3) โครงงานระบบเลขฐาน 60

โครงงานคณิตศาสตร์
เร่อื ง การลงรอยกนั บนระบบเลขฐานสู่ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์

(The Congruence on the number system into mathematical model)

คณะผ้จู ดั ทำโครงงาน
1. นางสาวศิริยากร ภรู ับ
2. นางสาวปนัดดา หลงมาดี
3. นางสาวศริ ริ ตั น์ ขจรเดช

อาจารย์ท่ปี รึกษาโครงงาน
1. นางนกิ ร ประวนั ตา
2. นายสุรชัย สขุ รี

โรงเรยี นเมืองพลพทิ ยาคม
สำนักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศึกษาขอนแกน่ เขต 25, กลุ่ม 3

รายงานฉบับน้เี ปน็ สว่ นหนึ่งของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทสร้างทฤษฎีหรือสรา้ งคำอธิบาย ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย
เนอ่ื งในงานศิลปหัตถกรรมนกั เรียนครงั้ ที่ 67 ประจำปกี ารศึกษา 2560

ก

ชอื่ เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร์
การลงรอยกนั บนระบบเลขฐานสู่ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์
คณะผ้จู ัดทำ (The Congruence on the number system into mathematical model)
1. นางสาวศิริยากร ภูรับ
ครูทีป่ รึกษา 2. นางสาวปนดั ดา หลงมาดี
สถานท่ีศึกษา 3. นางสาวศิริรตั น์ ขจรเดช
ปกี ารศึกษา นางนิกร ประวนั ตา นายสรุ ชยั สุขรี
โรงเรียนเมอื งพลพทิ ยาคม อำเภอพล จงั หวัดขอนแก่น
2560

บทคัดย่อ

โครงงานคณติ ศาสตร์ การลงรอยกนั บนระบบเลขฐานสู่ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (The Congruence
on the number system into mathematical model) มีจุดประสงค์ คอื 1) เพอ่ื ศกึ ษาการลงรอยกัน
จากการหารเลขในระบบเลขฐานต่าง ๆ ดว้ ยจำนวนท่ีแตกต่างกัน 2) เพอื่ หาตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของ
การหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ซงึ่ นำมาใชไ้ ด้สำหรบั ทุกระบบเลขฐาน

คณะผจู้ ัดทำไดศ้ กึ ษาเปน็ 2 ตอน ตอนที่ 1 ศกึ ษาเศษจากการหารค่าประจำหลกั ที่ 1 ถงึ หลกั ท่ี 5
ของเลขฐาน 2 – 15 และพิจารณาการลงรอยกนั (congruence) เพ่ือสรปุ เป็นตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์
(mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร ตอนท่ี 2 ศึกษาการลงรอยกนั (congruence)
ของตวั หารทีม่ ีเศษจากการหารเปน็ 1 และหาตวั แบบเชงิ คณิตศาสตรข์ องการหาเศษจากการหารท่ใี ชไ้ ดส้ ำหรับ
ทุกเลขฐาน

ผลการศกึ ษา พบว่า
1. ผลการศึกษาเศษจากการหารค่าประจำหลักที่ 1 ถึงหลักที่ 5 ของเลขฐาน 2 – 15
และพิจารณาการลงรอยกัน (congruence) เพ่อื สรุปเป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model)
ของการหาเศษจากการหาร

ได้ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ (Mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร คอื

(an an-1 an-2 … a0)b+1  r mod b r, b N และ b  3

โดยท่ีเศษ r หาไดจ้ าก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b
2. ผลการศกึ ษาการลงรอยกนั (Congruence) ของตวั หารทม่ี ีเศษจากการหารเป็น 1 และ
หาตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ของการหาเศษจากการหารทใ่ี ชไ้ ด้สำหรับทุกเลขฐาน

ได้ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร คอื

(an an-1 an-2 … a0) kn + 1  r mod k โดยท่ี r, n, k  N

โดยท่ีเศษ r หาไดจ้ าก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k
ในการศกึ ษาคร้ังน้ีได้รับประโยชน์ คือ ได้ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model) ท่ีสามารถ
ย่นระยะเวลาในการหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่างๆ และพัฒนาความรู้ที่ได้ไปใช้สร้างโปรแกรม
ภาษา C ทีส่ ามารถหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ไดอ้ ย่างรวดเร็ว โดยอาจมีการเผยแพร่โปรแกรม
ภาษา C นใ้ี ห้เป็นท่รี ูจ้ กั และเป็นประโยชน์ตอ่ ไป

ข

กิตติกรรมประกาศ

โครงงานเรอ่ื ง การลงรอยกนั บนระบบเลขฐานสู่ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (The Congruence on
the number system into mathematical model) สำเรจ็ ลลุ ว่ งไปไดด้ ้วยดี เพราะการสนบั สนุนและ
ให้กำลังใจในการทำโครงงานจากฝา่ ยบรหิ ารนายมงคล อติอนวุ รรตน์ ผูอ้ ำนวยการโรงเรยี นเมอื งพลพิทยาคม
คณะครูโรงเรียนเมืองพลพิทยาคม คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผูป้ กครอง ตลอดจนเพ่ือน ๆ
นกั เรยี นทกุ คน

ขอขอบคุณ คุณครูนิกร ประวันตา และคุณครูสรุ ชัย สขุ รี ทก่ี รุณาใหค้ วามรคู้ ำปรึกษา ข้อเสนอแนะ
แนวทางวชิ าการและสนับสนุนในด้านตา่ งๆ

ขอขอบคุณคณะครูในกลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนเมอื งพลพิทยาคม ทกุ ทา่ นทปี่ ระสิทธิ์
ประสาทวิชาจนคณะผจู้ ัดทำมีความรใู้ นการศกึ ษาและทำโครงงานในคร้งั นี้

ขอขอบพระคณุ คุณพอ่ คุณแม่ และผปู้ กครอง ที่เปน็ กำลังใจและขอขอบคุณสมาชกิ ในกลมุ่ ทมี่ ีความ
ตง้ั ใจและรว่ มมือกนั ในการจดั ทำโครงงานรวมท้งั เพอ่ื นร่วมชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

คณะทำงานหวังว่าผลการศกึ ษาค้นคว้าและผลงานทไ่ี ด้จากการทำโครงงานน้ีคงทำใหผ้ ู้ทส่ี นใจเห็น
ประโยชน์และใช้เปน็ เคร่อื งมือในการเรยี นรู้ ขอมอบแดผ่ ้ปู กครอง และคุณครู ทป่ี ระสิทธ์ิประสาทวิชาทุกท่าน

คณะผูจ้ ัดทำ

ค

สารบญั

เรื่อง หน้า

บทคัดย่อ ก
กติ ติกรรมประกาศ ข
1
บทที่ 1 บทนำ 1
ท่ีมาและความสำคญั ของโครงงาน 2
จดุ ประสงค์การศึกษา 2
2
ขอบเขตของการศกึ ษา 2
เนื้อหาทางคณิตศาสตรท์ ่ีเก่ียวข้อง 2
2
สถานทใ่ี นการทำโครงงาน 3
นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ 3
ประโยชนท์ ี่คาดวา่ จะได้รับ 3
4
บทท่ี 2 เอกสารที่เก่ียวข้อง 4
การหารลงตวั 5
6
เลขคณติ มอดูลาร์ 7
ทฤษฎบี ททวินาม 8
การแปลงเลขฐาน b เป็นเลขฐานสิบ 8

ความสัมพันธข์ องระบบเลขฐานกับระบบคอมพิวเตอร์ 22
ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์
28
บทที่ 3 วธิ ีการดำเนนิ การ 29
บทที่ 4 ผลการดำเนินงาน 30

ตอนที่ 1 ศกึ ษาเศษจากการหารคา่ ประจำหลักท่ี 1 ถึงหลักที่ 5

ของเลขฐาน 2 – 15 และพิจารณาการลงรอยกัน (congruence)
เพ่อื สรปุ เป็นตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model)

ของการหาเศษจากการหาร
ตอนที่ 2 ศกึ ษาการลงรอยกัน (congruence) ของตัวหารทีม่ เี ศษจากการหารเปน็ 1
และหาตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารทใ่ี ชไ้ ด้สำหรับทุกเลขฐาน

บทท่ี 5 สรปุ อภิปรายผลและขอ้ เสนอแนะ
บรรณานกุ รม

ภาคผนวก

ง

สารบญั ตาราง

ตารางท่ี หนา้

1 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารทแี่ สดงความสมั พันธข์ องการลงรอยกนั 8
ของระบบเลขฐาน 2 8
9
2 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารท่ีแสดงความสมั พันธ์ของการลงรอยกนั 9
ของระบบเลขฐาน 3 10
10
3 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารที่แสดงความสมั พนั ธข์ องการลงรอยกนั 11
ของระบบเลขฐาน 4 11
12
4 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารทแ่ี สดงความสมั พันธ์ของการลงรอยกนั 13
ของระบบเลขฐาน 5 14
15
5 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารที่แสดงความสัมพนั ธ์ของการลงรอยกนั 16
ของระบบเลขฐาน 6 17
22
6 ค่าประจำหลักและเศษจากการหารที่แสดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกนั 31
ของระบบเลขฐาน 7
34
7 ค่าประจำหลักและเศษจากการหารที่แสดงความสัมพนั ธ์ของการลงรอยกัน
ของระบบเลขฐาน 8

8 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารทแี่ สดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกัน
ของระบบเลขฐาน 9

9 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารที่แสดงความสมั พันธข์ องการลงรอยกนั
ของระบบเลขฐาน 10

10 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารทีแ่ สดงความสัมพนั ธ์ของการลงรอยกนั
ของระบบเลขฐาน 11

11 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารทีแ่ สดงความสมั พนั ธ์ของการลงรอยกนั
ของระบบเลขฐาน 12

12 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารท่แี สดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกัน
ของระบบเลขฐาน 13

13 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารทแ่ี สดงความสมั พันธ์ของการลงรอยกนั
ของระบบเลขฐาน 14

14 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารท่ีแสดงความสมั พนั ธ์ของการลงรอยกัน
ของระบบเลขฐาน 15

15 ผลสรปุ การหารของตวั หารท่ีเหลือเศษจากการหารคือ 1 ของระบบเลขฐานแต่ละฐาน
16 เปรียบเทยี บการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์

(anan-1an-2…a0)b  r mod (b-1)
17 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลอื ระหวา่ งการกระจายเปน็ ฐานสิบและตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์

(anan-1an-2…a0)2n+1  r mod 2

จ

สารบญั ตาราง (ตอ่ )

ตารางท่ี หนา้

18 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเปน็ ฐานสบิ และตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ 35
36
(anan-1an-2…a0)3n+1  r mod 3 37
19 เปรียบเทยี บการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเปน็ ฐานสบิ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ 38

(anan-1an-2…a0)4n+1  r mod 4
20 เปรยี บเทยี บการหาเศษเหลอื ระหวา่ งการกระจายเป็นฐานสบิ และตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์

(anan-1an-2…a0)5n+1  r mod 5
21 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลือระหวา่ งการกระจายเปน็ ฐานสิบและตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์

(anan-1an-2…a0)kn+1  r mod k

บทที่ 1
บทนำ

ท่มี าและความสำคัญของโครงงาน
ธรรมชาติของคณิตศาสตร์น้ันเป็นวิชาท่ีเกี่ยวกับความคิดรวบยอด ลักษณะของคณิตศาสตร์จะเป็น

การศึกษาและรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ทีค่ ดิ ว่าเป็นจริงและถกู ต้องหลาย ๆ ส่ิง มาสรปุ เพื่อใหเ้ หน็ ว่าสิ่งตา่ ง ๆ จะสง่ ผล
หรือได้ผลอย่างไรจึงจะเหมาะสม และถูกต้องตามกระบวนการแห่งความคิดนั้น คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มี
โครงสร้าง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของการสรุปรวบรวมส่ิงต่างๆ มาอย่างเป็นขั้นตอน
เป็นลำดับเหตุการณ์ของส่ิงต่าง ๆ ท่ีเกิดข้ึนว่าสิ่งใดเกิดขึ้นจะส่งผลตามมาเช่นไรสิ่งต่างๆนั้นจะอยู่ในระบบ
ท่ีต่อเน่ืองลักษณะของการศึกษาส่วนนั้น ๆ จะมีโครงสร้างการศึกษาท่ีแน่นอน โดยศึกษาจากส่งิ ที่เป็นจริงไปสู่
ส่งิ ท่ีเกิดขน้ึ ใหม่อยา่ งเปน็ ขั้นตอนทตี่ ่อเนื่องและคณิตศาสตร์จะสามารถกำหนดขอบเขตของสง่ิ ต่าง ๆ ที่จะศกึ ษา
เพ่ือให้เกิดความถูกต้องและเป็นจริงมากที่สุด อีกท้ังเพ่ือประโยชน์ของการอ้างอิงส่ิงใหม่ ๆ นอกจากนั้นแล้ว
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ใช้สัญลักษณ์ อีกท้ังคณิตศาสตร์ยังเป็นพื้นฐานของการนำไปใช้ประโยชน์ต่อวิทยาการ
ในสาขาอ่ืน ๆ เพราะว่าคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ท่ีเอื้ออำนวยต่อการหาเหตุผลการดำเนินงานท่ีเป็นขั้นตอน
คณิตศาสตร์มีความกะทัดรัดในตัวเองทุก ๆ ด้านไม่ว่าจะเป็นการใช้เหตุผล การสรุป และการตั้งสมมุติฐาน
ต่าง ๆ เพ่ือศึกษาค้นคว้าวิจยั เพราะคณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีว่าด้วยสัญลกั ษณ์ในการแทนสิ่งต่างๆ ที่เป็นรูปธรรม
ทำใหเ้ กิดความสะดวกใช้ได้ง่ายเพราะสัญลักษณ์เปน็ การย่อสงิ่ ยาวให้กะทดั รัด (ณรงค์ พลอยดนยั , 2550)

วิชาคณติ ศาสตร์จงึ มีบทบาทสำคญั ต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษยม์ คี วามคดิ สร้างสรรค์
คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน
รอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาและนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องและ
เหมาะสม นอกจากน้ีคณิตศาสตร์ ยังเป็นเครื่องมอื ในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์
อื่น ๆ คณิตศาสตร์จงึ มีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพฒั นาคุณภาพชีวติ ให้ดีขึน้ สามารถอย่รู ่วมกับคนอื่น
ได้อย่างมีความสุข หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กำหนดไว้ในมาตรฐานในสาระ
ที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical
model) อื่น ๆ แทนสถานการณ์ตา่ ง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนำไปใช้แก้ปัญหา (กระทรวงศึกษาธิการ,
2551) ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มีหลากหลาย เช่น สมการ อสมการ กราฟ รูปเรขาคณิต ข่ายงาน แผนภาพ
ต้นไม้ เป็นต้น การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์กับกระบวนการแก้ปัญหาต่างมีเป้าหมายเดียวกันคือ เพ่ือหา
คำตอบใหส้ ถานการณ์ปญั หาน้นั ๆ แตล่ ักษณะสถานการณแ์ ละกระบวนการมขี อ้ แตกตา่ งกันออกไป

ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ทางคณะผู้จัดทำได้มีโอกาสเรียน เรื่อง ทฤษฎีจำนวนเบ้ืองต้น
มีโจทย์ปัญหาการหาเศษจากการหาร (87164)9 ด้วย 8 วิธีการหาเศษตามนิยามคือแปลงให้เป็นเลขฐานสิบ
ซึ่งได้ (87164)9 เป็นเลขฐานสิบเท่ากับ 57,730 แล้วหารด้วย 8 ได้คำตอบ คือ 7,216 เหลือเศษ 2 วิธีการน้ี
ใช้เวลาในการคำนวณค่อนข้างนาน และเลขค่อนข้างเยอะ คณะผู้จัดทำจึงสนใจค้นหาวิธีการคำนวณ
ท่ีเหมาะสมเพื่อหาเศษจากการหาร โดยใช้ความรู้เรื่องมอดูลาร์ (modular) ซ่ึงเป็นเน้ือหาท่ีเกี่ยวข้องกับ
ทฤษฎีบทเศษเหลือมาเช่ือมโยงกับความรู้เรื่องเลขฐาน แล้วสร้างเป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการหาเศษ
จากการหาร จากน้ันนำตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ท่ีได้ไปเขยี นโปรแกรมภาษา C ในวิชาคอมพวิ เตอร์ เพื่อหาเศษ
จากการหารไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว

2

จดุ ประสงคก์ ารศึกษา
1. เพอ่ื ศกึ ษาการลงรอยกันจากการหารเลขในระบบเลขฐานตา่ ง ๆ ดว้ ยจำนวนท่แี ตกต่างกนั
2. เพ่ือหาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ซ่ึงนำมาใช้ได้

สำหรับทกุ ระบบเลขฐาน

ขอบเขตของการศึกษา
1. ศกึ ษาเศษจากการหารค่าประจำหลกั ที่ 1 ถึงหลกั ที่ 5 ของเลขฐาน 2 – 15

2. ศกึ ษาการลงรอยกนั ของตัวหารที่มีเศษจากการหารเปน็ 1

เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่เกยี่ วข้อง
1. การหารลงตัว

2. เลขคณติ มอดลู าร์
3. ทฤษฎีบททวินาม

4. การแปลงเลขฐาน b เป็นเลขฐานสิบ
5. ความสัมพันธ์ของระบบเลขฐานกับระบบคอมพิวเตอร์
6. ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์

สถานที่ในการทำโครงงาน
ห้องกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นเมอื งพลพิทยาคม อำเภอพล จงั หวดั ขอนแก่น

นยิ ามศัพท์เฉพาะ

1. r mod b หมายถงึ r เปน็ เศษทีไ่ ด้จากการหารด้วย b

2.  หมายถึง การลงรอยกนั (Congruence)
3. (an an-1 an-2 … a0)b = (anbn) + (an-1bn-1) + (an-2bn-2) + ... + (a1b1) + (a0b0)

เม่อื a, b, nN
n0an + n1an-1b n nnbn
4. (a + b)n =  + ... +  r  an-rbr + ... + 
 

ประโยชนท์ ี่คาดว่าจะได้รับ
1. ได้ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ซ่ึงนำมาใช้ได้สำหรับ

ทกุ ระบบเลขฐาน
2. ได้โปรแกรมภาษา C เพื่อหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ไดอ้ ย่างรวดเรว็

3

บทท่ี 2
เอกสารท่เี ก่ยี วขอ้ ง

โครงงานคณิตศาสตร์ การลงรอยกันบนระบบเลขฐานสู่ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (The Congruence
on the number system into mathematical model) มีจุดประสงค์ คือ 1) เพ่ือศึกษาการลงรอยกัน

จากการหารเลขในระบบเลขฐานต่าง ๆ ด้วยจำนวนท่แี ตกต่างกัน 2) เพอ่ื หาตวั แบบเชิงคณิตศาสตรข์ องการหา
เศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ ซึ่งนำมาใช้ได้สำหรับทุกระบบเลขฐาน เพ่ือให้บรรลุวัตถุประสงค์

คณะผู้จดั ทำไดศ้ กึ ษาเอกสารทเี่ ก่ยี วขอ้ ง ดังต่อไปน้ี
1. การหารลงตวั
2. เลขคณิตมอดูลาร์

3. ทฤษฎบี ททวนิ าม
4. การแปลงเลขฐาน b เปน็ เลขฐานสิบ

5. ความสัมพนั ธข์ องระบบเลขฐานกบั ระบบคอมพวิ เตอร์
6. ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์

การหารลงตัว (Exact Division)

บทนิยาม สำหรับทกุ ๆ a, b เปน็ จำนวนเต็ม ซง่ึ a  0 เรากล่าวว่า a เปน็ ตัวหารท่ีลงตวั (division
หรือ factor) ของ b ก็ต่อเม่ือมีจำนวนเต็ม c ซง่ึ มคี ุณสมบตั ิคอื b = ac ในกรณที ี่ a เป็นตัวหารท่ลี งตัวหรือ
แฟกเตอร์ (factor) ของ b เราอาจกล่าวได้อกี อยา่ งหนึ่งวา่

a หาร b ได้ลงตัว
b หารด้วย a ไดล้ งตวั
b เปน็ พหุคูณของ a
สญั ลกั ษณท์ ่ีใชเ้ ขียนแทน“ a เปน็ ตัวหารทล่ี งตวั ของ b ” เรานิยมเขยี นแทนดว้ ย a | b และในกรณีที่
a ไม่เป็นตัวหารทีล่ งตวั ของ b เราเขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ a | b จะสังเกตว่าจากนิยามตวั หารท่ีลงตวั จะตอ้ ง
ไมเ่ ทา่ กบั 0 เสมอดงั ตวั อย่างถ้าเราเขียนว่า a | b เป็นท่ีเข้าใจกันว่า a 0 และจำนวนเตม็ a เป็นตัวหาร

ท่ลี งตัวของจำนวนเต็ม b
ทฤษฎีบท ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้
1. ถา้ a |b และ a |c แล้ว a |(b + c)
2. ถ้า a |b แลว้ a | bc สำหรบั จำนวนเตม็ ใดๆ
3. ถ้า a |b และ b |c แล้ว a |c

เลขคณิตมอดูลาร์ (Modular Arithmetic)

นิยาม ให้ a เปน็ จำนวนเต็มและ m เปน็ จำนวนเต็มบวก เราสามารถเขียน a mod m แทนเศษ

ทเี่ หลอื จากการหาร a ด้วย m จากนิยามของเศษทเ่ี หลือจากการหารคอื a mod m ซ่งึ กค็ ือจำนวนเตม็ r ซึ่ง

มีคุณสมบัติว่า a = qm + r และ 0  r  m

ตัวอยา่ ง เราพบว่า 17 mod 5 = 2

-133 mod 9 = 2

2001 mod 101 = 8

นยิ าม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มและ m เปน็ จำนวนเตม็ บวกเรากลา่ ววา่ a คอนกรเู อนซ์ b

มอดูโล m ถา้ m หาร a – b ลงตวั เราเขยี นสัญลักษณ์ a  b (mod m) แทน a คอนกรเู อนซ์ b (mod m)

4

หมายเหตุ

1. a  b (mod m) ก็ตอ่ เม่ือ m |a – b และ

2. สัญลกั ษณ์ท่ีใช้แทน congruent modulo คือ a  b (mod m) ผู้ท่ีกำหนดคือ
นักคณิตศาสตรช์ าวเยอรมนั ชอื่ Karl Freidrich Gauss

ทฤษฎบี ท 1 กำหนดให้ a, b, m เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ และ m  0 แลว้ a  b (mod m)
กต็ อ่ เม่ือ a mod m = b mod m

ทฤษฎบี ท 2 กำหนดให้ a, b, c, d, m เป็นจำนวนเต็มใด ๆ โดยที่ m 0

a  b (mod m) และ c  d (mod m) แลว้

1. a + c  b + c (mod m)

2. ac  bd (mod m)

ทฤษฎีบททวนิ าม

ถ้า a, b เปน็ จำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แลว้
 n0  an n nr an-rbr nnbn
(a + b)n = +  1  an-1b + ... + + ... +

n n a n-rbr ,n 1
 
(a + b)n =  r 

หรอื r=0

จากทฤษฎีบท จำนวน  n0, n1,  n2, ...,  nr , ..., n ท่เี ปน็ สัมประสิทธ์ขิ องแต่ละพจน์ในการกระจาย
   n

(a + b)n เรียกว่า สมั ประสิทธิ์ทวินาม

ตวั อย่าง จงกระจาย(a + b)4 และ (a + b)5 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

(a + b)4 = a4 + a b 4  3 + 4a b 2 2 + ab4  3 + b4
1 2 3

(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5+  15  a4b+  5  a3b2+  53  a2b3+ 54 ab4+ b5
2

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b

การแปลงเลขฐาน b เป็นเลขฐานสบิ
การแปลงเลขฐาน b เป็นเลขฐานสิบ มวี ิธีคอื การกระจายคา่ ประจำหลัก จากนั้นนำมาบวกรวมกนั

อีกคร้งั ผลลัพธ์ทีไ่ ด้จะเทา่ กบั ค่าในเลขฐานสิบ ดงั น้ี
(an an-1 an-2 … a0)b = (anbn) + (an-1bn-1) + (an-2bn-2) + ... + (a1b1) + (a0b0)

เมือ่ a, b, nN

5

ตัวอย่าง (10111)2 มคี ่าเท่ากับเทา่ ไรในระบบเลขฐานสิบ

(10111)2 = (1  24) + (0  23) + (1  22) + (1  21) + (1  20)

= 16 + 0 + 4 + 2 + 1

(10111)2 = 23

ตัวอยา่ ง (5307)8 มีคา่ เท่ากับเท่าไรในระบบเลขฐานสบิ

(5307)8 = (5  83) + (3  82) + (0  81) + (7  80)

= 2,560 + 192 + 0 + 7

(5307)8 = 2,759

ความสมั พันธข์ องระบบเลขฐาน กับ ระบบคอมพิวเตอร์

ตัวเลขท่ีคนเราใช้ในชีวิตประจำวันคือเลขฐาน 10 ประกอบด้วยตัวเลขจำนวน 10 ตัว คือ เลข 0 ถึง
เลข 9 เหตุผลทีค่ นเราใชเ้ ลขฐาน 10 อาจเป็นเพราะว่ามนุษย์เรามีนิว้ มืออยู่ 10 นิ้ว จึงนำมาใชเ้ ปน็ เครื่องมือ
ช่วยในนับเลขหรือการคำนวณ แต่สำหรับการประมวลผลในคอมพิวเตอร์จะใช้ระบบเลขฐานสองท่ี
ประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ เลข 0 และเลข 1 เพราะภายในเครื่องคอมพิวเตอร์ประกอบด้วยวงจร
อเิ ล็กทรอนิกส์ ทม่ี ีหลกั การทำงานแบบดิจติ อล และใช้ระดับแรงดันไฟฟา้ 2 ระดบั คือ สวิตซ์เปดิ (on) กบั
สวิตซ์ปิด (off) โดยกำหนดให้สถานะของการ “เปิด” แทนด้วยเลข “0” และ “ปิด” แทนดว้ ยเลข “1” ซ่ึง
เลขฐานสองจำนวนหนง่ึ หลกั เราเรยี กวา่ “บติ ”

นอกจากนี้คอมพิวเตอร์ยังมกี ารใชง้ านตัวเลขฐานอื่น ๆ อีก คือ เลขฐานแปด ท่ีประกอบด้วยตัวเลข
8 ตัว คือ 0 ถึง 7 และเลขฐานสิบหก ท่ีประกอบด้วยตัวเลข0 ถึง 9 และตัวอักษรอีก 6 ตัวคือ A, B, C,
D, E และ F ซึ่งมีคา่ เทา่ กบั เลข 10 ถงึ 15

1. เลขฐานสอง คือ ตัวเลขท่ีมีค่าไม่ซ้ำกันสองหลัก (0 และ 1) เป็นเลขฐานเดียวที่เข้ากันได้กับ
Hardware ของเครื่องคอมพิวเตอร์ได้โดยตรง เพราะการใช้เลขฐานอื่น จะสร้างความยุ่งยากให้กับเครื่อง
คอมพิวเตอรอ์ ยา่ งมาก เช่น เลขฐานสบิ มีตวั เลขท่ีเป็นสถานะท่ีตา่ งกันถึง 10 ตวั ในขณะท่รี ะบบไฟฟ้ามเี พยี ง 2
สถานะ ซ่ึงในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ มีเพียงสถานะเดียวเท่าน้ัน แต่ละหลักของเลขฐานสอง เรียกว่า Binary Digit
(BIT)

2. เลขฐานแปด มคี วามสัมพันธก์ ับเลขฐานสอง คอื เลขฐานสองจำนวน 3 หลัก แทนดว้ ยเลขฐานแปด
1 หลัก ดังนั้น เราจึงสามารถเขียนเลขฐานสอง 6 บิต แทนด้วยเลขฐานแปด 2 บิต การใช้เลขฐานแปดแทน
เลขฐานสองทำใหจ้ ำนวนบติ สัน้ ลง

3. เลขฐานสบิ คอื ตัวเลขที่มคี ่าไม่ซ้ำกันสิบหลัก คือ 0, 1, 2 …, 9 เป็นเลขฐานท่ีมนุษย์คุ้นเคยและใช้
ในชีวิตประจำวันมากที่สุด ตัวเลขท่ีมีจำนวนมากกว่า 9 ให้ใช้ 10 ซ่ึงเป็นการกลับไปใช้เลข 1 และ 0 อีก
เพียงแต่ค่าของ 1 เปลี่ยนไปเป็น 10 เท่าของตัวมันเอง เช่น 333 (สามร้อยสามสิบสาม) แม้จะใช้ตัวเลข 3
ทั้งหมด แต่ตำแหน่งของตัวเลขยอ่ มมคี วามหมายตามตำแหนง่ ของแตล่ ะหลักน้ัน กล่าวคือ หลักหน่วยนอ้ ยกว่า
หลักสบิ 10 เท่า หลักสิบนอ้ ยกว่าหลกั รอ้ ย 10 เท่า ตามลำดบั

4. เลขฐานสบิ หก มีความสมั พนั ธ์กบั เลขฐานสอง คอื เลขฐานสองจำนวน 4 หลัก แทนด้วยเลขฐานสิบ
หก 1 หลัก ดงั นั้นเราจึงสามารถเขียนเลขฐานสอง 8 บิต แทนด้วยเลขฐานสิบหก 2 บิต การใช้เลขฐานสิบหก
แทนเลขฐานสองทำให้จำนวนบิตสั้นลง

6

ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)
ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ หรือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Model) เป็นสื่อท่ีใช้

อธิบายสมมติฐานต่าง ๆ และผลท่ีปรากฏในสถานการณ์ หรือปรากฏการณ์ที่สนใจศึกษาในรูปแบบของ
คณิตศาสตร์ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มีหลากหลาย เช่น สมการ อสมการ กราฟ รูปเรขาคณิต ข่ายงาน
แผนภาพต้นไม้ เป็นต้น การสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์กับกระบวนการแก้ปัญหาต่างมีเป้าหมายเดียวกัน
คือ เพอ่ื หาคำตอบให้สถานการณ์ปญั หานัน้ ๆ แต่ลักษณะสถานการณแ์ ละกระบวนการมขี ้อแตกต่างกันออกไป
สง่ิ สำคัญที่บ่งชี้ว่าเราไดต้ ัวแบบเชิงคณิตศาสตรส์ ำหรบั สถานการณ์ปัญหาหน่ึงๆคอื ต้องได้มาจากกระบวนการ
สรา้ งแบบจำลองเชงิ คณิตศาสตร์ อันประกอบด้วย 5 ขัน้ ตอน

สถานการณ์ ทำความเขา้ ใจกบั ปัญหา ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์
วิเคราะหห์ าแบบรูป

บรรยาย แก้ปัญหาหาคำตอบ
หรืออธบิ าย โดยใช้ความร้หู รอื กระบวนการ

ทางคณติ ศาสตร์

คำตอบของปญั หา คำตอบเชงิ คณติ ศาสตร์
ในสถานการณ์
เปรยี บเทียบตรวจสอบกับข้อมลู จริง
แลว้ แปลความหมาย

บทท่ี 3
วธิ ีการดำเนนิ การ

โครงงานคณติ ศาสตร์ เร่ือง การลงรอยกันบนระบบเลขฐานสู่ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (The Congruence
on the number system into mathematical model) คณะผูจ้ ัดทำได้ดำเนินการ ตามข้นั ตอนต่อไปน้ี

1. กำหนดปฏทิ ินปฏบิ ัติงาน

2. การดำเนนิ งาน

กำหนดปฏิทนิ ปฏบิ ตั ิงาน

วัน/เดือน/ปี รายการการปฏบิ ตั ิงาน ผู้รบั ผดิ ชอบ
คณะทำงาน
15/01/60 1. ประชุมและแบ่งหน้าท่ี
20/01/60 2. เสนอบทคดั ยอ่ ตอ่ อาจารยท์ ี่ปรึกษาโครงงาน
27/01/60 3. คน้ หาขอ้ มลู จากแหลง่ ความรู้

02/02/60 หอ้ งสมุด,หนังสือ ,อินเตอร์เนต็
03/02/60 4. รวบรวมขอ้ มลู จากแหล่งความรู้
05/02/60
20/03/60 5. ตรวจสอบความถกู ตอ้ งของขอ้ มูล
6. จดั พิมพต์ ัวรา่ งโครงงาน
2/03/60 7. นำตัวรา่ งโครงงานเสนอตอ่ อาจารย์

12/04/60 ท่ีปรึกษาโครงงานเพอ่ื ตรวจสอบ
ความถูกตอ้ ง

8. ดำเนนิ การศึกษาการลงรอยกัน
จากการหารเลขในระบบเลขฐานตา่ ง ๆ
และหาตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์

9. ทำรูปเลม่ โครงงานส่งครูที่ปรกึ ษา

การดำเนนิ งาน
ตอนที่ 1

1. ศึกษาเน้ือหาเกย่ี วกบั การหารลงตัว และการลงรอยกนั

2. ศึกษาเน้ือหาเรื่องการแปลงเลขฐาน b เปน็ เลขฐานสบิ
3. จัดทำเปน็ ตารางแสดงคา่ ประจำหลักที่ 1 ถึงหลกั ที่ 5 ของเลขฐาน 2 ถึงเลขฐาน 15

4. หาเศษจากการหารค่าประจำหลกั ที่ 1 ถึงหลักที่ 5 ของเลขฐาน 2 – 15
5. พิจารณาการลงรอยกันของค่าประจำหลกั ของแต่ละฐานจากตาราง พรอ้ มท้ังสรุปความสมั พนั ธ์
ดังกลา่ วเปน็ ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (mathematical model)

ตอนที่ 2
1. จากตอนท่ี 1 ศกึ ษาการลงรอยกัน (congruence) ของตัวหารทมี่ เี ศษจากการหารเป็น 1

2. สรปุ การลงรอยกนั ดังกล่าวเปน็ ตวั แบบเชิงคณิตศาสตรข์ องการหาเศษจากการหารที่ใชไ้ ด้สำหรับ
ทกุ เลขฐาน

3. สรปุ ผลการศกึ ษา และจดั ทำรูปเล่มโครงงาน

บทที่ 4
ผลการดำเนนิ งาน

โครงงานคณติ ศาสตร์ การลงรอยกันบนระบบเลขฐานสู่ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ (The Congruence
on the number system into mathematical model) คณะผ้จู ดั ทำ ได้รายงานผลการดำเนินงาน

ตามลำดบั ดงั นี้
ตอนที่ 1 ผลการศกึ ษาเศษจากการหารค่าประจำหลกั ท่ี 1 ถึงหลักที่ 5 ของเลขฐาน 2 – 15

และพิจารณาการลงรอยกนั (congruence) เพ่ือสรุปเปน็ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model)

ของการหาเศษจากการหาร
ตอนท่ี 2 ผลการศึกษาการลงรอยกนั (congruence) ของตัวหารท่ีมเี ศษจากการหารเป็น 1 และ

หาตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ของการหาเศษจากการหารทใี่ ช้ได้สำหรบั ทกุ เลขฐาน

ตอนที่ 1 ผลการศกึ ษาเศษจากการหารคา่ ประจำหลักที่ 1 ถึงหลักท่ี 5 ของเลขฐาน 2 – 15
และพจิ ารณาการลงรอยกนั (congruence) เพอื่ สรปุ เปน็ ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (mathematical
model) ของการหาเศษจากการหาร

ตารางที่ 1 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารท่แี สดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 2

ฐาน 2 หลกั ท่ี 5 หลักที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลักที่ 1
ค่าประจำหลกั 2n … 24 23 22 21 20
คา่ ที่ได้ (a) 8 4 2 1
r โดยหาจาก … 16 0 0 0 1
a ≡ r mod 2 …0
0 0 0 0
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 1

ตารางที่ 2 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารท่ีแสดงความสัมพนั ธข์ องการลงรอยกันของระบบเลขฐาน 3

ฐาน 3 หลักที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลกั ท่ี 2 หลักท่ี 1
3n … 34 33 32 31 30
ค่าประจำหลกั 27 9 3 1
… 81 0 0 0 1
ค่าท่ไี ด้ (a) …0
1 1 1 1
r โดยหาจาก ... 1
a ≡ r mod 3 0 0 0 0
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 2
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

9
ตารางที่ 3 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารทแ่ี สดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 4

ฐาน 4 หลักที่ 5 หลกั ท่ี 4 หลักที่ 3 หลักที่ 2 หลกั ท่ี 1
4n … 44 43 42 41 40
ค่าประจำหลกั 64 16 4 1
… 256 0 0 0 1
ค่าท่ีได้ (a) …0
1 1 1 1
r โดยหาจาก ... 1
a ≡ r mod 4 0 0 0 1
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 3 0 0 0 0
…0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

ตารางที่ 4 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารที่แสดงความสัมพันธข์ องการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 5

ฐาน 5 หลกั ท่ี 5 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 2 หลักที่ 1
ค่าประจำหลกั 5n … 54 53 52 51 50
125 25 5 1
คา่ ท่ไี ด้ … 625 0 0 0 1
…0
r โดยหาจาก 1 1 1 1
a ≡ r mod 5 ... 1
2 1 2 1
r โดยหาจาก …1
a ≡ r mod 4 1 1 1 1
r โดยหาจาก ... 1
a ≡ r mod 3 0 0 0 0
…0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

10

ตารางที่ 5 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารที่แสดงความสมั พันธข์ องการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 6

ฐาน 6 หลักท่ี 5 หลักที่ 4 หลักท่ี 3 หลักที่ 2 หลักท่ี 1
6n … 64 63 62 61 60
คา่ ประจำหลัก … 1,296 216 36 6 1
0 0 0 1
คา่ ทีไ่ ด้ …0
1 1 1 1
r โดยหาจาก ... 1
a ≡ r mod 6 0 0 2 1
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 5 0 0 0 1
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 4 0 0 0 1
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 3 0 0 0 0
r โดยหาจาก …0
a ≡ r mod 2
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

ตารางที่ 6 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารทีแ่ สดงความสัมพนั ธข์ องการลงรอยกันของระบบเลขฐาน 7

ฐาน 7 หลักที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลกั ท่ี 2 หลักที่ 1
7n … 74 73 72 71 70
ค่าประจำหลัก 343 49 7 1
… 2,401 0 0 1
คา่ ท่ีได้ 0
…0 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 7 ... 1 1 4 2 1

r โดยหาจาก …1 3 1 3 1
a ≡ r mod 6
r โดยหาจาก …1 3 1 1 1
a ≡ r mod 5 1 1 1
... 1 1 0 0 0
r โดยหาจาก ... 1 1
a ≡ r mod 4 …0 0

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

11

ตารางท่ี 7 ค่าประจำหลักและเศษจากการหารทีแ่ สดงความสัมพนั ธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 8

ฐาน 8 หลกั ที่ 5 หลกั ท่ี 4 หลกั ท่ี 3 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 1
8n … 84 83 82 81 80
คา่ ประจำหลัก 512 64 8 1
… 4,096 0 0 1
ค่าทไ่ี ด้ 0
…0 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 8 ... 1 1 4 2 1

r โดยหาจาก …4 2 4 3 1
a ≡ r mod 7 …1 2
…0 0 0 0 1
r โดยหาจาก …1 2
a ≡ r mod 6 …0 0 1 2 1
r โดยหาจาก …0 0
a ≡ r mod 5 0 0 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4 0 0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

ตารางที่ 8 คา่ ประจำหลักและเศษจากการหารท่ีแสดงความสมั พนั ธข์ องการลงรอยกันของระบบเลขฐาน 9

ฐาน 9 หลักท่ี 5 หลกั ที่ 4 หลักท่ี 3 หลกั ที่ 2 หลกั ที่ 1
9n … 94 93 92 91 90
คา่ ประจำหลกั 729 81 9 1
… 6,561 0 0 1
ค่าทไี่ ด้ 0
…0 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 9 ... 1 1 4 2 1

r โดยหาจาก …2 1 3 3 1
a ≡ r mod 8
…3 3 1 4 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 7 …1 4 1 1 1

r โดยหาจาก ... 1 1
a ≡ r mod 6

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 5

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

12

ตารางท่ี 8 ค่าประจำหลักและเศษจากการหารที่แสดงความสมั พันธข์ องการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 9
(ต่อ)

ฐาน 9 หลักท่ี 5 หลักท่ี 4 หลักท่ี 3 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 1
…0 0 0 0 1
r โดยหาจาก ... 1 1 1 1 1
a ≡ r mod 3 …0 0 0 0 0

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

ตารางที่ 9 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารท่ีแสดงความสมั พันธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 10

ฐาน 10 หลกั ที่ 5 หลักท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลักที่ 1
10n … 104 103 102 101 100
คา่ ประจำหลัก 1,000 100 10 1
… 10,000 0 0 1
ค่าทไี่ ด้ 0
…0 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 10 ... 1 1 4 2 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 9 …0 0 2 3 1

r โดยหาจาก …4 6 4 4 1
a ≡ r mod 8
…4 4 0 0 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 7 …0 0 0 2 1

r โดยหาจาก …0 0 1 1 1
a ≡ r mod 6
... 1 1 0 0 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 5 …0 0 0 0 0

r โดยหาจาก …0 0
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

13
ตารางท่ี 10 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารท่ีแสดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 11

ฐาน 11 หลกั ที่ 5 หลกั ท่ี 4 หลักท่ี 3 หลกั ท่ี 2 หลักที่ 1
11n … 114 113 112 111 110
คา่ ประจำหลกั … 14,641 1,331 121 11 1
0 0 0 1
ค่าท่ไี ด้ …0
1 1 1 1
r โดยหาจาก ... 1
a ≡ r mod 11 8 4 2 1
…7
r โดยหาจาก 3 1 3 1
a ≡ r mod 10 …1
1 2 4 1
r โดยหาจาก …4
a ≡ r mod 9 5 1 5 1
…1
r โดยหาจาก 1 1 1 1
a ≡ r mod 8 ... 1
3 1 3 1
r โดยหาจาก …1
a ≡ r mod 7 2 1 2 1
…1
r โดยหาจาก 1 1 1 1
a ≡ r mod 6 ... 1
r โดยหาจาก 0 0 0 0
a ≡ r mod 5 …0

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

14
ตารางที่ 11 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารทแ่ี สดงความสัมพนั ธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 12

ฐาน 12 หลักท่ี 5 หลักท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลักที่ 2 หลกั ที่ 1
12n … 124 123 122 121 120
คา่ ประจำหลกั 1,728 144 12 1
… 20,736 0 0 1
ค่าทไ่ี ด้ 0
…0 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 12 ... 1 1 4 2 1

r โดยหาจาก …6 8 0 3 1
a ≡ r mod 11
…0 0 0 4 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 10 …0 0 4 5 1

r โดยหาจาก …2 6 0 0 1
a ≡ r mod 9
…0 0 4 2 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 8 …1 3 0 0 1

r โดยหาจาก …0 0 0 0 1
a ≡ r mod 7
r โดยหาจาก …0 0 0 0 1
a ≡ r mod 6
…0 0 0 0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 5 …0 0

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

15
ตารางที่ 12 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารท่ีแสดงความสัมพันธข์ องการลงรอยกันของระบบเลขฐาน 13

ฐาน 13 หลกั ที่ 5 หลักที่ 4 หลักท่ี 3 หลักท่ี 2 หลกั ที่ 1
13n … 134 133 132 131 130
ค่าประจำหลกั 2,197 169 13 1
… 28,561 0 0 1
คา่ ท่ไี ด้ 0 1 1 1
…0 4 2 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 13 …1 1 9 3 1
7 4 1
r โดยหาจาก …5 8 1 5 1
a ≡ r mod 12 1 6 1
…1 7 1 1 1
r โดยหาจาก 4 3 1
a ≡ r mod 11 …4 1 1 1 1
1 1 1
r โดยหาจาก …1 5 1 1 1
a ≡ r mod 10 0 0 0
…1 6
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 9 ... 1 1

r โดยหาจาก …1 2
a ≡ r mod 8
r โดยหาจาก ... 1 1
a ≡ r mod 7
... 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 6 ... 1 1

r โดยหาจาก …0 0
a ≡ r mod 5

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

16
ตารางที่ 13 คา่ ประจำหลกั และเศษจากการหารทแี่ สดงความสัมพันธ์ของการลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 14

ฐาน 14 หลักท่ี 5 หลักท่ี 4 หลักท่ี 3 หลักที่ 2 หลกั ที่ 1
14n … 144 143 142 141 140
คา่ ประจำหลัก 2,744 196 14 1
… 38,416 0 0 1
คา่ ที่ได้ 0 1 1 1
…0 4 2 1
r โดยหาจาก 9 3 1
a ≡ r mod 14 ... 1 1 6 4 1
7 5 1
r โดยหาจาก …4 8 4 6 1
a ≡ r mod 13 0 0 1
…4 5 4 2 1
r โดยหาจาก 1 4 1
a ≡ r mod 12 …6 4 0 2 1
1 2 1
r โดยหาจาก …4 8 0 0 1
a ≡ r mod 11 0 0 0
…0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 10 …0 0

r โดยหาจาก …4 2
a ≡ r mod 9
r โดยหาจาก …1 4
a ≡ r mod 8
…0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 7 …1 2

r โดยหาจาก …0 0
a ≡ r mod 6
…0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 5

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

17
ตารางที่ 14 ค่าประจำหลกั และเศษจากการหารที่แสดงความสมั พันธข์ องการลงรอยกันของระบบเลขฐาน 15

ฐาน 15 หลักท่ี 5 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลกั ที่ 2 หลกั ที่ 1
15n … 154 153 152 151 150
ค่าประจำหลกั 3,375 225 15 1
… 50,625 0 0 1
ค่าทีไ่ ด้ 0 1 1 1
…0 4 2 1
r โดยหาจาก 9 3 1
a ≡ r mod 15 ... 1 1 5 4 1
5 5 1
r โดยหาจาก …3 8 0 6 1
a ≡ r mod 14 1 7 1
…9 3 1 1 1
r โดยหาจาก 3 3 1
a ≡ r mod 13 …3 9 0 0 1
1 3 1
r โดยหาจาก …5 5 0 0 1
a ≡ r mod 12 1 1 1
…0 0 0 0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 11 …1 7

r โดยหาจาก ... 1 1
a ≡ r mod 10
r โดยหาจาก …3 3
a ≡ r mod 9
…0 0
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 8 …1 3

r โดยหาจาก …0 0
a ≡ r mod 7
... 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 6 …0 0

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 5

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 3

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 2

r โดยหาจาก
a ≡ r mod 1

จากตารางที่ 1 – 14 พบว่าเศษจากการหารเทา่ กับ 1 ในเลขฐาน 3 – 15 สรปุ ไดด้ ังน้ี 18

ฐาน 3 หลักที่ 5 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2
หลกั ที่ 1
ฐาน 4 หลกั ที่ 5 หลักท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลักที่ 2 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 3 หลกั ที่ 1
1
ฐาน 5 หลักที่ 5 หลักท่ี 4 หลกั ท่ี 3 หลักที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1 หลักท่ี 1
a ≡ r mod 4 1

ฐาน 6 หลักที่ 5 หลกั ท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลักที่ 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 5
หลักท่ี 1
ฐาน 7 หลักที่ 5 หลกั ท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลกั ที่ 2 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 6 หลักที่ 1
1
ฐาน 8 หลักที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1 หลักที่ 1
a ≡ r mod 7 1

ฐาน 9 หลักที่ 5 หลักท่ี 4 หลกั ท่ี 3 หลักที่ 2 หลักที่ 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 8
หลกั ที่ 1
ฐาน 10 หลักที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ที่ 2 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 9

ฐาน 11 หลกั ที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 10

ฐาน 12 หลักท่ี 5 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 11

19

ฐาน 13 หลักท่ี 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลักที่ 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 12

ฐาน 14 หลักท่ี 5 หลักที่ 4 หลักที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 13

ฐาน 15 หลักที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 14

การลงรอยกันของระบบเลขฐาน และตัวหาร ทมี่ ีเศษจากการหารเท่ากบั 1 มีดังน้ี
เลขฐาน 3 a  r mod 2
เลขฐาน 4 a  r mod 3
เลขฐาน 5 a  r mod 4
เลขฐาน 6 a  r mod 5
เลขฐาน 7 a  r mod 6
เลขฐาน 8 a  r mod 7
เลขฐาน 9 a  r mod 8
เลขฐาน 10 a  r mod 9
เลขฐาน 11 a  r mod 10
เลขฐาน 12 a  r mod 11
เลขฐาน 13 a  r mod 12
เลขฐาน 14 a  r mod 13
เลขฐาน 15 a  r mod 14





เลขฐาน b + 1 a  r mod b

จงึ ได้ความสัมพันธ์ของการลงรอยกันของระบบเลขฐาน b+1 ได้เปน็

(an an-1 an-2 … a0) b+1  r mod b ; r, b  N และ b  3

20

จาก (an an-1 an-2 … a0)b+1  r mod b พิจารณาเศษจากการหารเลขฐาน b + 1 ด้วยตัวหาร b ได้ดงั นี้
(anan−1an−2 a1a0 )

b+1

b

= an (b + 1)n + an − 1(b + 1)n − 1 + an − 2 (b + 1)n − 2 ++ a1(b + 1) + a0
b

= an  n (b )n10 +  n (b)n − 111 +  n bn − 212 +  +  n (b)n − n1n  +
0 1 2 n 


an  n- 1(b )n - 110 +  n- 1(b)n − 2 11 +  n- 1(b)n − 3 12 +  +  n - 11(b)(n - 1) - (n - 1) 1n - 1  +
0 1 2 n - 
- 1 

+ an(b +1) + a0

b

พจน์ท่มี ี b เป็นตวั ประกอบจะหารลงตวั
เศษเหลือจากการหารเลขฐาน b + 1 ด้วยตวั หาร b ได้จากการพจิ ารณาจาก

an  n (b)0 1n + an 1 n − 11b01n − 1 +  + an  n − n b0 1n − n
n n − n − n
− − n

an + an − 1 +  + a1 + a0 b
b
จะได้

ดังนั้น เศษเหลอื จากการหารพิจารณาจาก an + an − 1 +  + a1 + a0
b

เขยี นในรูปการลงรอยกนั ได้เป็น an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

จากความสัมพันธข์ องการลงรอยกนั สรปุ เปน็ ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (Mathematical model) ไดค้ ือ

(an an-1 an-2 … a0) b+1  r mod b r, b  N และ b  3
โดยท่ีเศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

21

ตัวอย่างการหาเศษจากการหารดว้ ยตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (Mathematical model)
จากการหารเลขฐาน b + 1 ดว้ ยตวั หาร b คอื

(an an-1 an-2 … a0) b+1  r mod b r, b  N และ b  3
โดยที่เศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาเศษจากการหาร (675423)8 ด้วย 7

1. หาดว้ ยวธิ ตี รงตามนยิ ามของเลขฐาน (675423)8 คือ
(6 x 85) + (7 x 84) + (5 x 83) + (4 x 82) + (2 x 8) + (3 x 80)
= 196,608 + 28,672 + 2,560 + 256 + 16 + 3
= 228,115

ดังน้นั การหาร (675423)8 ด้วย 7 ไดค้ ำตอบคือ 32,587 เหลอื เศษ 6
2. หาด้วยการแทนในตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)

(an an-1 an-2 … a0)b+1  r mod b
an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

(675423)8  r mod 7
(6+7+5+4+2+3)  r mod 7

27  r mod 7
27  6 mod 7
ดงั น้ัน เศษจากการหาร (277) เหลือเศษ r = 6

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาเศษจากการหาร (87164)9 ด้วย 8
1. หาดว้ ยวิธีตรงตามนิยามของเลขฐาน (87164)9 คอื

(8 94 ) + (7 93 ) + (1 92 ) + (6 91) + (4 90 ) = (8 6561) + (7 729) + (1 81) + (6 9) + 4
= 52,488 + 5,103 + 81 + 54 + 4
= 57,730

ดังน้ัน การหาร (87164)9 ด้วย 8 ได้คำตอบคือ 7,216 เหลอื เศษ 2
2. หาดว้ ยการแทนในตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)

(an an-1 an-2 … a0)b+1  r mod b

an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

(87164)9  r mod 8

(8+7+1+6+4)  r mod 8

26  r mod 8

26  2 mod 8

ดงั นน้ั เศษจากการหาร (268) เหลือเศษ r = 2

22

ตอนท่ี 2 ผลการศึกษาการลงรอยกัน (congruence) ของตัวหารทม่ี เี ศษจากการหารเปน็ 1 และ
หาตัวแบบเชิงคณติ ศาสตรข์ องการหาเศษจากการหารท่ใี ชไ้ ดส้ ำหรับทกุ เลขฐาน

จากผลการดำเนนิ การในตอนที่ 1 คณะผจู้ ัดทำได้ศกึ ษาการลงรอยกนั (congruence) ของตวั หารท่ีมี
เศษจากการหารเป็น 1 และหาตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารท่ีใชไ้ ดส้ ำหรบั ทุกเลขฐาน
ผลสรปุ การหารของตัวหารท่มี เี ศษเหลือจากการหารเทา่ กบั 1 ของระบบเลขฐานแต่ละฐาน ดงั ตารางท่ี 15

ตารางที่ 15 ผลสรปุ การหารของตวั หารท่มี ีเศษเหลือจากการหารเท่ากบั 1 ของระบบเลขฐานแต่ละฐาน

ฐาน ตวั หารท่นี ำไปหารแลว้ เหลอื เศษเทา่ กับ 1 คือ ( a 1 mod b )

32

43

5 24

65

7 23 6

87

9 24 8

10 3 9

11 2 5 10

12 11

13 234 6 12

14 13

15 2 7 14

คณะผูจ้ ัดทำ นำผลสรุปการหารของตัวหารท่ีมีเศษเหลือจากการหารเท่ากับ 1 ของระบบเลขฐาน
แตล่ ะฐาน มาพจิ ารณาความสมั พันธเ์ พ่ือหาตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารเลขในระบบฐาน
ต่างๆ ซึ่งใชไ้ ดส้ ำหรับทกุ เลขฐาน ไดด้ ังนี้

2.1 การหารด้วย 2 พบเศษเหลอื เท่ากบั 1 ดงั นี้ 23

ฐาน 3 หลกั ที่ 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลกั ท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2
หลักท่ี 3 หลักที่ 2 หลกั ท่ี 1
ฐาน 5 หลกั ที่ 5 หลกั ที่ 4 1 1 1
r โดยหาจาก …1 1
a ≡ r mod 2

ฐาน 7 หลกั ท่ี 5 หลกั ท่ี 4 หลักที่ 3 หลกั ท่ี 2 หลกั ท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2

ฐาน 9 หลักที่ 5 หลักที่ 4 หลกั ที่ 3 หลักท่ี 2 หลกั ท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2

ฐาน 11 หลกั ที่ 5 หลักท่ี 4 หลักที่ 3 หลักท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2

ฐาน 13 หลักที่ 5 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 2 หลักที่ 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2

ฐาน 15 หลกั ที่ 5 หลักที่ 4 หลักท่ี 3 หลักที่ 2 หลกั ที่ 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 2

การหารด้วย 2 พบเศษเหลือเทา่ กบั 1 ในฐาน 3, 5, 7, 9, 11 , 13 ,15 มีความสมั พนั ธ์ในรปู 2n+1
ได้การลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 2n+1 จากการหารด้วย 2 เปน็

(an an-1 an-2 … a0) 2n+1  r mod 2 ; r, nN

2.2 การหารดว้ ย 3 พบเศษเหลือเท่ากบั 1 ดงั น้ี 24

ฐาน 4 หลกั ที่ 5 หลักที่ 4 หลักท่ี 3 หลกั ท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 3
หลกั ที่ 1
ฐาน 7 หลกั ท่ี 5 หลกั ที่ 4 หลักที่ 3 หลักที่ 2 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 3 หลกั ท่ี 1
1
ฐาน 10 หลักที่ 5 หลักที่ 4 หลักท่ี 3 หลกั ที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1 หลกั ที่ 1
a ≡ r mod 3 1

ฐาน 13 หลักที่ 5 หลักท่ี 4 หลกั ที่ 3 หลักท่ี 2 หลกั ท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 3
หลกั ท่ี 1
การหารดว้ ย 3 พบเศษเหลือเท่ากับ 1 ในฐาน 4, 7, 10, 13 มีความสัมพนั ธ์ในรูป 3n+1 1
ได้การลงรอยกันของระบบเลขฐาน 3n+1 จากการหารด้วย 3 เป็น
หลักที่ 1
( an an-1 an-2 … a0) 3n+1  r mod 3 ; r, nN 1

2.3 การหารดว้ ย 4 พบเศษเหลอื เท่ากบั 1 ดังนี้

ฐาน 5 หลกั ท่ี 5 หลักที่ 4 หลกั ที่ 3 หลกั ที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 4

ฐาน 9 หลกั ท่ี 5 หลกั ที่ 4 หลกั ที่ 3 หลักที่ 2
r โดยหาจาก …1 1 1 1
a ≡ r mod 4
หลกั ท่ี 5 หลักที่ 4 หลกั ท่ี 3 หลักท่ี 2
ฐาน 13 …1 1 1 1
r โดยหาจาก
a ≡ r mod 4

การหารดว้ ย 4 พบเศษเหลือเท่ากับ 1 ในฐาน 5, 9, 13 มคี วามสัมพนั ธ์ในรปู 4n+1
ได้การลงรอยกนั ของระบบเลขฐาน 4n+1 จากการหารดว้ ย 4 เป็น

( an an-1 an-2 … a0) 4n+1  r mod 4 ; r, nN

2.4 การหารดว้ ย 5 พบเศษเหลือเท่ากบั 1 ดังน้ี 25

ฐาน 6 หลกั ที่ 5 หลักที่ 4 หลักที่ 3 หลักท่ี 2 หลักท่ี 1
r โดยหาจาก …1 1 1 1 1
a ≡ r mod 5
หลกั ท่ี 3 หลักที่ 2 หลักที่ 1
ฐาน 11 หลักที่ 5 หลักที่ 4 1 1 1
r โดยหาจาก …1 1
a ≡ r mod 5

การหารดว้ ย 5 พบเศษเหลือเท่ากบั 1 ในฐาน 6, 11, 16 มคี วามสมั พันธ์ในรูป 5n+1
ได้การลงรอยกันของระบบเลขฐาน 5n+1 จากการหารดว้ ย 5 เปน็

( an an-1 an-2 … a0) 5n+1  r mod 5 ; r, nN

สรุปการลงรอยกัน ได้ดงั น้ี

หารดว้ ย เศษเหลือ 1 ในฐาน ความสัมพนั ธ์ของฐาน การลงรอยกนั
3, 5, 7, 9 ,11
2 4, 7, 10, 13, 16 2n + 1 ( an an-1 an-2 … a0) 2n+1  r mod 2
5, 9, 13, 17, 21
3 3n + 1 ( an an-1 an-2 … a0) 3n+1  r mod 3
6, 11, 16, 21, 26
4 4n + 1 ( an an-1 an-2 … a0) 4n+1  r mod 4

5 5n + 1 ( an an-1 an-2 … a0) 5n+1  r mod 5

  
  
  

k kn + 1 ( an an-1 an-2 … a0) kn+1  r mod k

26

จาก ( an an-1 an-2 … a0) kn+1  r mod k

พจิ ารณาเศษจากการหารเลขฐาน (anan-1an-2…a0)kn + 1 ด้วยตวั หาร k ไดด้ งั น้ี
(anan−1an−2 a1a0 )kn + 1

k

= an (kn + 1)n + an − 1(kn + 1)n − 1 + an − 2 (kn + 1)n − 2 ++ a1(kn + 1) + a0
k

= an  n (kn)n10 +  n (kn)n − 111 +  n (kn)n − 2 12 +  +  n (kn)n − n1n  +
0 1 2 n 


an - 1  n- 1(kn)n - 110 +  n- 1(kn)n − 2 11 +  n 2- 1(kn)n − 3 12 + +  n - 11(kn)(n - 1) - (n - 1) 1n - 1 +
0 1 n - 


+ an (kn +1) + a0

k

พจน์ท่ีมี k เปน็ ตวั ประกอบจะหารลงตัว

เศษเหลอื จากการหารเลขฐาน (anan-1an-2…a0)kn + 1 ไดจ้ ากการพิจารณา

an  n (kn)0 1n + an  n − 11(kn)0 1n − 1 +  + an  n − n (kn)01n − n
n n − n − n
− 1 − n

k

จะได้ an1n + an − 11n − 1 ++ an − n1n − n
k
an + an − 1 ++ an - n
ดงั นัน้ เศษเหลือจากการหารพิจารณาจาก
k

เขยี นในรปู การลงรอยกันไดเ้ ปน็ an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k
จากความสมั พันธ์ของการลงรอยกันสรปุ เป็นตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ (Mathematical model) ไดค้ อื

( an an-1 an-2 … a0) kn+1  r mod k โดยท่ี r, n, k  N
โดยทีเ่ ศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k

27

ตัวอย่างการหาเศษจากการหารดว้ ยตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (Mathematical model)
จากการหารเลขฐาน (anan-1an-2…a0) kn + 1 ดว้ ยตวั หาร k คือ

( an an-1 an-2 … a0) kn+1  r mod k โดยที่ r, n, k  N
โดยทเ่ี ศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k

ตวั อย่าง 1 จงหาเศษจากการหาร (12112)3 ดว้ ย 2 ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์

การกระจายเปน็ ฐานสิบ (12112)3  r mod 2
(12112)3 = (1 x 34) + (2 x 33) + (1 x 32) + (1 x 31) + (1 x 30)
1+2+1+1+2  r mod 2
= 81 + 54 + 9 + 3 + 2 7  r mod 2
= 149
149 2 เศษ r = 1 ดังนั้น r = 1

ตัวอย่าง 2 จงหาเศษเหลือจากการหาร (54323)7 ดว้ ย 3 ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์

การกระจายเป็นฐานสิบ (54323)7  r mod 3
(54323)7 = (5 x 74) + (4 x 73) + (3 x 72) + (2 x 71) + (3 x 70) 5+4+3+2+3  r mod 3

= 12,005 + 1,372 + 147 + 14 + 3 17  r mod 3
= 13,541 เศษ r = 2
13541  3 เศษ r = 2

ตวั อยา่ ง 3 จงหาเศษเหลอื จากการหาร (45792)17 ด้วย 4 ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์

การกระจายเปน็ ฐานสบิ (45792)17  r mod 4
(45792)17 = (4×174) + (5×173) + (7×172) + (9×17) + (2×170) 4+5+7+9+2  r mod 4

= 334,084 + 24,565 + 2,023 + 153 + 2 27  r mod 4
= 360,827 ดังน้ัน r = 3
360,827 4 เศษ r = 3

ตัวอยา่ ง 4 จงหาเศษเหลือจากการหาร (634578)11 หารด้วย 5 ตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์

การกระจายเปน็ ฐานสบิ (634578)11  r mod 5
6+3+4+5+7+8  r mod 5
(634578)11
= (6×115) + (3×114) + (4×113) + (5×112) + (7×11) + (8×110) 33  r mod 5
= 966,306 + 43,923 + 5,324 + 605 + 77 + 8 ดังน้ัน r = 3
= 1,016,243
1,016,243  5 เศษ r = 3

บทที่ 5
สรุปผล อภิปรายผลและขอ้ เสนอแนะ

สรุปผล
1. ผลการศกึ ษาเศษจากการหารคา่ ประจำหลักท่ี 1 ถึงหลักท่ี 5 ของเลขฐาน 2 – 15

และพิจารณาการลงรอยกนั (Congruence) เพือ่ สรุปเปน็ ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ (mathematical model)
ของการหาเศษจากการหาร

ได้ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (Mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร คือ
(an an-1 an-2 … a0)b+1  r mod b โดยท่ี r, b N และ b  3

โดยที่เศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

2. ผลการศึกษาการลงรอยกนั (Congruence) ของตวั หารทีม่ ีเศษจากการหารเปน็ 1 และ
หาตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ของการหาเศษจากการหารท่ใี ช้ได้สำหรับทุกเลขฐาน คือ

ได้ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (Mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร คอื
(an an-1 an-2 … a0) kn + 1  r mod k โดยที่ r, n, k  N
โดยที่เศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k

อภปิ รายผล
1. จากตารางผลการหาเศษจากการหารเลขฐาน 2 – 15 โดยแสดงคา่ ประจำหลักที่ 1 ถงึ หลกั ที่ 5

และพิจารณาความสัมพันธ์ของการลงรอยกันสรปุ เป็นตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (mathematical model) พบว่า
-ระบบเลขฐาน 3 มตี วั หารท่ีนำไปหารระบบนแ้ี ลว้ ได้เศษหนง่ึ คือ 2
-ระบบเลขฐาน 4 มตี วั หารที่นำไปหารระบบนีแ้ ลว้ ไดเ้ ศษหน่งึ คือ 3
-ระบบเลขฐาน 5 มตี ัวหารทนี่ ำไปหารระบบนี้แล้วไดเ้ ศษหนึ่ง คือ 2, 4
-ระบบเลขฐาน 6 มตี ัวหารทน่ี ำไปหารระบบนแี้ ล้วไดเ้ ศษหน่งึ คอื 5
-ระบบเลขฐาน 7 มตี วั หารทน่ี ำไปหารระบบนแ้ี ล้วไดเ้ ศษหนงึ่ คือ 2, 3, 6
-ระบบเลขฐาน 8 มตี วั หารทีน่ ำไปหารระบบนแ้ี ล้วได้เศษหนง่ึ คือ 7
-ระบบเลขฐาน 9 มีตัวหารท่นี ำไปหารระบบนแี้ ล้วไดเ้ ศษหนึ่ง คอื 2, 4 ,8
-ระบบเลขฐาน 10 มตี วั หารที่นำไปหารระบบนแี้ ล้วได้เศษหนึ่ง คือ 3,9
-ระบบเลขฐาน 11 มตี ัวหารทน่ี ำไปหารระบบนแ้ี ล้วได้เศษหนง่ึ คือ 2, 5, 10
-ระบบเลขฐาน 12 มีตัวหารท่นี ำไปหารระบบนแ้ี ลว้ ไดเ้ ศษหนึ่ง คอื 11
-ระบบเลขฐาน 13 มีตวั หารทีน่ ำไปหารระบบนแ้ี ลว้ ไดเ้ ศษหนงึ่ คอื 2, 3, 4, 6, 12
-ระบบเลขฐาน 14 มตี ัวหารท่นี ำไปหารระบบนี้แลว้ ได้เศษหนงึ่ คือ 13
-ระบบเลขฐาน 15 มีตวั หารท่นี ำไปหารระบบนี้แลว้ ได้เศษหนึ่ง คอื 2, 7, 14

ขอ้ เสนอแนะ
1. ศึกษาเลขฐานทีม่ ากข้นึ กว่าเดิมแลว้ สงั เกตการเรียงลำดบั อนุกรมของตัวเลขท่ีน่าสนใจ
2. นำความร้เู ร่อื งนี้มาสรา้ งโปรแกรมภาษา C ทีส่ ามารถหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานต่าง ๆ

ไดอ้ ย่างรวดเร็ว

บรรณานกุ รม

มูลนิธิ อสวน. (2547). ทฤษฎีจำนวน.พิมพค์ ร้งั ที่ 1. กทม. : บริษัทดา่ นสุทธาการพมิ พ์ จำกดั
วิจารณ์ พานชิ .(2555). วิถีสร้างการเรียนรู้เพ่อื ศิษย์ในศตวรรษที่ 21. พมิ พค์ รั้งท่ี 1. กทม. : โรงพิมพ์ บรษิ ัท

ตถาตาพับลิเคช่ัน จำกัด
ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนงั สือเรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์

เลม่ 1 ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6 กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตรต์ ามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช2551. พิมพ์ครง้ั ที่3. กทม. : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพร้าว
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). คู่มอื ครูวชิ าคณิตศาสตร์ รายวิชา คณิตศาสตร์
เพ่ิมเติม ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย หลกั สูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2521
(ฉบบั ปรบั ปรงุ ). พิมพค์ รั้งที่ 2. กทม. : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพรา้ ว
ระบบเลขฐาน. วิธสี ืบคน้ วสั ดุสารสนเทศ.[ออนไลน์].เขา้ ถึงได้จาก:http://damdee-
//anc.blogspot.com/p/blog-page_5425.html.(วันทคี่ ้นขอ้ มูล : 15 มกราคม 2560).
ทฤษฎบี ท modula.วธิ สี ืบค้นวัสดุสารสนเทศ.[ออนไลน์].เข้าถึงได้จาก:http : //203.172
//ftp/internet/mc41/curriculum/decimal01.htm.(วันทคี่ น้ ขอ้ มลู : 15 มกราคม 2560 ).

ภาคผนวก

31

ตารางท่ี 16 เปรียบเทียบการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์
(anan-1an-2…a0)b+1  r mod b

1) ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)b+1  r mod b ; r, b  N และ b  3

หาเศษได้จาก an+an-1+an-2+…+a0  r mod b
ขอ้ ท่ี การกระจายเป็นฐานสิบ ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์

1) (12212)3 ดว้ ย 2 (12212)3 (12212)3  r mod (3-1)
= (1x34)+(2x33)+(2x32)+(1x3)+(2x30)
= 81 + 54 + 9 + 6 + 2 1+2+2+1+2  r mod 2
= 152
8  r mod 2
152 2 เศษ r = 0 ดงั น้ัน r = 0

2)(132131)4 ดว้ ย 3 (132131)4 = (132131)4  r mod (4-1)
(1x45)+(3x44)+(2x43)+(1x42)+(3x4)+(1x40)
1+3+2+1+3+1  r mod 3
= 1,024 + 768 + 128 + 16 + 12 + 1
= 1,949 11  r mod 3
ดังนั้น r = 2
1,949  3 เศษ r = 2

3) (342102)5ดว้ ย4 (342102)5= (342102)5  r mod (5-1)
(3x55)+(4x54)+(2x53)+(1x52)+(0x5)+(2x50)
3+4+2+1+0+2  r mod 4
= 9,375 + 2,500 + 250 + 25 + 0 + 2
= 12,151 4  r mod 4
ดังนั้น r = 0
12,1514 เศษ r = 0

4) (543242)6 ด้วย 5 (543242)6 = (543242)6 r mod (6-1)
(5x65)+(4x64)+(3x63)+(2x62)+(4x6)+(2x60)
5+4+3+2+4+2  r mod 5
= 38,880+ 5,184 + 648 + 72 + 24 + 2
= 44,810 20  r mod 5
ดังน้ัน r = 0
44,810  5 เศษ r = 0

5) (6312541)7 ด้วย 6 (6312541)7 = (6312541)7  r mod (7-1)
(6x76)+(3x75)+(1x74)+(2x73)+(5x72)+(4x7)+
(1x60) 6+3+1+2+5+4+1  r mod 6
= 705,894 + 50,421 + 2,401 +686 +245
+ 28 + 1 22  r mod 6
ดงั นั้น r = 4
= 759,676

759,676 6 เศษ r = 4

32

ตารางที่ 16 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลือระหว่างการกระจายเปน็ ฐานสิบและตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)b+1  r mod b (ตอ่ )

1) ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์(anan-1an-2…a0)b+1  r mod b ; r, b  N และ b  3

หาเศษได้จาก an+an-1+an-2+…+a0  r mod b ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์
ข้อที่ การกระจายเป็นฐานสบิ

6) (675423)8 ด้วย 7 (675423)8 = (675423)8  r mod (8-1)
(6x85)+(7x84)+(5x83)+(4x82)+(2x8)+(3x80)
6+7+5+4+2+3  r mod 7
= 196,608 + 28,672 +2,560 + 256 + 16 + 3
= 228,115 27  r mod 7
ดงั นั้น r = 6
228,115 7 เศษ r = 6

7) (786523)9 ดว้ ย 8 (786523)9 = (786523)9  r mod (9-1)
(7x95)+(8x94)+(6x93)+(5x92)+(2x9)+(3x90)
7+8+6+5+2+3  r mod 8
= 413,343 + 52,488 + 4,374 + 405 + 18 + 3
= 470,631 31  r mod 8
ดังนั้น r = 7
470,631  8 เศษ r = 7

8) 97,652 ด้วย 9 97,652  9 เศษ r = 2 97652 r mod (10-1)

9+7+6+5+2  r mod 9

29  r mod 9
ดงั นั้น r = 2

9) (867541)11 (867541)11 = (867541)11  r mod (11-1)
ดว้ ย 10
(8x115)+(6x114)+(7x113)+(5x112)+(4x11)+ 8+6+7+5+4+1  r mod 10
10) (457632)12 (1x110)
ด้วย 11 31  r mod 10
= 1,288,408 + 87,846 + 9,317 + 605 + 44 + 1 ดังน้ัน r = 1
= 1,386,221

1,386,221  10 เศษ r = 1

(457632)12 = (4x125) + (5x124) + (7x123) + (457632)12  r mod (12-1)
(6x122) + (3x12) + (2x120)
= 82,944 + 103,680 + 12,096 + 864 + 36 + 2 4+5+7+6+3+2  r mod 11
= 199,622
27  r mod 11
199,622 11 เศษ r = 5 ดังน้ัน r = 5

33

ตารางท่ี 16 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)b+1  r mod b (ตอ่ )

1) ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)b+1  r mod b ; r, b  N และ b  3

หาเศษไดจ้ าก an+an-1+an-2+…+a0  r mod b ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
ขอ้ ท่ี การกระจายเปน็ ฐานสิบ

11) (876234)13 (876234)13 = (8x135) + (7x134) + (6x133) + (876234)13  r mod (13-1)
ดว้ ย 12 (2x132) + (3x13) + (4x130)
8+7+6+2+3+4  r mod 12
= 2,970,344 + 199,927 + 13,182 + 338 +
30  r mod 12
39 + 4 ดังนั้น r = 6
= 3,183,834

3,183,834  12 เศษ r = 6

12) (57682)14 (57682)14 = (57682)14  r mod (14-1)
ดว้ ย 13 (5x144)+(7x143)+(6x142)+(8x14)+(2x140) 5+7+6+8+2  r mod 13

13) (346752)15 = 192,080 + 19,208 + 1,176 + 112 + 2 28  r mod 13
ด้วย 14 = 214,034 ดังน้ัน r = 2

214,034  13 เศษ r = 2 (346752)15  r mod (15-1)
3+4+6+7+5+2  r mod 14
(346752)15 =
(3x155)+(4x154)+(6x153)+(7x152)+(5x15)+ 27  r mod 14
(2x150) ดังน้ัน r = 13

= 2,278,125 + 202,500 + 20,250+1,575
+75 + 2

= 2,502,527

2,502,52714 เศษ r = 13

34

ตารางที่ 17 เปรียบเทียบการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)2n+1  r mod 2

2) ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)2n+1  r mod 2 ; r, n  N ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์
(12112)3  r mod 2
หาเศษไดจ้ าก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod 2
ข้อท่ี การกระจายเปน็ ฐานสิบ 1+2+1+1+2  r mod 2
7  r mod 2
1) (12112)3 ด้วย 2 (12112)3 = (1x34)+(2x33)+(1x32)+(1x31)+(1x30)
= 81+54+9+3+2 ดังน้ัน r = 1
= 149
(43212)5  r mod 2
149 2 เศษ r = 1 4+3+2+1+2  r mod 2

2) (43212)5 ดว้ ย 2 (43212)5 = (4x54)+(3x53)+(2x52)+(1x51)+(2x50) 12  r mod 2
= 2,500+375+50+5+2 ดงั น้ัน r = 0
= 2,932
(64231)7  r mod 2
2,932 2 เศษ r = 0 6+4+2+3+1  r mod 2

3) (64231)7 ด้วย 2 (64231)7 = (6x74)+(4x73)+(2x72)+(3x71)+(1x70) 16  r mod 2
4) (76542)9 ดว้ ย 2 = 14,406+1,372+98+21+1 เศษ r = 0
5) (65423)11 ด้วย 2 = 15,898 (76542)9  r mod 2
7+6+5+4+2  r mod 2
15,898  2 เศษ r = 0
24  r mod 2
(76542)9 = (7x94)+(6x93)+(5x92)+(4x91)+(2x90) เศษ r = 0
= 45,927+4,374+405+36+2 (65423)11  r mod 2
= 50,744 6+5+4+2+3  r mod 2
20  r mod 2
50,744  2 เศษ r = 0 เศษ r = 0

(65423)11 =
(6x114)+(5x113)+(4x112)+(2x111)+(3x110)

= 87,846+6,655+484+22+3
= 95,010

95,010  2 เศษ r = 0

35

ตารางที่ 18 เปรียบเทยี บการหาเศษเหลือระหวา่ งการกระจายเป็นฐานสิบและตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)3n+1  r mod 3

2) ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (anan-1an-2…a0)3n+1  r mod 3 ; r, n  N ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
(32112)4  r mod 3
หาเศษได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod 3
ข้อท่ี การกระจายเปน็ ฐานสบิ 3+2+1+1+2  r mod 3
9  r mod 3
1) (32112)4 ด้วย 3 (32112)4 = (3x44)+(2x43)+(1x42)+(1x41)+(2x40)
= 768+128+16+4+2 เศษ r = 0
= 918
(54323)7  r mod 3
918  3 เศษ r = 0 5+4+3+2+3  r mod 3

2) (54323)7 ด้วย 3 (54323)7 = (5x74)+(4x73)+(3x72)+(2x71)+(3x70) 17  r mod 3
= 12,005+1,372+147+14+3 เศษ r = 2
= 13,541
(235674)  r mod 3
13541  3 เศษ r = 2 2+3+5+6+7+4  r mod 3

3) (235674) ดว้ ย 3 (235674)  3 เศษ r = 0 27  r mod 3
เศษ r = 0
4) (87965)13 ดว้ ย 3 (87965)13 = (87965)13  r mod 3
5) (13678)16 ด้วย 3 (8x134)+(7x133)+(9x132)+(6x131)+(5x130) 8+7+9+6+5  r mod 3
35  r mod 3
= 228,488+15,379+1,521+78+5 เศษ r = 2
= 245,471
(13678)16  r mod 3
245,471  3 เศษ r = 2 1+3+6+7+8  r mod 3

(13678)16 = 25  r mod 3
(1x164)+(3x163)+(6x162)+(7x161)+(8x160) เศษ r = 1

= 65,536+12,288+1,536+112+8
= 79,480

79,480  3 เศษ r = 1

36

ตารางท่ี 19 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลอื ระหวา่ งการกระจายเปน็ ฐานสิบและตวั แบบเชงิ คณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)4n+1  r mod 4

2) ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)4n+1 r mod 4 ; r, n  N ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์

หาเศษได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod 4 (43112)5  r mod 4
ข้อที่ การกระจายเป็นฐานสบิ 4+3+1+1+2  r mod 4

(43112)5 ด้วย 4 (43112)5 = (4×54)+(3×53)+(1×52)+(1×5)+(2×50) 11  r mod 4
= 2,500 + 375 + 25 + 5 + 2 ดงั นั้น r = 3
= 2,907
(76542)9  r mod 4
2,907 7 เศษ r = 3 7+6+5+4+2  r mod 4

(76542)9 ด้วย 4 (76542)9 = (7×94)+(6×93)+(5×92)+(4×9)+(2×90) 24  r mod 4
(87421)13 ด้วย 4 = 45,927 + 4,374 + 405 + 36 + 2 ดังน้ัน r = 0
(45792)17 ดว้ ย 4 = 50,744
(87421)13  r mod 4
50,744  4 เศษ r = 0 8+7+4+2+1  r mod 4

(87421)13 = (8×134)+(7×133)+(4×132)+(2×13)+ 22  r mod 4
(1×130) ดังนั้น r = 2

= 228,488 + 15,379 + 676 + 26 + 1 (45792)17  r mod 4
= 244,570 4+5+7+9+2  r mod 4

244,570 4 เศษ r = 2 27  r mod 4
ดงั นั้น r = 3
(45792)17 =
(4×174)+(5×173)+(7×172)+(9×17)+(2×170)
= 334,084 + 24,565 + 2,023 + 153 + 2
= 360,827

360,827 4 เศษ r = 3

(34765)21 ดว้ ย 4 (34765)21 (34765)21  r mod 4
=(3×214)+(4×213)+(7×212)+(6×21)+(5×210)
= 583,443 + 37,044 + 3,087 + 126 + 5 3+4+7+6+5  r mod 4
= 623,705
25  r mod 4
623,705  4 เศษ r = 1 ดังนั้น r = 1

37

ตารางที่ 20 เปรยี บเทยี บการหาเศษเหลือระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)5n+1  r mod 5

2) ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)5n+1 r mod 5 ; r, n  N ตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์
(432512)6  r mod 5
หาเศษได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod 5
ขอ้ ที่ การกระจายเปน็ ฐานสิบ 4+3+2+5+1+2  r mod 5
17  r mod 5
(432512)6 ดว้ ย 5 (432512)6 =
(4×65)+(3×64)+(2×63)+(5×62)+(1×6)+(2×60) ดงั นั้น r = 2
= 31,104 + 3,888 + 432 + 180 + 6 + 2
= 35,612 (634578)11  r mod 5
6+3+4+5+7+8  r mod 5
35,612  5 เศษ r = 2
33  r mod 5
(634578)11 ด้วย 5 (634578)11 = ดังนั้น r = 3
(6×115)+(3×114)+(4×113)+(5×112)+(7×11)+(8×110)
= 966,306 + 43,923 + 5,324 + 605 + 77 + 8 (46579)16  r mod 5
= 1,016,243 4+6+5+7+9  r mod 5

1,016,243  5 เศษ r = 3 31  r mod 5
ดังนั้น r = 1
(46579)16 ด้วย 5 (46579)16 =
(4×164)+(6×163)+(5×162)+(7×16)+(9×160) (98342)21  r mod 5
= 262,144 + 24,576 + 1,280 + 112 + 9 9+8+3+4+2  r mod 5
= 288,121
26  r mod 5
288,121  5 เศษ r = 1 ดังน้ัน r = 1

(98342)21 ดว้ ย 5 (98342)21 = (34678)26  r mod 5
(9×214)+(8×213)+(3×212)+(4×21)+(2×210) 3+4+6+7+8  r mod 5
= 1,750,329 + 74,088 + 1,323 + 84 + 2
= 1,825,826 28  r mod 5
ดงั น้ัน r = 3
1,825,826  5 เศษ r = 1

(34678)26 ดว้ ย 5 (34678)26
=(3×264)+(4×263)+(6×262)+(7×26)+(8×260)
= 1,370,928 + 70,304 + 4,056 + 182 + 8
= 1,445,478

1,445,478  5 เศษ r = 3

38

ตารางที่ 21 เปรยี บเทียบการหาเศษเหลอื ระหว่างการกระจายเป็นฐานสบิ และตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์
(anan-1an-2…a0)kn+1  r mod k

2) ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (anan-1an-2…a0)kn+1 r mod k ; r, n  N ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์

หาเศษได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k
ข้อที่ การกระจายเป็นฐานสบิ

(586543)13 ดว้ ย 6 (586543)13 = (586543)13  r mod 6
(5×135)+(8×134)+(6×133)+(5×132)+(4×13)+(3×130)
= 1,856,465 +228,488 + 13,182+845 + 52 + 3 5+8+6+5+4+3  r mod 6
= 2,099,035
31  r mod 6
2,099,035  6 เศษ r = 1 ดังนั้น r = 1

(762134)15 ดว้ ย 7 (762134)15 = (762134)15  r mod 7
(7×155)+(6×154)+(2×153)+(1×152)+(3×15)
+(4×150) 7+6+2+1+3+4  r mod 7
= 5,315,625 + 303,750 + 6,750 +225+45 + 4
= 5,626,399 23  r mod 7
ดังน้ัน r = 2
5,626,399  7 เศษ r = 2

(84652)25 ด้วย 8 (84652)25 = (84652)25  r mod 8
(8×254)+(4×253)+(6×252)+(5×25)+(2×250)
= 3,125,000 + 62,500 + 3,750 + 125 + 2 8+4+6+5+2  r mod 8
= 3,191,377
25  r mod 8
3,191,377  8 เศษ r = 1 ดังนั้น r = 1

(765312)34 ดว้ ย (765312)34 = (765312)34  r mod 11
11
(7×345)+(6×344)+(5×343)+(3×342)+(1×34) +(2×340) 7+6+5+3+1+2  r mod 11
= 318,047,968 + 8,018,016 + 196,520 + 3,468
24  r mod 11
+ 34 + 2
ดังน้ัน r = 2
= 326,266,008

326,266,008  11 เศษ r = 2

(21493)27 ด้วย 13 (21491)27 (21493)27  r mod 13
=(2×274)+(1×273)+(4×272)+(9×27)+(3×270)
= 1,062,882 + 19,683 + 2,916 + 243 + 3 2+1+4+9+3  r mod 13
= 1,085,727
19  r mod 13
1,085,727  13 เศษ r = 6 ดังน้ัน r = 6

39

ภาพกิจกรรมการดำเนินงาน

40

โปรแกรมภาษา C ท่สี ามารถหาเศษจากการหารเลขในระบบฐานตา่ ง ๆ ได้อยา่ งรวดเร็ว

คณะผู้จัดทำได้เกดิ ความสนใจในเรอ่ื งน้ีเป็นอย่างมากจึงพยายามศึกษาข้อมูลและ
ความสัมพันธ์กับเร่ืองอื่น ๆ จนสามารถนำความรู้ท่ีได้มานำเสนอเป็นรูปแบบโครงงาน
คณติ ศาสตร์เพ่ือเผยแพรใ่ หท้ กุ คนเขา้ ใจเรอื่ งน้ีอยา่ งง่ายดาย และสามารถนำความรู้นี้มาใช้
ในการสอบวัดผลระดับชาติไดเ้ ป็นอย่างดี

คณะผ้จู ดั ทำไดศ้ ึกษาออกเป็น 2 ตอน โดยตอนท่ี 1 ผลการศึกษาเศษจากการหาร
ค่าประจำหลกั ที่ 1 ถึงหลกั ท่ี 5 ของเลขฐาน 2 – 15 และพิจารณาการลงรอยกนั เพือ่ สรุป
เป็นตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (mathematical model) ของการหาเศษจากการหาร
ตอนที่ 2 ผลการศกึ ษาการลงรอยกนั (congruence) ของตวั หารทีม่ เี ศษจากการหาร
เป็น 1 และหาตวั แบบเชิงคณติ ศาสตรข์ องการหาเศษจากการหารท่ใี ชไ้ ด้สำหรบั ทุกเลขฐาน

จากผลการศกึ ษามา พบวา่

ตอนท่ี 1 (an an-1 an-2 … a0) b+1  r mod b r, b  N และ b  3

โดยทเ่ี ศษ r หาไดจ้ าก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod b

ตอนท่ี 2 ( an an-1 an-2 … a0) kn+1  r mod k โดยท่ี r, n, k ,x  N

โดยท่เี ศษ r หาได้จาก an + an-1 + an-2 + ... + a0  r mod k