การห.ร.ม.แบบยุคลิด

ที่มาและความสํ าคัญ

ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี
(Euclid of Alexandria) ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยิปต์
เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล มีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณ
ปี 300 ก่อนคริสตกาล สิ่ งที่มีชื่อเสียงคือผลงานเรื่อง
The Elements

การหา ห.ร.ม.ที่ง่ายที่สุดและรู้จักกันดีจนถึงปัจจุบันคือ
ให้นำตัวเลขจำนวนน้อยหารตัวเลขจำนวนมาก เศษที่เหลือมา
เทียบกับเลขจำนวนน้อย จับหารกันไปเรื่อย ๆ ทำเช่นนี้ จน
ลงตัว ได้ ห.ร.ม. คือ ตัวเลขตัวสุดท้ายที่นำไปหารได้ลงตัว

เขียนจํานวนที่ต้องการหา ห.ร.ม เรียงต่อกัน
ถ้าจํานวนที่น้อยกว่ามีค่าเป็นศูนย์ คําตอบคือจํานวนที่มีค่ามากกว่า
และจบการทํางาน
ในบรรทัดถัดมา

เขียนเศษที่ได้จากการหารจํานวนที่มากกว่าด้วยจํานวนที่น้ อยกว่า
คัดลอกจํานวนเต็มที่มีค่าน้ อยกว่าลงในบรรทัดเดียวกัน
กลับไปทํากระบวนการรอบต่อไปในขั้นที่ 2



132 60


32

28

32 เป็นตัวหารตัวแรก เศษที่ได้คือ 28

1 32 60 1

28 32
4 28

28 เป็นตัวหารตัวที่สอง เศษที่ได้คือ 4

1 32 60 1

28 32

74 28


28

การหารครั้งนี้ ลงตัว จึงยุติการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้าย
คือ 4 เป็น หรม ของ 32 และ 60

รอบที่ จํานวนทั้งสอง คําอธิบาย
1 32 60
2 32 28 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 60 ด้วย 32
3 4 28 ได้ 28 ดังนั้นจะเขียนแทน 60 ด้วย 28 ในรอบที่ 2
4 40
จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 32 ด้วย 28
ได้ 4 ดังนั้นจะเขียนแทน 32 ด้วย 4 ในรอบที่ 3

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 28 ด้วย 4
ได้ 0 ดังนั้นจะเขียนแทน 28 ด้วย 0 ในรอบที่ 4

จํานวนที่น้อยกว่าเป็นศูนย์ ดังนั้น ห.ร.ม. จึงมีค่าเท่ากับ 4



4130 546


520

26

130 เป็นตัวหารตัวแรก เศษที่ได้คือ 26

5 130 4546

130 520


26

การหารครั้งนี้ ลงตัว จึงยุติการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้าย
คือ 26 เป็น หรม ของ 130 และ 546

รอบที่ จํานวนทั้งสอง คําอธิบาย
1 130 546
2 130 26 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 546 ด้วย
3 0 26 130 ได้ 26 ดังนั้นจะเขียนแทน 546 ด้วย 26 ในรอบที่ 2

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 130 ด้วย 26
ได้ 0 ดังนั้นจะเขียนแทน 130 ด้วย 0 ในรอบที่ 3

จํานวนที่น้อยกว่าเป็นศูนย์ ดังนั้น ห.ร.ม. จึงมีค่าเท่ากับ 26



1252 462


252

210

252 เป็นตัวหารตัวแรก เศษที่ได้คือ 210

1 252 1462

210 252

42 210

210 เป็นตัวหารตัวที่สอง เศษที่ได้คือ 42

1 252 1462

210 252

542 210


210

การหารครั้งนี้ ลงตัว จึงยุติการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้าย
คือ 42 เป็น หรม ของ 252 และ 462

รอบที่ จํานวนทั้งสอง คําอธิบาย
1 252 462
2 252 210 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 252 ด้วย
3 42 210 462 ได้ 210 ดังนั้นจะเขียนแทน 462 ด้วย 210 ในรอบที่ 2
4 42 0
จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 252 ด้วย
210 ได้ 42 ดังนั้นจะเขียนแทน 252 ด้วย 42 ในรอบที่ 3

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 210 ด้วย 42
ได้ 0 ดังนั้นจะเขียนแทน 210 ด้วย 0 ในรอบที่ 4

จํานวนที่น้อยกว่าเป็นศูนย์ ดังนั้น ห.ร.ม. จึงมีค่าเท่ากับ 42



1584 12772


1584


1188

1584 เป็นตัวหารตัวแรก เศษที่ได้คือ 1188

1 1584 12772

1188 1584

396 1188

1188 เป็นตัวหารตัวที่สอง เศษที่ได้คือ 396

1 1584 2772 1
1584
1188

3396 1188


1188

การหารครั้งนี้ ลงตัว จึงยุติการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้าย
คือ 396 เป็น หรม ของ 1584 และ 2772

รอบที่ จํานวนทั้งสอง คําอธิบาย
1 1584 2772
2 1584 1188 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 2772 ด้วย
3 396 1188 1584 ได้ 1188 ดังนั้นจะเขียนแทน 2772 ด้วย 1188 ในรอบที่ 2
4 396 0
จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 1584 ด้วย
1188 ได้ 396 ดังนั้นจะเขียนแทน 1584 ด้วย 396 ในรอบที่ 3

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 1188 ด้วย
396 ได้ 0 ดังนั้นจะเขียนแทน 1188 ด้วย 0 ในรอบที่ 4

จํานวนที่น้อยกว่าเป็นศูนย์ ดังนั้น ห.ร.ม. จึงมีค่าเท่ากับ 396



10010 11858 1


10010


1848

10010 เป็นตัวหารตัวแรก เศษที่ได้คือ 1848

5 10010 11858 1

9240 10010

770 1848

1848 เป็นตัวหารตัวที่สอง เศษที่ได้คือ 770

5 11858 1
10010 10010
9240 1848 2
770 1540

308



770 เป็นตัวหารตัวที่สาม เศษที่ได้คือ 308

5 11858 1
10010 10010
9240 1848 2
1540
2 770 308

616
154

308 เป็นตัวหารตัวที่สี่ เศษที่ได้คือ 154

5 10010 11858 1

9240 10010 2
1848
2 770

616 1540

154 308


308

การหารครั้งนี้ ลงตัว จึงยุติการหารและจะได้ตัวหารตัวสุดท้าย
คือ 154 เป็น หรม ของ 10010 และ 11858

รอบที่ จํานวนทั้งสอง คําอธิบาย
1 10010 11858
2 10010 1848 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 11858 ด้วย 10010 ได้ 1848 ดังนั้น
3 จะเขียนแทน 11858 ด้วย 1848 ในรอบที่ 2
4 770 1848
5 770 308 จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 10010 ด้วย 1848 ได้ 770 ดังนั้นจะ
6 154 308 เขียนแทน 10010 ด้วย 770 ในรอบที่ 3
154 0
จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 1848 ด้วย 770 ได้ 308 ดังนั้นจะ
เขียนแทน 1848 ด้วย 308 ในรอบที่ 4

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 770 ด้วย 308 ได้ 154 ดังนั้นจะ
เขียนแทน 770 ด้วย 154 ในรอบที่ 5

จํานวนที่น้อยกว่ายังไม่เป็นศูนย์ คํานวณเศษของการหาร 308 ด้วย 154 ได้ 0 ดังนั้นจะเขียน
แทน 308 ด้วย 0 ในรอบที่ 6

จํานวนที่น้อยกว่าเป็นศูนย์ ดังนั้น ห.ร.ม. จึงมีค่าเท่ากับ 154

ข้อควรสั งเกต



การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหารแบบยุคลิดนี้
จะใช้เมื่อจำนวนนับนั้นมีค่ามากๆ โดยนำมาตั้งทีละสอง
จำนวน ตั้งคู่กันไป นำจำนวนน้อยหารจำนวนมาก เมื่อลบ
กันแล้วนำผลลบไปหารอีกจำนวนหนึ่ ง สลับกันไปจนกว่า
จะหารได้ลงตัว เหลือเศษศูนย์ จำนวนที่เป็นตัวหารได้
ลงตัวจำนวนสุดท้าย คือ ห.ร.ม.