ชุดที่ 4 เรื่อง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ฟ้า

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 0

Scan แบบฝกึ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดท่ี 4 สจั นิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 1

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น ประกอบการจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ
เทคนิค STAD ร่วมกับคำถามระดับสูง เพ่ือส่งเสริมมโนทัศน์และความสามารถในการส่ือสารทาง
คณิตศาสตร์ ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 รหัสวิชา ค31201
จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกิดความคิดรวบยอดในเร่ือง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ปฏิบัติกิจกรรม
เพื่อสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และประเมินตนเอง ตามสาระ
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ของหลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 ซ่ึงมีท้ังหมด 7 ชุด เวลา
18 ชั่วโมง ดงั นี้

ชดุ ท่ี 1 เรื่อง ประพจนแ์ ละการเช่ือมประพจน์
ชดุ ที่ 2 เรอ่ื ง ค่าความจริงของประพจน์และตารางค่าความจริง
ชดุ ท่ี 3 เร่ือง รูปแบบของประพจน์ทีส่ มมูลและเป็นนิเสธกัน
ชดุ ที่ 4 เรอ่ื ง สัจนิรนั ดรแ์ ละการอ้างเหตผุ ล
ชดุ ท่ี 5 เรือ่ ง ประโยคเปิดและตวั บง่ ปริมาณ
ชุดท่ี 6 เรือ่ ง คา่ ความจรงิ ของประโยคที่มีตัวบง่ ปริมาณ
ชุดท่ี 7 เรอื่ ง สมมลู และนเิ สธของประโยคท่มี ีตัวบ่งปรมิ าณ

โดยในชุดที่ 4 เร่ือง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประกอบด้วย คำช้ีแจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก โดยเน้ือหา แต่ละเรื่อง
มีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน
พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถกู ตอ้ งของแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรไ์ ดด้ ว้ ยตนเอง

ผจู้ ัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 4 เรอื่ ง สัจนิรันดร์และการอ้าง
เหตุผล จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอดในเรื่อง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล เหมาะสมกับผู้เรียน
ทุกคน และเหมาะสมสำหรับครูท่ีจะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นางสาวชนธชิ า แกว้ วชิ ัย
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครชู ำนาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นพังงูพทิ ยาคม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดที่ 4 สจั นิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 2

คำช้ีแจงสำหรบั ครู

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 4 เร่ือง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล รายวิชา

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 รหัสวิชา ค31201 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 4 เรื่อง
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตผุ ล ใชเ้ วลาจัดการเรยี นรู้ 4 ช่วั โมง ประกอบดว้ ยเนื้อหา ดงั น้ี

4.1 การตรวจสอบสจั นริ ันดร์โดยใชต้ าราง (1 ช่วั โมง)
4.2 การตรวจสอบสจั นริ นั ดรโ์ ดยดูความขัดแยง้ (1 ช่ัวโมง)

4.3 การตรวจสอบสัจนิรนั ดร์โดยใช้การสมมูล (1 ช่ัวโมง)
4.4 การอา้ งเหตผุ ล (1 ชวั่ โมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 4 เร่ือง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประกอบด้วย

คำชี้แจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก ซ่ึงประกอบด้วย

เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น แบบบันทกึ คะแนน และเกณฑ์การประเมนิ ในการใช้
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ชุดน้ี ครผู ู้สอนควรปฏิบตั ติ ามขั้นตอนต่อไปนี้

ขข้นั ัน้ ทท่ี 1่ี 1 ชแี้ จงข้นั ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทกั ษะนใ้ี หน้ กั เรียนเข้าใจ
ขข้นั นั้ ทที่ 2ี่ 2
ขข้นั ั้นทที่ 3ี่ 3 ใหน้ ักเรียนศกึ ษาเน้ือหาจากใบความรู้ แลว้ ทำแบบฝกึ ทักษะ
ขข้นั น้ั ทท่ี 4่ี 4 และตรวจคำตอบตามเฉลยทีละแบบฝึกทักษะ
ขข้นั ัน้ ทท่ี 5่ี 5
ขข้นั ้ันทท่ี 6่ี 6 ดแู ลให้นักเรยี นปฏิบตั ิตามข้นั ตอนและให้คำแนะนำเมอื่ นกั เรียนพบปญั หา

ประเมนิ ผลการเรียนของนักเรียนอยา่ งตอ่ เน่ืองและให้แรงเสริม
ในการปฏบิ ัติกจิ กรรมของนกั เรยี น

ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี น เมอื่ ศึกษาเนื้อหาจากใบความรู้
และทำแบบฝกึ ทกั ษะเสร็จสิ้น

บนั ทึกผลการประเมนิ หลงั การจดั การเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะทุกคร้งั

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดที่ 4 สจั นิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 3

คำแนะนำสำหรับนกั เรยี น

นักเรียนควรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 4 เรอ่ื ง สจั นิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล ดังน้ี

ข้นั ท่ี 1 ศกึ ษาข้นั ตอนการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ใหเ้ ขา้ ใจชดั เจน

ขั้นท่ี 2 ศึกษาผลการเรยี นรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ เวลาทีใ่ ช้ในการจดั การเรียนรู้

ข้ันที่ 3 ศกึ ษาและทำความเขา้ ใจเนื้อหาจากใบความรู้และทำแบบฝกึ ทกั ษะ
ด้วยตนเองและตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครูไปทลี ะแบบฝกึ ทกั ษะ

ตามลำดับ เม่ือพบปัญหาให้ขอคำแนะนำจากครทู ันที

ขน้ั ที่ 4 ทำแบบทดสอบหลังเรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยโดยครู
แล้วบนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

ประเมินผลว่านักเรยี นผา่ นเกณฑห์ รือไม่
ข้นั ท่ี 5  “ผา่ นเกณฑ์การประเมิน” ให้นักเรียนศึกษาแบบฝกึ ทักษะชดุ ตอ่ ไป

 “ไม่ผ่านเกณฑก์ ารประเมิน” ให้นักเรียนย้อนกลับไปศกึ ษาและ
ทำความเขา้ ใจเน้อื หาจากใบความรู้ และทำแบบฝึกทักษะดว้ ยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏบิ ัติตามใหถ้ ูกต้อง
ก่อนท่ีจะลงมอื ทำกิจกรรมในแบบฝึกทักษะ
และที่สำคัญต้องมคี วามซอื่ สตั ย์นะจ๊ะ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดที่ 4 สจั นริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 4

แผนผงั การใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

ศึกษาข้นั ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ศกึ ษาผลการเรยี นรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้

ศกึ ษาเนอื้ หา ศึกษาใบความรู้ท่ี 4.1–4.4
และทำแบบฝึกทักษะ

คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเนอื้ หาสาระจากใบความรู้
ตวั อยา่ งการหาคำตอบ ในแบบฝึกทกั ษะ

ชดุ ที่ 4 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำแบบฝึกทักษะ 4.1–4.4

ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู

ไม่ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80

ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

เกบ็ สถติ ิคะแนน
ทดสอบหลังเรยี น

ไม่ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80 ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 80

จบชดุ ที่ 4

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดที่ 4 สจั นริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 5

สารบญั

เรอ่ื ง หน้า

คำนำ 1
คำช้แี จงสำหรับครู 2
คำแนะนำสำหรบั นักเรยี น 3
แผนผงั การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
สารบญั 5
ผลการเรียนรู้ 6
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 6
ใบความรู้ท่ี 4.1 การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยใช้ตาราง 7
แบบฝึกทักษะท่ี 4.1 การตรวจสอบสัจนริ นั ดร์โดยใชต้ าราง 10
ใบความรู้ท่ี 4.2 การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยดูความขัดแยง้ 11
แบบฝกึ ทักษะที่ 4.2 การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยดูความขัดแย้ง 14
ใบความรู้ที่ 4.3 การตรวจสอบสจั นิรันดร์โดยใช้การสมมูล 16
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4.3 การตรวจสอบสจั นริ นั ดร์โดยใช้การสมมูล 19
ใบความรู้ท่ี 4.4 การอา้ งเหตุผล 21
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4.4 การอ้างเหตผุ ล 24
แบบทดสอบหลงั เรียนชดุ ท่ี 4 สจั นิรนั ดร์และการอ้างเหตผุ ล 26
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4.1 การตรวจสอบสัจนริ นั ดร์โดยใช้ตาราง 33
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.2 การตรวจสอบสจั นิรันดร์โดยดคู วามขัดแยง้ 34
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4.3 การตรวจสอบสจั นริ ันดร์โดยใช้การสมมูล 36
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4.4 การอ้างเหตผุ ล 38
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี นชุดที่ 4 สจั นริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 40
บรรณานุกรม 41

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 6

ผลการเรียนรู้
และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้

สาระจำนวนและพชี คณิต
เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวน ผลท่ีเกดิ ขึน้ จากการดำเนนิ การ สมบัติของการดำเนินการ และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความรเู้ กี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้นในการส่อื สาร สือ่ ความหมาย
และอา้ งเหตุผล

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรยี นสามารถ
1. ใช้ตารางคา่ ความจรงิ เพอื่ ตรวจสอบว่าประพจน์ท่ีกำหนดใหเ้ ปน็ สัจนิรันดร์หรือไม่
2. ตรวจสอบได้วา่ ประพจน์ทีก่ ำหนดให้เป็นสจั นิรันดร์หรือไมโ่ ดยดคู วามขัดแยง้
3. ตรวจสอบได้ว่าประพจน์ทก่ี ำหนดใหเ้ ป็นสัจนิรันดร์หรือไมโ่ ดยใช้การสมมูล
4. บอกไดว้ า่ การอ้างเหตผุ ลว่าสมเหตสุ มผลหรือไม่

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 7

เรอื่ ง การตรวจสอบสจั นิรนั ดร์โดยใช้ตาราง

สจั นริ ันดร์ (Tautology)

บทนิยาม เรยี กรูปแบบของประพจนท์ มี่ ีค่าความจรงิ เป็นจรงิ ทกุ กรณีวา่ สจั นิรันดร์

การตรวจสอบวา่ รูปแบบประพจนเ์ ป็นสัจนริ ันดรห์ รือไม่นน้ั เราสามารถตรวจสอบคา่ ได้สามวิธี ดงั น้ี
1. การตรวจสอบสัจนริ ันดร์โดยใช้ตาราง
2. การตรวจสอบสจั นริ นั ดร์โดยดคู วามขดั แยง้
3. การตรวจสอบสัจนิรนั ดร์โดยใช้การสมมูล

การตรวจสอบสัจนริ ันดร์โดยใช้ตาราง

การตรวจสอบประพจน์เปน็ สจั นริ ันดร์ (Tautology) โดยใช้ตาราง
หลักการ 1. เขยี นตารางค่าความจรงิ ของประพจน์

2. ตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ดังน้ี
2.1 ถา้ ประพจน์มคี ่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีแล้วประพจน์เปน็ สจั นิรันดร์
2.2 ถา้ ประพจน์มคี า่ จริงไม่เป็นจริง แลว้ ประพจน์ไม่เปน็ สัจนริ ันดร์

ทบทวนตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ ดงั นี้

p q pq pq p→q pq

TT T T T T

TF F T F F

FT F T T F

FF F F T T

ส่ิงทจี่ ะต้องสังเกตเห็นจากตารางค่าความจริง
1) p  q จะมคี ่าความจริงเป็นจรงิ เพยี งกรณีเดียวคอื เมอ่ื ทั้ง p และ q เปน็ จริงทัง้ คู่
2) p  q จะมีคา่ ความจริงเป็นเท็จ เพียงกรณีเดียวคอื เมือ่ ทัง้ p และ q เปน็ เทจ็ ทั้งคู่
3) p → q จะมคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ เพยี งกรณเี ดยี วคอื เม่อื ทั้ง p เปน็ จรงิ และ q เป็นเท็จคู่
4) p  q จะมีคา่ ความจรงิ เป็นจริง เมอ่ื ประพจนท์ ่เี ช่ือมกันมีคา่ ความจรงิ เหมอื นกัน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น

ชุดที่ 4 สจั นริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 8

ตัวอย่างท่ี 1

จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p → q)  ( p  q) เป็นสัจนริ ันดร์ หรือไม่

วธิ ีทำ

p q  p p → q  p  q (p → q)  ( p  q)

TT F T T T
TF F F F T

FT T T T T
FF T T T T

จากตาราง จะเหน็ ไดว้ ่า คา่ ความจรงิ ของประพจน์ (p → q)  ( p  q) เป็นจรงิ ทุกกรณี
ดังนน้ั (p → q)  ( p  q) จงึ เปน็ สัจนิรันดร์ (Tautology)

ตวั อย่างท่ี 2

จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p → q)  ( q →  p) เปน็ สัจนริ ันดร์ หรอื ไม่

วธิ ีทำ

p q  p  q p → q  q →  p (p → q)  ( p  q)

TT F F T T T
TF F T F F T

FT T F T T T
FF T T T T T

จากตาราง จะเหน็ ไดว้ ่า คา่ ความจริงของประพจน์ (p → q)  ( q →  p) เปน็ จรงิ ทุกกรณี
ดังนนั้ (p → q)  ( q →  p) จงึ เป็นสัจนิรนั ดร์ (Tautology)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดท่ี 4 สจั นิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 9

ตวั อย่างท่ี 3

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [( p → q)  p] → q เป็นสัจนริ ันดร์ หรือไม่

วธิ ีทำ

p q p → q ( p → q)  p [( p → q)  p] → q

TT T T T
TF F F T

FT T F T
FF T F T

จากตาราง จะเหน็ ไดว้ ่า คา่ ความจรงิ ของประพจน์ [( p → q)  p] → q เป็นจรงิ ทุกกรณี
ดงั นน้ั [( p → q)  p] → q จงึ เปน็ สัจนริ นั ดร์ (Tautology)

ตัวอย่างที่ 4

จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  ~ p ] → ~ q เป็นสัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่
วธิ ที ำ

p q  p  q p → q (p → q)  ~ p [(p → q)  ~ p ] → ~ q

TT F F T F T

TF F T F T T

FT T F T T F

FF T T T T T

จากตาราง จะเห็นได้วา่ ค่าความจริงของประพจน์ [(p→ q)  ~ p ] → ~ q ไม่เป็นจริงทกุ กรณี
ดงั น้ัน [(p → q)  ~ p ] → ~ q จงึ ไม่เป็นสัจนริ ันดร์ (Tautology)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 10

เรอ่ื ง การตรวจสอบสจั นิรนั ดรโ์ ดยใช้ตาราง

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  p] → q เปน็ สัจนริ นั ดร์ หรือไม่
(5 คะแนน)

วิธที ำ q p → q (p → q)  p [(p → q)  p] → q
p
T
T F
T T
F F
F

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงตรวจสอบว่าประพจน์  (p → q) → (p  q ) เป็นสัจนิรันดร์ หรอื ไม่
(5 คะแนน)

วิธีทำ
p q p → q  (p → q) q p  q  (p → q) → (p  q )
TT
TF
FT
FF

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 11

เรอ่ื ง การตรวจสอบสัจนริ ันดร์โดยดูความขดั แยง้

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยดูความขดั แยง้

วธิ ีการหาขอ้ ขดั แย้ง เป็นการพิจารณาวา่ รูปแบบของประพจนน์ ั้นมโี อกาสเปน็ เทจ็ หรอื ไม่
ถ้ามีโอกาสเป็นเทจ็ ได้ แสดงวา่ ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ วธิ ีการหาขอ้ ขดั แยง้ ใช้ในกรณีทปี่ ระพจน์ผสม
มีรูปแบบเป็น ❑   กับ ❑ → 

หลักการ สมมตใิ ห้รปู แบบของประพจน์ทตี่ อ้ งการตรวจสอบมคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ
จากนน้ั ให้คา่ ความจริงของประพจน์ยอ่ ย แลว้ พจิ ารณาคา่ ความจริงของประพจนย์ ่อย
ว่าขดั แยง้ กันหรือไม่

❖ ถา้ มขี ้อขดั แย้งเกดิ ข้นึ หมายความว่า รูปแบบของประพจนน์ น้ั ไม่มีโอกาสท่ีคา่ ความจริง
จะเกดิ เปน็ เท็จ นัน่ คอื รูปแบบของประพจน์นน้ั เปน็ สัจนิรันดร์

❖ ถา้ ไมม่ ขี อ้ ขดั แย้งเกิดข้นึ หมายความว่า รูปแบบของประพจน์นนั้ ไมม่ โี อกาสทีค่ า่ ความจรงิ
จะเกิดเป็นเทจ็ น่ันคอื รปู แบบของประพจนน์ น้ั ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์

ตวั อยา่ งท่ี 1

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [ p → (q  r)]  [q → (p  r)] เป็นสัจนริ ันดร์ หรือไม่

วิธีทำ สมมติให้ประพจนท์ โ่ี จทยใ์ ห้มาเป็นเท็จ (F) แล้ว จับผิดดังนี้

[ p → (q  r)]  [q → (p  r)]
F

FF

TF T F

FF ขัดแย้งกัน

เนอื่ งจาก ประพจนย์ ่อยมีค่าความจรงิ ขัดกัน
ดงั น้ัน ประพจน์ [ p → (q  r)]  [q → (p  r)] เป็นสัจนิรนั ดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดที่ 4 สัจนริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 12

ตวั อย่างที่ 2

จงตรวจสอบว่าประพจน์ [p  (p → q)] → q เป็นสัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่

วธิ ีทำ สมมติให้ประพจน์ทโี่ จทย์ให้มาเปน็ เท็จ (F) แลว้ จับผิดดงั น้ี

[ p  ( p → q )] → q
F

TF

TT ขดั แยง้ กัน

TT

ยมื ไปใช้
เนอื่ งจาก ประพจน์ย่อยมคี ่าความจริงขดั แยง้ กัน
ดังน้ัน ประพจน์ [p  (p → q)] → q เป็นสจั นริ นั ดร์

ตัวอยา่ งที่ 3

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [ [ p → (q → ~ s) ]  (p  s)] → q เปน็ สัจนิรันดร์ หรือไม่

วิธที ำ สมมติให้ประพจน์ที่โจทยใ์ หม้ าเป็นเท็จ (F) แล้ว จับผดิ ดงั น้ี

[ [ p → (q → ~ s) ]  (p  s)] → q
F

TF

T T T ไม่ขดั แยง้ กัน
T
TT
FF ยมื ไปใช้

เน่ืองจาก มกี รณที ป่ี ระพจน์ยอ่ ยมีคา่ ความจริงไม่ขัดกนั
ดงั นัน้ ประพจน์ [ [ p → (q → ~ s) ]  (p  s)] → ไม่เปน็ สจั นริ นั ดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดที่ 4 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล 13

ตวั อย่างที่ 4

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ (p → q) → ( p   q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่

วิธีทำ สมมตใิ ห้ประพจน์ท่โี จทย์ใหม้ าเป็นเท็จ (F) แล้ว จับผิดดงั น้ี

( p → q ) → ( p  q)

F

TF

TT FF

TT

เนอ่ื งจาก มีกรณีทปี่ ระพจน์ย่อยมคี ่าความจริงไม่ขดั แยง้ กัน

ดังนั้น ประพจน์ (p → q) → ( p   q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตวั อย่างที่ 5

จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  (q → r)]→ (p → r) เป็นสัจนริ ันดร์ หรอื ไม่

วธิ ีทำ สมมตใิ ห้ประพจน์ทโ่ี จทย์ให้มาเปน็ เท็จ (F) แลว้ จับผิดดงั น้ี

[( p →q )  ( q → r )] → ( p → r)

F

TF

T T TF

TT T T ยืมไปใช้

ขดั แยง้ กนั

ยมื ไปใช้

เนอ่ื งจาก ประพจนย์ อ่ ยมีคา่ ความจรงิ ขดั แย้งกนั

ดงั น้ัน ประพจน์ [(p → q)  (q → r)]→ (p → r) เป็นสัจนริ ันดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดท่ี 4 สจั นริ นั ดร์และการอ้างเหตุผล 14

เรือ่ ง การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยดคู วามขัดแย้ง

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  (q → r)]  (  q)] → r

เปน็ สจั นริ นั ดร์ หรอื ไม่ (2.5 คะแนน)

วิธีทำ สมมตใิ ห้ประพจนท์ โ่ี จทยใ์ หม้ าเป็นเท็จ (F) แลว้ จับผิดดังน้ี

[( p → q )  (  q → r )]  (  q ) ] → r

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [ p → ( q) ]  [ q → ( p) ] เป็นสัจนิรันดร์ หรอื ไม่
(2.5 คะแนน)

วิธีทำ สมมตใิ หป้ ระพจน์ท่ีโจทย์ใหม้ าเป็นเทจ็ (F) แล้ว จับผิดดังนี้
[ p → ( q) ]  [ q → (  p ) ]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดที่ 4 สจั นิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 15

3. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(r  p)  (p → r)] → p

เปน็ สัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่ (2.5 คะแนน)

วธิ ีทำ สมมติให้ประพจน์ทโี่ จทยใ์ หม้ าเป็นเท็จ (F) แล้ว จับผิดดังนี้

[( r  p )  ( p →r) ] → p

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ (p → q) → ( p  q) เป็นสัจนริ ันดร์ หรอื ไม่
(2.5 คะแนน)

วธิ ีทำ สมมติให้ประพจนท์ ่โี จทย์ให้มาเป็นเท็จ (F) แลว้ จบั ผิดดงั น้ี
( p → q ) → ( p  q )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดที่ 4 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล 16

เรอ่ื ง การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยใช้การสมมูล

การตรวจสอบสจั นริ นั ดร์โดยใชก้ ารยุบและขยายประพจน์

หลักการ พจิ ารณาผลของการยุบและขยายประพจน์ดงั นี้
1. ถ้าสามารถยบุ และขยายประพจน์เปน็ T ได้ แลว้ ประพจน์น้ันเปน็ Tautology
2. ถา้ ไม่สามารถยุบและขยายประพจนเ์ ปน็ T ได้ แลว้ ประพจน์นั้นไมเ่ ป็น Tautology

ตวั อยา่ งท่ี 1

จงตรวจสอบว่าประพจน์ p → (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ หรอื ไม่

วธิ ีทำ p → (p  q) ≡ ~ p  (p  q) ใช้ x → y ≡ ~ x  y
ดังนั้น ≡ (~ p  p)  q ยุบ ~ p  p เป็น T
≡ Tq
≡T ยบุ T  q เปน็ T

p → (p  q) เปน็ สัจนิรนั ดร์

ตัวอย่างที่ 2

จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(~ p  p)  q] → [(~ s  s) q] เปน็ สัจนิรนั ดร์ หรอื ไม่

วธิ ที ำ [(~ p  p)  q] → [(~ s  s)  q] ≡ (T  q) → (F  q)
ยบุ ~ p  p เปน็ T, ~s  s เป็น F

≡ q →q
≡ ~ q  q ใช้ x → y ≡ ~ x  y
≡ T ยบุ ~ q  q เปน็ T
ดงั นั้น [(~ p  p)  q] → [(~ s  s)  q] เปน็ สัจนริ นั ดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้

ชุดท่ี 4 สัจนริ ันดร์และการอ้างเหตุผล 17

การตรวจสอบสจั นริ นั ดร์โดยใชก้ ารสมมูล

กรณที ี่ประพจนผ์ สม ❑   วิธกี ารตรวจสอบมีหลกั การ ดังนี้
หลักการ
1. ถ้า  ≡  จะได้วา่ ❑   เป็นสจั นิรันดร(์ Tautology)
2. ถา้ ❑   เป็นสัจนิรันดร์ (Tautology) จะไดว้ ่า  ≡ 

ตัวอยา่ งที่ 2

จงตรวจสอบว่าประพจน์ [p (q  r)] ↔[( p  q)  (p  r)] เปน็ สัจนริ ันดร์ หรือไม่

วิธที ำ เราพบวา่ [p (q  r)] ≡ [( p  q)  (p  r)]
ดังนัน้ [p (q  r)] ↔[( p  q)  (p  r)] เป็นสจั นิรนั ดร์

ตัวอยา่ งที่ 3

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p  ( p  q)] ↔ (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่

วิธที ำ p  ( p  q)  (p   p)  (p  q)

 T  (p  q)

 (p  q)

เราพบวา่ [p  ( p  q)]  (p  q)
ดังนนั้ [p  ( p  q)] ↔ (p  q) เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอยา่ งที่ 4

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p  (q   p)]  (p  q) เปน็ สัจนิรันดร์ หรอื ไม่

วิธีทำ p  (q   p)  (p  q)  (p   p)
 (p  q)  F
 pq

เราพบวา่ [p  (q   p)]  (p  q)
ดงั น้นั [p  (q   p)]  (p  q) เปน็ สจั นริ นั ดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองตน้

ชุดที่ 4 สัจนิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 18

ตัวอยา่ งท่ี 5

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(p  q) → r]  [p → (q → r) เปน็ สจั นิรนั ดร์ หรือไม่

วธิ ที ำ p → (q → r)  p  (q → r)
 p  (q  r)
 (p  q)  r
 (p  q)  r
 (p  q) → r

เราพบว่า p → (q → r)  (p  q) → r
ดังนน้ั [(p  q) → r]  [p → (q → r) เป็นสัจนิรนั ดร์

ตัวอยา่ งที่ 6

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(p → q)  p]  q เป็นสัจนิรนั ดร์ หรือไม่

วิธที ำ (p → q)  p  (p  q)  p
 (p  p )  (q  p)
 qp

เราพบว่า [(p → q)  p]  q
ดังนน้ั [(p → q)  p]  q ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

ตัวอยา่ งท่ี 7

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p  (r → s )]  [(r  s) → p] เปน็ สจั นิรันดร์ หรอื ไม่
วิธีทำ (r  s) → p  (r  s)  p

 (r  s)  p
 p  (s  r)
 p  (s → r)
เราพบว่า [p  (r → s )]  [(r  s) → p]
ดงั นนั้ [p  (r → s )]  [(r  s) → p] ไมเ่ ป็นสัจนิรันดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดที่ 4 สจั นริ ันดร์และการอ้างเหตุผล 19

เรอื่ ง การตรวจสอบสจั นิรันดร์โดยใช้การสมมลู

1. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(p → p)  q]  q
เปน็ สัจนิรนั ดร์ หรือไม่ (2 คะแนน)

วิธีทำ………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p  q) → (p  r)]  [p  (q → r)]
เป็นสจั นริ นั ดร์ หรอื ไม่ (2 คะแนน)

วธิ ีทำ……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล 20

3. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [p  (q   p)]  (p  q) เปน็ สัจนิรนั ดร์ หรอื ไม่
(2 คะแนน)

วธิ ีทำ………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p ⟶ (q ⟶ r)]  [(p ˄ q) ⟶ r]
เป็นสัจนริ ันดร์ หรอื ไม่ (2 คะแนน)

วธิ ีทำ………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~(p  q)  (p  q) เปน็ สัจนิรันดร์ หรอื ไม่
(2 คะแนน)

วิธีทำ………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 21

เรื่อง การอา้ งเหตุผล

การอา้ งเหตผุ ล (Argument)

ถ้ามขี อ้ ความเหตุ P1 , P2 , P3 , … , Pn ชดุ หนงึ่ และมขี อ้ ความผล C ข้อความหนง่ึ
ซ่งึ เปน็ ข้อสรปุ ทเี่ กิดจากข้อความเหตุ P1 , P2 , P3 , … , Pn น้นั
สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตัวเช่ือม “และ” () เชอื่ มเหตุท้ังหมดเขา้ ด้วยกนั และ
ใช้ตัวเชอ่ื ม “ถ้า…แลว้ ”(→) เชอ่ื มเหตแุ ละผลเข้าด้วยกัน น่ันคือ

( P1  P2  P3  …  Pn) → C

แล้วตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ว่าเป็นสจั นิรันดรห์ รอื ไม่
ถา้ เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอา้ งอิงผลนสี้ มเหตุสมผล
ถ้าไม่เปน็ สจั นิรันดร์ จะกล่าววา่ การอ้างองิ ผลนีไ้ ม่สมเหตุสมผล

ตัวอยา่ งท่ี 1

กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลต่อไปนีส้ มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p → q 2. q → r 3. q

ผล r

วธิ ที ำ ข้นั ตอนที่ 1 เช่ือมเหตแุ ละผลเข้าด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขน้ั ตอนที่ 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ทไี่ ดว้ า่ เปน็ สัจนิรนั ดร์หรอื ไม่

[( p → q )  (  q → r )]  (  q ) ] → r

F
TF
TT

T T ยมื ไปใช้ ขัดแยง้ กนั

TT

รปู แบบ [(p → q)  (q → r)]  (  q)] → r เปน็ สจั นริ นั ดร์

นั่นคอื การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดท่ี 4 สจั นริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 22

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p → q 2. q → r

ผล p → r

วธิ ีทำ ขนั้ ตอนที่ 1 เชือ่ มเหตุและผลเขา้ ด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ไี ด้วา่ เป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่

[( p →q )  ( q → r )] → ( p → r)

F
TF
T T TF

TT T T ยืมไปใช้

ยืมไปใช้ ขัดแย้งกนั

ประพจน์ [(p → q)  (q → r)]→ (p → r) เปน็ สจั นิรนั ดร์

นัน่ คอื การอา้ งเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ตัวอยา่ งที่ 4

กำหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. P → (q → r) 2. q 3. r

ผล p

วธิ ีทำ ขั้นตอนที่ 1 เช่อื มเหตุและผลเข้าด้วยกัน ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ข้นั ตอนที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ทีไ่ ด้วา่ เป็นสจั นริ นั ดร์หรือไม่

[( p → (q → r))  q  r ] → p
F

TT T F
FF ยืมไปใช้

TF

T

จากแผนภาพจะพบวา่ ค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อยไม่มีขอ้ ขัดแยง้ กนั ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน์

[( p → (q→ r)) ˄ q ˄ r ] → p ไม่เปน็ สจั นริ นั ดรน์ น่ั คอื การอา้ งเหตุผลทไ่ี ม่สมเหตสุ มผล

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้

ชุดที่ 4 สจั นิรันดร์และการอ้างเหตุผล 23

ตัวอยา่ งที่ 5

กำหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนี้สมเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1. ถา้ สาลี่เปน็ ผู้หญงิ แล้วสาล่ีเปน็ คนสวย
2. ถ้าชาตรเี ปน็ ผูช้ ายแลว้ ชาตรเี ปน็ คนกล้าหาญ
3. สาลีเ่ ป็นผู้หญิงหรือชาตรีเป็นผชู้ าย

ผล สาล่ีเปน็ คนสวยหรือชาตรีเป็นคนกล้าหาญ

วิธที ำ ให้ p แทน สาล่ีเปน็ ผู้หญงิ q แทน สาลเ่ี ปน็ คนสวย
r แทน ชาตรเี ปน็ ผู้ชาย s แทน ชาตรีเป็นคนกล้าหาญ

เหตุ 1. p → q

2. r → s
3. p ˅ r
ผล q ˅ s

ขัน้ ตอนที่ 1 เชือ่ มเหตุและผลเขา้ ด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขัน้ ตอนท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ีไดว้ า่ เปน็ สจั นิรันดรห์ รอื ไม่

[(p → q)  (r → s)  (p  r)] → (q  s )
F

TT T F

F FF F F T FF
ยมื ไปใช้ ยมื ไปใช้

ขัดแยง้ กนั

จากแผนภาพจะพบวา่ ค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ย r มีข้อขัดแย้งกนั ดังน้ันรปู แบบของประพจน์

[(p→ q) ˄ (r → s) ˄ (p ˅ r)] →(q˅ s ) เปน็ สจั นริ นั ดร์
นนั่ คือการอา้ งเหตผุ ลที่สมเหตุสมผล

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดที่ 4 สจั นิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 24

เรือ่ ง การอา้ งเหตุผล

1. กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนสี้ มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p 2. p → q
ผล q (2.5 คะแนน)

วิธที ำ ข้ันตอนที่ 1 เช่อื มเหตแุ ละผลเขา้ ด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขั้นตอนท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท์ ่ีได้วา่ เปน็ สัจนิรนั ดรห์ รอื ไม่

[ p  ( p → q )] → q
วธิ ีทำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนส้ี มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p 2. q → ~ s 3. p  s

ผล q (2.5 คะแนน)

วิธีทำ ขน้ั ตอนที่ 1 เช่อื มเหตุและผลเข้าด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขนั้ ตอนท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ไี ด้ว่าเปน็ สัจนิรนั ดรห์ รอื ไม่

[p  (q → ~ s) ]  (p  s)] → q
วธิ ที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้

ชุดท่ี 4 สจั นริ ันดร์และการอา้ งเหตุผล 25

3. กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พจิ ารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนสี้ มเหตุสมผลหรอื ไม่

เหตุ 1. ถา้ A ซ้ือรถใหม่ แลว้ A จะพาครอบครัวไปเที่ยวทะเล

2. ถ้าA จะพาครอบครัวไปเทยี่ วทะเล แล้ว A จะทำใหพ้ อ่ แม่มีความสุข

ผล ถา้ A ซือ้ รถใหม่ A จะทำใหพ้ ่อแมม่ ีความสขุ (5 คะแนน)

วิธีทำ p แทน A ซื้อรถใหม่
q แทน A จะพาครอบครวั ไปเท่ยี วทะเล
r แทน A ทำใหพ้ ่อแม่มีความสุข

จะได้ เหตุ 1. p → q

2. q → r

ผล p → r

ขนั้ ตอนที่ 1 เช่อื มเหตุและผลเข้าด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ข้นั ตอนที่ 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ที่ได้วา่ เปน็ สจั นิรันดรห์ รือไม่

[( p → q )  ( q → r )] → ( p → r )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 26

เรื่อง สจั นริ ันดรแ์ ละการอ้างเหตผุ ล

คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน

1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

1) (p  q) → (p  q) เป็นสัจนิรันดร์
2) (p → q) → (p  q) เป็นสจั นิรันดร์

ข้อใดต่อไปนี้ถูก

ก. ข้อ 1 ถูกเพยี งขอ้ เดยี ว ข. ข้อ 2 ถูกเพยี งข้อเดียว
ค. ขอ้ 1 และ 2 ถูก ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด

2. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1) (p → q)  ( p  q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

2) (p → q)  ( q →  p) ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์
ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูก

ก. ขอ้ 1 ถกู เพียงขอ้ เดียว ข. ข้อ 2 ถกู เพยี งขอ้ เดยี ว
ค. ข้อ 1 และ 2 ถกู ง. ขอ้ 1 และ 2 ผิด

3. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1) [( p → q)  p] → q เปน็ สัจนริ ันดร์

2) [(p → q)  ~ p ] → ~ q เป็นสัจนริ นั ดร์
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู

ก. ข้อ 1 ถกู เพยี งข้อเดยี ว ข. ขอ้ 2 ถูกเพียงขอ้ เดียว
ค. ขอ้ 1 และ 2 ถกู ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดที่ 4 สจั นิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 27

4. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

1) [(p → q)  p] → q ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

2)  (p → q) → (p  q ) ไม่เปน็ สจั นิรันดร์
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูก

ก. ขอ้ 1 ถกู เพยี งข้อเดียว ข. ขอ้ 2 ถกู เพียงขอ้ เดยี ว
ค. ข้อ 1 และ 2 ถกู ง. ขอ้ 1 และ 2 ผดิ

5. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1) [ p → (q  r)]  [q → (p  r)] เปน็ สัจนริ ันดร์

2) [p  (p → q)] → q เปน็ สจั นริ ันดร์
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู

ก. ขอ้ 1 ถกู เพียงขอ้ เดียว ข. ข้อ 2 ถูกเพยี งข้อเดียว
ค. ขอ้ 1 และ 2 ถกู ง. ขอ้ 1 และ 2 ผิด

6. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปน้ี 2. เหตุ 1. p  ~q
1. เหตุ 1. p → q 2. q  r
2. q → r
3. p ผล p  r
ผล r  s
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู

ก. 1 และ 2 สมเหตสุ มผลท้ังคู่

ข. 1 และ 2 ไมส่ มเหตุสมผลท้งั คู่
ค. 1 สมเหตุสมผล แต่ 2 ไม่สมเหตสุ มผล
ง. 1 ไม่สมเหตสุ มผล แต่ 2 สมเหตสุ มผล

7. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ 2. เหตุ 1. p → (r  s)
1. เหตุ 1. p → q ผล p  (r s)
2. q → s
3.  s
ผล  p s
ข้อใดต่อไปนี้ถกู

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 28

ก. 1 และ 2 สมเหตุสมผลทั้งคู่
ข. 1 และ 2 ไม่สมเหตุสมผลทัง้ คู่
ค. 1สมเหตุสมผล แต่ 2. ไม่สมเหตุสมผล
ง. 1 ไมส่ มเหตสุ มผล แต่ 2 สมเหตุสมผล

8. 1) เหตุ 1. 3 เปน็ จำนวนตรรกยะ หรือ 3 เปน็ จำนวนตรรกยะ
2. 3 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

ผล 3 ไมใ่ ช่จำนวนตรรกยะ

2) เหตุ 1. ถ้า C พบคนขายพวงมาลยั แลว้ C จะซ้ือพวงมาลัย
2. C ไม่ไดซ้ ้ือพวงมาลยั

ผล C ไมพ่ บคนขายพวงมาลัย
ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู

ก. 1 และ 2 สมเหตุสมผลท้ังคู่
ข. 1 และ 2 ไมส่ มเหตุสมผลท้งั คู่
ค. 1 สมเหตุสมผล แต่ 2 ไม่สมเหตสุ มผล
ง. 1 ไมส่ มเหตุสมผล แต่ 2 สมเหตุสมผล

9. 1) เหตุ 1. ถ้าปกรณด์ ืม่ นมแล้วปกรณ์จะแขง็ แรง
2. ปกรณ์แขง็ แรงหรอื ปกรณ์สูงขน้ึ
3. ปกรณไ์ มด่ ่มื นม

ผล ปกรณไ์ ม่สงู ข้ึน

2) เหตุ 1. ปานเทพชอบอยู่เมอื งพลหรอื ขอนแกน่
2. ปานเทพไม่ชอบอยู่ขอนแกน่

ผล ปานเทพชอบอยู่เมืองพล
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู

ก. 1 และ 2 สมเหตสุ มผลทง้ั คู่
ข. 1 และ 2 ไมส่ มเหตุสมผลทงั้ คู่
ค. 1 สมเหตุสมผล แต่ 2 ไมส่ มเหตุสมผล
ง. 1 ไม่สมเหตุสมผล แต่ 2 สมเหตสุ มผล

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดที่ 4 สัจนิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 29

10. 1. เหตุ 1. เด็กชายเล็กเป็นคนเก่ง หรือ เดก็ ชายเลก็ สอบได้คะแนนสงู สดุ ในหอ้ ง
2. เดก็ ชายเล็กไม่ใช่คนเกง่

ผล เดก็ ชายเลก็ สอบไดค้ ะแนนสงู สุดในหอ้ ง

2. เหตุ 1. ถ้ามนี าไปเทยี่ วเชยี งใหม่ แล้วมีนาไมส่ บาย
2. มนี าไปเท่ยี วเชยี งใหม่

ผล มีนาไม่สบาย
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก

ก. 1 และ 2 สมเหตสุ มผลทัง้ คู่
ข. 1 และ 2 ไมส่ มเหตุสมผลทง้ั คู่
ค. 1 สมเหตุสมผล แต่ 2 ไม่สมเหตสุ มผล
ง. 1 ไม่สมเหตสุ มผล แต่ 2 สมเหตสุ มผล

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดที่ 4 สจั นิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 30

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

ชอื่ – นามสกุล ..................................................................... ชั้น ................. เลขท่ี ...........

คำชี้แจง จงทำเครือ่ งหมายกากบาท ( × ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อท่ี ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้

ชุดที่ 4 สัจนิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 31

แบบบันทึกคะแนน

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน
แบบฝึกทักษะท่ี 4.1 10
แบบฝึกทักษะท่ี 4.2 10
แบบฝึกทักษะท่ี 4.3 10
แบบฝึกทักษะที่ 4.4 10
แบบทดสอบหลังเรียน 10
50
รวม

เกณฑ์การประเมนิ ในแต่ละชดุ นักเรยี นต้องทำแบบฝกึ ทกั ษะ ใหไ้ ดค้ ะแนน

ไมน่ ้อยกวา่ ร้อยละ 80 เช่น แบบฝกึ ทักษะทม่ี ี 10 คะแนน นกั เรยี น

ต้องทำใหไ้ ดไ้ ม่นอ้ ยกว่า 8 คะแนนจึงจะถอื ว่า “ผา่ นเกณฑ”์

“ผา่ นเกณฑ์” “ไมผ่ า่ นเกณฑ์”

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น

ชุดที่ 4 สจั นิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 32

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชดุ ที่ 4

ชุดท่ี 2
แฟกทอเรียลและวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ น

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดท่ี 4 สจั นริ ันดร์และการอา้ งเหตุผล 33

เร่อื ง การตรวจสอบสจั นิรันดร์โดยใช้ตาราง

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  p] → q เป็นสัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่
(5 คะแนน)

วิธีทำ

p q p → q (p → q)  p [(p → q)  p] → q

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

จากตาราง จะเห็นไดว้ ่า ค่าความจรงิ ของประพจน์ [(p → q)  p] → q เป็นจริงทกุ กรณี

ดงั น้นั [( p → q)  p] → q จงึ เป็นสัจนิรนั ดร์ (Tautology)

2. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์  (p → q) → (p  q ) เปน็ สัจนริ นั ดร์ หรือไม่
(5 คะแนน)

วธิ ีทำ

p q p → q  (p → q) q p  q  (p → q) → (p  q )

TT T F FF T

TF F T TT T

FT T F FF T

FF T F TF T

จากตาราง จะเห็นได้วา่ ค่าความจรงิ ของประพจน์  (p → q) → (p  q ) เปน็ จรงิ ทกุ กรณี
ดังนัน้  (p → q) → (p  q ) จงึ เปน็ สัจนริ ันดร์ (Tautology)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้

ชุดท่ี 4 สจั นิรันดร์และการอ้างเหตุผล 34

เร่อื ง การตรวจสอบสัจนิรนั ดร์โดยดคู วามขัดแยง้

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → q)  (q → r)]  (  q)] → r

เปน็ สจั นริ นั ดร์ หรือไม่ (2.5 คะแนน)

วธิ ีทำ สมมตใิ ห้ประพจน์ที่โจทย์ให้มาเป็นเทจ็ (F) แล้ว จบั ผิดดังนี้

[( p → q )  (  q → r )]  (  q ) ] → r

F

TF

TT

T T ยืมไปใช้ ขัดแยง้ กัน

TT

เนอ่ื งจาก ประพจนย์ อ่ ยมีคา่ ความจรงิ ขัดแยง้ กัน

ดงั นัน้ ประพจน์ [(p → q)  (q → r)]  (  q)] → r เปน็ สจั นิรนั ดร์

2. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [ p → ( q) ]  [ q → ( p) ] เป็นสัจนริ ันดร์ หรือไม่
(2.5 คะแนน)

วิธที ำ สมมตใิ ห้ประพจน์ทโี่ จทย์ใหม้ าเป็นเทจ็ (F) แล้ว จบั ผิดดังน้ี
[ p → ( q) ]  [ q → (  p ) ]
F

FF

TF TF

TT

เนื่องจาก มีกรณีทปี่ ระพจนย์ อ่ ยมีค่าความจริงไมข่ ัดแย้งกนั

ดงั นน้ั ประพจน์ [ p → ( q) ]  [ q → ( p) ] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น

ชุดที่ 4 สัจนิรนั ดร์และการอา้ งเหตุผล 35

3. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(r  p)  (p → r)] → p

เป็นสจั นิรันดร์ หรือไม่ (2.5 คะแนน)

วธิ ีทำ สมมตใิ ห้ประพจน์ทโ่ี จทยใ์ หม้ าเป็นเท็จ (F) แล้ว จับผิดดงั น้ี

[( r  p )  ( p →r) ] → p

F

TF

FT

FT TF

เนื่องจาก มีกรณีทป่ี ระพจนย์ ่อยมคี ่าความจริงไม่ขดั แยง้ กนั

ดังนน้ั ประพจน์ [(r  p)  (p → r)] → p ไม่เปน็ สัจนริ ันดร์

4. จงตรวจสอบว่าประพจน์ (p → q) → ( p  q) เปน็ สัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่
(2.5 คะแนน)

วธิ ที ำ สมมติให้ประพจน์ที่โจทย์ใหม้ าเป็นเท็จ (F) แลว้ จับผิดดงั นี้
( p → q ) → ( p  q )
F

FF

TT F F ขดั แยง้ กนั

ยืมไปใช้ T

เน่อื งจาก มกี รณที ่ีประพจน์ยอ่ ยมคี ่าความจริงขดั แยง้ กนั
ดังน้ัน ประพจน์ (p → q) → ( p  q) เป็นสัจนริ นั ดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น

ชุดที่ 4 สัจนริ ันดร์และการอ้างเหตุผล 36

เร่อื ง การตรวจสอบสจั นริ ันดร์โดยใช้การสมมูล

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [(p → p)  q]  q
เป็นสัจนริ นั ดร์ หรอื ไม่ (2 คะแนน)

วธิ ที ำ (p → p)  q ≡ (~ p  p)  q
≡ Tq
≡q

เราพบวา่ [(p → p)  q] ≡ q
ดังนั้น [(p → p)  q]  q เปน็ สจั นิรนั ดร์

2. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [(p  q) → (p  r)]  [p  (q → r)]
เป็นสัจนิรนั ดร์ หรือไม่ (2 คะแนน)

วธิ ีทำ (p  q) → (p  r)   (p  q)  (p  r)
 ( p   q)  (p  r)
 ( p   q)  p  r
 ( p   q)  p  r
 ( p  p)  ( q  p)  r
 T  ( q  p)  r
 ( q  p)  r
 p  ( q  r)
 p  (q → r)

เราพบวา่ [(p  q) → (p  r)]  [p  (q → r)]

ดังนัน้ [(p  q) → (p  r)]  [p  (q → r)] เป็นสัจนริ นั ดร์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้

ชุดที่ 4 สจั นริ ันดร์และการอ้างเหตุผล 37

3. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ [p  (q   p)]  (p  q) เป็นสัจนริ ันดร์ หรอื ไม่
(2 คะแนน)

วธิ ีทำ
p  (q   p)  (p  q)  (p   p)
 (p  q)  F
 (p  q)

เราพบวา่ p  (q   p)  (p  q)
ดังน้นั [p  (q   p)]  (p  q) เปน็ สัจนริ ันดร์

4. จงตรวจสอบว่าประพจน์ [p ⟶ (q ⟶ r)]  [(p ˄ q) ⟶ r]
เป็นสัจนิรนั ดร์ หรือไม่ (2 คะแนน)

วธิ ีทำ

p ⟶ (q ⟶ r) ≡ ~ p  (~ q  r) ใช้ x ⟶ y ≡ ~ x  y

≡ (~ p  ~ q ) ˅ r “” ถอดวงเลบ็ ได้จดั รูปใหม่

≡ ~ (p ˄ q) ˅ r ดงึ นเิ สธออก

≡ (p ˄ q) ⟶ r ใช้ ~x  y ≡ x ⟶ y

เราพบว่า [p ⟶ (q ⟶ r)] ≡ [(p ˄ q) ⟶ r]

ดังนั้น [p ⟶ (q ⟶ r)]  [(p ˄ q) ⟶ r]เป็นสัจนริ ันดร์

5. จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~(p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรนั ดร์ หรือไม่
(2 คะแนน)

วิธีทำ ~(p  q)  (p  q)  (~p  ~q)  (p  q)
 (~p  p)  (~q  q)
 TT
T

ดงั น้ัน ~(p  q)  (p  q) เปน็ สัจนริ นั ดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนิรนั ดร์และการอ้างเหตุผล 38

เรื่อง การอ้างเหตผุ ล

1. กำหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนส้ี มเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. p 2. p → q
ผล q (2.5 คะแนน)

วธิ ที ำ ขน้ั ตอนที่ 1 เชอ่ื มเหตุและผลเขา้ ด้วยกัน ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ข้ันตอนท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท์ ่ไี ดว้ ่าเป็นสัจนิรันดรห์ รือไม่

[ p  ( p → q )] → q

F

TF

TT ขดั แย้งกนั
TT

ยืมไปใช้

ประพจน์ [p  (p → q)] → q เปน็ สัจนริ ันดร์
นัน่ คอื การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

2. กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปนีส้ มเหตุสมผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p 2. q → ~ s 3. p  s

ผล q (2.5 คะแนน)

วิธีทำ ขั้นตอนท่ี 1 เชอ่ื มเหตแุ ละผลเขา้ ด้วยกนั ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขัน้ ตอนท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนท์ ีไ่ ดว้ า่ เปน็ สจั นริ ันดร์หรือไม่

[p  (q → ~ s) ]  (p  s)] → q
F

TT TF

ยืมไปใช้ TF TT ขดั แย้งกัน
ยมื ไปใช้

ประพจน์ [p  (q → ~ s) ]  (p  s)] → q เปน็ สจั นริ ันดร์
น่นั คือ การอา้ งเหตุผลนส้ี มเหตุสมผล

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

ชุดที่ 4 สจั นิรันดร์และการอา้ งเหตุผล 39

3. กำหนดให้ p, q, และ r เป็นประพจน์ พิจารณาการอ้างเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. ถา้ A ซอื้ รถใหม่ แลว้ A จะพาครอบครัวไปเทย่ี วทะเล

2. ถ้าA จะพาครอบครวั ไปเทีย่ วทะเล แล้ว A จะทำให้พอ่ แม่มีความสุข

ผล ถ้า A ซอื้ รถใหม่ A จะทำใหพ้ อ่ แมม่ ีความสขุ (5 คะแนน)

วิธที ำ p แทน A ซ้อื รถใหม่
q แทน A จะพาครอบครวั ไปเทย่ี วทะเล
r แทน A ทำใหพ้ อ่ แมม่ คี วามสุข

จะได้ เหตุ 1. p → q

2. q → r

ผล p → r

ขัน้ ตอนท่ี 1 เชอ่ื มเหตุและผลเขา้ ด้วยกัน ( P1  P2  P3  …  Pn) → C

ขั้นตอนท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ท่ีได้ว่าเป็นสจั นิรันดรห์ รือไม่

[( p → q )  ( q → r )] → ( p → r )
F

TTF

TT FF TF
ยืมไปใช้
ขดั แย้งกัน
ยมื ไปใช้

จากแผนภาพจะพบว่าค่าความจริงของประพจนย์ ่อย q มขี อ้ ขดั แย้งกนั ดงั น้ันรปู แบบของประพจน์

[(p → q)  (q →r )] → (p → r) เปน็ สจั นริ ันดร์
นั่นคือการอา้ งเหตุผลที่สมเหตุสมผล

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 40

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนชดุ ท่ี 4

ข้อ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน
1. ง. ข้อ 1 และ 2 ผดิ
2. ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด ข้อ คำตอบ
3. ก. ขอ้ 1 ถกู เพียงขอ้ เดียว 6. ก. 1 และ 2. สมเหตุสมผลท้ังคู่
4. ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด 7. ก. 1 และ 2 สมเหตสุ มผลทงั้ คู่
5. ค. ขอ้ 1 และ 2 ถูก 8. ง. 1. ไมส่ มเหตุสมผล แต่ 2 สมเหตุสมผล
9. ง. 1 ไมส่ มเหตสุ มผล แต่ 2 สมเหตุสมผล
10. ก. 1 และ 2 สมเหตสุ มผลทั้งคู่

\

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น

ชุดท่ี 4 สัจนริ นั ดร์และการอา้ งเหตุผล 41

จำนงค์ ทรงประเสรฐิ . ตรรกศาสตร์. กรุงเทพฯ: เลียงเซยี ง, 2507.
ณรงค์ ป้นั นม่ิ และรณชัย มาเจริญทรพั ย์. คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ม.4 เลม่ 1 ชว่ งช้นั ที่ 4 (ม.4-ม.6).

กรุงเทพฯ : ภูมิบณั ฑิตการพมิ พ์, 2554.
ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. หนงั สือเรียนเสริมมาตรฐานแมค็ คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ชั้นมัธยมศกึ ษา

ปีที่ 4 ภาคเรียนท่ี 1. กรงุ เทพฯ : สำนกั พิมพ์แม็ค จำกัด, กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชง่ิ
จำกัด, 2551.
ประทุมพร ศรีวฒั นกลู . หนงั สอื เรยี นคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 เล่ม 1.
กรุงเทพฯ : สำนักพมิ พ์วัฒนาพานชิ , 2551.
ฟสิ ิกสเ์ ซน็ เตอร์. พกสตู รเข้าสอบคณิต ม.ปลาย. พิมพค์ รงั้ ที่ 7 ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์, 2551.
รังสรรค์ มณเี ลก็ . คมู่ ือครูคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพว์ ัฒนา
พานชิ , 2546.
เลศิ เหลา่ วานิชย์. HI – ED Mathematics คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพนื้ ฐานและ
เพมิ่ เตมิ ) กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชงิ่ , 2554.
--------------. Math Review คณติ ศาสตร์ ม.4-6 เล่ม 1 (เพ่มิ เตมิ ). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชงิ่ ,
2554.
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. ค่มู ือการวัดประเมินผล
คณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ : สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2546.
----------หนังสือส่งเสริมการเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4- 6 เลม่ 1.
พมิ พค์ รง้ั ที่ 1. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว, 2546.
----------หนังสอื ส่งเสรมิ การเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4- 6 เล่ม 1.
พมิ พค์ รั้งท่ี 1. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว, 2553.
สมยั เหลา่ วานชิ ย์ และพัวพรรณ เหล่าวานชิ ย์. Hi-ED’s Mathematics ม.4-6 เลม่ 1
(รายวชิ าพน้ื ฐานและเพ่ิมเตมิ ). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลชิ ชง่ิ , 2554.
http://www.tewlek.com/anet-logic.html#term สืบคน้ เมอื่ 4 เมษายน 2563.
http://logicmathtru.blogspot.com/p/blog-page_56.html สืบคน้ เมอ่ื 4 เมษายน 2563.
https://www.opendurian.com/learn/ สบื ค้นเม่ือ 4 เมษายน 2563.
https://logicmathfun.wordpress.com/ สบื คน้ เม่ือ 4 เมษายน 2563.

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชุดท่ี 4 สจั นริ ันดร์และการอ้างเหตุผล 42

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 4 เร่ือง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล รายวิชา
คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม1 รหัสวชิ า ค31201 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจดั การเรยี นรู้ หนว่ ย
การเรียนรู้ท่ี 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 4 เรื่อง สัจนิ
รนั ดร์และการอ้างเหตผุ ล ใช้เวลาจัดการเรยี นรู้ 4 ชัว่ โมง ประกอบด้วยเนอื้ หา ดงั น้ี

4.1 การตรวจสอบสจั นิรันดร์โดยใชต้ าราง (1 ช่ัวโมง)
4.2 การตรวจสอบสัจนริ ันดร์โดยดูความขัดแย้ง (1 ชัว่ โมง)
4.3 การตรวจสอบสจั นริ ันดร์โดยใช้การสมมูล (1 ช่วั โมง)
4.4 การอา้ งเหตผุ ล (1 ชว่ั โมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 4 เร่ือง สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประกอบด้วย
คำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก
ซึ่งประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์
การประเมิน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น