4 ECเอกสาร คณิต เพิ่มเติม ม4 ฉบับรวม

เว็ปไซตส์ ำหรบั สบื คืนขอ้ มูล เนอ้ื หำ

1) คลังข้อสอบ 2) หนังสือคณิตฯ ม.4 พ้นื ฐำนเล่ม 1 3) หนงั สอื คณติ ศำสตรข์ ้นั สูง
อ.ธนวฒั น์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล
O-net, PAT1 วชิ ำสามญั ของ สสวท. หลกั สตู ร 2560

http://www.rathcenter.com

4) หนงั สือคณติ ศำสตร์ ม.4 เล่ม 1 5) ช่อง Youtube boybobi12 6) Youtube Nestle School Thailand

ของ อ.ธนวัฒน์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล คณติ ศำสตร์ ม.4 เซต(Set) EP. 1-9 ตรรกศำสตรเ์ บอื้ งต้น

เซต ตรรกศำสตร์

ตำรำงบนั ทึกคะแนน รำยวชิ ำคณิตศำสตร์พ้นื ฐำน รหสั วิชำ ค31101 ชั้นมธั ยมศึกษำปีที่ 4

หนว่ ยที่ ช่ือหน่วย ภำระงำน/ชนิ้ งำน น้ำหนกั
คะแนน
1 เซตและกำรดำเนนิ กำร ชที สอบ รวม
10 30 40 15

2 จำนวนสมำชิกและโจทยป์ ญั หำเซต 10 30 40 15

3 ตรรกศำสตร์ 10 30 40 20

4 กลำงภำค 20

5 ปลำยภำค รวม 70
30

รวม 100

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 1 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 1 เซต

เรอื่ ง การเขยี นเซต และสมาชิกของเซต
 จงเขยี นเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ
1) เซตของตวั อกั ษร 3 ตวั หลังในภาษาอังกฤษ 2) เซตของจาํ นวนนับท่ีน้อยกว่าหรือเทา่ กบั 5

3) เซตของเดอื นท่ลี งทา้ ยด้วย “ยน” 4) เซตของพยัญชนะในคาํ วา่ “คณิตศาสตร์”

5) เซตของจาํ นวนนบั ทอี่ ยูร่ ะหว่าง 5 ถึง 10 6) เซตของจํานวนเตม็ บวก

7) เซตของจํานวนเต็มทยี่ กกาํ ลังสองแลว้ ได้ 16 8) เซตของจํานวนนับท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั

 จงเขยี นเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ

1) {10, 20, 30, ...} 2) {มกราคม กุมภาพันธ์ มนี าคม, ... , ธนั วาคม}

3) {a , e, i, 0, u} 4) {1, 3, 5, 7, ... , 99}

5) {-1, -2, -3 , ... , -20} 6) {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}

7) {-7, 7} 8) {-5, -4, -3, ... , 18, 19, 20}

  ข้อความต่อไปน้ี ถกู หรอื ผิด

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 2 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

เรื่อง ชนิดของเซตและการเทา่ กนั ของเซต ชนดิ ของเซต ………………………
 เซตใดเปน็ เซตจํากัด เซตใดเปน็ เซตอนนั ต์ ………………………
2. เซตของรปู สี่เหลี่ยมมุ ฉาก
1. เซตของจาํ นวนเฉพาะบวก ……………………… …………………
3. เซตของเศษสว่ นท่ีมเี ศษเป็นศนู ย์ แตส่ ่วนไม่เป็นศนู ย์ …………………
4. เซตของจํานวนจรงิ ทสี่ อดคลอ้ งกับสมการ x + 15 = 0

จงพิจารณาวา่ เซตในข้อใดบา้ งเทา่ กนั และเซตในขอ้ ใดบ้างไม่เทา่ กนั
1.

2. ………………………
3. ………………………

แบบฝึกทักษะที่ 3 สับเซต

เร่ือง สบั เซต
ใหน้ กั เรยี นเขยี นสับเซตทัง้ หมดของเซตที่กำหนดให้ตอ่ ไปน้ี
1 A =  สบั เซต คือ
2 F = 1 สบั เซต คอื
3 G = 2, {2} สบั เซต คอื
4 H = , 3, {3} สบั เซต คือ

5 J = , 0, {, 0} สบั เซต คอื

2)

3)

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 3 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 4 เรอื่ ง เพาเวอรเ์ ซต

ให้นกั เรยี นเขยี นเพาเวอร์เซตจาก เซตที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) A =  2) B = b
P(A) = P(B) =

3) E = 1, {} P(E) =
P(F) =
4) F = 3, {4, 5}

5) G = xx  I และ 1  x  4 
P(G) =

 กําหนด A = {2, 3} จงเขยี น
P(A) =
สับเซตทั้งหมดของ P(A) คอื

 กาํ หนด A = {  } จงเขียน

P(A) =

P(P(A)) =
 กาํ หนด A = { ,0, 2, 4, {}, {0}, {0, 2} } จงพิจารณาขอ้ ต่อไปนี้ วา่ ถูกหรอื ผดิ

…..1.  P(A) …..2. {} P(A) …..3. {} P(A)

…..4. { {} }  P(A) …..5. {0, 2}  P(A) …..6. {0, 2}  P(A)

…..7. { {0, 2} }  P(A) …..8. { {0, 2} }  P(A) …..9. { {}, 2}  P(A)

…..10. { {}, 2}  P(A) …..11. A  P(A) …..12. A  P(A)

สมบัตขิ องสับเซต สมบัติของเพาเวอร์เซต

1) A  A (เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของตวั มนั เอง) 1)   P(A)

2) A  U (เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์) 2) A  P(A)

3) ø  A (เซตว่างเปน็ สบั เซตของทุกๆ เซต) 3) P(A) ≠ 

4) ถ้า A   แลว้ A =  4) P(A)  P(B) ก็ต่อเมอ่ื A  B
5) ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C (สมบตั ิการถา่ ยทอด) 5) ถ้า A มสี มาชิก n ตวั P(A) จะมีสมาชิก 2n ตวั

6) A = B กต็ ่อเมอ่ื A  B และ B  A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สับเซตของเซตจะมีทั้งสิน้ 2n สบั เซต

5) จงพิจารณาวา่ ขอ้ ต่อไปน้ีถูกหรือผดิ โดยทาเครื่องหมาย หรือ  หนา้ ขอ้ ท่ีกาหนด

1. P(A) 6. {A}  P(A)
2.   P(A) 7. {A}P(A)
3. {} P(A) 8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) ก็จะเป็นเซตอนนั ตด์ ว้ ย
4. {}P(A) 9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
5. AP(A) 10. ถา้ AP(B) แลว้ จะได้ A  B

รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 4 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 5 เรอ่ื ง โจทยป์ ัญหาสบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต

1. A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วก และ x  100} และ B = {x | x  A และ 3 หำร x ลงตวั }

จำนวนสมำชกิ ของเซต P(B) เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 มี.ค. 2552 : 1]

1. 216

2. 217

3. 218

4. 219 3. จงหำ n[P(P(P()))]

2. E = {0} จงหำ n(P(P(E))) และ P(P(E))

4. จงหำจำนวนสมำชิกของเซต A เม่อื กำหนด n[P( P(A))] = 256
n[P(A )] = 1,024

5. ให้ A = {, {}, {, {}}} และ P(A) เปน็ เพาเวอรเ์ ซตของเซต A

จงพจิ ารณาว่าข้อความตอ่ ไปน้ีถูกหรือผดิ [PAT 1 ก.ค. 2553]

1. จำนวนสมาชิกของ P(A) เทา่ กบั 16 2. {, {}, {{}}}  P(A)

6. กำหนดให้ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ
จงพจิ ารณา P(P()) P(P(P())) เมือ่  แทนเซตว่าง ถกู หรอื ผดิ [PAT 1 ต.ค. 2559 ]

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 5 ~

แบบฝึกทักษะที่ 6 เรอื่ ง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)

ใหน้ ักเรยี นเขียนสรปุ ความสัมพันธ์ของเซตจากแผนภาพ

…………………………… …………………………… …………………………… …………………………… ……………………………

ให้ A  B  C และ A  B  C จงเขยี นแผนภาพแสดงลกั ษณะของเซตต่อไปน้ี

โดยท่ี aA และ bB จงเขยี นแผนภาพตามเงอื่ นไข A  B และ A กบั C ไม่มีสมาชิกรว่ มกนั เลย

แบบฝกึ ทักษะที่ 7

เรือ่ ง การดำเนนิ การระหว่างเซต

ยเู นยี น (Union) AB = {x|x  A หรือ x  B } : เป็นสมาชิกของเซต A หรอื เซต B หรือทง้ั สองเซต

อนิ เตอร์เซกชนั (Intersect) AB = { x | x  A และ x  B } : เปน็ สมาชิกของทั้งเซต A และ B

คอมพลเี มนต์ (Complement) A= { x|xU และ xA} : เปน็ สมาชกิ ของ U แต่ไม่เปน็ สมาชกิ ของ A

ผลต่าง (Difference of sets) A - B = { x|xA และ xB} : มสี มาชกิ ของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B

AB A  B A–B A

A BA BA B A B

UUU U

U = {–3,–2,–1,0,1,2,3} A = {–3,–2,–1,0}, B = {0,1,2,3} C = {–2,–1,0,1,2} จงหา

1 AB = 2. B  C =

3. A  C = 4. B  C =

5. C = 6. A – B =
7. A  (C – B) =

8. (A  B)  C =

9. (A – B) C =



รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 6 ~

แบบฝึกทกั ษะที่ 8 เร่ือง สมบัตกิ ารดำเนินการและการจดั รปู
ให้นักเรยี นเขยี นสมบัตกิ ารดำเนินการของเซตท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนใ้ี หถ้ ูกต้อง

คณุ สมบัติของยูเนียน

1. A  A = 2. A   = 3. A  U =

4. A  A  B และ B  A  5. A  B = B  A

6. A  (B  C) = 7. A  B ก็ตอ่ เม่ือ

8. ถา้ B  A และ C  A แลว้ 9. ถา้ A  B =  กต็ ่อเม่ือ

10. A  (B  C) = 11. A  (B  C) =

คณุ สมบตั ิของอนิ เตอร์เซกชัน

1. A  A = 2. A   =
3. A  U =
4. A  B  A และ A  B  B

5. A  B = 6. A  (B  C) =

7. A  B กต็ อ่ เม่ือ 8. ถา้ A  C และ B  C แลว้
คณุ สมบตั ขิ องคอมพลเี มนต์

1. (A) = 2.   = และ U  =

3. A  A = 4. A  A =

5. (A  B) = A  B  6. (A  B) = A  B 

7. A  B กต็ ่อเมื่อ B   A 8. A  B =  กต็ ่อเม่ือ A  B 
คุณสมบตั ิของผลต่าง
2. A – B = A ก็ต่อเมื่อ A  B = 
1. A – B  A
4. A – A = 
3. A – B =  ก็ต่อเมื่อ A  B

5. A – B = A  B  6. A – (B  C) = (A – B)  (A –

7. A – (B  C) = (A – B)  (A – 8. (A  B) – C = (A – C)  (B –

C) 9. (A  B) – C = (A – C)  ( 10. A –  = A และ  – A =– A

จงพสิ ูจนข์ ้อความตอ่ ไปนี้ว่าเป็นจริงหรอื ไม่ [PAT 1 ต.ค. 2555]

1. A–(B  C) = (A–B)(A–C) 2. A – (B – C) = A  (B  C)

3. (A  B)–C = (A–C)  (B–C) 4. (A  B) – C = A  (B – C)

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 7 ~

คณุ สมบัตขิ องเพาเวอรเ์ ซตกับจำนวนสมาชกิ ของเซต

1. n(P(A) −A) = n(P(A)) − n(P(A)  A) 2. n(A− P(A)) = n(A) − n(A  P(A))

3. n(P(A) −A)  n(A− P(A)) = n(P(A) − A) + n(A− P(A))

1. ให้ A = {1, {1}} จงหาจำนวนสมาชิกของ P(A) − A [PAT 1 ม.ี ค. 2553 : 4]

2. ให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} ข้อความ n(A − P(A)) < n(P(A) −A) ถกู หรือ ผิด [PAT 1 ต.ค. 2552]

3. ให้ B  A และ A  C   ถ้า n(P(P(B))) = n(P(B  C)) = 16 , n(B  C) = 1 , n(A  C) = 2
และ n(P(A − C)) = 4n(P(C − A)) แล้ว n(P(A)) เท่ากบั เท่าใด [PAT 1 ก.พ. 2561 : 32]

ให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} ใหน้ ักเรียนแสดงวธิ ีทำเพือ่ ระบุข้อความตอ่ ไปน้ี ถกู หรอื ผดิ

1. P(A)  P(B)  P(A  B) *** 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ***

AB= P(A  B) =
AB= P(A  B) =

P(A) = P(B) =
P(A)  P(B) = P(A)  P(B) =

สรุป

1. P(A)  P(B)  P(A  B) ……. 2. P(A)  P(B) = P(A  B) …….

หมายเหตุ P(A)  P(B) = P(A  B) กต็ อ่ เม่อื A  B หรอื B  A

 ใหน้ กั เรยี นแสดงวิธที ำเพื่อระบขุ อ้ ความ P(A  B)  P(A)  P(B) ถูกหรือผิด [PAT 1 มี.ค. 2559 ]

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 8 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 9 เร่ือง การแรเงาแผนภาพเวนน์ออยเลอร์

ให้นกั เรียนแรเงาแผนภาพแทนเซตท่ีกำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

1. (AB)/ 2. (A  B)/ 3. (A  B)  (B  A)

A BA B A BA B

U A UU U
B
4. A/  B/ 5. ( A - B ) / B /

AB B A BA

U UU U

6. [(A − B)  B] 7. (A  B)  (B − A)

A BA B A BA B

U UU U

8. B/ – ( A  C ) 9. C − (B  A) B

AB A BA BA

CU CU CU A CU
B B
10. (A  B)  C 11. C  ( A – B )

A BA AB

CU CU CU CU
B B
12. (A  B) – (C   A) 13. (A  B ) – (C – A)

A BA A BA

CU CU CU CU

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 9 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 10 เร่ือง การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกดั

1) A, B เปน็ สับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U โดย n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A  B) = 2 จงหา

1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A  B)

AB AB AB

U U U

n(A – B) = n(B – A) = n(A  B) =

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A – B) = n(B – A) = n(A  B) =

2) ให้ n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา

1. n(A  B ) 2. n(A  B ) 3. n(B  A)

AB AB A B

U U U

n(A  B ) = n(A  B ) = n(B  A) =

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A  B ) = n(A  B ) = n(B  A) =

3) ให้ A และ B เป็ นเซตซ่ึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n( A B ) = 2
ถา้ C (A B) (B A) แลว้ n(P(C)) เทา่ กบั เท่าใด [Onet 2554 : 32]

AB

U

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 10 ~

4) ให้ A , B และ C เปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยที่ n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43,
n(A  B) = 8, n(A  C) = 13, n(B  C) = 11 และ n(A  B  C) = 100 จงหา

1. n(A  B  C)

AB

C U

2. n((A  B) − C)

AB

C U

3. n((B  C)  A)

AB

CU

5) ให้ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(A  B  C) = 15 , n(A  B  C) = 2
ถา้ n(A − B) = 8 , n(B − C) = 4 และ n(A − C) = 9 แล้ว n((A  B) − C) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
[PAT 1 เม.ย. 2557 : 3] 1. 13 2. 12 3. 11 4. 10

AB

CU

6) กำหนด A  (B  C) =  , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16, n(A  B  C) = 20 และ

n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) ข้อต่อไปนี้ ถูก หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2558]

1. n(A  B  C) = 10 2. n((A  B)  C) = 5

AB

CU

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 11 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 11 โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั จานวนสมาชิกของเซตจากดั U

1) จากผลการสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ซ่ึงมีจานวน 70 คน พบวา่ มีนกั เรียนสอบคณิตศาสตร์ได้
30 คน มีนกั เรียนสอบภาษาองั กฤษได้ 35 คน และมีนกั เรียนที่สอบไดท้ ้งั สองวชิ า 10 คน จงหา
ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก =
(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แตส่ อบคณิตศาสตร์ตก =
(3) จานวนนกั เรียนท่ีสอบตกท้งั สองวชิ า =
ใช้สตู ร
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก

(2) จานวนนกั เรียนที่สอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก

(3) จานวนนกั เรียนท่ีสอบตกท้งั สองวิชา

2) จากการตรวจสุขภาพของคนกลุ่มหน่ึง พบวา่ มีคนที่สายตาส้ันจานวน 35% ของ

คนท้งั หมด มีคนที่ฟันผจุ านวน 45% ของคนท้งั หมด และมีคนที่สายตาไม่ส้นั และฟันไม่ผจุ านวน 29%

ของคนท้งั หมด จงหาจานวนเปอร์เซ็นตข์ อง

ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์

(1) คนท่ีสายตาส้นั หรือฟันผุ (2) คนท่ีสายตาส้ัน และฟันผุ

(3) คนท่ีสายตาส้นั แต่ฟันไมผ่ ุ (4) คนท่ีสายตาไม่ส้ัน แตฟ่ ันผุ

(5) คนท่ีสายตาส้นั หรือฟันไม่ผุ U

ใชส้ ูตร

(1) คนที่สายตาส้นั หรือฟันผุ (2) คนที่สายตาส้นั และฟันผุ

(3) คนที่สายตาส้ัน แตฟ่ ันไมผ่ ุ (4) คนท่ีสายตาไมส่ ้นั แตฟ่ ันผุ

(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไมผ่ ุ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 12 ~

3) นกั เรียนหอ้ งหนึ่งมี 50 คน ถา้ ในจานวนนมี้ คี นเลน่ กีตาร์ 25 คน เลน่ เปียโน 14 คน ไม่เลน่ กีตารแ์ ละไมเ่ ลน่ เปียโน 15 คน
แลว้ จานวนนกั เรยี นท่เี ลน่ กีตารอ์ ยา่ งเดยี วมกี ่ีคน [Onet 2559 : 21]

U

4) จากการสอบถาม เรอ่ื งความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม้ ของเด็กอนุบาลจำนวน 40 คน
พบว่า มี 25 คน ชอบรสวนลิ า 10 คน ชอบรสส้ม 8 คน ไมช่ อบทั้งรสวนลิ าและรสส้ม
มีเด็กอนบุ าลท่ชี อบทง้ั รสวนิลาและรสสม้ กค่ี น [Onet 2561 : 3]

U

5)ในโรงเรียนแห่งหน่ึง มีนกั เรียนชาย 87 คน มีอยู่ 43 คนเล่นฮอกก้ี มี 42 คนเล่นฟุตบอล
มี 47 คนเลน่ เทนนิส มี 15 คนเลน่ เทนนิสและฮอกก้ี มี 17 คนเล่นเทนนิสและฟตุ บอล
มี 21 คนเล่นฮอกก้ีและฟุตบอล นกั เรียนแต่ละคนตอ้ งเลน่ กีฬาอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิดดงั กล่าว จงหา

ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์
(1) จานวนนกั เรียนที่เล่นกีฬาท้งั สามอยา่ ง =
(2) จานวนนกั เรียนที่เล่นฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว =
(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟุตบอลเพียงอยา่ งเดียว =
(4) จานวนนกั เรียนที่เล่นเทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว =

ใชส้ ตู ร U
(1) จานวนนกั เรียนที่เล่นกีฬาท้งั สามอยา่ ง
(2) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ ฮอกก้ีเพยี งอยา่ งเดียว

(3) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ ฟตุ บอลเพียงอยา่ งเดียว (4) จานวนนกั เรียนที่เล่นเทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว

รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 13 ~

6) จากการสอบถามความชอบรับประทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสชอ็ กโกแลต มี 31 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและวานิลลา

มี 87 คน ชอบรสวานิลลา มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอร่ี

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอรี่ มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอร่ี

และ มี 5 คน ไมช่ อบท้งั สามรส ดงั น้นั มีนีกเรียนที่ชอบท้งั สามรสก่ีคน [Onet 2557 : 12]

7) จากการสอบถามนกั เรียนช้นั ม.6 ท่ีเรียนสายวิทยาศาสตร์จานวน 180 คน พบวา่

มี 83 คน ชอบเคมี มี 68 คน ชอบฟิ สิกส์

มี 84 คน ชอบชีววิทยา มี 23 คน ชอบท้งั เคมีและฟิ สิกส์

มี 22 คน ชอบท้งั ฟิ สิกส์และชีววิทยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมีและชีววทิ ยา

และ มี 3 คน ไม่ชอบวชิ าใดเลยในสามวชิ าน้ี ดงั น้นั มีนกั เรียนก่ีคนท่ีชอบเคมีแตไ่ มช่ อบฟิ สิกส์และชีววิทยา

[Onet 2558 : 71]

8) หมู่บ้านแหง่ หน่ึงมี 60 ครอบครวั ทม่ี ีอาชีพ ทำนา ทำสวน หรอื เล้ียงสัตว์

ถา้ ทำนา 34 ครอบครวั ทำสวน 30 ครอบครวั ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว

ทำนา และ เลยี้ งสตั ว์ 23 ครอบครวั ทำสวน และ เล้ียงสัตว์ 20 ครอบครัว

ทำนาอยา่ งเดียว 6 ครอบครวั แลว้ มีท้ังหมดกคี่ รอบครัวทีม่ อี าชพี เพียงอาชพี เดยี ว [onet2560 : 15]

9) ในการสอบของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษากลุม่ หน่ึง พบวา่ มีผสู้ อบผา่ นวชิ าตา่ งๆ ดงั น้ี
คณิตศาสตร์ 36 คน สงั คมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน
คณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสงั คมศึกษา 12 คน
คณิตศาสตร์และภาษาไทย 7 คน ท้งั สามวิชา 5 คน
จานวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวิชามีก่ีคน [Onet 2553 : 101]

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 14 ~

10. ให้ S แทนคอมพลเี มนตข์ องเซต S และ
n(S) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต S
กำหนดให้ U แทนเอกภพสัมพทั ธ์ โดยที่ n(U ) = 70
ถ้า A, B และ C เปน็ สับเซตของ U โดยท่ี A  B  C   และ
n(A  B) = 25 , n(B − C) = 18 , n(C  A) = 16 และ

n((A  B) − C) = 7 แลว้ n(A  B  C) เทา่ กับเท่าใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

11. จากการสำรวจนักเรียนกลุ่มหน่ึงจำนวน 80 คน เก่ียวกบั การเป็นสมาชิกของชมรม 3 ชมรม คือ
ชมรม คณติ ศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกฬี า ปรากฏว่า
มี 30 คน เปน็ สมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ โดยในจำนวนนมี้ นี กั เรียน 20 คน เทา่ น้นั ท่เี ป็นสมาชิก
ของชมรมคณติ ศาสตร์เพยี งชมรมเดียว มี 5 คน ทเี่ ปน็ สมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา
แต่ไมเ่ ป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ และมี 10 คน ท่ีไม่เป็นสมาชกิ ของชมรมใดเลย
พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) มี 15 คน ทเ่ี ป็นสมาชกิ ของชมรมอยา่ งนอ้ ย 2 ชมรม
(ข) มี 55 คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหนึง่ เพียง 1 ชมรมเท่านัน้
(ค) มี 50 คน ท่ีเปน็ สมาชกิ ของชมรมการแสดงหรอื ชมรมกฬี า
ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง [PAT 1 มี.ค. 2560 : 4]
1. ข้อ (ก) และ ขอ้ (ข) ถูก แต่ ขอ้ (ค) ผดิ
2. ขอ้ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต่ ข้อ (ก) ผดิ
4. ขอ้ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู ทง้ั สามข้อ
5. ขอ้ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดท้งั สามข้อ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 15 ~

ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวชิ าท่ศี กึ ษาเก่ียวกบั เหตผุ ล การพิสจู นเ์ หตผุ ลตา่ ง ๆ อยา่ งเป็นระบบ

แบบฝึ กทกั ษะที่ 1 เร่ือง ประพจน์

ประพจน์ (Proposition)

บทนิยาม ประโยคหรอื ขอ้ ความท่มี ีเป็นจรงิ หรอื เทจ็ เพยี งอยา่ งใดอย่างหน่ีง และเพยี งอยา่ งเดียว

ความเป็น จรงิ (T) หรอื เทจ็ (F) ของประพจน์ เราเรยี กว่า คา่ ความจรงิ ของประพจน์

ประโยคทไ่ี ม่เป็ นประพจน์ คือ ประโยคท่ไี ม่มคี า่ ความจรงิ
คอื ประโยคบอกเลา่ หรอื ปฏเิ สธ เชน่ คาถาม คาส่ัง หา้ ม ขอร้อง คาอุทาน ออ้ นวอน มีตวั แปร
1.จงพจิ ารณาประโยคตอ่ ไปน้ีวา่ เป็น(✓)ประพจนห์ รือไม(่ ) พร้อมบอกคา่ ความจริงของประพจน์น้นั

ประโยค ✓/ T/F ประโยค ✓/ T/F

ชา้ งเป็นสตั วส์ ี่ขา เธอสงู 155 เซนตเิ มตร

ขา้ วเป็นอาหารหลกั ของคนไทย 1 เป็นจานวนเฉพาะ

หา้ มสง่ เสยี งดงั จงหาสบั เซตของ 

เขาเป็นนกั เรยี นท่เี กง่ ท่สี ดุ ขอใหเ้ ดนิ ทางโดยสวสั ดภิ าพ

เดือนมกราคมมี 30 วนั 2+3<2×3

ช่วยดว้ ยครบั |x + 1| < 2

จงหาเซตคาตอบของ x + 2 = 0 จานวนตรรกยะเป็นจานวนจรงิ

 เป็นจานวนตรรกยะ อย่าเห็นแกต่ วั

x – 2 = 10 นกั เรยี นตอ้ งขยนั เรยี น

0 เป็นจานวนค่ี หยุดออกไปใหพ้ น้

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 16 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 2 เร่ือง ตวั เชือ่ มประพจน์

การเช่ือมประพจน์ (connective) : ตวั เช่อื มพนื้ ฐานของประพจน์ มี 4 ตวั ไดแ้ ก่

และ (  ) หรือ (  ) ถา้ … แล้ว ( → ) ก็ตอ่ เม่ือ (  )

การหาคา่ ความจริง ตอ้ งใชค้ า่ ความจรงิ ของการเช่อื มประพจนด์ ว้ ยตวั เช่อื ม ดงั นี้

p q p  q p  q p → q p  q p ~p

TT T T T T TF

TF F T F F FT

FT F T T F

FF F F T T

นิเสธของประพจน์

บทนิยาม ถา้ p เป็นประพจนใ์ ด ๆ นิเสธของประพจน์ p เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ~p

นิเสธของประพจน์ หมายถงึ ประพจนท์ ่ีมคี ่าความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจนเ์ ดมิ

1. กาหนด p มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ และ r มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็
จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้

(1) [p  (p → q)]  p (2) [(p  q)  r] → (p  r)

(3) [(p  r) → q] → [(q  r)  p] (4) [(p  q) → r] → [(p  q)  r]

2. จงหานิเสธของประพจนต์ ่อไปนี้ (2) 5  {1, 3, 5, 7, 9}
(1) 5 มากกวา่ 0
นิเสธ นิเสธ
(2) 4 หาร 30 ลงตวั
นิเสธ (4) 2 × 5 = 0

(5)    นิเสธ
(6) | 5 – 2| ≤ |5| – |2|
นิเสธ นิเสธ

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 17 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 3 เรอ่ื ง คา่ ความจรงิ ของประพจน์

กรณีกาหนดค่าความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ยบางตวั

1. จงหาค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ชิงประกอบต่อไปนี้ เม่อื กาหนดคา่ ความจรงิ บางประพจนใ์ ห้

(1) (p  s) → (q  r) เม่อื p เป็นเท็จ (2) (p  q)  r เม่อื r เป็นเทจ็

(3) p → (p  q) เม่อื q เป็นจรงิ (4) p → (q  r) เม่อื p เป็นเท็จ

(5) (p → q)  (q  p) เม่อื p → q เป็นเทจ็ (6) (p→q)  (pq) เม่อื pq เป็นเทจ็

(7) (p  q) → (p  q) เม่อื p เป็นจรงิ (8) (p→q)  (pq) เม่อื q เป็นจรงิ

(9) p  q เม่อื p  q เป็นจรงิ (10) p  q เม่อื p  q เป็นจรงิ

(11) p  q เม่อื p  q เป็นจรงิ (12) p → q เม่อื p  q เป็นจรงิ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 18 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 3 เร่ือง คา่ ความจริงของประพจน(์ ต่อ)
กรณีทราบคา่ ความจริงของประพจนร์ วม
1. จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ p, q, r และ s เม่อื กาหนดคา่ ความจรงิ ของประพจนร์ วมให้

(1) [(p → q)  (p  r)] → (s → r) เป็นเทจ็ (2) [(p  q)  (q → r)]  s เป็นเทจ็

(3) [(r  q)  (p → q)] → (p  p) เป็นจรงิ (4) q  [(q  r)  (r → s)] เป็นเทจ็

(5)  [ (p  q)  (r → s) ] เป็นจรงิ (6) (r → p)  (s  p) เป็นจรงิ

2.

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 19 ~

แบบฝึ กทักษะที่ 4 เรื่อง ประพจนท์ ่ีสมมลู กนั

บทนิยาม คือ รูปแบบของประพจนส์ องรูปแบบท่ีมีคา่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณี

สัญลกั ษณ์ ของการสมมลู ของรูปแบบประพจนค์ ือ “  ” กลา่ วคอื
1. จงเขยี นรูปแบบของประพจนท์ ่ีสมมลู กนั

E 1. p  p  p  p E 1. pp  pp 
p p
E 2. p  q pq  qp
E 3. p  q  q  p E 2. pq  qp
E 4. p  q  q  p E 3. pq  qp
 q  p E 4.

E 3. (p  q)  r  p  (q  rE) 3. (p  q)  r  p  (q  r)
E 6. (p  q)  r   p  (q  r)
E 7. (p  q)  r  p  (q  rE) 6. (p  q)  r  p  (q  r)
E 4. p  (q  r)   (p  q)  (p  r)
 p  (q Er7). (p  q)  r  (q  p)  (r  p)
(q  r)  p   (p  q)  (p  r)
E 9. p  (q  r)  (p  q) E(p4. r) p  (q  r)  (q  p)  (r  p)
  (p → q)  (p → r)
(q  r)  p  (q  p)  (r  p) (q  r)  p  (p → q)  (p → r)
E 10. p → (q  r)   (p → r)  (q → r)
 (p  q) E(p9. r) p  (q  r)  (p → r)  (q → r)
p → (q  r)   p
E 11. (p  q) → r  (q  p)  (r  p) (q  r)  p  p  q
  p  q
(p  q) → r  (p → q) E(1p0→. pr)→ (q  r)  p  q
E 5. (p)   p  q
 (p → q)  (p → r) p → (q  r)  p  q
(p  q)
E 15. (p  q) (p → r) E(q11→. r()p  q) → r
E 16. (p → q)
E 17. (p  q) (p → r)  (q → r) (p  q) → r

p E 5. (p)

p  q (p  q)

p  q E 15. (p  q)

p  q E 16. (p → q)

p  q E 17. (p  q)

p  q

E 6. p  T p E 6. p  T p
E 21. p  F
p E 21. p  F p
E 22. T → p p
E 23. p → F p E 22. T → p  p
E 24. p  T p
E 25. p  F  p E 23. p → F  p
E 7. p → q  p  q
p E 24. p  T  q → p
E 13. p  q
 p E 25. p  F  p  q

 p  q E 7. p → q (p → q)  (q → p)

 q → p

 p  q E 13. p  q

(p → q)  (q → p)

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 20 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 4 เร่อื ง ประพจนท์ สี่ มมลู กัน(ตอ่ )

2. จงตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ีกาหนดใหว้ า่ สมมลู กนั หรอื เป็นนิเสธกนั หรอื

ไมส่ มมลู และ ไม่เป็นนิเสธกนั โดยใชร้ ูปแบบการสมมลู

(1) (p  q) และ p  q (2) (p  q) และ p  q

(3) p → q และ p  q (4) p  q และ p  q

(5) p → q และ p  q (6) p  q และ q → p

(7) (p  q) → r และ p  ( q  r) (8) (p  q) → r และ p → (q → r)

(9) (p  q) → r และ p  (q  r) (10) p  (q → r) และ p → (q → r)

(11) (p → q) → r และ p  (q  r) (12) (p  q)  r และ r  (p → q)

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 21 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 4 เรอื่ ง ประพจนท์ ีส่ มมูลกนั (ต่อ)
3. จงหาขอ้ ความท่สี มมลู กบั ขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(1) ถา้ xy = 0 และ x ≠ 0 แลว้ y = 0 (2) ถา้ x2 = 2 แลว้ x = –2 หรอื x = 2

4. จงพจิ ารณาว่าขอ้ ความสมมลู กนั หรอื เป็นนิเสธกนั หรอื ไม่
(1) A: ถา้ a เป็นจานวนคู่ แลว้ a2 เป็นจานวนคู่ B: ถา้ a2 ไมเ่ ป็นจานวนคู่ แลว้ a ไมเ่ ป็นจานวนคู่

5.

6.

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 22 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 5 เรือ่ ง สจั นิรันดร์
วธิ ีท่ี 1 : สร้างตารางค่าความจริง
1. จงตรวจสอบรูปแบบประพจนต์ ่อไปนีเ้ ป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

(1) [(p  q)  p] → q (2) (p  q) → (p  q)

pq pq

(3) [(p → q)  q] → p (4) (p  q) → (p  q)
pq pq

วิธที ่ี 2 : ใช้ความรู้เกย่ี วกับการสมมูล A  B

ถา้ A  B แลว้ A  B เป็นสจั นริ นั ด์ ถา้ A  B แลว้ A  ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์

2. จงตรวจสอบรูปแบบประพจนต์ ่อไปนี้ เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่

1) (p  q)  p  q 2) (p  q)  (q  p)

3) (p→q)  (p  q) 4) [p → (q  q)]  [(r  r) → p]

5) (p  q)  [(p  q)  (p  q)] 6) [p → (q  r)]  [(p → q)  r ]

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 23 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 5 เรื่อง สัจนิรันดร(์ ต่อ)
วธิ ที ี่ 3 : ใชว้ ิธหี าข้อขัดแยง้ โดยสมมตใิ ห้ รูปแบบประพจน์ A  B , A → B, A  B เป็นเท็จ
แลว้ หาคา่ ความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ย ถา้ ไมม่ ขี อ้ ขดั แยง้ *ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ด์ ถา้ ขดั แยง้ *เป็นสจั นิรนั ด์

1. A  B

3. จงตรวจสอบรูปแบบประพจนต์ ่อไปนีเ้ ป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

(1) (p  q)  (p → q) (2) (p  q)  (q → p)

(3) (p → q)  (q → p) (4) (p → q)  (p  q)

(5) [p → (q  r)]  [q  (p  r)] (6) [p → (q  r)]  [p → (q  r)]

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 24 ~

แบบฝึ กทักษะที่ 5 เรอ่ื ง สัจนิรันดร(์ ตอ่ )

2. A → B

4. จงตรวจสอบรูปแบบประพจนต์ ่อไปนีเ้ ป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่

(1) (p  p) → (q → r) (2) p → [q → (r  r)]

(3) (p  r) → (q  q) (4) (p  q) → ( r  r)

(5) (p  p) → q (6) [(p → q)  q] → p

(7) (p → q) → (p → q) (8) [(p → q)  (q → r)] → (p → r)

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 25 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 5 เรอื่ ง สจั นิรันดร(์ ตอ่ )
3. A  B พจิ ารณา 2 กรณี คอื T  F และ F  T
5. จงตรวจสอบรูปแบบประพจน์ (p  q)  (q  p) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

(1) (p  q)  (q  p) (T  F) (2) (p  q)  (q  p) (F  T)

6.

7.

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 26 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 6 เร่ือง การอา้ งเหตุผล
หมายถึง การกลา่ วอา้ งวา่ ถา้ มขี อ้ ความ P1, P2, ..., Pn แลว้ สามารถสรุป ขอ้ ความ C ได้

*** วิธกี ารตรวจสอบการอา้ งเหตุผลว่ามีความสมเหตสุ มผลหรอื ไม่***
วธิ ีท่ี 1 : ใช้การตรวจสอบการอ้างเหตุผลวา่ เป็ นสัจนิรันดรห์ รือไม่

(1) เป็ นสจั นริ นั ดร์ สมเหตุสมผล (2) ไมเ่ ป็ นสจั นิรนั ดร์ ไม่สมเหตุสมผล
1. จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตผุ ลต่อไปนีส้ มเหตสุ มผลหรอื ไม่ โดยอาศยั วธิ ีท่ี 1

(1) เหตุ 1. p → q (2) เหตุ 1. p → q

2. p 2. q

ผล q ผล p

หรอื ใชเ้ ทคนิค กาหนด เหตุเป็นจรงิ และ ผลเป็นเทจ็ แลว้ หาคา่ ความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ย

ถา้ ไม่มขี อ้ ขดั แยง้ *ไมส่ มเหตสุ มผล ถา้ ขดั แยง้ *สมเหตสุ มผล

(3) เหตุ 1. p  q (4) เหตุ 1. p  q

2. p 2. p → (q → r)

ผล q ผล r

(5) เหตุ 1. p → q (6) เหตุ 1. p → q

2. q  r 2. p → r

3. r 3. p  s

ผล p ผล r → s

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 27 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 7 เร่อื ง ประโยคเปิ ดและตัวบง่ ปริมาณตวั เดยี ว
บทนิยาม ประโยคเปิ ด หมายถึง ประโยคบอกเลา่ หรอื ประโยคปฏิเสธท่ีมีตวั แปร
และเม่อื แทนคา่ ตวั แปรในประโยคเปิดดว้ ยสมาชกิ ใดๆ ในเอกภพสมั พทั ธ์ จะเป็นประพจน์

สัญลักษณ์ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(x) หรอื Q(x) เป็นตน้

1. ประโยคในขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็น ประพจน(์ พ) หรอื ประโยคเปิด(ป) หรอื ไมใ่ ชท่ งั้ สอง(ม)

(1) เธอกาลงั เรยี นอย่ใู นมหาวทิ ยาลยั (2) เขาเป็นนกั เรยี นท่ีตงั้ ใจเรยี นมากใชห่ รอื ไม่

(3) ถา้ 2 เป็นจานวนเฉพาะแลว้ 2 เป็นจานวนค่ี (4) x ≥ 0 และ x เป็นจานวนนบั

(5) x เป็นจานวนเตม็ หรอื x เป็นจานวนอตรรกยะ (7) x2 9

(6) ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x เป็นจานวนจรงิ (8) x2 9 (x 3)(x 3)

(9) ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x เป็นจานวนจรงิ หรอื ไม่ (10) (x + 5)(x – 1) = x2 4x 5

ตวั บ่งปรมิ าณ (Quantifier)

บทนิยาม เรยี กขอ้ ความ สาหรับ ….. ทกุ ตวั ” และ “สาหรับ ..… บางตัว” วา่ เป็น ตวั บ่งปริมาณ
โดยท่ี (1) ขอ้ ความ “สาหรบั …. ทกุ ตวั ” แสดงใหเ้ ห็นวา่ เรากาลงั กลา่ วถึงสมาชิกทกุ ตวั ใน U

และเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 
(2) ขอ้ ความ“สาหรบั …. บางตวั ” แสดงใหเ้ ห็นวา่ เรากาลงั กลา่ วถึงสมาชิกบางตวั ในU

และเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 

2. ถา้ ใหเ้ อกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตของจานวนจรงิ จงเขียนประโยคต่อไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรูปสญั ลกั ษณ์

(1) สาหรบั x ทกุ ตวั x + x = x2 (2) สาหรบั x บางตวั x3 0

(3) สาหรบั x ทกุ ตวั ถา้ x ≠ 0 แลว้ x2 > 0 (4) สาหรบั x ทกุ ตวั x>0 ก็ต่อเม่อื x3 >0

(5) มี x บางตวั x2 2 แลว้ x เป็นจานวนอตรรกยะ (6) สาหรบั x ทกุ ตวั y ทกุ ตวั x + y = y + x

(7) สาหรบั x และ y ทกุ ตวั xy = yx (8) สาหรบั x และ y แต่ละจานวน x + y = xy

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 28 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 7 เรื่อง ประโยคเปิ ดและตัวบง่ ปรมิ าณตวั เดียว(ตอ่ )
คา่ ความจริงของประพจนท์ ม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ 1 ตัว

1. x[P(x)] จรงิ เม่อื นา x ทุกตวั ใน U แทนคา่ ใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็นจรงิ
x[P(x)] เทจ็ เม่อื นา x อยา่ งน้อยหน่ึงตัวใน U แทนคา่ ใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็นเทจ็

2. x[P(x)] จรงิ เม่อื นา x อย่างน้อยหน่ึงตัวใน U แทนค่าใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็นจรงิ
x[P(x)] เทจ็ เม่อื นา x ทุกตัวใน U แทนคา่ ใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็นเท็จ

2. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ เม่ือกาหนดเอกภพสมั พทั ธใ์ ห้

1)x [x2 0] U = { -1, -2, -3, -4} 2)x [x2 1] U = { 1, 2, 3, 4, 5}

3) x[x + 1 = 0] ; U = { -1, 0, 1} 4) x[x + 5 = x] ; U = {-1, 0, 1}

5) x[x < 0] , U = I 6) x[x > x + 1] , U = N

7) x[x2 > 0] , U = R 8) x[x2 – 1 = 0] , U = I

9) x[x + 2 > 2 – x] , U = I 10) x[x2  0] , U = I

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หนา้ ~ 29 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 7 เร่ือง ประโยคเปิ ดและตัวบ่งปริมาณตัวเดียว(ต่อ)
3. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ เม่ือกาหนด U = {-1,0,1} ให้

1)  x[x  0 → x2 > 0] 3) x[x  0  x – 1 = 0]

2) x[x  0]→x[x2 > 0] 4) x[x  0]  x[x – 1 = 0]

แบบฝึ กทกั ษะที่ 8 เรอื่ ง ตัวบ่งปริมาณสองตัว
คา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ 2 ตัว

กรณี xy[P(x,y)] และ xy[P(x,y)] ให้ P(x,y) แทนประโยคเปิด และ U = {–1, 0, 1}

x y P(x, y) *** การตรวจสอบประพจน์ ***
-1 P(-1, -1)
ชุด 1 -1 0 P(-1, 0) 1. xy[P(x,y)] จรงิ ทกุ (x, y) ทาให้ P(x, y) เป็นจรงิ
ชุด 2 0 1 P(-1, 1) xy[P(x,y)] เทจ็ บาง(x, y) ทาให้ P(x, y) เป็นเทจ็
ชุด 3 1 -1 P(0, -1)
0 P(0, 0) 2. xy[P(x,y)] จริง บาง (x, y) ทาให้ P(x, y) เป็นจรงิ
1 P(0, 1) xy[P(x,y)] เท็จ ทกุ (x, y) ทาให้ P(x, y) เป็นเท็จ
-1 P(1, -1)
0 P(1, 0)
1 P(1, 1)

1. จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้ เม่อื กาหนด U = {–1, 0, 1}

(1) ∀x∀y [ xy < 2 ] (3) ∃x∃y [ x y > 2 ]

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 30 ~

(2) ∀x∀y [ x + y < 2 ] (4) ∃x∃y [ x + y = 2 ]

2. จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ เม่ือกาหนด U = จานวนเต็ม

(1) ∀x∀y [ x y = y x ] (2) ∀x∀y [ x + y = 0 ]

3. จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้ เม่ือกาหนด U = จานวนนบั

(1) ∃x∃y [ x + y = 3 ] (2) ∃x∃y [ x + y = 0 ]

กรณี xy[P(x,y)] และ xy[P(x,y)] ให้ P(x,y) แทนประโยคเปิด และ U = {–1, 0, 1}

x y P(x, y) *** การตรวจสอบประพจน์ ***

-1 P(-1, -1) 1.xy[P(x,y)] จริง ทกุ x มีบาง y ท่ีทาให้ P(x, y) เป็นจรงิ
ชุด 1 -1 0 P(-1, 0)
P(-1, 1) xy[P(x,y)] เทจ็ บาง x ไมม่ ี y ท่ที าให้ P(x, y) เป็นจรงิ
1

-1 P(0, -1)

ชุด 2 0 0 P(0, 0) 2.xy[P(x,y)] จรงิ บาง x ทาให้ P(x, y) เป็นจรงิ กบั ทกุ คา่ y
1 P(0, 1)
-1 P(1, -1) xy[P(x,y)] เทจ็ ไม่มี x ท่ที าให้ P(x, y) เป็นจรงิ กบั ทกุ คา่ y

ชุด 3 1 0 P(1, 0)

1 P(1, 1)

4. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้ เม่อื กาหนด U = {–1, 0, 1}

(1) ∀x∃y [ x + y = 0 ] (2) ∃x∀y [ x + y = 0 ]

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 31 ~

(3) ∀x∃y [ x < y ] (4) ∃x∀y [ x ≤ y ]

5. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ เม่อื กาหนด U = จานวนจรงิ

(1) ∀x∃y [ x + y = 1] (2) ∃x∀y [ x + y = y ]

(3) ∀x∃y [ x = y2 ] (4) ∃x∀y [ x ≥ y ]

การสมมลู ของประพจนท์ ม่ี ีตัวบง่ ปริมาณ
6. จงพิจารณาว่าประโยคใดตอ่ ไปนีส้ มมลู กนั

(1) x[P(x)  (Q(x)  R(x))] กบั x[(P(x)  Q(x))  (P(x)  R(x))]
(2) x[P(x) → (Q(x)  R(x))] กบั x[(Q(x)  R(x)) → P(x)]
(3) x[(P(x)  Q(x)) → R(x)] กบั x[R(x) → (Q(x)  P(x))]

(4) x[P(x)] → x[Q(x)] กบั x[Q(x)] → x[P(x)]

(5) xy[(x ≥ y) → ( x2 y2 )] กบั xy[(x < y)  ( x2 y2 )]

(6) xy[(x + y = 2)  x  ] กบั yx[x    (x + y = 2)]

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ หน้า ~ 32 ~

นิเสธของประพจนท์ ่ีมตี วั บ่งปรมิ าณ หารลงตวั
สัญลกั ษณ์ นิเสธของประโยคเปิด P(x) เขียนแทนดว้ ย P(x) หารไม่ลงตวั
สง่ิ ทค่ี วรจา : คู่นิเสธในคณิตศาสตร์

ความสมั พนั ธ์ =><

นเิ สธของความสมั พนั ธ์ ≠ ≤ ≥  

7. จหานเิ สธของประพจนต์ อ่ ไปนี้

ประพจน์ นิเสธประพจน์

(1) x[x + 4 ≤ 10] (2) มจี านวนจรงิ บางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ

(2) x[x +1 = 0]
(3) xy[ x2 y2 > 5]

(4) xy[x < y + x]
(5) xy[ x2 2xy y2 x y ]

(6) xy[xy เป็นจานวนค่]ู

(7) x[x < 1 → x2 1]
(8) x[x ≤ 1  x2 ≥ 1]
(9) x[ x2 0 ]  x[|x| ≥ 0]

(10) x[x + 2 = 4]  x[ x – 2 ≠ 0]

(11) xy[xy < 0  x +y < 0]
(12) xy[x + y ] → xy[xy  ]

8. จงหานิเสธของขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(1) จานวนจรงิ ทกุ จานวนเป็นจานวนตรรกยะ

(3) มีจานวนเต็มบางจานวนท่เี ป็นจานวนคู่ และเป็นจานวนค่ี

(4) สาหรบั x ทกุ ตวั ถา้ x เป็นจานวนค่แี ลว้ x เป็นจานวนเฉพาะ

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 3 : ระบบจำนวนจริง หน้า 33

แบบฝึ กทักษะท่ี 1 เรอ่ื ง โครงสร้ำงของระบบจำนวนจรงิ ชนั้ ม.4/......... เลขที

จำนวนตรรกยะ (ℚ) จำนวนอตรรกยะ (ℚ)

เศษส่วนของจำนวนเตม็ จำนวนเตม็ ()
ที่ไม่ใช่จำนวนเตม็

จำนวนเตม็ ลบ (–) จำนวนเตม็ ศนู ย์ (0) จำนวนเตม็ บวก (+) หรือ จำนวนนบั ()
1. จงพิจารณาจานวนท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนีว้ า่ เป็นจานวนชนิดใด

โดยทาเคร่อื งหมาย ✓ ใหต้ รงกบั จานวนนนั้ ๆ (สามารถตอบไดม้ ากกวา่ 1 ชนิด)

ขอ้ จำนวน      

10

2 2.91452

31
2

43
5

6 0.12121212…

7 12

8 3.14

9 22
7

10 3.78778777877778…

11 2 + 2

12 3 64

13 0.59999…

14 3 1

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 34 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 1 เรือ่ ง โครงสร้ำงของระบบจำนวนจริง(ต่อ)

2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ ีจานวนตรรกยะอยเู่ พยี งสองจานวน [Onet 2556 : 1]

1. 4 , 22 , 1.010010001 2. 3 2 , 8 , 2
7

3. 1 , 16 , 0.101001000100001... 4. 9 , 1.11111... , 3 8 5. 0.8 , 8 2 , 3 3
11

3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ ที ง้ั จำนวนเตม็ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ [Onet 2558 : 3]

1. −7.222... , 3, 1 2. 11 , 3 −8 , 2.555 3. 1, −, 9 −1
−7 2

4. − 3 , 6.060060006... , 1000 5. 2 − 0.414 , 2 , 4.718
5

4. จงพจิ ารณาว่าขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็นจรงิ (T) หรอื เป็นเทจ็ (F)

................. 1. มจี านวนเตม็ บวกท่ีมากท่ีสดุ ................. 2. มจี านวนเตม็ บวกท่นี อ้ ยท่ีสดุ

................. 3. มีจานวนเตม็ ลบท่นี อ้ ยทส่ี ดุ ................. 4. มจี านวนเต็มลบท่มี ากท่สี ดุ

................. 5. มจี านวนจรงิ ท่มี ากท่ีสดุ ท่ีนอ้ ยกวา่ 2

................. 6. มีจานวนจรงิ ท่ีนอ้ ยท่ีสดุ ท่ีมากกว่า 1

................. 7. มีจานวนตรรกยะระหว่างสองจานวนอตรรกยะใดๆเสมอ

................. 8. มจี านวนอตรรกยะระหวา่ งสองจานวนตรรกยะใดๆเสมอ

................. 9. 0.141144111444… เขียนเป็นเศษสว่ นท่มี ีเศษและสว่ นเป็นจานวนเต็มได้

................. 10. มีจานวนตรรกยะ a  0 และจานวนอตรรกยะ b ซง่ึ ab เป็นจานวนตรรกยะ

5. พิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปนี้ ถกู หรือผดิ
ก. มีจำนวนตรรกยะท่ีนอ้ ยท่สี ดุ ท่มี ำกกว่ำ 0 ข. มจี ำนวนอตรรกยะท่ีนอ้ ยท่สี ดุ ท่มี ำกกว่ำ 0

6. ให้ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะท่ีแตกตำ่ งกนั ให้ c และ d เป็นจำนวนอตรรกยะท่แี ตกต่ำงกนั
พิจำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปนีถ้ กู หรือผดิ ก. a − b เป็นจำนวนตรรกยะ ข. c − d เป็นจำนวนอตรรกยะ

7. พิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปนีถ้ กู หรือผิด [Onet 2553 : 1]
ก. จำนวนท่เี ป็นทศนยิ มไมร่ ูจ้ บบำงจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ
ข. จำนวนท่เี ป็นทศนิยมไมร่ ูจ้ บบำงจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 35 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2 เรือ่ ง สมบตั ขิ องระบบจำนวนจริงม.4/......... เลขท่.ี .........

1. ใหน้ กั เรยี นเขยี นสมบตั ิการบวกและการคณู บนจานวนจรงิ ดงั นี้

สมบัติ กำรบวก กำรคูณ

ปิ ด a + b   ab  

กำรสลับท่ี a+b = b+a ab = ba

กำรเปล่ยี นกลุม่ (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)

กำรมีเอกลกั ษณ์ a+0 =0+a = a 1a = a1 = a

กำรมอี ินเวอรส์ a) = 0
กำรแจกแจง a (b + c) = ab + ac

2.

3.

4. พจิ ำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปนี้

ก. สมบตั กิ ำรมีอินเวอรส์ กำรบวกของจำนวนจรงิ กลำ่ ววำ่

สำหรบั จำนวนจรงิ a จะมีจำนวนจรงิ b ท่ี b +a = 0 = a + b

ข. สมบตั ิกำรมอี ินเวอรส์ กำรคณู ของจำนวนจรงิ กลำ่ ววำ่

สำหรบั จำนวนจรงิ a จะมจี ำนวนจรงิ b ท่ี ba = 1 = ab

ขอ้ สรุปใดต่อไปนีถ้ กู ตอ้ ง [Onet 2552 : 2]

1. ขอ้ ก. ถกู และ ขอ้ ข. ถกู 2. ขอ้ ก. ถกู แต่ ขอ้ ข. ผดิ

3. ขอ้ ก. ผดิ แต่ ขอ้ ข. ถกู 4. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ผิด

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 36 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 3 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลือชนั้ ม.4/......... เลขท่.ี .........

ทฤษฎีบทเศษเหลือ ใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ

1) เศษเหลือจำกกำรหำร “ เม่ือ p(x) เป็ นพหุนามใดๆ ถา้ หาร p(x)
ด้วย x – c แลว้ เศษจากการหารจะเทา่ กับ p(c )
เม่ือ c R ”

จงหำเศษเหลอื จำกกำรหำร

2) จงหำเศษท่ีเหลือจำกกำรหำร 3) จงหำเศษท่ีเหลือจำกกำรหำร

p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดว้ ย x – 1 p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดว้ ย x

4) 5) จงหำคำ่ a ท่ที ำให้ x - 3 หำร
3x3 – 7x2 – 9x – a ลงตวั

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 37 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4 เร่ือง กำรหำรสังเครำะหช์ นั้ ม.4/......... เลขท่ี..........
ทฤษฎบี ทตัวประกอบและทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ

ทฤษฎตี วั ประกอบ

วิธีกำรหำรขำ้ งตน้ คอ่ นขำ้ งจะใชเ้ วลำจึงใช้

“กำรหำรสงั เครำะห”์

c = ตวั ประกอบของ 6 คอื

x3 + 6x2 + 11x + 6

0

เศษ = 0 พหนุ ำม x -1 จงึ เป็นตวั ประกอบของ p(x)

2) x3 + x2 – 8x – 12 3) x3 – 7x – 6

4) x3 – 10x2 + 27x – 18 5) x4 - x3 - 2x2 – 4x - 24

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 38 ~

แบบฝึ กทกั ษะที่ 4 เรอ่ื ง กำรหำรสงั เครำะห(์ ตอ่ )
ทฤษฎีตัวประกอบตรรกยะ

1) 6x3 - 11x2 + 6x - 1 2) 4x4 - 4x3 - 9x2 + x + 2

3) ถำ้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจรงิ ซง่ึ (x 1)2(ax b) cx3 dx 4 ทกุ จำนวนจรงิ x

แลว้ a + b + c + d เท่ำกบั เทำ่ ใด [Onet 2554 : 2]

4)

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 39 ~

แบบฝึ กทักษะที่ 5 เร่อื ง กำรแกส้ มกำรพหนุ ำมม.4/......... เลขท่ี..........

1. สมการดกี รีหนึ่ง

1) 2x + 1 = 3(1 – x) 2)

2. สมการดกี รีสอง

สมกำร ax2 + bx + c = 0 แยกตัวประกอบแล้วใช้ ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0

รูปแบบท่ี 1 วิธีดงึ ตวั ร่วม

1) x2 – 25x = 0 2) x3 – 4x2 = 0

รูปแบบที่ 2 ผลตา่ งกาลังสอง น2-ล2 = (น+ล)(น-ล)

1) x2 – 81 = 0 2) 25x2 – 49 = 0

3) (x – 3) 2 = 25 4) x4 – x2 = 0

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 40 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 5 เรื่อง กำรแกส้ มกำรพหุนำม(ต่อ)ชนั้ ม.4/......... เลขท่.ี .........

รูปแบบที่ 3 กาลังสองสมบูรณ์ น2  2นล + ล2 = (น  ล)2

1) x2 +14x + 49 = 0 3) x2–8x + 16 = 0

2) 49x2+ 154x + 121 = 0 4) x2 − 2 2x + 2 = 0

รูปแบบที่ 4 ax2+bx +c เม่ือ a=1 พจิ ารณา b (บวกกันได้ b) และ c (คณู กันได้ c)

1) x2 + 6x – 16 = 0 2) x2 + 6x + 8 = 0

3) x2 + 13x + 30 = 0 4) จงหำค่ำ c ท่ีทำใหส้ มกำร x2 + 4x + c = 0
มี 1 คาตอบ และ 2 คาตอบทเี่ ป็ นจานวนจรงิ

รูปแบบท่ี 5 ax2+bx +c เมือ่ a  1 2) 2x2– 10x = 5x - 27
1) 3x2 + 10x + 3 = 0

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 41 ~
3) (3x – 4)(x + 1) = -2
4) x2 + 7x + 1 = 0

63

รูปแบบที่ 6 จัดเป็ นกาลงั สองสมบรู ณ์ 2) 2x2 + 4x = 1
1) x2 - 4x + 2 = 0

รูปแบบท่ี 7 สูตร

1) x2 + 2x + 1 = 0

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 42 ~

2) x2 - 3x + 1 = 0 3) x2 + 4x + 5 = 0

45
))

6.

7. เซตของจำนวนจรงิ k ท่ที ำให้สมการ x2 − kx + 5 = 0 ไมม่ ีคำตอบท่ีเป็นจำนวนจริง
คอื เซตในข้อใด [Onet 2561 : 3]

1. (−, − 20) 2. (−, 20)

3. (− 20, 20) 4. [0, )

8. ผลบวกของรากทงั้ หมดของสมการ x −1 + x = 1 เทา่ กบั ขอ้ ใด [Onet 2557 : 3]
x +2

1. –4 2. –3 3. –2 4. 1 5. 2

9. ถำ้ (p 2)2 25 และ (q 1)2 81 แลว้ ค่ำมำกท่สี ดุ ท่เี ป็นไปไดข้ อง p − 2q เท่ำกบั เทำ่ ใด

[Onet 2554 : 27]

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 43 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 5 เรื่อง กำรแกส้ มกำรพหุนำม(ตอ่ )
รูปแบบที่ 8 ทฤษฏีเศษเหลอื และ การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดยี ว

1) x3 – 10x2 + 27x = 18 2) 1 – 3x2 + 2x3 = 0

3)
4)

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 44 ~

แบบฝึ กทักษะท่ี 6 เรื่อง ช่วงของจำนวนจริง

1. จงเขยี นชว่ งของจำนวนจรงิ ในรูปเซตและเสน้ จำนวน เสน้ จำนวน
ช่วง เซต

(9) (-∞,10)
(10) [2 , 9]

2. กำหนดให้ A = (2, 5), B = (–1, 9] และ C = (–3, ) จงหำเซตตอ่ ไปนี้

1) A/ =
2) BC =

3) AB =

4) C – A =

5) A/  B =

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 45 ~

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 7 เรือ่ ง กำรแก้อสมกำร

รูปแบบที่ 1 1. 6x - 9 > 2x + 7 2. -2(m –4)  3(m +2) 3. x – 2 < 1 – 2x < x + 4

รูปแบบท่ี 2 อสมการกาลงั สอง 2. x2 – 4 > 0 3. 2x2 + x – 6  0
1. x2 – 5x + 6 < 0

รูปแบบท่ี 3 อสมการกาลงั สาม 2. 2x4 - 13x3 + 28x2 + 4x – 12 < 0
1. x3 + x2 – 8x – 12  0

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 46 ~

รูปแบบที่ 4 เศษส่วน 3x − 5

(x + 1)(x − 4) 2. (2x + 3)(x − 7) > 0

1. x − 5  0

3. 3  1 21

x +1 x +1 4. x +1  x + 2

รูปแบบท่ี 5 2. (x + 2)5(2x +1)2(3x - 1)3 > 0
1. (x +1)3(x – 2)4(x + 3)5  0

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจรงิ ~ 47 ~

รูปแบบที่ 6 2. x2(x−−2x3)−5 15  0

1. (x − 1)4 (x − 2)8  0
(x − 3)2 (x − 4)

รูปแบบท่ี 7 2. (5 - x)(2 + x)  0

1. (4 - x)(2 + x) < 0

รูปแบบท่ี 8 2. 3x2+6x -10 < 6x2+9x -10

1. 8x2+9x+12 > 3(x+2)2

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 3 จำนวนจริง ~ 48 ~

แบบฝึ กทักษะที่ 8 เร่ือง คำ่ สมั บรู ณ์

1. การแก้สมการคา่ สัมบูรณ์ 2. | 3x – 1 | = 2 – x

1. | 2x + 5 | = 4

3. | 2x + 5 | = | 3x - 7 | =4. 3 | 2x - 3 |
|x+2|