MODUL PDPR MATEMATIK TINGKATAN 4 BAB 5 - RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF

0 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

1 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

Latihan T4: Rangkaian TP2
1. Jawab soalan yang berikut dengan tepat.

(a) Sambungan antara suatu perkara dengan perkara yang lain dinamakan sebagai ……………………
yang melibatkan ………………. dan …………….. .

(b) Bintik yang menyambungkan satu garis ialah …………………

(c) Tepi merujuk kepada garis yang …………………………………..

(d) Bilangan tepi yang merujuk hubungan dengan bucu yang lain di namakan …………………

(e) Tepi berbentuk lengkung atau bulatan yang berbalik kepada bucu asal ialah ………………………...

(f) Bucu yang wujud tetapi tidak berkaitan dengan bucu yang lain dikenali ……………………

2. Namakan graf yang berikut :

3. Lengkapkan label bagi gambar rajah di bawah.

•

4. Suaikan jawapan yang betul.
BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

2 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS Graf tak terarah
Graf terarah
Graf yang hanya mempunyai 1 arah sahaja
Graf yang mempunyai lebih dari 1 arah

5. Nyatakan bilangan bucu (V), bilangan tepi (E) dan bilangan darjah (v) TP3

(a) G H J (b) W U
F K L M P Q

R T
Nyatakan S

Nyatakan (i) bilangan bucu (V) = ………………
(ii) bilangan tepi (E) = ………………
(i) bilangan bucu (V) = ……………… (iii) bilangan darjah (v) = ………………
(ii) bilangan tepi (E) = ………………
(iii) bilangan darjah (v) = ………………

(c) (d)

e10 7 e13 8
e14
6 1 e1 2 e11

e2 e3 e2 e12 e9
e7
1 e1 2 5 e6 6
e5
e4 3
4
e5 e3

3 e6 e4 e7

4 e8

5

Nyatakan Nyatakan

(i) bilangan bucu (V) = ……………… (i) bilangan bucu (V) = ………………
(ii) bilangan tepi (E) = ……………… (ii) bilangan tepi (E) = ………………
(iii) bilangan darjah (v) = ……………… (iii) bilangan darjah (v) = ………………

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

3 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS U T
P S
6. Berdasarkan rajah di atas, tentukan N
(a) V =
(b) E = Q
R
(c) bilangan darjah= ……………………………….

7. Berdasarkan rajah di atas, tentukan H
(a) V =
(b) E = G J
F K
(c) bilangan darjah= ……………………………….
M

L

8. Lukis satu graf mudah dan labelkan bucu, mengikut maklumat yang diberikan. TP4

V = {J, K, L, M, N, P, Q}
E = {(J,K), (K,L), (K,M), (M,N), (M,P), (N,P), (N,Q), (Q,L)}

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

4 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

9. Lukis satu graf mudah mengikut maklumat yang diberikan.
V = {J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T}
E = {(J,K), (K, L), (K,M), (K,P), (N,Q), (P,Q), (P,R), (Q,R), (Q,S), (S,T), (R,T)}

10. Lukis satu graf berbilang tepi dan mempunyai gelung dan labelkan bucu, mengikut maklumat
yang diberikan.
V = {F, G, H, J, K, L, M, N}
E = {F,G), (G,H), (G,H), (H,K), (H,K), (K,L), (K,K), (L,M), (L,M), (L,M), (M,G)}

11. Lukis satu graf berbilang tepi dan mempunyai gelung mengikut maklumat yang diberikan.
V = {F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S}
E = {(F,G), (G,H), (G,J), (G,J), (G,J), (J,S), (J,J), (S,R), (R,L), (R,L), (R,P), (P,H), (P,Q), (P,N), (Q,N),
(Q,Q), (N,M), (N,N)}

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

5 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

12. Lukis graf bagi setiap bilangan darjah yang berikut :

(a) 1, 2, 1 [graf mudah] (b) 2, 3, 3, 2 [graf mudah]

(c) 1, 3, 3, 3, 2 [graf mudah] (d) 4, 4, 3, 3, 2 [bilang tepi atau gelung]

(e) 1, 2, 4, 3, 5, 3 [bilang tepi dan gelung] (f) 1, 4, 7, 5, 2, 5 [bilang tepi dan gelung]

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

6 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

13. Berdasarkan rajah di atas, tentukan

(a) V = ………………………………. R

n(V) = ……………………… P Q S
(b) E = ………………………………………………
<

…………………………………….………… U
n(E) = ………………………. T

(c) bilangan darjah dout (P) = …….. din (S) = …….. , dout (S) = ……..
din (P) = …….., dout (Q) = …….. din (T) = …….. , dout (T) = ……..
din (Q) = …….. , dout (R) = …….. din (U) = …….. , dout (U) = ……..
din (R) = …….. ,

d(V ) = …………………

14. Berdasarkan rajah di atas, tentukan <
(a) V = ……………………………….
n(V) = ……………………… R

(b) E = ……………………………………………… P Q S
…………………………………….…………
<
n(E) = ……………………….
U

T

(a) bilangan darjah dout (P) = …….. din (S) = …….. , dout (S) = ……..
din (P) = …….., dout (Q) = …….. din (T) = …….. , dout (T) = ……..
din (Q) = …….. , dout (R) = …….. din (U) = …….. , dout (U) = ……..
din (R) = …….. ,

d(V ) = …………………

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

7 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

15. Lukis graf terarah mudah berdasarkan maklumat berikut : TP5

V = J, K, L, M, N din (M) = 2, dout (M) = 1
din (J) = 1, dout (J) = 2 din (N) = 1, dout (N) = 1
din (K) = 1, dout (K) = 1
din (L) = 1, dout (L) = 1

16. Lukis graf terarah yang mempunyai gelung dan berbilang tepi berdasarkan maklumat berikut :

V = P, Q, R, S, T, U din (R) = 2, dout (R) = 2 din (T) = 2, dout (T) = 2
din (P) = 3, dout (P) = 1 din (S) = 3, dout (S) = 2 din (U) = 0, dout (U) = 1

din (Q) = 1, dout (Q) = 3

17. (a) Tentukan sama ada setiap yang berikut merupakan subgraf atau bukan kepada graf X.

D e9 D TP3
e2 G
D e1 E G e5 e3
F
e2 e6 e7 e4 e8 E
G e5 F

e9 e3

Graf X

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

8 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

(b) Seterusnya, bina dua lagi subgraf bagi graf X.

18. Lukis 6 subgraf dari graf yang berikut.

Q

e2 e5
P e3

e1

S e4 R

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

9 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

19. Tentukan sama ada settiap yang berikut adalah pokok atau bukan.

Q P

P QS
R
S
R T UV

Q P S
QR
T T
P

R
S

20. Lukis satu pokok dengan maklumat berikut : (b) Bucu = 9
(a) Bucu = 4

(c) Tepi = 6 (d) Tepi = 10

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

10 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS G TP4
K
21. Bina dua pokok daripada graf yang berikut. F
E

D

J
H

22. Bina dua pokok daripada graf yang berikut. G

F
DE

JK
H

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

11 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS R

23. Lukis satu pokok daripada graf yang 11
berikut dengan jumlah pemberat yang 6
paling minimum.

P 5Q 12 15 S

13 4 9

U7 T

24. Lukis satu pokok daripada graf yang Q
berikut dengan jumlah pemberat yang
paling minimum. 12

18 R
24 22

P 8 S 10 20 16 V
7

T9 17

U

25. Graf rangkaian berikut menunjukkan beberapa jalan yang boleh dilalui oleh seorang pemandu.

RS

PQ

U
WV

T

Berdasarkan graf rangkaian di atas, nyatakan selebih-lebihnya 2 jalan yang boleh dilalui oleh pemandu
berikut untuk menuju ke destinasinya.

Dari Ke Pilihan #1 Pilihan #2
PV
QT
SW

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

12 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS Tarikh Semakan : ……………………….

Latihan T4: Rangkaian
Tarikh Latihan : ……………………….

1. Graf rangkaian berikut menunjukkan beberapa jalan dan jarak, dalam km, yang boleh dilalui TP4
oleh seorang pemandu ke destinasi tertentu.

Q 9R 12 S
6

13 25
U
P 34

7 20 17 7
14 V 15
22
W

T

(a) Berdasarkan graf rangkaian di atas, nyatakan nama nama jalan dan jumlah jarak terpendek yang akan
dilalui oleh pemandu berikut untuk menuju ke destinasinya.

Dari Ke Laluan Terpendek Jumlah Jarak
PU

QT

VP

UW

(b) Nyatakan laluan dan jumlah jarak terpendek dan terpanjang yang akan dilalui oleh pemandu
itu jika dia ingin ke destinasinya yang berikut. (Nota : Tiada pengulangan stesen)

Dari Ke Laluan Terpendek dan terpanjang Jumlah Jarak

Terpendek :
PT

Terpanjang :

Terpendek :
WU

Terpanjang :

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

13 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

2. Berikut adalah catatan bagi seorang pengembara solo dari Perancis yang berkunjung ke Negeri
Sembilan.

Tarikh Dari Ke Jarak
21.5.2021 KLIA [X] Seremban [S] 50 km
22.5.2021 Seremban [S] 18 km
Rantau [R] Rantau [R] 68 km
24.5.2021 Kuala Pilah [K] Kuala Pilah [K] 52 km
Gemas [G] 32 km
25.5.2021 Tampin [T] Gemas [G] 57 km
27.5.2021 Seremban [S] Tampin [T] 37 km
29.5.2021 Port Dickson [P] Seremban [S] 82 km
Kuala Pilah [K] Port Dickson [P]
Kuala Pilah [K]
KLIA [X]

(a) Berdasarkan maklumat di atas, lengkapkan graf rangkaian di ruang jawapan untuk
menunjukkan pergerakan pengembara itu sepanjang berada di Malaysia.

S
50

X

(b) Pengembara itu menggunakan perkhidmatan grab car untuk terus ke KLIA daripada Kuala
Pilah dengan caj yang dikenakan ialah RM1.50 bagi setiap km. Hitung junmlah bayaran,
dalam RM, yang perlu dibayar oleh penggembara itu jika grab car itu menggunakan laluan
terpendek untuk ke KLIA.

.

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

14 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

3. Rajah menunjukkan jarak, dalam km, beberapa jalan yang mengubungkan rumah Idham ke sekolahnya.

Q 5
P1
Rumah 3 Sekolah
(X) (Y)
4.5 4.5

6 6.5

R

(a) Namakan dan hitung jarak, dalam km, laluan ketiga terpendek untuk Idham ke sekolah.
[Nota : Tidak melalui lokasi yang sama]

(b) Jika Idham menggunakan laluan terpanjang untuk Idham pulang ke rumahnya, namakan laluan
tersebut (Nota : tanpa ada pengulangan laluan).

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

15 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

4. Graf mudah menunjukkan kedudukan, dalam km, enam kampung dalam satu komuniti yang terjejas
dengan ,asalah banjir. Sebuah NGO merancang untuk mengedar bekalan sumbangan makanan ke semua
kampung tersebut semasa Covid’19 setelah mendapat kelulusan daripada pihak polis.

Q

30 km

25 km 10 km 11 km 18 km R
12 km T 9.5 km U

P 11 km 35 km

18 km 5 km

S

(a) Lukis satu graf pokok yang menunjukkan laluan terpendek yang akan dilalui oleh NGO tersebut
bermula dari kampung P untuk ke semua kampong tersebut yang berakhir di kampung U tanpa melalui
laluan yang sama berulang kali.

(b) Jika setiap kampung akan diperuntukkan 30 minit untuk tujuan penyerahan bantuan itu dan perjalanan
antara kampung dengan laju 90 kmj-1, hitung, masa, dalam jam, yang diperlukan bagi menyelesaikan
program sumbangan itu.

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

16 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

5. Graf perpemberat di bawah menunjukkan tempoh masa, dalam minit, yang diperlukan untuk sampai ke
tujuh destinasi, P, Q, R, S, T, U dan W.

Q

54 min
P

60 min

R 54 min

W S
50 min
124 min

42 min

60 min

U 189 min T

(a) Zaihan memandu dari U menuju ke R melalui laluan yang terpantas, namakan laluan itu dan hitung
laju, dalam kmj-1, pemanduan Zaihan, jika diberi jarak keseluruhan yang dilalui oleh Zaihan ialah
249 km.

(b) Haniza berada di W ingin berjumpa rakannya yang berada di S. Dia akan mengambil adiknya yang
berada di Q terlebih dahulu, sebelum meneruskan perjalanan ke rumah rakannya. Beliau berada di
rumah rakannya selama 1.65 jam sebelum bergerak pulang ke rumahnya. Diberi purata laju
keseluruhan pemanduannya ialah 45 kmj-1.

(i) Jika Haniza tiba di rumahnya pada pukup 9.45 malam, nyatakam masa, ketika dia memulakan
pemanduannya.

(ii) Hitung jarak, dalam km, yang dilalui oleh Haniza untuk tiba ke rumah rakannya.

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

17 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

6. Jadual menunjukkan jarak antara dua bucu.

Nama Tempat Pasangan Bucu Pemberat (km) Pasangan Bucu Pemberat (km)
(K, T) 78
S - Shah Alam (S, K) 26 (B, T) 63
(P, B) 55
K - Klang (S, G) 37 (P, G) 15
(G, T) 80
G - Gombak (S, P) 23

T - Tanjong Karang (S, B) 60

B - Banting (K, B) 48
P – Petaling Jaya

(a) Berdasarkan maklumat di atas, lengkapkan graf berpemberat dan tak terarah yang diberikan.
SK

P
G

(b) Nyatakan jarak, dalam km, yang terpendek yang mengubungkan dua lokasi yang berikut :

(i) Klang ke Gombak → …………………………………………………………..
→ Jumlah Jarak : …………… km

(ii) Tanjong Karang ke Shah Alam → …………………………………………………………..
→ Jumlah Jarak : …………… km

(iii) Banting ke Gombak → …………………………………………………………..
→ Jumlah Jarak : …………… km

(iv) Petaling Jaya ke Klang → …………………………………………………………..
→ Jumlah Jarak : …………… km

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

18 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

(c) Hakimi dan Qayyum memandu dari Shah Alam ke Tanjong Karang untuk urusan pembelian tanah
dengan keadaan :
• Hakimi memandu mengikut jarak terpendek
• Qayyum melakukan urusannya di Petaling Jaya terlebih dahulu.
Hitung beza jarak, dalam km, yang dilalui oleh Hakimi dan Qayyum.

(d) Naufal memandu dari Petaling Jaya dan melalui semua lokasi tersebut melalui jarak terpendek tanpa
melalui laluan yang sama. Lukis laluan yang dilalui oleh Naufal.

7. Graf menunjukkan jarak laluan, dalam km, yang menghubungkan 6 buah lokasi, P, Q, R, S, T dan U.

Q 17 S

35 60

P U
30 47 32

26 88
38

R 55 T

(a) Syarleen yang tinggal di P akan menghadirkan diri ke satu mesyuarat syarikat di U. Nyatakan dan
hitung jarak, dalam km, laluan terpendek yang akan dilalui oleh beliau.

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

19 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

(b) Rustam, seorang pekerja Ninja Van akan menghantar barang dari lokasi T ke semua lokasi di atas.
Lukis graf pokok yang menunjukkan laluan terpendek dan hitung jumlah jarak yang akan dilalui
oleh beliau jika dia hanya melalui sekali sahaja di setiap lokasi.

(c) Mustafa berada di U perlu hadir ke satu majlis di lokasi R. Dia mempunyai 3 pilihan pengangkutan
seperti yang berikut :

Mod Pengangkutan dan Kadar Tambang Laluan
kelajuan

Grab (95 kmj-1) RM15 + RM2.50/km Semua laluan kecuali S ke T

Teksi (80 kmj-1) RM8 + RM1.50/km Semua laluan kecuali laluan T
Bas Ekspres (75 kmj-1)
RM0.85/km Laluan dari T ke S ke R ke P ke Q ke U ke T
semula.

(i) Jika Mustafa memerlukan pengangkutan yang boleh sampai dalam masa terpantas, nyatakan
mod pengangkutan dan jumlah kos yang perlu dibelanjakan.

(ii) Jika Mustafa tidak berkeperluan segera ke majlis itu, nyatakan pilihan pengangkutan paling
optimum dari segi kos dan masa. berikan justifikasi anda.

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf

20 | PANITIA MATEMATIK SMKBTS

BAB 5 : Rangkaian Dalam Teori Graf