พต 4_1-34สุธาสินี เซต

น.ส. ธา น มา๓ นอก

แพรวา ม . 4 11 34

ส์ยิรุ

เวป็ ไซตส์ ำหรบั สบื คืนขอ้ มูล เนอ้ื หำ

1) คลังข้อสอบ 2) หนังสือคณิตฯ ม.4 พ้นื ฐำนเล่ม 1 3) หนงั สอื คณติ ศำสตรข์ ้นั สูง
อ.ธนวฒั น์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล
O-net, PAT1 วชิ ำสามญั ของ สสวท. หลกั สตู ร 2560

http://www.rathcenter.com

4) หนงั สือคณติ ศำสตร์ ม.4 เล่ม 1 5) ช่อง Youtube boybobi12 6) Youtube Nestle School Thailand

ของ อ.ธนวัฒน์ (สนั ต)ิ สนทรำพรพล คณติ ศำสตร์ ม.4 เซต(Set) EP. 1-9 ตรรกศำสตรเ์ บอื้ งต้น

เซต ตรรกศำสตร์

ตำรำงบนั ทึกคะแนน รำยวชิ ำคณิตศำสตร์พ้นื ฐำน รหสั วิชำ ค31101 ชั้นมธั ยมศึกษำปีที่ 4

หนว่ ยที่ ช่ือหน่วย ภำระงำน/ชนิ้ งำน น้ำหนกั
คะแนน
1 เซตและกำรดำเนนิ กำร ชที สอบ รวม
10 30 40 15

2 จำนวนสมำชิกและโจทยป์ ญั หำเซต 10 30 40 15

3 ตรรกศำสตร์ 10 30 40 20

4 กลำงภำค 20

5 ปลำยภำค รวม 70
30

รวม 100

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 1 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 1

เรือ่ ง การเขยี นเซต และสมาชิกของเซต

 จงเขยี นเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของตัวอักษร 3 ตวั หลังในภาษาองั กฤษ 2) เซตของจาํ นวนนับท่ีน้อยกวา่ หรือเทา่ กับ 5 เซต

{ }y× ,2 { 1,2, 3,15 }

า

3) เซตของเดือนท่ีลงทา้ ยดว้ ย “ยน” 4) เซตของพยญั ชนะในคาํ ว่า “คณิตศาสตร์”

{ เมษายน , นายน , นยายน พฤศ กายน } { }ค , น . ต . ศ. สาร
,

5) เซตของจํานวนนับทอ่ี ยู่ระหว่าง 5 ถงึ 10 6) เซตของจาํ นวนเตม็ บวก

{ }6,7 , 8,9 { }1,2 3
,.
. ..

7) เซตของจาํ นวนเต็มท่ียกกําลงั สองแล้วได้ 16 8) เซตของจาํ นวนนับทห่ี ารดว้ ย 3 ลงตวั
{ }6,93.
{ g. ข } . ...

 จงเขยี นเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ

1) {10, 20, 30, ...} 2) {มกราคม กุมภาพนั ธ์ มนี าคม, ... , ธันวาคม}
}
{ × snln เ ม น }ละ 10 { ใน|× × c- เ อน 1

3) {a , e, i, 0, u} 4) {1, 3, 5, 7, ... , 99}

งกฤษในเซตของ สร ภาษา ᵗ{ [1× × c- E 99 }

5) {-1, -2, -3 , ... , -20} 6) {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}

งแเซตของ นวน ดลบ งา- -20 { / }× EI
.. 2 และ ✗ $0
×

7) {-7, 7} ง สอง แ วไ ๘9 8) {-5, -4, -3, ... , 18, 19, 20}

เขตของ นวน เ ม ยก { }× 1.5 ≤ × ≤ 20

  ข้อความตอ่ ไปนี้ ถูก หรือ ผิด

E ถ
E ผ
E ถ
ถ
¢ ก
∅ ถ
ถ
E ผ
E ถ
ถ
∅

E

¢

้ด้ลัลำก่ีท็ตำจึถ่ต้ัติตำจ่ีคัอีปืดีท้ึข่ิพิจักุถิม

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 2 ~

แบบฝึกทักษะที่ 2

เร่ือง ชนิดของเซตและการเทา่ กนั ของเซต

 เซตใดเปน็ เซตจํากัด เซตใดเป็นเซตอนนั ต์ ชนิดของเซต

1. เซตของจาํ นวนเฉพาะบวก ……เซ…ตอ……น ………… 2. เซตของรปู สี่เหล่ยี มมุ ฉาก …เ…ซต…อ…น……………
3. เซตของเศษส่วนที่มีเศษเปน็ ศนู ย์ แตส่ ่วนไมเ่ ป็นศูนย์ ง = 0……เซ…ต ……ด …{…o} & " อเซต าง
4. เซตของจาํ นวนจริงทส่ี อดคล้องกับสมการ x + 15 = 0 …เข…ต……ด …{….µ…}

จงพิจารณาวา่ เซตในขอ้ ใดบ้างเท่ากนั และเซตในขอ้ ใดบ้างไม่เทา่ กนั

1. { เดา วาย } ……A…s……B…………
……C…t……D…………
}{ สาว , ค ย ……A…s…B……………
,

2. }{ ส
,
ว, ค

{ วาย }

3.

Ai Cx +3) (✗- 1) s ๐

}× = { -3,1

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3 CyBi +3) ( y - า ) ( y " + 1) = ๐

เรอ่ื ง สับเซต As B เ อ ก วของ A อ ใน B ys { -3,1 } " so
ใหน้ กั เรียนเขยี นสับเซตท้งั หมดของเซตท่กี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี
1i.- 1 A =  สบั เซต คือ { } ; { 1 } ¢~๐| ไ เ น บเซต y +า

สบั เซต 2

y s -1
-

เ จเสมอ

2i. 2 F = 1 สบั เซต คือ {} ,{า} y = ± Fเ
3[ s 4 G = 2, {2} สับเซต
คอื { } , { 2} { { ะ}} { 2. { 2}} i {3 ¢ { ะ}} ys ± i

เ ง อน

, ,

4i.-8 H = , 3, {3} สับเซต คือ { } , { & } { 3} , { {3}} {0,3}

, ,

} { } { }{0| { 3}
,,
นวน บเซต s "" 3. { 3} , 01,3 { 3 }
2 ,

ว นเอง

นวน บ เซตแทบ = ทาง

2_

5 J = , 0, {, 0} สบั เซต คอื
}{ 01,0} {o , { 01,0 , {๑,๐ } }
{ } {10} , { o} , {& { 01,0}} , , { 01,0}

,

2)

พบ ' ¢c

c

ถ ec ( ใน กกา) พ

r

ถถ

ผถ

ถพ

3)

ผ /ถ /

/ถ พ /

ถ /บ / /

บ /ก /

/ถ พ

ีปูดัมัต์ุกัสำจิสำจ้ซิช็ทิส็ป่มู่ยัตุท่ืมุสุย็ก่วืคักำจักำจ์ตัน์ตัน

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 3 ~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4 เร่ือง เพาเวอรเ์ ซต เซตของ บเซต งหมดของ A ; P (A)

ใหน้ ักเรียนเขียนเพาเวอร์เซตจาก เซตทก่ี ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1) A =  P(E) ={ }} }01 2) B = b
P(A) = { }" , P(B) ={$ , { b }}

& บ เซต A { เ } { {$} }{ { |,
, า๐
3) E = 1, {} ,

4) F = 3, {4, 5} P(F) = }{ 10,13} , {{ 4,5}} ,
{3 { 4,5 }}
,

5) G = xx  I และ 1  x  4  = { า , 2,3}

P(G) ={ }}{ } {} } { {{ } { { } }10 3,
า2 , 1,2 , 1,3 , 33 , า , 2,3
,,

 กําหนด A = {2, 3} จงเขียน
P(A) = }{ 0| , { ะ } , {3 } , { 2,3}
{ } {สบั เซตท้งั หมดของ P(A) คอื 01,1 $} {{ ะ}} {& { ะ} } }{ ะ } { 33 P (A)
$ { 3} |
... . ,, , ...
,,
.
. .. ,,

,

 กําหนด A = {  } จงเขียน 0/ { 10} /{ /} EPC A)
,
CA
P(A) = { $ {$}}
, {}

P(P(A)) = { ๐| {$} { { & }} {01 } } } [ ]ท (A) ๆ=
, , , ท Pc A) ะ 27 s แ 8

 กาํ หนด A = { ,0, 2, 4, {}, {0}, {0, 2} } จงพจิ ารณาข้อตอ่ ไปนี้ วา่ ถกู หรือผดิ

…ก..1.  P(A) …ถ ..2. {} P(A) …ถ..3. {} P(A)
a. …ผ..6. {0, 2}  P(A)
…ถ..5. {0, 2}  P(A) …ถ..9. { {}, 2}  P(A)
…ก..4. { {} }  P(A) …ถ..12. A  P(A)
…ฤ..8./{ {0, 2} }/  P(A) สมบตั ิของเพาเวอร์เซต
CA …บ..11. A C A P(A)

…ก..7. { {0, 2} }  P(A)
CA

…ด..10. {/ {}, 2}1  P(A)
เ

สมบัติของสับเซต ¢

1) A  A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง) 1)   P(A)

2) A  U (เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของเอกภพสมั พทั ธ)์ 2) A  P(A)
3) ø  A (เซตว่างเป็นสบั เซตของทุกๆ เซต) 3) P(A) ≠ 

4) ถ้า A   แล้ว A =  4) P(A)  P(B) กต็ ่อเมอื่ A  B
5) ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C (สมบตั ิการถ่ายทอด) 5) ถ้า A มีสมาชกิ n ตวั P(A) จะมสี มาชกิ 2n ตัว

6) A = B กต็ ่อเม่อื A  B และ B  A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สับเซตของเซตจะมที ั้งสน้ิ 2n สบั เซต

5) จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ต่อไปน้ีถูกหรือผิดโดยทาเคร่ืองหมาย หรือ  หนา้ ขอ้ ที่กาหนด

ถ 1. P(A) ถ 6. {A}  P(A)
ถ 2.   P(A) พ 7. {A}P(A)
ถ 3. {} P(A) ถ 8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) กจ็ ะเป็นเซตอนนั ตด์ ว้ ย
พ 4. {}P(A) ถ 9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
ถ 5. AP(A) ถ 10. ถา้ AP(B) แลว้ จะได้ A  B

ิผูถูถูถุดิส้ัทัส

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 4 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5 เรอ่ื ง โจทยป์ ญั หาสบั เซตและเพาเวอร์เซต

1. A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วก และ x  100} และ B = {x | x  A และ 3 หำร x ลงตวั }

จำนวนสมำชกิ ของเซต P(B) เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 ม.ี ค. 2552 : 1]
{ }A 2,8 , 6,8 . . . . , 100
J1f. 216 { µ}=
{ }B 96 6117,61236 , (3) 61
2. 217 6,1 2,1 8,2มา , . . . ,
า
3. 218 . . .

n

[ ]n p (B) "" n (B) s 16
s2

4. 219

2. E = {0} จงหำ n(P(P(E))) และ P(P(E)) 3. จงหำ n[P(P(P()))]
๔

n (E) s 1 [ ]n P (E) " n (d) 0s

s2 s 2 [ ](d)n P °

s2 s1

[ ] 22n p ( p (E) ) = °s ] %[h pcpc B)) s 2

}Pccss {0| , { 0 } ]ท [ PcpcpcdD) ๘ µ"

2ˢ s

}PCPCED s { 0| , {& }, {{ ∅}} , { d. { o}} แ

4. จงหำจำนวนสมำชิกของเซต A เม่อื กำหนด

n[P(A )] = 1,024 n[P( P(A))] = 256

ท (A) s 210 2h CPCAD s 28
2

[ ]ท Pc A) =8

#h (A) s 10 ท (A) 23
2
=

h (A) s 3 ☆

5. ให้ A = {, {}, {, {}}} และ P(A) เปน็ เพาเวอร์เซตของเซต A

จงพิจารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีถูกหรือผิด [PAT 1 ก.ค. 2553]

1. จำนวนสมาชิกของ P(A) เทา่ กับ 16 2. 1{, {}, {{}}1}  P(A)

n (A) 3≤ ด ett eA cA

ก

( 23h P (A) s s 8*

6. กำหนดให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ

จงพิจารณา P(P()) P(P(P())) เมอ่ื  แทนเซตว่าง ถกู หรือผิด [PAT 1 ต.ค. 2559 ]
}PC 01) s { ◦|
}ก
{ }PCPC 01) ) s ๐| , { ◦| }
{ } }แกะ เงาะ
& , { $} , { {$}} { µ {∅}
,

ผูถูถิ

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต น ส. . รา น มาต นอก เลข 34 811 หนา้ : ~ 5 ~
ม ทus เอกภาพ
แบบฝึกทกั ษะท่ี 6 เรอ่ื ง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)
( ขอบเขต ของเซต )
ให้นักเรยี นเขียนสรุปความสมั พันธข์ องเซตจากแผนภาพ

…สม…า……ก …วม……นบ…า…ง …วน… …ไ………สม…า…ก…ว…ม…น…… ……A……= …B……………… ………A…c…B……………… ………B…C…A………………

ให้ A  B  C และ A  B  C จงเขยี นแผนภาพแสดงลกั ษณะของเซตต่อไปนี้

โดยที่ aA และ bB จงเขียนแผนภาพตามเง่อื นไข A  B และ A กบั C ไมม่ สี มาชกิ รว่ มกันเลย

บAน. B A}b a
น เ ดไ B

A 2 แบบเลย A

a. b c อไ c

ง3

c

c

แบบฝึกทกั ษะที่ 7 ราน ส ตมา นอก ม. อ 11 เลข 3 $
เรอื่ ง การดำเนินการระหว่างเซต ..

ยเู นียน (Union) AB = {x|x  A หรือ x  B } : เป็นสมาชกิ ของเซต A หรือเซต B หรือท้งั สองเซต

อินเตอรเ์ ซกชนั (Intersect) AB = { x | x  A และ x  B } : เปน็ สมาชกิ ของทง้ั เซต A และ B

คอมพลเี มนต์ (Complement) A= { x|xU และ xA} : เปน็ สมาชกิ ของ U แต่ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ A

ผลตา่ ง (Difference of sets) A - B = { x|xA และ xB} : มสี มาชกิ ของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชกิ ของ B

AB smm A  B s ฑํน A – B . เอาเฉพาะ A A ไ ^= เอา

AB AB A B ✗,, B
~ A

UUU U

U = {–3,–2,–1,0,1,2,3} A = {–3,–2,–1,0}, B = {0,1,2,3} C = {–2,–1,0,1,2} จงหา
{ }1 A  B = -3 , -2 , -1,0, า , 2,3
2. BC = }{ -2
,
- 1. 0,1 , 2,3

AC= { }-2 4. B  C = { 1,2 }
,
3. -1,0

5. C = { }-3,3 6. A – B = { -3,2, ำ }
{ }s -2 า-
7. A  (C – B) = { { }}-3-3-1,0 ก
-2 -1 ,
,

8. (A  B)  C = { } }-3,3-1,0 , า , 2,3 ก { -2 , -1,0, 1,2 }s { -2 , -1,0 , 1,2

9. (A – B) C = { -3 , -2 }ๆ- ก { -3,3 } { }3.= - 3. c D- B) nc D- C)

, ะ { sd } n { a }

 |ะ ๐ c M

ุดุ้ญ่ม้ํซ่ีท์ย้ีนิสุส่ีท้ัท้ดู่ย้ดิกัก่ริชีม่ม่สัก่ริช์ธัพัส่ีท์ย้ิลุส

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 6 ~

แบบฝึกทักษะที่ 8 เรอื่ ง สมบตั กิ ารดำเนินการและการจัดรปู ราน ส. . น มาต นอก เลข 34 811

ใหน้ ักเรียนเขียนสมบัติการดำเนนิ การของเซตท่กี ำหนดให้ต่อไปนี้ให้ถูกตอ้ ง

คุณสมบตั ขิ องยูเนยี น

1. A  A = A 2. A   = A 3. A  U = U

4. A  AAUBB และ B  AAUB 5. A  B = BBuA A

6. A  (B  C) = CAUB) UC 7. A  B กต็ ่อเมื่อ p(A) c PCB)

8. ถา้ B  A และ C  A แลว้ BUCC A 9. ถา้ A  B =  กต็ ่อเม่ือ As $ และ Bs B

10. A  (B  C) = ( A ก B) v CA ^ C) 11. A  (B  C) = CA uB) ก CAUC)

คณุ สมบตั ขิ องอนิ เตอร์เซกชัน

1. A  A = A 2. A   = ⑦

3. A  U = A 4. A  B  AA และ A  B  BB

5. A  B = B ^ A 6. A  (B  C) = ( A ก B) ก C

7. A  B กต็ ่อเมื่อ An B As 8. ถา้ A  C และ B  C แลว้ A ก BCC

คุณสมบตั ิของคอมพลเี มนต์

1. (A) = A 2.   = v และ U  = 0/

3. A  A = & 4. A  A = U

5. (A  B) = AA' ^B' B  6. (A  B) = AA' UB B' 

7. AB กต็ ่อเม่ือ B ' A ' A 8. AB= กต็ ่อเม่ือ 'A  BAB'

Bc c

คุณสมบัตขิ องผลต่าง

1. A – B  AA 2. A – B = A กต็ อ่ เม่ือ AA  Bก B s ⑦= 

3. A – B =  กต็ ่อเม่ือ AAcBB 4. A – A = 0/

5. A – B = AAMB B'  6. A – (B  C) = ((AA- B–) กBC)A- C)(A –

7. A – (B  C) = C(AA- B–)BU)CA- C(A) – 8. (A  B) – C = c(AA-c)–กCC )B-c)(B –

C) 9. (A  B) – C = ((AA- c–) UCC)B- C() 10. A –  = AA และ  – A =–๐/A

จงพิสจู น์ข้อความต่อไปนว้ี า่ เป็นจรงิ หรอื ไม่ [PAT 1 ต.ค. 2555]

ใน1. A–(Bร  C) = (A–B)(A–C) 2. A – (B – C) = A  (B  C)

- ละ นก s CA n ' ) UCA กอ ) A- CB ก C) s

B

s An CB'บ ) ด Anc Bn C) "
A ก CB 'ก c)
= A ก CB nc
± A- c Bn c)

3. (A<  B<)–C = (A–C)  (B–C) 4. (A  B) – C = A  (B – C)

น . ละ นก = ( A ก ) ก CB ^ ) ( AU B) ก C ' s Au ( Bn G)

= CA ก B) ก CA ก C) UCB n C) s CAU B) ก CAUC)

s ( An B) C- ด

( A- C) c B- C) s

ุบิผ่ย่ย่ย่ลิผ่ว่ย่ล่ีท์ย้ิลุส

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 7 ~

คุณสมบตั ิของเพาเวอรเ์ ซตกบั จำนวนสมาชกิ ของเซต

1. n(P(A) −A) = n(P(A)) − n(P(A)  A) 2. n(A− P(A)) = n(A) − n(A  P(A))

3. n(P(A) −A)  n(A− P(A)) = n(P(A) − A) + n(A− P(A))

1. ให้ A = {1, {1}} จงหาจำนวนสมาชกิ ของ P(A) − A [PAT 1 ม.ี ค. 2553 : 4] A PCA)

{ }p (A) s ] [ ][= n Pc A) n- P (A) ก A ]↑
∅ { 1 } {{ 1}} A ,
,, [ P (A) - A
Anp (A) เห อน
P (A) ก As { { 1 } } s 2 2. , ลบ ว า น ง

s 4 -1

3s

2. ให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} ขอ้ ความ n(A − P(A)) < n(P(A) −A) ถูก หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2552]
{ } { } { } } [ ] ] ]Pl A) =
{∅ , ◦ 1 0 1,2 n (A) n- Anpc A) < nlp (A) ท [ Pc A) n A
, , ... ,, . . .
่
}{A ก P (A) = { 1,2 } ② A Pcm
4 1- < 2 -1

3 < 15

ก A- PC A)

3. ให้ B  A และ A  C   ถา้ n(P(P(B))) = n(P(B  C)) = 16 , n(B  C) = 1 , n(A  C) = 2
และ n(P(A − C)) = 4n(P(C − A)) แล้ว n(P(A)) เท่ากบั เท่าใด [PAT 1 ก.พ. 2561 : 32]

A B hl PCP (B)) = 16 nl PCB v C)) = 16 ))n ( P ( A- C) = 4 × nl P ( C- A)
B"
2่ ¢2 " "3) ②= / 4" "" " " ท ( A- c) 22×2 " ( C- A)
1
nfp (A)) ท (A) 2h (B) =4 2= 2 =
1 2s [ (B)
22 " " " C) = 4 ( A- C) 22= + ท ( c- A)
1 s 25 "
=
2

• 32 ท (B) = 2 hl A- C) = 2 + n ( C- A)

c = 2t 1

=3

ให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ีทำเพอื่ ระบขุ ้อความต่อไปนี้ ถูกหรอื ผดิ

1. P(A)  P(B)  P(A  B) *** 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ***

A  B = { า , 2,3 } P(A  B) = { }∅ {1 }
,,
{2} {3} { 1,2 } { 1,3} { 2,3} { 1,2 , 3 }
,, , ,
,

AB= {2 } P(A  B) = { ∅ }{ ะ } , { 2 } , { 3} , { 2,3 } }

P(A) = }{ { } P(B) = {∅
∅{ 1 } , { 2} 1,2 ,
, ,
P(A)  P(B) = { ∅ , { 2 }}
}{P(A)  P(B) = {1 } {
∅ , {2} {3} แ } { 2,3}
, , , ,

สรุป

1. P(A)  P(B)  P(A  B) ……ก . 2. P(A)  P(B) = P(A  B) …ก….

หมายเหตุ P(A)  P(B) = P(A  B) ก็ตอ่ เม่อื A  B หรอื B  A

 ให้นักเรยี นแสดงวธิ ีทำเพือ่ ระบขุ ้อความ P(A  B)  P(A)  P(B) ถกู หรือผดิ [PAT 1 ม.ี ค. 2559 ]

}A = { 5. า , B = { 6,73

Au B. {5,6, ง}

} } {pc Au B) = { ∅, { 5 } { 6} { 7
,,
{ 5,6] { 5,7} { 6,7, 5. 6,73}

{ ,,

p (A) s ¢ {5 } {7} { 5,71}
,
,,

}P (B) ˢ {0 {
, เ} {7} { 6,7}
, ,

} }P (A) up (B) s { ∅, { 5 } { 6} { 7
,,
{ 5,6] { 5 ๆ} { 6,7}
,,
,

ูถูถูถุดืม้ิทัก้ํซ่ีทัต

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 8 ~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 9 AVB = เอา หมด ำAn B-

เรือ่ ง การแรเงาแผนภาพเวนน์ออยเลอร์ A- B s เอาเฉพาะ A ไA " เอา A

ให้นกั เรียนแรเงาแผนภาพแทนเซตทก่ี ำหนดให้ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

1. (AB)/ 2. (A  B)/ 3. (A  B)  (B  A)

A BA B A BA B

U UU U
B
4. A/  B/ B A 5. ( A - B ) / B /
U
1A U B A BA

6. [(A − B)  B] UU

7. (A  B)  (B − A)

A BA B A BA B

U UU U

8. B/ – ( A  C ) 9. C − (B  A) B

AB A BA BA

CU A CU CU A CU
B B
10. (A  B)  C 11. C  ( A – B )

AB AB

CU CU CU CU
B B
12. (A  B) – (C   A) 13. (A  B ) – (C – A)
CU
A BA \A B A

CU CU CU

ซ่ม่

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 9 ~

แบบฝึกทักษะที่ 10 เรื่อง การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกดั

1) A, B เป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U โดย n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A  B) = 2 จงหา

1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A  B)

AB AB AB

6 23 6 23 6 23

↑↑ U U U
n(B – A) = 3
82 52 n(A  B) = 6+2+3
ใชส้ ตู ร
n(A – B) = 6 s 11
n(B – A) = ท (B) - nl A ^ B)
ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร
s 5- 2 n(A  B) = ท(A) + nl B) ท 1A ก B)
n(A – B) = n (A) n- (B) s3
s 8 t 5 -2
s 8- 2
s 11

2) ให้ n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา

1. n(A  B ) 2. n(A  B ) 3. n(B  A)

AB AB AB

15 45 30 15 85 30 15 45 30

10 U 10 U 10 U

n(A  B ) = 10 n(A  B ) = 55 n(B  A) = 30

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A  B ) = nlAuB)' n(A  B ) = n 1A ก B) ' n(B  A) = n (B- A)

snlu ) - ท 1A v B) s ท (a) ท- ( An B) sn (B) - nl Bn A)

s 100 -90 s 100 -๘ 5 s ๆ 5- 85
ˢ 55 s 30
s 10

3) ให้ A และ B เป็ นเซตซ่ึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n( A B ) = 2
ถา้ C (A B) (B A) แลว้ n(P(C)) เท่ากบั เท่าใด [Onet 2554 : 32]

AB n (C) s 3 +2
n ( PccDs 25 s 32
3 22

U

.

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 10 ~

4) ให้ A , B และ C เปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์ U โดยท่ี n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43,

n(A  B) = 8, n(A  C) = 13, n(B  C) = 11 และ n(A  B  C) = 100 จงหา

1. n(A  B  C)

AB nl Au Bu c) = nl A) + nl B) + n (C) - nl An B) - n ( An C) - n ( Bn C) + h ( An Bn C)
23 7 27
ตร คะ เ ยว - t สาม
1
12 10 100 = 43+45 t 43 - 8-13-11 tnl An Bn C)

20 U C)100 = 99 n ( An Bn

C C)hl An B ^ = 100 -99 y=

2. n((A  B) − C)

[ ]/A 7
n CA n B) c- s 7
B
<

C U

3. n((B  C)  A) B n [ c Bv C) ก A]

A s 7 t 1 t 12 s 20

7

121

CU

5) ให้ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(A  B  C) = 15 , n(A  B  C) = 2
ถ้า n(A − B) = 8 , n(B − C) = 4 และ n(A − C) = 9 แล้ว n((A  B) − C) เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้

[PAT 1 เม.ย. 2557 : 3] 1. 13 2. 12 O3. 11 4. 10 11 + d =3 ld + 3)

A B A- B ; atd = 8 ① 14 + f-1g = 15 dแ + =3 d +9
d2 = 2
B- C ; btc ②= 4 f +g = 15

③A- C ; atb = 9 จาก n (A) =3 Cn (c)) d% = 1

atbtctd = 3 ldtetft g)

a + b + ctdtetftg = 15 dq +2 + = 3 ld +2 + 1) a ะ7 b= 2 L ะ2
,
8+4+2 + f + g = 15 ุ

CU Ans 7+2+2 = 11
. ☒

6) กำหนด A  (B  C) =  , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16, n(A  B  C) = 20 และ

n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) ข้อตอ่ ไปน้ี ถกู หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2558]
↓
1. n(A  B  C) = 10 2. n((A  B)  C) = 5
11 ✗-

yen1A บB) 0- 11 ✗- - - Biatd = 8-① % d =|
B- C ; btcs 4-② a 7=
A B A- c ; atbs 9- ③
b= 2
a bc atbtctdietftg = 15 )จาก ท (A) =3 ( ท (C)
cs 2
บ 8T 4 ᵗ 2 ᵗfᵗ 9=15

/µ e Xp 14 tftg = 15 atbtetd =3 Cdtetftg

\ʳ d9+2 + = 3 ( dt 2 t 1)

แ ✗-

แ *- 9 h แ + d =3 ( d +3) 7t 2t2 = 11
แ td =3 dt 9
#
d2 = 2
CU

n ( Au BU C) = 20 ท ( Bn C) =3 1- 20 ft g % กB ]ท [( Au B)ำ C = 16-12
=4
o + ท ( BU C) = 20 = 11 เอ
,,
1 11 ×- 1+1 แ - × ) + ✗ = " " ก '#
ท ( Bu c) = 20 c ด2
+ ท (c) - n ( 13 ก 2 2- ✗ = 12 ≠
(B) C) ˢ 20

n

C)15 t 16 - n ( 13 ก × = 10

= 2.0

ิผูถู่ค่ีดัลูส

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 11 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 11 โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั จานวนสมาชิกของเซตจากดั A nlu) s 70

1) จากผลการสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ซ่ึงมีจานวน 70 คน พบวา่ มีนกั เรียนสอบคณิตศาสตร์ได้ n (A) s 30
30 คน มีนกั เรียนสอBบภาษาองั กฤษได้ 35 คน และมีนกั เรียนที่สอบไดท้ ้งั สองวิชา 10 คน จงหา
n (B) s 35

n (An B) s 10

ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ AB
(1) จานวนนกั เรียนท่ีสอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก = 20

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก = 25 20 10 25
(3) จานวนนกั เรียนที่สอบตกท้งั สองวิชา = 15

ใชส้ ูตร 15 U
(1) จานวนนกั เรียนท่ีสอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก

ท 1A - B) s n (A) - nl An B)

s 30 -10

(2) จานวนนกั เรียนทs่ีส2อ0บ#ภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก

n ( B- A) s ท (B) sn 1A n B

35 -10

s 25 ☆

(3) จานวนนกั เรียนที่สอบตกท้งั สองวชิ า
n 1A บ B) s nlu] - nl Au B) n (A) tn (B) -nl An B)

s 70 - (30 + 35 - 10)

s 70 -55 A

s 15 ☒
2) จากการตรวจสุขภาพของคนกลมุ่ หน่ึง พบวา่ มีคนท่ีสายตาส้ันจานวน 35% ของ
B
คนท้งั หมด มีคนท่ีฟันผจุ านวน 45% ของคนท้งั หมด และมีคนท่ีสายตาไม่ส้นั และฟันไม่ผจุ านวน 29%

ของคนท้งั หมด จงหาจานวนเปอร์เซ็นตข์ อง AB
ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์

(1) คนที่สายตาส้นั หรือฟันผุ s 71 (2) คนที่สายตาส้นั และฟันผุ 9ˢ 26 9 36
(3) คนที่สายตาส้ัน แตฟ่ ันไม่ผุ s 26 (4) คนที่สายตาไมส่ ้นั แตฟ่ ันผุ s 36

(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไม่ผุ 26 t 29 s 55 29 U

ใช้สูตร n (A) = 35 (B)ท = 45 แ ( AU B) ' s 29

(1) คนที่สายตาส้ันหรือฟันผุ (2) คนท่ีสายตาส้ัน และฟันผุ

n 1A v B) snlu) - nl Au B) " ท ( A ก B)

s 100 -29 s9

s 71

(3) คนที่สายตาส้นั แตฟ่ ันไมผ่ ุ (4) คนที่สายตาไม่ส้นั แตฟ่ ันผุ

nl A- B) แ ( B- A) s 85 -9
s 36
s 35 -9
ทด hl A) + ท (B) - n ( An B)
(5) คนที่สายตาส้ันหรือฟันไมผ่ ุ
n ( Au B) = 3 5 4 45 - nlAn B)
[ ]n C A- B) UCAUB ) '
100 - 29 = 80 - ท ( A ก B)
s 2 เ t 29 71 =
s 55

ท ( An B) 5 80 -71

s9

#

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 12 ~

U AB CAU B) 1

3) นกั เรียนหอ้ งหนง่ึ มี 50 คน ถา้ ในจานวนนมี้ คี นเลน่ กีตาร์ 25 คน เลน่ เปียโน 14 คน ไมเ่ ลน่ กีตารแ์ ละไม่เลน่ เปียโน 15 คน

แลว้ จานวนนกั เรยี นท่เี ลน่ กีตารอ์ ยา่ งเดียวมกี ่ีคน [Onet 2559 : 21]

AB n 1A u B) = nl A) + nl B) - n ( A ก B)
21 4 10
35 B)s 25 t (14 n- A ก ตอบ 21 µ
15 U 35 = 3 9- n ( A ก B)

n ( An B) = 4

u

4) จากการสอบถาม เรอื่ งความชอบไอศกรมี รสวนิลาและรสส้ม ของเดก็ อนุบาลจำนวน 40 คน
พบว่า มี 25 คน ชอAบรสวนลิ า 10 คน ชอBบรสส้ม 8 คน ไม่ชอบทั้งรสวนิลาและรสสม้

มีเด็กอนบุ าลทชี่ อบทัง้ รสวนิลาและรสสม้ กค่ี น [Onet 2561 : 3] " ""

CA ก B)

AB " ( Au B) = nl A) + nl B) - n ( กก B)
B)(25 t ↑ 0 n- A ก
32 =

22 3 7 32 = 35 - nl A B)

3B)" ( A ก =

gU ตอบ 3 ☆

AB

5)ในโรงเรียนแห่งหน่ึง มีนกั เรียนชาย 87 คน มีอยู่ 43 คนเลน่ ฮอกก้ี มี 42 คนเลน่ ฟุตบอล
มี 47 คนเลน่ Cเทนนิส มี 15 คนเลน่ เทนนิสและฮอกก้ี มี 17 คนเล่นเทนนิสและฟตุ บอล

มี 21 คนเล่นฮอกก้ีและฟตุ บอล นกั เรียนแต่ละคนตอ้ งเลน่ กีฬาอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิดดงั กล่าว จงหา

ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ AB
(1) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง = 8
(2) จานวนนกั เรียนที่เลน่ ฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว = 15 15 13 12
(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟุตบอลเพยี งอยา่ งเดียว = 12
8 q
7

(4) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นเทนนิสเพียงอยา่ งเดียว = 23 23
ใชส้ ตู ร C

U

(1) จานวนนกั เรียนที่เล่นกีฬาท้งั สามอยา่ ง (2) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว

nl Au Bu C) = 43 ᵗ 42+47-1 5-17-21 + ✗ C)= ท (A) _ nl An B) - n ( An C) t ท 1A กBก

87 = 79 + × = 43 - 21-15+8
= 15 #
×= 8

#

(3) จานวนนกั เรียนที่เล่นฟุตบอลเพียงอยา่ งเดียว (4) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ เทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว

= ท (B) - n ( Bn A) - nl Bn C) + n 1A ก 13 ก C) C)= ท (c) - nlcn A) - n ( Cn B) + n ( A ก 13 ก

= 4 2-21-17 t 8 = 47 - 15-17+8
= 23
= 12g
#

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 13 ~

6) จากการสอบถามความชอบรับประทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสช็อกโกแลต มี 31 คน ชอบรสช็อกโกแลตและวานิลลา

มี 87 คน ชอบรสวานิลลา มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอร่ี

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอรี่ มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอรี่

และ มี 5 คน ไมช่ อบท้งั สามรส ดงั น้นั มีนีกเรียนท่ีชอบท้งั สามรสกี่คน [Onet 2557 : 12]

n ( AUBU C) = 86 + 87 t 70-31-27-22 + ×
↑ 75 = ↑ 63 + ×

× = ↑2 #

7) จากการสอบถามนกั เรียนช้นั ม.6 ท่ีเรียนสายวิทยาศาสตร์จานวน 180 คน พบวา่
มี 83 คน ชอบเAคมี มี 68 คน ชอบฟิ สิกBส์
มี 84 คน ชอบชีววิทCยา
มี 23 คน ชอบท้งั เคมีและฟิ สิกส์

มี 22 คน ชอบท้งั ฟิ สิกส์และชีววิทยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมีและชีววทิ ยา

และ มี 3 คน ไม่ชอบวชิ าใดเลยในสามวิชาน้ี ดงั น้นั มีนกั เรียนกี่คนที่ชอบเคมีแตไ่ ม่ชอบฟิ สิกส์และชีววทิ ยา

[Onet 2558 : 71] n ( Au Bu C) = 83 t 84 t 68-23-22-25 + ✗ A B

177 = 165 + ✗

× = 12 12

83= ÷ 2

= 7↑ ☒ C

8) หมู่บ้านแหง่ หนึง่ มี 60 ครอบครวั ท่มี อี าชีพ ทำนา ทำสวน หรือเลยี้ งสตั ว์ 83 -12 s 71

ถ้า ทำนา 34 ครอบครวั ทำสวน 30 ครอบครัว ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครัว

ทำนา และ เล้ียงสตั ว์ 23 ครอบครัว ทำสวน และ เลย้ี งสัตว์ 20 ครอบครวั

ทำนาอยา่ งเดยี ว 6 ครอบครวั แลว้ มีทัง้ หมดก่ีครอบครวั ที่มอี าชพี เพยี งอาชพี เดยี ว [onet2560 : 15]

B h (A) = 6 t n ( A ก B) + (n An C) - ท ( An Bn C) =3 4
A

655 C)= 6 t 8+23 - n ( A ก 13 ก = 3A

3 17 ท ( An Bn C) =3
2④

% อา พเ ยว 6 t 5 + 4 = 15 ครอบค ว

ะ

9) ในการสอบของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษากลุม่ หน่ึง พบวา่ มีผสู้ อบผา่ นวชิ าตา่ งๆ ดงั น้ี Ap
คณิตศAาสตร์ 36 คน สังคBมศึกษา 50 คน ภาษC าไทย 44 คน
คณิตศาสตร์และสงั คมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน 19 10 28
คณิตศาสตร์และภาษาไทย 7 คน ท้งั สามวิชา 5 คน 5
จานวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวชิ ามีก่ีคน [Onet 2553 : 101]
27
nl Au Bu C) = 30 t 19 t 28+2+5+7 +10
30
= | 01 c
#

มัรีดีชี

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 14 ~

10. ให้ S แทนคอมพลเี มนตข์ องเซต S และ
n(S) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต S
กำหนดให้ U แทนเอกภพสมั พัทธ์ โดยท่ี n(U ) = 70
ถา้ A, B และ C เปน็ สบั เซตของ U โดยที่ A  B  C   และ
n(A  B) = 25 , n(B − C) = 18 , n(C  A) = 16 และ

n((A  B) − C) = 7 แล้ว n(A  B  C) เท่ากบั เทา่ ใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

AB AB AB AB

C C C C

n (A ก B) s 25 ^ C B- C) s 18 n CC ก A) s 16 nll AvB) ' C) s 7

-

ลB
= 25 t 18 + 16 t 7
= 66

C ท ( An |3 า C) = 70 - 66
4=

#

11. จากการสำรวจนักเรยี นกลุ่มหนึ่งจำนวน 80 คน เกย่ี วกับการเปน็ สมาชกิ ของชมรม 3 ชมรม คอื = .. .

☐ชมรม คณติ ศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกฬี า ปรากฏวา่

มี 30 คน เปน็ สมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ โดยในจำนวนนี้มีนกั เรียน 20 คน เทา่ นนั้ ท่ีเป็นสมาชกิ M =3 0

ของชมรมคณิตศาสตรเ์ พยี งชมรมเดยี ว มี 5 คน ทเ่ี ปน็ สมาชกิ ของชมรมการแสดงและชมรมกฬี า

แต่ไม่เปน็ สมาชกิ ของชมรมคณติ ศาสตร์ และมี 10 คน ท่ีไมเ่ ป็นสมาชกิ ของชมรมใดเลย M อ าง เ ยว = 20
พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) มี 15 คน ท่เี ป็นสมาชิกของชมรมอยา่ งน้อย 2 ชมรม D และ 5

(ข) มี 55 คน ทีเ่ ป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหน่ึงเพียง 1 ชมรมเทา่ นั้น แ ไ Ms 5

(ค) มี 50 คน ทีเ่ ปน็ สมาชิกของชมรมการแสดงหรอื ชมรมกฬี า ไ เลย = 10
ข้อใดต่อไปน้ถี กู ตอ้ ง [PAT 1 มี.ค. 2560 : 4]

1. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ข) ถกู แต่ ขอ้ (ค) ผดิ

2. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด

3. ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต่ ข้อ (ก) ผดิ

O4. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และ ขอ้ (ค) ถกู ทงั้ สามข้อ
5. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และ ขอ้ (ค) ผดิ ท้ังสามข้อ

( ก)
ก

30-20 = 10 10 t 5 = 15

(ข)

ก

80 -10 s 70 70-15 = 55

(ค)
ก

70 - 20 = 50

ูถูถูถ่ม่ม่ตีด่ยำย