STRUKTUR ALJABAR

STRUKTUR
ALJABAR

VOLUME 1
NEW EDITION

WRITTEN BY
KELOMPOK 3
TEACHER
LINDA ROSMERY TAMBUNAN, M.SI

Kata Pengantar
Bahan ajar ini mencakup materi yang dikaji dalam mata kuliah Struktur Aljabar
untuk mahasiswa semester 5 Program Studi S-1 Matematika dan S-1 Pendidikan Matematika.
Struktur Aljabar merupakan salah satu materi matematika aksiomatik yang syarat dengan
definisi dan teorema. Mempelajari matematika aksiomatik berbeda dengan matematika
komputasional. Mempelajari struktur aljabar akan sangat membantu menanamkan tata nalar
yang logis, sehingga membantu dalam mempelajari bagian matematika aksiomatik yang lain.
Mata kuliah Struktur Aljabar ini mengkaji mengenai relasi ekivalen, operasi biner,
grup, subgrup, grup siklik, grup permutasi, koset, Teorema Lagrange, subgrup normal, grup
faktor, homomorfisma grup dan sifat-sifatnya. Setelah perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan
memahami struktur grup dan mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan grup.

Tanjungpinang, 22 November 2022

Penyusun



Sejarah Aljabar

Penemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (780-846 M).
Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau
"perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang
aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam
sebuah bidang.

Tokoh yang bernama lengkap Abu Ja’far Muhammad bin Musa Al- Khwarizmi ini
merupakan intelektual arab yang banyak menyumbangkan karyanya di bidang matematika dan
dari buku terbitan pertamanyalah lahir kata Aljabar.

Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyerdehanaan dan pemecahan
masalah dengan menggunakan “simbol” sebagai pengganti konstanta dan variabel. Aljabar adalah
cabang dari matematika yang mempelajari penyerdehanaan dan pemecahan masalah dengan
menggunakan “simbol” sebagai pengganti konstanta dan variabel

Gambar 1 Ini adalah salah satu halaman dari buku aljabar AL-Khwarizmi yang berjudul
kitab al-jabr wal-muqobala ditulis sekitar tahun 825. Gambar di atas di ambil dari halaman 15 buku
Al-Khwarizmi dan kemudian iterjemahkan oleh Frederic Rosen dalam bukunya The Algebra of
Muhammed ben Musa yang juga diterbitkan kembali dalam Islamic Mathematics and Astronomy
di fakultas sejarah sains Islam-Arab pada Universitas Goethe.

Pada gambar di atas Al-Khwarizmi membuktikan persamaan kuadrat berbentuk 2 + =

. Dimana symbol 2 dari luas area bujur sangkar ditengah yang tidak diketahui berapa panjang

sisinya. Kemudian masing-masing kotak di samping mempunyai lebar lalu jumlah luas


bujursangkar ditengah plus ke-4 kotak disamping adalah c, dan jumlah luas semua kotak

adalah 2 + + ( 2)4= ( + ⁄2)2 , dan ini sama dengan + 2⁄4 . Solusi dari persamaan
⁄

kemudian terjawab.

➢ Jenis – Jenis Aljabar

Aljababar dapat dipilah menjadi kategori sebagai berikut :

1. Aljabar Dasar yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan symbol sebagai
“pengganti” untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang
ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan symbol-simbol tersebut.

2. Aljabar Abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar
seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.

3. Aljabar linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vector (termasuk matriks).
4. Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar
5. Aljabar Komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis .

➢ Manfaat Aljabar

Aljabar adalah disiplin yang sangat unik. Hal ini sangat abstrak. Para an abstrak-aljabar
menyebabkan otak untuk berpikir dalam pola-pola yang sama sekali baru. Bahwa proses berpikir
menyebabkan otak untuk bekerja, seperti otot. Semakin banyak otot yang bekerja keluar, semakin
baik melakukan tugas lain. Dalam istilah sederhana, aljabar membangun otak lebih baik (seperti
yang dilakukan disiplin lain seperti belajar instrumen, melakukan teka-teki, dan bahkan beberapa
video game). Ketika otak dirangsang untuk berpikir, rambut seperti dendrit otak tumbuh lebih luas
dan lebih kompleks memungkinkan lebih banyak koneksi dengan sel otak lainnya. Kita sering
mendengar bahwa kita hanya menggunakan sebagian kecil dari kapasitas otak kita. Studi tentang
aljabar adalah cara untuk meningkatkan penggunaan otot yang luar biasa ini. Dengan mempelajari

aljabar, lebih "jalan raya" yang "dibangun" atas mana masa depan "kargo" adalah diangkut - kargo
selain aljabar.

HIMPUNAN DAN KONSEP RELASI EKIVALEN

A. Konsep Himpunan
Himpunan adalah sebuah kumpulan dari objek yang dapat diidentifikasi secara

jelas. Objek-objek yang menyusun sebuah himpunan disebut unsur atau anggota dari
himpunan.
Beberapa hal yang berkaitan dengan himpunan adalah sebagai berikut:
- Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika merupakan salah satu

elemennya, maka dapat dinotasikan ∈ .
- Jika suatu himpunan tidak memiliki anggota biasa disebut dengan Himpunan Kosong,

dan simbolnya adalah ∅.
- Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, dengan

mendaftarkan anggotanya, dan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Himpunan secara umum dilambangkan dengan huruf kapital dan anggotanya dengan huruf
kecil. Untuk menyatakan sebuah himpunan ada tiga cara yang dapat digunakan, yakni:

1. Menyebutkan sifat-sifat dari elemen-elemennya
Contoh:
- A = himpunan 10 bilangan asli pertama
- B = himpunan warna yang ada dalam bendera Negara Indonesia
- D = himpunan bilangan prima antara 10 dan 20

2. Mendaftar semua elemennya
Contoh:
- A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
- B = {merah, putih}
- D = {11, 13, 17, 19}

3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh:

- A = { | bilangan asli dan ≤ 10}
- B = { | adalah warna yang ada dalam bendera Negara Indonesia}

- D = { | bilangan prima dan 10 < < 20}
B. Relasi Ekivalen

1. Definisi Relasi Ekivalen
Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut
bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota yang berelasi oleh suatu relasi
ekivalen dikatakan ekivalen.

2. Sifat Relasi Ekivalen
a. Refleksif
Refleksif adalah sifat relasi yang setiap elemen ekivalen terhadap dirinya sendiri.
Contoh:
Jelas dipenuhi a = a, ∀ ∈ , berarti (a, a) ∈ atau bersifat refleksif.
b. Simetris
Simetris misalkan a ekivalen dengan b setiap kali b ekivalen dengan a.
Contoh:
Jika a = b, berarti (a,b) ∈ , ∀ , ∈ maka b = a, berarti (b,a) ∈
Jika a = -b, berarti (a,b) ∈ , ∀ , ∈ maka b = -a, berarti (b,a) ∈
c. Transitif
Jika a dan b ekivalen serta b dan c ekivalen, maka a dan c juga ekivalen.
Contoh:
Jika a = b, dan b = c, maka a = c, berarti (a,c) ∈ , ∀ , , ∈
Jika a = b, dan b =- c, maka a = -c, berarti (a,c) ∈ , ∀ , , ∈
Jika a = -b, dan b = c, maka a = -c, berarti (a,c) ∈ , ∀ , , ∈
Jika a = b-, dan b =- c, maka a = c, berarti (a,c) ∈ , ∀ , , ∈
Sehingga R bersifat transitif

Contoh Soal

1. Diketahui A= {1, 2, 3}
Pada A didefinisikan Relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2),(2,1),(3,3)}
Apakah A bersifat relasi ekivalen?
Penyelesaian:
✓ Relasi R1 bersifat refleksif = (1,1), (2,2) dan (3,3)
✓ Relasi R1 bersifat simetris = (1,2) dan (2,1)
✓ Relasi R1 bersifat transitif = (1,2), (2,1) >> (1,1)
Maka A adalah relasi ekivalen

2. Diketahui B = {2, 4, 5}
Pada B didefinisikan Relasi R2 = {( , )| , , ∈ }
Apakah B bersifat relasi ekivalen?
Penyelesaian:
Didapatkan R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}.
✓ Relasi R2 bersifat refleksif = (2,2), (4,4) dan (5,5)

× Tidak bersifat simetris = (4,2) dan tidak ada (2,4)

× Tidak bersifat transitif

Relasi R2 tidak bersifat simetris dan transitif, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi
ekivalen

3. Misalkan R adalah relasi yang didefinisikan pada A = {1, 2, 3}. Tentukan apakah relasi
berikut merupakan relasi ekivalen atau bukan!

R = {(x,y) | x=y }
Penyelesaian:
Karena untuk setiap ∈ , = , maka R Refleksif. jika x=y maka y=x, akibatnya R simetris.
Jika x = y dan y = z, maka x=z, akibatnya R transitif. Jadi, relasi R Merupakan relasi ekivalensi.

Latihan
1.

2.

3.

OPERASI BINER
A. Definisi Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan tak kosong S adalah pemetaan dari S x S ke S. Notasi yang
digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +,×,∗,∘, ⨁, ⨂, dan sebagainya. Hasil
dari sebuah operasi, misalnya ⨂, pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a ⨂ b.
B. Sifat Operasi Biner
Misalkan ∗ dan ⨁ adalah operasi biner. Operasi ∗ dikatakan:
1. Komutatif, jika a ∗ b = b ∗ a, untuk setiap a,b.
2. Asosiatif, jika (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), untuk setiap a,b,c.
3. Mempunyai identitas, jika terdapat e sedemikian hingga a ∗ e = e ∗ a = a, untuk setiap

a,
Identittas kiri, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 * a = a, untuk setiap a.
Identitas kanan, jika terdapat e2 sedemikian hingga a * e2 = a, untuk setiap a.
4. Mempunyai sifat Invers, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a * a – 1 =
a – 1 * a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi *, a-1 disebut Invers dari
elemen a.

5. Distributive terhadap operasi ∗ dan ⨁, jika untuk setiap a,b, c berlaku ∗
( ⨁ ) = ( ∗ )⨁( ∗ ) ( ⨁ ) ∗ = ( ∗ ) ⨁ ( ∗ ).

C. Definisi Sifat Tertutup
Himpunan S dikatakan tertutup terhadap operasi biner * , jika untuk setiap a, b ∈ S berlaku
a ∗ b ∈ S. Contoh
1. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk
setiap x, y ∈ Z berlaku x + y ∈ Z.
2. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena
terdapat 2,3 ∈ Z dimana 2: 3 ∉ Z.
3. Misalkan A = {0,1}. A tertutup terhadap operasi perkalian biasa karena : 0 × 0 = 0 ∈
0 × 1 = 0 ∈ 1 × 0 = 0 ∈ 1 × 1 = 1 ∈ tidak tertutup terhadap operasi
penjumlahan biasa karena 1 + 1 = 2 ∉ A.
4. Misalkan A= {0,1}. Didefinisikan operasi biner sebagai berikut: a * b = (a × b) + b
dengan × dan + masing-masing adalah operasi perkalian dan penjumlahan biasa. A
tidak tertutup terhadap operasi biner * karena 1 * 1 = (1×1) + 1= 2 ∉ A

Contoh Soal

1. Jika diketahui: Himpunan A adalah bilangan ganjil. = {1,3,5,7, … } dan a*b = a + b + 3.

Apakah A memiliki identitas?

Penyelesaian:

Missal, a = 7

a*e=a

a+e+3=a e*a=a

7+e+3=7 e+a+3=7

e = -3 e = -3

2. Didefinisikan operasi * pada Z dengan syarat untuk setiap a, b ∈ Z, a * b = a/b. apakah

operasi * merupakan operasi biner pada Z?

Penyelesaian:

Diperhatikan bahwa jika a = 1 dan b = 2 akan berakibat a * b = 1 * 2 =1/2 bukan anggota

Z. jadi operasi * tidak memenuhi kondisi tertutup.

Diperhatikan juga bahwa jika a = 1 dan b = 0 akan berakibat a * b = 1 * 0 = 1/0 yang
tidak bisa didefinisikan. Jadi, operasi * tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik.

Jadi, operasi * bukan merupakan operasi biner pada Z.

3. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z + adalah himpunan bilangan bulat positif,
didefinisikan x * y = |x – y| bila x1y dan x * x = x untuk:
Setiap x, y | Z+. tunjukkan apakah operasi binernya tertutup, komulatif dan asosiatif?
Penyelesaian:
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,
x*y = 2*3 = 1
x*x = 2*2 = 2
x*y dan x*x tertutup terhadap Z+, sehingga x, y | Z+

b. Komutatif
x,y | Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x*y = 2*3 = |2-3|=1
y*x = 3*2 = |3-2|=1
x*y dan y*x komutatif

c. Asosiatif
x, y, z| Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x*y) *z = (2*3) *4 = |2-3|*4 = |1-4| = 3
x*(y*z) = 2*(3*4) = 2*|3-4| = |2-1| = 1
(x*y) *z1 x*(y*z) tidak asosiatif

Sejarah Teori Grup

Sebuah domain matematika yang mempelajari grup dalam berbagai bentuknya,
telah berevolusi dalam berbagai utas paralel. Ada tiga akar sejarah teori grup:
teori persamaan aljabar, teori bilangan dan geometri.. Joseph Louis Lagrange, Niels
Henrik Abel dan Évariste Galois adalah peneliti awal di bidang teori grup.

Awal abad ke-19

Studi paling awal tentang kelompok seperti itu mungkin kembali ke karya
Lagrange pada akhir abad ke-18. Namun, pekerjaan ini agak terisolasi, dan 1846
publikasi Augustin Louis Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai permulaan
teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, sehingga tiga benang penting
dalam pra-sejarahnya dikembangkan di sini.

Evariste Galois berusia lima belas Augustin-Louis Cauchy (ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi,
tahun, digambar oleh teman sekelas. 21 Agustus 1789 – 23 Mei 1857) ialah

seorang matematikawan Prancis.

Joseph-Louis de Lagrange (25 Januari
1736 – 10 April 1813) adalah
seorang matematikawan dan astrono
m Prancis-Italia

Galois adalah orang pertama yang menggunakan kata grup ( groupe dalam bahasa Prancis)
dan primitif dalam arti modernnya. Dia tidak menggunakan grup primitif tetapi
menyebut persamaan primitif sebuah persamaan yang grup Galoisnya adalah primitif. Dia
menemukan gagasan subkelompok normal dan menemukan bahwa kelompok primitif yang dapat
dipecahkan dapat diidentifikasi ke subkelompok grup Affine dari ruang Affine di atas bidang
hingga.

Galois juga berkontribusi pada teori persamaan modular dan fungsi eliptik. Publikasi pertamanya
tentang teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), tetapi kontribusinya menarik sedikit
perhatian sampai publikasi makalahnya yang terkumpul pada tahun 1846 (Liouville, Vol.
XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup
dan teori medan, dengan teori yang sekarang disebut teori Galois.

Grup yang mirip dengan grup Galois (sekarang) disebut grup permutasi, sebuah konsep yang
diselidiki secara khusus oleh Cauchy. Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal
disebabkan oleh Cauchy. Arthur Cayley pada teori grup, tergantung pada persamaan

simbolik (1854) memberikan definisi abstrak pertama dari grup hingga.[18]

Grup dan Subgrup

A. Grup
Sebuah grup adalah sebuah pasangan terurut (G, *) dengan G adalah sebuah himpunan
tak kosong adalah, dan * adalah sebuah operasi biner pada G yang memenuhi sifat-sifat
berikut:
1. Asosiatif. Operasi tersebut bersifat asisiatif, yaitu (a*b) *c = a*(b*c), untuk semua di
a,b,c di G.
2. Identitas. terdapat suatu elemen e (disebut identitas) di G, sehingga a*e = e*a = a,
untuk semua di G
3. Invers, untuk setiap elemen di G, terdapat suatu elemen b di G (disebut invers)
sehingga a*b = b*a = e

Grup (G, *) disebut abelian (komutatif) jika a*b = b *, untuk smeua a, b di G.

B. Subgrup
Himpunan tak kosong H adalah himpunan bagian dari sebuah grup G. H dikatakan subgrub
dari G jika H merupakan grup terhadap operasi yang sama di G.

Contoh Soal
1. Tunjukkan bahwa untuk G = {-,1}, {G, x} bukan grup!

Penyelesaian:
Agar G dikatakan grup dalam operasi perkalian standar, maka G harus memenuhi 4
aksioma (termasuk aksioma operasi biner yaitu sifat tertutup pada operasi perkalian
standar). Untuk menunjukkannya, gunakan Tabel Cayley.

x01
000
101

Dengan meninjau Tabel Cayley di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:
a. Operasi perkalian merupakan operasi biner karena bersifat tertutup pada G, yaitu hasil

operasinya sendiri merupakan anggota G.
b. Operasi perkalian standar pada G bersifat asosiatif
c. Setiap elemen G memiliki identitas, yaitu 1.
d. Tidak semua elemen G memiliki invers, yakni 0. Karena untuk ∈ , × 0 =

0 × ≠ 1. Karena hanya memenuhi 3 aksioma grup, maka G bukan grup terhadap
operasi perkalian standar.
TERBUKTI

2. Misalkan G grup sedemikian sehingga ( )2 = 2 2. Untuk ∀ , ∈ . Tujukkan bahwa
G merupakan grup komutatif (abelian)

Penyelesaian:
Ambil sembarang , ∈ . Akan ditunjukkan bahwa ab = ba. Perhatikan bahwa ( )2 =

2 2 = ( )( ). Di lain sisi juga diketahui bahwa:
( )2 = 2 2 = ( )( )

( )( ) = ( )( )

( ) = ( ) (..Asosiatif)

= (…Kanselasi)

Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif

3. Misalkan H adalah subgroup dari grup G. buktikan bahwa elemen identitas pada G dan H

sama!

Penyelesaian:

Andaikan G dan H memiliki elemen identitas yang berbeda. Misalkan e adalah elemen
identitas pada G dan ′ elemen identitas pada H, dengan e ≠ ′.

Karena ′ ∈ ⊂ dan e elemen identitas pada G, maka:

′ = ′ (1)

Di lain pihak, ′ adalah elemen identitas pada H, sehingga:

′ ′ = ′ (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh ′ = ′ ′. Berdasarkan hokum Konsulasi,

diperoleh = ′. Kontradiksi.

Dengan demikian, elemen identitas pada G dan H sama.

4. Misalkan H = { [0],[3],[6],[9]}. Buktikan H subgroup dari (Z12 + 12).
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa H adalah subset tak kosong dari Z12. karena Z12 grup berhingga, maka
Teorema 3 bisa digunakan.
Perhatikan tabel berikut, yang menyatakan hasil a + 12b, untuk setiap , ∈ .
+12 [0] [3] [6] [9]

[0] [0] [3] [6] [9]

[3] [3] [6] [9] [0]

[6] [6] [9] [0] [3]
[9] [9] [0] [3] [6]

Hasil-hasil operasi dalam tabel di atas adalah anggota dari H. artinya, untuk setiap , ∈
berlaku a + 12b ∈ . Berdasarkan Teorema 3, H adalah subgroup dari Z12.

Latihan

Grup Siklis

A. Definisi Grup Siklis
Suatu grup G disebut siklis jika ada elemen a di G sehingga G = { | ∈ }. Elemen a
tersebut dinamakan generator dari G. selanjutnya, G disebut grup siklis yang
dibangkitkan (generated) oleh dengan menuliskan G = 〈 〉.

B. Teorema Dasar Grup Siklis
Setiap subgroup dari suatu grup siklis adalah siklis. Jika |〈 〉| = , maka orde dari suatu
subgroup dari 〈 〉 adalah pembagi dari n; dan untuk masing-masing pembagi positif k
dari n, grup 〈 〉 mempunyai tepat satu grup berorde k, yang disebut 〈 / 〉.

Contoh Soal
1. Misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan bahwa (Z, +) merupakan grup.

Selidiki apakah Z grup siklik dengan generator 1!
Penyelesaian:
Ambil 1 ∈ sehingga:
12 = 2 × 1 = 1 + 1 = 2
32 = 3 × 1 = 1 + 1 + 1 = 3
42 = 4 × 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Jika dilanjutkan, kita dapat mendedukasi bahwa setiap bilangan bulat positif dapat
dituliskan dalam bentuk 1+1+…+1.
Di lain kasus,
10 = 0 × 1 = 0
1−1 = −1 × 1 = −1
1−2 = −2 × 1 = −2
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat non-positif dapat
dituliskan dalam bentuk ini. Jadi, Z grup siklik dengan generator 1.

2. Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian (kumutatif)
Penyelesaian:
Misalkan (G, *) adalah grup siklik dengan generator [a], berarti dapat ditulis:
G= {an |n ∈ Z}.
Ambil sebarang g1, g2 ∈ G. akan ditunjukkan bahwa g1 * g2 = g2 * g1
Dapat ditemukan s,t ∈ Z sedemikian sehingga g1 = as dan g2 = at .
Berarti, g1 * g2 = as * at = as+t
Berdasarkan sifat komutatif pada penjumlahan dua bilangan bulat, berlaku as+t
= at+s = as * at = g1 * g2.
Jadi, diperoleh g1 * g2 = g2 * g1. Terbukti bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian.

3. Jika G = 〈 〉 adalah grup siklik dengan order 10, apakah H = 〈 2〉 merupakan subgroup
dari G yang dibandingkan oleh 2?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa G grup siklik dengan generator dapat dituliskan G = {a, a2, a4, a6, a8,
a10}. H adalah subgroup dari G dengan:
H = {a, a2, a4, a6, a8, a10}. Oleh karena itu, elemen H semuanya dibangkitkan oleh 2.
Dengan kata lain, H adalah grup siklik dengan generator/ pembangkit 2 dan merupakan
subgroup dari G.

Latihan

KONSEP KOSET
a. Pengertian Koset
Koset adalah suatu jenis kompleks dari suatu grup. Koset kanan/kiri subgrup terhadap suatu
elemen grup adalah himpunan semua hasil operasi setiap elemen subgrup dengan elemen
itu dari arah kanan/kiri. Definisi koset muncul dalam proses pembentukan grup faktor
dengan bermodalkan suatu grup dan suatu subgrupnya.

b. Teorema 1:

Misalkan G grup dan H subgrup dari G. Didefinisikan relasi ~ dan ~ pada G dengan
aturan:
~ jika dan hanya jika −1 ∈ H
~ jika dan hanya jika −1 ∈ H
Maka ~ dan ~ merupakan relasi ekivalen.
Perhatikan ~ merupakan kelas ekivalen, berarti akan terbentuk partisi dan kelas ekivalen
di G. Sebut kelas ekivalen yang memuat a adalah aH.

aH = {x ∈ G|x~La}

= {x ∈ G|a−1x ∈ H}

= {x ∈ G| −1x = h untuk suatu h ∈ H}

= {x ∈ G|x = ah untuk suatu h ∈ H}

= {ah|h ∈ H}

Dengan cara yang sama ~ menghasilkan kelas ekivalen yang memuat a adalah
= {ℎ |ℎ ∈ }. Kedua himpunan tersebut dinamakan koset.

Definisi 1:

Misalkan H subgrup dari G, ∈ sebarang, maka = {ℎ |ℎ ∈ } disebut
koset kanan dari H di G dan = { ℎ|ℎ ∈ } disebut koset kiri dari H di G.

Contoh 1

Diberikan G = (Z, +) dan H = (2Z, +), maka koset kanan H di G adalah

Ambil 0 ∈ , H + 0 = {..., -2,0,2,4,...}

Ambil 1 ∈ , H + 1 = {..., -1,1,3,5,...}

Ambil 2 ∈ , H + 2 = {..., 0,2,4,...} = H + 0

Ambil 3 ∈ , H + 3 = {..., 1,3,5,...} = H + 1 Dst.

Maka terdapat 2 koset kanan dari H di G. Begitu juga kalau kita mencari koset
kirinya, maka akan terdapat 2 koset kiri dari H di G dan koset kanannya sama dengan
koset kirinya.

Contoh 2

Misalkan = 〈 1〉 dengan 1 = (11 2 23) merupakan subgrup di 3. Koset yang
3

terbentuk di H adalah:

Grup permutasi bukan grup komutatif sehingga terdapat koset kanan yang tidak
sama dengan koset kiri.

Akibat:

1. Jika e unsur identitas di G maka = {ℎ |ℎ ∈ } = {ℎ|ℎ ∈ } =
2. Jika e unsur identitas di G maka e unsur identitas di H, sehingga setiap koset tidak pernah

kosong minimal terdiri dari unsur pembentuknya.
3. Koset tidak pernah mempunyai unsur persekutuan, sehingga gabungan dari semua koset

membentuk grup itu sendiri.

Teorema 1
Jika S adalah subgroup dari G, dan ∈ maka = (arah kanan)
Bukti:
Ambil sebarang ∈ maka = ℎ untuk suatu ℎ ∈
Karena ∈ dan ℎ ∈ , subgroup dari merupakan ℎ ∈ dan ∈

∴ ⊆
diambil sebarang ∈
karena ∈ dan H subgroup, maka −1 ∈ dengan −1 ∈ .
Akibatnya ( −1) = ∈ .

∴ ⊆
∴ =
Teorema 2
Misal = akan dibuktikan ∈
Karena H subgroup maka ∈ dengan = ∈
Karena = , maka ∈

Teorema 3
a = b jika dan hanya jika −1 ∈
Bukti:
Karena H subgroup maka ∈ dengan = ∈
Karena Ha=Hb maka ∈ dengan ℎ1 ∈ , sehingga = ℎ1

= ℎ1
−1 = (ℎ1 ) −1 = ℎ1 maka ∈ → ∴ −1 ∈
Contoh Soal
1. Carilah semua koset kanan dan koset kiri dari = 3 dan = {(1), (12)} dalam 3!
Jawab:
Koset kanan dan koset kiri dari 3 dalam 3 tampak pada daftar berikut:

Dari daftar diatas ini, tampak bahwa koset kana dan koset kiri dari adalah sama.
Koset kanan dan koset kiri dari dalam 3 tampak pada daftar berikut:

Dari daftar diatas tampak bahwa koset kanan dan koset kiri dari dalam 3 tidak semuanya
sama

2. Carilah semua koset kanan dari 3 = {(1), (123), (132)} dalam 3!
Jawab:
Salah satu koset kanannya adalah subgroup 3 sendiri yaitu
3 = {(1), (123), (132)}

Jika diambil sebarang elemen yang bukan anggota dari 3, dan sebutlah (12), maka koset
kanan yang lainnya adalah
3(12) = {(12), (123)°(12), (132)°(12)} = {(12), (13), (23)}

Karena semua koset kanan membentuk sebuah partisi dari 3,dan kedua koset kanan tadi
memuat semua elemen dari 3, maka semua koset kanan dari 3 dalam 3ada dua buah yaitu
3 = 2(123) = 3(132) dan 3(12) = 3(13) = 3(23)
Dengan demikian, maka semua koset kanan dari 3 dalam 3 adalah 3 dan 3(12).

3. Misalkan = {1,2,3,4,5,6} dengan operasi perkalian bilangan bulat modulo 7 merupakan
grup. = {1,2,4} adalah subgroup dari . Carilah semua koset kanan dan koset kiri dalam
. Apakah subgroup normal dari ?
Jawab:
Koset kanan dalam adalah
1 = {1,2,4} ×7 1 = {1,2,4}
2 = {1,2,4} ×7 2 = {2,4,1}
3 = {1,2,4} ×7 3 = {3,6,5}
4 = {1,2,4} ×7 4 = {4,1,2}
5 = {1,2,4} ×7 5 = {5,3,6}
6 = {1,2,4} ×7 6 = {6,5,3}
Koset kiri dalam adalah
1 = 1 ×7 {1,2,4} = {1,2,4}
2 = 2 ×7 {1,2,4} = {2,4,1}
3 = 3 ×7 {1,2,4} = {3,6,5}

4 = 4 ×7 {1,2,4} = {4,1,2}
5 = 5 ×7 {1,2,4} = {5,3,6}
6 = 6 ×7 {1,2,4} = {6,5,3}
Dua uraian diatas menunjukan bahwa = untuk setiap ∈ .

Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri dalam sama. Oleh karena itu, berdasarkan
definisi. disebut subgroup normal dari

Catatan:

Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset diatas:
{1,2,4} ×7 2 = {1 ×7 2, 2 ×7 2, 4 ×7 2} = {2,4,1}
Sebagai informasi, simbol ×7 menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo 7,
2 ×7 4 = (2 × 4) 7 = 1

TEOREMA LEGRANGE

Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan,
dalam artikelnya tentang Réflexions sur la résolution algébrique des équations, bahwa
jika polinomial dalam variabel n variabelnya diubah dalam semua cara !, jumlah
polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari !. Banyaknya
polinomial tersebut adalah indeks dalam grup simetris dari subkelompok H dari
permutasi yang mempertahankan polinomial. So the size of H membagi !. Dengan
perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui
untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang
namanya.

Definisi 2.1

Untuk setiap bilangan bulat > 1, misal ∅( ) adalah banyaknya bilangan bulat positif
yang kurang dari dan relative prima dengan . Misalkan ∅(1) = 1

Fungsi ∅ disebut phi-fungsi euler.

Definisi 2.2

Untuk semua bilangan bulat positif , misal adalah himpunan kelas kongruensi
didefinisikan seperti berikut

= { ̅ |1 ≤ ≤ ( , ) = 1}

Untuk contoh 12 = {1̅, 5̅, 7̅, 1̅̅̅1̅}

Definisi 2.3

Order dari , dinotasikan | | adalah kardinalitas dari himpunan . Sedangkan order dari
suatu elemen ∈ , dinotasikan | | adalah order subgroup yang dibangun oleh .

Teorema 2.4
adalah suatu grup abelian dibawah operasi perkalian ∙ . Order dari grup adalah
∅( )

| | = ∅( )
Teorema 2.5
Misalkan adalah prima dan bilangan bulat positif, berakibat

∅( ) = − −1 = (1 − 1 )
Secara khusus ∅( ) = − 1
Lemma 2.6
Misalkan adalah grup dan ∈ , berakibat:
1. | | = ∞ jika dan hanya jika ≠ untuk sebarang > 0.
2. Jika | | < ∞ maka | | adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga = .
3. = jika dan hanya jika | | membagi .
Teorema 2.7
Setiap grup siklik tak hingga isomorfik ke grup ℤ dan setiap grup siklik hingga berorder
isomorfik ke grup ℤ
Akibat 2.8
Misalkan subgroup dari grup
1. adalah gabungan koset kanan-koset kanan [resp. koset kiri] dari di .
2. Dua koset kanan [resp. koset kiri] dari di saling lepas atau sama.
3. Untuk semua , ∈ , = ↔ −1 ∈ dan = ↔ −1 ∈ .

4. Jika ℛ adalah himpunan koset kanan-koset kanan berbeda dari di dan ℒ adalah
himpunan koset kiri-koset kiri dari di , maka |ℛ| = |ℒ|.

Definisi 3.1.1

Misalkan H adalah subgroup dari grup G. Indeks dari H di G, dinotasikan [ : ] adalah
banyaknya anggota himpunan koset kanan-koset kanan berbeda dari H di G.

Koset kanan-koset kanan dari H di G berkorespondensi satu-satu dengan koset kiri-koset
kiri oleh pengaitan Ha⟼ −1 = ( )−1. Oleh karena itu [ : ] juga merupakan
banyaknya anggota himpunan koset kiri-koset kiri dari di (Adkins, 12).

Remark. Jika = 〈 〉 maka = { } untuk semua ∈ dan [ : ] = | |

Contoh 3.1.2

Tentukan indeks dari 4ℤ subgroup dari ℤ, = {1, − 1} subgroup dari = {1, −1, , − }
dan = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅} subgroup dari ℤ10.

Jawab

Koset kanan-koset kanan dari 4ℤ adalah 4ℤ, 4ℤ + 1, 4ℤ + 2 dan 4ℤ + 3. Jadi, indeks dari
4ℤ di ℤ adalah [ℤ: 4ℤ] = 4.

Koset kanan-koset kanan dari adalah dan . Jadi, indeks dari di adalah
[ : ] = 2.
Koset kanan-koset kanan dari adalah dan + 1̅. Jadi, indeks dari di ℤ10 adalah
[ℤ10: ] = 2.

Teorema 3.1.3

Jika K, H, G adalah grup dengan < < maka [ : ] = [ : ][ : ]. Jika
sembarang dua indeks ini hingga maka ketiganya juga hingga.

Bukti
Berdasarkan Akibat 2.8(i), grup adalah gabungan koset kanan-koset kanan dari di

= ⋃



dengan ∈ dan saling lepas ( = ⇔ = ).

Banyaknya koset kanan-koset kanan berbeda sama dengan cardinal dari . Sehingga
diperoleh | | = [ : ].
Berdasarkan Akibat 2.8(i), grup adalah gabungan koset kanan-koset kanan dari di

= ⋃



dengan ∈ dan saling lepas ( = ⇔ = ).

Banyaknya koset kanan-koset kanan berbeda sama dengan cardinal dari . Sehingga
diperoleh | | = [ : ].

Oleh karena itu

= ⋃ = ⋃ (⋃ ) = ⋃

( , ) ×

Klaim bahwa saling lepas.

Ambil sembarang dan dengan = .

Akan ditunjukkan = dan = .
Karena = berdasarkan Akibat 2.8(iii), maka ( )( )−1 ∈ .
Akibatnya terdapat ∈ sedemikian sehingga ( )( )−1 = dan diperoleh

= (1)

Karena ∈ dan < maka ∈ .

Perhatikan bahwa

( )−1 = −1 −1 = −1 ∈

Oleh karena itu, berdasarkan Akibat 2.8(iii), diperoleh

= (2)

Karena ∈ ⊆ dan ∈ maka ∈ sebab seubgrup dari

Perhatikan bahwa

( ) −1 = ( )( −1) = ∈

Oleh karena itu, berdasarkan Akibat 2.8(iii), diperoleh

= (3)

Selanjutnya dari (1), (2) dan (3) berakibat

= = =

Karena saling lepas maka = .

Sehingga

= ⇒ = ⇒ =

Oleh karena itu = = .

Karena saling lepas maka = . Jadi terbukti bahwa saling lepas.

Dengan demikian

= ⋃

( , ) ×

⇒ [ : ] = | × | [karena saling lepas]

⇒ [ : ] = | || |
⇒ [ : ] = [ : ][ : ]

Akibat 3.1.4 Teorema Lagrange
Jika H adalah subgroup dari grup G, maka | | = [ : ]| |. Secara khusus jika G hingga
dan a ∈ maka | | membagi | |.

Bukti
Karena 〈 〉 < < maka menurut Teorema 3.1.3 diperoleh

[ : 〈 〉] = [ : ]{ : 〈 〉]
| | = [ : ]| |

Karena 〈 〉 < 〈 〉 < maka menurut Teorema 3.1.3 diperoleh
[ : 〈 〉] = [ : 〈 〉][〈 〉: 〈 〉]
| | = [ : 〈 〉]| |

Teorema Lagrange menyatakan bahwa jika suatu grup berhingga dan subgrip dari
maka order subgroup membagi habis order grup . Berarti banyaknya elemen membagi
habis banyaknya elemen . Teorema Lagrange sangat berguna untuk menganalisa suatu grup
berhingga, yaitu untuk memberi gambaran tentang adanya subgroup dengan kemungkinann
order subgroup dari suatu grup berhingga.

Contoh 3.1.5
Misalkan = 3 = { , , 2, , , 2 } dimana = (1 2 3) dan = (1 2).
Jika = = { , } maka

| | = [ : ]| |
| 3| = [ 3: 〈 〉]|〈 〉|

6 = [ 3: 〈 〉]2

[ 3: 〈 〉] = 3

Dengan demikian 〈 〉 mempunyai tiga koset dalam 3, yaitu koset kiri

= { , } = { , } 2 = { 2, 2 }

sedangkan koset kanannya adalah

= { , } = { , 2 } 2 = { 2, }

Keberlakuan Konvers pada Teorema Lagrange

Jika | | membagi habis | | maka subgroup dari . Ternyata konvers dari Teorema
Lagrange itu tidak selalu benar.

Kontra contoh, (grup alternating berderajat 4) adlaah subgroup dari dimana elemen-
elemennya dapat dibentuk ke dalam sebuah transposisi (sebuah cycle dengan panjang 2) dan
banyaknya transposisi adalah genap.

= {( ), ( )( ), ( )( ), ( )( ), ( ), ( )( ),
( ), ( ), ( ), ( ), ( )}

Grup memiliki order 12. Kemungkinan memiliki subgroup yang berorde 1, 2, 3, 4, 6
dan 12. Setelah diselidiki ternyata hanya memiliki subgroup yang berorde 1, 2, 3, 4 dan
12 saja.

• Subgrup dari yang berorde 1 adalah {(1)}
• Subgrup dari yang berorde 2 adalah {(1), (1 2) (3 4)} dan {(1), (1 3) (2 4)}
• Subgrup dari yang berorde 3 adalah {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, {(1), (1 3 4), (1 4 3)},

{(1), (2 3 4), (2 4 3)} dan {(1), (1 2 4), (1 4 2)}

• Subgrup dari yang berorde 12 adalah
Berdasarkan uraian di atas, tidak memiliki subgroup yang berorde 6 sementara 6│12.

H = {e, }  H = {, } 2H = {2, 2}

Sedangkan koset kanannya adalah

H = {e, } H = {, 2} H2 = {2, }

Konvers dari Teorema Lagrange

jika H membagi habis G maka H subgroup dari G. Ternyata konvers dari Teorema Lagrange
itu tidak selalu benar. Kontra contoh A4 (grup alternating berderajat 4) adalah subgroup dari
S4 di mana elemen-elemennya dapat dibentuk ke dalam sebuah transposisi (sebuah cycle
dengan panjang 2) dan banyaknya transposisi adalah genap.

A4 = {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3), (1 2 3) (1 3 2) (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 4), (1 4 2)}

Grup A4 memiliki order 12. Kemungkinan A4 memiliki subgroup yang berorde 1, 2, 3, 4, 5, 6
dan 12. Setelah diselidiki ternyata A4 hanya memiliki subgroup yang berorder 1, 2, 3, 4, dan
12 saja.

• Subgroup dari A4 yang berorde 1 adalah {(1)}
• Subgroup dari A4 yang berorde 2 adalah {(1), (1 2) (3 4)} dan {(1). (1 3) (2 4)}
• Subgroup dari A4 yang berorde 3 adalah {(1), (1 2 3) (1 3 2)}, {(1), (1 3 4) (1 4 3)}, {(1),

(1 2 4), (1 4 2)}
• Subgroup dari A4 yang berorde 4 adalah {(1), (1 2) (3 4), (1 3 ) (2 4), (1 4)(2 3)}
• Subgroup dari A4 yang berorde 12 adalah A4

Berdasarkan uraian di atas, A4 tidak memiliki subgroup yang berorde 6 sementara 6 12.

Akibat 3.1.6
Jika G = n, maka an = e untuk semua a  G

Bukti

Misalkan G = n dan a = m untuk a  G. karena G hingga dan a  G maka menurut
Akibat 3.3, a  membagi G  = n. karena a  membagi n maka menurut Lemma 2.2(iii), an
=e

Akibat 3.1.7

Jika G = p di mana prima, maka G adalah grup siklik

Bukti

Misalkan G adalah grup dengan elemen identitas e dan G = p dengan p prima. Karena p
prima maka p  2. Akibatnya, G memuat elemen a dengan a  e. dibentuk (a) = { an  n 
Z} maka < a >   2. Misal < a > = q. karena < a > subgroup dari G maka menurut
Teorema Lagrange 1  p. karena q  2 dan p prima maka p = q. sehingga diperoleh G = < a
>. Jadi, terbukti bahwa G adalah grup siklik.

Akibat 3.1.8 Teorema Euler
Jika n adalah bilangan bulat positif, a dan n relative prima, maka a (n)  1 (mod n)

Bukti

Berdasarkan Teorema 2.4, grup Un mempunyai order (n). Karena Un adalah grup hingga dan
̅  Un maka menurut akibat 3.1.6 ( ) = ̅ di Un

( ) = 1̅

 ( ) = 1̅
a (n)  1 (mod n)

Akibat 3.1.9 Teorema Kecil Fermat
Misalkan p adalah prima. Jika p / a maka ap - 1  1 (mod p). untuk semua a, ap  a (mod p)

Bukti
Jika p adalah prima dan / a maka  (p) = p – 1 dan (a, p) = 1. Berdasarkan Akibat 3.1.8,
diperoleh

a (n)  1 (mod p)
ap - 1  1 (mod n)
jadi, ap  a (mod p)
Contoh 3.1.10
Misalkan dihitung sisa pembagian dari 5148 oleh 7.
Menurut akibat 3.1.9 kita punya 57-1  1 (mod 7) atau 56  1 (mod 7).
5148  (56)24. 54  1. 54 mod 7  (-2)4 mod 7  2 mod 7
jadi, sisa pembagian dari 5148 oleh 7 adalah 2.
Akibat 3.1.11
Suatu grup G yang berorder prima tidak mempunyai subgrup kecuali {e} dan G.
Bukti
Ini konsekuensi langsung dari teorema Lagrange, karena bilangan prima tidak mempunyai
pambagi positif kecuali 1 dan dirinya sendiri.
Akibat 3.1.12
Sebarang grup yang berorder prima p isomorfik ke grup Zp
Bukti
Misalkan G sebarang grup yang berorder prima p maka menurut Akbiat 3.1.7 grup G adalah
grup siklik yang berorder p. berdasarkan Teorema 2.7 grup siklik sendiri isomorfik ke Zp.
Jadi terbukti bahwa G  Zp.

Perluasan Teorema Lagrange

Jika G adalah grup dan H, K adalah subset dari G, kita notasikan HK adalah himpunan {ab 
a  H, b  K}. jika H, K adalah subgroup maka HK belum tentu subgroup. Misalkan H dan
Ki adalah subgrup dari G untuk semua i maka bisa dibuktikan bahwa



(⋃ ) = ⋃

= =

Ambil sembarang t  H (⋃ = ) maka t = hk untuk suatu h  H dan k  ⋃ = .
Sehingga k  Ki untuk suatu i. akibatnya, hk  HKi untuk suatu i. oleh karena itu t = hk
⋃ = . Jadi, (⋃ = )  ⋃ = .

Jika G adalah grup dan H, K adalah subset dari G, kita notasikan HK adalah himpunan {ab 
a  H, b  K}. jika H, K adalah subgroup maka HK belum tentu subgroup. Misalkan H dan
Ki adalah subgrup dari G untuk semua i maka bisa dibuktikan bahwa



(⋃ ) = ⋃

= =

Ambil sembarang t  H (⋃ = ) maka t = hk untuk suatu h  H dan k  ⋃ = .
Sehingga k  Ki untuk suatu i. akibatnya, hk  HKi untuk suatu i. oleh karena itu t = hk
⋃ = . Jadi, (⋃ = )  ⋃ = .

Teorema 3.2.1

Jika G adalah grup dan H subgrup dari G maka | | = | | = | | untuk sebarang ∈ .

Bukti

Didefinisikan pemetaan : → oleh ( ) = untuk semua ∈ akan dibuktikan
bijektif. Ambil sebarang , ∈ dengan ( ) = ( ), akibatnya = ,

dengan hukum kanselasi diperoleh = dengan terbukti bersifat injektif. Pemetaan
bersifat surjektif sebab bila diberikan sebarang ∈ , maka dapat dipilih ∈ sehingga

( ) = . Dengan demikian bersifat bijektif. Jadi | | = | |. Dengan cara yang sama
bila didefinisikan pemetaan : → oleh ( ) = untuk semua ∈ , mudah
ditunjukkan bahwa bersifat bijektif akibatnya | | = | |.

Dari Teorema 3.2.1 ini bisa kita gunakan untuk membuktikan teotrema Lagrange. Misalkan
adalah subgrup dari grup . Akan dibuktikan bahwa | |membagi | |. Bukti, berdasarkan
akibat 2.8(i-ii) didapat koset kanan-koset kanan dari mempartisi menjadi kelas-kelas
yang saling lepas.

Misalkan kelas-kelasnya

, , … ,
adalah semua koset kanan dari yang saling lepas dalam , maka didapat

| | = | | + | | + ⋯ + | |
dan menurut Teorema 3.2.1 didapat

| | = | | + | | + ⋯ + | |

| | = | |

Jadi terbukti bahwa | | membagi habis | |.

Teorema 3.2.2 Perluasan Teorema Lagrange

Misalkan H dan K adalah subgrup hingga dari grup G, berakibat | | = | || |
| ∩ |

Bukti

Jika dan adalah subgrup maka = ∩ adalah subgrup dari . Berdasarkan akibat
3.1.4

| | = [ : ]| | ⇒ [ : ] = | |/| ∩ |
Misalkan = [ : ] maka = ⋃ = untuk suatu ∈ dan saling lepas.
Perhatikan bahwa



= (⋃ )

=

( )

= ⋃

=



= ⋃

=

Oleh karena itu menurut Teorema 3.2.1



| | = |⋃ |

=

= | | + | | + ⋯ + | |

= | | + | | + ⋯ + | |

= | |

= | || |/| ∩ |

Contoh 3.2.3

Misalkan = ℤ , = 〈 ̅ 〉 dan = 〈 ̅ 〉 maka ∩ = 〈 ̅ 〉.

Order dari adalah

|〈 ̅ 〉〈 ̅ 〉| = |〈 ̅ 〉〈 ̅ 〉|
|〈 ̅ 〉 ∩ 〈 ̅ 〉|

= . =



〈 ̅ 〉〈 ̅ 〉 = { ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅ ̅,̅ ̅ + ̅̅ ̅ ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , ̅ + ̅̅ ̅ ̅ }
= { ̅ , ̅ , ̅ , ̅ , ̅̅ ̅ ̅ , ̅ , ̅̅ ̅ ̅ , ̅ , ̅ , ̅ }
= { ̅ , ̅ , ̅ , ̅ , ̅ , ̅ ̅ ̅ ̅ }

SUBGRUP NORMAL

a. Definisi Subgrup

Himpunan factor yang merupakan suatu grup dengan perkalian yang didefenisikan dalam G.
Misalkan G adalah merupakan suatu grup dengan H adalah merupakan subgroup dari G dan
relasi ≡ ℎ adalah suatu relasi ekivalensi pada G.
• Defenisi 1: Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgroup H dikatakan Subgrup

normal dari G bila ℎ −1 ∈ untuk setiap ∈ dan ℎ ∈ .
• Defenisi 2: Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari grup G, maka setiap koset kiri

dari H dalam G juga merupakan koset kanannya (aH= Ha).
Dari defenisi diatas dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu subgroup H adalah
Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset koset kiri dari H dalam G
sama dengan koset-koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).

b. Teorema
• Teorema 1.
Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.
• Teorema 2.
Diberikan dan subgrup normal dari , maka:
1. ∩ subgrup normal dari

2. = subgrup normal dari G

Contoh Soal
1. Diberikan (G, +) merupakan grup dengan = {∙∙∙, −2, − 1, 0, 1, 2,∙∙∙}. ( , +)

dengan H himpunan bilangan bulat kelipatan 3 adalah subgroup dari G, tentukan H2, H3,
dan -2H.
Pembahasan:
Diketahui = {∙∙∙, − 6, − 3, 0, 3, 6,∙∙∙}
2 = {∙∙∙, (−6 + 2), (−3 + 2), (0 + 2), (3 + 2), (6 + 2),∙∙∙} = {∙∙∙, − 4, − 1, 2, 5, 8,∙∙∙}
Selanjutnya:
3 = {∙∙∙, (−6 + 3), (−3 + 3), (0 + 3), (3 + 3), (6 + 3),∙∙∙} = {∙∙∙, − 3, 0, 3, 6, 9,∙∙∙}

=
Terakhir,
−2 = {∙∙∙, (−2 + (−6)), (−2 + (−3)), (−2 + 0), (−2 + 3), (−2 + 6),∙∙∙}

= {∙∙∙, −8, −5, −2,1,4}

2. Misalkan G, + = 6= {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H={0, 2, 4} adalah Subgrup
dari G. Tunjukkan bahwa H merupakan subgrup normal dari G

Pembahasan:
Tunjukkan bahwa koset kiri dan koset kanan dari H sama. gH=Hg
G, += 6=0, 1, 2, 3, 4, 5, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
Koset Kiri
0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}
1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}
3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}
4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}
5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}
Koset Kanan
H + 0 = {0, 2, 4} + 0 = {0, 2, 4}
H + 1 = {0, 2, 4} + 0 = {1, 3, 5}
H + 2 = {0, 2, 4} + 0 = {2, 4, 0}
H + 3 = {0, 2, 4} + 0 = {3, 5, 1}
H + 4 = {0, 2, 4} + 0 = {4, 0, 2}
H + 5 = {0, 2, 4} + 0 = {5, 1, 3}
Maka Koset Kiri = Koset Kanan
Sehingga Subgrup dari H={0, 2, 4} merupakan Subgrup Normal

GRUP FAKTOR

a. Definsi Grup Faktor

Jika H subgrup normal dari grup G, himpunan koset dari H dalam G adalah grup faktor dari G
dan dinotasikan dengan G/H.

Order dari grup faktor G/H adalah banyaknya koset – koset dari H dalam G, yang dituliskan
sebagai berikut

| / | = | : | = | |
| |

Teorema 1

Grup faktor dari grup siklik adalah siklik

Bukti :

Misal sebuah grup G adalah grup siklik. Maka grup G dapat ditulis sebagai = 〈 〉 =
{ |  }

Hal ini berarti / dapat dibangun oleh suatu elemen , yang minta  / , karena untuk
sembarang dalam / berlaku = untuk suatu bilangan bulat m. Sehingga dapat kita
tuliskan bahwa = = ( )

Terbukti bahwa G/H dibangun oleh suatu elemen dalam G/H. Dengan kata lain G/H adalah
siklik

Teorema 2

Jika G grup abelian maka G/H juga abelian

Bukti :
Ambil sembarang elemen dari G/H misal Ah dan bH, karena G merupakan grup abelian maka

= = =
Terbukti bahwa G/H adalaAh abelian
Teorema 3
Bukti :
Karena G/H siklik, maka G/H dapat dinyatakan sebagai

/ = 〈 〉 = {( ) |  }
Karena ( ) = maka semua koset kiri dari H dalam G berbentuk
Selanjutnya ambil sembarang 1dan 2 dalam G. Misal 1dan 2 berada dalam suatu koset
dari H dalam G, misal 1dalam dan 2 dalam untuk suatu bilangan bulat n dan m.

Sehingga 1 = ℎ1 dan 2 = ℎ2 untuk ℎ1dan ℎ2 dalam H
1 2 = ( ℎ1) ( ℎ2)
= ℎ1ℎ2
= ℎ2ℎ1
= ( ℎ2)( ℎ1)

Terbukti bahwa G adalah grup abelian

Contoh Soal
1. Misalkan ( , +) = 6 = {0,1,2,3,4,5} adalah suatu grup dan = {0,2,4}, adalah
subgroup dari G. Tentukan grup faktor dari G oleh H, yaitu ( / ).

Jawab:
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa grup tersebut merupakan subgroup normal,

dimana koset kiri sama dengan koset kanan

( , +) = 6 = {0,1,2,3,4,5}, generatornya 0,1,2,3,4 dan 5
Koset Kiri
0 + = 0 + {0,2,4} = {0,2,4}
1 + = 1 + {0,2,4} = {1,3,5}
2 + = 2 + {0,2,4} = {2,4,0}
3 + = 3 + {0,2,4} = {3,5,1}
4 + = 4 + {0,2,4} = {4,0,2}
5 + = 5 + {0,2,4} = {5,1,3}
Koset Kanan
+ 0 = {0,2,4} + 0 = {0,2,4}
+ 1 = {0,2,4} + 1 = {1,3,5}
+ 2 = {0,2,4} + 2 = {2,4,0}
+ 3 = {0,2,4} + 3 = {3,5,1}
+ 4 = {0,2,4} + 4 = {4,0,2}
+ 5 = {0,2,4} + 5 = {5,1,3}

Sehingga:

0 + = + 0 = {0,2,4}

1 + = + 1 = {1,3,5}

2 + = + 2 = {2,4,0}

3 + = + 3 = {3,5,1}

4 + = + 4 = {4,0,2}

5 + = + 5 = {5,1,3}

Maka koset kiri = koset kanan. Sehingga subgroup dari = { , , } merupakan
subgroup normal.

Sekarang kita akan menentukan grup faktor G oleh H yang dibentuk dari subgroup normal
tersebut:

| / | = | : | = | | = 6 = 2
| | 3

Unsur-unsur dari grup actor tersebut adalah 2.

Selanjutnya, misalkan kita ambil koset kiri:

0 + = {0,2,4}

1 + = {1,3,5}

2 + = {2,4,0}

3 + = {3,5,1}

4 + = {4,0,2}

5 + = {5,1,3}

Maka,

0 + = {2 + } = 4 + = {0,2,4}
1 + = {3 + } = 5 + = {1,3,5}
Unsur-unsur dari grup faktor tersebut adalah 2
0 + = {0,2,4} =
1 + = {1,3,5}

Adapun daftar dari grup faktor tersebut adalah:

Grup faktor dari G=Z6 oleh H=0,2,4

+ 1 +

1 +

1 + 1 +

2. Misal kita punya Grup: (ℤ, +) dimana ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat.
Kemudian Subgrup: = 4ℤ (karena ℤ merupakan abelian grup berarti subgrupnya
merupakan subgrup normal)
Dari 4ℤ tersebut, kita akan punya koset-koset:
0 = {… , − 8, − 4, 0, 4, 8, … }
1 = {… , − 7, − 3, 1, 5, 9, … }
2 = {… , − 6, −2, 2, 6, 10, … }
3 = {… , − 5, − 1, 3, 7, 11, … }

4ℤ merupakan himpunan semua bilangan bulat kelipatan 4. 1 berarti semua anggota 0 kita
tambahkan dengan 1. 2 berarti semua anggota 0 kita tambahkan dengan 2. 3 berarti semua
anggota 0 kita tambahkan dengan 3.
Secara penyajian tabel cayley berikut adalah hasil operasinya. 0, 1, 2, 3 membentuk
grup faktor dengan operasi penjumlahan, dimana 0 jika ditambahkan dengan 0 akan tetap
menjadi 0, 1 jika kita jumlahkan dengan 2 maka akan menjadi 3.
Tabel Cayley dari grup faktor (ℤ/ ℤ, +)

Kita juga punya tabel cayley yang mirip dengan tabel diatas yaitu tabel ceyley dari ℤ4, +. ℤ4
adalah bilangan asli modulo 4 yaitu 0, 1, 2, 3 dan operasinya adalah operasi penjumlahan
modulo 4.

Tabel Cayley dari grup faktor (ℤ , +)

Karena kedua tabel memiliki kemiripan maka dapat kita katakan grup faktor (ℤ/4ℤ, +)
isomorfik dengan (ℤ4, +).

Visualisasi pembentukan grup faktor ℤ/4ℤ

Merah= 0
Kuning= 1
Hijau= 2
Biru= 3
Jika kita bentuk maka akan berbentuk seperti ini grup faktornya (berbentuk grup siklis).

Latihan