ข้อสอบcal

แบบฝึ กหดั ทบทวน กลางภาค 206111 หนา้ ท่ี 1

1. (6 คะแนน) From the graph of function y = f (x) in the figure below, find the following limits.
จากกราฟของฟงั ก์ชัน y = f (x) ทีก่ ำหนดให้ จงหาค่าของลิมติ ต่อไปน้ี

lim f (x) = ...................................... lim f (x) = ......................................

x→−1− x→−1+

lim f (x) = ...................................... lim f (x) = ......................................

x→0− x→0+

lim f (x) = ...................................... lim f (x) = ......................................

x→1− x→1+

2. (4 คะแนน) Compute the following limits. จงคำนวนหาค่าลิมติ ต่อไปน้ี

lim [ x−3 ] = ......................................

x→1− (x − 1)(x − 2)2

lim [ x−3 ] = ......................................

x→1+ (x − 1)(x − 2)2

lim [ x−1 ] = ......................................

x→1 (x − 3)(x − 2)2

lim [ x+1 ] = ......................................

x→1 (x − 3)(x − 2)2

3. (4 คะแนน) Is the following function continuous at x = 2 ? ฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้ ตอ่ เนอื่ งท่ี x = 2 หรอื ไม่

 √ + 2 , x<2
 x

f (x) =  2 , x=2
x2 , x>2
− 2

แบบฝึ กหัดทบทวน กลางภาค 206111 หนา้ ท่ี 2

4. (2 คะแนน) Let y = 2x + 5 be the equation of the tangent line of function y = f (x) at x = 2 .
Then f (2) = ...................................... and f ′(2) = ...................................... .

กำหนดให้ y = 2x + 5 คอื สมการเส้นสัมผสั ของฟงั กช์ นั y = f (x) ที่ x = 2
จะไดว้ ่า ค่าของ f (2) = ...................................... และค่าของ f ′(2) = ......................................

5. (2 คะแนน) Given the graph of y = f (x) below, plot the graph of f ′(x) on interval [−1, 2] .
กำหนดให้ y = f (x) มกี ราฟดงั รปู ด้านลา่ ง จงเขยี นกราฟของ f ′(x) บนชว่ ง [−1, 2]

6. (3 คะแนน) Given f (x) = 4x2 + 1 , find f ′(x) using the definition of derivative.
กำหนดให้ f (x) = 4x2 + 1 จงหา f ′(x) โดยใชน้ ิยาม

7. (4 คะแนน) Let f (x) = |x − 6| . Give an explanation whether f ′(6) exists.
กำหนดให้ f (x) = |x − 6| จงพจิ ารณาว่า f ′(6) หาคา่ ได้หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

8. (5 คะแนน) Find point(s) that a horizontal tangent line of the graph x2 + xy + y2 = 3 intersects the
line y = −3x . จงหาจุดที่เสน้ สมั ผัสกราฟแนวนอนของกราฟ x2 + xy + y2 = 3 ตดั กบั เสน้ ตรง y = −3x

9. (2 คะแนน) Use a derivative to evaluate lim cos(π + h) + 1 .

h→0 h

จงใช้อนพุ นั ธใ์ นการหาค่า lim cos(π + h) + 1

h→0 h

10. (4 คะแนน) Given f (x) = tan−1 x , derive the formula d tan−1 x = 1 1 .
dx + x2
d 1
กำหนดให้ f (x) = tan−1 x จงแสดงทมี่ าของสตู ร dx tan−1 x = 1 + x2

แบบฝึ กหดั ทบทวน กลางภาค 206111
หน้าที่ 3

11. (11 คะแนน) Find f ′(x) of the following functions. จงหา f ′(x) ของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้

5 + sin x
11.1. (2 คะแนน) f (x) = 3ex

√
11.2. (2 คะแนน) f (x) = x3 + tan x

11.3. (2 คะแนน) ( 2x )
f (x) = ln
3

11.4. (3 คะแนน) f (x) = xln x

11.5. (2 คะแนน) f (x) = cos−1(1/x)

12. (3 คะแนน) Given y = xex , find d2y . กำหนดให้ y = xex จงหา d2y x=0
dx2 dx2
x=0

13. (4 คะแนน) Suppose a right circular cylinder’s radius (r) is increasing at the rate of 3 cm/sec
while its height (h) is decreasing at the rate of 5 cm/sec. How fast is the cylinder’s volume (V )
changing when its radius is 10 cm and its height is 20 cm? [ V = πr2h ]

สมมตใิ ห้ รศั มขี องทรงกระบอกกลมตรงกำลังเพ่ิมขึน้ 3 เซนติเมตรตอ่ วินาที ในขณะทคี่ วามสงู กำลงั ลดลง
ดว้ ยอตั รา 5 เซนตเิ มตรตอ่ วนิ าที ปรมิ าตรของทรงกระบอกเปล่ียนแปลงอยา่ งไรเม่อื ทรงกระบอกมรี ัศมี 10
เซนตเิ มตร และความสงู 20 เซนตเิ มตร [ V = πr2h ]

14. (4 คะแนน) Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of (9.98)3 .
จงใชก้ ารประมาณเชงิ เส้นเฉพาะท่ีท่ีเหมาะสมในการประมาณคา่ ของ (9.98)3

15. The side of a cube is measured with percentage error within ±0.5% . Use differentials to estimate
the percentage error in the calculated volume.

ในการวดั ดา้ นของลูกบาศก์ มีคา่ ผดิ พลาดจากการวัดไม่เกิน ±0.5% จงใชด้ ฟิ เฟอเรนเชยี ลในการประมาณ
คา่ ผดิ พลาดรอ้ ยละในการคำนวณปรมิ าตรของลูกบาศก์

แบบฝึ กหดั ทบทวน กลางภาค 206111
หน้าท่ี 4

16. (4 คะแนน) Fill in the blank with the correct answer.
จงเติมตอบลงในชอ่ งวา่ ง

lim −3x5 − 4x4 − x3 + 7x = .....................................
x→−∞ √
13x2 + 2
lim = .....................................
x→+∞ x − 11
4x2 + 8
lim = .....................................
√2x2 − 4
x→−∞

lim x2 + 14 − x = .....................................
x→+∞

17. (9 คะแนน) Evaluate the given limit. จงแสดงวิธกี ารหาค่าลิมิต

17.1 (2 คะแนน) lim 3x ln 5x

x→0+

11
17.2 (2 คะแนน) lim −
x→0− sin x x

17.3 (5 คะแนน) lim (x + ex)5/x

x→+∞

18. (8 คะแนน) กำหนดกราฟของอนุพนั ธ์ของ f (x) น่ันคอื กราฟของ f ′(x) ดงั นี้

จงหา
• ช่วงเปิดท่ี f เป็นฟงั ก์ชนั เพิม่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ชว่ งเปิดที่ f เป็นฟังก์ชนั ลด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• คา่ x ทท่ี ำให้เกดิ จดุ สงู สุดสัมพัทธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ค่า x ที่ทำใหเ้ กดิ จดุ ตำ่ สุดสัมพัทธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ชว่ งเปดิ ท่ี f เป็นโคง้ หงาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• ชว่ งเปิดที่ f เปน็ โค้งคว่ำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• คา่ x ของจดุ เปลยี่ นเว้าทั้งหมด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

แบบฝึ กหัดทบทวน กลางภาค 206111 หน้าที่ 5

19. (3 คะแนน) สมมติเทน้ำใส่ภาชนะดงั รูปในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนดี้ ว้ ยอตั ราคงท่ี จงจับค่กู ราฟของความสงู ของระดับนำ้
y เทียบกับเวลา t

ตอบ .................... ตอบ .................... ตอบ ....................

20. (4 คะแนน) จงยกตัวอยา่ งกราฟท่ที ำใหข้ อ้ ความต่อไปนี้เปน็ เท็จ
20.1. ถา้ 1 เป็นค่าวกิ ฤต แลว้ จะเกิดจุดต่ำสดุ /สูงสดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = 1

แบบฝึ กหดั ทบทวน กลางภาค 206111 หน้าที่ 6

20.2. ถ้า f ′(0), f ′(1), f ′(2) < 0 แล้ว f จะเป็นฟงั กช์ นั ลดบนช่วง [0, 2]

20.3. ถา้ f ′′(1) = 0 แลว้ f มจี ดุ เปล่ยี นเว้าที่ x = 1

20.4. ถา้ f มี x = 1 เปน็ เส้นกำกบั แนวตง้ั แลว้ f (1) จะหาคา่ ไมไ่ ด้

แบบฝึ กหัดทบทวน กลางภาค 206111 หน้าที่ 7

21. (4 คะแนน) ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีมสี มบตั ิดังต่อไปนี้

a. lim f (x) = +∞ และ lim f (x) = 2 และ lim f (x) = 3
x→−1− x→−1+ x→−∞

b. f (−2) = 0, f (−1) หาค่าไมไ่ ด้, f (0) = 1, f (1) = 0, f (2) = −1

c. f ′(x) ≥ 0 บนชว่ ง (−2, −1) และ (2, +∞)

d. f ′(x) ≤ 0 บนช่วง (−∞, −2) และ (−1, 2

e. f ′′(x) ≥ 0 บนชว่ ง (−2, −1) และ (0, +∞)

f. f ′′(x) ≤ 0 บนช่วง (−∞, −2) และ (−1, 0)

จงเขยี นกราฟของ f

22. อาจารย์เอ่เอต๊ ้องการเดินด้วยความเรว็ คงท่ี จากห้องพกั ไปยงั จดุ วางขนม และ หยิบขนมไปยงั หอ้ งเรียน
โดยมีเส้นทางการเดินดังรปู

จงหาวา่ ควรวางขนมห่างจากจุด X เท่าใด ตามแนวผนัง XY จึงจะทำให้อาจารย์เอ่เอ๊ใชเ้ วลาน้อยท่สี ดุ
ในการเดนิ ไปยังหอ้ งเรียน

แบบฝึกหัดทบทวนกอ่ นสอบกลางภาค 1 หนา้ ที่ 1

1. For the function f graphed in the figure, find the following limits.

จากกราฟของฟังก์ชัน f ที่กาหนดให้ จงหาลิมติ ต่อไปนี้

3 1.1 lim f (x) =.…………………….
2 x2
1
1.2 lim f (x) =.…………………….
-2 -1 -1 1 2 x0

1.3 lim f (x) =.…………………….
x0

1.4 lim f (x) =.…………………….
x2

1.5 lim f (x) =.…………………….
x2

1.6 lim f (x) =.…………………….
x

2. Find the limits. จงคานวนหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 2.2 lim x 1 =......................................
2.1 lim 2  x = ......................................
x1 (x  2)(x  3)
x1 (x 1)(x  3)
2.4 lim x 1 =......................................
2.3 lim x  3 =......................................
x2 (x  2)2
x2 (x  2)2

3. Show that, the function f (x)   x2  5, x  3 is continuous at x = 3.

 x 13 x  3

จงแสดงว่าฟังก์ชัน f ( x)   x2  5, x  3 ต่อเน่ืองที่จดุ x = 3 Let f (x)  x 1. Use definition of

 x 13 x  3

derivative to find f '(x) , and then find f '(8) .

กาหนดให้ f (x)  x 1 จงหา f '(x) โดยใช้นิยามของอนุพันธ์และหา f '(8) Let f (x)  sin x. Find all positive
integers n for which f (n)(x)  cos x.

ให้ f (x)  sin x จงหาจานวนนับ n ทั้งหมด ที่ f (n)(x)  cos x

4. Find g(3) given that g(x)  (x 1) f (x), f (3)  3and f (3)  2 .

จงหา g(3) เมือ่ g(x)  (x 1) f (x), f (3)  3 และ f (3)  2 Let l1 and l2 be tangent lines of
f (x)  x2  4x 1 at (2,5) and (2,11) , respectively. Find an intersection of l1 and l2 .

ให้ l1 เปน็ เส้นสัมผัสกราฟ f (x)  x2  4x 1 ทีจ่ ุด (2,5) และ l2 เปน็ เส้นสัมผสั กราฟ f (x)  x2  4x 1 ที่จดุ

(2,11) จงหาจดุ ตดั ของ l1 และ l2 Find f (x) of the following functions. จงหา f (x) ของฟังก์ชันต่อไปนี้

8.1 f (x)  1  3x4
xe

8.2 f (x)  (  cos x)12

8.3 f (x)  sin x  tan x

แบบฝึกหดั ทบทวนกอ่ นสอบกลางภาค 1 หนา้ ที่ 2

5. Given sin y  x2  y , find d2y . กาหนดให้ sin y  x2  y จงหา d2y
dx2 dx2

6. Given y  cos1 x , derive the formula d cos1 x   1 .

dx 1 x2

กาหนดให้ y  cos1 x จงแสดงที่มาของสตู ร d cos1 x   1

dx 1 x2

7. Given f (x)  (2015)x  log2558 x  tan1(x2 111) , find f '(x) .

ให้ f (x)  (2015)x  log2558 x  tan1(x2 111) จงหา f '(x)
8. Find f '(x) by using logarithmic differentiation. จงหา f '(x) โดยใช้ลอการทิ ึม

12.1 f (x)  x(ex)

12.2 f (x)  x5

(110x) x2  2

9. Miss Pribproud's height increases at a rate 0.10 m/year and her weight increases at a rate 4 kg/year.

How fast is the Body Mass Index (B) changing when her height is 1 m and her weight is 40 kg.

[ B  x when x is weight (kg) and y is height (m)]

y2

ความสงู ของนางสาวพริบพราวเพิ่มขึน้ ด้วยอัตรา 0.10 เมตร/ปี และน้าหนกั เพิ่มข้นึ ด้วยอัตรา 4 กิโลกรมั ตอ่ ปี
จงหาว่าดัชนีมวลกาย (B) เปลีย่ นแปลงอย่างไรเมอ่ื พริบพราวสูง 1 เมตรและหนกั 40 กิโลกรมั

[ B  x , เมื่อ x แทนน้าหนัก (กิโลกรัม) และ y แทนความสูง (เมตร)]

y2

10. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of (1.97)5 .

จงใช้การประมาณเชิงเส้นเฉพาะที่ที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ (1.97)5

11. The side of a cube is measured with a ruler to be 50 inches with a measurement error of at most  1 . Use

15

differentials to estimate the error in the calculated surface area. วัดความยาวด้านของลูกบาศก์ได้ 50 น้ิว โดยมีค่า

ผดิ พลาดจากการวดั ไม่เกิน  1 นิว้ จงใชด้ ิฟเฟอเรนเชียลในการประมาณค่าผดิ พลาดในการคานวณพื้นทีผ่ วิ ของ

15

ลูกบาศก์น้ี

12. Find the limits. จงหาลิมติ

16.1 lim 3x6  x
x3  8
x

16.2 lim x4  5  x2
x

13. Evaluate the given limit. จงแสดงวธิ ีการหาค่าลิมติ

17.1 lim111x

x0 sin x

17.2 lim(x  2)x2
x2

แบบฝึกหดั ทบทวนกอ่ นสอบกลางภาค 1 หนา้ ที่ 3

14. Let f (x)  2(x  2)(x  2) . Given that f '(x)  ( x  48x 4)2 , f ''(x)  ( 48(16  3x2 )
4)2 (x  x  4)3(x  4)3
(x  4)(x  4)

Determine the following properties of the graph of f .

กาหนด f (x)  2(x  2)(x  2) และให้ f '(x)  (x  48x 4)2 , f ''( x)  ( 48(16  3x2)
4)2 (x  x  4)3(x  4)3
(x  4)(x  4)

จงหาสมบตั ิต่าง ๆ ดังขา้ งล่าง ของกราฟของฟังก์ชัน f

18.1 The x- and y-intercepts. จุดตัดแกน x และ จุดตัดแกน y

18.2 The vertical asymptotes and the horizontal asymptotes. เส้นกากับในแนวดิ่งและแนวนอน

18.3 The intervals of increase and decrease. ช่วงที่กราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่มและช่วงทีเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั ลด

18.4 The intervals of concave up and concave down. ช่วงทีก่ ราฟโค้งหงาย และช่วงที่กราฟโค้งคว่า

18.5 The relative extrema and inflection points จดุ สุงสดุ สมั พัทธ์ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์ และจดุ เปลีย่ นโค้ง

18.6 Sketch the graph. วาดกราฟของฟังก์ชนั f

Y

X

19. In each part, use the graph of y  f (x) in the accompanying figure to find the requested information.
กาหนดกราฟ y  f (x) ดังรูป จงหา

y
y = f (x)

34 x

12 567

แบบฝึกหัดทบทวนกอ่ นสอบกลางภาค 1 หนา้ ที่ 4

19.1 Complete the table that shows the signs of f ' and f '' over the given intervals.

จงเติมเคร่อื งหมาย + หรอื – ของ f ' และ f '' บนช่วงทีก่ าหนด ในตารางข้างล่าง

Interval Sign of f ' signs of f ''

1 x  2
2 x3
3 x4
4 x5
5 x6
6 x7

19.2 Find the x-coordinates of all inflection points. หาค่า x ที่เป็นจุดเปลี่ยนโค้ง
20. A garden is to be laid out in a rectangular area and protected by a chicken wire fence. What is the largest
possible area of the garden if only 300 running feet of chicken wire is available for the fence?

ต้องการล้อมรว้ั เปน็ รูปสี่เหลีย่ มผืนผ้าเพื่อเลี้ยงไก่ โดยทีค่ วามยาวของรว้ั ท้ังหมดคือ 300 ฟตุ จงหาว่ารั้วแต่ละด้าน
จะต้องมคี วามยาวเท่าใด จึงจะได้พ้ืนที่เลีย้ งไก่มากทีส่ ุด และได้พ้ืนที่เท่าใด

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 1
1. For the function f graphed in the figure, find the following limits.

จากกราฟของฟังก์ชัน f ทีก่ าหนดให้ จงหาลิมติ ต่อไปนี้

2 4 1.1 lim f (x) =.…………………….
1 x2
-2 0
1.2 lim f (x) =.…………………….
-3 x2

1.3 lim f (x) =.…………………….
x0

1.4 lim f (x) =.…………………….
x0

1.5 lim f (x) =.…………………….
x0

1.6 lim f (x) =.…………………….
x4

2. Find the limits. จงคานวนหาค่าลิมิตต่อไปนี้ 2.2 lim 3 x ......................................
2.1 lim x  7 ......................................
x3 sin 2x
x3 (x  3)ex
2.4 lim ln(5  x) ......................................
2.2 lim x  6 ......................................
x0 x9
x0 x3  x

3. Show that, the function f ( x)   1 x 1 is continuous at x = 1.
 , x 1

x2 1

cos  x 
  3 

จงแสดงว่าฟังกช์ นั f ( x)   1, x 1 ต่อเนือ่ งที่จดุ x = 1
 x2 1 x 1

cos  x 
  3 

4. กาหนดให้ f (x)  3x4  kx3  9 และ lim f (x)  f (1)  0

x1 x 1

4.1 จงหาค่าของ f (1) (โดยไม่ติดค่า k )
4.2 จงหาสมการเส้นสัมผัสกราฟ f ที่จุด (1,3)
4.3 จงหาค่า k
4.4 จงหา f (3)

5. กาหนดให้ และ เปนนฟงั ก์ชันทีห่ าอนุันั ์์ได้ และ d  f  g1  8, f (1)  5 จงหา g(1)

dx

6. ให้ y  f (x) เปนนฟงั ก์ชนั ที่ y(98) (x)  x101 จงหา y(100)(x)

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 2
7. จงแสดงว์ิ ีหาอนุััน์์ของฟังก์ชนั ต่อไปนี้

 22 5 t2  cost

7.1 f (t) 

7t

7.2 f (x)  3x tan1 x

2558

7.3 f ()  log5(cos)

8. จงแสดงที่มาของสูตร d sin1 x  1

dx 1 x2

9. กาหนดค่าของฟังก์ชันและอนัุ ัน์์ ดงั ตาราง

x f (x) f (x)

3 1 3

925

9.1 จงหา g(3) เมื่อกาหนด g(x)   f (x)2

9.2 จงหา h(3) เมื่อกาหนด h(x)  f (x2)
10. จงหาความชนั ของเส้นสัมผัสกราฟของ xy  ey  x2 ที่จดุ (1,0)
11. กาหนดให้ f (x)  xtanx จงหา f (x) โดยใช้ลอการทิ ึม

12. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of e1.1

จงใช้การประมาณเชิงเส้นที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ e1.1 (ในการคานวณค่าใหแ้ ทน e ดว้ ย 2.7 )A student has
developed a software for calculating a volume of a sphere. The software takes a radius as an input. The student

wanted to find the volume of a sphere with 3 inch radius, but he made a mistake by entering 3.1 into the software.

Use differentials to estimate the error of the volume calculation   4 r3  .
V 3 
 

นักเรียนคนหน่งึ สร้างโปรแกรมสาหรับหาปริมาตรของทรงกลมโดยป้อนคา่ รัศมเี ท่านั้น ซึ่งเขาจะทดลองหาปริมาตรของทรง

กลมรัศมี 3 นิว้ แต่ป้อนค่าผิดเปนน 3.1 นิว้ จงใชด้ ิฟเฟอเรนเชียลในการประมาณค่าผดิ ัลาดในการคานวณปริมาตรของ

ทรงกลม   4 r3  If x, y and z are lengths of the edges of a rectangular box, the common length of box’s
V 3 
 

diagonals is s  x2  y2  z2 . Assuming that x, y and z are differentiable functions of t , how is ds related to

dt

dx , dy and dz . ให้ x, y และ z เปนน ความยาวของด้านของกล่องส่เี หลี่ยมซึ่งมคี วามยาวเส้นทแยงมุมคือ

dt dt dt

s  x2  y2  z2 สมมตใิ ห้ x, y และ z เปนน ฟงั ก์ชันที่หาอนัุ ัน์์ได้ในตัวแปร t

14.1 จงหา ds ในรูปของ dx , dy และ dz
dt dt dt dt

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 3

14.2 เมือ่ ดา้ นกว้าง (x) เัิ่มขึน้ ด้วยอตั รา 2 หนว่ ยต่อวินาที ด้านยาว (y) ลดลงด้วยอตั รา 1 หนว่ ยต่อวินาที ดา้ นสูง

(z) เัิ่มขึน้ ด้วยอัตรา 3 หนว่ ยต่อวินาที จงหา ds เมื่อ x  3, y  4 และ z  5 ัร้อมท้ังอ์ิบายความหมายของ

dt

ค่าที่คานวณได้

13. A girl flies a kite at a height of 300 ft, the wind carrying the kite horizontally away from her at rate of 25 ft/sec.
How fast must she let out the string when the kite is 500 ft away from her?
เดก็ หญิงคนหน่ึงกาลังเล่นว่าว ซึง่ อยู่ที่ความสงู 300 ฟุต ลมได้ััดว่าวในแนวนอนทิศทางัุ่งออกจากเด็กหญิงดว้ ย
อตั ราเรว็ 25 ฟุต/วนิ าที ในขณะที่วา่ วอยู่ห่างจากเดก็ หญิงเปนน ระยะทาง 500 ฟุต อตั ราเรว็ ในการปล่อยสายป่านว่าว
ของเด็กหญิงเท่ากับเท่าใด?

300 เมตร

14. Find the limits. จงหาลิมติ

16.1 lim 36x4 100
x2 8
x

16.2 lim x  5  x  4
x

15. Evaluate the given limit. จงแสดงว์ิ ีการหาค่าลิมติ

17.1 lim sin x

x0 sin  7 x 

 1  x2
 2x 
17.2 lim

x0

16. จงหาจดุ วิกฤตของฟงั กช์ ัน f (x)  x2
x2  4

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 4
17. The picture shows the graph of dervatives f (x) of the function f (x) on a closed interval [3,5] .

ภาัแสดงกราฟของอนัุ ัน์์ f (x) ของฟงั ก์ชนั f (x) บนช่วงปิด [3,5]

2
1

-3 -2 -1 0 1 2345
-1

-2

Determine the following properties of the graph of f . จงหาสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้ ของกราฟของฟังก์ชนั f

19.1 The intervals of increase. ช่วงทีก่ ราฟเปนนฟังก์ชนั เัิ่ม
19.2 The intervals of decrease. ช่วงทีก่ ราฟเปนน ฟังก์ชนั ลด
19.3 The intervals of concave up. ช่วงที่กราฟโค้งหงาย (เว้าข้นึ )
19.4The intervals of concave down. ช่วงที่กราฟโค้งคว่า (เว้าลง)
19.5 The relative extrema points. ค่า x ที่ทาให้เกิดจุดสุงสุดสัมััท์์ ตา่ สุดสมั ัทั ์์
18. จงใช้ขอ้ มลู ที่กาหนดให้เัือ่ วาดกราฟของ y  f (x) ซง่ึ มสี มบตั ดิ ังตอ่ ไปนี้

a) y  f (x) เปนน ฟังก์ชนั ทีห่ าค่าได้ทุกจุด และต่อเนือ่ งยกเว้นเัียงจดุ เดียว

b) f (x)  0 ที่ x  3 และ f (x) หาค่าไม่ได้ที่ x  3, 4

c) f (3)  0, f (0)  3 และ f (4)  1

d) lim f (x)   , lim f (x)   , lim f (x)  1 และ lim f (x)  4
x x4 x4 x

e) กาหนดค่าของ f (x)และ f (x) ดังตอ่ ไปนี้

ค่าของ

ค่าของ

-3 0 4

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 5

19. Sketch a graph of f on the interval [3,3] satisfied each of the following conditions (if exists).
จงวาดกราฟของฟังก์ชัน f บนช่วง [3,3] ซึง่ มีสมบตั ิดังตอ่ ไปนี้ (ถ้ามี)

21.1 f does not has any absolute maximum on [3,3].
f ไม่มคี ่าสูงสดุ สัมบูรณ์บนช่วง [3,3]

21.2 f has an absolute minimum on [3,3], but there is not any critical point of f in [3,3].
f มีคา่ ต่าสดุ สมั บรู ณ์บนชว่ ง [3,3] แต่ f ไม่มคี ่าวิกฤตในชว่ ง [3,3]

แบบทบทวนก่อนสอบกลางภาค 6

20. Suppose that s  f (t)  t3 15t2 72x 8 is the position function of a particle, where s is in meters and t is
in seconds.

กาหนดสมการตาแหน่งของอนุภาคดังตอ่ ไปนี้ s  f (t)  t3 15t2 72x 8
โดย s มีหน่วยเปนน เมตร และ t มีหน่วยเปนน วินาที
22.1 At what time that the particle is at its highest speed?

ณ เวลาใดอนุภาคจึงจะมีความเรว็ สงู สดุ

22.2 Find the lowest velocity of the particle over the time interval [3, 6]

จงหาความเรว็ ต่าสดุ ของอนุภาคในช่วงเวลา [3, 6]

แบบฝึกหัดทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที่ 1

1. From the given graph of the function f , find the following limits.

จากกราฟของฟังก์ชนั f ที่กาหนดให้ จงหาลิมติ ต่อไปนี้

a) lim f (x) 
x1 

b) lim f (x) 
x1

c) lim f (x) 
x2

d) lim f (x) 
x3 

e) lim f (x) 
x

f) lim  x  ( f ( x))2  

x4

2. Find the following limits. จงหาลิมิตต่อไปนี้

a) lim (x  3)(x  2) 

x0 x(x  0.0001)

b) lim x  9 

x9 x  3

3. The values of x (if any) where the function f (x)  x2 3x  4 is discontinuous are
 7x 12

ค่า x (ถ้ามี) ที่ทาให้ฟังก์ชนั f (x)  x2 3x  4 ไม่ต่อเน่อื ง คือ x
 7x 12

4. Consider the function พิจารณาฟงั ก์ชัน

 x2, x 1
g(x)  5x 1,
1 x  2

 9, x2


a) Show that g is continuous at x  2. จงแสดงว่า g ต่อเนอ่ื งที่ x  2

b) Is g continuous on the interval [1,2]? Justify your answer.

g ต่อเน่อื งบนช่วง [1,2] หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

5. Suppose that a function f is continuous everywhere and that f (1)  2 , f (0)  3 , and f (2)  7.Does the Intermediate-

Value Theorem guarantee that the equation f (x)  5 has an answer on the following intervals? สมมติ f เปน็ ฟงั กช์ ันที่

ต่อเนือ่ งทุกจดุ โดยที่ f (1)  2 f (0)  3 และ f (2)  7 จงระบวุ ่าทฤษฎีบท

คา่ ระหว่างกลางสามารถสรุปได้วา่ มีคาตอบของสมการ f (x)  5 อยู่ในช่วงต่อไปนหี้ รอื ไม่

a) [1,0] สรุป (ได/้ ไม่ได)้ เพราะ
b) [0,2] สรปุ (ได/้ ไม่ได)้ เพราะ

6. Let f be a function defined by
ให้ f เปน็ ฟังก์ชันทีน่ ิยามโดย

f ( x)   x2, x 1
 x 1
ax  b,

a) Find a condition on a and b such that f is continuous at x 1.

จงหาเง่ือนไขของ a และ b ทีท่ าให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่ x 1

b) If f is differentiable at x 1, find a and b. ถ้า f สามารถหาอนุพนั ธ์ได้ที่ x 1 จงหาค่าของ a และ b

แบบฝึกหดั ทบทวนกลางภาคชดุ ที่ 4 หน้าที่ 2

7. Sketch the graph of a function that is continuous everywhere, but not differentiable at x 1.

Give a reason why your answer works. จงวาดกราฟของฟังก์ชันซึง่ ต่อเน่อื งทีท่ ุกจุด แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่

x 1 พร้อมใหเ้ หตุผลประกอบ

Reason เหตผุ ล

8. Let f be a function given by
ให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ทีน่ ิยามโดย

f (x)  2x5  3x4 11x3 16x2  x 17

Find จงหา

a) f (x)

b) d 5 f

dx5
x  206111

c) an equation of the tangent line to the curve of y  f (x) at x  1.

จงหาสมการเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง y  f (x) ที่ x  1

9. Find dy of the following functions. จงหา dy ของฟงั ก์ชันต่อไปนี้

dx dx

a) y  x sin x

b) y  tan99(99x)

c) y   e  2016ex  log59 x  cos1 x

25

10. Let f and g be differentiable functions such that f (2) 1, g(2) 2 , f (2)  3 and g(2)  4 . กาหนดให้ f

และ g เป็นฟงั ก์ชันที่หาอนพุ ันธ์ได้ โดยที่ f (2) 1 g(2) 2 f (2)  3 และ g(2)  4

a) Find จงหา  f 
 g  (2)
 

b) If h(x)  sin( f (x) 1) , then find h(2). ถ้า h(x)  sin( f (x) 1) จงหา h(2)

11. Use implicit differentiation to find dy if xsin1 y  111x .

dx

จงใช้อนพุ นั ธ์โดยปริยายหา dy ถ้า x sin1 y  111x

dx

12. Given f (x)  xlnx, find f (x) by using logarithmic differentiation.
กาหนดให้ f (x)  xlnx จงหา f (x) โดยใช้ลอการทิ ึม

แบบฝึกหดั ทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที่ 3
13. Derive the following formula.

จงแสดงที่มาของสูตรต่อไปนี้ tan d1x2   2x
 x4
dx 1

14. A particle is moving along the curve x2  y2 1, where x and y are differentiable functions of time t . Find

28

the rate of change of y with respect to time at the point (1,2) when x is decreasing at a rate of 1
unit/second.

อนภุ าคหน่งึ กาลังเคลือ่ นทีต่ ามเส้นโค้ง x2  y2 1, โดยที่ x และ y เป็นฟงั ก์ชันของเวลา t ที่หาอนุพนั ธ์ได้ จงหา

28

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั เวลา ทีจ่ ดุ (1,2) เมื่อ x กาลงั ลดลงด้วยอัตรา 1 หนว่ ยต่อวินาที
15. Use an appropriate local linear approximation to estimate the value of 103.05, given ln10  2.30.

จงใช้การประมาณเชิงเส้นที่เหมาะสมในการประมาณค่าของ 103.05 (ในการคานวณใหใ้ ช้ ln10  2.30)
16. The length L of a pendulum and its period T are related by the equation

ความยาวเชือกของเพนดูลัม L และคาบของเพนดูลมั T สมั พนั ธ์กนั ตามสมการ

T  2 L
g

where g is a constant due to gravity. โดยที่ g เป็นค่าคงตวั อนั เนื่องมาจากความถ่วง

a) The differential of T with respect to L is

ดิฟเฟอเรนเชยี ลของ T เมื่อเทียบกับ L คือ

b) If the length of the pendulum is measured as 90 cm with an error of 0.3 cm, estimate the error in

computation of the period of the pendulum, given   3.14 and g  10.

ถ้าวดั ความยาวเชอื กของเพนดลู ัมได้ 90 เซนติเมตร ด้วยค่าความผดิ พลาด 0.3 เซนติเมตร จงประมาณค่าความ

ผดิ พลาดในการคานวณคาบของเพนดลู มั (ในการคานวณใหใ้ ช้  3.14 และ g  10 )

17. Find the following limits if they exist. In the case when any limit is infinity, indicate the limit as  or  จงหา

ค่าของลมิ ิตต่อไปนี้ ถ้าลมิ ิตหาค่าได้ ในกรณีทีล่ มิ ิตเป็น  หรอื  ให้ระบดุ ้วย

a) lim (x5  3x3  2x2 10)
x 

b) lim 1

x 1  e x

c) lim x2  8

x  x  

18. Indicate the type of an indeterminate form of the following limit. Also, find the limit.
จงระบวุ ่าลิมิตต่อไปนี้อยู่ในรูปแบบยังไม่กาหนดชนิดใด และแสดงวธิ ีหาค่าลิมิต

lim  ex x  cosec x 
 sin 
x0  

แบบฝึกหดั ทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที่ 4

19. The picture shows the graph of the derivatives f (x) of a function f on [2,6].

ภาพแสดง กราฟของอนุพันธ์ f (x) ของฟังก์ชนั f บนช่วงปิด [2,6]

Find จงหา
a) the intervals on which f is increasing.
ช่วงที่ f เป็นฟังก์ชนั เพิ่ม
b) the intervals on which f is concave down.
ช่วงที่ f เว้าลง
c) all the values of x at which f has an inflection point.
ค่า x ท้ังหมดที่ทาให้เกิดจุดเปลี่ยนเว้า
d) all the values of x at which f has a relative extremum.

ค่า x ทั้งหมดทีท่ าให้เกิดจดุ สุดขีดสัมพทั ธ์

20. Assume that y  f (x) is differentiable everywhere. Determine whether the following statements are true or
false. Explain your reasons. กาหนดให้ y  f (x) เปน็ ฟงั ก์ชนั ทีห่ าอนพุ นั ธ์ได้ทุกจุด จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนีเ้ ป็น
จรงิ หรือเทจ็ พร้อมทั้งอธิบายเหตุผล
a) If f (x)  0 on (2, 4), then f (2)  f (3)  f (4). ถ้า f (x)  0 บนช่วง (2, 4) แล้ว f (2)  f (3)  f (4)
b) If f (3)  0, then f is increasing on (2,4). ถ้า f (3)  0 แล้ว f เปน็ ฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (2,4)

21. Find the value of k for which the critical points of f (x)  x3  kx 5 are 2 and 2.
จงหาค่า k ที่ทาให้ค่าวิกฤตของฟังก์ชนั f (x)  x3  kx 5 คือ 2 และ 2

22. A function f has the derivative
ฟังก์ชนั f มีอนุพันธ์คอื

f (x)  (x 1)2(x  2)

Answer the following questions. จงตอบคาถามตอ่ ไปนี้
a) Determine the critical point of f . จงหาค่าวิกฤตของ f
b) Find the intervals on which f is decreasing. จงหาช่วงที่ f เป็นฟงั ก์ชันลด
c) Find the intervals on which f is concave up. จงหาช่วงที่กราฟของ f โค้งหงาย (เว้าขึน้ )
d) At each critical point determine whether f has a relative maximum, relative minimum, or neither occurs.

จงทดสอบค่าวิกฤตทีไ่ ด้จากข้อ a) ว่าทาให้ f มคี ่าสูงสุดสมั พัทธ์หรอื ค่าต่าสุดสัมพทั ธ์หรอื ไม่

แบบฝึกหดั ทบทวนกลางภาคชุดที่ 4 หน้าที่ 5

23. You want to fence a rectangular piece of land and can afford to pay at most 8,000 ฿ for the fencing. Along an

adjoining road it will cost 120฿ per meter while the other three sides will cost only 80 ฿ per meter. What are the

dimensions of the largest piece of land you can fence this way?

ต้องการล้อมรวั้ รอบบริเวณสี่เหลีย่ มผืนผา้ และสามารถจา่ ยเงนิ ค่าล้อมรวั้ ได้อย่างมาก 8,000 บาท การล้อมรว้ั ด้านที่

ติดถนนเสียค่าใช้จ่าย 120 บาทต่อเมตร และอกี สามด้านที่ไม่ติดถนนจะเสียค่าใช้จา่ ย 80 บาทต่อเมตร จงหาขนาดของ

บริเวณสีเ่ หลี่ยมผืนผา้ ทีม่ พี ื้นที่มากทส่ี ดุ ทีส่ ามารถล้อมรวั้ ได้

24. จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชัน f เมื่อ f มีสมบัติดงั น้ี

f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื งบน 2 และ f หาอนุพันธ์ได้บน 2,5

เส้นกากบั แนวนอน (horizontal asymptote) ของกราฟของ f คือ y 1

เส้นกากับแนวยืน (vertical asymptote) ของกราฟของ f คือ x 2

f (1)  2, f (3) 1, f (5)  0, f (1)  0, f (3)  0

lim f (x)  , lim f (x)  1, lim f (x)  , lim f (x)  

x  x x2  x2

x เครือ่ งหมายของ f  เครือ่ งหมายของ f 
x1
1x2  
2x3  
3x5  
x5  
 