การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง_1 แผนการจัดการเรียนรู้ผลต่างกำลังสอง

แผนการจดั การเรียนรู้

รายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ค 22102 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

หน่วยการเรยี นรู้ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่อี ยู่ในรปู ผลตา่ งกาลงั สอง เวลา 1 ชว่ั โมง

...............................................................................................................................................................................
สาระท่ี 1 จานวนและพีชคณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมั พันธ์ ฟงั กช์ ัน ลาดบั และอนกุ รม

และนาไปใช้
ตวั ชว้ี ัด ค 1.2 ม.2/2 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

สาระสาคัญ
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีอย่ใู นรปู ผลตา่ งกาลงั สอง (difference of two squares)

คอื การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง แลว้ ไดต้ ัวประกอบเปน็ พหุนามดีกรหี นงึ่ ท่ีพจน์เหมือนกนั แตม่ ี
เคร่อื งหมายระหว่างพจน์ตา่ งกนั ในกรณที ่วั ไป ถา้ ให้ A แทนพจน์หนา้ และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตวั ประกอบของ
พหนุ ามดีกรสี องที่เป็นกาลังสองสมบรู ณ์ได้ตามสตู ร ดงั น้ี

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
นักเรียนสามารถ
1. อธิบายเกีย่ วกบั การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เป็นผลต่างกาลังสอง
2. แสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีอยู่ในรูปผลตา่ งกาลงั สอง

กระบวนการจัดการเรยี นรู้
1. ครูนานกั เรียนสนทนาเพื่อทบทวนเกี่ยวกบั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง
ทเี่ ป็นกาลังสองสมบูรณ์ จากนนั้ รว่ มกนั ตอบคาถามกระตุ้นความคิด ดงั นี้
“นักเรยี นคิดว่านอกจากการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องทเี่ ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ ทไ่ี ด้เรยี นรู้
มาแลว้ ยังมกี ารแยกตวั ประกอบของพหุนามลักษณะอน่ื ๆ อกี หรือไม่”

2. แบง่ นกั เรยี นเป็นกลุม่ ๆ ละ 3 – 5 คน ทาใบกจิ กรรมท่ี 1 และรว่ มกันอภปิ รายเพ่ือสรา้ งข้อความ
คาดการณ์ “สารวจผลตา่ งกาลังสอง” โดยใช้เครือ่ งคานวณวิทยาศาสตร์ CASIO
รุน่ fx – 991EX ClassWiz ในการสารวจ โดยท่คี รูแนะนาวธิ กี ารใชเ้ คร่อื งคานวณวทิ ยาศาสตร์กอ่ นทีจ่ ะ
ใหน้ ักเรยี นทาใบกจิ กรรมที่ 1 ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้ (ขนั้ การสารวจและขั้นการหาความสัมพันธ์)

ตวั อยา่ งที่ 1
1) ถา้ ต้องการหาผลลัพธ์ของ 9992 – 992
ทาไดด้ งั น้ี
กด 999dp99d=
จะได้ 9992 – 992 = 988,200
2) ถ้าต้องการหาผลลัพธ์ของ (999+99)(999–99)
ทาได้ดังน้ี

กด (999+99)(999p99)=
จะได้ (999+99)(999–99) = 988,200

ตวั อยา่ งที่ 2
1) ถา้ ตอ้ งการหาผลลพั ธข์ อง 1092 – 912
ทาได้ดังนี้

กด C109dp91d=
จะได้ 1092 – 912 = 3,600

2) ถ้าตอ้ งการหาผลลพั ธ์ของ (109+91)( 109–91)
ทาได้ดังนี้

กด (109+91)(109p91)=
จะได้ (109+91)( 109–91) = 3,600

3. ครใู ห้นกั เรียนแต่ละกล่มุ เสนอความสัมพันธ์หรอื ขอ้ ความคาดการณจ์ ากการทาใบกจิ กรรมท่ี 1 และ
ร่วมกนั สรปุ ข้อความคาดการณ์ เกีย่ วกบั ผลต่างกาลังสองท่ีได้จากการทาใบกจิ กรรมท่ี 1 (ขน้ั การสรปุ
ความสัมพันธ์)
ซ่งึ นักเรียนควรสรปุ ได้ว่า

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

เมอ่ื A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลงั หรอื อาจกล่าวความสัมพันธ์ได้ว่า
(พจนห์ น้า) 2 – (พจนห์ ลัง) 2 = (พจน์หนา้ + พจนห์ ลงั ) (พจน์หนา้ – พจน์หลัง)

4. ครใู ห้นักเรียนร่วมกันพิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตามหลกั การทางคณิตศาสตร์
ดังต่อไปนี้

1) x2 – 49 = x2 – 72
= (x + 7) (x – 7)

2) 4x2 – 25 = (2x2) – 52
= (2x + 5) (2x – 5)

จากตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองขา้ งต้น ครใู หน้ ักเรียนสงั เกตตวั ประกอบ

ของพหุนามที่ได้วา่ มลี ักษณะอย่างไร และชีแ้ นะให้นกั เรียนเหน็ ว่าการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรี

สองในแตล่ ะข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีเป็นหน่ึงท่ีมพี จน์เหมือนกัน แตม่ เี ครือ่ งหมายระหว่าง

พจนต์ ่างกัน เรยี กพหนุ ามดกี รีสองที่มลี ักษณะเช่นนว้ี ่า พหุนามดกี รสี องทเี่ ปน็ ผลต่างกาลังสอง

(difference of two squares)

ครชู แ้ี นะใหน้ กั เรียนพิจารณาพหนุ ามดีกรสี องท่เี ปน็ ผลต่างกาลงั สอง ดังตวั อยา่ งขา้ งต้น

มีลักษณะพเิ ศษท่ีสงั เกตได้ ดังน้ี

1) x2 – 49 = x2 – 72

= (x + 7) (x – 7)

ถ้าให้ x เปน็ พจนห์ น้าและ 7 เป็นพจน์หลงั จะเขยี นความสมั พันธ์ได้ดงั น้ี

(พจนห์ น้า) 2 – (พจนห์ ลงั ) 2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลัง) (พจนห์ น้า – พจนห์ ลงั )

2) 4x2 – 25 = (2x2) – 52
= (2x + 5) (2x – 5)

ถา้ ให้ 2x เป็นพจนห์ น้าและ 5 เปน็ พจน์หลงั จะเขียนความสัมพนั ธ์ไดด้ งั น้ี
(พจนห์ นา้ ) 2 – (พจนห์ ลงั ) 2 = (พจนห์ น้า + พจนห์ ลัง) (พจน์หน้า – พจนห์ ลงั )

5. จากตัวอย่างขา้ งต้น ครใู หน้ ักเรยี นรว่ มกนั สรุปความสมั พันธ์หรอื สตู รในการแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ดกี รสี องที่เป็นผลตา่ งกาลงั สอง ซ่งึ นักเรยี นควรจะสรปุ ได้วา่

ในกรณที ว่ั ไป ถา้ ให้ A แทนพจนห์ น้า และ B แทนพจน์หลงั จะแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องที่
เป็นผลตา่ งกาลงั สองได้ตามสูตร ดงั น้ี

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

6. ครูยกตัวอยา่ งเพ่ิมเตมิ โดยใช้สตู ร A2 – B2 = (A + B) (A – B) นี้ เพ่ือแยกตัวประกอบ ในกรณีที่ A
และ B เปน็ พหุนาม ได้ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี
ตัวอยา่ งที่ 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – (x – 9)2
แนวคดิ x2 – (x – 9)2 = [x + (x – 9)][x – (x – 9)]
= (x + x – 9) (x – x + 9)
= (2x – 9) (9)
= (2x – 9) (9)
ดังนน้ั x2 – (x – 9)2 = 9(2x – 9)

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ (3x – 1)2 – (x + 6)2
แนวคิด (3x – 1)2 – (x + 6)2 = [(3x – 1) + (x + 6)] [(3x – 1) – (x + 6)]

= (3x – 1 + x + 6) (3x – 1 – x – 6)
ดังนัน้ (3x – 1)2 – (x + 6)2 = (4x + 5) (2x – 7)

7. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกทักษะท่ี 1 เป็นรายบุคคล เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ เรื่อง การแยกตัวประกอบ
ของพหนุ ามดีกรสี องท่ีอยู่ในรูปกาลงั สองสมบรู ณ์ จากน้นั ใหน้ ักเรยี นใชเ้ คร่อื งคานวณวทิ ยาศาสตร์
ตรวจสอบความถูกต้อง (ข้นั การฝกึ ทักษะ)

8. ครูและนักเรยี นรว่ มกันสรปุ สูตรและความสัมพนั ธใ์ นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทเ่ี ป็น
ผลตา่ งกาลงั สอง อกี ครัง้

กระบวนการจัดการเรียนรู้เพ่มิ เติม (CASIO Classroom Sharing)
–

สือ่ การเรียนรู้
1. เคร่อื งคานวณวิทยาศาสตร์ CASIO รุ่น fx – 991EX ClassWiz
2. ใบกจิ กรรมท่ี 1
3. แบบฝึกทักษะท่ี 1

การวัดผล / ประเมนิ ผล
1. ประเมนิ จากการทาใบกิจกรรมท่ี 1
2. ประเมนิ จากการทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 1
3. ประเมนิ จากการตอบคาถามของนักเรียน

ใบกิจกรรมท่ี 1

สารวจผลต่างกาลังสอง

ตอนท่ี 1
1. ใหน้ ักเรยี นหาผลลัพธ์ของจานวนตอ่ ไปน้ี โดยใชเ้ ครื่องคานวณวิทยาศาสตร์ CASIO รนุ่ fx – 991EX ClassWiz ใน

การสารวจ

ข้อ จานวนในรูป A2 – B2 รปู (A + B)(A – B) ขอ้ สังเกตทพ่ี บ

ตัว 9992 – 992 = 988,200 (999+99)(999–99) = 988,200
อยา่ ง

ตวั 1092 – 912 = 36,000 (109+91)( 109–91) = 3,600
อยา่ ง

1 992 – 92 = ………………… (99+9)(99–9) = …………………….

2 1012 – 992 = ..................….. (101+1)(101–1) = ........................

3 512 – 492 = …..............….. (51+49)(51–49) = ........................

4 812 – 192 = …...........……... (81+19)(81–19) = ........................

5 1022 – 982 = …............…….. (102+98)(102–98) = ........................

6 1,0012 – 12 = …............…….. (1,0012 +1)( 1,0012 –1) = ........................

7 1,0012 – 9992 = …...............….. (1,001+999)( 1,001–999) = .........................

8 3,0122 – 3,0082 = …................….. (3,012+3,008) (3,012–3,008) = ………......…..

9 2,0042 – 1,9962 = …..............….. (2,004+1,996)( 2,004–1,996) = ..................

10 9,9992 – 9,9982 = …..............….. (9,999+9,998)( 9,999–9,998) = ..................

** กาหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจนห์ ลงั

จากตาราง ใหน้ ักเรยี นสรา้ งข้อความคาดการณ์เก่ียวกับจานวนท่อี ยูใ่ นรูปผลต่างกาลังสอง

............................................................................................................................. ............................................................

............................................................................................................................. ............................................................

.........................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ...........................................................

สรุปสูตรหรือความสัมพนั ธ์ในการเขยี นจานวนท่ีอยู่ในรปู ผลต่างกาลังสอง ได้ดังนี้

............................................................................................................................. ............................................................

.........................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ............................................................

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองท่เี ป็นผลตา่ งกาลังสอง

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเติมคาตอบลงในตารางใหส้ มบรู ณ์
1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามทีอ่ ยู่ในรูปผลตา่ งกาลังสองต่อไปน้ี

ข้อ พหุนาม

ตัวอย่าง x2 – 25 = x2 + 52
1 x2 – 36 = (x + 5) (x – 5)
2 x2 – 100 = .......................................................
3 2x2 – 49 = .......................................................
4 25x2 – 16y2 = .......................................................
5 4y2 – 4y + 1 = .......................................................
6 144m2 – 64 = .......................................................
7 4a2 – 16 = .......................................................
8 (2x+y)2 – 9 = .......................................................
x2 – (x–2)2 = .......................................................
9 = .......................................................
169x2 – 25(x+2)2 = .......................................................
10 = .......................................................
= .......................................................
= .......................................................
= .......................................................
= .......................................................
= .......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................
= ......................................................

2. จงหาผลลพั ธข์ องจานวนต่อไปน้ี โดยใชค้ วามร้เู ก่ยี วกบั พหุนามดกี รสี องตัวแปรเดยี วที่เป็นผลตา่ งกาลงั สอง

ขอ้ พหุนาม

892 – 192 = (89 + 19) (89 – 19)

ตวั อยา่ ง = (108) (70)
1
2 = 7,560
3
4 4,0012 – 3,9992 = .......................................................
5
= .......................................................

= .......................................................

1,0022 – 9982 = .......................................................

= .......................................................

= .......................................................

8812 – 1192 = .......................................................

= .......................................................

= .......................................................

99982 – 9982 = .......................................................

= .......................................................

= .......................................................

999,9992 –99,9992 = .......................................................

= .......................................................

= .......................................................