pat1_mathformula

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

สรปุ สตู ร

เซต (Set)

1. เซตแบ่งไดเ้ ป็น 2 ประเภท คือ

1) เซตจากดั หมายถึง เซตที่สามารถนบั จานวนสมาชิกได้

2) เซตอนนั ต์ หมายถึง เซตที่มีจานวนสมาชิกมากจนไม่สามารถนบั จานวนสมาชิกที่แน่นอนได้

2. วธิ ีเขียนเซตมี 2 ประเภท คือ

1) แบบแจกแจงสมาชิก ตวั อยา่ งเช่น A = { A, B, C } , B = { 1, 2, 3, 4 }

2) แบบบอกเง่ือนไข ตวั อยา่ งเช่น A = { x  x  I และ x + 2 = 0 }

3. การเท่ากนั ของเซต หมายถึง เซตท้งั สองมีจานวนสมาชิกที่เท่ากนั และจานวนสมาชิกเหมือนกนั ทุกตวั และใชส้ ญั ลกั ษณ์

A = B แทนเซต A เท่ากบั เซต B

4. เซตยอ่ ย (Sub set) หมายถึง เซตท่ีมีสมาชิกอยใู่ นเซตท่ีเราสนใจแตม่ ีขนาดเลก็ กวา่ หรือเท่ากนั เราจะใชส้ ญั ลกั ษณ์

a   A จานวนสบั เซตท้งั หมดของ A เท่ากบั 2n(A)

5. คุณสมบตั ิเกี่ยวกบั การเท่ากนั ของเซตและการเป็ นสบั เซต : กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ จะไดว้ า่

1) ถา้ A = B แลว้ B = A 4)   A

2) ถา้ A = B และ B = C แลว้ A = C 5) A  A

3) A = B ก็ตอ่ เมื่อ A  B และ B  A 6) ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C

6. การดาเนินการบนเซต

1) A U B = {x  U  x  A หรือ x  B} 3) A - B = {x  U  x  A แต่ x  B}

2) A ∩ B = {x  U  x  A และ x  B} 4) Ac หรือ A´ = {x  U  x  A }

7. คุณสมบตั ิเก่ียวกบั พีชคณิตของเซต : กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ จะไดว้ า่

1) A U A = A 2) A ∩ B = B ∩ A
A∩A = A AUB = BUA

3) A U (B U C) = (A U B) U C 4) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

5) A ∩  =  และ A U  = A 6) A ∩ A´ =  และ A U A´ = U
8) ( A´ )´ = A และ ´ = U และ U´ = 
7) (A ∩ B)´= B´ U A´

9) (A U B)´= B´ ∩ A´ 10)A - B = A ∩ B´

8. เพาเวอร์เซต (Power set) คือ เซตของสบั เซตท้งั หมด เขียนแทนดว้ ย P(A) ตวั อยา่ งเช่น A = {1, 2, 3} จะไดเ้ พาเวอร์

เซตของเซต A คือ { , {1}, {2}, {3}, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, { 1 , 2 , 3}}

9. จานวนสมาชิกของเซตจากดั

1) กรณีมี 2 เซต n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

2) กรณีมี 3 เซต n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩ C)

10. คุณสมบตั ิเกี่ยวกบั พชี คณิตของเซต

–1–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ จะไดว้ า่

1.   P(A)

2. A  P(A)

3. n(A) = m กต็ ่อเมื่อ n(P(A)) = 2m ; m = 0, 1, 2, 3, …

ตรรกศาสตร์ (Logic)

1. ประพจน์ คือ ประโยคบอกเลา่ ที่มีคา่ ความจริงเป็ นจริงหรือเท็จ อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเพียงอยา่ งเดียว

2. การหาค่าความจริงของประพจนท์ ี่มีตวั เช่ือม

p  q อา่ นวา่ “p และ q”, p  q อา่ นวา่ “ p หรือ q” , p q อา่ นวา่ “ถา้ p แลว้ q” , p  q อ่านวา่ “p กต็ อ่ เม่ือ q”

p q pq pq pq pq p ~p ~p อา่ นวา่ “นิเสธของ p”

TT T T T T TF
FT
TF F T F F

FT F T T F

FF F F T T

3. สจั นิรันดร์ คือ ประพจนท์ ่ีมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีในตารางคา่ ความจริง

4. ประพจนท์ ่ีสมมลู กนั , ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “  ” แทนประพจน์ที่สมมลู กนั

5. ประพจนท์ ่ีสมมลู กนั

5.1 p  q  q  p 5.2 p  q  q  p

5.3 (p  q)  r  p  (q  r) 5.4 (p  q)  r  p  (q  r)

5.5 (p  q)  r  p  (q  r) 5.6 p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

5.7 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 5.8 p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

5.9 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 5.10 p  q  (p  q)  (q  p)

5.11 p  q ~ q ~ p ~ p  q 5.12 ~(~p)  p

5.13 ~ (p  q) ~ p ~ q 5.14 ~ (p  q) ~ p ~ q

6. ค่าความจริงของประพจน์ท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ 1 ตวั

6.1 x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็ นจริง เม่ือ นาคา่ x ทุกตวั ใน U ไปแทนใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็ นจริง

6.2 x[P(x)] มีค่าความจริงเป็ นจริง เมื่อ นาค่า x อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ใน U ไปแทนใน P(x) แลว้ ทาให้ P(x) เป็ นจริง

7. คา่ ความจริงของประพจน์ท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ 2 ตวั

7.1 xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็ นจริง เม่ือ นาค่า x และ y ทุกคู่ใน U ไปแทนใน P(x,y) แลว้ ทาให้ P(x,y)

เป็ นจริง

7.2 xy[P(x, y)] มีคา่ ความจริงเป็ นจริง เม่ือ แต่ละคา่ x จบั y อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ใน U ไปแทนใน P(x,y) แลว้ ทาให้
P(x,y) เป็ นจริง

7.3 xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็ นจริง เมื่อ แต่นาค่า x อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ใน U ไปแทนใน P(x,y) แลว้ ทาให้
P(x,y) เป็ นจริงสาหรับทุกๆ คา่ y ใน U

7.4 xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็ นจริง เม่ือ นา x และ y อยา่ งนอ้ ย 1 คู่ใน U ไปแทนใน P(x,y) แลว้ ทาให้
P(x,y) เป็ นจริง

8. การใชห้ ลกั และเหตผุ ล : ใหเ้ ช่ือมเหตเุ ขา้ ดว้ ยกนั โดยใช้ “  ” และใหเ้ ช่ือมเหตุไปหาผลโดยใช้ “ ”

–2–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

ความสัมพนั ธ์ (Relation)

1. ผลคูณคาร์ทีเชียน คือ เซตท่ีมีสมาชิกเป็ นคู่อนั ดบั ซ่ึงสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ นั ดบั มาจากเซตหนา้ เคร่ืองหมาย  และ สมาชิก

ตวั หลงั ของคูอ่ นั ดบั มาจากเซตที่อยหู่ ลงั เครื่องหมาย  เขียนแทนดว้ ย AB = {(x , y)  x  A และ y  B}

2. คุณสมบตั ิท่ีสาคญั

1. ถา้ A มีสมาชิก m ตวั และ B มีสมาชิก n ตวั แลว้ 2. A(B U C) = (AB) U (AC)

AB จะมีจานวนสมาชิก mn ตวั

3. AB = Ø กต็ อ่ เมื่อ A = Ø หรือ B = Ø 4. A(B ∩ C) = (AB) ∩ (AC)

5. ถา้ AB = AC แ ละ A  Ø แลว้ B = C 6. A(B - C) = (AB) - (AC)

3. ความสมั พนั ธ์ คือ เซตของคู่อนั ดบั เขียนแทนดว้ ย r เป็ นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B เมื่อ r  AB

ส่ิงท่ีควรรู้

1) Ø เป็ นความสมั พนั ธ์

2) ให้ n(AB) เป็ นจานวนสมาชิกของ AB จะไดว้ า่ สบั เซตของ AB จะมี 2 n(AB) สบั เซต หรืออาจกลา่ วไดว้ า่

ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B มี 2 n(AB) ความสมั พนั ธ์

3) ถา้ r เป็ นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป A แลว้ จะกล่าววา่ r เป็ นความสมั พนั ธใ์ น A

4. โดเมน (Domain, Dr) คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของทุกคู่อนั ดบั ที่อยใู่ น r เขียนแทนดว้ ย Dr = { x  (x , y)  r}

เรนจ์ (Range, Rr) คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของทุกคู่อนั ดบั ท่ีอยใู่ น r เขียนแทนดว้ ย Rr = { y  (x , y)  r}

5. การหาโดเมนและเรนจ์
1) กาหนดเง่ือนไขเบ้ืองตน้ (Initial Condition)
2) การหาโดเมน ใหจ้ ดั y ในเทอมของ x
3) การหาเรนจ์ ใหจ้ ดั x ในเทอมของ y
4) นาคาตอบที่ไดม้ าอินเตอร์เซคกบั เง่ือนไขเบ้ืองตน้

6. อินเวอร์สของความสมั พนั ธ์ (Inverse of relation) ใชส้ ญั ลกั ษณ์เป็ น r-1

1) ให้ r เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B จะไดว้ า่ r -1 เป็นความสมั พนั ธจ์ าก B ไป A เขียนแทนดว้ ย r -1 = {(y , x) 

(x , y)  r }

2) หลกั ในการหาอินเวอร์สของความสมั พนั ธ์
2.1 สลบั ท่ีกนั ระหวา่ งสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั กลา่ วคือเปล่ียนจาก (x , y) เป็ น (y , x) ส่วน
เง่ือนไขของความสมั พนั ธ์คงเดิม
2.2 คงคู่อนั ดบั (x , y) เหมือนเดิม แต่เปล่ียนเงื่อนไขของความสมั พนั ธโ์ ดยสลบั ตวั แปรจาก x เป็ น y และ y เป็ น x

ฟังก์ชัน (Function)

1. ฟังกช์ นั คือ ความสมั พนั ธ์ f ซ่ึงถา้ มี (x , y)  f และ (x , z)  f แลว้ y = z ใชส้ ญั ลกั ษณ์ f
2. ฟังกช์ นั จากA ไปB ใชส้ ญั ลกั ษณ์ f: A  B f เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B ก็ตอ่ เม่ือ f เป็ นฟังกช์ นั ที่มี Df = Aและ Rf B

3. ถา้ เรนจใ์ ชส้ มาชิกใน B หมดจะกลา่ ววา่ f เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B แบบทวั่ ถึง ใชส้ ญั ลกั ษณ์ f: AOn to B
4. ถา้ เรนจใ์ ชส้ มาชิกใน B ไมห่ มดจะกล่าววา่ f เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B แบบไมท่ ว่ั ถึง ใชส้ ญั ลกั ษณ์ f: A  B

In to

–3–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

5. วธิ ีตรวจสอบกราฟของฟังกช์ นั

1) ลากเสน้ ขนานแกน y ตดั กราฟ 1 จุด กลา่ ววา่ เป็ นฟังกช์ นั (แตถ่ า้ ลากเสน้ ขนานแกน y ตดั กราฟมากกวา่ 1 จุด กล่าววา่

ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั )

2) ลากเสน้ ขนานแกน x ตดั กราฟ 1 จุด กลา่ ววา่ เป็ น 1-1 function (แตถ่ า้ ลากเสน้ ขนานแกน x ตดั กราฟมากกวา่ 1 จุด

กล่าววา่ เป็ น many-1 function)

6. พีชคณิตของฟังกช์ นั คือ การนาฟังกช์ นั มา บวก ลบ คูณและหารกนั

1) f + g = {(x , y)  y = f (x) + g(x)} โดยที่ Df+g = Df ∩ Dg

2) f – g = {(x , y)  y = f (x) + g(x)} โดยท่ี Df–g = Df ∩ Dg

3) f . g = {(x , y)  y = f (x) . g(x)} โดยที่ Df.g = Df ∩ Dg

4) f = {(x , y)  y = f (x) } โดยท่ี Df = Df ∩ Dg – { x  g(x) = 0}
g g (x)
g

7. ฟังกช์ นั คอมโพสิต (Composite Function)

Af B gC

x y = f(x) z = g(y) = g(f(x))

g of

นิยาม: ให้ f และ g เป็ นฟังกช์ นั ที่มี Rf ∩ Dg ≠ Ø ไดฟ้ ังกช์ นั คอมโพสิตของ f และ g เขียนแทนดว้ ย g o f โดยที่ g o f =
g(f(x)) สาหรับทุก x ซ่ึง f (x)  Dg
8. อินเวอร์สของฟังกช์ นั (Inverse of relation) ใชส้ ญั ลกั ษณ์เป็ น f -1

ให้ f เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B จะไดว้ า่ f -1 เป็ นฟังกช์ นั จาก B ไป A เขียนแทนดว้ ย f -1 ={(y , x)  (x , y)  f }
จานวนจริง(Real Number)

โครงสร้างของระบบจานวนจริง

1. จานวนจริง คือ จานวนที่เป็ นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ

2. สมบตั ิของราก

6.1 a2 | a | 6.2 n a  b  n a  n b

–4–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

n a na 1
b nb
6.3  6.4 n a  a n

3. คุณสมบตั ิของจานวนจริง ให้ a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ แลว้

คุณสมบตั ิ การบวก การคูณ

1 คุณสมบตั ิปิ ด (Closure Property) a+b เป็นจานวนจริง a  b เป็ นจานวนจริง

2 คุณสมบตั ิการเปล่ียนกลมุ่ (Commutative Property) (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

3 เอกลกั ษณ์ (Identity) a+0= a a1=a

4 อินเวอร์ส (Inverse) a + (-a) = 0 a  a-1 = 1

5 คุณสมบตั ิการสลบั ท่ี (Associative Property) a+b = b+a ab=ba

6 คุณสมบตั ิการแจกแจง (Distributive Property) a  (b+c) = (a  b) + (a  c)
4. ช่วง แบ่งเป็ นช่วงจากดั และช่วงอนนั ต์
5. คุณสมบตั ิของค่าสมั บูรณ์

1. x   0 ก็ตอ่ เมื่อ x = a หรือ x = – a 2. x  =  x 
3. x  = a ก็ตอ่ เม่ือ – a < x < a
5. x  < a ก็ต่อเม่ือ – a  x  a 4. x  = a  กต็ อ่ เม่ือ x = a หรือ x = – a

x   a 6. x  > a กต็ ่อเม่ือ x < – a หรือ x > a

x   a กต็ ่อเมื่อ x  – a หรือ x  a

7. x  y  = x  y  x x เม่ือ y  0
8. y =y

9. x2 = x2 10. x2 = x

11. x + y   x + y  12. x  y   x  y 

6. สูตรทางพชี คณิตที่ควรทราบ

13.1 (a  b)2  a2  2ab  b2 13.5 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)

13.2 (a  b)2  a2  2ab  b2 13.6 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)

13.3 a2  b2  (a  b)(a  b) 13.7 (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

13.4 (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc 13.8 (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

7. สมการกาลงั สอง(Quadratic Equation) สมการ ax2  bx  c  0เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตวั และ a  0

การแกส้ มการโดยใชส้ ูตร x   b  b2  4ac โดยมีเง่ือนไขดงั น้ี
2a

ถา้ b2  4ac = 0 คาตอบของระบบสมการจะมี 1 คาตอบ

ถา้ b2  4ac > 0 คาตอบของระบบสมการจะมี 2 คาตอบ

ถา้ b2  4ac < 0 จะไม่มีคาตอบท่ีเป็ นจานวนจริง

–5–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

เรขาคณติ วเิ คราะห์ (Analytic Geometry)

1. การหาระยะทางระหวา่ งจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy

Q(x2, y2)

P (x1, y1) PQ = x2  x1 2  y2  y1 2

2. การหาจุดก่ึงกลางระหว่างจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy

Q(x2, y2) จุดก่ึงกลาง M (x, y) =  x1  x2  y1  y2 
M (x, y)
2 2
P (x1, y1)

3. การหาจุดแบ่งภายในระหวา่ งจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy และใหจ้ ุด

R(x, y) เป็ นจุดแบ่งภายในที่ทาให้ PM : M Q = m : n จะไดว้ า่

m Q(x2, y2) จุดก่ึงกลาง R (x, y) =  mx1  nx2  my1  ny2 
n  m n m n 

R (x, y)
P (x1, y1)

4. การหาความชนั ระหวา่ งจุด 2 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจุดในระนาบ xy จะไดว้ า่ ความชนั

ระหวา่ ง 2 จุด คือ

P (x1, y1) 6 x Q(x2, y2) m = y2  y1
6y x2  x1
5. การหาสมการเสน้ ตรง
Q(x2, y2) กาหนด จุด P(x1 , y1) และ จุด Q (x2 , y2) เป็ นจดุ ในระนาบ xy
Y การหาสมการเสน้ ตรง ทาไดด้ งั น้ี

(0, c) X 1. หาความชนั ระหวา่ งจุด 2 จุด
6y 2. แทนค่าจุด 1 จุดเพื่อหาจุดตดั แกน y (Y-Intercept)

6x

P (x1, y1) y = mx+c

(y – y1) = m (x- x1)

6. เสน้ ขนานและเสน้ ต้งั ฉาก

กาหนด จุด เสน้ ตรง L1 มีสมการเป็ น y = m1 x + c1 และ เสน้ ตรง L2 มีสมการเป็ น y = m2 x + c2

Y Y L1: A1x+B1y+C=0 ถา้ L1 // L2 จะไดว้ า่
L1: A1x+B1y+C=0

L2: A2x+B2y+C=0 m1 = m2
X
X ถา้ L1  L2 จะไดว้ า่

m1  m2 = -1

L2: A2x+B2y+C=0

–6–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

7. การหาระยะจากจุดไปยงั เสน้ ตรง
กาหนด จุด P(x1 , y1) และ เสน้ ตรง L1 มีสมการเป็ น Ax +B y + C = 0 จะไดว้ า่ ระยะจากจุด P ไปยงั เสน้ ตรง L1 คือ

Y
L1: Ax+By+C=0

X d= Ax1  By1  C
d A2  B2

P (x1, y1)

8. การหาระยะระหวา่ งเสน้ ตรง 2 เสน้ ที่ขนานกนั
กาหนด เสน้ ตรง L1 มีสมการเป็ น Ax +B y + C1 = 0 และ เสน้ ตรง L2 มีสมการเป็ น Ax +B y + C2 = 0

เป็ นเสน้ ตรง 2 เสน้ ท่ีขนานกนั จะไดว้ า่ ระยะระหวา่ งเสน้ ตรง 2 เสน้ ท่ีขนานกนั คือ

Y
L1: Ax+By+C1=0

L2: Ax+By+C2=0 d= C2  C1
dX A2  B2

9. การหาพ้ืนท่ีระยะจุด 3 จุด : กาหนด จุด P(x1 , y1) จุด Q (x2 , y2) และ จุด R (x3 , y3) เป็ นจุดในระนาบ xy คือ

Y
Q(x2, y2)

X พ้นื ท่ีระหวา่ งจุด 3 จุด = 1  x1 y1
R (x3, y3) 2 x2 y2
x3 y3
x1 y1

P (x1, y1)

ภาคตดั กรวย(Conic Section)

1. วงกลม คือ เซตหรือทางเดินของจุดซ่ึงอยหู่ ่างจากจุดคงท่ีจุดหน่ึงดว้ ยระยะทางคงท่ีคา่ หน่ึง

สมการทว่ั ไปของวงกลมคือ x2+y2+Ax+By+C = 0 เม่ือ A, B, C เป็ นคา่ ใดๆ
เม่ือเราจดั รูปสมการทว่ั ไปเราจะไดส้ มการมาตรฐานของวงกลม คอื y

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (h , k)
r

โดยที่ (h , k) คือ จดุ ศูนยก์ ลาง r คือ รัศมี

(o , o) x

–7–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

2. พาราโบลา คือ เซตหรือทางเดินของจุดซ่ึงอยหู่ ่างจากจุดคงท่ีจุดหน่ึงเท่ากบั ระยะห่างจากเสน้ ตรงคงท่ีเสน้ หน่ึง

กรณีกราฟพาราโบลาอ้อมแกน y

สมการทว่ั ไปของพาราโบลา คือ Ax2+Dx+Ey+F = 0 เมื่อ A, D, E , F เป็ นค่าใดๆ

เม่ือเราจดั รูปสมการทวั่ ไปเราจะไดส้ มการมาตรฐานของพาราโบลา คือ y 4c > 0

(x – h)2 = 4c(y – k) Y' กราฟหงาย

.F (h , k+c)

โดยท่ี (h , k) คือ จดุ ยอดของพาราโบลา V (h , k) X'
c คือ ระยะโฟกสั ของพาราโบลา
Directrix
พิจารณาสมการ y กาลงั หน่ึง ดงั น้นั กราฟออ้ มแกน y y=k-c
ถา้ 4c > 0 กราฟหงาย จุดยอดกจ็ ะเป็ นจุดต่าสุด
(o , o) x
ถา้ 4c < 0 กราฟคว่า จุดยอดก็จะเป็ นจุดสูงสุด

กรณีกราฟพาราโบลาอ้อมแกน x

สมการทวั่ ไปของพาราโบลา คือ By2+Dx+Ey+F = 0 เมื่อ B, D, E , F เป็ นคา่ ใดๆ

เม่ือเราจดั รูปสมการทว่ั ไปเราจะไดส้ มการมาตรฐานของพาราโบลา คือ y
Y'

x=h-c 4c > 0

(y – k)2 = 4c(x – h) Directrix กราฟตะแคงขวา

โดยที่ (h , k) คือ จดุ ยอดของพาราโบลา .F X'
c คือ ระยะโฟกสั ของพาราโบลา V (h , k) (h+c , k)

พิจารณาสมการ x กาลงั หน่ึง ดงั น้นั กราฟออ้ มแกน x (o , o) x

ถา้ 4c > 0 กราฟตะแคงขวา ถา้ 4c < 0 กราฟตะแคงซา้ ย

3. วงรี คือ เซตหรือทางเดินของจุดซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตไปยงั จุดคงท่ี 2 จุดมคี า่ คงท่ีเท่ากบั 2a

กรณีกราฟวงรีอ้อมแกน x

สมการทว่ั ไปของพาราโบลา คือ Ax2 +By2 +Dx +Ey +F = 0 เมื่อ A, B, D, E , F เป็ นค่าใดๆ

เมื่อเราจดั รูปสมการทวั่ ไปเราจะไดส้ มการมาตรฐานของวงรี คือ y a อย่กู บั x

Y'

(x  h)2 ( y k ) 2 B (h , k+b) กราฟอ้อมแกน x
a2 b2
 1

V' F. ' F. V k)X'
(h-a, k) (h+a,
(h-c, k) (h , k) (h+c, k)

โดยที่ (h , k) คือ จดุ ศูนยก์ ลางของวงรี B' (h , k-b) x
2a คือ ความยาวแกนเอก O (o , o)

2b คือ ความยาวแกนโท

ให้ a ยาวสุด ส่วน b กบั c ใครยาวกวา่ กนั ก็ได้ a2 = b2 + c2

พจิ ารณาสมการ a อยกู่ บั x ดงั น้นั กราฟออ้ มแกน x

ความกวา้ ง ณ จุด โฟกสั ของวงรี หรือ ลาตสั เรกตมั (Latusrectum) มีค่าเท่ากบั 2b 2
a

–8–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

4. ไฮเพอร์โบลา คือ เซตหรือทางเดินของจุดซ่ึงผลตา่ งของระยะทางจากจุดใดๆในเซตไปยงั จุดคงที่2จุดมีคา่ คงที่เท่ากบั 2a
กรณีกราฟไฮเพอร์โบลาออ้ มแกน x
สมการทว่ั ไปของไฮเพอร์โบลา คอื Ax2 +By2 +Dx +Ey +F = 0 เม่ือ A, B, D, E , F เป็ นค่าใดๆ
เมื่อเราจดั รูปสมการทวั่ ไปเราจะไดส้ มการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา คือ

(x  h)2  ( y k )2 1 y a อย่กู บั x
a2 b2 กราฟอ้อมแกน x
Y'
B (h , k+b)

โดยท่ี (h , k) คือ จดุ ศูนยก์ ลางของไฮเพอร์โบลา F' .V' V. F k) X'
(h-c, k) (h+c,
2a คือ ความยาวแกนตามขวาง (h-a, k) (h , k) (h+a, k)

2b คือ ความยาวแกนสงั ยคุ B' (h , k-b) x
O (o , o)
ให้ c ยาวสุด ส่วน a กบั b ใครยาวกวา่ กนั ก็ได้

c2 = a2 + b2

พจิ ารณาสมการ a อยกู่ บั x ดงั น้นั กราฟออ้ มแกน x

ความกวา้ ง ณ จุด โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา หรือ ลาตสั เรกตมั (Latusrectum) มีคา่ เท่ากบั 2b 2
a

เสน้ กากบั (Asymtote) มีสมการ คือ y   b x
a

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล (Exponential Function)

f = { (x, y)  R  R+ y = a x , a > 0 , a  1 }

เป็ นฟังกช์ นั 1- 1 จาก R ไปทว่ั ถึง R+ โดยสมบตั ิการเป็นฟังกช์ นั 1-1 จะไดว้ า่ ax = ay ก็ตอ่ เมื่อ x = y

1. สมบตั ิของเลขยกกาลงั

1.1 am  an  amn 1.6 (am)n  amn

1.2 am  an  amn เมื่อ a  0 1.7 (ab)n  an  bn

1.3 a0  1 เม่ือ a  0 1.8  a n  an เมื่อ b  0
เมื่อ a  0  b  bn
เม่ือ a  0
1.4 an  1 1
an
1.9 a n  n a

1.5 1  an m
an
1.10 a n  n am

2. สูตร (m  n)  2 mn  m  n

ฟังก์ชันลอการิทมึ (Logarithm Function)

f -1 = { (y, x)  R+  R / y = ax , a > 0 , a  1 }
= { (x, y)  R+  R / x = ay , a > 0 , a  1 }
= { (x, y)  R+  R / y = loga x , a > 0 , a  1 }

–9–

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

1. คุณสมบตั ิท่ีสาคญั ของลอการิทึม

1.1 loga MN = loga M + loga N 1.6 loga x = logb x เม่ือ b > 0 , b  1
M loga M  loga N 1.7 aloga x logb a

1.2 loga N = =x

1.3 log a M p = ploga M 1.8 alog x = xlog a
1.4 log aq M =
1 loga M เมื่อ q  0 1.9 โดยสมบตั ิของฟังกช์ นั 1-1 จะไดว้ า่ loga x = loga y
q
กต็ อ่ เมื่อ x = y

1.5 loga a =1 1.10 log a x 1
loga 1 =0 = log x a

จานวนเชิงซ้อน (Complex Number)

1. เซตของจานวนเชิงซ้อน เป็ นการยเู นียนกนั ระหวา่ งเซตของจานวนจริงและเซตของจานวนจินตภาพ

z = (a, b) = a + bi เม่ือ i = -1 โดย aคือส่วนจริงหรือจานวนจริง, bคือส่วนจินตภาพและ biคือจานวนจินตภาพ

    2. ส่ิงท่ีควรทราบ : i1  i , i2  -1 2  -1, i3  i2 i  i , i4  i2 i2  1

3. ให้ z1  a  bi และ z2  c  di เป็ นจานวนเชิงซอ้ น 2 จานวน

3.1 z1  z2 กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d 3.4 z1  z2  (ac  bd)  (ad  bc)i

3.2 z1  z2  (a  c,b  d)  (a  c)  (b  d)i 3.5 z1 = (ac  bd )  (bc  ad)i
3.3 kz  ka  kbi ; k  R z2 c2  d2

4. คุณสมบตั ิของ z ให้ z  a  bi และคอนจูเกตของ z คือ z = a  bi จะไดว้ า่

5.1 z  z 5.3 z1  z2  z1  z2
5.2 z  z  z 2  a2  b2 5.4 z1  z2  z1  z2

5. คา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชิงซอ้ น z คือ z  a2  b2

6.1 z  z  z  z 6.4 zn  z n

6.2 z1  z2  z1  z2 6.5 z1  z1
6.3 z1  z2  z1  z2 z2 z2

6. การเขียนจานวนเชิงซอ้ นในรูปของพิกดั เชิงข้วั (Polar form)จากรูป จะไดว้ า่ a  z cos และ b  z sin

y (แกนจินตภาพ) 7.1 z  z   z ei  z cos  isin 

(a , b) สูตรของเดอมวั ร์

a2  b2 b 7.2 zn  z n  (cos n  i sin n )
O a
1 2k   2k 
n n
x (แกนจริง) 7.3 n z  zn  n z  (cos  i sin )

– 10 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

เวคเตอร์ (Vector)

1. เวคเตอร์ คือ ปริมาณท่ีประกอบดว้ ยขนาดและทิศทาง
u  v v u  v v v  u

2. เวกเตอร์ 1uหน่วยรูปคทือ่ี1เวกเตvอร์ที่มีความยาวหรือขนาดuเทร่าูปกทบั ่ี21 หน่วย โดย เวกเตอร์ 1 หuนร่วูปยทขอี่3ง u คือ uu
u =  v 
3. ให้ ai  bj และ = ci  dj u  v = a  ci  b  d j
u  v = a  ci  b  d j
3.1 u  a2  b2 3.4
3.2 นuิเส=ธขvองกu็ต่อ=เมื่อ 3.5 ci  dj ผลคูณสเกลาร์ของ u และ
3.3 a c แลaะibbjd = aia ibjbjและ v =
4. u =
ผลคูณสเกลาร์ (Dot Product) ให้ u = v
คือ

v u  v = ac  bd = u v cos โดย  เป็ นมุมระหวา่ ง u และ v


ทฤษฎบี ทท1ี่ ถา้ uu และ v
ทฤษฎบี ทท2่ี ถา้ u และ v ต่างไมเ่ ท่ากบั  ตแแ่าลลงไวว้้ มuu่เทไข่ามกนข่บัานน0กานบั แกลvบั ะเvกป็ต็ นก่อเต็วเมก่อื่อเเตมมอ่ือีจรา์ในaดวuๆนจในรbิงรvะaนทา0บี่ไมโ่เทด่ายกทบัี่ aศูนย์0ท่ีทแลาใะหb้ u  av
5. การต้งั ฉากของเวกเตอร์ ตา่ งไม่เท่ากบั 0 0
ให้ u และ 
5.1 ถา้ u  v = 0 แลว้ u ต้งั ฉากกบั v 0 5.2 ถา้ u ต้งั ฉากกบั v แลว้ u  v = 0
v

6. เวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ กาหนดให้ เวกเตอร์ OA = ai  bj  
ck
z Aa,b,c

 ai bj  7.1 ขนาดของ OA คือ OA  a2  b2  c2
k ck
  ใ7ห.2้ uผ=ลคaูณiเวคbเตjอiร์ (cCkjroแsลsะkPvro=dduict)

i j B y ej  
O fk

จะได้ u  v = a b c

x de f

อตั ราส่วนตรีโกณมิติ(Trigonometry) 1.2 sec2 A  1 tan2 A
2.2 sin(A-B) = sinA . cosB - cosA . sinB
1. เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ

1.1 sin2 A  cos2 A  1
1.3 csc2 A  1 cot2 A

2. ฟังกช์ นั ของผลบวกหรือผลตา่ ง

2.1 sin(A+B) = sinA . cosB + cosA . sinB

– 11 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

2.3 cos(A+B) = cosA . cosB - sinA . sinB 2.4 cos(A-B) = cosA . cosB + sinA . sinB

2.5 tan(A  B) = tan A  tan B 2.6 tan(A  B) = tan A  tan B
1  tan A  tan B 1  tan A  tan B

2.7 cot(A  B) = cot A  cot B 1 2.8 cot(A  B) = cot A  cot B 1
cot B  cot A cot B  cot A
3. การแปลงผลคูณใหเ้ ป็ นผลบวกหรือผลตา่ ง

3.1 2 sinA . cosB = sin(A+B) + sin(A-B) 3.2 2 cosA . sinB = sin(A+B) - sin(A-B)
3.4 2 sinA . sinB = cos(A-B) - cos(A+B)
3.3 2 cosA . cosB = cos(A+B) + cos(A-B)

4. การแปลงผลบวกหรือผลตา่ งใหเ้ ป็ นผลคูณ

4.1 sin A  sin B = 2 sin A B   cos A  B  4.2 sin A  sin B = 2 cos A B   sin A B 
 2  2   2  2 

4.3 cos A cos B= 2 cos A B   cos A B  4.4 cos A  cos B =  2 sin A  B   sin A B 
 2  2   2  2 

5. สูตร มุม 2 เท่า , 3 เท่า และมมุ คร่ึง

5.1 sin 2A = 2sin A cos A = 2 tan A 5.2 cos 2A = cos2 A  sin 2 A = 2cos2 A 1
 tan 2A
1 1 2sin 2 A 1 t an 2 A
1 t an 2 A
= =

5.3 tan 2A = 2 tan A 5.4 cot 2A = cot 2 A 1
1  tan2 A 2 cot A

5.5 sin 3A = 3sin A  4sin3 A 5.6 cos 3A = 4cos3 A  3cos A

5.7 tan 3A = 3 tan A  tan3 A 5.8 cot 3A = cot 3 A  3cot A
1  3 tan2 A 3cot 2 A 1

5.9 sin 2  A  = 1  cos A 5.10 tan2  A  = 1  cos A = 1  cos A
 2  2  2  1  cos A sin A

5.11 cos2  A  = 1  cos A sin A
 2  2 = 1  cos A

6. กฎของไซนแ์ ละกฎของโคไซน์ กฎของไซน์: sin A  sin B  sin C  k
a b c

กฎของโคไซน:์ a2 = b2 + c2 – 2bc cosA

7. ฟังกช์ นั อินเวอร์สของตรีโกณมิติ

7.1 โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั่ อินเวอร์ส

7.1.1 y = arc sin x เม่ือ x  [-1 , 1] และ y    ,  
2 2 

7.1.2 y = arc cos x เมื่อ x  [-1 , 1] และ y  [ 0,  ]

7.1.3 y = arc tan x เม่ือ x  R และ y     ,  
 2 2 

7.1.4 y = arc cot x เมื่อ x  R และ y  ( 0,  )

– 12 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

7.1.5 y = arc sec x เม่ือ x  (- , -1] U [1 , ) และ y  0,      , 
2   2 

7.1.6 y = arc cosec x เมื่อ x  (- , -1] U [1 , ) และ y    ,0    0,  
2   2 

สถิติ (Statistic)

1. สถิติ หมายถึง ตวั เลข หรือหมายถึงกระบวนการทางสถิติ 4 ข้นั ตอนไดแ้ ก่ การเก็บรวบรวมขอ้ มูล การนาเสนอขอ้ มูล

วเิ คราะห์ขอ้ มลู และการตีความหมายขอ้ มูล

2. ตารางแจกแจงความถ่ี
2.1 พิสยั คือ ความแตกต่างของขอ้ มูลท่ีมากที่สุดกบั ขอ้ มลู ที่นอ้ ยที่สุด กล่าวคือ พสิ ยั = Max – Min
2.2 ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั = ขอบบน – ขอบลา่ ง

2.3 จุดก่ึงกลางช้นั = 1  (ขอบบน + ขอบล่าง)
2

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x

กรณีขอ้ มลู ไม่แจกแจงเป็ นตาราง x   x

N

N

 fi xi
กรณีขอ้ มูลแจกแจงเป็นตาราง x i 1 ; xi คือ ค่าก่ึงกลางของอนั ตรภาคช้นั
=
N

กรณีมีขอ้ มลู 2 กลุม่ : การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม xt ระหวา่ งขอ้ มลู 2 กล่มุ

xt = N1x1  N2 x2
N1  N2

4. ค่ามธั ยฐาน ใชอ้ กั ษรยอ่ Med หรือ Me หมายถึง คา่ ที่มีตาแหน่งอยตู่ รงก่ึงกลางของขอ้ มลู ท้งั หมด

ข้นั ตอนการหามธั ยฐาน

1. ตอ้ งหาตาแหน่งของมธั ยฐานก่อน จากสูตร

2. คานวณคา่ มธั ยฐานจากสูตร

L   N  fL 
 2  I
Med =  fM 



L คือ ขอบล่างของอนั ตรภาคช้นั ที่มธั ยฐานอยู่

fL คือ ผลรวมของความถ่ีในอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีคา่ ต่ากวา่ อนั ตรภาคช้นั ท่ีมธั ยฐานอยู่

fM คือ ความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ที่มธั ยฐานอยู่

I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมธั ยฐานอยู่

5. ฐานนิยม ใชอ้ กั ษรยอ่ Mo หมายถึง คา่ ของขอ้ มูลท่ีมีความถ่ีสูงสุด

– 13 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

ฐานนิยม = L   d1 d1  I
  d2 
 

L คือ ขอบล่างของอนั ตรภาคช้นั ที่ฐานนิยมอยู่

d1 คือ ผลต่างระหวา่ งความถี่ของอนั ตรภาคช้นั ที่มีความถ่ีสูงสุดกบั ความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ที่มีคา่ ต่ากวา่ ท่ีอยถู่ ดั ไป

d2 คือ ผลตา่ งระหวา่ งความถี่ของอนั ตรภาคช้นั ที่มีความถส่ี ูงสุดกบั ความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ที่มีค่าสูงกวา่ ท่ีอยถู่ ดั ไป

I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ท่ีฐานนิยมอยู่

N

 xi  x
6. ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย(Mean deviation) M.D. i 1
7. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(Standard deviation) =
N

N xi  x 2 N xi 2

   x2
i 1 i 1
S.D. = =
N N

8. การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานรวมระหวา่ งขอ้ มลู 2 กลมุ่

กรณี x1  x2 , N1 ≠ N2

s2 = N1s12  N2s22  N1N 2  x1  x2 2
N1  N2 N1  N2

9. การวดั การกระจายสมั พทั ธ์

9.1 ค่าสมั ประสิทธิของพิสยั = xmax  xmin
xmax  xmin

9.2 ค่าสมั ประสิทธิของส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ = Q3  Q1
Q3  Q1
9.3 คา่ สมั ประสิทธิของส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย = MD
9.4 คา่ สมั ประสิทธิการแปรผนั (C.V.) =
x

s 100%
x

10. คา่ มาตรฐาน (Z-score) z= xi  x 68.27%
s 95.45%
11. คุณสมบตั ิของคา่ มาตรฐาน
99.73%
11.1 z = 0
11.2 sz = 1 x3s x2s xs x x +s x +2s x +3s
11.3 z = 0
11.4 z2 = N Z= –3 Z= –2 Z= –1 Z=0 Z=1 Z=2 Z=3

– 14 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

ความน่าจะเป็ น (Probability)

1. ความน่าจะเป็ น หมายถึง จานวนที่แสดงใหท้ ราบวา่ เหตกุ ารณ์ใดเหตกุ ารณ์หน่ึงมีโอกาสเกิดข้ึนมากนอ้ ยเพียงใด

2. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ = จานวนเหตุการณท์ เี่ ราสนใจ
จานวนเหตุการณท์ ้งั หม ด

หรือ P(E)  n(E) เม่ือ P(E) = ความน่าจะเป็ นของเหตกุ ารณ์
n(S )

n(E) = จานวนเหตกุ ารณ์ที่เราสนใจ

n(S) = จานวนเหตกุ ารณ์ท้งั หมด

3. ทฤษฎีความน่าจะเป็ น

ถา้ S แทนแซมเปิ ลสเปซ E แทนเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิ้ ลสเปซ จะไดว้ า่

3.1 0  P(E)  1

3.2 P(E)  1 เม่ือ n(E)  n(S)

3.3 P(E)  0 แสดงวา่ เหตกุ ารณ์น้นั ไม่เกิดข้ึน

4. หลกั เก่ียวกบั การนบั

4.1 แตล่ ะข้นั ตอน ใหค้ ูณกนั

4.2 แตล่ ะกรณี ใหบ้ วกกนั

5. แฟกทอเรียล (Factorial) สูตร n! = n(n  1)(n  2)(n  3)… 3.2.1

6. การเรียงสบั เปล่ียน (Permutation) ถา้ มีของ n สิ่งต่างๆ กนั นาของ r สิ่งจาก n ส่ิงมาจดั เรียงเป็นแถวตามลาดบั จานวน

วธิ ีที่จะกระทาได้ คือ n!
Pn,r = (n  r)!

7. การจดั หมู่ (Combination) ถา้ มีของ n ส่ิงตา่ งๆ กนั เลือกมา r สิ่ง จานวนวธิ ีที่จะกระทาได้ คือ

n!
Cn,r = (n  r)!r!

8. การเรียงสบั เปลี่ยนสามารถแบ่งไดเ้ ป็ น 3 แบบ คือ

8.1 สบั แบบเสน้ ตรง ถา้ มีของ n สิ่ง นามาสบั ไปมาแบบเสน้ ตรง จะได้ n! วธิ ี

8.2 สบั แบบวงกลม ถา้ มีของ n สิ่ง นามาสบั ไปมาแบบวงกลม จะได้ (n – 1)! วธิ ี

8.3 สบั แบบลกู ประคา ถา้ มีของ n สิ่ง นามาสบั ไปมาแบบเสน้ ตรง จะได้ (n 1)! วธิ ี
2

9. สูตรของซ้า ถา้ มี สิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็ น r กลุ่ม กลุ่ม 1 มี n1สิ่ง กลุ่ม 2 มี n2 สิ่ง … กลุ่ม r มี nr สิ่ง โดยท่ี n = n1 +

n2 + n3 +…+ nr จะไดว้ ธิ ีสบั แบบของซ้า คือ n!
n1!n2!n3!...nr !

เมตริกซ์ (Matrix)

1. เมตริกซ์ หมายถึง คือ กลมุ่ ของจานวนซ่ึงถูกเขียนเรียงเป็ นแถวๆ ละเท่าๆ กนั โดยเขียนในวงเลบ็ [ ] หรือ ( )

2. การเท่ากนั ของเมตริกซ์ : เมตริกซ์ A และ B จะเท่ากนั ก็ต่อเม่ือ A และ B มีมิติเท่ากนั และสมาชิกที่อยใู่ นตาแหน่งเดียวกนั มี

ค่าเท่ากนั ทุกตาแหน่ง

– 15 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

3. ชนิดของเมตริกซ์

1) เมตริกซส์ ลบั เปลี่ยน (Transpose Matrix)คือเมตริกซท์ ่ีเกิดจากการนาสมาชิกในเมตริกซ์ A มาเปล่ียนจากแถวเป็น

หลกั ตามลาดบั

คณุ สมบัติเก่ียวกบั เมตริกซ์สลบั เปลี่ยน : ถา้ c เป็ นคา่ คงตวั และ A, B เป็ นเมตริกซม์ ิติ n n จะไดว้ า่

1. (A  B)t  At  Bt 2. (AB)t  Bt At

3. (At )t  A 4. (cA)t  cAt

2) เมตริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) คือ เมตริกซท์ ่ีมีจานวนแถวและหลกั เท่ากนั

3) เมตริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ 0  0mn คือ เมตริกซ์ที่มสี มาชิกทุกตวั เป็ นศูนยห์ มด

4) เมตริกซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity Matrix) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ I คือ เมตริกซจ์ ตั รุ ัสท่ีมีสมาชิกในแนวเสน้ ทแยงมุมหลกั จากซา้ ย

บนลงมาขวาลา่ งเป็ น 1 หมด แตส่ มาชิกที่ไม่อยใู่ นแนวเสน้ ทแยงมุมหลกั จะเป็ น 0 ทุกตวั

4. การบวกเมตริกซ์ : ถา้ A และ B เป็ นเมตริกซ์ท่ีมีมิตเิ ดียวกนั A  B คือ เมตริกซท์ ่ีสมาชิกแตล่ ะตวั เกิดจากสมาชิกที่อยใู่ น

ตาแหน่งเดียวกนั ของ A และ B บวกกนั

5. การคูณเมตริกซ์ดว้ ยสเกลาร์ : ถา้ c เป็ นจานวนจริงใดๆ แลว้ cA คือเมตริกซ์ท่ีเกิดจากการนา c คูณเขา้ ไปในสมาชิกทุกตวั

ของเมตริกซ์

     6. การคูณเมตริกซด์ ว้ ยเมตริกซ์ : ถา้ A  aij mn และ B  bij nr แลว้ A B  AB = เมตริกซ์ C  cij mr

โดยที่ cij  ai 1b1j  ai 2b2 j  ai nbn j

7. ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) : กฎ 9 ข้อของดีเทอร์มิแนนต์

1. ถา้ A a11 a12  โดย a11, a12 , a21, a22 เป็ นจานวนจริ ง แลว้ ดีเทอร์มิแนนตข์ อง A = det (A) =
a21 
a12– a22 
a22
a11 = a11a12  a21a12
a21
 2. กาหนดเมตร+ิกซ์ A  aij nn โดยท่ี aij  R และ n เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 2 แลว้ ไมเนอร์ของ aij เขียน

แทนดว้ ย Mij (A) คือ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมตริกซท์ ี่ไดจ้ ากการตดั แถวท่ี i และหลกั ที่ j ของเมตริกซ์ A ออกไป

 3. กาหนด A  aij nn โดยที่ aij  R และ n เป็ นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 2 แลว้ โคแฟกเตอร์ของ aij เขียนแทน

ดว้ ย Cij (A) โดยท่ี Cij  (1)i j  Mij (A)

 4. กาหนด A  aij nn โดยที่ aij  R และ n เป็ นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 2 แลว้ ดเี ทอร์มแิ นนต์ของ A = det (A)

a11 a12 a13  a1n  a11C11( A)  a12C12 ( A)   a1nC1n ( A)
a22 a23  a2n  ai 1Ci 1( A)  ai 2Ci 2 ( A)   ai nCi n ( A)
หรือ A = a21 = 
 an2 an3
a1 jC1 j ( A)  a2 jC2 j ( A)   an jCn j ( A)
an1  ann

5. ถา้ A มีสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) เป็ นศูนยท์ ุกตวั แลว้ det(A)  0

6. ถา้ สลบั ที่กนั ระหวา่ งแถวสองแถว (หรือหลกั สองหลกั )ใดๆของ A แลว้ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมตริกซ์ใหมค่ ือ  det(A)

– 16 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

7. ถา้ A มีสมาชิกสองแถว (หรือสองหลกั )ใดเหมือนกนั แลว้ det(A)  0

8. ถา้ คูณสมาชิกทุกตวั ในแถวใดแถวหน่ึง (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) ของ A ดว้ ยคา่ คงตวั c แลว้ ดีเทอร์มิแนนตข์ อง

เมตริกซ์ใหมค่ ือ c det(A)

9. ถา้ เปล่ียนแถวใดแถวหน่ึง (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) ของ A โดยใชค้ ่าคงตวั ที่ไมใ่ ช่ 0 คูณสมาชิกทุกตวั ในแถวใดแถว

หน่ึง(หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง)ของ A แลว้ นาไปบวกกบั สมาชิกในแถว(หรือหลกั )ท่ีตอ้ งการเปลี่ยนน้นั โดยบวกสมาชิก

ในลาดบั เดียวกนั เขา้ ดว้ ยกนั แลว้ ใชผ้ ลบวกน้นั แทนที่สมาชิกเดิม ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมตริกซใ์ หมจ่ ะเท่ากบั det (A)

8. อนิ เวอร์สการคณู ของเมตริกซ์ : ให้ A เป็นเมตริกซ์จตั ุรัสมิติ n n เมื่อ n  2 จะได้

1. A เป็ นเมตริกซเ์ อกฐาน (Singular Matrix) ก็ตอ่ เม่ือ det(A) = 0

2. A เป็ นเมตริกซไ์ ม่เอกฐาน (Non-singular Matrix) ก็ตอ่ เม่ือ det(A)  0

3. เมตริกซผ์ กู พนั (Adjoint Matrix) ของ A คือ [Cij (A)]t กล่าวคือ adj(A)  [Cij (A)]t nn

ทฤษฎบี ท ให้ A เป็ นเมตริกซจ์ ตั รุ ัสมิติ n n เมื่อ n  2 จะได้

1. A adj(A)  adj(A) A  det(A) I

2. A มีตวั ผกผนั การคูณก็ต่อเมื่อ A เป็ นเมตริกซไ์ ม่เอกฐาน ในกรณี det( A)  0 จะไดว้ า่ A1  1 A) adj( A)
det(

3. det(A)  det(At ) 4. det(AB)  det(A) det(B)

5. det(kA)  k n det(A) ,k  R 6. det(kA)t  det(kAt )  k n det(At ) ,k  R

7. det ( A1 )  1 8. det(A)  (1)n det(A)
det(A)

9. (kA) 1   1  A1 ,k  R 10. (AB)1  B1A1
 k 

9. กฎของคราเมอร์

บทนยิ าม : ถา้ A เป็ นเมตริกซ์มิติ n n โดยท่ี det(A)  0 แลว้ ระบบสมการท่ีเขียนในรูปสมการเมตริกซ์ AX  B

เม่ือตวั ไมท่ ราบค่าคือ x1, x2, x3,, xn และ b1,b2,b3,,bn เป็ นคา่ คงตวั

คาตอบคือ x1  det(A1) , x2  det(A2 ) ,…, xn  det(An )
det(A) det ( A) det ( A)

เม่ือ Ai คือ เมตริกซท์ ี่ไดจ้ ากการแทนหลกั ที่ i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B

ลาดับและอนุกรม (Sequencies and series)

1. ลาดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลาดบั ซ่ึงผลตา่ งระหวา่ งสองพจนท์ ี่อยตู่ ิดกนั มคี า่ คงตวั เสมอ และเราเรียก

ค่าคงตวั วา่ ผลตา่ งร่วม ( common difference)

ถา้ ให้ a1 เป็ นพจนแ์ รก และ d เป็ นผลตา่ งร่วม ลาดบั เลขคณิตจะมีลกั ษณะดงั น้ี

a1, a1 + d , a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, …, a1 + (n-1)d, …
ลาดบั พจน์ที่ n an = a1 + (n-1)d

2. ลาดบั เรขาคณิต (Geometric Sequence) คือ ลาดบั ซ่ึงอตั ราส่วนของสองพจน์ที่อยตู่ ิดกนั มีคา่ คงตวั เสมอ และเราเรียก

ค่าคงตวั วา่ อตั ราส่วนร่วม ( Common Ratio)

– 17 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

ถา้ ให้ a1 เป็ นพจนแ์ รก และ r เป็นอตั ราส่วนร่วม ลาดบั เรขาคณิตจะมีลกั ษณะดงั น้ี

a1, a1 r, a1 r2, a1 r3, a1 r4, …, a1 r n-1, …

ลาดบั พจนท์ ี่ n a an = 1 r n-1

3. ลิมิตของลาดบั นิยาม lim ∞an = L ก็ต่อเม่ือมีจานวนเตม็ บวก m ท่ี n ≥ m แลว้ ยงั มี  > 0 ที่ทาให้ | an− L | < 

n

ทฤษฎีบทของลิมิต กาหนดให้ c เป็ นคา่ คงตวั

1. nlim 1  = 0 , x>0  2. lim xn = 0 , −1< x < 1
nx n

3. lim n x = 0 …… x = 0 4. lim n = 
1 …… x >0 n
n

4. อนุกรม(Series) อนุกรม คือ ผลบวกของทุกพจน์ในลาดบั ท่ีกาหนด ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทนการบวก

5. ทฤษฎีเก่ียวกบั การบวก

n = nc , c เป็ นคา่ คงตวั n nn

5.1  c n 5.3  ai  bi  =  ai  bi
i 1 i1 i1 i1
= c ai
n i 1

5.2  cai
i 1

6. สูตร 

6.1  n = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)
2

6.2  n2 = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n+1) 2

6

6.3  n3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 =  n2 = n(n + 1)
2

7. อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)

Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d)+ (a1 + 4d) + …+ [a + (n−1)d]

= n [a1 + an] = n [2a + (n−1)d]
2 2

8. อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

Sn = a + a r + a r2 + a r3 + a r4 + …+ a r n-1

กรณี | r | >1:

Sn = a (r n - 1)

r-1

9. อนุกรมอนนั ตเ์ รขาคณิต

กรณี | r | <1: เป็ นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์

S∞ = a.

1- r

– 18 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

แคลคูลสั (Calculus)

1. ลิมิตของฟังกช์ นั : lim f (x) = L ก็ต่อเมื่อ  > 0 ซ่ึง | x- a | <  ที่ทาให้ | f (x)- L | <  โดยที่ 0 <  < 
xa

คา่ ของลิมิต lim f (x) จะหาคา่ ไดก้ ็ตอ่ เม่ือ lim f (x) = lim f (x)
xa xa xa

ทฤษฎีบทของลิมิต : กาหนดให้ c เป็ นคา่ คงตวั

1. lim c =c 2. lim x = a

xa xa

3. lim cf (x) = c lim f (x) 4. lim xn = a n
xa xa
xa

5. lim [ f (x)  g(x)]= lim f (x)  lim g(x) 6. lim [ f (x)  g(x)] = lim f (x)  lim g(x)
xa xa xa xa xa xa

xlima f (x)  lim f (x) 8. lim  f (x)n =  lim f (x)n
g(x) xa
7. = xa  xa 
lim g(x)
xa

9. lim n f (x) = n lim f (x)
xa xa

2. ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั : ให้ a เป็ นจานวนจริงใดๆ ฟังกช์ นั f เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองที่จดุ x = a ก็ตอ่ เมื่อ

1. f (a) หาค่าได้

2. lim f (x) หาค่าได้

xa

3. lim f (x) = f (a)

xa

3. อตั ราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉล่ีย = f (x  x)  f (x)
x

4. อนุพนั ธ์ คือ อตั ราการเปล่ียนแปลงของ f (x) เทียบกบั x ขณะ x ใดๆ , dy  lim  f (x  x)  f (x) 
dx x  0 x 

5. สูตรท่ีใชห้ าอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั : กาหนดให้ u และ v เป็ นฟังกช์ นั พชี คณิต และ n  R

dc dx
1. dx = 0 2. dx = 1

3. du n = nu n1 du 4. d u  v = du  dv
dx dx dx dx dx

dcu du 6. d u  v= u dv  v du
5. dx = c dx dx dx dx

d u v du  u dv 8. ถา้ y  f (u) และ u  g(x) จะได้
dx v dx dx
7.   = dy  dy  du
  v2 dx du dx

6. ความชนั ของเสน้ โคง้ y  f (x) ที่จุด (a,b) คือ f (a) หรือ dy
dx

7. ฟังกช์ นั เพ่มิ และฟังกช์ นั ลด : กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ที่ตอ่ เนื่องบนช่วง (a , b) จะไดว้ า่

f เป็ นฟังกช์ นั เพิม่ เม่ือ f'(x) > 0 นน่ั คือ ถา้ x เพมิ่ แลว้ y เพ่มิ เราจะเรียกวา่ ฟังกช์ นั เพมิ่

– 19 –

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยP์ OP

f เป็ นฟังกช์ นั ลด เม่ือ f'(x) < 0 นน่ั คือ ถา้ x เพ่มิ แลว้ y ลด เราจะเรียกวา่ ฟังกช์ นั ลด

8. จุดสูงสุดสมั พทั ธ์ จุดต่าสุดสมั พทั ธ์ จุดสูงสุดสมั บูรณ์และจดุ ต่าสุดสมั บูรณ์

ทฤษฏีบท : กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ท่ีต่อเน่ืองบนช่วง (a , b) ใดๆ และ c เป็ นคา่ วกิ ฤตของ f ซ่ึง f'(c) = 0 พบวา่

1. ถา้ f ˝(c) > 0 แลว้ f(c) เป็ นคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์

2. ถา้ f ˝(c) < 0 แลว้ f(c) เป็ นค่าสูงสุดสมั พทั ธ์

9. ปริพนั ธ์ (Integrate) ,ใช้สัญลกั ษณ์ F(x) หรือ  f (x)dx

นิยาม : ฟังกช์ นั F เป็ นปฎิยานุพนั ธข์ อง f เม่ือ F′(x) = f (x) สาหรับทุกคา่ ของ x ท่ีอยใู่ นโดเมนของ f

10. สูตรท่ีใชห้ าปฏิยานุพนั ธข์ องฟังกช์ นั : เม่ือ k และ c เป็ นคา่ คงตวั

1.  kdx = kx  c 2.  xndx = x n 1 c เม่ือ n  1
n 1

3.  kf (x)dx = k  f (x)dx 4. [ f (x)  g(x)]dx =  f (x)dx   g(x)dx
11. อินทิเกรตจากดั เขต : เมื่อ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง [a , b] และถา้ F เป็ นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a , b] โดยท่ี

F′(x) = f (x) แลว้ b f (x)dx = b

 F(x)  F(b)  F(a)

aa

12. พ้ืนท่ีท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

นิยาม : เมื่อ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a , b] และ A เป็ นพ้นื ท่ีท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ ของ f จาก x = a ถึง x = b จะไดว้ า่

b

12.1 ถา้ f (x) > 0 สาหรับทุกคา่ ของ x ท่ีอยใู่ นช่วง [a , b] แลว้ A จะเป็ นพ้นื ท่ีเหนือแกน x และ A =  f (x)dx
a

b

12.2 ถา้ f (x) < 0 สาหรับทุกค่าของ x ท่ีอยใู่ นช่วง [a , b] แลว้ A จะเป็ นพ้ืนที่ใตแ้ กน x และ A = –  f (x)dx
a

ข้อคณติ คดิ สาเร็จด้วยเหตุผล หากผ่อนปรนตามอารมณ์เป็ นล้มเหลว

ตา จอ้ งมองแผน่ พ้ืน กระดานดา
ดู วิธีครูทา จดไว้
หู ผ่ึงสดบั รับสา- เนียงอรรถ
ฟัง พจน์กาหนดให้ ถ่องแทแ้ ลเห็น
ทาไม
นัง่ แช่เยน็ เชา้ อยู่ จวบแจง้
พนิ จิ นึกตรึกไป ไมส่ ุด คิดหา
คณติ ศาสตร์มาตรยากไข ถกู เป้ าเขา้ วนั
แน่ แน่ววดั เหวย่ี งแวง้

– 20 –