พต 4_1-29พิชามญชุ์ เซต

นาง สาว ชาย ไพยา 29
ม 411
ไอ
.

์ซำอ่ัญิพ

เวป็ ไซตส์ ำหรบั สบื คืนขอ้ มูล เนอ้ื หำ

1) คลังข้อสอบ 2) หนังสือคณิตฯ ม.4 พ้นื ฐำนเล่ม 1 3) หนงั สอื คณติ ศำสตรข์ ้นั สูง
อ.ธนวฒั น์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล
O-net, PAT1 วชิ ำสามญั ของ สสวท. หลกั สตู ร 2560

http://www.rathcenter.com

4) หนงั สือคณติ ศำสตร์ ม.4 เล่ม 1 5) ช่อง Youtube boybobi12 6) Youtube Nestle School Thailand

ของ อ.ธนวัฒน์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล คณติ ศำสตร์ ม.4 เซต(Set) EP. 1-9 ตรรกศำสตรเ์ บอื้ งต้น

เซต ตรรกศำสตร์

ตำรำงบนั ทึกคะแนน รำยวชิ ำคณิตศำสตร์พ้นื ฐำน รหสั วิชำ ค31101 ชั้นมธั ยมศึกษำปีที่ 4

หนว่ ยที่ ช่ือหน่วย ภำระงำน/ชนิ้ งำน น้ำหนกั
คะแนน
1 เซตและกำรดำเนนิ กำร ชที สอบ รวม
10 30 40 15

2 จำนวนสมำชิกและโจทยป์ ญั หำเซต 10 30 40 15

3 ตรรกศำสตร์ 10 30 40 20

4 กลำงภำค 20

5 ปลำยภำค รวม 70
30

รวม 100

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 1 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 1

เรอื่ ง การเขียนเซต และสมาชิกของเซต

 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ

1) เซตของตวั อกั ษร 3 ตวั หลงั ในภาษาองั กฤษ 2) เซตของจาํ นวนนบั ทน่ี ้อยกว่าหรือเทา่ กับ 5 เซต

{ × gygz } { 1,2 , 3,4 , 5 }

3) เซตของเดือนที่ลงทา้ ยด้วย “ยน” } 4) เซตของพยัญชนะในคาํ ว่า “คณติ ศาสตร์”

นายน พฤศ กายน{ เมษายน , {ค ศ}
, นยายน , , ณ ค , รส
, ,

5) เซตของจํานวนนบั ทีอ่ ยูร่ ะหว่าง 5 ถงึ 10 6) เซตของจาํ นวนเต็มบวก
}
{ 6,7g 8,9 } 3,4g{ 1,2 ง .. .

7) เซตของจาํ นวนเต็มท่ยี กกาํ ลังสองแลว้ ได้ 16 8) เซตของจํานวนนบั ทห่ี ารดว้ ย 3 ลงตวั

{ -4,4} { 3,6g 9,12g . . . }

 จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

1) {10, 20, 30, ...} บวก หาร วย K ลง ว 2) {มกราคม กมุ ภาพันธ์ มีนาคม, ... , ธันวาคม}
เ มเซตของ นวน
เซดของ เ อนใน 1

3) {a , e, i, 0, u} 4) {1, 3, 5, 7, ... , 99}

เซต ของ สระในภาษา งกฤษ เ ม งแเซด ของ นวน บวก 1 ง 99

5) {-1, -2, -3 , ... , -20} 6) {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}
เ มเซต ของ นวน
งแลบ -20 ง -1 เ มเชคของ นวน งบวก ยก สอง

7) {-7, 7} 8) {-5, -4, -3, ... , 18, 19, 20}

เซต ของ นวน เ ม ยก งสอง แ วไ ☆9 เ มเซตของ นวน งแ -5 ง 20

  ขอ้ ความต่อไปน้ี ถูก หรือ ผดิ _
เ นสม ก ไ เ นสมา ก ✓
÷£ ✓
E f
E ×
=
¢ ✓
r
E ✓
✓ r
/E
× f
r¢
✓
1E
¢ ✓

ูชิช็ป่มิธ็ปึถ่ต้ัต็ตำจ้ด้ลัลำก่ีทิดำจัลำก่ีท็ตำจึถ่ต้ัต็ตำจึถ่ต้ัต็ตำจัอีปืดัต้ด่ีท็ตำจิจักุถิม

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 2 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 2

เร่ือง ชนิดของเซตและการเท่ากนั ของเซต

 เซตใดเปน็ เซตจํากดั เซตใดเป็นเซตอนนั / ต์ ชนดิ ของเซต

1. เซตของจํานวนเฉพาะบวก …เซ…ต…อ……น………… 2. เซตของรปู ส่ีเหลยี่ มมุ ฉาก เ…ซ…ต…อ……น…………
§ …………………?- 4 { } อ เซต าง
3. เซตของเศษสว่ นทม่ี ีเศษเปน็ ศูนย์ แตส่ ่วนไม่เป็นศนู ย์ 3. ด {0} ,
เซต

นางใน
ท (4) เซต ด
4. เซตของจํานวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x + 15 = 0 ……เซ…ต ……ด…… {+5}

จงพิจารณาวา่ เซตในขอ้ ใดบา้ งเทา่ กันและเซตในข้อใดบา้ งไมเ่ ท่ากนั

1. { }ส , ค , ว ย ……A……ะ B……………
……c….…=…/ …D………
, ………A…=…B…………
{ สาว , ค}

2. { สาย , ว , ค }

{ สาว , ย }

3.

A ; (× +3)(× - 1) = 0

✗ = { -3,1 }

แบบฝึกทักษะท่ี 3 B ; ly + 3) ( g-1) ( y2+ 1) = 0

ให้นักเเรรียอื่ นงเขสียบั นเซสับตเซAตCทัง้ Bหมดเ ขอองกเซวตขทอง่กี AำหอนใดนใหB้ตอ่ ไปน้ี y ะ { -3,1 } y2+1 ะ 0

สับเซต y า2
ะ-
1° ¢าไ ปน บเซต
้
2=
เ จ เสมอ
ะ2
1 A =  สบั เซต คอื { } {า} yz ± รา
, y = ± i เ ง อน

2 F = 1 สับเซต คือ { } { า } ; { 2 } ¢ F ,

22 ะ 4 3 G = 2, {2} สับเซต คอื { } , {2} { { 2}} { 2,12}} ; { 312 }} ¢ G {3} ¢ G
H = n, 3v,t{i3} สับเซต คอื 1 , 13 ¢3)
23=8 4 , , {∅ , 3,13}}

i. "A) } {∅ } { 3} { { 3}} , {¢ , 3} , {∅, { 3,133) ,
, , ,
นวน บ เซต = 2 y ; { 1,3 { 3} } ¢ H

แบ เซต =2 " A) _1

นวน ^\ ว นเอง

J = , 0, {, 0} {I
โอ า ง5
สบั เซต คือ เา เอง {{∅ } {} 1∅ 0 } ¢ ) {0 อ}}
, ,, ,, , ,,
,,

{ ∅ 0,1∅ อ}}
,
,

ท (C) 28 ¢Tน c- c ผ

2) ผ
ถ
ผ
ถ
เ ใน กกาง ถ }ผ
2ns
ถ

/0บอผก3 € C

ถ

3) 1 ท (A) ะท (B) → เ ยบเ า C เ า น
ผ/
ถ/ ผ/ บเซด

๓/ fถ A ตาย
,
ผ/ ผ
n (A) ะแ (C)
ผ/

cngmmmgo

ัส๋ผัก่ท่ทีทีปูด้ัย้ฮัมัต้กัสำจัสำจ่ว้ซิชัส็ธ่ม้ขู้ฮ็ทู่ยัตุท่ืมุยักำจักำจ่วืคักำจ์ตัน์ตัน

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 3 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 4 เรื่อง เพาเวอร์เซต คือเซตของสับเซตทั้งหมดของA ; P(A)

ให้นกั เรียนเขียนเพาเวอรเ์ ซตจาก เซตท่ีกำหนดใหต้ ่อไปนี้

1) A =  ^ บเซต A 2) B = b
P(A) = { ¢} P(B) = { ∅ , { b}}

3) E = 1, {} P(E) ={¢ {1 } , {{∅ }} , { 1 , {∅} }

,

4) F = 3, {4, 5} P(F) =นวนเ ม {∅ {3} { {4,5}} , { 3 , {4,5}}}

,,

5) G = xx  และ 1  x  4 I G = { 1 , 2,3}
P(G) = { ¢ }{1 } {2}

,,
{3} , {1,2} {1,3} ,{2,3} , { 1,2 , 3}

, ,

 กําหนด A = {2, 3} จงเขียน
P(A) = { }∅
, {2} {3} { 2,3}
,,

สับเซตทั้งหมดของ P(A) คือ ¢ { } {¢ } { } {¢ { }{ } {2}
{2} {3} 2} {3} PC A)
, ,. . . ,, , ,.. .
,, ,, ,
, ,. ..

 กําหนด A = {  } จงเขียน

P(A) = { ∅, { ¢}}

 P(P(A)) = { ¢ ง {∅} , {{ 0 }} {∅ {∅ }}} จงพจิ ารณาขอ้ ต่อไปนี้ วา่ ถกู หรอื ผดิ ☐ EA
กาํ หนด A , 2} } ↑
= { ,0, 2, 4, {},, {0,
{0}, /{☐}€ P(A)
…ก..1/. caP(A) n (A) 7= ท [ P(A)] ะ 27 ะ 128 สมา ก
…ก..4/. { {} } ✓ P(A) °7
…ก ..2. /{G} P(A) …ก..3. {} นP(A)
บเซต /{☐f}c/Cpก (A)
…ก..5. n{0, 2f}  P(A) …ด..6./{0, 2/} g
P(A)

…ก..7/. { cr }✓ P(A) …ก..8. /{ {=0, 2L} }  P(A) …ก..9. { {}, 2}  P(A)

{0, 2} .com
cr

…ด..10/./{ {"}, 2}/  P(A) …ด..11. A  P(A) { A}CP(A) ✓ …ก..12. A  P(A)
สมบัตขิ องสบั เซต EA สมบตั ขิ องเพาเวอรเ์ ซต

1) A  A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง) 1)   P(A)
2) A  U (เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3) ø  A (เซตวา่ งเป็นสับเซตของทกุ ๆ เซต) 2) A  P(A)
4) ถ้า A   แล้ว A =  3) P(A) ≠ 

5) ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C (สมบตั ิการถา่ ยทอด) 4) P(A)  P(B) ก็ตอ่ เมอ่ื A  B
6) A = B กต็ อ่ เม่ือ A  B และ B  A 5) ถ้า A มีสมาชกิ n ตวั P(A) จะมีสมาชกิ 2n ตวั
7) ถา้ A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สบั เซตของเซตจะมที งั้ ส้นิ 2n สับเซต

5) จงพิจารณาวา่ ขอ้ ต่อไปน้ีถูกหรือผดิ โดยทาเครื่องหมาย หรือ  หนา้ ขอ้ ท่ีกาหนด

ถ1. P(A) × ถ 6. {A}  P(A) ✓
ผ 7. {A}P(A) X
ถ 2.   P(A) ✓ ถ8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) ก็จะเป็นเซตอนนั ตด์ ว้ ย ×
∅ {→ 0 }, ง . . . ถ9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
3. { } P(A)ถ  ถ 10. ถา้ AP(B) แลว้ จะได้ A  B
×

ผ4. {}P(A) ✓

ถ 5. AP(A) ✓

ูถิผิผูถูถูถิผูถูถัสูถูถูถิชู่อู่อ็ตำจัส

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 4 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5 เรื่อง โจทย์ปญั หาสบั เซตและเพาเวอร์เซต

1. A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วก และ x  100} และ B = {x | x  A และ 3 หำร x ลงตวั }

จำนวนสมำชกิ ของเซต P(B) เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 มี.ค. 2552 : 1]
6,8gA ะ { 2,4,
10. 216 .. ,. 100}

2. 217 B = { 6,1 2,18,24g . . . 96} = ¥ (g){ }6 , 6(2) , 6(3) , . . ,. 6
"
3. 218 ]ท [ P (B) "" n (B) ะ 16
=2 ะ2

4. 219

2. E = {0} จงหำ n(P(P(E))) และ P(P(E)) 3. จงหำ n[P(P(P()))]

n (E) 1= ำ[ P(E)] = = 2 ท ( ¢) = 0

ท [ PCP (E)1] = 22ไ 4 ][ P ∅ °

P(E) ะ{¢ , {0}} ท ( 1 ะ 2 =1

{ ¢ {¢} {{ 0}} {¢ {0}} แ [PCP (0/1)] 221 ะ 2
, , ท ( PCPCP (∅11] ะ 22=4

PCP (E)) = , ,

4. จงหำจำนวนสมำชิกของเซต A เม่อื กำหนด n[P( P(A))] = 256
n[P(A )] = 1,024 >

2ท (A) z ° 2ทCPC A)1=28

h (A) ะ | 0 n [ P (A)] = 8

23ท (A)

2=

ท (A) =3

5. ให้ A = {, {}, {, {}}} และ P(A) เปน็ เพาเวอร์เซตของเซต A

จงพจิ ารณาว่าขอ้ ความตอ่ ไปน้ถี ูกหรอื ผดิ [PAT 1 ก.ค. 2553]

1. จำนวนสมาชิกของ P(A) เทา่ กบั 16 e ด ) 2. {, {°"}, {"{}}1}  P(A) 1 ก)

ท (A) =3

ท [ P (A) ะ 23 ะ 8

6. กำหนดให้ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ

จงพิจารณา P(P()) P(P(P())) เมือ่  แทนเซตวา่ ง ถูกหรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2559 ]

P ( ∅) ะ { ∅ } ✓
CHPIP %{ }(∅1)
PCP ( ∅1) 4{# { ∅3.}/

= ¢ , { ∅} {{ ¢}} , {∅, {¢}}

,

ูถ๋ิธิผ่ม่ว

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซตน.ส. ญชาม ไพชา เล 29 411 หน้า: ~ 5 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 6 เรื่อง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)

ใหน้ ักเรยี นเขยี นสรปุ ความสมั พนั ธข์ องเซตจากแผนภาพ

…สา……ว…ม…น…บา…ง …วน……… ไ……ส…า…ก…ว…ม…น………… …………A…=…B…………… ………A…C…B……………… …………B…C…A……………

ให้ A  B  C และ A  B  C จงเขียนแผนภาพแสดงลกั ษณะของเซตตอ่ ไปน้ี

โดยที่ aA และ bB จงเขยี นแผนภาพตามเงือ่ นไข A  B และ A กบั C ไมม่ ีสมาชกิ รว่ มกันเลย

c น B A ,B
c
B A A
A a, b
ำ ฐํ๊
b4

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7 ญน.ส. ชา ม ไพชา เล 29 411
เร่ือง การดำเนนิ การระหว่างเซต

ยเู นยี น (Union) AB = {x|x  A หรือ x  B } : เป็นสมาชกิ ของเซต A หรอื เซต B หรือทง้ั สองเซต

อนิ เตอรเ์ ซกชนั (Intersect) AB = { x | x  A และ x  B } : เปน็ สมาชิกของทงั้ เซต A และ B

คอมพลีเมนต์ (Complement) A= { x|xU และ xA} : เปน็ สมาชิกของ U แตไ่ ม่เป็นสมาชกิ ของ A

ผลต่าง (Difference of sets) A - B = { x|xA และ xB} : มสี มาชกิ ของเซต A แตไ่ ม่เป็นสมาชกิ ของ B

AB

AB
ญื๊ ญื๋AB A – B " """ A B

AB AB A

UUU U

U = {–3,–2,–1,0,1,2,3} A = {–3,–2,–1,0}, B = {0,1,2,3} C = {–2,–1,0,1,2} จงหา

1 AB = { -3 -2,1 , 0,1 , 2,3} 2. B  C = {-2,1 , 0,1 , 2,3}
,

3. A  C = { -2,-1,0} 4. B  C = { 0,1 , 2}

5. C = { -3,3} 6. A–B = { }-3-1
,
-2,

7. A  (C – B) = {-3, -2 ,-1,0} ก { -2,1} ะ { -2,1}
T.Ii.net ะ }8. (A  B)  C }= {-3, -2,1g0,1, 2,3} ก {-2,-1,0,1,2 {= -3-1,0, 1,2
9. (A – B) C = 3 {-3} อก

 3- CD - B) ก ( D- C)

ะ {c , d} ก {a}

¢ CM--

ูถ้ข้ํตู๊ฐ่ีทำอ์ุธิพ่ีทุ๋ฏัก่รีม่ม่สัก่รำช่ีทำอ์ุริพ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 6 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 8 เร่อื ง สมบัตกิ ารดำเนินการและการจดั รปู ญน.ส. ชาม ไพชา เล 29 411
ให้นักเรียนเขียนสมบัตกิ ารดำเนนิ การของเซตที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ใี ห้ถกู ตอ้ ง
คุณสมบัติของยเู นียน

1. A  A = A 2. A   = A 3. A  U = U

4. A  AAUBB และ B  AAUB 5. A  B = BBU AA เส บ )

6. A  (B  C) = ( AU B) UC 7. A  B ก็ต่อเมื่อ AUB = B

8. ถา้ B  A และ C  A แลว้ (BU C)c A 9. ถา้ A  B =  กต็ อ่ เม่ือ ∅A = B ¢=
ง

10. A  (B  C) = ( A กต ) UCA ก C) 11. A  (B  C) = CAU B) ก (AU C)

คุณสมบตั ิของอนิ เตอร์เซกชัน

1. A  A = A 2. A   = ∅
3. A  U = A
4. A  B  AA และ A  B  BB

5. A  B = B ก A 6. A  (B  C) = 1A ^ B)ก C

7. A  B กต็ อ่ เม่ือ AUB 2 U AUBะก 8. ถา้ A  C และ B  C แลว้ An Bcc

คณุ สมบัตขิ องคอมพลเี มนต์

1. (A) = A 2.   = U และ U  = ∅

3. A  A = ∅ 4. A  A = U
6. (Aจ ะBำ) = AA' v B 
5. (AสʰBจ) = A กB  โ
8. A  B =  ก็ต่อเม่ือ A CB  ¢A-- และ ¢B-
7. A  B กต็ อ่ เมื่อ BB ' CAA' A ก ะ ¢

คุณสมบัตขิ องผลต่าง

1/. A – B  AA นายนาม2. A – B = A กต็ อ่ เม่ือ AA กBBะ∅= 
3. A – B =  กต็ อ่ เม่ือ AACBB
4/. A – A = ∅
' 6/. A –เป(Bยน  C) = ((AA-B–)Bก)CA-(CA) –

อารง5. A – B = A  BB ออกสอบ
rT(กาc)7. A – (B  C) = C(AA- –BB) )ข (A-(cA)– 8. (A ไเปBยน) – C = (A – C)(B-(CB)–
1 โC) 9. (A  B) – C = ((AA- c–)Cu)( B-(c) 10. A –  = AA และ  – A =–¢A
ไµ น
จงพิสจู น์ขอ้ ความต่อไปนี้วา่ เปน็ จริงหรอื ไม่ [PAT 1 ต.ค. 2555]

ลง A B1. A–(B  C) = (A–B)(A–C) 2. A – (B – C) = A  (B  C)

น- นก (= MA ก C) A- ( ตก ยาง =
A ก ( B ก C) ' =
= An ( B' U C) =
A ก ( B ' U C)
ะ A ก ( B ก C) '

= A- CB ก C) ด ด

3. (Ah  Blr)–C = (A–C)  (B–C) 4. (A  B) – C = A  (B – C)

น . ละ นก = ( A ^ C) ^ l B ก CA U B) ก C = AU ( B กาย ' )

= ( A ก B) ก C ' ( กก c) บ( Bn c) ะ ( AU B) ก ( AUC)

ะ ( กก B) - C ก ( A- c) บ ( B- c) ะ ( A- B) ก ( A- C)

ด

ิผูถ่ลิผิผ้ก้ํล่ีล่ม่ัล่มำบ่ีล่ต่ถ่ต่ต่ต่ถ่ีทัล่ีทำอ์ุริพ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 7 ~

คณุ สมบตั ิของเพาเวอร์เซตกบั จำนวนสมาชิกของเซต

1. n(P(A) −A) = n(P(A)) − n(P(A)  A) 2. n(A− P(A)) = n(A) − n(A  P(A))

3. n(P(A) −A)  n(A− P(A)) = n(P(A) − A) + n(A− P(A))

1. ให้ A = {1, {1}} จงหาจำนวนสมาชกิ ของ P(A) − A [PAT 1 มี.ค. 2553 : 4] 1 P(A)

A

. = ท [PlA)] - nl P(A) ก A] .ปา ↑

PlA) = {∅, {1} , {{ 1}} , A} ลบ ว า น ง ④ A)A """ เห อน (A) -
P(A) ก A {= { 1} } =1

= 4- 1

=3

2. ให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} ขอ้ ความ n(A − P(A)) < n(P(A) −A) ถกู หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2552]

{p(A) = ∅ } { } { 1,2} }01 0 ท (A) - n[ An P (A)] < n [P (A)] - n[P(A) ก A) 2
,
, ,. . . , ,. .. A

P(A)

}{A ^ P (A) = {o , 1,2} 4- 1h " r An P(A)

2 -1 A- P(A)

3 4 15 ก

3. ให้ B  A และ A  C   ถ้า n(P(P(B))) = n(P(B  C)) = 16 , n(B  C) = 1 , n(A  C) = 2

และ n(P(A − C)) = 4n(P(C − A)) แล้ว n(P(A)) เทา่ กับเท่าใด [PAT 1 ก.พ. 2561 : 32]
① ท[ PCP(B) )] = 16
ท [ PcA-c)] ะ 4ท[PCO-A)] NA -C) =3 A c
(2))2(2 " " 2
=2 " (A-" 22.2" K-A) ( µมาร B
2
z = 25 111
2
ท(B) 22 " A-C) 22 tncc- A) =3 2

② ท [ PCBU C)] = µ → 24 2 =
ท (A-C)
HBU C) = 4 1

22M CG.AT)

ให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} ให้นักเรยี นแสดงวธิ ีทำเพ่อื ระบขุ ้อความตอ่ ไปนี้ ถกู หรือผดิ

1. P(A)  P(B)  P(A  B) *** 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ***
}{1, 2,3}
A  B = { 1,2 , 3} P(A  B) = {∅ ง { 1 } { 2} { 3} , {1,2} { 1,3} , { 2,3} ,
,
,

A  B = {2} P(A  B) = {∅, { 2,3}}

P(A) = {∅ , { 1} , {2} , { 1,2}} P(B) = { ∅, {2} , {3} ,{2,3}}
P(A)  P(B) = {¢, {2}}
P(A)  P(B) = {∅ {1} {2} { 1,2} { 2,3} }
, , , ,

สรุป

1. P(A)  P(B)  P(A  B) ……ก . 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ……ก .

หมายเหตุ P(A)  P(B) = P(A  B) ก็ต่อเม่อื A  B หรอื B  A

 ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำเพอ่ื ระบขุ ้อความ P(A  B)  P(A)  P(B) ถูกหรือผิด [PAT 1 ม.ี ค. 2559 ]

A > { 6,7 } B = { 7,8} ด

,

AUB = { 6,7g8}

Pl AU B) = {¢ , { 6} {7} { 8} , { 6,7} { 6,8} , {7,8} , { 6 ,7,8}}

, , ,

An B ะ {7 }

P (A) = { ¢ , { 6} , {7} , { 6,1}}

P(B) = {∅, {7} {8} { 7,8}}
,
,

}p(A)
UP(B) ะ {∅ , {6} {7} {8} , { 6,7} , {7,8}
,
,

ิผูถูถุกูถืม้ว้ิทัก้ํซ่ีทัต

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 8 ~

แบบฝึกทักษะที่ 9 เรอ่ื ง การแรเงาแผนภาพเวนน์ออยเลอร์ AUB ะ เอาหมด AnB ะ 1
A- B = เอา เฉพาะ ะ A ะไ เอา A
ให้นักเรยี นแรเงาแผนภาพแทนเซตทกี่ ำหนดให้ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
รวม น ตอบ
1. (AB)/ 2. (A  B)/ 3. (A  B)  A)
ด  (B

A BA B Aู vB A B

U UU U
B
4. A/ น B/ AAA:5.(A-B)/ B /
U
 B A BA B

AB A UU U

U A 7. (A  B)  (B − A) B

6. [(A − B)  B] " ""

AB B A BA

U UU

8. B/ – ( A  C ) 9. C − (B  A)

*A B A BA BA

CU CU CU CU
B B
10. (A  B)  C ตอย 11. C  ( A – B ) A

ด A AB

AB

่

CU CU CU CU
B
12. (A  B) – (C   A) 13. (A  B ) – (C – A) AAB
CU
A BA A BA

CU CU CU

ิคุฟู่ญักำ้ซิคัก่ม่ค้ัซ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 9 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 10 เรือ่ ง การหาจำนวนสมาชกิ ของเซตจำกดั

1) A, B เปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ์ U โดย n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A  B) = 2 จงหา

1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A  B)

A 5- 2 B AB AB
6 23 6 23
↓

623

4 U U U
n(A  B) = 61-2+3=11
8-2 n(B – A) = 3

n(A – B) = 6

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A – B) = n (A) - nl An B) n(B – A) = ท (B) - n ( A ^ B) n(A  B) = ท (A) + ท (B) - nl Aก B)
= 8-2
= 5-2 = 8 t 5-2
=6 =3
=1

02) ให้ n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา 3. n(B  A)
1. n(A  B ) 2. n(A  B )

II. 1A B AB AB
÷5 45 30 |☒ 45330 15 45 30
-
U |⑧ U 10 U

60-45 75-45 n(A  B ) = 5 5 n(B  A) = 30

n(A  B ) = µ

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A  B ) = nc AUB) ' n(A  B ) = nw ) -ท (An B)' n(B  A) = ก(B) - n (AnB) ท ( B-A)

= 100 - (15+45+30) = 100-45 = 75-45

= 100-90 255 = 30
= 10

3) ให้ A และ B เป็ นเซตซ่ึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n( A B ) = 2
ถา้ C (A B) (B A) แลว้ n(P(C)) เทา่ กบั เท่าใด [Onet 2554 : 32]

A 5-↓2 4-2 ท (C) =3 +2 = 5

↓B ท(P(c)) 225232

322 U

↑

A กB

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 10 ~

4) ให้ A , B และ C เปน็ สับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U โดยที่ n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43,

n(A  B) = 8, n(A  C) = 13, n(B  C) = 11 และ n(A  B  C) = 100 จงหา

1. n(A  B  C)
L8-1
A 27 B ท (AUBU C) = ท (A) + ท(B) tn (C) - ท 1A ^ B) - n ( AnC)
23 71
h - ท ( Bn c) tnl An B ^ C)

#☒ ตร ด เ ยว t สาม
-
ิแ+
13 7 | 00=43+45+43-513๚ + ท ( An Bn C)
20 TT
100 ะ 99th ( A ก Bn C)
CU

2. n((A  B) − C) n ( A ก Bn C) 2 1 00 - qqe 1

ใ [ ]A B
แผน ภาพ B)n ( An C- =ฯ

ๆ

C U

3. n((B  C)  A) B n [ ( BUC) ^ A] =7+1 +12

A 220

1
12

CU

5) ให้ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(A  B  C) = 15 , n(A  B  C) = 2

ถ้า n(A − B) = 8 , n(B − C) = 4 และ n(A − C) = 9 แลว้ n((A  B) − C) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

[PAT 1 เม.ย. 2557 : 3] 1. 13 2. 12 03. 11 4. 10

④ Bt ° ↓ dA-B ; a + ≥ 8 _ ① โ14 + - | lltd =3 Cdt 3)

AB B- C ; btc ะ 4-② f+ g- 1 -
abc
③ จาก ท(A) =3 (ท(C)) แ + d- 3 d +9

_ _
atbz 2=2 d
d ʰf A- C ; 9 i. d 21

atbtctdtetftg มา5 atbtetd =3( dtetf+g) d ะ7
91-2 td =3 ldt 2 + 1)
9 8+4+2 tftgz 15 yz 2
U
C Cะ 2

ตอบ 7+2+2=11

6) กำหนด A  (B  C) =  , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16, n(A  B  C) = 20 และ

n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) ข้อต่อไปน้ี ถูก หรอื ผดิ [PAT 1 ต.ค. 2558]

1. n(A  B  C) = 10 ×- 2. n((A  B)  C) = 5

↓แ- × n ( AUBUC) = 20 nl Bn C) =31-20=11
A B lrpel
(11-7)+(11-4)+☒ ท(A)

× t 22 - × = 12

/ไ Otnl BU C) = 20 ก① × = 10

แ-× ญ 31g% ""กอง ] แอ แ2-

1 1-× C n ( BUC) = 20 ②ด = 4

U h(B)tn(c)-ท(Bn C) = 20

1 57 16 - ท (Bn C) ะ 20

ิผำงูถ้ด่ีทึณ้ชู่ค่ีดัลูส

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 11 ~

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 11 โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั จานวนสมาชิกของเซตจากดั A ะ Math , B = Eng

1) จากผลการสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ซ่ึงมีจานวน 70 คน พบวา่ มีนกั เรียนสอบคณิตศาสตร์ได้ n (U) 270 , ท (A) 230
30 คน มีนกั เรียนสอบภาษาองั กฤษได้ 35 คน และมีนกั เรียนท่ีสอบไดท้ ้งั สองวชิ า 10 คน จงหา ท (B) ะ 35 , แ( AnB) = 10

-

ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ A 15 70 - 5 5
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก = 20 pg

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก = 2 5 20 10 25
(3) จานวนนกั เรียนที่สอบตกท้งั สองวชิ า = 15

ใช้สูตร U
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก
30-10 35-10
ท ( A-B) ะท(A) - ท(An B) =30-10 ะ 20✓

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แตส่ อบคณิตศาสตร์ตก

n ( B- A) = ท (B) - NA n B) =3 5-10 2 25 ✓

(3) จานวนนกั เรียนที่สอบ์ตกท้งั สองวิชา n (A)+ n (B) ะท( AUB)

' B) = 70-1301-3 -101270-55=15 ✓

NAUB ) = MW) - ท (ก

2) จากการตรวจสุขภาพของคนกลมุ่ หน่ึง พบวา่ มีคนที่สายตาส้ันจานวน 35% ของ นA-- สายตา , นB--

คนท้งั หมด มีคนท่ีฟันผจุ านวน 45% ของคนท้งั หมด และมีคนท่ีสายตาไม่ส้นั และฟันไมผ่ จุ านวน 29%

ของคนท้งั หมด จงหาจานวนเปอร์เซ็นตข์ อง A B
ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ 29

(1) คนท่ีสายตาส้ันหรือฟันผุ = 7 1 (2) คนท่ีสายตาส้นั และฟันผุ29 26 9 36
(3) คนท่ีสายตาส้นั แต่ฟันไม่ผุ ะ 26 (4) คนที่สายตาไมส่ ้ัน แตฟ่ ันผุ= 36

(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไม่ผุ - 26+29 ะ 55 ↑ ↑ U
(ใ1ช)ส้ ูตครนท่ีสทา(ยAต)า=ส3้ัน5หgรืnอฟ(Bัน)ผะุ 45 , ท(AUBI = 29
35- 9 45-9

(2) คนท่ีสายตาส้ัน และฟันผุ

ท ( An B) ะท(Utnl AU B)' ท ( An B) 2 แ (A) + n(B) - ท1A0B)

2 100 -29 ะ 29 t 36-71

271 =q n 1AM) ะท1 A) +ท1 D) ท- 1A nB)

(3) คนท่ีสายตาส้นั แตฟ่ ันไม่ผุ 100-29 = 35745 - n 1A n B)

^1Aก D= 80-71 = 9

(4) คนท่ีสายตาไม่ส้ัน แตฟ่ ันผุ

แ ( A- B) = ท (A) - n 1A ท B) ท 1 B- A) ะท (B) - ท1A ก B)

235+9 ะ 45-9

= 26 = 36

(5) คนท่ีสายตาส้นั หรือฟันไมผ่ ุ

ท [( A- B) UCAUBI' ]

คะ26 t29
ท

h 1A ก B) ฑ(A) tn (B) - NA กB)

= 55 100-29 = 35+45 - ท ( AnB)
7 1 2 80 - ขา( AnB)

ท 1A ก B) ะ 80-71=9

ุผัฟ้ัสุ๋ทฺพ

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 12 ~

U AB ( Au B) '
3) นกั เรยี นหอ้ งหนึง่ มี 50 คน ถา้ ในจานวนนมี้ คี นเลน่ กีตาร์ 25 คน เลน่ เปียโน 14 คน ไมเ่ ลน่ กีตารแ์ ละไมเ่ ลน่ เปียโน 15 คน

แลว้ จานวนนกั เรียนท่เี ลน่ กีตารอ์ ย่างเดียวมีก่ีคน [Onet 2559 : 21]

15 A B แ 1A บ B) = แ (A) + ท (B) - ท 1A ก B) NA 1- ท 1A ก D)

21 4 50 - 15 2 25 +14 - แ 1A nB) 225-4
10 35 ะ 39 - ท 1A ^B)
↑ = 21
↑
25-4 ท 1A ก B) 239 - 3 5 24
14-4 U = 5 อ

w

4) จากการสอบถาม เร่ืองความชอบไอศกรมี รสวนลิ าและรสสม้ ของเด็กอนบุ าลจำนวน 40 คน
พบวา่ มี 25 คน Aชอบรสวนิลา 10 คน ชอBบรสสม้ 8 คน ไม่ชอบทง้ั รสวนิลาและรสส้ม
มีเด็กอนบุ าลท่ีชอบทั้งรสวนลิ าและรสส้มก่คี น [Onet 2561 : 3]

แ 1A ย B) = ท (A) + ท (B) - ท 1A ก B)

22 3 7 40-8 ะ 25 +10 - แ 1A nB)

↑ ↑ 40 35 ะ 35 - ท ( AnB)

25-3 U ท 1A ก B) 2 35 - 3 2 23

เอง

AB

5)ในโรงเรียนแห่งหน่ึง มีนกั เรียนชาย 87 คน มีอยู่ 43 คนเล่นฮอกก้ี มี 42 คนเล่นฟตุ บอล
มี 47 คนเล่นCเทนนิส มี 15 คนเล่นเทนนิสและฮอกก้ี มี 17 คนเลน่ เทนนิสและฟตุ บอล

มี 21 คนเลน่ ฮอกก้ีและฟตุ บอล นกั เรียนแตล่ ะคนตอ้ งเล่นกีฬาอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิดดงั กล่าว จงหา
ท (a) = nlAUBUC)
ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ AB

(1) จานวนนกั เรียนที่เล่นกีฬาท้งั สามอยา่ ง = 8 42-30
15 13 12L
(2) จานวนนกั เรียนที่เลน่ ฮอกก้ีเพยี งอยา่ งเดียว = 15 43-28 → 789
(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟตุ บอลเพียงอยา่ งเดียว = 12
(4) จานวนนกั เรียนที่เลน่ เทนนิสเพียงอยา่ งเดียว =23 15-8 า 23 ำ7-8

gc U

ใชส้ ูตร 47-24

(1) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง (2) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฮอกก้ีเพยี งอยา่ งเดียว

ท ( AUBU C) = 43+42+47-15 = ท (A) - n (A ก B) - ท ( Anc)+ nl An BnC)

- |7- 21 +✗ 243-21-151-8
87 = 79 +×
= 15
✗ = 87-79

=8

(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟุตบอลเพยี งอยา่ งเดียว (4) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ เทนนิสเพียงอยา่ งเดียว
ะท(c)-ท1A กC) - nlBกC) +ท(An Bnc)
ท (B) - ท ( AUC) ะท(B) ท- 1A กB) - HB 1C) B)= ท(c) - ท ( Au

tn (A กBกC) ะ 47-15-17+8

= 42-21-17+8 223

212

ห่วู๋

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 13 ~

6) จากการสอบถามค(วAามUชBอบยรcับป)ระทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสช็อกโกแลต มี 31 คน ชอบรสช็อกโกแลตและวานิลลา

มี 87 คน ชอบรสวานิลลา มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอรี่

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอร่ี มี 22 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและสตรอเบอรี่

และ มี 5 คน ไมช่ อบท้งั สามรส ดงั น้นั มีนีกเรียนท่ีชอบท้งั สามรสก่ีคน [Onet 2557 : 12]

180-5 ← 861-87+70-31-27-22+×

175 ะ 1 631- X

☆X ะ 12

7) จากการสอบถามนกั เรียนช้นั ม.6 ที่เรียนสายวิทยาศาสตร์จานวน 180 คน พบวา่
มี 83 คน ชอAบเคมี มี 68 คน ชอบฟิ สCิกส์
มี 84 คน ชอบชีวBวิทยา มี 23 คน ชอบท้งั เคมีแAล1ะCฟิ สิกส์
มี 22 คน ชอบท้งั ฟิ สิกส์แBลถะCชีววทิ ยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมีและ7ชกีวBวทิ ยา

และ มี 3 คน ไมช่ อบวชิ าใดเลยในสามวิชาน้ี ดงั น้นั มีนกั เรียนกี่คนท่ีชอบเคม☐ีแตไ่ มช่ อบฟิ สิกส์และชีววิทยา

[Onet 2558 : 71] 83 - | 2>71 ☆

180-3=83+84+68-22 - 2 3 25 TX

177 = 165 +×

X = 12

8) หมู่บา้ นแห่งหนง่ึ มี 60 ครอบครัว ทม่ี ีอาชีพ ทำนา ทำสวน หรอื เล้ียงสัตว์

ถา้ ทำนา 34 ครอบครวั ทำสวน 30 ครอบครวั ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว

ทำนา และ เล้ียงสตั ว์ 23 ครอบครวั ทำสวน และ เลย้ี งสัตว์ 20 ครอบครัว

ทำนาอยา่ งเดียว 6 ครอบครัว แลว้ มีทั้งหมดกคี่ รอบครวั ทม่ี ีอาชพี เพยี งอาชพี เดยี ว [onet2560 : 15]

ท (A) = 6 + ท (An B) ตา (A ก C) - ท MBกอ ) =3 4 นา สวน

6 t 8+23- ท (A ก B ก C) 234 65
3

20 17

4 เ ยง ต

อา พเ ยว 6+5+4=15

n 1AาBก C) =3

9) ในการสอบของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษากลมุ่ หน่ึง พบวา่ มีผสู้ อบผา่ นวชิ าต่างๆ ดงั น้ี AB
A B ภาษาไทยC44
คณิตศาสตร์ คน สงั คมศึกษา คน คน |9 10 28
36 50

คณิตศาสตร์และสงั คมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสงั คมศึกษา 12 คน 257

คณิตศาสตร์และภาษาไทย 7 คน ท้งั สามวชิ า 5 คน c 30
จานวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวิชามีก่ีคน [Onet 2553 : 101]

ท ( AUBU C) = ท (A) + แ (B)+ท(c) - ท 1A ก B) - ท(A- C) - ท( B-C) + n 1A ก Bnc)

= 36+50+44-1 5-12-7+5

= 101

ีดีชีม์วัส้ีล

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 14 ~

10. ให้ S แทนคอมพลีเมนตข์ องเซต S และ
n(S) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต S
กำหนดให้ U แทนเอกภพสัมพทั ธ์ โดยท่ี n(U ) = 70

ถ้า A, B และ C เป็นสบั เซตของ U โดยที่ A  B  C   และ
n(A  B) = 25 , n(B − C) = 18 , n(C  A) = 16 และ

n((A  B) − C) = 7 แล้ว n(A  B  C) เท่ากับเท่าใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

A B jfjgf = 2 5 48 +16 +ฯ
= 66
h(กก B) ะ25 ← → nlB-C)ะ18
ท (U ) ะ70 → ท (A ก B ^C)
ะ A-B pn (ยก 1 ะ16
= GA 270-66
24
↓

ท[( AuB)2C] = 7

= (Au B)ำ C)
2 (AUBUC)'

11. จากการสำรวจนักเรยี นกลุ่มหน่ึงจำนวน 80 คน เกีย่ วกบั การเป็นสมาชิกของชมรม 3 ชมรม คือ

ชมรม คณติ ศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกฬี า ปรากฏวา่

มี 30 คน เป็นสมาชกิ ของชมรมคณติ ศาสตร์ โดยในจำนวนนม้ี นี กั เรยี น 20 คน เทา่ นน้ั ทเี่ ปน็ สมาชิก

ของชมรมคณติ ศาสตร์เพยี งชมรมเดียว มี 5 คน ท่ีเป็นสมาชกิ ของชมรมการแสดงและชมรมกฬี า

แต่ไม่เปน็ สมาชกิ ของชมรมคณติ ศาสตร์ และมี 10 คน ทไ่ี ม่เป็นสมาชกิ ของชมรมใดเลย

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

(ก) มี 15 คน ทเ่ี ปน็ สมาชกิ ของชมรมอย่างนอ้ ย 2 ชมรม

(ข) มี 55 คน ทเี่ ปน็ สมาชิกของชมรมใดชมรมหน่งึ เพียง 1 ชมรมเท่านั้น

(ค) มี 50 คน ทเ่ี ป็นสมาชิกของชมรมการแสดงหรอื ชมรมกีฬา

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง [PAT 1 ม.ี ค. 2560 : 4] งหมด ะ 80 (1) ค ต ะ 30 (2) ค ตอ างเ ยวะ20 (3)

1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผดิ

2. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ขอ้ (ข) ผิด

3. ขอ้ (ข) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ขอ้ (ก) ผดิ

×4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกท้ังสามข้อ
5. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ผดิ ทัง้ สามข้อ แสดง+ ฬาไ ค คะ5 (4)
ไ อะไรเลย 40 (5)

(ก ) (2) - (3) (6)+ (4)

กก.

30-20=10 (6) 10+5=15 (7) (8) - (3)
(1) -(5) (8)-(7)
g)
g) กข.
กค.
80-10=70 (8) 70 - 15 2 50 (9)
70-20=50 (c)

ูถูถูถ่มิณ่มีกีด่ยิณิณ้ัท่ก