บทที่ 5 การประยุกต์การอินทิเกรต

5 ปริพันธแ์ ละการประยกุ ต์

สูตรพนื้ ฐานในการหาปริพันธ์

ให้ u เป็นฟังกช์ ันของ x และ a , C เปน็ ค่าคงตัวใดๆ

1.  du  u  C  8. du  ln u  u 2  a2  C
a2  u2
 u r du  u r1  C
2. เมอ่ื r  1 9. du  ln u  u 2  a2  C
r 1
u2  a2
1
3.  u du  ln u C  du  1 ln a  u  C
2a a  u
4.  eu du  eu  C 10. a2 u2

5. du  au  C เม่อื 11.  du  1 ln u  a C
ln a 2a u  a
 au a0 u2  a2

 du  arcsin u  C 12. du   1 ln a  a2  u 2  Cau
6. a2 u2 a u a2 u2

7.  du  1 arctan u  C 13. du   1 ln a  a2  u 2  Cau
aa u a2 u2
a2 u2

บทนิยาม 5.1 ฟงั ก์ชัน F จะถกู เรยี กว่าเปน็ ปฏิยานุพนั ธห์ รอื ปรพิ ันธ์ (Integration or
Antiderivative) ของฟงั กช์ ัน f ถ้า Fx  f x บนบางชว่ งเปิด a,b

สาหรบั ทุก Fx C เมอื่ C เปน็ คา่ คงตวั ใดๆ d Fx C  f x ดงั นั้นเราจะใช้สญั ลกั ษณ์

dx

ของปริพนั ธข์ อง f x เป็น

 f xdx  Fx  C

เราอาจกล่าวว่า Integration เปน็ Inverse Operator ของ Derivative

สัญลักษณ์  เรียกว่า Integral sign และเรียก f x ว่า Integrand

สมบตั พิ น้ื ฐานในการหาปรพิ ันธ์
ให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชันของ x และ a เปน็ ค่าคงตวั ใดๆ

 a f (x) dx  a f (x) dx

  [ f (x)  g(x)] dx  f (x) dx  g(x) dx

  [ f (x)  g(x)] dx  f (x) dx  g(x) dx

ตัวอยา่ ง 5.1 จงหาปรพิ นั ธข์ อง

1.  t 1  2
 t 
  dt

2.   x  3ex dx

3.  x  32 x  1 xdx

5.1 เทคนิคการหาปรพิ นั ธ์

5.1.1 การหาปรพิ นั ธ์โดยการแทนค่า (Integration by Substitution)

ในการหาปริพันธ์  h(x)dx ทีไ่ ม่อาจหาไดโ้ ดยตรงจากตาราง จะตอ้ งจดั รปู ใหม่เป็น
 h(x)dx   f (g(x)) g(x)dx

แล้วสามารถใช้เทคนคิ การแทนคา่ โดยเลือก u  g(x) จะได้ du  g(x)dx

แทนค่าจะได้  h(x)dx   f (u)du
ถ้า  f (u)du  F(u)  C แล้ว

 h(x)dx   f (u)du  F (u)  C  F (g(x))  C

ตวั อยา่ ง 5.2 จงหาคา่ ของ

1.  x x 1dx

2.  x  4  x 3 dx
2

3.   x 1  5x2 2

3 dx

4.  ln2 x2 dx

x

5. e2x dx
1  9e4x

6.  1 dx
x2  4x  5

7.  x  1 dx
x2  4x  5

8.
9.

10.

5.1.2 การหาปรพิ ันธ์ทลี ะสว่ น (Integration by Parts)

จาก d(uv)  udv  v du
จะได้ u dv  d(uv)  v du

ดงั นั้น  u dv   d(uv)   v du  uv   v du

จะได้สูตรการหาปรพิ นั ธ์ทีละส่วน คอื

 u dv  uv   v du

หลกั ในการเลอื ก u และ dv
1. u ควรจะหาอนุพนั ธไ์ ดง้ า่ ย

2. ถ้า dv  gxdx แลว้ ปริพนั ธ์  gxdx จะต้องหาคา่ ไดง้ ่าย
3.  vdu จะต้องไม่ยงุ่ ยากกวา่  udv

ตวั อยา่ ง 5.3 จงหาค่าของ

1. x 2ex dx

2.

3.  xn ln xmdx

5.1.3 การหาปรพิ ันธ์โดยการแยกเป็นเศษสว่ นยอ่ ย

ทฤษฎีบท 5.1 Linear Factor Rule

สาหรบั แต่ละแฟคเตอร์ทอ่ี ยู่ในรูป ax  bm เศษส่วนย่อยจะประกอบดว้ ย m ส่วน

คอื A1 b  A2  Am

ax  ax  b2 ax  bm

เม่อื A1, A2,, Am เปน็ ค่าคงท่ีท่ีตอ้ งคานวณหา

ทฤษฎบี ท 5.2 Quadratic Factor Rule

สาหรับแตล่ ะแฟคเตอรท์ ่อี ยใู่ นรูป ax2  bx  c m เศษส่วนย่อยจะประกอบดว้ ย

m สว่ น คือ

     A1x  B1  A2 x  B2    Am x  Bm
ax2  bx  c ax2  bx  c 2 ax2  bx  c m

เม่อื A1, A2,, Am และ B1, B2,, Bm เปน็ ค่าคงทที่ ่ตี ้องคานวณหา

ตัวอยา่ ง 5.4 จงหาค่าของ

1.  x2  2 dx
x2

2.  x2  x 16 dx

x 1x  32

3.  4 x 2x2 1 1 dx

1x2 

4.    x3  3x2  x  9 dx
x2 1 x2  3

 5. x4  6x3 10x2  x dx
x2  6x 10

5.2 ปรพิ นั ธ์จากดั เขต พื้นที่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง

5.2.1 ปริพันธ์จากัดเขต

ทฤษฎีบท 5.3 (The First Fundamental of Calculus)

ให้ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องเหนือช่วง (ทบี่ รรจจุ ดุ มากกวา่ 1 จุด) และให้ เป็นจดุ ใดๆ ใน

กาหนด โดย สาหรับทกุ ใน

แลว้ สามารถหาออนพุ นั ธ์ไดเ้ หนอื ชว่ ง และ สาหรบั ทกุ ใน

ทฤษฎบี ท 5.4

ถ้า f ต่อเน่อื งบน a,b และถ้า F เป็น Antiderivative ของ f บน a,b แล้ว

b f xdx  F b  F a 
a

สมบัตบิ างประการของปรพิ ันธจ์ ากดั เขต

ให้ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เน่อื งบนชว่ ง a,b

 1. เมอ่ื k เป็นคา่ คงตัวใดๆ
bb

kf (x) dx  k f (x) dx
aa

  2.
a bb

( f (x)  g(x)) dx  f (x) dx  g(x) dx
b aa

3. a

 a f (x) dx  0

 4.
ba

f (x) dx   f (x) dx
ab

  5. เม่อื
b cb acb

f (x) dx  f (x) dx  f (x) dx
a ac

6.

ตัวอย่าง 5.5 จงหาค่าของ

1. 2

x dx
1

2.

3. 2 x3  9 dx

2 x 1

ตวั อยา่ ง 5.6 จงหาคา่ ของ 4 f xdx เมื่อ

0

f x   x ,0  x  1
 x2 ,x 1
1

5.2.2 การหาปรพิ ันธ์เชิงตัวเลข ชว่ งของ y  f x

5.2.2.1 ผลบวกรมี ันน์
y

o a  x0 x1 x2 x j1 x j x j1 x

xn  b

เมอ่ื พจิ ารณาแทง่ สี่เหลยี่ มแต่ละแท่งและใช้ความสูงเป็นขอบล่างของช่วงแต่ละช่วง เราจะได้ผลบวก

รมี นั น์ ในกรณใี ช้ เปน็

y ช่วงของ y  f x

o a  x0 x1 x2 x j1 x j x j1 x
ถ้าใชค้ วามสงู เป็นขอบบนของช่วงแต่ละช่วง น่นั คือ
xn  b

เราจะได้ผลบวกรมี ันน์ในกรณีนีเ้ ปน็

ถา้ ใช้ความสูงเปน็ จดุ กึ่งกลางของชว่ งแต่ละชว่ ง นน่ั คือ เราจะไดผ้ ลบวกรมี ันน์ในกรณนี ี้
เปน็

5.2.2.2 กฎสีเ่ หลีย่ มคางหมู y  f x
y

o a  x0 x1 x2 x j1 x j x j1 xn  b x

ให้ f  C 2 a, b, h  1 b  a, xj a jh ( j  0,1,2,,n) กฎส่ีเหลยี่ มคางหมูประกอบ

n

สาหรบั n ช่วงย่อย พร้อมดว้ ยพจน์ของความคลาดเคล่ือน คอื

 n1  b 
 
f b  2

j 1
   b h  a  
f
xdx  f a  f xj  h 2 f

a 2  12
 

สาหรับ   a,b

หรอื ค่าประมาณของอินทิกรลั

h  n1 
2  
 f b  2 f 

j 1
  b
a
f xdx  f a  xj

5.2.2.3 กฎซมิ ปส์ นั

การหาสูตรอนิ ทิเกรตทีม่ รี ากฐานบนการประมาณฟังกช์ ัน f โดยพหุนามกาลงั สอง ทมี่ ีคา่ เหมือน

f ณ จุด x0  a, x1  a  b , x2 b มีสตู รการประมาณค่าอินทิกรลั เชิงตวั เลขเป็น
2

b f xdx  b  a  f a  4 f  a  b   f b
6   2 
a

ถา้ f C4a,b แลว้ จะมี   a,b ท่ีวา่ กฎ Simpson ประกอบสาหรับ n ช่วงยอ่ ยของ a,b

พร้อมด้วยคา่ ผิดพลาดคอื

h  n 21 n2 b b  a
3 
 2f 4 f  180

j 1 j 1
      b 4
a
f xdx  f a   x2 j x2 j1  f  h 4 f  

สาหรับ   a,b

y y  f x

o a  x0 x2 x j1 x j1 xn  b x

ตวั อย่าง 5.7 พิจารณาการใช้กฎ Simpson ในการประมาณคา่  xdx โดยให้มีคา่ ผิดพลาดไม่เกิน

sin

0

0.00002

จากสูตร เราได้

h  n 21 n2  h 4
3 sin  180
 2 sin 4 sin

j 1 j 1
    0   sin   
sin

0
xdx x2 j x2 j1 sin



เราต้องการให้คา่ ผดิ พลาดของการประมาณไม่เกนิ 0.00002 นั่นคือ

h4 sin   h 4  5  0.00002
180 180 18 0n 4

ใชใ้ นการหา n และ h ซ่ึงให้ n  18 เพอื่ เปน็ การตรวจสอบ แทนคา่ n  20 , h  

20

จากกฎ Simpson

 9 sin  j   4 10 2 1 
    2 j  
sin xdx  sin  2.000006
60  10 20 
0  j1 j1 

เพอ่ื ให้ได้ความแมน่ ยาระดบั เดียวกนั โดยใชก้ ฎสี่เหลย่ี มคางหมู เราต้องการ

 h2 sin   h2   3  0.00002 
12 12 12n2

ซึ่งชวี้ ่า n  360

ตวั อยา่ ง 5.8 จงประมาณคา่ ของ โดยใช้ โดยวิธี

ก. ผลบวกรีมันน์ (ใชจ้ ดุ กึง่ กลาง)
ข. กฎส่ีเหลย่ี มคางหมู
ค. กฎของซมิ ปส์ นั
ง. ทฤษฎีหลักมลู

ตวั อย่าง 5.9 กาหนดให้ และ
และ

ก. จงประมาณค่าของ ดว้ ยกฎส่ีเหลีย่ มคางหมู พรอ้ มดว้ ย Simpson n4 1.000169
ข. จงประมาณคา่ ของ ดว้ ยกฎซิมปส์ นั พรอ้ มด้วย Trapezoidal 1.023064
ค. จงประมาณค่าของ ด้วยกฎซมิ ป์สัน พร้อมด้วย Simpson n2 1.002621
ง. จงประมาณค่าของ ด้วยทฤษฎหี ลกั มูล

จ. จงหาคา่ คลาดเคลอื่ นทม่ี ากท่สี ดุ จากการประมาณค่า ด้วยกฎสีเ่ หลยี่ มคางหมู
ในข้อ ก.
ดว้ ยกฎซมิ ปส์ ันในข้อ ข.
ฉ. จงหาคา่ คลาดเคลอ่ื นทม่ี ากที่สดุ จากการประมาณคา่ ด้วยกฎซิมป์สนั ในข้อ ค.
ช. จงหาค่าคลาดเคล่ือนทมี่ ากทีส่ ุดจากการประมาณค่า

สาหรับ ก. สตู รของกฎสีเ่ หลยี่ มคางหมคู ือ b f xdx  h  f a  n1 f x j  เมอื่
2  
a  f b  2
j 1

เราได้ว่า เราจะได้ และ น่นั คอื

ตามลาดบั ดงั นั้น

สาหรบั ข. สูตรกฎชิมป์สันคอื b f xdx  h  f a   n 21 x2 j  n2 f  x2 j1  f b
3 
a  2 f 4 
j 1 j 1

เน่อื งจาก เราได้ เช่นเดียวกับขอ้ ก. และ และ
น่นั คือ ตามลาดบั

ในการคานวณคา่ คลาดเคลอื่ นทม่ี ากที่สดุ ของค่าประมาณ ในกรณีข้อ ช. จากกฎซมิ ปส์ ันพรอ้ มดว้ ย

ค่าความคลาดเคลอื่ น เราได้พจน์ของความคลาดเคลอื่ นเป็น  b  a h4 f 4 ซงึ่ เราจะต้องหา

180

อนุพันธ์อนั ดับ 4 ของฟังก์ชนั ซึง่ โจทยก์ าหนด เราได้

,, ,

ในข้อ ช. ซึ่งพิจารณาซิมปส์ ันโดยใช้ ดังน้นั

เราพจิ ารณาความคลาดเคลือ่ นโดยไม่สนใจเครอ่ื งหมาย นนั่ คือ

ความคลาดเคลอ่ื น

เนอ่ื งจาก เป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ บนช่วง ดงั น้ัน เม่ือ
จะมีคา่ สงู สดุ เม่ือ
นน่ั คือ

ขอบเขตของความคลาดเคลอ่ื นของการประมาณ คือ 0.004719

5.2.3 การประยุกตข์ องปริพนั ธ์จากดั เขตเพ่อื คานวณหาพ้นื ท่ีระหว่างเส้นโค้ง

อินทิกรัลจากดั เขตของ f บนช่วง a,b คือพื้นทใี่ ตก้ ราฟของ f ตัง้ แต่ x  a ถงึ x  b ทานอง
เดียวกนั สาหรบั ฟังกช์ ัน g บนชว่ ง a,b เราก็จะหาพ้นื ทใี่ ต้กราฟของ g ต้ังแต่ x  a ถงึ x  b
ได้ ซง่ึ ถ้าตอ้ งการหาพื้นทป่ี ดิ ลอ้ มจากกราฟท้ังสองบนชว่ ง a,b และถา้
f x  gx,x  a,b เราจะไดว้ า่

พ้นื ท่ีปดิ ลอ้ มของกราฟ f และ g บนช่วง a,b เทา่ กับ

 b f x   g xdx

a

ในบางครั้งกราฟ g อาจจะอย่ใู ตแ้ กน ทาให้บางช่วงของการ

อนิ ทิกรัลไดค้ า่ ลบ แต่สาหรบั การหาพ.ท.ท่ีระหว่างกราฟ f และ
g นน้ั ไมม่ ีผลต่อการคานวณพนื้ ท่ปี ิดลอ้ ม เนอ่ื งจากเราสามารถ

ขยับกราฟท้ังคู่ขึ้นเหนือแกน x ได้ โดยการบวกด้วยค่าคงท่ี m

ซึ่งทาให้เราคานวนพ.ท.ปดิ ลอ้ มไดโ้ ดย

 b f x   m  gx   mdx   b f x  gxdx

a a

ตวั อย่าง 5.10 จงหาพื้นท่ปี ิดลอ้ มของกราฟ y  x2 กบั y  x  6

ตวั อยา่ ง 5.11 จงหาพ้นื ที่ปดิ ลอ้ มของกราฟ y  x กบั x  2  y2 เหนอื แกน x

5.3 ปรพิ นั ธ์ไม่ตรงแบบ

 b f (x) dx  F(x) b  F(b)  F(a) เมอื่ F(x)  f (x) โดยที่
aa

อาจเกดิ ปัญหากรณี

1. ลมิ ติ ของการอนิ ทเิ กรตเปน็ อนนั ต์ คือ a   หรอื b   หรอื ท้งั สองอย่าง ซึ่งเปน็ ผล
ใหห้ าคา่ F(b) หรือ F(a) ไมไ่ ด้ หรือถ้าหาไดก้ อ็ าจไม่ถกู ตอ้ ง

2. หาคา่ ไม่ได้หรือไม่ต่อเนอื่ งที่จดุ บางจุดบนชว่ งปิด a,b ซึง่ เรยี กจดุ ที่ หาค่า

ไม่ไดน้ ี้ว่า จุดเอกฐาน (Singular point) เชน่ f (x)  x2 จดุ เอกฐานคอื

x2  4

ปริพนั ธ์ไม่ตรงแบบ แบ่งเป็น 3 แบบ คอื

1. ปริพนั ธไ์ มต่ รงแบบทม่ี ีลิมิตบนและ/หรือลมิ ิตล่างในการหาปริพนั ธ์เปน็ อนนั ต์ คือ
a   หรือ b  

2. ปรพิ ันธไ์ มต่ รงแบบซงึ่ ฟงั ก์ชนั f มีจุดทไี่ มต่ อ่ เน่ืองแบบอนนั ตท์ ี่ c โดยท่ี c มีจานวน
จากัด และ

3. ปรพิ ันธ์ไมต่ รงแบบทเ่ี ป็นทง้ั แบบท่ี 1 และ 2

หมายเหตุ ฟงั ก์ชัน f ไมต่ ่อเนอ่ื งแบบอนนั ต์ ถ้าlim f x   (หรือ   )หรอื
xc

lim f x   (หรือ  ) นัน่ คือ x  c เป็นเสน้ กากับแนวต้ัง

xc

บทนิยาม 5.2 (การหาปรพิ นั ธไ์ มต่ รงแบบที่มีลมิ ติ ในการหาปรพิ นั ธเ์ ป็นอนนั ต์)
ก. เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนช่วง  ,b แลว้

 b f xdx  lim b f xdx
 t t

ข. ถา้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนื่องบนชว่ ง a, แลว้

  f xdx  lim s f xdx
a s a

ค. ถา้ f เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนือ่ งบนชว่ ง  , แลว้

 f xdx  c f xdx   f xdx

 c

  lim c f xdx  lim s f xdx
t t s c

โดยที่ c   ,

สองกรณแี รกจะกลา่ วว่าปรพิ ันธไ์ ม่ตรงแบบลเู่ ข้า ถา้ ลมิ ิตทางขวามอื หาคา่ ได้

และถ้าลมิ ติ ทางขวามอื หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ วว่าปริพนั ธ์ไม่ตรงแบบลูอ่ อก

ส่วนกรณที ี่สามจะกล่าวว่าปรพิ ันธไ์ ม่ตรงแบบลู่เข้า ถ้าลมิ ติ ทางขวามอื หาคา่ ไดท้ ง้ั ค่แู ละจะกลา่ วว่า

ปริพนั ธไ์ ม่ตรงแบบลูอ่ อก ถา้ ลมิ ิตทางขวามอื ตวั ใดตวั หนึ่งหาค่าไมไ่ ด้

บทนยิ าม 5.3 (ปรพิ ันธไ์ ม่ตรงแบบซึ่งฟังกช์ นั f มีจดุ ทไี่ มต่ ่อเน่ืองแบบอนนั ต)์

1. ถา้ f ตอ่ เนื่องทุกจดุ บน a,b และ lim f x   (หรอื   ) แลว้
ta

 b f x dx  lim b f x dx
a ta t

2. ถ้า f ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง a,b และ lim f x   (หรือ   ) แล้ว
t b 

 b t f x dx

f (x)dx  lim
a tb a

3. ถา้ f ตอ่ เนอื่ งทุกจุดบนช่วง a,b แต่ไมต่ อ่ เนื่องแบบอนนั ต์ท่ี x  c  a,b จดุ เดยี ว

แลว้

  b f x dx  lim t f x dx  lim b f x dx
a tc a sc s

สองกรณีแรกจะกล่าววา่ ปริพนั ธไ์ ม่ตรงแบบลเู่ ขา้ ถา้ ลมิ ิตทางขวามือหาค่าได้

แต่ถา้ ลมิ ติ ทางขวามือหาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ ปริพนั ธไ์ ม่ตรงแบบลอู่ อก

สว่ นกรณีทีส่ ามจะกล่าววา่ ปริพันธไ์ มต่ รงแบบลูเ่ ข้า ถา้ ลมิ ติ ทางขวามือหาคา่ ไดท้ ้ังค่แู ละจะกลา่ วว่า

ปรพิ นั ธไ์ มต่ รงแบบลูอ่ อก ถา้ ลิมติ ทางขวามอื ตวั ใดตัวหน่งึ หาค่าไม่ได้

ตวั อย่าง 5.12 จงหาคา่ ของ

1.

2.

ตวั อย่าง 5.13 จงหาค่าของ

1.

2.
3.
4.

5.4 บทประยุกต์อนพุ ันธ์และปรพิ นั ธ์ทางการเงนิ

5.4.1 การวเิ คราะหสว่ นเพิ่ม (Marginal Analysis)

ในทางเศรษฐศาสตร์ สงิ่ ทเี่ ปน็ ท่สี นใจคอื การเปลยี่ นแปลงของตวั แปรต้น เช่น สินคา้ คงคลงั
ผลผลติ อปุ ทาน การโฆษณา และราคา ซ่งึ มผี ลกระทบกบั ตวั แปรอ่นื เชน่ กาไร รายได้ อปุ สงค์ เงิน
เฟอ้ และการจ้างงาน ปญั หาเหลา่ น้ีเปน็ เรอื่ งของการศึกษาโดยใช้การวเิ คราะหส่วนเพมิ่ (Marginal
Analysis) คาว่า “Marginal” ในทางเศรษฐศาสตร์ กค็ ือ อตั ราการเปล่ยี นแปลง หรอื อนพุ นั ธ์ นั่นเอง

ให้ แทน ต้นทุนสทุ ธิ (TC) ในการผลติ สินค้า หนว่ ย ทผี่ ลิตในชว่ งเวลาหน่ึง

แทน รายไดส้ ุทธิ (TR) ในการขายสนิ คา้ หนว่ ย ทีผ่ ลิตในชว่ งเวลาหน่ึง

แทน กาไรสุทธิ (TP) จากการขายสินค้า หน่วย ที่ผลิตในชว่ งเวลาหนึง่

โดยท่ี

อนพุ ันธ์ และ จะถูกเรียกวา่ ตน้ ทนุ หน่วยสดุ ท้าย หรอื ตน้ ทุนสว่ นเพม่ิ

(Marginal Cost), รายรบั หน่วยสดุ ท้าย หรอื รายรับส่วนเพ่ิม (Marginal Revenue), กาไรหน่วย

สดุ ท้าย หรอื กาไรสว่ นเพม่ิ (Marginal Profit) ตามลาดับ ซงึ่ ค่าของอนพุ นั ธ์ และ

จะแทนอตั ราการเปลยี่ นแปลงของกาไร รายได้ และตน้ ทุน ในขณะหนง่ึ

ในทางปฏิบัติ มกั ถกู ใชใ้ นการอธบิ ายต้นทุนของการผลติ สินค้าช้ินที่ แม้วา่ ค่าท่ีไดจ้ ะ

ไม่แม่นตรง แต่ก็เปน็ การประมาณทดี่ ี การอธิบายน้ีใช้เมือ่ จานวน มคี ่ามากๆ ดงั นน้ั

สามารถพิจารณาเทียบกบั การหาคา่ ลมิ ิตของ ซึง่

ดงั น้นั ค่า หมายถงึ ตน้ ทุนหนว่ ยสุดท้าย มีคา่ ประมาณ ตน้ ทนุ จริงของ

การผลิตสนิ ค้าชนิ้ ต่อไป ซึ่งเป็น ต้นทุนโดยประมาณของการผลิตสนิ คา้ ช้ินท่ี ทานองเดียวกนั

มกั ถกู ใช้ในการอธบิ ายรายไดจ้ ากการขายสินค้าชน้ิ ที่ และ เป็นกาไร

โดยประมาณจากการผลิตและขายสินค้าชนิ้ ที่

ปกตแิ ลว้ ต้นทุนการผลติ จะเท่ากับ โดยท่ี แทน ค่าใช้จา่ ยในการดาเนนิ การ

(Overhead) และ แทนฟงั กช์ นั ต้นทุนการผลติ สนิ คา้ (Manufacturing Cost)

ค่าใช้จา่ ยในการดาเนนิ การ (Overhead) จะรวมถงึ ตน้ ทุนคงที่ เชน่ คา่ เช่า และค่าประกัน ซึง่ ไม่
ขึ้นกับจานวนการผลติ สนิ ค้า ( ) ส่วน จะรวมถึงค่าวัสดุ ค่าแรง ในการผลิตสนิ คา้ แต่ละชิ้น

Maximum Profit จะเกดิ ขึน้ เม่ือ Marginal Cost = Marginal Revenue

ตวั อยา่ ง 5.14 โรงงานผลิตสีได้คานวณหาตน้ ทนุ (หน่วยเปน็ ดอลลาร)์ ของการผลติ สีจานวน

แกลลอนตอ่ วนั ไดเ้ ปน็

1. จงหาตน้ ทุนหนว่ ยสดุ ทา้ ย เมื่อมีการผลติ สีจานวน 500 แกลลอนตอ่ วนั

ต้นทนุ หนว่ ยสดุ ท้าย ดังน้นั

USD

2. จงใชก้ ารวิเคระห์ตน้ ทนุ สว่ นเพิม่ ประมาณตน้ ทุนของการผลิตสีแกลลอนท่ี 501

เน่ืองจาก ดังนั้นต้นทุนการผลิตสแี กลลอนที่ 501 เท่ากบั 2 USD

3. จงหาต้นทนุ ที่แท้จริงของการผลิตสแี กลลอนที่ 501

USD

USD

ดังนน้ั ต้นทนุ ท่ีแทจ้ ริงของการผลิตสแี กลลอนท่ี 501 คอื USD

ตวั อยา่ ง 5.15 บริษัทผลิตครมี ถนอมผิวยห่ี ้อหนง่ึ จาหนา่ ยครมี ที่เขาผลิตในราคาขวดละ 200 บาท

ถ้าต้นทุนในการผลติ ครมี ขวดคอื และถ้าบริษัทนีม้ ี

ขดี จากดั ในการผลิตอย่ทู ี่ 30,000 ช้ินต่อชว่ งเวลาหน่ึง บรษิ ทั จะต้องผลิตและจาหน่ายครมี ถนอมผิว

จานวนเท่าไรจึงจะได้กาไรสงู สดุ

หาจุดวกิ ฤต โดยกาหนดให้ นั่นคอื

หรอื เราได้

ซงึ่ บริษัทมีกาลังในการผลิตในชว่ ง เมื่อตรวจสอบคา่ ท่จี ดุ วกิ ฤตและคา่ ขอบของช่วง จะ
ไดผ้ ลดงั ตาราง

0 20,000 30,000

-500,000 700,000 400,000

ตัวอย่าง 5.16 ฝ่ายวจิ ัยตลาดได้ทาการวจิ ยั ตลาดของเครือ่ งเล่น MP3 และเสนอสมการราคาอุป

สงคเ์ ปน็ หรือเขยี นในตวั แปร ไดเ้ ป็น

เมอื่ เป็นจานวนสนิ คา้ ทผ่ี ้ซู ื้อตอ้ งการซ้อื ที่ราคา ยูโรตอ่ ช้นิ
ฝ่ายการเงินได้คานวณตน้ ทุนการผลิตเคร่ืองเล่น MP3 ซงึ่ แทนด้วยสมการ

เมื่อ ค่าใช้จา่ ยคงที่ในการเรม่ิ ผลติ เป็น 7,000 ยูโร คา่ วสั ดแุ ละค่าแรงมีตน้ ทนุ 2 ยูโรตอ่ ชิ้น

1. จงหาโดเมนของฟังกช์ นั ที่นิยามราคาอุปสงค์

2. จงหาฟังก์ชนั ต้นทนุ หน่วยสุดท้าย (Marginal Cost function) และจงอธบิ ายผล

3. จงหาฟงั ก์ชันรายได้ในตัวแปรต้น และหาโดเมนของฟังก์ชันรายได้

4. จงหารายไดห้ น่วยสดุ ทา้ ยท่ี และ จงอธิบายผล

5. จงวาดรูปกราฟตน้ ทุนและรายไดแ้ ละหาจดุ ตัดของกราฟ และอธบิ ายผล

6. จงหาฟังกช์ ันกาไรและโดเมนของฟังกช์ ัน

7. จงหากาไรหน่วยสุดทา้ ยท่ี และ จงอธบิ ายผล

1. เนื่องจาก

นนั่ คือ หรือ

ดงั นน้ั โดเมนของราคาอุปสงค์คอื

2. ต้นทนุ หนว่ ยสุดท้ายเท่ากับ เป็นคา่ คงท่ี นั่นหมายความวา่ การผลิตเคร่ืองเล่น MP3

เพิ่มจะมคี ่าใชจ้ า่ ยคงท่ี ที่ 2 ยูโร ต่อชิ้น

3. รายได้ ทบ่ี ริษัทผู้ผลติ จะไดร้ บั ในการขายผลิตภัณฑจ์ านวน ชน้ิ ในราคา ยโู ร คือ

ซงึ่ ราคาถกู กาหนดโดยราคาอุปสงค์ ดงั นนั้ ฟังกช์ ันรายได้จะเปน็

และเน่อื งจากโดเมนของฟังก์ชนั ราคาอปุ สงค์คือ ดงั น้นั โดเมนของฟังกช์ ัน

รายไดเ้ ทา่ กบั

4. รายได้หน่วยสุดทา้ ย คอื

ดงั นั้นเมอื่ ผลิตสนิ คา้ จานวน และ จะได้

และ

นนั่ หมายความว่า ที่การผลิต และ ชน้ิ การเปล่ยี นแปลงรายไดต้ ่อการ

เปล่ียนแปลงหนว่ ยสินคา้ ในการผลติ คือ 6 ยูโร 0 ยูโรและ -4 ยูโร ตามลาดับ น่นั คอื ที่ 2,000 ชิ้น

รายไดจ้ ะเพม่ิ ขึน้ เมื่อมีการผลติ เพิม่ ข้นึ ที่ 5,000 ช้ิน รายได้จะไมเ่ ปลย่ี นแปลงเมอื่ การผลิตเพิ่ม

และท่ี 7,000 ชน้ิ รายได้จะลดลงเม่ือมกี ารผลิตเพิม่ ข้ึน

5. จดุ ตดั ของกราฟรายไดแ้ ละกราฟตน้ ทุนคอื Break-Even Points หรอื จดุ คมุ้ ทุน สาหรบั ฟังกช์ นั รายได้
และฟงั ก์ชันตน้ ทนุ ในตัวอยา่ งนจ้ี ะไดว้ ่า

และ

ดงั นัน้ ที่จุดคุ้มทนุ และ เปน็ จดุ คุ้มทนุ จากรูปกราฟจะเห็นว่า

ระหวา่ ง 0 ถึง 1000 ค่าใชจ้ า่ ยสาหรับตน้ ทนุ จะสูงกว่ารายได้ เช่นเดียวกบั ชว่ งทีม่ ีการผลิต-ขาย

มากกวา่ 7000 และช่วงทีม่ ีรายไดม้ ากกวา่ ต้นทุนคือ การผลิตระหวา่ ง 1000 กบั 7000 ช้ิน

6. ฟงั กช์ ันกาไร คือ

โดเมนของฟงั ก์ชันตน้ ทุนคอื และโดเมนของฟังก์ชันรายได้คอื

ดงั น้ันโดเมนของฟงั ก์ชนั กาไรคอื จากรปู กราฟ จะสังเกตไดว้ า่ จดุ ทีเ่ ป็น

จดุ คุ้มทุนในกราฟกอ่ นหน้า ก็คอื จดุ ตัดแกน ของกราฟกาไร น่นั คอื เมอ่ื รายไดส้ งู กวา่ ตน้ ทนุ

กราฟกาไรกจ็ ะเป็นบวก และเมอื่ รายได้นอ้ ยกวา่ ต้นทุน กราฟกาไรจะมคี า่ เป็นลบนัน่ เอง

7. กาไรหนว่ ยสุดท้าย คอื

สาหรับการผลติ ที่ 1,000 ช้ิน 4,000 ชิน้ และ 6,000 ชิ้น เราได้
และ

นนั่ หมายความว่า การผลิตท่ี 1,000 ช้นิ 4,000 ชิ้น และ 6,000 ชน้ิ มกี ารเปลี่ยนแปลงกาไรต่อ
หน่วยเทียบกับการเปลย่ี นแปลงจานวนการผลติ อยู่ที่ 6 ยูโร 0 ยูโร และ -4 ยโู ร ตามลาดับ นั่นคอื
ที่ 1,000 ช้ิน กาไรจะเพิ่มขน้ึ เมอื่ มีการผลิตเพิ่มขน้ึ ท่ี 4,000 ชนิ้ กาไรจะไมเ่ ปลยี่ นแปลงเมื่อการ
ผลิตเพ่ิม และท่ี 7,000 ช้นิ กาไรจะลดลงเมือ่ มีการผลิตเพ่ิมขน้ึ

5.4.2 ตน้ ทนุ เฉลย่ี ส่วนเพิ่ม รายได้เฉล่ียส่วนเพิม่ และกาไรเฉลีย่ ส่วนเพิ่ม
(Marginal Average Cost, Revenue and Profit)

Marginal Average Cost, Revenue and Profit
ถ้าให้ คอื จานวนหน่วยของส้นิ คา้ ทผี่ ลิตในชว่ งเวลาหน่ึง

ตน้ ทุนต่อหน่วย ต้นทนุ เฉลีย่ Average Cost (AC)

ตน้ ทุนเฉล่ยี หน่วยสดุ ท้าย Marginal Average Cost (MAC)

รายไดต้ อ่ หน่วย รายได้เฉลี่ย Average Revenue (AR)

รายไดเ้ ฉลยี่ หนว่ ยสุดท้าย Marginal Average Revenue (MAR)

กาไรต่อหน่วย กาไรเฉลี่ย Average Profit (AP)

กาไรเฉลี่ยหน่วยสดุ ท้าย Marginal Average Profit (MAP)

ตวั อย่าง 5.17 โรงงานผลติ ดอกสว่านท่ใี ช้ในอุตสาหกรรมปโิ ตรเลียม มตี ้นทุนการผลิตดอก

สว่านตอ่ วนั อยทู่ ่ี ดอลลาร์

ก. จงหา และ

ข. จงหา และ และจงอธบิ ายผล

ค. จงใช้ผลในข้อ ข. ประมาณคา่ ตน้ ทนุ เฉลี่ยต่อการผลิตดอกสวา่ น ทก่ี ารผลิตระดับ 11 ดอกตอ่ วนั

ก. (AC function)

(MAC function)

ข. ดอลลาร์

ดอลลาร์

ทีก่ ารผลติ ดอกสวา่ น 10 ดอกตอ่ วัน ค่าเฉลย่ี ของต้นทนุ การผลติ ตอ่ ชิน้ อยู่ที่ 124 ดอลลาร์ และ

ต้นทุนน้จี ะลดลงในอตั รา 10.10 ดอลลาร์เม่ือมีการผลิตเพิ่มขน้ึ แต่ละชิน้

ค. ถา้ การผลติ เพิม่ ขึ้น 1 ช้ิน คา่ เฉลยี่ ของตน้ ทนุ จะลดลง 10.10 ดอลลาร์ ดังนน้ั เม่ือมกี ารผลติ ชนิ้ ท่ี

11 กจ็ ะทาใหค้ า่ เฉล่ียตอ่ ชิ้นของดอกสว่านเป็น ดอลลาร์

ลองเปรยี บเทยี บ 2 ตวั อยา่ งต่อไปนี้

ตัวอยา่ ง 5.18 บริษัทผลติ ระบบเกียรร์ ถยนต์ มคี า่ ใช้จา่ ยในการผลิตระบบเกียร์ตอ่ สปั ดาหเ์ ปน็
จงหา

ก. ฟงั กช์ นั ตน้ ทนุ หนว่ ยสุดทา้ ย
ข. จงหา และอธบิ ายผลทีไ่ ด้
ค. จงหาราคาทแ่ี ท้จริงในการผลิตระบบเกยี ร์ชิน้ ท่ี 201 จงอธบิ ายผลเทียบกบั ผลที่ได้ในข้อ ข.

ก.
ข. ในการผลติ ระบบเกยี รท์ ่ีระดับ 200 ตน้ ทนุ รวมจะเพ่มิ ข้นึ ในอัตรา 300

ดอลลาร์ต่อชิ้น ดงั น้นั คา่ ประมาณของการผลติ ระบบเกียรช์ นิ้ ที่ 201 คือ 300 ดอลลาร์
ค. ซง่ึ จะเหน็ ว่า ตน้ ทนุ หน่วยสดุ ทา้ ยในขอ้ ข. จะให้

ค่าประมาณทใ่ี กล้เคยี งกบั ต้นทนุ จรงิ ในการผลติ ระบบเกียรช์ ิ้นท่ี 201

ตัวอย่าง 5.19 จงพจิ ารณาฟงั ก์ชนั ต้นทุนสุทธิของการผลิตเคร่อื งเล่น MP3 ในตวั อยา่ ง 5.16

ก. จงหา และ

ข. จงหา และ และอธิบายผลทีไ่ ด้

ค. จงใช้ผลในขอ้ ข. ประมาณค่าต้นทุนเฉลยี่ ตอ่ การผลติ เคร่ืองเลน่ MP3 ทกี่ ารผลติ ที่ระดับ 101

ช้ินตอ่ วัน

ก. และ

ข. และ อธิบายได้วา่ ทกี่ ารผลิตเครื่องเลน่ MP3 ในระดับ 100 ชิ้น มี

ต้นทุนเฉลย่ี ต่อชน้ิ เทา่ กับ 72 ดอลลาร์ และต้นทุนเฉลี่ยน้ีจะลดลงในอัตรา 0.70 ดอลลารต์ ่อการ

ผลิตแต่ละช้ินตอ่ ไป

ค. มีค่าประมาณ ดอลลาร์

5.4.3 การประยกุ ตป์ ริพันธ์ในการวเิ คราะห์ส่วนเพิม่ (Application of Integral
for Marginal Analysis)

ในหวั ข้อนีจ้ ะกลา่ วถึงบทประยุกต์ปรพิ นั ธท์ จี่ ะเนน้ ด้านการวิเคราะหส์ ่วนเพ่มิ ทงั้ รายไดส้ ว่ นเพิ่ม
และตน้ ทนุ สว่ นเพิม่ ถา้ รายได้(หรือตน้ ทนุ )ส่วนเพิม่ นยิ ามไดใ้ นรูปของฟงั กช์ นั เรากจ็ ะสามารถ
ประยกุ ต์ใช้การหาคา่ ปรพิ ันธ์เพ่อื หาฟังก์ชันรายได้(หรือตน้ ทนุ )ไดจ้ าก

และ

เมอ่ื คา่ คงตัว หมายถึงสว่ นที่สาคญั ของบทประยกุ ต์และมีคา่ เทา่ กับค่าเฉพาะซ่ึงเปน็ ไปตาม
สถานการณ์
ตัวอยา่ ง 5.20 ในการทดลองเทคนิคการผลติ โรงงานพบว่าตน้ ทุนส่วนเพ่ิมของการผลิตเทา่ กับ

เมอื่ เปน็ จานวนหน่วยท่ีผลติ และ เปน็ ต้นทุนสว่ นเพมิ่ มหี น่วยเป็นบาท
ถ้าการผลิตนม้ี คี ่าใชจ้ า่ ยเริม่ ตน้ (ตน้ ทนุ คงที่) เท่ากบั 500 บาท จงหาฟงั ก์ชันตน้ ทนุ

การผลิตน้มี คี า่ ใชจ้ ่ายเรมิ่ ตน้ (ต้นทนุ คงท)่ี เทา่ กบั 100 บาท นน่ั แสดงว่า เมือ่ เร่มิ ตน้ ผลิตชิ้นแรก จะมี
ตน้ ทนุ เกดิ ขน้ึ 100 บาท น่นั คอื

น่ันคอื 
ทาใหเ้ ราได้ฟังกช์ นั ต้นทุนเปน็

ตวั อย่าง 5.21 จากตัวอย่างกอ่ น สมมตุ วิ ่าโรงงานขายสนิ คา้ ไปในราคา 200 บาทต่อช้นิ

ก. จงหาฟงั ก์ชันต้นทนุ
ข. จงหาฟังกช์ ันกาไร
ค. จงหาจานวนการขายทีจ่ ะทาให้ไดก้ าไรสูงสดุ
ง. จงหากาไรสงู สุด
ก. ฟังกช์ ันต้นทนุ
ข. ฟังก์ชันกาไร

ค. กาไรสูงสดุ จะเกดิ ข้ึนเมื่อ นนั่ คือ

จะต้องขายใหไ้ ด้ 75 ชิ้น จึงจะมกี าไรสูงสุด บาท
ง. กาไรสูงสดุ เทา่ กบั บาท

ตัวอยา่ ง 5.22 ต้นทนุ สว่ นเพม่ิ สาหรับการผลติ สินค้า หน่วย คือ
จงหาต้นทนุ ทีเ่ พ่ิมขึ้นในการผลติ สินคา้ จากชน้ิ ท่ี 90 ถึงชนิ้ ท่ี 100

ดงั นั้น การผลติ สินค้า 90 ชนิ้ ไป 100 ช้นิ จะมตี น้ ทุนทเ่ี พิม่ ขน้ึ 96,000 บาท 

สรปุ

หมายถึง ต้นทนุ ท่ีเพ่มิ ขน้ึ จากการผลติ สนิ คา้ ชิน้ ที่ ไปถงึ ชนิ้ ที่

หมายถงึ รายได้ท่ีเพมิ่ ขน้ึ จากการขายสินคา้ ชิน้ ท่ี ไปถงึ ช้นิ ที่

ถา้ เราทราบอัตราการขายของสินคน้ ในรปู ของฟังกช์ นั เราสามารถทจี่ ะคานวณจานวนสินคา้ ที่ขาย
ไดภ้ ายในช่วงเวลาทงั้ หมดไดโ้ ดย

จานวนการขายสินค้าเหนอื ชว่ งเวลา เทา่ กับ

เช่น เม่อื อตั ราการขายสนิ ค้านิยามโดย เมอื่ คือจานวนวันมราสนิ คา้ นี้

วางขายในตลาด เราสามารถคานวณปรมิ าณการขายของสนิ คา้ ชนดิ นี้ สาหรบั 4 วันได้โดย

หนว่ ย

ตัวอย่าง 5.23 บริษทั มยี อดขายในปัจจุบันเท่ากบั 1,000,000 บาทต่อเดือน และมกี าไรเฉลีย่ ท่ี
10% ของการขาย จากประสบการณ์ในอดีตของบรษิ ทั พบว่า ดว้ ยกลยทุ ธ์ของการตลาดทีต่ รงความ
ตอ้ งการของลกู ค้า จะเพมิ่ ยอดขายได้ 2% ต่อเดือน ตลอดชว่ งเวลาท่ีมโี ปรโมชนั่ (12 เดอื น) บริษัท
ต้องการตัดสนิ ใจว่าจะเรม่ิ โปรโมชน่ั เชน่ เดมิ อีกหรอื ไม่ ซึง่ การทาโปรโมชน่ั น้ีจะมีคา่ ใช้จา่ ยท่ี
130,000 บาท ถา้ การตดั สินใจนีค้ ือการเริม่ ทาโปรโมช่ัน น่ันหมายถึงจะเพิ่มยอดขายตลอดช่วงเวลา
ได้ และมกี าไรอย่างนอ้ ย 13,000 บาท หรือคิดเป็น 10% ของเงินที่ลงทุนในการทาโปรโมชนั่ น้ี จง
ชว่ ยบรษิ ัทนีต้ ัดสนิ ใจ

วิธที า

ถ้าไมม่ โี ปรโมช่นั ใดๆ บรษิ ทั นีจ้ ะขายสินค้าได้ 12,000,000 บาทตอ่ ปี

การเพ่ิมโปรโมช่นั จะทาใหย้ อดขายเพ่ิมข้นึ 2% เขียนในรปู ฟงั กช์ ันการเตบิ โตไดเ้ ป็น

เมือ่ พิจารณาตลอดท้ังปี รายได้ทจ่ี ะได้จากการขายเมื่อมโี ปรโมชัน่ จะเทา่ กับ

ซงึ่ ทาให้มีผลต่อการขายทเ่ี พ่มิ ข้ึน บาท

แต่กาไรของบริษทั คอื 10% ของยอดขาย น่ันคอื บรษิ ทั จะไดก้ าไรเพิ่มขนึ้
บาท ซ่ึงมากกวา่ เงินที่ต้องใช้ในการลงทนุ ทาโปรโมชนั น้ี (130,000 บาท)

ดังน้ันจากการเพิม่ โปรโมชนั่ บริษัทจะได้กาไรเพม่ิ ขน้ึ 
บาท ดงั นนั้ บรษิ ทั จึงควรจัดให้มโี ปรโมชั่นน้ี