เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั 2

คานา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6
เลม่ นี้ จดั ทาขน้ึ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้แบบกลุ่มร่วมมือ
เทคนิค TAI เป็นการเรียนที่ผสมผสานระหว่างการจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ (Cooperative
Learning) และการสอนรายบุคคล (Individualization Instruction) เข้าด้วยกัน โดยให้ผู้เรียนได้ลง
มือทากิจกรรมในการเรียนได้ด้วยตนเอง ตามความสามารถของตน และส่งเสริมความร่วมมือภายในกลุ่ม
มกี ารแลกเปล่ียน
ประสบการณ์การเรียนรแู้ ละปฏิสมั พันธท์ างสังคม สมาชกิ ในกล่มุ ประกอบด้วยนักเรียนเก่ง ปานกลาง
และอ่อน ให้นกั เรียนศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะทลี ะเล่ม ตามลาดับของสาระท่ีกาหนดไว้ ซ่ึงมีทั้งหมด 8 เล่ม
ประกอบดว้ ย

เล่มที่ 1 ความหมายของลาดบั
เล่มที่ 2 รปู แบบการกาหนดลาดับ
เล่มท่ี 3 ลาดบั เลขคณติ
เล่มที่ 4 ลาดับเรขาคณิต
เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลาดับ
เล่มท่ี 6 อนกุ รมอนันต์
เล่มท่ี 7 ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์
เลม่ ท่ี 8 สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก

ผจู้ ัดทาหวังเปน็ อย่างยิ่งวา่ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เลม่ นี้ จะช่วยใหผ้ เู้ รยี นมี
ผลสัมฤทธ์ทิ างการเรียนทส่ี ูงขึน้ มีเจตคตทิ ีด่ ีตอ่ การเรียนวิชาคณติ ศาสตร์ และจะเปน็ เคร่ืองมอื ที่ใช้
พัฒนาผเู้ รยี นให้มีผลการเรียนทกี่ ้าวหนา้ ยิ่ง ๆ ข้ึนไป ตลอดจนเป็นแนวทางในการจดั ทาสอื่ /นวัตกรรม
แก่ครผู ู้สอนวิชาคณิตศาสตรแ์ ละผู้สนใจทัว่ ไปที่จะนาไปประยกุ ตใ์ ช้ไดต้ ามสมควร

อุบล ชูรตั น์

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั 3

สารบญั

เรอ่ื ง หน้า

คานา…………………………………………….…………………………...………..…………………………………………….. ก
สารบญั ……………………………………………………………………………………………………………………………….. ข
คาชแี้ จงการใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์……………….………….…………..……………………………….……… ค
คาแนะนาสาหรับครู............................................................................................................................ ง
คาแนะนาสาหรับนกั เรยี น…….…………..………….……………………………………………………………………….. จ
สาระ มาตรฐานและตัวชีว้ ัดชว่ งชนั้ ........................................................................................................ฉ..
จุดประสงค์การเรยี นรู้....................................................................................................................... . 1
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น………………………………………………….…………….….…………………………………... 2
ใบความรทู้ ่ี 1…..……………………………………..………………...…………….…………………………………………. 5
ใบความร้ทู ่ี 2…..………………………………..………….………...…………….…………………………………………... 10
แบบสรปุ เนอื้ หา……………………………………………………………….………………........................................ 18
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.1………………………………………………………………….…………………………………………. 20
แบบฝึกทักษะท่ี 1.2……………………………………………………………….……………………………………………. 23
แบบทดสอบหลังเรียนฉบบั A……………………………………….……..………..……………………………………… 25
แบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B ……………………………………….……..………..…………………………………….. 28
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน...........………………………………………………………………………………………... 31
เฉลยแบบสรุปเนอื้ หา………………………………………..…………………………………………………………………. 31
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1……………………………………………………………………………………………………… 33
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1.2…………………………………………………………………………………………………….. 36
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นฉบบั A……………………………………….……..………..……………………………… 38
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B……………………………………….……..………..……………………………… 38
ตารางบนั ทึกคะแนน........................................................................................................................... 39
บรรณานกุ รม……….…….………..…………..………………………….….…..……………………………………………… 40

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั 4

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนนั ต์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
เล่มท่ี 5 ลมิ ิตของลาดับ ใช้ประกอบการจัดการเรียนรูแ้ บบกลุม่ รว่ มมอื เทคนคิ TAI
(Team Assisted Individualization) ในรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม รหัสวิชา ค33202 ได้จัดสร้าง
ข้ึนโดยกาหนดสาระการเรียนรู้ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ซึ่งนักเรียน
สามารถศกึ ษาเนอ้ื หาและประเมินผลการเรียนไดด้ ว้ ยตนเองตามขนั้ ตอนทกี่ าหนดไว้ มกี ารเสรมิ แรงแก่
นักเรียนเป็นระยะโดยใช้คะแนนของกลุ่มและความสาเร็จของกลุ่ม ซ่ึงแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ มี
ทง้ั หมด 8 เลม่ แต่ละเล่มจะเสนอเน้ือหาและตัวอย่างทีละเล็กทีละน้อย ทีละแบบฝึกทักษะ มีคาถาม
ให้นักเรียนได้คิดและทากิจกรรมหรือตอบคาถาม นักเรียนสามารถรับรู้ได้ด้วย ตนเองตาม
ความสามารถของแต่ละบุคคล
โดยมลี าดบั ดงั น้ี

1. จุดประสงค์การเรียนรู้
2. คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
3. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
4. ใบความรู/้ เนอื้ หาสาระ
5. แบบสรุปเนือ้ หา
6. แบบฝึกทักษะ
7. แบบทดสอบหลงั เรยี น
ผู้จดั กิจกรรมควรใชแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ควบคูก่ บั แผนการจดั การเรยี นรู้
แบบกลุ่มร่วมมือเทคนิค TAI (Team Assisted Individualization) โดยให้นกั เรยี นได้ศึกษา
ทาความเขา้ ใจเนือ้ หา สรุปเนื้อหา และทาแบบทดสอบท้งั ก่อนเรยี นและหลังเรยี นเพอื่ ประเมนิ และพัฒนา
การจดั กิจกรรมใหบ้ รรลุวัตถุประสงค์ของหลักสูตรต่อไป

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ 5

เมื่อครผู สู้ อนได้นาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ชุดนไ้ี ปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
ควรปฏิบัติดงั นี้

1. ศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตรใ์ หเ้ ขา้ ใจกอ่ นนาไปจดั กิจกรรมการเรียนการสอน
2. ควรใช้คกู่ ับแผนการจัดการเรียนรแู้ บบกลมุ่ ร่วมมือเทคนคิ TAI
3. ช้ีแจงขั้นตอนการทากจิ กรรมโดยใชแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตรน์ ้ีให้นักเรียนเข้าใจ
4. ทดสอบความรกู้ ่อนเรยี นของนกั เรยี นโดยใชแ้ บบทดสอบก่อนเรียน เพ่อื วัดความรู้พน้ื ฐาน
ของนกั เรียนแตล่ ะคน
5. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้และตัวอย่างแล้วสรุปเนื้อหาพร้อมทาแบบฝึกทักษะ ขณะ
ปฏบิ ตั ิกจิ กรรมควรดแู ลนักเรยี นอย่างใกล้ชิด
6. ใหน้ กั เรียนช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม และซกั ถามเนื้อหาท่ยี งั ไม่เข้าใจ ครอู ธบิ ายเพมิ่ เติม
7. เมอ่ื นักเรยี นสรุปเนื้อหาและทาแบบฝึกทักษะเสร็จเรียบร้อยแล้ว ให้หัวหน้ากลุ่มรวบรวม
ส่งครผู ูส้ อน เพอื่ ตรวจสอบความร้แู ละกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ แจ้งผลให้นักเรียนทราบในช่ัวโมง
ต่อไป
8. ทดสอบความรูห้ ลังเรียนของนักเรยี น โดยใช้แบบทดสอบหลังเรียน เพ่ือนามาประเมินผล
ความก้าวหนา้ และนามาเฉล่ียเป็นคะแนนกลมุ่
9. คะแนนกลุ่มและความสาเร็จของกลุ่มในข้ันสุดท้าย ครูผู้สอนรวบรวมคะแนนกลุ่มซ่ึงได้
จากคะแนนทสี่ มาชิกแต่ละคนได้รับจากการทาแบบทดสอบแตล่ ะเลม่ มาหาค่าเฉลีย่ ของกลุ่มโดยกลุ่มที่
ได้คะแนนสูงสุด 3 กลุ่มแรกจะไดร้ ับใบประกาศเกียรตคิ ณุ และถงุ ผ้าใส่ของคนละ 1 ถุง ดังนี้

กลมุ่ ที่ไดค้ ะแนนสงู เปน็ อันดับที่ 1 จะเปน็ “Super team” คือ กลมุ่ ยอดเยีย่ ม
กลุ่มทไ่ี ด้คะแนนสูงเปน็ อนั ดบั ท่ี 2 จะเป็น “Great team” คอื กล่มุ เกง่ มาก
กลุ่มทไ่ี ดค้ ะแนนสูงเป็นอนั ดับที่ 3 จะเป็น “Good team” คือ กลุ่มเก่ง
10. การศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มน้ีจะไม่บรรลุผลสาเร็จ ถ้านักเรียนขาดความมี
วินัยในการเรียนและความซ่อื สัตย์ในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดับ 6

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
เล่มท่ี 5 ลิมิตของลาดับ ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้แบบกลุ่มร่วมมือเทคนิค TAI (Team
Assisted Individualization) นักเรียนควรปฏบิ ตั ิ ดังน้ี

1. นักเรียนแบ่งกล่มุ ๆ ละ 4 - 5 คน ประกอบด้วย นักเรียนเก่ง ปานกลาง และอ่อน สมาชิกแต่
ละกล่มุ ทาการจบั คกู่ ันเพือ่ ตรวจสอบซึ่งกันและกัน

2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ สาระสาคัญของการเรียนใหเ้ ขา้ ใจ
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน เป็นข้อสอบปรนัยชนิดเลือกตอบ จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15
นาที คะแนน 10 คะแนน เสร็จแล้วตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่มด้วยตนเอง โดยครูคอยกากับ แนะนา
การตรวจ ให้ชดั เจน ถูกตอ้ งตรงตามเฉลย นกั เรียนต้องมีความซ่ือสัตย์ต่อตนเอง ห้ามเปิดดูเฉลยก่อน
ทาแบบทดสอบก่อนเรียน นักเรียนบันทึกคะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน หากมีข้อสงสัยให้ขอ
คาแนะนาจากครผู สู้ อน
4. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอย่าง แล้วสรุปเนือ้ หาและทาแบบฝึกทกั ษะตามลาดับขน้ั ตอนที่ครชู แ้ี จง
5. เมื่อสรุปเน้ือหาและทาแบบฝึกทักษะในแต่ละหัวข้อท่ีกาหนดเสร็จแล้ว ให้หัวหน้ากลุ่ม
รวบรวมส่งครู เพ่ือตรวจให้คะแนนตามเกณฑ์การประเมิน บันทึกและแจ้งผลให้นักเรียนทราบในชั่วโมง
ต่อไป ถ้าพบว่านักเรียนไม่ผ่านเรื่องใด กลุ่มจะต้องช่วยกันอธิบายให้เข้าใจ ถ้ายังไม่เข้าใจให้ขอ
คาอธบิ ายเพ่มิ เตมิ จากครู
6. เมื่อนกั เรียนทัง้ กลุ่มทากจิ กรรมตามขอ้ 4 และขอ้ 5 ครบถ้วนและถูกต้องแลว้ ให้นกั เรยี น
ทาแบบทดสอบหลังเรยี นฉบับ A เสรจ็ แลว้ ใหห้ วั หน้ากลมุ่ เป็นผู้ตรวจคาตอบตามเฉลยท้ายเล่ม โดยครู
คอยกากับการตรวจให้ถูกต้องตรงตามเฉลย ถ้าไม่ผ่านร้อยละ 70 ให้สมาชิกในกลุ่มช่วยกันอธิบาย
แก้ไขข้อบกพร่องแล้วจงึ ทาแบบทดสอบหลงั เรยี นฉบับ B จนผา่ นรอ้ ยละ 70
7. เมื่อนักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนเสร็จแล้ว ให้หัวหน้ากลุ่มบันทึกคะแนนลงในแผ่น
สรปุ ผลประจากลุ่มและนาคะแนนไปเปรียบเทียบกับคะแนนฐานของแต่ละบุคคลและของแต่ละกลุ่ม
ต่อไป
8. คะแนนกลมุ่ และความสาเร็จของกลุ่มในข้ันสุดท้าย ครูผู้สอนจะรวบรวมคะแนนกลุ่มซ่ึงได้
จากคะแนนที่สมาชิกแตล่ ะคนได้รบั จากการทาแบบทดสอบแต่ละเล่มมาหาค่าเฉล่ียของกลุ่ม โดยกลุ่ม
ทีไ่ ด้คะแนนสูงสดุ 3 กลมุ่ แรกจะไดร้ ับใบประกาศเกียรติคุณและถงุ ผา้ ใสข่ องคนละ 1 ถงุ ดงั นี้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ 7

กล่มุ ที่ไดค้ ะแนนสูงเปน็ อันดบั ที่ 1 จะเป็น “Super team” คือ กล่มุ ยอดเย่ียม
กลุ่มทไ่ี ดค้ ะแนนสงู เป็นอันดับท่ี 2 จะเป็น “Great team” คือ กลุ่มเกง่ มาก
กลมุ่ ทไ่ี ดค้ ะแนนสงู เป็นอันดบั ที่ 3 จะเป็น “Good team” คือ กลมุ่ เกง่
9. การศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตรเ์ ลม่ นี้จะไมบ่ รรลุผลสาเรจ็ ถา้ นักเรยี นขาดความมีวนิ ัย
ในการเรยี นและความซอื่ สัตย์ในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดับ 8

สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ และตัวช้ีวัดช่วงช้ัน

สาระท่ี 4 พีชคณิต
มาตรฐานการเรียนรู้

ค 4.1 : เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป (pattern) ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน
ตวั ชวี้ ดั ชว่ งชน้ั

ค 4.1ม.4-6/3 มีความคดิ รวบยอดเก่ยี วกบั ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน เขยี นแสดง
ความสัมพนั ธ์และฟงั ก์ชันในรปู ตา่ ง ๆ เช่น ตาราง กราฟ และสมการ

สาระที่ 6 : ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐานการเรยี นรู้

ค 6.1 : มคี วามสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสอื่ สาร
การสือ่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเชือ่ มโยงความร้ตู า่ ง ๆ ทางคณิตศาสตรแ์ ละเชื่อมโยงคณติ ศาสตร์
กับศาสตรอ์ ่นื ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์

ตัวช้ีวดั ชว่ งช้นั
ค 6.1 ม.4-6/1 ใชว้ ิธกี ารที่หลากหลายแกป้ ญั หา
ค 6.1 ม.4-6/2 ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ญั หาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้อยา่ งเหมาะสม
ค 6.1 ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตัดสนิ ใจ และสรปุ ผลไดอ้ ย่างเหมาะสม
ค 6.1 ม.4-6/4 ใช้ภาษาและสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ในการส่อื สาร การสอื่ ความหมาย
และการนาเสนอได้อยา่ งถูกตอ้ งและชัดเจน
ค 6.1 ม.4-6/5 เชื่อมโยงความร้ตู ่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปเชอ่ื มโยงกับศาสตรอ์ ื่น ๆ
ค 6.1 ม.4-6/6 มีความคิดริเรม่ิ สรา้ งสรรค์

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั 9

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 5

เร่ือง ลิมติ ของลาดบั

สาระสาคัญ

ลาดับอนันต์ เม่ือ n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีท่ีสิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ

จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่าน้ัน เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และ

กล่าววา่ ลาดบั นั้นมีลิมติ เท่ากับ L เขยี นแทนด้วย lim an = L

x

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ

1. หาลิมิตของลาดับอนนั ต์ โดยการพจิ ารณาจากกราฟได้

2. หาลมิ ิตอนนั ต์ โดยอาศยั ทฤษฎีบทเกย่ี วกับลมิ ติ ได้

3. บอกลาดบั อนันต์ทเี่ ปน็ ลาดับลู่เขา้ หรอื ล่อู อกได้

คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะ

ใหน้ กั เรยี นปฏบิ ัตติ ามขน้ั ตอน ดังนี้
1. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรยี น เสรจ็ แล้วตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเลม่ ดว้ ยตนเอง
2. ศกึ ษาบทนยิ าม ทฤษฎี หลักการทเี่ กยี่ วข้อง พร้อมศึกษาตวั อย่างจากใบความรู้
แลว้ อภิปรายภายในกลุม่ เพอ่ื สร้างความเข้าใจ หากมขี ้อสงสยั ให้สอบถามเพอื่ นสมาชิกในกลุม่
3. สรปุ เนอ้ื หาและทาแบบฝกึ ทักษะดว้ ยตนเองอยา่ งตัง้ ใจ หากมขี ้อสงสยั ให้ปรึกษาเพ่ือน
ในกลุม่ ห้ามเปดิ ดูเฉลยท้ายเลม่ นกั เรยี นต้องมีความซ่ือสัตย์ต่อตนเอง เมือ่ ทาเสร็จแล้วหวั หน้ากลุ่ม
รวบรวมสง่ ครูเพอื่ ตรวจสอบ บนั ทึกผลและแจ้งผลตอ่ ไป
4. เมอื่ ทาแบบฝกึ ทกั ษะเสร็จเรยี บร้อยแล้ว ใหท้ าแบบทดสอบหลงั เรยี นฉบับ A ด้วยตนเอง
เสร็จแล้วใหห้ วั หนา้ กลุ่มตรวจคาตอบตามเฉลยท้ายเลม่ แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
เพ่ือเก็บคะแนนสะสมเป็นคะแนนกลมุ่ ถ้าสมาชกิ ในกลุ่มคนใดไมผ่ ่านเกณฑ์ร้อยละ 70 ตอ้ งกลบั ไป
ศกึ ษาเน้ือหาอีกครัง้ และทาแบบทดสอบคู่ขนานฉบบั B จนกว่าจะผ่าน
5. สมาชิกในกลุ่มรว่ มกันสรุปเน้อื หา โดยครเู ป็นผู้คอยแนะนาและเพิม่ เติมความรใู้ นเนือ้ หา
ใหส้ มบูรณ์ยิ่งขนึ้

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั 10

แบบทดสอบก่อนเรยี น เร่อื ง ลิมติ ของลาดับ

คาชแ้ี จง 1. ใหน้ ักเรียนเลอื กคาตอบทถี่ กู ตอ้ งท่ีสดุ เพยี งขอ้ เดยี วจากตัวเลือก ก, ข, ค หรือ ง
แล้วเขยี นเครือ่ งหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ

2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยชนดิ เลือกตอบจานวน 10 ขอ้
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา 15 นาที

ขอ้ 1. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดบั ลู่เข้า ค. an
ง. an
 ก.an  3 n 1
2 n10
 ข. an 

 ง. an  5 n n
3
ค. an  3n

ขอ้ 2. ลาดับในข้อใดเปน็ ลาดับลอู่ อก

ก. an  n 7 1 ข. an  3n5
 5
 1n
ค. an  n  1 ง. an  9
n3
ขอ้ 3. กราฟของลาดับในข้อใดเปน็ ลาดับลู่ออก n

ก. an ข้อ4. จงหาลิมติ ของลาดับ an  2 5
n3
ก. 7 ข. 5

n ค. 2 ง. 0

ขอ้ 5.จงหาลมิ ิตของลาดับ

an bn  9  3n  5n2
3n2  4
ข.

ก.  5 ข. 5
3 3
ค. 3 ง. 0

n

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ 11

3 27n3  3n ขอ้ 8. จงหาลมิ ิตของลาดับ bn  4n5  2n  1
4n2  2 6  5n4
ขอ้ 6. จงหาลมิ ิตของลาดบั Cn 

ก. 0 ข. 3 ก.  4 ข. 4
4 5 5
ค. 0 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้
ค. 2 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้
3 64n2  3n
ข้อ 7. จงหาลิมิตของลาดับ ข้อ 9. จงหาลิมติ ของลาดับ bn  4 4n2

an  5n1  3n  1 ก. 1 ข. 2
3n1  5n1
ก. 3 ข. 5 ค. 3 ง. 4

ค. 15 ง. 25 ข้อ 10. จงหาลมิ ิตของลาดับ

an  25n  9
4n  25n
ก. 0
ข. 8
ค. 5 7
7
ง. 5
2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ 12

กระดาษคาตอบ

ทดสอบกอ่ นเรยี น

เล่มที่ 5 เรื่อง ลมิ ิตของลาดับ

ช่อื -สกุล ชนั้ ม.6/ เลขท่ี .

ขอ้ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6

8
9
10

ทาแบบทดสอบก่อนเรยี น
แลว้ ศึกษาเน้ือหากัน

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั 13

ใบความรทู้ ี่ 1
เร่ือง ลมิ ิตของลาดบั
โดยการพิจารณาจากกราฟ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1. นักเรียนสามารถหาลมิ ิตของลาดบั อนันต์ โดยการพจิ ารณาจากกราฟได้
2. นกั เรยี นสามารถหาลิมิตของลาดบั อนนั ต์ โดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ยี วกับลมิ ิตได้
3. นกั เรยี นสามารถบอกลาดับอนนั ต์ท่เี ป็นลาดบั ลู่เขา้ และลาดับลอู่ อกได้

สาระสาคัญ

ลาดบั อนนั ต์ เมอ่ื n มคี า่ มากข้นึ โดยไม่มีที่สน้ิ สุด และพจน์ที่ n มคี ่าเข้าใกลห้ รือเท่ากบั

จานวนจริง L เพยี งจานวนเดยี วเท่าน้ัน เรยี ก L วา่ ลมิ ิตของลาดับ (limit of a sequence) และ

กล่าววา่ ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากบั L เขยี นแทนด้วย lim an = L

x

ลมิ ติ ของลาดับ

พิจารณาลาดบั อนนั ต์ an เมือ่ n มคี า่ มากขน้ึ โดยไม่มที ส่ี ้ินสดุ และพจนท์ ี่ n มคี า่ เข้าใกล้

หรือเทา่ กบั จานวนจรงิ L เพียงจานวนเดียวเทา่ น้นั เรียก L วา่ ลิมิตของลาดับ (limit of a

sequence) และกลา่ ววา่ ลาดับนัน้ มลี มิ ติ เท่ากบั L เขยี นแทนดว้ ย lim an = L

x

ลาดับอนนั ตท์ ี่มีลิมิต เรียกวา่ ลาดบั ลู่เข้า (Convergent Sequence) สว่ นลาดบั อนันต์ที่

ไมม่ ีลมิ ติ เรยี กว่า (Divergent Sequence)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ 14

พจิ ารณาลาดับ an = 1
2n

n 1 2 3 4 5 6 7 ….

an 1 1 1 1 1 1 1 ….

2 12 12

an

n
รูปที่ 1

จากกราฟรูปท่ี 1 จะเห็นวา่ เมอ่ื n มีคา่ มากขีน้ โดยไมม่ ที ส่ี น้ิ สดุ แลว้ an มคี า่ ลดลงเข้าใกล้

0 แต่ไม่เท่ากบั 0 จึงกล่าววา่ ลาดับ an = 1 มีลมิ ติ เท่ากบั 0 หรือ lim an  0 และ an เป็น
2n
x

ลาดับลเู่ ข้า

พจิ ารณาลาดับ bn = 2n -1

n 1 2 3 4 5 6 7 ….

bn 1 3 5 7 9 11 13 ….

an

n
รูปที่ 2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั 15

จากกราฟรูปที่ 2 จะเห็นวา่ เมอื่ n มีคา่ มากขึ้นโดยไม่มที ี่สิน้ สุดแลว้ bn ไม่เข้าใกลห้ รือเท่ากบั

จานวนใดจานวนหนงึ่ เลย จงึ กล่าวไดว้ า่ ลาดบั bn = 2n -1 ไม่มลี มิ ติ หรือ lim bn หาค่าไม่ได้

x

และ bn เป็นลาดบั ลูอ่ อก

พิจารณาลาดับ Cn = 1n1
n 1 2 3 4 5 6 7 ….
cn 1 -1 1 -1 1 -1 1 ….

an

n

รูปที่ 3

จากกราฟรปู ที่ 3 จะเห็นว่า เมอ่ื n มคี ่ามากขึ้นโดยไมม่ ที ส่ี น้ิ สุดแล้ว Cn ไมเ่ ขา้ ใกล้หรือเทา่ กับจานวน

ใดจานวนหนงึ่ เลย จงึ กล่าวได้วา่ ลาดับ Cn =  1n1 ไม่มีลิมติ หรอื lim Cn หาค่าไม่ได้ และ

x

Cn เปน็ ลาดบั ลอู่ อก

จากตัวอยา่ งที่ 3 เราจะเรยี กลาดับลอู่ อกทม่ี ลี ักษณะของกราฟข้นึ และลงสลบั กันโดยไม่เข้า

ใกลห้ รอื เท่ากับจานวนใดจานวนหนง่ึ เชน่ นว้ี ่า ลาดบั แกว่งกวดั (Oscillating sequence )

พิจารณาลาดับ an = 1   1n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 ….

an 0 3 2 5 4 7 6 ….
234567

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดับ 16

an

n

รปู ท่ี 4

จากกราฟรปู ท่ี 4 จะเห็นวา่ เม่อื an มีค่ากวดั แกว่งแตล่ ดลงเข้าใกล้ 1 เม่อื n มีคา่ มากที่สดุ โดยไมม่ ีท่ี

สน้ิ สดุ แล้ว จงึ กล่าวไดว้ า่ ลาดบั an = 1  (1)n มีลิมติ หรือ lim an =1 และ an เปน็ ลาดับลู่
n
x

เข้า

สรุป
พิจารณาลิมิตของลาดับ (Limit of sequence ) ไดด้ งั น้ี

1. ลาดับทจ่ี ะนามาพิจารณาลมิ ติ นัน้ ต้องเปน็ ลาดับอนนั ต์
2. ถ้ากล่าววา่ L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an หมายถึง เมื่อ n มากกขน้ึ โดยไมม่ ีที่

ส้นิ สุด พจนท์ ี่ n ของลาดับจาเข้าใกล้หรอื เท่ากบั จานวนจรงิ L ( อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an
เม่อื n มากขึ้นโดยไมม่ ที ีส่ ิ้นสุด เท่ากับ L )
3. ลาดบั อนันต์ทม่ี ีลิมิตเรยี นวา่ ลาดบั ล่เู ข้าส่วนลาดับอนนั ต์ท่ไี มม่ ีลิมิตเรียกว่า ลาดบั ลอู่ อก
4. การพจิ ารณาว่าลาดบั ใดจะมลี มิ ิตหรือไม่น้ัน อาจทาไดโ้ ดยการพจิ ารณาจากกราฟของลาดับ
เมอ่ื n มากข้ึน โดยไม่มีทสี่ ้นิ สุดเปน็ ลาดบั อนนั ต์ เมอ่ื n มคี ่ามากขึน้ โดยไม่มที ่ี
สิ้นสดุ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั 17

ใบความรู้ท่ี 2
เรือ่ ง ลิมติ ของลาดับ
โดยอาศยั ทฤษฎีบทเกีย่ วกบั ลมิ ติ

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1. นักเรยี นสามารถหาลมิ ติ ของลาดบั อนันต์ โดยการพจิ ารณาจากกราฟได้
2. นักเรียนสามารถหาลมิ ติ ของลาดับอนันต์ โดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตได้
3. นักเรยี นสามารถบอกลาดับอนนั ต์ทเ่ี ป็นลาดบั ลู่เข้าและลาดับล่อู อกได้

สาระสาคญั

ลาดับอนนั ต์ เมื่อ n มคี ่ามากข้ึนโดยไม่มีทีส่ ิ้นสุด และพจนท์ ่ี n มีค่าเขา้ ใกล้หรอื เท่ากบั

จานวนจริง L เพยี งจานวนเดียวเท่านัน้ เรยี ก L ว่า ลมิ ิตของลาดับ (limit of a sequence) และ

กลา่ ววา่ ลาดับนนั้ มีลมิ ติ เทา่ กับ L เขยี นแทนดว้ ย lim an  L

x

ลิมติ ของลาดับ

พิจารณาลาดับอนนั ต์ an เม่อื n มคี า่ มากขน้ึ โดยไม่มีท่สี ้นิ สุด และพจนท์ ี่ n มีคา่ เข้าใกล้

หรือเทา่ กับจานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเทา่ น้นั เรยี ก L วา่ ลิมิตของลาดับ (limit of a

sequence) และกลา่ ววา่ ลาดับนั้นมีลมิ ติ เท่ากับ L เขียนแทนดว้ ย lim an L

x

ลาดับอนันต์ทม่ี ีลิมติ เรยี กว่า ลาดบั ลู่เขา้ (convergent Sequence) สว่ นลาดับอนันต์ท่ี

ไมม่ ลี ิมติ เรยี กวา่ (divergent Sequence)

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั 18

เรื่อง ลิมิตของลาดับ โดยอาศยั ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติ

จากการหาลิมิตของลาดบั โดยพิจารณาจากกราฟ นักเรยี นจะเห็นวา่ ค่อนข้างยุ่งยากเพราะ

ตอ้ งแทนคา่ และนาไปลงกราฟ ซง่ึ อาจจะตอ้ งแทนค่าหลายพจนเ์ พอ่ื ดูแนวโน้มของกราฟหาค่าลิมิต แต่

ต่อไปน้จี ะเป็นการหารลมิ ิตของลาดับโดยอาศยั ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมิตดังน้ี

ให้ r เปน็ จานวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า lim 1 0 และ nr หาค่าไมไ่ ด้
nr
x

จงหาค่าลิมิตของลาดับ an  1 จากทฤษฎบี ทท่ี 1 จะได้ lim 1 0
n7 n7
x

จงหาค่าลมิ ิตของลาดับ an  n10 จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ lim n10 หาค่าไมไ่ ด้

1 x
2n
จงหาคา่ ลิมติ ของลาดบั an  n3   1  0 จากทฤษฎีบทท่ี 1

จะได้ lim n3  1  1  0
2n
x

ให้ r เปน็ จานวนจรงิ

- ถา้ r < 1 แล้ว lim rn  0
x

- ถ้า r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้
x

จงหาลิมิตของลาดบั an = 5n เนอ่ื งจาก 5 = 5 >1 จากทฤษฎีบทที่ 2 จะไดว้ ่า

lim 5n หาคา่ ไมไ่ ด้
x

จงหาลิมิตของลาดับ an =   3 n เนือ่ งจาก  3 = 3 <1 จากทฤษฎีบทท่ี 2
5 5 5
จะไดว้ ่า lim ( 3)n = 0
x 5 n

 จงหาลิมติ ของลาดบั an =  5 เนอ่ื งจาก  5 = 5 > 1 จากทฤษฎีบทที่ 2
4 4 4

 จะได้วา่ lim 5 n
x 4
 หาคา่ ไม่ได้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดบั 19

8 n 8 n n
   จงหาลมิ ิตของลาดบั an = 7 7  7
เน่ืองจาก = 8 และ

7  7 =7 < 1 จากทฤษฎบี ทที่ 2 จะได้ว่า lim (8)n =0
8 8 x 7
8

ให้ an ,bn เป็นลาดับของจานวนจริง A,B เป็นจานวนจริง และ c เป็นคา่ คงตวั ใดๆ

โดยที่ lim an  A และ lim bn  B จะได้ว่า

x x

( 1 ) lim c  c
n

(2) lim can  c lim an  cA

n n

(3) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  A B

n n

(4) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  A B

n n

(5) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  AB

n n lim an

(6) ถา้ bn  0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B  0 vแลว้ lim ( an )  n  A
bn B
n lim bn

n
(7) ถา้ an เป็นลาดบั ของจานวนจริงทีม่ ากกวา่ หรือเท่ากับ 0 และให้ m เป็นจานวนเตม็ ที่

มากกวา่ หรือเทา่ กับ 2 แลว้ lim m an m lim an m A โดยที่ m A หาคา่ ได้

n x

จงหาลิมิตของลาดบั an = 10 จากทฤษฎบี ทที่ 3 ขอ้ 1 จะไดว้ ่า lim 10  10
x
5 จากทฤษฎบี ทที่ 3 จะไดว้ ่า lim ( 5)   5
จงหาลิมิตของลาดบั an =  7 x 7 7

จงหาลิมิตของลาดับ an = 5
n6
วธิ ที า

lim 5 = 5lim 1
n6 n6
x x

= 5(0)

=0

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั 20

ดงั นน้ั lim 5 =0
n6
x

จงหาลิมิตของลาดับ an = 4n3  3n
2n3
4n3  4n3
วิธีทา lim 2n3 3n = lim  2n3  3n 
 3n3 
x x

 = lim 2  3
2n2
x

= lim 2  3 lim 1
2 n2
x x

= 2 + 3 (0)
2
=2

ดงั นั้น lim 4n3  3n =2
2n3
x

จงหาลิมิตของลาดับ an = 5n2  3n
2n3  1
 วิธีทา 5 3
5n2  3n n3 n  n2
2n3  1 lim
lim = x n3 1
n3
x 2 

 5  3 
 n  n2 
= lim  2 1 
 n3 
x

lim 5  lim 3
n n2
= x x 1
n3
lim 2  lim

x x
00
= 20

=0

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดับ 21

ดงั นัน้ lim 5n2  3n =0
2n3  1
x

จงหาลิมิตของลาดบั an = 3  2n  6n2
2n2  n7
 วิธที า 3 2
3 2n  6n2 n2 n2  n 6
2n2  n7 lim
lim = x n2 1 7
n n2
x 2  

3  2  6
n2 n
= lim 1 7
n n2
x 2  

lim 3  lim 2  lim 6
n2 n
= x x x
1 7
lim 2  lim n  lim n2

x x x

= 006
200
= -3

ดังนัน้ lim 3  2n  6n2 = -3
2n2  n7
x

จงหาลิมติ ของลาดับ an = 7n3  3n2  n  4
n2  2n
   วิธที า 3 1 4
7n3  3n2 n  4 n3 7  n  n2  n3
n2  2n lim
lim = n3 1 2
x n n2
x 

lim 7  lim 3  lim 1  lim 4
x n n2 n3
= x 1 x 2 x
n n2
lim  lim

x x

= 7000
00
7
= 0

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนันต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั 22

ดงั น้นั lim 7n3  3n2  n  4 = หาค่าไมไ่ ด้
n2  2n
x

จงหาลมิ ติ ของลาดับ an = n2  n3 3
n1 n2 
n2 n3 n2 (n2  3)  n3 (n 
วธิ ีทา lim  n  n2   = lim  (n  1)(n2  3) 1) 
   
x 1 3 x

= lim  n4  3n2  n4  n3 
 n3  3n  n2  3 
x

= lim n3 3n2  n3 3
 n2  3n 
x

 = lim n3  3  1
 x n3 n
1 3 3
1 n  n2  n3

lim (  3 )  lim 1
n
= x x 3
1 3 n3
lim 1  lim n  lim n2  lim )

x x x x

= 1  01  0
00
= -1

ดงั นน้ั lim  n2 1  n3 3  = -1
 n n2  
x

จงหาลมิ ิตของลาดบั an = 5 243n2  4n
32n2  3n
 วิธที า 4
243n2  4n n2 243  n
32n2  3n lim
lim = x n2 3
n
x 32 

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั 23

243  4
n
= lim 3
n
x 32 

lim 243  lim 4
n
= x x
3
lim 32  lim n

x x

= 243  0
32  0
= 243
32

ดังนั้น lim 5 243n2  4n = 5 243 = 3
32n2  3n 32 2
x

จงหาลมิ ิตของลาดบั an = 5n1  5n  3
5n1  1
5n1  5n
วธิ ที า lim 5n1   3 = lim 5  5n  5n  3
1
x x 5n 1
5
 = 3
5n 5  1  5n
5n (
lim 1  1 )
5 5n
x

lim 4  3 lim 1
5n
= x x

lim 1  lim 1
5 5n
x x

= 40

1  0
5
= 20

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดบั 24

ดังนน้ั lim 5n1  5n  3 = 20
5n1  1
x

จงหาลมิ ติ ของลาดับ an = 2n2  3n1  1
2n1  3n2
2n2  3n1  2n  3 3n 
วิธที า lim 2n1  3n2 1 = lim 4 2 2n  9 3n 1

x x

  = 3n  2 n 1 
 3 3n 
4   3 

lim  2 n 
x  3 
3n 2   9

   = 2 n 1
3 3n
4 lim  lim 3  lim
x
x x

2 lim 2 n
x 3
 lim 9
x

= 40  3  0
20  9
3
=  9

=  1
3
2n2  3n1 
ดงั น้ัน lim 2n1  3n2 1 =  1
3
x

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั 25

สรปุ การหาลมิ ติ ของลาดับ มีข้ันตอนดงั น้ี

พจิ ารณาลิมิตของลาดับ (Limit of sequence ) ไดด้ ังน้ี

1. ลาดบั ทีจ่ ะนามาพิจารณาลมิ ติ นัน้ ตอ้ งเปน็ ลาดับอนันต์

2. ถ้ากล่าววา่ L เป็นลิมิตของลาดับทีม่ พี จนท์ ่ี n เป็น an หมายถึง เมือ่ n มากกข้ึนโดยไมม่ ีที่
ส้ินสดุ พจนท์ ี่ n ของลาดบั จาเข้าใกล้หรือเทา่ กบั จานวนจริง L ( อ่านวา่ ลมิ ิตของลาดับ an
เม่ือ n มากขึน้ โดยไม่มีที่สน้ิ สุด เท่ากับ L )

3. ลาดบั อนนั ตท์ ม่ี ีลิมิตเรียนวา่ ลาดับล่เู ข้า สว่ นลาดับอนันตท์ ีไ่ มม่ ีลมิ ติ เรยี กวา่ ลาดบั ลู่

ออก

4. การพจิ ารณาวา่ ลาดับใดจะมลี มิ ิตหรอื ไม่น้นั อาจทาไดโ้ ดยใช้ทฤษฎบี ทดงั น้ี

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า lim 1 0 และ nr หาค่าไม่ได้
nr
x

ทฤษฎีบทท่ี 2 ให้ r เปน็ จานวนจรงิ

- ถ้า r < 1 แล้ว lim rn  0
x

- ถ้า r > 1 แลว้ lim rn หาคา่ ไมไ่ ด้
x

ทฤษฎบี ทท่ี 3 ให้ an ,bn เป็นลาดับของจานวนจรงิ A,B เป็นจานวนจริง และ c เป็นคา่ คงตวั ใดๆ

โดยท่ี lim an  A และ lim bn  B จะไดว้ ่า

x x

(1) lim c  c
n

(2) lim can  c lim an  cA

n n

(3) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  A  B

n n

(4) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  A  B

n n

(5) nlim(an  bn )  lim an  lim bn  AB

n n lim an

(6) ถ้า bn  0 ทกุ จานวนเต็มบวก n และ B  0 แล้ว lim ( an )  n  A
bn B
n lim bn

n

(7) ถ้า an เปน็ ลาดบั ของจานวนจรงิ ทีม่ ากกวา่ หรอื เทา่ กับ 0 และให้ m เปน็ จานวน

เตม็ ท่ีมากกว่าหรือเทา่ กับ 2 แล้ว lim m an m lim an m A โดยที่ m A หาค่า

n x

ได้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ 26

แบบสรปุ เนอ้ื หา เร่อื ง ลมิ ติ ของลาดบั

คาชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นสรปุ เน้ือหาเรือ่ งลมิ ติ ของลาดับตามหัวข้อตอ่ ไปน้ี

1. จงหาลมิ ติ ของลาดับ an = 3 โดยการเขียนกราฟ
n2  1
n1234567 ….

an

an

n

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั 27

2. จงหาลมิ ิตของลาดับ an = 3 ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั ลิมิตของลาดบั
n2  1
………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. การหาลมิ ิตของลาดบั มขี ้นั ตอนดงั น้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการเรียน
…………………………………….คะแนน

ลงชอ่ื ..............................ผูป้ ระเมิน
วนั ท่.ี ............./................./................

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั 28

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.1 เรื่อง ลิมติ ของลาดบั โดยการพิจารณาจากกราฟ

คาชแ้ี จง จงเขียนกราฟเพือ่ ตรวจสอบดูวา่ ลาดับตอ่ ไปนเ้ี ป็นลาดับลู่เขา้ หรอื ลู่ออกพร้อมทง้ั หารลิมิต

ของลาดบั

1. an  n 1 1


n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an

an

n
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

2. an  n1  1n 

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an

an

n
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั 29

 3.an 3n
2

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an

an

n

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

an  4.2n
3

n 1 2 3 4 5 6 7 ….

an

an

n
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดบั 30

 5. 1
an  3  2n

n 1 2 3 4 5 6 7 ….

an

an

n
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………

สรุปผลการเรยี น
…………………………………….คะแนน
ลงช่ือ..............................ผู้ประเมนิ
วนั ท่.ี ............./................./................

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดับ 31

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.2 เรื่อง ลิมิตของลาดับ
โดยอาศยั ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับลมิ ิต

คาช้แี จง จงใชท้ ฤษฎบี ทเก่ยี วกับลิมิตของลาดับเพ่อื ตรวจสอบว่าลาดบั ต่อไปนี้ เปน็ ลาดบั ล่เู ขา้ หรอื ลู่
ออก พรอ้ มทัง้ หาลมิ ิตของลาดบั

1. an  7 เปน็ ลาดบั ............................... lim 7 = ……………………
9 x 9 = …………………

2. an  10 เป็นลาดบั ................................ lim 10
3n x 3n

3. an  1  1n เป็นลาดับ................................ lim an  1  1n = ………………

x

4. an   1n เป็นลาดบั ................................. lim 1n = ……………….
n x n

5. an    7 n เป็นลาดบั ................................ lim   7 n = ……………………
5 5
x

6. an   2 n เปน็ ลาดบั ................................. lim  2 n = …………………
 2   2 
x

7. an  3n1 เป็นลาดับ.................................. lim 3n1 = …………………
5n2 5n2 = …………………
x = ………………
= …………………
8. an  5 1 เปน็ ลาดบั .................................. lim 5  1
n3 n3
x

9. an  6n  2 เปน็ ลาดับ.................................. lim 6n  2
3n x 3n

10. an  n  2 เปน็ ลาดับ.................................. lim n  2
3 x 3

11. an  6  7n5 เปน็ ลาดับ................................ lim 6  7n5 = …………………
4n6  3n5 4n6  3n5
x

12. an  8n3  2n2  5 เป็นลาดับ..................... lim 8n3  2n2 5 = ……………………
6n3  5n  3 6n3  5n 3
x

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ 32

13. an  5 7  4n3 เป็นลาดับ............................ lim 5 7  4n3 = ………………
 2n  n3  2n  n3
x

14. an  3n2  3 เปน็ ลาดบั ........................... lim 3n2  3 = …………………
3n  2 3n  2
x

15. an  5n1  2n1  1 เปน็ ลาดับ..................... lim 5n1  2n1  1 = ………………
5n1  3 5n1  3
x

16. an  6n2  2n1  4 เปน็ ลาดับ...................... lim 6n2  2n1  4 = ………………
2n  3n1  2 2n  3n1  2
x

17. an  8n  1 เปน็ ลาดบั ........................ lim 8n  1 = ……………
1  2n x 1  2n

18. an  3 72n2  3n เปน็ ลาดบั .......................... lim 3 72n2  3n = ………………
9n2  1 x 9n2 1

19. an  4n  1 เป็นลาดับ........................... lim 4n  1 = …………………
n 1 x n  1

20. an  n2 1  n2 เป็นลาดบั ........................... lim n2  n2 = ……………
2n  2n 1 x 2n  1 2n  1

สรุปผลการเรยี น
…………………………………….คะแนน

ลงช่อื ..............................ผ้ปู ระเมิน
วันท่ี............../................./................

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดับ 33

แบบทดสอบหลงั เรยี น ฉบับ A เร่อื ง ลิมิตของลาดับ

คาช้ีแจง 1. ใหน้ กั เรยี นเลอื กคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพยี งขอ้ เดียวจากตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง
แลว้ เขียนเครอ่ื งหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ

2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยชนิดเลอื กตอบจานวน 10 ขอ้
คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา 15 นาที

ขอ้ 1. ลาดบั ในขอ้ ใดเป็นลาดับลอู่ อก ค. an
ง. an
ก. an  n 7 1 ข. an  3n5
 5
 1n n
n 1 9
ค. an  ง. an  n3

ขอ้ 2. ลาดบั ในข้อใดเป็นลาดับลเู่ ขา้

 ก.an  3 n 1
2 n10
 ข. an 

ค. an  3n  ง. an  5 n
3
ขอ้ 3. กราฟของลาดบั ในข้อใดเปน็ ลาดบั ลอู่ อก n

ก. an ขอ้ 4. จงหาลิมติ ของลาดับ

bn  9  3n  5n2
3n2  4
n 5 5
3 3
ก.  ข.

an ค. 3 ง. 0

ข. ข้อ 5. จงหาลิมติ ของลาดับ an  2  5
n3
ก. 7 ข. 5

ค. 2 ง. 0

n

ขอ้ 6. จงหาลิมิตของลาดับ ข้อ 8. จงหาลิมิตของลาดับ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั 34

an  5n1  3n  1 an  25n  9
3n1  5n1 4n  25n
ก. 3 ข. 5
ก. 0 ข. 8
ค. 15 ง. 25 7
ข้อ 7. จงหาลมิ ิตของลาดับ ค. 5
7 ง. 5
3 27n3  3n 2
4n2  2
Cn  ข้อ 9. จงหาลิมิตของลาดบั

ก. 0 ข. 3 bn 4n5  2n  1
4  6  5n4
ค. 2 ง. หาค่าไม่ได้
3 ก.  4 ข. 4
5 5
ค. 0 ง. หาค่าไมไ่ ด้

ข้อ 10. จงหาลมิ ิตของลาดับ

bn  4 64n2  3n
4n2
ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดับ 35

กระดาษคาตอบ
ทดสอบหลังเรยี นฉบับ A

เลม่ ที่ 5 เร่อื ง ลมิ ติ ของลาดับ

ช่อื -สกลุ ชนั้ ม.6/ เลขที่ .

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ไมย่ ากอย่างทค่ี ิด
เลยใชไ่ หม

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ 36

แบบทดสอบหลงั เรียน ฉบับ B เรือ่ ง ลมิ ติ ของลาดบั

คาชีแ้ จง 1. ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบท่ีถูกตอ้ งที่สุดเพยี งข้อเดยี วจากตัวเลอื ก ก, ข, ค หรอื ง
แลว้ เขยี นเครอื่ งหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั ชนิดเลอื กตอบจานวน 10 ขอ้
คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

ข้อ 1. ลาดบั ในข้อใดเป็นลาดับลู่เข้า ค. an

 ก.an  3n ข. an  1
2 n10
n
 ง. an  5 n
ค. an  3n 3

ข้อ 2. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดบั ลู่ออก ง. an

ก. an  1 1 ข. an  n5
2n 
1 9
ค. an  n ง. an  n3

ขอ้ 3. กราฟของลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดบั ลู่ออก n

ก. an 2
n3
ข้อ4. จงหาลมิ ติ ของลาดบั an 

n ก. 7 ข. 5

ค. 2 ง. 0

ข้อ 5.จงหาลิมิตของลาดบั

an bn  9  3n  5n3
3n4  4
ข.

ก.  5 ข. 5
3 3
ค. 3 ง. 0
n

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั 37

ขอ้ 6. จงหาลิมิตของลาดบั ข้อ 8. จงหาลมิ ิตของลาดับ bn  4n5  2n  1
6  5n4
3 8n3  3n
2n 1
Cn  ก.  4 ข. 4
5 5
ก. 0 ข. 1 ค. 0 ง. หาค่าไมไ่ ด้

ค. 2 ง. หาคา่ ไม่ได้ ข้อ 9. จงหาลมิ ติ ของลาดับ bn  4 4n2  3n
3 4n2

ข้อ 7. จงหาลมิ ิตของลาดบั

an  5n1  3n1 ก. 1 ข. 2
3n1  5n1
ค. 3 ง. 4

ก. 1 ข. 5 ขอ้ 10. จงหาลมิ ิตของลาดับ

ค. 15 ง. 25 an  25n  9
4n  25n
ก. 0
ค. 5 ข. 8
7
7
ง. 5
2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั 38

กระดาษคาตอบ
ทดสอบหลังเรียนฉบบั B

ชือ่ -สกลุ เลม่ ท่ี 5 เรื่อง ลมิ ติ ของลาดับ .
ช้นั ม.6/ เลขที่

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ตัง้ ใจ มสี มาธิ มุ่งมัน่
เราทกุ คนทาได้

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั 39

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรอื่ ง ลมิ ติ ของลาดบั

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
1) ง 2) ข 3) ค 4) ข 5) ก
6) ก 7) ง 8) ง 9) ข 10) ค

เฉลยแบบสรุปเน้อื หา เรอื่ ง ลมิ ติ ของลาดับ

ใหน้ ักเรยี นสรุปเน้อื หาเร่อื งลิมิตของลาดับตามหวั ข้อตอ่ ไปน้ี

1. จงหาลมิ ิตของลาดับ an = 3 โดยการเขียนกราฟ
n2  1
n 1 2 3 4 5 6 7 ….

an 3 3 3 3 3 3 3
2 5 10 17 26 37 50

an

n

จากกราฟ จะเห็นวา่ เม่ือ n มีคา่ มากขี้นโดยไมม่ ีท่ีส้นิ สุดแล้ว an มีค่าลดลงเข้าใกล้ 0 แตไ่ ม่เท่ากับ 0

จงึ กลา่ ววา่ ลาดับ an = 3 มีลิมติ เทา่ กบั 0 หรอื lim an  0 และ an เป็นลาดับล่เู ข้า
n2  1
x

2. จงหาลิมติ ของลาดบั an = 3 ทฤษฎบี ทเก่ียวกับลมิ ิตของลาดับ
n2  1

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ิตของลำดับ 40

 วธิ ที า 3 n2 3
lim n2  1 = lim  n2 n2 1 
 n2 n2 
x x n2 

 = 3 lim 1
x n2

lim 1  lim 1
n2
x x

= 3(0)
10

= 0
1
=0

ดังน้นั lim n2 3 1 =0

x

3. การหาลิมติ ของลาดบั มีขั้นตอนดงั นี้

สรุป การหาลิมติ ของลาดับ มขี ้นั ตอนดังน้ี

1. ลาดับท่ีจะนามาพจิ ารณาลมิ ิตน้ันตอ้ งเปน็ ลาดบั อนันต์
2. ถ้ากลา่ วว่า L เป็นลิมิตของลาดับทมี่ พี จน์ท่ี n เป็น an หมายถึง เม่ือ n มากข้นึ โดยไม่มีท่ี

ส้นิ สดุ พจนท์ ่ี n ของลาดบั จาเข้าใกล้หรอื เทา่ กับจานวนจริง L ( อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an
เมือ่ n มากขนึ้ โดยไม่มีท่ีส้ินสุด เท่ากับ L )
3. ลาดบั อนนั ตท์ ม่ี ีลิมิตเรียนวา่ ลาดับลู่เข้าสว่ นลาดับอนนั ต์ท่ไี มม่ ลี มิ ิตเรยี กวา่ ลาดบั ล่อู อก
4. การพจิ ารณาว่าลาดบั ใดจะมีลมิ ิตหรือไม่นัน้ อาจทาไดโ้ ดยใช้ทฤษฎีบท

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ 41

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 5.1 เร่อื ง ลมิ ติ ของลาดับโดยการพจิ ารณา

จากกราฟ

คาชีแ้ จง จงเขียนกราฟเพ่อื ตรวจสอบดูว่าลาดับต่อไปน้เี ปน็ ลาดับลู่เข้าหรือลอู่ อก พร้อมทงั้ หาลิมิต

ของลาดับ

1. an  n 1 1


n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an 1 1 1 1 1 1 1 …

2345678

an

n
ตอบ……………ลาดบั ลู่เข้าและลมิ ิต an = 0 …………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั อนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ 42

2. an  n1  1n 

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an 0 3 2 5 4 6 5

an

n

12 3 45 67

ตอบ……………………ลาดบั ลอู่ อก…………………………………………………………………………………………

 3.an  3n
2

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an 3 9 27 81 243 729 2187 ….

2 4 8 16 32 64 128

an

n

1 2345 67

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ 43

ตอบ……………………ลาดบั ลอู่ อก……………………………………………………………………………………

 4.an 2n
3

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an 2 4 8 16 32 64 128 ….

3 9 27 81 243 279 2187

an

n

ตอบ………………………ลาดับลู่เขา้ และลมิ ิต an = 0………………………………………………………………

 5. 1
an  3  2n

n 1 2 3 4 5 6 7 ….
an 5 11 23 47 95 191 383 ….

2 4 8 16 32 64 128

an

n
ตอบ………………… ลาดบั ลู่เข้าและลิมิต an = 3 ……………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดับ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ 44

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.2 เรื่อง ลิมิตของลาดบั

คาชีแ้ จง จงใชท้ ฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมิตของลาดับเพอื่ ตรวจสอบว่าลาดับต่อไปน้ี เป็นลาดบั ลู่เข้าหรือลู่
ออก พรอ้ มทงั้ หาลิมติ ของลาดบั

1. an  7 เป็นลาดับ.....ลูเ่ ข้า.............. lim 7 =  7 
9 x 9 9

2. an  10 เป็นลาดบั .....ลู่เขา้ ................ lim 10 =0
3n x 3n

3. an  1  1n เป็นลาดบั ....ลอู่ อก............... lim an  1   1n = หาค่าไม่ได้

x

4. an   1n เป็นลาดับ......ลู่เขา้ ................. lim 1n =0
n x n

5. an    7 n เปน็ ลาดับ.......ลูอ่ อก.............. lim   7 n = หาคา่
5 5
x

ไมไ่ ด้

6. an   2 n เปน็ ลาดบั .......ลเู่ ขา้ .............. lim  2 n =0
 2   2 
x

7. an  3n1 เปน็ ลาดับ........ลู่เขา้ ................. lim 3n1 =0
5n2 5n2
x

8. an  5  1 เป็นลาดบั .......ลเู่ ข้า................. lim 5  1 =5
n3 n3
x

9. an  6n  2 เป็นลาดับ.......ล่เู ข้า................. lim 6n  2 =2
3n x 3n

10. an  n  2 เปน็ ลาดับ........ลูอ่ อก................ lim n  2 = หาค่าไมไ่ ด้
3 x 3

11. an  6  7n5 เปน็ ลาดบั .......ล่เู ขา้ .............. lim 6  7n5  = 7
4n6  3n5 4n6  3n5 3
x

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดับ 45

8n3  2n2  5 8n3  2n2 5 4
6n3  5n  3 6n3  5n 3 3
 12.an lim
 เปน็ ลาดับ...ลู่เข้า.......... =
x

13. an  5 7  4n3 เปน็ ลาดับ......ลเู่ ข้า........... lim 5 7  4n3 =4
 2n  n3  2n  n3
x

14. an  3n2  3 เป็นลาดบั ....ลูเ่ ขา้ ........... lim 3n2  3 =9
3n  2 3n  2
x

15. an  5n1  2n1  1 เปน็ ลาดบั ...ลู่เข้า......... lim 5n1  2n1  1 = 1
5n1  3 5n1  3 25
x

16. an  6n2  2n1  4 เป็นลาดับ...ลู่เข้า......... lim 6n2  2n1  4 = 12
2n  3n1  2 2n  3n1  2
x

17. an  8n  1 เป็นลาดบั ..ลู่ออก........... lim 8n  1 = หาคา่ ไม่ได้
1  2n x 1  2n

18. an  3 72n2  3n เปน็ ลาดับ...ลเู่ ข้า..............
9n2 1

lim 3 72n2  3n =2
9n2  1
x

19. an  4n  1 เปน็ ลาดับ...ล่เู ข้า................ lim 4n  1 =2
n 1 x n  1

n2 n2 เป็นลาดบั ......ลู่เข้า.......... lim n2  n2 = 1
2n  2n  x 2n  1 2n  1 2
 20.an  1  1 

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลาดับอนนั ต์และอนกุ รมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนันต์ เลม่ ท่ี 5 ลิมิตของลำดับ 46

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นฉบบั A เร่ือง ลิมิตของลาดบั

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1) ข 2) ง 3) ค 4) ก 5) ข
6) ง 7) ก 8) ค 9) ง 10) ข

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียนฉบบั B เรื่อง ลมิ ิตของลาดบั

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1) ข 2) ข 3) ค 4) ง 5) ง

6) ข 7) ก 8) ง 9) ก 10) ค

ร่วมมือช่วยเหลือกัน
เป็นความสาเรจ็
ของกลุ่มนะคะ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลิมิตของลำดับ 47

ตารางบันทึกคะแนน
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 5 เรอื่ ง ลิมติ ของลาดับ

*************
ชือ่ –สกลุ …………………………………………………………………………..ชน้ั …………..….……เลขท่ี…………………….

รายการ คะแนนเตม็ คะแนนท่ไี ด้ ผูบ้ นั ทึกคะแนน
แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิ์
ก่อนเรยี น เรือ่ ง ลาดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์
แบบทดสอบกอ่ นเรยี นแบบฝึกทักษะ
เลม่ ท่ี 5 เรอื่ ง ลิมติ ของลาดบั
แบบสรปุ เนอ้ื หา
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.1
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2
แบบทดสอบหลังเรยี นแบบฝึกทักษะ
เล่มที่ 5 เรื่อง ลมิ ติ ของลาดับ

ลงชอื่
(นางสาวอบุ ล ชรู ัตน์)
ครผู ู้สอน

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลาดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ที่ 5 ลิมติ ของลำดบั

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ เลม่ ที่ 5 ลมิ ิตของลำดบั 48

บรรณานุกรม

กระทรวงศึกษาธกิ าร. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กระทรวงศึกษาธิการ. (2555). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ เล่ม 6.
กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

จกั รินทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. (2551). คมั ภีรค์ ณติ ศาสตร์ ม 4-5-6. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พเ์ พมิ่ ทรัพย์
การพิมพ.์

จรี ะ เจรญิ สุขวิมลและวินิจ วงศ์รัตนะ. (ม.ป.ป). สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.6 เล่ม 5-6. กรงุ เทพฯ:
ไฮเอ็ดพับลิชชิง่ .

เทพฤทธิ์ ยอดใส และคณะ. (2556). กญุ แจคณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4-6 เลม่ 6. กรุงเทพฯ:
พ.ศ.พัฒนา.

ธนกาญจน์ ภทั รากาญน์. (2552). คณิตสาระ ม.ปลาย : แคลคูลสั . กรุงเทพฯ: สานักพมิ พ์แหง่
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .

สมัย เหล่าวานชิ ย.์ (ม.ป.ป.). คูม่ อื เตรยี มสอบคณติ ศาสตร์ ม 4-5-6 สาระการเรียนรเู้ พ่มิ เติม.
กรุงเทพ: ไฮเอด็ พับลชิ ชิง่ .

สมยั เหลา่ วานชิ ยแ์ ละพวั พรรณ เหลา่ วานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เลม่ 5 ค 015.
กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชง่ิ .

ท่าบ่อ. โรงเรยี น. (2559). หลกั สูตรสถานศึกษา โรงเรยี นท่าบอ่ ปรบั ปรงุ
ปีการศึกษา 2559. หนองคาย: งานบรหิ ารวชิ าการ.

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลาดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ เลม่ ท่ี 5 ลมิ ติ ของลำดบั