , x ≠ k, dengan
ax + b
6x
keadaan a, b dan k ialah pemalar. Ok

21

BAB 1 Fungsi

16. Fungsi f dan g ditakrifkan sebagai f : x → 5 – 3x 3. Diberi bahawa f:x → 10 2, x ≠ –2 dan
+
dan g : x→ 5 , x ≠ 0. x
x
g : x → 3x – 4.

(a) Cari setiap yang berikut. (a) Cari setiap yang berikut. (iii) (g2)–1
(ii) g2
(i) f –1 (ii) g–1 (i) fg

(iii) gf (iv) gf –1 (b) Jika g(k) = k,

(b) Cari nilai x dengan keadaan gf = gf –1. (i) cari nilai k.
(ii) deduksikan g7(k).

17. Fungsi h ditakrifkan sebagai h:x → 3 – x, Diberi bahawa fungsi h : x → x– 1 , k.
2 + x 2x – 1
x ≠ –2. Cari h–1(x) dan seterusnya h–1(1). 4. x ≠

(a) Nyatakan nilai k.

Diberi bahawa fungsi f:x→ 2 3, 3 dan (b) Cari setiap fungsi berikut dalam bentuk

18. x x ≠ yang sama.

fungsi gubahan : 4 2, 2 . Cari (i) h2 (ii) h3 (iii) h4
x2 – (c) Seterusnya, deduksikan h17(x).
fg x → x ≠ ±

(a) g. (b) gf. (d) Cari h–1(5).

19. Diberi bahawa fungsi g : x → x 4 2, x ≠ –2 dan 5. Diberi fungsi f : x → | 2x + c |, dengan keadaan
+ KBAT c ialah pemalar.

fungsi gubahan fg : x → x – 10 , x ≠ –2. Cari (a) Jika f memetakan 5 kepada diri sendiri, cari
x +2 nilai-nilai yang mungkin bagi c.

(a) f. (b) Pada rajah yang berasingan, lakar graf
bagi fungsi f apabila c mengambil nilai-
(b) gf. nilai yang mungkin dalam (a) untuk domain
0 р x р 15.
KERTAS 2
(c) Nyatakan julat bagi setiap fungsi itu.

1. Diberi bahawa f : x → 1 x + 1 dan g : x→3 – 4x. Fungsi ditakrifkan sebagai f:x p ,
2 + q
6. f → 3x
(a) Cari
x ≠ k, dengan keadaan p, q dan k ialah pemalar.
(i) g(6).
(a) Diberi f (4) = 2 dan f (–1) = –4, cari nilai p
(ii) nilai p jika f (p – 3) = 1 g(7).
5 dan nilai q.

(iii) gf (x). (b) Nyatakan nilai k.
(c) Cari f –1 dalam bentuk yang sama dan
(b) Seterusnya, lakar graf bagi y = | gf (x) | untuk seterusnya cari f –1(5).

domain –2 р x р 5. Nyatakan julat bagi y.

2. Dalam rajah di bawah, fungsi f memetakan set P 7. Diberi bahawa f : x → 4x – 3 dan g : x → x + 5.
kepada set Q dan fungsi g memetakan set Q 3
kepada set R.
Cari
(a) f –1(x).
fg (b) f –1g(x).
PQR
(c) h(x) dengan keadaan hg(x) = 3x + 8.

x 5 – 2x 4x2 – 20x + 20

8. Diberi bahawa fungsi f : x → x – 1, x ≠ 0.
x
(a) Cari, dalam sebutan x, fungsi KBAT (a) Cari f –1(–5).
(i) yang memetakan set Q kepada set P. (b) Cari f 2(x), f 3(x) dan f 25(x).SAMPEL
(ii) g(x). (c) Deduksikan f 3n – 2(x), dengan keadaan

(b) Cari nilai x dengan keadaan fg(x) = 3x – 2x2. n ialah integer positif.

22

BAB 1 Sukatan Membulat

BAB 1 SUKATAN MEMBULAT

1.1 Radian θ = s radian
j

Perkaitan antara ukuran sudut dalam radian Singkatan untuk ‘θ radian’ ialah θ rad.
dan darjah ‘θ radian’ kadang-kadang ditulis sebagai θ c.
5. Berdasarkan definisi, 1 radian ialah ukuran
1. Suatu sudut θ ialah putaran garis tembereng
OB atau jejari OB daripada garis tembereng OA sudut yang tercangkum di pusat sebuah
atau jejari OA pada pusat O.
bulatan oleh lengkok yang sama panjang
B
dengan jejari bulatan itu.

B Oθ A j
A 1 rad.
Oθ Oj

2. Putaran ini diukur dalam darjah (°), minit (Ј) 6. Lengkok bagi satu putaran lengkap ialah lilitan
dan saat (Љ).
1 minit (1Ј) = 60 saat (60Љ) bulatan. Maka, sudut bagi satu putaran
1 darjah (1°) = 60 minit (60Ј)
lengkap dalam radian ialah
3. Sudut bagi satu putaran lengkap ialah 360°.
θ = Lilitan bulatan
360° Jejari bulatan
O
= 2πj TINGKATAN 5
j

= 2π rad.

7. Maka, hubungan antara unit darjah dan radian

ialah

1 putaran lengkap = 360° Bab
= 2π rad.
1
atau
Input Ekstra
180° = π rad.
Penggunaan sistem penghitungan berasas 60 ini
bermula sejak tamadun Babylon purba.

4. Apabila θ ialah sudut yang dicangkum oleh Input Ekstra
suatu lengkok AB pada pusat O bagi sebuah
bulatan berjejari j, saiz sudut θ berkadaran ΂ ΃Tukar darjah kepada radian: θ° = θ × π rad.
dengan panjang lengkok, s. 180

B ΂ ΃Tukar radian kepada darjah: θ rad. = θ × 180 °
π
s SAMPEL

θ A
Oj
Imbas Maya

Berdasarkan sifat ini, ukuran radian bagi sudut Video mengenai sukatan sudut dalam
θ ditakrikan sebagai nisbah panjang lengkok, s darjah dan radian.
kepada jejari, j.

195

BAB 1 Sukatan Membulat

CONTOH 1 Peringatan!

Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian. Nilai setara bagi darjah dan radian untuk sudut-sudut
yang selalu digunakan:
(a) 76° (b) 137° 38Ј

Penyelesaian Darjah 0° 30° 45° 60° 90°
Radian
(a) 76° = 76° × π Betul kepada empat 0 π π π π
180° tempat perpuluhan. 6 4 3 2
= 1.3265 rad.

(b) 137° 38Ј = 137° 38Ј × π
180°
= 2.4022 rad. Praktis Formatif 1.1

CONTOH 2 1. Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian.

(a) 31° (b) 127.3°

Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah dan (c) 296° 42Ј (d) 138° 6Ј

minit.

(a) 0.73 rad. (b) 4.208 rad. 2. Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah dan

Penyelesaian minit.

180° (a) 0.7 rad. (b) 1.83 rad.
π
(a) 0.73 rad. = 0.73 × (c) 2.36 rad. (d) 4.522 rad.

= 41° 50Ј 3. Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian

(b) 4.208 rad. = 4.208 × 180° dalam sebutan π.
π
= 241° 6Ј (a) 27° (b) 120°

(c) 225° (d) 480°

CONTOH 3 4. Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah.
5 1
Tukarkan setiap sudut berikut kepada radian dalam (a) 6 π rad. (b) 3 3 π rad.

sebutan π. (c) 1 2 π rad. (d) 13 π rad.
5 15
(a) 75° (b) 135°

Penyelesaian

(a) 75° = 75° × π 1.2 Panjang Lengkok Suatu
180° Bulatan
5
= 12 π rad. A. Panjang lengkok, jejari dan sudut
tercangkum di pusat bulatan
(b) 135° = 135° × π
180° Q
3
= 4 π rad.

CONTOH 4 O θ rad. s
j
Tukarkan setiap sudut berikut kepada darjah. P

(a) 4 π rad. (b) 1 3 π rad. Daripada definisi radian, panjang lengkok, s, suatu
9 4 bulatan diberi oleh

s = jθ

dengan keadaan
s = Panjang lengkok
j = Jejari bulatan
θ = Sudut, dalam radian, yang dicangkum oleh

lengkok pada pusat bulatan

196
Penyelesaian SAMPEL

(a) 4 π rad. = 4 π × 180°
9 9 π

= 80°

(b) 1 3 π rad. = 7π × 180°
4 4 π

= 315°

4. Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi sebuah BAB 1 Sukatan Membulat
taman. ABC ialah semibulatan berpusat O dan
berjejari 9 m. DAE ialah sektor bulatan berpusat D 5. Rajah di bawah menunjukkan dua roda logam
dan berjejari 15 m. terdapat di dalam sebuah mesin. Pusat bagi
dua roda itu masing-masing ialah A dan B, dan
E jejarinya masing-masing ialah 6 cm dan 9 cm.
Roda itu bersentuh antara satu sama lain di titik
B P. Garis lurus CD ialah tangen kepada kedua-
dua bulatan itu di titik C dan titik D.

A O DC A PB
6 cm θ
Sektor AOB ialah halaman terbuka. Kawasan 9 cm
berwarna ialah tapak bunga yang perlu
dipagarkan. Hitung CD
(a) ∠AOB dalam radian.
(b) luas, dalam m2, halaman terbuka itu. [Guna θ = 3.142]
(c) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan (a) Diberi ∠PBD = θ radian, cari nilai θ.
(b) Hitung perimeter, dalam cm, kawasan
untuk memagari kawasan tapak bunga.
(d) luas, dalam m2, kawasan tapak bunga. berwarna.
(c) Hitung luas, dalam cm2, kawasan berwarna.

PROJEK MINI

Tajuk: Sukatan Membulat dibandingkan dengan unit sukatan sudut lain TINGKATAN 5

Bahagian I: Darjah, Radian dan ‘Grade’ Bab

Selain daripada darjah dan radian, satu lagi unit pernah diperkenalkan untuk menyukat sudut, iaitu ‘Grade’. 1
Kalkulator anda ada ‘mode Gra’ selain daripada ‘mode Deg’ dan ‘mode Rad’.

Grade diperkenalkan sebab
(a) darjah berasaskan 60°, dan
(b) radian dikaitkan dengan π, satu pemalar bukan nombor nisbah.

Grade cuba memudahkan keadaan dengan menetapkan 1 sudut tegak = 100 grade. Tetapi ia tidak menjadi
popular. Sebenarnya, ia satu kegagalan.

Cuba jawab soalan seperti:
• Siapakah yang memperkenalkan ‘Grade’?
• Bila?
• Mengapa ia gagal?

Bahagian II: Penggunaan darjah dan radian dalam pelbagai bidang

Setengah profesion atau bidang pekerjaan lebih mementingkan satu daripada unit sukatan sudut ini. Di
antara sebabnya ialah faktor sejarah dan kemudahan pengiraan. Cuba meneliti pelbagai profesion dan bidang
pekerjaan untuk menentukan kesukaan mereka masing-masing.
SAMPEL
Kajian anda harus meliputi, di antara yang lain:

• Bidang sains • Bidang kejuruteraan • Pelayaran (kapal laut dan kapal terbang)
• Juru ukur tanah • Kartografi • Astronomi, …

207

BAB 1 Sukatan Membulat

PRAKTIS FOKUS SPM Penyelesaian
Lengkap

KERTAS 1 5. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat O.
Lengkok minor mencangkum sudut 1.2 radian
1. Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB di pusat bulatan itu. Luas sektor major OPQ
berpusat O. Seutas dawai dengan panjang 15.8 cm ialah 43.6 cm2.
telah digunakan untuk membentuk sektor itu.
P
B

θ A O 1.2 rad.
O Q

Diberi panjang lengkok AB ialah 6.4 cm. Hitung Cari jejari, dalam cm, bulatan itu.
6. Rajah di bawah menunjukkan sektor major
nilai θ dalam radian.
OABC berpusat O dan berjejari 6.8 cm.
2. Rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat O.

M

O A O B
θ
4.8 rad.
C
N
Diberi perimeter sektor major OABC ialah
[Guna π = 3.142] 52.36 cm. Cari nilai θ dalam radian.
Diberi panjang lengkok minor ialah 18 cm. Cari
jejari, dalam cm, bulatan itu. 7. Rajah di bawah menunjukkan sepotong kek
dengan keratan rentas seragam OPQ, yang
3. Rajah di bawah menunjukkan sektor AOB merupakan sektor bulatan berpusat O dan
berpusat O dan berjejari j cm. Panjang lengkok berjejari 6 cm. Tinggi kek itu ialah 4 cm dan
AB ialah (j + 4) cm. ∠POQ = 30°.

A O
P 6 cm 30° 4 cm
( j + 4) cm
Q
O j cm B
Cari isi padu, dalam cm3, kek itu.
Diberi perimeter sektor itu ialah 40 cm. Cari
(a) nilai j. 8. Rajah di bawah menunjukkan semibulatan ABC.
(b) sudut, dalam radian, yang dicangkum oleh Lengkok AB mencangkum sudut θ di pusat O.
SAMPEL
lengkok AB di O. B

4. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor, AOB A θ C
dan COD, dengan pusat sepunya O. AOD dan O
BOC ialah garis lurus.
Diberi panjang lengkok BC adalah sama dengan
A
C perimeter sektor OAB. Cari nilai θ dalam darjah
dan minit.
O 0.7 rad. 10.5 cm
DB

Diberi AO : OD = 3 : 2, hitung
(a) panjang, dalam cm, OC.
(b) perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu.

208

KERTAS MODEL SPM Penyelesaian
Lengkap

PAPER 1 Two hours

This question paper consists of 15 questions. Answer all the questions in Section A and any two questions
from Section B. Show your working. It may help you to get marks. The marks allocated for each question
and sub-part of a question are shown in brackets. You may use a scientific calculator.

Kertas peperiksaan ini mengandungi 15 soalan. Jawab semua soalan dalam Bahagian A dan mana-mana

dua soalan daripada Bahagian B. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh

membantu anda untuk mendapatkan markah. Markah yang diperuntukkan bagi setiap soalan dan ceraian

soalan ditunjukkan dalam kurungan. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik.

Section A
Bahagian A

[64 marks/64 markah]

Answer all the questions in this section.
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

1. y B (a) Use a suitable test to determine whether the graph in Diagram 1
is a function. Explain your answers.
2
Gunakan satu ujian yang sesuai untuk menentukan sama ada

x graf dalam Rajah 1 ialah satu fungsi. Jelaskan jawapan anda.
8
–2 O 1 4 [1 mark/1 markah]

(b) State the range of the graph if the domain is –2 ഛ x ഛ 8.

A –2 Nyatakan julat bagi graf itu jika domainnya ialah –2 ഛ x ഛ 8.

[1 mark/1 markah]

Diagram 1
Rajah 1

(c) Write an inverse function of the equation of the straight line AB for the domain –2 ഛ x ഛ 4.
Tulis fungsi songsang bagi persamaan garis lurus AB untuk domain –2 ഛ x ഛ 4.
[3 marks/3 markah]

Answer/Jawapan:

347 SAMPEL

JAWAPAN

TINGKATAN 4 8. (a) y 12. (a) –15
(b) 13

BAB 1: Fungsi y=x+1 (c) 3
x
Praktis Formatif 1.1 1 13. (a) 6
–1 O (b) 7
1. (a) Bukan fungsi. Unsur p dan
(c) –26
unsur r dipadankan dengan lebih
14. (a) a = 3, b = –1
daripada satu unsur dalam set B. (b) –10

(b) Fungsi. Setiap unsur dalam set A 15. (a) 15, 7, 5

dipadankan dengan satu unsur (b) y 1 3
4 4
dalam set B. (b) 4 , –

(c) Fungsi. Setiap unsur dalam set A y = |x + 1| 1 2
x 3 5
dipadankan dengan satu unsur 1 (c) 2 , 1

dalam set B. –1 O

(d) Bukan fungsi. Unsur p dipadankan 9. (a) 3, 1, 0, 1, 3 16. (a) a = –2, b = 5 (b) k = 9
(b) y
dengan lebih daripada satu unsur 3 17. (a) k = 3

dalam set B. (b) (i) 3
4
2. (a) Bukan fungsi. Unsur 2 dalam JAWAPANSAMPEL

domain dipadankan dengan (ii) –1

lebih daripada satu unsur dalam (c) x = 2 1
4
kodomain. 2

(b) Fungsi. Hubungan satu dengan satu 18. (a) h = –2, k = 22
(b) x = 4
3. (a) Fungsi. Hubungan banyak 1 (c) –2 р x р 10 atau setara

dengan satu x Tingkatan

(b) Bukan fungsi. Unsur 1 –1 0 1 2 4

dipadankan dengan dua unsur. Julat = {3, 1, 0, 1, 3} Praktis Formatif 1.2
(c) y
4. (a) Bukan fungsi 1. (a) fg(x) = 6x – 4

(b) Fungsi 3 (b) gf (x) = 6x – 2
(c) f 2(x) = 4x
(c) Bukan fungsi (d) g2(x) = 9x – 8

(d) Bukan fungsi 2 1
4
Ά ·΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃5. 1 1 1 (a) gh(x) = (17 – 3x – 3x2)
(a) {1, 1}, 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 2.

Ά ·(b) Julat =1, 1 , 1 , 1 1 (b) hg(x) = 3 (2 – x2)
2 3 4 2
(c) Hubungan satu dengan satu x
–1 0 1 2 (c) g2(x) = 90x2 – 27x4 – 70
6. (a) Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}
Julat = {g(x) : 0 р g(x) р 3, (d) h2(x) = 1 (x + 3)
(b) Julat = {9, 7, 5, 3, 1} 4
g(x) ialah nombor nyata}
(c) y
10. (a) (i) – 1 3. (a) a = 3, b = 7
5 (b) f 2(x) = 9x – 4
8
6 (ii) – 1 (c) gf (x) = 9 – 6x
4 2
2 4. a= 2 , b = – 1 ; a = – 2 , b = – 5
–2 –1 0 1 2 x (iii) tidak tertakrif 3 2 3 2
7. y
(iv) 1 5. (a) fg(x) = –2x – 5, x = – 5
2 3
(b) y
(b) gf (x) = 7 – 2x, x = 7
y= 1 2 6
x–5
6. (a) (i) gh(x) = x2 + 1

x (ii) hg(x) = x2 + 6x + 7

O5 (b) x = –1

2 7. (a) fg(x) = 5x – 8 ; x≠ 2
x–2
0 1234 x
–2 (c) Domain = {x : x ialah nombor (b) gf (x) = x +4 , x≠ –2
x +2
–4 nyata, x ≠ 5}
8
Julat = {f (x) : f (x) ialah nombor (c) x= 5

nyata, f (x) ≠ 0} 8. (a) 98

11. (a) k = 2

(b) (i) 1 (b) –13
2
(a) Domain = {0, 1, 2, 3, – 4} 9. (a) 4
(b) Julat = {0, 2, 4} (ii) – 1 4 (b) 1
(c) Hubungan banyak dengan satu 5
10. (a) k = 5

367

Rujukan Komprehensif dan Efektif tNkeeorpktaeinrdliuayanannPSgrPamkMteims enuhi

Matematik KKkooBnnAtsTeedkpastpnueiam-Tl HmbIeNellaKajlaurian
Reka Bentuk
SPMTambahan tbreernwdaprnaali-nwgakrninii, segar,

Tingkatan 4&5 KSSM Kata kunci dan tebal
isi penting bercetak
MASTERCLASS SPM dipersembahkan dalam reka bentuk trend paling kini,
segar, berwarna-warni lagi meriangkan seperti yang diperlukan oleh murid hari Judul-judul dalam siri
ini. Yang paling utamanya, inilah satu-satunya siri yang menyediakan
kandungan yang paling segar dan terkini di pasaran kerana diolah baharu, Subjek
khusus untuk keperluan silibus KSSM terkini, Dokumen Standard Kurikulum Bahasa Melayu
Pentaksiran (DSKP) dan Sijil Pelajaran Malaysia (SPM) secara total, baik dari English 1119
segi notanya mahupun dari segi praktis dan pentaksiran yang disediakan. Matematik
Setiap nota dan praktis direncanakan oleh panel pengarang yang hebat Mathematics
berwibawa, yang telah mengikuti kursus tentang DSKP dan SPM, yang mahir Matematik Tambahan
tentang item-item DSKP dan format SPM, yang menjadi penyemak kertas SPM, Additional Mathematics
serta yang mempunyai bertahun-tahun pengalaman dalam pengajaran. Setiap Sains
fakta dan kata kunci dicetak berwarna serta disokong oleh bahan grafik supaya Science
menarik, mudah difahami, dan diingat oleh murid. Fizik
Siri ini benar-benar menjurus ke arah membantu calon-calon SPM menguasai Physics
pelajaran di Tingkatan 4 dan Tingkatan 5 serta mencuba latih tubi soalan-soalan Kimia
yang berformat dan berpiawai SPM dengan secukupnya. Hal ini penting sebagai Chemistry
persediaan mantap calon sebelum menduduki peperiksaan serta sebagai strategi Biologi
memperoleh kecemerlangan dalam SPM. Biology
Justeru, keberkesanan buku ini sebagai pegangan untuk results cemerlang patut Sejarah
diyakini. Sebagai nilai tambah dan memenuhi keperluan terkini, konsep Pendidikan Islam
pembelajaran kontekstual turut diterapkan melalui KBAT dan i-THINK. Prinsip Perakaunan
Perniagaan
BAB 4 Pilih Atur dan Gabungan Ekonomi

BAB 4 Indeks, Surd dan Logaritma PROJEK MINI

1 SUKATAN MEMBULAT BAB 1 SukaCtaOn NMTemObHula1t 3 KBAT (e) 4k4m × m3 (f) x–5 y–5 Maimum ingin merayakan hari jadinya. Dia ingin menyediakan salad yang terdiri darpada beberapa jenis
BAB 8k5m y2 × buah-buahan, sayur-sayuran dan sos seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.
TINGKATAN 5
Diberi bahawa 2a = 3b = 6c. Ungkapkan b dalam 2. Permudahkan setiap yang berikut. Buah-buahan Sayur-sayuran Sos KERTAS MODEL SPM Penyelesaian
sebutan a dan c. Lengkap

Penyelesaian (a) (2p2q4)3 ΂ ΃(b) a3 2 × b3 Mangga Kubis Mayonis
b4 Nanas Timun ‘Thousand island’
2a = 3b Betik Daun salad
Bahagikan indeks pada kedua-dua (x–3y9)– 1 2 Beetroot Minyak zaitun PAPER 1 Two hours
ab 3
(c) (d) 27 3 k3h2 ÷ k5h BAB 4 Indeks, Surd dan Logaritma
2a = 3a belah persamaan dengan a.
1
1.1 Radian BSsb‘dθuiueendrnrlgadaugktdataaasinnataanyrjnka’eonakjlanegaurhdindatbtneelueurfigθkncl-naakg=itnsak‘aiθgdo,nsjkak1unirrtmagauyrdda.adiindaaidtgninuai’lnisspaiasuimGaelsalbaaahnathgtpiakθsuaiaeknnθbuj33333ruac2r➊abbbbb.naad======nhgk. e36(2323ccbabda××baca3l+3cac)×cmc3……c➋……. a–5 × (a3)3 This question paper consists of 15 questions. Answer all the questions in Section A and any two questions
➊ (e) (a3)4 (f) (9p2q4) 2 ÷ p8q–4 from Section B. Show your working. It may help you to get marks. The marks allocated for each question PRAKTIS FOKUS SPM

Perkaitan antara ukuran sudut dalam radian Lobak merah and sub-part of a question are shown in brackets. You may use a scientific calculator. Penyelesaian
dan darjah (am)n Lengkap
am × 3. Permudahkan setiap yang berikut. Kertas peperiksaan ini mengandungi 15 soalan. Jawab semua soalan dalam Bahagian A dan mana-mana
(a) (54)n ÷ 5n – 1 × 53n
1. SOatuBaauatutjaesujaujrdeijuaOtrAiθOpBiaaddlaaahrpippuuasdtaaatrgOaan.rigsatreims tbeemrebnegreOnAg (b) 32 × 9x + 1 ÷ 812x – 4 Kawannya akan membuat salad mereka sendiri. Maimum ingin mengetahui bahawa berapakah jenisdusalasodalan daripada Bahagian B. Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh KERTAS 1
΂ ΃5.
(c) x5 × 6x7 ÷ 6x2 yang dapat dibuat daripada bahan yang diberi jika membantu anda untuk mendapatkan markah. Markah yang diperuntukkan bagi setiap soalan dan ceraian 11. Diberi p 4
5 +1 5 –1
(a) setiap jenis salad terdiri daripada sekurang-kurangnya dua jenis buah-buahan, dua jenis sayur-ssaoyaulraann ditunjukkan dalam kurungan. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) SPeelremsauidkaahnkpaners9a2mx ×aa2n72x 7–p1 ÷ 32x. + = q + 4 5, cari
dan satu jenis sos. (b) ÷ 92 – p
1 (b) setiap jenis salad terdiri daripada tiga jenis sayur-sayuran tanpa buah-buahan dan satu jenis sos. Section A = 81. nilai p dan nilai q.
= amn (d) 64 2 ÷ 23a × 8a – 1
B an = am
B + n 1 Bolehkah anda membantu Maimun untuk mengira bilangan jenis gabungan yang dapat dibuatnya? Bahagian A
(e) (16m6n–2) 2 ÷ 8m–8n4
bc [64 marks/64 markah] 2. (a) Permudahkan (a4b8) × ab3. 12. (a) Permudahkan 2+ 5
a 2 1 1 20 – 32 –
Oθ A j b = + c Samakan indeks. ΂ ΃(f)1 – 3 × 52 ÷ (5) 6 Answer all the questions in this section. a–2b– 1 8+ .
5 Jawab semua soalan dalam bahagian ini. 3 80
1 rad.
Oθ A O j ba = bc + ac (g) 27n – 2 × 3 ÷ 92 – 3n (b) Selesaikan: log3 (x + 18) – log3 x = log10 10 (b) Selesaikan persamaan 2log3 (x + 1) 1
8
ba – bc = ac (h) 3y2 ÷ 27y–2 × y4 = .

2. Putaran ini diukur b(a – c) = ac 3. (a) Permudahkan 36p2q7
dan saat (Љ). 18p–3q4
dalam darjah (°), minit (Ј) bdMaaglaaikmsaa,truasdpuiudatnuatriaanlbalahegnigksaaptuialaphultialirtbaKAan=nalteeaard–ncaachtif 4. Permudahkan dan cari nilai bagi setiap yang PRAKTIS FOKUS SPM Penyele1s.aian y (a) Use a suitable test to determine whether the graph in Diagram 1 × 4p5. 13. (a) Diberi 2 = 7a dan 7 = 2b, cari nilai bagi ab
Lengkap 2 is a function. Explain your answers. tanpa menggunakan kalkulator.
6. Lengkok berikut. B Gunakan satu ujian yang sesuai untuk menentukan sama ada (b) Tunjukkan bahawa 2x + 1 + 2x – 2 + 2x – 3
bulatan. graf dalam Rajah 1 ialah satu fungsi. Jelaskan jawapan anda. boleh dibahagi tepat dengan 19 bagi semua
1 minit (1Ј) = 60 saat (60Љ) lengkap 4 integer positif x. ΂ ΃(b)
1 darjah (1°) = 60 minit (60Ј) (a) 27x + 1 ÷ 243 5 x × 3x Diberi log5 p = x dan log25 1 = y,
ungkapkan pq dan p q
Lilitan bulatan 151 – m × 5m + 1 KERTAS 1 4. Cari bilangan cara untuk menyusun 8 morua–rn2igd O x [1 mark/1 markah] berasas 5. q sebagai satu indeks
θ = Jejari bulatan Biarkan 2a = 3b = 6c = k, dengan keadaan k (b) 3–m 1. Plat nombor kereta terdiri daripada dua huruf murid perempuan dalam sebaris jika 14 8
3. Sudut bagi satu putaran lengkap ialah 360°. ialah pemalar. (b) State the range of the graph if the domain is –2 ഛ x ഛ 8. TINGKATAN 4
terendah dan murid tertinggi mesti Diagram 1 4. (a) Selesaikan: log3 (x – 1)2 = 1 + log3 (2x – 5)
= 2πj 11 1 5. Diberi 3x = p dan 5x = q, ungkapkan setiapdiyikanugti oleh empat nombor yang dipilih daripada (a) disusun bersama. A –2 Rajah 1 Nyatakan julat bagi graf itu jika domainnya ialah –2 ഛ x ഛ 8.
j berikut dalam sebutan p dan/atau q. set {S, A, B, C, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berapakah
Maka, 2 = k a , 3 = k b dan 6 = k c . [1 mark/1 markah] (b) Tunjukkan bahawa logm 93 – logm 29 14. jSaewleaspaainkabnetpuel rksaempaadaan32t–exm(2p–xat+pe2r)pu=luh1a5n. .Beri
logm 9 – logm 8
360° = 2π rad. 2×3 = 6 (a) 15x + 252x bilangan plat nombor kereta yang berlainan yang (b) diasingkan antara satu sama lain. = 3. KBAT
O Maka, hubungan =
7. ialah antara unit darjah 11 = 1 (b) 45x ÷ 5x – 2 dapat dibentuk dengan syarat ulangan huruf atau (c) berada di tempat terakhir dalam baris itu.
kc
dan radkiaan× kb nombor tidak dibenarkan? (c) Write an inverse function of the equation of the straight line AB for the domain –2 ഛ x ഛ 4. 15. Cari nilai x jika 16x = Bab
1 1 1 KBAT dalam pecahan.
ka + b kc 6. Buktikan setiap yang berikut. Jika murid terendah dan murid tertinggi akanTulis fungsi songsang bagi persamaan garis lurus AB untuk domain –2 ഛ x ഛ 4. BONUS!5.(a) Selesaikan persamaan logp (x – 2) + logp 3 = 0. 4 8 2 . Beri jawapan 4
[3 (b) Selesaikan persamaan log2 x = 8
1 putaran lengkap = 360° 11 + b1B=ab1c 4x 2. Sebuah pasukan bola keranjang yang terdiri 5. marks/3 markah] 3 1
= 2π rad. 8 daripada 12 orang pemain akan dipilih daripada logx
Input Ekstra a Samakan indeks. (a) 22x – 3 = 10 orang murid Tingkatan Empat dan 6 orang duduk bersama mengelilingi sebuah meja obAruanlnastgw, er/Jawapan: – 8 .
atau murid Tingkatan Lima. Cari bilangan cara untuk cari bilangan cara untuk menyusun 10
1 = 1 – 1 (b) 7x – 7x – 1 = 6(7x – 1) 16. Selesaikan persamaan 9x + 1 – 27 2 x – 1 = 296.
b c a 3 3
PbeernmgugluansaeajnaksitsatmemadpuennBghaibtuynlognanpubrebraa.sas 60 ini murid. 6. bSeetluelsakiekpaandpae3rsaanmgakaanb55exxre–+rt2i2. = 8. Beri jawapan

180° = π rad. 1 = a–c 7. Tunjukkan bahawa 4n + 1 × 2n = 4n + 1. memilih pasukan itu jika setiap pasukan itu 17. (a) Selesaikan persamaan 3 lg 6 = (lg x)(lg
b ac 2n – 3 × 8 mempunyai (b) Cari nilai bagi 3–2 log3 6.
4. AsbduuepanlaatgbutaailnnlaenpbθgaeknriaojjelakajnahArgiBsluje,pdnsaugadktizaoykspa,unusdgs. autdtiOcθanbbgaekgruikmasedbaourlaeanhh (a) 4 orang murid Tingkatan Lima. 6. Huruf daripada perkataan ‘PERDAGANGAN’ KBAT 18).
ac (b) tidak lebih daripada 3 orang murid Tingkatan akan disusun. Cari bilangan cara untuk menyusun
Input Ekstra b = a–c 8. Tunjukkan bahawa semua huruf itu 7. mDeibmeuriask2a1n6xpe+r2sa=ma6ax(n36i1txu+. 1), cari nilai x yang
27n – 243n – 1 ÷ 9n × 81 = 2(33n – 1). Lima. (a) dalam satu garis lurus.
18. Selesaikan persamaan 3 – 5x1.5
΂ ΃Tukar darjah kepada radian: θ° = x
θ × π rad. KBAT x – 3 – x = 0.
180 9. Diberi bahawa 49–n × 7n – 3 = 7x(3y.n).RlimaCjaaahrhi udriufb. awah menunjukkan satu perkataan (b) dalam satu bulatan.
B 343–1 × 71 – 2n
΂ ΃Tukar radian kepada darjah: θ rad. = 1P80r°aktis Formatif 4.1 x
s θ × π nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan 8. (a) Cari nilai bagi 2 3 +3 2 8
itu. 2 3 –3 2 + 2+ .
θ LIGHT 7. Berapakah bilangan kod 3-huruf yang dapat 3 19. Diberi logp x = m dan logq
O j A x = n, tunjukkan
1. Permudahkan setiap yang berikut. (a) Cari bilangan cara yang berlainan untuk dibentuk daripada semua huruf, kecuali O, I dan (b) Cari nilai bagi 1 KBAT mn
Z, jika 5– bahawa logpq 2(m +
Imbas Maya (a) 22x × 25x (b) 18x5y6 10. Diberi bahawa 2h + 9 × 4h = 1 . Cari nilai h. menyusun semua huruf dalam sebaris. (a) ulangan huruf tidak dibenarkan? 2 + 8 – 5. x = n) .
9y4 8 (b) Cari bilangan cara untuk menyusun semua (b) ulangan huruf dibenarkan?
q3 Penyelesaian Lengkap9.
Bθkeedprdiatadaskaarrijkekjaaannris,seijf.baatginaii,nuiksubraahnpraandjiaanngbleangigskuodku, st Video mengenai sukatan sudu(t cd)alapm–2 × p2 (d) 63a2b5 ÷ 9a8b5 11. Diberi bahawa 7n – 2 × 343n = 49. Cari nilai n.huruf dalam satu bulatan. (a) BHJSieeistrliuiemnsjaagsiwakjtiaauspniamaptnoebmdrasagahlmiaimd5ar.ao0bnge×e3nnxt1u0i–ka4l8apa4hitxao1–wm.16ai7h=.i×d0r.1o0g–e2n4.. 20. (a) Diberi bahawa 36 p + 2 = 1, ungkapkan p
darjah dan radian. (b) dalam 216q – 2

60 272 (b) sebutan q.
Selesaikan
4p = 2.
195 347 b(aIgmibParsakKtoisdFQoRkuysanSgPM10. persamaan logp 256 – log p

14 MASTERCLASS SPM-MAT3E/5M/2A1TIK9:0T8AAMMB TING5-BAB04-Azie F.indd 272 3/5/21 9:23 AM (a) bTaagnipalogm5el2on7gg5g+u2n20al–koaglno5g6k5a–2lk5–ull1aotgo5r, cari nilai 21. Diberi logx 9 = y, ungkapkan
19 MASTERCLASS 2021 MATH TAMB-KERTAS MODEL-Azie F.indd 347 3. dalam sebutan y.
04 MASTERCLASS 2021 MATH TAMB TG4-BAB4-Azie F.indd 60 setiap yang berikut
3/5/21 9:16 AM
11 MASTERCLASS 2021 MATH TAMB TG5-BAB1-Azie F.indd 195 3/5/21 9:37 AM (a) logx 81 (b) log9 729x2

(b) Selesaikan persamaan 32 × 1 = 42p – 1. disediakan)22.Diberi 2a=9b=18c,
16 p a dan c.
KBAT
ungkapkan b dalam sebutan

77

MC21SMTSAMPEL 04 MASTERCLASS 2021 MATH TAMB TG4-BAB4-Azie F.indd 77

3/5/21 9:08 AM

SASBADI SDN. BHD. 198501006847 ISBN 978-983-77-2121-0

(Anak syarikat milik penuh Sasbadi Holdings Berhad 201201038178)

Lot 12, Jalan Teknologi 3/4, Taman Sains Selangor 1,
Kota Damansara, 47810 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan.
Tel: +603-6145 1188 Faks: +603-6145 1199
Laman web: www.sasbadisb.com e-mel: [email protected]

Sasbadi Group Semenanjung Malaysia : RM33.90
Sabah & Sarawak : RM35.90


Click to View FlipBook Version
Previous Book
مجله شماره ۴۳
Next Book
مجله شماره ۴۲