ชุดที่ 5 เรื่อง ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ เหลือง

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปรมิ าณ 0

Scan แบบฝกึ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น

ชุดที่ 5 ประโยคเปิดและประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปริมาณ 1

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบื้องตน้ ประกอบการจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ
เทคนิค STAD ร่วมกับคำถามระดับสูง เพ่ือส่งเสริมมโนทัศน์และความสามารถในการสื่อสารทาง
คณิตศาสตร์ ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 รหัสวิชา ค31201
จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกิดความคิดรวบยอดในเร่ือง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ปฏิบัติกิจกรรม
เพ่ือสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และประเมินตนเอง ตามสาระ
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ของหลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ซ่ึงมีท้ังหมด 7 ชุด เวลา
18 ชว่ั โมง ดังนี้

ชุดท่ี 1 เรือ่ ง ประพจน์และการเชอ่ื มประพจน์
ชดุ ที่ 2 เรื่อง ค่าความจรงิ ของประพจน์และตารางคา่ ความจรงิ
ชดุ ท่ี 3 เรื่อง รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมลู และเป็นนิเสธกนั
ชุดที่ 4 เรื่อง สจั นริ ันดรแ์ ละการอา้ งเหตผุ ล
ชดุ ท่ี 5 เร่อื ง ประโยคเปิดและตัวบง่ ปรมิ าณ
ชุดที่ 6 เร่อื ง ค่าความจริงของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ
ชดุ ที่ 7 เรื่อง สมมูลและนเิ สธของประโยคทมี่ ีตวั บ่งปรมิ าณ

โดยในชุดท่ี 5 เรื่อง ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ประกอบด้วย คำช้ีแจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก โดยเน้ือหา แต่ละเร่ือง
มีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน
พร้อมท้ังตรวจคำตอบที่ถกู ต้องของแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ไดด้ ว้ ยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 เร่ือง ประโยคเปิดและตัวบ่ง
ปริมาณ จะช่วยพัฒนาความคดิ รวบยอดในเรื่อง ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ เหมาะสมกับผู้เรียน
ทกุ คน และเหมาะสมสำหรับครทู ่ีจะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นางสาวชนธิชา แกว้ วชิ ัย
ตำแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการพเิ ศษ

โรงเรียนพังงูพิทยาคม

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่ีมตี วั บ่งปริมาณ 2

คำชีแ้ จงสำหรับครู

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 เรื่อง ประโยคเปิดและประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ รายวชิ า

คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ หน่วย
การเรียนรู้ที่ 2 เร่อื ง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชดุ ท่ี 5 เรอื่ ง ประโยคเปิด
และประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณ ใช้เวลาจดั การเรียนรู้ 2 ชว่ั โมง ประกอบดว้ ยเนอ้ื หา ดงั นี้

5.1 ประโยคเปดิ (1 ช่ัวโมง)
5.2 ประโยคทมี่ ีตัวบง่ ปริมาณ (1 ช่ัวโมง)

ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 เรื่อง ประโยคเปิดและประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
ประกอบด้วยคำชี้แจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก

ซึ่งประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนน และเกณฑ์
การประเมนิ ในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดน้ี ครผู ู้สอนควรปฏิบตั ิตามข้นั ตอนต่อไปน้ี

ขข้นั น้ั ทท่ี ่ี11 ชแี้ จงข้ันตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะนใี้ ห้นกั เรียนเข้าใจ
ขข้นั นั้ ทท่ี 2ี่ 2
ขข้นั ัน้ ทที่ 3ี่ 3 ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาจากใบความรู้ แลว้ ทำแบบฝกึ ทกั ษะ
ขข้นั น้ั ทท่ี 4ี่ 4 และตรวจคำตอบตามเฉลยทีละแบบฝึกทกั ษะ
ขข้นั ้นั ทที่ 5่ี 5
ขข้นั นั้ ทท่ี 6ี่ 6 ดูแลใหน้ กั เรียนปฏบิ ัตติ ามขนั้ ตอนและให้คำแนะนำเมือ่ นักเรยี นพบปัญหา

ประเมินผลการเรียนของนักเรียนอย่างตอ่ เนอ่ื งและให้แรงเสรมิ
ในการปฏบิ ัติกจิ กรรมของนักเรียน

ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรยี น เม่ือศกึ ษาเนื้อหาจากใบความรู้
และทำแบบฝกึ ทกั ษะเสร็จส้นิ

บันทึกผลการประเมนิ หลังการจดั การเรยี นรโู้ ดยใช้แบบฝึกทกั ษะทกุ คร้ัง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคทม่ี ตี วั บ่งปริมาณ 3

คำแนะนำสำหรับนักเรยี น

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 5 เรอื่ ง ประโยคเปิดและประโยคทมี่ ีตวั บง่ ปริมาณ ดังน้ี

ขน้ั ที่ 1 ศึกษาขนั้ ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรใ์ ห้เข้าใจชัดเจน

ขัน้ ที่ 2 ศึกษาผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เวลาทีใ่ ช้ในการจดั การเรยี นรู้

ขัน้ ท่ี 3 ศกึ ษาและทำความเขา้ ใจเน้อื หาจากใบความรู้และทำแบบฝกึ ทกั ษะ
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครูไปทลี ะแบบฝึกทักษะ

ตามลำดับ เมื่อพบปญั หาใหข้ อคำแนะนำจากครทู ันที

ขน้ั ที่ 4 ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู
แลว้ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

ประเมินผลว่านกั เรยี นผ่านเกณฑห์ รอื ไม่
ขนั้ ท่ี 5  “ผา่ นเกณฑ์การประเมิน” ใหน้ กั เรยี นศึกษาแบบฝึกทักษะชดุ ต่อไป

 “ไมผ่ ่านเกณฑก์ ารประเมิน” ให้นกั เรียนย้อนกลับไปศึกษาและ
ทำความเข้าใจเนอื้ หาจากใบความรู้ และทำแบบฝึกทกั ษะดว้ ยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำใหเ้ ขา้ ใจและปฏบิ ัตติ ามให้ถกู ต้อง

ก่อนท่ีจะลงมอื ทำกิจกรรมในแบบฝกึ ทักษะ
และท่ีสำคัญตอ้ งมีความซ่อื สัตย์นะจะ๊

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่มี ตี ัวบ่งปรมิ าณ 4

แผนผงั การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ศึกษาขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ศกึ ษาผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงค์การเรียนรู้

ศึกษาเน้ือหา ศกึ ษาใบความรู้ท่ี 5.1–5.2
และทำแบบฝึกทักษะ

คณิตศาสตร์

ศึกษาเนือ้ หาสาระจากใบความรู้
ตวั อย่างการหาคำตอบในแบบฝึกทกั ษะ

ชุดที่ 5 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำแบบฝึกทักษะ 5.1–5.2

ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู

ไม่ผ่านเกณฑร์ อ้ ยละ 80

ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

เก็บสถิติคะแนน
ทดสอบหลงั เรียน

ไม่ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 80 ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

จบชดุ ที่ 5

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่ีมตี วั บ่งปรมิ าณ 5

สารบัญ

เรอ่ื ง หนา้

คำนำ 1
คำชแี้ จงสำหรบั ครู 2
คำแนะนำสำหรับนักเรยี น 3
แผนผงั การใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ 4
สารบญั 5
ผลการเรียนรู้ 6
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 6
ใบความรู้ท่ี 5.1 ประโยคเปิด 7
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.1 ประโยคเปดิ 9
ใบความรู้ท่ี 5.2 ประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.2 ประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณ 12
แบบทดสอบหลงั เรียนชดุ ท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่มี ตี วั บง่ ปริมาณ 13
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.1 ประโยคเปดิ 18
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.2 ประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณ 19
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนชุดที่ 5 ประโยคเปดิ และประโยคทม่ี ี 20
ตัวบ่งปริมาณ
บรรณานุกรม 21

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชดุ ที่ 5 ประโยคเปดิ และประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปรมิ าณ 6

ผลการเรยี นรู้
และจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้

สาระจำนวนและพชี คณติ
เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวน ผลที่เกิดขึน้ จากการดำเนินการ สมบตั ขิ องการดำเนนิ การ และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความรู้เก่ียวกับตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้นในการสอ่ื สาร สอื่ ความหมาย
และอ้างเหตุผล

จุดประสงค์การเรยี นรู้

นักเรยี นสามารถ
1. บอกได้วา่ ประโยคใดเปน็ ประโยคเปดิ หรือไมเ่ ปน็ ประโยคเปดิ
2. เขยี นสญั ลกั ษณข์ องประโยคเปิดแทนข้อความไดถ้ ูกตอ้ ง
3. เขียนสัญลักษณข์ องประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณแทนข้อความไดถ้ กู ต้อง
4. เขียนข้อความของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณด้วยสญั ลกั ษณ์ไดถ้ กู ต้อง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น

ชุดที่ 5 ประโยคเปิดและประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปรมิ าณ 7

เรอ่ื ง ประโยคเปดิ
ประโยคเปดิ Open sentence

พิจารณาประโยคในข้อต่อไปนี้
1. x + 1 = 3
2. x เปน็ จำนวนตรรกยะ
3. y ไม่เปน็ จำนวนเฉพาะ
4. a  0
5. เขาเป็นนกั คณติ ศาสตร์

ประโยค (1) – (5) มลี ักษณะดังน้ี
1. เป็นประโยคบอกเล่าหรอื ประโยคปฏิเสธ
2. มตี วั แปรทไ่ี มท่ ราบวา่ เปน็ ส่ิงใดในประโยค เรียกวา่ ตวั แปร ทำใหไ้ ม่สามารถหาค่าความจรงิ ของ
ประโยคน้ันได้
3. ถ้ากำหนดเอกภพสมั พัทธ์ และนำสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ไปแทนคา่ ตัวแปรในประโยคน้นั
จะได้ประพจน์
ประโยคทม่ี ลี กั ษณะตามข้อ 1 ถึงขอ้ 3 ตอ่ ไปจะเรียกวา่ ประโยคเปิด

บทนยิ าม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มตี ัวแปรและไม่เปน็ ประพจน์
แตเ่ มอื่ แทนตวั แปรด้วยสมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธ์แลว้ เปน็ ประพจน์

สญั ลักษณ์แทนประโยคเปิดใดๆ ที่มี x เป็นตวั แปร เขยี นแทนดว้ ย P(x) การเชอ่ื มประโยคเปิด
ด้วยตวั เช่ือม , , →,  ตลอดจนการเติม  ทำไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั การเชือ่ มประพจน์

คำแปลจากบทนยิ าม
ประโยคเปิด คือ ข้อความที่ตดิ ตวั แปรที่ยงั ไมร่ วู้ า่ เปน็ จริงหรอื เทจ็
โดยตวั แปรเปน็ สมาชกิ ของเอกภพสมั พทั ธ์ (Universe) ท่ถี กู บอกมา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณ 8

ตัวอย่างของประโยคเปิด
x+3=5
เปน็ ประโยคเปิด เพราะเราไม่ทราบว่า x มีค่าเทา่ ไร จึงไม่สามารถบอกได้วา่ ประโยคนีเ้ ปน็ จริงหรอื
เทจ็ หากแทนคา่ x ดว้ ย 2 เราสามารถบอกได้วา่ ประโยคนเ้ี ปน็ จรงิ ซึ่ง 2 + 3 = 5 เปน็ ประพจน์
หรอื หากแทนค่า x ดว้ ย 11 เราสามารถบอกไดว้ า่ ประโยคน้ีเป็นเทจ็ ซ่ึง 1 + 3 = 5 ก็ถอื วา่ เป็น
ประพจนเ์ ช่นกนั
เขาเปน็ นกั ฟตุ บอล
เป็นประโยคเปิดเช่นกัน โดยตวั แปรของประโยคนค้ี อื "เขา" ซ่ึงเราไมท่ ราบว่าหมายถงึ ใคร
จึงบอกไม่ไดว้ า่ ประโยคน้ีเป็นจริงหรือเทจ็ หากแทน "เขา" ด้วย "ลีซอ" ประโยคนี้กจ็ ะกลาย
เปน็ ประพจน์ เพราะเราสามารถบอกได้วา่ เป็นจริง

ตัวอยา่ งท่ี 1

ประโยคในข้อตอ่ ไปนเี้ ปน็ ประพจน์หรือประโยคเปดิ หรือไม่ใชท่ ้ังประพจนแ์ ละประโยคเปิด
1. เธอกำลงั เรียนอยูใ่ นมหาวทิ ยาลยั
เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่ามี “เธอ” เป็นตวั แปร และ
ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธเ์ ม่อื แทนตัวแปรด้วยสมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์
2. เขาเป็นนกั เรยี นทีต่ ง้ั ใจเรียนมากใช่หรอื ไม่
ไม่เป็นประพจนแ์ ละไมเ่ ป็นประโยคเปดิ เพราะเปน็ ประโยคคำถาม
ถึงแม้จะมตี วั แปร “เขา” ก็ตาม
3. ถา้ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว 2 เป็นจำนวนค่ี
เปน็ ประพจน์ เนอื่ งจากประโยคนีส้ ามารถหาค่าความจริงได้ว่าเป็นเท็จ
4. x  0 และ x เปน็ จำนวนนับ
เปน็ ประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเลา่ เป็นตัวแปร และถา้ กำหนด
เอกภพสมั พัทธ์เมอื่ แทนตวั แปรด้วย x ดว้ ยสมาชิกของเอกภพสมั พทั ธจ์ ะไดป้ ระพจน์
5. x เป็นจำนวนเต็ม หรอื x เปน็ จำนวนอตรรกยะ
เป็นประโยคเปดิ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าเปน็ ตวั แปร และถ้ากำหนดเอกภพ
สัมพัทธ์เมอ่ื แทนตัวแปรด้วย x ด้วยสมาชกิ ของเอกภพสัมพทั ธจ์ ะไดป้ ระพจน์
6. ถา้ x เป็นจำนวนเตม็ แล้ว x เป็นจำนวนจริง
เป็นประโยคเปิด เพราะเปน็ ประโยคบอกเล่าเป็นตัวแปร และถ้ากำหนดเอกภพ
สมั พทั ธ์เม่ือแทนตวั แปรดว้ ย x ดว้ ยสมาชกิ ของเอกภพสมั พทั ธ์จะได้ประพจน์
7. x2 – 9
ไม่เปน็ ประพจนแ์ ละไม่เปน็ ประโยคเปดิ เพราะเปน็ ประโยคทม่ี ีตัวแปร
แต่ถ้าแทนตวั แปรด้วยสมาชิกในเอกภพสมั พัทธ์จะได้ประโยคทีไ่ ม่สามารถหาค่าความจรงิ ได้
8. (x + 5)(x – 1) = x2 + 4x - 5
เป็นประโยคเปดิ (เหตุผลเช่นเดยี วกับขอ้ (4))

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคทีม่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ 9

เรื่อง ประโยคเปดิ

1. ประโยคในขอ้ ตอ่ ไปน้ีเป็นประพจน์หรอื ประโยคเปดิ หรอื ไมใ่ ช่ทงั้ ประพจน์และประโยคเปิด

(10 คะแนน)

ประโยค คำตอบ

1) เขาสอบได้ที่หนึง่ ของห้องและระดบั ช้ันใชห่ รือไม่
2) {5}  {1 , 6} แล้ว 5  {1, 6}

3) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
4) หล่อนเปน็ วงดรุ ิยางศข์ องโรงเรียน
5) 2y + 1
6) เรยี นสนุก สร้างแรงบันดาลใจ
7) 4x2 – 6x – 4 = (2x – 4)(2x + 1)
8) 6k + 6k = 12k
9) x2– 1  0
10) x2 ไมใ่ ชจ่ ำนวนเต็ม

11) (2n + 1)2 เป็นจำนวนค่ี เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ ใดๆ
12) x + y = 4 เป็นสมการเส้นตรง
13) sin2  + cos2 = 1
14) x = 2y2 – 1

15) เขาเป็นคนใจดี
16) คนที่สบู บหุ ร่ที กุ คนเปน็ มะเร็งปอด

17) (x + 5)(x – 1) = x2 + 4x - 5
18) โลกหมนุ รอบตวั เอง

19) จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8

20) เขาเปน็ นักว่ายน้ำทีมชาติไทย

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น

ชุดที่ 5 ประโยคเปดิ และประโยคท่มี ตี ัวบ่งปรมิ าณ 10

เรอื่ ง ประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ

ประโยดเปดิ นนั้ เกือบจะเปน็ ประพจนแ์ ลว้ แต่ยงั ไมใ่ ช่ประพจน์ เพราะยังไม่รู้ว่าเป็นจรงิ หรือเทจ็
แต่เราสามารถทำให้เป็นประพจน์ได้ 2 วิธีดังน้ี

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพทั ธแ์ ทนค่าตัวแปรลงไป เชน่
ประโยดเปิด x > 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจรงิ
เห็นไหม x > 3 เรายงั บอกไม่ได้วา่ เป็นจริงหรือเทจ็ จงึ หรือเท็จจงึ ยังไมเ่ ปน็ ประพจน์
ลองแทน x เปน็ 2 จะได้ x > 3 : 2 > 3 เป็นเท็จแน่ๆ จงึ เปน็ ประพจน์
ลองแทน x เปน็ 6 จะได้ x > 3 : 6 >3 เปน็ จริงแน่ จงึ เป็นประพจน์

2. เตมิ วลีบอกปรมิ าณเขา้ ไป มี 2 ชนดิ คอื
2.1 สำหรบั x ทกุ ตวั เขยี นเปน็ x

2.2 สำหรบั x บางตัว เขียนเปน็ x

ตวั อยา่ งประโยคท่มี ีตวั บ่งปรมิ าณ
⚫ สำหรบั x ทกุ ตวั x2  0 เมื่อ เอกภพสมั พัทธเ์ ป็นเซตของจำนวนจริง
เขยี นแทนด้วย x[ x2  0 ] U = R
⚫สำหรบั x บางตัว x – 1 = 0 เมอ่ื U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
เขียนแทนด้วย x[ x - 1= 0 ] U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
⚫สำหรับทกุ ๆค่าของ x และ y ที่เปน็ จำนวนเตม็ 2x + 3y = 3y + 2x
เขียนแทนดว้ ย xy [2x + 3y = 3y + 2x ], U = I
⚫มจี ำนวนจริง x และ y บางจำนวนเต็มท่ี x – y = y – x
เขียนแทนดว้ ย xy[ x – y = y – x ], U = R
⚫สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน จะมจี ำนวนจริง y บางตวั ที่ x2 + ……. x + y
เขียนแทนด้วย xy[ x2 + …… x + y], U = =R
⚫มีจำนวนจรงิ x บางตวั ท่ี x – y = 2y สำหรับทุกๆ คา่ ของ y
เขียนแทนดว้ ย xy [x – y = 2y], U = R

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ชดุ ที่ 5 ประโยคเปดิ และประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ 11

ตัวอย่างที่ 1

จงเขยี นแต่ละขอ้ ต้อไปน้ีให้อยูใ่ นรูปประโยคสัญลักษณ์
1) จำนวนจริงแตล่ ะจำนวนคูณกบั 1 แลว้ เท่ากบั 1 คณู กบั จำนวนจรงิ นนั้

x[ x  1 = 1  x]  U = R

2) มจี ำนวนเต็ม x บางจำนวน ซ่งึ x2 = 4
x[ x2 = 4 ], U = I

3) มีจำนวนจริง x บางจำนวน สำหรบั จำนวนจริง y ทุกจำนวน ซงึ่ x – y = y – x
xy[x – y = y – x], U = R

4) สำหรับจำนวนจริง x และ y ทกุ จำนวน ซ่งึ x + y = y + x
xy[x + y = y + x], U = R

ตวั อย่างท่ี 2

จงเขียนแตล่ ะข้อความตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ยู่ในรูปแบบขอ้ ความ
1) y[ y2 - 3y + 2 = (y - 2)(x - 1)]

สำหรับจำนวนจริง y ทุกจำนวน ซ่งึ y2 - 3y + 2 = (y - 2)(y - 1)

2) y [2y + 5  2]
มจี ำนวน y บางจำนวน ซ่งึ 2y + 5  2

3) x [x  I → x2 = 4 ]
มี x บางตัว ถา้ x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x2 = 4

4) yx[xy < 0 → x < 3  y < 1]
มีจำนวนจริง y และ x บางจำนวน ถา้ xy < 0 แล้ว x < 3 และ y < 1

5) xy [ x + y = 5 ]
สำหรับ x ทกุ ตัว จะมี y บางตัว ซึง่ x + y = 5

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น

ชุดที่ 5 ประโยคเปิดและประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณ 12

เร่อื ง ประโยคท่ีมีตวั บง่ ปรมิ าณ

1. จงเขียนแต่ละขอ้ ต่อไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรูปประโยคสัญลักษณ์ (5 คะแนน)

1) จำนวนจรงิ แต่ละจำนวนบวกกบั 0 แล้วเท่ากับจำนวนจริงน้ัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) มีจำนวนเตม็ x บางจำนวน ซง่ึ x  4
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) สำหรบั จำนวนจริงบวก x ทุกจำนวน จะมจี ำนวนจริงบวก y ซงึ่ xy = 1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) มจี ำนวนจรงิ x บางจำนวน สำหรบั จำนวนจรงิ y ทุกจำนวน ซง่ึ x + y > 4
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) มจี ำนวนจรงิ x และ y บางจำนวน ซึ่ง xy = x + y
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงเขยี นแต่ละขอ้ ความต่อไปนี้ ให้อยู่ในรปู แบบข้อความ (5 คะแนน)

1) x[2x + 1  3 → x  1 ]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) x[x  Q → x2 = 7 ]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) xy[xy  I]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) xy[x + y < 7 ]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) xy[ x2 y = x2 ]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บื้องต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคท่มี ตี วั บ่งปริมาณ 13

เรื่อง ประโยคเปิดและประโยคท่มี ีตัวบ่งปริมาณ

คำช้ีแจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน

1. ประโยคใดต่อไปนี้เปน็ ประโยคเปดิ

ก. x เปน็ จำนวนเตม็ หรือไม่ ข. y – 3 = 5
ค. โปรดอยา่ เดินลัดสนาม ง. 4 + 1 = 3(2)

2. ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดเปน็ ประโยคเปิด

ก. จำนวนอตรรกยะเขยี นเปน็ เศษส่วนได้
ข. เธอคือนักเรยี นโรงเรยี นนารายณค์ ำผงวิทยา
ค. x2 > 0 สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน

ง. { , 2}  {1, 2, 3}

3. ข้อความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดเป็นประโยคเปิด

ก. 6k + 6k = 12k ข. sin2  + cos2 = 1
ค. x + y = 4 เป็นสมการเสน้ ตรง ง. x2– 1  0

4. ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ข้อใดเปน็ ประโยคเปิด

ก. x = 2y2 – 1 ข. 2y + 1
ค. {5}  {1 , 6} แล้ว 5  {1, 6} ง. 6k + 6k = 12k

5. ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดเป็นประโยคเปิด

ก. หลอ่ นเป็นวงดุรยิ างศ์ของโรงเรียน ข. เขาเป็นคนใจดี
ค. เรยี นสนกุ สรา้ งแรงบันดาลใจ ง. โลกหมุนรอบตวั เอง

6. x[x2  0] เขียนแทนด้วยขอ้ ความในขอ้ ใด

ก. สำหรับ x ทุกตวั x2  0 ข. มี x บางตวั x2  0
ค. สำหรบั x ทุกตวั x2  0 ง. มีจำนวน x บางตัว x2  0

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดที่ 5 ประโยคเปดิ และประโยคทีม่ ตี วั บง่ ปรมิ าณ 14

7. yx[ x  y2 + 1] เขียนแทนขอ้ ความในข้อใด

ก. สำหรบั y ทุกตัวจะมี x บางตวั ซ่งึ x  y2 + 1
ข. มี y บางตวั และ x ทกุ ตวั ซงึ่ x  y2 + 1
ค. สำหรับ x และ y ทกุ ตัวซง่ึ x  y2 + 1
ง. มีจำนวน x และy บางตวั ซึ่ง x  y2 + 1

8. ขอ้ ความ “ มี x และ y บางตวั คณู กันได้ 0 ” เขยี นในรปู สญั ลกั ษณไ์ ดต้ รงกบั ข้อใด

ก. yx [ xy  0] ข. yx [ xy  0]
ค. yx [xy = 0] ง. yx [xy = 0]

9. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

1) มีจำนวนจริง x อยา่ งน้อย 1 ตวั ซ่งึ x  1 ในรูปสญั ลักษณ์ คอื
x [ x  1 ] เมือ่ xR

2) มจี ำนวนจริง x และ y ซึง่ ทำให้ x2 = y ในรปู สญั ลกั ษณ์ คือ xy [x2 = y]

เม่อื x, yR
ข้อใดถกู ตอ้ ง

ก. 1 ถกู และ 2 ถูก ข. 1 ถูก และ 2 ผดิ
ค. 1 ผิด และ 2 ถูก ง. 1 ผิด และ 2 ผิด

10. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
1) สำหรับ x ทกุ ตัว x2  0 ในรูปสญั ลกั ษณ์ คอื x[ x2  0 ] เมอื่ x R

2) มจี ำนวนจรงิ x บางตวั ซง่ึ x + 1  1 ในรปู สญั ลกั ษณ์ คอื

x[ x + 1  1] เมอื่ x, y  R
ขอ้ ใดถูกต้อง

ก. 1 ถกู และ 2 ถูก ข. 1 ถกู และ 2 ผดิ
ค. 1 ผดิ และ 2 ถกู ง. 1 ผิด และ 2 ผิด

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปริมาณ 15

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชอื่ – นามสกลุ ..................................................................... ชั้น ................. เลขที่ ...........
คำชแี้ จง จงทำเคร่ืองหมายกากบาท ( × ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปริมาณ 16

แบบบนั ทกึ คะแนน

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน
แบบฝึกทักษะท่ี 5.1 10
แบบฝึกทักษะที่ 5.2 10
แบบทดสอบหลังเรียน 10

รวม 30

เกณฑ์การประเมนิ ในแตล่ ะชดุ นักเรยี นต้องทำแบบฝกึ ทกั ษะ ใหไ้ ดค้ ะแนน

ไม่น้อยกว่าร้อยละ 80 เช่น แบบฝกึ ทีม่ ี 10 คะแนน นักเรียนต้องทำ

ให้ได้ไมน่ ้อยกว่า 8 คะแนนจงึ จะถือว่า “ผ่านเกณฑ์”

“ผ่านเกณฑ”์ “ไม่ผา่ นเกณฑ์”

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบือ้ งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคที่มตี วั บง่ ปรมิ าณ 17

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

ชุดที่ 2
แฟกทอเรียลและวธิ ีเรียงสบั เปลยี่ น

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่ีมตี วั บง่ ปรมิ าณ 18

เร่อื ง ประโยคเปดิ

1. ประโยคในข้อต่อไปน้ีเป็นประพจน์หรือประโยคเปดิ หรอื ไม่ใช่ทงั้ ประพจน์และประโยคเปดิ

ประโยค คำตอบ

1) เขาสอบได้ที่หนึง่ ของหอ้ งและระดบั ชน้ั ใชห่ รือไม่ ไมใ่ ชท่ ั้งประพจนแ์ ละประโยคเปดิ

2) {5}  {1 , 6} แลว้ 5  {1, 6} เป็นประพจน์

3) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) เปน็ ประพจน์

4) หลอ่ นเป็นวงดุรยิ างศ์ของโรงเรียน เปน็ ประโยคเปิด

5) 2y + 1 ไมใ่ ช่ทั้งประพจนแ์ ละประโยคเปดิ

6) เรียนสนุก สร้างแรงบันดาลใจ ไมใ่ ช่ท้ังประพจน์และประโยคเปดิ

7) 4x2 – 6x – 4 = (2x – 4)(2x + 1) เป็นประพจน์

8) 6k + 6k = 12k เปน็ ประพจน์

9) x2– 1  0 เป็นประโยคเปดิ

10) x2 ไม่ใชจ่ ำนวนเต็ม เปน็ ประพจน์

11) (2n + 1)2 เปน็ จำนวนค่ี เมือ่ n เปน็ จำนวนเตม็ ใดๆ เป็นประพจน์
12) x + y = 4 เปน็ สมการเส้นตรง เป็นประพจน์
13) sin2  + cos2 = 1 เปน็ ประพจน์
14) x = 2y2 – 1 เป็นประโยคเปิด

15) เขาเป็นคนใจดี ไม่ใช่ทง้ั ประพจนแ์ ละประโยคเปดิ
16) คนที่สูบบหุ รี่ทุกคนเป็นมะเร็งปอด เป็นประพจน์

17) (x + 5)(x – 1) = x2 + 4x - 5 เป็นประโยคเปดิ
18) โลกหมนุ รอบตวั เอง เป็นประพจน์
19) จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8 ไมใ่ ชท่ ง้ั ประพจนแ์ ละประโยคเปิด
20) เขาเปน็ นกั ว่ายนำ้ ทีมชาตไิ ทย เปน็ ประโยคเปดิ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ 19

เรือ่ ง ประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณ

1. จงเขียนแต่ละข้อต่อไปน้ีให้อยใู่ นรปู ประโยคสญั ลกั ษณ์ (5 คะแนน)
1) จำนวนจรงิ แต่ละจำนวนบวกกับ 0 แลว้ เท่ากับจำนวนจริงนั้น

x[ x + 0 = x]  U = R
2) มีจำนวนเต็ม x บางจำนวน ซ่งึ x  4

x [x I : x  4 ] หรอื x[ x  4 ], U = I
3) สำหรบั จำนวนจริงบวก x ทกุ จำนวน จะมีจำนวนจริงบวก y ซง่ึ xy = 1

xy[ xy = 1], U = R
4) มจี ำนวนจริง x บางจำนวน สำหรับจำนวนจริง y ทุกจำนวน ซ่ึง x + y > 4

xy[ x + y > 4 ], U = R
5) มจี ำนวนจรงิ x และ y บางจำนวน ซ่งึ xy = x + y

xy[ xy = x + y], U = R

2. จงเขยี นแตล่ ะข้อความตอ่ ไปน้ี ใหอ้ ยู่ในรูปแบบขอ้ ความ
1) x[2x + 1  3 → x  1 ]
สำหรบั จำนนจริง x ทกุ จำนวน ถา้ 2x + 1  3 แลว้ x  1
2) x[x  Q → x2 = 7 ]
มีจำนวนจริง x บางจำนวน ถา้ x เปน็ จำนวนตรรกยะ แล้ว x2 = 7
3) xy[xy  I]
มีจำนวนจรงิ x บางจำนวน สำหรบั จำนวนจรงิ y ทกุ จำนวน ซ่ึง xy เปน็ จำนวนเต็ม
4) xy[x + y < 7 ]
สำหรบั จำนวนจรงิ x และ y ทุกจำนวน ซง่ึ x + Y < 7
5) xy[ x2 y = x2 ]
ทกุ ๆ จำนวนจริง x จะมีจำนวนจริง y บางจำนวน ซง่ึ x2 y = x2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ชุดท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณ 20

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ท่ี 5

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชุดที่ 5

ขอ้ คำตอบ ข้อ คำตอบ

1. ข. y – 3 = 5 6. ง. มีจำนวน x บางตัว x2  0

2. ข. เธอคอื นกั เรียนโรงเรียนนารายณค์ ำผง 7. ก. สำหรับ y ทุกตัวจะมี x บางตัว

วทิ ยา ซ่งึ x  y2 + 1

3. ง. x2– 1  0 8. ง. yx [xy = 0]

4. ก. x = 2y2 – 1 9. ง. 1 ผิด และ 2 ผดิ

5. ก. หล่อนเป็นวงดุรยิ างศข์ องโรงเรียน 10. ก. 1 ถูก และ 2 ถูก

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปิดและประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณ 21

จำนงค์ ทรงประเสริฐ. ตรรกศาสตร.์ กรุงเทพฯ: เลียงเซยี ง, 2507.
ณรงค์ ปั้นนม่ิ และรณชัย มาเจรญิ ทรัพย์. คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ม.4 เล่ม 1 ช่วงชัน้ ท่ี 4 (ม.4-ม.6).

กรุงเทพฯ : ภมู ิบณั ฑติ การพิมพ์, 2554.
ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. หนงั สือเรยี นเสรมิ มาตรฐานแม็คคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ชน้ั มัธยมศกึ ษา

ปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 1. กรุงเทพฯ : สำนักพมิ พ์แมค็ จำกัด, กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พับลิชชิ่ง
จำกัด, 2551.
ประทุมพร ศรวี ัฒนกลู . หนงั สอื เรียนคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4 เลม่ 1.
กรุงเทพฯ : สำนักพิมพว์ ัฒนาพานชิ , 2551.
ฟิสิกสเ์ ซ็นเตอร์. พกสตู รเข้าสอบคณิต ม.ปลาย. พิมพค์ รัง้ ท่ี 7 ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์, 2551.
รงั สรรค์ มณเี ล็ก. คูม่ ือครูคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพ์วฒั นา
พานิช, 2546.
เลศิ เหล่าวานิชย์. HI – ED Mathematics คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพนื้ ฐานและ
เพิ่มเตมิ ) กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลชิ ชิง่ , 2554.
--------------. Math Review คณิตศาสตร์ ม.4-6 เลม่ 1 (เพ่มิ เติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลิชช่งิ ,
2554.
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร. คู่มอื การวัดประเมนิ ผล
คณิตศาสตร.์ กรุงเทพฯ : สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2546.
----------หนังสอื สง่ เสรมิ การเรียนรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4- 6 เลม่ 1.
พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2546.
----------หนงั สอื ส่งเสรมิ การเรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4- 6 เล่ม 1.
พมิ พ์คร้งั ท่ี 1. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว, 2553.
สมยั เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานชิ ย์. Hi-ED’s Mathematics ม.4-6 เลม่ 1
(รายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม). กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชช่ิง, 2554.
http://www.tewlek.com/anet-logic.html#term สืบคน้ เมอ่ื 4 เมษายน 2563.
http://logicmathtru.blogspot.com/p/blog-page_56.html สืบคน้ เมอ่ื 4 เมษายน 2563.
https://www.opendurian.com/learn/ สบื ค้นเมื่อ 4 เมษายน 2563.
https://logicmathfun.wordpress.com/ สบื ค้นเมื่อ 4 เมษายน 2563.

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น

ชดุ ท่ี 5 ประโยคเปดิ และประโยคท่มี ตี ัวบ่งปรมิ าณ 22

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 เรื่อง ประโยคเปิดและประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 รหัสวิชา ค31201 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัด
การเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดที่ 5 เร่ือง ประโยคเปิด และประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 2 ช่ัวโมง
ประกอบด้วยเนอ้ื หา ดังนี้

5.1 ประโยคเปดิ (1 ช่วั โมง)
5.2 ประโยคทมี่ ีตวั บ่งปรมิ าณ (1 ช่ัวโมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 เรื่อง ประโยคเปิดและประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน
และภาคผนวก ซึ่งประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึก
คะแนนและเกณฑ์การประเมิน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น