ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

0
+ –  ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ


1 a2
2 b4
3 c6
4 e8

gof
gof = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,6)}

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1
ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน สำหรับการเรียนรู้
แบบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธิ์ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพื่อส่งเสริมความสามารถในการสื่อสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
เกิดความคิดรวบยอดในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกทั้งยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การส่ือสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน
พทุ ธศักราช 2551 และ ซึ่งมีท้งั หมด 9 ชุด เวลา 24 ชวั่ โมง ดงั น้ี

ชดุ ที่ 1 เรื่อง การเขียนค่อู ันดบั และผลคูณคารท์ เี ซียน (3 ชว่ั โมง)
ชุดท่ี 2 เรื่อง ความสมั พนั ธ์และอนิ เวอร์สของความสมั พนั ธ์ (4 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 3 เรอื่ ง ฟังก์ชนั และการหาคา่ ของฟังก์ชัน (3 ชั่วโมง)
ชดุ ท่ี 4 เรื่อง ฟังก์ชนั เชิงเสน้ และการแกป้ ญั หา (2 ชว่ั โมง)
ชุดที่ 5 เรื่อง ฟังก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ (3 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 6 เร่ือง การแก้ปัญหาโดยใชฟ้ ังก์ชันกำลังสอง (2 ช่วั โมง)
ชุดที่ 7 เร่ือง ฟังกช์ ันคา่ สัมบูรณ์และฟังก์ชนั ข้ันบันได (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 8 เร่อื ง ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังกช์ นั (3 ชั่วโมง)
ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังกช์ นั และฟังก์ชันประกอบ (2 ชวั่ โมง)

โดยในชดุ ที่ 9 เรอ่ื ง อินเวอรส์ ของฟังกช์ ันและฟังก์ชนั ประกอบ ประกอบดว้ ย คำช้ีแจงสำหรับ
ครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระ
การเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบ
หลังเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเรื่องมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ไดด้ ้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เร่ือง อินเวอร์สของ
ฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอด และส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารทาง
คณติ ศาสตร์ และเหมาะสมกบั ผู้เรียนทกุ คน เหมาะสมสำหรบั ครทู ี่จะนำไปจัดการเรียนการสอน

นายสุรชัย สุขรี
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครชู ำนาญการพิเศษ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

2
ชดุ ที่ 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

สารบัญ

เรอ่ื ง หนา้

คำนำ 1
สารบญั 2
คำชีแ้ จงสำหรับครู 3
คำแนะนำสำหรบั นกั เรยี น 4
แผนผังการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรชู้ ุดที่ 8 5
การจดั การเรยี นรแู้ บบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเนน้ เทคนิค KWDL 6
ผลการเรยี นรู้ 7
สาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม 7
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 7
แบบทดสอบกอ่ นเรยี นชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟังกช์ นั และฟังก์ชนั ประกอบ 8
9.1 อินเวอร์สของฟังกช์ นั 12
12
ใบความรทู้ ่ี 9.1 อินเวอร์สของฟงั กช์ ัน 19
ใบกิจกรรมที่ 9.1 อนิ เวอร์สของฟังกช์ นั 21
9.2 ฟงั กช์ นั ประกอบ 21
ใบความรทู้ ่ี 9.2 ฟงั กช์ ันประกอบ 26
ใบกจิ กรรมที่ 9.2 ฟงั กช์ นั ประกอบ 28
แบบทดสอบหลังเรยี นชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟงั กช์ ันและฟังก์ชันประกอบ 34
35
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียนชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟงั กช์ ันและฟงั กช์ ันประกอบ 37
39
เฉลยใบกจิ กรรมที่ 9.1 อินเวอร์สของฟังกช์ นั 40
เฉลยใบกจิ กรรมที่ 9.2 ฟงั กช์ ันประกอบ

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียนชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังกช์ นั และฟงั ก์ชันประกอบ

บรรณานกุ รม

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

3
ชดุ ที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ

คำชแี้ จงสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 9 เร่ือง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัด
การเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชา
คณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เร่ือง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 2 ชั่วโมง
ประกอบดว้ ยเน้อื หา ดังน้ี

9.1) อนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั (1 ชว่ั โมง)
9.2) ฟังก์ชันประกอบ (1 ชัว่ โมง)
ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ ประกอบด้วยคำชแ้ี จงสำหรับครูคำแนะนำสำหรบั นักเรยี น แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการ
เรียนรู้ สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนว
ทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซึ่งประกอบด้วยเฉลย
แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์
การประเมนิ ในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ชดุ น้ี ครูผ้สู อนควรปฏิบตั ติ ามข้ันตอนตอ่ ไปน้ี

ขขน้ั ้นั ทที่ ่ี11 ชี้แจงขน้ั ตอนการเรยี นโดยใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้นใ้ี ห้นกั เรยี นเข้าใจ

ขขัน้ ้นั ทที่ ี่22 ให้นักเรยี นทำแบบทดสอบก่อนเรียนกอ่ นศกึ ษาเนื้อหาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะใบกิจกรรม

ขขัน้ ้นั ทที่ ่ี33 ดูแลใหน้ กั เรยี นปฏิบัตติ ามขนั้ ตอนและใหค้ ำแนะนำเมอ่ื นักเรียนพบปญั หา

ขขั้น้นั ทท่ี ่ี44 ประเมินผลการเรยี นของนกั เรียนอย่างตอ่ เนื่องและให้แรงเสริม
ในการปฏบิ ัติกจิ กรรมของนักเรยี น

ขขน้ั ้นั ทที่ 5่ี 5 ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบหลงั เรยี น เมื่อศึกษาเนอื้ หาจากใบความรู้
และทำใบกจิ กรรมเสรจ็ สนิ้

ขขัน้ ้นั ทท่ี 6่ี 6 บนั ทึกผลการประเมินหลงั การจดั การเรยี นรูโ้ ดยใช้ชดุ กจิ กรรมทุกคร้งั

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

4
ชุดที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

คำแนะนำสำหรับนักเรียน

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เรอื่ ง อินเวอรส์ ของฟงั กช์ นั และ
ฟังก์ชนั ประกอบ ดังนี้

ขน้ั ที่ 1 ศึกษาขั้นตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมมการเรยี นรู้ให้เขา้ ใจชดั เจน

ขนั้ ท่ี 2 ศกึ ษาผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้
เวลาท่ีใช้ในการจดั การเรยี นรู้

ข้นั ที่ 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แลว้ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ขนั้ ท่ี 4 ศกึ ษาและทำความเขา้ ใจเนอ้ื หาจากใบความรแู้ ละทำใบกิจกรรม
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละใบกิจกรรม

ตามลำดับเม่ือพบปัญหาให้ขอคำแนะนำจากครทู นั ที

ขนั้ ที่ 5 ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมินผลวา่ นกั เรยี นผา่ นเกณฑ์หรอื ไม่
ขั้นท่ี 6  “ผ่านเกณฑก์ ารประเมิน” ให้นักเรียนศกึ ษาชุดกจิ กรรมชดุ ต่อไป

 “ไมผ่ า่ นเกณฑ์การประเมิน” ให้นกั เรยี นยอ้ นกลบั ไปศกึ ษาและ
ทำความเข้าใจเนอื้ หาจากใบความร้แู ละทำใบกิจกรรมดว้ ยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏิบตั ติ ามใหถ้ ูกต้อง
กอ่ นท่จี ะลงมือทำกิจกรรมในชุดกิจกรรม
และทส่ี ำคัญต้องมีความซ่ือสตั ยน์ ะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

5
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ

แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ที่ 9

ศกึ ษาข้ันตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้
ศึกษาผลการเรียนรู้ และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศกึ ษาใบความรู้ท่ี 9.1-9.2
และทำใบกจิ กรรม

ศกึ ษาเนอื้ หา ศึกษาเน้อื หาสาระใบความรู้
ตวั อย่างการหาคำตอบตามเทคนิค KWDL

ในชุดท่ี 8 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำใบกิจกรรม 9.1-9.2

ตรวจใหค้ ะแนนดว้ ยตนเอง

ไมผ่ า่ นเกณฑ์ร้อยละ 80

ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80

เก็บสถติ ิคะแนน

ทดสอบหลังเรียน

ไม่ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80 ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80

จบชดุ ที่ 9

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

6
ชุดท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

การจัดการเรียนรแู้ บบแบง่ กลุม่ ผลสมั ฤทธ์ิ (STAD) โดยเนน้ เทคนิค KWDL

ข้นั ที่ 1 ข้ันนำเขา้ สบู่ ทเรยี น
กระตุ้นความสนใจ เตรียมความพร้อมของนกั เรยี น หรอื ทบทวนความรทู้ ่จี ำเปน็

ข้ันที่ 2 ขัน้ เสนอบทเรียนต่อท้ังช้ัน
ครูผู้สอนเสนอเนอื้ หาตอ่ นกั เรียนทงั้ ห้อง โดยใช้เทคนคิ วิธกี ารสอน

ส่ือการเรียนการสอนประกอบการอธบิ ายของครู

ข้นั ท่ี 3 ข้ันกิจกรรมกลุ่มยอ่ ยเทคนิค KWDL
นกั เรยี นที่มีความสามารถตา่ งกันทำงานร่วมกนั เป็นกลุ่มเล็กๆ กลุ่มละ 4 คน
(อัตราส่วน เก่ง : ปานกลาง : อ่อน = 1 : 2 : 1) นกั เรียนศึกษาใบความรู้

โดยเนน้ ความสมั พนั ธข์ องสมาชิกในกลมุ่ การนบั ถือของตนเอง
และการยอมรับเพ่ือนท่ีเรยี นออ่ น แล้วใหน้ กั เรียนทำใบกิจกรรมตามผงั KWDL
1. (K) นกั เรยี นรู้อะไรจากท่ีโจทย์ 2. (W) นกั เรยี นหาสง่ิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
3. (D) นกั เรยี นต้องทำอะไรเพ่ือหาคำตอบ 4. (L) นักเรียนสรปุ สง่ิ ทไ่ี ด้เรียนรู้

ขน้ั ท่ี 4 ข้ันตอนการตรวจสอบผลงานและทดสอบ
เม่ือนกั เรยี นทำแบบฝกึ ทักษะเสรจ็ แลว้ ใหน้ ักเรยี นตรวจผลงานของสมาชิกจนครบทุกคน

ถ้าพบขอ้ ผดิ พลาดใหเ้ พอื่ นอธิบายซ้ำจนเข้าใจและทำการทดสอบ
หลังเรยี นรายบุคคล จากน้ันหัวหน้ากลุ่มรวบรวมผลงานของสมาชกิ ทกุ คนสง่ ใหค้ รู

ข้นั ที่ 5 ข้นั สรุปบทเรยี นและอภิปรายผลการทำงานกลุ่ม
นักเรียนชว่ ยกันอภิปรายสรุปสงิ่ ที่ไดจ้ ากการปฏบิ ัติกจิ กรรมการเรียนรู้
นำคะแนนแบบทดสอบหลงั เรยี นรายบคุ คล มาสรุปเปน็ คะแนนเฉล่ียของกลุ่ม
ยกยอ่ งกลุ่มท่ีได้คะแนนเฉลย่ี สูงสุด และให้กำลงั ใจกลุ่มทีไ่ ดค้ ะแนนเฉลย่ี นอ้ ย

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

7
ชุดท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

ผลการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรเู้ พม่ิ เตมิ
/จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรียนรู้

สาระจำนวนและพชี คณิต
เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟังก์ชนั ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้
ผลการเรียนรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคณู การหารฟงั ก์ชนั หาฟงั กช์ นั ประกอบ

และฟังก์ชนั ผกผัน
2. ใช้สมบตั ิของฟงั กช์ นั ในการแกป้ ญั หา

สาระการเรียนรู้เพม่ิ เติม

ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ฟงั ก์ชันในชวี ติ จริง กราฟของฟงั ก์ชัน การดําเนินการของฟงั ก์ชัน

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ นักเรยี นสามารถ
1. อธิบายเกย่ี วกบั อินเวอรส์ ของฟังก์ชันได้
2. อธิบายเก่ียวกับฟงั ก์ชนั ประกอบได้
ด้านทักษะ/กระบวนการ นักเรียนสามารถ
1. แกป้ ัญหาเกย่ี วกับอนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ นั และฟงั กช์ ันประกอบได้
2. ใหเ้ หตผุ ลเกยี่ วกับอินเวอร์สของฟังกช์ ันและฟงั ก์ชนั ประกอบอยา่ งสมเหตสุ มผล
3. ใช้ภาษา หรอื สญั ลกั ษณ์ หรอื แผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพอื่ เขียนอธบิ ายหรอื
นำเสนอขนั้ ตอนการเขยี นอธิบายเกยี่ วกับอนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั และฟงั ก์ชนั ประกอบได้
ด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ นักเรียนมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรียน
2. ความม่งุ มน่ั ในการทำงาน
3. ความรบั ผดิ ชอบ
4. ความรอบคอบ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

8
ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
คำช้ีแจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. กำหนด f ( x ) = x +1 แลว้ D f –1 เทา่ กบั ข้อใด

ก. D f –1 = (0, ) ข. D f –1 = (- , 0)

ค. D f –1 = [0, ) ง. D f –1 = (- , 0]

2. อินเวอร์สของ f ( x ) = x 3 + 8 คอื ข้อใด

ก. f-1(x) = 3 x −8 ข. f-1(x) = x 3 - 8
ค. f-1(x) = 3 x + 8 ง. f-1(x) = 3x 3 + 8

3. ให้ f ( x ) = x +1 แลว้ f-1(-2) เทา่ กบั ขอ้ ใด
2

ก. 6 ข. - 6

ค. 8 ง. - 8

4.
ให้ f = {(x, y) y = 9 − x2 } กราฟของ f-1 ตรงกับข้อใด
ก. ข.
33

-3 0 3 03

ค. ง. -3

-3 0 3 3
0
-3

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

9
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ

5. อนิ เวอรส์ ของ f (x, y) y 4x − 3 คอื ข้อใด
3x −
=  = 5 

5x -3 5x + 3
ก. 3x -4 ข. 3x + 4

ค. 3x - 4 ง. 3x +4
5x - 3 5x +3

6. ถ้า f =(1,2),(2,4),(4,6),(6,8) และ g =(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1. gof =(1,2),(2,3)
2. fog =(1,2),(2,4),(4,8)

ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง

ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง ข. 1. ถกู และ 2. ผิด
ก. 1. ถกู และ 2. ถกู ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

7. ถ้า f(x)= 9 − x2 และ g(x)= x +2

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
1. (gof)(x)=11− x2 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. (fog)(x)= 5−4x − x2

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง
ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

8. ถา้ f ( x + 3 ) = 4x – 5 และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ข. 1. ถกู และ 2. ผิด
1. ( fog –1 ) ( 5 ) = 33 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. ( gof–1 ) ( -1 ) = - 19

ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง

ก. 1. ถูก และ 2. ถูก

ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

10
ชดุ ท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

9. ให้ f ( x ) = x + 1 และ g ( x ) = 5x – 3 แล้ว ( fog –1 ) ( 7 ) เท่ากบั ขอ้ ใด
2

ก. 2 ข. - 2
ค. 4 ง. - 4

10. ให้ f ( x ) = x + 2, g ( x ) = x2 และ h ( x ) = x3 แลว้ fo(goh) เท่ากับข้อใด

ก. x6 +6 ข. x6 - 6
ค. x6 +8 ง. x6 + 2

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

11
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบก่อนเรียน

ชอ่ื – นามสกุล ..................................................................... ชน้ั ................. เลขท่ี ...........

คำชีแ้ จง จงทำเคร่ืองหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี นเสร็จแลว้
ไป...เรยี นรเู้ ก่ียวกับอนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ ัน

และฟังกช์ ันประกอบ…กนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

12
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั

การหาอินเวอรส์ ของฟงั กช์ ันก็เหมอื นกบั การหาอนิ เวอร์สของความสมั พันธ์ เชน่
f = { ( 1, -1 ) , ( 2, 0 ) , ( 3, 2 ), (4, 1 ) , ( 5, 2 ) }
g = { ( -4, 4 ) , ( -2, 2 ) , ( 0, 0 ), ( 2, 2 ) , ( 4, -4 ) }
จะไดอ้ นิ เวอร์สของ f และ g ดังน้ี
f –1= { ( -1, 1 ) , ( 0, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 1, 4 ) , ( 2, 5 ) }

g-1 = { ( 4, -4 ) , ( 2, -2 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 2 ) , ( -4, 4 ) }

หมายเหตุ จากตวั อยา่ งสรุปได้วา่ อนิ เวอรส์ ของฟังกช์ นั ไม่จำเป็นตอ้ งเปน็ ฟังกช์ นั
ในกรณที ก่ี ำหนดฟังก์ชัน y = f ( x ) ซงึ่ เป็นฟงั กช์ ันหน่งึ ต่อหน่ึง
และต้องการหา f –1( x ) มวี ิธกี ารหา 2 วธิ ีคอื

วิธที ี่ 1 โดยการสลบั ตัวแปรมวี ิธกี ารดังน้ี
1. เขยี น y = f ( x ) ( ตามท่กี ำหนดให้ )
2. สลบั ตวั แปรระหวา่ ง x และ y ในสมการ y = f ( x )
3. คำนวณหา y ในรปู ของ x จากสมการใหมใ่ นขอ้ 2
4. y ทไ่ี ดใ้ น ข้อ 3 คือ f –1 ( x ) นนั่ คือ y = f –1 ( x )

วธิ ีที่ 2 โดยการใช้ทฤษฎบี ท
วธิ กี ารน้ีมขี ้ันตอนดังน้ี ( ดตู วั อยา่ งประกอบ )
กำหนด y = f ( x ) = x + 1 จงหา f –1 ( x )

ลำดับขัน้ ตอน ตวั อยา่ ง

1. เขียน y = f ( x ) 1. x + 1 = f ( x )
2. จะได้ f –1 ( y ) = x (ทฤษฎบี ท) 2. f –1 ( x + 1 ) = x
3. ให้ y = k แล้วแกส้ มการหา x 3. ให้ x + 1 = k จะได้
4. แทนคา่ y และ x ทไ่ี ดจ้ ากขอ้ 3
ลงในสมการข้อ 2 จะได้ f –1 ( k) x = k–1
5. แทน k ดว้ ย x จะได้ f –1 ( x ) f –1 ( k) = k – 1
4. f –1 ( x ) = x – 1

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

13
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่างท่ี 1

กำหนดฟงั กช์ นั f(x) = 2x + 4 จงหา D f –1 และ f –1(x)
(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ f(x) = 2x + 4
2. W (What we want to know)
นักเรียนหาสิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบหรอื ส่งิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
สง่ิ ทน่ี ักเรยี นต้องการรู้ หา D f –1 และ f –1 (x)
3. D (What we do to find out)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพื่อหา วิธแี ก้ปัญหา
คำตอบตามทโ่ี จทย์ตอ้ งการ หรอื สงิ่ ที่
ตนเองต้องการรู้ เน่ืองจาก f(x) = 2x + 4 เปน็ ฟงั กช์ นั หนงึ่ ต่อหนึ่ง

4. L (What we learned) จาก R ไปทั่งถงึ R
นักเรียนสรปุ สิ่งทไ่ี ด้เรยี นรู้
ดงั นน้ั f –1 เปน็ อนิ เวอร์สฟังกช์ ันหน่ึงต่อหน่ึงจาก

R ไปทวั่ ถงึ R

( 1 ) D f –1 = R
( 2 ) ในทน่ี ี้จะแสดงวิธหี า f –1 (x) ทัง้ สองวธิ ดี งั น้ี

วธิ ที ่ี 1 เขียน y = f(x) = 2x + 4

สลับตัวแปร x = 2y + 4

หาคา่ y ในรปู x x−4
2
จะได้ y =

ดังนนั้ f –1 (x) = x−4
2
วธิ ีท่ี 2 เขยี น 2x + 4 = f (x)

ดงั น้ัน f –1 ( 2x + 4 ) = x

ให้ 2x + 4 = k
k−4
จะได้ x = 2

ดังนน้ั f –1 ( k ) = k−4
2
f –1 ( x ) x−4
ดังนั้น = 2 เมอ่ื xR

คำตอบและความรูท้ ีไ่ ดร้ ับ x−4
2
D f –1 = R และ f –1 ( x ) =

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

14
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ

ตวั อย่างที่ 2

กำหนดฟังกช์ ัน f ( x ) = 5x +4 เมื่อ x  [0, 10 ] จงหา f –1 ( x )
(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นกั เรียนรอู้ ะไรบา้ งจากที่โจทยก์ ำหนดให้ f ( x ) = 5x +4 เมื่อ x  [0, 10 ]

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนหาส่งิ ท่โี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ หา f –1 ( x )
สง่ิ ท่ีนักเรยี นต้องการรู้
3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ัญหา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพ่ือหา
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรือสง่ิ ท่ี กอ่ นอืน่ หา D f –1 จาก R f
ตนเองตอ้ งการรู้ เนอื่ งจาก 0  x  10

4. L (What we learned) ดังน้ัน 0  5x  50
นกั เรียนสรุปสิง่ ที่ไดเ้ รียนรู้
4  5x + 4  54

ดังนน้ั 2  5x +4  3 6

ดงั นั้น R f = [2, 3 6 ] = D f –1

ตอ่ ไปหา f –1 ( x )

เน่ืองจาก y = f ( x ) = 5x +4

สลบั ตัวแปร x = 5y +4

ดังนั้น 5y + 4 = x2
x2 − 4
y = 5

คำตอบและความร้ทู ่ีไดร้ บั
x2 − 4
ดงั นน้ั f –1 ( x )= 5 เมอื่ x  [2, 3 6]

ผ่านไปสำหรบั ตัวอย่างท่ี 2
สำหรบั การหาอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชัน
ไปดตู ัวอย่างขอ้ ต่อไป..กนั ตอ่ เลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

15
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่างท่ี 3

กำหนดฟังกช์ นั f (3x – 4) = 4x + 3 จงหา f –1 ( x )
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f (3x – 4) = 4x + 3

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทยต์ ้องการทราบ
นักเรยี นหาส่ิงท่ีโจทย์ต้องการทราบหรอื หา f –1 ( x )
สงิ่ ท่ีนักเรยี นตอ้ งการรู้
3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอ่ื หา
คำตอบตามที่โจทยต์ ้องการ หรอื ส่ิงท่ี วธิ กี ารท่ีสะดวกในการหา f –1 ( x ) ในตวั อย่างน้ี คือ
ตนเองตอ้ งการรู้
ใช้ทฤษฎีดงั นี้
4. L (What we learned)
นกั เรียนสรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ 4x + 3 = f ( 3x -4 ) … ( 1 )

ดังน้ัน f –1 ( 4x + 3 ) = 3x – 4

สมมตุ ใิ ห้ 4x + 3 = k
k 3
ดังนนั้ x = − …(2)

จาก ( 1 ) และ ( 2 ) 4

จะได้ f –1 ( k ) = 3 (k − 3 ) – 4

4
3k − 9 − 16
f –1 ( k ) = 4

ดงั น้นั f –1 ( x ) = 3x − 25
4
คำตอบและความรู้ท่ไี ดร้ บั
3x − 25
ดงั นน้ั f –1 ( x ) = 4

ผ่านไปแลว้ สำหรบั ตัวอย่างที่ 3
จะเห็นวา่ การหาอนิ เวริ ์สของฟงั กช์ นั
งา่ ยมากๆ ไปดูตวั อย่าง....กันต่อเลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

16
ชุดท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

ตวั อย่างที่ 4

กำหนดฟงั กช์ ัน f ( x ) = x − 1 จงหา f –1 (3) และ f –1 (4)

3

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้
นักเรียนรู้อะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ x −1
f ( x ) = 3
2. W (What we want to know)
นกั เรยี นหาสงิ่ ทโี่ จทย์ต้องการทราบหรือ สิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ
สง่ิ ท่ีนกั เรยี นต้องการรู้
3. D (What we do to find out) หา f –1 (3) และ f –1 (4)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่อื หา
คำตอบตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรือส่ิงท่ี วิธีแก้ปญั หา
ตนเองตอ้ งการรู้
โดยทฤษฎีบท x 1

จาก − = f(x)

3
–1 x 1
จะได้ f ( − ) = x

3
x −1
1) สมมตุ ิให้ 3 =3 จะได้ x = 10

ดงั นน้ั f –1 ( 3 ) = 10

2) สมมตุ ใิ ห้ x −1 = -4 จะได้ x = - 11
3
ดังนั้น f –1 ( - 4 ) = -11

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ทไ่ี ดร้ ับ
นักเรียนสรปุ สิง่ ท่ีไดเ้ รียนรู้ f –1 ( 3 ) = 10

f –1 ( - 4 ) = -11

ผา่ นไปสำหรบั ตัวอย่างท่ี 4
สำหรบั การหาอนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั
ไปดตู วั อยา่ งท่ี 5 ..กันตอ่ เลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

17
ชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

ตวั อย่างท่ี 5

2x + 2 เมื่อ x  0
กำหนดฟังกช์ นั f(x) =

- x2 - 1 เมอื่ x < 0
จงหา f –1 (x), f- -1(1) และ f--1(-5)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นกั เรียนรูอ้ ะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ 2x + 2 เมื่อ x  0

f(x) =

- x2 - 1 เมอ่ื x < 0

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
นักเรียนหาสิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบหรอื
สงิ่ ทนี่ ักเรียนต้องการรู้ f –1 (x), f- -1(1) และ f--1(-5)

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปัญหา
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอ่ื หา
คำตอบตามท่โี จทย์ต้องการ หรอื ส่ิงที่ 1) พจิ ารณา f(x) = 2x + 2 เมอื่ x 0 , y  2
ตนเองต้องการรู้
สลบั ตวั แปร x = 2y + 2 เม่ือ y  0, x  2
x−2
y = 2 เมอื่ x  2

f –1(x) = x−2 เมอ่ื x 2
2

2) พิจารณา f(x) = - x2 – 1 เมื่อ x < 0 , y < -1
สลับตวั แปร x = - y2 – 1 เมอื่ y < 0, x < - 1

y = − − x −1 เม่อื x < - 1
นนั่ คือ f – 1(x) = − − x −1 เมือ่ x < - 1

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

18
ชุดที่ 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

3. D (What we do to find out) จาก 1) และ 2) จะได้ว่า
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพือ่ หา x−2
คำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรือส่งิ ที่ 2 เม่ือ x  2
ตนเองตอ้ งการรู้
f – 1(x) =
4. L (What we learned)
นักเรียนสรุปส่งิ ทีไ่ ดเ้ รยี นรู้ − − x −1 เมอ่ื x < - 1

แสดงวา่ Df-1 = (- , −1 ) [2, )

3) ไม่สามารถหา f- -1(1) ได้ และ 1 Df-1
4) เนือ่ งจาก - 5 Df-1 ดงั นน้ั

f--1(-5) = - − (−5) −1

=- 4
= -2

คำตอบและความร้ทู ีไ่ ดร้ ับ เมอ่ื x  2
x−2
2
f – 1(x) =

− − x −1 เมื่อ x < - 1
ไมส่ ามารถหา f- -1(1) ได้

f--1(-5) = - 2

ผ่านไปแล้วสำหรบั ตวั อยา่ ง
การหาอนิ เวริ ์สของฟังกช์ นั
จะเห็นวา่ งา่ ยมากๆ ไปฝึกทักษะ....กันเลยครับ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

19
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ

ใบกิจกรรมที่ 9.1 อินเวิรส์ ของฟังก์ชัน

1) กำหนดให้ f(x) = x + 3 จงหา f -1 แล้วเขียนกราฟของ f และ f -1
(5 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสือ่ สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครบั แนน)

นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ (1 ครบั แนน)

นกั เรียนหาสิ่งทโี่ จทย์ต้องการทราบหรือ .............................................................................

สิ่งทนี่ กั เรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปัญหา (2 ครับแนน)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื ส่ิงที่ .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ่ีได้รบั (1 ครับแนน)
นักเรยี นสรปุ สงิ่ ทีไ่ ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

20
ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

คำช้แี จง 2) กำหนดฟงั ก์ชนั f : R → R และ g : R → R

โดยท่ี f (x) = x + 1 และ g(x) = 5x – 3
2
จงหา f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 ) (5 คะแนน)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ

ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นักเรยี นร้อู ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ที่โจทย์ต้องการทราบ (1 ครบั แนน)

นักเรียนหาสิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรอื .............................................................................

สิ่งทนี่ ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ัญหา (2 ครบั แนน)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หา .............................................................................
คำตอบตามที่โจทย์ต้องการ หรอื สิ่งที่ .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความร้ทู ี่ไดร้ ับ (1 ครบั แนน)
นักเรยี นสรปุ ส่ิงที่ได้เรยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

21
ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

ฟังก์ชนั ประกอบ ( Composite Function )

บทนิยาม
ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ ันจาก A ไป B g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C และ Rf Dg  
ฟงั กช์ นั ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย gof คอื ฟังก์ชนั จาก A ไป C ทมี่ โี ดเมน

 คอื Dgof = xDf f(x)Dg และกำหนดโดย ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )

สำหรับทกุ x ใน Dgof

ขอ้ ควรระวัง Rf  Dg = ไมส่ ามารถหาฟงั กช์ นั fog ได้

gof ต้องเริ่มจาก f ก่อน แลว้ ตามดว้ ย g

fog ตอ้ งเริ่มจาก g ก่อน แลว้ ตามด้วย f

นยิ มใช้สัญลกั ษณ์ gof(x) = g(f(x))

fog(x) = f(g(x))

เหน็ ไหมครบั วา่ ฟงั ก์ชนั ประกอบ
(Composite Function) ไมย่ ากเลย

ไปศึกษาตวั อยา่ งกันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

22
ชดุ ที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ

การหาฟังก์ชันประกอบ

ตัวอยา่ งท่ี 1

กำหนดฟังกช์ นั f = { (1,a) ,(2,a) ,(3,b) ,(4,c) ,(5,d) }
g = { (a,2) , (b,4) , (c,6) ,(e,8) } จงหา gof และ fog

(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรียนร้อู ะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ ฟังก์ชนั f = { (1,a) ,(2,a),(3,b) ,(4,c) ,(5,d) }

g = { (a,2) , (b,4) , (c,6) ,(e,8) }

2. W (What we want to know) ส่ิงท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ

นกั เรยี นหาสิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื หา fog และ gof

สง่ิ ท่ีนกั เรยี นต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปญั หา

นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพื่อหา 1) หา gof

คำตอบตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรือสิ่งท่ี เน่อื งจาก Rf = { a, b, c, d },
ตนเองตอ้ งการรู้ Dg = { a ,b ,c , e }

ดงั น้ัน Rf  Dg = { a, b , c }
ดงั นั้น Dgof = { 1 ,2 , 3 , 4 }

fg

1 a2
2 b4
3 c6
45 de 88

gof

ดงั นนั้ gof = { (1,2) , (2 ,2) , (3,4) , (4,6) }

(2) หา fog

เนื่องจาก Rg = { 1, 4, 6, 8 },
Df = { 1, 2, 3, 4,5 }

จะได้ Rg Df = { 2 , 4 }
จะได้ Dfog = { a, b }

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

23
ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

3. D (What we do to find out) a g1fa
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หา b2b
คำตอบตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรือสิง่ ที่ c 3c
ตนเองตอ้ งการรู้
e 4d
4. L (What we learned) 5
นักเรียนสรุปสิ่งท่ไี ดเ้ รียนรู้ 6
8

fog

ดงั นั้น fog = { (a,a) , (b,c) }
คำตอบและความร้ทู ่ไี ดร้ ับ
gof = { (1,2) , (2 ,2) , (3,4) , (4,6) }
fog = { (a,a) , (b,c) }

ตัวอยา่ งที่ 2

กำหนดฟังกช์ นั f(x) = 3x + 1 และ g(x) = x จงหา (gof)(x) และ (fog)(x) (ถ้ามี)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิง่ ที่โจทย์กำหนดให้ x
นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f(x) = 3x + 1 และ g(x) =

2. W (What we want to know) สิง่ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ
นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทยต์ ้องการทราบหรือ หา (gof)(x) และ (fog)(x)
สิง่ ทีน่ กั เรยี นตอ้ งการรู้
วธิ แี ก้ปัญหา
3. D (What we do to find out) 1 ) หา ( gof ) ( x )
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพ่ือหา เนอื่ งจาก R f = R และ Dg = [0, )
คำตอบตามที่โจทย์ต้องการ หรอื ส่ิงท่ี
ตนเองตอ้ งการรู้ ด้งั นั้น R f  D g = [0, )  
หา ( gof ) ( x ) ไดโ้ ดยที่ D gof = [- 1 , )

3

ดังนัน้ ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ))
= g ( 3x + 1 )

= 3x+1
เม่อื x  [- 1 , )

3

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

24
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ

3. D (What we do to find out) 3 ) หา ( fog ) ( x )
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่อื หา เนื่องจาก R g = [0, ) และ D f = R
คำตอบตามท่ีโจทย์ต้องการ หรอื ส่งิ ท่ี
ตนเองตอ้ งการรู้ ดงั น้นั R g  D f = [0, ) = R g  
แสดงว่า มี ( fog ) ( x ) โดยที่ D fog = [0, )
4. L (What we learned) และ ( fog ) ( x ) = f ( g ( x ) )
นักเรียนสรุปสิง่ ท่ไี ดเ้ รียนรู้
= f( x )
= 3 x + 1 เม่ือ x  [0, )
คำตอบและความรูท้ ไ่ี ดร้ ับ

( gof ) ( x ) = 3x+1
( fog ) ( x ) = 3 x + 1

ตวั อย่างที่ 3

กำหนดฟงั ก์ชัน f(x) = x + 2, g(x) = x2 และ h(x) = x3 จงหา (fog)oh ( ถ้ามี )
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้
นกั เรียนรอู้ ะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ f(x) = x + 2, g(x) = x2 และ h(x) = x3

2. W (What we want to know) สง่ิ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบ
นกั เรียนหาส่งิ ทีโ่ จทย์ต้องการทราบหรอื หา (fog)oh
ส่ิงทีน่ กั เรยี นตอ้ งการรู้
วธิ แี ก้ปัญหา
3. D (What we do to find out) พิจารณา ( fog )
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพ่ือหา เนอ่ื งจาก D f = R , Rg= [0, ) ดงั น้นั R g D f
คำตอบตามทโี่ จทย์ตอ้ งการ หรือส่ิงที่ แสดงวา่ สามารถสรา้ ง fog ได้
ตนเองตอ้ งการรู้ และ D fog = R
ต่อไปพจิ ารณา ( fog )oh
เนอ่ื งจาก D fog = R ดงั นนั้ R h  D fog
แสดงวา่ สามารถสรา้ ง ( fog ) oh ได้
และ D ( fog ) oh = R

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

25
ชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ

3. D (What we do to find out) ( ( fog ) oh ) ( x ) = ( fog ) ( h ( x ) )
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหา = ( fog ) ( x 3 )
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรอื สง่ิ ที่ = f(g(x3))
ตนเองตอ้ งการรู้ = f(x6)
= x 6 + 2 เม่อื x  R
4. L (What we learned)
นกั เรยี นสรุปสงิ่ ทไ่ี ดเ้ รยี นรู้ คำตอบและความรู้ทไ่ี ด้รับ
( fog ) oh = {( x, y )| y = x 6 + 2 และ x R }

ตวั อยา่ งที่ 4

กำหนด f ( x ) = x + 1 และ g ( x ) = 5x – 3 จงหา ( fog –1 ) ( 7 ) (ถ้ามี)
2
(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
x
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ f(x) = 2 +1 และ g ( x ) = 5x – 3

2. W (What we want to know) สิง่ ทีโ่ จทยต์ ้องการทราบ

นักเรียนหาสิ่งที่โจทยต์ ้องการทราบหรือ หา ( fog –1 ) ( 7 )

สิ่งท่นี กั เรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปัญหา

นกั เรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอ่ื หา เนือ่ งจาก g ( x ) = 5x – 3

คำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรือสิง่ ที่ จะได้ g-1(5x-3) = x

ตนเองต้องการรู้ ให้ 5x – 3 = 7

จะได้ x = 2

ดงั นน้ั g-1(7) = 2

จาก (fog-1)(7) = f(g-1(7))

= f (2)
2
= 2 +1

=2

4. L (What we learned) คำตอบและความรูท้ ีไ่ ด้รบั

นกั เรยี นสรุปสงิ่ ทีไ่ ด้เรยี นรู้ (fog-1)(7) = 2

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

26
ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ

ใบกิจกรรมท่ี 9.2 ฟังกช์ นั ประกอบ

1) กำหนดฟังก์ชัน f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

จงหา gof และ fog (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นกั เรียนรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ (1 ครบั แนน)

นักเรียนหาสิง่ ทโี่ จทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................

ส่ิงท่นี กั เรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ัญหา (2 ครับแนน)
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรอื ส่ิงที่ .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรูท้ ี่ได้รับ (1 ครบั แนน)
นกั เรยี นสรุปส่ิงที่ได้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

27
ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

คำชแี้ จง 2) ให้ f(x) = 9 − x2 และ g(x)= x + 2 จงหาฟงั ก์ชนั gof และ fog

พร้อมท้ังบอกโดเมนของฟังก์ชนั ท้ังสอง (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นักเรียนร้อู ะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 ครบั แนน)
นักเรียนหาสิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรือ .............................................................................
ส่งิ ทน่ี ักเรยี นต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปญั หา (2 ครบั แนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรือสิง่ ท่ี .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ่ีได้รบั (1 ครับแนน)
นักเรียนสรุปส่ิงทไี่ ดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

28
ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
คำช้ีแจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. ให้ f ( x ) = x +1 แลว้ f-1(-2) เทา่ กับขอ้ ใด
2

ก. 6 ข. - 6

ค. 8 ง. - 8

2.
ให้ f = {(x, y) y = 9 − x2 } กราฟของ f-1 ตรงกบั ข้อใด
ก. ข.
33

-3 0 3 0 3
ค. ง. -3

-3 0 3 3
0
-3

3. อนิ เวอร์สของ f (x, y) y 4x − 3 คือข้อใด
3x −
=  = 5 

5x -3
ก. 3x -4 ข. 5x + 3
3x + 4
3x - 4 3x + 4
ค. 5x - 3 ง. 5x + 3

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

29
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

4. กำหนด f ( x ) = x +1 แลว้ D f –1 เทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. D f –1 = (0, ) ข. D f –1 = (- , 0)

ค. D f –1 = [0, ) ง. D f –1 = (- , 0]

5. อินเวอรส์ ของ f ( x ) = x 3 + 8 คอื ข้อใด

ก. f-1(x) = 3 x −8 ข. f-1(x) = x 3 - 8
ค. f-1(x) = 3 x +8 ง. f-1(x) = 3x 3 + 8

6. ให้ f ( x ) = x +1 และ g ( x ) = 5x – 3 แลว้ ( fog –1 ) ( 7 ) เท่ากับขอ้ ใด
2

ก. 2 ข. - 2

ค. 4 ง. - 4

7. ให้ f ( x ) = x + 2, g ( x ) = x2 และ h ( x ) = x3 แลว้ fo(goh) เท่ากบั ข้อใด

ก. x6 +6 ข. x6 - 6
ค. x6 +8 ง. x6 + 2

8. ถา้ f = (1,2),(2,4),(4,6),(6,8) และ g = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)
พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
1. gof = (1,2),(2,3)
2. fog =(1,2),(2,4),(4,8)

ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
ก. 1. ถูก และ 2. ถกู ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

30
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ

9. ถ้า f(x) = 9 − x2 และ g(x)= x + 2 ข. 1. ถกู และ 2. ผิด
ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
พิจารณาข้อความต่อไปน้ี
1. (gof)(x)=11− x2
2. (fog)(x) = 5−4x − x2
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง
ก. 1. ถูก และ 2. ถูก
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

10. ถ้า f ( x + 3 ) = 4x – 5 และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
1. ( fog –1 ) ( 5 ) = 33 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. ( gof–1 ) ( -1 ) = - 19

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง

ก. 1. ถูก และ 2. ถกู
ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

31
ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

ชอ่ื – นามสกลุ ..................................................................... ช้นั ................. เลขท่ี ...........

คำช้ีแจง จงทำเครือ่ งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ถ้านกั เรยี นทราบผลคะแนนแลว้
อยู่ในเกณฑท์ ี่ไม่น่าพอใจ

ลองกลับไปศึกษาเนื้อหาไดอ้ ีกนะครบั ...

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

32
ชดุ ที่ 9 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ

แบบบนั ทกึ คะแนน

ชดุ กจิ กรรม ชดุ ท่ี 9 เร่ือง อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ

ชอ่ื .............................................................เลขที่...........ชน้ั ...........ห้อง........

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
10
ใบกิจกรรมที่ 9.1 10
ใบกิจกรรมท่ี 9.2 10
แบบทดสอบหลังเรียน 40

รวม

เกณฑ์การประเมนิ ในแต่ละชดุ นกั เรยี นตอ้ งทำใบกิจกรรม ให้ได้คะแนน

ไม่นอ้ ยกวา่ รอ้ ยละ 80 เชน่ ใบกิจกรรมทมี่ ี 10 คะแนน นักเรยี นตอ้ ง

ทำใหไ้ ดไ้ มน่ อ้ ยกวา่ 8 คะแนนจึงจะถอื ว่า “ผา่ นเกณฑ์”

“ผา่ นเกณฑ์” “ไมผ่ ่านเกณฑ์”

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

33
ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน เฉลยใบกจิ กรรม
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชดุ ท่ี 9
อนิ เวอร์สของฟังกช์ ันและฟงั กช์ ันประกอบชุดที่ 2
แฟกทอเรียลและวธิ ีเรียงสับเปลี่ยน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

34
ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน ชุดที่ 9

ขอ้ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ชุดที่ 9

1. ค. D f –1 = [0, ) ขอ้ คำตอบ
2. ก. f-1(x) = 3 x −8 6. ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
7. ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
3. ข. - 6 8. ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู
9. ก. 2
4. ข. 5x - 3 10. ง. x6 + 2
3x - 4
5. ก.

ถา้ นักเรียนทราบผลคะแนนแล้ว
อยู่ในเกณฑท์ ไ่ี ม่น่าพอใจ

ลองกลบั ไปศกึ ษาเนอ้ื หาไดอ้ กี นะครับ...

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

35
ชุดที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 9.1 อนิ เวิร์สของฟงั ก์ชัน

1) กำหนดให้ f(x) = x + 3 จงหา f -1 แล้วเขียนกราฟของ f และ f -1
(5 คะแนน)

(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร)์
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นกั เรียนรอู้ ะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ f(x) = x + 3

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาส่งิ ทโี่ จทยต์ อ้ งการทราบหรือ เขยี นกราฟของ f และ f -1
สง่ิ ที่นกั เรยี นตอ้ งการรู้
วิธีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพือ่ หา จาก y = f(x) = x + 3
คำตอบตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ หรือสิ่งท่ี
ตนเองตอ้ งการรู้ y2 = x +3

จะได้ Df = - 3,) และ Rf = 0,)
ทำให้ และ
R - 1 = - 3,) D - 1 = 0, )
f f
ดังนนั้ f -1(x) = x2 − 3, x 0,)

เขียนรปู ในเซต

 f = (x,y)y = x + 3

 f - 1 = (x,y)x = y + 3

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ีได้รบั (1 คะแนน)
นกั เรียนสรุปส่ิงทไี่ ด้เรียนรู้ f -1(x) = x2 − 3, x 0,)

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

36
ชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ

คำชแี้ จง 2) กำหนดฟังก์ชนั f : R → R และ g : R → R
x
โดยที่ f (x) = 2 +1 และ g ( x) = 5x – 3

จงหา f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 ) (5 คะแนน)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่โี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
x
นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ f (x) = 2 +1 และ g(x ) = 5x – 3

2. W (What we want to know) สิ่งที่โจทยต์ อ้ งการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทย์ต้องการทราบหรือ f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 )

ส่งิ ทนี่ ักเรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพอ่ื หา x
คำตอบตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งที่ จาก f ( x ) = 2 + 1
ตนเองตอ้ งการรู้
จะได้ f -1 ( x + 1) = x
4. L (What we learned) 2
นักเรียนสรปุ ส่งิ ทไ่ี ด้เรียนรู้ x
ให้ 2 + 1 = -2 จะได้ x =- 6

ดังน้ัน f-1(-2) = - 6

จาก g ( x ) = 5x - 3
จะได้ g -1 (5x - 3) = x

ให้ 5x - 3 = 2 จะได้ x = 1

ดังน้นั g-1(2) = 1

คำตอบและความรู้ที่ได้รับ (1 คะแนน)

f-1(-2) = - 6

g-1(2) = 1

ผา่ นไปแล้วสำหรับการหาอนิ เวิรส์ ของฟังกช์ นั
ไปดเู ฉลยใบกจิ กรรมท่ี 9.2

กันตอ่ เลยนะครับ เด็กทีน่ า่ รักทุกคน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

37
ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ

เฉลยใลกิจกรรมที่ 9.2 ฟงั กช์ นั ประกอบ

1) กำหนดฟงั ก์ชัน f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

จงหา gof และ fog (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสือ่ สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากที่โจทย์ กำหนดฟังกช์ ัน f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
กำหนดให้
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

2. W (What we want to สิ่งทโี่ จทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
know) จงหา gof และ fog
นักเรยี นหาสง่ิ ที่โจทย์ตอ้ งการ
ทราบหรือ วิธีแก้ปัญหา (2 คะแนน)
ส่ิงท่นี ักเรยี นตอ้ งการรู้ Rf Dg = 3,4,5

3. D (What we do to find
out)
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือ
หาคำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ
หรือสิง่ ท่ตี นเองต้องการรู้

4. L (What we learned) gof = (0,6),(1,7),(2,8)
นักเรยี นสรุปส่งิ ท่ีไดเ้ รยี นรู้ จากตวั อยา่ ง Rg Df =  ไม่สามารถหาฟงั ก์ชนั fog ได้

คำตอบและความรู้ทไี่ ดร้ บั (1 คะแนน)
gof = (0,6),(1,7),(2,8)
ไม่สามารถหาฟังกช์ ัน fog ได้

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

38
ชดุ ที่ 9 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ

คำชแี้ จง 2) ให้ f(x)= 9 - x2 และ g(x) = x + 2 จงหาฟังก์ชัน gof และ fog
พร้อมท้งั บอกโดเมนของฟงั ก์ชันทัง้ สอง (5 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้
2. W (What we want to know) ให้ f(x)= 9 - x2 และ g(x) = x + 2
นักเรยี นหาสง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบหรือ
สงิ่ ทีน่ ักเรียนต้องการรู้ สิ่งท่ีโจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
3. D (What we do to find out) หาฟงั กช์ นั gof และ fog
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือหา
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรือสิ่งท่ี วธิ ีแกป้ ัญหา (2 คะแนน)
ตนเองต้องการรู้ Df = R และ Rf = (− ,9
Dg = R และ Rg = R
4. L (What we learned)
นักเรยี นสรปุ สงิ่ ทีไ่ ดเ้ รยี นรู้ เน่อื งจาก Rf Dg = (− ,9  จงึ มี gof

และ Rg Df = R   จงึ มี fog

(gof)(x) = g(f(x)) = g (9 - x2)
= (9 - x2) + 2

ดงั น้นั (gof)(x) = 11 - x2

Dgof = x  D f f(x)  Dg 

 
= xR f(x)R

=R
(fog)(x) = f(g(x)) = f (x + 2)

= 9 - (x + 2)2
= 9 - (x2+ 4x +4)
ดังน้นั (fog)(x) = 5 - 4x - x2

Dfog = x Dg g(x)Df 

= xR g(x)R

=R
คำตอบและความรู้ท่ไี ด้รบั (1 คะแนน)

(gof)(x) = 11 - x2 , Dgof = R
(fog)(x) = 5 - 4x - x2, Dfog= R

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

39
ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 9

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชุดที่ 9

ข้อ คำตอบ ขอ้ คำตอบ
6. ก. 2
1. ข. - 6

2. ข. 7. ง. x6 + 2

3. ก. 5x - 3 8. ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
3x - 4
4. ค. D f –1 = [0, ) 9. ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
10. ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู
5. ก. f-1(x) = 3 x −8

ถา้ นกั เรียนทราบผลคะแนนแล้ว
อยใู่ นเกณฑท์ ่ีไมน่ ่าพอใจ

ลองกลับไปศกึ ษาเนอ้ื หาได้อกี นะครับ...

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

40
ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ

กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2551). หลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐานพทุ ธศักราช 2551.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรสุ ภาลาดพรา้ ว.

กมล เอกไทยเจริญ. (2555). Advanced Series คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เลม่ 2 (การให้เหตผุ ล-
ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชง่ิ .

กวิยา เนาวประทปี . (2548). เทคนคิ การเรียนคณติ ศาสตร์ : ความสมั พนั ธ์และฟงั ก์ชนั . กรงุ เทพฯ :
ฟิสกิ ส์เซ็นเตอร์.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. (2553). คมั ภรี ค์ ณิตศาสตร์ O – NET ม. 4 -5-6 กรุงเทพฯ : บรษิ ัท
สำนักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จำกดั .

_______. (2554). Mini คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.4 – 6 เล่ม 2 ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษา
ขนั้ พนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ : บรษิ ทั สำนกั พิมพ์ พ.ศ.พฒั นา จำกัด.

พชั รี ปญั ชะนะ. (2554). การสรา้ งชดุ กิจกรรมเพอ่ื พฒั นาการคดิ วิเคราะหโ์ จทย์ปัญหาการบวก
ลบ คูณ หารระคน ด้วยวธิ ีการเรียนรู้แบบแบ่งกล่มุ ผลสัมฤทธ์ิ (STAD) รว่ มกบั เทคนิค
KWDL สำหรบั นักเรยี นชนั้ ประถมศึกษาปีที่ 3. วทิ ยานพิ นธ์ ค.ม. อตุ รดติ ถ์ : มหาวทิ ยาลยั
ราชภัฏอตุ รดติ ถ.์

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4-6 กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์สกสค.ลาดพรา้ ว.

_______. (2558). หนังสือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4-6.
พิมพค์ ร้งั ที่ 8. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.ลาดพรา้ ว.

_______. (2560). คู่มือการใช้หลกั สูตร กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง 2560)
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. (ออนไลน์).
แหล่งทีม่ า : https://www.scimath.org/. [19 ตลุ าคม 2561]

_______. (2561). คูม่ ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4. (ออนไลน)์ .
แหล่งท่ีมา : https://www.scimath.org/ebook-mathematics/item/9119-4-2-9119
[19 ตุลาคม 2561]

_______. (2561). หนังสือเรียนรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 .
พิมพ์ครง้ั ที่ 1. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์แหง่ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย.

Krongthong Khairiree and Tran Vui. (2014). Textbook Discovering Mathematics 4.
Bangkok :PADA Education.

Randall I. Charles and others. (2010). Prentice Hall Mathematics Course 3.
The United State of America : Pearson Education.

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

41
ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 9 เรื่อง อนิ เวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 9 เรอ่ื งเลอ่มิน1เว-2อ.รก์สรขงุ อเทงฟพังมกห์ชาันนแคลระ:ฟสงั ำกน์ชกั ันพปิมรพะ์กบอรบิษัทใชเ้เรวือลงาแจสัดงกกาารรเพรียิมนพร์ (ู้ 220ช0่ัว2โ)มจงำปกัดระ, ก2อ5บ54ด.้วย
เนือ้สหุวรา ดกงั านญี้ จนมยรู . คณติ คิดเป็น ตอน การบวก ลบ คณู หาร พหนุ าม. กรงุ เทพมหานคร:

บรษิ ัท9เ.จ1า้)พอรินะเยวอากร์สารขพอมิงฟพัง์ จกช์ านั กดั (1, 2ช5วั่ 5โม3.ง)
9.2) ฟังกช์ ันประกอบ (1 ชวั่ โมง)

ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เร่ือง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน
ใบความรู้ ใบกิจกรรม ท่ีมีแนวทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และ
ภาคผนวก ซ่ึงประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
แบบบันทกึ คะแนนและเกณฑ์การประเมิน

1 a2
2 b4
3 c6
4 e8

gof

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน