BESARAN VEKTOR

Bab 4. Besaran Vektor: 0

A. Definisi Vektor

Di sebuah terminal, seorang penumpang berjalan sambil mendorong troli menuju
sebuah bis. Setelah sampai di bis, dia pun naik dan duduk di jok paling belakang. Dalam
waktu yang tidak cukup lama untuk menunggu, bis pun bergerak keluar terminal dan
bergerak dengan kecepatan sedang di jalan raya ke sebalah barat menuju kota tujuan. Karena
jarak yang akan ditempuh cukup jauh dan jok bis masih banyak yang kosong, penumpang
tadi pun pindah tempat duduk ke jok depan supaya lebih nyaman selama perjalanan.

Dalam cerita singkat di atas, disebutkan beberapa besaran yang diberi keterangan arah,
seperti mendorong (gaya) troli menuju bis, bergerak dengan kecepatan sedang ke arah
barat, dan pindah tempat duduk ke jok depan. Ada juga besaran yang tidak diberi keterangan
arah, seperti waktu dan jarak. Dalam Fisika, Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut
dengan Besaran Vektor, sedangkan besaran yang tidak memiliki arah dan hanya memiliki
nilai saja disebut Besaran Skalar.

Berikut adalah contoh – contoh besaran vektor dan besaran skalar:

No Besaran Vektor No Besaran Skalar
1 Perpindahan 1 Jarak
2 Kecepatan 2 Waktu
3 Percepatan 3 Massa
4 Percepatan gravitasi 4 Luas
5 Gaya 5 Volume
6 Berat 6 Usaha
7 Tegangan Permukaan 7 Energi Kinetik
8 Momen gaya 8 Energi Potensial
9 Momentum 9 Daya
10 Impuls 10 Massa jenis
11 Tekanan 11 Jumlah zat
12 Kuat arus listrik 12 Muatan listrik
13 Medan listrik 13 Potensial listrik
14 Medan magnet 14 Muatan Listrik

dll dll

Tabel 4.1 besaran vektor dan besaran skalar 1
Bab 4. Besaran Vektor:

B. Simbol dan Gambar Vektor

1. Penulisan Simbol Vektor

Semua besaran dalam fisika memiliki simbol sebagai identitas dari besaran tersebut,
untuk lebih mudah dikenali. Adapun simbol dari besaran vektor ditulis dengan satu atau dua
buah huruf yang diberi tanda anak panah di atasnya atau ditulis dengan satu atau dua buah
hurup yang dicetak tebal (bold).

Contoh:

▪ ⃗ atau = vektor A
▪ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ atau = vektor AB

Vektor yang ditulis dengan dua huruf, maka huruf pertama menunjukkan asal vektor
dan huruf kedua menunjukkan arah vektor tersebut. Seperti pada contoh di atas, yaitu ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

itu artinya vektor AB yang arahnya dari A ke B.

2. Penggambaran Vektor

Sebuah besaran vektor digambarkan dengan sebuah anak panah, dimana panjang anak
panah menunjukkan besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah (ujung lancip)
menunjukkan arah vektor.

Contoh:


Apangkal vektor ujung vektor

Gambar 4.1 gambar sebuah vektor

Gambar di atas, menunjukkan vektor A yang besarnya 3 satuan, dan arahnya ke kiri.

3. Penulisan Simbol Besar atau Nilai Vektor

Sebagaimana sudah dijelaskan di atas, bahwa besaran vektor adalah besaran yang
memiliki nilai dan arah. Penulisan simbol besar atau nilai sebuah besaran vektor adalah
ditulis dengan satu atau dua buah huruf yang diceatk tipis tanpa diberi anak panah di atasnya,
atau ditulis dengan simbol besaran vektor yang diberi tanda mutlak (dua garis vertikal).

Contoh: = besar vektor A
atau | ⃗ |

atau | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = besar vektor AB

C. Kesetaraan Dua Buah Vektor

Dua buah besaran vektor dikatakan sama jika kedua besaran vektor tersebut memiliki
nilai dan arah yang sama.
Contoh:
Diketahui lima buah vektor ⃗ , ⃗⃗ , ⃗ , ⃗⃗ dan ⃗⃗ , seperti gambar berikut:

Bab 4. Besaran Vektor: 2


AD

 
B E


C

Dari gambar tersebut dapat disimpilkan:

⃗ ≠ ⃗⃗ ⟹ vektor A dan vektor B besarnya sama, tetapi arahnya berbeda
⃗ ≠ ⃗ ⟹ vektor A dan vektor B arahnya sama, tetapi besarnya berbeda
⃗ = ⃗⃗ ⟹ vektor A dan vektor B besar dan arahnya sama
⃗ = − ⃗⃗ ⟹ vektor A dan vektor B besar sama, tetapi arahnya berlawanan

D. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan digunakan untuk
menjelaskan arah suatu vektor di dalam suatu koordinat, baik itu koordinat dua dimensi
maupun tiga dimensi. Dalam kerangka acuan sumbu koordinat penulisan simbol vektor
satuan ditulis berdasarkan arah sumbu koordinat, yaitu:

▪ vektor satuan yang sejajar sumbu x ditulis dengan huruf i
▪ vektor satuan yang sejajar sumbu y ditulis dengan huruf j
▪ vektor satuan yang sejajar sumbu z ditulis dengan huruf k

y

ry

jr rx
ki x

rz

z

Gambar 4.2 vektor satuan

Contoh:

▪ ⃗ = 5
Artinya: vektor a yang besarnya 5 satuan, arahnya searah sumbu x positif

▪ ⃗⃗ = −3
Artinya: vektor b yang besarnya 3 satuan, arahnya searah sumbu y negatif

▪ ⃗ =
Artinya: vektor c yang besarnya 1 satuan, arahnya searah sumbu z positif

▪ Sebuah benda berada di koordinat (2, 1, –4) , posisi benda tersebut ditulis dengan vektor
satuan, yaitu: ⃗ = 2 + − 4

Bab 4. Besaran Vektor: 3

E. Penjumlahan Vektor

Dua buah vektor atau lebih bisa dijumlahkan satu sama lain dan menghasilkan vektor
baru hasil penjumlahan yang disebut dengan vektor resultan. Ada dua metode yang dapat
dilakukan untuk menentukan besar dan arah vektor resultan, yaitu penjumlahan dengan
metode grafis dan penjumlahan dengan metode analitis.

1. Penjumlahan Vektor dengan Metode Grafis

Penjumlahan vektor dengan metode grafis yaitu metode untuk menentukan vektor
resultan dengan cara mengukur (bukan menghitung menggunakan rumus). Ada tiga cara
menjumlahkan vektor dengan metode grafis, yaitu:

a. Penjumlahan Vektor dengen Metode Segitiga
Penjumlahan vektor dengan metode segitiga, merupakan salah satu cara menentukan

vektor resultan secara grafis dari dua buah vektor, dengan cara:
▪ Gambar kedua vektor yang dijumlahkan dan rangkai secara beruntun (ujung vektor

pertama bertemu dengan pangkal vektor kedua),
▪ Gambar vektor resultan yang dihasilkan berupa garis lurus dari pangkal vektor pertama

ke ujung vektor kedua, sehingga ketiga vektor tersebut membentuk bidang segitiga.

Contoh soal:
Diketahui dua buah vektor ⃗ dan ⃗⃗ seperti gambar berikut:


a

b

Jika ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ , gambarkan ⃗ dengan metode segitiga !

Jawab:
Untuk menentukan vektor resultan dengan metode segitiga, sambungkan vektor a dan
vektor b secara berurutan, seperti gambar berikut:


b


a

c

vektor resultan yang diperoleh ( ⃗ ) adalah garis anak panah dari pangkal vektor a ke ujung
vektor b.

b. Penjumlahan Vektor dengan Metode Polygon

Penjumlahan vektor dengan metode polygon merupakan penjumlahan vektor secara
grafis yang caranya persis sama dengan metode segitiga, tetapi penjumlahan metode
polygon ini biasanya digunakan untuk menjumlahkan vektor yang jumlahnya lebih dari dua
buah vektor.

Bab 4. Besaran Vektor: 4

Contoh soal:
Diketahui dua buah vektor ⃗ , ⃗⃗ dan ⃗ seperti gambar berikut:

 
a c


b

Jika ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ , gambarkan ⃗ dengan metode polygon !

Jawab:

Untuk menentukan vektor resultan dengan metode polygon, sambungkan vektor a, vektor
b, dan vektor c secara berurutan dan beruntun, seperti gambar berikut:

 
b c

 
a d

vektor resultan yang diperoleh ( ⃗ ) adalah garis anak panah dari pangkal vektor a ke ujung
vektor c.

c. Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajaran Genjang

Penjumlahan vektor dengan metode jajaran genjang, merupakan salah satu cara
menentukan vektor resultan secara grafis dari dua buah vektor atau lebih, dimana kedua
vektor yang dijumlah akan dibentuk jajaran genjang. Adapun caranya sebagai berikut:
▪ Gambarkan kedua vektor yang akan dijumlahkan, dimana kedua pangkal vektor tersebut

berimpit di satu titik.
▪ Buatlah garis yang sejajar dan sama panjang dengan kedua vektor yang dijumlahkan.

Kedua ujung garis tersebut saling berhubungan, dan ujung satunya lagi berhimpit
dengan ujung kedua vektor yang dijumlahkan. Sehingga keempat garis tersebut (dua
garis vektor dan dua garis sejajar) membentuk bidang jajaran genjang
▪ Gambarkan vektor resultan hasil penjumlahan dengan membuat garis diagonal dari
jajaran genjang yang terbentuk tadi dari mulai pangkal kedua vektor yang dijumlahkan
ke sudut jajaran genjang di seberangnya.

Contoh soal:
1) Diketahui dua buah vektor ⃗ dan ⃗⃗ seperti gambar berikut:


a

b

Jika ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ , gambarkan ⃗ dengan metode jajaran genjang !

Bab 4. Besaran Vektor: 5

Jawab:

Untuk menentukan vektor resultan dengan metode jajaran genjang, gabungkan
pangkal vektor a dan vektor b pada satu titik. Kemudian vektor a dan vektor b yang
sudah digabungkan tersebut dibuat jajaran genjang dengan membuat garis yang
sejajar dan sama panjang dengan vektor a dan vektor b. Setelah terbentuk jajaran
genjang, buatlah garis diagonal jajaran genjang tersebut dari pangkal vektor a dan
vektor b ke sudut diagonal di seberangnya. Garis diagonal tersebut merupakan garis
vektor resultan hasil penjumlahan vektor a dan vektor b.

Hasilnya seperti gambar berikut:

garis sejajar dan sama panjang
dengan vektor b

  vektor resultan
a c

Pangkal vektor berkumpul  garis sejajar dan sama panjang
pada satu titik b dengan vektor a

2) Diketahui dua buah vektor ⃗ , ⃗⃗ dan ⃗ seperti gambar berikut:

 
a c


b

Jika ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ , gambarkan ⃗ dengan metode jajaran genjang !

Jawab:

▪ Gabungkan pangkal semua vektor yang akan dijumlahkan pada satu titik
▪ Buatlah jajaran genjang dari vektor a dan vektor b, dengan membuat garis yang

sejajar dan sama panjang dengan kedua vektor tersebut.
▪ Gambarkan vektor resultan dari penjumlahan vektor a dan vektor b ( ⃗ + ⃗⃗ ) yaitu

garis diagonal jajaran genjang dari pangkal vektor ke sudut jajaran genjang di
seberangnya (seperti contoh nomor 1)
▪ Buatlah jajaran genjang kedua dari vektor resultan ( ⃗ + ⃗⃗ ) dengan vektor c,
dengan membuat garis yang sejajar dan sama panjang dengan kedua vektor
tersebut.
▪ Gambarkan vektor resultan total ( ⃗ ) , yaitu garis diagonal jajaran genjang kedua
dari pangkal vektor ke di seberangnya.

Hasilnya seperti gambar berikut:

 
a d

 
c  a +b

b

Bab 4. Besaran Vektor: 6

2. Penjumlahan Vektor dengan Metode Analitis

Penjumlahan vektor dengan metode analitis adalah penjumlahan vektor yang
menentukan besar dan arah vektor resultan secara kuantitatif (nilai) dengan menggunakan
rumus – rumus matematis. Ada dua macam penjumlahan besaran vektor dengan metode
analitis, yaitu:

a. Penjumlahan Vektor dengan Rumus Cosimus

Penjumlahan vektor dengan rumus cosinus ini adalah penjumlahan vektor untuk
menentukan besar vektor resultan hasil penjumlahan atau pengurangan dari dua buah vektor
yang pangkalnya bersatu dan membentuk sudut satu sama lain, seperti gambar di bawah.
Sedangkan arah vektor resultannya ditentukan dengan rumus aturan sinus.

 
a R

b

ag


b

Gambar 4.3 Vektor Resultan .

Dari gambar tersebut dapat dihitung:
a) Besar vektor resultan (hasil penjumlahan dan pengurangan):

▪ = ⃗ + ⃗⃗

= √ 2 + 2 + 2 . . cos

▪ = ⃗ − ⃗⃗

= √ 2 + 2 − 2 . . cos

b) Arah vektor resultan:


sin = sin = sin

Dari rumus di atas kita dapat menentukan besar sudut atau sudut sebagai arah vektor
resultan.

Keterangan:
= besar vektor a
= besar vektor b
= besar vektor resultan
= sudut antara vektor a dan vektor b
= sudut antara vektor a dan vektor resultan R
= sudut antara vektor b dan vektor resultan R

Bab 4. Besaran Vektor: 7

Contoh soal:
Dua buah vektor gaya besarnya masing – masing 4 N dan 6 N, membentuk sudut 600 satu
sama lain. Hitunglah besar dan arah vektor resultan hasil penjumlahan dan pengurangan
dari kedua vektor tersebut !

Penyelesaian:
Diketahui:
1 = 4
2 = 6
= 60

Ditanyakan:
a. 1 + 2 = … ? dan arahnya.
b. 1 − 2 = … ? dan arahnya

Jawab:
Perhatikan gambar berikut:

F1 R

b

ag

F2

a. Besar vektor resultan hasil penjumlahan;
= 1 + 2
= √ 12 + 22 + 2 . 1. 2 cos
= √(4)2 + (6)2 + 2(4)(6) . cos 600

= √16 + 36 + 48 (12)

= √52 + 24

= √76

= 8,7

Arah vektor resultan dapat ditentukan dengan rumus:

1 = 2
sin = sin sin

Misalkan kita akan menentukan besar sudut terlebih dahulu, maka:

Bab 4. Besaran Vektor: 8

1
sin = sin

8,7 4
sin 60 = sin

8,7 sin = 4 sin 60

8,7 sin = 4 (0,87)

4 (0,87)
sin = 8,7

sin = 0,4

= sin(0,4)

= 23,6

Setelah itu kita bisa menentukan sudut , yaitu:

= −

= 60 − 23,6

= 36,4

Jadi arah vektor resultan hasil penjumlahan adalah 23,60 dari F2 , atau 36,40 dari F1.

b. Besar vektor resultan hasil pengurangan;
= 1 − 2
= √ 12 + 22 − 2 . 1. 2 cos
= √(4)2 + (6)2 − 2(4)(6) . cos 600

= √16 + 36 − 48 1
(2)

= √52 − 24
= √28
= 5,3

Arah vektor resultan dapat ditentukan dengan rumus:

1 = 2
sin = sin sin

Misalkan kita akan menentukan besar sudut terlebih dahulu, maka;

1
sin = sin

Bab 4. Besaran Vektor: 9

5,3 4
sin 60 = sin
5,3 sin = 4 sin 60
8,7 sin = 4 (0,87)

4 (0,87)
sin = 5,3
sin = 0,66
= sin(0,66)
= 41,3
Setelah itu kita bisa menentukan sudut , yaitu:
= −
= 60 − 41,3
= 18,7
Jadi arah vektor resultan hasil pengurangan adalah 41,30 dari F2 , atau 18,70 dari F1.

b. Penjumlahan Vektor dengan Cara Penguraian Vektor

a) Penguraian vektor menjadi komponen – komponen vektor
Penguraian vektor adalah suatu cara untuk menyatakan sebuah vektor dengan

komponen – komponen vektornya pada sumbu koordinat.

y


AY


A

a 
AX
x

Gambar 4.3 Penguraian Vektor.

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah komponen vektor yang saling tegak
lurus, yaitu dengan cara dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y. Jadi, vektor yang dapat
diuraikan tersebut adalah vektor yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, seperti pada
gambar di atas.

Pada gambar di atas, vektor A diuraikan (dicerminkan) terhadap sumbu x dan sumbu y

menjadi AX dan AY. Komponen vektor AX adalah garis yang tepat berada di samping sudut
yang diketahui yaitu a, dan komponen vektor AY adalah garis yang berada di depan sudut
a, maka menurut rumus trigonometri besarnya komponen – komponen vektor tersebut

adalah:

Bab 4. Besaran Vektor: 10

= cos
= sin

b) Penjumlahan vektor dengan cara penguraian vektor

Menentukan vektor resultan dari dua vektor atau lebih dengan penguraian vektor,
mengikuti langkah – langkah sebagai berikut:

1) Letakkan semua vektor yang akan dijumlahkan pada diagram kartesian, dimana sumua
pangkal vektor berada di pusat koordinat.

2) Uraikan vektor yang tidak sejajar sumbu koordinat, menjadi komponen – komponen
vektor.

3) Hitung besar komponen – komponen vektor hasil penguraian menggunakan rumus
trigonometeri.

4) Kelompokkan semua vektor dan komponen vektor berdasarkan sumbu koordinat
5) Jumlahkan besar vektor setiap sumbu koordinat, misalkan menjadi ∑ dan ∑
6) Hitung vektor resultan yang dihasilkan menggunakan rumus:

= √(∑ )2 + (∑ )2

7) Tentukan arah vektor resultan dengan menggunakan rumus:

tan = ∑
∑

Contoh Soal:

Tiga buag vektor kecepatan masing – masing besarnya vA = 10 m/s, vB = 6 m/s dan vC =
6 m/s berada pada sumbu koordinat seperti gambar berikut:

y

vA
vB

600 300

x

fisika sekolah asik

vC

Tentukan besar dan arah vektor kecepatan resultan dari ketiga vektor tersebut:

Penyelesaian:
▪ Semua vektor sudah berada pada diagram kartesian, dimana pangkal semua vektor

berada di titik pusat koordinat (0,0)

Bab 4. Besaran Vektor: 11

▪ Uraikan vektor yang tidak sejajar sumbu utama
Pada soal vektor yang dapat diuraikan adalah vektor vA dan vektor vB. Penguraiannya
sebagai berikut:

y

vB vAy vA
vBx vAx x
vBy

600 300

fisika sekolah asik

vC

▪ Dari penguraian di atas diperoleh:

o = cos 30 o = sin 30
1 1

= 10 (2 √3) = 10 (2)

= 5√3 = 5

o = sin 60 o = cos 60

1 1
= −6 (2 √3) = 6 (2)

= −3√3 = 3

▪ Kelompokan semua vektor berdasarkan sumbu koordinat, dan menghitung jumlah
besar vektor setiap sumbu koordinat:

Vektor pada sumbu x Vektor pada sumbu y
• = 5√3 • = 5

• = −3√3 • = 3
• = −6

∑ = 2√3 ∑ = 2

▪ Menghitung besar kecepatan resultan:

= √(∑ )2 + (∑ )2

= √(2√3)2 + (2)2
= √12 + 4

Bab 4. Besaran Vektor: 12

= √16

= 4 /

▪ Menentukan arah kecepatan resultan:

tan = ∑
∑

2
tan =

2√3

1
tan =

√3

1
= tan ( )

√3
= 30

Arah kecepatan resultan 30o terhadap sumbu x positif.

3. Penjumlahan Vektor Satuan
Dua buah vektor atau lebih yang dinyatakan dalam vektor satuan dapat dijumlahkan

satua sama lain, sehingga dapat ditentukan besar dan arah vektor resultannya. Pada
penjumlahan vektor satuan, besar vektor yang dapat dijumlahkan atau dikurangi yaitu besar
vektor pada sumbu koordinat yang sama. Perhatikan penjelasan berikut:
Misalkan diketahui dua buah vektor, yang masing – masing ditulis:
⃗ = 1 + 1 + 1
⃗⃗ = 2 + 2 + 2

Vektor resultan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua vektor di atas adalah:

⃗ + ⃗⃗ = ( 1 + 2) + ( 1 + 2) + ( 1 + 2)
⃗ − ⃗⃗ = ( 1 − 2) + ( 1 − 2) + ( 1 − 2)

Besar vektor resultan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua vektor di atas adalah:

| ⃗ + ⃗⃗ | = √( 1 + 2)2 + ( 1 + 2)2 + ( 1 + 2)2
| ⃗ − ⃗⃗ | = √( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2

Sedangkan arah vektor resultan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua vektor di
atas adalah:

Bab 4. Besaran Vektor: 13

tan = ( 1 + 2)

√( 1 + 2)2 + ( 1 + 2)2

tan = ( 1 − 2)

√( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2

Contoh Soal

Dua buah vektor masing – masing ditulis:
⃗ = 8 + 5 + 6

⃗⃗ = 2 + 3 − 10

Tentukan vektor resultan hasil penjumlahan, besar serta arahnya, dari kedua vektor di
atas!

Penyelesaian:

a. Vektor resultan hasil penjumlahan.
⃗ + ⃗⃗ = ( 1 + 2) + ( 1 + 2) + ( 1 + 2)
⃗ + ⃗⃗ = (8 + 2) + (5 + 3) + (6 − 10)
⃗ + ⃗⃗ = 10 + 8 − 4

b. Besar vektor resultan
| ⃗ + ⃗⃗ | = √(10)2 + (8)2 + (−4)2
| ⃗ + ⃗⃗ | = √100 + 64 + 16
| ⃗ + ⃗⃗ | = √180
| ⃗ + ⃗⃗ | = 6√5

c. Arah vektor resultan

tan = ( 1 + 2)

√( 1 + 2)2 + ( 1 + 2)2

8
tan =

√(10)2 + (−4)2

8
tan =

√116
8

tan =
√116

Bab 4. Besaran Vektor: 14

tan = 0,74
= tan(0,74)
= 36,5
Arah vektor resultannya adalah 36,50 dari bidang x – z.

F. Perkalian Vektor

Selain operasional penjumlahan, pada besaran vektor juga dapat dilakukan operasional
perkalian. Ada dua macam perkalian besaran vektor, yaitu perkalian titik (dot product) dan
perkalian silang (cross product). Perkalian titik dua buah besaran vektor akan menhasilkan
besaran skalar, sedangkan perkalian silang dua buah vektor akan menghasilkan besaran
vektor kembali.

1. Perkalian dua buah Vektor yang membentuk sudut a satu sama lain.

Jika diketahui dua buah vektor ⃗ dan ⃗⃗ keduanya membentuk sudut satu sama
lain, seperti gambar berikut:


A

a 
B

Perkalian dua buah besaran vektor tersebut:
a) Perkalian Titik (Dot Product)

⃗ . ⃗⃗ = . cos

b) Perkalian Silang (Cross Product)

⃗ ⃗⃗ = . sin

2. Perkalian Vektor Satuan
a) Perkalian Titik (Dot Product)

Dua buah vektor satuan Dua buah vektor satuan yang
yang searah ( = 0) saling tegak lurus ( = 900)

. = 1 . = 0
. = 1 . = 0
. = 1 . = 0

Jika diketahui dua buah vektor, yang masing – masing ditulis:
⃗ = 1 + 1 + 1
⃗⃗ = 2 + 2 + 2

Bab 4. Besaran Vektor: 15

Maka hasil perkalian titik dari kedua vektor di atas adalah:

⃗ . ⃗⃗ = ( 1 . 2) + ( 1 . 2) + ( 1 . 2)

b) Perkalian Silang (Cross Product)

Dua buah vektor satuan Dua buah vektor satuan yang saling

yang searah ( = 0) tegak lurus ( = 900)
= 0
= 0 = = −
= 0
= = −

= = −

Jika diketahui dua buah vektor, yang masing – masing ditulis:
⃗ = 1 + 1 + 1
⃗⃗ = 2 + 2 + 2
Maka hasil perkalian titik dari kedua vektor di atas adalah:

⃗ ⃗⃗ = ( 1. 2 − 2. 1) + ( 1. 2 − 2. 1) + ( 1. 2 − 2. 1)

Contoh Soal

1) Dua buah vektor gaya masing – masing besarnya F1 = 10 N dan F2 = 6 N membentuk
sudut 370 satu sama lain. Tentukan besarnya:
a. F1 . F2
b. F1 x F2

Penyelesaian:
a. Perkalian titik dua vektor dirumuskan:

⃗ ⃗ ⃗1⃗ . ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = 1 . 2 cos
⃗⃗ ⃗1⃗ . ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = (10) . (6) cos 370
⃗⃗ ⃗1⃗ . ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = (60) . (0,8)
⃗ ⃗ ⃗1⃗ . ⃗⃗⃗ ⃗2⃗ = 48

b. Perkalian silang dua vektor dirumuskan:
⃗⃗ ⃗1⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = 1 . 2 sin
⃗⃗ ⃗1⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = (10) . (6) sin 370
⃗⃗ ⃗1⃗ ⃗⃗⃗ ⃗2⃗ = (60) . (0,6)
⃗ ⃗ ⃗1⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = 36

Bab 4. Besaran Vektor: 16

2) Dua buah vektor posisi masing – masing ditulis; ⃗⃗⃗ 1⃗ = 2 + 5 − dan ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = 6 +
4 + 2 . Tentukan besarnya:
a. ⃗⃗⃗ 1⃗ . ⃗ ⃗ ⃗2⃗
b. ⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗
Penyelesaian:
Diketahui:
⃗ ⃗⃗ 1⃗ = 2 + 5 −
⃗⃗ ⃗2⃗ = 6 + 4 + 2
Ditanyakan:
a. r1 . r2
b. r1 x r2

Jawab:

a. Perkalian titik dua vektor satuan dirumuskan:
⃗ ⃗⃗ 1⃗ . ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = ( 1 . 2) + ( 1 . 2) + ( 1 . 2)
⃗⃗⃗ 1⃗ . ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = (2 . 6) + (5 . 4) + ((−1) . 2)
⃗ ⃗⃗ 1⃗ . ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = 12 + 20 − 2
⃗⃗⃗ 1⃗ . ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = 30

b. Perkalian silang dua vektor satuan dirumuskan:
⃗⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = ( 1. 2 − 2. 1) + ( 1. 2 − 2. 1) + ( 1. 2 − 2. 1)
⃗⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = (5 . 2 − 4(−1)) + ((−1) . 6 − 2. 2) + (2 . 4 − 6 . 5)
⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = (10 + 4) + (−6 − 4) + (8 − 30)
⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗ = 14 − 10 − 22
|⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗| = √142 + (−10)2 + (−22)2
| ⃗⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗| = √196 + 100 + 484
|⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗| = √780
|⃗ ⃗⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗2⃗| = 27,93

Bab 4. Besaran Vektor: 17

A. Pilihlah satu jawaban yang tepat dan benar.

1. Kelompok besaran di bawah ini yang merupakan besaran vektor adalah ....
a. kelajuan, kuat arus, gaya
b. energi, usaha, jumlah zat
c. kecepatan, momentum, kuat arus listrik
d. tegangan, intensitas cahaya, gaya
e. gaya, percepatan, waktu

2. Perhatikan gambar vektor di bawah ini:

b c
a

Gambar vektor resultan yang benar dari persamaan R = a – b dengan metode
segitiga adalah ....

ab d -b

aR a

R

b R e
b
a a
R

-b

c

a
R

-b

3. Perhatikan diagram vektor berikut ini !

ac a ca c

b bb
(I) (II) (III)

a ca c

bb
(IV) (V)

Bab 4. Besaran Vektor: 18

Diagram vektor yang memenuhi persamaan a – b = c adalah gambar nomor ….

a. (I)
b. (II)
c. (III)
d. (IV)
e. (V)

4. Dari gambar soal nomor 2, gambar vektor resultan yang benar dari persamaan
R = a + b – c dengan metode polygon adalah ....

a R c d R
b b
a a -c

b R c e
b
a a
R
c
b
a
-c

R
b
-c

5. Dari gambar soal nomor 2, gambar vektor resultan yang benar dari persamaan
R = b – c dengan metode jajaran genjang adalah ....

a R d -b
b
c -c

R

b b eb
R
-c -c
R

c

c
R
-b

6. Gambar di bawah ini merupakan penjumlahan vektor dengan metode jajaran genjang:

qr
ps

t

Bab 4. Besaran Vektor: 19

Persamaan yang tepat yang menunjukkan penjumlahan vektor dari gambar di atas
adalah ....
a. s = p + r + t
b. s = q + r + t
c. r = p + q + t
d. r = q + s + t
e. r = p + q + s + t

7. Dua buah gaya (setitik tangkap) saling tegak lurus, besarnya masing-masing 12 N dan
5 N. Besar resultan kedua gaya tersebut adalah ….
a. 17 N
b. 15 N
c. 13 N
d. 9 N
e. 7 N

8. Dua buah vektor masing – masing besarnya 10 satuan dan 8 satuan, membentuk sudut
530 satu sama lain. Besar selisih kedua vektor tersebut adalah ....
a. 10 satuan
b. √116 satuan
c. 14 satuan
d. √212 satuan
e. √228 satuan

9. Dua buah besaran vektor yang identik besarnya adalah 10 satuan. Kedua vektor

tersebut membentuk sudut a satu sama lain. Jika vektor resultan yang dihasilkan dari

kedua vektor tersebut besarnya 10 satuan, besar sudut a adalah ....
a. 30o
b. 45o
c. 600
d. 120o
e. 150o

10. Dua buah besaran vektor membentuk sudut a satu sama lain, besarnya masing – masing
6 satuan dan 8 satuan. Besar vektor resultan yang dihasilkan dari penjumlahan kedua
vektor tersebut, tidak mungkin bernilai ....
a. 1 satuan
b. 2 satuan
c. 6 satuan
d. 10 satuan
e. 14 satuan

11. Dua buah vektor ⃗ dan ⃗⃗ , dimana = 1 dan hasil bagi selisih dan penjunlahan
2
1
kedua vektor tersebut adalah 3 √3, nilai cosinus sudut apit kedua vektor tersebut

adalah....

a. 1
2

b. 1
3

Bab 4. Besaran Vektor: 20

c. 3
5

d. 3
4

e. 5
8

12. Sebuah vektor gaya = 20√3 bersudut 300 terhadap sumbu X. Besar komponen
vektor pada sumbu Y adalah ….

a. 10√3 N
b. 20

c. 10√6 N
d. 30
e. 60

13. Resultan ketiga gaya pada gambar di samping adalah ….

y
3N

3N 600 x
600

6N

a. 0
b. 2 N
c. 2√3 N
d. 3 N
e. 3√3 N

14. Vektor 1 = 9 , 2 = 15 dan 3 = 10 diletakkan pada diagram cartesius seperti
pada gambar.

F2 y

370

F1 x

370

F3

Berapakah resultan ketiga vektor tersebut ?
a. 6 N
b. 8 N
c. 10 N
d. 12 N
e. 16 N

Bab 4. Besaran Vektor: 21

15. Vektor ⃗ dan ⃗⃗ dilukiskan seperti pada gambar !

5

4

3 b

a

2

1

0123 4 5

Besar resultan ( ⃗ + ⃗⃗ ) adalah ….
a. 8 satuan
b. 10 satuan
c. 28 satuan
d. 36 satuan
e. 64 satuan

16. Perhatikan gambar berikut:

F1 y

600 F2
x

Vektor ⃗ ⃗ ⃗1⃗ = 14 dan ⃗ ⃗⃗ ⃗2⃗ = 10 diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada
gambar. Resultan = ⃗ ⃗ ⃗1⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗2⃗ dinyatakan dengan vektor satuan adalah ….
a. 7 + 10√3
b. 7 + 10

c. 3 + 7√3
d. 3 + 10
e. 3 + 7

17. Berikut ini disajikan diagram vektor F1 dan F2 : 22

y

2,5
2,0 F1

F2
1,5

1,0

0,5

0
123 4 5 x

Persamaan yang tepat untuk resultan R = F1 + F2 adalah ….

a. 2 + 2
b. 2 + 4
c. 3 + 4
d. 4 + 2
e. 4 + 4

Bab 4. Besaran Vektor:

18. Sebuah mobil bergerak sejauh 60 km ke arah sumbu x positif, kemudian 80 km ke arah
sumbu y positif dan seterusnya bergerak sejauh 50 km membentuk sudut 370 terhadap
sumbu y positif. Besar resultan perjalanan mobil tersebut adalah …. (sin 530 = 0,8)
a. 190 km
b. 150 km
c. 100 km
d. 80 km
e. 60 km

19. Sebuah benda melakukan gerak. Mula-mula benda bergerak ke timur 16√2 m,
kemudian ke utara sejauh 4√2 m, dan berbelok 450 ke arah barat sejauh 12 m. Besar
resultan perjalanan benda tersebut adalah ….
a. 18 m
b. 20 m
c. 35 m
d. 50 m
e. 70 m

20. Sebuah vektor memiliki nilai sebesar √74 satuan pada sumbu koordinat 3 dimensi,
jika vektor tersebut memiliki nilai 7 satuan pada arah sumbu x positif, dan memiliki
nilai 4 satuan pada arah sumbu z negatif, maka besar nilai vektor pada arah sumbu y
adalah....
a. 2 satuan
b. 3 satuan
c. 6 satuan
d. 9 satuan
e. 11 satuan

21. Diketahui ⃗⃗ = 5 + 7 − dan ⃗⃗ = 2 − 4 , hasil dari 2 ⃗⃗ − ⃗⃗ adalah ....

a. 12 + 16 − 6
b. 10 + 16 − 6
c. 10 − 16 − 6
d. 5 + 16 − 6
e. 5 + 9 − 5

22. Posisi suatu partikel berada di koordinat (3, 6, –5) kemudian berpindah ke posisi
(8, –2, 5), perubahan posisi yang dialami oleh benda tersebut jika ditulis dalam vektor
posisi adalah ....

a. ∆ ⃗ = 5 + 4
b. ∆ ⃗ = 5 − 4
c. ∆ ⃗ = 5 − 4 − 10
d. ∆ ⃗ = 5 + 4 − 10 B
e. ∆ ⃗ = 5 − 4 + 10

23. Dua buah vektor a dan b mengapit sudut satu sama lain. Perkalian skalar a . b akan
bernilai minimum jika sudut a sama dengan ....
a. 0
b. 300
c. 450

Bab 4. Besaran Vektor: 23

d. 600
e. 900

24. Dua buah besaran vektor ⃗ dan ⃗⃗ membentuk sudut 600 satu sama lain. Hasil perkalian
titik kedua vektor tersebut adalah √3 . Jika besar vektor A = √2 , maka besar vektor
B adalah ....
a. 1

b. √2

c. √3
d. 2

e. √6

25. Dua buah vektor membentuk sudut a satu sama lain. Jika besar hasil perkalian titik
kedua vektor tersebut adalah 2 satuan, dan hasil perkalian silangnya adalah √12 satuan,
maka besar sudut a adalah ....
a. 30o
b. 37o
c. 45o
d. 53o
e. 60o

26. Diketahui dua buah vektor a dan b seperti pada gambar berikut:

b

a a
360 - a

Nilai perkalian silang a x b berdasrakan gambar tersebut adalah:
1) –a x b
2) –b x a
3) ab sin (360 – a)
4) ab sin a
nilai yang benar adalah ....
a. 1, 2, dan 3
b. 1 dan 3
c. 2 dan 4
d. 4 saja
e. semua benar

27. Diketahui ⃗ = + 2 − 2 dan ⃗⃗ = 2 − 4 , hasil dari ⃗ . ⃗⃗ dan ⃗ ⃗⃗ berturut
– turut adalah ....

a. 12 dan −4 + 4 + 2
b. 12 dan 4 + 4 − 2
c. 12 dan −2 − 4 + 4
d. 4 dan −4 − 4 + 2
e. 4 dan 4 + 4 − 2

Bab 4. Besaran Vektor: 24

28. Diketahui ⃗⃗ = 6 + 12 dan ⃗ = + . Jika kedua vektor saling tegak lurus,

maka....

a. = − 1

3

b. = − 1

2

c. = − 2

1

d. = 1

2

e. = 1

3

29. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang
memindhkan sebuah benda dengan gaya ⃗ = ( + 2 + 3 ) , sehingga mengalami
perpindahan ⃗ = (3 + 3 ) . Uasaha yang dilakukan orang tersebut adalah ....

a. 9 joule
b. 10 joule
c. 15 joule
d. 18 joule
e. 20 joule

30. Momen gaya dirumuskan sebagai perkalian silang antara gaya dengan vektor posisi.
Vektor posisi sebuah titik dinyatakan dengan ⃗ = (4 + 3 ) dikenai gaya dengan
persamaan ⃗ = (2 + 3 + 6 ) . Vektor momen gaya di titik tersebut adalah ....

a. ⃗ = (8 + 18 ) m
b. ⃗ = (9 − 18 + 12 ) m
c. ⃗ = (15 + 18 − 9 ) m
d. ⃗ = (−9 − 18 + 12 ) m
e. ⃗ = (9 + 18 − 12 ) m

B. Jawablah soal – soal di bawah ini dengan baik dan benar.
1. Perhatikan gambar vektor di bawah ini:

a bc

Gambarkan vektor resultan dari persamaan R = a – b + c dengan metode:
a. Polygon
b. Jajaran genjang

2. Dua buah vektor A dan B dijumlahkan:
a. Berapakah sudut apit kedua vektor tersebut yang menghasilkan vektor resultan
terkecil ? dan berapakah besar vektor resultan terkecil tersebut ?
b. Berapakah sudut apit kedua vektor tersebut yang menghasilkan vektor resultan
terbesar ? dan berapakah besar vektor resultan terbesar tersebut ?

Bab 4. Besaran Vektor: 25

3. Dua buah besaran vektor dijumlahkan dan hasilnya adalah nol. Apa yang dapat
dikatakan mengenai besar dan arah kedua vektor tersbut ?

4. Dua buah gaya yang besarnya sama memiliki resultan yang besarnya setengah dari
besar salah satu gaya tersebut. Tentukan sudut apit antara kedua gaya tersebut !

5. Dua buah vektor kecepatan masing – masing v1 = 9 m/s dan v2 = 12 m/s, hitunglah
vektor resultan hasil penjumlahan kedua vektor tersebut, jika keduanya:
a. Searah,
b. Saling tegak lurus
c. Berlawanan arah
d. Mengapit sudut = 60
e. Mengapit sudut = 120

6. Pada acara “Festival City Marathon” bulan Oktober 2014 di Jakarta, terdapat empat
kategori lari yaitu kategori full marathon (42 km), kategori half marathon (21 km),
kategori 10 km dan ketgori 5 km, dimana lintasan masing-masing kategori sudah
ditentukan. Lomba lari marathon ini start di gedung gelora Bung Karno dan finish di
Monas. Salah seorang peserta lomba bernama Andri mengikuti lomba full marathon
dan ia hanya mampu menempuh lintasan dari titik A, B, dan C seperti pada gambar.

C

B

A

Jika 1 kotak mewakili 1 km, Hitunglah resultan perpindahan yang dilalui Andri !

7. Perhatikan gambar vektor berikut ini:

y

F2 = 10 N

F3 = 4 N x

F1 = 15 N

Hitunglah besar dan arah vektor resultan dari gambar di atas !
8. Tiga buah vektor mempunyai persamaan, masing-masing:

⃗ 1 = 7 + 5 , ⃗ 2 = + 2 dan ⃗ 3 = 2 − 3

Bab 4. Besaran Vektor: 26

a. Gambarkan vektor – vektor tersebut dalam bidang x – y lengkap dengan komponen
– komponennya.

b. Hitunglah besar resultan penjumlahan ketiga vektor tersebut dengan metode
analitis.

9. Dua buah vektor gaya masing – masing besarnya F1 = 10 N, dan F2 = 12 N mengapit
sudut 530 satu sama lain. Tentukan:
a. 1 + 2
b. 1 − 2
c. 1 . 2
d. 1 2

10. Diketahui dua buah besaran vektor yang ditulis dalam persamaan:
⃗ = 4 − 8 + 5
⃗⃗ = −2 + 6 +
Hitunglah:
a. | ⃗ + 2 ⃗⃗ |
b. |2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗ |
c. ⃗ . (2 ⃗⃗ )
d. ⃗ ⃗⃗
e. | ⃗ ⃗⃗ |

Bab 4. Besaran Vektor: 27