Analízis I. jegyzetem

1 2021. 09. 13.

Jelölések

∀ minden, bármely (all)

∃ van olyan (exist)
∃! létezik egy és csak egy olyan
⇒ implikációs nyíl (következik) - A ⇒C B (A-ból C miatt következik B)
⇔ akkor és csak akkor
≔ definiáló egyenlőség (legyen egyenlő)
↯ ellentmondás
∎ a bizonyítás vége
ℕ természetes számok halmaza (1, 2, 3,...)
ℤ egész számok halmaza
ℚ racionális számok halmaza (felírható két egész szám hányadosaként)
ℝ valós számok halmaza

Halmazok és műveletek

„kapcsos zárójelben szeretjük gyűjteni az elemeket”
1.) Elemének lenni kapcsolat ∈, ∉
2.) A halmaz alapfogalom, elemei által adott

pl.: A és B halmazok, = pontosan akkor, ha ∈ ⇔ ∈
3.) ∃ olyan halmaz, az üres halmaz (jelöltje ∅), melynek nincs eleme

minden állítás igaz rá, kivéve az, hogy van eleme

⊆ -nek, ha ∈ ⇒ ∈ (azonnal igaz: = ⇔ ⊆ é ⊆ )
4.) Tetszőleges A halmaz esetén van olyan (A) halmaz, amelyre ∈ ( ) ⇔ ⊆

(A): A halmaz hatványhalmaza, sosem lehet üres halmaz

Halmaz megadása történhet például

a.) elemei felsorolásával = {1, 2} = {1, 3, 5, 7, 9, . . . }
b.) más halmazból való választással / más halmazzal indexelve = { ∈ ℕ: 2 ∤ } = {2 − 1: ∈ ℕ}

∈ ℕ : midőn k futja a természetes számok halmazát

Halmazműveletek: egy halmaz két eleméhez hozzárendelünk egy harmadikat

A, B halmazok
1. Uniója: azon x-ek összege, melyek A és B halmazok közül legalább az egyikbe tartoznak
∪ = { ∶ ∈ ∈ } (vagy: nem kizáró vagy)

2. Metszete: ∩ = { ∈ é ∈ }
3. Különbsége: ∖ = { ∈ ∶ ∉ } „Napfogyatkozás halmaz”

Legyen most X egy úgynevezett alaphalmaz (ennek részhalmazait vizsgáljuk)

⊆ esetén ≔ ∖ AC: a-ad c, az A halmaz komplementere/komplementuma

Például {∅}: kapocsüres

= {1, 2}, ( ) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}, ahol ( ): A halmaz hatványhalmaza
(∅) = {∅}
({∅}) = {∅, {∅}}

({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}

Halmazrendszer:

Ha az halmaz elemei is halmazok, akkor halmazrendszer. Megadási módok:
Tegyük fel, hogy Γ (nagy gamma) úgynevezett indexhalmaz.
{ : ∈ Γ} /midőn a kis gamma futja a nagy gammát/

Az halmazrendszer uniója

⋃ = ⋃ ≔ { : ∃ ∈ , ℎ ∈ }

∈

pl.: = { , } esetén ∪ = ∪
∪ { , 2, … , } = 1 ∪ 2 ∪ … ∪ = ⋃ =1 k megy 1-től n-ig unió a k, ahol : futóindex

2 2021. 09. 13.

Hasonlóan

⋃{ : ∈ Γ} = ⋃

∈Γ

speciálisan
Γ = {1, 2, … , } esetén kapjuk az előzőt

⋃{ : ∈ ℕ} = ⋃

∈ℕ

A metszetek hasonlóan ≠ ∅ esetén
∩ = { ∶ ∀ ∈ − ∈ }

⋂{ : ∈ Γ} = ⋂

∈Γ

ha Γ ≠ ∅

∞

⋂ = ⋂

=1 ∈ℕ

Tétel (Boole-tulajdonságok) tetszőleges A, B, C halmazokra

1. asszociativitás (=csoportosítható): ( ∪ ) ∪ = ∪ ( ∪ ) és ( ∩ ) ∩ = ∩ ( ∩ )
2. kommutativitás (=felcserélhetőség): ∪ = ∪ és ∩ = ∩
3. idempotenciák: ∪ = és ∩ =
4. ∪ ∅ = és ∩ ∅ = ∅
5. elnyelési tulajdonságok: ( ∪ ) ∩ = és ( ∩ ) ∪ =
6. disztributivitás: ( ∪ ) ∩ = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) és ( ∩ ) ∪ = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )
Legyen most alaphalmaz, , , ∈ ( ), midőn ( ∈ ), ahol ≠ ∅ indexhalmaz.

7. ∪ = és ∩ = (szinkronban a 4-es ponttal)
8. ⊆ ⇒ ⊆ (antimonotómia)
9. de Morgan azonosságok: (⋃ ∈Γ ) = ⋂ ∈Γ és (⋂ ∈Γ ) = ⋃ ∈Γ

9’. spec. ( ∪ ) = ∩ és ( ∩ ) = ∪
10. involúció: ( ) =

Relációk

Legyen , alaphalmazok. ∈ és ∈ esetén( , ) -ből és -ból álló rendezett pár.
Pl.: ( 1, 1) = ( 2, 2) ⟺ 1 = 2 é 1 = 2

Jelölje × ≔ {( , ) ∶ ∈ , ∈ } az és halmazok úgynevezett Descartes-szorzatát.

Def: Legyen ⊆ × . Azt mondjuk, hogy egy reláció az és halmazok között.

Speciális = esetén ⊆ × reláció halmazon.

jelölés: ( , ) ∈ ℝ helyett gyakran

pl.: 1. ≔ {( , ) ∶ ∈ } az halmaz identitása egy zárt félsík
2. Ebben az értelmezésben mi lesz az ℝ-beli ≤ ?

≤= {( , ) ∶ ∈ }

Def: Legyen ⊆ × = 2. Tulajdonságai:

1. reflex, ha ∀ ∈ -re irreflex, ha az semmilyen ∈ elemre sem teljesül

2. szimmetrikus, ha ⇒

3. antiszimmetrikus, ha , ⇒ =

4. aszimmetrikus (szigorúan antiszimmetrikus), ha ( , ) ∈ ⇒ ( , ) ∉

5. tranzitív, ha , ⇒ ; ( , ) ∈ , ( , ) ∈ ⇒ ( , ) ∈

6. teljes, ha ∀ , ∈ -re és közül legalább az egyik teljesül

Def: Egy -beli ≤ relációt részbenrendezésnek (parciális rendezésnek) nevezzük, ha reflexív,
antiszimmetrikus és tranzitív. Ekkor ( , ≤ ) részbenrendezett halmaz.

Def: A ≤ részbenrendezés teljes rendezés, ha még teljes is. → ( , ≤) teljesen rendezett halmaz

Pl.: (ℝ, ≤) teljesen rendezett halmaz.
Legyen egy legalább háromelemű halmaz ( ( ), ⊆) parciálisan rendezett halmaz.

3 2021. 09. 13.

Ekvivalenciarelációk

Legyen halmaz.

Def: Egy ⊂ × ekvivalenciarelációnak mondunk, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
Pl.: 1. ekvivalenciareláció
2. × komplett reláció

Az és halmazok diszjunktok, ha a metszetük üreshalmaz, tehát ∩ = ∅

Def: Legyen ⊆ ( ) (legyen X-beli halmazrendszere). partíciója -nek, ha

1. ∅ ∈
2. , ∈ , ∩ ≠ ∅ esetén =

3. ⋃ =

Def: Legyen ekvivalenciareláció -en.
Jelölje ∈ esetén ( ) ≔ { ∈ ∶ } az elemhez tartozó ekvivalenciaosztály

Állítás: Legyen ekvivalenciareláció -en. Ekkor ⁄ ≔ { ( ) ∶ ∈ } partíciója -nek(∅ bizonyítjuk)

Állítás: Ha tetszőleges partíciója -nek,

akkor ≔ ⋃ ∈ ( × ) olyan ekvivalenciareláció -en, amelyre ⁄ = (nem bizonyítjuk)
Pl.: Legyen = ℕ × ℕ ⊆ (ℕ × ℕ) × (ℕ × ℕ) ( 1 1) ( 2 2) ⇔ 1 + 2 = 1 + 2

Ekkor (könnyít) ekvivalenciareláció ℕ × ℕ-en ℤ ≔ (ℕ × ℕ)⁄

Függvények

Legyen és halmazok.

Egy ⊆ × relációt függvénynek mondunk, ha ( , ), ( , ) ∈ ⇒ = (függvény axióma)

Jelölések: : ↣ (f képez -ből -ba)

( , ) ∈ ⇔ : ↦ ⇔ ⟼ ⇔ = ( )

Jelölje továbbá ≔ { ∈ ∶ ∃ ∈ , ℎ ( , ) ∈ } az függvény értelmezési tartományát.

illetve ≔ { ∈ ∶ ∃ ∈ , ℎ ( , ) ∈ } az függvény értékkészletét.

( , ) ∈ , alias = ( ), ahol : független változó (argumentum) és : függvény érték

Ha = , akkor azt mondjuk, hogy egy → , másképpen : → (X-ről Y-ba)

Pl.: 1. f = : → fv.

2. legyen ∈ , ahol ≔ × { } konstans függvény ( ⟼ )

Def: Legyenek , , halmazok, és : ↣ . Jelölje │ ≔ ∩ ( × )
halmazra való leszűkítése fv-nek. Ez triviálisan függvény. │ ⊆ ∩ , │ ⊆ ∩

Def: Legyenek , , halmazok, és ∶ → (X-ről Y-ba) ∶ → függvények.

Jelölje ∘ ∶ → és ( ∘ )( ) ≔ ( ( )) és függvények kompozíciója / összetétele

Direktképek és ősképek (=inverz képek)

4 2021. 09. 20.

5 2021. 09. 27.

6 2021. 10. 04.