ชุดที่ 7 เรื่อง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ แดง

ชดุ ที่ 7 สมมูลและนเิ สธของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณ 0

Scan แบบฝกึ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมูลและนเิ สธของประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณ 1

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์เบอ้ื งตน้ ประกอบการจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ
เทคนิค STAD ร่วมกับคำถามระดับสูง เพื่อส่งเสริมมโนทัศน์และความสามารถในการสื่อสารทาง
คณิตศาสตร์ ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 รหัสวิชา ค31201
จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนา
ความสามารถทางคณิตศาสตร์ เกิดความคิดรวบยอดในเร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น ปฏิบัติกิจกรรม
เพ่ือสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง และประเมินตนเอง ตามสาระ
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ของหลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ซ่ึงมีทั้งหมด 7 ชุด เวลา
18 ชวั่ โมง ดังน้ี

ชดุ ที่ 1 เรื่อง ประพจนแ์ ละการเชือ่ มประพจน์
ชุดที่ 2 เรือ่ ง คา่ ความจรงิ ของประพจน์และตารางคา่ ความจรงิ
ชดุ ท่ี 3 เร่ือง รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนิเสธกนั
ชดุ ท่ี 4 เรอ่ื ง สัจนริ ันดร์และการอ้างเหตุผล
ชุดท่ี 5 เรื่อง ประโยคเปดิ และตัวบ่งปริมาณ
ชดุ ที่ 6 เรอื่ ง ค่าความจริงของประโยคทีม่ ตี ัวบ่งปริมาณ
ชุดท่ี 7 เรอื่ ง สมมูลและนเิ สธของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ

โดยในชุดท่ี 7 เร่ือง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณ ประกอบด้วย คำชี้แจง
สำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ และ
จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก โดยเนื้อหา
แต่ละเรื่องมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ตามลำดับ
ขั้นตอน พรอ้ มทง้ั ตรวจคำตอบทีถ่ กู ต้องของแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ได้ด้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 7 เรื่อง สมมูลและนิเสธของ
ประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอดในเรื่อง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มี
ตวั บ่งปริมาณ เหมาะสมกับผเู้ รียนทุกคน และเหมาะสมสำหรับครูทจี่ ะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นางสาวชนธิชา แกว้ วิชยั
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพเิ ศษ

โรงเรียนพังงพู ทิ ยาคม

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมูลและนิเสธของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปรมิ าณ 2

คำช้ีแจงสำหรบั ครู

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 เรื่อง สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่อื ง ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 เรื่อง สมมูล
และนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ใชเ้ วลาจดั การเรียนรู้ 2 ช่วั โมง ประกอบด้วยเน้ือหา ดงั นี้

7.1 การสมมูลกันของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ (1 ช่วั โมง)
7.2 นิเสธของประโยคทม่ี ีตวั บ่งปรมิ าณ (1 ช่ัวโมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 เร่ือง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรยี น แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก

ซ่ึงประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนน และเกณฑ์
การประเมนิ ในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ชุดนี้ ครผู ู้สอนควรปฏบิ ัตติ ามขนั้ ตอนตอ่ ไปน้ี

ข้นัขน้ัทที่ 1ี่ 1 ช้แี จงขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะน้ีให้นกั เรียนเขา้ ใจ

ข้นัขัน้ทที่ 2่ี 2 ให้นักเรียนศกึ ษาเน้อื หาจากใบความรู้ ทำแบบฝึกทักษะ
และตรวจคำตอบตามเฉลยทีละแบบฝกึ ทกั ษะ

ข้นัข้ันทที่ 3่ี 3 ดแู ลใหน้ ักเรยี นปฏบิ ัตติ ามข้นั ตอนและให้คำแนะนำเมอ่ื นกั เรียนพบปญั หา

ข้นัขัน้ทที่ 4่ี 4 ประเมนิ ผลการเรยี นของนักเรยี นอยา่ งตอ่ เน่ืองและให้แรงเสรมิ
ในการปฏิบัติกจิ กรรมของนักเรยี น

ขข้นั น้ัทท่ี 5่ี 5 ให้นักเรยี นทำแบบทดสอบหลังเรียน เมอ่ื ศกึ ษาเนอ้ื หาจากใบความรู้
และทำแบบฝกึ ทักษะเสร็จสิน้

ขข้นั น้ัทท่ี 6่ี 6 บนั ทึกผลการประเมินหลังการจดั การเรียนร้โู ดยใช้แบบฝึกทักษะทกุ คร้งั

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมูลและนิเสธของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปรมิ าณ 3

คำแนะนำสำหรับนักเรยี น

นักเรียนควรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 7 เรอ่ื ง สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณ ดังนี้

ขน้ั ที่ 1 ศึกษาขัน้ ตอนการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ให้เขา้ ใจชดั เจน

ข้นั ท่ี 2 ศึกษาผลการเรยี นรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เวลาที่ใช้ในการจัดการเรยี นรู้

ข้นั ท่ี 3 ศกึ ษาและทำความเข้าใจเนอื้ หาจากใบความรู้และทำแบบฝกึ ทกั ษะ
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครูไปทีละแบบฝึกทกั ษะ

ตามลำดับ เมือ่ พบปญั หาใหข้ อคำแนะนำจากครทู นั ที

ขั้นที่ 4 ทำแบบทดสอบหลงั เรยี น ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู
แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

ประเมนิ ผลว่านักเรียนผา่ นเกณฑห์ รือไม่
ขั้นท่ี 5  “ผ่านเกณฑ์การประเมิน” ให้นกั เรยี นศึกษาแบบฝึกทกั ษะชดุ ตอ่ ไป

 “ไม่ผ่านเกณฑก์ ารประเมิน” ใหน้ กั เรียนยอ้ นกลับไปศกึ ษาและ
ทำความเข้าใจเน้อื หาจากใบความรู้ และทำแบบฝึกทักษะด้วยตนเองใหม่

อ่านคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏิบัติตามให้ถูกต้อง
ก่อนท่ีจะลงมือทำกิจกรรมในแบบฝกึ ทักษะ

และทส่ี ำคัญตอ้ งมคี วามซื่อสัตยน์ ะจะ๊

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์

ชดุ ท่ี 7 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปรมิ าณ 4

แผนผังการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

ศึกษาข้นั ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ศกึ ษามาตรฐานการเรยี นรู้ ตัวชว้ี ดั จุดประสงค์การเรียนรู้

ศกึ ษาเน้ือหา ศึกษาใบความรู้ท่ี 7.1-7.2
และทำแบบฝึกทักษะ

คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเนอ้ื หาสาระจากใบความรู้
ตวั อยา่ งการหาคำตอบในแบบฝึกทักษะ

ชดุ ท่ี 7 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำแบบฝึกทักษะ 7.1-7.2

ตรวจคำตอบจากการเฉลยโดยครู

ไม่ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80 ผ่านเกณฑ์รอ้ ยละ 80

เกบ็ สถติ ิคะแนน
ทดสอบหลังเรียน

ไม่ผ่านเกณฑร์ อ้ ยละ 80 ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80

จบชดุ ที่ 7

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมลู และนเิ สธของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปรมิ าณ 5

สารบัญ

เร่ือง หนา้

คำนำ 1
2
คำชี้แจงสำหรับครู 3
คำแนะนำสำหรบั นกั เรียน 4
แผนผงั การใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ 5
6
สารบัญ 6
ผลการเรยี นรู้ 7
9
จุดประสงค์การเรียนรู้ 10
ใบความรู้ที่ 7.1 สมมูลของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณ 12
แบบฝึกทกั ษะที่ 7.1 สมมูลของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปรมิ าณ 13
18
ใบความรู้ท่ี 7.2 นเิ สธของประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปรมิ าณ 19
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 7.2 นเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณ 20

แบบทดสอบหลังเรียนชดุ ท่ี 7 สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณ 21
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 7.1 สมมูลของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณ
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 7.2 นเิ สธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปรมิ าณ

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี นชดุ ที่ 7 สมมลู และนเิ สธของประโยค
ทมี่ ีตวั บง่ ปริมาณ

บรรณานุกรม

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมีตวั บ่งปรมิ าณ 6

ผลการเรยี นรู้
และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้

สาระจำนวนและพีชคณิต
เขา้ ใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวน ผลที่เกดิ ขึ้นจากการดำเนินการ สมบัตขิ องการดำเนนิ การ และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้นในการส่ือสาร ส่อื ความหมาย
และอา้ งเหตผุ ล

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรยี นสามารถ
1. บอกได้วา่ ประโยคท่มี ีตวั บง่ ปรมิ าณสมมูลกันหรือไม่
2. บอกไดว้ ่าประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณเปน็ นิเสธกันหรอื ไม่

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ 7

เรือ่ ง การสมมลู กันของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ

การสมมลู กันของประโยคที่มตี ัวบ่งปรมิ าณ

การสมมูลของประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปรมิ าณ จะพิจารณาประโยคเปดิ ว่าสมมลู หรอื ไม่
โดยพจิ ารณาเหมือนการสมมูลกันของประพจน์ เราสามารถเทียบรูปแบบการสมมูลกนั
ของประโยคเปิดกับการสมมูลกนั ของประพจน์ไดด้ งั นี้

ประพจน์ท่สี มมลู กนั สมมูลของประโยคเปดิ

1. ~(~p)  p 1. ~[~P(x)]  P(x)
2. P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)
2. p  q  q  p 3. P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)
3. p  q  q  p 4. P(x)  Q(x)  Q(x)  p(x)
4. p  q  q  p 5. ~[P(x)  Q(x)]  ~P(x)  ~Q(x)
6. ~[P(x)  Q(x)]  ~P(x) ~Q(x)
5.~(p  q)  ~ p ~q 7. P(x) → Q(x)  ~P(x)  Q(x)
6. ~ ( p  q)  ~ p~q 8. P(x) → Q(x)  ~Q(x) → ~P(x)
7. p → q  ~ p  q 9. P(x)  Q(x)  [P(x) → Q(x)] [Q(x) → P(x)]
8. p → q ~ q → p 10. P(x) [Q(x)R(x)] [P(x)Q(x)] [P(x)R(x)]
11. P(x) [Q(x)R(x)] [P(x) Q(x)][P(x)R(x)]
9. p  q  (p → q)  (q → p)
10. p  (q  r) (p  q)  (p  r)
11. p (q  r)  (p  q)  (p  r)

จากรปู แบบสมมูลของประโยคเปิดข้างตน้ เมอื่ เติมตวั บงปรมิ าณชนดิ เดยี วกนั ไวด้ ้านหนา้ จะได้
ประพจน์ทสี่ มมลู กันดว้ ย เช่น

x[P(x) → Q(x)] สมมูลกับ x[~P(x)  Q(x)]
x[P(x) → Q(x)] สมมูลกบั x[~Q(x) → ~P(x)]
x[~(P(x) → Q(x))] สมมูลกบั x[P(x)  ~Q(x)]
x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)→ Q(x)]  [Q(x)→ P(x)]

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมลู และนเิ สธของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณ 8

และจากรูปสมมูลดังกลา่ วข้าวตน้ เราสามารถนำไปใช้ในกรณที ม่ี ีตัวบ่งปรมิ าณมากกวา่ 1 ตัวได้ เชน่

~xy[P(x, y)] สมมูลกบั xy[~P(x, y)]
~xy[P(x, y)] สมมลู กับ xy[~P(x, y)]
~xy[P(x, y)] สมมูลกับ xy[~P(x, y)]
~xy[P(x, y)] สมมลู กบั xy[~P(x, y)]

ตวั อย่างท่ี 1

จงตรวจสอบว่าประพจนแ์ ตล่ ่ะคู่สมมูลกันหรือไม่
เมอื่ กำหนดเอกภพสมั พัทธ์ คือ เซตของจำนวนจรงิ

1) x[x > 0] กบั ~ x [x  0 ]
วิธที ำ
ให้ P(x) แทน x  0
จะได้ x[x  0] แทนด้วย x[P(x)] สมมูลกับ ~ (~x[P(x)])
สมมูลกบั ~x[~P(x)] ซ่งึ เขียนแทนด้วย ~x[x  0]
ดงั นนั้ x[x  0] สมมลู กบั ~[x  0]

2) x[(x +4 =7)  (x N )] กบั x[(x +4  7)  (x  N)]
วธิ ที ำ
ให้ P(x) แทน x+4 = 7 , ให้ Q(x) แทน x  N
จะได้ x[(x + 4 = 7)  (x N)] แทนดว้ ย x[P(x)  Q(x)]
สมมูลกบั x[Q(x)  P(x)] ซง่ึ เขียนด้วย x[(xN)  (x + 4 =7)]
ดงั นั้น x[(x + 4 =7 )  (x  N )] ไม่สมมลู กับ x[(x + 4  7)  (x N)]

3) x[x  0 → x2  0] กับ x[x  0 → x2  0 ]
วิธีทำ
ให้ P(x) แทน x  0, ให้ Q(x) แทน x2  0
จะได้ x[x  0 → x2  0] แทนด้วย x[P(x) → Q(x)]
สมมลู กบั x[~Q(x) → ~P(x)] ซึง่ เขยี นดว้ ย x[ x2 < 0 → x< 0]
ดังน้นั x[x  0 → x2  0] สมมูลกบั x[x < 0 → x2 <0]

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ 9

เรือ่ ง การสมมลู กนั ของประโยคทีม่ ตี วั บ่งปริมาณ

จงตรวจสอบวา่ ประพจน์แตล่ ่ะค่สู มมูลกนั หรอื ไม่ (ขอ้ ละ 2 คะแนน ; 10 คะแนน)

1) ~x [ x = 9  x  81 ] กบั x[ x = 9 → x = 81 ]
วธิ ที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) x[x  I] →x [xN] กับ x[x  N ] → x[x  I ]
วิธีทำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ~ [x + 4 7 ]  x[ x2  1] กบั ~ x[x + 4 7 ]  x [ x2  1 ]
วธิ ีทำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) มจี ำนวนนับบางจำนวนไม่ใชจ่ ำนวนเฉพาะ กบั ไมเ่ ป็นจริงที่ว่าจำนวนนับทกุ จำนวน
เปน็ จำนวนเฉพาะ
วิธที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) สบั เซตของจำนวนนบั เปน็ เซตไม่จำกัด กับไม่เป็นจริงท่ีว่าสบั เซตของจำนวนนบั เป็นเซตจำกัด
วธิ ที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมลู และนเิ สธของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปริมาณ 10

เรอ่ื ง นิเสธของประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ
นเิ สธของประโยคทมี่ ีตัวบ่งปริมาณ

นิเสธของตัวประโยคทีม่ ีบ่งปรมิ าณซึง่ ใช้วธิ ีการเดยี วกันกับนิเสธพจน์นิเสธ p คือ ~P
โดยการเตมิ “~” ในประโยคเปดิ หรือประโยคทีม่ ีตัวบ่งปริมาณ จะตกลงให้เตมิ “~”
ข้างหน้าประโยค เชน่
นิเสธของ P(x) คอื ~P(x)
นิเสธของ x[P(x)] คือ ~x[P(x)]
นเิ สธของ x[P(x)] คอื ~x[P(x)]
นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คอื ~x[P(x)  Q(x)]
นเิ สธของ x[P(x)  Q(x)] คอื ~x[P(x)  Q(x)]

เน่ืองจาก ~x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] เนื่องจาก ~x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
ดงั นัน้ นิเสธของ x[P(x)] คอื x[~P(x)] ดังน้นั นิเสธของ x[P(x)] คอื x[~P(x)]

ตวั อย่างการเปรียบเทยี บนิเสธของประพจน์และนิเสธของประโยคเปิด
นิเสธของ p → q คือ p ~q
ดังน้นั นิเสธของ P(x) → Q(x) คือ P(x)  ~Q(x)
จะไดว้ า่ นิเสธของ x[P(x)] →x[Q(x)] คอื x[P(x)]  ~x[Q(x)]
ซง่ึ x[P(x)]  ~x[Q(x)] สมมูลกบั x[P(x)]  x[~Q(x)]
ดังนั้น นเิ สธของ x[P(x)] → x[Q(x)] คือ x[P(x)]  x[~Q(x)]

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคทีม่ ีตวั บง่ ปรมิ าณ 11

ตัวอย่างที่ 1

จงหานเิ สธของขอ้ ความ “มีจำนวนจรงิ x ซ่งึ เปน็ จำนวนตรรกยะแต่ไมใ่ ช่จำนวนเต็ม”

วิธีทำ ให้ P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ
Q(x) แทน x เป็นจำนวนเตม็

ดงั น้นั ขอ้ ความที่กำหนดจะเขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ x[P(x)  ~Q(x)]
นเิ สธของ x[P(x)  ~Q(x)] เขยี นแทนดว้ ย ~ x[P(x)  ~Q(x)]
เน่ืองจาก ~x[P(x)  ~Q(x)]  x[ ~(P(x)  ~Q(x))]

 x[ ~P(x)  ~( ~Q(x))]
 x[ ~P(x)  Q(x)]
นน่ั คอื นเิ สธของขอ้ ความ “มีจำนวนจรงิ x ซึง่ เป็นจำนวนตรรกยะแต่ไมใ่ ช่จำนวนเตม็ ”
คอื จำนวนจริง x ทุกจำนวนต้องไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะหรอื ต้องเปน็ จำนวนเตม็

ตวั อย่างที่ 2

จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปนี้ เม่อื กำหนดเอกภพสมั พัทธ์ คอื เซตของจำนวนจริง

1) x[x + 4 0]
นเิ สธ คือ ~x[x + 4 0] สมมูลกบั x{x +4  0]

2) x[x  1] → x[x  1]
นิเสธ คือ ~{x[x  1 ] → x[x  1]} สมมูลกบั x[x 1]  x[x  1]

3) จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเป็นจำนวนจรงิ
ให้ P(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ, ให้ Q(x) แทน x เปน็ จำนวนจริง
จะได้ x[P(x) →Q(x)] นิเสธ คอื ~x[P(x)  ~Q(x)]
ซ่ึงเขียนแทนดว้ ย มจี ำนวนเฉพาะบางจำนวนท่ไี ม่ใชจ่ ำนวนจรงิ

4) จำนวนจริงบางจำนวนมากกวา่ หรือเทา่ กบั ศูนย์ และมีจำนวนจรงิ บางจำนวน
เมอื่ ยกกำลงั สองแล้วน้อยกวา่ ศูนย์
ให้ P(x) แทน x เปน็ จำนวนจรงิ ซ่งึ x  0 , ให้ Q(x) แทน x เป็นจำนวนจรงิ ซึง่ x2 < 0
จะได้ x[P(x)]  x[Q(x)]
นเิ สธคอื ~{x[x  0 ]  x [ x2  0 ]} สมมลู กับ x[x < 0]  x[ x2  0]

ซง่ึ เขียนแทนด้วย จำนวนจรงิ ทุกจำนวนนอ้ ยกวา่ ศูยน์ หรือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนเมอื่ ยกกำลงั สองแล้ว
มากกวา่ หรือเท่ากับศูนย์

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมูลและนเิ สธของประโยคที่มีตัวบง่ ปรมิ าณ 12

เร่ือง นเิ สธของประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณ

จงหานเิ สธของขอ้ ความต่อไปน้ี เมอ่ื กำหนดเอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตของจำนวนจริง
(ขอ้ ละ 2 คะแนน ; 10 คะแนน)

1) x [(x  3) ~ (x + 2  2)]
วธิ ที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) x[ x2  0 → x < 0]
วิธีทำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเปน็ จำนวนจริง

วิธที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) xy[x + y = 0  xy < 0]
วิธที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) xy[|x – y| = x – y → x  y ]
วธิ ที ำ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปริมาณ 13

เรอื่ ง สมมูลและนเิ สธของประโยคทีม่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ

คำชี้แจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน

1. xy [ P(x) → Q(x) ] สมมูลกับข้อใด ข. xy[~P(x)Q(x)]
ง. xy[~Q(x) P(x)]
ก. xy[~Q(x) P(x)]
ค. xy[~P(x)Q(x)] ข. xy [ x + 1  0 ]
2. สมมลู ของ ~xy [ x + 1 = 0 ] คอื ข้อใด ง. xy[ x + 1  0 ]

ก. xy [ x + 1 = 0 ]
ค. xy [ x + 1 = 0 ]

3. สมมูลของ ~xy [ x2 + 2 = 0 ] คือขอ้ ใด

ก. xy [x2 + 2  0] ข. xy[x2 + 2 = 0]
ค. xy [x2 + 2  0] ง. xy[x2 + 2 = 0 ]

4. yx [xy = 0 → y = 0] สมมูลกับข้อใด

ก. xy [xy = 0  y = 0] ข. xy [~ xy = 0 → y = 0]
ค. xy [~xy = 0 y = 0 ] ง. xy [ xy  0  y = 0]

5. สมมลู ของ xy [ xy > 0 → (x > 0  y > 0)] คอื ข้อใด

ก. xy [ xy  0  (x > 0  y > 0)]
ข. xy [ xy  0  (x > 0  y > 0)]
ค. xy [ xy  0  (x > 0  y > 0)]
ง. xy [ xy  0  (x > 0  y > 0)]

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 7 สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปรมิ าณ 14

6. นเิ สธของ xy [ (xy  0 y  0) → (x = 0) ] ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. xy [ (xy = 0  y = 0)  (x  0) ]
ข. xy [ (xy  0  y = 0)  (x = 0) ]
ค. xy [ (xy  0  y  0)  (x  0) ]
ง. xy [ (xy  0  y  0)  (y  0) ]

7. ข้อใดคือนิเสธของ xy[P(x,y)   Q(x,y)]

ก. xy[P(x,y)  Q(x,y)]
ข. xy[P(x,y)  Q(x,y)]
ค. xy[P(x,y)  Q(x,y)]
ง. xy[P(x,y)  Q(x,y)]

8. ข้อใดไมใ่ ชน่ ิเสธของขอ้ ความ x [P(x) → Q(x)]

ก. x[P(x)  Q(x) ] ข. x[ (P(x)  Q(x)) ]
ค. x[P(x) → Q(x) ] ง. x[P(x)  Q(x) ]

9. นิเสธของขอ้ ความ x[P(x) Q(x) ] คอื ข้อใด

ก. x[P(x) Q(x) ] ข. x[P(x) Q(x) ]
ค. x[P(x) Q(x) ] ง. x[P(x) Q(x) ]

10. นเิ สธของขอ้ ความ xy[(xy = 1  x ≠ 1 → y = 1)] สมมูลกบั ขอ้ ใด

ก. xy[ (xy =1  x = 1) y ≠ 1]
ข. xy[ (xy ≠ 1  x = 1) y =1]
ค. xy[ (xy =1  x ≠ 1) y ≠ 1]
ง. xy[ (xy ≠ 1  x = 1) y =1]

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปริมาณ 15

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรยี น

ชอื่ – นามสกุล ..................................................................... ช้ัน ................. เลขท่ี ...........
คำชีแ้ จง จงทำเครื่องหมายกากบาท ( × ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมลู และนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปริมาณ 16

แบบบันทกึ คะแนน

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน หมายเหตุ

แบบฝึกทักษะท่ี 7.1 10

แบบฝึกทักษะท่ี 7.2 10

แบบทดสอบหลังเรียน 10

รวม 30

เกณฑ์การประเมิน ในแต่ละชุด นกั เรียนต้องทำแบบฝึกทักษะ ใหไ้ ดค้ ะแนน

ไม่นอ้ ยกว่าร้อยละ 80 เช่น แบบฝึกท่ีมี 10 คะแนน นกั เรยี นตอ้ งทำ

ใหไ้ ด้ไมน่ อ้ ยกว่า 8 คะแนนจึงจะถอื ว่า “ผ่านเกณฑ์”

“ผ่านเกณฑ์” “ไมผ่ ่านเกณฑ์”

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ท่ี 7 สมมูลและนเิ สธของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณ 17

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ที่ 7

ชดุ ที่ 2
แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รยี งสับเปลีย่ น

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมลู และนเิ สธของประโยคทีม่ ีตวั บ่งปริมาณ 18

เรอ่ื ง การสมมลู กนั ของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณ

จงตรวจสอบว่าประพจนแ์ ต่ละ่ คสู่ มมูลกนั หรือไม่ (ขอ้ ละ 2 คะแนน ; 10 คะแนน)

1) ~x [ x = 9  x  81 ] กับ x[ x = 9 → x = 81 ]
วิธที ำ ให้ P(x) แทน x = 9 , ให้ Q(x) แทน x  81

จะได้ ~x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[~P(x)  ~Q(x) ]
สมมลู กับ x[P(x) → ~Q(x)] ซ่ึงเขียนดว้ ย x[ x = 9 → x =81]
ดังนัน้ ~[ x = 9  x  81]สมมลู กบั x[ x = 9 → x = 81 ]
2) x[x  I] →x [xN] กับ x[x  N ] → x[x  I ]
วิธที ำ ให้ P(x) แทน x  I , ให้ Q(x) แทน x  N
จะได้ x[P(x) → x[Q(x)] สมมูลกับ ~x[Q(x)] → ~x[P(x)]
สมมูลกับ x[~Q(x) → x[~P(x)] ซึ่งเขยี นด้วย x[x N] → x[x I]
ดังน้นั x[x  I] → x [x N ] สมมูลกับ x[xN] → x[x  I]
3) ~ [x + 4 7 ]  x[ x2  1] กับ ~ x[x + 4 7 ] x [ x2  1 ]
วธิ ที ำ ให้ P(x) แทน x +4  7 , ให้ Q(x) แทน x2  1
จะได้ ~x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]  x[~Q(x)]
ซ่ึงเขยี นแทนดว้ ย x[x =4  7]  x [ x2  1]
ดงั นน้ั ~x[x + 4  7]  x[ x2  1] ไมส่ มมลู กับ ~x[x + 4  7]  x[ x2  1]
4) มีจำนวนนับบางจำนวนไม่ใช่จำนวนเฉพาะ กบั ไมเ่ ปน็ จริงทวี่ า่ จำนวนนับทกุ จำนวน
เปน็ จำนวนเฉพาะ
วธิ ที ำ ให้ P(x) แทน x เป็นสับเซตของจำนวนนบั , ให้ Q(x) แทน x เปน็ เซตจำกัด
จะได้ x[~P(x)  ~Q(x)] สมมลู กับ x[~ (P(x)  ~Q(x))]
เขยี นแทนด้วย ไม่เป็นจริงที่ว่าจำนวนนบั ทกุ จำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ
ดงั นน้ั ข้อความสองข้อความ สมมูลกนั
5) สับเซตของจำนวนนบั เป็นเซตไม่จำกดั กบั ไม่เป็นจริงทว่ี ่าสับเซตของจำนวนนบั เปน็ เซตจำกดั
วิธที ำ ให้ P(x) แทน x เป็นสับเซตของจำนวนนบั , ให้ Q(x) แทน x เป็นเซตจำกดั
จะได้ x[P(x) ~ Q(x)] สมมูลกบั x[~ (~P(x)  Q(x))] สมมูล ~x[P(x) → Q(x)]
เขยี นแทนดว้ ย ไม่เปน็ จรงิ ทวี่ า่ สบั เซตขงจำนวนนบั เปน็ เซตจำกัด
ดังนนั้ ขอ้ ความทง้ั สองขอ้ ความสมมูลกนั

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปรมิ าณ 19

เรือ่ ง นเิ สธของประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณ

จงหานเิ สธของข้อความตอ่ ไปน้ี เมอื่ กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนจรงิ
(ขอ้ ละ 2 คะแนน ; 10 คะแนน)
1) x [(x  3) ~ (x + 2  2)]

นิเสธ คอื ~x[(x  3)  ~ (x + 2  2)] สมมูลกับ x[(x  3)  (x + 3 2)]

2) x[ x2  0 → x < 0]
นเิ สธ คือ ~x[ x2  0→ x < 0 ] สมมูลกบั x[ x2  0  x  0]

3) จำนวนเฉพาะทกุ จำนวนเปน็ จำนวนจริง
ให้ P(x) แทน x เปน็ จำนวนเฉพาะ , ให้ Q(x) แทน x เป็นจำนวนจรงิ
จะได้ x[P(x) →Q(x)] นิเสธ คือ ~x[P(x)  ~Q(x)]
ซง่ึ เขยี นแทนด้วย มจี ำนวนเฉพาะบางจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจรงิ

4) xy[x + y = 0  xy < 0]
ให้ P(x, y ) แทน x + y =0 , Q(x,y) แทน xy = 0
จะได้ xy[P(x,y ) Q(x,y)] นิเสธ คือ ~xy[P(x,y)  Q (x,y)]
สมมลู กบั xy[~P(x,y)  Q(x,y)]
ซึ่งเขียนแทนด้วย xy[x=y  0  xy  0]

5) xy[|x – y| = x – y → x  y ]
ให้ P(x,y) แทน |x – y | = x – y , Q(x , y ) แทน x  y
จะได้ x[P(x,y) → Q(x,y)] นเิ สธ คอื ~xy[P(x,y) →Q(x,y) ]
สมมูลกับ x y [~ (P(x,y) → Q(x,y))] สมมูลกับ xy[P(x,y) ~Q(x,y)]
ซงึ่ เขียนแทนด้วย xy [|x – y| = x – y  x < y ]

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปรมิ าณ 20

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น ชดุ ท่ี 7

ข้อ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 7

1. ข. xy[P(x)Q(x)] ข้อ คำตอบ
2. ง. xy[ x + 1  0 ] 6. ค. xy[ (xy  0y  0)(x  0) ]
3. ข. xy[x2 + 2 = 0] 7. ก. xy[P(x,y)  Q(x,y)]
4. ง. xy [ xy  0  y = 0] 8. ค. x[~P(x) →~Q(x)]
5. ง. xy [ xy 0 (x >0 y > 0)] 9. ก. x[~P(x) ~Q(x)]
10. ค. xy[(xy =1  x ≠ 1) y ≠ 1]

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดท่ี 7 สมมลู และนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปรมิ าณ 21

จำนงค์ ทรงประเสรฐิ . ตรรกศาสตร์. กรุงเทพฯ: เลยี งเซียง, 2507.
ณรงค์ ป้นั นม่ิ และรณชยั มาเจรญิ ทรพั ย์. คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ม.4 เล่ม 1 ช่วงชนั้ ที่ 4 (ม.4-ม.6).

กรุงเทพฯ : ภมู บิ ณั ฑิตการพิมพ์, 2554.
ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. หนงั สอื เรียนเสรมิ มาตรฐานแมค็ คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ชัน้ มัธยมศึกษา

ปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 1. กรงุ เทพฯ : สำนักพิมพแ์ ม็ค จำกัด, กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลิชช่งิ
จำกัด, 2551.
ประทมุ พร ศรีวัฒนกลู . หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เลม่ 1.
กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพ์วัฒนาพานชิ , 2551.
ฟสิ ิกสเ์ ซ็นเตอร์. พกสตู รเข้าสอบคณติ ม.ปลาย. พิมพค์ ร้ังท่ี 7 ปทุมธานี : สกายบุก๊ ส์, 2551.
รงั สรรค์ มณีเล็ก. คมู่ ือครูคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4. กรุงเทพฯ : สำนกั พมิ พ์วัฒนา
พานิช, 2546.
เลิศ เหลา่ วานิชย.์ HI – ED Mathematics คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพน้ื ฐานและ
เพมิ่ เตมิ ) กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชง่ิ , 2554.
--------------. Math Review คณติ ศาสตร์ ม.4-6 เล่ม 1 (เพมิ่ เติม). กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง,
2554.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. คมู่ อื การวัดประเมินผล
คณติ ศาสตร.์ กรุงเทพฯ : สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, 2546.
----------หนังสอื ส่งเสรมิ การเรยี นรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4- 6 เล่ม 1.
พิมพค์ รงั้ ท่ี 1. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว, 2546.
----------หนงั สือส่งเสริมการเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4- 6 เล่ม 1.
พิมพค์ ร้งั ท่ี 1. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2553.
สมยั เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. Hi-ED’s Mathematics ม.4-6 เลม่ 1
(รายวิชาพ้นื ฐานและเพม่ิ เตมิ ). กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พับลิชช่งิ , 2554.
http://www.tewlek.com/anet-logic.html#term สืบค้นเมอ่ื 4 เมษายน 2563.
http://logicmathtru.blogspot.com/p/blog-page_56.html สืบคน้ เมือ่ 4 เมษายน 2563.
https://www.opendurian.com/learn/ สืบค้นเมอ่ื 4 เมษายน 2563.
https://logicmathfun.wordpress.com/ สบื ค้นเมอ่ื 4 เมษายน 2563.

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ตรรกศาสตร์

ชดุ ที่ 7 สมมลู และนเิ สธของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปรมิ าณ 22

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 เรื่อง สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม1 รหัสวิชา ค31201 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัด
การเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดยในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
ชุดที่ 7 เร่ือง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 2 ช่ัวโมง
ประกอบด้วยเนือ้ หา ดังนี้

7.1 สมมูลของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปรมิ าณ (1 ชั่วโมง)
7.2 นเิ สธของประโยคที่มตี วั บง่ ปริมาณ (1 ชั่วโมง)
ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 เรื่อง สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ
ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน
และภาคผนวก ซ่ึงประกอบด้วย เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึก
คะแนนและเกณฑ์การประเมิน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ตรรกศาสตร์