1) รูปหลายเหลี่ยม n รูป 62

Project

2562

เรือ่ ง การหาพ้ืนทแี่ ละผลบวกพ้ืนทขี่ อง

รปู หลายเหลยี่ มดา้ นเทา่ ทสี่ รา้ งซอ้ นกนั ซา้ ๆ จา้ นวน n รูป

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ คณะผู้จดั ท้าโครงงาน
1. นายกรี ติ ชดิ ทอง
โรงเรยี นเมอื งพลพิทยาคม 2. นายคมั ภรี ภาพ จ่าบาล
3. นายพงษร์ ฐั กฤษณ์ ศรีวงษ์
สงั กดั องคก์ ารบรหิ ารสว่ นจงั หวดั ขอนแกน่

รายงานฉบบั นเ้ี ปน็ สว่ นหนง่ึ ของโครงงานคณติ ศาสตร์
ประเภทสรา้ งทฤษฎหี รอื สรา้ งคา้ อธบิ าย ช้นั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย
เนื่องในงานมหกรรมการจดั การศึกษาทอ้ งถน่ิ ประจา้ ปี 2562

โครงงานคณิตศาสตร์

การหาพน้ื ท่ีและผลบวกพืน้ ท่ีของรูปหลายเหลยี่ มด้านเท่าท่สี ร้างซอ้ นกันซำ้ ๆ จำนวน n รปู
(Finding the area and sum of the areas of equilateral polygon
that is overlapping the number of n repeatedly)

โดย
1. นายกีรติ ชดิ ทอง
2. นายคัมภีรภาพ จ่าบาล
3. นายพงษ์รฐั กฤษณ์ ศรวี งษ์

ครทู ปี่ รึกษา
1. นายวรธุ อคั รกตัญญู
2. นายสรุ ชัย สุขรี

โรงเรยี นเมืองพลพทิ ยาคม
สังกดั องค์การบริหารสว่ นจังหวัดขอนแกน่

รายงานฉบบั นเี้ ป็นสว่ นหนึ่งของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทสร้างทฤษฎีหรอื สรา้ งคำอธิบาย ระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาตอนปลาย

เนอ่ื งในงานมหกรรมการจดั การศึกษาทอ้ งถ่นิ ประจำปี 2562

ก

ช่อื เรื่อง โครงงานคณติ ศาสตร์

คณะผู้จดั ทำ การหาพืน้ ท่ีและผลบวกพืน้ ท่ีของรปู หลายเหลีย่ มดา้ นเท่าที่สรา้ งซ้อนกันซ้ำ ๆ จำนวน n รปู
(Finding the area and sum of the areas of equilateral polygon that is
ครทู ป่ี รึกษา
สถานท่ีศกึ ษา overlapping the number of n repeatedly)
ปีการศกึ ษา 1. นายกีรติ ชดิ ทอง
2. นายคัมภรี ภาพ จา่ บาล

3. นายพงษ์รัฐกฤษณ์ ศรวี งษ์
1. นายวรวธุ อัครกตญั ญู 2. นายสรุ ชยั สุขรี

โรงเรยี นเมอื งพลพิทยาคม อำเภอพล จังหวดั ขอนแก่น
2562

บทคดั ยอ่

โครงงานคณิตศาสตร์ เรอื่ ง การหาพืน้ ที่และผลบวกพื้นที่ของรูปหลายเหลย่ี มด้านเท่าทส่ี ร้างซอ้ นกัน

ซ้ำ ๆ จำนวน n รปู (Finding the area and sum of the areas of equilateral polygon that is

overlapping the number of n repeatedly) ไดจ้ ดั ทำข้นึ โดยมีวตั ถุประสงค์ เพื่อ 1) เพอื่ ศกึ ษาการหาพืน้ ที่

ของรปู หลายเหล่ียมด้านเท่าที่สร้างซอ้ นกันซำ้ ๆ จำนวน n รูป 2) เพื่อศกึ ษาการหาผลบวกพืน้ ที่ของ

รูปหลายเหลย่ี มดา้ นเท่าท่ีสร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รูป และ 3) เพอื่ เปรียบเทียบการหาพ้ืนท่ีและผลบวก

พ้นื ท่ีระหว่างใชส้ ูตรกบั ใช้โปรแกรม GSP ผลการศึกษา พบว่า

1) พ้นื ท่ขี องรูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่า รูปส่ีเหล่ียมด้านเท่า รปู ห้าเหลยี่ มด้านเทา่ รูปหกเหล่ยี มดา้ นเท่า
n n ,
และรูป N เหลยี่ มด้านเท่าท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รปู เท่ากบั 3a2  1 , 2a2  1
4 2
n
cos2 36 n N a2  cos2 180
sin36cos36 4 N
( )5a2 , 2 3a2  3 n และ ตารางหนว่ ย ตามลำดับเมื่อ a คือ
4 sin180 cos 180
4

NN
ความยาวด้านของรูป N เหลยี่ มด้านเทา่ รูปท่ี 1 และ n คือ จำนวนรูป N เหล่ียมดา้ นเทา่ ท่ีสร้างซ้อนกันซำ้ ๆ

2) ผลบวกพนื้ ทข่ี องรูปสามเหลย่ี มด้านเท่า รปู ส่ีเหล่ยี มดา้ นเท่า รูปห้าเหลยี่ มด้านเทา่ รปู หกเหลี่ยม
n n
( ( ) )ดา้ นเทา่ ที่สร้างซอ้ นกันซ้ำๆจำนวน n รูปเทา่ กับ 3 a2 143−n 1   , 2a2 1 −  1   ,
n 3 4  2

5 a2 cos36° 1- cos2 36° และ 6 3a2 1 −  ตารางหน่วย ตามลำดับ
4 sin3 36°  


เมอ่ื a คอื ความยาวด้านของรูป N เหลย่ี มด้านเท่ารูปท่ี 1และ n คอื จำนวนรปู N เหล่ียมดา้ นเทา่ ที่สรา้ งซอ้ น

กันซ้ำ ๆ สว่ นผลบวกพื้นทข่ี องรปู N เหล่ียมด้านเทา่ ที่สรา้ งซอ้ นกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รูปไมส่ ามารถหาค่าได้

3) การหาพ้นื ที่และผลบวกพนื้ ท่ีระหวา่ งใชส้ ตู รกับใช้โปรแกรม GSP จะมคี า่ เท่ากนั เมอ่ื ในสูตรไม่มี

อัตราสว่ นตรโี กณมิติ ค่าใกล้เคยี งกัน เม่ือในสูตรมีอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ

ข

กติ ตกิ รรมประกาศ

โครงงานเรอ่ื งการหาพน้ื ที่และผลบวกพืน้ ที่ของรูปหลายเหลีย่ มด้านเทา่ ที่สร้างซอ้ นกันซ้ำ ๆ จำนวน
n รปู (Finding the area and sum of the areas of equilateral polygon that is overlapping
the number of n repeatedly) สำเรจ็ ลุล่วงไปไดด้ ้วยดี เพราะการสนบั สนนุ และให้กำลงั ใจในการทำ
โครงงานจากฝ่ายบรหิ าร นายประสาน กองทอง ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นเมืองพลพิทยาคม คณะครูโรงเรยี น
เมอื งพลพิทยาคม คณะครกู ลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ผูป้ กครอง ตลอดจนเพอ่ื น ๆ นักเรยี นทุกคน

ขอขอบคุณ คุณครูวรวุธ อัครกตญั ญู และคณุ ครูสุรชยั สุขรี ท่กี รณุ าใหค้ วามรู้คำปรึกษา
ข้อเสนอแนะแนวทางวิชาการและสนบั สนนุ ในด้านต่างๆ

ขอขอบคุณคณะครูในกล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นเมอื งพลพิทยาคม ทกุ ท่านท่ปี ระสิทธิ์
ประสาทวิชาจนคณะผู้จัดทำมีความรใู้ นการศึกษาและทำโครงงานในครั้งน้ี

ขอขอบพระคณุ คุณพอ่ คุณแม่ และผูป้ กครอง ทเ่ี ปน็ กำลังใจและขอขอบคณุ สมาชิกในกลมุ่ ท่ีมีความ
ต้ังใจและรว่ มมอื กันในการจดั ทำโครงงานรวมท้ังเพ่อื นรว่ มชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5

คณะผจู้ ัดทำหวงั วา่ ผลการศกึ ษาค้นคว้าและผลงานที่ไดจ้ ากการทำโครงงานนี้คงทำให้ผู้ทีส่ นใจเห็น
ประโยชน์และใชเ้ ป็นเคร่อื งมอื ในการเรยี นรู้ ขอมอบแด่ผู้ปกครอง และคุณครู ท่ีประสทิ ธป์ิ ระสาทวิชาทกุ ท่าน

คณะผู้จัดทำ

ค

สารบัญ

เร่อื ง หนา้

บทคดั ย่อ ก

กิตตกิ รรมประกาศ ข

บทที่ 1 บทนำ 1

1.1 ทม่ี าและความสำคัญของโครงงาน 1

1.2 จดุ ประสงค์การศกึ ษา 1

1.3 เน้อื หาทางคณติ ศาสตรท์ ี่เกีย่ วข้อง 2

1.4 สมมติฐาน 2

1.5 ขอบเขตของการศึกษา 2

1.6 สถานที่ในการทำโครงงาน 2

1.7 นยิ ามศพั ทเ์ ฉพาะ 2

1.8 ประโยชน์ท่ีคาดว่าจะไดร้ ับ 2

บทท่ี 2 เอกสารทเี่ กย่ี วขอ้ ง 3

2.1 พ้นื ท่ีของรูปหลายเหลย่ี ม 3

2.2 ลําดับเรขาคณติ (geometric sequence) 4

2.3 อนุกรมเรขาคณติ (geometric series) 4

2.4 การหาผลบวกอนนั ต์ของอนุกรมเรขาคณิต 5

2.5 โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) 5

บทท่ี 3 ขั้นตอนการดำเนนิ งาน 6

บทที่ 4 ผลการดำเนนิ งาน 8

4.1 ผลการหาพน้ื ทขี่ องรปู หลายเหลย่ี มด้านเทา่ ที่สร้างซ้อนกนั ซ้ำ ๆ จำนวน n รูป 8

4.2 ผลการหาผลบวกพ้นื ทข่ี องรปู หลายเหลย่ี มด้านเทา่ ท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซำ้ ๆ 25

จำนวน n รูป

4.3 ผลการเปรียบเทยี บการหาพ้ืนที่และผลบวกพ้นื ที่ระหว่างใช้สตู รกับโปรแกรม GSP 30

บทท่ี 5 สรปุ อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ 34

บรรณานกุ รม 35

ภาคผนวก 36

บทท่ี 1
บทนำ

1. ทม่ี าและความสำคญั ของโครงงาน
ธรรมชาติของคณิตศาสตร์น้ันเป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด ลักษณะของคณิตศาสตร์จะเป็น

การศึกษาและรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ท่ีคิดว่าเป็นจริงและถูกต้องหลาย ๆ ส่ิง มาสรุปเพื่อให้เห็นว่าส่ิงต่าง ๆ
จะส่งผลหรอื ไดผ้ ลอย่างไรจึงจะเหมาะสม และถูกตอ้ งตามกระบวนการแห่งความคดิ นัน้ คณิตศาสตร์เป็นวชิ าที่
ใช้สญั ลักษณ์ อกี ทั้งคณิตศาสตร์ยังเปน็ พื้นฐานของการนำไปใช้ประโยชนต์ ่อวิทยาการในสาขาอ่ืน ๆ เพราะว่า
ค ณิ ต ศาสตร์ เป็ นสั ญ ลั ก ษ ณ์ ท่ี เอื้ อ อ ำน ว ย ต่ อ ก า รห าเห ตุ ผ ล ก าร ด ำ เนิ น ง าน ที่ เป็ น ข้ั น ต อ น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ มี
ความกะทัดรัดในตัวเองทุก ๆ ด้านไม่ว่าจะเป็นการใช้เหตุผลการสรุป และการตั้งสมมติฐานต่าง ๆ เพื่อศึกษา
ค้นคว้าวิจัยเพราะคณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีว่าด้วยสัญลักษณ์ในการแทนส่ิงต่างๆ ท่ีเป็นรูปธรรมทำให้เกิด
ความสะดวกใช้ไดง้ า่ ยเพราะสัญลกั ษณ์เป็นการย่อสง่ิ ยาวให้กะทัดรดั

ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมด้านเทา่ (equilateral polygon) เป็นรูปหลายเหล่ียมท่ีมีความยาว
ของด้านทั้งหมดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ รูปสามเหลี่ยมท่ีมีด้านท่ียาวเท่ากันสามด้าน
เม่ือสร้างรปู หลายเหลี่ยมดา้ นเท่าซ้อนกันซ้ำ ๆ จะได้ ดังรูป

aa c
a

a
a

ผู้จัดทำจึงเกิดข้อสงสัยว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าแต่ละรูปสามารถหาพ้ืนที่ได้อย่างไร คณะผู้จัดทำจึงได้ใช้
แนวคิดในการหาพื้นที่ของรูปสามเหล่ียมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปห้าเหล่ียมด้านเท่ารูปหกเหลี่ยม
ดา้ นเทา่ เพื่อเช่ือมโยงหาความสัมพันธ์ของพื้นท่ีท่ีเกิดขึ้น และสามารถสรปุ เป็นสตู รการหาพ้ืนท่รี ูปที่ n จากรูป
สามเหล่ยี มด้านเท่ารูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสรูปห้าเหลยี่ มด้านเท่ารูปหกเหล่ียมด้านเท่าที่กำหนดให้ได้โดยอาศัยความรู้
เรื่องลำดับเรขาคณิต และอนุกรมเรขาคณิตเข้ามาประยุกต์ใช้ทำให้การหาพื้นท่ีรูปท่ี n จากรูปสามเหล่ียม
ด้านเท่ารูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสรูปห้าเหล่ียมด้านเท่ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่าจากรูปท่ีกำหนดให้ง่ายข้ึนสะดวก
ในการนำไปใชแ้ ละเป็นพ้ืนฐานทีส่ ำคัญในการศึกษาตอ่ ในระดับสูงต่อไป

2. จดุ ประสงค์การศึกษา
2.1 เพอ่ื ศึกษาพน้ื ท่ีของรูปหลายเหลีย่ มดา้ นเท่าท่ีสร้างซอ้ นกันซำ้ ๆ จำนวน n รูป
2.2 เพื่อศึกษาผลบวกพน้ื ท่ีของรปู หลายเหลยี่ มด้านเทา่ ที่สรา้ งซ้อนกันซ้ำ ๆ จำนวน n รูป
2.3 เพอ่ื เปรยี บเทยี บการหาพ้นื ท่ีและผลบวกพื้นที่ระหวา่ งใช้สตู รกับใช้โปรแกรม GSP

2

3. เนือ้ หาทางคณิตศาสตรท์ ี่เก่ียวข้อง
3.1 พ้นื ท่ีของรปู หลายเหลยี่ ม
3.2 ลาํ ดับเรขาคณติ (geometric sequence)
3.3 อนุกรมเรขาคณติ (geometric series)
3.4 การหาผลบวกอนนั ตข์ องอนุกรมเรขาคณิต
3.5 โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

4. สมมตฐิ าน
4.1 สูตรการหาพืน้ ที่และการหาผลบวกพ้ืนที่ของรูปหลายเหลยี่ มด้านเท่าท่ีสร้างซ้อนกนั ซ้ำ ๆ จำนวน

n รูป อย่ใู นรูปของลาํ ดับเรขาคณติ และอนกุ รมเรขาคณิต
4.2 การหาพ้นื ท่ีและผลบวกพ้นื ท่ขี องรปู หลายเหล่ียมด้านเท่าทีส่ ร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รปู

ระหว่างใช้สตู รกบั ใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad มคี า่ ใกลเ้ คียงกนั

5. ขอบเขตของการศกึ ษา
ศกึ ษาพนื้ ที่และผลบวกพื้นที่ของรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ รปู ส่เี หลยี่ มดา้ นเท่า รปู ห้าเหลยี่ มดา้ นเท่า

รปู หกเหลยี่ มดา้ นเทา่ และรูป N เหล่ียมด้านเทา่ ที่สรา้ งซ้อนกนั ซ้ำ ๆทลี ะ 1 รูป โดยสร้างจากจุดกง่ึ กลางของ
แตล่ ะดา้ นจำนวน n รูป

6. สถานท่ใี นการทำโครงงาน
กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนเมอื งพลพิทยาคม อำเภอพล จงั หวดั ขอนแก่น

7. นยิ ามศัพท์เฉพาะ
7.1 รปู หลายเหล่ยี มดา้ นเท่า (equilateral polygon) หมายถงึ รูปหลายเหล่ียมท่ีความยาวของดา้ น

ท้งั หมดเทา่ กนั ไดแ้ ก่ รปู สามเหลยี่ มด้านเท่า รปู สี่เหลีย่ มด้านเท่า รปู หา้ เหล่ียมดา้ นเท่า รูปหกเหลย่ี มดา้ นเท่า
7.2 ลําดับเรขาคณติ (geometric sequence) หมายถงึ ลำดับที่มอี ัตราสว่ นของพจนท์ ี่ n + 1 ต่อ

พจน์ที่ n มีคา่ คงที่คา่ คงทีน่ เี้ รียกวา่ อตั ราสว่ นร่วมพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือa1(r)n−1
7.3 อนุกรมเรขาคณติ (geometric series) หมายถงึ อนกุ รมท่เี กิดจากการนำลำดับเรขาคณติ

มาบวกกนั สูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn= a1(11−−rrn) เมอ่ื r  1 และ |r|  1
7.4 โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หมายถึง ระบบซอฟแวรท์ ่ีใช้สำหรับคำนวณพน้ื ท่ี

และผลบวกพื้นที่ของรูปหลายเหล่ยี มดา้ นเทา่ ทส่ี ร้างซอ้ นกนั ซ้ำ ๆ จำนวน n รูป ทใี่ ห้ความแม่นยำ

8. ประโยชน์ทค่ี าดว่าจะไดร้ บั
8.1 ไดส้ ตู รการหาพ้นื ท่ขี องรปู หลายเหลยี่ มด้านเท่าท่ีสรา้ งซอ้ นกันซ้ำ ๆ จำนวน n รปู
8.2 ได้สตู รการหาผลบวกพ้นื ทขี่ องรูปหลายเหล่ยี มด้านเท่าที่สร้างซ้อนกันซ้ำ ๆ จำนวน n รปู
8.3 สามารถนำไปตอ่ ยอดทางดา้ นวศิ วกรรม เช่น ในการสรา้ งตึกทีม่ ีลักษณะรูปเหลี่ยมด้านเทา่ ต่าง ๆ

ซอ้ นกนั ซำ้ ๆ โดยใช้สูตรท่ีไดม้ าคำนวณหาพื้นทใี่ นการใชง้ านของตึกนั้นๆ

บทท่ี 2
เอกสารทเ่ี ก่ยี วขอ้ ง

การทำโครงงานคณิตศาสตร์ในครัง้ นจี้ ะกลา่ วถึงเอกสารท่ีเกยี่ วข้อง ในหัวขอ้ ต่าง ๆ ดังนี้
1. พนื้ ที่ของรปู หลายเหล่ยี ม
2. ลําดับเรขาคณติ (geometric sequence)
3. อนกุ รมเรขาคณิต (geometric series)
4. การหาผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณติ
5. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) โดยมรี ายละเอียดในแต่ละหัวขอ้ ดงั ต่อไปนี้

1. พืน้ ที่ของรูปหลายเหลีย่ ม
1.1 พื้นท่ีของรปู สามเหลยี่ ม
กำหนดรปู สามเหลี่ยมท่มี ี b คอื ความยาวของฐานและ h คือ ความสงู หรอื ส่วนสงู ของรูปสามเหล่ยี ม

ดังรปู

พื้นทข่ี องรปู สามเหล่ียม = 1 bh = 1  ความยาวของฐาน  ความสงู
2 2

อกี วธิ ีท่ีใช้คำนวณหาพนื้ ที่ของรูปสามเหลยี่ มได้คือใชส้ ูตรของเฮรอน

S = s(s - a)(s - b)(s - c)

เม่อื s= (a + b + c) คอื ครง่ึ หน่งึ ของเสน้ รอบรูปของรปู สามเหล่ียม
2

1.2 พ้นื ทข่ี องรูปส่ีเหล่ียมจัตรุ ัส

รปู สี่เหลี่ยมจัตรุ ัส คอื รูปหลายเหล่ยี มทม่ี ีด้านส่ีด้าน ดา้ นทกุ ด้านยาวเท่ากัน และมุมภายในทกุ มมุ

มขี นาดเท่ากัน ทำให้มมุ แต่ละมมุ เปน็ มมุ ฉาก ดังรูป

พื้นท่ีของรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ ัส = (ความยาวด้าน)2

4

1.3 พนื้ ทขี่ องรูปหา้ เหลี่ยมดา้ นเท่า

รูปหา้ เหลีย่ ม คอื รปู หลายเหล่ียมทีม่ ีดา้ น 5 ด้าน
รปู หา้ เหลี่ยมปกติ (regular pentagon) คือ รปู ห้าเหลยี่ มที่ดา้ นทุกด้านยาวเท่ากัน และมมุ ทกุ มมุ
มขี นาดเทา่ กัน ดังรปู

มุมภายในของรูปห้าเหลย่ี ม คอื 540°

รปู หา้ เหลย่ี มปกตทิ ี่ด้านแตล่ ะด้านยาว a
5
จะมีพนื้ ท่เี ทา่ กบั 4 a2cot36°

1.4 พืน้ ท่ีของรปู หกเหลี่ยมดา้ นเทา่
รปู หกเหลีย่ ม หมายถงึ รูปหลายเหลย่ี มแบบหนึง่ ทมี่ ีด้าน 6 ด้าน และจุดยอด 6 จุด มุมภายในของ
หกเหลีย่ มปกติ หรอื หกเหลยี่ มด้านเทา่ (มคี วามยาวด้านเทา่ กันทุกดา้ น และขนาดมุมเท่ากนั ทุกมุม) เท่ากับ
120 ° ดงั รูป

รูปหกเหล่ยี มปกติทดี่ า้ นแต่ละดา้ นยาว a

จะมพี นื้ ที่เทา่ กับ 3 2 3 a2

2. ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)

ลำดบั เรขาคณิต คือ ลำดบั ทม่ี อี ัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n + 1 กับ พจน์ที่ n เปน็ ค่าคงตัวท่ีเทา่ กัน

สำหรบั จำนวนเต็มบวก n และ เรียกค่าคงตวั นี้ว่า อตั ราส่วนรว่ ม (Common Ratio )

เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ r an+1
a2 a3 a4 an
น่นั คือ r = a1 = a2 = a3 = . . . =
และมี
an = a1(r)n−1 ซ่งึ เขยี นได้เป็น a1 , a1r , a1r2 , a1r3 , ...

เมอื่ a1 เป็นพจนท์ ่ี 1 ที่ไม่เทา่ กบั ศูนย์ และ r เปน็ อัตราสว่ นรว่ มท่ีไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์

3. อนกุ รมเรขาคณติ (geometric series)

ถา้ a1,a2,a3, ... , an เป็นลำดบั เรขาคณิต จะเรยี ก a1 +a2 +a3 +... + an ว่า อนุกรมเรขาคณิต
ให้ sn แทนผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตท่มี ี a1 เปน็ พจนแ์ รก
และ r เปน็ อัตราส่วนรว่ ม จะได้ Sn = a1+a1r +a1r2 +...+a1rn-1
1ท.ำให้ได้วs่าnผลบ=วaก1(rrn−n−1พ1จ)น์แ, รrกขอ1งอนแุกลระมเ|รr|ขาคณ1 ติ คือ
2. sn = a1(11−−rrn) , r  1 และ |r|  1

5

ตวั อย่าง 1 จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 +…….
วธิ ีทำ อนุกรมทกี่ ำหนดให้มี a 1 = 1 , r = 2 , n = 8

Sn = a1(11--rrn)

ได้ s8 = 1(2)8 - 1 = 28 -1 = 256 -1 = 255
2-1 1 1
ดงั น้นั ผลบวกแปดพจนแ์ รกของลำดบั เรขาคณิตคือ 255

4. การหาผลบวกอนันตข์ องอนุกรมเรขาคณติ

บทนิยาม ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ใด คือ ลิมิตของผลบวกย่อยตัวท่ี n เมอ่ื n เข้าสูค่ ่าอนนั ต์
lim sn lim sn
ใชส้ ญั ลักษณ์ = S เรียก อนกุ รมลูเ่ ขา้ กต็ ่อเมื่อ หาคา่ ได้ และเรียกวา่ อนกุ รมลู่ออก
n→ n→
lim sn
กต็ ่อเมอื่ หาคา่ ไมไ่ ด้
n→
ตวั อย่างท่ี 2 จงพิจารณาวา่ อนุกรม 13 + 19 + 217 + ... + 31n + ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรอื อนกุ รมลู่ออก
1 1
วิธที ำ อนุกรมทีก่ ำหนดใหม้ ี a1 = 3 ,r = 3

หาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมไดด้ งั น้ี
n
Sn = a1(11--rrn) = 13 11--1313  = 12 (1 - 31n )
 


หา lim sn = lim 12 (1 - 31n ) = 12 lim (1 - 31n ) = 12

n→ n→ n→

ดังนัน้ อนกุ รมอนันตท์ ี่กำหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมลเู่ ข้า และมผี ลบวกเท่ากับ 12

5. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เป็นระบบซอฟต์แวร์ที่ใชส้ ำหรับสร้าง สำรวจ และ

วเิ คราะห์สิง่ ต่างๆ ที่เก่ยี วกับเนอ้ื หาคณิตศาสตร์หลายดา้ น
โปรแกรม GSP มปี ระโยชน์อะไรบ้าง
1. ใช้สร้างตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตรท์ ่มี ีปฏิสมั พนั ธ์ไดห้ ลากหลายตงั้ แต่การค้นหาในระดบั พ้ืนฐานซ่งึ

เกยี่ วกับรปู รา่ งและจำนวนไปจนถึงภาพวาดข้ันสงู ท่ีมคี วามซับซอ้ น และเคล่ือนไหวได้
2. ชว่ ยเสรมิ แนวคดิ ทางคณิตศาสตร์ท่เี กยี่ วกบั พีชคณติ ตรีโกณมิติ แคลคูลัสและเร่อื งอ่ืนๆ

3. สามารถอธิบายหลกั การคณิตศาสตร์ การตอบปัญหา และกระต้นุ ให้นักเรียนสร้างข้อคาดการณ์
โดยฝึกทำเองบนเคร่ืองคอมพวิ เตอร์

4. สร้างภาพทางคณิตศาสตร์ที่ซบั ซ้อนสำหรบั ใช้ในการทำรายงาน หรือในงานทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย

บทที่ 3
ข้ันตอนการดำเนินงาน

คณะผู้จัดทำไดด้ ำเนินงาน ตามขั้นตอนตอ่ ไปน้ี
1. กำหนดปฏทิ ินปฏบิ ตั ิงาน

วนั /เดอื น/ปี รายการการปฏิบัติงาน

01/05/62 1. ประชุมและแบง่ หนา้ ท่ี
03/05/62 2. เสนอช่อื เรือ่ งต่อครทู ่ีปรึกษาโครงงาน
05/05/62 3. ค้นหาข้อมลู จากแหล่งความรู้ (ห้องสมดุ ,หนงั สือ ,อินเตอรเ์ นต็ )

07/05/62 4. หาพ้นื ท่ีและผลบวกพน้ื ที่ของรปู หลายเหล่ยี มด้านเท่า
15/05/62 5. นำผลการหาพ้ืนที่และผลบวกพื้นที่เสนอตอ่ ครูท่ีปรกึ ษาโครงงาน

18/05/62 6. เปรียบเทียบการหาพ้นื ท่ีและผลบวกพนื้ ที่ระหวา่ งใช้สูตรกับโปรแกรม GSP
20/05/62 7. จัดพมิ พต์ ัวรา่ งโครงงาน
25/05/62 8. นำตวั ร่างโครงงานเสนอตอ่ ครูที่ปรึกษาโครงงาน

28/05/62 9. ทำรูปเล่มโครงงานสง่ ครทู ี่ปรกึ ษาโครงงาน

2. หาพ้ืนทขี่ องรปู หลายเหลีย่ มดา้ นเท่าท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซำ้ ๆ รูปที่ 1, 2, 3, 4 ดังน้ี
2.1 พ้ืนท่ขี องรปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่ารูปท่ี 1, 2, 3, 4 มีขน้ั ตอนดังนี้

รูปที่ 1 รปู ที่ 2 รปู ที่ 3 รปู ท่ี 4

a a a a a aa a

a a aa

ผศู้ กึ ษาหาความยาวด้านของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1, 2, 3, 4 แล้วนำความยาวดา้ นแทนค่าในสูตรของเฮรอน
a + b + c
คอื พนื้ ที่ของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ = s(s − a)(s−b)(s − c) เมอื่ s = 2

2.2 พื้นที่ของรูปส่ีเหลีย่ มด้านเท่ารปู ท่ี 1, 2, 3, 4 มขี ั้นตอนดังนี้

รูปที่ 1 รูปท่ี 2 รูปท่ี 3 รูปที่ 4

c c c a
a a a

a aaa

7

ผูศ้ กึ ษาหาความยาวด้านของรูปส่ีเหลีย่ มด้านเทา่ รูปที่ 1, 2, 3, 4 โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2 = a2 + b2
แล้วนำความยาวดา้ นแทนคา่ ในสูตรพนื้ ท่ีของรปู สีเ่ หลี่ยมจัตุรัส = (ความยาวด้าน)2

2.3พืน้ ท่ขี องรปู หา้ เหลยี่ มด้านเท่ารปู ท่ี 1, 2, 3, 4 มขี ้นั ตอน ดงั นี้
รูปที่ 1 รปู ท่ี 2 รปู ท่ี 3 รปู ที่ 4

จากรปู หา้ เหลี่ยมดา้ นเทา่ ผู้ศึกษาแบ่งรปู หา้ เหลย่ี มด้านเท่าเปน็ รปู สามเหล่ียมจำนวน 5 รปู หาความสูงของ
1
รูปสามเหล่ียมโดยใช้หลกั ตรีโกณมิติแลว้ นำความสูงแทนคา่ ในสตู รพน้ื ทขี่ องรูปสามเหลี่ยม = 2 ฐาน  สูง

แลว้ หาพ้ืนท่รี ูปห้าเหล่ียมด้านเท่า = 5  พ้ืนทร่ี ปู สามเหลีย่ ม

2.4พ้นื ท่ขี องรปู หกเหลีย่ มดา้ นเท่ารูปท่ี 1, 2, 3, 4 มีขนั้ ตอน ดงั น้ี

รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รปู ท่ี 3 รูปที่ 4

จากรปู หกเหล่ยี มด้านเท่า ผู้ศึกษาแบ่งรปู หกเหล่ียมดา้ นเทา่ เป็นรูปสามเหลย่ี มจำนวน 6 รปู หาความสูงของรูป
1
สามเหล่ยี มโดยใช้หลกั ตรีโกณมิติ แล้วนำความสูงแทนค่าในสูตรพ้นื ทขี่ องรูปสามเหล่ยี ม = 2 ฐาน  สูง

แลว้ หาพ้นื ทร่ี ูปหกเหลี่ยมดา้ นเท่า = 6  พื้นทรี่ ูปสามเหล่ยี ม
3. หาพ้ืนที่ของรปู หกเหล่ยี มด้านเท่ารปู ที่ n โดยใช้สูตรพจน์ท่ี n ของลำดบั เรขาคณติ an = a1rn-1
4. หาพื้นท่แี ละผลบวกพน้ื ท่ีของรูป n เหลย่ี มด้านเทา่ โดยใชส้ ูตรพจน์ท่ี n ของอนกุ รมเรขาคณติ
Sn = a1(11−−rrn) , r  1
และ |r|  1 และการหาผลบวกอนันตข์ องอนกุ รมเรขาคณติ lim sn

n→

5. เปรียบเทียบการหาพน้ื ที่และผลบวกพื้นท่ีระหวา่ งใช้สูตรกบั โปรแกรม GSP

บทที่ 4

ผลการดำเนนิ งาน

คณะผ้จู ัดทำได้รายงานผลการดำเนนิ งานตามลำดับดังนี้

1. ผลการหาพน้ื ทข่ี องรูปหลายเหลยี่ มด้านเทา่ ทีส่ รา้ งซอ้ นกันซำ้ ๆจำนวน n รปู

1.1 พื้นทีข่ องรูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่าท่ีสร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆจำนวน n รปู

ผู้ศกึ ษาหาพืน้ ที่ของรปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่าท่ีสรา้ งซอ้ นกนั ซำ้ ๆโดยใชส้ ูตรของเฮรอนดังน้ี

พื้นท่ขี องรปู สามเหลยี่ มด้านเท่า = s(s − a)(s−b)(s − c) เม่อื s = a + b + c
2

รปู สามเหล่ียมดา้ นเท่ารูปที่ 1 รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รูปที่ 2

aa aa

a a
ความยาวดา้ นของรูปสามเหลยี่ มด้านเท่า
ความยาวดา้ นของรูปสามเหลยี่ มด้านเท่ารปู ท่ี 2
ยาวด้านละaหนว่ ย
ยาวด้านละ a หน่วย
2
a +a a 3a a a a 3a
s = 2 + = 2 2 + 2 + 2 2 3a 1 3a
2 2 2 2 4
s = = =  =

พื้นทข่ี องรปู สามเหล่ียมด้านเทา่ รปู ที่ 1 พื้นที่ของรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ รูปท่ี 2

= 3a  3a − a 3a − a 3a − a = 3a  3a − a  3a − a  3a − a 
2  2 2 2 4  4 2  4 2  4 2 
  

= 3a  3a − 2a  3a − 2a  3a − 2a  = 3a  3a − 2a  3a − 2a  3a − 2a 
2  2  2  2  4  4  4  4 

= 3a  a  a  a  = 3a  a 3
2  2  2  2  4  4


= 3a  a 3 = 3a4
2  2 44


= 3 a2 ตารางหนว่ ย = 3(a2 )2
4 (42 )2

= 3a2
42

= 3 a2 ตารางหน่วย
16

9

รูปสามเหล่ยี มด้านเท่ารปู ที่ 3 รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ รปู ท่ี 4

aa aa

aa

ความยาวด้านของรูปสามเหลยี่ มด้านเท่ารปู ท่ี 3 ความยาวดา้ นของรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ รปู ท่ี 4

ยาวดา้ นละ a หน่วย ยาวด้านละ a หน่วย
4 8
a a a 3a a a a
s = 4 + 4 + 4 = 4 = 3a  1 = 3a s = 8 + 8 + 8 = 3a  1 = 3a
2 2 4 2 8 2 8 2 16

พ้นื ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ รูปท่ี 3 พ้ืนทขี่ องรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ รปู ท่ี 4

= 3a  3a − a 3 = 3a  3a − a 3
8  8 4 16  16 4
 

= 3a  3a − 2a 3 = 3a  a 3
8  8 8 16  16
 
 

= 3a  a 3 = 3a4
8  8 164



= 3a4 = 3(a2 )2
84 (162 )2

= 3(a2 )2 = 3a2
(82 )2 162

= 3a2 = 3 a2 ตารางหน่วย
82 256

= 3 a2 ตารางหน่วย
64

10

จากพ้นื ท่ีของรูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่ารูปท่ี 1, 2, 3, 4คือ 3 a2 , 3 a2 , 3 a2 , 3 a2
4 16 64 256

ซึ่งเปน็ ลำดบั เรขาคณติ จงึ หาพื้นทีข่ องรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ รูปท่ีn ได้ดงั นี้

หาอตั ราส่วนรว่ ม r = a2
a1

3 a2
16
=
3 a2
4

=  3 a2  4
 16  3a2 

= 1
4
แทนค่าอตั ราส่วนร่วม (r) ในสูตรพจนท์ ่ี n ของลำดบั เรขาคณติ an = a1rn-1

จะได้พน้ื ทข่ี องรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รูปที่n = 3 a2  1 n - 1
4 4

3 a2  1 n - 1
4 4
=

= 3 a2  1 n  1 -1
4 4 4
n
= 3 a2  1 ( 4)
4 4
n
= 3a2  1
4

ดังนนั้ พ้ืนทีข่ องรปู สามเหล่ียมด้านเทา่ รปู ท่ีnเท่ากับ 3a2  1 n ตารางหนว่ ย
4

เม่ือ a คือ ความยาวดา้ นของรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ รูปที่ 1

nคือ จำนวนรปู สามเหลีย่ มด้านเท่าทส่ี รา้ งซอ้ นกันซำ้ ๆ

11

1.2 พน้ื ทข่ี องรูปสเ่ี หล่ียมดา้ นเท่าทีส่ ร้างซ้อนกนั ซ้ำ ๆจำนวน n รปู
หาพ้ืนที่ของรูปสเ่ี หล่ียมด้านเทา่ โดยใช้สตู รพ้นื ทขี่ องรูปส่เี หลยี่ มจตั รุ ัส = (ความยาวด้าน)2
จะไดพ้ ื้นที่ของรปู สี่เหล่ยี มดา้ นเท่ารูปท่ี 1= a 2

a

a

สำหรับพื้นทข่ี องรูปสเ่ี หลีย่ มด้านเทา่ รปู ที่ 2, 3, 4 ต้องหาความยาวด้านโดยใช้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2 = a2 + b2 ได้พนื้ ทข่ี องรปู สเ่ี หล่ียมด้านเทา่ รูปท่ี 2, 3, 4 ดังน้ี

รปู สเี่ หล่ียมดา้ นเท่ารูปที่ 2 หาความยาวด้าน
2 2
c c2 =  a +  a
a  2   2 
 
a2 a2 2a2
c2 = 4 + 4 = 4

c= 2a2 = a 2 หน่วย
4 2

a พน้ื ที่ของรปู สี่เหลย่ี มดา้ นเท่ารปู ที่ 2
2
=  a 2  = 2 a2 = 1 a2 ตารางหนว่ ย
 2  4 2

รปู สี่เหลยี่ มดา้ นเทา่ รูปท่ี 3 หาความยาวด้าน
c 2 2
a c2 =  a 2 +  a 4 2
 4   
a
c2 2a2 2a2 4a 2
16 16 16
= + =

c= 4a2 = 2a หน่วย
16 4

พืน้ ท่ขี องรปู ส่ีเหลยี่ มดา้ นเทา่ รปู ท่ี 3
2
=  2a = 4a2 = 1 a2 ตารางหน่วย
 4  16 4

12

รูปสเ่ี หลีย่ มด้านเทา่ รปู ท่ี 4 หาความยาวด้าน 2
c 2
a c2 =  2a +  2a 
a  8   8 


c2 = 4a2 + 4a2
64 64
8a2
c2 = 64

c= 4  2a2
64

c = 2a 2
8

c = a 4 2 หน่วย

พนื้ ที่ของรูปสเี่ หลยี่ มดา้ นเท่ารปู ที่ 4
2
=  a 2 = 2a2 = 1 a2 ตารางหนว่ ย
4  16 8


จากพ้นื ท่ีของรูปส่ีเหลย่ี มดา้ นเท่ารปู ท่ี 1, 2, 3, 4 คอื a2 , 1 a2 , 1 a2 , 1 a2
2 4 8

ซง่ึ เปน็ ลำดับเรขาคณติ จึงหาพ้ืนทีข่ องรปู ส่ีเหลย่ี มด้านเท่ารปู ที่ n ได้ดงั น้ี

หาอตั ราส่วนร่วม r = a2 = 1 a2 = 1
a1 2 2
a2

แทนคา่ อตั ราส่วนร่วม (r) ในสูตรพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 ดงั นี้
n - 1
จะได้พ้นื ทขี่ องรปู สเี่ หลย่ี มดา้ นเท่ารปู ที่ n a2  1
= 2

a2  1 n  1  - 1
2 2
=

= a2  1 n (2)
2
n
= 2a2  1
2

13

ดังนน้ั พื้นท่ขี องรปู สี่เหลย่ี มดา้ นเทา่ รูปที่nเท่ากบั 2a2  1 n ตารางหนว่ ย
2

เมื่อ a คือ ความยาวด้านของรูปสี่เหล่ยี มดา้ นเท่ารูปท่ี 1

n คอื จำนวนรูปส่ีเหล่ียมดา้ นเทา่ ท่ีสร้างซ้อนกันซำ้ ๆ

1.3 พื้นท่ีของรปู ห้าเหล่ยี มดา้ นเทา่ ทส่ี ร้างซอ้ นกนั ซำ้ ๆจำนวน n รปู

พ้นื ทีข่ องรูปหา้ เหล่ยี มด้านเทา่ รปู ที่ 1

กำหนดรปู ห้าเหลีย่ มดา้ นเท่ามีความยาวด้านเทา่ กบั a หนว่ ย แบ่งรปู ห้าเหล่ียมดา้ นเท่า

เป็นรูปสามเหล่ียมจำนวน 5 รปู โดยรปู สามเหลย่ี มแตล่ ะรูป มขี นาดของมุมและความยาวด้าน

ดังรูป

360 = 72
5

72 = 36
2

a
2

หาความสูงของรปู สามเหลย่ี มโดยใชห้ ลกั ตรโี กณมิติ

จะได้ h = cot36
a

2 a
2
h = cot36

หาพน้ื ท่ีรปู สามเหลีย่ มจำนวน 1 รูป = 1 a a cot36
2 2

จาก พนื้ ทีร่ ปู หา้ เหลยี่ มดา้ นเทา่ = 5พืน้ ท่ีรูปสามเหลย่ี ม

ดังนน้ั พ้นื ท่ีรปู ห้าเหลีย่ มดา้ นเทา่ = 5 1 a a cot36 = 5 a2cot36 ตารางหน่วย
2 2 4

14

สำหรับพน้ื ท่ีของรปู หา้ เหลย่ี มด้านเท่ารูปที่ 2, 3, 4 ตอ้ งหาความยาวด้านโดยใชต้ รโี กณมติ ิ
ได้พืน้ ทีข่ องรูปห้าเหลยี่ มดา้ นเท่ารปู ท่ี 2, 3, 4 ดังนี้

รูปห้าเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู ที่ 2 หาความยาวด้าน

a (5 − 2)180 = 54 x = sin54
2 2(5) a

2 a
2
x = sin54

2x x a cos36
2
=

2x = acos36หนว่ ย

ดังนนั้ จะได้ความยาวดา้ นของรูปหา้ เหลี่ยม

ด้านเทา่ รูปที่ 2 = acos36หนว่ ย

แทนความยาวด้าน acos36 ในสูตรการหาพ้ืนทีห่ ้าเหลย่ี มด้านเทา่ 5 a2cot36
4

จะได้พื้นท่ีของรปู ห้าเหล่ียมดา้ นเทา่ รูปท่ี 2 = 5 (acos36)2 cot36
4

= 5 a2cos2 36cot36 ตารางหน่วย
4

รูปหา้ เหลยี่ มดา้ นเท่ารปู ที่ 3 หาความยาวด้าน

(5 − 2)180 54 a y = sin54
2(5) cos36
= 2

a cos36 y = a cos36sin54
2 2

y = a cos36cos36
2

y = a cos2 36
2
2y 2y = acos236หนว่ ย

ดังน้ัน จะได้ความยาวดา้ นของรปู หา้ เหลยี่ ม
ด้านเท่ารูปท่ี3 = acos2 36หน่วย

15

แทนความยาวด้าน acos2 36 ในสูตรการหาพ้นื ทีห่ า้ เหลี่ยมด้านเท่า 5 a2cot36
4

5 acos2 36 2 cot36
( )จะได้พนื้ ทข่ี องรปู ห้าเหลยี่ มดา้ นเท่ารูปท่ี3=4

= 5 a2cos4 36cot36 ตารางหนว่ ย
4

รูปหา้ เหล่ียมดา้ นเท่ารูปท่ี 4 หาความยาวด้าน

a cos2 36 (5 − 2)180 = 54 a z = sin54
2 2(5) 2 cos2
36

z = a cos2 36sin54
2

z = a cos2 36cos36
2
2z

z = a cos3 36
2
2z = acos3 36หน่วย

ดังน้นั จะได้ความยาวดา้ นของรปู หา้ เหลี่ยม
ดา้ นเท่ารูปที่4 = acos3 36หน่วย

แทนความยาวดา้ น acos3 36 ในสตู รการหาพื้นที่หา้ เหลย่ี มด้านเทา่ 5 a2cot36
4

5 acos3 36 2 cot36
( )จะได้พื้นทข่ี องรปู ห้าเหลี่ยมด้านเท่ารูปท่ี4=4

= 5 a2cos6 36cot36 ตารางหนว่ ย
4

16

จากพืน้ ท่ีของรปู ห้าเหลยี่ มดา้ นเทา่ รปู ที่ 1, 2, 3, 4คือ 5 a2cot36, 5 a2cos236cot36 ,
44
5 a2cos436cot36, 5 a2cos636cot36
44

ซง่ึ เป็นลำดับเรขาคณิตจึงหาพ้นื ทขี่ องรูปหา้ เหล่ยี มดา้ นเท่ารูปท่ีn ได้ดงั น้ี

หาอัตราส่วนร่วม r = a2 = 5 a2cos236cot36 = cos2 36
a1 4 5 a2cot36

4
แทนคา่ อตั ราส่วนร่วม (r) ในสูตรพจนท์ ี่ n ของลำดับเรขาคณติ an = a1rn-1 ดงั น้ี
36n - 1
จะได้พื้นท่ขี องรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ารปู ท่ี n = 5 a2cot36 cos2
4 


= 5 a2 cos36 cos2 36n  cos2 36- 1
4 sin36 
  

= 5 a2  cos2 36n



4 sin36cos36

cos2 36 n
sin36cos36
( )ดงั นั้น 5 a2 ตารางหนว่ ย
พ้ืนท่ขี องรปู หา้ เหลีย่ มด้านเทา่ รูปที่nเท่ากับ 4

เมือ่ a คือ ความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปท่ี 1

n คอื จำนวนรูปหา้ เหล่ยี มด้านเท่าท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซ้ำ ๆ

17

1.4พ้ืนทขี่ องรูปหกเหล่ียมดา้ นเท่าท่ีสร้างซ้อนกันซ้ำ ๆจำนวนn รปู

กำหนดรูปหกเหลีย่ มด้านเทา่ มีความยาวด้านเทา่ กับa หน่วย แบง่ รูปหกเหล่ียมด้านเทา่

เปน็ รปู สามเหล่ียมจำนวน 6 รปู โดยรปู สามเหลี่ยมแตล่ ะรูป มขี นาดของมมุ และความยาวด้าน

ดังรูป 360o 360o
N 6
=

a 180o = 180o
N 6

a

2

หาความสูงของรปู สามเหล่ียมโดยใช้หลักตรโี กณมิติ

จะได้ h = cot30
a

2 a
2
h = cot30

หาพน้ื ทร่ี ปู สามเหลย่ี มจำนวน 1 รูป = 1  a  a cot30 = 3 a2
2 2 4

จาก พื้นท่รี ูปหกเหล่ยี มดา้ นเท่า = 6พนื้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม

ดังนน้ั พ้ืนท่ีรปู หกเหลีย่ มด้านเทา่ = 6 3 a2 = 3 3 a2 ตารางหน่วย
4 2

สำหรับพ้นื ท่ีของรูปหกเหลยี่ มด้านเท่ารปู ท่ี 2, 3, 4 ต้องหาความยาวด้านโดยใช้ตรโี กณมิติ
ได้พืน้ ท่ขี องรูปหกเหล่ยี มด้านเทา่ รปู ท่ี 2, 3, 4 ดงั น้ี

18

รูปหกเหล่ยี มด้านเท่ารปู ท่ี 2 หาความยาวด้าน

x = sin60
a
(N - 2)·180o (6 - 2)·180o
2N = 2(6) 2

a x=a 3
22
2

x= 3 a
4
(N - 2)·180o (6 - 2)·180o
N = 6 3
2
2x = a หน่วย

aหน่วย ดังนัน้ จะได้ความยาวดา้ นของรูปหกเหลี่ยมดา้ น

เท่ารปู ที่2 = 3 a หนว่ ย
2

แทนความยาวดา้ น 3 a ในสูตรการหาพืน้ ทหี่ กเหลีย่ มด้านเท่า 3 3 a2
2
2

จะได้พื้นที่ของรปู หกเหลีย่ มดา้ นเท่ารูปท่ี 2 = 3 3  3 a 2
 2 
2

= 9 8 3 a2 ตารางหนว่ ย

รูปหกเหลย่ี มดา้ นเท่ารูปที่ 3 หาความยาวด้าน

(N - 2)·180o = (6 - 2)·180o y = sin60
2N 2(6) 3
4 a
a cos 180 = a cos 1860
2 N 2
3 3
y= 4 a 2

y = 3 a
8

2y = 3 a หน่วย
4

180o 180o ดังนั้น จะได้ความยาวด้านของรปู หกเหลี่ยมดา้ น
N 6
acos = acos หนว่ ย เทา่ รูปท่ี 3 = 3 a หนว่ ย
4

19

แทนความยาวดา้ น 3 a ในสตู รการหาพืน้ ที่หกเหล่ียมด้านเท่า 3 3 a2
4
2

จะได้พน้ื ที่ของรูปหกเหล่ียมดา้ นเทา่ รูปที่ 3 = 3 3  3 a 2
2 4

รูปหกเหลีย่ มด้านเทา่ รปู ที่ 4 = 27 3 a2 ตารางหนว่ ย
32
หาความยาวด้าน

(N - 2)·180o = (6 - 2)·180o z = sin60
2N 2(6)
3 a
8
a cos2 180o = a cos2 180o
2 N2 6 z = 3 a  3
8 2

z=3 3a
16

acos2 180o = acos2 180o หน่วย 2z = 3 3 aหนว่ ย
N 6 8

ดังนนั้ จะได้ความยาวดา้ นของรปู หกเหลีย่ มดา้ น

เทา่ รปู ที่4 = 3 3 aหนว่ ย
8

แทนความยาวดา้ น 3 3 aในสตู รการหาพื้นท่หี กเหลย่ี มด้านเท่า 3 3 a2
82

จะได้พืน้ ทขี่ องรปู หกเหลีย่ มดา้ นเทา่ รูปท่ี 4 = 3 3  3 3 a 2
 
2 8

= 81 3 a2 ตารางหน่วย
128

20

จากพื้นที่ของรูปหกเหล่ยี มดา้ นเทา่ รปู ท่ี 1, 2, 3, 4คือ 3 3 a2 , 9 3 a2, 27 3 a2 , 81 3 a2
2 8 32 128

ซง่ึ เป็นลำดบั เรขาคณิตจงึ หาพ้นื ทีข่ องรูปหกเหล่ียมด้านเท่ารูปที่n ได้ดงั นี้

หาอัตราสว่ นร่วม r= a2 = 9 3 a2 = 3
a1 3 a2 4
8
3

2
แทนค่าอัตราส่วนร่วม (r) ในสูตรพจนท์ ี่ n ของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 ดังนี้
n -1
จะได้พ้ืนที่ของรูปหกเหลย่ี มดา้ นเท่ารปู ท่ีn = 3 3 a2  3
2 4

= 3 3 a2  3 n  3 - 1
4 4
2 n

= 3 3 a2  3  4 
4 3
2 n

= 12 3 a2  3
6 4
n
=2 3a2  3
4

ดังน้ัน พื้นทีข่ องรูปหกเหลี่ยมด้านเทา่ รปู ที่nเทา่ กับ 2 3a2  3 n ตารางหนว่ ย
4

เมอ่ื a คือ ความยาวด้านของรปู หกเหลยี่ มด้านเท่ารูปที่ 1

n คือ จำนวนรูปหกเหลยี่ มดา้ นเท่าทส่ี ร้างซอ้ นกันซ้ำ ๆ

21

1.5 พืน้ ทข่ี องรปู Nเหลยี่ มด้านเทา่ ท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซำ้ ๆจำนวน n รูป

กำหนดรูป Nเหลี่ยมดา้ นเท่ามคี วามยาวดา้ นเทา่ กับ a หนว่ ย แบ่งรูปn เหลี่ยมดา้ นเท่า

เป็นรูปสามเหลยี่ มจำนวน n รปู โดยรปู สามเหลีย่ มแตล่ ะรูป มขี นาดความยาวด้าน a หน่วย

หาความสงู ของรปู สามเหลี่ยมโดยใช้หลักตรโี กณมิติ

จะได้ h = cot 180 
a N 
2

h = a cot 180 
2 N 
 

หาพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยมจำนวน 1 รูป = 1 a a cot 180 
2 2 N 
 

จาก พนื้ ที่รูป N เหลย่ี มด้านเทา่ = Nพน้ื ที่รปู สามเหลยี่ ม

ดังน้นั พนื้ ท่ีรปู N เหลีย่ มดา้ นเทา่ = N 1  a  a cot 180 
2 2 N 

= N a2cot 180  ตารางหนว่ ย
4 N 

หาความยาวด้านของรูป N เหลีย่ มด้านเท่ารปู ที่ 2

x = sin (N − 2)180 
a 2N 
2  

x = a sin 90 - 180 
2 N 

x = a cos 90 - 90 N − 180 
2 N 

x = a cos 180 
2 N 

2x = acos 180  หนว่ ย
N 

22

ดงั นัน้ จะได้ความยาวด้านของรปู N เหลี่ยมด้านเทา่ รูปท่ี2 = acos 180  หนว่ ย
N 

แทนความยาวด้าน acos 180  ในสตู รการหาพน้ื ท่ี N เหลยี่ มด้านเทา่ รูปที่ 2
N 

จะได้พ้นื ท่ขี องรูป N เหลีย่ มด้านเทา่ รปู ที่ 2 = N  acos 180 2 cot 180
4  N N


= N a2cos2 180 cot180 ตารางหนว่ ย
4 NN

หาความยาวด้านรปู N เหลีย่ มด้านเทา่ รปู ที่ 3

y = sin (N − 2)180 
2N 
a cos 180
2 N

y = cos180
180 N
a cos N
2

y = a cos180 cos180
2N N

2y = acos2 180 หน่วย
N

แทนความยาวด้าน acos2 180 ในสตู รการหาพ้ืนท่ี N เหล่ยี มด้านเทา่ รูปที่ 3
N
2
จะได้พ้ืนทข่ี องรปู N เหลยี่ มดา้ นเท่ารปู ท่ี 3 = N  acos2 180 cot 180
4  N  N

= N a2cos4 180 cot180 ตารางหน่วย
4 NN

23

หาความยาวด้านรปู N เหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู ที่ 4

z 18N0 = sin (N − 2)180 
2N 
a cos2  
2

z 180 = cos180
N N
a cos2
2

z = a cos2 180 cos180
2N N

2z = acos3 180 หน่วย
N

แทนความยาวด้าน acos3 180 ในสูตรการหาพืน้ ท่ี N เหล่ยี มดา้ นเทา่ รูปที่ 4
N
2
จะได้พ้ืนทข่ี องรปู N เหล่ียมด้านเทา่ รูปท่ี 4 = N  acos3 180 cot 180
4  N  N

= N a2cos6 180 cot180 ตารางหน่วย
4 NN

จากพ้นื ท่ีของรูป N เหล่ียมด้านเท่ารูปที่ 1, 2, 3, 4 คอื N a2cot 180  ,
4 N 

N a2cos2 180 cot180 , N a2cos4 180 cot180 , N a2cos6 180 cot180
4 N N4 N N4 N N

ซึ่งเปน็ ลำดบั เรขาคณิตจึงหาพื้นทขี่ องรูป N เหลย่ี มด้านเท่ารปู ท่ีn ไดด้ งั นี้

หาอตั ราสว่ นร่วม r = a2
a1

N a2cos2 180 cot 180
=4 NN
180
N a2cot N 
4

= cos2 180
N

24

แทนคา่ อตั ราสว่ นร่วม (r) ในสูตรพจน์ท่ี n ของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 ดงั น้ี
n 1
N a2cot 180  cos2 180 −
4 N  N 
จะได้พืน้ ทขี่ องรปู N เหล่ียมด้านเทา่ รูปท่ี n =  

= N a2 cos 180  cos2 180 n  cos2 1
4 N  N 180

sin 180
NN
n
N a2  cos2 180 
4  N
=
180 180
sin N cos N

N a2  cos2 180 n
4  N 
ดังนน้ั พื้นทีข่ องรปู N เหลี่ยมดา้ นเท่ารูปที่n เทา่ กับ ตารางหน่วย
180 180
sin N cos N

เมอ่ื a คอื ความยาวดา้ นของรปู N เหลย่ี มด้านเท่ารูปที่ 1

n คือ จำนวนรปู N เหลี่ยมด้านเท่าท่ีสรา้ งซอ้ นกนั ซ้ำ ๆ

25

2. ผลการหาผลบวกพืน้ ท่ขี องรปู หลายเหล่ยี มดา้ นเท่าทีส่ รา้ งซอ้ นกันซ้ำๆจำนวน n รูป

ผ้ศู ึกษาใช้ความร้เู รือ่ งอนุกรมเรขาคณิตเพื่อหาผลบวกพน้ื ทขี่ องรูปหลายเหลี่ยมด้านเทา่
Sn = a1(rr−n−1 1) , r  1 และ|r|  1หรอื Sn = a1(11−−rrn) , r  1 และ|r|  1

2.1 ผลบวกพื้นทข่ี องรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ท่ีสร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆจำนวน n รปู

จากพนื้ ท่ีของรปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่ารูปที่ 1- n คือ

3 a2 , 3 a2 , 3 a2 , 3 a2 , …, 3a2 1 n
4 16 64 256 4

มีอตั ราสว่ นรว่ ม r = 1 เมือ่ r1 และ|r|  1แทนค่าอัตราสว่ นร่วม (r) ในสตู รผลบวก n พจนแ์ รกของ
4
อนกุ รมเรขาคณติ Sn= a1(11−−rrn) ได้ผลบวกพื้นท่ขี องรปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่าที่สรา้ งซ้อนกันซำ้ ๆ

จำนวน n รปู ดังน้ี
n
Sn = 3 a2 1   
4 1− 4   

1
1− 4 

n
43 a2  1− 41 
   
3  
= 4 43
= 3 n
= 3 a2  1 −  1    4 
a2  4 n  3
 
1 −  1 
4

ดังนน้ั ผลบวกพ้ืนท่ขี องรูปสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ท่สี รา้ งซ้อนกนั ซ้ำ ๆ จำนวน n รูป
n
เทา่ กบั 3 a2 1 −  1  
3 4 

เมอื่ a คือ ความยาวด้านของรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ รูปที่ 1

n คือ จำนวนรูปสามเหลยี่ มด้านเทา่ ท่ีสรา้ งซ้อนกันซำ้ ๆ

26

2.2 ผลบวกพื้นทขี่ องรูปสเี่ หลีย่ มด้านเท่าทส่ี ร้างซ้อนกนั ซ้ำ ๆจำนวน n รปู n

จากพ้นื ท่ีของรปู สีเ่ หล่ยี มด้านเท่ารูปท่ี 1- n คอื a2 , 1 a2 , 1 a2 , 1 a2 ,…, 2a2  1
2 4 8 2

อตั ราส่วนรว่ มr = 1 เมอื่ r  1 และ |r|  1แทนคา่ อัตราสว่ นร่วม (r) ในสูตรผลบวก n พจนแ์ รก
2
ของอนกุ รมเรขาคณติ Sn= a1(11−−rrn) ไดผ้ ลบวกพนื้ ที่ของรปู สี่เหลยี่ มดา้ นเทา่ ท่ีสรา้ งซอ้ นกันซ้ำ ๆ

จำนวน n รปู ดงั นี้
n
Sn = a2 1   
  
1− 2 
1 
1− 2 
n
= a2 1− 1   
= a2 12 2 
 

1 −  1 n  2 
 2 1 



= 2a2 1 −  1 n 
 2 


ดงั นน้ั ผลบวกพื้นทขี่ องรปู ส่ีเหลย่ี มด้านเท่าท่ีสรา้ งซ้อนกนั ซ้ำ ๆ จำนวน n รูป
n
เท่ากับ 2a2 1 −  1 
2 

เมื่อ a คอื ความยาวดา้ นของรปู สีเ่ หล่ยี มด้านเทา่ รูปที่ 1

n คอื จำนวนรูปส่ีเหลีย่ มด้านเท่าท่สี ร้างซ้อนกันซำ้ ๆ

27

2.3 ผลบวกพน้ื ทขี่ องรูปหา้ เหลี่ยมด้านเท่าที่สรา้ งซ้อนกันซำ้ ๆจำนวน n รปู

จากพืน้ ที่ของรปู หา้ เหลี่ยมดา้ นเท่ารปู ที่ 1- n คือ

5 a2cot36, 5 a2cos236cot36 , 5 a2cos436cot36 , 5 a2cos636cot36 ,
44 4 4

cos2 36 n
sin36cos36
,( )…5 a2
4

มอี ตั ราส่วนร่วม r = cos236 เม่ือ r  1 และ |r|  1แทนค่าอัตราสว่ นรว่ ม (r)

ในสตู รผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตSn= a1(11−−rrn) ได้ผลบวกพื้นทข่ี องรูปหา้ เหลี่ยม

ดา้ นเทา่ ท่ีสร้างซ้อนกันซ้ำ ๆ จำนวน n รปู ดังน้ี
n
= 45a2cot316-c°o1s-2 c3o6s°2 36° 
 
Sn  

= 4455aa22ccsooints333666ss°°°iinn1122--33c6c6oo°°ss223366°°nn
=

( ( ) )=5a2cos36° n
4 sin3 36° 1- cos2 36°

ดังนนั้ ผลบวกพ้นื ที่ของรปู หา้ เหล่ยี มด้านเท่าที่สร้างซอ้ นกนั ซ้ำ ๆ จำนวน n รูป
n
( ( ) )เท่ากับ5a2cos36°
4 sin3 36° 1- cos2 36°

เมอื่ a คอื ความยาวด้านของรูปห้าเหลีย่ มด้านเท่ารูปท่ี 1

n คอื จำนวนรปู หา้ เหลีย่ มดา้ นเท่าทสี่ รา้ งซอ้ นกันซ้ำ ๆ

28

2.4 ผลบวกพื้นท่ขี องรปู หกเหล่ียมดา้ นเท่าทีส่ รา้ งซอ้ นกนั ซ้ำ ๆจำนวน n รปู

จากพ้นื ที่ของรูปหกเหลีย่ มด้านเทา่ รปู ท่ี 1- n คือ

3 3 a2 , 9 3 a2, 27 3 a2 , 81 3 a2, … , 2 3a2  3 n
2 8 32 128 4

มอี ตั ราส่วนรว่ ม r = 3 เมือ่ r 1 และ |r|  1แทนค่าอตั ราส่วนรว่ ม (r) ในสูตรผลบวก
4
n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิตSn= a1(11−−rrn) ได้ผลบวกพ้นื ท่ขี องรปู หกเหลย่ี มด้านเท่า

ทีส่ รา้ งซอ้ นกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รปู ดังน้ี
n
3 2 3   43 
  
Sn = a2 
1−
3 
1− 4 
223333aaaa222241111−1−−−43n434343nnn((24))
= 3
= 3
= 3
= 6

ดงั นัน้ ผลบวกพนื้ ท่ขี องรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าท่ีสร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รปู
n
เทา่ กับ 6 3a2 1 −  3  
4 

เมอ่ื a คอื ความยาวดา้ นของรปู หกเหลย่ี มดา้ นเท่ารปู ที่ 1

n คือ จำนวนรปู หกเหล่ียมด้านเทา่ ท่สี ร้างซอ้ นกนั ซำ้ ๆ

29

2.5 ผลบวกพื้นทขี่ องรปู N เหลี่ยมด้านเท่าที่สรา้ งซ้อนกันซำ้ ๆจำนวนn รปู

จากพน้ื ที่ของรปู N เหลย่ี มด้านเทา่ รูปที่ 1- n คือ

N a2cot 180  , N a2cos2 180 cot 180 , N a2cos4 180 cot180 ,
4 N  4 N N 4 NN

N a2cos6 180 cot 180 ,..., N4sian218Nc0os2co1s8N108N0n
4 N N

มอี ัตราส่วนรว่ มr = cos2 180 เม่ือ r  1 และ |r|  1แทนค่าอตั ราส่วนรว่ ม (r)
N
ในสตู รผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิตSn= a1(11−−rrn) ได้ผลบวกพ้ืนทีข่ องรูป N เหล่ยี มด้าน

N a2cot 180 1 −  cos2 180 n 
4 N N 
   
เท่าที่สร้างซ้อนกันซำ้ ๆ จำนวน n รูป ดังนี้Sn = 

1 −  cos2 180 
N

พนื้ ท่ีของรปู N เหลีย่ มด้านเทา่ เป็นอนุกรมอนนั ต์ คือ N a2cot 180  , N a2cos2 180 cot 180 ,
4 N  4 N N

N a2cos4 180 cot180 , N a2cos6 180 cot180 , …, N a2cot  180 1 −  cos2 180 n 
4  N  N  
 , …
4 N N4 N N 

1 −  cos2 180 
 N 

พิจารณา lim sn โดยใช้ ทฤษฎีบทของลิมิต

n→

มีอัตราส่วนร่วมr = cos2 180
N

lim rn หาคา่ ไมไ่ ด้เมือ่ |r|  1

n→

30

N a2cot  180 1 −  cos2 180 n 
4 N  N  
lim sn lim 
จะได้ = 
n→ n→
1  cos2 180 
−  N 

จากทฤษฎีบท lim rn หาค่าไมไ่ ดเ้ ม่อื |r|  1
n→

ไม่สามารถหาค่า lim sn ได้

n→

ดงั นน้ั อนกุ รมอนันต์เป็นอนกุ รมลู่ออก

ดงั นน้ั ผลบวกอนนั ต์พ้ืนทขี่ องรูปN เหล่ยี มด้านเท่าทีส่ รา้ งซอ้ นกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รูป
จึงไม่สามารถหาค่าได้

31

3. ผลการเปรยี บเทียบการหาพน้ื ท่ีและผลบวกพนื้ ท่ีระหวา่ งใช้สตู รกบั โปรแกรม GSP

ผู้ศกึ ษาได้คำนวณหาพืน้ ที่ของรปู หลายเหล่ียมด้านเทา่ รปู ที่ 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP แล้วนำมา

เปรยี บเทียบกับการหาพน้ื ที่ของรปู หลายเหลีย่ มด้านเท่ารูปท่ี 1- 4 โดยใช้สูตรที่หามา ได้ผลดังน้ี

3.1 รปู สามเหลย่ี มด้านเท่าทีส่ รา้ งซ้อนกันซำ้ ๆจำนวนn รปู

ผลคำนวณหาพื้นที่ของรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ รปู ท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP เปรียบเทยี บ
n
กบั พน้ื ท่ีของรปู สามเหล่ียมด้านเทา่ รูปที่ 1- 4 ที่คำนวณโดยใช้สูตร 3a2  1 ได้ผลดังรปู
4

พบวา่ พ้นื ที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ ระหว่างใช้สูตรกบั โปรแกรม GSPมคี ่าเทา่ กนั

ผลคำนวณหาผลบวกพืน้ ท่ีของรูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ รูปที่ 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP

เปรียบเทยี บกับผลบวกพนื้ ที่ของรูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่ารปู ท่ี 1- 4 ที่คำนวณโดยใช้สูตร
n
3 a2  1 −  1  ไดผ้ ลดังรปู
3  4 

พบว่าผลบวกพ้นื ที่ของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่าระหวา่ งใชส้ ูตรกบั โปรแกรม GSPมีค่าเทา่ กนั

32

3.2 รปู สเ่ี หลยี่ มด้านเท่าท่สี รา้ งซอ้ นกันซ้ำ ๆจำนวน n รูป

ผลคำนวณหาพ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ยี มดา้ นเทา่ รปู ที่ 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP เปรียบเทียบกับ
n
พื้นท่ีของรูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นเทา่ รูปท่ี 1- 4 ท่ีคำนวณโดยใช้สูตร 2a2  1 ไดผ้ ลดงั รูป
2

พบวา่ พื้นท่ีของรปู ส่ีเหล่ยี มดา้ นเท่าระหว่างใชส้ ูตรกับโปรแกรม GSPมีคา่ เท่ากัน

ผลคำนวณหาผลบวกพื้นที่ของรปู สเี่ หลย่ี มด้านเท่ารปู ท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP เปรียบเทียบกับ
n
ผลบวกพน้ื ที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ารปู ท่ี 1- 4 ที่คำนวณโดยใช้สตู ร 2a2  1 −  1  ไดผ้ ลดังรูป
 2 
 

พบว่าพน้ื ที่ของรปู สเ่ี หลี่ยมดา้ นเท่าระหว่างใช้สูตรกบั โปรแกรม GSPมคี า่ เท่ากัน

33

3.3 รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าทส่ี ร้างซ้อนกันซำ้ ๆจำนวน n รูป

ผลคำนวณหาพื้นท่ีของรปู ห้าเหลี่ยมด้านเทา่ รูปท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP เปรยี บเทียบกบั
cos2 36 n
sin36cos36
( )พ้ืนท่ีของรปู หา้ เหล่ียมดา้ นเท่ารปู ท่ี 5 a2 ได้ผลดงั รูป
1- 4 ทคี่ ำนวณโดยใช้สตู ร 4

พบว่าพน้ื ท่ีของรปู หา้ เหล่ียมด้านเทา่ ระหว่างใช้สูตรกบั โปรแกรม GSPมคี า่ ใกลเ้ คยี งกัน

ผลคำนวณหาผลบวกพน้ื ท่ีของรปู หา้ เหลี่ยมดา้ นเทา่ รปู ท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP

เปรียบเทียบกบั ผลบวกพื้นที่ของรปู ห้าเหลย่ี มด้านเท่ารูปท่ี 1- 4 ท่ีคำนวณโดยใช้สูตร
( ( ) )5cos36° n
a2 sin3 36°
4
1- cos2 36° ได้ผลดังรปู

พบว่าพ้นื ที่ของรูปห้าเหลีย่ มด้านเทา่ ระหว่างใชส้ ูตรกบั โปรแกรม GSPมคี า่ ใกลเ้ คียงกัน

34

3.4 รูปหกเหล่ียมด้านเทา่ ที่สร้างซ้อนกันซ้ำ ๆจำนวนn รปู

ผลคำนวณหาพน้ื ที่ของรปู หกเหล่ยี มดา้ นเท่ารปู ท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP เปรียบเทียบ
n
กับพ้นื ที่ของรปู หกเหล่ียมดา้ นเท่ารูปท่ี 1- 4 ที่คำนวณโดยใชส้ ูตร2 3a2  3 ไดผ้ ลดังรูป
4

พบวา่ พืน้ ที่ของรปู หกเหลี่ยมด้านเท่าระหว่างใชส้ ูตรกบั โปรแกรม GSPมีคา่ เทา่ กัน

ผลคำนวณหาผลบวกพน้ื ท่ีของรูปหกเหลีย่ มดา้ นเท่ารปู ท่ี 1- 4 โดยใช้โปรแกรม GSP n

เปรยี บเทยี บกับผลบวกพน้ื ที่ของรูปหกเหลี่ยมดา้ นเท่ารูปที่ 1- 4 ทค่ี ำนวณโดยใช้สูตร 6 3a2  1 −  3 
 4 

ได้ผลดงั รปู

พบวา่ พืน้ ที่ของรูปหกเหล่ยี มด้านเท่าระหวา่ งใชส้ ตู รกบั โปรแกรม GSPมคี ่าเทา่ กนั

บทท่ี 5
สรปุ ผล อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ

1. สรุปผล

1.1 พ้นื ทีข่ องรปู สามเหลยี่ มด้านเท่า รูปส่ีเหลย่ี มดา้ นเท่า รูปหา้ เหลยี่ มดา้ นเท่า รปู หกเหลีย่ มดา้ นเทา่
n n
และรปู N เหลย่ี มดา้ นเท่าท่ีสรา้ งซอ้ นกนั ซำ้ ๆ จำนวน n รปู เท่ากับ 3a2  1 , 2a2  1 ,
4 2
n
cos2 36 n N a2  cos2 180
sin36cos36 4 N
( )5a2 , 2 3a2  3 n และ ตารางหนว่ ย ตามลำดบั เม่ือ a คอื
4 sin180 cos 180
4

NN
ความยาวดา้ นของรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ รูปที่ 1 และ n คือ จำนวนรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ท่ีสร้างซอ้ นกนั ซ้ำ ๆ

( ( ) )ด45้านa2เทsา่ciทno13ี่sส.23ร36า้6ผ°ง°ลซบอ้ 1วน-กกพนั cื้นซoทำ้sๆขี่2อ3จง6ำร°นูปวnสนามnเหแรลลปู ี่ยะเทม6า่ดก้าับน3เaท2่า3ร31ปู aส−2ีเ่ หล143ย่ี −มดn้าน41เตทาn่ารารงูป,หหน2้าว่ aเยห2ลตีย่ 1มาม−ดล้าำนดเ12ทบั า่nรปูห, กเหล่ยี ม

เมือ่ a คือ ความยาวดา้ นของรูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ รปู ที่ 1และ n คือ จำนวนรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าที่สร้าง

ซ้อนกันซำ้ ๆ สว่ นผลบวกพื้นทข่ี องรูป N เหลย่ี มด้านเทา่ ที่สรา้ งซ้อนกันซ้ำ ๆ จำนวน n รูปไมส่ ามารถหาค่าได้

1.3 การหาพน้ื ที่และผลบวกพืน้ ที่ระหว่างใชส้ ูตรกบั ใช้โปรแกรมGSP จะมีคา่ เท่ากันเมอ่ื ในสูตรไม่มี

อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ ค่าใกล้เคียงกัน เมอื่ ในสูตรมีอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ

2. อภปิ รายผล
2.1 พน้ื ทขี่ องรปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า รูปสี่เหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปห้าเหลย่ี มดา้ นเท่า และรูปหกเหล่ยี ม

ด้านเท่า ท่สี รา้ งซ้อนกนั ซ้ำ ๆ รปู ที่ 1, 2, 3, 4 เป็นลำดับเรขาคณิตจงึ หาพน้ื ท่ีของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
รูปที่nได้โดยใช้สูตรพจน์ที่ n ของลำดบั เรขาคณติ an = a1rn-1

2.2 พนื้ ที่ของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่า รปู ส่ีเหลี่ยมด้านเทา่ รูปหา้ เหลย่ี มดา้ นเท่า และรูปหกเหลี่ยม
ดา้ นเทา่ ทสี่ รา้ งซอ้ นกันซำ้ ๆ รปู ท่ี 1, 2, 3, 4 เป็นลำดับเรขาคณิตจึงหาผลบวกพ้ืนท่ีของรูปหลายเหลี่ยม
ด้านเท่าไดโ้ ดยใชส้ ูตรพจน์ท่ี n ของอนกุ รมเรขาคณิต Sn= a1(11−−rrn) เมื่อ r  1 และ |r|  1

3. ขอ้ เสนอแนะ
3.1 ควรมกี ารศกึ ษาในลกั ษณะ 3 มิติ เช่น การหาปริมาตรของรปู ทรงหลายเหล่ียมด้านเท่าต่างๆ ท่ี

สรา้ งซอ้ นกันซำ้ ๆ จำนวน n รูป

3.2 ควรมีการตรวจสอบความถกู ต้องของปรมิ าตรของรูปทรงหลายเหลย่ี มด้านเทา่ ต่างๆ

บรรณานุกรม

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 3 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4- 6 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษา
ข้ันพน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พค์ รงั้ ที่ 7. กทม.: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว

_______. (2559). หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 - 6
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551.
พมิ พค์ รัง้ ที่ 9. กทม.: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว

_______. (2560). ค่มู ืออา้ งองิ THE GEOMETER’S SKETCHPAD. กทม.: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว
สุรีย์พรชาวแพรกน้อย. (2552). เอกสารประกอบการสอนรายวิชาตัวแบบและการใหเ้ หตผุ ลเชงิ คณิตศาสตร์:

ภาควิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอรค์ ณะวทิ ยาศาสตร์จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั .
สารานุกรมไทยสำหรบั เยาวชนฯ /เลม่ ท่ี 6/ พื้นท่ี/ พ้นื ทข่ี องรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า.[ออนไลน์].เขา้ ถึงได้จาก

: http://kanchanapisek.or.th/kp6/sub/book/book.php?book=6&chap=9&page=t6-9-
infodetail02.html (วันท่คี ้นขอ้ มลู : 5 พฤษภาคม 2562).
ลาํ ดับและอนุกรมเรขาคณติ .[ออนไลน์].เขา้ ถงึ ได้จาก:
https://www.opendurian.com/learn/geometric_progression/
(วันทคี่ ้นขอ้ มูล : 5 พฤษภาคม 2562).
รูปสามเหล่ียม.[ออนไลน์].เขา้ ถึงได้จาก: https://th.wikipedia.org (วนั ท่ีคน้ ข้อมลู : 5 พฤษภาคม 2562).
รูปส่ีเหลีย่ ม.[ออนไลน์].เขา้ ถงึ ไดจ้ าก: https://www.rooruepao.com/รูปสี่เหลยี่ ม
(วันทค่ี น้ ขอ้ มลู : 5 พฤษภาคม 2562).
รปู หา้ เหล่ยี ม.[ออนไลน์].เข้าถึงได้จาก: https://th.wikipedia.org (วันทคี่ ้นข้อมูล : 5 พฤษภาคม 2562).

ภาคผนวก

ตวั อยา่ งการหาพื้นที่ รูปสามเหลย่ี มด้านเท่า สเี่ หลย่ี มด้านเทา่ ห้าเหลย่ี มดา้ นเทา่ และหกเหลยี่ มด้านเท่า

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาพืน้ ท่ีสว่ นท่แี รเงา โดยความยาวด้านของรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ มีความยาว 3 หนว่ ย

(กำหนดให้ 3  1.732 )

3 หนว่ ย 3a2  1 n
วธิ ที ท่ี ำ หาพ้ืนท่ีรูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ รูปท่ี n โดยใช้สูตร  4

หาพน้ื ที่รูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ รูปที่ 2 

จาก 3a2  1 n จะได้ 3 (3)2  1  2 =9 3 ตารางหนว่ ย
 4  4  16



หาพนื้ ทรี่ ูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู ที่ 3

จาก 3a2  1 n จะได้ 3 (3)2  1  3 =9 3 ตารางหนว่ ย
 4  4  64



พ้นื ท่ที แี่ รเงา = พื้นทรี่ ูปสามเหลยี่ มด้านเท่ารูปที่ 2 – พนื้ ทร่ี ปู สามเหล่ยี มด้านเท่ารปู ท่ี 3

จะได้ พ้นื ท่ีที่แรเงา = 9 3 − 9 3
16 64

= 27 3
64

 0.7303 ตารางหนว่ ย
ดงั น้นั จะได้พนื้ ท่ีแรเงาประมาณ 0.7303 ตารางหนว่ ย

37

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาพน้ื ที่สว่ นที่แรเงา โดยความยาวด้านของรูปสี่เหลีย่ มด้านเทา่ มีความยาว 4 หน่วย

4 หนว่ ย

วิธที ่ีทำ การหาค่าโดยใช้สตู ร 2a2  1 n
2
 

หาพน้ื ท่รี ูปส่เี หล่ียมดา้ นเท่ารปู ที่ 3

จาก 2a2  1 n จะได้ 2(4)2  1 3 = 4 ตารางหน่วย
 2 2
  

หาพน้ื ทร่ี ูปสี่เหลย่ี มดา้ นเท่ารูปที่ 4

จาก 2a2  1 n จะได้ 2(4)2  1 4 = 2 ตารางหนว่ ย
 2  2
 


หาพื้นทท่ี ี่แรเงา

พ้ืนที่ท่แี รเงา = พ้ืนทร่ี ูปสี่เหล่ยี มด้านเท่ารปู ที่ 3 - พ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู ท่ี 4

4 - 2 4
4
=

= 0.5 ตารางหนว่ ย

ดังนั้น จะไดพ้ น้ื ท่แี รเงาเทา่ กบั 0.5 ตารางหน่วย

38

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาพ้ืนทีส่ ่วนที่แรเงา โดยความยาวดา้ นของรปู หา้ เหลี่ยมด้านเทา่ มีความยาว 10 หนว่ ย

(cos36°  0.81,sin36°  0.59 )

10 หนว่ ย

วธิ ีทที่ ำ หาคา่ โดยใช้สูตร 5 a2  cos2 36 n
4  sin36cos36
 


พนื้ ทแ่ี รเงา = พน้ื ที่รูปหา้ เหล่ียมด้านเท่ารปู ท่ี 5
5
แทนคา่ จะได้ = 5 (10)2  cos2 36
4  sin36cos36 
 

= 125 cos10 36 
sin36cos36 
 

 31.80 ตารางหน่วย

ดงั น้ัน จะได้พน้ื ท่ีแรเงาเทา่ กับ 31.80 ตารางหนว่ ย

39

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาผลต่างของพ้นื ท่ีรูปหกเหลี่ยมด้านเทา่ ที่มีความยาวดา้ น ยาว 12 หน่วย ซอ้ นกนั ซำ้ ๆ

ระหวา่ งรูปที่ 2 และรูปท่ี 10 (กำหนดให้ 3  1.732 )

n12 หนว่ ย

วิธีท่ที ำ หาค่าโดยใช้สูตร 2 3a2  3 
 4

หาพ้ืนทรี่ ูปหกเหลยี่ มด้านเทา่ รูปที่ 2
n
จาก 2 3a2  3
 4 

จะได้ 2 3 (12)2  3 2 = 2(1.732)122  3 2
4 4

 280.53 ตารางหน่วย

หาพ้นื ท่รี ูปหกเหลย่ี มด้านเทา่ รปู ที่ 10
n
จาก 2 3a2  3
 4 

จะได้ 2 3 (12 )2  3 2 = 2(1.732)122  3 10
4  4 

 28.09 ตารางหน่วย

ดังน้นั ผลต่างของพ้นื ท่ีรูปหกเหล่ยี มด้านเทา่ ระหวา่ งรปู ท่ี 2 และรูปที่ 10 เท่ากับ
20.53 – 28.09 = 252.49 ตารางหน่วย

40

ตวั อย่างที่ 5 จากรูป จงหาผลบวกของพืน้ ท่ีของรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่าท่ีสร้างซอ้ นกนั ซ้ำๆ จำนวน 4 รปู โดยมี
ความยาวดา้ น ยาว 3 หนว่ ย

3 หน่วย

วิธที ่ที ำ หาคา่ โดยใช้สูตรผลบวกของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า = 3 (a)2 1 −  1 n 
3  4 


จะได้ Sn = 3 (3)21 −  1 4 
3  4 
  

=3 3 1 −  1  
44

=3 3−3 3
256
= 765 3
256

= 765(1.732)
256
 5.18 ตารางหน่วย

ดงั นั้น ผลบวกของพนื้ ที่ของรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ ที่สรา้ งซ้อนกนั ซ้ำๆ จำนวน 4 รูปเทา่ กับ 5.18 ตารางหนว่ ย

41

ตัวอยา่ งท่ี 6 จากรปู จงหาผลบวกของพนื้ ทีข่ องรปู สี่เหลยี่ มดา้ นเท่าที่สร้างซอ้ นกันซ้ำๆ จำนวน 5 รปู
โดยมีความยาวดา้ น ยาว 4 หนว่ ย

4หน่วย

วธิ ที ่ที ำ หาคา่ โดยใช้สูตรผลบวกของรูปส่ีเหลยี่ มด้านเทา่ = 2a2 1 −  1 n 
 2 


จะได้ Sn = 2(4)2 1 −  1 5 
 2 
  

= 321 −  1  
 32 

= 32 -1
= 31 ตารางหน่วย

ดงั นนั้ ผลบวกของพนื้ ที่ของรปู สเ่ี หลย่ี มด้านเท่าที่สร้างซ้อนกันซำ้ ๆ จำนวน 5 รปู เท่ากบั 31 ตารางหน่วย

42

ตัวอย่างที่ 7 จากรปู จงหาผลบวกของพนื้ ทขี่ องรปู หกเหล่ยี มด้านเทา่ ท่ีสรา้ งซอ้ นกันซำ้ ๆ จำนวน 6 รูป
โดยมีความยาวดา้ น ยาว 6 หน่วย

6หน่วย

วธิ ีทท่ี ำ หาคา่ โดยใชส้ ตู รผลบวกของรูปหกเหลีย่ มดา้ นเทา่ = 6 3 (a)2 1 −  3 n 
 4 


จะได้ Sn = 6 3 (6)2 1 −  3 6 
 4 
  


= 216 3 1 −  1  
44

= 216 3 − 157464 3
4096
= 216 3 − 19683 3
512
= 90909 3
512

= 90909(1.732)
512
 307.54 ตารางหน่วย

ดังน้ัน ผลบวกของพ้ืนทขี่ องรูปหกเหล่ยี มด้านเท่าทส่ี ร้างซ้อนกนั ซำ้ ๆ จำนวน 6 รปู
ประมาณ 307.54 ตารางหน่วย

43

ตัวอยา่ งการประยกุ ตใ์ ช้ในการหาพ้ืนทก่ี ารใชง้ านของตึก

44

ภาพกิจกรรมการดำเนินงาน