The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Suwit Duangdee, 2019-07-15 01:23:50

เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้อวต้นเกี่ยวกับการนับ

ครูปนัดดา เนินนิล

นางปนดั ดา เนนิ นิล
ตาแหนง่ ครู วทิ ยาฐานะชานาญการพเิ ศษ
โรงเรยี นทา่ บ่อ อาเภอท่าบอ่ จงั หวดั หนองคาย

สานกั งานเขตพนื้ ทีก่ ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 21



คานา

ชดุ การเรียนคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5 โดยใชก้ ารตัง้ ปัญหาเลม่ น้ี ได้จดั ทาขนึ้ เพอ่ื
เปน็ การเพิ่มประสทิ ธิภาพในการจดั การเรยี นรู้ โดใชก้ ารต้ังปญั หา ซึง่ เปน็ การจดั การเรียนรู้ที่เนน้
ผ้เู รยี นเป็นสาคญั ทช่ี ่วยส่งเสริมความสามารถในการแกป้ ญั หาและความสามารถในการคิด
สรา้ งสรรค์สาหรับนกั เรียน และยังเป็นการจดั การเรียนรู้ที่สามารถสนองเจตนารมณข์ องหลักสูตร
และแนวการจัดการศึกษาตามพระราชบญั ญตั กิ ารศึกษาแหง่ ชาตไิ ดเ้ ป็นอย่างดี และยังเปน็ การ
จัดการเรยี นรทู้ ใ่ี ห้นกั เรียนสามารถศึกษาได้อย่างสะดวก ท้งั เรียนรจู้ ากการจัดประสบการณข์ องครู
และเรยี นรูด้ ว้ ยตนเอง ซึ่งมีจานวนท้ังสิน้ 10 ชุด ดังน้ี

ชุดท่ี 1 เร่ือง กฏเกณฑเ์ บ้อื งต้นเกย่ี วกับการนบั
ชดุ ท่ี 2 เรอื่ ง แฟกทอเรยี ล
ชดุ ที่ 3 เร่ือง การเรยี งสับเปลยี่ นแบบเสน้ ตรง
ชดุ ที่ 4 เรอ่ื ง การเรียงสับเปลยี่ นแบบวงกลม
ชดุ ที่ 5 เร่ือง การจดั หมู่
ชดุ ที่ 6 เรอ่ื ง ทฤษฎีบททวินาม
ชดุ ท่ี 7 เร่อื ง การทดลองสุม่ แซมเปิลสเปซ และเหตกุ ารณ์
ชุดท่ี 8 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็
ชุดที่ 9 เรอ่ื ง สมบัตบิ างประการของความน่าจะเปน็
ชดุ ที่ 10 เร่ือง โจทยป์ ญั หาความน่าจะเป็น
ภายในแต่ละชดุ ประกอบดว้ ย สถานการณ์ปญั หา เนื้อหา ตวั อยา่ ง ใบงาน และ
แบบฝกึ หดั เพ่อื ใหน้ ักเรียนได้ฝึกทักษะทางคณติ ศาสตร์และเชือ่ มโยงความรู้ไปใช้ในชวี ิตประจาวนั
นอกจากนตี้ อนท้ายบทเรยี นของแตล่ ะหวั ขอ้ แต่ละหนว่ ยการเรียนรูจ้ ะมีแบบทดสอบพรอ้ มเฉลย
วิธีทาอยา่ งละเอยี ด เพอื่ ใหน้ กั เรยี นได้ทดสอบความรู้ ตรวจสอบความถูกตอ้ ง และทาความเข้าใจได้
ด้วยตนเอง
ผู้จดั ทาหวงั เปน็ อยา่ งย่งิ ว่าชุดการเรียนคณิตศาสตร์ เลม่ นี้ จะทาให้นกั เรียนตระหนกั ถึง
คณุ ค่าของวิชาคณติ ศาสตรม์ ากยงิ่ ขนึ้ เรยี นวิชาคณิตศาสตร์อย่างมีความสุข สามารถพัฒนาตนเอง
และนาความรู้ไปใชแ้ กป้ ญั หา สถานการณต์ ่าง ๆ ต่อไป
ขอขอบคุณผู้เกี่ยวขอ้ งทีแ่ นะนาและช่วยเหลือการจดั ทาเอกสารเลม่ น้ีมา ณ โอกาสนี้

ปนดั ดา เนนิ นิล

สารบญั ข

คาชี้แจงการใช้ชดุ การเรียนคณิตศาสตร์ 1
สาระ/มาตรฐาน 2
ผลการเรยี นรูท้ คี่ าดหวงั 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 2
สาระการเรยี นรู้ 2
แผนภาพตน้ ไม้
3
ใบกิจกรรมท่ี 1.1 4
ใบความร้ทู ี่ 1.1 10
ใบงานที่ 1.1 11
แบบฝกึ หัดท่ี 1.1
กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกับการนบั (กฎการบวก) 13
ใบกจิ กรรมท่ี 1.2 14
ใบความรูท้ ่ี 1.2 16
ใบงานที่ 1.2 17
แบบฝึกหดั ท่ี 1.2
กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเกี่ยวกับการนับ (กฎการคูณ) 19
ใบกิจกรรมที่ 1.3 20
ใบความรทู้ ี่ 1.3 22
ใบงานท่ี 1.3 23
แบบฝึกหัดที่ 1.3 25
แบบทดสอบยอ่ ยที่ 1 26
ภาคผนวก 38
บรรณานุกรม

1

คาชแ้ี จงการใชช้ ดุ การเรยี นคณติ ศาสตร์
โดยใชก้ ารตง้ั ปญั หา

ชุดการเรียนคณติ ศาสตร์เลม่ นี้เน้นให้นักเรียนได้ฝกึ ความสามารถในการแกป้ ัญหา และ
ความสามารถในการคดิ สรา้ งสรรคท์ างคณติ ศาสตร์ และปฏบิ ตั กิ ิจกรรมตามทก่ี าหนดไว้ดว้ ย
ตนเองเพอ่ื ให้เกดิ ประโยชนส์ ูงสดุ นักเรยี นควรปฏบิ ัติกจิ กรรมตามคาช้ีแจงตามลาดบั ดงั น้ี

1. ชดุ การเรียนคณิตศาสตรโ์ ดยใช้การต้ังปัญหา ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกีย่ วกบั
การนบั

2. นักเรียนศกึ ษาจดุ ประสงค์ เนื้อหาอย่างละเอียดพร้อมทง้ั ปฏิบตั ิตามขั้นตอน
ตามคาชแ้ี จงที่กาหนดให้

3. ปฏบิ ัติกิจกรรมในชุดการเรียนคณติ ศาสตร์ อย่างรอบคอบทุกขั้นตอน
4. เมื่อศึกษาเน้อื หาจบแล้วให้นักเรยี นแต่ละคนทาใบงาน แบบฝึกหดั เพอื่ ตรวจสอบ
ความเขา้ ใจ
5. ในขณะท่ที าชุดการเรียนคณติ ศาสตร์ ควรทาความเขา้ ใจการเรยี นรูจ้ ากชุดการเรยี น
คณติ ศาสตร์นใี้ ห้ชดั เจน หากมขี อ้ สงสยั หรือมีปัญหาควรปรกึ ษาครูผสู้ อน
6. ทาแบบทดสอบยอ่ ยประจาชุดการเรียนคณิตศาสตร์ดว้ ยตัวของนักเรยี นเอง

เวลาทใี่ ช้

3 คาบ (150 นาท)ี

ส่ือการเรยี นรู้

1. ใบกิจกรรม
2. ใบความรู้
3. ใบงาน
4. แบบฝกึ หัด
5. แบบทดสอบยอ่ ย

การประเมนิ ผล

ครูผู้สอนจะประเมินผลจากการสังเกตพฤติกรรม การตรวจผลงาน และการทดสอบยอ่ ย
ประจาชดุ การเรียน

2

สาระ/มาตรฐาน

สาระที่ 5 การวเิ คราะห์ขอ้ มลู และความน่าจะเป็น
มาตรฐาน ค 5.1 เข้าใจและใช้วธิ ีการทางสถติ ิในการวเิ คราะห์ข้อมลู
มาตรฐาน ค 5.2 ใชว้ ธิ กี ารทางสถติ ิ และความร้เู ก่ียวกบั ความนา่ จะเปน็ ในการคาดการณ์

ไดอ้ ยา่ งสมเหตสุ มผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใช้ความรู้เกี่ยวกับสถติ ิ และความน่าจะเปน็ ชว่ ยในการตดั สินใจและ

แกป้ ญั หา
สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

มาตรฐาน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแก้ปญั หา การใหเ้ หตุผล การสอื่ สาร
การส่อื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชือ่ มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์
และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมคี วามคิดริเรม่ิ สร้างสรรค์

ผลการเรยี นรทู้ คี่ าดหวงั

มีความรู้ความเขา้ ใจ มีทักษะในการคดิ คานวณเก่ยี วกบั กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นของการนับ และ
นาไปแกโ้ จทย์ปัญหาได้

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1. แก้โจทย์ปญั หาเก่ียวกับการนับโดยใชแ้ ผนภาพต้นไมไ้ ด้
2. หาจานวนผลลพั ธ์ทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ โดยใชก้ ฏการบวกได้
4. แกโ้ จทย์ปญั หาโดยใชก้ ฏการบวกได้
5. หาจานวนผลลัพธท์ อี่ าจเกิดขึ้นโดยใชก้ ฏการคูณได้
6. แกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใช้กฏการคณู ได้

สาระการเรยี นรู้

1. แผนภาพต้นไม้
2. กฎเกณฑ์เบอ้ื งตน้ เกย่ี วกับการนบั (กฎการบวก)
3. กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เก่ียวกบั การนบั (กฎการคูณ)

3

ใบกิจกรรมท่ี 1.1

เรอ่ื ง แผนภาพตน้ ไม้

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนวิเคราะห์สถานการณ์ปัญหาพรอ้ มท้ังแสดงวิธีการแก้ปัญหา
สถานการณป์ ญั หา

เมื่อโยนเหรยี ญหน่งึ อนั จานวน 3 คร้งั จะได้ผลต่าง ๆ กนั กี่วธิ ี
สง่ิ ทโี่ จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สง่ิ ทโี่ จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

4

ใบความรทู้ ่ี 1.1

เรอื่ ง แผนภาพตน้ ไม้
ปญั หาเกย่ี วกบั การนบั เป็นปญั หาหน่ึงที่มักพบอย่ใู นชีวิตประจาวนั วิธกี ารนับทช่ี ่วยใน
การหาคาตอบ คอื การเขียนแผนภาพต้นไม้ ซงึ่ เปน็ วธิ กี ารที่ชว่ ยใหห้ าคาตอบได้โดยง่าย ถ้าจานวน
วิธีทีน่ ามาเขียนแผนภาพมไี ม่มากนัก เช่น การข้นึ หัวหรอื กอ้ ยของการโยนเหรียญบาท 2 คร้ัง
การเลือกรบั ประทานอาหาร การเลือกเส้อื ผ้าทจ่ี ะสวมใส่ เปน็ ต้น แผนภาพตน้ ไมท้ แี่ สดงในการหา
จานวนวธิ ีทีเ่ ป็นไปไดท้ งั้ หมดของการกระทามี 2 แบบ คอื
1. แผนภาพต้นไมท้ ีม่ ีกงิ่ แตกออกเป็นระเบยี บ เชน่

2. แผนภาพตน้ ไม้ทมี่ ีกิ่งแตกออกไมเ่ ปน็ ระเบียบ เช่น

5

สว่ นใหญใ่ นการแสดงแผนภาพทีแ่ สดงจานวนทั้งหมดของการกระทา นิยมใช้แผนภาพ

ต้นไมท้ ่ีมกี ง่ิ แตกออกเปน็ ระเบียบ

พจิ ารณาตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 1 ยา่ มีผ้าถุง 2 ผืน เปน็ สีเขยี ว และสที อง มีเสอ้ื 3 ตวั เป็นผา้ ไหม ผ้าลูกไม้และผ้าฝา้ ย

ยา่ ต้องการแต่งตัวไปทอดกฐนิ ท่ีวดั จงหาจานวนวิธที ี่ยา่ จะเลือกใส่ชดุ ทแ่ี ตกตา่ งกนั

แนวคดิ หลักในการพิจารณาคอื เราตอ้ งพิจารณาวา่ การแต่งตัวน้ันประกอบดว้ ยการกระทา

ก่ขี ้นั ตอน ซง่ึ ดจู ากเงือ่ นไขทโี่ จทยก์ าหนดมา ในที่น้โี จทย์กาหนดให้ใส่ผา้ ถงุ กับเส้ือ

ดังนั้นการแต่งกายจะเสรจ็ ส้นิ สมบรู ณ์ไดน้ น้ั ต้องมีองคป์ ระกอบยอ่ ย ๆ 2 ขนั้ ตอน คือ

ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กผ้าถงุ มาใสก่ ่อน (จะเลอื กเสื้อมาใส่กอ่ นกไ็ ด้) ในขนั้ ตอนน้ี สามารถ

เลือกได้ 2 วิธี คือ เลือกผ้าถงุ สีเขียว หรอื ผ้าถุงสีทองผืนใดผืนหนึ่งเพียงผืนเดียว

ขนั้ ตอนที่ 2 เลือกเสอื้ มาใส่ 1 ตวั จาก 3 ตัวที่มีอยู่ ซ่งึ สามารถเลอื กทาได้ 3 วิธี

น่ันคือ เลอื ก เส้ือผ้าไหม หรอื ผ้าลกู ไม้ หรือผ้าฝา้ ย ตัวใดตัวหน่ึงมาใส่

ซ่งึ เขยี นเปน็ แผนภาพตน้ ไม้ไดด้ ังน้ี

ขน้ั ตอนท่ี 1 ขนั้ ตอนท่ี 2 การแตง่ ตัว

เสือ้ ผา้ ไหม แบบที่ 1

ผ้าถุงสเี ขียว เสื้อผ้าลูกไม้ แบบท่ี 2

เสอ้ื ผ้าฝา้ ย แบบท่ี 3

เลอื ก

เสอ้ื ผ้าไหม แบบที่ 4

ผา้ ถงุ สที อง เสอ้ื ผา้ ลกู ไม้ แบบท่ี 5

เส้อื ผ้าฝ้าย แบบที่ 6

จากแผนภาพ จะเห็นวา่ ย่าสามารถเลอื กวิธีแต่งตวั ได้ 6 แบบ
แบบท่ี การแตง่ ตัว
1 ผา้ ถงุ สีเขยี ว-เส้อื ผา้ ไหม
2 ผ้าถงุ สีเขียว-เสอ้ื ผา้ ลกู ไม้
3 ผา้ ถุงสเี ขียว-เสื้อผา้ ฝ้าย
4 ผา้ ถงุ สีทอง-เส้อื ผา้ ลกู ไหม
5 ผ้าถุงสีทอง-เสือ้ ผ้าลูกไม้
6 ผ้าถงุ สที อง-เสื้อผา้ ฝา้ ย

6

ตวั อยา่ งที่ 2 ในการแขง่ ขนั งัดข้อคหู่ นึ่งมีกตกิ าว่า ใครชนะ 2 ครัง้ กอ่ นจะเป็นผูช้ นะ จงเขยี น

แผนภาพตน้ ไมห้ าจานวนวิธที ้ังหมดในการแขง่ ขันครงั้ นี้

แนวคดิ สมมติให้ ก แข่งขันกบั ข

ถา้ ก ชนะ จะเขียนแทนด้วย ก และถา้ ข ชนะ จะเขียนแทนด้วย ข

ซง่ึ เขยี นเปน็ แผนภาพต้นไม้ได้ดังน้ี

การแขง่ ขนั คร้ังที่ 1 2 3

กก


ขข
เรมิ่ ตน้ ก ก


ขข

จากแผนภาพต้นไม้ จานวนวธิ ที ง้ั หมดในการหาผชู้ นะในการแขง่ ขันครง้ั นี้ คือ 6 วธิ ี

ผชู้ นะครง้ั ท่ี สรปุ ผชู้ นะ วธิ ที ่ี 1
123 วธิ ที ี่ 2
กก- ก วิธที ่ี 3
กขก ก วธิ ที ่ี 4
กขข ข วธิ ที ี่ 5
ขกก ก วิธที ่ี 6
ขกข ข
ขข- ข

7

ตัวอยา่ งท่ี 3 ศรรามมเี สอ้ื และกางเกง สาหรบั สวมใสไ่ ปแสดงละคร 3 ตวั และ 2 ตัวตามลาดับ
อยากทราบว่าศรรามจะสวมใส่เสื้อและกางเกงไปแสดงละครชุดตา่ ง ๆ ได้ทั้งหมดก่ีชุด
แนวคดิ ศรรามมีเสอ้ื อยู่ 3 ตัว

และเสอื้ แต่ละตัวใส่กับกางเกงได้ 2 ตัว
ซึ่งเขยี นเปน็ แผนภาพตน้ ไมไ้ ดด้ ังนี้

เสอ้ื กางเกง
1

12
1

เลือก 2
2

31
2

จากแผนภาพ จะเห็นวา่ ศรรามจะสวมใส่เสอื้ และกางเกงไปแสดงละคร ได้ทง้ั หมด 6 ชดุ

ชดุ ท่ี การแตง่ ตัว
1 เส้ือตัวท่ี 1 กางเกงตวั ที่ 1
2 เสื้อตวั ท่ี 1 กางเกงตวั ท่ี 2
3 เสอ้ื ตวั ที่ 2 กางเกงตัวท่ี 1
4 เส้ือตัวท่ี 2 กางเกงตวั ที่ 2
5 เสื้อตัวท่ี 3 กางเกงตวั ที่ 1
6 เสื้อตวั ท่ี 3 กางเกงตัวที่ 2

8

ตัวอยา่ งท่ี 4 ในการเล่นเป่ายง้ิ ชบุ มีผูเ้ ล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมือแทนส่งิ ใดส่งิ หนึ่งใน 3 สิ่ง
ต่อไปนี้ คือ ฆอ้ น กรรไกร กระดาษ จงหาจานวนผลลพั ธ์ท่เี ป็นไปได้ทัง้ หมด
แนวคดิ ผ้เู ล่นคนที่ 1 จะออกมือได้ 3 แบบ

แตล่ ะแบบของผู้เลน่ คนที่ 1 ผเู้ ลน่ คนที่ 2 จะออกมือได้ 3 แบบ
ซ่งึ เขยี นเป็นแผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้

ฆอ้ น

ฆ้อน กรรไกร

กระดาษ

ฆ้อน

เลือก กรรไกร กรรไร

กระดาษ

ฆอ้ น

กระดาษ กรรไกร

กระดาษ

จากแผนภาพ จะเห็นวา่ จานวนวธิ ีในการเล่นเป่ายงิ้ ชบุ ได้ทงั้ หมด 9 วิธี

วธิ ที ี่ การปา่ ยง้ิ ชบุ
1 ฆ้อน ฆ้อน
2 ฆ้อน กรรไร
3 ฆอ้ น กระดาษ
4 กรรไกร ฆอ้ น
5 กรรไกร กรรไกร
6 กรรไกร กระดาษ
7 กระดาษ ฆอ้ น
8 กระดาษ กรรไกร
9 กระดาษ กระดาษ

9

ตวั อยา่ งท่ี 5 โรงเรียนแห่งหน่ึงมปี ระตูอยู่ 3 ประตู ถา้ ใหน้ ักเรยี นเขา้ ประตหู นึ่งแล้วออกอีกประตู
หน่ึง โดยไม่ซา้ กับประตทู ่ีเข้ามา จะมีวิธีเขา้ และออกท้ังหมดก่ีวิธี
แนวคดิ โรงเรียนมปี ระตอู ยู่ 3 ประตู

ดงั นนั้ เวลาเขา้ มีวิธีเลอื กได้ 3 ประตู
และเวลาออกไม่ให้ซ้ากับประตทู ี่เขา้ มา ซ่ึงจะเลอื กได้ 2 ประตู
ซ่งึ เราสามารถเขียนเปน็ แผนภาพต้นไมไ้ ดด้ งั รปู ดา้ นล่าง

ประตู ประตู
2

13
1

เลอื ก 2
3

31
2

จากแผนภาพ จะเห็นว่าจานวนวธิ ใี นการเขา้ และออกประตไู ดท้ ้ังหมด 6 วิธี

วิธที ่ี การเขา้ ออกประตู
1 ประตู 1 ประตู 2
2 ประตู 1 ประตู 3
3 ประตู 2 ประตู 1
4 ประตู 2 ประตู 3
5 ประตู 3 ประตู 1
6 ประตู 3 ประตู 2

10

ใบงานที่ 1.1

เรอื่ ง แผนภาพตน้ ไม้

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นคน้ หาสถานการณ์ทางคณติ ศาสตร์แล้วตัง้ โจทย์ปัญหาท่สี อดคล้องกับ
สถานการณ์ พร้อมทัง้ แสดงวธิ กี ารแกป้ ัญหา
โจทยป์ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สง่ิ ทโ่ี จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สง่ิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

11

แบบฝกึ หดั ที่ 1.1

เรอื่ ง แผนภาพตน้ ไม้

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนใชแ้ ผนภาพต้นไม้แสดงวธิ ีการหาคาตอบ
1. โยนเหรียญ 2 เหรียญ พรอ้ มกนั 1 ครัง้ เกดิ ผลลัพธไ์ ด้ทงั้ หมดก่วี ิธี

12

2. บรษิ ทั รถยนต์แหง่ หนง่ึ ผลติ ตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเคร่อื งยนต์ 2 ขนาด และสตี ่าง ๆ
กัน 3 สี ถา้ ต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทกุ แบบ ทกุ ขนาด และทุกสี จะต้องใช้รถยนตอ์ ยา่ งนอ้ ย
ท่ีสดุ กค่ี นั

13

ใบกจิ กรรมที่ 1.2

เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกย่ี วกับการนบั (กฎการบวก)

คาชแี้ จง ใหน้ กั เรียนวิเคราะห์สถานการณ์ปัญหาพรอ้ มทั้งแสดงวิธีการแกป้ ัญหา
สถานการณป์ ญั หา

ตอ้ งการจานวนคู่ 4 หลัก โดยเลือกจากตวั เลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแตล่ ะ
หลักใช้เลขโดดไมซ่ ้ากัน จะได้จานวนคู่ทัง้ หมดกจี่ านวน
สิ่งทโ่ี จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สิ่งทโี่ จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วธิ กี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

14

ใบความรทู้ ี่ 1.2

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการบวก)

ถ้าการทางานอยา่ งหนึง่ มวี ธิ ีการทาได้ k วธิ ี วธิ ีท่ี 1 ถงึ วิธีท่ี k

การทางานวิธที ่ี 1 ทาได้ n1 วธิ ี

การทางานวิธที ี่ 2 ทาได้ n2 วิธี



การทางานวธิ ีที่ k ทาได้ nk วธิ ี

และการทางานในแต่ละวิธีแตกต่างกนั แลว้

จานวนวิธที างานนเ้ี ทา่ กบั n1 + n2 + n3 + … + nk วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 1 นกั เรียน 3 คน ตอ้ งการเข้าและออกห้องหอ้ งหน่ึงซ่ึงมีประตู 3 บาน โดยนกั เรยี นคน

ที่ 1 เข้าและออกโดยใช้ประตบู านเดียวกัน นักเรยี นคนที่ 2 เข้าและออกโดยไมใ่ ช้ประตูบานเดิม

และนักเรียนคนที่ 3 เข้าและออกโดยใชป้ ระตูบานใดก็ได้ จงหาจานวนวธิ ีที่นกั เรยี นท้ังสามเขา้ และ

ออกหอ้ งนี้

วธิ ที า นกั เรียนคนท่ี 1 มีวิธีเขา้ และออกได้ 3 วธิ ี

นกั เรียนคนท่ี 2 มีวธิ เี ขา้ และออกได้ 6 วธิ ี

นักเรยี นคนที่ 3 มวี ิธีเข้าและออกได้ 9 วธิ ี

ดังนั้น วธิ ีท่นี กั เรียนทั้งสามคนเขา้ และออกหอ้ งน้มี ที ้งั หมด 3 + 6 + 9 = 18 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 2 หนังสือกองหน่ึงมีหนังสือคณิตศาสตร์ท่แี ตกตา่ งกนั 5 เล่ม หนงั สือเคมีท่ีแตกต่างกัน

4 เล่ม และหนงั สือวิชาภาษาไทยที่แตกตา่ งกนั 3 เลม่ จงหาจานวนวธิ ที ี่หยิบหนงั สือ 1 เลม่ จาก

หนงั สือกองน้ี

วธิ ที า การหยบิ หนังสือ 1 เล่ม จากกองหนังสอื น้มี วี ธิ ีการ 3 วิธี คอื หยิบหนงั สือ คณติ ศาสตร์

หรือหยิบหนงั สอื เคมี หรือหยบิ หนงั สอื ภาษาไทย เนื่องจาก

การหยบิ หนงั สอื คณิตศาสตร์ มีวธิ ีการหยิบ 5 วิธี

การหยิบหนังสือเคมี มีวิธกี ารหยิบ 4 วธิ ี

การหยบิ หนังสอื ภาษาไทย มีวธิ กี ารหยิบ 3 วธิ ี

ดงั น้ัน วธิ ที ห่ี ยบิ หนังสอื 1 เล่ม จากหนังสอื กองนม้ี ีทัง้ หมด 5 + 4 + 3 = 12 วธิ ี

15

ตัวอยา่ งที่ 3 บรษิ ัทแห่งหน่ึงเปดิ รับสมัครงาน 2 ตาแหน่งงานที่แตกตา่ งกัน มีผู้สมัครจานวน 4 คน
ผ้สู มัครทเี่ หมาะสมกบั ตาแหน่งท่ี 1 คอื a, b และ c ผู้ท่ีเหมาะกบั ตาแหนง่ ท่ี 2 คือ b, c และ d
จงหาวธิ ีที่จะรบั คนเขา้ ทางานโดยเลือกให้เหมาะสมกบั ตาแหน่งงานน้นั
วธิ ที า
การรบั คนเขา้ ทางานโดยให้เหมาะสมกบั ตาแหน่งทัง้ 2 ตาแหนง่ จะแบ่งออกเปน็ กรณไี ดด้ ังนี้
1) ตาแหน่งที่ 1 ถ้ารับ a จะสามารถเลือกรับ b, c หรือ d คนใดคนหนงึ่ ในตาแหน่งท่ี 2 ได้
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถรบั คนเขา้ ทางานได้ 3 วิธี
2) ตาแหนง่ ที่ 1 ถ้ารับ b จะสามารถเลอื กรับ c หรอื d คนใดคนหนึง่ ในตาแหนง่ ท่ี 2 ได้
แสดงวา่ กรณีนี้ สามารถรบั คนเขา้ ทางานได้ 2 วธิ ี
3) ตาแหนง่ ที่ 1 ถ้ารับ c จะสามารถเลอื กรับ b หรือ d คนใดคนหน่ึงในตาแหน่งท่ี 2 ได้
แสดงว่า กรณีน้ี สามารถรับคนเข้าทางานได้ 2 วธิ ี
ดงั น้ัน มีวธิ ีการรบั คนเขา้ ทางานทง้ั หมด 3 + 2 + 2 = 7 วธิ ี
ตวั อยา่ งท่ี 4 พิมพไ์ ปทางานโดยการโดยสารเรือยนต์ท้ังขาไปและขากลับ ซงึ่ เรอื จะมขี นาดแตกต่าง
กนั ไป คือ ขนาดใหญ่ 3 ลา ขนาดกลาง 5 ลา และขนาดเล็ก 2 ลา จงคานวณวธิ ที ี่พิมพจ์ ะ
โดยสารเรอื ขนาดเดยี วกนั ท้ังขาไปและกลับ แต่ไม่ใชล่ าเดิม
วธิ ที า
การโดยสารเรอื ของพมิ พ์ จะแบ่งออกเป็น กรณไี ด้ดงั น้ี
1) เลือกเรอื ขนาดใหญ่ แบ่งออกเปน็

1. ขาไป สามารถเลอื กเรอื 1 ลาจากจานวนทง้ั หมด 3 ลา
2. ขากลบั สามารถเลอื กเรือ 1 ลาจากจานวนทัง้ หมด 2 ลา
แสดงวา่ กรณีนี้ สามารถไปกลับด้วยเรือขนาดเดยี วกันได้ 3 x 2 = 6 วิธี
2) เลอื กเรอื ขนาดกลาง แบ่งออกเป็น
1. ขาไป สามารถเลือกเรือ 1 ลาจากจานวนทงั้ หมด 5 ลา
2. ขากลบั สามารถเลือกเรอื 1 ลาจากจานวนทัง้ หมด 4 ลา
แสดงวา่ กรณีนี้ สามารถไปกลับดว้ ยเรอื ขนาดเดียวกันได้ 5 x 4 = 20 วธิ ี
3) เลอื กเรอื ขนาดเลก็ แบ่งออกเปน็
1. ขาไป สามารถเลอื กเรือ 1 ลาจากจานวนทัง้ หมด 2 ลา
2. ขากลบั สามารถเลอื กเรอื 1 ลาจากจานวนทงั้ หมด 1 ลา
แสดงวา่ กรณีน้ี สามารถไปกลับด้วยเรอื ขนาดเดยี วกันได้ 2 x 1 = 2 วิธี
ดงั นัน้ พิมพจ์ ะมวี ิธใี นการโดยสารเรือดว้ ยขนาดเดียวกนั ได้ทงั้ หมด 6 + 20 + 2 = 28 วิธี

16

ใบงานท่ี 1.2

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการบวก)

คาชแ้ี จง ให้นักเรียนคน้ หาสถานการณท์ างคณิตศาสตร์แล้วตัง้ โจทยป์ ญั หาท่สี อดคล้องกบั
สถานการณ์ พร้อมทงั้ แสดงวิธีการแก้ปัญหา
โจทยป์ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สง่ิ ทโ่ี จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สิง่ ทโี่ จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

17

แบบฝกึ หดั ท่ี 1.2

เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการบวก)

คาชแ้ี จง ให้นกั เรยี นแสดงวิธกี ารหาคาตอบ
1. จงหาจานวนวิธที ีจ่ ะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ไดแ้ ตม้ คิงหรือแจ๊ค จากไพ่สารับหนึง่ ที่มี 52 ใบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. สมมติใหร้ ถเมล์คนั หนึง่ หยุดรถตามปา้ ยท้ังหมด 12 ปา้ ย (รวมป้ายแรกและป้ายสดุ ท้าย) และ
ไมร่ บั ผ้โู ดยสารระหว่างทาง ถา้ รถเมล์คันนี้ออกจากป้ายแรกโดยมีผูโ้ ดยสาร 7 คน จงหาจานวนวธิ ี
ที่ผูโ้ ดยสารท้งั 7 คนน้ี จะลงจากรถหมด โดยไมจ่ ากัดจานวนท่ลี งในแตล่ ะปา้ ย
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

18

3. ทา่ เรอื ขา้ มฟากแห่งหนง่ึ มีเรือข้ามฟาก 3 ขนาด เป็นเรอื ขนาดใหญ่ 5 ลา เรอื ขนาดกลาง 4 ลา
และเรือขนาดเล็ก 3 ลา จงหาจานวนวธิ ีทจ่ี ะขา้ มไปและข้ามกลับมาไดต้ ่าง ๆ กนั ดังน้ี

1. ไมม่ ีเงอ่ื นไข
2. ไปดว้ ยเรือขนาดใดกลบั ดว้ ยเรอื ขนาดเดยี วกนั แต่ไมซ่ ้าลา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

19

ใบกิจกรรมที่ 1.3

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการคณู )

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นวเิ คราะห์สถานการณ์ปญั หาพร้อมทง้ั แสดงวิธกี ารแก้ปัญหา
สถานการณป์ ญั หา

มีเลขโดด 6 ตัว ไดแ้ ก่ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสร้างจานวนต่อไปน้ีโดยแตล่ ะหลักใช้
ตัวเลขซ้ากันไดก้ ่ีวิธี

1. จานวน 3 หลัก
2. จานวนค่ี 3 หลัก
3. จานวนคู่ 3 หลกั
สงิ่ ทโี่ จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

20

ใบความรทู้ ี่ 1.3

เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการคณู )

ถ้าการทางานอย่างหนงึ่ ประกอบดว้ ยการทางาน k ขัน้ ตอน คอื ขัน้ ตอนที่ 1 ถึงข้ันตอนที่ k

ตามลาดับ โดยท่ี

การทางานในข้นั ตอนท่ี 1 มีวิธที าได้ n1 วธิ ี
การทางานในข้ันตอนท่ี 2 มีวธิ ที าได้ n2 วธิ ี
การทางานในข้ันตอนที่ 3 มีวธิ ีทาได้ n3 วิธี



การทางานในขั้นตอนท่ี k มีวิธที าได้ nk วธิ ี
และวธิ ีการทางานในแต่ละวิธแี ตกตา่ งกันแล้ว

จานวนวิธีทางานนีเ้ ท่ากบั n1 n2 n3 … nk วิธี
ตัวอยา่ งท่ี 1 คณะกรรมการของวทิ ยาลัยแหง่ หนึ่ง ประกอบด้วยนักศกึ ษาปี 1 ปี 2 ปี 3 และปี 4

ช้นั ปลี ะ 3, 4, 5 และ 2 คน ตามลาดับ ถา้ ตอ้ งการเลือกอนุกรรมการซึ่งประกอบดว้ ยตัวแทน

นักศกึ ษาช้ันปีละ 1 คน จากคณะกรรมการชุดนี้ จงหาว่าจะเลอื กอนุกรรมการไดท้ งั้ หมดก่ีวิธี

วิธที า ข้นั ตอนที่ 1 เลอื กอนุกรรมการจากนักศกึ ษาปที ่ี 1 หนึง่ คน ได้ 3 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกอนุกรรมการจากนักศกึ ษาปที ี่ 2 หนึ่งคน ได้ 4 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกอนกุ รรมการจากนกั ศึกษาปีท่ี 3 หนงึ่ คน ได้ 5 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 4 เลือกอนกุ รรมการจากนักศึกษาปที ่ี 4 หนง่ึ คน ได้ 2 วธิ ี

 จานวนวธิ ที ี่จะเลือกอนุกรรมการได้ทง้ั หมด = 3  4  5  2 = 120 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 2 หม่ามกี างเกงอยู่ 2 ตวั เสื้อ 3 ตัว เน็คไท 2 เสน้ อยากทราบว่าหมา่ แตง่ ตวั ได้

ทัง้ หมดกี่วธิ ี

วธิ ที า หมา่ แต่งตวั 1 วธิ ตี ้องประกอบดว้ ย 3 ขั้นตอน

ขน้ั ตอนท่ี 1 หมา่ เลือกกางเกงได้ 2 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 2 ใน 1 วธิ ที ี่หมา่ เลอื กกางเกงจะเลือกเส้ือได้ 3 วิธี

ขนั้ ตอนท่ี 3 ใน 1 วิธีท่หี ม่าเลือกกางเกงและเสื้อจะเลอื กเน็คไทได้ 2 วิธี

ดังน้ัน จานวนท่หี มา่ จะแต่งตวั ได้ = 2 x 3 x 2 = 12 วิธี

21

ตัวอยา่ งท่ี 3 มีโรงแรมอยู่ 5 แห่ง อยากทราบว่านกั ท่องเท่ยี ว 4 คน จะเลอื กพกั โรงแรมดงั กล่าว

โดยไม่ซ้ากัน ไดก้ ว่ี ิธี

วธิ ที า นักทอ่ งเทย่ี วคนท่ี 1 สามารถเลอื กพักโรงแรมได้ 5 วธิ ี

นักท่องเทีย่ วคนท่ี 2 สามารถเลอื กพักโรงแรมได้ 4 วธิ ี

นักท่องเทีย่ วคนที่ 3 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 3 วิธี

นักท่องเท่ียวคนที่ 4 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 2 วธิ ี

ดงั น้นั นกั ท่องเทีย่ วจะเลอื กพักโรงแรมโดยไมซ่ ้ากันได้ 5 x 4 x 3 x 2 = 120 วิธี
สถานการณ์ปัญหาคือ

ตัวอยา่ งที่ 4 ครมู หี นงั สือ 4 เล่มแตกต่างกัน ต้องการแจกให้นกั เรยี น 5 คน จงหาจานวนวิธแี จก

หนงั สอื โดยที่

1. ไม่มีเงอ่ื นไขเพมิ่ เตมิ

2. ไม่มใี ครไดห้ นังสือเกนิ 1 เล่ม

วธิ ที า การแจกหนังสอื ต้องพจิ ารณาการแจกทลี ะเลม่

หนงั สอื เลม่ ท่ี 1 2 3 4

1. ไม่มีเงอ่ื นไข (แจกซา้ ได้ )
ดังนั้นแจกได้ = 5  5  5  5 = 625 วธิ ี
2. ไม่มีใครได้เกิน 1 เลม่ แปลวา่ ไมม่ ใี ครไดซ้ ้า ไดแ้ ล้วจะไมแ่ จกใหอ้ กี
ดงั น้ัน จะมวี ิธีแจกหนังสือ = 5  4  3  2 = 120 วธิ ี
ตัวอยา่ งท่ี 5 จากอกั ษรในคาว่า “ PHYSIC” นามาสร้างคาใหมป่ ระกอบดว้ ย 3 อกั ษร ต่างกนั
(ไม่สนใจความหมายของคาเหลา่ นน้ั ) โดยที่
1. ไม่มเี ง่ือนไขเพิ่มเตมิ
2. ตอ้ งเปน็ พยัญชนะท้งั หมด
วธิ ที า อักษรในคาวา่ PHYSIC เป็นสระ 1 ตวั และพยัญชนะ 5 ตัว รวมท้งั หมด 6 ตัวอกั ษร

อักษรตัวที่

12 3

สร้างคาประกอบด้วย 3 ตวั อักษร สร้างได้ = 6  5  4 = 120 วธิ ี
มีเง่ือนไขว่าตอ้ งเปน็ พยัญชนะทง้ั หมด สร้างได้ = 5  4  3 = 60 วธิ ี

22

เรอื่ ง ใแบผงนาภนาทพ่ี ต1น้.3ไม้

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกยี่ วกับการนบั (กฎการคณู )

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนค้นหาสถานการณ์ทางคณติ ศาสตร์แลว้ ตั้งโจทย์ปัญหาที่สอดคล้องกับ
สถานการณ์ พร้อมท้งั แสดงวธิ ีการแกป้ ญั หา
โจทยป์ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สิง่ ทโี่ จทยก์ าหนดให้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สงิ่ ทโี่ จทยต์ อ้ งการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

3 แบบฝกึ หดั ท่ี 1.3

เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการคณู )

คาชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนแสดงวิธีการหาคาตอบ
1. ห้องประชุมแห่งหนึ่งมี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดินเขา้ - ออกหอ้ งประชุม โดยมเี งอื่ นไขตา่ งกัน
ดังน้ี

1. จานวนวิธีในการเดนิ เขา้
2. จานวนวิธีในการเดนิ เขา้ - ออก
3. จานวนวิธีในการเดินเข้า - ออก โดยไม่ซ้าประตกู ัน
4. จานวนวิธใี นการเดนิ เขา้ - ออก โดยใชป้ ระตูเดมิ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. มีโรงแรมอยู่ 5 แหง่ อยากทราบว่านักทอ่ งเท่ียว 4 คน จะเลอื กพกั โรงแรมดงั กลา่ วโดยไมซ่ ้า
กันไดก้ ่วี ิธี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

3. ในการเลอื กตงั้ กรรมการชดุ หน่ึงจะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรญั ญิก และเลขา
โดยกรรมการแตล่ ะคนจะดารงตาแหน่งได้เพียงตาแหนง่ เดยี วเทา่ น้ัน ถ้ามีผสู้ มคั รทง้ั หมด 6 คน
เป็นชาย 2 คน เปน็ หญิง 4 คน ผลการเลือกตง้ั กรรมการชดุ นจ้ี ะมีได้ทง้ั หมดก่แี บบตา่ งกนั โดยที่

1. ไม่มีเงื่อนไขเพม่ิ เติม
2. กาหนดใหป้ ระธานเปน็ ชายและเลขาตอ้ งเป็นหญิง
3. กรรมการตอ้ งเป็นหญงิ ล้วน ๆ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

25

เg แบบทดสอบยอ่ ยที่ 1

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกับการนบั

คาชแ้ี จง จงเติมเครอื่ งหมายกากบาท () ทับหัวข้อท่ีเห็นว่าถกู ท่สี ุดเพียงขอ้ เดยี ว

1. หอ้ งประชุมแหง่ หนงึ่ มปี ระตอู ยู่ 3 ประตู จงหาวธิ ีทีเ่ ดินเข้าและออกห้องประชุม โดยหา้ มเดนิ เขา้

และออกซ้าประตูเดมิ

ก. 10 วิธี ข. 9 วิธี ค. 8 วิธี ง. 6 วธิ ี

2. หมายเลขโทรศพั ท์ประกอบไปด้วยตวั เลข 6 ตัว และตัวเลขสามตัวแรกเป็น 670 มีไดท้ ้งั หมดก่ตี ัวเลข

ก. 1,000 หมายเลข ข. 999 หมายเลข ค. 100 หมายเลข ง. 99 หมายเลข

3. ถา้ ต้องการสร้างเลข 3 หลัก ซึง่ แต่ละหลกั ซา้ กันได้ โดยเลอื กใช้เลขโดด 0, 1, 2, ..., 9 จะสร้าง

ไดท้ ้ังหมดก่จี านวน

ก. 1,000 จานวน ข. 999 จานวน ค. 900 จานวน ง. 99 จานวน

4. จงหาจานวนวธิ ีทีจ่ ะหยิบไพ่ 1 ใบ ใหไ้ ด้ไพโ่ พดา หรอื ขา้ มหลามตดั จากไพ่ 1 สารบั

ก. 26 วิธี ข. 13 วิธี ค. 4 วธิ ี ง. 52 วิธี

5. ครตู ้องการสง่ จดหมาย 5 ฉบับ ลงตู้ 3 ตู้ จะทาได้กีว่ ธิ ี

ก. 53 วธิ ี ข. 35 วิธี ค. 55 วิธี ง. 33 วิธี

6. ในการเดนิ ทางจากหาดใหญถ่ ึงกรุงเทพฯ มวี ธิ ี 2 ทาง ข้นึ เครื่องบนิ กับนง่ั รถไฟไปตอ่ รถยนต์ และ

พบวา่ เครอื่ งบนิ มี 3 เท่ยี ว รถไฟมี 4 ขบวน รถยนต์มี 5 คัน อยากทราบว่าจะมวี ธิ กี ารเดนิ ทางไดก้ ีว่ ิธี

ก. 26 วธิ ี ข. 23 วิธี ค. 20 วธิ ี ง. 14 วธิ ี

7. ข้อสอบ 5 ข้อ ซงึ่ เปน็ ข้อสอบปรนัยแบบเลือกคาตอบ ประเภท 4 ตัวเลือก จานวนวธิ ีการตอบ

ของสมชายเม่อื สมชายทาข้อสอบครบท้ัง 5 ขอ้

ก. 1,024 วธิ ี ข. 900 วิธี ค. 256 วิธี ง. 128 วธิ ี

8. ครคู นหน่ึงมหี นงั สือแตกตา่ งกัน 10 เลม่ ต้องการแจกหนงั สอื ทงั้ หมดใหก้ ับนกั เรยี น 2 คน ครู

จะมีวิธีแจกหนงั สอื ทั้งหมดกวี่ ธิ ีเพื่อใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนได้รับหนงั สอื อยา่ งนอ้ ง 1 เล่ม

ก. 1,024 วิธี ข. 1,022 วิธี ค. 1,000 วิธี ง. 900 วิธี

9. ต้องการสรา้ งเลขสามหลักโดยท่แี ต่ละหลกั ไม่ซา้ กันโดยสร้างจากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 จะสร้าง

ได้ก่ีจานวน เมอ่ื จานวนท่ีสรา้ งมีค่าน้อยกวา่ 300

ก. 20 จานวน ข. 22 จานวน ค. 24 จานวน ง. 28 จานวน

10. จงหาจานวนวธิ ีทจี่ ะให้รางวัลที่หนึ่ง ที่สอง และท่ีสาม ให้เดก็ 5 คน

ก. 25 วธิ ี ข. 50 วธิ ี ค. 100 วิธี ง. 125 วธิ ี

26

ภาคผนวก

27

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.1

เรอ่ื ง แผนภาพตน้ ไม้

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นวเิ คราะหส์ ถานการณ์ปญั หาพร้อมทง้ั แสดงวิธกี ารแกป้ ัญหา

สถานการณป์ ญั หา

เม่ือโยนเหรยี ญหน่งึ อัน จานวน 3 คร้ัง จะไดผ้ ลตา่ ง ๆ กันก่วี ธิ ี

สง่ิ ทโี่ จทยก์ าหนดให้
โยนเหรียญหนึ่งอนั จานวน 3 คร้ัง

ส่ิงทโี่ จทยต์ อ้ งการ

จะไดผ้ ลตา่ ง ๆ กันกี่วิธี

วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา

ให้ H แทนหัว ให้ T แทนกอ้ ย

โยนเหรียญครงั้ ท่ี 1 เหรียญจะออก 2 วธิ ี

โยนเหรียญครงั้ ท่ี 2 เหรียญจะออก 2 วิธี

โยนเหรยี ญครั้งที่ 3 เหรยี ญจะออก 2 วธิ ี

ซึง่ เราสามารถเขียนเปน็ แผนภาพตน้ ไมไ้ ดด้ งั รปู ดา้ นลา่ ง

โยนเหรยี ญครงั้ ที่ 1 2 3

H

HT

H

HTT

เรม่ิ ตน้

THH

T

TH

T

28

จากแผนภาพ จะเหน็ ว่าจานวนวิธีในโยนเหรียญ 3 ครัง้ ไดท้ ั้งหมด 8 วิธี

วิธที ่ี การโยนเหรยี ญ
1 HHH
2 HHT
3 HTH
4 HTT
5 THH
6 THT
7 TTH
8 TTT

29

เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 1.1

เรอื่ ง แผนภาพตน้ ไม้

คาชแ้ี จง ให้นักเรยี นใชแ้ ผนภาพต้นไมแ้ สดงวิธกี ารหาคาตอบ

1. โยนเหรียญ 2 เหรียญ พรอ้ มกัน 1 คร้ัง เกิดผลลัพธไ์ ด้ท้งั หมดกว่ี ธิ ี

วิธที า โยนเหรยี ญพรอ้ มกนั 1 ครง้ั เปน็ การทางาน 2 อยา่ ง

งานอยา่ งแรก การเกดิ ของเหรียญท่ี 1 ซ่งึ มี 2 หน้า เกดิ ได้ 2 วิธี คืออาจเกดิ หวั (H)

หรอื อาจเกิดกอ้ ย (T) ก็ได้ และในแตล่ ะวธิ ที ่ีเกิดเหรยี ญที่ 1 ยงั มีวธิ ีเกิดเหรยี ญท่ี 2 ได้อีก

งานอยา่ งท่ี 2 การเกดิ ของเหรียญท่ี 2 ซงึ่ มี 2 หนา้ เกดิ ได้ 2 วธิ ี (คืออาจเกดิ H หรอื T)

โดยใช้แผนภาพตน้ ไม้ (Tree Diagram ) จะได้ผลดงั น้ี

เหรียญที่ 1 เหรยี ญที่ 2

H

HT

งาน

TH

T

นน่ั คือ โยนเหรยี ญ 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง เกดิ ได้ 4 วธิ ี คือ HH, HT, TH, TT

30

2. บริษัทรถยนต์แหง่ หน่งึ ผลิตตวั ถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มเี คร่ืองยนต์ 2 ขนาด และสตี ่าง ๆ

กนั 3 สี ถา้ ตอ้ งการแสดงรถยนต์ใหค้ รบทุกแบบ ทกุ ขนาด และทุกสี จะตอ้ งใช้รถยนตอ์ ย่างน้อย

ทสี่ ดุ กคี่ นั

วธิ ที า โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ (Tree Diagram) จะไดผ้ ลดงั น้ี

การทางานมี 3 ขั้นคือ

ข้ันท่ี 1 ข้ันท่ี 2 ขน้ั ท่ี 3

ตวั ถงั เครื่อง สี ผลงาน

1 ถ1ค1ส1
1 2 ถ1ค1ส2
1 3 ถ1ค1ส3

1 ถ1ค2ส1
2 2 ถ1ค2ส2
งาน 3 ถ1ค2ส3

1 ถ2ค1ส1
1 2 ถ2ค1ส2
2 3 ถ2ค1ส3

1 ถ2ค2ส1
2 2 ถ2ค2ส2

3 ถ2ค2ส3
ดังนั้น จะตอ้ งมรี ถยนต์แสดงอย่างน้อย 12 คนั จึงจะครบทกุ แบบทกุ สีทุกขนาด

31

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.2

เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกับการนบั (กฎการบวก)

คาชแี้ จง ให้นกั เรยี นวิเคราะห์สถานการณ์ปญั หาพร้อมทงั้ แสดงวิธกี ารแก้ปญั หา
สถานการณป์ ญั หา

ตอ้ งการจานวนคู่ 4 หลกั โดยเลือกจากตัวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแตล่ ะ
หลกั ใชเ้ ลขโดดไม่ซา้ กัน จะได้จานวนคู่ทั้งหมดก่ีจานวน
ส่งิ ทโ่ี จทยก์ าหนดให้

ตวั เลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5
ส่ิงทโี่ จทยต์ อ้ งการ

จานวนคู่ 4 หลกั โดยเลขในแต่ละหลักใชเ้ ลขโดดไม่ซา้ กัน
วธิ กี าร/แนวทางแกป้ ญั หา

เนอ่ื งจากเลข 4 หลัก ในหลักพนั เปน็ 0 ไม่ได้ และในหลกั หน่วยตอ้ งเปน็ 0, 2, 4 จึง
เป็นจานวนคูท่ ี่ตอ้ งการ

ดงั นั้น กรณีที่ 1 เลขค่หู ลกั หนว่ ยเปน็ เลข 0
เลอื กตวั เลขหลักหน่วยได้ 1 วิธี
เลอื กตวั เลขหลกั สิบได้ 5 วิธี
เลือกตวั เลขหลกั รอ้ ยได้ 4 วิธี
เลือกตัวเลขหลกั พันได้ 3 วิธี
จะได้จานวนคู่ 1  5  4  3 = 60 จานวน
กรณที ่ี 2 เลขคู่หลักหน่วยไมเ่ ป็นเลข 0
เลือกตวั เลขหลักหน่วยได้ 2 วิธี
เลอื กตัวเลขหลักสบิ ได้ 4 วธิ ี
เลอื กตัวเลขหลกั ร้อยได้ 4 วิธี
เลือกตัวเลขหลกั พันได้ 3 วธิ ี
จานวนคู่จะได้ 1  5  4  3 = 60 จานวน

ดงั น้ัน จะได้จานวนคู่ 4 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแต่ละหลกั ไม่ซ้า
กนั ได้ท้งั หมด 60 + 96 = 156 จานวน

32

เฉลยแบบฝกึ หดั ที่ 1.2

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการบวก)

คาชแี้ จง ให้นกั เรียนแสดงวิธกี ารหาคาตอบ
1. จงหาจานวนวธิ ที จ่ี ะหยบิ ไพ่ 1 ใบ ให้ไดแ้ ต้มคงิ หรอื แจ๊ค จากไพ่สารบั หน่งึ ทม่ี ี 52 ใบ
วธิ ที า เน่อื งจากไพแ่ ต้มคิง หรอื แจ๊ค มอี ย่างละ 4 ใบ การหยิบไพ่ 1 ใบ ใหไ้ ด้แต้มคิงหรอื แจค๊
แบ่งเปน็ 2 กรณี คอื

1) การเลือกหยบิ ไพแ่ ตม้ คงิ 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทัง้ หมด 4 ใบ ทาได้ 4 วธิ ี
2) การเลอื กหยิบไพแ่ ตม้ แจ๊ค 1 ใบ จากไพแ่ ต้มแจค๊ ทั้งหมด 4 ใบ ทาได้ 4 วิธี
ดงั นน้ั การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ไดแ้ ต้มคงิ หรอื แจ๊ค ทาได้ 4 + 4 = 8 วิธี
2. สมมตใิ ห้รถเมล์คนั หนง่ึ หยุดรถตามปา้ ยท้ังหมด 12 ปา้ ย (รวมปา้ ยแรกและปา้ ยสดุ ทา้ ย) และ
ไม่รับผู้โดยสารระหว่างทาง ถ้ารถเมล์คันนี้ออกจากปา้ ยแรกโดยมีผู้โดยสาร 7 คน จงหาจานวนวธิ ี
ท่ีผ้โู ดยสารท้งั 7 คนน้ี จะลงจากรถหมด โดยไม่จากัดจานวนที่ลงในแต่ละป้าย
วธิ ที า ผู้โดยสารทัง้ 7 คน จะลงจากรถหมด สามารถทาได้ ดังน้ี
1. ผโู้ ดยสารคนที่ 1 เลือกลงทปี่ ้ายใดก็ได้ 1 ป้าย จากท้ังหมด 12 ปา้ ย ทาได้ 12 วธิ ี
2. ผโู้ ดยสารคนท่ี 2 เลอื กลงท่ีป้ายใดก็ได้ 1 ปา้ ย จากทั้งหมด 12 ป้าย ทาได้ 12 วิธี
3. ผู้โดยสารคนที่ 3 เลือกลงท่ปี ้ายใดกไ็ ด้ 1 ป้าย จากทั้งหมด 12 ป้าย ทาได้ 12 วิธี
4. ผู้โดยสารคนที่ 4 เลอื กลงทปี่ ้ายใดกไ็ ด้ 1 ปา้ ย จากท้ังหมด 12 ปา้ ย ทาได้ 12 วิธี
5. ผูโ้ ดยสารคนที่ 5 เลอื กลงทปี่ ้ายใดก็ได้ 1 ป้าย จากทั้งหมด 12 ป้าย ทาได้ 12 วิธี
6. ผ้โู ดยสารคนที่ 6 เลอื กลงที่ป้ายใดก็ได้ 1 ปา้ ย จากทั้งหมด 12 ป้าย ทาได้ 12 วิธี
7. ผ้โู ดยสารคนที่ 7 เลอื กลงท่ปี ้ายใดก็ได้ 1 ปา้ ย จากท้ังหมด 12 ป้าย ทาได้ 12 วิธี
ดงั นน้ั ผู้โดยสารทง้ั 7 คน จะลงจากรถหมด สามารถทาได้ 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12
= 84 วธิ ี

33

3. ท่าเรอื ข้ามฟากแหง่ หนึ่งมีเรอื ข้ามฟาก 3 ขนาด เป็นเรือขนาดใหญ่ 5 ลา เรอื ขนาดกลาง 4 ลา

และเรอื ขนาดเลก็ 3 ลา จงหาจานวนวิธที ีจ่ ะขา้ มไปและข้ามกลับมาไดต้ ่าง ๆ กนั ดังน้ี

1. ไม่มีเงือ่ นไข

2. ไปดว้ ยเรือขนาดใดกลับดว้ ยเรือขนาดเดียวกนั แต่ไม่ซ้าลา

วธิ ที า นบั 1 วธิ ีของการนัง่ เรือขา้ มฟากต้องท้ังไปและกลับ

1. ไมม่ เี งื่อนไข

ข้ามฟากไป ทาได้ 12 วธิ ี

ขา้ มฟากกลับ ทาได้ 12 วธิ ี

ไปและกลบั ทาได้ = 12  12 = 144 วธิ ี

2. ไปดว้ ยเรอื ขนาดใดกลบั ดว้ ยเรอื ขนาดเดยี วกันแตไ่ มซ่ ้าลา

ก. ไปด้วยเรอื ขนาดใหญก่ ลับดว้ ยเรือขนาดใหญ่

ขา้ มไป ทาได้ 5 วธิ ี

ข้ามกลับ ทาได้ 4 วธิ ี

 ไปและกลับทาได้ = 5  4 = 20 วธิ ี

ข. ไปดว้ ยเรือขนาดกลางกลับดว้ ยเรอื ขนาดกลาง

ขา้ มไป ทาได้ 4 วิธี

ขา้ มกลับ ทาได้ 3 วธิ ี

ไปและกลับทาได้ = 4  3 = 12 วิธี

ค. ไปด้วยเรอื ขนาดเล็กกลับดว้ ยเรือขนาดเล็ก

ขา้ มไป ทาได้ 3 วิธี

ขา้ มกลับ ทาได้ 2 วธิ ี

ไปและกลับทาได้ = 3  2 = 6 วิธี

* จากขอ้ ก ข และ ค จานวนวธิ ที ไ่ี ด้ถือว่าไดไ้ ปและกลับมาแล้ว แสดงวา่ แต่ละวิธีไดท้ า

สาเร็จ จานวนวธิ ีทีท่ าได้ให้นามา บวก กันเป็นจานวนวธิ ที ั้งหมด*

ดงั นนั้ ไปด้วยเรือขนาดใดกลับด้วยเรือขนาดนนั้ แต่ไมซ่ ้าลา จะทาไดท้ ัง้ หมด

= 20 + 12 + 6 = 38 วธิ ี

34

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.3

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั การนบั (กฎการคณู )

คาชแ้ี จง ให้นกั เรยี นวิเคราะหส์ ถานการณ์ปัญหาพรอ้ มทง้ั แสดงวิธีการแก้ปญั หา

สถานการณป์ ญั หา

1. มีเลขโดด 6 ตัว ไดแ้ ก่ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสร้างจานวนตอ่ ไปน้ีโดยแตล่ ะหลักใชต้ วั เลขซา้

กันได้กวี่ ธิ ี

1. จานวน 3 หลัก

2. จานวนค่ี 3 หลัก

3. จานวนคู่ 3 หลกั

ส่งิ ทโ่ี จทยก์ าหนดให้

มเี ลขโดด 6 ตัว ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4 และ 5

สง่ิ ทโี่ จทยต์ อ้ งการ

จะสรา้ งจานวนตอ่ ไปน้ีโดยแตล่ ะหลกั ใชต้ ัวเลขซ้ากนั ไดก้ ี่วิธี

1. จานวน 3 หลัก

2. จานวนค่ี 3 หลัก

3. จานวนคู่ 3 หลกั

วิธกี าร/แนวทางแกป้ ญั หา

1. จานวน 3 หลกั แตล่ ะหลกั ใชต้ ัวเลขซา้ ได้

หลักร้อย หลกั สบิ หลกั หน่วย

1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5

จานวนวิธี 5  6  6 = 180 จานวน

2. จานวนค่ี 3 หลกั แต่ละหลกั ใชต้ วั เลขซา้ ได้

หลกั ร้อย หลกั สิบ หลักหน่วย

1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 1, 3, 5

จานวนวิธี 5  6  3 = 90 จานวน

3. จานวนคู่ 3 หลกั แตล่ ะหลกั ใชต้ วั เลขซา้ ได้

หลักร้อย หลักสบิ หลักหนว่ ย

1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4

จานวนวิธี 5  6  3 = 90 จานวน

35

เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 1.3

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั การนบั (กฎการคณู )

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนแสดงวิธกี ารหาคาตอบ
1. หอ้ งประชุมแห่งหน่งึ มี 3 ประตู จงหาวิธีในการเดินเขา้ - ออกหอ้ งประชุม โดยมเี ง่อื นไขตา่ งกัน
ดังน้ี

1. จานวนวิธใี นการเดนิ เขา้
2. จานวนวิธใี นการเดนิ เขา้ - ออก
3. จานวนวิธีในการเดนิ เข้า - ออก โดยไมซ่ ้าประตกู ัน
4. จานวนวิธีในการเดินเข้า - ออก โดยใช้ประตเู ดมิ
วธิ ที า ประตูหอ้ งประชมุ มี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3
การเดนิ

เขา้ ออก

จานวนวิธีเดินเขา้ หอ้ งประชุม = 3 วธิ ี

จานวนวิธีการเดิน เขา้ - ออก = 3  3 = 9 วิธี (ใช้ประตซู า้ ได้)

จานวนวธิ ีการเดนิ เข้า - ออก โดยไมซ่ ้าประตูกนั = 3  2 = 6 วธิ ี

จานวนวิธกี ารเดนิ เขา้ - ออก โดยใช้ประตเู ดิม = 3  1 = 3 วิธี

2. มีโรงแรมอยู่ 5 แหง่ อยากทราบว่านักท่องเทีย่ ว 4 คน จะเลือกพักโรงแรมดงั กล่าวโดยไมซ่ า้

กนั ได้กว่ี ิธี

วธิ ที า

นกั ท่องเที่ยวคนท่ี 1 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 5 วิธี

นักทอ่ งเท่ยี วคนที่ 2 สามารถเลอื กพักโรงแรมได้ 4 วิธี

นักทอ่ งเทย่ี วคนท่ี 3 สามารถเลอื กพกั โรงแรมได้ 3 วธิ ี

นักทอ่ งเทีย่ วคนท่ี 4 สามารถเลอื กพักโรงแรมได้ 2 วิธี

ดังนั้น นักท่องเท่ียวจะเลือกพกั โรงแรมโดยไม่ซา้ กันไดเ้ ทา่ กบั 5 x 4 x 3 x 2 =120 วิธี

36

3. ในการเลอื กตง้ั กรรมการชดุ หนงึ่ จะประกอบไปดว้ ย ประธาน รองประธาน เหรญั ญกิ และเลขา

โดยกรรมการแตล่ ะคนจะดารงตาแหน่งได้เพียงตาแหนง่ เดยี วเทา่ น้นั ถา้ มีผู้สมัครทง้ั หมด 6 คน

เปน็ ชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้จะมไี ด้ท้ังหมดก่แี บบตา่ งกัน โดยที่

1. ไมม่ เี ง่ือนไขเพิม่ เติม

2. กาหนดให้ประธานเปน็ ชาย และเลขาตอ้ งเป็นหญิง

3. กรรมการตอ้ งเปน็ หญิงลว้ น ๆ

วธิ ที า มีผสู้ มคั ร 6 คน เปน็ ชาย 2 คน เปน็ หญงิ 4 คน ให้เลอื กกรรมการ 4 ตาแหนง่ ประธาน

รองประธาน เหรญั ญิก เลขา

1) ไม่มีเงอื่ นไขเพ่มิ เตมิ แต่ละคนเป็นได้ตาแหน่งเดยี ว

ตาแหนง่ ประธาน เลือกได้ 6 วธิ ี

ตาแหน่งรองประธาน เลอื กได้ 5 วิธี

ตาแหนง่ เหรัญญกิ เลือกได้ 4 วิธี

ตาแหนง่ เลขา เลอื กได้ 3 วิธี

ดังน้นั จานวนวธิ ใี นการเลือกกรรมการมี = 6  5  4  3 = 360 วิธี

2) กาหนดประธานเปน็ ชาย และเลขาตอ้ งเปน็ หญิง

ตาแหนง่ ประธาน เลอื กได้ 2 วธิ ี (เฉพาะชาย)

ตาแหน่งรองประธาน เลือกได้ 4 วธิ ี (เฉพาะหญิง)

ตาแหน่งเหรัญญกิ เลอื กได้ 4 วธิ ี (คนทเี่ หลอื )

ตาแหนง่ เลขา เลอื กได้ 3 วิธี (คนทีเ่ หลอื สดุ ทา้ ย)

ดงั น้นั จานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = 2  4  4  3 = 96 วิธี

3) กรรมการต้องเปน็ ผู้หญงิ ลว้ น ๆ

ตาแหนง่ ประธาน เลอื กได้ 4 วธิ ี (เฉพาะหญงิ )

ตาแหนง่ รองประธาน เลอื กได้ 3 วิธี (เฉพาะหญิงทีเ่ หลือ)

ตาแหน่งเหรัญญกิ เลือกได้ 2 วธิ ี (เฉพาะหญงิ ทเี่ หลือ)

ตาแหนง่ เลขา เลอื กได้ 1 วิธี (เฉพาะหญงิ ที่เหลอื )

ดงั นั้น จานวนวิธีในการเลอื กกรรมการมี = 4  3  2  1 = 24 วธิ ี

37

เgเฉลยแบบทดสอบยอ่ ยท่ี 1

เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกับการนบั

คาชแี้ จง จงเตมิ เครอื่ งหมายกากบาท () ทับหัวขอ้ ทีเ่ ห็นว่าถกู ท่ีสดุ เพยี งข้อเดยี ว

1. ห้องประชมุ แห่งหนง่ึ มปี ระตูอยู่ 3 ประตู จงหาวิธที ี่เดินเขา้ และออกห้องประชุม โดยหา้ มเดนิ เข้า

และออกซา้ ประตเู ดิม

ก. 10 วธิ ี ข. 9 วธิ ี ค. 8 วิธี ง. 6 วิธี

2. หมายเลขโทรศัพทป์ ระกอบไปดว้ ยตวั เลข 6 ตวั และตวั เลขสามตัวแรกเป็น 670 มไี ด้ทงั้ หมดกต่ี ัวเลข

ก. 1,000 หมายเลข ข. 999 หมายเลข ค. 100 หมายเลข ง. 99 หมายเลข

3. ถ้าต้องการสรา้ งเลข 3 หลัก ซ่งึ แต่ละหลักซ้ากันได้ โดยเลือกใช้เลขโดด 0, 1, 2, ..., 9 จะสรา้ ง

ไดท้ ้ังหมดกีจ่ านวน

ก. 1000 จานวน ข. 999 จานวน ค. 900 จานวน ง. 99 จานวน

4. จงหาจานวนวธิ ีทีจ่ ะหยิบไพ่ 1 ใบ ใหไ้ ดไ้ พ่โพดา หรือข้ามหลามตดั จากไพ่ 1 สารบั

ก. 26 วธิ ี ข. 13 วธิ ี ค. 4 วธิ ี ง. 52 วิธี

5. ครูตอ้ งการส่งจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู้ 3 ตู้ จะทาไดก้ ว่ี ิธี

ก. 53 วธิ ี ข. 35 วธิ ี ค. 55 วธิ ี ง. 33 วิธี

6. ในการเดนิ ทางจากหาดใหญ่ถึงกรุงเทพฯมวี ธิ ี 2 ทาง ขนึ้ เครื่องบนิ กับนง่ั รถไฟไปตอ่ รถยนต์ และ

พบว่าเครอื่ งบินมี 3 เท่ยี ว รถไฟมี 4 ขบวน รถยนต์มี 5 คัน อยากทราบวา่ จะมวี ธิ กี ารเดนิ ทางไดก้ ว่ี ิธี

ก. 26 วิธี ข. 23 วธิ ี ค. 20 วิธี ง. 14 วธิ ี

7. ขอ้ สอบ 5 ขอ้ ซึ่งเป็นข้อสอบปรนยั แบบเลอื กคาตอบ ประเภท 4 ตัวเลอื ก จานวนวธิ ีการตอบ

ของสมชายเมอื่ สมชายทาขอ้ สอบครบทง้ั 5 ขอ้

ก. 1,024 วิธี ข. 900 วิธี ค. 256 วธิ ี ง. 128 วธิ ี

8. ครูคนหนงึ่ มีหนงั สือแตกต่างกัน 10 เล่มตอ้ งการแจกหนงั สอื ทง้ั หมดให้กบั นกั เรยี น 2 คน ครู

จะมวี ิธแี จกหนังสอื ท้ังหมดก่ีวธิ ีเพือ่ ให้นกั เรียนแตล่ ะคนไดร้ ับหนงั สอื อย่างนอ้ ง 1 เล่ม

ก. 1,024 วธิ ี ข. 1,022 วิธี ค. 1,000 วิธี ง. 900 วิธี

9. ต้องการสร้างเลขสามหลักโดยทแี่ ตล่ ะหลกั ไม่ซา้ กนั โดยสร้างจากตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5 จะสร้าง

ได้กีจ่ านวน เมอ่ื จานวนท่ีสรา้ งมีคา่ น้อยกวา่ 300

ก. 20 จานวน ข. 22 จานวน ค. 24 จานวน ง. 28 จานวน

10. จงหาจานวนวธิ ที ี่จะให้รางวลั ที่หนงึ่ ท่ีสองและที่สามใหเ้ ดก็ 5 คน

ก. 25 วิธี ข. 50 วธิ ี ค. 100 วิธี ง. 125 วธิ ี

38

บรรณานกุ รม

กระทรวงศึกษาธกิ าร. หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพร้าว, 2551.

ทศิ นา แขมมณี. ศาสตรก์ ารสอน. กรงุ เทพฯ : สานักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย, 2557.
ธนวฒั น์ สนทราพรพล. ค่มู อื รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพมิ่ เตมิ เลม่ 4 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6.

กรุงเทพฯ : ไซน์ เซน็ เตอร์, 2551.
ปนัดดา แกว้ เสทือน. ผลของการจดั กจิ กรรมการเรยี นรโู้ ดยใชเ้ ทคนคิ การตง้ั ปญั หา ทม่ี ีตอ่

ความสามารถในการแกป้ ญั หาและความคดิ สรา้ งสรรคท์ างคณติ ศาสตร์
เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5. วทิ ยานพิ นธ์ครุศาสตรมหาบณั ฑติ
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ศกึ ษา บัณฑิตวทิ ยาลัย. มหาวทิ ยาลัยราชภัฏมหาสารคาม, 2554.
สรุ เิ ยศ สุขแสวง. ผลของการจดั กจิ กรรมการเรยี นรโู้ ดยใชเ้ ทคนคิ การตงั้ ปญั หาทม่ี ตี อ่ ความสามารถ
ในการแกป้ ญั หาและความคดิ สรา้ งสรรคข์ องนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5
จงั หวดั สรุ นิ ทร์. วทิ ยานิพนธ์ครุศาสตรมหาบณั ฑติ สาขาวชิ าการศึกษาคณติ ศาสตร์
บณั ฑติ วทิ ยาลัย. จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย, 2548.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม เลม่ 4
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6. พมิ พ์ครัง้ ที่ 6. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพรา้ ว, 2557.
ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน เลม่ 2
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6. พิมพค์ รง้ั ที่ 6. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์คุรสุ ภาลาดพร้าว, 2557.
สานักวชิ าการและมาตรฐานการศึกษา. ตวั ชวี้ ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระการ
เรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์คุรสุ ภาลาดพรา้ ว, 2551.
อัมพร ม้าคนอง. ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ : การพฒั นาเพอ่ื พฒั นาการ.
กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย, 2553.
อัมพร มา้ คนอง. คณติ ศาสตรส์ าหรบั ครมู ธั ยมศกึ ษา. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แหง่ จฬุ าลงกรณ์
มหาวิทยาลยั , 2557.


Click to View FlipBook Version
Previous Book
Newsletter 2nd Edition Final
Next Book
เรื่อง การอ่านคิดวิเคราะห์เรื่องสั้น