2) จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n 61

โครงงานคณติ ศาสตร์
การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใชค้ วามสัมพันธ์เวียนเกิด

(Finding the exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation)

โดย
1. นายกวินท์ ขุมทอง
2. นางสาวจไุ รพร ศรีเตชะ
3. นางสาววรรณชนก บญุ เชิด

ครทู ่ปี รึกษา
นางนกิ ร ประวันตา
นายสุรชัย สขุ รี

โรงเรยี นเมืองพลพิทยาคม
สงั กัดองค์การบริหารสว่ นจังหวดั ขอนแกน่

รายงานนเี้ ป็นสว่ นหนึง่ ของโครงงานคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย
ในงานสัปดาห์วิทยาศาสตร์แห่งชาติ ครงั้ ที่ 34 ประจำปี 2561

วันที่ 18 สิงหาคม 2561 ณ คณะวทิ ยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั มหาสารคาม

ก

โครงงานคณติ ศาสตร์

ชือ่ เรอ่ื ง การหาค่าจำนวนเชงิ ซ้อนยกกำลัง n โดยใชค้ วามสมั พันธ์เวียนเกดิ
(Finding the exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation)

คณะผ้จู ัดทำ 1. นายกวินท์ ขุมทอง
ครทู ่ีปรกึ ษา 2. นางสาวจไุ รพร ศรีเตชะ
3. นางสาววรรณชนก บุญเชิด
1. นางนกิ ร ประวันตา 2. นายสุรชยั สขุ รี

สถานทีศ่ กึ ษา โรงเรยี นเมอื งพลพทิ ยาคม อำเภอพล จังหวดั ขอนแก่น
ปกี ารศกึ ษา 2561

บทคดั ย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์ เร่ือง การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด

(Finding the exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation) ได้จัดทำข้ึน โดยมี
วตั ถุประสงค์ เพื่อศึกษาการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n หรอื (a + bi)n โดยใช้ความสัมพนั ธ์เวียนเกิด
และเปรียบเทียบการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดกับทฤษฎีบทของเดอร์

มวั ฟวร์ คณะผู้จดั ทำได้ศกึ ษาเปน็ 2 ตอน

ผลการศึกษา พบว่า

1. การหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวยี นเกดิ มขี ัน้ ตอนดงั น้ี
1.1 ให้ m = bi และ (a + bi)n = an + mn
1.2 หาคา่ C จาก C = 2a และหาคา่ D จาก D = m2 − a2

1.3 หาคา่ an และ mn จากความสมั พนั ธ์เวียนเกิด
an = Can−1 + Dan−2 เมือ่ a0 = 1 และ a1 = a
mn = Cmn−1 + Dmn−2 เมอื่ m0 = 0 และ m1 = m

2. ผลการเปรยี บเทียบการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลงั n โดยใชค้ วามสมั พันธเ์ วียนเกิดกับทฤษฎีบท
ของเดอรม์ วั ฟวร์ พบวา่ การคำนวณ (a + bi)n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกดิ และทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์
มีค่าเท่ากนั และมีข้อสังเกตดงั น้ี

โดยใช้ความสมั พันธ์เวียนเกิด โดยใช้ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์

1. ในข้ันตอนการหาค่า (a + bi)n ทราบคา่ ของ 1. ต้องคำนวณใหม่เพ่อื หาค่าของ
(a +bi)n−1, (a +bi)n−2 , … , (a +bi)0 (a +bi)n−1, (a +bi)n−2, … , (a +bi)0
เพราะคา่ ของ n เปลยี่ นไป
โดยไม่ต้องคำนวณใหม่

2. หาคา่ (a + bi)n ได้ทงั้ 2 กรณี คอื 2. กรณี θ ∉ {π , π , π} มีขอ้ จำกัดในการหาคา่
346
θ ∉ {π , π , π} และ θ ∈ {π , π , π}
346 346 อาร์กิวเมนต(์ θ) ต้องเปิดตารางฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
และเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ์ มีความยงุ่ ยาก

3. ไม่เหมาะในการคำนวณเมื่อ n มีคา่ มากๆ 3. ไมเ่ หมาะในการคำนวณเมอื่ n มคี ่ามากๆ

ข

กิตติกรรมประกาศ

โครงงานเรื่อง การหาคา่ จำนวนเชงิ ซ้อนยกกำลงั n โดยใช้ความสัมพนั ธ์เวียนเกิด สำเรจ็ ลลุ ่วงไปได้
ด้วยดี เพราะการสนับสนนุ และให้กำลงั ใจในการทำโครงงานจากฝา่ ยบรหิ ารนายมงคล อติอนุวรรตน์
ผู้อำนวยการโรงเรยี นเมืองพลพิทยาคม คณะครโู รงเรียนเมอื งพลพทิ ยาคม คณะครูกลุ่มสาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ผู้ปกครอง ตลอดจนเพือ่ น ๆ นกั เรียนทกุ คน

ขอขอบคุณ คุณครูนิกร ประวันตา และคุณครูสุรชัย สุขรี ท่กี รุณาใหค้ วามรคู้ ำปรึกษา ข้อเสนอแนะ
แนวทางวิชาการและสนบั สนุนในด้านต่างๆ

ขอขอบคุณคณะครูในกลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นเมืองพลพทิ ยาคม ทุกทา่ นท่ีประสิทธิ์
ประสาทวิชาจนคณะผูจ้ ัดทำมีความรู้ในการศกึ ษาและทำโครงงานในครง้ั น้ี

ขอขอบพระคุณ คุณพอ่ คุณแม่ และผู้ปกครอง ทีเ่ ปน็ กำลงั ใจและขอขอบคณุ สมาชกิ ในกลุ่มท่มี ีความ
ตัง้ ใจและรว่ มมอื กันในการจัดทำโครงงานรวมทัง้ เพอ่ื นรว่ มชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

คณะทำงานหวังว่าผลการศกึ ษาค้นคว้าและผลงานท่ีได้จากการทำโครงงานนค้ี งทำให้ผู้ทีส่ นใจเห็น
ประโยชน์และใช้เป็นเคร่ืองมอื ในการเรยี นรู้ ขอมอบแด่ผู้ปกครอง และคุณครู ท่ปี ระสิทธ์ปิ ระสาทวิชาทกุ ท่าน

คณะผู้จัดทำ

ค

สารบญั หนา้

เรอื่ ง ก
ข
บทคัดยอ่ 1
กติ ติกรรมประกาศ 1
บทท่ี 1 บทนำ 2
2
ทม่ี าและความสำคญั ของโครงงาน 2
จุดประสงค์การศึกษา 2
ขอบเขตของการศกึ ษา 2
เนือ้ หาทางคณิตศาสตร์ท่ีเก่ียวขอ้ ง 2
สถานที่ในการทำโครงงาน 3
นยิ ามศพั ทเ์ ฉพาะ 3
ประโยชนท์ ีไ่ ดร้ บั 4
บทที่ 2 เอกสารที่เกยี่ วข้อง 5
จำนวนเชงิ ซ้อนในรปู เชงิ ข้วั (Complex number in polar form) 5
ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ (De Mire’s Theorem) 7
ลำดบั (Sequence) 8
ความสัมพันธ์เวียนเกิด (Recurrence Relation) 8
บทท่ี 3 วธิ ีการดำเนนิ การ
บทที่ 4 ผลการดำเนนิ งาน 13
ตอนที่ 1 ผลการศกึ ษาการหาค่าจำนวนเชิงซอ้ นยกกำลัง n หรือ (a + bi)n
โดยใช้ความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ 18
ตอนท่ี 2 ผลการเปรียบเทยี บการหาคา่ จำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n 19
โดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกิดกับทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ 20
บทท่ี 5 สรุป อภิปรายผลและข้อเสนอแนะ
บรรณานกุ รม
ภาคผนวก

บทที่ 1
บทนำ

ที่มาและความสำคญั ของโครงงาน

ธรรมชาติของคณิตศาสตร์นั้นเป็นวิชาท่ีเกี่ยวกับความคิดรวบยอด ลักษณะของคณิตศาสตร์จะเป็น

การศึกษาและรวบรวมส่ิงตา่ ง ๆ ทคี่ ดิ ว่าเป็นจริงและถกู ตอ้ งหลาย ๆ ส่ิง มาสรุปเพอื่ ใหเ้ หน็ ว่าสิง่ ตา่ ง ๆ จะสง่ ผล

หรือได้ผลอย่างไรจึงจะเหมาะสม และถูกต้องตามกระบวนการแห่งความคิดนั้น คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีมี

โครงสร้าง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของการสรุปรวบรวมส่ิงต่างๆ มาอย่างเป็นข้ันตอน

เป็นลำดับเหตุการณ์ของส่ิงต่าง ๆ ที่เกิดข้ึนว่าสิ่งใดเกิดขึ้นจะส่งผลตามมาเช่นไรสิ่งต่างๆนั้นจะอยู่ในระบบ

ที่ต่อเน่ืองลักษณะของการศกึ ษาส่วนน้ัน ๆ จะมีโครงสรา้ งการศกึ ษาท่ีแน่นอน โดยศึกษาจากสิง่ ท่เี ป็นจริงไปสู่

สงิ่ ทเ่ี กดิ ข้นึ ใหม่อยา่ งเป็นข้ันตอนท่ีตอ่ เน่ืองและคณิตศาสตร์จะสามารถกำหนดขอบเขตของสง่ิ ต่าง ๆ ที่จะศกึ ษา

เพ่ือให้เกิดความถูกต้องและเป็นจริงมากที่สุด อีกท้ังเพ่ือประโยชน์ของการอ้างอิงสิ่งใหม่ ๆ นอกจากน้ันแล้ว

คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีใช้สัญลักษณ์ อีกท้ังคณิตศาสตร์ยังเป็นพื้นฐานของการนำไปใช้ประโยชน์ต่อวิทยาการ

ในสาขาอื่น ๆ เพราะว่าคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ที่เอ้ืออำนวยต่อการหาเหตุผลการดำเนินงานที่เป็นขั้นตอน

คณิตศาสตร์มีความกะทัดรัดในตัวเองทุก ๆ ด้านไม่ว่าจะเป็นการใช้เหตุผล การสรุป และการต้ังสมมติฐาน

ต่าง ๆ เพื่อศึกษาค้นคว้าวิจัยเพราะคณิตศาสตร์เป็นวชิ าท่ีว่าด้วยสัญลกั ษณใ์ นการแทนส่ิงต่างๆ ท่ีเป็นรูปธรรม

ทำให้เกิดความสะดวกใช้ได้ง่ายเพราะสัญลักษณ์เป็นการย่อสิ่งยาวให้กะทัดรัด (ณรงค์ พลอยดนัย, 2550)

วิชาคณิตศาสตร์จึงมีบทบาทสำคัญต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์

คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถ่ีถ้วน

รอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาและนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องและ

เหมาะสม นอกจากนี้คณิตศาสตร์ ยังเป็นเคร่ืองมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์

อื่น ๆ คณิตศาสตร์จงึ มปี ระโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ชว่ ยพฒั นาคุณภาพชีวติ ให้ดีข้นึ สามารถอยรู่ ่วมกับคนอื่น

ได้อย่างมคี วามสุข (หลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551, 2551)

ในระดับมธั ยมศึกษาตอนปลาย ทางคณะผจู้ ัดทำได้มี โอกาสเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน มีโจทย์ปญั หา

การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n หรือ (a + bi)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก วิธีการหาค่าจำนวน

เชิงซ้อนดังกล่าวต้องทำจำนวนเชิงซ้อน = a + bi ให้อยู่ในรูปเชิงข้ัว z = r(cos θ + i sin θ)

แล้วหาค่ายกกำลัง n โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอรม์ ัวฟวร์ zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)] เม่ือ n เป็น

จำนวนเต็มบวก จากการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n ดังกล่าวโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ คณะ
ผู้จัดทำไดต้ ั้งข้อสังเกตแล้วพบว่าอารก์ วิ เมนต์ (θ) ของจำนวนเชงิ ซ้อนตอ้ งเป็นสมาชกิ ของ {π , π , π} คณะ
3π 4π} 6
ผู้จัดทำจึงเกิดข้อสงสัยว่าถ้าอาร์กิวเมนต์ (θ) ของจำนวนเชิงซ้อนไม่เป็นสมาชิกของ {π , ,
346 จะหาค่า

จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n ได้อย่างไร เช่น z = 2 + i จะได้ tan θ = 1 , θ = 26.5° และ z = 3 +
2
i จะได้ tan θ = 1 , θ = 18° วิธีการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n ดังกล่าวนี้ต้องเปิดตารางฟังก์ชัน
3
ตรีโก ณ มิติ ซ่ึงวิธี ก ารดั งก ล่าวไม่ค่ อย สะ ดว ก เพ ราะต้ อ งอ าศั ยต ารางค่ าฟั งก์ ชั น ต รีโก ณ มิ ติ

ด้วยเหตผุ ลดงั กล่าวทางคณะผูจ้ ัดทำจงึ ได้สนใจศึกษาค้นคว้าหาวิธีการใหมใ่ นการหาคา่ จำนวนเชิงซอ้ นยกกำลัง

n เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก

2

จุดประสงค์การศกึ ษา
1. เพื่อศึกษาการหาคา่ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n หรอื (a + bi)n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกดิ
2. เพื่อเปรียบเทียบการหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n โดยใชค้ วามสมั พนั ธ์เวียนเกิดกับทฤษฎีบท

ของเดอร์มัวฟวร์

ขอบเขตของการศึกษา
1. ศึกษาการหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลัง n หรอื (a + bi)n เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มบวก

โดยใชค้ วามสัมพันธ์เวยี นเกิด

เน้อื หาทางคณติ ศาสตร์ท่ีเก่ียวข้อง
1. จำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ขั้ว (Complex number in polar form)
2. ทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์ (De Mire’s Theorem)
3. ลำดับ (sequence)

4. ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด (Recurrence Relation)

สถานที่ในการทำโครงงาน
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนเมอื งพลพิทยาคม อำเภอพล จงั หวัดขอนแกน่

นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ

1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ข้ัว หมายถงึ จำนวนเชิงซ้อนทอี่ ยู่ในรปู z = r(cosθ + i sinθ )

เมื่อ r = z = a2 + b2 และ tan  = b หรือ  = arctan b
a a
2. อารก์ วิ เมนต์ (θ) ของจำนวนเชงิ ซอ้ น หมายถึง มมุ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

3. ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ หมายถึง ทฤษฎบี ทท่ใี ช้ในการหาคา่ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n

เมอ่ื n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยทำจำนวนเชิงซ้อนใหอ้ ย่ใู นรูปเชิงขั้ว z = r(cos θ + i sin θ) แล้วหาค่า

จำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลัง n ได้โดย zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)] เมื่อ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก

4. ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด หมายถึง สมการทีแ่ สดงความสัมพันธ์ของพจน์ an กบั
พจน์ an−1, an−2, … , an−k ในรปู แบบท่แี น่นอน เมื่อ k, n ∈ N และ n  k
โดยกำหนด a0, a1, a2, a3, … , an−k เป็นเงือ่ นไขเร่ิมตน้ (Initial condition)

2. (a + m)n หมายถึง จำนวนเชิงซอ้ นยกกำลงั n เม่อื n ∈ I0 และ n ∈ I+

ประโยชนท์ ่ีไดร้ ับ
1. ได้วิธีการใหม่ในการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n
2. หาค่าจำนวนเชงิ ซ้อนยกกำลัง n โดยไม่ตอ้ งเปดิ ตารางฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

3

บทที่ 2
เอกสารท่เี ก่ียวข้อง

โครงงานคณิตศาสตร์ การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
(Finding the exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation) มี จุด ป ระ ส งค์ คื อ

1) เพ่ือศึกษาการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n หรือ (a + bi)n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
2) เพ่ือเปรียบเทียบการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดกับทฤษฎีบทของเดอร์

มวั ฟวร์ เพือ่ ใหบ้ รรลุวตั ถปุ ระสงค์ คณะผจู้ ัดทำไดศ้ กึ ษาเอกสารที่เกี่ยวข้อง ดงั ต่อไปน้ี
1. จำนวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ข้ัว (Complex number in polar form)
2. ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ (De Mire’s Theorem)

3. ลำดับ (Sequence)
4. ความสัมพันธ์เวยี นเกิด (Recurrence Relation)

1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั (Complex number in polar form)

Y เม่ือ z = (a, b) = a + bi
z = a + bi เขยี น z ลงบนระนาบเชงิ ซ้อนในรปู เวกเตอร์ได้ดงั รูป
ซึง่ จุดเร่ิมตน้ อยทู่ ี่ (0, 0) และจุดสิ้นสุดท่ี (a, b)
rb

O a X และ  เป็นมุมที่วัดทวนเข็มนาฬกิ าจากแกน x ไปยงั oz

เรยี ก  ว่าแอมพลจิ ูด หรืออารก์ วิ เมนตข์ อง z เขียนแทนด้วย arg (z)

0a D ซึ่ง  = arg (z) และ r = z = a2 + b2

จาก OZD จะได้ tan  = b   = arctan b โดยที่ a ≠ 0
a a

แล้ว sin = b น่ันคือ b= r sin และ cos = a นั่นคือ a = r cos
r r

ดังนั้น z = a + bi = r cos + r sini = r(cos θ + i sin θ)

ตัวอย่าง 1 จงเขยี นจำนวนเชงิ ซ้อน z = 3 − 3i ให้อยใู่ นรูปเชงิ ขวั้

วิธที ำ จาก z = 3 − 3i จะได้ว่า r = √32 + (−3)2 = √18 = 3√2

หาอาร์กวิ เมนต์ (θ) จาก tan θ = −3 = −1 จะได้ θ = 315°
3

จาก z = r(cos θ +i sin θ)

= 3√2 [cos(315°) + i sin(315°)]

4

2. ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ (De Mirre’s Theorem)

จากบทนยิ ามการคูณของจำนวนเชิงซอ้ น z1z2 = r1r2[cos(1+2) + isin(1+2)] จะเหน็ วา่
การคณู จำนวนเชงิ ซอ้ นหลายๆ จำนวน หรือยกกำลัง n ของจำนวนเชงิ ซ้อนมคี วามยุ่งยากซับซอ้ น จึงหาวิธกี าร
อนื่ ๆ มาช่วยใหแ้ ก้ปัญหาน้ีได้ง่ายข้นึ ดงั น้ี

กำหนด z = r(cos θ +i sin θ)

z2 = zz

= r(cos θ +i sin θ) r(cos θ +i sin θ)

= r r(cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ))
= r2(cos 2θ +i sin 2θ)

z3 = z2z

= r2(cos 2θ +i sin 2θ) r(cos θ +i sin θ)

= r2 r(cos(2θ + θ ) + i sin(2θ + θ))
= r3(cos 3θ +i sin 3θ)
ดงั น้นั zn = rn[cos(nθ) +i sin(nθ)]

สรุปเป็นทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ (De Mirre’s Theorem)

ถา้ z = r(cos θ +i sin θ) เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชิงขั้ว และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก
แลว้ zn = rn[cos(nθ) +i sin(nθ)]

ตัวอยา่ ง 2 จงหาคา่ (1 + √3 i)8
วธิ ีทำ ให้ z = 1 + √3i

จะได้ r = √(1)2 + (√3)2 = √1 +3= √4 = 2

tan θ = √3 = √3 จะได้ θ = π
1 3

จากทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ จะได้ z8 = r8 [cos (8∙π) + isin (8∙π)]
33

= 28 [cos (8π) + isin (8π)]

33

= 256 [cos (2π + 2π) + isin (2π + 2π)]

33

= 256 [cos (2π) + isin (2π)]

33

= 256 [cos (π − π) + isin (π − π)]

33

= 256 [−cos (π) + isin (π)]

33

= 256 [− 1 + √3 i]

22

= −128 + 128√3

5

3. ลำดับ (Sequence)
ลำดับ (Sequence) คือ ฟงั ก์ชนั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซต {1,2,3, … , n} หรอื มีโดเมนเปน็ เซตของ

จำนวนเต็มบวก และเรยี กลำดับที่มโี ดเมนเป็นเซต {1,2,3, … , n} วา่ ลำดับจำกัด และเรียกลำดบั ท่มี ีโดเมน
เปน็ เซตของจำนวนบวกว่า ลำดับอนันต์

4. ความสมั พันธ์เวยี นเกดิ (Recurrence Relation)

บทนิยาม
ความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ สำหรบั ลำดับ (an) คือ สมการท่ีแสดงความสัมพันธข์ องพจน์ anกบั พจน์
an−1, an−2, … , an−k ในรปู แบบทีแ่ น่นอน เมื่อ k, n ∈ N และ n  k โดยกำหนด
a0, a1, a2, a3, … , an−k เปน็ เงอื่ นไขเริ่มต้น (Initial condition)

เช่น ลำดับฟิโบนักชี ท่ีเกดิ จากความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ
กำหนดให้ a1=0, a2 = 1 และ an = an−1 + an−2 สำหรบั n = 3, 4, 5, …
สามารถคำนวณพจนท์ ่ี 3, 4, 5, … ไดด้ ังน้ี

a3 = a2 + a1
= 1+ 0
=1

a4 = a3 + a2
= 1+ 1
=2

a5 = a4 + a3
= 2+ 1
=3

a6 = a5 + a4
= 3+ 2
=5

เมอื่ คำนวณไปเร่ือยๆ กจ็ ะไดล้ ำดับทม่ี ีพจนแ์ รกๆ ดงั น้ี 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

ความสมั พันธเ์ วียนเกิดของลำดบั

ชอื่ สูตรความสัมพนั ธ์เวยี นเกดิ พจนแ์ รกๆ

ลำดับฟิโบนกั ชี a1 = 0, a2 = 1, an=an−1 + an−2 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

ลำดบั เลขคณิต a1 = a, an = an−1 + d a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
ลำดับเลขคณิต a1 = 3, an = an−1 + 4 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
a1 = 25, an + 1 = n2 + an -21, -16, -9, 0, 17, 24, …

6

ลำดบั เวยี นเกดิ ของลำดับเลขคณิตและลำดบั เรขาคณิต

ลำดับเลขคณติ สามารถเขียนใหอ้ ยูใ่ นรปู ลำดบั เวียนเกิดไดด้ งั นี้

an + 1 = an+d

โดยมี a1 เปน็ เง่อื นไขเริ่มต้น และมี d เปน็ ผลต่างร่วม
ทำนองเดยี วกันลำดบั เรขาคณิตกส็ ามารถเขยี นให้อยใู่ นรปู ลำดับเวยี นเกิดได้เชน่ เดียวกัน โดยท่ี

an + 1 = an  r

ซง่ึ มี a1 เป็นเง่ือนไขเริม่ ต้น และมี r เป็นอตั ราสว่ นร่วม

การเขยี นลำดบั เลขคณิตใหอ้ ยใู่ นรปู ลำดับเวยี นเกดิ

ตวั อย่าง 3 จงเขยี นลำดบั เลขคณติ 2, 5, 8, 11, 14, … ใหอ้ ยู่ในรูปลำดับเวียนเกดิ

วิธีทำ

เหน็ ได้ชัดว่าลำดับเลขคณติ นีม้ ีผลตา่ งรว่ มเทา่ กับ d = 5−2 =3

ดังนน้ั จากสูตร an + 1 = an+d

จะไดว้ ่า a1 = 2

และ an + 1 = an + 3 สำหรบั n =1, 2, 3, …

ตอบ a1 = 2, an + 1 = an + 3 สำหรบั n =1, 2, 3, …

การหารูปทั่วไปของลำดับเวยี นเกดิ ที่เปน็ ลำดบั เรขาคณิต an
3
ตวั อยา่ ง 4 จงหารปู ท่วั ไปของลำดบั เรขาคณติ ท่ีมี a1 =3 และ an + 1 =

วิธีทำ

จะเห็นว่า an+1 = 1
an 3

ดงั นน้ั อัตราส่วนรว่ มของลำดับเรขาคณติ นี้มคี ่าเท่ากับ r = 1
3

แทนค่าลงในสูตรรูปทว่ั ไปของลำดับเลขคณิตจะได้

an = a1 rn−1

ตอบ จะได้รูปทว่ั ไปเปน็ = 6 (31) n−1

= (23) (1) n−1

3

= 2 (13) n−2
an = 2 (31) n−2

บทที่ 3
วิธีการดำเนินการ

โครงงานคณิตศาสตร์ การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (Finding the
exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation) คณะผู้จัดทำได้ดำเนินการ ตามขั้นตอน
ตอ่ ไปน้ี

1. กำหนดปฏิทินปฏบิ ตั ิงาน
2. การดำเนินงาน

กำหนดปฏิทนิ ปฏบิ ตั ิงาน

วัน/เดือน/ปี รายการการปฏิบตั ิงาน ผรู้ ับผดิ ชอบ
15/04/61 คณะทำงาน
20/04/61 1. ประชุมและแบ่งหนา้ ที่
27/04/61 2. เสนอบทคัดย่อต่ออาจารยท์ ี่ปรึกษาโครงงาน
3. คน้ หาขอ้ มูลจากแหล่งความรู้
02/05/61 ห้องสมดุ ,หนังสอื ,อนิ เตอรเ์ นต็
03/05/61 4. รวบรวมขอ้ มลู จากแหล่งความรู้
05/05/61 5. ตรวจสอบความถกู ต้องของข้อมูล
20/06/61 6. จัดพิมพต์ วั ร่างโครงงาน
7. นำตวั รา่ งโครงงานเสนอตอ่ อาจารย์
2/06/61 ท่ปี รกึ ษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง
8. ดำเนนิ การศกึ ษาการหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ น
22/07/61 ยกกำลงั n โดยใช้ความสมั พนั ธ์เวยี นเกิด
9. เปรยี บเทยี บการหาค่าจำนวนเชิงซอ้ นยกกำลัง n
30/07/61 โดยใช้ความสมั พันธ์เวยี นเกดิ กับทฤษฎีบทของ
1/07/61 เดอรม์ ัวฟวร์
21/07/61 10. ทำรูปเลม่ โครงงานส่งครทู ีป่ รึกษา
28/07/61 11. รว่ มกันทำงานนำเสนอดว้ ยโปรแกรม PowerPoint

12. นำขอ้ มลู จัดทำลงบอรด์ โครงงาน

13. ฝกึ ซ้อมการนำเสนอตอ่ ครูที่ปรึกษา

การดำเนินงาน

ตอนท่ี 1 ศึกษาการหาคา่ จำนวนเชงิ ซ้อนยกกำลงั n หรอื (a + bi)n โดยใช้ความสมั พนั ธ์เวียนเกิด
ตอนที่ 2 เปรยี บเทียบการหาคา่ จำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลัง n โดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ กับทฤษฎบี ทของเดอร์
มวั ฟวร์

บทที่ 4
ผลการดำเนินงาน

โครงงานคณิตศาสตร์ การหาคา่ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n โดยใช้ความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ
(Finding the exponent of Complex Numbers using a Recurrence Relation) คณะผู้จัดทำได้รายงาน

ผลการดำเนินงาน ตามลำดับดังน้ี
ตอนที่ 1 ผลการศึกษาการหาคา่ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง n หรอื (a + bi)n โดยใชค้ วามสัมพนั ธ์

เวยี นเกิด

ตอนท่ี 2 ผลการเปรยี บเทียบการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลงั n โดยใช้ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิดกับ
ทฤษฎบี ทของเดอร์มัวฟวร์

ตอนที่ 1
ผลการศึกษาการหาค่าจำนวนเชิงซอ้ นยกกำลงั n หรือ (a + bi)n โดยใชค้ วามสมั พนั ธเ์ วียนเกดิ

พจิ ารณาการหาคา่ ยกกำลงั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น (3 + i)3

(3 + i)3 = (3 + i)2(3 + i)

= (9 + 6i + i2)(3 + i)

= (9 + 6i − 1)(3 + i)

= (8 + 6i)(3 + i)

= 24 + 8i + 18i − 6

= 18 + 26i

เนอื่ งจากผลลพั ธข์ อง (a + bi)n คอื จำนวนเชงิ ซอ้ น ท่อี ยู่ในรูป ส่วนจริง + จำนวนจนิ ตภาพ

ให้จำนวนจินตภาพ คือ m จะได้ m = bi

จะไดว้ ่า (a + bi)n = (a + m)n

(a + m)n = an + mn

ส่วนจริง + จำนวนจนิ ตภาพ

พจิ ารณาค่าของ 1 [zn + (z̅)n]
2

จาก 1 [zn + (z̅)n] = 1 [(a + m)n + (a − m)n]
22

= 1 [an + mn + an − mn] เมอ่ื (a + m)n = an + mn
2

= 1 (2an)
2

= an

ดงั นัน้ ส่วนจริงของผลลพั ธ์ของ (a + m)n คือ an = 1 [(a + m)n + (a − m)n]

2

9

จาก an = 1 [(a + m)n + (a − m)n] นำมาหาส่วนจริงของผลลพั ธ์ เมือ่ n = 0, 1, 2,…. , k

2

ถา้ n = 0 แล้ว a0 = 1 [(a + m)0 + (a − m)0]
2

= 1 (1 + 1)

2

=1

ถ้า n = 1 แล้ว a1 = 1 [(a + m) + (a − m)]
2

= 1 (2a)

2

=a

ถา้ n = 2 แลว้ a2 = 1 [(a + m)2 + (a − m)2]
2

= 1 [(a2 + m2) + (a2 − m2)]
2

= 1 (2a2)
2

= a2

•

•

•

ถา้ n = k แลว้ ak = 1 [(a + m)k + (a − m)k]
2

= 1 (2ak)
2

= ak

ได้สว่ นจริงของผลลัพธ์เป็นลำดบั คือ an = {1, a, a2, a3, … , ak}

10

พจิ ารณาค่าของ 1 [zn − (z̅)n]
2

จาก 1 [zn − (z̅)n] = 1 [(a + m)n − (a − m)n]
22

= 1 [(an + mn) − (an − mn)]
2

= 1 (2mn)
2

= mn

ดงั น้นั จำนวนจนิ ตภาพของผลลัพธ์ของ (a + m)n คือ mn = 1 [(a + m)n − (a − m)n]
2

ถา้ n = 0 แลว้ m0 = 1 [(a + m)0 − (a − m)0]
2

= 1 (1 − 1)

2

=0

ถ้า n = 1 แล้ว m1 = 1 [(a + m) − (a − m)]
2

= 1 (2m)

2

=m

ถ้า n = 2 แลว้ m2 = 1 [(a + m)2 − (a − m)2]
2

= 1 (2m2)
2

= m2

•
•
•

ถ้า n = k แล้ว mk = 1 [(a + m)k − (a − m)k]
2

= 1 (2mk)
2

= mk

ได้จำนวนจนิ ตภาพของผลลัพธ์เปน็ ลำดบั คอื mn = {0, m, m2, m3, … , mk}

11

เนอื่ งจากผลลพั ธ์ของจำนวนเชิงซอ้ นยกกำลงั n อยใู่ นรปู สว่ นจริง + จำนวนจนิ ตภาพ คอื an + mn
พิจารณาวา่ an + mn เปน็ ความสัมพนั ธ์เวยี นเกิด หรือไม่ ดงั นี้

จาก (a + m)n = an + mn
จะได้ an + mn = (a + m)n

= (a + m)2(a + m)n−2
= (a2 + 2am + m2)(a + m)n−2
= (2a2 + 2am + m2 − a2)(a + m)n−2
= [2a(a + m) + (m2 − a2)](a + m)n−2
= 2a(a + m)n−1 + (m2 − a2)(a + m)n−2

= 2a(an−1 + mn−1) + (m2 − a2)(an−2 + mn−2)

= 2a(an−1) + 2a(mn−1) + (m2 − a2)(an−2) + (m2 − a2)(mn−2)
= [2a(an−1) + (m2 − a2)(an−2)] + [2a(mn−1) + (m2 − a2)(mn−2)]

เพ่อื สะดวกในการพสิ จู น์ ให้ C = 2a และ D = m2 − a2

จาก an + mn = [2a(an−1) + (m2 − a2)(an−2)] + [2a(mn−1) + (m2 − a2)(mn−1)]

an + mn = [Can−1 + Dan−2] + [Cmn−1 + Dmn−2] … (1)

จะได้ an − mn = (a − m)n

= (a − m)2(a − m)n−2
= (a2 − 2am + m2)(a − m)n−2
= (2a2 − 2am + m2 − a2)(a − m)n−2
= [2a(a − m) + (m2 − a2)](a − m)n−2
= 2a(a − m)n−1 + (m2 − a2)(a − m)n−2

= 2a(an−1 − mn−1) + (m2 − a2)(an−2 − mn−2)

= 2a(an−1) − 2a(mn−1) + (m2 − a2)(an−2) − (m2 − a2)(mn−2)
= [2a(an−1) + (m2 − a2)(an−2)] − [2a(mn−1) + (m2 − a2)(mn−2)]

เพือ่ สะดวกในการพสิ ูจน์ ให้ C = 2a และ D = m2 − a2

จาก an − mn = [2a(an−1) + (m2 − a2)(an−2)] − [2a(mn−1) + (m2 − a2)(mn−2)]

an − mn = [Can−1 + Dan−2] − [Cmn−1 + Dmn−2] … (2)

12

จาก an + mn = [Can−1 + Dan−2] + [Cmn−1 + Dmn−2] … (1)
… (2)
an − mn = [Can−1 + Dan−2] − [Cmn−1 + Dmn−2]

นำ (1) + (2) 2an = 2[Can−1 + Dan−2]

an = [Can−1 + Dan−2]

นำ (1) − (2) 2mn = 2[Cmn−1 + Dmn−2]

mn = [Cmn−1 + Dmn−2]

จะได้วา่ an = Can−1 + Dan−2 และ mn = Cmn−1 + Dmn−2

จากบทนิยามของความสัมพันธเ์ วียนเกิด
บทนิยาม

ความสมั พนั ธเ์ วียนเกดิ สำหรบั ลำดบั (an) คอื สมการทแ่ี สดงความสมั พนั ธข์ องพจน์ anกบั พจน์
an−1, an−2, … , an−k ในรปู แบบทแี่ นน่ อน เมอ่ื k, n ∈ N และ n  k โดยกำหนด
a0, a1, a2, a3, … , an−k เป็นเงอื่ นไขเรม่ิ ต้น (Initial condition)

พบวา่ สว่ นจรงิ ของผลลัพธ์ an = Can−1 + Dan−2
และจำนวนจนิ ตภาพของผลลัพธ์ mn = Cmn−1 + Dmn−2 อยูใ่ นรูปของความสัมพันธเ์ วียนเกิด

การหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลงั n โดยใช้ความสมั พันธ์เวยี นเกดิ มขี น้ั ตอนดังนี้

1. ให้ m = bi และ (a + bi)n = (a + m)n = an + mn
2. หาค่า C จาก C = 2a และหาคา่ D จาก D = m2 − a2
3. หาคา่ an และ mn จากความสัมพันธเ์ วียนเกดิ

an = Can−1 + Dan−2 เมื่อ a0 = 1 และ a1 = a
mn = Cmn−1 + Dmn−2 เม่อื m0 = 0 และ m1 = m

13

ตอนท่ี 2
ผลการเปรียบเทยี บการหาคา่ จำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลัง n โดยใชค้ วามสัมพันธเ์ วียนเกิดกบั
ทฤษฎีบทของเดอรม์ วั ฟวร์

การนำความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ ดงั กลา่ วมาหาค่าจำนวนเชิงซ้อนที่อยใู่ นรปู (a + bi)n เม่ือ n ∈ I+
โดยเปรียบเทยี บกบั วธิ ีทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคา่ (2 + i)6 ( กรณี θ∉{π , π , π} )
346

วธิ ีทำ จาก (2 + i)6 จะไดว้ ่า tan θ = 1 ซึ่ง θ∉{π , π , π} และมวี ิธีการดงั ตอ่ ไปนี้
2 346

วิธที ี่ 1 การหาคา่ โดยใชค้ วามสัมพนั ธเ์ วียนเกิด

จาก (2 + i)6 จะได้วา่ a = 2 และ m = i
นั่นคอื C = 2a จะได้ว่า C = 2(2) = 4

D = m2 − a2 จะไดว้ ่า D = (i)2 − 22 = −1 − 4 = −5

จาก an = Can−1 + Dan−2 เมอ่ื a0 = 1 และ a1 = a
จะได้ an = 4an−1 + (−5)an−2 เม่ือ a0 = 1 และ a1 = 2
นน่ั คอื ถ้า n = 2 แลว้ a2 = 4a1 + (−5)a0

= 4(2) + (−5)(1)

ถา้ n = 3 = 8−5
ถา้ n = 4 =3

แล้ว a3 = 4a2 + (−5)a1

= 4(3) + (−5)(2)
= 12 − 10
=2

แลว้ a4 = 4a3 + (−5)a2

= 4(2) + (−5)(3)
= 8 − 15
= −7

ถ้า n = 5 แล้ว a5 = −38
ถา้ n = 6 แลว้ a6 = −117

ตอ่ ไปจะเป็นการหาคา่ mn 14

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2 เมื่อ m0 = 0 และ m1 = m 6
−117
จะไดว้ า่ mn = 4mn−1 + (−5)mn−2 เมือ่ m0 = 0 และ m1 = i
44i
นนั่ คอื ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 4m1 + (−5)m0

ถา้ n = 3 = 4(i) + (−5)(0)
ถ้า n = 4
= 4i .

แล้ว m3 = 4m2 + (−5)m1

= 4(4i) + (−5)(i)

= 11i

แล้ว m4 = 4m3 + (−5)m2

ถ้า n = 5 = 4(11 ) + (−5)(4 )
ถ้า n = 6
ดังน้นั สรุปไดด้ งั นี้ = 24

แล้ว m5 = 41i

แลว้ m6 = 44i

n0123 4 5
−7 −38
an 1 2 3 2
24i 41i
mn 0 i 4i 11i
(2 + i)6 = −117 + 44i
เพราะฉะนั้น ค่าของ

นอกจากน้ี จากตาราง เรายงั สามารถหาค่าของ

(2 + i)5 = −38 + 41i ไดอ้ กี ดว้ ย
(2 + i)4 = −7 + 24i
(2 + i)3 = 2 + 11i
(2 + i)2 = 3 + 4i

(2 + i) = 2 + i

(2 + i)0 = 1 + 0i = 1

15

วิธีที่ 2 การหาค่าโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์

ให้ z = 2 + i จะได้ว่า r = √22 + 12 = √5

หาอารก์ วิ เมนต์ (θ) จาก tan θ = 1
2

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com ได้ θ = 26.56505118°

จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ จะไดว้ า่

z6 = r6[cos(6θ) + i sin(6θ)]
= (√5)6[cos(159.39030708°) + i sin(159.39030708°)]
= 125[− cos(20.60969292°) + i sin(20.60969292°)]
= 125[− 0.936 +0.352i]
= −117 + 44i

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่า (−1 + √3 i)5 ( กรณี θ ∈ {π , π , π} )
346

วิธที ำ จาก (−1 + √3 i)5 จะได้ว่า tan θ = √3 ซ่ึง θ ∈ {π , π , π} และมวี ธิ ีการดงั ตอ่ ไปน้ี
−1 346
วิธีท่ี 1 การหาคา่ โดยใชค้ วามสัมพันธ์เวยี นเกิด

จาก (−1 + √3 i)5 จะไดว้ า่ a = −1, m = √3i

น่นั คอื C = 2a = 2(−1) = −2

D = m2 − a2 = (√3i)2 − (−1)2 = −3 − 1 = −4

จาก an = Can−1 + Dan−2 เมอื่ a0 = 1, a1 = a

จะได้ an = (−2)an−1 + (−4)an−2 เมือ่ a0 = 1, a1 = −1

น่นั คอื ถ้า n = 2 แล้ว a2 = (−2)a1 + (−4)a0

= (−2)(−1) + (−4)(1)

=2−4

= −2

ถา้ n = 3 แล้ว a3 = (−2)a2 + (−4)a1

= (−2)(−2) + (−4)(−1)

ถ้า n = 4 =4+4

=8

แล้ว a4 = (−2)a3 + (−4)a2

= (−2)(8) + (−4)(−2)

= −16 + 8

= −8

16

ถ้า n = 5 แล้ว a5 = (−2)a4 + (−4)a3

= (−2)(−8) + (−4)(8)

= 16 − 32

= −16

ตอ่ ไปจะเปน็ การหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2 เม่อื m0 = 0 และ m1 = m

จะไดว้ ่า mn = (−2)mn−1 + (−4)mn−2 เมื่อ m0 = 0 และ m1 = √3i

น่ันคือ ถา้ n = 2 แล้ว m2 = (−2)m1 + (−4)m0

ถา้ n = 3 = (−2)(√3i) + (−4)(0)
ถา้ n = 4
= −2√3i .

แล้ว m3 = (−2)m2 + (−4)m1

= (−2)(−2√3i) + (−4)(√3i)

=0

แล้ว m4 = (−2)m3 + (−4)m2

= (−2)(0) + (−4)(−2√3i)

ถ้า n = 5 = 8√3
ดังน้ัน สรปุ ไดด้ ังน้ี
แล้ว m5 = −16√3

n012345

an 1 −1 −2 8 −8 −16

mn 0 √3i −2√3i 0 8√3i −16√3i

เพราะฉะนั้น ค่าของ (−1 + √3i)5 = −16 − 16√3i  − 16 − 27.742813i

นอกจากนี้ จากตาราง เรายังสามารถหาค่าของ

(−1 + √3i)4 = −8 + 8√3i

3

(−1 + √3i) = 8

2

(−1 + √3i) = −2 − 2√3i

(−1 + √3i) = −1 + √3i

(−1 + √3i)0 = 1 + 0i = 1 ได้อีกดว้ ย

17

วิธที ่ี 2 ใช้ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์
จาก (−1 + √3 i)5 ให้ z = −1 + √3i

จะได้ r = √(−1)2 + (√3)2 = √1 +3= √4 = 2

tan θ = √3 = −√3 จะได้ θ = 2π
−1 3

จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ จะได้ z5 = r5 [cos (5∙2π) + isin (5∙2π)]
33

= 25 [cos (10π) + isin (10π)]

33

= 32 [cos (π + π) + isin (π + π)]

33

= 32 [− 1 − √3 i]

22

= −16 − 16√3i
 −16 − 27.742813i

ดงั นนั้ ค่าของ (−1 + √3 i)5 เทา่ กับ − 16 − 16√3i หรอื ประมาณ −16 − 27.742813i

จากตัวอยา่ งที่ 1 และตัวอยา่ งที่ 2 สรุปไดว้ ่า

(a + bi)n คา่ ของมุม (θ) โดยใชค้ วามสมั พนั ธ์เวยี นเกิด โดยใชท้ ฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์
1. (2 + i)6 πππ
θ ∉ {3 , 4 , 6} −117 + 44i −117 + 44i

2. (−1 + √3 i)5 πππ −16 − 16√3i −16 − 16√3i
θ ∈ {3 , 4 , 6}
 −16 − 27.742813i  −16 − 27.742813i

จากการคำนวณโดยใชค้ วามสมั พนั ธ์เวียนเกิดและทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์พบวา่ ( + ) มีคา่ เทา่ กัน

พบจุดเดน่ และขอ้ จำกัดดังน้ี โดยใชท้ ฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์
โดยใช้ความสัมพันธเ์ วยี นเกดิ จุดเด่น
จุดเดน่
1. มีสูตรการหาค่า (a + bi)n เพียงสตู รเดยี วคอื
1. ในการหา (a + bi)n ทราบคา่ (a +bi)n−1,
(a +bi)n−2 , … , (a +bi)0 โดยไมต่ ้องคำนวณใหม่ zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)]
2. หาค่า (a + bi)n ทั้งกรณี θ ∊ {π , π , π} และ
โดยสตู รน้ีเหมาะกับกรณี θ ∊ {π , π , π}
346 346

θ ∉ {π , π , π} โดยไม่ต้องใช้ตารางฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 2. เหมาะในการคำนวณเมอ่ื n มาค่ามากๆ
346
และเหมาะในการคำนวณกรณี θ ∊ {π , π , π}
ขอ้ จำกดั 346
1. ไมเ่ หมาะในการคำนวณเมือ่ n มีค่ามากๆ ขอ้ จำกดั

1. กรณี θ ∊ {π , π , π} มีความยุ่งยากในการหาค่า
346

อารก์ ิวเมนต์ (θ) เพราะต้องเปดิ ตารางฟงั ก์ชนั
ตรีโกณมติ ิ และเทียบบัญญัติไตรยางค์

บทท่ี 5
สรุปผล อภิปรายผลและขอ้ เสนอแนะ

สรปุ ผล

1. ผลการศกึ ษาการหาคา่ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลงั n หรือ (a + bi)n โดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกิด

พบว่า การหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n หรอื (a + bi)n โดยใชค้ วามสมั พนั ธเ์ วียนเกิด มขี ั้นตอนดงั นี้

1.1 ให้ m = bi และ (a + bi)n = (a + m)n = an + mn
1.2 หาคา่ C จาก C = 2a และหาค่า D จาก D = m2 − a2

1.3 หาค่า an และ mn จากความสมั พันธเ์ วียนเกิด
an = Can−1 + Dan−2 เมือ่ a0 = 1 และ a1 = a
mn = Cmn−1 + Dmn−2 เม่อื m0 = 0 และ m1 = m

2. ผลการเปรียบเทยี บการหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n โดยใช้ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิดกบั ทฤษฎีบท

ของเดอร์มัวฟวร์ พบว่าการคำนวณ (a + bi)n โดยใชค้ วามสัมพนั ธเ์ วียนเกดิ และทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์

มีค่าเท่ากัน พบจุดเด่น และขอ้ จำกดั ดงั น้ี

โดยใชค้ วามสัมพันธเ์ วยี นเกดิ โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์

จดุ เด่น จดุ เด่น

1. ในการหา (a + bi)n ทราบค่า (a +bi)n−1, 1. มีสูตรการหาคา่ (a + bi)n เพยี งสตู รเดยี วคือ

(a +bi)n−2 , … , (a +bi)0 โดยไมต่ ้องคำนวณใหม่ zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)]
2. หาคา่ (a + bi)n ท้ังกรณี θ ∊ {π , π , π} และ
โดยสูตรนีเ้ หมาะกบั กรณี θ ∊ {π , π , π}
346 346

θ ∉ {π , π , π} โดยไมต่ อ้ งใช้ตารางฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ 2. เหมาะในการคำนวณเมอ่ื n มาคา่ มากๆ
346 และเหมาะในการคำนวณกรณี θ ∊ {π , π , π}

ขอ้ จำกดั 346

ขอ้ จำกัด

1. ไมเ่ หมาะในการคำนวณเมื่อ n มีค่ามากๆ 1. กรณี θ ∊ {π , π , π} มคี วามยุง่ ยากในการหาค่า
346

อาร์กวิ เมนต์ (θ) เพราะตอ้ งเปดิ ตารางฟงั กช์ ัน

ตรโี กณมิติ และเทียบบัญญตั ิไตรยางค์

อภิปรายผล

1. ในการหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n หรือ (a + bi)n โดยใช้ความสมั พนั ธ์เวยี นเกดิ
มขี อ้ สังเกต คือ สามารถทราบคา่ ของ (a +bi)n−1, (a +bi)n−2, … , (a +bi)0 โดยไม่ตอ้ งคำนวณ
ใหม่ หมายความว่า เราสามารถหาค่าจำนวนเชงิ ซอ้ นยกกำลงั n จำนวนเดิม ที่มีเลขช้กี ำลงั น้อยกวา่ n

ไปจนถึง 0 โดยไม่ต้องคำนวณใหม่
2. ในการหาค่าจำนวนเชิงซอ้ นยกกำลงั n หรือ (a + bi)n โดยใชท้ ฤษฎีบทของเดอรม์ วั ฟวร์

มีขอ้ สงั เกต คอื เป็นการคำนวณที่ค่อนขา้ งยุ่งยาก เพราะมฟี ังกช์ นั ตรีโกณมิติเข้ามาเกย่ี วขอ้ ง และในการหาค่า
ของ (a +bi)n−1, (a +bi)n−2, … , (a +bi)0 ต้องคำนวณใหม่ทุกครงั้ เพราะค่า n เปล่ยี นไป

ทา้ ยนี้ ในการหาค่าจำนวนเชิงซ้อนยกกำลงั n หรือ (a + bi)n ผใู้ ช้เปน็ ผ้พู จิ ารณาเงอ่ื นไขเองวา่

วธิ กี ารใดเหมาะสม ซึ่งทางผจู้ ัดทำได้สรปุ เงอ่ื นไขและข้อจำกดั ไวแ้ ลว้

ขอ้ เสนอแนะ
ควรนำไปเผยแพร่กบั ครผู ู้สอนและนกั เรียนเพือ่ เป็นความรเู้ พม่ิ เตมิ ในการจดั การเรยี นการสอน

บรรณานุกรม

จกั รนิ ทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2548). คัมภีร์คณิตศาสตร์ ม.5 ภาคเรยี นที่ 2 ฉบับปราบมาร.
กรงุ เทพมหานคร. พ.ศ.พฒั นา.

มูลนธิ ิ อสวน. (2553). จำนวนเชิงซ้อน.พิมพค์ รัง้ ที่ 1. กทม. : บรษิ ัทดา่ นสุทธาการพมิ พ์ จำกัด
วจิ ารณ์ พานชิ .(2555). วิถีสร้างการเรียนรูเ้ พ่อื ศษิ ยใ์ นศตวรรษท่ี 21. พิมพ์ครั้งท่ี 1. กทม. : โรงพมิ พ์ บริษทั

ตถาตาพับลเิ คชัน่ จำกัด
สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์

เลม่ 3 ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรต์ ามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษา
ข้ันพน้ื ฐาน พทุ ธศักราช2551. พิมพค์ รงั้ ท3ี่ . กทม. : โรงพิมพค์ รุ สุ ภาลาดพร้าว
สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คมู่ ือครูวชิ าคณิตศาสตร์ รายวิชา คณิตศาสตร์
เพ่ิมเตมิ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย หลกั สูตรมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย พทุ ธศักราช 2521
(ฉบบั ปรบั ปรุง). พมิ พค์ รง้ั ท่ี 2. กทม. : โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพรา้ ว
สรุ ยี ์พร ชาวแพรกน้อย. (2552). เอกสารประกอบการสอน รายวิชาตัวแบบและการใหเ้ หตุผลเชิงคณิตศาสตร์:
ภาควชิ าคณติ ศาสตร์และวิทยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย.

ระบบเลขฐาน. วิธีสืบคน้ วสั ดุสารสนเทศ.[ออนไลน์].เข้าถงึ ได้จาก:http://damdee-
//anc.blogspot.com/p/blog-page_5425.html.(วันทค่ี น้ ข้อมูล : 15 มกราคม 2560).

ทฤษฎบี ท modula.วิธสี ืบค้นวัสดุสารสนเทศ.[ออนไลน์].เข้าถงึ ได้จาก:http : //203.172
//ftp/internet/mc41/curriculum/decimal01.htm.(วันที่ค้นขอ้ มลู : 15 มกราคม 2560 ).

ภาคผนวก

เปรียบเทยี บการหาค่าจำนวนเชงิ ซ้อนยกกำลงั n โดยใช้ความสัมพนั ธเ์ วียนเกดิ กบั
ทฤษฎีบทของเดอรม์ วั ฟวร์

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาค่า (5 + 3i)2

วธิ ที ำ จาก (5 + 3i)2 จะไดว้ า่ tan θ = 3 ซึง่ θ∉{π , π , π} และมีวิธีการดังตอ่ ไปน้ี
5 346

วิธีท่ี 1 การหาคา่ โดยใชค้ วามสัมพนั ธ์เวียนเกิด

จาก (5 + 3i)2 จะไดว้ ่า a = 5 และ m = 3i

นัน่ คอื จาก C = 2a จะไดว้ า่ C = 2(5) = 10

จาก D = m2 − a2 จะไดว้ ่า D = (3i)2 − 52 = −9 − 25 = −34

และจาก an = Can−1 + Dan−2 เม่ือ a0 = 1 และ a1 = a
จะได้วา่ an = 10an−1 + (−34)an−2 เมอื่ a0 = 1 และ a1 = 5
นนั่ คือ

ถา้ n = 2 แล้ว a2 = 10a1 + (−34)a0

= 10(5) + (−34)(1)

= 50 − 34

= 16

ต่อไปจะเป็นการหาค่า mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2เมื่อm0 = 0 และ m1 = m

จะไดว้ า่ mn = 6mn−1 + (−25)mn−2 เม่ือ m0 = 0และ m1 = 3i

นัน่ คอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 10m1 + (−34)m0

= 10(3i) + (−34)(0)
= 30i

21

ดงั น้นั สรปุ ไดด้ ังน้ี

n0 12

an 1 5 16
mn 0 3i 30i

เพราะฉะน้ัน คา่ ของ (5 + 3i)2 = 16 + 30i

นอกจากน้ี จากตาราง เรายงั สามารถหาค่าของ

(5 + 3i)2 = 16 + 30i
(5 + 3i) = 5 + 3i

(5 + 3i)0 = 1 + 0i = 1 ไดอ้ ีกดว้ ย

วธิ ที ่ี 2 การหาคา่ โดยใชท้ ฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์

ให้z = 5 + 3iจะได้วา่ r = √52 + 32 = √34

และ หาอารก์ ิวเมนต์(θ) จาก tan θ = 3
5

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com จะไดว้ ่า θ = 30.96375653°

จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ จะไดว้ ่า

z2 = r2[cos(2θ) + i sin(2θ)]
= √342[cos(61.9275131°) + i sin(61.9275131°)]
= 34 [0.470588 + 0.88235i]

= 15.999992 + 30.000002

22

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ (−7 − 3i)3

วิธีทำ จาก (−7 − 3i)3จะได้วา่ tan θ = |−−73| ซึง่ θ∉{π , π , π} และมีวิธีการดงั ตอ่ ไปนี้
4
3 6

วธิ ีท่ี 1 การหาค่าโดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกิด

จาก (−7 − 3i)3 จะไดว้ ่า a = −7 และ m = −3i

นั่นคือ จากC = 2a จะได้ว่า C = 2(−7) = −14

จาก D = m2 − a2 จะได้ว่า D = (3i)2 − (−7)2 = −9 − 49 = −58

และจาก an = Can−1 + Dan−2เมือ่ a0 = 1และ a1 = a
จะได้ว่า an = (−14)an−1 + (−58)an−2 เมอ่ื a0 = 1 และ a1 = −7
นัน่ คือ

ถา้ n = 2แล้ว a2 = −14a1 + (−58)a0

= (−14)(−7) + (−58)(1)

= 98 − 58
.= 40

ถา้ n = 3แลว้ a3 = −14a2 + (−58)a1

= (−14)(40) + (−58)(−7)

= −560 + 406
.= −154

ต่อไปจะเป็นการหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2 เมือ่ m0 = 0 และ m1 = m

จะได้วา่ mn = (−14)mn−1 + (−58)mn−2 เมอื่ m0 = 0 และ m1 = −3i

นัน่ คอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = (−14)m1 + (−58)m0
ถา้ n = 3 แล้ว
= (−14)(−3i) + (−58)(0)
= 42i .
m3 = (−14)m2 + (−58)m1
= (−14)(42i) + (−58)(−3i)
= −588i + 174i
= −414i

23

ดังนั้น สรุปได้ดงั นี้

n0123
an 1 −7 40 −154
mn 0 −3i 42i −414i

เพราะฉะนัน้ ค่าของ (−7 − 3i)3 = −154 − 414i

นอกจากนี้ จากตาราง เรายังสามารถหาค่าของ

(−7 − 3i)3 = −154 − 414i
(−7 − 3i)2 = 40 + 42i
(−7 − 3i) = −7 − 31i

(−7 − 3i)0 = 1 + 0i = 1 ไดอ้ กี ดว้ ย

วิธีท่ี 2 การหาคา่ โดยใช้ทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์

ให้z = −7 − 3i จะได้วา่ r = √(−7)2 + (−3)2 = √58

และ หาอาร์กวิ เมนต์(θ) จาก tan θ = |−3|
−7

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com จะไดว้ ่า θ = 23.19859051°

จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์ จะได้ว่า

z3 = r3[cos(3θ) + i sin(3θ)]
= √583[cos(609.59577153°) + i sin(609.59577153°)]
= 442.45[− cos(249.59577153°) − i sin(249.59577153°)]
= 442.45[−0.348641 − 0.937256i]

= −153.999990 − 413.999884i

24

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่า (3 + 4i)4

วธิ ีทำ จาก (3 + 4i)4 จะได้วา่ tan θ = 4 ซ่ึง θ∉{π , π , π} และมวี ธิ กี ารดงั ต่อไปน้ี
3 346

วธิ ที ่ี 1 การหาค่าโดยใช้ความสัมพันธเ์ วียนเกดิ

จาก (3 + 4i)4 จะไดว้ ่าa = 3 และ m = 4i

นน่ั คือ จากC = 2a จะไดว้ า่ C = 2(3) = 6

จาก D = m2 − a2 จะได้วา่ D = (4i)2 − 32 = −16 − 9 = −25

และจาก an = Can−1 + Dan−2เม่อื a0 = 1และ a1 = a
จะไดว้ า่ an = 6an−1 + (−25)an−2เมือ่ a0 = 1และa1 = 3
นนั่ คือ

ถา้ n = 2แลว้ a2 = 6a1 + (−25)a0

= 6(3) + (−25)(1)

= 18 − 25

ถา้ n = 3แลว้ .= −7
a3 = 6a2 + (−25)a1

= 6(−7) + (−25)(3)

= −42 − 75

.= −117

ถา้ n = 4 แลว้ a4 = 6a3 + (−25)a2

= 6(−117) + (−25)(−7)

= −702 + 175

.= −527

ตอ่ ไปจะเป็นการหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2เมอ่ื m0 = 0และm1 = m

จะได้วา่ mn = 6mn−1 + (−25)mn−2เม่อื m0 = 0และm1 = 4i

นนั่ คอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 6m1 + (−25)m0

= 6(4i) + (−25)(0)

= 24i .

25

ถา้ n = 3 แล้ว m3 = 6m2 + (−25)m1

= 6(24i) + (−25)(4i)

= 44i

ถ้า n = 4แล้ว m4 = 6m3 + (−25)m2
= 6(44i) + (−25)(24i)

= −336i

ดังนน้ั สรปุ ไดด้ งั น้ี

n012 3 4
−117 −527
an 1 3 −7 −336i
mn 0 4i 24i 44i

เพราะฉะนน้ั ค่าของ (3 + 4i)4 = −527 + 336i

นอกจากน้ี จากตาราง เรายงั สามารถหาค่าของ

(3 + 4i)3 = −117 + 44i
(3 + 4i)2 = −7 + 24i
(3 + 4i) = 3 + 4i

(3 + 4i)0 = 1 + 0i = 1 ไดอ้ กี ดว้ ย

วธิ ีท่ี 2 การหาคา่ โดยใชท้ ฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์

ให้ z = 3 + 4i จะไดว้ ่า r = √32 + 42 = √25 = 5

และ หาอารก์ ิวเมนต์(θ)จาก tan θ = 4
3

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com จะไดว้ า่ θ = 53.13010235°
จากทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ จะไดว้ ่า

z4 = r4[cos(4θ) + i sin(4θ)]
= (5)4[cos(212.5204094°) + i sin(212.5204094°)]
= 625[− cos(32.5204094°) − i sin(32.5204094°)]
= 625[− 0.8432 −0.5376i]
= −527 − 336i

26

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาคา่ (√3 + i)7

วธิ ีทำ จาก (√3 + i)7 จะได้วา่ tan θ = 1 ซงึ่ θ{π , π , π} และมีวิธีการดังตอ่ ไปนี้
√3 346

วธิ ที ่ี 1 การหาค่าโดยใชค้ วามสัมพันธเ์ วียนเกิด

จาก (√3 + i)7 จะได้วา่ a = √3 และ m = i

น่ันคือ จากC = 2a จะไดว้ ่า C = 2(√3)

จาก D = m2 − a2 จะได้วา่ D = (i)2 − √32 = −1 − 3 = −4

และจาก an = Can−1 + Dan−2 เมอ่ื a0 = 1 และ a1 = a

จะไดว้ ่า an = 2(√3)an−1 + (−4)an−2 เมื่อa0 = 1 และ a1 = √3

ถา้ n = 2 แล้ว a2 = 2(√3)a1 + (−4)a0
ถา้ n = 3 แลว้ = 2(√3)(√3) + (−4)(1)
ถา้ n = 4 แลว้ =6−4
ถา้ n = 5 แลว้ .= 2
ถา้ n = 6 แลว้
a3 = 2(√3)a2 + (−4)a1

= 2(√3)(2) + (−4)(√3)

= 4√3 − 4√3
.= 0
a4 = 2(√3)a3 + (−4)a2

= 2(√3)(0) + (−4)(2)
=0−8
.= −8
a5 = 2(√3)a3 + (−4)a2

= 2(√3)(−8) + (−4)(0)

= −16√3 − 0
.= −16√3
a6 = 2(√3)a3 + (−4)a2

= 2(√3)(−16√3) + (−4)(−8)
= −96 + 32
.= −64

27

ถา้ n = 7 แลว้ a7 = 2(√3)a3 + (−4)a2

= 2(√3)(−64) + (−4)(−16√3)
= −128√3 + 64√3
.= −64√3

ตอ่ ไปจะเป็นการหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2เมอื่ m0 = 0และm1 = m

จะไดว้ ่า mn = 2(√3)mn−1 + (−4)mn−2เม่ือ m0 = 0และm1 = i

นัน่ คอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 2(√3)m1 + (−4)m0

= 2(√3)(i) + (−4)(0)
= 2√3i .

ถา้ n = 3 แลว้ m3 = 2(√3)m2 + (−4)m1

= 2(√3)(2√3i) + (−4)(i)
= 8i

ถา้ n = 4แลว้ m4 = 2(√3)m3 + (−4)m2
= 2(√3)(8i) + (−4)(2√3i)

= 8√3i

ถา้ n = 5แลว้ m4 = 2(√3)m4 + (−4)m3
= 2(√3)(8√3i) + (−4)(8i)
= 16i

ถ้า n = 6แลว้ m4 = 2(√3)m5 + (−4)m4
= 2(√3)(16i) + (−4)(8√3i)
=0

ถ้า n = 7แลว้ m4 = 2(√3)m6 + (−4)m5
= 2(√3)(0) + (−4)(16i)
= −64i

28

ดงั นนั้ สรุปได้ดังน้ี 12 3 4 5 67
√3 2 0
n0 i 2√3i 8i −8 −16√3 −64 −64√3
an 1
mn 0 8√3i 16i 0 −64i

เพราะฉะนนั้ ค่าของ (√3 + i)7 = −64√3 − 64i = −110.851252 − 64i

นอกจากนี้ จากตาราง เรายังสามารถหาค่าของ

(√3 + i)6 = −64 + 0
(√3 + i)5 = −16√3 + 16i
(√3 + i)4 = −8 + 8√3i
(√3 + i)3 = 0 + 8i
(√3 + i)2 = 2 + 2√3i

(√3 + i) = √3 + i

(√3 + i)0 = 1 + 0i = 1ไดอ้ กี ดว้ ย

วิธที ี่ 2 การหาค่าโดยใชท้ ฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์

ให้z = √3 + i จะได้ว่าr = √√32 + 12 = √4 = 2

และ หาอารก์ ิวเมนต์(θ) จาก tan θ = 1
√3

จากการเปดิ ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะไดว้ ่า θ = 30°

จากทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์ จะไดว้ ่า

z7 = r7[cos(7θ) + i sin(7θ)]
= (2)7[cos(210°) + i sin(210°)]

= 128[− cos(30°) − i sin(30°)]

= 128 [− √3 − 1 i]
2 2

= −64√3 − 64
= −110.851252 − 64i

29

ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่า (2 + √2i)8

วิธีทำ จาก (2 + √2i)8 จะได้ว่า tan θ = √2 ซงึ่ θ∉{π , π , π} และมวี ิธีการดงั ตอ่ ไปนี้
2 346

วิธที ่ี 1 การหาคา่ โดยใชค้ วามสมั พันธเ์ วยี นเกดิ

จาก (2 + √2i)6 จะไดว้ ่า a = 2 และ m = √2i

นัน่ คอื จากC = 2a จะไดว้ ่า C = 2(2) = 4

จาก D = m2 − a2 จะไดว้ า่ D = (√2i)2 − 22 = −2 − 4 = −6

และจาก an = Can−1 + Dan−2เม่ือ a0 = 1และ a1 = a
จะได้ว่า an = 4an−1 + (−6)an−2เมอื่ a0 = 1และa1 = 2
น่ันคือ

ถา้ n = 2 แล้ว a2 = 4a1 + (−6)a0
ถา้ n = 3แลว้ = 4(2) + (−6)(1)
ถา้ n = 4 แลว้ =8−6
ถา้ n = 5 แลว้ .= 2
ถา้ n = 6 แล้ว
a3 = 4a2 + (−6)a1

= 4(2) + (−6)(2)
= 8 − 12
=−4

a4 = 4a3 + (−6)a2

= 4(−4) + (−6)(2)
= −16 − 12
= −28
a5 = 4a4 + (−6)a3
= 4(−28) + (−6)(−4)
= −112 + 24
= −88
a6 = 4a5 + (−6)a4
= 4(−88) + (−6)(−28)
= −352 + 168
= −184

30

ถ้า n = 7 แลว้ a7 = 4a6 + (−6)a5
ถา้ n = 8 แลว้ = 4(−184) + (−6)(−88)

= −736 + 528

= −208

a8 = 4a7 + (−6)a6
= 4(−208) + (−6)(−184)

= −832 + 1104

= 272

ตอ่ ไปจะเปน็ การหาค่า mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2 เม่ือ m0 = 0 และ m1 = m

จะไดว้ า่ mn = 4mn−1 + (−6)mn−2 เม่ือ m0 = 0 และ m1 = √2i

น่นั คือ

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 4m1 + (−6)m0
= 4(√2i) + (−6)(0)
= 4√2i .

ถา้ n = 3 แลว้ m3 = 4m2 + (−6)m1
= 4(4√2i) + (−6)(√2i)
= 16√2i + (−6√2i) = 10√2i

ถา้ n = 4 แลว้ m4 = 4m3 + (−6)m2
= 4(10√2i) + (−6)(4√2i)
= 40√2i + (−24√2i) = 16√2i

ถา้ n = 5 แลว้ m5 = 4m4 + (−6)m3
= 4(16√2i) + (−6)(10√2i)
= 64√2i + (−60√2i) = 4√2i

ถา้ n = 6 แลว้ m6 = 4m5 + (−6)m4
= 4(4√2i) + (−6)(16√2i)
= 16√2i + (−96√2i) = −80√2i

31

ถา้ n = 7 แลว้ m7 = 4m6 + (−6)m5
= 4(−80√2i) + (−6)(4√2i)
= −320√2i + (−24√2i) = −344√2i

ถา้ n = 8 แลว้ m8 = 4m7 + (−6)m6
ดังน้ัน สรปุ ได้ดงั นี้
= 4(−344√2i) + (−6)(−80√2i)

= −1376√2i + (480√2i) = −896√2i

n 01 2 3 45 6 7 8

an 1 2 2 −4 −28 −88 −184 −208 272

mn 0 √2i 4√2i 10√2i 16√2i 4√2i −80√2i −344√2i −896√2i

เพราะฉะนน้ั คา่ ของ (2 + √2i)8 = 272 − 896√2i = 272 − 1267.135352i

นอกจากน้ี จากตาราง เรายงั สามารถหาค่าของ

(2 + √2i)7 = −208 − 344√2i
(2 + √2i)6 = −184 − 80√2i
(2 + √2i)5 = −88 + 4√2i
(2 + √2i)4 = −28 + 16√2i
(2 + √2i)3 = −4 + 10√2i
(2 + √2i)2 = 2 + 4√2i
(2 + √2i)1 = 2 + √2i

วธิ ที ่ี 2 การหาคา่ โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์

ให้ z = 2 + √2i จะไดว้ า่ r = √22 + (√2)2 = √6

และ หาอาร์กิวเมนต์(θ) จาก tan θ = √2
2

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com จะไดว้ า่ θ = 35.26438968°

z8 = r8[cos(8θ) + i sin(8θ)]
= (√6)8[cos(282.115117°) + i sin(282.115117°)]

= 1,296[cos(77.884883°) − i sin(77.884883°)]
= 1,296[0.209877 −0.977728i]

= 272.000592 − 1,267.135490i

32

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาคา่ (1 + i)9

วิธที ำ จาก (1 + i)9 จะไดว้ ่า tan θ = 1 มวี ิธีการดังต่อไปน้ี

วิธีที่ 1 การหาคา่ โดยใช้ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ

จาก (1 + i)9 จะได้ว่า a = 1 และ m = √2i

น่นั คอื จาก C = 2a จะไดว้ า่ C = 2(1) = 2

จาก D = m2 − a2 จะไดว้ า่ D = (i)2 − 12 = −1 − 1 = −2

และจาก an = Can−1 + Dan−2เมื่อ a0 = 1และ a1 = a

จะได้วา่ an = 2an−1 + (−2)an−2เม่ือ a0 = 1และa1 = 1

ถ้า n = 2แลว้ a2 = 2a1 + (−2)a0

= 2(1) + (−2)(1)

=2−2

.= 0

ถ้า n = 3แลว้ a3 = 2a2 + (−2)a1

= 2(0) + (−2)(1)

=0−2

.= −2

ถา้ n = 4แล้ว a4 = 2a3 + (−2)a2

= 2(−2) + (−2)(0)

= −4 − 0

.=1−4

ถ้า n = 5แลว้ a5 = 2a4 + (−2)a3

= 2(−4) + (−2)(−2)

= −8 + 4

.= −4

ถ้า n = 6แล้ว a6 = 2a5 + (−2)a4

= 2(−4) + (−2)(−4)

= −8 + 8

.= 0

ถา้ n = 7แลว้ a7 = 2a6 + (−2)a5

= 2(0) + (−2)(−4)

=0+8

=8

33

ถ้า n = 8แลว้ a8 = 2a7 + (−2)a6

= 2(8) + (−2)(0)

= 16 + 0

.= 16

ถ้า n = 9แลว้ a9 = 2a9 + (−2)a9

= 2(16) + (−2)(8)

= 32 − 16

.= 16

ตอ่ ไปจะเป็นการหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2เมอ่ื m0 = 0และm1 = m

จะได้วา่ mn = 2mn−1 + (−2)mn−2 เม่อื m0 = 0และm1 = i

นน่ั คอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 2m1 + (−2)m0
ถา้ n = 3 แลว้
= 2(i) + (−2)(0)
= 2i .
m3 = 2m2 + (−2)m1

= 2(2i) + (−2)(i)
= 2i .

ถา้ n = 4 แลว้ m4 = 2m3 + (−2)m2

= 2(2i) + (−2)(2i)
=0

ถา้ n = 5 แลว้ m5 = 2m4 + (−2)m3

= 2(0) + (−2)(2i)
= −4i

ถา้ n = 6 แลว้ m6 = 2m5 + (−2)m4

= 2(−4i) + (−2)(0)
= −8i

ถา้ n = 7 แลว้ m7 = 2m6 + (−2)m6

= 2(−8i) + (−2)(−4i)
= −8i

34

ถา้ n = 8 แลว้ m8 = 2m7 + (−2)m6

= 2(−8i) + (−2)(−8i)
=0

ถา้ n = 9 แลว้ m9 = 2m8 + (−2)m7

= 2(0) + (−2)(−8i)
= 16i

ดังนน้ั สรุปได้ดังน้ี

n0123456789

0 1 0 −2 −4 −4 0 8 16 16
0 i 2i 2i 0 −4i −8i −8i 0 16i

เพราะฉะนัน้ คา่ ของ (1 + i)9 = 16 + 16i

นอกจากนี้ จากตาราง เรายังสามารถหาค่าของ

(1 + i)8 = 16
(1 + i)7 = 8 − 8i
(1 + i)6 = −8i

(1 + i)5 = −4 − 4i
(1 + i)4 = −4
(1 + i)3 = −2 + 2i
(1 + i)2 = 2i
(1 + i)1 = 1 + i

วิธีท่ี 2 การหาค่าโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์

ให้z = 1 + i จะได้ว่า r = √(1)2 + (1)1 = √2 และ หาอารก์ วิ เมนต์ (θ) จาก tan θ = 1

จากการเปิดตารางค่าของฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตจิ ะไดว้ ่า θ = 45°

z9 = r9[cos(9θ) + i sin(9θ)]
= (√2)9[cos(405°) + i sin(405°)]

= 16√2[cos(45°) + i sin(45°)]

= 16√2 [√22 + √2 i]
2

= 16 + 16i

35

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาคา่ (2 + i)10

วธิ ีทำ จาก (2 + i)10 จะไดว้ า่ tan θ = 1 มวี ธิ กี ารดังต่อไปน้ี
2

วธิ ีท่ี 1 การหาคา่ โดยใช้ความสัมพันธเ์ วียนเกดิ

จาก (2 + i)10 จะได้ว่า a = 2 และ m = i

นนั่ คือ จากC = 2a จะไดว้ า่ C = 2(2) = 4

จาก D = m2 − a2 จะได้ว่า D = (i)2 − 22 = −1 − 4 = −5

และจาก an = Can−1 + Dan−2 เมอ่ื a0 = 1 และ a1 = a
จะไดว้ ่า an = 4an−1 + (−5)an−2 เมอ่ื a0 = 1 และ a1 = 2
น่ันคอื

ถา้ n = 2 แลว้ a2 = 4a1 + (−5)a0
ถา้ n = 3 แลว้ = 4(2) + (−5)(1)
ถา้ n = 4 แล้ว
ถ้า n = 5 แลว้ =8−5
ถ้า n = 6 แลว้ .= 3

a3 = 4a2 + (−5)a1
= 4(3) + (−5)(2)

= 12 − 10
.= 2

a4 = 4a3 + (−5)a2
= 4(2) + (−5)(3)

= 8 − 15
.= −7

a5 = 4a4 + (−5)a3
= 4(−7) + (−5)(2)

= −28 − 10
.= −38

a6 = 4a5 + (−5)a4
= 4(−38) + (−5)(−7)

= −152 + 35
.= −117

36

ถา้ n = 7 แล้ว a7 = 4a6 + (−5)a5

= 4(−117) + (−5)(−38)

= −468 + 190

.= −278

ถา้ n = 8 แลว้ a8 = 4a7 + (−5)a6

= 4(−278) + (−5)(−117)

= −1112 + 585

.= −527

ถา้ n = 9 แลว้ a9 = 4a8 + (−5)a7

= 4(−527) + (−5)(−278)

= −2108 + 1390

.= −718

ถา้ n = 10 แล้วa10 = 4a9 + (−5)a8

= 4(−718) + (−5)(−527)

= −2872 + 2635

.= −237

ต่อไปจะเป็นการหาคา่ mn

จาก mn = Cmn−1 + Dmn−2เมอ่ื m0 = 0และm1 = m

จะได้ว่า mn = 2mn−1 + (−2)mn−2 เมื่อ m0 = 0และm1 = i

นั่นคอื

ถา้ n = 2 แลว้ m2 = 4m1 + (−5)m0
ถา้ n = 3 แลว้
= 4(i) + (−5)(0)

= 4i .

m3 = 4m2 + (−5)m1

= 4(4i) + (−5)(i)

= 11i .

ถา้ n = 4 แลว้ m4 = 4m3 + (−5)m2

= 4(11i) + (−5)(4i)
= 24i

ถา้ n = 5 แลว้ m5 = 4m4 + (−5)m3

= 4(24i) + (−5)(11i)
= 41i

ถา้ n = 6 แลว้ m6 = 4m5 + (−5)m4 37

= 4(41i) + (−5)(24i) 9 10
= 44i
−718 −237
ถา้ n = 7 แลว้ m7 = 4m6 + (−5)m6 −1199i −3,116i

= 4(44i) + (−5)(41i)
= −29i

ถา้ n = 8 แลว้ m8 = 4m7 + (−5)m6

= 4(−29i) + (−5)(44i)
= −336i

ถา้ n = 9 แลว้ m9 = 4m8 + (−5)m7

= 4(−336) + (−5)(−29i)
= −3116i

ดังนน้ั สรปุ ได้ดงั นี้

n1 2 3 4 5 6 7 8

an 2 3 2 −7 −38 −117 −278 −527
−336i
mn i 4i 11i 24i 41i 44i −29i

เพราะฉะนัน้ ค่าของ (2 + i)10 = −237 − 3,116i

นอกจากน้ี จากตาราง เรายงั สามารถหาค่าของ

(2 + i)9 = −718 − 1199i
(2 + i)8 = −527 − 336i
(2 + i)7 = −278 + −29i
(2 + i)6 = −117 + 44i

(2 + i)5 = −38 + 41i
(2 + i)4 = −7 + 24i
(2 + i)3 = 2 + 11i
(2 + i)2 = 3 + 4i
(2 + i)1 = 2 + i

38

วิธที ่ี 2 การหาคา่ โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์

ให้z = 2 + i จะได้วา่ r = √(2)2 + (1)1 = √5

และ หาอาร์กิวเมนต์(θ) จากtan θ = 1
2

หา θ จากเว็บไซต์ https://www.rapidtables.com จะไดว้ า่ θ = 26.56505118°

จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์ จะไดว้ า่

z10 = r10[cos(10θ) + i sin(10θ)]
= (√5)10[cos(265.6505118°) + i sin(265.6505118°)]
= 3,125[cos(85.6505118°) + i sin(85.6505118°)]
= 3,125[−0.07584 −0.99712i]
= −237 − 3,116i

39

ภาพกิจกรรมการดำเนินงาน

40

ทำ fan page face book : โครงงานคณติ ศาสตร์ จำนวนเชิงซอ้ นยกกำลัง n
https://www.facebook.com/โครงงานคณิตศาสตร์ จำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง-n-255120718557708/

41

การหาคา่ หาอารก์ วิ เมนต์ (θ) จากเวบ็ ไซต์ https://www.rapidtables.com

42

เพลงคณติ ศาสตร์ Hey Hey Hey
เนอื้ เพลง Complex Number for มนั ตอ้ งดลี องมาเรียนดู
everybody สเู้ พอ่ื ร้แู ละง่ายที่จะทำไป
ทำนองเพลง (คุกกีเ้ สีย่ งทาย) Don’t hard to know for everybody
มาเรียนดสู ิอาจจะชอบแนวคดิ ท่มี มี าใหม่
แอบสงสัยอยูน่ ะจะ๊ แตด่ ูมนั ยากจงั เลย
แอบสงสยั อยนู่ ิดนิดแตท่ ำไม่ได้ซะเลย Hey Hey Hey
เอาหละเตรยี มใจไว้หน่อยมันจะยากแคไ่ หนตอ้ งสู้ Hey Hey Hey
กัน
รู้ไม่รจู้ ะรไู้ มร่ ู้กล็ องเสยี่ งดูอีกสักนดิ
Yeah Yeah Yeah ปาฏหิ ารยิ ์และดวงชะตาอาจทำใหเ้ ราไม่คาดคิด
z กำลงั n นนั้ นะเราใช้เดอมัวฟร์แก้ไง ฉันมั่นใจว่าเราจะเปน็ ดัง่ ฝัน
มุม 30 45 แลว้ ก็ 60 นน้ั ไง ในวันแห่งความรู้...สกั วนั นงึ
แล้วถ้าเป็นมุมอื่นหละเราจะทำเช่นไรกันทนี ้ี

No No No
เหมอื นวา่ ฉันนัน้ เควง้ ควา้ งลอยไปกบั Number
ยงั คงนงั่ เออ๋ และคดิ ไปเองไกล
เราก็ใช้ตารางไง ตารางฟังก์ชนั ตรีโกณ
ถ้าไม่มตี ารางน้นั เราจะทำยงั ไง
เพราะยงั ไงก็ตอ้ งเสย่ี ง ร้ไู มร่ กู้ ็ต้องเสีย่ ง
Come on Come on Come on baby
มาดูทีโ่ ครงงานกนั
Complex Number for everybody
มาลองดูสิอาจจะเจอแนวคดิ ท่ดี กี ว่าเดมิ

43

เน้ือเพลง โครงงานดีเนาะ
ทำนองเพลง(ผ้สู าวขาเลาะ)

เฮานน้ั มันเป็นนกั เรียน บแ่ ม่นนกั เรยี นขาเลาะ
และมคี วามคดิ ดีเนาะทจ่ี ะมาโชวโ์ ครงงานวันนี้
จำนวนเชงิ ซอ้ นนน้ั กด็ ี กรรมการสิถามจ๋งั ไดก๋ บ็ ่ฮู้
แตท่ ี่รู้ วนั นพี้ วกเฮาน้ันจะมานำเสนอโครงงาน
เพียงอยากลองแนวคิดวธิ ใี หม่ๆ
หัวใจเฮานัน้ กเ็ ต้นแฮง
เพียงแต่โจทยเ์ ฮานั้นไดค้ ำตอบบ่เปลี่ยนแปลง
กอ็ ยากสมิ าแบง่ ความคิดแนววิธีใหม่
*z กำลงั n ตอ้ งใช้เดอมวั ฟรท์ ฤษฎขี องเขา
แตจ่ ะยากเปล่าหากเจ้าไม่ทราบคา่ มมุ
บไ่ ด้เขา้ มาเพอ่ื กดดัน แตเ่ ฮานนั้ ตอ้ งการบอก
ฟา้ วลองกันแหน่เถาะ ความสัมพันธ์เวียนเกิดให้ได้
ลองทำเบิง่

44

เนื้อเพลง Funny luv
ทำนองเพลง (Baby shark)
ความสัมพันธ์~~~~
เวยี นเกดิ นน้ั ~~~~
หาค่ามนั ~~~~
ได้เทา่ กับ~~~~ใกล้เคียงกับ
ทฤษฎ~ี ~~~
ของเดอมัวฟร์~~~~
เพ่อื ความชวั ร์~~~~
ไมต่ ้องกลัว~~~~ไมป่ วดหวั
มุมองศา~~~~
อาร์กิวเมนต์~~~~
ท่ีเราเห็น~~~~
ไมย่ ากนะ~~~~ทำได้ปะ
เลขมากมาย~~~~
มีหลากหลาย~~~~
ช่างงา่ ยดาย~~~~
ลองมาทำ~~~~ความคดิ ล้ำ

45

เนื้อเพลง โจทย์มเี สน่ห์
ทำนองเพลง (คนมเี สน่ห์)
Hey เธอทำไมข้อนมี้ ันยากจัง
โอ้มันน่าขำทำกค่ี รัง้ ไมไ่ ด้สกั ที
เพราะอยา่ งน้ันเธอควรมาดโู ครงงานน้ี
มที ฤษฎีและความสัมพนั ธช์ ว่ ยเธอได้
โจทยไ์ หนทเ่ี ธอขอ้ งใจเรอ่ื งไหนทเ่ี ธอทำผดิ
จำนวนเชิงซอ้ นเพียงนดิ ที่เธอปวดหัว
ความสัมพันธ์ชว่ ยเธอได้กล้าลองทำดูไหมน่ี
ถ้าเธอลองมาทำตามโครงงานนี้
จะคดิ ได้ดีจริงๆเชยี วเอย
พอดรู วมๆแล้วไม่ยากสกั นดิ
ไม่ต้องทำผดิ และคิดไปเอง
zยกกำลัง nโจทยม์ ากมาย
ถา้ เธออยากทำไดก้ ็ตอ้ งมาดูกัน
ดทู ่โี ครงงานของเรา