เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย

พ ืนฐานเ วกเตอร์สาํหรับฟ สิกส์ เวกเตอร ์ และส ื อการสอน อย ่ างง ่ าย ผู้ช่วยศาสตร าจา รย์ดร . อัมพร วัจนะ

ส่ังซอ ื ้ หนังสอ ื เวกเตอรแ ์ ละสอ ื่การสอนอยา่งงา่ย • E-Book ฉบับเต็ม : https://se-ed.com/s/dcar • หนังสือเล่ม : Facebook fanpage คร ู ว ิ ทยย ์ ุ ค ใหม่สอนอย่างไรให้สร้างสรรค์

ค ำน ำ ย้อนกลับไปเมื่อ 10 ปีที่แล้ว ที่ผู้เขียนมีความคิดว่าไม่ว่าจะเริ่มต้นท างาน วิจัยด้านฟิสิกส์ศึกษาในเรื่องใด นักเรียนนักศึกษาก็มักจะติดปัญหาเรื่องเวกเตอร์ ตลอดเวลา ท าให้ไม่สามารถลงลึกในหลักการฟิสิกส์ได้ เพราะหลักการฟิสิกส์ หลายเรื่องมักจะมีเวกเตอร์เข้าไปเกี่ยวข้องด้วยเสมอ ไม่ว่าจะเป็นแรง การ เคลื่อนที่ โมเมนตัม ไฟฟ้า แม่เหล็กและอื่น ๆ เราหนีเวกตอร์ไปไม่พ้นจริง ๆ ผู้เขียนจึงมีแนวคิดว่าอยากแก้ปัญหาเรื่องเวกเตอร์ให้จบสิ้นไปซะก่อน แล้วจึง ค่อยมาเริ่มต้นงานวิจัยด้านฟิสิกส์ศึกษาที่เน้นสอนเนื้อหาหรือหลักการทางฟิสิกส์ อย่างจริงจัง นี่จึงเป็นจุดเริ่มต้นงานวิจัยด้านเวกเตอร์ของผู้เขียน โดยงานวิจัยชิ้น แรกเริ่มจากการส ารวจความเข้าใจเบื้องต้นของผู้เรียนเกี่ยวกับการบวกและลบ เวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ก็พบว่าเรื่องที่เราคิดว่าง่ายนั้น นักเรียนมีปัญหา มากมาย จึงได้วิเคราะห์ในรายละเอียดค้นหาความยากในการเรียนรู้เรื่อง เวกเตอร์ของนักเรียน และตามมาด้วยการออกแบบใบกิจกรรม สื่อการสอนที่จะ ช่วยให้ผู้เรียนเข้าใจหลักการของเวกเตอร์เพื่อแก้ปัญหาและไม่ก่อให้เกิดความ เข้าใจที่คลาดเคลื่อนตามที่พบในงานวิจัยอีก แล้วงานวิจัยในลักษณะเดียวกันก็ เริ่มขยายไปยังหลักการอื่น ๆ ของเวกเตอร์ ไม่ว่าจะเป็นสมบัติของเวกเตอร์ การ คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ การเขียนเวกเตอร์ในรูปเวกเตอร์องค์ประกอบ เวกเตอร์ หนึ่งหน่วย เวกเตอร์ 3 มิติ การดอทและการครอสเวกเตอร์ จนกระทั่งครอบคลุม

ทุกหลักการของเวกเตอร์ที่มีการน ามาใช้ในการเรียนฟิสิกส์ พอรู้ตัวอีกทีก็ใช้เวลา ในการศึกษาวิจัยด้านเวกเตอร์ รวม ๆ แล้วก็ผ่านมา 10 ปี พอดี เมื่อสิ่งที่ตั้งใจจะท าได้ส าเร็จลงแล้ว ก็คิดว่าสิ่งหนึ่งที่ส าคัญไม่แพ้กันก็คือ การที่เราได้รวบรวม เรียบเรียงสิ่งที่เราได้ศึกษาและเรียนรู้ออกมาเป็นงานเขียน เพื่อให้งานวิจัยได้ท าหน้าที่แก้ปัญหานี้ให้กับครู อาจารย์ นักเรียน นักศึกษา ที่ ประสบปัญหาการเรียนหรือท าความเข้าใจเวกเตอร์ต่อไป ก็หวังว่าผลจากการ ทุ่มเทแรงกายแรงใจในการศึกษาเพื่อหาแนวทางในการแก้ปัญหาเวกเตอร์ครั้งนี้ จะเป็นประโยชน์เป็นแนวทางในการแก้ปัญหาให้กับทุกท่านตามเจตนาที่ผู้เขียนได้ ตั้งใจไว้แต่แรก ผู้เขียน

สำรบัญ หน้ำ ค ำน ำ สำรบัญ สำรบัญรูป บทที่ 1 ปริมำณเวกเตอร์ นิยาม 1 สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน 4 เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน 5 เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน 7 เวกเตอร์ที่เท่ากัน 8 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 9 สื่อการสอนอย่างง่าย 11 กิจกรรมท้ายบท 16 เฉลย 17 บทที่ 2 เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉำก ระบบพิกัดฉาก 19 ระบบพิกัดฉาก 3 มิติ 20 เวกเตอร์ 1 มิติ 21 เวกเตอร์ 2 มิติ 23 เวกเตอร์ 3 มิติ 24

หน้ำ ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 25 สื่อการสอนอย่างง่าย 26 กิจกรรมท้ายบท 27 เฉลย 28 บทที่ 3 กำรคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลำร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 29 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นจ านวนเต็มบวก 29 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นจ านวนเต็มลบ 31 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่จ านวนเต็ม 32 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 34 สื่อการสอนอย่างง่าย 35 กิจกรรมท้ายบท 40 เฉลย 41 บทที่ 4 กำรบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป 43 การบวกเวกเตอร์ 1 มิติ 44 การบวกเวกเตอร์ 2 มิติ 48 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 51 สื่อการสอนอย่างง่าย 54 กิจกรรมท้ายบท 57 เฉลย 59 บทที่ 5 กำรลบเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป 61 การลบเวกเตอร์ 1 มิติ 61

หน้ำ การลบเวกเตอร์ 2 มิติ 65 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 69 สื่อการสอนอย่างง่าย 70 กิจกรรมท้ายบท 73 เฉลย 75 บทที่ 6 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วย 79 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ที่พิจารณา 79 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 82 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 86 สื่อการสอนอย่างง่าย 87 กิจกรรมท้ายบท 89 เฉลย 90 บทที่ 7 เวกเตอร์องค์ประกอบ เวกเตอร์องค์ประกอบ 93 การเขียนเวกเตอร์ 2 มิติในรูปเวกเตอร์องค์ประกอบ 96 ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ 98 การหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ 99 การบวกเวกเตอร์โดยใช้เวกเตอร์องค์ประกอบ 104 การลบเวกเตอร์โดยใช้เวกเตอร์องค์ประกอบ 106 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 108 สื่อการสอนอย่างง่าย 110 กิจกรรมท้ายบท 113 เฉลย 115

หน้ำ บทที่ 8 เวกเตอร์ 3 มิติ เวกเตอร์ 3 มิติ 119 การเขียนเวกเตอร์ 3 มิติในรูปเวกเตอร์องค์ประกอบ 120 การบวกเวกเตอร์ 3 มิติ 125 การลบเวกเตอร์ 3 มิติ 128 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 130 สื่อการสอนอย่างง่าย 131 กิจกรรมท้ายบท 135 เฉลย 137 บทที่ 9 กำรดอทเวกเตอร์ ความรู้เบื้องต้นส าหรับการดอทเวกเตอร์ 139 การดอทเวกเตอร์ 144 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 148 สื่อการสอนอย่างง่าย 149 กิจกรรมท้ายบท 151 เฉลย 153 บทที่ 10 กำรครอสเวกเตอร์ ความรู้เบื้องต้นส าหรับการครอสเวกเตอร์ 157 การครอสเวกเตอร์ 160 การหาผลลัพธ์ที่เกิดจากการครอสเวกเตอร์ 164 ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน 166 สื่อการสอนอย่างง่าย 166 กิจกรรมท้ายบท 169 เฉลย 170

หน้ำ บทสรุป บรรณำนุกรม ภำคผนวก ประวัติผู้เขียน ดัชนี

สำรบัญรูป หน้ำ รูป 1.1 แสดงแผนผังโรงเรียนแห่งหนึ่ง 1 รูป 1.2 แสดงขนาด ทิศทาง หัวและหางของเวกเตอร์ 3 รูป 1.3 แสดงเวกเตอร์ ⃑, ⃑⃑และ ⃑ ที่มีขนาดและทิศทางต่างกัน 3 รูป 1.4 เวกเตอร์ ⃑ เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเท่ากัน 4 รูป 1.5 เวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ ⃑⃑ 6 รูป 1.6 เวกเตอร์ ⃑ และ เวกเตอร์ −⃑ 7 รูป 1.7 เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ 8 รูป 1.8 เขียนสัญลักษณ์ลูกศรตามทิศทางของเวกเตอร์ 10 รูป 1.9 เวกเตอร์ทั้ง 3 มีทิศทางเดียวกัน 10 รูป 1.10 เวกเตอร์ที่ตรงกันข้าม 10 รูป 1.11 การเขียนเวกเตอร์ขึ้นใหม่ 11 รูป 1.12 เวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ 12 รูป 1.13 เวกเตอร์ ⃑⃑ มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ ⃑ 13 รูป 1.14 เวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางต่างจากเวกเตอร์ ⃑⃑ 13 รูป 1.15 เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ 14 รูป 1.16 (ก) เวกเตอร์ ⃑ (ข) เวกเตอร์ −⃑ 15 รูป 2.1 ระบบพิกัดฉาก 19 รูป 2.2 ระบบพิกัดฉาก 3 มิติ 20 รูป 2.3 เวกเตอร์ 1 มิติ 21 รูป 2.4 เวกเตอร์ 1 มิติ ในระบบพิกัดฉาก 22 รูป 2.5 เวกเตอร์ 2 มิติ 23 รูป 2.6 เวกเตอร์ 2 มิติ ในระบบพิกัดฉาก 24

หน้ำ รูป 2.7 (ก) แกน z ตั้งฉากกับแกน x และแกน y (ข) และ (ค) แกน z 25 วางตัวในระนาบเดียวกันระหว่างแกน x และแกน y รูป 2.8 การใช้ paper pop-ups แสดงระบบพิกัดฉาก 3 มิติ 26 รูป 3.1 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นจ านวนเต็มบวก 30 รูป 3.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นจ านวนเต็มลบ 31 รูป 3.3 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นเศษส่วน 32 รูป 3.4 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นทศนิยม 32 รูป 3.5 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่เป็นทศนิยม 33 รูป 3.6 เวกเตอร์ ⃑⃑ 34 รูป 3.7 ค าตอบของผู้เรียน 35 รูป 4.1 การเขียนเวกเตอร์ต่อกันในลักษณะหัวต่อหาง 43 รูป 4.2 เวกเตอร์ลัพธ์ R ที่เกิดจากเวกเตอร์ ⃑ บวกกับเวกเตอร์ ⃑⃑ 44 รูป 4.3 การเชื่อมต่อเวกเตอร์ 51 รูป 4.4 การบวกเวกเตอร์โดยเชื่อมหางของเวกเตอร์เข้าด้วยกัน 52 รูป 4.5 เขียนเวกเตอร์ลัพธ์โดยลากจากเวกเตอร์หนึ่งไปยังเวกเตอร์หนึ่ง 52 รูป 4.6 เขียนเวกเตอร์ลัพธ์ระหว่างสองเวกเตอร์ที่เชื่อมกัน 53 รูป 4.7 ไม่ระบุทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ 53 รูป 4.8 ระบุทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ผิด 53 รูป 4.9 เขียนเวกเตอร์ขึ้นมาใหม่โดยที่ขนาดและทิศทางไม่คงเดิม 54 รูป 4.10 การหา R โดยใช้แผ่นใส 55 รูป 4.11 การติดหนังยางเข้าหัวลูกศร 56 รูป 4.12 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยใช้หนังยาง 56 รูป 5.1 การหา R โดยใช้แผ่นใส 71 รูป 5.2 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยใช้หนังยาง 72

หน้ำ รูป 6.1 แสดงเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียว 79 กับเวกเตอร์ ⃑ รูป 6.2 แสดงเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ใน 1 มิติ 80 รูป 6.3 แสดงเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2 มิติ 81 รูป 6.4 แสดงเวกเตอร์ ̂ 82 รูป 6.5 แสดงเวกเตอร์ ̂ 82 รูป 6.6 แสดงเวกเตอร์ ̂ 83 รูป 6.7 เวกเตอร์ ⃑ ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 84 รูป 6.8 เวกเตอร์ ⃑⃑ ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 85 รูป 6.9 เวกเตอร์ ⃑ 86 รูป 6.10 ค าตอบของผู้เรียน 86 รูป 6.11 แสดงเวกเตอร์ 1 หน่วยในระบบพิกัด 87 รูป 6.12 แสดงเวกเตอร์ −,̂−̂และ −̂ ในระบบพิกัดฉาก 88 รูป 7.1 เวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ⃑ 94 รูป 7.2 เวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ⃑⃑ 94 รูป 7.3 เวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ⃑ 95 รูป 7.4 เวกเตอร์ ⃑ 96 รูป 7.5 เวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอร์ ⃑ 97 รูป 7.6 เวกเตอร์ ⃑ เกิดจากการรวมกันของเวกเตอร์องค์ประกอบ 97 รูป 7.7 สามเหลี่ยมมุมฉาก 99 รูป 7.8 เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์องค์ประกอบ 100 รูป 7.9 ความสัมพันธ์ของขนาดเวกเตอร์ ⃑⃑ และขนาดของเวกเตอร์ 100 องค์ประกอบ รูป 7.10 เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์องค์ประกอบ 101 รูป 7.11 เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์องค์ประกอบ 101

หน้ำ รูป 7.12 ระบุสัญลักษณ์หรือความสัมพันธ์ผิด 108 รูป 7.13 เวกเตอร์องค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่กว่าและเล็กกว่า 109 รูป 7.14 อุปกรณ์ 110 รูป 7.15 สร้างเวกเตอร์ 110 รูป 7.16 หาเวกเตอร์องค์ประกอบ 111 รูป 7.17 เวกเตอร์องค์ประกอบ 111 รูป 7.18 การใช้อุปกรณ์อื่น ๆ 112 รูป 8.1 เวกเตอร์ 3 มิติ 119 รูป 8.2 เวกเตอร์ ⃑⃑ 120 รูป 8.3 เวกเตอร์ ⃑และเวกเตอร์ ⃑⃑ 126 รูป 8.4 การบวกเวกเตอร์ 3 มิติ 126 รูป 8.5 การลบเวกเตอร์ 3 มิติ 128 รูป 8.6 การลบเวกเตอร์ 3 มิติ 129 รูป 8.7 เวกเตอร์ 3 มิติที่ผู้เรียนสร้างขึ้น 130 รูป 8.8 (ก) แกน x และ y ตัดกันเป็นมุมฉาก (ข) แกน z 131 รูป 8.9 (ก) องค์ประกอบ 4 ̂และ 2̂บนแกน x และ y 132 (ข) องค์ประกอบ 3̂บนแกน z รูป 8.10 แกน z ตั้งฉากกับแกน x และ y 132 รูป 8.11 เวกเตอร์ ⃑⃑ 133 รูป 8.12 (ก) องค์ประกอบ 2 ̂และ 4̂(ข) องค์ประกอบ 3̂ 134 รูป 8.13 (ก) ต่อองค์ประกอบ 3̂ บนหัวขององค์ประกอบ 4̂ 134 (ข) เวกเตอร์ ⃑⃑ รูป 9.1 เวกเตอร์ ⃑ ท ามุมกับเวกเตอร์ ⃑⃑ 139 รูป 9.2 โปรเจคชันของเวกเตอร์ ⃑ บนเวกเตอร์ ⃑⃑ 139 รูป 9.3 ขนาดของโปรเจคชัน 142

หน้ำ รูป 9.4 สามเหลี่ยมมุมฉาก 142 รูป 9.5 อุปกรณ์ 149 รูป 9.6 ก าหนดขนาดเวกเตอร์ ⃑และ ⃑⃑ 149 รูป 9.7 โปรเจคชันของเวกเตอร์ ⃑ บนเวกเตอร์ ⃑⃑ 150 รูป 10.1 เวกเตอร์ ⃑ ท ามุม θ กับเวกเตอร์ ⃑⃑ 158 รูป 10.2 สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ ⃑และ ⃑⃑ 159 รูป 10.3 เวกเตอร์ ⃑⃑ ท ามุม θ กับเวกเตอร์ ⃑ 160 รูป 10.4 สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ ⃑และ ⃑⃑ 161 รูป 10.5 เวกเตอร์พื้นที่ 161 รูป 10.6 ทิศทางของเวกเตอร์พื้นที่ที่เกิดจาก A⃑⃑ × ⃑⃑ 162 รูปที่ 10.7 เวกเตอร์ ⃑และเวกเตอร์ ⃑⃑ 164 รูป 10.8 อุปกรณ์ 167 รูป 10.9 ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่เกิดจาก A⃑⃑ × ⃑⃑ 167 รูป 10.10 ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่เกิดจาก B⃑⃑ × ⃑ 168

ส่ังซอ ื ้ หนังสอ ื เวกเตอรแ ์ ละสอ ื่การสอนอยา่งงา่ย • E-Book ฉบับเต็ม : https://se-ed.com/s/dcar • หนังสือเล่ม : Facebook fanpage คร ู ว ิ ทยย ์ ุ ค ใหม่สอนอย่างไรให้สร้างสรรค์

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ นิยาม ผู้คนส่วนใหญ่จะคุ้นเคยกับการบอกขนาดและหน่วยของสิ่งของต่าง ๆ เช่น อุณหภูมิห้อง 25 องศาเซลเซียส ลอดช่องให้พลังงาน 300 กิโลแคลอรี ตั๋วหนังราคา 250 บาท หรือโต๊ะสูง 1 เมตร ซึ่งการบอกขนาดของปริมาณเหล่านี้จะต้องมีหน่วย ก ากับ แต่ไม่จ าเป็นต้องบอกทิศทางก็สามารถสื่อความหมายได้ชัดเจนสมบูรณ์ เรา เรียกปริมาณเหล่านี้ว่า ปริมาณสเกลาร์ (Scalar quantity) ซึ่งเป็นได้ทั้งค่าบวกและลบ รูป 1.1 แสดงแผนผังโรงเรียนแห่งหนึ่ง

2 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย แต่มีปริมาณบางอย่างที่เพียงแค่บอกขนาดและหน่วยอาจยังไม่เพียงพอ จ าเป็นต้องบอกทิศทางร่วมด้วยจึงจะสื่อความหมายสมบูรณ์ (Hewitt, 2015, p. 54) เช่น การบอกต าแหน่งของสิ่งต่าง ๆ จากแผนผังโรงเรียนแห่งหนึ่ง ดังรูป 1.1 หากเราบอกว่าบ้านพักครูอยู่ห่าง จากอาคารเรียน 1 เป็นระยะทาง 200 เมตร ผู้ฟังอาจจะยังนึกภาพไม่ออกว่า บ้านพักครูห่างจากอาคารเรียน 1 เป็นระยะทาง 200 เมตร นั้น อยู่ห่างไปในทิศทาง ใดเมื่อเทียบกับอาคารเรียน 1 และเพื่อให้สื่อความหมายชัดเจน เราจึงจ าเป็นต้อง บอกว่า บ้านพักครูอยู่ห่างจากอาคารเรียน 1 ไปทางทิศตะวันตก 200 เมตร หรือ บ้านพักครูอยู่ห่างจากอาคารเรียน 1 ไป 200 เมตร ทางทิศตะวันตก นั่นเอง กล่าวคือ การบอกต าแหน่งของบ้านพักครูจะต้องบอกขนาด (ระยะห่าง) ก ากับด้วยหน่วยและบอกทิศทางเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิงคืออาคารเรียน 1 ทั้งนี้ ยัง มีปริมาณอื่น ๆ อีกที่จ าเป็นต้องบอกทิศทางร่วมด้วยเสมอจึงจะสื่อความหมายได้ ชัดเจน เช่น ช่วยออกแรงยกกล่องนี้หน่อย แสดงว่าต้องออกแรงในทิศทางยกขึ้น นั่นเอง เราเรียกปริมาณเหล่านี้ว่า ปริมาณเวกเตอร์ (Vector quantity) ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง และในการสื่อสาร ถึงปริมาณเวกเตอร์จะต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะสื่อความหมายสมบูรณ์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณเวกเตอร์ เราใช้สัญลักษณ์ A, ⃗ หรือ ⃑แทน เวกเตอร์ A และใช้การเขียนภาพ ลูกศรแทนเวกเตอร์ โดยความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ (Magnitude) ทิศทางที่ลูกศรชี้ไปแทนทิศทางของเวกเตอร์ (Direction) หัวลูกศร แทนหัวของเวกเตอร์ และหางของลูกศรแทนหางของเวกเตอร์ (Heuvelen, 1989, p. 6) ซึ่งในหนังสือเล่มนี้จะใช้ลัญลักษณ์ ⃑ แทนเวกเตอร์ A และ |⃑| แทนขนาดของเวกเตอร์ A โดยทิศทางที่ลูกศรชี้ไปแทนทิศทางของเวกเตอร์และ ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ดังรูป 1.2

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 3 รูป 1.2 แสดงขนาด ทิศทาง หัวและหางของเวกเตอร์ ลูกศรที่ยาวกว่าแทนเวกเตอร์ที่มีขนาดใหญ่กว่า ลูกศรที่สั้นกว่าแทน เวกเตอร์ที่มีขนาดเล็กกว่า รูป 1.3 แสดงเวกเตอร์ ⃑, ⃑⃑และ ⃑ ที่มีขนาดและทิศทางต่างกัน จากรูป 1.3 เวกเตอร์ ⃑ มีความยาวของลูกศรมากกว่าเวกเตอร์ ⃑⃑และ เวกเตอร์ ⃑ ตามล าดับ ดังนั้น เวกเตอร์ ⃑ มีขนาดใหญ่กว่าเวกเตอร์ ⃑⃑และ เวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเล็กกว่าเวกเตอร์ ⃑⃑ โดยขนาดของเวกเตอร์นั้นเป็นปริมาณ สเกลาร์ที่มีค่าเป็นบวกหรือศูนย์เท่านั้น (Mazur, 2015, p. 57) ตัวอย่าง 1.1 จงระบุ สัญลักษณ์ ขนาด และ ทิศทาง ของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ เวกเตอร์ ⃑ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⃑ มีขนาดเท่ากับความยาวของลูกศร คือ 3 หน่วย หรือ |⃑| = 3 หน่วย และมีทิศทางตามทิศที่หัวลูกศรชี้ไปคือทิศเหนือ

4 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย ในลักษณะเดียวกัน เวกเตอร์ ⃑⃑, ⃑และ ⃑⃑ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⃑⃑, ⃑ และ ⃑⃑ มีขนาดเท่ากับ 3 หน่วย 4 หน่วย และ 2 หน่วย ตามล าดับ โดยมีทิศทาง คือ ทิศตะวันตก ทิศตะวันออกและทิศใต้ตามล าดับนั่นเอง เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดหรือความยาวของลูกศร เท่ากัน แต่ไม่จ าเป็นต้องมีทิศทางหรือหัวลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน (Young & Freedman, 2004, pp. 14-15) รูป 1.4 เวกเตอร์ ⃑ เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเท่ากัน จากรูป 1.4 เวกเตอร์ ⃑ เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีความยาว 2 หน่วย เท่ากันหรือมีขนาดเท่ากัน เขียนแทนด้วย |⃑| = |⃑⃑| = |⃑|

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 5 ตัวอย่าง 1.2 จงระบุเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน เวกเตอร์ ⃑ มีขนาด 2 หน่วย ซึ่งมีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑⃑, ⃑⃑ และ ⃑ ดังนั้น |⃑| = |⃑⃑| = |⃑⃑| = | ⃑| เท่ากับ 2 หน่วย ในลักษณะเดียวกัน เวกเตอร์ ⃑⃑ มีขนาด 3 หน่วย ซึ่งมีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑และ ⃑ ดังนั้น |⃑⃑| = |⃑| = |⃑| เท่ากับ 3 หน่วย กิจกรรม 1.1 จงเลือกเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑ กิจกรรม 1.2 จงเขียนเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑ เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน คือ เวกเตอร์ที่ขนานกัน (Parallel) และหัว ลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกันเมื่อเขียนเวกเตอร์เรียงกัน ระยะห่างระหว่างเวกเตอร์ ทั้งสองเท่ากันตลอดหรือเวกเตอร์ทั้งสองท ามุมขนาดเท่ากันกับแกนอ้างอิง (แกน

6 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย ตั้งหรือแกนนอน) และสามารถซ้อนทับกันได้พอดี แต่ไม่จ าเป็นต้องมีขนาดหรือ ความยาวของลูกศรเท่ากัน (Young & Freedman, 2004, pp. 14-15) รูป 1.5 เวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ ⃑⃑ จากรูป 1.5 เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มีหัวลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน และระยะห่างระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันตลอด กล่าวคือ เวกเตอร์ ⃑ขนาน กับเวกเตอร์ ⃑⃑ และเมื่อน ามาซ้อนทับกันก็สามารถซ้อนทับกันได้พอดี ดังนั้น เวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ ⃑⃑ ตัวอย่าง 1.3 จงระบุเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์⃑ เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ A คือ เวกเตอร์ที่มีหัวลูกศรชี้ในทิศขึ้น และขนานกับเวกเตอร์ A ซึ่งก็คือเวกเตอร์ B และเวกเตอร์ F นั่นเอง กิจกรรม 1.3 จงเลือกเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์⃑

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 7 กิจกรรม 1.4 จงเขียนเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์⃑ เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันหรือตรงกันข้าม (Negative of a vector) คือ เวกเตอร์ที่มี ขนาดเท่ากันและขนานกัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน (antiparallel) โดยสลับทิศทางด้าน ที่เป็นหัวเวกเตอร์กับหางเวกเตอร์หรือสลับทิศทางด้านที่เป็นหัวลูกศรกับหางลูกศร นั่นเอง ซึ่งก าหนดให้เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงข้ามกันกับเวกเตอร์ ⃑ เขียนแทนด้วย −⃑ (Young & Freedman, 2004, pp. 14-15) ดังรูป 1.6 รูป 1.6 เวกเตอร์ ⃑ และ เวกเตอร์ −⃑ ตัวอย่าง 1.4 จงระบุเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน ดังนั้น เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับ −⃑⃑ เขียนแทนด้วย ⃑ = −⃑ หรือเวกเตอร์ ⃑ เท่ากับ − ⃑ เขียน แทนด้วย ⃑ = − ⃑ ในลักษณะเดียวกัน ⃑ = −⃑⃑ หรือ ⃑⃑ = −⃑และ ⃑⃑ = −⃑⃑ หรือ ⃑⃑ = −⃑⃑

8 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย กิจกรรม 1.5 จงเลือกเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันกับเวกเตอร์⃑ กิจกรรม 1.6 จงเขียนเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันกับเวกเตอร์⃑ เวกเตอร์ที่เท่ากัน เวกเตอร์ที่เท่ากัน (Equality) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดหรือความยาวของลูกศร เท่ากัน ขนานกันหรือมีทิศทางหรือหัวลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน กล่าวคือ เวกเตอร์ที่เท่ากันต้องมีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน สามารถน ามาซ้อนทับ กันได้สนิท (Young & Freedman, 2004, pp. 14-15) รูป 1.7 เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ จากรูป 1.7 เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มีขนาดเท่ากันและมีระยะห่าง ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันตลอดเมื่อเขียนเรียงกัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ ⃑ ขนานกับเวกเตอร์ ⃑⃑ และเมื่อน ามาซ้อนทับกันก็สามารถซ้อนทับกันได้สนิท ดังนั้น เวกเตอร์ ⃑เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ เขียนแทนด้วย ⃑ = ⃑⃑

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 9 ตัวอย่าง 1.5 จงเลือกเวกเตอร์ที่เท่ากันกับเวกเตอร์⃑ เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีขนาด 2 หน่วยเท่ากัน มีทิศทางเดียวกัน คือ หัว ลูกศรชี้ในทิศขึ้นและขนานกัน ดังนั้น เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑ หรือ ⃑ = ⃑ กิจกรรม 1.7 จงเขียนเวกเตอร์ที่เท่ากันกับเวกเตอร์⃑ ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนและปัญหาผู้เรียน ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อน (Misconception) ของผู้เรียนเกี่ยวกับสัญลักษณ์ ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ (รุ่งรัตน์ แสนศรี และ อัมพร วัจนะ, 2561; Nguyen & Meltzer, 2003; Barniol & Zavala, 2009; Salameh, Alkofahib, Al-Khateebc, & Alharbi, 2020) คือ (1) ผู้เรียนเข้าใจว่าลูกศรซึ่งอยู่บนตัวอักษรที่แสดงสัญลักษณ์ของเวกเตอร์ เขียนตามทิศทางของเวกเตอร์นั้น ๆ เช่น เวกเตอร์ ⃑ เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ ⃑⃑⃗ เนื่องจากมีทิศไปทางขวา เวกเตอร์ ⃑⃑ เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ ↑ เนื่องจากมีทิศขึ้น เวกเตอร์ ⃑ เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ ⃖⃑⃑⃑ เนื่องจากมีทิศไปทางซ้าย และเวกเตอร์ ⃑⃑ เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ ↓ เนื่องจากมีทิศลง ดังรูป 1.8

10 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย รูป 1.8 เขียนสัญลักษณ์ลูกศรตามทิศทางของเวกเตอร์ ที่มา: รุ่งรัตน์ แสนศรี และ อัมพร วัจนะ (2561) (2) ผู้เรียนเข้าใจว่าเวกเตอร์จะมีขนาดเท่ากันก็ต่อเมื่อขนานกันเท่านั้น (3) ผู้เรียนเข้าใจว่าทิศทางของเวกเตอร์มีลักษณะคล้ายทิศเหนือ ทิศใต้ ทิศ ตะวันออก ทิศตะวันตก ที่ไม่ก าหนดมุมที่แน่นอน ฉะนั้นเวกเตอร์ที่ท ามุมกับ แกนใกล้เคียงกัน จึงมีทิศทางเดียวกัน ดังรูป 1.9 ซึ่งผู้เรียนมีความเข้าใจ คลาดเคลื่อนว่าเวกเตอร์ ⃑⃑, ⃑และ ⃑ มีทิศทางเดียวกัน รูป 1.9 เวกเตอร์ทั้ง 3 มีทิศทางเดียวกัน (4) ผู้เรียนเข้าใจว่าเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน คือ เวกเตอร์ที่กลับด้านกัน เหมือนกับภาพที่เกิดจากกระจกเงาราบ ดังรูป 1.10 รูป 1.10 เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน ที่มา: รุ่งรัตน์ แสนศรี และ อัมพร วัจนะ (2561)

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 11 และพบว่าผู้เรียนอาจมีปัญหาในการเรียนรู้ (Knight, 1995; Nguyen & Meltzer, 2003; Barniol & Zavala, 2009; Umporn Wutchana & Narumon Emarat, 2011) ดังนี้ (1) ผู้เรียนไม่สามารถระบุทิศทางที่เป็นลบของเวกเตอร์ได้ เช่น เมื่อก าหนด เวกเตอร์ ⃑ ให้ ผู้เรียนไม่สามารถระบุทิศทางของ −⃑ ได้ (2) ผู้เรียนไม่รู้ว่าเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันจะต้องขนานกัน (3) ผู้เรียนไม่เข้าใจว่าเวกเตอร์ที่ขนานกันเป็นอย่างไร (4) ผู้เรียนไม่รู้ว่าเวกเตอร์สามารถเคลื่อนย้ายได้หรือเขียนขึ้นใหม่ได้โดยที่ ขนาดและทิศทางยังคงเดิม สื่อการสอนอย่างง่าย การเขียนเวกเตอร์ขึ้นใหม่โดยใช้แผ่นใส สามารถเขียนเวกเตอร์ขึ้นใหม่ให้มีขนาดและทิศทางคงเดิมได้โดยการใช้ แผ่นใสที่ไม่มีหรือมีช่องตารางขนาดเท่ากันวางทับลงบนเวกเตอร์ โดยให้ช่อง ตารางของกระดาษและแผ่นใสซ้อนทับกันพอดี แล้วใช้ปากกาลากลูกศรตาม ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์นั้น จะได้เวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเท่ากับ เวกเตอร์ที่ต้องการ จากรูป 1.11 ต้องการเขียนเวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเท่ากับเวกเตอร์ ⃑ โดยเตรียมแผ่นใสวางทับลงบนเวกเตอร์ ⃑ลากลูกศรตามขนาดและทิศทางของ เวกเตอร์ ⃑ จะได้เวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเท่ากับเวกเตอร์ ⃑ รูป 1.11 การเขียนเวกเตอร์ขึ้นใหม่

12 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย วิดีโอ 1.1: สาธิตการเขียน เวกเตอร์ขึ้นใหม่ การแสดงเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันโดยใช้แผ่นใส สามารถแสดงเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันโดยการใช้แผ่นใสที่ไม่มีหรือมีช่อง ตารางขนาดเท่ากัน โดยเขียนเวกเตอร์ที่ต้องการพิจารณาลงในแผ่นใสแต่ละแผ่น จากนั้นน าเวกเตอร์ในแผ่นใสแต่ละแผ่นมาซ้อนกัน หากพบว่าขนาดของเวกเตอร์ หรือความยาวของลูกศรเท่ากันพอดี ก็แสดงว่าเวกเตอร์ที่พิจารณานั้นมีขนาด เท่ากัน โดยที่ไม่สนใจช่องตารางของแผ่นใสว่าจะซ้อนทับกันพอดีหรือไม่ รูป 1.12 เวกเตอร์ ⃑ มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ จากรูป 1.12 เขียนเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ ขึ้นมาใหม่ในแผ่นใสแต่ละ แผ่น น าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มาซ้อนกัน พบว่าความยาวของลูกศรทั้งสอง เท่ากันพอดี แสดงว่าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มีขนาดเท่ากัน วิดีโอ 1.2: สาธิตการแสดง เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 13 การแสดงเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันโดยใช้แผ่นใส สามารถแสดงการมีทิศทางเดียวกันของเวกเตอร์ โดยการใช้แผ่นใสที่มีช่อง ตารางขนาดเท่ากัน เขียนเวกเตอร์ที่ต้องการพิจารณาลงในแผ่นใสแต่ละแผ่น จากนั้นน าเวกเตอร์ในแผ่นใสแต่ละแผ่นมาซ้อนกันโดยให้ช่องตารางวางตัวในแนว เดียวกัน หากพบว่าทิศทางของเวกเตอร์ซ้อนทับกันได้พอดี (ไม่สนใจขนาดหรือ ความยาวของลูกศร) โดยที่ช่องตารางของแผ่นใสก็ซ้อนทับกันได้พอดีเช่นกัน แสดงว่าเวกเตอร์ที่พิจารณานั้นมีทิศทางเดียวกัน รูป 1.13 เวกเตอร์ ⃑⃑ มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ ⃑ จากรูป 1.13 เขียนเวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ ขึ้นมาใหม่ในแผ่นใสที่มีช่อง ตารางขนาดเท่ากัน น าเวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มาซ้อนกัน โดยให้ช่องตาราง ของแผ่นใสแต่ละแผ่นซ้อนทับกันพอดี พบว่าเวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ ซ้อนทับ กันพอดี แสดงว่าเวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางเดียวกัน รูป 1.14 เวกเตอร์ ⃑ มีทิศทางต่างจากเวกเตอร์ ⃑⃑ จากรูป 1.14 เขียนเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ ขึ้นมาใหม่ในแผ่นใสที่มีช่อง ตารางขนาดเท่ากัน น าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มาซ้อนกัน โดยให้ช่องตาราง

14 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย ของแผ่นใสแต่ละแผ่นซ้อนทับกันพอดี พบว่าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ ไม่ ซ้อนทับกัน แสดงว่าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มีทิศทางต่างกัน วิดีโอ 1.3: สาธิตการแสดง เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน และทิศทางต่างกัน การแสดงเวกเตอร์ที่เท่ากันโดยใช้แผ่นใส สามารถแสดงการเท่ากันของเวกเตอร์ โดยการใช้แผ่นใสที่มีช่องตาราง ขนาดเท่ากัน เขียนเวกเตอร์ที่ต้องการพิจารณาลงในแผ่นใสแต่ละแผ่น จากนั้นน า เวกเตอร์ในแผ่นใสแต่ละแผ่นมาซ้อนกันโดยให้ช่องตารางของแผ่นใสวางตัวในแนว เดียวกัน หากพบว่าเวกเตอร์ซ้อนทับกันได้พอดีโดยที่ขนาดเท่ากันและชี้ไปใน ทิศทางเดียวกันได้ แสดงว่าเวกเตอร์ที่พิจารณานั้นเท่ากัน รูป 1.15 เวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ จากรูป 1.15 เขียนเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ ขึ้นมาใหม่ในแผ่นใสที่มีช่อง ตารางขนาดเท่ากัน น าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มาซ้อนกัน โดยให้ช่องตาราง ของแผ่นใสแต่ละแผ่นซ้อนทับกันพอดี พบว่าเวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ มีความ ยาวลูกศรเท่ากันและซ้อนทับกันได้สนิท แสดงว่าเวกเตอร์ ⃑ เท่ากับเวกเตอร์ ⃑⃑ นั่นคือ เวกเตอร์ ⃑และ ⃑⃑ มีขนาดและทิศทางเดียวกัน

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 15 วิดีโอ 1.4: สาธิตการแสดง เวกเตอร์ที่เท่ากัน การแสดงเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน สามารถแสดงเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันโดยใช้แผ่นกระดาษเขียนเวกเตอร์ที่ ก าหนดให้ขึ้นมา จากนั้นหมุนแผ่นกระดาษตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา 180 องศา จะได้เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน เช่น เขียนเวกเตอร์ ⃑ หลังจากนั้นหมุนแผ่นกระดาษ ตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา 180 องศา จะได้เวกเตอร์ −⃑ ดังรูป 1.16 (ก) (ข) รูป 1.16 (ก) เวกเตอร์ ⃑ (ข) เวกเตอร์ −⃑ วิดีโอ 1.5: สาธิตการแสดง เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน

16 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย กิจกรรมท้ายบท 1. จงระบุเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน 2. จงระบุเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน 3. จงระบุเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน 4. จงระบุเวกเตอร์ที่เท่ากัน

บทที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ 17 เฉลย กิจกรรม 1.1 เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑ คือ เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ กิจกรรม 1.2 เขียนเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ ⃑ ดังรูป กิจกรรม 1.3 เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์⃑ คือ เวกเตอร์ ⃑ กิจกรรม 1.4 เขียนเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์⃑ ดังรูป กิจกรรม 1.5 เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันกับเวกเตอร์⃑ คือ เวกเตอร์ ⃑ กิจกรรม 1.6 เขียนเวกเตอร์ที่ตรงข้ามกันกับเวกเตอร์⃑ ดังรูป กิจกรรม 1.7 เขียนเวกเตอร์ที่เท่ากันกับเวกเตอร์⃑ ดังรูป

18 เวกเตอร์และสื่อการสอนอย่างง่าย กิจกรรมท้ายบท 1. เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน คือ เวกเตอร์ ⃑ เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑, เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑ 2. เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน คือ เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑ เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ 3. เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกัน คือ เวกเตอร์ ⃑ และเวกเตอร์ ⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑และ เวกเตอร์ ⃑⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑ 4. เวกเตอร์ที่เท่ากัน คือ เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑และ เวกเตอร์ ⃑, เวกเตอร์ ⃑⃑ และเวกเตอร์ ⃑⃑

ส่ังซอ ื ้ หนังสอ ื เวกเตอรแ ์ ละสอ ื่การสอนอยา่งงา่ย • E-Book ฉบับเต็ม : https://se-ed.com/s/dcar • หนังสือเล่ม : Facebook fanpage คร ู ว ิ ทยย ์ ุ ค ใหม่สอนอย่างไรให้สร้างสรรค์