พต 4_1-22 พิชามญธุ์ เซต

ญนาง สาว ชาม ศนน ทะ 22
บบ
ม 4/1
.

๊ิจุ๊จีร์ุธิพ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 1 ~

แบบฝึกทักษะที่ 1

เรือ่ ง การเขยี นเซต และสมาชกิ ของเซต เซต
 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ
1) เซตของตัวอกั ษร 3 ตวั หลังในภาษาองั กฤษ 2) เซตของจํานวนนับทีน่ ้อยกวา่ หรือเทา่ กับ 5

{ }× Yi 2 { }แะ , แ 4,5
เ

3) เซตของเดอื นทีล่ งทา้ ยดว้ ย “ยน” 4) เซตของพยัญชนะในคําวา่ “คณติ ศาสตร์”

{ เมษายน }นายน , นยายน , พฤศ กายน { }ศาสค.ณ ต ร
, , , ,

5) เซตของจาํ นวนนบั ทีอ่ ยู่ระหว่าง 5 ถึง 10 6) เซตของจาํ นวนเตม็ บวก

{ }6,7 , 8,9 { }112,3 เ . .
.
7) เซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วได้ 16
8) เซตของจํานวนนับท่หี ารดว้ ย 3 ลงตวั

{ }4. -4 { 3,6 ง . .. }
, ..

 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

1) {10, 20, 30, ...} 2) {มกราคม กมุ ภาพันธ์ มนี าคม, ... , ธันวาคม}

{ }เ ม นเซต ของ นวน บ { ในเซต ของ อ เ อน 1 }
ละ เอ

3) {a , e, i, 0, u} 4) {1, 3, 5, 7, ... , 99}

{ }งกฤษเซต ของ สระใน ภาษา { }\
1 เ น× × นวน งแ 1- งง

5) {-1, -2, -3 , ... , -20} 6) {0, 1, 4, 9, 16, 25, ...}

{ }× 1 × เ น นวน เ ม ลบ กมาก า ห อ เ า บ -20 {×1× เ น }ง สอง ของ นวน บ

7) {-7, 7} 8) {-5, -4, -3, ... , 18, 19, 20}

{ × 1 × เ น นวน เ ม ยก }งไ 49 {×1× เ น นวน เ ม งแ s- }ง 20

  ข้อความตอ่ ไปน้ี ถูก หรอื ผดิ

E/ /ก
c/
/ด
c/
/ก
¢/ ✓ก

¢/ ✓ก

E/ ✓ก
/ก
E/ ✓ด
¢/ ✓ก
✓ก
Er

¢/

ูถูถิผูถูถูถูถูถิผูถึถ่ต้ัต็ตำจ็ป้ดัลำก่ีท็ตำจ็ปันำจัลำก็ปัก่ทืร่ว่ีท็ตำจ็ป่ต้ัต่ืคำจ็ปัอ่ืปืด่ืชีท้ึข่ิพ่ีทันำจิจักุถิม

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 2 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 2

เร่ือง ชนิดของเซตและการเทา่ กนั ของเซต ชนิดของเซต ……เซ…ต…อ…น…………
 เซตใดเป็นเซตจาํ กัด เซตใดเป็นเซตอนนั ต์
2. เซตของรูปส่เี หลีย่ มุมฉาก
1. เซตของจาํ นวนเฉพาะบวก …เ…ซต…อ……น…………
3. เซตของเศษส่วนท่มี เี ศษเปน็ ศูนย์ แตส่ ว่ นไม่เป็นศูนย์ …เ…ซ…ด………ด… { }0 อ เซต าง
4. เซตของจาํ นวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x + 15 = 0 …เ…ซต…………ด… ,

n (d) อ

จงพิจารณาวา่ เซตในข้อใดบ้างเท่ากันและเซตในขอ้ ใดบา้ งไมเ่ ทา่ กนั

1. { }ว= ส ด ……A……= B……………
,,

{ }= ส , วาย , ด Ct D
2. ………………………{ }=

ย , วาด

3. ………………………{ }ะ สาว , ย A--13
[ }= า -3
,
Aj 1×+311 × - 1) 0ะ
{ }× ะ -3,1

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 B ; ly + 3) ly - 1) ly 24 1) 0=

{ }y = 3,1 ๆ 2+1 ะ 0

เร่ือง สับเซต A CB เ อ ก อว ของ A ใน B สบั เซต y 2 = -1
ใหน้ ักเรยี นเขยี นสับเซตทง้ั หมดของเซตทกี่ ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี
ht

เ จ เสมอ

ๆ ะ ± Fi

า1 1 A =  สับเซต คือ [ } [ เ } ¢ ไ เ น บ เซต , y= ± i
เ ง อน

22 F = 1 สับเซต คือ [ 1,1 า } ; h } ¢ F
43
84 G = 2, {2} สบั เซต คอื { } { }ะ , {{ะ }} { 2,1 ะ } } ; {า} ¢ { แ 1ะ} } ¢
H = A, 3A, {3} สับเซต คอื ,
,

ha

} ④ } } [ } 14.3.13{ } , 10 } . 131,113 }
3 [ 0h }
}นวน บ ก (A)
เซต = z
, ,, }{3. 3 }

≈ ว น เอง ,

นวน zncบ เซต แ = A) ,

_

5 J = , 0, {, 0} สบั เซต คอื

{ } } } ⑧ }{ ( [ }d อ { % }
} [{ {° 0.14.0}
ุ,
} }, , ,
ำ { ∅ ะ 0} }{∅ อ
, ..
, 0,0

2) n (c) = 8 -

/ด /ด ¢อาการ h (A) = n (B) i เ ยบเ า C เ า น
c-c
/ก /( ใน กกาง ) EC ด } ABC
/ก ,,
/ด X ท (A) = ท (c)

✓ก /ก

3) ¢ กด

ด /ด

/ก /ก

/ก /ด
/ด
ด
/ก
ดก
ก

-
เ ยบเ า น

ัก่ทีทูถูถิผูถิผิผูถิผูถูถิผัก่ท่ทีทิผูถิผูถ⃝?ิผูถูถิผีปูดูถิผิผัมัต้ทัสำจัสำจ้ซิชัส็ป่ม้ป็ทู่ยัตุท่ืมุสุยืคักำจ่วืคักำจ์ตัน์ตัน

① {A = 1,2 , 3 } B = [ 43,5 } { }C =
1,2 , 3,7
tnriptlttiicti

Ac C

20 ☐ f 13
,
A X
×

Eง

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 3 ~

แบบฝึกทักษะท่ี 4 เร่อื ง เพาเวอร์เซต อ เซต ของ บ เซต งหมด ของ j P (A)

ใหน้ ักเรยี นเขียนเพาเวอร์เซตจาก เซตทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปนี้

1) A =  ใน บ เซต A 2) B = b

P(A) = { ∅ } { } P(B) = {0| , { b }}

3) E = 1, {} P(E) = 4. { า } {{ ∅}} , { แ {4}}
ุ

P(F) = ∅ า

นวน เ ม
{ }}4) F = 3, {4, 5}
{ } { { }{ } }{3 า45 3
เ , , 4,5

5) G = xx  I และ 1  x  4  = { 1g 2,3}

P(G) = { }{ }{ [} }} { {4. { D { 2 แ 3}
,
3 }i. ะ 33 1,43
,, , ,,

 กําหนด A = {2, 3} จงเขยี น

P(A) = { }}∅ , [ 2 }
{3} { 2,3

,,
} µ } } { }สับเซตทั้งหมดของ P(A) คือ ∅ { ∅ } {{ะ }
{ะ } {4 {3} ∅ {2 } {3} ""
า,
,, , .. . ุ , .. ..

. ุ ,.

 กาํ หนด A = {  } จงเขยี น EA

P(A) = {0 }{ 0 } f }↑ EP(A)
า
t ! CPCA)
}{P(P(A)) = ↓
[ }∅ ุ
{0 } ุ {0 }} {∅, [0 } n (A) >= [ 1- In p (A) - ะแ 8
,
 กําหนด A = { ,0, 2, 4, {}, {0}, {0, 2} } จงพจิ ารณาข้อตอ่ ไปนี้ วา่ ถกู หรอื ผดิ

/…ถ..1.  P(A) ถ…ผ..2. {} P(A) /…ถ ..3. {} P(A)
CA
/…ถ..5. {0, 2}  P(A) /…ผ..6. {0, 2}  P(A)
/…ถ..4. { {} }  P(A)
CA /…ถ..8. { {0, 2} }  P(A) ถ …ผ..9. { {}, 2}  P(A)

/…ถ..7. { {0, 2} }  P(A) /…ผ..11. A  P(A) [A } c P(A) / /…ถ..12. A  P(A)
CA
สมบัตขิ องเพาเวอร์เซต
/…ผ..10. /{ {}, 2r}  P(A)
↓

สมบตั ิของสบั เซต ¢ A

1) A  A (เซตทุกเซตเป็นสบั เซตของตัวมนั เอง) 1)   P(A)

2) A  U (เซตทุกเซตเปน็ สับเซตของเอกภพสมั พทั ธ)์ 2) A  P(A)
3) ø  A (เซตว่างเปน็ สับเซตของทุกๆ เซต) 3) P(A) ≠ 
4) ถ้า A   แล้ว A = 
5) ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C (สมบตั กิ ารถา่ ยทอด) 4) P(A)  P(B) กต็ ่อเมอื่ A  B
5) ถ้า A มีสมาชกิ n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n ตวั

6) A = B กต็ ่อเม่อื A  B และ B  A
7) ถา้ A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั สับเซตของเซตจะมีทัง้ ส้ิน 2n สับเซต

5) จงพิจารณาวา่ ขอ้ ตอ่ ไปน้ีถกู หรือผดิ โดยทาเครื่องหมาย หรือ  หนา้ ขอ้ ที่กาหนด

✓ 1. P(A) ✓6. {A}  P(A)
×7. {A}P(A)
✓2.   P(A) ∅ { ]∅ r 8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ P(A) ก็จะเป็นเซตอนนั ตด์ ว้ ย
✓9. ถา้ A  B แลว้ จะได้ P(A)  P(B)
3. { } P(A)✓  , ,. . . r 10. ถา้ AP(B) แลว้ จะได้ A  B

× 4. {}P(A)

r 5. AP(A)

็ตำจัส้ัทัสืค

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 4 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 เรือ่ ง โจทยป์ ัญหาสบั เซตและเพาเวอร์เซต

1. A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วก และ x  100} และ B = {x | x  A และ 3 หำร x ลงตวั }

จำนวนสมำชิกของเซต P(B) เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 มี.ค. 2552 : 1]

1. 216 { 6,8 }A--
2,4 , า .. . , 100

2. 217 { } { }2,1 6121,613713 =
3. 218 6,1 8,24 " 6 (i) g. . . g 61 เอา
, ,a - < =
,

[ ]h P (B) [= 2 " "3) 6

=

4. 219

2. E = {0} จงหำ n(P(P(E))) และ P(P(E)) 3. จงหำ n[P(P(P()))]

h (E) ะ 1 [ ]n P (E) = z'ะ 2 n (d) ะ 0

[ ]n PCP (E) ) 22 4= ะ [ ]n PC 01) ะ 2ำ |

[ ]∅n p ( P ( 1) ่ 2

2= =

[ }| {P (E) ะ 0 o} 1)n [ PCNPC 01 1) 22 4= =
,

{ } } }{ {∅ {MP (E) 1 =
} { }{ }10 ¢,
o ,◦
,,

4. จงหำจำนวนสมำชกิ ของเซต A เม่อื กำหนด n[P( P(A))] = 256
n[P(A )] = 1,024

2 ท (A) '° ท ( PCA 1) ะ 28
=z 2

ท (A) ะ 10 ]n [ Pl A) ะ 8

23ท (A)

2=
ก (A) ะ 3

5. ให้ A = {, {}, {, {}}} และ P(A) เปน็ เพาเวอร์เซตของเซต A

จงพจิ ารณาวา่ ข้อความตอ่ ไปนถ้ี กู หรือผดิ [PAT 1 ก.ค. 2553]

1. จำนวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 16 1 ด) 2. {, {}, {{}}}  P(A)( ก )
cA cA cA
h [ A) ะ 3

ท [ P (A) ] ะาะ 8

6. กำหนดให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ

จงพิจารณา P(P()) P(P(P())) เมือ่  แทนเซตวา่ ง ถกู หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2559 ]

PC 01) = { ¢ } }ก

④ [p ( PC ∅ 1) = { 4. { d } }
( Plp( 0 1) ะ ¢ , {d} , {{4} } }[ 4 า { ∅ }
,

ผูถูถิ

ญน.ส. ชา ม ศนาน ทะ เลข 22 ม 4/1
.

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 5 ~

แบบฝึกทกั ษะท่ี 6 เรือ่ ง แผนภาพเวนน์ (Venn diagram) ทมU = เอก ภพ

ใหน้ กั เรยี นเขียนสรุปความสัมพนั ธข์ องเซตจากแผนภาพ ( ขอบเขต ของ เซต )

…ส…ม…า …ก…วม……น…บา…ง …วน… …ไ………สม…า…ก……วม……น… …………A…ะ…B…………… ………A…c……B …………… …………B…c…A……………

ให้ A  B  C และ A  B  C จงเขียนแผนภาพแสดงลกั ษณะของเซตต่อไปนี้

โดยท่ี aA และ bB จงเขียนแผนภาพตามเงื่อนไข A  B และ A กับ C ไมม่ ีสมาชกิ รว่ มกันเลย

ย C B A 13
B ,
A BA A C
C
a a. b
เ .
.

c
c

แบบฝกึ ทักษะท่ี 7 ญน.ส. ชา ม ศนาน ทะ เลข 22 ม 4/1
.

เรือ่ ง การดำเนินการระหวา่ งเซต

ยเู นยี น (Union) AB = {x|x  A หรือ x  B } : เปน็ สมาชกิ ของเซต A หรือเซต B หรือทงั้ สองเซต

อินเตอร์เซกชัน (Intersect) AB = { x | x  A และ x  B } : เป็นสมาชกิ ของทง้ั เซต A และ B

คอมพลีเมนต์ (Complement) A= { x|xU และ xA} : เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชกิ ของ A

ผลต่าง (Difference of sets) A - B = { x|xA และ xB} : มีสมาชกิ ของเซต A แตไ่ มเ่ ป็นสมาชกิ ของ B

AB = เอาหมด AB = น A – B A= เอาเฉพาะ A ไ A= เอา

A BA BA B A B

UUU U

U = {–3,–2,–1,0,1,2,3} A = {–3,–2,–1,0}, B = {0,1,2,3} C = {–2,–1,0,1,2} จงหา

1 A  B = {-3 i }0,1 , 2,3 }{2. B  C = - ะiำ % ำ 3

}3. A  C = { -2 i 1,0 4. B  C = { 0 1,2}
,

5. C = [ -3,3 } 6. A – B = { }→ iil

7. A  (C – B) = [ }-3 1,0 { } { }nะ-
, ะ i= -
" 4- ก -

,

8. (A  B)  C = { } { }-3 ii ↑ , 0,4 2,3 ก -2540,42 = [ }-2 ุ -1,0, 1,2

9. (A – B) C = { } [ } { }-3 -2 i 1 ก -3,3 = →
,


3. l D- B) ก ( D- c)

{ [ }}= c. d n a

¢= c M

ำทีธิวำน่มัก้ัซ่ีทีร์ุธิพ๊ํญุ๊ยัก่ริชีม่ม่สัก่ริช์สัพัส่ีทีร์ุธิพ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 6 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8 เร่อื ง สมบตั กิ ารดำเนินการและการจดั รูป

ให้นกั เรียนเขียนสมบัตกิ ารดำเนินการของเซตทีก่ ำหนดใหต้ ่อไปนีใ้ ห้ถกู ต้อง

คุณสมบัติของยูเนียน ญน.ส. ชา ม ศนาน ทะ เลข 22 ม 4 /1
.

1. A  A = A 2. A   = A 3. A  U = u

4. A  AAUB B และ B  AAUB 5. A  B = BBUA A( ส บ )

6. A  (B  C) = (AU B) UC (เป ยนห ) 7. A  B ก็ตอ่ เม่ือ A v13 ะ 13 ะ BUA
8. ถา้ B  A และ C  A แลว้ BUCCA 9. ถา้ A  B =  กต็ ่อเม่ือ A = ∅ และ = ∅13 =

10. A  (B  C) = ( A ก B) UCA n C) 11. A  (B  C) = CA u B) ก ( Au C)

คณุ สมบัตขิ องอนิ เตอร์เซกชัน

1. A  A = A 2. A   = ∅
3. A  U = A
4. A  B  AA และ A  B  B13

5. A  B = 13 ก A ( ส บ ) 6. A  (B  C) = ( A ก 31 ) ก C 1 เป ยน ห )

7. A  B กต็ อ่ เมื่อ An 13 = A 8. ถา้ A  C และ B  C แลว้ AUBCC

คณุ สมบตั ขิ องคอมพลเี มนต์

1. (A) = A 2.   = U และ U  = ∅

3. A  A = ∅ 4. A  A = u

5. (A  B) = AAำ B B  6. (A  B) = AAบ ศ B 

7. A  B กต็ ่อเม่ือ B13%  A 8. A  B =  ก็ต่อเม่ือ AACB'B 

คุณสมบตั ิของผลต่าง

1. A – B  AA 2. A – B = A กต็ ่อเมื่อ 1A3 =∅ B = 

3. A – B =  ก็ตอ่ เมื่อ AAoBB 4. A – A = ∅

5. A – B = AAnB ' B  6. A – (B  C) = ((AA- B–) กBC)A - c)(A –

7. A – (B  C) = (A(A- B) –v (BA-)c) (A – 8. (A  B) – C = (A – C) 1A - c) ก ( 13 - C) (B –

C) 9. (A  B) – C = ((AA- c–)Cv)43- c() 10. A –  = A และ  – A =–∅A

จงพสิ ูจนข์ อ้ ความต่อไปนวี้ า่ เป็นจรงิ หรอื ไม่ [PAT 1 ต.ค. 2555]

1. A–(B  C) = (A–B)(A–C) 2. A – (B – C) = A  (B  C)

' (' U ( A กอ ) ^

น - ละ นก ล A ก 13 ) A- ( Bncil =

' '

= An ( B U ) A ก ( B ก E)

= Anl Buct =

= A- ( Bn c) ด A ก 113 C)

=

ด

3. (A  B)–C = (A–C)  (B–C) 4. (A  B) – C = A  (B – C)

น - ละ นก = (An E) ก ( B กอ) ( Au B) n = A U CBU G)
(. An าย ( Bn E) =
= ( A ก B) ก = l AU B) ( AU E)
( A- c) ( B- c) ≠ด
B)ะ CA n C-

ก

ุบูถิผฺก้ย์ย่ย่ลิผ้ัขิผ่ย์ทู่ม่ีล่ีทัลู่ม่ีล่ีทัล่ีทีรุ่ธิพ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หนา้ : ~ 7 ~

คุณสมบัติของเพาเวอรเ์ ซตกบั จำนวนสมาชกิ ของเซต

1. n(P(A) −A) = n(P(A)) − n(P(A)  A) 2. n(A− P(A)) = n(A) − n(A  P(A))

3. n(P(A) −A)  n(A− P(A)) = n(P(A) − A) + n(A− P(A))

1. ให้ A = {1, {1}} จงหาจำนวนสมาชกิ ของ P(A) − A [PAT 1 ม.ี ค. 2553 : 4] A P (A)
↑ [ P(A) - t ]
{ [ | }{ }P (A) = ∅ , [ | A)[= n P (A) n- PlA) ก ʰAnp (A) µ
{ }ะ เA D (A)
, " " A)
,
ryy
P (A) ก A- { { 1 } } ลบ ว ำ น ง

22 1= -

ะ 4-1

=3

2. ให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} ขอ้ ความ n(A − P(A)) < n(P(A) −A) ถูก หรอื ผิด [PAT 1 ต.ค. 2552]
{ } { } H { } }{PlA) - ∅ า 0
, [ ] [ A)[ ]n (A) - n An PI A) ln Nn ) n- PlA) ก
เ .. . , 0,42
, .. . .
ุ

{ }A ก P (A) = 4- 1 L 24 - | A

{ 1,2 }

3 4 19 ำ

A- Pl A)

3. ให้ B  A และ A  C   ถ้า n(P(P(B))) = n(P(B  C)) = 16 , n(B  C) = 1 , n(A  C) = 2
และ n(P(A − C)) = 4n(P(C − A)) แล้ว n(P(A)) เท่ากบั เท่าใด [PAT 1 ก.พ. 2561 : 32]

① [ ]n P ( P (B) ) = 16 [ ] [n P ( A- c) = 4 n Pl C-A) ] nl A- c) ะ 3

2)12 )" "" 212 2h ( A- C) 2. " " - A) A c
= บ
=2 2 |
2 2

n (B) = 2 znl A- c) = 22 t " " A) 13
เ เ|

② n [ P ( BU C) ] 24= 16 → n ( A. c) = #2 + nc A) Y

ก (Bv C) = 4 ( Pl A) )= " A)
z
จาก ถาม

ะ 25

ให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทำเพ่อื ระบขุ อ้ ความตอ่ ไปนี้ ถูกหรือผดิ = 32

1. P(A)  P(B)  P(A  B) *** 2. P(A)  P(B) = P(A  B) ***

A  B = { แ 2,3} { }}P(A  B) = { { { } }{ { }∅
เ {เ } 2} 3 1,2 3 } 2,3 { 1,43
, , , ,,
,

A  B = { ะ} P(A  B) = {∅ . { }ะ } }{P(B) =
{ }{ } }[ } {∅ }า ะ { } { }{ }∅
P(A) = ,
ะ ะ 3 2,3
,
,, , ,

P(A)  P(B) = { ∅ .li } { ะ } ih } {}ะ} { }2,3 } P(A)  P(B) = { }∅ , { ะ }
,,
,

สรุป

1. P(A)  P(B)  P(A  B) …✓…. 2. P(A)  P(B) = P(A  B) …r….

หมายเหตุ P(A)  P(B) = P(A  B) กต็ อ่ เม่อื A  B หรอื B  A

 ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ีทำเพ่ือระบุข้อความ P(A  B)  P(A)  P(B) ถกู หรือผิด [PAT 1 ม.ี ค. 2559 ]

หนดใ { }A = [ }B-- ๚ \ด
sเ
,

,

}{AUB ะ
s 6,9
,
[ { } [ } }} [ }{ { } [ } [ }P 1A v13) ะ
∅, s เา % si , เงา 5,6 ำ
, ,, ,
{ } }} [(A) ะ ,
{ } {∅ ,
s เ %
, ,

}} }[ } [ {[P (B) ะ ∅ , % , า , s , า

[ } } } }Pl A) u Pl B) ะ
[[}[[∅ , s
เ } {า } [ แ ๚ 5,6
,, ,,

้หำกิผำคุถุอุ้ฐ้ิทักํซ่ีทัต

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 8 ~

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 9 เรือ่ ง การแรเงาแผนภาพเวนน์ออยเลอร์ A v13 ะ เอา หมด A ก 13 = า

A- 13 = เอา เฉพาะ A Aไ'

A=
เอา

ให้นกั เรียนแรเงาแผนภาพแทนเซตที่กำหนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี

1. (AB)/ 2. (A  B)/ 3. (A  B) lไ (B  A)
ด ตอบ

A BA B A BA B

\

U . .. r\ U
UU B
ด 4. 0A/  B/ A
5. ( A - B ) / B /
A |B
B A BA

U ##U U A U
AB B
6. [(A − B)  B] U 7. (A  B)  (B − A)

AB AB

U U U

8. B/ – ( A  C ) µ 1 1A B 9. C − (B  A) AB
CU
AB AB $ U

CU CU C

10. (A  B)  C 11. C  ( A – B )

A BA B A BA B

. CU CU CU
B
CU 13. (A  B ) – (C – A)

12. (A  B) – (C   A) 1 # # #*A B A B

A BA

CU CU CU CU

ิคิค่ม้ํซ

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 9 ~

แบบฝกึ ทักษะท่ี 10 เร่อื ง การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกดั

1) A, B เป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U โดย n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A  B) = 2 จงหา

1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A  B)

A " AB AB
62 3
✓เสา ↑B 62 3

3

↓ U U U
n(A  B) = 6T 2+3 = 11
8- ะ n(B – A) = 3

n(A – B) = 6

ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

n(A – B) = n (A) - NA ก B) n(B – A) = ท (B) - ท 1A ก B) n(A  B) = nl A) + nl B) - n 1A ก B)

= 8-2 = 9-2 = 8 t 5- 2
6=
=ๆ = 11

2) ให้ n(U ) = 100, n(A) = 60, n(B) = 75 และ n(A  B) = 45 จงหา

1. n(A  B ) 2. n(A  B ) 3. n(B  A)

A B1 ° ส- | 00 - go A 10 B A 10 B

15 45 30 19 45 30 15 4 5 30

↑ ↑U U U

60-45 75-45 n(A  B ) = 5 5 n(B  A) = 30

n(A  B ) = 10 ใชส้ ตู ร ใชส้ ตู ร

ใชส้ ตู ร ' n(B  A) = n 113 - A)

n(A  B ) = In 1A v13 n(A  B ) = n ( An B) = ท (B) - nl B ก A)

= n (a) - n 1A v13) = n (4) - n 1A ก B) = 75 - 49
= 30
= 100-90 = 100 - 45
= |0
= sg

3) ให้ A และ B เป็ นเซตซ่ึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n( A B ) = 2
ถา้ C (A B) (B A) แลว้ n(P(C)) เท่ากบั เท่าใด [Onet 2554 : 32]

5- 2 B M (c) 342 5
32
A↓

n CP (c) ) 5
2

3 22

↑U

4- 2

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 10 ~

4) ให้ A , B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์ U โดยท่ี n(A) = 43, n(B) = 45, n(C) = 43,

n(A  B) = 8, n(A  C) = 13, n(B  C) = 11 และ n(A  B  C) = 100 จงหา

1. n(A  B  C)

A B.. n ( Au Bu C) = n (A) + n (B) + n (c) - nl An B)

งาน 23 27 IT _ n 1A n c) - n ( Bn C) + n (An Bn c)

7

yn ่ 10 ตร ด เ ยว + สาม
20 -
13 - 1 ←าแ - เ 100 =
ry 1 00 ะ 43+45+43 - 8-13 - 11 + n ( A ก 13 ก C)
CU
29 + n CA ก 13 ก C)

2. n((A  B) − C) MCA ก 13 n C) ะ 100 - าา = 1

AB

ใ แผน ภาพ [ c)n 1A ก B) - =7

C U

3. n((B  C)  A)

[ ]CBU C) ก A = 7 + 1+12 = 20

AB

CU

5) ให้ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(A  B  C) = 15 , n(A  B  C) = 2
ถา้ n(A − B) = 8 , n(B − C) = 4 และ n(A − C) = 9 แล้ว n((A  B) − C) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

[PAT 1 เม.ย. 2557 : 3] 1. 13 2. 12 3. 11 4. 10

dtd = 8 ① 11 + d =3 Cd + 3)
②
A- D; b +c = 4 ③ d-" - 3 d +๑
B- cj dtb = 7
AB ftg14 + แ+ -,
A- cj
9 bc =1

d ʰf d2 = 2

9h gf + = 1
CU
i. d- เ
-

จาก ท (A) =3 Cn (C) ) d 7=

dye ga + b + c + g)atb d+ e + =3 ( d + ett +
f+ + = 15 b=2

า +2 + d ะ 3 Cd +2+ 1) °= 2

ttg8+4 + 2 + = 15

ตอบ 7+2+2 = 1 1

6) กำหนด A  (B  C) =  , n(A) = 12, n(B) = 15 , n(C) = 16, n(A  B  C) = 20 และ

n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) ข้อตอ่ ไปน้ี ถูก หรือ ผดิ [PAT 1 ต.ค. 2558]

1. n(A  B  C) = 10 2. n((A  B)  C) = 5

11 ×- ( c)n B ก = 31 - zo = 11

↓ n CAUBU C) = 20 1 )แ ×- +1 1แ ×- + ✗ะ n A)
A B TITEI

× 0 + nl BU C) = 20 22 ✗- = 12

> ✗

n ( Bu C) = 20 ก ① × = เ0

11 - ✗ 11 ×- (h (B) + n (c) - ท Bn c) ะ 20

C U [ นา ]n ( A v13) C = 16 -12

15 + 16 - n 113 ก C) = zo

A 13 ด② ะ 4

'°
|1

ิผูถ์ิร่ํท้ชู่ค่ีดิคูสำน

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 11 ~

แบบฝกึ ทักษะที่ 11 โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั จานวนสมาชิกของเซตจากดั A คะ ต B = Eng

nlu ) = 70 , ก (A) =3 0

1) จากผลการสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ซ่ึงมีจานวน 70 คน พบวา่ มีนกั เรียนสอบคณิตศาสตร์ได้ n (B) = 3s , ก ( A ก B) = 10

30 คน มีนกั เรียนสอบภาษาองั กฤษได้ 35 คน และมีนกั เรียนท่ีสอบไดท้ ้งั สองวชิ า 10 คน จงหา

ใช้แผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์

(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก = 20 A B 15 5 70 5- 5

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แตส่ อบคณิตศาสตร์ตก = 2 5 20 10 25
(3) จานวนนกั เรียนที่สอบตกท้งั สองวชิ า = 15
ใชส้ ูตร ^ " U
(1) จานวนนกั เรียนที่สอบคณิตศาสตร์ได้ แตส่ อบภาษาองั กฤษตก 35-10
30-10

h ( A- B) = n (A) - n [ A ก B) ะ 30-10=20

(2) จานวนนกั เรียนท่ีสอบภาษาองั กฤษได้ แต่สอบคณิตศาสตร์ตก

(B)n ( B- A) = n - n 1A ก B) =3 5- 10 ะ 25

(3) จานวนนกั เรียนที่สอบตกท้งั สองวชิ า
n (A) + ท (B) - n [ An B)
'

n ( A v13) = nlu ) _ nl Au B) = 70- (30+35-10) = 7 ◦ -55 = 15

2) จากการตรวจสุขภาพของคนกล่มุ หน่ึง พบวา่ มีคนที่สายตาส้นั จานวน 35% ของ A = สายตา น นB =

คนท้งั หมด มีคนท่ีฟันผจุ านวน 45% ของคนท้งั หมด และมีคนท่ีสายตาไม่ส้นั และฟันไมผ่ จุ านวน 29%

ของคนท้งั หมด จงหาจานวนเปอร์เซ็นตข์ อง AB
ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์

(1) คนท่ีสายตาส้นั หรือฟันผุ = 71 (2) คนที่สายตาส้นั และฟันผุ = 7 26 9 36

(3) คนที่สายตาส้นั แตฟ่ ันไมผ่ ุ = 26 (4) คนที่สายตาไมส่ ้ัน แตฟ่ ันผุ = 36 n ^ |
4s -๑
(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไม่ผุ = 26+2 คะ 5 5 35 -9 29 U

ใช้สูตร n (A) = 35 n (B) = 45 "

n 1A ก B) = 27

(1) คนที่สายตาส้ันหรือฟันผุ (2) คนท่ีสายตาส้ัน และฟันผุ
์
n ( Av B) ะ n ( UI - nl Au B) n 1A v13) = h (A) tn (B) - h 1A ก B)

ะ 100 - 27 100-29 = 35 + 45 - ท ( A ก B)

= 71 71 ะ 80 - n [ A ก B)

na . .. . . . . .... .
.
.

(3) คนที่สายตาส้ัน แต่ฟันไม่ผุ (4) คนที่สายตาไมส่ ้ัน แตฟ่ ันผุ

n G- B) B)1A(A)= n n / B-A)= n (B) - n 1A ก B)
n- ก

= 35 - 9 45 ๑= -

= 26 = 36

(5) คนที่สายตาส้นั หรือฟันไมผ่ ุ V

[ ]M ( A- B) U 1A v13) = n (B) n 1A v13) = n (A) + n 1 B) - n 1A ก 13

= 26+29 45ะ 100 - 100 - 27 ะ 3 5 44 5- n 1A ก B)
= gg
= gs

71 = 80 - n ( A ก B)

n CA n B) ะ 80-71 9=

ุผัป้ัสิณ

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทที่ 1 เซต หน้า: ~ 12 ~

AB 1A '

v13)

3) นกั เรยี นหอ้ งหนึ่งมี 50 คน ถา้ ในจานวนนมี้ ีคนเลน่ กีตาร์ 25 คน เลน่ เปียโน 14 คน ไม่เลน่ กีตารแ์ ละไมเ่ ลน่ เปียโน 15 คน

แลว้ จานวนนกั เรยี นท่เี ลน่ กีตารอ์ ยา่ งเดียวมกี ่ีคน [Onet 2559 : 21] '

n (A) = 2s n (B) = 14 ( )n u ะ 50 n ( Au B) = 15

AB

ท ( Au B) = ท(A) + n (B) - ท ( An B) n ( A- B) ะ n (A) - n ( An B)

21 4 10 50-15 25 t 14 - n ( An B) 4zg=-

39 ะ 37 - n ( A ก B) #= 21

1s U h ( An B) ะ 37-35

4=

4) จากการสอบถาม เรอ่ื งความชอบไอศกรีมรสวนลิ าและรสสม้ ของเด็กอนุบาลจำนวน 40 คน

พบวา่ มี 25 คน ชอบรสวนลิ า 10 คน ชอบรสส้ม 8 คน ไมช่ อบทง้ั รสวนิลาและรสส้ม

มเี ด็กอนุบาลทีช่ อบทั้งรสวนลิ าและรสสม้ ก่ีคน [Onet 2561 : 3] '

( )n V = 40 (A) ' n (B) = 8 n ( Au B) = 8

A h = zg
☐

n ( Au B) = n (A) tn (B) - h ( A ก 31

22 3 7 40 -8 = 25 + 10 - n [An B)

B)(32 ะ 3s ท- An

U8 n (An B) = 35-32

☒=
3

5)ในโรงเรียนแห่งหน่ึง มีนกั เรียนชาย 87 คน มีอยู่ 43 คนเล่นฮอกก้ี มี 42 คนเลน่ ฟตุ บอล

มี 47 คนเลน่ เทนนิส มี 15 คนเล่นเทนนิสและฮอกก้ี มี 17 คนเล่นเทนนิสและฟตุ บอล

มี 21 คนเลน่ ฮอกก้ีและฟุตบอล นกั เรียนแต่ละคนตอ้ งเล่นกีฬาอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิดดงั กลา่ ว จงหา

ใชแ้ ผนภาพของเวนน–์ ออยเลอร์ nl U ) - nl AUBU C) A 87-79

B

(1) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง = 8 ' 12 < 42-30

(2) จานวนนกั เรียนที่เลน่ ฮอกก้ีเพยี งอยา่ งเดียว = 15 ,g ni

43-2 น 8

(3) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฟุตบอลเพียงอยา่ งเดียว = 12 77 9

r

(4) จานวนนกั เรียนที่เล่นเทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว = 23 yg 23 42 -33
ใชส้ ตู ร
n U

C
47 -24

(1) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ กีฬาท้งั สามอยา่ ง (2) จานวนนกั เรียนท่ีเล่นฮอกก้ีเพียงอยา่ งเดียว

n ( AUBU C) = 43++42+47 - 1547 -2 เ + × = n (A) - ท ( An B) - nl An c) + n 1A ก Bn c)

87 = 77 + × = 4 3 - 21-15+8

× ะ 87-79

*✗ ะ น

.is#=n(B)-h(BnA)-n(Bnc)+nGn3(3) จานวนนกั เรียนที่เล่นฟุตบอลเพยี งอยา่ งเดียว
-

(4) จานวนนกั เรียนท่ีเลน่ เทนนิสเพยี งอยา่ งเดียว

ก c) ะ ท (C) - ท CA n C) - n CB n c) tn ( An Bn c)

= 47 - 19 - 17+8

ะ 42 - 21 - 17 + 8

#= 23

ะ 12 ☒

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หน้า: ~ 13 ~

6) จากการสอบถามความชอบรับประทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสชอ็ กโกแลต A มี 31 คน ชอบรสช็อกโกแลตและวานิลลา

มี 87 คน ชอบรสวานิลลา B มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอรี่

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอรี่ c มี 22 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและสตรอเบอรี่

และ มี 5 คน ไม่ชอบท้งั สามรส ดงั น้นั มีนีกเรียนท่ีชอบท้งั สามรสก่ีคน [Onet 2557 : 12]

180 - 5 = 86+87 +70 - 31 - 27 - 22 + ✗

175 = 243 - 80 + ×

× = 175 -163

×= 12 ¥

7) จากการสอบถามนกั เรียนช้นั ม.6 ที่เรียนสายวิทยาศาสตร์จานวน 180 คน พบวา่

มี 83 คน ชอบเคมี มี 68 คน ชอบฟิ สิกส์

มี 84 คน ชอบชีววทิ ยา มี 23 คน ชอบท้งั เคมีและฟิ สิกส์

มี 22 คน ชอบท้งั ฟิ สิกส์และชีววิทยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมีและชีววทิ ยา

และ มี 3 คน ไมช่ อบวชิ าใดเลยในสามวชิ าน้ี ดงั น้นั มีนกั เรียนกี่คนท่ีชอบเคมีแต่ไมช่ อบฟิ สิกส์และชีววิทยา

[Onet 2558 : 71]

180-3 = 83 + 84 + 68 - 2 2-23-25 + × 83-12 = 71 #

177 = 165 T ×

✗= 177 -165
12
× =

8) หมู่บา้ นแหง่ หนึ่งมี 60 ครอบครวั ที่มอี าชีพ ทำนา ทำสวน หรือเลย้ี งสัตว์

ถา้ A ทำนา 34 ครอบครวั Bทำสวน 30 ครอบครัว ทำนา และ ทำสวน 8 ครอบครวั ( AnB)

นา A ทำนา และ เล้ียงสัตว์ 23 ครอบครวั 1A n C) ทำสวน และ เลย้ี งสัตว์ 20 ครอบครัว CBก c)
สวน 13
ทำนาอยา่ งเดยี ว 6 ครอบครวั แลว้ มที ้งั หมดก่คี รอบครวั ทมี่ ีอาชพี เพียงอาชพี เดียว [onet2560 : 15]
เ ยง ต c

AB ครอบค ว อา พ เ ยว งหมด 6 ts +4 = 1s คน

6 ss ☒/

3

20 17

4

C

9) ในการสอบของนกั เรียนช้นั ประถมศึกษากลมุ่ หน่ึง พบวา่ มีผสู้ อบผา่ นวชิ าต่างๆ ดงั น้ี
คณิตศAาสตร์ 36 คน สังคมBศึกษา
คณิตศาสต1รA์แลก ะBส) ังคมศึกษา 15 คน 50 คน ภาษ°าไทย 44 คน AB
คณิตศาสตร์แ1ลAะกภCา)ษาไทย 7 คน
ภาษาไทยแl Bลnะdสังคมศึกษา 12 คน 19 10 28
ท้งั สามftวnิชBาn C)
คน g 7
5 2

จานวนผสู้ อบผา่ นอยา่ งนอ้ ยหน่ึงวชิ ามีก่ีคน [Onet 2553 : 101] 30

n ( AUB u C) ะ 19 t 10+28+2 + s +7+30 = 101 คน ☒ c

้ัทีมีดีชีม่ีทัร์วัส้ีลำทำท

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เติม1 ค31201  บทท่ี 1 เซต หนา้ : ~ 14 ~

10. ให้ S แทนคอมพลีเมนตข์ องเซต S และ
n(S) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต S
กำหนดให้ U แทนเอกภพสมั พทั ธ์ โดยท่ี n(U ) = 70
ถา้ A, B และ C เป็นสับเซตของ U โดยที่ A  B  C   และ
n(A  B) = 25 , n(B − C) = 18 , n(C  A) = 16 และ

n((A  B) − C) = 7 แล้ว n(A  B  C) เท่ากับเทา่ ใด [PAT 1 ต.ค. 2559 : 4]

A B 70 = 25T 18 + 16 + 7 + ×

18 70 = 66 Tx

2s

× ×= 70 - 6 6

16 ×= 4#

7

c

11. จากการสำรวจนกั เรยี นกลุ่มหนง่ึ จำนวน 80 คน เก่ียวกบั การเป็นสมาชกิ ของชมรม 3 ชมรม คือ
ชมรม คณติ ศาAสตร์ ชมรมกาBรแสดง และชมCรมกฬี า ปรากฏว่า

มี 30 คน เป็นสมาชกิ ของชมรมคณติ ศาสตร์ โดยในจำนวนน้มี ีนกั เรยี น 20 คน เท่าน้นั ทเ่ี ปน็ สมาชิก

ของชมรมคณิตศาสตร์เพยี งชมรมเดียว มี 5 คน ทีเ่ ปน็ สมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกฬี า

แตไ่ ม่เปน็ สมาชกิ ของชมรมคณิตศาสตร์ และมี 10 คน ท่ีไมเ่ ปน็ สมาชิกของชมรมใดเลย

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

(ก) มี 15 คน ทเ่ี ป็นสมาชิกของชมรมอย่างนอ้ ย 2 ชมรม ✓

(ข) มี 55 คน ท่ีเปน็ สมาชกิ ของชมรมใดชมรมหนง่ึ เพียง 1 ชมรมเทา่ น้นั 80-(10+15) = ss ✓

(ค) มี 50 คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกฬี า 80 - (20-110)=50 ✓

ข้อใดต่อไปนีถ้ ูกตอ้ ง [PAT 1 ม.ี ค. 2560 : 4] 30 -20

1. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ข) ถูก แต่ ขอ้ (ค) ผดิ

2. ข้อ (ก) และ ขอ้ (ค) ถกู แต่ ขอ้ (ข) ผิด AB

3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต่ ข้อ (ก) ผดิ 20 "
4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกท้ังสามข้อ
5. ขอ้ (ก) ข้อ (ข) และ ขอ้ (ค) ผิดทง้ั สามขอ้ "

s

10
c