ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 1 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

ในการวางแผนและตดั สนิ ใจทางธุรกจิ ผู้ประกอบการอาจต้องใช้ขอ้ มูลท่เี กบ็ รวบรวมมาใน
การสร้างแบบจาลองเพ่อื คาดการณ์แนวโนม้ หรือความน่าจะเปน็ ในสถานการณ์ต่างๆ ตัวอยา่ งเชน่
ผู้ประกอบการรา้ นขายเครื่องดืม่ และของหวานอาจใช้ขอ้ มูลเกี่ยวกับระยะเวลาทลี่ ูกคา้ ใชบ้ ริการที่
รา้ นขายเคร่อื งดม่ื และของหวานแต่ละร้านทีส่ มุ่ มาในละแวกนน้ั ในการพิจารณาแนวโน้มหรือ
ความน่าจะเปน็ ของระยะเวลาท่ีลูกค้าจะเข้ามาใชบ้ ริการท่ีรา้ นของตน เพอื่ ใชใ้ นการวางแผนจัดเตรยี ม
สถานที่ รวมทั้งจดั เตรียมวตั ถดุ ิบในแต่ละชว่ งเวลา เพ่อื ลดรายจา่ ยท่ีไม่จาเปน็ ให้ได้มากทส่ี ดุ

สว่ นเน้ือหาในบทน้ีจะเปน็ ความร้พู ้นื ฐานสาหรับการวิเคราะห์ขอ้ มูลโดยใชส้ ถติ ศิ าสตรเ์ ชิง
อนมุ าน เนื่องจากการวิเคราะหข์ ้อมลู โดยใชส้ ถิติศาสตรเ์ ชงิ อนุมานเป็นการหาข้อสรปุ เกีย่ วกบั ลักษณะ
ของประชากรโดยใช้เพียงขอ้ มูลของตัวอยา่ งท่เี กบ็ มา จงึ ทาใหส้ ถิติศาสตรเ์ ชงิ อนุมานมเี รือ่ งของความ
ไม่แนน่ อนเข้ามาเก่ียวขอ้ ง เพราะเปน็ ไปไดท้ ีข่ อ้ มูลของตวั อยา่ งจะให้ขอ้ สรปุ ทางสถติ ิศาสตรท์ แี่ ตกต่าง
จากขอ้ มูลของประชากร ดว้ ยเหตุน้ี ความรเู้ ร่อื งความน่าจะเป็นจึงมบี ทบาทสาคญั ในการศึกษา
สถิตศิ าสตร์เชิงอนุมาน อยา่ งไรกต็ าม ถึงแม้จะมีความไม่แน่นอนเกดิ ข้ึนจากการวิเคราะหข์ อ้ มูลโดยใช้
สถติ ิศาสตรเ์ ชิงอนุมาน แตส่ ถติ ิศาสตรเ์ ชิงอนุมานก็เปน็ เรือ่ งสาคญั และมปี ระโยชน์มากเนื่องจาก
โดยทวั่ ไปแลว้ การหาขอ้ มูลของประชากรเป็นไปไดย้ าก เพราะไมม่ ที รพั ยากร งบประมาณหรอื เวลา
เพยี งพอในการเก็บรวบรวมขอ้ มลู ให้ไดค้ รบสมบรู ณ์

นอกจากน้ี การนาความน่าจะเปน็ มาใช้ในการศึกษาสถิติศาสตรย์ ังชว่ ยใหส้ ามารถศกึ ษาขอ้ มูล
ทม่ี จี านวนไม่แนน่ อนได้ เชน่ หากตอ้ งการหาคา่ เฉลี่ยของระยะเวลาที่นกั ท่องเทย่ี วชาวต่างประเทศใช้
ท่สี นามบนิ สุวรรณภมู ิ เนอื่ งจากนกั ท่องเที่ยวท่ีเดินทางเขา้ มาทสี่ นามบนิ สุวรรณภมู ิมีจานวนไม่แนน่ อน
จงึ ไมส่ ามารถใช้สูตรการหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตได้ แตจ่ ะตอ้ งนาความน่าจะเป็นมาใช้ในการศึกษาผา่ น
ตวั แปรส่มุ

ความหมายและชนดิ ของตวั แปรสุม่ (random variable)

พิจารณาการทดลองสมุ่ ซึ่งไดจ้ ากการโยนเหรยี ญที่เท่ยี งตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง
ให้ S แทน ปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสมุ่ นี้

H แทน เหรียญขน้ึ หวั
และ T แทน เหรียญขนึ้ ก้อย
จะได้ S = { HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT }
และ n(S) = 8
ให้ E0 , E1 , E2 และ E3 แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว 0 , 1 , 2 และ 3 คร้งั ตามลาดับ
โดยใช้ความรเู้ รอ่ื งความนา่ จะเปน็ จะได้วา่

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 2 เรื่อง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

P(E0) = 1 P(E1) = 3 P(E2) = 3 P(E3) = 1
8 8 8 8

จากสถานการณ์ขา้ งตน้ จะเหน็ วา่ ส่ิงท่ีสนใจไมใ่ ชห่ น้าของเหรียญทีปรากฏในการโยนเหรียญแต่ละ
ครง้ั แตส่ นใจจานวนคร้งั ที่เหรยี ญขึน้ หวั ในการทดลองสมุ่ นี้ ซง่ึ มคี า่ ที่เปน็ ไปได้ 4 คา่ คอื 0 , 1 , 2 และ 3
โดยจะยังไม่ทราบวา่ คา่ ท่ีได้จริงๆ คือคา่ ใดจนกว่าจะเสรจ็ ส้นิ การทดลองสมุ่ จงึ อาจกาหนดฟงั กช์ ัน X จาก
ปรภิ ูมติ วั อย่าง S ไปยัง {0 , 1 , 2 , 3} เพ่ือแปลงผลลพั ธ์ที่อาจเปน็ ไปไดท้ ั้งหมดของการทดลองส่มุ ให้อยู่
ในรปู ตัวเลข โดยกาหนดให้

X (HHH) = 3 X (HHT) = 2 X (HTH) = 2 X (HTT) = 1
X (THH) = 2 X (THT) = 1 X (TTH) = 1 X (TTT) = 0
จะเรียก X ว่า ตวั แปรสุม่ ซ่งึ มบี ทนิยามดงั ตอ่ ไปนี้

บทนิยาม
ตัวแปรสมุ่ (random variable)
คือ ฟังก์ชนั จากปรภิ ูมติ ัวอยา่ งของการทดลองสุม่ ไปยงั เซตของจานวนจรงิ

จะเรียกสมาชิกของเรนจข์ องตวั แปรสมุ่ วา่ คา่ ของตวั แปรสุม่ ซง่ึ แตล่ ะค่าจะเกิดไดด้ ว้ ย
ความน่าจะเป็นค่าหนง่ึ

โดยท่ัวไปนยิ มใชต้ ัวอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พใ์ หญ่แทนตัวแปรสุม่ เช่น X , Y , Z และใช้
ตัวอักษรภาษาอังกฤษพมิ พ์เลก็ แทนค่าของตวั แปรส่มุ เช่น x , y , z

จากสถานการณโ์ ยนเหรยี ญทีเ่ ทยี่ งตรง 1 เหรียญ 3 ครง้ั ให้ x แทนคา่ ทเ่ี ป็นไปไดข้ อง

ตวั แปรสุ่ม X จะได้ว่า x  {0 , 1 , 2 , 3}
จะใช้สัญลกั ษณ์ X = x แทนเหตุการณ์ทเ่ี หรียญขน้ึ หัว x ครัง้
ดังน้นั จะเขียน P(X=0) แทน P(E0) หรอื ความนา่ จะเปน็ ท่เี หรียญขน้ึ หวั 0 ครั้ง
P(X=1) แทน P(E1) หรอื ความนา่ จะเป็นทเี่ หรียญข้นึ หวั 1 ครัง้
P(X=2) แทน P(E2) หรือความน่าจะเป็นทเี่ หรียญข้นึ หวั 2 ครั้ง
และ P(X=3) แทน P(E3) หรือความนา่ จะเปน็ ทีเ่ หรียญขึ้นหัว 3 ครั้ง

โดยทว่ั ไป ตัวแปรสมุ่ แบ่งไดเ้ ป็น 2 ชนิด ตามลกั ษณะของค่าท่เี ป็นไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ ดงั น้ี
1. ตัวแปรสุ่มไมต่ อ่ เนอ่ื ง (discrete random variable) คือตวั แปรสมุ่ ท่ีคา่ ที่เปน็ ไปได้ทง้ั หมด

อย่ใู นเซตทส่ี ามารถนบั จานวนสมาชิกได้ หรือคา่ ท่ีเปน็ ไปได้ท้งั หมดของตัวแปรสมุ่ สามารถ
เขียนเรียงลาดบั จากน้อยไปมากได้ ท้งั น้ี เซตของคา่ ทเี่ ป็นไปไดท้ ้ังหมดของตัวแปรส่มุ
ไม่ตอ่ เนอื่ งอาจเปน็ เซตจากดั หรอื เซตอนนั ตก์ ็ได้
ตวั อย่างเชน่

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 3 เร่ือง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

 ในการทอดลกู เต๋า 2 ลกู พรอ้ มกนั 1 ครั้ง ถา้ ให้ตัวแปรสุ่มคอื ผลบวกของแต้มบน
หน้าลูกเต๋าทงั้ สองจะได้เซตของค่าทเ่ี ปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสุ่ม คอื
{2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}

 ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 1 คร้งั ถา้ ใหต้ ัวแปรสุ่มเปน็ 0 เมื่อเหรยี ญข้ึนหวั และ
1 เมื่อเหรียญข้ึนก้อย จะไดเ้ ซตของคา่ ทเี่ ปน็ ไปได้ทงั้ หมดของตวั แปรสุ่มคือ {0 , 1}

 ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ ไปเรือ่ ยๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัวจงึ จะหยดุ ถ้าให้
ตวั แปรสมุ่ คือ จานวนคร้ังที่ต้องโยนเหรียญจนกว่าเหรียญจะข้ึนหัว จะไดเ้ ซตของ
คา่ ทเ่ี ป็นไปได้ทั้งหมดของตวั แปรสมุ่ คือ {1 , 2 , 3 , … } หรือ N

2. ตวั แปรสุ่มตอ่ เนือ่ ง (continuous random variable) คอื ตัวแปรสุม่ ท่ีเซตของค่าที่เป็นไปได้
ท้ังหมดเปน็ ชว่ งท่ีเป็นสบั เซตของ R
ตวั อย่างเช่น

 ให้ตัวแปรสมุ่ คอื ความสงู (เซนติเมตร) ของนกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ห้องหน่ึง
อาจได้ว่าเซตของค่าทเี่ ป็นไปไดท้ ั้งหมดของตวั แปรส่มุ เป็นช่วง [150,190]

 ใหต้ ัวแปรสุ่มคอื น้าหนกั (กโิ ลกรัม) ของแตงโม ที่เกบ็ เกย่ี วจากสวนแห่งหนงึ่
อาจไดว้ ่าเซตของค่าท่เี ป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสมุ่ เป็นชว่ ง [1,6]

 ให้ตวั แปรสมุ่ คอื ระยะเวลา (ชัว่ โมง) นบั จากปจั จุบันจนเกดิ แผน่ ดินไหวคร้ังตอ่ ไปที่

จงั หวดั ลาปางอาจได้ว่าเซตของค่าที่เป็นไปไดท้ ้ังหมดของตวั แปรสมุ่ เปน็ ช่วง [0,)

แบบเสรมิ ทักษะท่ี 1

จงพจิ ารณาว่าตวั แปรสมุ่ ต่อไปนเ้ี ป็นตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเน่อื งหรอื ตวั แปรสมุ่ ตอ่ เนอื่ ง
1. ตัวแปรสมุ่ X1 คอื จานวนขอ้ สอบ (ข้อ) ท่ีตอบถกู จากจานวนข้อสอบแบบปรนัยท้งั หมด 50 ขอ้

ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนคนหน่งึ
2. ตวั แปรสุม่ X2 คือ จานวนวยั รนุ่ (คน) ทช่ี ่นื ชอบการด่มื ชาเขยี ว จากการสอบถามวัยรุ่นจานวน

100 คน
3. ตวั แปรสมุ่ X3 คอื อณุ หภูมริ ่างกาย (องศาเซลเซียส) ของผู้ป่วยโรคไขห้ วดั ใหญใ่ นโรงพยาบาล

แหง่ หนึ่ง
4. ตวั แปรสุ่ม X4 คือ น้าหนัก (กโิ ลกรัม) ของทารกแรกเกิดในโรงพยาบาลแห่งหนง่ึ
5. ตวั แปรสุ่ม X5 คอื จานวนลกู ค้า (คน) ทม่ี าใช้บริการท่ีธนาคารแหง่ หนึ่งระหว่างเวลา

09.00 – 12.00 น.
6. ตวั แปรสุม่ X6 คอื เวลา (นาท)ี ท่ีใชใ้ นการเดินทางจากสนามหลวงถงึ อนุสาวรียช์ ยั สมรภมู ิโดย

รถโดยสารสาธารณะ

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 4 เรอื่ ง ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

เฉลยแบบเสรมิ ทักษะที่ 1

ข้อ 1. ตวั แปรสุม่ ไม่ตอ่ เนอ่ื ง
ข้อ 2. ตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเน่อื ง
ขอ้ 3. ตัวแปรสุ่มตอ่ เนอ่ื ง
ขอ้ 4. ตัวแปรสุ่มต่อเนอ่ื ง
ขอ้ 5. ตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง
ขอ้ 6. ตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ือง

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 5 เรื่อง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่มไมต่ อ่ เนอ่ื ง

ในการหาความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ ท่ีสนใจ นอกจากจะใช้ความรเู้ ร่ืองความนา่ จะเปน็ ที่
นกั เรยี นได้ศกึ ษามาแล้ว ยังสามารถหาความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ โดยใชค้ วามถ่ีสัมพทั ธจ์ ากตาราง
ความถีไ่ ด้อกี ด้วย ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ ง 1 จานวนพ่นี อ้ งของนักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 หอ้ งหนึ่ง จานวน 50 คน แสดงดว้ ยตาราง
ความถี่ไดด้ งั น้ี

จานวนพ่นี อ้ ง (คน) ความถ่ี ความถสี่ มั พทั ธ์
0 6 0.12
1 22 0.44
2 17 0.34
3 4 0.08
4 1 0.02

ถา้ ส่มุ นักเรยี น 1 คน จากห้องนี้ และให้ตวั แปรสุม่ X คือจานวนพี่น้องของนกั เรียนทสี่ ่มุ ได้ จงหา

ความน่าจะเป็นทน่ี กั เรียนท่ีสุ่มได้จะมีพน่ี อ้ ง x คน เมื่อ x  {0 , 1 , 2 , 3 , 4}
วธิ ีทา

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................... .......
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

จากตวั อยา่ งข้างต้น จะเหน็ ว่าความนา่ จะเปน็ ของการเกดิ แตล่ ะค่าท่ีเป็นไปไดข้ องตวั แปรสุ่มคอื
ความถีส่ มั พัทธ์

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 6 เร่ือง ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

โดยทว่ั ไป สาหรับตัวแปรสุ่ม X ใดๆ จะได้ 0  P(X=x)  1 และผลรวมของความนา่ จะเป็น
ของการเกิดค่าแต่ละคา่ ท่ีเป็นไปได้ทง้ั หมดของตัวแปรสุ่มเท่ากบั 1

เมื่อนาความนา่ จะเปน็ ของการเกดิ ค่าแต่ละค่าทเี่ ป็นไปได้ทงั้ หมดของตวั แปรสมุ่ มาเขยี นแสดงเพ่ือ
อธิบายลักษณะของตวั แปรส่มุ จะเรียกว่า การแจกแจงความน่าจะเปน็ (probability distribution) โดย
อาจเขยี นแสดงในรูปตารางหรอื กราฟ เช่น จากตัวอยา่ งข้างตน้ สามารถเขียนตารางแสดงการแจกแจง
ความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ X ไดด้ ังน้ี

x 0 123 4
P(X=x) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02

ตวั อยา่ ง 2 ใหต้ วั แปรส่มุ X คือ จานวนคร้งั ที่เหรยี ญขึน้ หวั จากการโยนเหรยี ญท่เี ท่ยี งตรง 1 เหรียญ
3 คร้งั จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม X ในรปู ตารางและกราฟ

......................................................................................................................................................................................................................... .
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................. .............................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................... ....................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................... ...........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 7 เรือ่ ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ตวั อย่าง 3 ให้ตัวแปรสุม่ Y คอื ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเตา๋ จากการทอดลกู เต๋าทเี่ ท่ียงตรง 2 ลูก

พร้อมกัน 1 ครง้ั จงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ Y ในรปู ตาราง

และกราฟ

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... .................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................. .........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 8 เรอ่ื ง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น

แบบเสริมทกั ษะที่ 2

1. ข้อสอบยอ่ ยวชิ าคณติ ศาสตร์ชุดหนึ่งมที ้ังหมด 10 ข้อ จานวนขอ้ สอบที่ตอบถกู ในการสอบยอ่ ย
วชิ าคณิตศาสตร์ครงั้ น้ขี องนักเรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ห้องหนึ่ง จานวน 40 คน แสดงด้วย
ตารางความถไี่ ด้ดงั น้ี

จานวนข้อทต่ี อบถกู 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จานวนนกั เรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

ถา้ สมุ่ นักเรยี น 1 คน จากห้องน้ี และให้ตวั แปรสมุ่ X คือ จานวนข้อสอบท่ีนักเรียนคนนี้ตอบถกู
จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม X ในรปู ตาราง

2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค้าชนิดหนงึ่ ซ่ึงมที ง้ั หมด 80 กล่อง แตล่ ะกล่องมสี นิ คา้ จานวน
500 ชนิ้ ผตู้ รวจสอบจะสมุ่ สินคา้ จากแต่ละกล่องมาตรวจสอบกลอ่ งละ 100 ชน้ิ โดยแสดงผลการ
ตรวจสอบดว้ ยตารางความถี่ได้ดังน้ี

จานวนสินคา้ ท่ีไม่ผ่านมาตรฐาน 0 1 2 3 4 56
จากสินค้า 100 ช้ิน ทส่ี ุ่มมา 41 17 14 4 3 0 1
ตรวจสอบจากแต่ละกล่อง (ช้นิ )

จานวนกล่อง

ถ้าสุ่มกลอ่ งสินค้ามา 1 กลอ่ ง จากกลอ่ งสนิ้ ค้าท้งั หมด 80 กล่อง และใหต้ วั แปรสุม่ Y คือ จานวน
สนิ ค้าทีไ่ มผ่ า่ นมาตรฐานจากสินค้า 100 ช้นิ ท่ีสมุ่ มาตรวจสอบจากกลอ่ งน้ี จงเขยี นแสดง
การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ Y ในรูปตาราง

3. ใหต้ ัวแปรสุ่ม Z คือผลต่างของแต้มบนหน้าลกู เตา๋ จากการทอดลูกเต๋าท่เี ท่ยี งตรง 2 ลกู พร้อมกนั
1 ครง้ั จงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ Z ในรูปตารางและกราฟ

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 9 เร่ือง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

เฉลยแบบเสรมิ ทกั ษะท่ี 2

ข้อ 1. เขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X ในรูปตารางไดด้ งั น้ี

x 0 1 2 3 4 5 6789 10
1
P(X=x) 0 11 1 3 3 1733 20
40 20 8 20 40 5 40 40 40

ขอ้ 2. เขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม Y ในรปู ตารางได้ดังนี้

y 0123456

P(Y=y) 41 17 7 1 3 0 1
80 80 40 20 80 80

ขอ้ 3. เขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Z ในรปู ตารางได้ดงั น้ี

Z 012345

P(Z=z) 15 2 1 11
6 18 9 6 9 18

และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม Z ดงั น้ี

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 10 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

คา่ คาดหมายและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเนอ่ื ง

บทนิยาม
ค่าคาดหมาย (expected value) ของตวั แปรไมต่ ่อเนื่อง X เขียนแทนดว้ ย X
n

นยิ ามโดย X = xi P(X  xi )
i=1
เมอ่ื n แทนจานวนคา่ ทีเ่ ป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสุม่ X และ x1 , x2 , x3 , … , xn
แทนคา่ ท่เี ป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสมุ่ X

หมายเหตุ : ในกรณที ี่เซตของคา่ ทเี่ ป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสมุ่ X เป็นเซตอนันต์ จะนยิ ามให้



X = xi P(X  xi ) แต่ในทีน่ ้จี ะพิจารณาเฉพาะกรณีทเี่ ซตของค่าที่เป็นไปได้ท้ังหมด
i=1
ของตวั แปรสุม่ เป็นเซตจากัด

ตวั อยา่ ง 4 จงหาค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่ม X ท่ีกาหนดในตัวอยา่ งที่ 1

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

ในบทสถิติ นกั เรียนทราบแล้วว่าค่าเฉลีย่ เลขคณิตเปน็ คา่ กลางของข้อมลู ทหี่ าไดจ้ ากการหาร

ผลรวมของข้อมลู ทงั้ หมดดว้ ยจานวนข้อมลู จากตัวอย่างท่ี 1 จะได้วา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของจานวนพน่ี อ้ ง

ของนกั เรยี น 50 คน คอื x  06  122  217  34  41  1.44 คน
50

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 11 เรอื่ ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

สังเกตวา่

         0612221734 4 1  0 6 1 22 2 17 3 4 4 1
50 50 50 50 50 50

         และจากตัวอยา่ งท่ี 4 จะเหน็ วา่ X061 22 2 17 3 4 4 1
50 50 50 50 50

ดังน้นั ค่าเฉล่ียเลขคณิตของจานวนพ่ีน้องของนกั เรยี น 50 คน เท่ากบั คา่ คาดหมายของตัวแปรสมุ่ X

เมือ่ ตัวแปรสุ่ม X คือ จานวนพี่น้องของนักเรียนท่สี ุ่มได้

จงึ อาจเรยี กค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มวา่ “คา่ เฉลยี่ (mean) ของตัวแปรสุม่ ”

นอกจากจะสามารถพิจารณาค่าคาดหมายเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสมุ่ แล้ว ค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่ม ยัง
สามารถใชช้ ว่ ยในการตัดสนิ ใจเก่ยี วกบั สถานการณต์ ่างๆ ไดด้ งั ตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่าง 5 ในงานประจาปขี องจังหวัดหนงึ่ มเี กมวงล้อเส่ียงโชค โดยมีกตกิ าว่า ผู้เลน่ จะตอ้ งหมนุ วงลอ้
ทม่ี ีหมายเลข 1 – 7 กากบั ไวด้ งั รปู ถา้ ลกู ศรชท้ี ่ีช่องท่มี หี มายเลขทกี่ ากบั เปน็ จานวนคี่ ผเู้ ล่นจะได้เงนิ
รางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแต่ละครง้ั โอกาสทล่ี ูกศรจะช้ที ่ีชอ่ งใดชอ่ งหน่งึ เท่ากนั และในการ
เล่นเกมวงล้อเสยี่ งโชคแตล่ ะครัง้ ผเู้ ล่นจะตอ้ งจ่ายเงนิ ซ้อื ต๋ัวราคา 10 บาท จงหาค่าคาดหมายของ
จานวนเงนิ ทผ่ี ูเ้ ล่นจะได้รับหรือเสยี ไป พรอ้ มท้งั อธิบายความหมาย

...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................... ...................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 12 เรอื่ ง ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

นอกจากนีจ้ ะสามารถนิยามส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม่ เพื่อใชใ้ นการวัดการกระจาย
ของค่าทีเ่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรสุ่มวา่ มคี วามแตกต่างจากค่าคาดหมายมากหรือนอ้ ยเพียงใด ดังบทนยิ าม
ต่อไปน้ี

บทนิยาม
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั แปรไม่ตอ่ เนื่อง X เขียนแทนด้วย X นยิ ามโดย

X = n  xi  X 2 P(X  xi )

i=1

และเรยี ก  2 ว่า ความแปรปรวนของตวั แปรไม่ตอ่ เน่อื ง X
x
เม่ือ n แทนจานวนคา่ ทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ั้งหมดของตวั แปรสุ่ม X และ x1 , x2 , x3 , … , xn

แทนคา่ ทเี่ ปน็ ไปไดท้ ้งั หมดของตวั แปรสุ่ม X

หมายเหตุ : ในกรณที เ่ี ซตของคา่ ท่ีเป็นไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสมุ่ X เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้

X =   xi  X 2 P(X  xi ) แต่ในที่น้ีจะพจิ ารณาเฉพาะกรณีทีเ่ ซตของ

i=1
ค่าทเี่ ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมดของตวั แปรสมุ่ เป็นเซตจากัด

ตัวอย่าง 6 ให้ตัวแปรสุม่ X คอื จานวนครง้ั ทเี่ หรียญข้นึ หวั จากการโยนเหรยี ญทเ่ี ทีย่ งตรง 1 เหรียญ
3 คร้ัง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ....................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................... .................................................................................
............................................................................................................................................................................... ...........................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 13 เรื่อง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

ตัวอย่าง 7 ใหต้ วั แปรสุ่ม Y คอื ผลบวกของแต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ จากการทอดลูกเต๋าทเ่ี ทย่ี งตรง 2 ลูก

พร้อมกัน 1 คร้ัง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของ

ตัวแปรสมุ่ Y

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... .................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 14 เรือ่ ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

แบบเสรมิ ทักษะท่ี 3

1. จงหาคา่ คาดหมาย ความแปรปรวน และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม่ ในข้อ 1 – 3 ของ
แบบเสริมทกั ษะท่ี 2

2. กล่องใบหน่ึงบรรจเุ บีย้ 6 อนั โดยมีหมายเลข 3 , 5 , 6 , 7 , 8 และ 11 กากบั ไว้ ถ้าส่มุ หยิบเบยี้
2 อัน โดยหยิบเบีย้ ทลี ะอันและไม่ใสค่ นื ก่อนหยิบเบ้ียอันทีส่ อง และให้ตัวแปรสมุ่ X คอื ผลบวก
ของหมายเลขบนเบ้ียท้ังสองอนั ท่ีสุ่มได้
1) จงหาค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่ม X พร้อมทงั้ อธิบายความหมาย
2) จงหาความแปรปรวน และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ X

3. ลกู คา้ รายหนึง่ ต้องการทาประกันชีวติ กบั บรษิ ัทมน่ั ใจประกนั ชีวติ โดยกาหนดทนุ ประกนั
2,000,000 บาท (นนั่ คือ ในกรณีที่ลูกค้าเสยี ชวี ิต บรษิ ทั จะตอ้ งจ่ายเงินให้ผู้รบั ประโยชนท์ ี่ลูกค้า
ระบไุ วเ้ ปน็ จานวนเงิน 2,000,000 บาท) และลูกค้าจะตอ้ งจ่ายคา่ เบี้ยประกนั ปลี ะ 50,000 บาท
ถา้ ลูกค้ารายนม้ี ภี าวะหยดุ หายใจขณะหลับ (obstructive sleep apnea) โดยโอกาสทเ่ี ขาจะ
เสียชีวติ ในแตล่ ะปีคิดเป็นร้อยละ 1 จงพจิ ารณาวา่ ถา้ บรษิ ัทมนั่ ใจประกนั ชวี ติ รบั ทาประกันชวี ิต
ให้กับลูกค้ารายน้ี บริษทั จะไดก้ าไรหรอื ขาดทนุ โดยเฉลยี่ ปีละก่ีบาท

4. จากการตรวจสอบคุณภาพของสนิ ค้าชนดิ หนงึ่ จานวน 60 ช้ิน ได้ข้อมลู จานวนรอยตาหนบิ นสินคา้
แต่ละช้นิ ดังตารางตอ่ ไปนี้

จานวนรอยตาหนิบนสนิ ค้า (แห่ง) 0 1 2 3

จานวนสินคา้ (ชนิ้ ) 47 4 6 3

ถ้าผู้ขายไดก้ าไรจากการขายสินค้าท่ไี ม่มรี อยตาหนชิ ้นิ ละ 20 บาท แตถ่ ้าสินคา้ มีรอยตาหนิจะ
เสยี ค่าซ่อมแซมแห่งละ 11 บาท จงหาค่าคาดหมายของรายได้จากการขายสินคา้ 1 ชิ้น

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 15 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

เฉลยแบบเสริมทกั ษะที่ 3

ข้อ 1. ข้อ 1. คา่ คาดหมายของตัวแปรสุ่ม X คือ 5.675 ข้อ
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X มคี ่าประมาณ 5.07 ขอ้ 2
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ X มีค่าประมาณ 2.25 ขอ้

ข้อ 2. คา่ คาดหมายของตวั แปรสมุ่ Y มคี า่ ประมาณ 0.94 ชิ้น
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Y มคี า่ ประมาณ 1.53 ช้นิ 2
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรส่มุ Y มีค่าประมาณ 1.24 ช้นิ

ข้อ 3. คา่ คาดหมายของตวั แปรสุม่ Z มีคา่ ประมาณ 1.94 แต้ม
ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม Z มคี ่าประมาณ 2.05 แต้ม2
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ Z มีคา่ ประมาณ 1.43 แตม้

ขอ้ 2. 1) ค่าคาดหมายของตัวแปรสมุ่ X หรือค่าคาดหมายของผลบวกของหมายเลขบนเบ้ยี
ท้งั สองอันท่ีสมุ่ ไดม้ ีค่าประมาณ 13.33 แตม้ หมายความว่า โดยเฉลีย่ แล้วในการส่มุ
หยบิ เบ้ยี ทลี ะอันและไม่ใสค่ ืนกอ่ นหยิบเบย้ี อนั ทสี่ อง จะไดผ้ ลบวกของหมายเลขบน
เบ้ยี ทงั้ สองอนั ทสี่ ุ่มได้มีค่าประมาณ 13.33 แตม้

2) ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X มคี า่ ประมาณ 9.96 แต้ม2
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ X มคี ่าประมาณ 3.16 แตม้

ข้อ 3. บรษิ ทั จะได้กาไรโดยเฉลี่ยปีละ 30,000 บาท

ขอ้ 4. คา่ คาดหมายของรายได้จากการขายสินคา้ 1 ช้ินมคี ่าประมาณ 15.42 บาท

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 16 เรอ่ื ง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

การแจกแจงเอกรปู ไมต่ อ่ เน่อื ง

บทนยิ าม

ให้ X เปน็ ตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเนอื่ ง ถา้ ค่าท่ีเปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของ X คือ x1 , x2 , x3 , … , xn

แลว้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรส่มุ X เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเน่ือง

(discrete uniform distribution) เม่อื P( X  xi )  1 สาหรับทกุ i  {1, 2, 3 , … , n}
n

จากบทนยิ าม จะเหน็ ว่าการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่มจะเป็นการแจกแจงเอกรูป
ไม่ต่อเน่อื ง เมื่อการเกิดค่าแต่ละคา่ ทเี่ ปน็ ไปได้ของตวั แปรสุ่มมคี วามนา่ จะเป็นเท่ากนั

ตวั อย่าง 8 ในการทอดลกู เต๋าที่เท่ียงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ตัวแปรสุม่ X คือ แตม้ บนหนา้ ลูกเต๋า
จงพจิ ารณาวา่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เปน็ การแจกแจงเอกรปู
ไมต่ ่อเนือ่ งหรือไม่ พร้อมทงั้ เขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ X
ในรปู ตารางและกราฟ

....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................... .......
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 17 เรื่อง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

ตวั อยา่ ง 9 ลกู คิดสุ่มหยิบสลาก 1 ใบ จากกล่องท่บี รรจสุ ลาก 4 ใบ แต่ละใบระบจุ านวนเงินรางวลั
แตกตา่ งกนั คอื 20 , 50 , 100 และ 500 บาท ใหต้ ัวแปรสุ่ม X คอื จานวนเงินรางวลั ที่
ลกู คดิ จะได้รบั
1) จงพจิ ารณาวา่ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ X เป็นการแจกแจงเอกรูป

ต่อเนอ่ื งหรือไม่
2) จงหาคา่ คาดหมายของตัวแปรสุม่ X
3) ถา้ ลูกคิดต้องจ่ายเงินซอื้ ต๋วั ราคา 150 บาท เพอ่ื หยบิ สลาก 1 ใบ จงพิจารณาวา่

ถา้ ลูกคิดสุม่ หยิบสลากหลายๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วลูกคดิ ได้เปรยี บหรอื เสียเปรียบ

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................... ...................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... .................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 18 เร่อื ง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็

แบบเสรมิ ทกั ษะท่ี 4

1. จงพจิ ารณาว่าการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ ต่อไปน้เี ป็นการแจกแจงเอกรูปไม่
ตอ่ เนอื่ งหรือไม่ พรอ้ มทงั้ ใหเ้ หตผุ ลประกอบ
1) ตัวแปรส่มุ X1 คอื จานวนคร้งั ท่ีเหรียญขน้ึ หัว จากการโยนเหรียญท่ีเทย่ี งตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง
2) ตวั แปรสมุ่ X2 คือจานวนครั้งทีเ่ หรียญขึน้ กอ้ ย จากการโยนเหรียญทีเ่ ทยี่ งตรง 1 เหรียญ 10
ครัง้
3) ตวั แปรสมุ่ X3 คือผลรวมของเงนิ รางวัลทไี่ ด้รับ จากการสมุ่ หยิบสลาก 2 ใบพรอ้ มกันจาก
กลอ่ งทีบ่ รรจสุ ลาก 4 ใบ โดยแต่ละใบระบเุ งินรางวลั แตกต่างกนั คือ 10 , 30 , 60 และ 80
บาท
4) ตัวแปรสมุ่ X4 คือจานวนสนิ ค้าทีไ่ มผ่ า่ นมาตรฐาน เม่ือสุ่มกล่องสินคา้ มา 1 กล่องจากกล่อง
สนิ ค้าทง้ั หมด 80 กลอ่ ง โดยขอ้ มูลจานวนสินคา้ ท่ีไมผ่ ่านมาตรฐานในแต่ละกล่องแสดงด้วย
ตารางความถีไ่ ด้ดังนี้

จานวนสินค้าท่ไี มผ่ ่านมาตรฐานใน 0 1 2 3 4

แต่ละกลอ่ ง (ชิ้น)

จานวนกล่อง 16 16 16 16 16

2. ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเน่ือง และ
ค่าทีเ่ ป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X คอื 5 , 6 , 7 , 8 , 9 และ 10 จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน
และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ X

3. ครูประจาช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 หอ้ งหนงึ่ ได้นาของขวัญมาร่วมจบั สลากในวันข้นึ ปีใหม่โดย
มูลค่าของของขวญั ทนี่ ้อยทีส่ ุดคอื 100 บาท และเมื่อนามลู ค่าของของขวัญทงั้ หมดมาเรยี งลาดบั
จากน้อยไปมาก พบวา่ มลู ค่าของของขวัญท่ีอย่ตู ิดกนั จะตา่ งกัน 100 บาท ถ้าความนา่ จะเป็นท่ี
นักเรียนจะได้ของขวญั แตล่ ะช้นิ มคี ่าเท่ากนั คือ 0.125 จงหาวา่ ของขวญั ทั้งหมดทค่ี รูนามา
จับสลากมีมูลคา่ เทา่ ใด

4. ในงานประจาปขี องโรงเรยี นแห่งหนงึ่ มเี กมลูกเตา๋ เส่ียงโชค โดยมกี ติกาวา่ ผู้เลน่ จะต้องทอดลกู เต๋า
ท่เี ทีย่ งตรง 1 ลูก ถ้าลกู เตา๋ ขึ้นแตม้ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 ผ้เู ล่นจะไดเ้ งินรางวัล 30 , 18 , 12 ,

10 , 5 หรือ a บาท ตามลาดับ โดยท่ี 0  a  5 ใหต้ ัวแปรสุม่ Z คือเงนิ รางวัลท่ีผู้เลน่ จะไดร้ ับ
จากการเล่นเกมลกู เตา๋ เส่ยี งโชค

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 19 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

1) ถ้า a = 5 จงพิจารณาวา่ ตัวแปรสมุ่ Z มีการแจกแจงเอกรปู ไมต่ อ่ เนื่องหรือไม่ พรอ้ มทัง้
ใหเ้ หตุผลประกอบ

2) จงยกตัวอยา่ งค่าของ a ทท่ี าให้ตัวแปรสุ่ม Z มีการแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเน่อื ง
3) ถ้า a = 1 ผู้จดั เกมนค้ี วรตั้งราคาต๋วั สาหรบั เล่นเกมอย่างน้อยเทา่ ใด (ตอบเปน็ จานวนเต็ม)

โดยเฉล่ียแล้วจึงจะไมข่ าดทนุ เมอื่ มกี ารเล่นเกมลกู เตา๋ เสีย่ งโชคหลายๆ ครัง้

5. เกมวงลอ้ เสี่ยงโชคมกี ติกาการเล่นคือ ผเู้ ลน่ จะตอ้ งหมุนวงล้อรปู วงกลมทีแ่ บ่งเปน็ 10 ชอ่ ง
เท่าๆ กนั โดยแต่ละชอ่ งระบุจานวนเงินรางวัลแตกตา่ งกันคือ 50 , 100 , 150 , 200 , … , 500
บาท ถ้าลูกศรชี้ท่ชี อ่ งใด ผู้เลน่ จะไดเ้ งินรางวลั ตามทีร่ ะบุในชอ่ งนน้ั สมมตวิ า่ ในการหมุนวงลอ้
แตล่ ะครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ท่ีช่องใดช่องหน่งึ เทา่ กัน และในการเล่นเกมวงล้อเสย่ี งโชคแตล่ ะครงั้
ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงนิ ซ้ือต๋วั ราคา 300 บาท นักเรียนจะเลน่ เกมนหี้ รือไม่ เพราะเหตใุ ด

เฉลยแบบเสริมทักษะท่ี 4

ขอ้ 1. ข้อ 1. เป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ตอ่ เนื่อง

เนอ่ื งจากค่าทเี่ ป็นไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสมุ่ X1 คอื 0 และ 1
1
ซ่งึ P(X1  0) P(X1  1)  2

ข้อ 2. ไมเ่ ป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเนื่อง

เนื่องจากมี 0 และ 1 เปน็ ค่าที่เป็นไปไดข้ องตวั แปรส่มุ X2
1 10
ซงึ่ P(X2  0)  210 และ P(X2  1)  210

นั่นคือ P(X2  0) P(X2  1)

ข้อ 3. ไมเ่ ป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่อื ง

เนื่องจากมี 40 และ 90 เปน็ คา่ ทเ่ี ป็นไปได้ของตวั แปรสุ่ม X3

โดยท่ี 40 เกดิ จากการหยิบได้สลากที่ระบจุ านวนเงนิ รางวลั 10 และ 30 บาท

และ90 เกิดจากการหยิบไดส้ ลากที่ระบุจานวนเงนิ รางวลั 10 และ 80 บาท

หรือหยิบไดส้ ลากทร่ี ะบจุ านวนเงินรางวลั 30 และ 60 บาท
1 2
จะได้ P(X3  40)  C 4,2 และ P(X3  90)  C 4,2

นั่นคอื P(X3  40) P(X3  90)

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 20 เรื่อง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

เฉลยแบบเสริมทกั ษะท่ี 4 (ต่อ)

ขอ้ 4. เป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเน่อื ง

เน่ืองจากค่าทเี่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมดของตวั แปรสุ่ม X4 คอื 0, 1, 2, 3 และ 4
16 1
ซ่งึ P(X4  0)  P(X4  1)  P(X4  2)  P(X4  3)  P(X4  4)  80  5

ข้อ 2. ค่าคาดหมายของตวั แปรสมุ่ X คอื 7.5

ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ X มคี า่ ประมาณ 2.92
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X มีคา่ ประมาณ 1.71

ข้อ 3. 3,600 บาท

ขอ้ 4. 1) ไมเ่ ป็นการแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเนอื่ ง เน่อื งจาก

P(Z  30)  P(Z  18)  P(Z 12)  P(Z 10)  1 แต่ P(Z  5)  2  1
6 6 3

2) ตอ้ งอยใู่ นชว่ ง 0  a < 5 เช่น 4, 3.5, 2.5, 1

3) ผู้จดั เกมน้ีควรตั้งราคาคา่ ตวั๋ สาหรบั เลน่ เกมอยา่ งน้อย 13 บาท จงึ จะไม่ขาดทุน

ขอ้ 5. โดยเฉล่ยี แล้วผู้เล่นจะได้เงนิ รางวัลจากการเล่นเกมวงลอ้ เสี่ยงโชคแต่ละครั้ง 275 บาท
แต่เนอื่ งจากผเู้ ล่นต้องจา่ ยเงนิ ซือ้ ตั๋วราคา 300 บาท นกั เรียนจงึ ไมค่ วรเลน่ เกมนี้

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 21 เรือ่ ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

การแจกแจงทวินาม

จากหัวข้อท่ีผ่านมานักเรียนไดศ้ กึ ษาเกีย่ วกับการแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเนอ่ื ง ซ่ึงเปน็ การแจกแจง

ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่ อย่างง่าย เนอ่ื งจากการเกดิ คา่ แต่ละคา่ ทีเ่ ป็นไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ มี

ความน่าจะเป็นเท่ากัน ซงึ่ อาจพบไดไ้ มม่ ากนักในชีวติ จรงิ สาหรบั หวั ขอ้ น้ี จะศึกษาเก่ยี วกบั การแจกแจง

ความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ท่มี ีลักษณะเฉพาะประเภทหน่ึง ซ่งึ ความน่าจะเปน็ ของการเกิดคา่ แตล่ ะคา่

ท่ีเป็นไปไดข้ องตัวแปรสุ่มไม่จาเปน็ ต้องเทา่ กนั เช่น กาหนดใหต้ วั แปรสมุ่ X คอื จานวนครั้งที่เหรียญขนึ้ หวั

จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 คร้งั จะได้ว่า X เป็นตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเน่ือง สงั เกตวา่

ในแต่ละคร้งั ทโ่ี ยนเหรียญจะมผี ลลพั ธท์ ่ีเป็นไปได้ 2 แบบ คือ เหรยี ญขึ้นหวั หรือกอ้ ย แต่จากการกาหนด

ตัวแปรสมุ่ X จะเหน็ ว่าสนใจจานวนครงั้ ท่ีเหรยี ญข้นึ หวั จงึ อาจพจิ ารณาว่าในการโยนเหรียญแต่ละคร้งั

ถา้ เหรียญขึ้นหัวคอื สาเรจ็ แต่ถ้าเหรียญขนึ้ ก้อยคือ ไม่สาเรจ็ ดงั น้นั สามารถพิจารณาวา่ ตัวแปรสมุ่ X คือ

จานวนคร้งั ของการเกิดผลสาเร็จจากการโยนเหรียญท่เี ท่ียงตรง 1 เหรียญเปน็ จานวน 3 คร้งั เช่น

เหตุการณ์ท่ี X = 1 ซึง่ คือ {HTT , THT , TTH} หมายความว่า แต่ละสมาชิกในเหตุการณ์น้เี กดิ ผลสาเร็จ

1 ครงั้ (เหรยี ญขนึ้ หวั 1 ครง้ั ) และไมเ่ กดิ ผลสาเรจ็ 2 ครง้ั (เหรยี ญขึ้นก้อย 2 ครั้ง) นอกจากนจ้ี ะเห็นว่า

ผลท่ไี ด้จากการโยนเหรียญในคร้งั ก่อนหน้าไมส่ ง่ ผลต่อการโยนเหรยี ญครง้ั ต่อไปและความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะ

เกดิ ผลสาเรจ็ ในการโยนเหรยี ญแตล่ ะคร้งั เท่ากันคือ 1
2
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ในตวั อยา่ งขา้ งต้น เรยี กวา่ การแจกแจงทวินาม ซงึ่ มี

บทนิยามดังน้ี

บทนยิ าม
การแจกแจงทวินาม (binomial distribution) คอื การแจกแจงความน่าจะเป็นของ
ตวั แปรสุม่ X ซ่ึงคือ จานวนครั้งของการเกดิ ผลสาเร็จจากการทดลองสมุ่ n คร้งั ท่เี ปน็ อิสระกนั
โดยในแต่ละคร้ังมีโอกาสเกิดผลสาเร็จด้วยความน่าจะเป็นเทา่ กบั p และไม่เกิดผลสาเรจ็ ดว้ ย
ความน่าจะเป็นเทา่ กับ 1 - p

หมายเหตุ : 1. เรียก n และ p วา่ พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม และเขียนสัญลกั ษณ์
X  B(n, p) เพือ่ แสดงวา่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เปน็
การแจกแจงทวนิ ามทม่ี ี n และ p เป็นพารามเิ ตอร์

2. การทดลองสมุ่ 1 ครัง้ ที่มผี ลลัพธ์ท่ีเปน็ ไปได้ 2 แบบ คือ สาเร็จหรือไม่สาเรจ็ เรยี กว่า
การลองแบร์นูลลี (Bernoulli trail) เชน่ การโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง

จากบทนยิ ามข้างต้น สรปุ ไดว้ า่ การแจกแจงทวนิ ามคือ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของ
ตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนอื่ งที่มลี กั ษณะดงั ตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 22 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

1. เกดิ จากการทดลองสมุ่ จานวน n คร้งั ที่เป็นอิสระกนั กลา่ วคอื ผลทไ่ี ด้จากการทดลองสมุ่ ใน
คร้ังก่อนหนา้ ไมส่ ง่ ผลต่อการทดลองสมุ่ ในคร้งั ต่อๆ ไป

2. การทดลองสุม่ แต่ละครงั้ มผี ลลพั ธท์ ี่เป็นไปไดเ้ พยี ง 2 แบบ คือ สาเรจ็ หรือไมส่ าเรจ็
3. ความน่าจะเปน็ ทจี่ ะเกดิ ผลสาเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละคร้ังเทา่ กัน ให้เป็น p เม่ือ

0 < p < 1 และจะได้ว่าความนา่ จะเป็นทจ่ี ะไม่เกดิ ผลสาเรจ็ ในการทดลองสมุ่ แต่ละครั้งเป็น
1–p

ทฤษฎบี ทต่อไปนใ้ี ชใ้ นการหาความนา่ จะเปน็ คา่ คาดหมาย และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของ
ตัวแปรสมุ่ ที่มกี ารแจกแจงความนา่ จะเปน็ เป็นการแจกแจงทวนิ าม

ทฤษฎีบท 1

ถา้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวนิ าม จะได้ว่า

1. P(X  x)   n  px 1  p nx สาหรบั ทุก x  {0 , 1 , 2 , … , n}
 x 
 

2. x = np

3. x = np1  p

เมอ่ื n แทนจานวนคร้ังของการทดลองสุ่ม และ p แทนความนา่ จะเปน็ ท่ีจะเกดิ ผลสาเรจ็ ใน

การทดลองส่มุ แต่ละครงั้

ขอ้ สงั เกต : จากทฤษฎีบท 1 ขอ้ 1 และทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

n  x)  n  n  px 1  pnx  p  1  p  n 1
 x 
 P(X  
x0
x0

ตัวอย่าง 10 ใหต้ ัวแปรสุม่ X คือจานวนครัง้ ทล่ี ูกเต๋าข้นึ แต้ม 5 จากการทอดลกู เต๋าท่เี ท่ียงตรง 1 ลูก
7 ครั้ง
1) จงพจิ ารณาว่าการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่ X เป็นการแจกแจงทวนิ าม
หรอื ไม่
2) จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีลกู เต๋าขึน้ แต้ม 5 เปน็ จานวน 5 ครง้ั
3) จงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ในรูปตารางและกราฟ
4) จงหาคา่ คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X

........................................................................................................................................ ..................................................................................
.............................................................................................................................................................................. ............................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 23 เรอื่ ง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................. ........................................................................
........................................................................................................................................................................................ ..................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................... ...............................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................... ......................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................. .........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ...........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 24 เรอ่ื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ตัวอยา่ ง 11 ในการรักษาโรคมะเรง็ ดว้ ยสมุนไพรทคี่ ดิ คน้ ข้ึนมาใหม่ พบวา่ เมือ่ ผู้ปว่ ยรับประทาน
สมนุ ไพรชนิดนต้ี อ่ เน่อื งกันไปตามแพทย์ส่งั ในชว่ งระยะเวลาหน่ึง ความนา่ จะเปน็ ที่ผปู้ ่วย
แต่ละคนจะหายจากโรคมะเรง็ เป็น 0.5 ถ้านักวจิ ยั สุ่มผปู้ ว่ ยโรคมะเรง็ ทมี่ ารบั การรกั ษา
ดว้ ยสมุนไพรนจี้ านวน 6 คน
1) จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีผู้ปว่ ยหายจากโรคมะเรง็ อย่างนอ้ ย 3 คน
2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของจานวนผู้ป่วยที่หายจากโรคมะเรง็
พรอ้ มท้ังอธิบายความหมาย

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ..........................................................................

ตวั อย่าง 12 จากข้อมูลเกีย่ วกับคุณภาพของสินค้าซ่งึ เก็บรวบรวมมาในอดีตทาให้ทราบว่า
ความน่าจะเป็นท่ีสินค้าแตล่ ะชิน้ จะชารดุ เปน็ 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคณุ ภาพ
สินค้าของโรงงานมหี ลักการคือพนักงานจะสุม่ สินคา้ จานวน 5 ชน้ิ จากแต่ละกลอ่ งเพอ่ื
ตรวจสอบคุณภาพ ถ้าตรวจสอบพบสนิ ค้าชารุดไมเ่ กนิ 1 ชิ้น สนิ ค้ากลอ่ งนน้ั จะผ่านการ
ตรวจสอบคณุ ภาพ
1) จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีสนิ คา้ แต่ละกล่องทส่ี ง่ มาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบ
คุณภาพ

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 25 เรือ่ ง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

2) ในการผลิตสนิ ค้าครง้ั หนึ่ง ฝา่ ยผลิตของโรงงานส่งสนิ คา้ มาใหพ้ นักงานตรวจสอบ

คณุ ภาพจานวน 100 กลอ่ ง จะมสี ินคา้ ทีผา่ นการตรวจสอบคุณภาพก่ีกล่อง

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................... .....................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ...........................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 26 เรือ่ ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

แบบเสริมทักษะที่ 5

1. กาหนดให้ X  B(6, 0.3)
1) P(X  2)
2) P(X  2)
3) P(X  2)
4) P(2  X  5)

2. ในการโยนเหรียญทไี่ ม่เท่ียงตรงเหรียญหนึง่ พบว่า ความนา่ จะเป็นทเ่ี หรียญข้ึนก้อยในการโยน
เหรียญแต่ละครัง้ เท่ากับ 0.6 ใหต้ วั แปรสุ่ม X คอื จานวนคร้งั ทเ่ี หรียญข้ึนหัว จากการโยนเหรยี ญ
นี้ 6 คร้งั
1) จงหาคา่ ที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุม่ X
2) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ X เป็นการแจกแจงทวินามหรอื ไม่
พร้อมทง้ั ให้เหตุผลประกอบ
3) จงหาความน่าจะเป็นท่เี หรยี ญขนึ้ หวั นอ้ ยกวา่ 3 ครัง้
4) โดยเฉลย่ี แลว้ เหรียญจะขน้ึ หัวกีค่ รงั้
5) จงหาความแปรปรวนและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ X

3. ใหต้ ัวแปรสุม่ Y คือจานวนครง้ั ที่ไดแ้ ต้มเปน็ จานวนคู่ จากการทอดลกู เต๋าทีเ่ ท่ยี งตรง 1 ลูก 8 ครง้ั
1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Y เปน็ การแจกแจงทวนิ ามหรือไม่
พร้อมทั้งใหเ้ หตผุ ลประกอบ
2) จงหาความน่าจะเป็นท่ีได้แต้มเป็นจานวนคู่ 5 คร้งั
3) จงหาความน่าจะเปน็ ทีไ่ ด้แตม้ เป็นจานวนคู่นอ้ ยกว่า 8 ครงั้
4) จงหาค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ Y

4. ความน่าจะเปน็ ทีโ่ สภิตาจะซอ้ื ชานมไข่มุกในแตล่ ะวันเทา่ กบั 9 จงหาความนา่ จะเปน็ ทีโ่ สภิตาจะ
10
ซื้อชานมไข่มกุ ไมเ่ กิน 2 วัน ในหน่งึ สปั ดาห์

5. ในการแข่งขนั ตอบโจทยป์ ัญหาทางวชิ าการของโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มีผู้เขา้ รว่ มการแขง่ ขันจานวน
6 คน ทาการแขง่ ขันทัง้ หมด 5 คร้ัง ถ้าภัคนินทรเ์ ปน็ หนึ่งในผ้เู ขา้ แข่งขันและความน่าจะเปน็ ที่
ภคั นินทรจ์ ะชนะการแข่งขนั ในแตล่ ะครง้ั เทา่ กนั โดยเทา่ กบั 0.3 จงหาความนา่ จะเป็นท่ีภคั นนิ ทร์
จะชนะการแข่งขันอย่างนอ้ ย 1 ครั้ง

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 27 เรอื่ ง ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็

6. จากขอ้ มลู เกี่ยวกบั ปัญหาท่ีเกดิ ขน้ึ ในกระบวนการผลิตแผงวงจรไฟฟา้ ของโรงงานผลิตอปุ กรณ์
อเิ ลก็ ทรอนิกส์แห่งหน่งึ พบว่า แผงวงจรไฟฟ้าทชี่ ารดุ แตล่ ะแผน่ เกดิ จากสาเหตุใดสาเหตุหน่งึ ดว้ ย
ความน่าจะเปน็ ดงั ตอ่ ไปน้ี

สาเหตุ ความนา่ จะเปน็

โลหะบดั กรีเปน็ รู 0.4
อปุ กรณ์เชื่อมไม่ติด 0.3
อุปกรณแ์ ตกร้าว 0.2
อนื่ ๆ 0.1

ถ้าพนกั งานสมุ่ แผงวงจรไฟฟ้าที่ชารดุ จานวน 3 แผน่ จงหา
1) ความน่าจะเปน็ ท่ีแผงวงจรไฟฟ้าทง้ั สามแผน่ ชารุดเนอ่ื งจากโลหะบดั กรีเปน็ รู
2) ความนา่ จะเปน็ ที่มีแผงวงจรไฟฟา้ 2 แผน่ ชารุดเนื่องจากอปุ กรณเ์ ชอ่ื มไมต่ ิด
3) คา่ คาดหมายและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของจานวนแผงวงจรไฟฟา้ ทีช่ ารุดเนอื่ งจากอุปกรณ์

แตกร้าว

7. จากขอ้ มลู ของศนู ย์ควบคมุ และส่งั การจราจร พบว่า ความนา่ จะเปน็ ท่รี ถยนต์แตล่ ะคนั จะเปลยี่ น
ชอ่ งทางเดินรถในพื้นท่ีห้าม (เสน้ ทึบ) บรเิ วณสแี่ ยกไฟแดงแห่งหนงึ่ เป็น 0.75 ถา้ สุ่มรถยนต์ท่วี ง่ิ
ผ่านป้อมควบคมุ สญั ญาณไฟจราจรบริเวณส่ีแยกนม้ี า 9 คนั จงหา
1) ความน่าจะเปน็ ที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนชอ่ งทางเดินรถในพื้นทหี่ า้ ม (เส้นทบึ ) 4 คัน
2) ความนา่ จะเป็นทจ่ี ะพบรถยนต์เปล่ียนช่องทางเดนิ รถในพ้นื ทีห่ า้ ม (เส้นทบึ ) ไมเ่ กิน 3 คัน
3) ความนา่ จะเปน็ ทีจ่ ะพบรถยนตเ์ ปลี่ยนช่องทางเดนิ รถในพน้ื ที่ห้าม (เสน้ ทึบ) มากกว่า 6 คัน
4) คา่ คาดหมายและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนรถยนต์ทเี่ ปล่ยี นช่องทางเดนิ รถใน
พื้นทห่ี ้าม (เสน้ ทบึ )

8. สาเหตุหน่งึ ของภาวะคอเลสเตอรอลสงู เกดิ จากมวิ เทชันของยนี LDLR (low-density

lipoprotein receptor) ท่ีเก่ยี วขอ้ งกบั การสรา้ งตัวรบั LDL ทบี่ ริเวณเยอ่ื หมุ้ เซลล์ ซึง่ ส่งผลต่อ

ระดับคอเลสเตอรอลในเลือด ดงั รายละเอียดต่อไปนี้

บคุ คลทมี่ ีจีโนไทป์ LHLH สามารถสร้างตวั รบั LDL ได้

บุคคลท่มี ีจีโนไทป์ LHLh สามารถสร้างตัวรับ LDL ไดใ้ นปริมาณนอ้ ย ส่งผลให้มีโอกาสมี

ระดบั คอเลสเตอรอลในเลอื ดคอ่ นข้างสงู

บุคคลทม่ี จี ีโนไทป์ LhLh ไม่สามารถสรา้ งตวั รับ LDL ได้ ส่งผลให้มีโอกาสมีระดับ

คอเลสเตอรอลในเลือดสงู มาก และมีโอกาสเป็นโรคหวั ใจตั้งแตอ่ ายุยังนอ้ ยได้

สาหรับพ่อและแมท่ ีม่ ีจีโนไทป์ LHLh ความน่าจะเป็นทีล่ ูกแต่ละคนจะมจี ีโนไทป์ LHLH และ LHLh

คอื 1 และ 1 ตามลาดับ ถา้ สามีภรรยาคู่หน่ึงที่มจี โี นไทป์ LHLh ท้ังคู่ ตอ้ งการมบี ตุ ร 3 คน
4 2
จงหา

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 28 เรื่อง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น

1) ความนา่ จะเป็นทบี่ ุตรท้งั 3 คน ไม่มีจโี นไทป์ LhLh
2) ความน่าจะเปน็ ท่ีมบี ุตรอยา่ งนอ้ ย 1 คน มจี โี นไทป์ LhLh

เฉลยแบบเสริมทักษะที่ 5

ข้อ 1. 1) ประมาณ 0.3241

2) ประมาณ 0.7443
3) ประมาณ 0.2557
4) ประมาณ 0.5791

ขอ้ 2. 1) ค่าท่เี ป็นไปได้ของตัวแปรสมุ่ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

2) เน่ืองจากตัวแปรสุ่ม X มลี กั ษณะดงั ต่อไปนี้
1. เกดิ จากการทดลองสุม่ (การโยนเหรียญที่ไม่เท่ียงตรง) จานวน 6 ครั้ง ทเ่ี ปน็
อสิ ระกัน
2. การทดลองสุ่มแตล่ ะครั้งเกิดผลลัพธไ์ ดเ้ พียง 2 แบบ คือ สาเรจ็ (เหรยี ญขน้ึ หวั )
หรอื ไมส่ าเรจ็ (เหรยี ญขึน้ กอ้ ย)
3. ความนา่ จะเป็นที่เหรียญข้นึ หัวในการโยนเหรียญแต่ละคร้งั เทา่ กนั โดยเท่ากับ
1 - 0.6 = 0.4 และความน่าจะเปน็ ที่เหรียญขึน้ กอ้ ยในการโยนเหรยี ญแต่ละครงั้
เป็น 0.6
ดังนนั้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ X เปน็ การแจกแจงทวินาม

3) ประมาณ 0.5443
4) ข้นึ หวั 2.4 คร้งั
5) ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X คือ 1.44 คร้งั 2

สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X คือ 1.2 คร้งั

ขอ้ 3. 1) เน่ืองจากตวั แปรสุ่ม Y มีลักษณะดังตอ่ ไปนี้

1. เกดิ จากการทดลองสุ่ม (การทอดลกู เตา๋ ท่ีเทยี่ งตรง) จานวน 8 ครงั้ ท่เี ปน็ อิสระกนั

2. การทดลองส่มุ แต่ละครง้ั เกดิ ผลลัพธ์ไดเ้ พียง 2 แบบ คอื สาเรจ็ (ลกู เต๋าขึ้นแต้มเปน็

จานวนคู่) หรือไม่สาเรจ็ (ลกู เต๋าขึ้นแตม้ เป็นจานวนค)่ี

3. ความน่าจะเป็นท่ีลูกเตา๋ ขึ้นแต้มเปน็ จานวนคู่ในการทอดลกู เต๋าที่เทย่ี งตรงแต่ละ
1
ครัง้ เท่ากันโดยเท่ากบั 2 และความนา่ จะเปน็ ท่ลี กู เตา๋ ขนึ้ แต้มเปน็ จานวนคใี่ นการ

ทอดลูกเต๋าแต่ละครง้ั เปน็ 1
2
ดังนัน้ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม Y เป็นการแจกแจงทวินาม

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 29 เรื่อง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

เฉลยแบบเสรมิ ทักษะท่ี 5 (ต่อ)

2) ประมาณ 0.2188
3) ประมาณ 0.9961
4) คา่ คาดหมายของตวั แปรสมุ่ Y คือ 4 ครั้ง

ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ Y คือ 2 ครง้ั 2

ข้อ 4. 0.0002

ขอ้ 5. ประมาณ 0.8319

ขอ้ 6. 1) 0.064
2) 0.189
3) ค่าคาดหมายคอื 0.6 แผน่ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมคี า่ ประมาณ 0.69 แผ่น

ข้อ 7. 1) ประมาณ 0.0389
2) ประมาณ 0.01
3) ประมาณ 0.6007
4) ค่าคาดหมายคือ 6.75 คนั และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานมีคา่ ประมาณ 1.3 คนั

ข้อ 8. 1) ประมาณ 0.4219
2) ประมาณ 0.5781

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 30 เรื่อง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุม่ ต่อเนอ่ื ง

ในกรณีทีต่ วั แปรสมุ่ ท่ีสนใจเปน็ ตัวแปรสมุ่ ต่อเนอื่ ง เชน่ ระยะเวลาทีล่ ูกคา้ ใช้บรกิ ารใน
หา้ งสรรพสินคา้ แหง่ หนึ่ง น้าหนักของผปู้ ่วยท่เี ขา้ รับการรักษาที่โรงพยาบาลแห่งหน่ึง เนื่องจากตัวแปรสุม่
ตอ่ เนอื่ งมีเซตของค่าทเ่ี ป็นไปไดท้ งั้ หมดเป็นช่วงซ่ึงเป็นสบั เซตของ R ซงึ่ มีสมาชิกเป็นจานวนอนันต์ จงึ ไม่
เหมาะกบั การเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นในรปู ตาราง แต่จะใช้ เสน้ โคง้ ความหนาแน่น
(density curve) ในการเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ โดยความนา่ จะเปน็ ที่ตัวแปรสมุ่ จะมคี า่
อยู่ในชว่ งใดชว่ งหน่ึงจะเทา่ กบั พืน้ ท่ที ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโค้งความหนาแนน่ กบั แกน X ในชว่ งนั้น จะเรยี ก
พน้ื ท่บี รเิ วณดงั กลา่ วว่า พ้ืนท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ความหนาแน่น

เสน้ โคง้ ความหนาแนน่ เป็นกราฟของฟังกช์ นั y=f(x) โดยท่ี x แทนคา่ ท่ีเปน็ ไปไดข้ องตัวแปรส่มุ จะ
เรียกฟงั กช์ นั นวี้ า่ ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function)

หมายเหตุ : f(x) เป็นฟงั ก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุม่ X ก็ตอ่ เมือ่
1. f(x)  0 สาหรับทกุ x ทเ่ี ป็นค่าท่ีเป็นไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ X
2. พืน้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งความหนาแนน่ ทั้งหมดเท่ากับ 1

พจิ ารณาเสน้ โค้งความหนาแนน่ ของตัวแปรส่มุ X ดังรูป

จากรูป สามารถหาความน่าจะเป็นทตี่ ัวแปรสมุ่ จะมีคา่ อยู่ในช่วงทสี่ นใจไดจ้ ากการหาพ้ืนท่ีใต้เสน้

โคง้ y = f(x) ในช่วงดงั กล่าว เชน่ ความนา่ จะเป็นทต่ี วั แปรส่มุ X มคี ่ามากกว่า 1 แตน่ ้อยกว่า 3 จะเท่ากับ
3

พ้นื ที่สว่ นที่แรเงา น่นั คือ P(1 < X < 3) =  f(x) dx

1
ดงั นัน้ ถา้ ทราบฟงั ก์ชนั ความหนาแน่นความน่าจะเปน็ แลว้ จะสามารถหาความนา่ จะเปน็ ทตี่ วั แปร

สุ่มจะมคี ่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนงึ่ ได้โดยการหาปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตของฟังกช์ นั ในชว่ งดงั กล่าว

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 31 เรอื่ ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ถา้ ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ือง และ a เป็นคา่ ทเี่ ป็นไปไดข้ อง X จะได้วา่ P(X=a) = 0 เน่ืองจาก
พ้นื ที่ใตเ้ ส้นโคง้ ความหนาแน่นจาก a ถงึ a เทา่ กบั ศนู ย์ ดังนั้น สาหรบั ตัวแปรสมุ่ ต่อเนือ่ ง จะไมพ่ ิจารณา
ความน่าจะเป็นของการเกดิ ค่าของตวั แปรสุ่มค่าใดคา่ หน่ึง แตจ่ ะสนใจเฉพาะความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม
จะมีคา่ อยใู่ นช่วงใดชว่ งหน่ึง โดยความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในชว่ งปิด [a,b] จะเทา่ กับ

ความน่าจะเปน็ ท่ีตัวแปรสมุ่ จะมีคา่ อยใู่ นช่วงเปิด (a,b) นั่นคอื P(a  X  b) = P(a < X < b) เม่อื

a และ b เปน็ ค่าท่ีเปน็ ไปได้ของตัวแปรสมุ่ X ในทานองเดียวกัน จะได้ว่า P(X  a) = P(X < a) และ

P(X  a) = P(X > a) เม่ือ a เปน็ ค่าท่ีเปน็ ไปไดข้ องตัวแปรสุ่ม X

การแจกแจงปกติ

เสน้ โคง้ ความหนาแนน่ ท่พี บบ่อยมกั มลี กั ษณะสมมาตรคล้ายรูประฆงั เชน่ ถา้ ใหต้ วั แปรสมุ่ คอื
ระยะเวลาทีน่ ักเรียนใช้ในหอ้ งสมุดในแตล่ ะวัน ซึง่ อาจมคี า่ เป็นค่าใดก็ไดใ้ นชว่ ง 0 ถึง 8 ชวั่ โมง จะไดว้ ่า
ตวั แปรสมุ่ นเ้ี ปน็ ตัวแปรสมุ่ ตอ่ เน่อื ง นอกจากน้ีมักพบว่าจานวนนกั เรียนที่ใชเ้ วลาในหอ้ งสมุดนอ้ ยกว่า 1
ช่ัวโมง มีนอ้ ยมาก และจานวนนักเรยี นทใ่ี ช้เวลาในห้องสมดุ มากกวา่ 7 ชว่ั โมง ก็มนี อ้ ยมาก สว่ นใหญแ่ ลว้
นกั เรยี นจะใชเ้ วลาในห้องสมุดประมาณ 3 – 5 ชั่วโมง ดังนนั้ เมื่อเขียนแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็
ของตวั แปรส่มุ ดว้ ยเสน้ โคง้ ความหนาแน่น จะได้เส้นโคง้ ทโ่ี ดง่ กลางแล้วลาดลงทั้งสองด้าน ดงั รปู

การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ท่ีมลี กั ษณะเช่นนี้เรียกวา่ การแจกแจงปกติ ซ่งึ มี
บทนยิ ามดงั น้ี

บทนิยาม

การแจกแจงปกติ (normal distribution) คอื การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ X

ทีม่ ีฟงั กช์ นั ความหนาแนน่ ความน่าจะเป็นคือ

 f(x)  1x 2
2 
1  เม่ือ - < x < 
2
e

โดยท่ี  แทนคา่ เฉลี่ย

และ  แทนส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 32 เรื่อง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

การแจกแจงปกติเปน็ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรส่มุ ต่อเน่ืองทมี่ คี วามสาคญั
และใชม้ ากในสถติ ิศาสตร์ เนือ่ งจากเปน็ การแจกแจงที่มีความใกลเ้ คยี งกบั ข้อมูลทเ่ี กิดตาม
ธรรมชาติหรือทม่ี นษุ ยส์ รา้ งข้นึ เช่น ความสูงของประชากรไทย คะแนนสอบ O-NET วิชา
คณิตศาสตรข์ องนักเรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ปีการศึกษา 2562 อายุการใช้งานของสินคา้ ที่ผลติ
จากโรงงานแห่งหนง่ึ

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ X เปน็ การแจกแจงปกติ แลว้ เมอื่
เขยี นกราฟของฟงั กช์ ันความหนาแน่นความน่าจะเปน็ สาหรบั ตัวแปรสมุ่ X จะได้ เส้นโค้งปกติ
(normal curve) ซงึ่ เป็นเสน้ โค้งรปู ระฆงั ที่มีสมบัตดิ งั ตอ่ ไปนี้

1. เส้นโคง้ มีเสน้ ตั้งฉากกบั แกน X ทีล่ ากผา่ นค่าเฉลยี่ เป็นแกนสมมาตร ทาใหพ้ นื้ ที่
ใต้เส้นโค้งทางดา้ นซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับพืน้ ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ทางดา้ นขวาของค่าเฉลี่ย

2. ปลายเสน้ โค้งท้งั สองด้านเข้าใกลแ้ กน X แต่จะไมต่ ัดแกน X หรือกล่าวได้ว่าแกน X
เป็นเสน้ กากับแนวนอน

3. คา่ เฉลยี่ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเปน็ ตัวกาหนด
ลกั ษณะเฉพาะของเสน้ โค้งวา่ มีแกนสมมาตรอยทู่ ่ีใด และมกี ารกระจายจากค่าเฉลีย่
มากนอ้ ยเพียงใด

ตัวอยา่ งเชน่ เส้นโค้งปกติท่มี ีคา่ เฉลย่ี  และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน  สามารถเขียน
ไดด้ งั รปู

ถ้าคา่ เฉล่ยี หรือส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานคา่ ใดค่าหน่งึ หรอื ทัง้ สองคา่ เปลย่ี นแปลงไป เสน้ โค้งปกติจะ
เปลี่ยนแปลงตามไปดว้ ย แต่ยงั คงเป็นเส้นโคง้ รปู ระฆงั ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

เมื่อค่าเฉลีย่ แตกต่างกนั แต่สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กนั

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 33 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น

เมอ่ื ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานแตกต่างกัน แต่คา่ เฉลี่ยเท่ากัน

ถา้ ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปกติ โดยท่ี  แทนค่าเฉลี่ย และ  2 แทนความแปรปรวน จะ

เรยี กตัวแปรสมุ่ X วา่ ตวั แปรสมุ่ ปกติ เรยี ก  และ  2 วา่ พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกตแิ ละเขยี น

สัญลักษณ์ X  N( ,  2) เพอื่ แสดงว่าการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุม่ X เป็น

การแจกแจงปกติทม่ี ี  และ  2 เปน็ พารามเิ ตอร์
จากที่กล่าวมาแล้ววา่ สามารถหาความนา่ จะเป็นท่ีตัวแปรสุ่มจะมคี า่ อยู่ในชว่ งทส่ี นใจไดจ้ ากการ

หาพน้ื ทใี่ ตเ้ สน้ โค้งความหนาแนน่ ในช่วงนนั้ ซงึ่ เท่ากับปริพนั ธ์จากัดเขตของฟังกช์ นั ความหนาแน่น
ความนา่ จะเป็นในชว่ งดังกลา่ ว โดยจะต้องใช้วธิ กี ารของแคลคลู ัสซึง่ คอ่ นข้างยุง่ ยาก ในทางปฏิบตั จิ งึ หา
พ้ืนท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกตโิ ดยใช้ตารางแสดงพืน้ ทใี่ ต้เส้นโค้งปกตแิ ต่เนอื่ งจากเป็นไปไมไ่ ด้ทีจ่ ะสรา้ งตาราง
หลายๆ ตารางมาแสดงพน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติซึง่ มีคา่ เฉลยี่ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานตา่ งกนั ดงั นั้นจะใช้
วธิ กี ารแปลงการแจกแจงปกตขิ องตวั แปรสมุ่ ให้เป็นการแจกแจงปกตมิ าตรฐาน ซง่ึ จะกลา่ วถึงในหัวขอ้
ตอ่ ไป

เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ 34 เร่อื ง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น

การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน

บทนิยาม
การแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution) คอื การแจกแจงปกติทมี่ ี

ค่าเฉลีย่ เท่ากับ 0 ( = 0) และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 1 ( = 1)

จะได้วา่ ฟงั กช์ นั ความหนาแนน่ ความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ Z ที่มกี ารแจกแจงปกตมิ าตรฐานคอื

e z 2
2
f(z)  1 เมื่อ - < z < 
2

เรยี กเสน้ โคง้ ปกติซ่งึ ได้จากตัวแปรสุ่มปกติทีม่ คี า่ เฉลยี่ เป็น 0 และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 1
ว่า เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐาน (standard normal curve) ดงั รูป

เรยี กตวั แปรสมุ่ ทม่ี ีการแจกแจงปกติมาตรฐานวา่ ตัวแปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐาน (standard normal
random variable)

สาหรบั การหาความน่าจะเปน็ ท่ตี วั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานจะมคี ่าอย่ใู นชว่ งท่ีสนใจ จะใช้ตาราง
แสดงพนื้ ทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐาน แทนการหาปริพนั ธจ์ ากดั เขตของฟงั กช์ นั ความหนาแน่น

ความนา่ จะเป็น โดยค่าทปี่ รากฏในตารางคอื ค่าประมาณของพื้นทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐานจาก - ถงึ z
หรือความนา่ จะเป็นทต่ี ัวแปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน Z มคี ่าน้อยกว่าหรอื เท่ากบั z เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์

P(Z  z)
การอา่ นตารางใหเ้ ริม่ พจิ ารณาจากแถวท่ีแสดงค่า z จาก 0.0 ถึง -3.0 หรอื จาก 0.0 ถึง 3.0

คา่ ของ z มีคา่ ลดลงหรือเพิม่ ข้ึนแถวละ 0.1 จากนั้นจงึ พจิ ารณาหลกั ซ่ึงแสดงทศนยิ มตาแหน่งที่ 2 ของ

ค่า z เช่น ถ้าตอ้ งการหา P(Z  -1.54) จะเร่ิมพจิ ารณาจากแถวทแี่ สดงค่า z = -1.5 จากนนั้ พิจารณา

หลักที่แสดงคา่ 0.04 จะไดว้ ่าพ้นื ทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐานจาก - ถึง -1.54 หรอื P(Z  -1.54)
มีค่าประมาณ 0.0618

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 35 เรื่อง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

ตัวอยา่ ง 13 ให้ Z เปน็ ตวั แปรสุม่ ปกตมิ าตรฐาน จงหา

1) P(Z  2)
2) P(Z > 1.29)

3) P(-1.27  Z  0.45)

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................... ...................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................... .....................................................................................
.......................................................................................................................................................................... ................................................
................................................................................................................................................................................................................ ..........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................... .
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................ ..............................

ในกรณที ีต่ ัวแปรสมุ่ มีการแจกแจงปกติแต่ไม่ใช่การแจกแจงปกติมาตรฐาน จะไมส่ ามารถใชต้ าราง
ในการหาความนา่ จะเปน็ ได้ ดงั น้นั จะตอ้ งแปลงตัวแปรสมุ่ ปกติให้เปน็ ตวั แปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐาน โดยใช้
ทฤษฎีบทต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 36 เรื่อง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

ทฤษฎบี ท 2

ให้ตัวแปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมคี า่ เฉล่ยี  และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 

ถา้ ตัวแปรสุม่ Z นยิ ามโดย Z  X   แล้ว ตวั แปรสมุ่ Z จะมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน


นน่ั คือ z = 0 และ  z = 1

 นอกจากน้ีP(a X  b) = P a  Z  b   เม่ือ a , b เปน็ ค่าทีเ่ ป็นไปไดข้ อง
 

ตวั แปรสมุ่ X และ a  b

ตวั อย่าง 14 กาหนดให้ X  N(3.5 , 4) จงหา P(2.4 < X < 5.2)

..........................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................... .....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................. .........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ...........................................................................
.................................................................................................................................................................................... ......................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................... ....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................. ........
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 37 เร่ือง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

สาหรับตวั แปรส่มุ ปกติ X ท่ีมคี า่ เฉล่ีย  และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน  และตัวแปรสุม่ Z

นยิ ามโดย Z  X   จะได้ว่า


1. P( -   X   +  ) = P(-1  Z  1)

= P(Z  1) - P(Z < -1)

= 0.8413 – 0.1587

= 0.6826

นน่ั คอื ความน่าจะเป็นทต่ี วั แปรสุ่ม X จะมีค่าอยใู่ นช่วง [ -  ,  +  ] มีค่าประมาณ

0.6826 หรือพนื้ ท่ีใต้เส้นโค้งปกติจาก  -  ถงึ  +  มคี ่าประมาณ 68.26% ของพนื้ ที่ใต้เส้นโค้ง
ปกติท้งั หมด

2. P( - 2  X   + 2 ) = P(-2  Z  2)

= P(Z  2) - P(Z < -2)
= 0.9772 – 0.0228
= 0.9544

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 38 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น

นั่นคือ ความน่าจะเปน็ ทตี่ วั แปรสมุ่ X จะมคี า่ อยูใ่ นชว่ ง [ -2 ,  +2 ] มคี ่าประมาณ

0.9544 หรือพนื้ ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติจาก  -2 ถึง  +2 มคี ่าประมาณ 95.44% ของพื้นท่ีใต้เส้นโคง้
ปกติท้งั หมด

3. P( - 3  X   + 3 ) = P(-3  Z  3)

= P(Z  3) - P(Z < -3)
= 0.9987 – 0.0013
= 0.9974

น่ันคือ ความนา่ จะเปน็ ท่ีตวั แปรสุ่ม X จะมีค่าอยู่ในชว่ ง [ -3 ,  +3 ] มคี ่าประมาณ

0.9974 หรือพืน้ ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติจาก  -3 ถึง  +3 มีค่าประมาณ 99.74% ของพืน้ ที่ใต้เสน้ โค้ง
ปกติทั้งหมด

ตวั อย่าง 15 ความสงู ของนักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ของโรงเรียนแห่งหนงึ่ มกี ารแจกแจงปกติ
โดยมคี ่าเฉลย่ี และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 160 และ 5 เซนตเิ มตร ตามลาดับ ถ้าส่มุ นักเรยี น
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 1 คนจากโรงเรยี นนี้ จงหาความน่าจะเปน็ ทีน่ กั เรยี นที่สุ่มได้จะมคี วามสูง

1. ระหว่าง 150 และ 170 เซนตเิ มตร
2. มากกวา่ 162 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 39 เร่อื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

.......................................................................................................................................................................................... ................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................. ............................................................
.................................................................................................................................................................................................... ......................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................................................................................................. .............
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ ..........................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... .......................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เปอร์เซน็ ไทลข์ องตวั แปรสุ่มตอ่ เน่อื ง

นกั เรยี นทราบแล้ววา่ เปอรเ์ ซน็ ไทลเ์ ป็นค่าวดั ตาแหนง่ ที่ของขอ้ มลู เชิงปริมาณโดยแบง่ ขอ้ มูลทเ่ี รียง
จากนอ้ ยไปมากออกเปน็ 100 สว่ น เทา่ ๆ กนั สาหรบั ตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ือง X เนอ่ื งจากพืน้ ทใี่ ต้เสน้ โค้ง
ความหนาแน่นทั้งหมดเทา่ กับ 1 หรือคดิ เป็น 100% ดงั น้นั ถ้า x เป็นคา่ ที่เปน็ ไปได้ของตวั แปรสมุ่ X จะได้
วา่ ขอ้ มลู ที่นอ้ ยกวา่ x มีจานวน P(X < x)  100% นน่ั คือ ถ้า P(X < x)  100 เป็นจานวนเตม็ ที่อยู่
ระหว่าง 0 และ 100 จะได้วา่ เปอร์เซ็นไทล์ท่ี P(X < x)  100 เทา่ กับ x

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 40 เร่อื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ตวั อย่างเชน่ ถา้ Z เป็นตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐาน เนอ่ื งจาก P(Z < 0) = 0.5 ดังนัน้ 0 คอื

เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ P(Z < 0)  100 = (0.5)(100) = 50 หรือกลา่ วไดว้ า่ ข้อมลู ท่มี ีค่าน้อยกวา่ 0 มจี านวน
50% ของข้อมลู ทง้ั หมด โดยเม่ือพจิ ารณาจากรูปตอ่ ไปน้ีจะเหน็ วา่ บรเิ วณท่แี รเงามพี ื้นที่เป็นครง่ึ หนงึ่ ของ
พ้ืนที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐานท้งั หมด

ตวั อย่าง 16 อายกุ ารใชง้ านของถ่านไฟฉายชนดิ หนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมคี ่าเฉลีย่ และ

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 756 และ 35 นาที ตามลาดบั จงหาวา่

1. ถา่ นไฟฉายทมี่ ีอายกุ ารใช้งานน้อยกวา่ 791 นาที มีกเี่ ปอร์เซน็ ตข์ องถา่ นไฟฉายท้งั หมด

2. ถ่านไฟฉายท่ีมอี ายุการใช้งานมากกวา่ หรอื เทา่ กับเปอร์เซน็ ไทล์ที่ 95 สามารถใช้งานได้

อยา่ งนอ้ ยกนี่ าที เมื่อกาหนดให้ P(Z < 1.645) = 0.95

..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................. ........................................
........................................................................................................................................................................................................................ ..
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................ ..............................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................... ......................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ....................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนคณติ ศาสตร์ 41 เร่อื ง ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

การเปรยี บเทียบตาแหน่งของขอ้ มลู โดยใชค้ ่าของตวั แปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐาน

การแปลงตัวแปรสุม่ ปกติใหเ้ ป็นตวั แปรสุม่ ปกตมิ าตรฐาน นอกจากจะมีประโยชนใ์ นการหา
ความนา่ จะเปน็ โดยใช้ตารางแล้ว ยงั สามารถนาค่าของตัวแปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐานที่แปลงไดไ้ ปใชใ้ นการ
เปรยี บเทยี บข้อมูลตั้งแต่สองชดุ ขึ้นไปวา่ มคี วามแตกต่างกันหรอื ไมเ่ พียงใด เนอ่ื งจากคา่ เฉล่ยี และ
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู แต่ละชุดมักจะไม่เทา่ กนั บางครัง้ จงึ ไมส่ ามารถนาขอ้ มลู แตล่ ะชุดมา
เปรยี บเทยี บโดยตรงได้ เชน่ ในการเปรยี บเทียบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตรแ์ ละวชิ าภาษาองั กฤษของ
นกั เรียนคนหนงึ่ วา่ เรียนวิชาใดได้ดกี วา่ กนั โดยสมมติวา่ คะแนนสอบทง้ั สองวิชาโดยปรบั ใหม้ ีคะแนนเตม็
เท่ากนั ก็ไม่อาจสรปุ ได้วา่ นกั เรยี นคนน้เี รียนวิชาใดไดด้ ีกว่า เนือ่ งจากคะแนนสอบแตล่ ะวิชาไมไ่ ดข้ ้ึนอยู่กบั
ความรู้ความสามารถในวิชานน้ั ๆ ของนักเรยี นเพียงอย่างเดียว แต่ยังขึ้นอยู่กบั ความยากง่ายของข้อสอบ
หรอื วิธกี ารให้คะแนนของผูส้ อนแตล่ ะวิชา ทาให้ค่าเฉลี่ยหรอื สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบ
ท้งั สองวชิ าของนกั เรียนทงั้ หมดในชน้ั อาจไม่เทา่ กนั ดงั นน้ั เม่อื ต้องการเปรยี บเทยี บผลการเรียนท้ังสองวิชา
จึงจาเป็นตอ้ งแปลงคะแนนทง้ั สองวิชาใหเ้ ปน็ ตัวแปรส่มุ ปกตมิ าตรฐาน ซ่งึ จะทาให้คา่ เฉลย่ี หรอื
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบท้ังสองวชิ าเท่ากนั แล้วจึงเปรียบเทียบจากค่าของตัวแปรสมุ่
ปกตมิ าตรฐานของทง้ั สองวิชา ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 17 พิมพช์ นกสอบวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวชิ าภาษาองั กฤษซง่ึ มคี ะแนนเต็ม 100 คะแนนเทา่ กนั

ได้ 75 และ 72 คะแนน ตามลาดับ ถา้ คะแนนสอบทง้ั สองวิชาของนักเรยี นห้องนี้มีการแจกแจงปกติ โดย

คา่ เฉลีย่ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นห้องนเ้ี ท่ากบั 73 และ

16 คะแนน ตามลาดับ และค่าเฉลีย่ และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษของ

นักเรยี นห้องนีเ้ ทา่ กบั 70 และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงพิจารณาว่าพิมพช์ นกเรียนวิชาใดได้ดกี วา่ กนั

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................. ............................................................
.................................................................................................................................................................................................... ......................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................................................................................................. .............
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 42 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

ตวั อยา่ ง 18 นิตแิ ละนิพนธเ์ ป็นนักเรยี นห้องเดยี วกันและเข้าสอบวชิ าฟิสกิ สด์ ว้ ยกัน นติ ิได้คะแนนสอบ
55 คะแนน ซง่ึ ปรบั เป็นคา่ ของตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐานไดเ้ ป็น -0.8 สว่ นนพิ นธไ์ ด้คะแนนสอบ 72 คะแนน
ซง่ึ ปรับเปน็ คา่ ของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานไดเ้ ปน็ 1.4 ถา้ คะแนนสอบวชิ าฟิสิกส์ของนักเรยี นห้องนม้ี ี
การแจกแจงปกติ จงหาค่าเฉลยี่ และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าฟิสกิ ส์ของนักเรียนหอ้ งนี้

..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................... .....................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..................................................................................
.............................................................................................................................................................................. ............................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... ...........................................................................

จากตวั อยา่ งข้างต้นจะสังเกตได้ว่า คา่ ของตวั แปรสุม่ ปกติมาตรฐานอาจเปน็ ไดท้ ง้ั จานวนจรงิ บวก
และจานวนจรงิ ลบ ถา้ ค่าของตัวแปรสุ่มปกตมิ าตรฐานเปน็ จานวนจริงบวก แสดงวา่ ข้อมลู นั้นมีคา่ มากกวา่
ค่าเฉล่ยี แต่ถ้าค่าของตวั แปรส่มุ ปกตมิ าตรฐานเป็นจานวนจริงลบ แสดงวา่ ข้อมูลนัน้ มคี า่ นอ้ ยกวา่ ค่าเฉล่ีย
นอกจากนี้ ค่าของตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานจะขน้ึ อย่กู ับสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วย กล่าวคือ
ถ้าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมคี า่ นอ้ ย จะทาให้ค่าของตัวแปรสุม่ ปกติมาตรฐานมคี า่ มากกว่ากรณีที่
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานมีค่ามาก

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 43 เร่อื ง ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

แบบเสรมิ ทักษะที่ 6

1. ให้ Z เปน็ ตัวแปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน จงหา
1) P(Z  -1.34)
2) P(Z > 2.18)
3) P(-2.45  Z  1.68)
4) P(0.91  Z  2.26)

2. ข้อมูลชุดหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 10 และ 2
ตามลาดับ จงหาค่าของตัวแปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้
1) 11
2) 12
3) 14.2

3. กาหนดให้ X  N(20 , 100) จงหา
1) P(X < 48.9)
2) P(X > 12.9)
3) P(18.5  X  37.4)

4. ข้อมูลชดุ หน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยมคี ่าเฉล่ียและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 400 และ 100
ตามลาดบั จงหาว่ามขี อ้ มูลอยู่ก่เี ปอรเ์ ซน็ ต์ท่มี ีคา่
1) มากกว่า 538
2) มากกวา่ 179
3) น้อยกว่า 356
4) นอ้ ยกว่า 621

5. ระยะเวลาในการประกอบชิน้ ส่วนอเิ ล็กทรอนกิ ส์ชนิดหนงึ่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีคา่ เฉลย่ี และ
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 12 และ 1.5 นาที ตามลาดบั ถ้าสมุ่ ช้ินสว่ นอเิ ลก็ ทรอนิกสม์ า
1 ช้ิน จงหาความนา่ จะเปน็ ทชี่ ้ินสว่ นอเิ ลก็ ทรอนกิ สน์ จี้ ะใชเ้ วลาในการประกอบ
1) นอ้ ยกว่า 11 นาที
2) ระหวา่ ง 10 และ 13 นาที
3) มากกว่า 14 นาที

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 44 เรือ่ ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

6. คะแนนสอบวัดความรคู้ วามสามารถวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรียนระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย
ท่จี ดั โดยสถาบนั แหง่ หน่ึงมกี ารแจกแจงปกติ โดยมีคา่ เฉลย่ี และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั
505 และ 111 คะแนน ตามลาดับ ถา้ สมุ่ นกั เรียน 1 คน ทเ่ี ข้าร่วมการสอบน้ี จงหา
ความน่าจะเป็นท่นี ักเรียนคนน้ีจะได้คะแนนสอบ
1) ระหว่าง 400 และ 600 คะแนน
2) มากกว่า 700 คะแนน
3) น้อยกว่า 450 คะแนน

7. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6 ห้องหนึง่ มกี ารแจกแจงปกตโิ ดยมี
คา่ เฉลี่ยและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 72 และ 12 คะแนน ตามลาดับ
ถา้ กาหนดให้ P(Z < -0.6745) = 0.25 และ P(Z < 1.2816) = 0.90 จงหาเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 25
และ เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 90

8. ในการผลติ แผน่ พลาสตกิ ของบริษทั แห่งหน่งึ พบวา่ ความหนาของแผ่นพลาสตกิ มีการแจกแจง
ปกติ โดยมคี วามหนาเฉลยี่ 0.0625 เซนตเิ มตร และความแปรปรวน 0.00000625 เซนตเิ มตร2
ถ้าสุ่มแผน่ พลาสตกิ มา 1 แผน่ จงหาความนา่ จะเป็นทแ่ี ผน่ พลาสติกที่สุ่มไดม้ คี วามหนามากกวา่
0.0595 เซนตเิ มตร แต่ไมเ่ กิน 0.0659 เซนตเิ มตร

9. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 หอ้ งหนง่ึ มีการแจกแจงปกตโิ ดยมี
คา่ เฉลยี่ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 22 และ 4 คะแนน ตามลาดบั
1) จงหาคา่ ของตัวแปรสมุ่ ปกติมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรยี นทไี่ ด้
30 คะแนน
2) ถ้าสมุ่ นักเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6 มา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นท่ีนกั เรียนคนนีจ้ ะได้
คะแนนสอบระหวา่ ง 15 และ 32 คะแนน
3) ถา้ สุ่มนักเรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 มา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทน่ี ักเรียนคนนจ้ี ะได้
คะแนนสอบมากกวา่ 34 คะแนน
4) ถา้ ส่มุ นักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 มา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นทีน่ ักเรียนคนนีจ้ ะได้
คะแนนสอบน้อยกวา่ 25 คะแนน

10. นา้ หนักสทุ ธขิ องกระปอ๋ งบรรจุถว่ั ทผ่ี ลติ ในโรงงานแห่งหนง่ึ มกี ารแจกแจงปกติ โดยมี
นา้ หนักสทุ ธิเฉล่ีย 12 กรัม ถา้ สมุ่ กระปอ๋ งบรรจถุ ่ัวมา 1 ใบ แล้วความน่าจะเป็นที่กระป๋องใบนจ้ี ะ
มีน้าหนักสทุ ธนิ ้อยกวา่ 11.8 กรมั คอื 0.1151 จงหาความแปรปรวนของนา้ หนักสทุ ธิของกระปอ๋ ง
บรรจถุ ่วั ท่ผี ลติ โดยโรงงานแห่งนี้

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 45 เรื่อง ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

11. รา้ นอาหารแหง่ หนึ่งนอกจากขายอาหารแลว้ ยังมผี ลไม้ขายบริเวณหนา้ ร้านดว้ ย โดยยอดขาย
อาหารรายวนั มกี ารแจกแจงปกตทิ ีม่ ีค่าเฉลีย่ และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 8,400 และ
360 บาท ตามลาดบั และยอดขายผลไม้รายวันมกี ารแจกแจงปกตทิ ่มี ีคา่ เฉลี่ยและ
สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากบั 5,200 และ 240 บาท ตามลาดบั ถา้ วนั นม้ี ยี อดขายอาหาร
9,500 บาท และยอดขายผลไม้ 6,000 บาท จงพจิ ารณาวา่ วนั นี้ร้านอาหารแห่งนี้ขายอาหารหรือ
ผลไม้ไดด้ กี วา่ กนั

12. ภัครพรรณต้องการเรยี นตอ่ คณะอกั ษรศาสตร์ ณ มหาวทิ ยาลัยแห่งหนึง่ จึงได้สมคั รสอบ
วดั ระดับความถนดั ทางภาษาจนี และภาษาเกาหลี และได้คะแนนสอบดังนี้

ภาษา คะแนนของภัครพรรณ คะแนนเฉล่ีย ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

จนี 75 55 13

เกาหลี 68 50 10

ถ้าคะแนนสอบวัดระดับความถนดั ทางภาษาจนี และภาษาเกาหลีมกี ารแจกแจงปกติ แล้ว
ภัครพรรณมโี อกาสสอบติดคณะอักษรศาสตร์สาขาวชิ าภาษาจนี หรือสาขาวิชาภาษาเกาหลี
มากกวา่ กัน เพราะเหตใุ ด

13. เกณฑใ์ นการแบง่ ระดับคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ของ
โรงเรยี นแหง่ หนง่ึ แสดงไดด้ งั นี้

เกรด คะแนน
4 ตัง้ แต่  + 1.5 ข้นึ ไป
3 [ + 0.5 ,  + 1.5 )
2 [ - 0.5 ,  + 0.5 )
1 [ - 1.5 ,  - 0.5 )
0 นอ้ ยกวา่  - 1.5

โดย  และ  แทน ค่าเฉลีย่ และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของ
นกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ตามลาดับ สมมติวา่ คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ถ้าสมุ่ นกั เรยี น
มา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทนี่ กั เรียนคนน้ีจะไดเ้ กรดในแต่ละระดับ

14. อักษรศิลป์และสรวทิ ย์เปน็ นักเรียนห้องเดยี วกัน อกั ษรศลิ ปส์ ูง 152 เซนติเมตร ซึ่งปรับเป็น
ค่าของตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐานไดเ้ ปน็ -1.2 สว่ นสรวิทย์สูง 170 เซนตเิ มตร ซึ่งปรบั เป็นคา่ ของ
ตวั แปรสมุ่ ปกติมาตรฐานไดเ้ ป็น 0.8 ถ้าสว่ นสงู ของนกั เรยี นห้องนมี้ กี ารแจกแจงปกติ

เอกสารประกอบการเรยี นคณติ ศาสตร์ 46 เรื่อง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

1) จงหาคา่ เฉลยี่ และความแปรปรวนของความสูงของนกั เรียนหอ้ งน้ี
2) ถ้าวภิ ารัตนส์ งู 160 เซนติเมตร วภิ ารัตนจ์ ะสงู กวา่ ค่าเฉล่ียของความสูงของนักเรียนห้องน้ี

หรือไม่
3) ถา้ เกริกสูง 180 เซนตเิ มตร จงหาความนา่ จะเปน็ ทีน่ กั เรยี นคนหนึง่ ที่สมุ่ มาจากห้องนจ้ี ะ

สูงกวา่ เกริก

เฉลยแบบเสรมิ ทักษะที่ 6

ขอ้ 1. 1) 0.0901
2) 0.0146
3) 0.9464
4) 0.1695

ขอ้ 2. 1) 0.5
2) 1
3) 2.1

ข้อ 3. 1) 0.9981
2) 0.7611
3) 0.5187

ขอ้ 4. 1) 8.38
2) 98.64
3) 33
4) 98.64

ขอ้ 5. 1) 0.2514
2) 0.6568
3) 0.0918

ขอ้ 6. 1) 0.634
2) 0.0392
3) 0.3085

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 47 เร่อื ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

เฉลยแบบเสรมิ ทกั ษะท่ี 6 (ต่อ)

ขอ้ 7. 63.906 คะแนน , 87.3792 คะแนน

ข้อ 8. 0.798

ขอ้ 9. 1) 2
2) 0.9537
3) 0.0013
4) 0.7734

ขอ้ 10. 0.0289 กรมั 2

ขอ้ 11. วนั น้ีร้านอาหารแห่งนี้ขายผลไม้ไดด้ กี วา่ อาหาร

ขอ้ 12. เน่อื งจากคา่ ของตวั แปรส่มุ ปกตมิ าตรฐานของ x นอ้ ยกว่าค่าของ
ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของ y
ดังนนั้ ภคั รพรรณมโี อกาสจะสอบติดคณะอักษรศาสตร์สาขาวิชา
ภาษาเกาหลมี ากกว่าสาขาวิชาภาษาจีน

ขอ้ 13. ความนา่ จะเป็นท่ีนกั เรียนคนน้จี ะได้เกรด 4 คอื 0.0668
ความน่าจะเปน็ ทนี่ ักเรียนคนนีจ้ ะได้เกรด 3 คือ 0.2417
ความนา่ จะเปน็ ท่นี ักเรยี นคนนจ้ี ะไดเ้ กรด 2 คือ 0.383
ความน่าจะเปน็ ทน่ี ักเรียนคนนจ้ี ะไดเ้ กรด 1 คือ 0.2417
ความน่าจะเปน็ ทน่ี กั เรยี นคนนจ้ี ะได้เกรด 0 คือ 0.0668

ข้อ 14. 1) คา่ เฉล่ยี คอื 162.8 เซนติเมตร และความแปรปรวนคือ 81 เซนตเิ มตร2
2) เนือ่ งจากค่าเฉล่ียของความสูงของนกั เรียนหอ้ งนี้ คอื 162.8 เซนตเิ มตร
ดงั น้นั วภิ ารตั น์สงู น้อยกวา่ คา่ เฉลย่ี ของความสูงของนกั เรียนห้องน้ี
3) 0.0281

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 48 เรอ่ื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

เอกสารประกอบการเรยี นคณิตศาสตร์ 49 เรอ่ื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็