3คณิตพื้นฐาน ม4

เวป็ ไซตส์ ำหรับสบื คืนขอ้ มูล เนื้อหำ

1) คลังข้อสอบ 2) หนังสือคณิตฯ ม.4 พ้นื ฐำนเล่ม 1 3) หนงั สอื คณติ ศำสตรข์ ้นั สูง
อ.ธนวัฒน์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล
O-net, PAT1 วชิ ำสามญั ของ สสวท. หลกั สตู ร 2560

http://www.rathcenter.com

4) หนงั สอื คณติ ศำสตร์ ม.4 เลม่ 1 5) ช่อง Youtube boybobi12 6) Youtube Nestle School Thailand

ของ อ.ธนวัฒน์ (สนั ติ) สนทรำพรพล คณติ ศำสตร์ ม.4 เซต(Set) EP. 1-9 ตรรกศำสตรเ์ บอื้ งตน้

เซต ตรรกศำสตร์

ตำรำงบนั ทึกคะแนน รำยวชิ ำคณิตศำสตร์พ้นื ฐำน รหสั วชิ ำ ค31101 ชั้นมธั ยมศึกษำปที ่ี 4

หนว่ ยที่ ช่ือหน่วย ภำระงำน/ชนิ้ งำน น้ำหนกั
คะแนน
1 เซตและกำรดำเนินกำร ชที สอบ รวม
10 30 40 15

2 จำนวนสมำชกิ และโจทยป์ ญั หำเซต 10 30 40 15

3 ตรรกศำสตร์ 10 30 40 20

4 กลำงภำค 20

5 ปลำยภำค รวม 70
30

รวม 100

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หนา้ ~ 1 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1

เรื่อง การเขยี นเซต และสมาชิกของเซต

 จงเขียนเซตตอ่ ไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ

1) เซตของสระในภาษาองั กฤษ 2) เซตของจํานวนคู่บวกท่นี ้อยกวา่ 10 ความหมายเซต

3) เซตของจาํ นวนเตม็ บวกท่มี สี องหลกั 4) เซตของจํานวนเตม็ ทมี่ ากกวา่ 100 การเขยี นเซต
5) เซตของจาํ นวนเตม็ ลบท่ีมากกวา่ -100 6) เซตของจาํ นวนเตม็ ลบทมี่ คี ่ามากกวา่ 5

สมาชกิ ของเซต

7) {x | x เปน็ จาํ นวนเตม็ ทีอ่ ย่รู ะหว่าง 0 กบั 1} 8) {x|x เปน็ จาํ นวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 3 และนอ้ ยกว่า 10}

9) เซตของจาํ นวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วได้ 196 10) เซตของช่อื จงั หวดั ในประเทศไทยท่ขี นึ้ ตน้ ด้วยพยญั ชนะ “ช”

 จงเขยี นเซตตอ่ ไปน้ีแบบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

1) {1, 3, 5, 7, 9} 2) {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

3) {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} 4) {10, 20, 30, ...}

5) {พม่า, ลาว, กัมพชู า, มาเลเซีย} 6) {−1, −2, −3, … , −99}

7) {7, 14, 21, …} 8) { }

 จงบอกจาํ นวนสมาชกิ ของเซตต่อไปน้ี 2) B = {0, 1, 2, 3, 4}
1) A = {1234}

3) C = {a, b, c, de, f, gh, ijk} 4) D = {x | x เป็นจาํ นวนเตม็ บวกทอ่ี ย่รู ะหวา่ ง 10 และ 20}

5) E = {x | x เป็นจํานวนเต็มบวกและนอ้ ยกวา่ 0} 6) F = { { { } } }

7) G = { {1, } ,  } 8) H = { {1 , 2 , {3}} }

รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 2 ~

จงพิจารณาว่าขอ้ ความใดถกู ตอ้ ง ใหเ้ ขียน และขอ้ ความใดผิดใหเ้ ขียน  หนา้ ขอ้ ความนนั้

…..1) 5{2, 3, 5, 6} ….6) {1}{{0}, {1}, 2, 4, 5}

......2) 4{0, 2, 5, 6, 8} ….7) {2}{-1, 0, {1, 2}}

…..3) {3}{{1}, 2, 3, {4, 5}} ….8) {2}{1, {2}, {3}, 4, 5}

…..4) 6{2, 4, 5, 8, 9} ….9) d{a, e, I, o, u}

…..5) 3{1, 3, 5, 7, 9} …..10) b{a, b, u, s}

…..11) 3  3 …..12) { }  { }

…..13) { }  { { } } …..14) {1}  { {1} , {2} }

…..15) {1, 2}  { {1} , {2} } …..16) {1, 2, 3, 4}  { {1, 2}, {2, 3, 4} }

…..17) {2, 3}  { 1, {1, 2}, {1, {2, 3}} } …..18) ถ้า A B และ B  C แล้ว AC

…..19) 0  { } …..20) 14  {x N | x หารดว้ ย 7 ลงตวั }

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2

เร่อื ง ชนิดของเซตและการเท่ากนั ของเซต ชนิดของเซต การเท่ากนั
 เซตตอ่ ไปน้ี เซตใดเปน็ เซตวา่ ง

1. {x | x เป็นจํานวนเฉพาะทีม่ ากกวา่ 3 แตน่ ้อยกวา่ 10}………………………

2. {X  N | 3 X 4} ……………………… 3. {X  N | X2 = 1} ………………………

4. {X  N | X2+ 3x+2 = 0} ……………………… 5. {X  Z | X2+ 3x +2 = 0} ………………………

เซตต่อไปน้ี เซตใดเป็นเซตจํากัด เซตใดเปน็ เซตอนนั ต์

1) { x | x เป็นจํานวนคู่} ……………………… 2) {1, 2, 3, … ,100} ………………………

3) {x | x = 1 เมอื่ n  N } ……………………… 4) {x |x = 1 เมือ่ nN และ n999 } …………..……
………………………
n n

5) {x  Z | 3 หาร x ลงตัว} 6) {xZ |x<200 และ3 หาร x ลงตวั } …………..……

จงพจิ ารณาวา่ เซตในขอ้ ใดบา้ งเทา่ กันและเซตในข้อใดบา้ งไม่เทา่ กนั

1) A = {0, 1, 3, 7} B = { x  Z | x < 10} ………………………

2) A = { x | x เปน็ จํานวนค่ทู ่นี ้อยกว่า 10} B = {2, 4, 6, 8} ………………………

3) A = {7, 14, 21, …, 343) B = {x | x= 7n เมอ่ื nN และ n< 50} ………………………

4) A = {x | x = 1 - 1 เมือ่ n  N } B = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , … } ………………………

n 2 3 4 5

5) A = { x  Z | X2 = 36} B={6} ………………………

ให้ A = { x | x เป็นพยัญชนะในคําวา่ “กรรมกร”} B = { x | x เปน็ พยญั ชนะในคําว่า “มรรคา"}

C = { x | x เปน็ พยัญชนะในคาํ วา่ “มกราคม”} D = { x | x เปน็ พยัญชนะในคําว่า “รากไม"้ }

จงพิจารณาวา่ เซตคู่ใดบา้ งเทา่ กัน

รายวชิ าคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 3 ~

 กําหนด A = { 2, 4, 6, …., 20} และ B = {,0, 2, 4, {}, {0, 2} } จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้วี ่าถกู หรอื ผดิ

…..1. 4 A …..2. 5A …..3. 8A …..4. {2} A

…..5. 14 A …..6. 19 A …..7. B …..8. {} B

…..9. 0 B …..10. {0}  B …..11. 2B …..12. {2} B

…..13. {0, 2}B …..14. {2, 4} B …..15. {2, 4} B …..16. {2, 4} B

แบบฝึกทกั ษะที่ 3
เรอื่ ง สบั เซตและสมบตั ขิ องสับเซต
ใหน้ ักเรียนเขียนสับเซตทง้ั หมดของเซตท่ีกําหนดให้ต่อไปนี้ สบั เซต สมบัติสบั เซต
 A =  สับเซต คือ

 B = 2 สับเซต คอื

 C = 2, 3 สบั เซต คอื

 D = 2, 3, 4 สบั เซต คือ

 E = 2, 3, 4, 5 สับเซต คือ

 F =  สับเซต คอื
 G = , {} สับเซต คือ

 H = , 1, {1} สับเซต คือ

 I = 1, {1}, {{1}} สับเซต คือ

 J = , 0, {, 0} สบั เซต คอื

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 4 ~

จงบอกจาํ นวนสับเซตทงั้ หมด เม่อื กําหนดเซต A ดังต่อไปนี้ จํานวนสับเซตแท้
เซต จาํ นวนสมาชิก จํานวนสับเซตทงั้ หมด

1. A = 

2. A = 
3. A = {1, 2}, {3}
4. A = 1, {1}, {1, 2}
5. A = 2, 3, {2, 3}, 4
6. A = 2, 3, {2, 3}, 4,…

 ให้ A = {2, {4, 5}, 4} จงพิจารณาวา่ ข้อความข้างลา่ งน้ีถูกหรือผดิ

…..1) {4, 5}  A …..2) {4, 5}  A …..3) { {4, 5} }  A

…..4) 5  A …..5) {5}  A …..6) {5}  A

ให้ A = {0, {4, 5}, 4} จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีเป็นจรงิ หรอื เท็จ

…..1) 0  A …..2) {0, 4}  A …..3) {4, 5}  A
…..4) {4, 5}  A …..5) { {4, 5} }  A …..6) {5}  A

 จงพิจารณาขอ้ ความขา้ งล่างน้ีว่าถกู หรอื ผิด

…..1) {4}  { {4} } …..2) = 0 …..3) {4}  { {4} }
…..6)   {}
…..4)   { {4} } …..5)    …..9)   { 0 }

…..7) 0   …..8) {0} = { } ………………………………………………
………………………………………………
จงพจิ ารณาวา่ เซตตอ่ ไปนี้ มเี ซตใดบ้างทีเ่ ปน็ สับเซตของเซต A ………………………………………………
………………………………………………
ให้ A = {x|x เป็นจาํ นวนเต็มบวกซึง่ น้อยกว่า 50}
B = { x|x = 2y, y เป็นจํานวนเตม็ บวกซงึ่ น้อยกวา่ 11}
C = { x|x = y2, y เป็นจํานวนเตม็ ตั้งแต่ 0 ถงึ 5}

D = { x|x เป็นจาํ นวนที่บวกซึง่ น้อยกวา่ 50}

ตอบ

 ถ้า A เป็นเซตทม่ี สี มาชิก n ตวั จงหา
(1) จาํ นวนสบั เซตของ A ที่มสี มาชกิ อยา่ งน้อย 1 ตัว
ตอบ

(2) จาํ นวนสบั เซตของ A ท่มี สี มาชกิ n - 1 ตวั
ตอบ

 จงบอกจาํ นวนสับเซตแทข้ องเซตซงึ่ มีสมาชกิ 5 ตวั

รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 5 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4 เพาเวอรเ์ ซต

เรือ่ ง เพาเวอรเ์ ซต
ให้นักเรียนเขยี นเพาเวอรเ์ ซตจาก เซตทก่ี าํ หนดใหต้ อ่ ไปนี้

1) A =  2) B = a
P(A) = P(B) =

3) E = , {} P(E) =
P(F) =
4) F = 2, {4, 6}

5) G = xx  I และ 1  x  4 
P(G) =

6) ถ้า P(B) = {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7},  B =

 กาํ หนด A = {1, 2} จงเขียน
P(A) =
สับเซตทง้ั หมดของ P(A) คือ

 กําหนด A = {  } จงเขยี น

P(A) =
P(P(A)) =

 กาํ หนด A = { 1, 2, 3, {1, 2}, {1, 2, 3,... } } จงพจิ ารณาข้อต่อไปนี้วา่ ถกู หรอื ผดิ

…..1) เซต A เปน็ เซตอนันต์ …..2) {1, 2, 3,... }  A …..3) {1, 2} A

…..4) {1, 2, 3,... }  A …..5) {1,2}  A …..6) {1, 2}  P(A)

…..7) {1, 2, 3}  A …..8) {1, 2, 3}  P(A) …..9) {1, 2, 3}  A

…..10) P(A) เปน็ เซตอนันต์ …..11) {3, {1, 2}}  P(A) …..12) { {1, 2, 3} }  P(A)
กาํ หนด A = { ,0, 2, 4, {}, {0}, {0, 2} } จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ วา่ ถกู หรือผิด

…..1.  P(A) …..2. {} P(A) …..3. {} P(A)

…..4. { {} }  P(A) …..5. {0, 2}  P(A) …..6. {0, 2}  P(A)

…..7. { {0, 2} }  P(A) …..8. { {0, 2} }  P(A) …..9. { {}, 2}  P(A)

…..10. { {}, 2}  P(A) …..11. A  P(A) …..12. A  P(A)

สมบตั ขิ องสบั เซต สมบัตขิ องเพาเวอร์เซต
1) A  A (เซตทกุ เซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง) 1)   P(A)
2) A  U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ)์ 2) A  P(A)
3) ø  A (เซตวา่ งเปน็ สบั เซตของทุกๆ เซต) 3) P(A) ≠ 
4) ถา้ A   แลว้ A =  4) P(A)  P(B) กต็ อ่ เมอื่ A  B
5) ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C (สมบัติการถา่ ยทอด) 5) ถ้า A มสี มาชกิ n ตัว P(A) จะมสี มาชกิ 2n ตวั
6) A = B กต็ อ่ เมื่อ A  B และ B  A
7) ถ้า A มีจํานวนสมาชกิ n ตัว สบั เซตของเซตจะมีทง้ั สนิ้ 2n สบั เซต

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต เอกภพสัมพทั ธ์ หนา้ ~ 6 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 แผนภาพเวนน์
เรอ่ื ง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)
ใหน้ ักเรยี นเขียนสรปุ ความสมั พนั ธข์ องเซตจากแผนภาพ

…………………………… …………………………… …………………………… …………………………… ……………………………
ใหน้ กั เรยี นเขยี นแผนภาพเวนน์ แทนเซตทีก่ าํ หนดให้ตอ่ ไปนี้

1. A =2, 7, 9 B =1, 2, 5 2. A =1, 3, 5, 9 B = 5, 9 3. A = 6, 7, 8 B = 3, 4 C= 0, 1

4. U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 6.

A = 1, 3, 5, 7

B = 4, 5, 8

C = 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9

5. U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1) จาํ นวนสมาชกิ ทีอ่ ยู่ในเซต A แตไ่ ม่อยู่ในเซต B
A = 4, 6 B = 3, 7
C = 2, 3, 6, 7, 8, 10 ……………………………
D = 4, 6, 8, 9, 10
2) จาํ นวนสมาชิกที่ไม่อยูใ่ นเซต 4 และไมอ่ ย่ใู นเซต B

……………………………

3) จาํ นวนสมาชิกทีอ่ ยทู่ ้ังในเซต A และ B

……………………………

 จากแผนภาพสําหรบั 4 เซต แบ่งเอกภพสัมพัทธอ์ อกเปน็ บริเวณไดม้ ากทส่ี ดุ ก่ีบรเิ วณ ……………บริเวณ

ใหน้ ักเรียนเขียนสรปุ ความสัมพันธ์ของเซตจากแผนภาพดา้ นลา่ ง

รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 7 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 6

เรื่อง การดําเนนิ การระหว่างเซต

6.1 ยเู นียน (Union) การดําเนนิ การ

AB = { x | x  A หรือ x  B } : เป็นสมาชกิ ของเซต A หรือเซต B หรือทัง้ สองเซต

 U = 1, 2, 3, 4, …, 10 A = 1, 3, 5, 7 B = 2, 3, 5, 8 C = 4, 5, 7, 8, 9 จงหา

1. AB = 2. BA = จากข้อ 1-2 จะได้ข้อสงั เกตที่
3. (AB)C = เป็นจรงิ เสมอเกี่ยวกับ  ดังนี้
4. A(BC) =

5. AU = 6. A =

 กาํ หนด A = 1, 2 , B = 2, 4 จงหา

1. AB =

2. P(AB) =
3. P(A) =
4. P(B) =

5. P(A)P(B) =
6.2 อนิ เตอร์เซกชนั (Intersect)

AB = { x | x  A และ x  B } : เป็นสมาชิกของทงั้ เซต A และ B จากข้อ 1-2 จะได้ข้อสงั เกตที่เปน็ จริง
เสมอเก่ยี วกบั  ดงั นี้
 A = a, b, c, d, e B = a, c, e, g, h C = b, d, i จงหา

1. AB = 2. BA =

3. A(BC) =
=

4. (AB)(AC) =
=

5. AU = 6. A =

กําหนด A = 1, 2 , B = 2, 3 จงหา

1. AB =

2. P(AB) =
3. P(A) =
4. P(B) =

5. P(A)P(B) =
6.3 คอมพลีเมนต์ (Complement)
A= { x|xU และ xA} : เป็นสมาชิกของ U แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A ได้ขอ้ สงั เกตทีเ่ ป็นจริง ดงั นี้

 U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A=1,3,5,7 B = 2,3,5,8 จงหา

1. A = 2. (A) =

3. AA= 4. AA=

5. AB = 6. (AB)=

7. B = 8. AB=

9. U= 10.  =

รายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 8 ~

6.4 ผลตา่ ง (Difference of sets) ได้ข้อสงั เกตทเ่ี ป็นจริง ดังน้ี
A - B = { x|xA และ xB} : มีสมาชิกของเซต A แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชิกของ B

 U =1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 1, 3, 5 B = 2, 3, 4 C = 1, 3, 6

1. A - B = 2. B - A =

3. B= 4. AB=

5. U - A = 6. AB =

7. C - (AB) = 8. C - A =

9. C - B = 10. (C - A)(C - B) =

 ให้ U เปน็ เซตของจาํ นวนเต็มบวก A, B และ C เป็นสับเซตของ U

A = {x | 5 < x < 10} B = {x | 2  x < 8} และ C = {x|6< x <12} จงเขียนเซตตอ่ ไปน้แี บบแจกแจงสมาชกิ

A= B= C=

1) ABC 2) ABC

3) (AB)C 4) ABC

5) (B - C) 6) AB

7) C(B - A) 8) (C - A)B




สมบัติการดาํ เนินการเซตและการจัดรูป (Set Property and Simplification)



รายวชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 9 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7 การแรเงาแผนภาพ

เรอื่ ง การแรเงาแผนภาพเวนน์ คิด ตอบ
ใหน้ กั เรยี นแรเงาแผนภาพแทนเซตที่กาํ หนดให้ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้

 (A- B) คิด ตอบ  AB

A BA B A BA B

U UU U

 (A - B)(B - A) คิด ตอบ  (AB)C คิด ตอบ

A B A B A BA B

U U U U

 (A - B)( BC) ตอบ C C

B  (AB) - (B - C) ตอบ
U
A BA A BA B
C U
U U
ตอบ C
C C
B ตอบ
 ABC U  (AB) - (CA)
B
A BA C A BA U

U ตอบ U C

C C C ตอบ
D
 (AB)(CD)  (A - B)(C-D) C
D
AB C D AB AB C D AB

U U U U

11) 12)

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 10 ~

13. ถา้ A  B  {2, 4, 6} , B  A  {0, 1, 3} และ A  B  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
แลว้ A  B เป็นสบั เซตของเซตในขอ้ ใดต่อไปนี้ [Onet 2549 :ขอ้ 3]

1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8}
3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8}

14. สว่ นท่ีแรเงาของแผนภาพต่อไปนี้ ไมใ่ ช่เซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [Onet 2558 : 5]

1. (A  B)  C
A B 2. A  (B  C)

3. A  (B  C)  C

4. (A  B)  (B  C)
C 5. B  (A  C)  (A  B  C)

15. จงใช้แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ แสดงวา่ ขอ้ ความต่อไปน้ีเปน็ จริง

1. A - (B  C) = (A - B)  (A - C) 2. (A  B) - C = A  (B - C)

A - (B  C) (A - B)  (A - C) (A  B) - C A  (B - C)

A BA B A BA B

U U U U

C C C C

สรุป …………………………………………………………………… สรปุ …………………………………………………………………
16. ให้ A  B = {3, 4, 5, 7, 8}, A  C = 

A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, B  C = {8}
(B  C)  A = {3, 5} และ 4  B จงหาเซต A, B และ C
ตอบ

17. จงใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ แสดงวา่ ข้อความตอ่ ไปน้ี ถกู หรอื ผิด

18. ให้ A, B และ C เป็นเซต ท่ีมีความสมั พนั ธก์ นั ดงั แผนภาพ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู [Onet 2559 :ขอ้ 1]

1. A  C  B
A B 2. (A  B)  C  

3. A  B  B  C
C 4. A  B  C

U 5. B  C  A

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 11 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 8

เรอ่ื ง การหาจํานวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั จาํ นวนสมาชกิ
1) กาหนดให้ A และ B เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U
B
โดยท่ี n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา

(1) n(A  B) B (2) n(A – B)

ใชแ้ ผนภาพ ใชแ้ ผนภาพ

A A

U U

n(A  B) = n(A – B) =

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A  B) = n(A – B) =

(3) n(A  B ) B (4) n(A  B ) B

ใชแ้ ผนภาพ ใชแ้ ผนภาพ

A A

U U

n(A  B) = n(A – B) =

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A  B ) = n(A  B ) =

(5) n(B  A) B (6) n(B – A) B
U U
ใชแ้ ผนภาพ ใชแ้ ผนภาพ

A A

n(A  B) = n(A – B) =

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(B  A) = n(B – A) =

รายวชิ าคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หนา้ ~ 12 ~

2. กาหนดให้ A และ B เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U

โดยท่ี n(U ) = 50, n(A) = n(B), n(A  B) = 38 และ n(A  B) = 6 จงหา

วาดแผนภาพ (1) n(A) =

A B

(2) n(A – B) =

U

(3) n(A – B ) = (4) n(B  – A) =

A BA B A BA B

UU U U

3. กาหนดให้ A, B และ C เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U
โดยท่ี n(U ) = 100, n(A) = 29, n(B) = 23, n(C) = 18, n(A  B) = 15,
n(A  C) = 10, n(B  C) = 9 และ n(A  B  C) = 6 จงหา

(1) n(A  B  C)

ใชส้ ตู ร

(2) n(A  B   C ) B (3) n(A  B  C )

ใชแ้ ผนภาพ AB
A
CU
CU
(5) n(A  B )
(4) n(A  B  C )
AB
AB
CU
(6) n(A  C ) CU
B (7) n(A  B   C )
A
AB
CU
CU

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หนา้ ~ 13 ~

4. n(A  B) = 88 และ n[(A – B)  (B – A)] = 76 AB
ถา้ n(A) = 45 แลว้ n(B) เทา่ กบั ขอ้ ใด [Onet 2550 : 4]
U
1. 45 2. 48

3. 53 4. 55

5. ให้ n(U )  70 โดยที่ A  B  C   และ n(A  B)  25 ,

n(B  C)  18 , n(C  A)  16 และ n((A  B)  C)  7

แล้ว n(A  B  C) เท่ากบั เทา่ ใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

6.

7.

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 14 ~
8. วิชาสามญั 65

9. วิชาสามญั 64

10.

11.

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 15 ~
12.

13.

14.

รายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 16 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 9 เรอ่ื ง โจทย์ปญั หาเกีย่ วกบั จํานวนสมาชกิ ของเซตจํากัด
ข้อสอบ O-net เรื่อง เซต

1. นกั เรยี นกลมุ่ หน่งึ จานวน 46 คน แตล่ ะคนมีเสือ้ สีเหลืองหรอื เสือ้ สีฟา้ อย่างนอ้ ยสีละหน่งึ ตวั

ถา้ นกั เรยี น 39 คนมีเสือ้ สีเหลือง และ 19 คนมีเสือ้ สีฟา้ แลว้ นกั เรยี นกลมุ่ นีท้ ่ีมีทงั้ เสือ้ สีเหลืองและเสือ้ สีฟา้

มีจานวนเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ [Onet 2550 : 4]

1. 9 2. 10
3. 11 4. 12

2. นกั เรยี นกล่มุ หนง่ึ จานวน 50 คน มี 32 คนไมช่ อบเลน่ กีฬาและไม่ชอบฟังเพลง ถา้ มี 6คนชอบฟังเพลง

แตไ่ ม่ชอบเล่นกีฬา และมี 1 คนชอบเลน่ กีฬาแตไ่ ม่ชอบฟังเพลง นกั เรยี นในกลมุ่ นีท้ ่ีชอบเล่นกีฬาและ

ชอบฟังเพลงมีจานวนเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ [Onet 2551 : 1]

1. 11 คน 2. 12 คน

3. 17 คน 4. 18 คน

3. ในการสอบถามพอ่ บา้ นจานวน 300 คน พบวา่ มีคนท่ีไมด่ ่ืมทงั้ ชาและกาแฟ 100 คน
มีคนท่ีด่ืมชา 100 คน และมีคนท่ีด่ืมกาแฟ 150 คน พอ่ บา้ นท่ีด่ืมทง้ั ชาและกาแฟมีจานวนเทา่ ใด

[Onet 2549 : 50]

4. ในการสารวจความชอบในการด่ืมชาเขียวและกาแฟของกลมุ่ ตวั อยา่ ง 32 คน พบวา่

ผชู้ อบด่ืมชาเขียวมี 18 คน ผชู้ อบด่ืมกาแฟมี 16 คน ผไู้ มช่ อบด่ืมชาเขียวและไม่ชอบด่ืมกาแฟมี 8 คน

จานวนคนท่ีชอบด่ืมชาเขียวอย่างเดียวเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ [Onet 2552 : 2]

1. 6 คน 2. 8 คน

3. 10 คน 4. 12 คน

รายวิชาคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หนา้ ~ 17 ~

5. ในการสอบของนกั เรยี นชนั้ ประถมศกึ ษากลมุ่ หนง่ึ พบวา่ มีผสู้ อบผ่านวิชาตา่ งๆ ดงั นี้
คณิตศาสตร์ 36 คน สงั คมศกึ ษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน
คณิตศาสตรแ์ ละสงั คมศกึ ษา 15 คน
ภาษาไทยและสงั คมศกึ ษา 12 คน
คณิตศาสตรแ์ ละภาษาไทย 7 คน
ทง้ั สามวิชา 5 คน
จานวนผสู้ อบผา่ นอย่างนอ้ ยหนง่ึ วิชามีก่ีคน

[Onet 2553 : 101]

6. จากการสาํ รวจนกั เรียนทีเ่ ข้าร่วมกจิ กรรมของโรงเรียนแห่งหน่ึงจํานวน 500 คน พบว่า
1) นกั เรียนท่ีเข้าร่วมกิจกรรม A แตไ่ ม่เขา้ รว่ มกจิ กรรม B มจี ํานวน 230 คน
2) นกั เรยี นที่เขา้ รว่ มกจิ กรรม B แตไ่ มเ่ ข้าร่วมกจิ กรรม C มจี ํานวน 270 คน
3) นักเรียนที่เข้าร่วมกจิ กรรม C แต่ไม่เขา้ ร่วมกจิ กรรม A มจี ํานวน 200 คน
4) นักเรยี นท่ีเขา้ ร่วมกิจกรรมอน่ื ๆ ทไ่ี มใ่ ช่กจิ กรรม A ไม่ใช่กจิ กรรม B และไมใ่ ชก่ ิจกรรม C มจี าํ นวน 20 คน

ในการสาํ รวจนี้ นกั เรียนท่เี ขา้ รว่ มทั้งกิจกรรม A กิจกรรม B และกิจกรรม C มีกี่คน [O-NET (ก.พ. 2563/35)]

7. มนี ักกฬี า 37 คน ได้เหรียญรางวลั จากกฬี าวงิ่ มนี กั กีฬา 13 คน ได้เหรยี ญรางวลั จากกฬี าว่ายนา้ํ และ
มีนกั กีฬา 19 คน ได้เหรยี ญรางวัลจากกฬี าปั่นจกั รยาน ถา้ มีนักกฬี าที่ได้รบั เหรยี ญรางวัลทงั้ หมด 46 คน
ซึง่ มีเพยี ง 3 คน ที่ไดเ้ หรยี ญรางวลั จากทกุ ประเภทกีฬา แล้วมีนกั กฬี ากี่คน ทีไ่ ดเ้ หรยี ญจากสองประเภทเทา่ น้นั

1. 13 คน 2. 16 คน 3. 17 คน 4. 19 คน 5. 23 คน [O-NET (ก.พ. 2565/5)]

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 18 ~

ขอ้ สอบ วชิ าสามัญ เรอื่ ง เซต

8. วิชาสามญั 63

ขอ้ สอบ PAT 1 เรอ่ื ง เซต

9. ในการสอบวชิ าภาษาไทย วชิ าภาษาองั กฤษและวชิ าคณติ ศาสตร์ ของนกั เรียนในโรงเรียนแหง่ หนง่ึ
มีนกั เรยี นเข้าสอบทงั้ หมด 66 คน ปรากฏวา่ มนี กั เรยี นทส่ี อบตกทง้ั สามวชิ าจาํ นวน 13 คน
นักเรียนทีส่ อบผ่านทัง้ สามวชิ า มจี ํานวน 17 คน นักเรยี นทสี่ อบผ่านวิชาภาษาไทยและวิชาภาษาองั กฤษแตส่ อบตก
คณิตศาสตรม์ ีจาํ นวน 10 คน นักเรียนท่สี อบผ่านวิชาภาษาไทยและวชิ าคณติ ศาสตรแ์ ตส่ อบตกวิชาภาษาองั กฤษมี
จาํ นวน 11 คน นักเรียนที่สอบผ่านเพยี งวิชาเดียว มจี าํ นวน 6 คน จาํ นวนนกั เรยี นทสี่ อบผา่ นวิชาภาษาองั กฤษและ
วชิ าคณติ ศาสตร์เท่ากับเทา่ ใด [PAT 1 ก.ค. 2553 : 26]

รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หน้า ~ 19 ~

10. โรงเรยี นแห่งหนึ่งมนี กั เรียนจํานวน 750 คน พบวา่ มีนกั เรยี นจํานวน 30 คน ไมเ่ ลน่ กีฬาเลย
นอกนน้ั เล่นกีฬาอย่างนอ้ ยหนงึ่ ประเภทคือปงิ ปอง แบดมนิ ตัน เทนนสิ
จากการสาํ รวจเฉพาะกลมุ่ นกั เรียนที่เลน่ กฬี า พบว่า
มีนักเรียนจํานวน 630 คน เลน่ กฬี าเพียงประเภทเดยี วเท่าน้ัน
มีนักเรียน 30 คน เลน่ เทนนสิ และปิงปอง
มนี กั เรียน 50 คน เลน่ ปิงปองและแบดมินตัน
มนี ักเรยี น 40 คน เลน่ เทนนสิ และแบดมินตนั
มนี กั เรียนไมเ่ ล่นเทนนสิ จํานวน 250 คน
จงหาวา่ มนี ักเรยี นก่คี นทเ่ี ล่นเทนนสิ เพยี งอยา่ งเดียว [PAT 1 มี.ค. 2554 : 415]

11. ในการสาํ รวจความชอบเรียนวิชาคณติ ศาสตร์ วชิ าภาษาไทย และวิชาภาษาองั กฤษ
ของนกั เรยี นกลุ่มหน่ึง พบว่า

มนี ักเรยี นชอบเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 150 คน
มนี ักเรยี นชอบเรียนวิชาภาษาไทย 80 คน
มนี ักเรียนชอบเรียนภาษาองั กฤษ 60 คน
และ มนี ักเรียน 30 คน ชอบเรยี นท้งั สามวชิ า
นักเรยี นกลมุ่ นีม้ จี าํ นวนอย่างมากกีค่ น [PAT 1 ต.ค. 2558 : 230]

รายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หน้า ~ 20 ~

12. ในการสํารวจนักเรยี นห้องหน่ึง เกย่ี วกับความชอบเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์ วชิ าภาษาองั กฤษ และ
วิชาภาษาไทย พบว่านักเรยี นในหอ้ งนี้ชอบเรียนวชิ าดังกลา่ วอยา่ งนอ้ ย 1 วิชา และ

มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณติ ศาสตร์
มี 22 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ
มี 21 คน ชอบเรยี นวิชาภาษาไทย
มี 21 คน ชอบเรยี นเพียงวชิ าเดียว
และ มี 4 คน ชอบเรยี นท้งั สามวชิ า
จํานวนนกั เรียนท่ชี อบเรยี นวชิ าภาษาอังกฤษ หรอื วชิ าภาษาไทยแต่ไมช่ อบเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์
เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี [PAT 1 มี.ค. 2559 : 3]
1. 16 คน
2. 17 คน
3. 18 คน
4. 19 คน
5. 20 คน

ขอ้ สอบวชิ าเฉพาะแพทย์ (กสพท) บทท่ี 1 เซต

1. ให้ A = {1, 2, 3, … , 100} ถา้ S = { n | nA โดยที่ หารด้วย 2 หรือ 5 ลงตัว แตห่ ารดว้ ย 10 ไมล่ งตวั }
แลว้ จาํ นวนสมาชิกของ S เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี [กสพท คณิต2 (ธ.ค. 2558/17)]

1. 40 2. 45 3. 50 4. 55 5. 60

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 1 เซต หนา้ ~ 21 ~

2. กาํ หนดให้ S เปน็ เซตของจาํ นวนเต็มบวก ซ่ึงมี 40 จํานวน ถา้ มี 25 จาํ นวนใน S ท่เี ป็นจาํ นวนคู่
มี 9 จํานวนใน S ทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตัว และ มี 12 จาํ นวนใน S ท่ีไมเ่ ป็นจํานวนคู่ และหารดว้ ย 5 ไม่ลงตัว
แลว้ จํานวนสมาชกิ ใน S ทีห่ ารดว้ ย 10 ลงตัว มีทง้ั หมดเท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ [กสพท คณติ 2 (มี.ค. 2563/17)]

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 10

3. จากการสํารวจนกั เรยี นในโรงเรยี นแหง่ หน่งึ จาํ นวน 500 คน พบว่าแตล่ ะคนเป็นสมาชกิ
ของชมรมดนตรีไทย หรอื ชมรมดนตรสี ากล หรอื ชมรมศิลปะอยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ชมรม
ถ้า มนี ักเรยี น 220 คน เป็นสมาชกิ ของชมรมศิลปะอยา่ งเดยี ว
มีนกั เรียน 90 คน เป็นสมาชกิ ท้ังชมรมดนตรไี ทยและชมรมดนตรสี ากล
มีนักเรียนท่เี ปน็ สมาชิกชมรมดนตรสี ากลไมเ่ กนิ 100 คน
แลว้ จาํ นวนนกั เรียนทเ่ี ปน็ สมาชกิ ของชมรมดนตรไี ทยมีอยา่ งน้อยทีส่ ุด เท่ากบั ขอ้ ใด
[กสพท คณติ 2 (ธ.ค. 2559/18)]

1. 90 คน 2. 120 คน 3. 150 คน
4. 220 คน 5. 270 คน

4. จากการสอบถามผชู้ มทีวีกลมุ่ หนงึ่ จํานวน 100 คน ถงึ ความชอบในการรบั ชมรายการทวี ี 3 ประเภท
คอื ดนตรี กฬี า และละคร โดยผชู้ มแต่ละคนเลือกไดไ้ มเ่ กนิ 2 รายการ พบวา่ มี
5 คนไมช่ อบรายการท้งั 3 ประเภท
50 คน ชอบรายการดนตรี
40 คน ชอบรายการกฬี า
25 คน ชอบทงั้ รายการดนตรีและกีฬา
จาํ นวนผ้ชู มท่ีชอบรายการละครเพยี งประเภทเดียว
เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ [กสพท คณติ 2 (ม.ี ค. 2561/16)]

1. 30 คน 2. 35 คน 3. 40 คน
4. 45 คน 5. 50 คน

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 1 เซต หน้า ~ 22 ~

รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 23 ~

ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาท่ีศกึ ษาเก่ียวกบั เหตผุ ล การพิสจู นเ์ หตผุ ลตา่ ง ๆ อยา่ งเป็นระบบ
แบบฝึ กทกั ษะท่ี 1 เรอ่ื ง ประพจน์

ประพจน์ (Proposition)

บทนิยาม ประโยคหรือขอ้ ความท่ีมเี ป็นจรงิ หรอื เท็จเพยี งอย่างใดอยา่ งหน่ีง และเพียงอยา่ งเดียว

ความเป็น จรงิ (T) หรอื เทจ็ (F) ของประพจน์ เราเรยี กวา่ คา่ ความจริงของประพจน์

ประโยคทไี่ ม่เป็ นประพจน์ คอื ประโยคท่ีไมม่ ีคา่ ความจรงิ
คอื ประโยคบอกเลา่ หรอื ปฏิเสธ เชน่ คาถาม คาส่ัง หา้ ม ขอร้อง คาอุทาน ออ้ นวอน มตี วั แปร
1. จงพิจารณาประโยคตอ่ ไปนีว้ า่ เป็นประพจน์ หรอื ไมป่ ระพจน์ พรอ้ มเหตผุ ล และบอกคา่ ความจรงิ

รายวิชาคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 24 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2 เรอื่ ง ตวั เชอื่ มประพจนแ์ ละค่าความจรงิ

การเชอ่ื มประพจน์ (connective) : ตวั เช่ือมพนื้ ฐานของประพจน์ มี 4 ตวั ไดแ้ ก่

และ (  ) หรอื (  ) ถา้ … แลว้ (  ) กต็ อ่ เมอ่ื (  )

นิเสธของประพจน์

บทนิยาม ถา้ p เป็นประพจนใ์ ด ๆ นิเสธของประพจน์ p เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ~p

นิเสธของประพจน์ หมายถงึ ประพจนท์ ่ีมีคา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจนเ์ ดมิ

5. หานเิ สธของประโยตตอ่ ไปนี้ นิเสธ คอื
1) ชา้ งไมไ่ ดอ้ อกลูกเป็นตวั นเิ สธ คอื
2) ปลาหมกึ เปน็ สัตวม์ ปี กี ปลา นิเสธ คอื
3) 4 มากกวา่ -5 นิเสธ คือ
4) 12 + 7 = 19
นเิ สธ คือ
5) 1 1, 2, 3, ….
นิเสธ คอื
6) 3  4 ไม่นอ้ ยกว่า 4  3 นเิ สธ คือ
7) ดินสอวางอย่บู นโตะ๊ นิเสธ คือ
8) ครนู ดิ สอนวชิ าวทิ ยาศาสตร์ นิเสธ คือ
9) 5 – 6 < 0 นเิ สธ คอื
10) 7 ไม่ใช่ตวั ประกอบเฉาะของ 49

รายวชิ าคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 25 ~

การหาค่าความจริง ตอ้ งใชค้ า่ ความจรงิ ของการเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตวั เช่ือม ดงั นี้

p q pq pq pq pq p ~p
TF
TT T T T T FT

TF F T F F

FT F T T F
FF F F T T

1. กาหนดให้ p แทน “เวยี งจนั ทน์อยู่ในประเทศลาว” q แทน “2 + 3  6”

จงหาค่าความจรงิ 1. ~p q 2. ~ (p q) 3. p~ q

2. กาหนดให้ p, q, r แทน ประพจนท์ ม่ี คี ่าความจริงเปน็ จริง (T)

และ s, k แทน ประพจน์ที่มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ (F) จงหาค่าความจรงิ ของ

1. (~p  k)  ~s 2. (s  k)  ~ (p  r)

3. ให้ P แทน 0 ไมเ่ ปน็ จานวนเตม็ คู่ และไมเ่ ปน็ จานวนเตม็ คี่

q แทน ถา้ a2  b2 แล้ว |a|  |b|

r แทน ถา้ a และ b เป็นจานวนตรรกยะแลว้ a + b เป็นจานวนอตรรกยะ จงหาคา่ ความจริงของ

1. [p  ( ~ q ) ]  r 2. ( p → q ) → r

4. กาหนดให้ p และ q มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ r, s และ t มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

จงหาคา่ ความจริงของรูปแบบประพจน์ต่อไปน้ี คะแนน)

1. [(p  q)  s]  ~ t 2. [(s  ~r)  t]  (p  ~q)

3. ~ [(s  ~ q)  (p  r)] 4. ~(p  q)[s(r~t)]

รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 26 ~

5. จงหาค่าความจริงของประพจนเ์ ชิงประกอบต่อไปน้ี เม่ือกาหนดค่าความจริงบางประพจนใ์ ห้

(1) (p  s)  (q  r) เม่อื p เป็นเท็จ (2) (p  q)  r เม่อื r เป็นเทจ็

(3) p  (p  q) เม่อื q เป็นจรงิ (4) p  (q  r) เม่อื p เป็นเท็จ

(5) (p  q)  (q  p) เม่อื p  q เป็นเทจ็ (6) (p  q)  (p  q) เม่อื p  q เป็นเท็จ

(7) p  (q  r) เม่อื q เป็นเทจ็ (8) (pq) (rs) เม่อื p เป็นจรงิ และ r เป็นเทจ็

(9) p  (q  r) เม่อื r เป็นจรงิ (10) p  (q  r) เม่อื p เป็นเท็จ

6. p แทน 2 เปน็ จานวนคู่ q แทน 2 เป็นจานวนเฉพาะ r แทน 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

(1) p  q (2) p  r (3) q  r

(4) p  q (5) p  r (6) q  r

(7) p  q (8) p  r (9) q  r

รายวิชาคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 27 ~

7. p แทน  เป็นเซตจากดั q แทน  เปน็ สับเซตแทข้ องทกุ เซต

r แทน P() = {} s แทน   A = 

จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

(1) (p  q)  r (2) (p  r)  (q  r)

(3) s  (r  q) (4) (p  r)  (s  q)

(5) p  (q  ( r  s)) (6) (q   p)  (r   s)

8. จงเขียนประโยคต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปสญั ลกั ษณ์ และหาค่าความจริงของประพจน์

(1) 6 เป็นจานวนคู่ และ 3 เป็นจานวนค่ี (2) 2 เท่ากบั 4 หรือ 5 เท่ากบั 0

(3) ถา้ ปลาบินไดแ้ ลว้ นกจะเป็นสตั วน์ ้า (4) –2 < 0 กต็ ่อเม่ือ 2 > 0

(5) 6 กบั 10 เป็นจานวนคี่ (6)   Q แต่ 22 Q
7

9. กาหนดประพจน์ p, q จงตอบคาถามต่อไปน้ี
(1) ถา้ ประพจน์ p  q มีค่าความจริงเป็น T แลว้ จงหาค่าความจริงของ p  q

(2) ถา้ ประพจน์ p  q มีค่าความจริงเป็น F แลว้ จงหาค่าความจริงของ p  q

(3) ถา้ ประพจน์ p  q มีค่าความจริงเป็น F แลว้ จงหาค่าความจริงของ p  q
(4) ถา้ ประพจน์ p  q มีค่าความจริงเป็น F แลว้ จงหาค่าความจริงของ p  q

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 28 ~

10. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็น T จงหาค่าความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี

(1) p (2) q (3) (p  q)

(4) p  q (5) p  q (6) p  q

(7) p  q (8) p  q (9) p  q

11. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี

(1) p  q (2) q  p (3) p  q

(4) p  q (5) p  q (6) p  q

(7) p  q (8) (p  q) (9) (p  q)

12. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี

(1) p  q (2) q  p (3) p  q

(4) p  q (5) p  q (6) p  q

(7) p  q (8) (p  q) (9) (p  q)

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 29 ~

13. กาหนดใหป้ ระพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ และ

r มีค่าความจริงเป็นเทจ็ จงหาค่าความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี

(1) [p  (p  q)]  p (2) [(p  q)  r]  (p  r)

(3) [(p  r)  q]  [(q  r)  p] (4) [p  (q  r)]  [p  (q  r)]

(5) [(p  q)  r]  [(p  q)  r] (6) [p  (q  r)]  [p  (q  r)]

14. กาหนดใหป้ ระพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี

(1) [(p  q)  (p  r)]  (p  q) (2) [(p q)  r]  [(p  q)  r]

15. กาหนดใหป้ ระพจน์ [(p  q)  (p  r)]  (s  r) มีค่าความจริงเป็นเทจ็
จงหาค่าความจริงของประพจน์ p, q, r และ s

รายวิชาคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 30 ~

ข้อสอบคณิตศาสตรเ์ ขา้ มหาวทิ ยาลัย เรอ่ื ง ตรรกศาสตร(์ คา่ ความจริง)

รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 31 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 3 เรื่อง การหาค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ย

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 32 ~

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 33 ~

แบบฝึกทักษะที่ 4 เรื่อง การสร้างตารางค่าความจริง
กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ สรา้ งตารางแสดงค่าความจริงของรปู แบบ
ของประพจน์ตอ่ ไปน้ี

1) ~ q  ~ p

p q ~p ~q ~q ~p

2) ~ q  ~ s ~q ~s ~q ~s

qs

3) (p  q)  (q  p) (q  p) (p  q)  (q  p)

p q (p  q)

4) (q  r)  (r  p) (q  r) (r  p) (q  r)  (r  p)

p qr
T TT
T TT
T TF
T TF
F FT
F FT
F FF
F FF

รายวิชาคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 34 ~
5) ~ (p  r)  ~ s ~ (p  r)  ~ s

pr s ~ s p  r ~ (p  r)

TT T
TT F
TF T
TF F
FT T
FT F
FF T
FF F

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5 เรือ่ ง การตรวจสอบสมมลู โดยใช้ตารางคา่ ความจริง
ให้นักเรยี นตรวจสอบว่าประพจน์ที่กาหนดใหต้ ่อไปนี้ สมมูลกันหรือไม่โดยใช้ตาราง
1. (p  q)  r กบั p  (q  r)

p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r)

TTT
TTF

TFT
TF F

FTT
FTF
FFT

FFF

2. p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) pq pr (p  q)  (pr)
p q r q  r p  (q r)
TTT
TTF

TFT
TFF
FTT

FTF
FFT

FFF

รายวชิ าคณติ ศาสตร์พื้นฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 35 ~
p → q (p → q) → r
3. p  (q  r) และ (p  q)  r

p q r q → r P → (q → r)

T TT
T TF
T FT
T FF
F TT
F TF
F FT
F FF

4. (p  q)  r กบั  p  ( q  r) p q r p ( q r)
P q r p  q (p  q)r

TTT
TT F
TFT

TFF
FTT

FTF
FFT
FFF

5. p  (q  r) และ p  (q  r)

Pq r

รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 36 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 6 *** รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมูลกนั ทส่ี าคญั ***

E 1. p  p  p pp  p

E 2. p  q  q  p.p  q  q  pp  q  q
p p  (q  r)
 p  (q  r) (p  q)  r 
E 3. (p  q)  r p
E 7. (p  q)  r
 (q  r)  (p  q)  (p  r)
E 4. p  (q  r)  (q  p)  (r  p)
 (p  q)  (p  r)
(q  r)  p  (q  p)  (r  p)
E 9. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
 (p  q)  (p  r)
(q  r)  p  (p  r)  (q  r)
E 10. p  (q  r)

p  (q  r)
E 11. (p  q)  r p 
 p  q
(p  q)  r  p  q
(p  r)  (q  r)  p  q
 p  q
E 5. (p)
(p  q) p
p
E 15. (p  q) p
E 16. (p  q)  p
E 17. (p  q) p
p  q 

E 6. p  T  p  q
E 21. p  F  q  p
E 22. T  p  p  q
E 23. p  F  (p  q)  (q  p)
E 24. p  T
E 25. p  F
p
E 7. p  q

E 13. p  q

รายวิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 37 ~

ให้นักเรยี นตรวจสอบว่าประพจนต์ ่อไปนี้ สมมูลกนั หรอื ไมโ่ ดยใชร้ ูปแบบประพจนท์ ส่ี มมูลกนั

(1) [(p  q)]  (p  q) และ p (2) p  (r  r) และ p

(3) (r  p)(p  q) และ p  r (4) (p  q)  (q  p) และ p

(5) (q  p)  (p  q) และ q (6) p  q และ (p  q)  (q  p)

(7) (p  q)  r และ (p  r)  (q  r)

(8) (p  q)  (q  r) และ p  (q  r)

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 38 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7 เรอ่ื ง การตรวจสอบว่าประพจน์เป็นนิเสธกัน

จงพจิ ารณาและตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นนเิ สธกันหรอื ไม่

1. ก. p  q ข. ~ q  ~ p

วธิ ที า

p q p q ~p ~q ~q~p
TT
TF

FT
FF

2. ก. p  q ข. (p  ~ q)  (q  ~ p)
วธิ ที า ~p ~q p ~q q~p (p ~q) (q~p)

p q pq

TT
TF
FT
FF

3. ก. p  q ข. (~ p  ~ q)
วธิ ที า
p q p q ~p ~q ~p~q

TT
TF
FT
FF

4. ก. x เปน็ จานวนคูแ่ ละเป็นจานวนเต็มบวก
ข. x เป็นจานวนคีห่ รอื เปน็ จานวนเตม็ ลบ

วธิ ที า ให้ p แทนดว้ ย x เปน็ จานวนคู่ q แทนด้วย x เป็นจานวนเต็มบวก
น่ันคอื ประโยค ก. แทนด้วย p  q และ ข. แทนด้วย ~ p  ~ q

p q p  q ~p ~ q ~p ~ q
TT
TF
FT
FF

รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน1 ค31101  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า~ 39 ~

5. ก. ถ้า 2 + 3 > 7 แลว้ 7 + 5 > 9 ข. 7 + 5  9 และ 2 + 3 > 7
วิธีทา ให้ p แทน 2 + 3 > 7 q แทน 7 + 5 > 9

นัน่ คอื ประโยค ก. แทนด้วย p  q และ ข. แทนดว้ ย ~ q  p

pq Pq ~q ~qp

TT
TF
FT
FF

6. ก. 3 เปน็ จานวนคู่ และ 2 หาร 5 ลงตวั ข. 3 ไมเ่ ปน็ จานวนคู่ หรอื 2 หาร 5 ไมล่ งตวั

วธิ ีทา ให้ p แทน 3 เปน็ จานวนคู่ q แทน 2 หาร 5 ลงตัว

นน่ั คือประโยค ก. แทนดว้ ย p  q และ ข. แทนดว้ ย ~ p  ~ q

p q p  q ~ p ~ q ~p  ~q

TT
TF
FT
FF

โจทยข์ ้อสอบเขา้ มหาลยั เรอื่ ง สมมูล

รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน1 ค31101  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 40 ~