บทที่2 ลิมิตและความต่อเนื่อง 20_6_2563.doc

บทที่

ลมิ ิตและความตอ่ เนื่อง 2

2.1 แนวความคดิ เกีย่ วกบั ลมิ ิต
การศกึ ษาเรื่องลิมติ ของฟังกช์ ันเปน็ สง่ิ จาเปน็ มากสาหรับวชิ าแคลคลู สั เพราะลิมิตของฟงั ก์ชนั

เป็นแนวความคดิ ไปส่กู ารศกึ ษาเร่ืองอืน่ ๆ เชน่ อนพุ นั ธ์ และปริพันธ์ เปน็ ต้น
ก่อนท่ีจะกล่าวถึงเร่ืองลิมิตของฟังกช์ ัน จะเริ่มต้นด้วยการพิจารณาค่าของฟังก์ชันเพื่อเป็น

แนวทางไปสเู่ รื่องลมิ ติ

พิจารณาฟงั ก์ชนั f (x) x2  4

x2

จากฟงั ก์ชนั ท่ีกาหนดจะพบว่า f(x) จะมคี า่ เท่าใดนั้นตอ้ งขึ้นอยกู่ บั ค่าของ x กลา่ วคือ
ถา้ ค่า x เปลี่ยนแปลงไปแล้ว ค่าของ f(x) ก็จะเปลี่ยนตามไปดว้ ย จาก f(x) ทกี่ าหนดใหข้ ้างต้น
จะพบว่า

ในกรณีท่ี x = 2 จะเห็นได้ชดั เจนว่า เราไม่สามารถหาค่า f(x) ได้ ทัง้ นเ้ี พราะวา่ 2 ไมอ่ ยู่ในโดเมน

ของ f และ f (2) 0 ซ่งึ ไม่มีความหมาย

0

แตส่ ง่ิ ที่เราทาได้ ก็คือพยายามหาค่าท่ีใกล้เคียงท่ีสดุ กล่าวคือ เราจะหาคา่ ของ f(x) เม่ือ x มีค่า
เข้าใกล้ 2 มากทีส่ ดุ x  2

ก่อนอืน่ ขอใหพ้ ิจารณาคาวา่ “x มีค่าเข้าใกล้ 2” เสียก่อน โดยดจู ากเสน้ จานวน ดังนี้

X เขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย X เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา

-1 0 1 2 3 4 5

จะพบว่า คาว่า “x มีคา่ ใกล้ๆ 2” น้ัน เกิดขนึ้ ได้ 2 กรณี ซึง่ ต้องพจิ ารณาทง้ั 2 กรณี

กรณที ี่ 1 x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย (x มีคา่ นอ้ ยกว่า 2)
กรณีที่ 2 x เข้าใกล้ 2 ทางขวา (x มคี ่ามากกวา่ 2)

ลมิ ติ และความตอ่ เนอื่ ง 2

ดงั นนั้ ในการหาค่า f(x) ขณะท่ี x เข้าใกล้ 2 ต้องพิจารณาทง้ั สองทางดงั นี้

x 2 x 2

x f (x) x f (x)

1.0000 3.0000 3.0000 5.0000
1.5000 3.5000 2.5000 4.5000
1.6500 3.6500 2.3500 4.3500
2.1000 4.1000
1.9000 3.9000 2.0100 4.0100
1.9900 3.9900 2.0010 4.0010
1.9990 3.9990 2.0001 4.0001
1.9999 3.9999

สังเกตคา่ ของฟงั กช์ นั ณ จดุ x ใกล้ 2 จากตาราง พบวา่
เมอื่ x เข้าใกล้ 2 จากทางซ้าย ( x  2) เขียนแทนดว้ ย x  2 ค่าของฟงั กช์ ัน f (x)
จะเขา้ ใกล้ 4 กรณนี ้ี เราจะกล่าวว่า 4 เปน็ ลิมิตของ f (x) เมอื่ x เขา้ ใกล้ 2 จากทางซ้าย
และเขยี นแทนดว้ ย lim f (x)  4

x2

เมอ่ื x เขา้ ใกล้ 2 จากทางขวา ( x  2) เขียนแทนดว้ ย x  2 คา่ ของฟังกช์ นั f (x)
จะเข้าใกล้ 4 กรณีนี้ เราจะกล่าววา่ 4 เป็นลิมิตของ f (x) เม่ือ x เข้าใกล้ 2 จากทางขวา
และเขยี นแทนดว้ ย lim f (x)  4

x2

เพอื่ ใหเ้ หน็ ภาพของฟงั ก์ชนั ชดั เจนขึ้น ขอใหส้ งั เกตกราฟตอ่ ไปนี้ประกอบการทาความเข้าใจ

Y

f (x) x2  4
x2

f(x) เพม่ิ ข้นึ 4 f(x) ลดลง
เข้าใกล้ 4 เข้าใกล้ 4

x เพม่ิ ขน้ึ X
เข้าใกล้ 2 2

x ลดลง
เขา้ ใกล้ 2

จากตวั อย่างแสดงให้เหน็ วา่ ไมว่ า่ x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ยหรอื ทางขวา ผลกค็ อื f(x) มคี า่ เข้าใกล้ 4
เหมอื นกนั ในลักษณะเช่นน้ี สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื ง 3

lim f (x)  4 หรอื x2 4 4
lim
x2 x2 x  2

จากกรณที กี่ ล่าวมาแล้วสามารถเขยี นเปน็ บทนิยามไดด้ งั น้ี

บทนยิ าม 2.1 กาหนดฟังก์ชัน y = f(x) และ c, L เป็นค่าคงตัว ถา้ ค่าของฟงั ก์ชัน f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ L
ในขณะที่ x เข้าใกล้ c เขยี นแทนดว้ ย

lim f (x)  L

xc

และอา่ นว่า ลิมติ ของ f(x) เมือ่ x เข้าใกล้ c เทา่ กบั L

ข้อสงั เกต

1. จากนยิ ามแนวคดิ เก่ยี วกบั ลมิ ิตอาจจะแสดงออกมาโดยกราฟได้ ดังรปู 2.1 เสน้ โค้งแทนกราฟ
ของฟงั กช์ ัน f(x) จานวนคงท่ี c ปรากฏบนแกน x ลมิ ติ L ปรากฏบนแกน y ขณะท่ี x เขา้ ใกล้ c ตาม

แกน x จะพบว่า f(x) เข้าใกล้ L ตามแกน y

2. ในการคานวณค่าลิมิต เม่ือ x เข้าใกล้ c ไม่จาเป็นที่ x จะต้องนิยามท่ี c (หาค่าได้ท่ี c)

เนอ่ื งจากเราคานึงแต่เพยี งวา่ คา่ ของฟังก์ชัน f(x) มีคา่ อย่างไร เมื่อ x ใกลๆ้ c เท่านั้น ดงั แสดงในรปู 2.2

กราฟของ f(x) ขาดตอนที่ c ถงึ อย่างไรกย็ งั สรปุ ได้วา่

lim f (x)  L ดังรปู 2.3

xc

y y fy f
f f(c) f(x)
f(x)
L LL
f(x) f(x)

x cx x c x xc x x

รปู 2.1 รปู 2.2 รูป 2.3

ลิมติ และความตอ่ เนอ่ื ง 4

ตัวอย่าง 2.1 จงพิจารณาลักษณะของลิมติ ของฟังก์ชัน เม่ือ x 1 และ f (x)  x3 1

x 1

วิธที า คา่ ของฟงั กช์ นั f หาค่าไม่ได้ เมื่อ x = 1 เพราะวา่ ทจี่ ดุ นี้คา่ ของ f(x) อย่ใู นรูป 0 แตฟ่ งั กช์ ัน f

0

หาค่าได้ทุกๆ จานวน x ≠ 1 ถ้าเราพิจารณา x เขา้ ใกล้ 1 จะไดว้ ่า

x3 1 = (x 1)(x2  x 1) = x2  x 1 , (x  1)

x 1 x 1

และ x3 1 = x2  x 1 จะเขา้ ใกล้ 12 11  3

x 1

ดังแสดงค่า f(x) ในตาราง 2.1 ดังนัน้ lim x3 1  3 ดูรปู 2.4

x1 x 1

x เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย x เขา้ ใกล้ 1 ทางขวา y = x3 1
x 1
f(x)

x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 (1, 3)

F(x) 2.313 2.71 2.97 2.997 ? 3.003 3.03 3.31 3.813 x

f(x) เขา้ ใกล้ 3 f(x) เข้าใกล้ 3

ตาราง 2.1 รูป 2.4


ตวั อยา่ ง 2.2 พิจารณาฟงั ก์ชัน f กาหนดโดย f (x)  x 2 , x0
 , x0
x 1

ดังแสดงในรปู 2.5 มลี มิ ิตที่ x = 0 หรอื ไม่

y

y = x2 y = x + 1

0x

วิธีทา จากรูป 2.5 พบว่า x  0 f มีกราฟเป็นพาราโบลาหงาย และเมอ่ื x  0 มกี ราฟเป็นเส้นตรงมี
ความชนั เทา่ กบั 1 และผา่ นจุด (1, 2)

ลิมติ และความตอ่ เน่ือง 5

ดังนั้น เมื่อ x เขา้ ใกล้ 0 ทางขวา คา่ ของฟังก์ชนั f เข้าใกล้ 1 เม่ือ x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย ค่าของ
ฟงั ก์ชัน f เข้าใกล้ 0 พบว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ค่าของฟังก์ชัน f เข้าใกล้จานวนจริงมากกว่าหนึ่งค่าใน
ลักษณะเชน่ น้ี เรากล่าวว่า lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้ ดังนิยามตอ่ ไปน้ี

x0

บทนิยาม 2.2 กาหนดฟงั กช์ ัน y = f(x) และ c, L เปน็ คา่ คงตัว ถ้าคา่ ของฟังกช์ ัน f(x) มีค่าเข้าใกล้ L
ในขณะท่ี x เข้าใกล้ c ทางขวา เขยี นแทนด้วย

lim f (x)  L

xc

และอา่ นว่า ลมิ ติ ของ f(x) เม่อื x เขา้ ใกล้ c ทางขวา เท่ากบั L

บทนิยาม 2.3 กาหนดฟงั กช์ นั y = f(x) และ c, L เป็นค่าคงตัว ถ้าค่าของฟงั กช์ นั f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ L
ในขณะท่ี x เข้าใกล้ c ทางซ้าย เขยี นแทนด้วย

lim f (x)  L

xc

และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เม่อื x เข้าใกล้ c ทางซา้ ย เทา่ กบั L

จากตวั อย่าง 2.2 จะไดว้ ่า lim f (x)  1 และ lim f (x)  0
x0 x0

ซึง่ ลิมิตท้ังสองข้างของฟังก์ชันไม่เท่ากนั ดงั น้ันจึงกล่าวไดว้ ่า ลิมติ ของฟังก์ชัน f หาค่าไมไ่ ด้ ดังนิยาม

ต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.1 ฟังก์ชนั f(x) มลี มิ ติ เทา่ กบั L เมอื่ x เข้าใกล้ c กต็ ่อเม่ือ ลิมติ ทางขวาและลมิ ติ

ทางซ้าย หาค่าไดแ้ ละมคี า่ เท่ากนั เมือ่ x เข้าใกล้ c เขียนแทนด้วย

lim f (x)  L  lim f (x)  L และ lim f (x)  L
xc xc xc

ลมิ ิตและความตอ่ เนอ่ื ง 6

ตวั อย่าง 2.3 สาหรบั ฟังก์ชนั f ซ่งึ มกี ราฟดงั รปู 2.6 x

y

12
10
8
6

f4

2

-2 2 4 6

รูป 2.6

จงพิจารณา 1. lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) และ f (2)
x ( 2 ) x ( 2 ) x ( 2 ) และ f (4)
2. lim f (x) ,
x4 lim f (x) , lim f (x)
x4 x4

วิธีทา 1 จากกราฟของ f พบวา่ และ lim f (x)  7
x ( 2 )
lim f (x)  7

x ( 2 )

ดังนนั้ จากทฤษฎี 2.1 จึงสรปุ ได้ว่า lim f (x)  7 และ f (2)  4
x ( 2 )

วธิ ที า 2 จากกราฟของ f พบว่า

lim f (x)  12 และ lim f (x)  2
x4 x4

เนอื่ งจากลมิ ิตทางซ้ายและลิมติ ทางขวามีคา่ ต่างกนั จากทฤษฎี 2.1 จึงสรปุ ไดว้ า่ lim f (x)
x4

หาคา่ ไมไ่ ด้ และ f (4)  4 

ตวั อย่าง 2.4 จากกราฟของฟังก์ชนั

x2 , 0  x  2
f (x)  3 , 2  x  4

2x , 4  x  6

จงหาค่า 1. lim f (x) 2. lim f (x) 3. lim f (x) 4. lim f (x)
x0 x6 x2 x2
5. lim f (x)
x2 6. lim f (x) 7. lim f (x) 8. lim f (x)
x4 x4 x4

ลมิ ิตและความต่อเน่อื ง 7

วิธีทา

y
(1, 12)

(4, 8)

(2, 4)
(2, 3) (4, 3)

x

รปู 2.7

จากกราฟรูป 2.7 จะไดว้ ่า

1. lim f (x)  0 2. lim f (x)  12 3. lim f (x)  3 4. lim f (x)  4
x0 x6 x2 x2
7. lim f (x)  8
5. lim f (x) หาคา่ ไม่ได้ 6. lim f (x)  3 x4 8.lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้
x2 x4 x4

ตวั อยา่ ง 2.5 กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั f(x) ดังแสดงในรปู 2.7 

y

2
3 7x

รปู 2.7
จงหา 1. lim f (x) 2. lim f (x)
x3 x7

วิธที า 1. เม่ือ x เขา้ ใกล้ 3 ทง้ั สองขา้ ง จะพบว่า f(x) มีคา่ เป็นจานวนบวกทมี่ ากข้ึนเรอ่ื ยๆ ไม่เขา้ ใกล้

ค่าคงที่คา่ ใดคา่ หนึง่
ดงั นน้ั จึงสรุปไดว้ า่ lim f (x) หาค่าไม่ได้
x3

2. เม่อื x เขา้ ใกล้ 7 ทางซ้าย f(x) จะมคี า่ เป็นจานวนลบทีน่ ้อยลงเร่ือยๆ ไมเ่ ข้าใกลค้ า่ คงท่คี า่ ใด

คา่ หนึ่ง จึงสรุปไดว้ ่า lim f (x) หาค่าไม่ได้ และเมอื่ x เข้าใกล้ 7 ทางขวา f(x) เขา้ ใกล้ 2
x7

นัน่ คอื lim f (x)  2
x 7 

จากทฤษฎี 2.1 จงึ สรุปได้วา่ lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้ 
x7

ลมิ ิตและความตอ่ เนอื่ ง 8

ตัวอยา่ ง 2.6 กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั f(x) ดงั แสดงในรูป 2.8 จงหาลมิ ิตของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้

1. lim f (x) 2. lim f (x)
x0 x2

y

(0,4)

(2,1) x
02

วิธีทา 1. จากกราฟจะไดว้ า่ รูป 2.8

lim f (x) 4 และ lim f (x) 4 ดังน้นั จงึ สรุปได้วา่ lim f (x)  4
x 0  x 0  x0

2. จากกราฟจะไดว้ ่า

lim f (x) 1 และ lim f (x) 1 ดงั น้นั จงึ สรปุ ได้ว่า lim f (x)  1
x2 x2 x2



ลมิ ิตและความตอ่ เนื่อง 9

แบบฝกึ หดั 2.1

1. จากกราฟของฟังกช์ ัน f(x) ทกี่ าหนดให้ จงหา

y

2 (2,3) x 1. lim f (x) 2. lim f (x)
(2,1) x2 x2

02 3. lim f (x) 4. f (2)
x2
(2,-2)

2. จากกราฟของฟังกช์ นั f(x) ทก่ี าหนดให้ จงหา

y 1. lim f (x) 2. lim f (x)
x 3 x 3
4 (1,4) (3,3) f
2 x 3. lim f (x) 4. f (3)
x3
(3,1) 6. lim f (x)
0 24 5. lim f (x) x 1
x 1
8. f (1)
7. lim f (x)
x 1

3. จากกราฟของฟังกช์ นั f(x) ที่กาหนดให้ จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้ 1. lim f (x) และ f (1)
x1
y
f 2. lim f (x) และ f (2)
x2
(-1,2) (2,1) x
-1 2

ลิมิตและความต่อเนอ่ื ง 10

4. จากกราฟของฟงั กช์ ัน f(x) ทก่ี าหนดให้ จงหาลิมติ ของฟงั กช์ ันต่อไปน้ี

y (4,5) 1. lim f (x)
6 x1
(-1,5) f x
4 (2,2) 2. lim f (x)
x2
2 24 6
3. lim f (x)
-2 0 x4

5. จากกราฟของฟงั ก์ชนั f(x) ที่กาหนดให้ จงหาลิมติ ของฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้

y

3 (3,2) 1. lim f (x)
2 x1

1 2. lim f (x)
x3

-3 -2 -1 0 1 23 x 3. lim f (x)
(-2,-2) -1 (3,-2) x2
-2
-3

6. จากกราฟของฟงั ก์ชัน f(x) ทก่ี าหนดให้ จงหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชันต่อไปน้ี

y

6 1. lim f (x)
x0

4

2. lim f (x)

2 x2

-2 0 24 6x 3. lim f (x)
x4

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื ง 11

2.2 บทนิยามของลิมิต
ในหัวข้อ 2.1 ไดก้ ล่าวถงึ ความหมายของลมิ ิตโดยท่ัวๆ ไปในเชงิ กราฟ ซ่งึ เปน็ ความหมายเบอื้ งต้น

พรอ้ มท้ังการหาคา่ ของลมิ ติ จากกราฟ สาหรับหวั ข้อนี้จะได้กล่าวถงึ บทนิยามของลิมติ ในเชงิ คณิตศาสตร์

บทนิยาม 2.4 กาหนดให้ y = f(x) เปน็ ฟังกช์ ันท่ีนิยามบนชว่ งเปิด (ที่รวม x = c อยู่ดว้ ย) โดยที่
ณ ที่ x = c , f อาจจะไม่นยิ ามกไ็ ด้ แลว้ lim f (x)  L ก็ตอ่ เมือ่   0 จะมี   0 ทที่ าให้

xc

ถา้ 0 x  c   แล้ว f (x) L  

จากบทนแิยลาะม 2.4 จะได้ว่า x  c  0 แสดงว่า x  a และ x c  จะได้ว่า

a    x  a   หรอื x (a  ,a  ) และจาก f (x) L   จะได้ว่า
L    f (x)  L   หรือ f (x) (L  , L  )

จากบทนยิ าม 2.4 สามารถเขยี นกราฟแสดง lim f (x)  L ได้ดงั รูปท่ี 2.9

Y xc

L+ y=f(x)
L
L-

0 c- c c+ x

รปู 2.8

ตัวอย่าง 2.7 จงแสดงว่า lim (4x  5)  7
x3

หลักในการพิสจู น์ จะต้องแสดงวา่ ทกุ   0 จะมี   0 ซ่งึ ทุก x ,

0  x  3    (4x  5)  7  

การหา  (Finding  ) กาหนด   0 ใดๆ จะต้องหา  ซง่ึ

(4x  5)  7   เมอื่ 0 x 3  

แต่ (4x  5)  7  4x 12  4 x  3 ดงั นั้น เราตอ้ งการ

4x3   เม่อื 0 x 3  

นน่ั คอื x 3   เม่อื 0 x 3  

4

จากการแสดงขา้ งต้น เราควรเลอื ก   

4

ลิมิตและความตอ่ เน่อื ง 12

วธิ กี ารแสดงวา่  เปน็ จริง กาหนด   0 ใดๆ เลือก    

4

ถ้า 0 x 3   แล้ว (4x  5)  7  4x 12  4 x  3  4  4    

4

ดงั นนั้ ถ้า 0 x 3   แลว้ (4x  5)  7  

น่ันคอื จากบทนิยามของลิมติ จะได้ lim(4x  5)  7
x3

ตัวอย่าง 2.8 จงแสดงว่า lim 2x2  3x  2  5

x2 x  2

หลักในการพสิ ูจน์ จะตอ้ งแสดงวา่ ทกุ   0 จะมี   0 ซึ่งทกุ x

0 x  2    2x2  3x  2  5  
x2

การหา  (Finding  ) กาหนด   0 ใดๆ จะตอ้ งหา  โดยที่

2x2  3x  2  5   เมื่อ 0 x2  

x2

พิจารณา เม่อื x  2

2x2  3x  2  5    (2x  1)(x  2)  5  
x2 x2

 (2x  1)  5  

 2(x  2)  

 2 x2 

 x2  
2

จากการแสดงข้างต้น เราควรเลอื ก  

2

วิธกี ารแสดงว่า  เปน็ จริง กาหนด   0 ใดๆ เลอื ก   

2

ถ้า 0 x 2   จะได้

2x2  3x  2  5  (2x  1)(x  2)  5
x2 x2

 (2x  1)  5

 2(x  2)  2 x  2  2  

นน่ั คอื จากบทนยิ ามของลิมติ สรปุ ไดว้ า่ lim 2x2  3x  2  5

x2 x  2

ลิมติ และความตอ่ เนื่อง 13

ตัวอย่าง 2.9 จงแสดงว่า lim x3  27
x3

หลักในการพิสจู น์ จะต้องแสดงวา่ ทุก   0 จะมี   0 ซึ่งทุก x

0 x 3    x3  27  

การหา  (Finding  ) กาหนด   0 ใดๆ จะต้องหา  ซึ่งทาให้
ถ้า 0  x  3   แลว้ x3  27  

สรา้ งความเชือ่ มโยงระหวา่ ง x 3 และ x3  27 ดังนนั้

x3  27  (x  3)(x2  3x  9)

นนั่ คือ | x3  27 |  | x  3|| x2  3x  9 | (1)

หาขนาดของ | x2  3x  9 | เมอ่ื x ใกลๆ้ 3 เพื่อความสะดวกให้ x ห่างจาก 3 น้อยกวา่ 1 หน่วย

(อาจจะเลอื ก x ให้หา่ งจาก 3 ไม่เท่ากบั 1 หนว่ ย ก็ไดเ้ ชน่ อาจจะให้ห่าง 1 , 3, 4 ฯลฯ กไ็ ด้แต่ต้อง

25

ใช้ 3 เปน็ ศนู ย์กลาง)
นัน่ คือ

x 3  1  1  x  31

 2  x 4

 x 4

และ

| x 2  3x  9 |  x 2  3x  9

 x 2 3x 9

 42  3(4)  9  37
x3  27  37 x  3
จากสมการ (1) เราจะได้ว่า (2)
ถ้า x 3 1 แล้ว

และถ้า x 3   แล้ว x3  27  37  

37 37

ดงั น้ันควรเลอื ก  min 1,  
 37 


วิธีการแสดงว่า  เป็นจรงิ กาหนด   0 ใดๆ เลือก  min 1,   และสมมติว่า
37 

ถา้ 0  x  3   จะได้ x 3 1 และ x 3   จากสมการ (2) จะได้

37

x3  27  37 x  3  37   
37

ดังนนั้ จากบทนยิ ามของลิมติ จะได้ lim x3  27
x3

ลมิ ติ และความตอ่ เนอ่ื ง 14

ตัวอยา่ ง 2.10 จงพิสจู นว์ ่า lim 2x  5   3
x4 x  6 2

หลกั ในการพิสจู น์ จะต้องแสดงวา่ ทกุ   0 จะมี   0 ซึง่ ทกุ x

0 x4    2x  5    3  
x6  2 

การหา  (Finding  ) กาหนด   0 ใดๆ จะต้องหา  โดยที่

2x  5    3   เมอื่ 0  x  4  
x6  2 

แต่

2x  5    3   4x 10 3x 18
x6  2  2(x  6)

 7x  28
2(x  6)

 7 x4 (1)
2 x6
จากสมการ (1) ถ้า x  4 1จะได้

x  4 1  1 x  41

 3x  61

 3   ( x  6) 1

  (x  6) 1

 x6 1

ดงั นนั้ ควรเลอื ก  min 1,  
7 

วิธีการแสดงวา่  เป็นจรงิ กาหนด   0 ใดๆ เลือก  min 1,  
7 

ถ้า 0 x  4   แล้ว x  4 1  3 x  5  x  6  1 จะได้ x  4  

7

ดังนนั้ 2x  5    3   7 x4  7 x4  7    
7

x6  2 2 x6 2 1 21 2

นน่ั คอื จากบทนยิ ามของลมิ ติ จะได้ lim 2x  5   3
x4 x  6 2



ลิมิตและความต่อเนอ่ื ง 15

แบบฝึกหดั 2.2

1. กาหนด f (x)k เม่อื k เปน็ ค่าคงตวั จงพสิ ูจน์วา่ lim f (x)  k
xc

2. กาหนด f (x) x จงพิสูจน์ว่า lim f (x)  c
xc

3. จงพิสูจนว์ ่า lim(5x  2)  13
x3

4. จงพสิ จู น์วา่ lim(2x 7)  9
x1

5. จงพสิ จู นว์ า่ lim(x2  2x 1)  1
x2

6. จงพิสูจนว์ า่ lim x2  9  6

x3 x  3

7.จงพิสจู นว์ า่ lim 3x  5   2

x1 2x 1

8. จงพสิ ูจน์วา่ lim(x3  x2 )  4
x2

9. จงพสิ ูจนว์ ่า lim x  2
x4

10. จงพิสูจน์วา่ 16  x2 8
lim
x4 4  x

ลมิ ิตและความต่อเน่อื ง 16

2.3 ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ลมิ ติ ของฟังก์ชนั
ในหวั ขอ้ น้ี เราจะกลา่ วถึงกฎเกณฑ์ในการหาลมิ ิต ซึ่งจะชว่ ยให้เราคานวณหาค่าของลมิ ติ ได้

สะดวกและรวดเร็วขึ้น เพราะว่าการศึกษาในระดบั น้มี ่งุ เนน้ ในเรือ่ งของการนากฎเกณฑไ์ ปใช้เพอ่ื
คานวณหาลมิ ติ มากกวา่ การใช้ตารางค่าของฟังกช์ ันหรอื บทนยิ ามในการคานวณหาลมิ ติ

ทฤษฎีบท 2.2 ให้ n เปน็ จานวนเต็มบวก k เปน็ คา่ คงตวั และ f(x) และ g(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั

ซึ่งหาลมิ ิตที่ x=c ได้

1. lim k  k
xc

2. lim x  c
xc

3. lim kf (x)  k lim f (x)
xc xc

4. lim (f (x)  g(x))  lim f (x)  lim g(x)
xc xc xc

5. lim (f (x)  g(x))  lim f (x)  lim g(x)
xc
  xc xc

6. lim (f (x)  g(x))  lim f (x) lim g(x)
xc xc xc

7. lim f (x)  lim f (x) ถา้ lim g(x)  0

xc

xc g(x) lim g(x) xc

 xc

8. limf (x)n  limf (x) n เมอ่ื lim f (x) หาค่าได้ และ n เป็นจานวนเตม็ บวก
xc xc xc

9. lim n f (x)  n lim f (x) โดยท่ี lim f (x)  0 เมือ่ n เปน็ จานวนเต็มบวก
xc xc xc

ต่อไปจะเป็นตัวอยา่ งแสดงการหาลมิ ิตโดยใช้ทฤษฎบี ทท่กี ล่าวมาข้างตน้

ตัวอย่าง 2.11 จงหาคา่ ของลิมติ ตอ่ ไปน้ี

1) lim3x2 2) lim(x2  2x 1)
x 3 x 1

3) lim(x2  3)(x  2) 4) lim x3  3x  7
x2
x  1 x2  2x

 วิธที า โดยใช้ทฤษฎีบท 2.2 จะได้
1) lim3x2  3lim x2  3 lim x 2  3(3)2  27
x 3 x 3 x 3

ลิมิตและความตอ่ เน่อื ง 17

2)

lim(x2  2x  1)  lim x2  lim 2x  lim1
x1 x1
 x1 x1

 lim x 2  2 lim x  lim1
x1 x1 x1

 (1)2  2(1) 1

4

3)    lim(x2  3)(x  2)  lim(x2  3)  lim(x  2)

x2 x2
   x2
 lim x2  lim 3  lim x  lim 2
x2 x2 x2 x2

 (2)2  32  2

 7  4  28

4)

lim x3  3x  7  lim x3  3x  7

x 1 x2  2x x 1

lim x2  2x
x 1

lim x3  lim 3x  lim 7
 x1 x 1 x 1

lim x2  lim 2x
 x1 x 1

lim x 3  3 lim x  lim 7
x 1 x 1 x 1
 
lim x 2  2 lim x
x 1 x 1

 (1)3  3(1)  7
(1)2  2(1)

 9  9
1



ตวั อย่าง 2.12 จงหาคา่ ของลมิ ติ ต่อไปนี้ 2) lim 13  x2
1) lim x  1 3 x2

x2 x  4) lim x 2  9

3) lim 3 x 3  2x  4 x4 x
x2

ลิมิตและความต่อเน่อื ง 18

วิธีทา โดยใช้ทฤษฎบี ท 2.2 จะได้   lim x  lim 1 3
1) lim x  1 3  x 
x2 x2
x2 x 

  2  1 3   33  27
 2   2  8

2) lim 13  x2   lim 13  x2
x2 x2

 lim 13  lim x2
x2 x2

 13  (2)2

 9 3

 3) lim 3 x3  2x  4  3 lim x3  2x  4
x2 x2

 3 lim x3  lim 2x  lim 4
x2 x2 x2

 3 (2)3  2(2)  4

 3 (2)3  2(2)  4

 38  2

4) lim x2  9 lim x 2  9
 x4
x4 x
lim x

x4

lim x 2  lim 9
 x4 x4

4

 (4)2  9
4

5
4



ลิมิตและความตอ่ เนอ่ื ง 19

2.4 เทคนิคของการหาลิมิต (Techniques for Finding Limit)

สรปุ เทคนคิ ในการหา lim f (x) มีดังนี้
xc
1. หาลิมติ ของ f(x) โดยการแทนค่า นนั่ คอื lim f (x)  f (c)
xc
2. ถ้าไมส่ ามารถลิมิตของ f(x) โดยการแทนค่า นั่นคือ ลมิ ติ อยู่ในรปู 0 ในกรณีนี้
0

จะต้องใชเ้ ทคนิคดังต่อไปน้ี
2.1 วิธแี ยกตัวประกอบ
2.2 การคณู สงั ยคุ (Conjugate)

ตัวอยา่ ง 2.13 จงหา x2  x 6
lim
x3 x  3

วธิ ที า ไม่สามารถหาลมิ ิตโดยการแทนคา่ x  3เพราะว่าลมิ ิตอยู่ในรูป 0

0

lim(x2  x  6)  0

x3

lim x2  x  6
x3 x  3

lim (x  3)  0

x3

ในกรณีนี้ ใชก้ ารแยกตัวประกอบ เพราะวา่ x2  x  6  (x  2)(x  3) จะได้

lim x2  x  6  lim (x  2)(x  3)
x3 x  3 x3 (x  3)

 lim (x  2)   5
x3



ตัวอยา่ ง 2.14 จงหา lim x2  x 2

x1 x2  x

วิธที า ไม่สามารถหาลมิ ติ โดยการแทนคา่ x 1เพราะว่าลิมติ อยู่ในรปู 0
0

lim(x 2  x  2)  0

x1

lim x 2 x  2
x2  x
x1

lim(x2  x)  0

x1

ลิมิตและความตอ่ เนือ่ ง 20

ในกรณนี ้ี ใช้การแยกตัวประกอบทัง้ เศษและสว่ นแลว้ ตัดตัวรว่ ม จะได้

lim x2  x  2  lim (x 1)(x  2)
x2  x x1 x(x 1)
x1

 lim (x  2)  3  3
x1 x 1



ตัวอย่าง 2.15 จงหา lim 2  h  2

h0 h

วธิ ีทา ไมส่ ามารถหาลิมติ โดยการแทนคา่ h  0 เพราะว่าลมิ ิตอยู่ในรูป 0 อย่างไรกต็ ามสามารถหา

0

ตวั ประกอบมาคูณท้งั เศษและสว่ น ในทีน่ ้ีคอื 2  h  2 ซ่งึ เรียกว่า สงั ยุคของ 2  h  2
แลว้ จดั รูป ไดด้ งั น้ี

2h  2  2h  2  2h  2
h h 2h  2

 2h2
h( 2  h  2)

h
h( 2  h  2)

 1 เมื่อ h  0

( 2 h  2)

ดังน้นั lim 2  h  2  lim 1

h0 h h0 ( 2  h  2)

1
( 2 0  2)

1
22



ตวั อย่าง 2.16 จงหาค่าของลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี

1) lim x6 2) lim x x
x2  36 x  x  
x6 x  

3) lim x 2
x2 16
x4

ลมิ ิตและความตอ่ เนอ่ื ง 21

วิธีทา

1) ลิมิตของเศษและลมิ ติ ของสว่ นต่างเทา่ กับศูนย์ เม่ือ x  2 ดงั น้ัน จงึ ต้องแยกตัวประกอบ
เพ่อื หาลมิ ติ ดังตอ่ ไปนี้

lim x  6  lim x  6
x2  36 x6 (x  6)(x  6)
x6

 lim 1
x6 (x  6)

 1 1
(6  6) 12

2) เช่นเดียวกับขอ้ 1. ลิมิตอยใู่ นรูป 0 จะไดว้ ่า

0

lim x x  lim (x  )(x )
x  x   x (x  )(x  )
x

 lim (x 1)
x2 (x  3)

  21  3
23

3) เช่นเดยี วกับขอ้ 1. ลิมิตอยูใ่ นรูป 0 จะได้วา่

0

lim x 2  lim ( x  2)( x  2)
x2 16 x4 (x2 16)( x  2)
x4

 lim x4

x4 (x  4)(x  4)( x  2)

 lim 1
x4 (x  4)( x  2)

 1 1
(4  4)(2  2) 32



ตัวอย่าง 2.17 ให้ f (x)  x2 จงหา
x2  x  6

1) lim f (x) 2) lim f (x) 3) lim f (x)
x2 x2 x2

วธิ ีทา

ลมิ ติ และความตอ่ เนอื่ ง 22

1) จากบทนยิ ามของค่าสัมบรู ณ์ จะไดว้ ่า x  2  x  2 ถา้ x  2

และ x  2   (x  2) ถา้ x  2 ดงั นน้ั

lim f (x)  lim x2 6
x2  x 
x2 x2

 lim x  2
x2 (x  2)(x  3)

 lim 1 1
x2 (x  3) 5

2) lim f (x)  lim  (x  2)
x2 x2  x  6
x2

 lim  (x  2)
x2 (x  2)(x  3)

 lim 1  1
x2 (x  3) 5

3) จากขอ้ 1) และขอ้ 2) จะไดว้ า่ lim f (x)  lim f (x) ดังนั้น lim f (x) หาค่าไม่ได้
x2 x2 x2



ตวั อย่าง 2.18 ให้ f (x)  x 2  3 , x  1 จงหา lim f (x)
4x 3 x1
, x 1

วิธีทา (พิจารณาลมิ ิตทางซา้ ยของ x=1)

lim f (x)  lim x2  3
x1 x1

 (1)2  3 4

(พิจารณาลมิ ติ ทางขวาของ x=1)

lim f (x)  lim 4x3
x1 x1

 4(1)3 4

จะได้วา่ lim f (x)  lim f (x) ดงั นั้น lim f (x)  4
x1 x1 x1



ลิมิตและความต่อเน่อื ง 23

แบบฝึกหัด 2.3

1. จงหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี

1) lim x(x  6) 2) lim (3x 1)
x4 x1/ 3

3) lim(2x2  3x 1) 4) lim(x6 12x 1)
x1 x1

5) lim(x4 17x  2) 6) lim(5  4x)2
x0 x3

7) lim x2 1 8) lim x2  4
x1 3x 5 4
x2 x  2

9) lim x2 1 10) lim x2  x  6
x1 x3 1 x2 (x  2)2

11) lim  3x  8  12) lim x2  3x 1
x5
x4 x  4 x  4 

13) lim x  9 14) lim 4  x

x9 x  3 x4 2  x

15) lim x2  x  6 16) x2  5x 14
lim
x3 x  3 x7 x  7

17) lim x 2  4x  5 18) lim x2  5x  6
x 2  3x  2 x3 x2  6x  9
x1

19) lim 2  x  2 20) lim 2x  3  1

x2 x  2 x2 x  2

2. จงหาลิมิตด้านเดยี วของฟังกช์ ันต่อไปน้ี

1) lim x 2) lim x  6

x3 x  3 x2 x 2  36

3) x 4) 3  x
lim x2  4 lim x2  2x 8

x2 x4

5) lim x  2 6) lim x  2

x2 x  2 x2 x  2

7) lim x 1 8) lim x2  2x  3
x3 x 3
x1 x  1

9) x2 1 10) lim x  5  3
lim
x1 x  1 x4 x  4

ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื ง 24

3. จงหาลิมติ ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้

1) ให้ f (x)  1 , x0 จงหา lim f (x)
3 , x0 x0
, x4
2) ให้ f (x)  x2  2 , x4 จงหา lim f (x)
 x  3 , x2 x4

3) ให้ f (x)   x2  4 , x2 จงหา lim f (x)
4) ให้ f (x)   x2
5) ให้ f (x)  (2x  1) , x3
 2 จงหา lim f (x)
, x3 x3
x2  x
 , x 1 จงหา lim f (x)
x2 9 , x 1 x1
 x  3 , x 1

(3x  1)2
2
9x2  7

ลิมิตและความต่อเนื่อง 25

2.5 ลิมติ อนันต์และลมิ ิตท่อี นันต์

2.5.1 ลมิ ิตอนันต์
บางฟงั กช์ ัน ในขณะที่ x เข้าใกลค้ ่าหน่งึ คา่ ใด อาจจะเข้าใกล้แบบสองด้านหรือดา้ นเดียว ทาให้
ค่าของฟังกช์ นั เพิ่มขึ้นอย่างไมม่ ขี อบเขต หรอื ลดลงอยา่ งไม่มีขอบเขต ลมิ ิตในลกั ษณะน้เี รียกว่า ลิมติ อนันต์
(infinite limits)

บทนยิ าม 2.5.1 ถ้า f (x) มีค่าเพิม่ ขน้ึ อย่างไม่มีขอบเขต ในขณะท่ี x  c หรือ x  c

จะกล่าวว่าลมิ ิตของ f (x) เข้าใกล้ (บวก) อนนั ต์ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์

lim f (x)   หรอื lim f (x)  
xc xc

ถา้ lim f (x)   และ lim f (x)   แล้ว จะกลา่ วว่า lim f (x)  
xc xc xc

จากบyทนิยแาลมะ2.5.1 สามารถเขยี นกราฟแสดงได้ดงั รูปท่ี 2.5.1 - 2.5.3
y

lim f (x)   lim f (x)  

xc xc

y=f(x) y=f(x)

0 c x= c x 0 c x=c x

รูปท่ี 2.5.1 รปู ท่ี 2.5.2

y

lim f (x)  

xc

0 c x=c x
รูปที่ 2.5.3

ลมิ ิตและความตอ่ เนือ่ ง 26

บทนยิ าม 2.5.2 ถ้า f (x) มคี ่าลดลงอยา่ งไมม่ ขี อบเขต ในขณะที่ x  c หรอื x  c

จะกลา่ ววา่ ลมิ ิตของ f (x) เขา้ ใกล้ (ลบ) อนันต์ เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์

lim f (x)    หรือ lim f (x)   
xc xc

ถ้า lim f (x)    และ lim f (x)    แล้ว จะกล่าวว่า lim f (x)   
xc xc xc

จากบทนยิ าม 2.5.2 สามารถเขียนกราฟแสดงไดด้ ังรปู ที่ 2.5.4 - 2.5.6

y และ y x=c
x=c

cx cx

รูปท่ี 2.5.4 รปู ท่ี 2.5.5

y x=c

cx

รปู ที่ 2.5.6

ตัวอย่าง 2.19 กาหนดให้ f (x)  3 จงหา lim f (x) และ lim f (x)
x2 x2 x2

วิธีทา จาก f (x)  3 เมื่อ x เข้าใกล้ -2 ทางขวา ค่าของ x+2 เข้าใกล้ 0 แต่เปน็ จานวนเตม็ บวก

x2

ดังนน้ั f (x)  3 จงึ เป็นจานวนบวกท่ีมคี า่ สงู มาก นน่ั คอื lim 3  
x2 x2 x  2

ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ lim 3    

x2 x  2

ลิมติ และความตอ่ เนอ่ื ง 27

ตวั อย่าง 2.20 กาหนดให้ f (x)  1 จงหา lim f (x) และ lim f (x)
x2 x0 x0

วิธีทา จาก f (x)  1 เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางขวา คา่ ของ 1 เข้าใกล้ 0 แตเ่ ป็นจานวนเตม็ บวก
x2 x2

ดงั นน้ั f (x)  1 จงึ เป็นจานวนบวกท่ีมคี า่ สงู มาก นนั่ คอื lim 1  
x2 x2
x0

และเม่อื x เข้าใกล้ 0 ทางซา้ ย ทาให้คา่ ของ 1 เขา้ ใกล้ 0 แต่เปน็ จานวนเตม็ บวกทม่ี ีค่าสูงมาก

x2

ดงั นน้ั lim 1   จากบทนยิ าม 2.5.1 จะได้ว่า lim 1   
xx0 2 xx0 2

2.5.2 ลิมติ ทอี่ นันต์
ลิมติ ทีอ่ นนั ต์ (limits at infinite) เปน็ ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน ในขณะที่ x มีคา่ เพิม่

อยา่ งไม่มขี ดี จากัดหรอื x มคี า่ ลดลงอยา่ งไม่มีขีดจากัด

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชัน f (x)  1 ในรูปที่ 2.5.1

x

รปู ที่ 2.5.1
จะเหน็ วา่ เมอ่ื x มีค่าลดลงอย่างไมม่ ีขดี จากัด คา่ ของฟงั กช์ ัน f(x) จะเข้าใกล้ 0
กรณนี ้ีเรากลา่ ววา่ ลิมติ ของ f(x) เทา่ กบั 0 เม่อื x ลดลงอยา่ งไมม่ ขี ดี จากัด และเขียนแทน
ด้วย lim f (x)  0

x

เมือ่ x เพิม่ ขน้ึ อยา่ งไมม่ ขี ดี จากดั ค่าของฟงั ก์ชนั f(x) จะเข้าใกล้ 0 เช่นกัน กรณีนี้
เรากลา่ วว่า ลมิ ิตของฟังก์ชนั f(x) เทา่ กับ 0 เมอื่ x เพม่ิ ข้ึนอย่างไม่มีขีดจากัด และเขยี นแทน
ด้วย lim f (x)  0

x

สรปุ ความหมายของสญั ลักษณ์ ดังน้ี
1. เมือ่ x ลดลงอยา่ งไมม่ ีขีดจากัด เขยี นแทนด้วย x  
2. เมอ่ื x เพม่ิ ขน้ึ อย่างไม่มีขดี จากดั เขียนแทนดว้ ย x  
จากความหมายข้างสามารถเขียนลิมติ ท่อี นนั ต์ ได้ดงั นี้

ลิมติ และความต่อเนื่อง 28

1. lim f (x)  L หมายถึง f(x) มีค่าเข้าใกล้ค่าคงที่ L เม่ือ x มีคา่ เพิม่ ขนึ้ ๆ ไม่มีขีดจากดั
x

2. lim f (x)  L หมายถงึ f(x) มคี า่ เข้าใกล้คา่ คงที่ L เม่อื x มีคา่ ลดลงๆ ไม่มขี ดี จากัด
x 

ทฤษฎบี ท 2.5.1 ให้ lim f (x)  L1 และ lim g(x)  L2 โดยที่ L1 และ L2 เปน็ จานวนจริง

x x  

1. lim (f (x)  g(x))  L1  L2

x

2. lim (f (x)  g(x))  L1  L 2

x

3. lim (f (x)  g(x))  L1L 2

x

4. lim kf (x)  kL1 ; ( k เป็นค่าคงทีใ่ ดๆ)

x  

5. lim f (x)  L1 ถา้ L2  0

x g(x) L2

6. lim f (x)n  L1n

x

7. lim n f (x)  n L1 โดยที่ L1 0 เม่ือ n เปน็ เลขคู่

x

ทฤษฎีบท 2.5.2 ถา้ n เปน็ จานวนตรรกยะ และ A เป็นจานวนจริงทไ่ี มเ่ ปน็ ศูนย์ แลว้

lim A 0
xn
x

และ ถา้ xn นยิ ามเม่ือ x < 0 แล้ว lim A 0
xn
x

ทฤษฎีของลิมิตที่อนนั ต์คลา้ ยกบั ทฤษฎีบท 2.2 และเทคนคิ การหาลมิ ิตก็คล้ายกัน ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้
ตัวอยา่ ง 2.21 จงหาลิมิตของฟงั กช์ ันต่อไปน้ี

1) lim 5  2  2) lim  2x 1
x x2 
x x 1 

วธิ ที า

1) ใชท้ ฤษฎีบท 2.5.1 ขอ้ 1 เราสามารถเขยี นไดเ้ ปน็

lim 5  2   lim 5  lim 2
x x2  x2
x x

 50  5

ลิมิตและความตอ่ เนื่อง 29

2) เนอ่ื งจากทง้ั เศษและสว่ นเข้าใกล้   เม่อื x เข้าใกล้  

lim (2x 1)   

x

lim  2x 1
x x  1 

lim (x 1)   

x

เราสามารถแก้ปัญหาโจทย์ข้อนี้ โดยการหารท้ังเศษและส่วนดว้ ย x หลงั จากหารแล้ว ลิมติ
ของฟังก์ชัน สามารถหาได้ดงั นี้

2x 1

lim  2x 1  lim x
x x  1  x 1
x

x

2 1
 lim x

x 1  1
x

lim 2  lim 1
 xx
x

lim 1 lim 1
xx x

 20  2
1 0

ตวั อยา่ ง 2.22 จงหาลมิ ติ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 

1) lim 2x  5 2) lim 4x10  x7 3) lim 5x 4  7x  3
3x 2  1 10x10  3x 3 3x 3  2x2
x x x

วิธีทา
1) หารท้ังเศษและสว่ นดว้ ย x2 จะได้

ลิมิตและความต่อเน่อื ง 30

2x  5

lim 2x  5  lim x2
3x 2  1 3x 2  1
x x

x2

2 5
lim x x2
 x 1
x2
3

lim 2  lim 5
x x2
 x x

lim 3  lim 1
x2
x x

 00 0 0
30 3
2) หารทงั้ เศษและส่วนด้วย x10 จะได้

4x10  x7

lim 4x10  x7  lim x10
10x10 
x 10x10  3x3 x 3x 3

x10

4  1
x3
 lim
x 3
10  x7

lim 4  lim 1
x4
 x x

lim 10  lim 3
x7
x x

40 4 2
10  0 10 5

ลมิ ิตและความต่อเนอ่ื ง 31

3) หารทั้งเศษและส่วนดว้ ย x3 จะได้

5x4  7x  3

lim 5x4  7x  3  lim x4
3x3  2x 2 3x3  2x 2
x x

x4

5 7  3
x3 x4
 lim
x 3  2
x x2

 lim 5  lim 7  lim 3
x3 x x4
x x

lim 3  lim 2
x x2
x x

 500  5
00 0

สามารถสรุปไดว้ ่า ลมิ ิตหาคา่ ไมไ่ ด้ นัน่ คอื lim 5x 4  7x  3  
3x 3  2x 2
x

ตวั อย่าง 2.23 จงหา lim 25x 2  7x 
x  x 2 15 

วิธที า สาหรับ x  0 จะได้

25x 2  7x (25x 2  7x)  25  7 / x
x 2 15  x2 0 1 15 / x 2

(x 2 15)

x2

และจากทฤษฎีบท 2.5.2 จะไดว้ า่ lim 7  lim 15
xx xx 2

lim 25x2  7x  lim (25  7 / x)

x x 2  15 x

lim (1 15 / x2 )

x

 25  0
1 0

 25  5

ลมิ ติ และความตอ่ เน่ือง 32

แบบฝึกหัด 2.4

1. จงหาลิมิตอนันตข์ องฟังกช์ ันตอ่ ไปนี้

1) lim 2x  3 2) lim 2x2  5

x 5x  7 x 3x 2 1

3) lim 14x 4) 5x2  7x  3
lim 3x 2  2
x 5  7x
x

5) 2x  9 6) 11x  2
lim x2  4x 5 lim 2x 3 1

x x 

7) 45x3  96 8) 100x5  2
lim 23x 4  43x 2 lim 214x 7  89x 4

x x

9) lim x2 1 10) lim x2  4
x 3x 5 4
x x  2

11) lim x2 1 12) lim 36 x3 12x  6
x (x  2)2
x x3 1

13) lim 3x2  2x 14) 109x 4  79x 3
78x 2  112
x x 1 lim

15) lim 28x5  9x3 x

x 15x 2  31 16) 1
lim x3  4x 1

x

17) lim 3x  5 18) lim 3x  5

x x  2 x 4x 2  9

19) lim 3x 4 16x 2 1 20) lim 2x 2  3
x 2x 4  21
x x  2

ลมิ ิตและความต่อเนอ่ื ง 33

2.6 ความต่อเน่อื ง (Continuity)

ความต่อเน่อื งในทางคณิตศาสตรม์ คี วามหมายเชน่ เดยี วกับความตอ่ เนอื่ งท่ใี ชก้ ันอยทู่ วั่ ๆ ไป
กล่าวคอื การท่เี ราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มคี วามตอ่ เนือ่ งท่ี x = c หมายความว่า กราฟของ f จะไม่ขาด
ตอน (Unbroken) ที่ x = c กราฟของ f อาจจะเกดิ ความไมต่ ่อเนอื่ ง ณ x = c ได้ 3 แบบ ดังน้ี

1. กราฟของ f ไม่นยิ ามที่ x = c ดังรปู 2.6.1
2. ลมิ ิตของ f หาค่าไมไ่ ด้ เมอ่ื x เข้าใกล้ c ดงั รปู 2.6.2
3. ลิมติ ของ f หาค่าได้ (Exist) ท่ี x = c แต่ไม่เท่ากับค่า f(c) ดังรูป 2.6.3

y y y=f(x) y
y=f(x) y=f(x)

c xc xc x

ดงั รูป 2.6.1 ดงั รูป 2.6.2 ดงั รปู 2.6.3

บทนิยาม 2.6.1 ฟังก์ชัน f เป็นฟังกช์ นั ที่ต่อเนอื่ งที่ c กต็ ่อเมือ่ lim f (x)  f (c)
xc

เรียกฟงั ก์ชนั f ว่า ฟังก์ชนั ตอ่ เน่อื งท่ี c

จากบทนิยาม 2.6.1 สามารถกล่าวได้วา่ f มคี วามตอ่ เน่ืองที่ c ก็ตอ่ เม่ือ f ตอ้ งสอดคลอ้ ง
เงือ่ นไขทั้ง 3 ข้อ ตแอ่ ลไะปนี้

1. f (c) หาคา่ ได้

2. lim f (x) หาค่าได้
xc

3. lim f (x)  f (c)
xc

ในกรณที ่ี f ไม่สอดคลอ้ งกบั เง่อื นไขขอ้ ใดข้อหนง่ึ จะกลา่ ววา่ f เป็นฟงั ก์ชันไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี c

ตวั อยา่ ง 2.24 กาหนดให้ f (x)  x2  4 จงพิจารณาวา่ f มคี วามต่อเนือ่ งท่ี -1 หรอื ไม่
x2

วิธีทา (1) คานวณหา f (1) จะได้

f (1)  (1)2  4   3  1
(1)  2  3

(2) คานวณหา lim f (x) จะได้
x1

ลมิ ิตและความต่อเน่อื ง 34

lim x2  4  (1)2  4
x1 x  2 (1)  2

 3  1
3

(3) lim f (x)  f (1)  1 ดงั นัน้ f มคี วามต่อเนื่องท่ี -1
x1

 x 2  2x  3 
 x 3 
ตัวอยา่ ง 2.25 กาหนดให้ f (x)   ; x3 
; x3
x 1

จงพิจารณาวา่ f มคี วามตอ่ เนือ่ งที่ 3 หรอื ไม่

วธิ ที า (1) คานวณหา f (3) จะได้ f (3)  3 1  4

(2) คานวณหา lim f (x) จะได้
x3

x2  2x  3  lim (x  3)(x 1)
lim x3 (x  3)
x3 x  3

 lim (x 1)
x 3

 31  4

(3) lim f (x)  f (3)  4 ดังนัน้ f มคี วามต่อเนื่องที่ 3
x3

ตัวอยา่ ง 2.26 กาหนดให้ f (x)  2x  2 ; x2
5 4 ; x2
 x

จงพิจารณาว่า f มีความตอ่ เนอ่ื งที่ 2 หรือไม่
วธิ ีทา (1) คานวณหา f (2) จะได้ f (2)  2(2)  2  6

(2) คานวณหา lim f (x) จะต้องหาลิมิตทางซ้ายและลมิ ิตทางขวา ดังนี้
x2

lim f (x)  lim (2x  2)  2(2)  2  6
x2 x2

และ lim f (x)  lim (5  4 )  5  4  7
x2 x2 x 2

จะได้ lim f (x)  lim f (x) นัน่ คือ lim f (x) หาคา่ ไม่ได้
x2 x2 x2

ดังน้นั f ไม่ต่อเนือ่ งท่ี 2

ตัวอยา่ ง 2.27 กาหนดให้ f (x)   2  x ; x 1
x2  3x ; x 1

จงพิจารณาว่า f มีความตอ่ เน่ืองที่ 1 หรือไม่

ลมิ ิตและความต่อเนอื่ ง 35

วธิ ีทา (1) คานวณหา f (1) จะได้ f (1)  (1)2  3(1)  4

(2) คานวณหา lim f (x) จะได้
x1

lim f (x)  lim 2  x
x1 x1

 lim  (2  x)   (2 1)  1
x1

และ lim f (x)  lim(x2  3x)  (1)2  3(1)  4
x1 x1

จะได้ lim f (x)  lim f (x) นนั่ คอื lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้
x1 x1 x1

ดงั น้นั f ไมต่ อ่ เนอื่ งที่ 1

ตวั อย่าง 2.28 กาหนดให้ f (x)  x 2 1 ; x3 
 ; x3 
2ax

จงหาคา่ ของ a ซงึ่ ทาให้ f ต่อเนอ่ื งที่ 3

วธิ ีทา ต้องการให้ f ต่อเนอ่ื งที่ 3 น่นั คือ lim f (x)  f (3)
x3
จะได้ f (3)  32 1  8

และ lim f (x)  lim 2ax  2(3)a  6a
x3 x3

ดงั นั้น ให้ lim f (x)  f (3)
x3

6a  8

a 8 4
63

บทนยิ าม 2.6.2 ฟงั กช์ นั f เป็นฟงั ก์ชนั ที่ตอ่ เน่ืองบนชว่ งเปิด (a,b) ก็ต่อเม่อื ฟังกช์ ัน f เป็น
ฟงั กช์ ันตอ่ เน่อื งที่ทุกจดุ ใน (a,b) น่ันคือ ถา้ c(a, b) แลว้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนอ่ื งที่ c

และ

บทนิยาม 2.6.3 ฟังกช์ ัน f เป็นฟังกช์ นั ท่ีตอ่ เนื่องบนชว่ งปิด [a,b] กต็ ่อเม่อื

1. f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งทท่ี ุกจุดใน (a,b) และ

2. lim f (x)  f (a) และ lim f (x)  f (b)
x a  xb

บทนยิ าม 2.6.5 ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังก์ชนั ที่ตอ่ เน่อื งบนชว่ งคร่ึงเปิด (a, b] ก็ตอ่ เม่ือ
1. f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งท่ีทกุ จดุ ใน (a,b) และ
2. limแลfะ(x)  f (b)

xb

และ

ลิมติ และความตอ่ เนื่อง 36

บทนิยาม 2.6.4 ฟังก์ชนั f เป็นฟงั กช์ ันทตี่ อ่ เน่อื งบนชว่ งครึง่ เปดิ [a,b) กต็ ่อเมอื่

1. f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนือ่ งทที่ ุกจดุ ใน (a,b) และ
2. lim f (x)  f (a)

x a 

บทนยิ าม 2.6.6แฟละงั ก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชนั ทต่ี ่อเนอ่ื งบนช่วง (,) กต็ ่อเมอ่ื f เปน็ ฟงั ก์ชนั
ตอ่ เนื่องท่ี c เมอื่ c เป็นจานวนจริงใดๆ ในกรณีน้เี รียกว่า f เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนือ่ ง

และ
ตวั อย่าง 2.29 จงแสดงวา่ ฟังก์ชัน f (x)  4  x2 เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [2, 2]

วธิ ที า 1. จะแสดงว่า f เปน็ ฟงั กช์ นั ที่ต่อเนอ่ื งบนช่วง (2, 2)
ให้ c (2, 2) จะไดว้ า่

(1) f (c)  4  c2

(2) lim f (x)  lim 4  x2  4  c2
xc xc

จะไดว้ า่ lim f (x)  f (c) แสดงว่า f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่อื งท่ี c
xc

น่ันคอื f เป็นฟังกช์ ันทตี่ อ่ เนือ่ งบนช่วง (2, 2)

2. จะแสดงว่า f เป็นฟงั กช์ นั ท่ตี อ่ เนื่องบนช่วงครงึ่ เปิด [2, 2)

(1) f (2)  4  (2)2  4  4  0

(2) lim f (x)  4  (2)2  0
x2

จะได้วา่ lim f (x)  f (2)
x2

แสดงว่า f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนช่วงครงึ่ เปิด [2, 2)
3. จะแสดงว่า f เปน็ ฟงั กช์ ันทตี่ ่อเนอื่ งบนช่วงครง่ึ เปิด (2, 2]

(1) f (2)  4  22  4  4  0

(2) lim f (x)  4  22  0
x2
จะได้วา่ lim f (x)  f (2)
x2

แสดงวา่ f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนช่วงครง่ึ เปดิ (2, 2]
ดังนน้ั จากขอ้ 1, 2 และ 3 และจากบทนิยาม 2.6.3 จะไดว้ า่ f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [2, 2]



ลิมิตและความต่อเนื่อง 37

x2  2 ; x  1
ตัวอยา่ ง 2.30 กาหนดให้ f (x)  x  4
; 1  x2

3x  5 ; x2

จงพจิ ารณาความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน f

วธิ ที า เราจะเหน็ ไดช้ ัดว่า f มคี วามต่อเนื่องบนชว่ งเปิด (,1) และ (1,2)
พิจารณา x  1 f (1)  (1)2  2  3

lim f (x)  lim (x2  2)  (1)2  2  3
x ( 1) x ( 1)

lim f (x)  lim (x  4)  (1)  4  3
x ( 1) x ( 1)

จะไดว้ า่ lim f (x)  f (1)  3 ดังนน้ั f ตอ่ เน่ืองท่ี x  1
x1

พิจารณา x  2 f (2)  3(2)  5  1

lim f (x)  lim (x  4)  2  6  6
x2 x2

lim f (x)  lim (3x  5)  3(2)  5  1
x2 x2

น่นั คือ lim f (x)  lim f (x) จะได้วา่ lim f (x) หาคา่ ไม่ได้
x2 x2 x2

ดงั น้ัน f ไมต่ อ่ เน่ืองที่ x  2

สรุป f ตอ่ เนือ่ งท่ีทกุ ๆ คา่ ของ x ยกเวน้ จดุ x  2



ลมิ ติ และความต่อเนื่อง 38

แบบฝกึ หัด 2.5

1. จากกราฟของฟังก์ชนั f จงพจิ ารณาวา่ f เป็นฟังก์ชันตอ่ เนอื่ งบนช่วงใด

1.1) 1.2)

y y

ตอบ 0...........1.........2..........3................x..... ตอบ0........1..........2..........3................x...

1.3) 1.4)

y y

0 123 x 0 123 x

ตอบ ................................................... ตอบ ...............................................

2. จงพจิ ารณาความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ันต่อไปน้ี

2.1) f (x)  2x2  x  2 ที่ x  2

2.2) f (x)  x ท่ี x  2
x2  2 ที่ x  3

2.3) f (x)  9  x2

2.4) f (x)  x2 ท่ี x  4
2x2 1

2.5) f (x)  (x x ที่ x  9
 1)2

2.6) f (x)  x 1 ; x  3 ที่ x  3
2x  4 ; x  3

 x 2  x 2
 x 2
2.7) f (x)   ; x2 ที่ x  2
; x2
x  1

ลิมิตและความตอ่ เนอื่ ง 39

2.8) f (x)  2x  3 ; x4 ที่ x  4
 16 ; x4
7  x

2.9) f (x)  (x  1)3 ; x0 ที่ x  0
(x  1)3 ; x0

 x 2  2x  8
 x 4
2.10) f (x)   ; x4 ท่ี x  4
; x4
3

3. จงแสดงวา่ ฟงั ก์ชนั f (x)  16  x2 เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนื่องบนช่วง [4, 4]

4. จงหาค่าของ c ทที่ าให้ f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ ง

4.1) f (x)  7x  2 ; x 1
 ; x 1
cx 2

4.2) f (x)  cx 1 ; x3
 ; x3
cx 2 1