การแปรผัน

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน (2000-1401)
โดย ครูยุพดี นิธิภากร

หน่วยท่ี 4
การแปรผนั

สาระสาคญั

การแปรผนั เป็ นความสัมพนั ธ์ระหว่างปริมาณต้งั แต่สอง
ปริมาณขนึ้ ไป เมือ่ ปริมาณหน่ึงหรือมากกว่าเปลยี่ นแปลงไป
จะทาให้อกี ปริมาณหน่ึงเปลย่ี นแปลงตามไปด้วยในทิศทาง
เดยี วกนั หรือตรงกนั ข้าม การแปรผนั สามารถนาไปใช้ใน
งานอาชีพและประยุกต์ใช้ในชีวติ ประจาวนั

สาระการเรียนรู้

1. ความหมายของการแปรผนั
2. การแปรผนั ตรง
3. การแปรผกผนั
4. การแปรผนั เกยี่ วเน่ือง
5. การนาความรู้เร่ืองการแปรผนั ไปใช้ในวชิ าชีพและ
ในชีวติ ประจาวนั

จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม

1. อธิบายความหมายของการแปรผนั ตรง การแปรผกผนั และ
การแปรผนั เกย่ี วเนื่องได้
2. ยกตวั อย่างของการแปรผนั ตรง การแปรผกผนั และ การแปรผนั
เกย่ี วเน่ืองได้
3. เขยี นสมการแสดงความสัมพนั ธ์ของการแปรผนั ตรง การแปรผกผนั
และการแปรผนั เกยี่ วเนื่องได้
4. คานวณค่าต่างๆ ของการแปรผนั ตรง การแปรผกผนั และการแปรผนั
เกยี่ วเน่ืองได้
5. นาความรู้เร่ืองการแปรผนั ไปใช้ในวชิ าชีพและในชีวติ ประจาวนั ได้

แบบทดสอบก่อนเรียน

จงเลอื กคาตอบทถ่ี ูกต้องทสี่ ุด

1. ถ้า y แปรผนั ตรงกบั x และ x = 8 เมอื่ y = 72 แล้ว y มคี ่าเท่าไร

เมือ่ x = 20

1. 9 2. 90

3. 160 4. 180

2. ถ้า y แปรผกผนั กบั x และ x = 4 เมื่อ y = 60 แล้ว x มคี ่าเท่าไร
เมอ่ื y = 30

1. 6 2. 8
3. 9 4. 10

3. ถ้า y แปรผนั เกยี่ วเนื่องกบั x และ z โดยที่ x = 6 ,

y = 48 และ z = 4 แล้ว y มคี ่าเท่าไร เม่ือ x = 10 และ

z = 18

1. 288 2. 294

3. 360 4. 390

การแปรผนั

ความหมายของการแปรผนั

การแปรผนั

การแปรผนั คอื ความสัมพนั ธ์ระหว่างปริมาณต้งั แต่สอง
ปริมาณขนึ้ ไป โดยท่ีปริมาณหนึ่งหรือมากกว่าเปลย่ี นแปลงไป

ทาให้อกี ปริมาณหนึ่งจะเปลย่ี นแปลงตามไปด้วยอย่างเป็ นสัดส่วน
กนั เช่น ต้นทุนแปรผนั ตามปริมาณทผี่ ลติ สินค้า กาไรแปรผนั ตาม
ยอดขาย เป็ นต้น

ชนิดของการแปรผนั

การแปรผนั แบ่งออกเป็ น 3 ชนิด ดงั นี้
1. การแปรผนั ตรง
2.การแปรผนั แบบผกผนั
3.การแปรผนั เกยี่ วเน่ือง

การแปรผนั ตรง

การแปรผนั ตรง

การแปรผนั ตรง คอื ความสัมพนั ธ์ระหว่างสองส่ิงหรือสอง
ปริมาณ เมอ่ื ส่ิงหนึ่งเพมิ่ หรือลด อกี สิ่งหน่ึงกจ็ ะเพมิ่ หรือ
ลดตามด้วย อย่างเป็ นสัดส่วนกนั

นิยาม กาหนดให้ x และ y แทนปริมาณใดๆ

y แปรผนั ตรงกบั x เม่อื y = kx โดยที่ k เป็ นค่าคงตัว
และ k ≠ 0 เรียก k ว่าค่าคงตวั ของการแปรผนั

ตัวอย่าง ถ้า y แปรผนั ตรงกบั x และ x = 2 เม่อื y = 18

จงหาค่าของ y เมอื่ x = 16

วธิ ีทา y แปรผนั ตรงกบั x

จะได้ y = kx ; k ≠ 0

x = 2 เมอ่ื y = 18 ; แทนค่า 18 = k(2)

k= 9

สมการความสัมพนั ธ์ระหว่าง x และ y คอื y = 9x

y = ? เมอ่ื x = 16 ; แทนค่า y = 9 ×16 = 144

ดงั น้ัน y = 144 เมือ่ x = 16

ตัวอย่าง ถ้า y แปรผนั ตรงกบั x + 1 และ x = 5 เมื่อ y = 24

จงหาค่าของ y เมอ่ื x = 12

วธิ ีทา y แปรผนั ตรงกบั x + 1

จะได้ y = k (x + 1 ) ; k ≠ 0

x = 5 เมือ่ y = 24 ; แทนค่า 24 = k(5 + 1)

k= 4

สมการความสัมพนั ธ์ระหว่าง x และ y คอื y = 4 (x + 1 )

y = ? เมื่อ x = 12 ; แทนค่า y = 4 (12 + 1) = 52

ดงั น้ัน y= 52 เมอื่ x = 12

การแปรผกผนั

การแปรผกผนั

การแปรผกผนั เป็ นความสัมพนั ธ์ระหว่างปริมาณสอง
ปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเพมิ่ อกี ปริมาณหนึ่งจะลดลง แต่
ปริมาณหนึ่งลดลงอกี ปริมาณหนึ่งจะเพม่ิ ขนึ้

นิยาม กาหนดให้ x และ y แทนปริมาณใดๆ ทไี่ ม่ใช่ศูนย์

y แปรผกผนั กบั x เมอ่ื y = k

x

โดยท่ี k เป็ นค่าคงตวั และ k ≠ 0 เรียก k ว่าค่าคงตวั ของ
การแปรผนั

ตวั อย่าง ถ้า y แปรผกผนั กบั x และ x = 4 เมอ่ื y = 60

จงหาค่าของ y เมื่อ x = 12

วธิ ีทา y แปรผกผนั กบั x จะได้ y = k ; k ≠ 0

x

x = 4 เม่ือ y = 60 ; แทนค่า 60 = k

4

k = 240

สมการความสัมพนั ธ์ระหว่าง x และ y คอื y = 240

x

y = ? เมือ่ x = 12 ; แทนค่า y = 240 ÷ 12 = 20

ดงั น้ัน y = 20 เมือ่ x = 12

การแปรผนั เกย่ี วเน่ือง

การแปรผนั เกยี่ วเน่ือง

การแปรผนั เกย่ี วเนื่อง เป็ นความสัมพนั ธ์ระหว่างปริมาณ
ต้งั แต่สองปริมาณ ซ่ึงอาจสัมพนั ธ์ในลกั ษณะของการแปร
ผนั ตรงหรือการแปรผกผนั กไ็ ด้ เช่น ระยะทางท่ีเดนิ ทาง
โดยรถยนต์จะขนึ้ อยู่กบั อตั ราความเร็วเฉลยี่ ของรถยนต์และ
เวลาทใี่ ช้ในการเดนิ ทาง เป็ นต้น

การแปรผนั เกย่ี วเน่ือง

นิยาม กาหนดให้ x1 , x2 , x 3 ,…, x n และ y แทน
ปริมาณใดๆ

y แปรผนั เกยี่ วเน่ืองกบั x1 , x2 , x 3 ,…, x n หมายถงึ
y แปรผนั โดนตรงกบั ผลคูณของ x1 , x2 , x 3 ,…, x n
จะได้ y = k x1 x2 x 3 x n โดยท่ี k เป็ นค่าคงตัวและ k ≠ 0
เรียก k ว่าค่าคงตวั ของการแปรผนั

ตวั อย่าง ถ้า y แปรผนั เกย่ี วเนื่องกบั x และ z โดยที่ x = 6 ,
y = 48 และ z = 4 จงหาค่าของ y เมอื่ x = 10 และ z= 16
วธิ ีทา y แปรผนั เกยี่ วเนื่องกบั x และ z

จะได้ y = kxz ; k ≠ 0
x = 6 , y = 48 และ z = 4 ; แทนค่า 48 = k×6×4

k=2
สมการความสัมพนั ธ์ระหว่าง x และ y คอื y = 2xz
Y = ? เมื่อ x = 10 , y= 16 ; แทนค่า y =2 ×10×16 = 320

ดงั น้ัน Y = 320 เมอ่ื x = 10 และ z= 16

ตัวอย่าง ถ้า y แปรผนั ตรงกบั x และแปรผกผนั กบั z
โดยที่ x = 2 , y = 6 และ z = 1 จงหาค่าของ y
เม่อื x = 10 และ z = 15
วธิ ีทา y แปรผนั ตรงกบั x และแปรผกผนั กบั z

จะได้ y = kx ; k ≠ 0
z

x = 2, y = 6 และ z = 1 ; แทนค่า 6 = k×2
1

k=3

สมการของการแปรผนั คอื y = 3x
z

y = ? เมอ่ื x = 10 , z = 15 ;
แทนค่า y = 3 ×10
15
=2
ดงั น้ัน y = 2 เมอ่ื x = 10 และ z = 15

การนาความรู้เร่ืองการแปรผนั
ไปใช้ในวชิ าชีพและในชีวติ ประจาวนั

การนาความรู้เรื่องการแปรผนั ไปใช้ในวชิ าชีพและในชีวติ ประจาวนั

สามารถนาความรู้เรื่องการแปรผนั ไปใช้ในการ
คานวณหากาไร , ราคาทุน , ยอดขาย และดอกเบยี้ เป็ นต้น

ตัวอย่าง ในการจัดงานวนั เกดิ มคี ่าใช้จ่ายในการจดั งาน
แปรผนั ตรงกบั จานวนแขกทเ่ี ชิญมา ถ้าเชิญแขกมา 60 คน
จะเสียค่าใช้จ่าย 12,000 บาท ถ้าเชิญแขกมา 45 คน
จะเสียค่าใช้จ่ายเท่าไร

วธิ ีทา ให้ x แทนจานวนแขกทเี่ ชิญมา

y แทนค่าใช้จ่ายในการจดั งาน

ค่าใช้จ่ายจดั งานแปรผนั ตรงกบั จานวนแขกท่เี ชิญมา : y = kx

เชิญแขกมา 60 คน (x) เสียค่าใช้จ่าย 12,000 บาท (y)

แทนค่า 12,000 = k (60)

200 = k

สมการของการแปรผนั คอื y = 200x

เชิญแขกมา 45 คน (x) จะเสียค่าใช้จ่ายเท่าไร (y) : y = 200 (45)

= 9,000

เชิญแขกมา 45 คน จะเสียค่าใช้จ่าย 9,000 บาท

ตัวอย่าง ในการผลติ สินค้าอย่างหน่ึง ต้นทุนคงทต่ี ่อหน่วย
(y บาท) แปรผกผนั กบั จานวนหน่วยที่ผลติ (x หน่วย)
ถ้าผลติ สินค้าท้งั หมด 10,000 ชิ้น ต้นทุนคงทเ่ี ฉลย่ี ต่อชิ้น
เท่ากบั 20 บาท ถ้าผลติ สินค้าท้งั หมด 40,000 ชิ้น ต้นทุน
คงที่เฉลยี่ ต่อชิ้นเป็ นเท่าไร

วธิ ีทาต้นทุนคงทต่ี ่อหน่วย(y) แปรผกผนั กบั จานวนหน่วยทผี่ ลติ (x )

y =k

x

ผลติ สินค้าท้งั หมด 10,000 ชิ้น ต้นทุนคงทเี่ ฉลย่ี ต่อชิ้นเท่ากบั 20 บาท

แทนค่า 10,000 = k ÷ 20 จะได้ 200,000 = k

สมการของการแปรผนั คอื y = 200,000

x

ถ้าผลติ สินค้าท้งั หมด 40,000 ชิ้น ( x ) ต้นทุนคงทเ่ี ฉลย่ี ต่อชิ้นเป็ นเท่าไร ( y )

y = 200,000 ÷ 40,000 = 5

ถ้าผลติ สินค้าท้งั หมด 40,000 ชิ้น ต้นทุนคงทเี่ ฉลย่ี ต่อชิ้นเป็ น 5 บาท

แบบทดสอบหลงั เรียน

จงเลอื กคาตอบทถ่ี ูกต้องทสี่ ุด

1. ถ้า y แปรผนั ตรงกบั x และ x = 8 เมอื่ y = 72 แล้ว y มคี ่าเท่าไร

เมือ่ x = 20

1. 9 2. 90

3. 160 4. 180

2. ถ้า y แปรผกผนั กบั x และ x = 4 เมื่อ y = 60 แล้ว x มคี ่าเท่าไร
เมอ่ื y = 30

1. 6 2. 8
3. 9 4. 10

3. ถ้า y แปรผนั เกย่ี วเน่ืองกบั x และ z โดยท่ี x = 6 ,

y = 48 และ z = 4 แล้ว y มคี ่าเท่าไร เม่อื x = 10 และ

z = 18

1. 288 2. 294

3. 360 4. 390

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
1.) 4 2.) 2 3.) 3

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
1.) 4 2.) 2 3.) 3

ขอขอบคุณภาพจากInternet