MODUL KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul : Matematika
Mata Pelajaran : X (Sepuluh)
Kelas : 1/Ganjil
Semester : 12 JP
Alokasi Waktu : Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Judul Modul

B. Kompetensi Dasar
3.8 Menganalisis operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi
4.8 Menyelesaikan masalah operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi

C. Deskripsi Singkat Materi
Modul ini disusun sebagai alternative sumber bahan ajar siswa untuk

memahami materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers di kelas X. melalui modul ini
kalian diajak untuk menganalisis operasi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers dan
menyelesaiakan asalah operasi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.

Ada contoh penerapan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers di kehidupan
sehari-hari diantaranya:
1. Proses pembuatan baju melalui 2 tahap yaitu tahap mengukur dan memotong kain

dilanjutkan ke proses penjahitan kain sehingga menjadi baju yang siap pakai.
Proses pembuatan baju ini menerapkan algoritma fungsi komposisi.
2. Proses pembuatan buku diproses melalui 2 tahap yaitu tahap editorial dilanjutkan
dengan tahap produksi. Pada tahap editorial, naskah diedit dan dilayout sehingga
menjadi file yang siap dicetak. Kemudian, file diolah pada tahap produksi untuk
mencetaknya menjadi sebuah buku. Proses pembuatan buku ini menerapkan
algoritma fungsi komposisi
3. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers di bidang ekonomi digunakan untuk
menghitung dan memperkirakan sesuatu seperti fungsi penawaran dan
permintaan.
Didalam modul ini kalian bisa mempelajari 2 tahapan
1. Membahas Fungsi Komposisi
2. Membahas Fungsi Invers

D. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Pelajari daftar isi
2. Mempelajari modul dengan berurutan
3. Pahami contoh soal
4. Kerjakan evaluasi
5. Tanyakan kepada guru jika ada kesulitan
6. Pahami konsep-konsep dan menyelesaikan masalah yang terkait Fungsi
Komposisi dan Fungsi Invers

E. Materi Pembelajaran

Pertama : Fungsi Komposisi

Kedua : Fungsi Invers

FUNGSI KOMPOSISI

A. Tujuan Pembelajaran
Dalam kegiatan pembelajaran ini diharapkan peserta didik dapat:
1. Menganalisis operasi komposisi fungsi
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi

B. Uraian Materi
Setelah Kalian mempelajari konsep Relasi dan Fungsi pada modul

sebelumnya, pembahasan akan kita kembangkan dengan mempelajari Fungsi
Komposisi dan Fungsi Invers. Tujuan dari mempelajari materi pembelajaran ini
adalah untuk menggali materi-materi tentang konsep komposisi dan invers kemudian
operasi-operasi pada fungsi komposisi dan invers beserta sifat-sifatnya.

Fungsi yang melibatkan lebih dari satu fungsi. Ketika ada suatu fungsi,
kemudian dilanjutkan dengan fungsi lainnya maka akan membentuk suatu fungsi
baru. Fungsi baru ini lah fungsi hasil komposisi dari kedua fungsi sebelumnya.
Misalnya, ada fungsi ( ) dan ( ). Fungsi komposisi adalah fungsi yang
dipetakan oleh fungsi ( ) kemudian dilanjutkan oleh fungsi ( ). Operasi fungsi
komposisi biasa dilambangkan dengan " ○ " dan dibaca komposisi atau bundaran.

Komposisi atau operasi fungsi secara umum dilakukan untuk menghasilkan
nilai tertentu setelah melalui tahapan/prosedur operasi tertentu. Hal ini banyak
diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalkan tata cara minum tahapan adalah
mengambil gelas baru dilanjutkan dengan menuangkan air ke gelas dilanjutkan lagi
minum air, jika dibalik akan berbeda hasilnya. Begitu juga dengan bumbu masakan
yang pembuatannya tidak sekaligus jadi tetapi pengerjaannya bisa melalui beberapa
tahap. Misalnya garam pada gambar berikut agar siap dipakai dapat dikerjakan
melalui beberapa tahap yaitu tahap pengerjaan pembuatan dan tahap finishing.

Gambar 1 Garam; Sumber App Canva

Untuk tahap pembuatan pun melalui beberapa tahap, mulai dari air laut, penjemuran
air laut, pemanenan garam baru finishing.

Gambar 2 Proses Air Laut Menjadi Garam; Sumber App Canva
Untuk lebih memahami masalah Fungsi Komposisi, coba Kalian perhatikan
permasalahan berikut:

Proses pembuatan buku diproses melalui 2 tahap yaitu tahap editorial
dilanjutkan dengan tahap produksi. Pada tahap editorial, naskah diedit dan dilayout
sehinggamenjadi file yang siap dicetak. Kemudian, file diolah pada tahap produksi
untuk mencetaknya menjadi sebuah buku. Dalam produksinya, mesin-1 menghasilkan
bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi ( ) = − 0,10 dan mesin-2
mengikuti fungsi ( ) = − 1, dengan merupakan banyak bahan dasar editing
dalam satuan file. Jika bahan dasar editing yang tersedia untuk suatu produksi sebesar
100 file, berapakah buku yang dihasilkan?

Gambar 3 Proses Pembuatan Buku; Sumber App Canva
Proses di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut:

Gambar 4 Tahapan Produksi Buku; Sumber App Canva

Dari gambar di atas, terlihat bahwa tahap produksi buku terdiri atas dua tahap yang
hasil produksi setiap tahapnya dapat dihitung sebagai berikut.

Hasil produksi tahap I
Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah ( ) = − 0,10.
Untuk = 100, diperoleh:
( ) = − 0,10

= 100 − 0,10
= 99,9
Hasil produksi tahap I adalah 99,9 file setengah jadi.

Hasil produksi tahap II
Rumus fungsi pada produksi tahap II adalah ( ) = − 1.
Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka
hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga diperoleh:
( ) = − 1

= 99,9 − 1
= 98,9
Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 98,9 file. Hasil produksi yang
dihasilkan mesin cetak buku tersebut jika bahan dasar filenya sebanyak 100 adalah
98,9 file.

Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda sebagai

berikut. Diketahui fungsi-fungsi produksi berikut.
( ) = − 0,10 ……………………………………………..(1)

( ) = – 1 ……………………………..………………(2)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh fungsi

( ( )) = ( ( )) – 1 = ( – 0,10) – 1 = – 1,1.

Dengan demikian, diperoleh fungsi ( ( )) = – 1,1. (3).

Jika disubtitusikan nilai = 100 pada persamaan 3, didapat:

( (100)) = 100 – 1,1 = 98,9.

Terlihat bahwa hasil produksi sebesar 98,9 file. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil
produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas. Nilai ( ( ))
merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi dan dalam yang
dilambangkan dengan . Karena itu nilai di ditentukan dengan ( )( ) =
( ( )).

Masalah di atas merupakan contoh permasalahan komposisi fungsi. Bagaimana
sekarang sudah dipahami yang dimaksud dengan komposisi fungsi?
Ayo kita kaji lebih dalam lagi.

Misalnya ada fungsi f(x) dan g(x), maka fungsi komposisi yang dapat
terbentuk dari f(x) dan g(x) adalah :

1. ( )( )
Dapat dibaca "fungsi f komposisi g" atau "f bundaran g", artinya fungsi

yang dipetakan oleh fungsi g(x) kemudian dilanjutkan fungsi f(x). Jadi, fungsi
g nya dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya di masukan ke dalam
fungsi f. Sehingga, dapat dinotasikan sebagai berikut :

( )( ) = ( ( ))
2. ( )( )

Dapat dibaca "fungsi g komposisi f" atau "g bundaran f", artinya fungsi
yang dipetakan oleh fungsi f(x) kemudian dilanjutkan fungsi g(x). Jadi, fungsi
f nya dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya di masukan ke dalam
fungsi g. Sehingga, dapat dinotasikan sebagai berikut :

( )( ) = ( ( ))
Agar lebih mudah memahami, kamu bisa perhatikan contoh fungsi komposisi
pada gambar berikut:

Dari gambar diatas, dapat kita peroleh : Jika = → ditentukan dengan
rumus ( ) dan ( ) = → ditentukan dengan rumus ( ), maka hasil dari
komposisi g adalah ℎ( ) = ( )( ) = ( ( ))

CONTOH
Menentukan fungsi komposisi jika fungsi-fungsi yang lain telah diketahui.

1. Diketahui fungsi dan dinyatakan dalam pasangan terurut : =
{(−3,1), (−2,4), (−1,5), (0,3)} dan =
{(4, −3), (1, −2), (3, −1), (5,0)}
Tentukanlah:
a. ( )
b. ( )
c. ( )(1)
d. ( )(4)
Penyelesaian:
( ) dari pasangan berurutan, ( ) dari pasangan berurutan

a. ( ) pemetaan oleh g dilanjutkan pemetaan oleh .
Dari diagram di atas
(1) = −2 dan ( (1)) = (−2) = 4
(3) = −1 dan ( (3)) = (−1) = 5
(4) = −3 dan ( (4)) = (−3) = 1
(5) = 0 dan ( (5)) = (0) = 3
sehingga (fog) = {(1,4), (3,5), (4,1), (5,3)}

b. ( ) pemetaan oleh f dilanjutkan pemetaan oleh .
(−3) = 1 dan ( (−3)) = (1) = −2
(−2) = 4 dan ( (−2)) = (4) = −3
(−1) = 5 dan ( (−1)) = (5) = 0
(0) = 3 dan ( (0)) = (3) = −1
Sehingga (gof) = {(-3,-2), (-2,-3), (-1,0), (0,-1)}

c. ( )(1) = (−2) = 4

d. ( )(4) = (−3) = 1

2. Diketahui : ∶ → ; ( ) = 2 ² + 3, ∶ → ; ( ) = +
4
Tentukan :
a. ( )( )
b. ( )( )
Penyelesaian:

a. Pada ( ) dipetakan lebih dulu oleh ( ) kemudian ( ) dipetakan
oleh ( ).
( )( ) = ( ( )) = 2( ( ))2 + 3
= ( + 4)
= 2( + 4)² + 3
= 2( ² + 8 + 16) + 3
= 2 ² + 16 + 35

b. Pada ( ) dipetakan lebih dulu oleh ( ) kemudian ( ) dipetakan
oleh ( )
( )( ) = ( ( ))
= (2 ² + 3)
= 2 ² + 3 + 4
= 2 ² + 7

3. Diketahui ( ) = 2 + 5 dan ( ) = 3 − 7. Tentukan ( )( )

Jawaban
( )( ) = ( ( ))
= 2. ( ) + 5
= 2(3 − 7) + 5
= 6 − 14 + 5
= 6 − 9

Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi Komposisi

1. Diketahui fungsi komposisi ( )( ) = 4 – 2 dan fungsi ( ) = 6 +
1. Tentukan nilai dari ( )!

Penyelesaian:
( )( ) = 4 – 2 dan ( ) = 6 + 1
( )( ) = ( ( )) = 4 – 2 → ( ( )) = 6. ( ) + 1
( ( )) = ( ( ))
6. ( ) + 1 = 4 – 2
6. ( ) = 4 – 2 − 1
6. ( ) = 4 – 3
( ) = 4 −3

6

2. Diketahui fungsi komposisi ( )( ) = 4 + 3 dan fungsi ( ) = 2 −

3. Tentukan nilai dari ( )!

Penyelesaian:

( )( ) = 4 + 3, misalkan, = 2 − 3

( ( )) = 4 + 3 + 3 = 2

(2 – 3) = 4 + 3 + 3 =

( ) = 4. ( + 3 ) + 3 2

2

( ) = 2( + 3) + 3

( ) = 2 + 9

Jadi, ( ) = 2 + 9

Cara lain:
( )( ) = 4 + 3 dan ( ) = 2 − 3
( ( )) = 4 + 3
(2 – 3) = 4 + 3 = 2(2 – 3) + 9
( ) = 2 + 9
Catatan: Ruas kanan dinyatakan dalam 2 − 3 namun nilainya tetap 2 − 3

Penggunaan komposisi fungsi dalam kehidupan sehari-hari.

1.

Seorang photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua
tahap, yaitu; tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada
tahap pemotretan ( 1) adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: ( 1) (g)
= 500g + 2500 dan biaya pada tahap editing ( 2) adalah Rp100,- per gambar,
mengikuti fungsi: ( 2) (g) = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar
yang dihasilkan.

a. Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar
dengan kualitas yang bagus?

b. Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya
pada tahap editing untuk 5 gambar.

Penyelesaian
Fungsi biaya pemotretan: ( 1) (g) = 500g + 2500
Fungsi biaya editing: ( 2) (g) = 100g + 500
a. Untuk menghasilkan gambar yang bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu

pemotretan dan editing, sehingga fungsi biaya yang dihasilkan adalah:
( 1) (g) + ( 2) (g) = (500g + 2500) + (100g + 500)
= 600g + 3000
Total biaya untuk menghasilkan 10 gambar (g = 10) adalah:
( 1) (g) + ( 2) (g) = 600g + 3000
( 1) (10) + ( 2) (10) = (600 × 10) + 3000
= 9000
Jadi total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan
kualitas yang bagus adalah Rp9000,-

b. Selisih biaya tahap pemotretan dengan tahap editing adalah:
( 1) (g) – ( 2) (g) = (500g + 2500) – (100g + 500)
= 400g + 2000
Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5 gambar (g = 5)
adalah:
( 1) (g) – ( 2) (g) = 400g + 2000
( 1) (5) – ( 2) (5) = (400 × 5) + 2000
= 4000
Jadi selisih biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 5 gambar dengan
kualitas yang bagus adalah Rp4000,-
Perhatikan jumlah biaya pada bagian (a) dan selisih biaya pada bagian (b).
( 1) (g) = 500g + 2500
sehingga ( 1) (5) = 5000 dan ( 1) (10) = 7500.

( 2) (g) = 100g + 500
sehingga ( 2) (5) = 1000 dan ( 2) (10) = 1500
( 1) (g) = ( 1) (g) + ( 2) (g) = 600g + 3000
sehingga ( 1) (10) = 9000 dan ( 1) (10) + ( 2) (10) = 7500 + 1500 =
9000
Demikian juga,
( ) (g) = ( 1) (g) – ( 2) (g) = 400g + 2000
sehingga ( ) (5) = 4000 dan ( 1) (5) – ( 2) (5) = 5000 – 1000 = 4000.

2.

PT MAJU JAYA sebuah perusahaan yang sangat memperhatikan

karyawannya. Pada tahun 2021 perusahaan mempunyai mempunyai kebijakan

dalam memberikan kesejahteraan kepada karyawannya, yaitu setiap bulan

seorang karyawan akan menerima 3 buah tunjangan yang terdiri dari

tunjangan keluarga, tunjangan kesehatan dan tunjangan transportasi selain gaji

pokok. Ketentuan tentang tunjangan tersebut adalah sebagai berikut:

 Tunjangan Keluarga = 1 Gaji Pokok + Bonus Tambahan
3
 Tunjangan Kesehatan = 1 (Tunjangan Keluarga + Bonus Tambahan)
2
1
 Tunjangan Transportasi = 4 Tunjangan Kesehatan

Jaka adalah seorang karyawan yang mendapat bonus tambahan 850.000 dan

telah bekerja selama 27 tahun dengan gaji pokok Rp 12.000.000, Berapakah

tunjangan transportasi yang akan diperoleh Jaka perbulannya?

Penyelesaian

Misalnya :

Tunjangan keluarga = K

Tunjangan Kesehatan = S

Tunjangan Transportasi = T

G = Gaji Pokok

Maka:
K = 1 + ℎ

3

S = 1 (K + Bonus Tambahan)

2

T = 1S ;

4

sesuai bonus tambahan dan masa kerja Jaka (mendapat bonus tambahan

850.000 dan masa kerja 27 tahun) jika dicocokan dengan tabel bonus

tambahan diperoleh:

= 1 + 850.000
3
= 1 ( + 850.000)
2
= 1

4
= 1 (1 ( + 850.000)) = 1 + 106.250
42 8
= 1 (1 + 850.000) + 106.250

83
= 1 + 106.250 + 106.250

24
= 1 + 212.500
24
= 1 (12.000.000) + 212.500
24

= 712.500

Jadi Tunjangan Transportasi Jaka per bulan = 712.500, −

Sifat – Sifat Komposisi Fungsi
Berikut ini sifat – sifat yang berlaku pada fungsi komposisi :

a. Secara umum sifat komutatif tidak berlaku pada fungsi
komposisi, yaitu ( )( ) ≠ ( )( )

b. Untuk komposisi tiga fungsi atau lebih, berlaku sifat

asosiatif. Jika f, g, dan h tiga buah fungsi, maka berlaku :
( ( ℎ))( ) = (( ) ℎ)( ).

c. Terdapat fungsi identitas terhadap operasi komposisi
fungsi, yakni I(x) = x, sehingga berlaku : ( )( ) =
( )( ) = ( )

CONTOH SIFAT-SIFAT

1. Diketahui ( ) = 2 + 1, ( ) = 3 – , dan ℎ( ) = 2 + 2, ( ) =
Penyelesaian:
a. ( )( ) = ( ( ))
= (3 − )
= 2(3 − ) + 1
= 6 – 2 + 1
= 7 – 2
( )( ) = ( ( ))
= (2 + 1)
= 3 – (2 + 1)
= 3 – 2 – 1
= 2 – 2
( ℎ)( ) = (ℎ( ))
= ( 2 + 2)
= 3 – ( 2 + 2)
= 1 − 2

Dari hasil di atas tampak bahwa ( )( ) ≠ ( )( )

b. (( ) ℎ)( ) = ( )(ℎ( ))
= ( )( 2 + 2)
= 7 – 2( 2 + 2)
= 3 − 2 2
( ( ℎ))( ) = (( ℎ)( )) = (1 − 2)
= 2(1 − 2) + 1

= 2 – 2 2 + 1
= 3 – 2 2
Dari hasil di atas tampak bahwa (( ) ℎ)( ) = ( ( ℎ))( )

( )( ) = ( ( )) = ( ) = 2 + 1
( )( ) = ( ( )) = (2 + 1) = 2 + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa ( )( ) = ( )( ) = ( )

C. Rangkuman

1. Komposisi fungsi dan didefinisikan( )( ) =
( ( )) ( )( ) = ( ( ))

2. ( )( ) = ( )( ) = ( ( ))
3. ( )( )= ( )( ) = ( ( ))
4. Sifat-sifat komposisi fungsi

a. Tidak komutatif
b. Memiliki sifat asosiatif ( ) (ℎ) = ( ℎ)
c. Memiliki fungsi identitas ( ) = sehingga =

=

D. Tes Formatif
1.

Menurut penelitian, pertumbuhan populasi monera (P) bergantung pada suhu
ruangan (T) dalam derajat Celcius dirumuskan ( ) = 2 dengan A adalah
jumlah monera mula-mula. Ternyata suhu ruangan juga tergantung terhadap
waktu t yang dirumuskan ( ) = 2 − 1 dengan t adalah waktu pembelahan
monera dalam detik. Model matematika hubungan antara jumlah populasi monera
terhadap waktu pembelahan yang benar adalah
a. 2 2 −1
b. 2 −1
c. 2 2 −2
d. 2 −1
e. 2 4−1

PENYELESAIAN
Di ketahui : ( ) = 2

( ) = 2 − 1
Ditanya : ( )( )
Jawaban
( )( ) = ( ( ))

= (2 − 1)
= 2 2 −1

Jawaban : A

E. Latihan Soal
1.

Suatu pabrik kain (x) memproduksi baju melalui 2 tahap. Tahap pertama

menggunakan mesin I yang menghasilkan baju setenggah jadi (y). dengan

mengikuti fungsi = ( ) = 3 + 5. Tahap kedua menggunakan mesin II yang

4

menghasilkan baju siap pakai mengikuti fungsi ( ) = 1 + 6. Dengan x dan y

2

dalam satuan pakaian (baju siap pakai). Jika baju yang tersedia untuk suatu

produksi sebanyak 100 2. Banyaknya baju yang dihasilkan adalah

a. 38 buah baju

b. 41 buah baju

c. 42 buah baju

d. 46 buah baju

e. 47 buah baju

2.

Perusahaan cat menerapkan system yang unik untuk memberikan tunjangan

kepada pegawainya. Setiap bulannya seorang karyawan akan mendapatkan dua

macam tunjangan yaitu tunjangan kesejahteraan dan kesehatan. Besarnya
tunjangan kesejahteraan ditentukan dari 1 gaji pokok ditambah Rp. 100.000,00.

5

Tunjangan kesehatan adalah 1 dari tunjangan kesejahteraan. Dari persoalan

2

tersebut maka tentukan :

a. Model matematika tunjangan kesehatan pegawai tersebut

b. Berapa tunjangan kesehatan pegawai yang mempunyai gaji pokok Rp.

4.000.000,00

3.

Suatu home industry memproduksi roti berbahan dasar tepung ( ) melalui 2
tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan adonan (kg) dengan
fungsi ( ) = 2 . Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan roti siap
kemas (kg) dengan fungsi ( ) = 0,88 + 8,5. Jika bahan tepung yang tersedia
adalah 100 kg, maka berapa kg roti yang dihasilkan?

4.

Ada seorang desainer gaun yang akan membuat gaun dengan melalui 2 tahap yaitu
tahap merancang dan tahap menjahit. Tahap pertama untuk merancang sebuah
gaun seorang desainer memerlukan biaya Rp. 100.000 dengan mengikuti fungsi
( ) = 90000 + 10000, untuk banyaknya gaun. Tahap kedua untuk menjahit
memerlukan biaya Rp. 400.000 dengan mengikuti fungsi ( ) = 4 + 200.000,
untuk total biaya merancang gaun. Jika seorang desainer tersebut ingin membuat
6 gaun, berapa yang harus dibayar?
a. Rp. 456.000
b. Rp. 380.000
c. Rp. 250.000
d. Rp. 240.000
e. Rp. 200.000

F. Penilaian Diri
Berilah tanda V pada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu

memahami kemampuan berikut:

No Kemampuan Diri Ya Tidak
1. Saya sudah memahami tentang komposisi fungsi
2. Saya sudah dapat menentukan rumus komposisi

fungsi
3. Saya sudah memahami sifat-sifat komposisi fungsi
4. Saya sudah memahami penerapan komposisi fungsi

dalam kehidupan sehari-hari..

FUNGSI INVERS

A. Tujuan Pembelajaran
Dalam kegiatan pembelajaran ini diharapkan peserta didik dapat:
1. Menganalisis operasi invers fungsi
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi invers

B. Uraian Materi
Masih ingatkah Kalian waktu kecil dulu orangtua Kalian mengajarkan

bagaimana cara memakai baju atau melepas baju. Biasanya dimulai dengan
mengambil baju dari lemari baju, pakailah baju, memasukkan kepala dan masukan
tangan. Ketika belajar melepas baju, dimulai dengan mengeluarkan tangan
mengeluarkan kepala, melepas baju dan meletakkan baju pada tempat penyimpanan
baju. Proses memakai baju dan melepas baju tergambar pada diagram berikut:

Gambar 5 Proses Memakai dan Memasang Baju
Kegiatan memakai baju dan melepas baju tersebut merupakan kegiatan yang
berkebalikan, dalam matematika sering dinamakan invers. Sekarang perhatikan
contoh kontekstual yang terkait dengan invers fungsi berikut:

CONTOH
1.

Seorang toko buku memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap buku

sebesar ( ) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi ( ) =

500 + 1.000, dimana banyak buku yang terjual

a. Jika dalam suatu hari toko tersebut mampu menjual 50 buku, berapa

keuntungan yang diperoleh?

b. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa buku

yang harus terjual?

c. Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi dan merupakan

daerah hasil (range) fungsi , gambarkanlah permasalahan butir (a)

dan butir (b) di atas.

Penyelesaian:

Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi ( ) = 500 + 1.000, untuk

setiap potong kain yang terjual.

a. Penjualan 50 buku, maka = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh

adalah ( ) = 500 + 1000 untuk = 50 berarti (50) =

(500 × 50) + 1.000 = 25.000 + 1.000 = 26.000 Jadi,

keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 buku sebesar

Rp26.000,00

b. Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka

banyaknya buku yang harus terjual adalah
( ) = 500 + 1000

100.000 = 500 + 1000
500 = 100.000 – 1.000
500 = 99.000
= 99.000

500

= 198

Jadi, banyaknya buku yang harus terjual adalah 198 buku

c. Jika A merupakan daerah asal fungsi dan merupakan daerah hasil
fungsi , maka permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas
digambarkan seperti berikut.

2. Misalkan : → didefinisikan sebagaimana diagram panah berikut :

Dari diagram (i):
( ) =
( ) =
( ) =
Dari diagram (ii):
−1( ) =
−1( ) =
−1( ) =

Jadi ∶ → adalah = {( , ), ( , ), ( , )} dan −1 ∶ → adalah −1 =
{( , ), ( , ), ( , )}.

3. Fungsi : → dengan = {( , )| = ( ), ∈ ∈ } didefinisikan
dengan = ( ) = 4 . Jika daerah asal (domain) =
{… , −2, −1, 0, 1, 2 … }, maka daerah hasilnya (Range) adalah:
Penyelesaian :
(−2) = 4. (−2) = −8
(−1) = 4. (−1) = −4
(0) = 4.0 = 0
(1) = 4.1 = 4
(2) = 4.2 = 8
sehingga Range = {… , −8, −4, 0, 4, 8, … }.

Pasangan berurut dari fungsi adalah ∶
{… , (−2, −8), (−1, −4), (0, 0), (1, 4), (2, 8), … }. Inver dari fungsi adalah
−1: → . Dari pasangan berurut fungsi kita dapatkan daerah asal invers
fungsi , yaitu −1 = {… , −8, −4, 0, 4, 8, … }. Daerah hasi −1 =
{… , −2, −1, 0, 1, 2, … }. Pasangan berurut invers fungsi adalah −1 ∶
{… , (−8, −2), (−4, −1), (0, 0), (4, 1), (8, 2), … }

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa invers atau kebalikan dari fungsi,
tidak selalu menghasilkan fungsi. Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi
juga, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers. Syarat agar invers suatu
fungsi merupakan fungsi invers jika dan hanya jika suatu fungsi bijektif
(korespondensi satu-satu).

Sifat-sifat invers

Suatu fungsi ∶ → dikatakan memiliki fungsi
invers − : → jika danhanya jika fungsi f merupakan fungsi

bijektif.

Pada fungsi bijektif : → , A merupakan daerah asal fungsi dan B
merupakan daerah hasil fungsi . Secara umum, definisi fungsi invers
diberikan sebagai berikut :
Definisi:

Jika fungsi : → adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi
adalah fungsi yang didefinisikan sebagai − : → dengan
kata lain − adalah fungsi dari . adalah daerah asal

fungsi dan adalah daerah hasil fungsi .

Fungsi : → adalah fungsi bijektif, jika ∈ merupakan peta dari
∈ , maka hubungan antara dengan ( ) didefinisikan dengan =
( ). Jika − 1 adalah fungsi invers dari fungsi , maka untuk setiap ∈
−1 adalah peta dari ∈ −1. Hubungan antara dengan −1( )
didefinisikan dengan rumus = −1( )

Misalkan −1adalah fungsi invers fungsi . Untuk setiap ∈ dan
∈ ,maka berlaku = ( ) jika dan hanya jika −1( ) = . Untuk
menentukan rumus fungsi invers dari fungsi dapat dilakukan langkah
langkah:
a. Ubah persamaan = ( ) ke dalam bentuk = ( )
b. Gantikan x dengan −1( ) sehingga ( ) = −1( )
c. Gantikan dengan sehingga diperoleh invers berupa −1

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi
fungsi sebagai berikut:

1) Jika diketahui ( ) dan ( )( ) atau ( )( ) ,
maka ( −1)( ) = ( −1 )( ) = ( )

2) Jika diketahui ( ) dan ( )( ) atau ( )( ), maka
( −1 )( ) = ( −1)( ) = ( )

3) Jika diketahui ( ), ( ) dan( ℎ)( ) ,
maka( )−1(( ℎ)( ))

4) Jika diketahui ( ), ℎ( ), dan ( ℎ)( ), maka
−1 (( ℎ)(ℎ−1 ( )))

Menentukan Rumus Fungsi Invers.

1.

Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub voli adalah hasil penjualan
tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besarnya dana yang diperoleh
bergantung kepada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan
tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang
diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi ( ) =
600 + 40.000, dengan merupakan banyak penonton yang menyaksikan
pertandingan.

a. Tentukanlah fungsi invers pendapatan dari tiket penonton klub voli

tersebut.

b. Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan

tiket penonton sebesar Rp 6.000.000,00, berapa penonton yang

menyaksikan pertandingan tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah ( ) = 800 +

40.000.

a. Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub voli Untuk menentukan

rumus fungsi invers ( ) dapat dihitung sebagai berikut.

= ( ) = 800 + 40.000

= 800 + 40.000

800 = – 40.000

= − 40.000

800

Karena = −1( ), maka −1( ) = − 40.000

800

Karena −1( ) = − 40.000 , maka −1( ) = −40.000
800 800

Jadi, fungsi invers dari ( ) = 600 + 40.000 adalah −1( ) =

−40.000

800

atau −1 = 1 ( − 40.000)
800

b. Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 6.000.000,00, maka

banyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalah
−1( ) = −40.000

800

−1(6.000.000) = 6.000.000−40.000

800

= 5.960.000

800

= 7450

2. Diketahui : → dengan ( ) = 4 − 8. Tentukan −1( )!
Penyelsaian:
Karena = ( )m maka = 4 − 8
= 4 − 8 (yang berarti = −1( ))
4 = + 8
= + 8

4

−1( ) = + 8

4

3. Diketahui ( ) = 4 +1 Tentukan −1( )!

−6

Penyelesaian:
Karena = ( ), maka = 4 +1

−6

( − 6) = 4 + 1
− 6 = 4 + 1

− 4 = 6 + 1

( − 4) = 4 + 1
= 6 + 1

− 6

−1( ) = 6 + 1

− 6

4. Jika ( ) = 4 , ∈ , ≠ 8 dan −1( ) = 1 . Tentukan nilai k!
6 −8 6

Penyelesaian:

Misalkan ( ) = , = 4

6 −8

(6 − 8) = 4

6 – 8 = 4

6 – 4 = 8

(6 – 4) = 8

= 8

6 −4

−1( ) = 8

6 −4

−1( ) = 8

6 −4

1 = 8

6 −4

6 – 4 = 8

−2 = 4

= −2

5. Suatu fungsi pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi ( ) =
−8 Tentukan domain dan kodomain agar diperoleh fungsi invers −1

4 +6

Penyelesaian:

Dengan memperhatikan rumus fungsi yang berupa fungsi pecah, maka

domain dari fungsi adalah: = { | 4 + 6 ≠ 0, ∈ }
= { | ≠ − 6 , ∈ }

4

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnya,

Misalkan ( ) =
= −8

4 +6

−8 =

4 +6

− 8 = (4 + 6)

− 8 = 4 + 6

− 4 = 6 + 8

(1 − 4 ) = 6 + 8
= 6 +8

1−4

−1( ) = 6 +8

1−4

−1( ) = 6 +8

1−4

Syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers apabila fungsi tersebut adalah
bijektif, maka kodomain dari fungsi adalah domain dari −1, sehingga
kodomain dari adalah −1 = { |1 − 4 ≠ 0, ∈ } = { | ≠ 1 , ∈ }

4

Invers dari Fungsi Komposisi
Setelah Kalian mempelajari fungsi komposisi dan fungsi invers dari suatu fungsi,
pada pembahasan ini Kalian akan mempelajari mengenai fungsi invers dari fungsi
komposisi. Untuk mempelajari lebih lanjut, perhatikan diagram panah berikut ini.

Dari diagram di atas, dapat terlihat bahwa fungsi komposisi ( ) memetakan
ke . Sedangkan fungsi invers dari , yaitu ( )−1 memetakan ke , atau
dapat dinyatakan dengan ( ) −1( ) = .
Dalam hal ini, −1 memetakan ke dan −1 memetakan ke , seperti terlihat
pada diagram berikut ini.

Sehingga diperoleh −1( – 1) = −1( ) = dengan −1( −1( )) =
( −1 −1) ( ). Untuk sembarang nilai , secara umum dapat dikatakan bahwa:

( )− ( ) = ( − − )( )
Kalian dapat menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi dengan dua
cara yaitu:

a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan
inversnya

b. Menentukan dulu inversnya masing−masing fungsi, kemudian
dikomposisikan

CONTOH

1. Diketahui = − 8 dan = 8 + 2, tentukan ( ) −1( ) dengan

dua cara di atas

Penyelesaian:

a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan

inversnya

( )( ) = ( ( ))

= (8 + 2)

= 8 + 2 − 8

= 8 − 6

Misalkan = 8 − 6.

8 = + 6 masing−masing fungsi, kemudian
= +6

8

Jadi ( )−1( ) = +6

8

a. Menentukan dulu inversnya

dikomposisikan

( ) = − 8 → misalkan = − 8

= + 8 sehingga −1( ) = + 8.
( ) = 8 + 2 → misalkan = 8 + 2

8 = − 2
= −2 sehingga −1( ) = −2

88

( )−1( ) = ( −1 −1)( )

= −1 ( −1( ))

= −1( + 8)

= ( +8)−2

8

= −6

8

Jadi ( )−1( ) = −6

8

2. Diketahui fungsi ( ) = 4 – 6 dan ( ) = 1 , ≠ − 1 . Tentukan
6 +2 6
−1( )!

Penyelesaian:

( )( ) = 1 ( 1 ) − 6

6 +2

= 4−6(6 +2)

6 +2

= 4−12 −12

6 +2

= −12 −8

6 +2

Misalkan = ( )( )

= −12 −8

6 +2

(6 + 2) = −12 – 8

6 + 2 = −12 – 8

6 + 12 = −2 – 8

(6 + 12) = −(2 + 8)

= −(2 + 8)

6 + 12

( )−1( ) = − 2 + 8

6 + 12

3. Ditentukan ( ) = 4 – 2, ( ) = 6– dan ℎ( ) = 8 , ≠ 0 , carilah

nilai sehingga (ℎ )−1( ) = 2!

Penyelesaian:

( )( ) = 6 – (4 – 2) = 8 – 4

(ℎ ( ))( ) = 8

8−4

Misalkan (ℎ( ))( ) = , maka:

= 8

8−4

8 – 4 = 8

−4 = 8 – 8

= 8−8 = 2 −2

−4

(ℎ ( ))−1( ) ( ) = 2 −2



2 −2 = 2



2 − 2 =

= 2

Menetukan Rumus Invers Fungsi Kuadrat

1. Diketahui ( ) = 2 + + . Tentukan −1( )!

Penyelesaiaan:

Misal ( ) =
= 2 + + ↔ 2 + = – (kedua ruas datambah (-c))

2 + = − (Kedua rua dikali 1)

2 + + ( )2 = − + ( )2
2 2
(kedua ruas ditambah ( )2 agar ruas kiri bisa membentuk kuadrat sempurna)
2
( + )2 = − + ( )2
2 2
( + )2 = − + 2
2 4
2
( + )2 = 4 ( − ) + 4 2
4 2
2 4 −4 + 2
4 2
( + )2 =

2 4 + 2−4
4 2
( + )2 =

2

( + ) = ±√4 +4 22−4

2

( + ) = ± 1 √4 + 2 − 4

2 2

= − ± 1 √4 + 2 − 4

2 2

= − ±√4 + 2−4

2

Jadi −1( ) = = − ±√4 + 2−4

2

Catatan:

−1( ) = − ±√4 + 2−4 akan menjadi fungsi invers jika dibatasi ≥ − −

2 2

Rumus Umum Invers Fungsi dalam Bentuk Akar.

1. Tentukan invers dari ( ) = √ +

Penyelesaian :

Misal ( ) = maka dapat dijabarkan = √ +

= √ + = ( + 1

)

= + (Kedua ruas dipangkatkan dengan n)

= − (Kedua ruas ditambah dengan –b)

= −



−1( ) = −



−1( ) = −



Jadi jika ( ) = √ + , maka −1( ) = −



C. Rangkuman

1. Pengertian Fungsi Invers: Jika fungsi ∶ → yang
mempunyai peta ( ) = maka invers adalah fungsi ∶
→ dengan peta ( ) = .

2. Teorema fungsi invers: Bila ∶ → adalah fungsi bijektif
maka invers fungsi yaitu −1 ∶ → juga merupakan fungsi
bijektif

3. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
 ( )−1 ( ) = ( −1 −1) ( )
 (ℎ )– 1 ( ) = ( −1 −1 ℎ−1) ( )

4. Jika ( ) = 2 + + , maka −1( ) = =

− ±√4 + 2−4 akan menjadi fungsi invers jika dibatasi ≥

2

− −

2

5. Jika ( ) = √ + , maka −1( ) = −



D. Tes Formatif
1.

Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap potong
kain sebesar ( ) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi ( ) =
1000 + 2.000 dalam rupiah. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp 200.000

berapa potong kain yang harus terjual?

PENYELESAIAN

Diketahui : ( ) = 1000 + 2.000

= 200.000

Ditanya : Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp 200.000 berapa

potong kain yang harus terjual?

Jawaban −1( ) = −2000
( ) = 1000 + 2.000
1000
= 1000 + 2000
−1(200.000) = 200000−2000
− 2000 = 1000
−2000 = 1000

1000 = 198000

1000

= 198 (Jawaban : 198)

E. Latihan Soal
1.

Jumlah produksi mie instan dari suatu pabrik per hari mengikuti fungsi ( ) =
2 + 600 dengan adalah banyaknya bahan baku yang diperlukan (dalam kg)
a. Tentukan banyaknya mie instan yang dapat dihasilkan dari bahan baku

sebanyak 100kg.
b. Tentukan banyaknya bahan baku yang dibutuhkan untuk menghasilkan

makanan ringan sebanyak 3100 buah

2.

Penghasilan perbualan seorang karyawan terdiri atas gaji pokok dan bonus

penjualan. Gaji pokok karyawan tersebuat adalah Rp. 4.500.000. bonus penjualan

sebesar ( ) = 5000 rupiah dengan x menyatakan banyak unit barang yang

laku dijual olehnya selama sebulan. Jika ( )menyatakan penghasilan total

karyawan tersebut, rumus invers adalah

a. −1( ) = 1 + 900

5000

b. −1( ) = 1 − 900

5000

c. −1( ) = 900 − 1

5000

d. −1( ) = 1 − 5000

900

e. −1( ) = 1 + 5000

900

3.

Untuk mencetak eksemplar modul dalam sehari, diperlukan ( ) == 1 ( +

5000

1000) unit mesin cetak. Padahal jika digunakan x unit mesin cetak, biaya perawatan
harian yang harus dikeluarkan adalah ( ) = 20 + 10 (dalam ribuan rupiah). Jika
pengeluaran untuk perawatan mesin hari ini sebesar Rp 75.000.00, maka banyak
eksemplar modul yang dicetaak adalah
a. ( −1 −1)(75)
b. ( −1 −1)(75)
c. ( . )(75)
d. ( )(75)
e. ( )(75)

4.

Biaya keseluruhan membuat kemeja adalah ( ) = 180.000 + 220.000 untuk

banyaknya kemeja yang dibuat. Dengan memisalkan total biaya yang diperlukan
untuk membuat kemeja adalah . Jika gina mempunyai uang Rp.580.000 berapa
kemeja yang dapat gina pesan?

F. Penilaian Diri
Berilah tanda V pada kolom “Ya” jika Kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu

memahami kemampuan berikut:

No Kemampuan Diri Ya Tidak
1. Saya sudah memahami tentang komposisi fungsi
2. Saya sudah dapat menentukan rumus komposisi

fungsi
3. Saya sudah memahami sifat-sifat komposisi fungsi
4. Saya sudah memahami penerapan komposisi fungsi

dalam kehidupan sehari-hari..