พต 4_1-20 ธัญรัตน์ เซต

ญ ตนาง สาว กา มา 20

ะา ม . 4 11

๋จ๊จำท์นัรัธ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 1 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1

เรือ่ ง การเขียนเซต และสมาชกิ ของเซต เซต
 จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ
1) เซตของตวั อกั ษร 3 ตวั หลังในภาษาองั กฤษ 2) เซตของจาํ นวนนับทน่ี ้อยกว่าหรือเทา่ กับ 5

{ y }× ,,z "" "

3) เซตของเดอื นที่ลงท้ายด้วย “ยน” 4) เซตของพยัญชนะในคาํ ว่า “คณติ ศาสตร์”

}{ เมษายน , นา , นยายน ,พฤศ กายน { }ค , ตา สาร

5) เซตของจาํ นวนนบั ท่อี ยู่ระหว่าง 5 ถึง 10 6) เซตของจาํ นวนเตม็ บวก

im { }แ 2,3 . ..
.

7) เซตของจํานวนเต็มทย่ี กกาํ ลงั สองแล้วได้ 16 8) เซตของจาํ นวนนบั ทหี่ ารดว้ ย 3 ลงตวั

{ }4. -4 { }3 แ 9 ,, . . .

 จงเขยี นเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

1) {10, 20, 30, ...} 2) {มกราคม กมุ ภาพันธ์ มีนาคม, ... , ธันวาคม}

{ นเ ม }เซตของ นวน บ { อเซต ของ เ อนใน า }
ละ เอ
4) {1, 3, 5, 7, ... , 99}
3) {a , e, i, 0, u}

{ }ใน งกฤษเซตของ สระ ภาษา { }/× X เ น นวน งแ 1- 99

5) {-1, -2, -3 , ... , -20} 6) {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}

{ /× × เ น นวน เ ม ลบ กมาก าห อ เ า บ 20 } { }| เ น× ×
ง สองของ นวน บ
7) {-7, 7}
8) {-5, -4, -3, ... , 18, 19, 20}

{ |× × เ น นวนเ ม ยก งไ }49 { |× × เ น นวน เ ม งแ -5 ง }2อ

  ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ถูก หรือ ผิด

✓

E

×

E

iE
✓

≠

¢

E

✓

E

X

¢

✓

E

✓
¢

ึถ่ต้ัต็ตำจ็ป้ดัลำก่ีท็ตำจ็ปันำจัลำก็ปัก่ทืร่ว่ีท็ตำจ็ป่ต้ัต่ีคำจ็ปัอีปืด่ืชีท้ึข่ิพ่ีทันำจำดุณิจักุถิม

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 2 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2

เรือ่ ง ชนิดของเซตและการเท่ากนั ของเซต ชนิดของเซต
 เซตใดเปน็ เซตจาํ กัด เซตใดเปน็ เซตอนันต์
2. เซตของรูปสเ่ี หลี่ยมุมฉาก ………เซ…ต…อ …น ………
1. เซตของจาํ นวนเฉพาะบวก ………เซ…ตอ……น………
3. เซตของเศษสว่ นทีม่ เี ศษเปน็ ศูนย์ แต่สว่ นไมเ่ ป็นศูนย์ …………………เซต ด {0 } ¢ {} อ เซต าง
4. เซตของจาํ นวนจริงทสี่ อดคล้องกบั สมการ x + 15 = 0 , เซต ด
…………………เซต ด { }- เ5
n (E) = o

จงพจิ ารณาวา่ เซตในขอ้ ใดบ้างเท่ากนั และเซตในขอ้ ใดบ้างไมเ่ ท่ากนั

1. { }ส ส= ……A…-- …B ……………
ด อย ……c…≠…D……………
……A…-- …B ……………
,, ,.

{ }=
สาว , ย สาด

,

2. }{= สาย , วาด

= {สาว , ย }

3. { }- 1 -3
,_

A ; ( × + 3) ( × - 1) = 0

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3 { }× = -3,1

D; Cy + 3) (y - 1) 1 1)+ =อ

เรอ่ื ง สบั เซต ำʰfc B เ อ ก วของ }Y = { -3,1 "

ใหน้ กั เรียนเขียนสับเซตทง้ั หมดของเซตทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ี สับเซต y +1=0

1 A = สบั เซต คอื° ไ เ น นเซต "

12=  { } {า } ¢ y เ= -
, _

2 F =   สบั เซต คอื่ เ จ เสมอ

1 {2 = 2 y = ± Fi

y= ±i
เ ง อน

{ } {เ } j ะ} 4 F,

3 G =  , { } สบั เซต คอื214 2 2 { } { } { } { }2 { 2 } :{ 3 } ¢ }{ 3. { ะ } ¢
{ }2ะ d
,
,, ,

¢

423=8 H = , 3, {3} สับเซต คือ { } { } { } { } { } { } } { }¢
: ,
{ {3

,,
3} ∅ 3 ∅ {3} 3. { 3 } , ¢ . 3. { 3 }
, .
, ,
,

" (A)

นวน บเซต = 2 ว น เอง
นวน บ เซต แ
4
ท(A)
ๆ
=2

5 J =  , 0, { , 0} สบั เซต คือ }  { }{ }∅ อ
{ } { } { } ④ } {{ ∅ } {o } .
, ,,
{ }∅ { }o ¢ .อ
,
{ }∅อ ∅ ° 0 ¢อ .
. า า .

, , ,

,

n (C) = 8

2)

ไ ใจ

ด ด c-¢ c

EC ( กกา)
ในก ด

-

กก

ด €/ C ก
-

ด

ก

3) n (A) = n (B) เ→ ยบเ า c เ า น

ด

ก
กด
กด
ดก

ด ด

nn

เ ยบเ า

่ทีทิผิผูถิผิผูถูถิผูถิผัก่ท่ทีทูถิผูถิผูถูถิผีปูถ้ดิผิผัมัต้ทัสำจัสำจ้ซิชัส็ป่ม็ทุ่ผัตุท่ืม้งักำจักำจ่วืคักำจ์ตัน์ตัน

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 3 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 4 เรอื่ ง เพาเวอร์เซต อ เซตของ บ เซต หมดของ A i P (A)

ใหน้ กั เรียนเขยี นเพาเวอร์เซตจาก เซตทก่ี ำหนดให้ต่อไปน้ี

1) A =  2) B = b
P(A) = { ∅ } P(B) = {∅ . แ} }

3) E = 1, {} P(E) = { }{ } }{∅ { }1 {0}า , {∅}
,, ,
4) F = 3, {4, 5}
P(F) = }{ { } { }}{{ }∅ า 3 า 4,5
. 3. { 4,5 }

5) G = xx  I และ 1  x  4  = {1 , 2,3}
P(G) = { }{ } { } { } } } { }∅ { { } {, า า 2 . 3 , แ 2 า แ 3 , 2,3 า แ2,3

 กาํ หนด A = {2, 3} จงเขยี น { } { } { }} { { }} { 0,12 }∅ . ∅ P (A)
P(A) = { }∅ , {2} , {3 } , { 2,3} {2} ¢ {2 ∅, 3 } {3} . . ..
สบั เซตทัง้ หมดของ P(A) คือ . , , ,
, ,. . . .
, ,. . .

 กําหนด A = {  } จงเขยี น

P(A) = {∅ , {∅}}

P(P(A)) = { }}}{∅ . {∅} , {{∅}} {¢, , ∅
 กําหนด A = { ,0, 2, 4, {}, {0}, {0, 2} } จงพิจารณาขอ้ ตอ่ ไปน้ี วา่ ถกู หรือผดิ

…✓..1.  P(A) …✓..2. {} P(A) …✓..3. {} P(A)
…✓..5. {0, 2}  P(A) …×..6. {0, 2}  P(A)
…✓..4. {< A }  P(A) …✓..8. { {0, 2} }  P(A) …✓..9. { {}, 2}  P(A)

{}

cA

…✓..7. { {0, 2} }  P(A)

…X..10. { {}, 2}  P(A) …X..11. A  P(A) {A} cp(A) ✓ …✓..12. A  P(A)

สมบัติของสบั เซต สมบตั ิของเพาเวอร์เซต

1) A  A (เซตทกุ เซตเป็นสับเซตของตวั มนั เอง) 1)   P(A)

2) A  U (เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ)์ 2) A  P(A)
3) ø  A (เซตวา่ งเป็นสับเซตของทกุ ๆ เซต) 3) P(A) ≠ 
4) ถ้า A   แลว้ A = 
5) ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C (สมบัติการถ่ายทอด) 4) P(A)  P(B) ก็ตอ่ เมอ่ื A  B
5) ถา้ A มีสมาชกิ n ตัว P(A) จะมีสมาชกิ 2n ตวั

6) A = B กต็ อ่ เมือ่ A  B และ B  A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สับเซตของเซตจะมที ้งั สน้ิ 2n สับเซต

5) จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ต่อไปน้ีถกู หรือผิดโดยทาเครื่องหมาย หรือ  หนา้ ขอ้ ที่กาหนด

✓ 1. P(A) ✓6. {A}  P(A)
✓ 2.   P(A) × 7. {A}P(A)
✓ 3. {} P(A) ✓8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) ก็จะเป็นเซตอนนั ตด์ ว้ ย
× 4. {}P(A) ✓9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
✓5. AP(A) ✓ 10. ถา้ AP(B) แลว้ จะได้ A  B

ค้ัทัสื

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 4 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5 เรอื่ ง โจทย์ปญั หาสบั เซตและเพาเวอร์เซต

1. A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วก และ x  100} และ B = {x | x  A และ 3 หำร x ลงตวั }

จำนวนสมำชิกของเซต P(B) เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 มี.ค. 2552 : 1]

ป1า.ก 216 { }A 2,4 6,8 เออ
= , .. . . .
2. 217
{ 2,1 8,24 } { }B = 6,1
3. 218 96 1,6= 6 แ (2) 6 (3) เอเอ)
, ,. . .
, ,. . . ,
^

[ ]ท P (B) " " B) แ แปลง
ง=

=2 =2

4. 219

2. E = {0} จงหำ n(P(P(E))) และ P(P(E)) 3. จงหำ n[P(P(P()))]

←

ท (E) = 1 ]ท [P (E) = =2 n (d) = 0

[ 1)P ำ1ท. =1
∅=
[n Plpl E]
4= = [ ]n PCP (4) = =2
P (E)
{ }{ }∅ ∅ 214]ท [ PCPCP (4) =

=,

pep (E)) { } }{{= ∅, ∅} า { 0 } {∅ (อ }}
,

4. จงหำจำนวนสมำชกิ ของเซต A เม่อื กำหนด n[P( P(A))] = 256
n[P(A )] = 1,024
i ( p (A)) 8
""
2= 2=

ท (A) = 10 ท [ P (A)] = 8

ท <A) 23
2
=

ท (A) = 3

5. ให้ A = {, {}, {, {}}} และ P(A) เป็นเพาเวอรเ์ ซตของเซต A

จงพจิ ารณาวา่ ข้อความตอ่ ไปน้ถี กู หรือผิด [PAT 1 ก.ค. 2553]

1. จำนวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 16 ( ด) 2. /{, {}, {{}}1}  P(A) C ก)

ท (A) =3 <A cA cA

n [P(A)] = 23=8

6. กำหนดให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ
จงพิจารณา P(P()) P(P(P())) เมอื่  แทนเซตวา่ ง ถูกหรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2559 ]

P (4) = {∅ }

PCPC ∅) = {∅ , {∅ }}
P (P (p ( ¢ )
{ {{ } } }}{{ }∅= ∅ { ∅}
∅ 0 , ,

า,

( ก)

ูถูถิผืบ่ว้ว่ว

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต อ น.ส. ญ ต กา มา เลข 20 4/1 หนา้ : ~ 5 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6 เรอื่ ง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram) ม ทU = เอกภาพ

( ขอบเขต ของเซต)

ใหน้ ักเรียนเขยี นสรุปความสัมพันธข์ องเซตจากแผนภาพ

………สม…า …ก ว…ม…นบ…าง…ว…น … ……ไ ……ส…มา…ก…วม……น …… ………A……= B……………… …………Ac…B……………… …………B…c …A ……………

ให้ A  B  C และ A  B  C จงเขยี นแผนภาพแสดงลักษณะของเซตต่อไปนี้

โดยที่ aA และ bB จงเขียนแผนภาพตามเงอ่ื นไข c A  B และ A กบั C ไม่มสี มาชิกรว่ มกันเลย
° A B
C B ,
B เ ดไ
A B
2 แบบ

f

ba a, b

}:c c

c
C

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7 ญ ตน.ส. กา มา เลข 20 4 11
เรือ่ ง การดำเนินการระหวา่ งเซต

ยเู นียน (Union) AB = {x|x  A หรอื x  B } : เป็นสมาชิกของเซต A หรอื เซต B หรือทัง้ สองเซต

อินเตอร์เซกชัน (Intersect) AB = { x | x  A และ x  B } : เปน็ สมาชิกของท้งั เซต A และ B

คอมพลีเมนต์ (Complement) A= { x|xU และ xA} : เป็นสมาชิกของ U แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A

ผลตา่ ง (Difference of sets) A - B = { x|xA และ xB} : มสี มาชกิ ของเซต A แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชิกของ B

AB A  B A–B A

A BA BA B A B

UUU U

U = {–3,–2,–1,0,1,2,3} A = {–3,–2,–1,0}, B = {0,1,2,3} C = {–2,–1,0,1,2} จงหา

1 A  B = { }-3,2, 3 2. B  C = { }-2 i 1,0 , 1,2 , 3
-1,0 1,2
า
,

3. A  C = { }-2 i 1,0 4. B  C = { }0
,
1,2

5. C = {-3,3} 6. A – B = { -3 -2,7}
,

7. A  (C – B) = { { } { }-3,2 , -1,0 } ก
-2 i 1 = -2 -1

,

= { } { } { }-3
8. (A  B)  C 2 -1,0 , 1,2 3 ^ -2 , -1,0 , 1,2 = - 2.-1,0 , 1,2
,
i า

9. (A – B) C = { { {} } }-3 -2 เ-
,, ก -3,3 = -3

อก

3) (D-B) ก ( D- c)

= {Gd } n { a}

= ∅≤ M

×

ูถ้ข่ีทำท์นัรัธ๊ืฐ๊ํยุก้ดิกัก่ริชีม่ม่สัก่ริช์ธัพัส่ีทำท์นัรัธ่ืช

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 6 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8 เร่อื ง สมบัตกิ ารดำเนนิ การและการจัดรปู ญ ตน.ส. กา มา เลข ษ ม 4h
.

ใหน้ กั เรียนเขียนสมบัติการดำเนนิ การของเซตท่กี ำหนดใหต้ อ่ ไปนใ้ี ห้ถกู ตอ้ ง

คณุ สมบตั ิของยูเนยี น

1. A  A = A 2. A   = A 3. A  U = U

4. A  AAuB B และ B  AAuB 5. A  B = BB  Au A eส บ า

6. A  (B  C) = (Au B) u Ce เป ยนห ง ก็ต่อเม่ือ7. A  B Au B-- B = B = Bu A

8. ถา้ B  A และ C  A แลว้ Bu Cc A 9. ถา้ A  B =  ก็ตอ่ เมื่อ A และ B เ นเซต าง

10. A  (B  C) = 11. A  (B  C) =B)(An B) v ( A ^
( )แจกแจง (Au B) ก CA u C)

คุณสมบัติของอนิ เตอร์เซกชัน

1. A  A = A 2. A   = ∅
3. A  U = A
4. A  B  AA และ A  B  BB

5. A  B = ( Bn A) cสลบ ) 6. A  (B  C) = ( AnB) ก C (เป ยนห )

7. A  B กต็ ่อเม่ือ AuB = B 8. ถา้ A  C และ B  C แลว้ A าBc C

คุณสมบัตขิ องคอมพลเี มนต์

1. (A) = A 2.   = u และ U  = ∅

3. A  A = ∅ 4. A  A = u

5. (A  B) = AAc  B  '

6. (A  B) = Au B B 

7. A  B กต็ ่อเม่ือ BB'c  A 8. A  B =  กต็ อ่ เม่ือ Ac B 

คุณสมบตั ขิ องผลต่าง

1. A – B  AA 2. A – B = A กต็ ่อเมื่อ A  BAnB-- ∅ = 

3. A – B =  ก็ต่อเมื่อ AAcB B 4. A – A = ¢

5. A – B = A  B ออกสอบ 6. A – (B  C) = (A – B) (A- B) ก (A-C) (A –
'

A กB

7. A – (B  C) = (A – B)(A-B) U (A-c)  (A – 8. (A  B) – C = (A – C)  (B –(A- c) ก CB - C)

C) 9. (A  B) – C = (A – C)  ((A- c) U (B- c) 10. A –  = AA และ  – A =– ∅A

จงพสิ จู นข์ ้อความตอ่ ไปนว้ี ่าเป็นจรงิ หรอื ไม่ [PAT 1 ต.ค. 2555]

1. A–(B  C) = (A–B)(A–C) 2. A – (B – C) = A  (B  C)

B)(= A ก v ( ก กอ) A- (Bn ) = *

น - ล = นก ด

= An ( Bขอ) A ก ( Bn =

CI= An CB ^

= A- CB n c) ด A n ( U C) =

☆*

3. (A  B)–C = (A–C)  (B–C) 4. (A  B) – C = A  (B – C)

= ( ก กอ ) ก ( Bn ) ( Au B) ก = AUCB ก )

= CA กB) ^ ( ก กอ ) บ ( Bn c) C)= ( Au B) ก ( AU

B)= ( A ^ *

C- ก

( A- C) UCB - C) = ด
↑

ิผูถ่ย่ย่ย่ยิผ่ติผ่ว่ย่ล่ย่ห่ก่ก่ก่ตู่ม่ีล่ีท่ว็ปู่ม่ีล่ีทัล่ีทำท์นัรัธ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 7 ~

คุณสมบตั ิของเพาเวอร์เซตกับจำนวนสมาชิกของเซต

1. n(P(A) −A) = n(P(A)) − n(P(A)  A) 2. n(A− P(A)) = n(A) − n(A  P(A))

3. n(P(A) −A)  n(A− P(A)) = n(P(A) − A) + n(A− P(A))

1. ให้ A = {1, {1}} จงหาจำนวนสมาชกิ ของ P(A) − A [PAT 1 มี.ค. 2553 : 4]

{ }#P (A) = ∅ !!_!ำ[ ]= ท PlA) - A] A Pl A)
} {{า }} , A { _
,

{ }P (A) ก A = { 1 } 22 1= -

4 1=- / 1
1" A) -
=3 Anp (A) เห อน

2. ให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} ขอ้ ความ n(A − P(A)) < n(P(A) −A) ถกู หรอื ผดิ [PAT 1 ต.ค. 2552]

(A) { { } {P ¢ { } 0,1= 0 1 2 } [ | ][ ] [ท (A) n- A กP (A) < n P (A) n- P (A) กA A P(A)
,, ,, . . . , , .. .
"
Anp (A) = {{ 91,2}}
4- 1 < 2 -1
l
ก3 < 15 Anp (A)

A- P (A)

3. ให้ B  A และ A  C   ถา้ n(P(P(B))) = n(P(B  C)) = 16 , n(B  C) = 1 , n(A  C) = 2

และ n(P(A − C)) = 4n(P(C − A)) แล้ว n(P(A)) เท่ากบั เทา่ ใด [PAT 1 ก.พ. 2561 : 32]

[ ]n Pl P (B)) = 16 [ | [ ]n Pl A- C) = 4n pec - A) ก (A- e) =3

) 2)(2 2 " (B) " ( A- C) ryii22.2แ Cc-A)
(= 2 2 %(= 2 + ท.
2 =
ท ( A- C)
A) B

nlri

② [ |n P ( Bu c) "
= แ →2

ท ( Bu C) = 4 จาก ถาม ""

ให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำเพ่ือระบขุ ้อความต่อไปนี้ ถกู หรือผดิ (P (A)) = 2
= 25

ะ 32

1. P(A)  P(B)  P(A  B) *** 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ***

A  B = { 1,2, 3} P(A  B) = { 3,12 }∅ ุ {า
} {3 } , { 1,2} , { 1,3} { 2,3} { 32,3 }
,
,,

A  B = {2} P(A  B) = {∅ }, {2,3}

P(A) = {∅ . {า} , {2} , {1,2}} P(B) = { }}∅
,
{2} { 3 } { 43
,
,

P(A)  P(B) = { }∅ P(A)  P(B) = }{¢ , {2}
, {า} , { 2} { 3} {1,2} , { 2.3}
, ,

สรุป

1. P(A)  P(B)  P(A  B) …✓…. 2. P(A)  P(B) = P(A  B) …✓….

หมายเหตุ P(A)  P(B) = P(A  B) ก็ตอ่ เม่อื A  B หรอื B  A

 ให้นักเรยี นแสดงวธิ ที ำเพ่อื ระบขุ ้อความ P(A  B)  P(A)  P(B) ถูกหรอื ผิด [PAT 1 มี.ค. 2559 ]

หนดใ { }A = 1 '

ด

B = { 23

Au B = { 1,2 }

)}{PCA u B) = ∅ , { า } , {2} ,{ 1,2} X
}P (A) = {¢ , { 1 }
P (B) = {∅ , { 2 }}
P (A) UP(B) = {0 , {1 } , { 2}}

ิผ้หำกำค⃝?ูถ๋กืมู่ทู่ก

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 8 ~

แบบฝึกทักษะที่ 9 "
☐ให้นกั เรียนแรเงาแผนภาพแทนเซตทก่ี ำหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ ..
เร่ือง การแรเงาแผนภาพเวนนอ์ อยเลอร์ ไ .= . .. .

1. (AB)/ 2. (A  B)/ 3. (A  B)  (B  A)

" BA B A BA B

A

U A U U A U
A B A
4. A/  B/า น 5. ( A - B ) / B / B
U U
1 1A 1 1 1B AAIA B
U 1B U B
U U
6. [(A − B)  B] B 7. (A  B)  (B − A)
น - ล = นก
/A B A "B
B
U / U
9. (A- B)
8. B/ – ( A  C )
C − (B  A)
AB
A AB A

CU A CU CU A CU
B B
10. (A  B)  C 11. C  ( A – B )

AB AB

CU CU CU CU
B B
12. (A  B) – (C   A) 13. (A  B ) – (C – A)

A BA ""

A BA

CU CU CU CU

่ลืศืศีศัก้ํซ่ม่ก๋ัท๊ืฐู๋ศู๋ถ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 9 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 10 เรื่อง การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกดั

1) A, B เป็นสับเซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดย n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A  B) = 2 จงหา

1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A  B)

A B5- 2 AB AB

↓ 62 3 62 3

62 3 U U

U↑

8- 2

n(A – B) = 6 n(B – A) = 3 n(A  B) = 6+2+3 = 11

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A – B) = n (A) - ท ( กก B) n(B – A) = ท (B) - ท (กก B) n(A  B) = n (A) + ท (B) - n (A ^ B)

= 82 = 5-2 = 8 +5
=6
=3 = 11

2) ให้ n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา

1. n(A  B ) 2. n(A  B ) 3. n(B  A)

A B AB AB

15 45 pe 100-90 15 4 5 30 1 5 45 30
30
| 10 U 10 U
hL
7 545 n(A  B ) = 15 +30+10 = 55 n(B  A) = 30

U10 ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร
-
60-45 n(A  B ) = n 1A^BI
n(B  A) = ท. ( B- A)
n(A  B ) = 10 = ท lu) - ท (^" B)
= n (B) - n (B- A)
ใชส้ ตู ร = 100 - 45
= 55 = 75 - 45
n(A  B ) = ่ = 3C

n (AuB)

= n (a) - n (AUB)

= 100 - qo
= 10

3) ให้ A และ B เป็ นเซตซ่ึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n( A B ) = 2
ถา้ C (A B) (B A) แลว้ n(P(C)) เทา่ กบั เท่าใด [Onet 2554 : 32]

5-2 B4- 2 M (c) = 3+2=5
↓
Af 25n ( p (c)) = ะ 32

3 22 U

1

A กB

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 10 ~

4) ให้ A , B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยที่ n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43,

n(A  B) = 8, n(A  C) = 13, n(B  C) = 11 และ n(A  B  C) = 100 จงหา

1. n(A  B  C) c)CB- n ท (An Bn C)
f" n (An B) - ท ( Anc) +
n (Au Bu c) = n (A) + n (B) + n (c) n
A -

B ตร ด เ ยว - + สาม

7 27

TT 23

1 10 0 = 43+45+43 - 8-13-11 + n (A กBn C)

1 2 10

เา งาน 100 = 99 +ท (An Bnc)
11-1
13-
2° C)n ( An Bn
= 100-99 = 1

CU

2. n((A  B) − C) 11A c)ใ แผนภาพ
ท B)ก - =7
#A B

#

C U

3. n((B  C)  A)

[ ]C) Aท ( Bv ก ะ 7 + 1 + 12 = 20

A B

7

*
*±

CU

5) ให้ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(A  B  C) = 15 , n(A  B  C) = 2
ถ้า n(A − B) = 8 , n(B − C) = 4 และ n(A − C) = 9 แลว้ n((A  B) − C) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

[PAT 1 เม.ย. 2557 : 3] 1. 13 2. 12 X3. 11 4. 10 11 + d =3 Cd +3)
11 td =3 dt 9
Ctf(กก B) - A-B ; atd = 8 -1C 14 tftg = 15
2 d= 2
A "d1)1%11//°/1B B- cj b + c = 4-② f +g = 1
d.ำ =1
g A- cjatb = 9- ③ จาก ท (A) =3 (ท (c) )
a= 7
atbtetd =3 Cdtetf+9)
ftgatb + ctdte + = 15 b =2
9+2 + d =3 ( d +2 + 1)
tftg8+4+2 C=2
= 15

ตอบ 7+2+2 = 11

CU

6) กำหนด A  (B  C) =  , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16, n(A  B  C) = 20 และ
{n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) ขอ้ ตอ่ ไปน้ี ถูก หรอื ผดิ [PAT 1 ต.ค. 2558]
✗1. n(A  B  C) = 10 2. n((A  B)  C) = 5
×-
AB n (AUBU C) = 20 neBn c) =31-

นานนมกานเล ( ) f ) (A)แ ×- +
แ ×- ×+ n--

อ + ท (Bu c) = 20 22 + × = 12

X n (Bv C) = 20 ก① ✗ = 10

ไ ท (B) t ท (C) - ท ( B ^ C) = 20 กB [ ำ ]ท enu B)c แ แ= -
แ×
แ -× _ Igา า

CU 15+16 c)(ท- Bn = 20 ด② e 4

C

ิผ้ดูถิงู๋ธ้ช้ขู่ค่ีดัลูส

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 11 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 11 โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั จานวนสมาชิกของเซตจากดั A-. ค ต

1) จากผลการสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ซ่ึงมีจานวน 70 คน พบวา่ มีนกั เรียนสอบคณิตศาสตร์ได้ B = งกฤษ
30 คน มีนกั เรียนสอบภาษาองั กฤษได้ 35 คน และมีนกั เรียนที่สอบไดท้ ้งั สองวชิ า 10 คน จงหา
(A)n LU) = 70 = 30
ท
,

(B)ท =35 , ขา ( AnB) = 10

ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ ไอ 70 -55
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก = 20
A B 15

(2) จานวนนกั เรียนที่สอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก = 25 25
(3) จานวนนกั เรียนท่ีสอบตกท้งั สองวชิ า = 15
ใช้สูตร 20 | 0
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก
โ30 - ↑ U

35-10

( (n A- B) = n (A) - ท An B) = 30-10=20

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก

( (ท B- A) A ก B) =
(B)= ท n- 35-10=25

(3) จานวนนกั เรียนท่ีสอบตกท้งั สองวชิ า
ท (A)+ ท (B) - n CA ก B)
AUBIท ( = n (a) - ท (Au B) = 70
- (30+35 - 10)=70-55 = 15

นA = สายตา

2) จากการตรวจสุขภาพของคนกลมุ่ หน่ึง พบวา่ มีคนท่ีสายตาส้นั จานวน 35% ของ B= น

คนท้งั หมด มีคนที่ฟันผจุ านวน 45% ของคนท้งั หมด และมีคนที่สายตาไมส่ ้นั และฟันไมผ่ จุ านวน 29%

ของคนท้งั หมด จงหาจานวนเปอร์เซ็นตข์ อง AB
ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์

(1) คนท่ีสายตาส้นั หรือฟันผุ = 71 (2) คนท่ีสายตาส้ัน และฟันผุ = 9 29

26 9 36

(3) คนท่ีสายตาส้ัน แตฟ่ ันไม่ผุ = 26 (4) คนที่สายตาไม่ส้นั แตฟ่ ันผุ = 36

(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไมผ่ ุ = 26+29 = 55 ↑ ↑

35-9 45-9 U

ใช้สูตร ท (A) = 35 ก / B) = 45 BIn ( Au = 29

(1) คนที่สายตาส้นั หรือฟันผุ (2) คนท่ีสายตาส้นั และฟันผุ

BIn (Au B) = ท (a) - ท (Au n (Au B) = ท (A) + ท (B) - ท (A กB)

= 100 - 29 yoo -29 = 35 + 45 - ท 1A ^ B)
= 71
71 = go - n 1A า B)

ท ( A กB) = 80-71 = 9

(3) คนที่สายตาส้นั แต่ฟันไมผ่ ุ (4) คนที่สายตาไม่ส้ัน แตฟ่ ันผุ

n (A-B) / B)(A)= ท / (B)A)n B. - - ท1Bn A)
Aท- า =ท

= 35 - 9 = 45-9
= 26
= 36

\/

(5) คนที่สายตาส้ันหรือฟันไมผ่ ุ

[ ]ท 1A - B) U 1A v B) = ท (B) n (Au B) = ท (A) + ท (B) - ท (AnB)

= 100 - 45

= 26 t 29 = 55 yoo -29 = 35 + 45 - ท 1A ^ B)

= 55 71 = 80 - n (A า B)

ท ( A กB) = 80-71 = 9

ุผัพ้ัสัอิณ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 12 ~

u AB

3) นกั เรยี นหอ้ งหนึ่งมี 50 คน ถา้ ในจานวนนมี้ คี นเลน่ กีตาร์ 25 คน เลน่ เปียโน 14 คน ไม่เลน่ กีตารแ์ ละไมเ่ ลน่ เปียโน 15 คน

eCAUBie.nlแลว้ จานวนนกั เรียนท่เี ลน่ กีตารอ์ ย่างเดยี วมีก่ีคน [Onet 2559 : 21]
Au B) = ท (A)+ n (B) n- / An B)

AB go _ 15 = B)(25 + 14 ท- A ก
15

21 4 10 35 = 39 - n (An B)

n 1A n B) = 39-35 = 4

U n (A-B) = 21

④
4) จากการสอบถาม เร่ืองความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม้ ของเดก็ อนบุ าลจำนวน 40 คน
25Aคน B
พบวา่ มี ชอบรสวนลิ า คน ชอบรสส้ม 8 คน ไม่ชอบท้งั รสวนลิ าและรสส้ม
10

มีเด็กอนบุ าลท่ชี อบทง้ั รสวนลิ าและรสสม้ กีค่ น [Onet 2561 : 3]

AB (n Av B) = n (A) + ท (B) ท- /AnB)

B)25 +
8 4,0-8 = (10 n- A ก

22 3 7 32 = 35 - n ( AnB)
ท (AnB) = 35 -32 =3

U

5)ในโรงเรียนแห่งหน่ึง มีนกั เรียนชาย 87 คน มีอยู่ 43 คนเลน่ ฮอกก้ี มี 42 คนเลน่ ฟุตบอล

มี 47 คนเล่นเทนนิส มี 15 คนเลน่ เทนนิสและฮอกก้ี มี 17 คนเล่นเทนนิสและฟตุ บอล

มี 21 คนเลน่ ฮอกก้ีและฟุตบอล นกั เรียนแตล่ ะคนตอ้ งเล่นกีฬาอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิดดงั กลา่ ว จงหา

ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ n (a) = n (AuBu C)

(1) จานวนนกั เรียนที่เลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง = 8 43-28 A 21-8 B
15 12
1 42 - 30
se
13
(2) จานวนนกั เรียนที่เล่นฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว = 15
8
(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟตุ บอลเพียงอยา่ งเดียว = 12
79
(4) จานวนนกั เรียนที่เล่นเทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว = 23 ""
7T
เ7- 8

23 C

ใช้สตู ร ↑ U

47-24

(1) จานวนนกั เรียนที่เลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง (2) จานวนนกั เรียนที่เล่นฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว
( c)1A C)(A)= n
( C)ท AuBu = 43 + 42+47 - 1 5-17-21 + ✗ n- 1AB) ทn- ก + ท. Anpgn

87 = 79 + × = 43-21 - 15 + 8

✗ = 87 - 79 = 15

×= 8

(3) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ ฟุตบอลเพยี งอยา่ งเดียว (4) จานวนนกั เรียนที่เล่นเทนนิสเพียงอยา่ งเดียว

( ( C)(B) c)= n ( ( c) C)(C) c)= n
1A B)- n Bn t ท A ^ Bn ท- Bn (+ n A ก B า
nn - n- กn

= 42-21 - 17+8

47= 15- - 17 + 8

= 12

= 23

ริ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 13 ~

6) จากการสอบถามความชอบรับประทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสชอ็ กโกแลต มี 31 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและวานิลลา

มี 87 คน ชอบรสวานิลลา มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอร่ี

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอรี่ มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอรี่

และ มี 5 คน ไม่ชอบท้งั สามรส ดงั น้นั มีนีกเรียนท่ีชอบท้งั สามรสก่ีคน [Onet 2557 : 12]

( C)n Au BU = 86 t 87 + 70-31-27-22 + ✗

175 = 163 + ×
× = 175 -163

✗ = 12

7) จากการสอบถามนกั เรียนช้นั ม.6 ที่เรียนสายวิทยาศาสตร์จานวน 180 คน พบวา่

มี 83 คน ชอบเคมี A มี 68 คน ชอบฟิ สิกส์ B

มี 84 คน ชอบชีววิทยา C มี 23 คน ชอบท้งั เคมีและฟิ สิกส์

มี 22 คน ชอบท้งั ฟิ สิกส์และชีววทิ ยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมีและชีววทิ ยา

และ มี 3 คน ไมช่ อบวิชาใดเลยในสามวิชาน้ี ดงั น้นั มีนกั เรียนก่ีคนที่ชอบเคมีแต่ไมช่ อบฟิ สิกส์และชีววทิ ยา

[Onet 2558 : 71] AB

( C)ท AUBU = 83 + 68+64 - 2 3-22-25 + ×

177 = 165 +×

✗ = 12 12

n (A) - ท (An Bn C)

= 83 - 12 = 71 C

8) หมู่บ้านแห่งหนง่ึ มี 60 ครอบครวั ที่มอี าชีพ ทำนา ทำสวน หรอื เลีย้ งสัตว์

ถ้า ทำนา 34 ครอบครวั A ทำสวน 30 ครอบครวั B ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว

ทำนา และ เลี้ยงสัตว์ 23 ครอบครัว ทำสวน และ เลยี้ งสัตว์ 20 ครอบครวั

ทำนาอย่างเดยี ว 6 ครอบครวั แลว้ มที ้งั หมดก่ีครอบครวั ที่มอี าชพี เพยี งอาชพี เดียว [onet2560 : 15]
AB
หา C เ ยง
AB

ท (A) = 34 6 8-× 6 55 60-6-20-5-3-5-17
ท (B) =3 0 20 = 60 - 56
n /An B) = 8 × 3
17 =4
23 - ×

4

หา × c i. ครอบค ว เ ยง อา พ เ ยว อ

ท 1A n c) = 23 C 6+5 +4
n ( Bn c) = 20
หา B เ ยง

ท (A) = 6 t 18- ✗ ) +12 3- × ) + ✗

ท (A- (BU C)) = 6 34 6= + 8 + 23 - ☒ 30 -5-3-17 = 15
34 = 37 X-
=5

✗ = 17 - 34

× =3

9) ในการสอบของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษากลุม่ หน่ึง พบวา่ มีผสู้ อบผา่ นวชิ าต่างๆ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ 36 คน สงั คมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน

คณิตศาสตร์และสงั คมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน

คณิตศาสตร์และภาษาไทย 7 คน ท้งั สามวชิ า 5 คน

จานวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวิชามีก่ีคน [Onet 2553 : 101]

ท (A) = 36 n (Av BU C) = 36+50+44 - 15 -12 -7 t 5 AB
ท (B) = 50 = 134 - 34
n (C) = 44 = 101 19 10 28
n ( AnB) = 15
ท (Bn c) = 12 5
n ( A ก C) = 7 27
n (An Bn C) = 5
30

C

ีพืคีดีชีพีม่ีทัรีพ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 14 ~

10. ให้ S แทนคอมพลีเมนตข์ องเซต S และ

n(S) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต S

กำหนดให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ โดยที่ n(U ) = 70

ถ้า A, B และ C เป็นสับเซตของ U โดยท่ี A  B  C   และ
,A-B
n(B − C) = 18 , n(C  A) = 16 และ
n(A  B) = 25

n((A  B) − C) = 7 แลว้ n(A  B  C) เท่ากับเท่าใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

AB 70 = 25+8+16 + 7 + ×

25 18 70 = 66 + ×
×
X = 70 - 66
16 7 X= 4
c

11. จากการสำรวจนักเรยี นกลมุ่ หนงึ่ จำนวน 80 คน เก่ียวกับการเปน็ สมาชิกของชมรม 3 ชมรม คอื

ชมรม คณติ ศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกฬี า ปรากฏวา่

มี 30 คน เปน็ สมาชกิ ของชมรมคณิตศาสตร์ โดยในจำนวนนี้มีนักเรยี น 20 คน เท่านน้ั ท่เี ปน็ สมาชกิ

ของชมรมคณติ ศาสตรเ์ พยี งชมรมเดยี ว มี 5 คน ที่เปน็ สมาชกิ ของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา

แตไ่ มเ่ ป็นสมาชิกของชมรมคณติ ศาสตร์ และมี 10 คน ทีไ่ ม่เป็นสมาชกิ ของชมรมใดเลย

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) มี 15 คน ท่เี ป็นสมาชิกของชมรมอยา่ งน้อย 2 ชมรม ✓

(ข) มี 55 คน ทีเ่ ป็นสมาชกิ ของชมรมใดชมรมหนึง่ เพียง 1 ชมรมเท่านนั้ 80 - (10+15)=55 ✓

(ค) มี 50 คน ทเี่ ปน็ สมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกีฬา 80 - (20+10) = 50 ✓

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง [PAT 1 มี.ค. 2560 : 4]

1. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ข) ถกู แต่ ขอ้ (ค) ผดิ

2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด 30 ' 20 B
3. ข้อ (ข) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผดิ
×4. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทงั้ สามข้อ 1A
5. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และ ขอ้ (ค) ผิดทง้ั สามขอ้
20

10
g

10 L