Materi Ajar KD 3.3-4.3 Matriks SURASTA SARI DEWI, S.Pd_201699796603-MATH-A-SMANSA

9/22/2021 Materi Ajar

Matematika Umum Kelas XI

Surasta Sari Dewi, S.Pd.

SMAN 1 TUALANG

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

PETA KONSEP

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

PENDAHULUAN

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakutuh. Salam sejahtera untuk kita semua. Salam sehat,
semangat, ceria. Anak-anak, para siswa yang berbahagia. Selamat kalian telah selesai mempelajari materi
ajar KD 3.2 Program Linear. Selanjutnya kalian akan mempelajari materi ajar KD 3.3 yang memuat materi
tentang Matriks. Materi ajar KD 3.3 ini disusun sebagai salah satu alternatif bagi kalian untuk memahami
materi matriks pada mata pelajaran matematika umum di kelas XI, baik dalam pembelajaran secara luring
maupun daring. Melalui materi ajar ini, kalian akan diajak untuk memahami konsep matriks dan operasi
pada matriks serta penggunaannya dalam menyelesaikan masalah kontekstual di kehidupan sehari-hari.

Anak-anak, materi ajar ini memuat tiga submateri yang termuat dalam tiga kegiatan belajar (KB)
sebagai berikut.

• Kegiatan belajar 1: Konsep dan Jenis Matriks.
• Kegiatan belajar 2: Transpos Matriks dan Kesamaan Dua Matriks.
• Kegiatan belajar 3: Operasi Matriks.

Setiap KB dilengkapi tes formatif dengan kunci jawaban dan pembahasan berada pada akhir materi
ajar ini. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kunci jawaban dan pembahasan untuk melihat tingkat
pemahaman kalian terhadap materi dalam KB tersebut.

Sebelum kalian membaca isi materi ajar ini, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam
penggunaan materi ajar agar proses pembelajaran berjalan dengan lebih lancar dan kalian memperoleh hasil
yang optimal.

1) Sebelum mulai menggunakan materi ajar, marilah berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan
kemudahan dalam memahami materi ini dan dapat mengamalkan di dalam kehidupan sehari-hari.

2) Bacalah uraian materi dan contoh dengan cermat secara berulang-ulang sehingga kalian benar-benar
memahami dan menguasai materi, sebaiknya kalian mulai membaca dari peta konsep, pendahuluan,
kegiatan pembelajaran, rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.

3) Materi ajar ini adalah materi awal di tingkat Sekolah Menengah Atas. Kalian perlu mengingat kembali
beberapa materi prasyarat, salah satu diantaranya adalah Sistem Persamaan Linear.

4) Pelajari submateri pada setiap kegiatan belajar, selesaikan latihan pada forum diskusi dan selesaikan
tes formatif secara mandiri dengan jujur tanpa melihat uraian materi. Jika dalam kasus tertentu kalian
mengalami kesulitan dalam menjawab maka lihatlah rambu-rambu jawabannya. Jika langkah tersebut
masih belum berhasil maka mintalah bantuan guru atau orang lain yang lebih tahu dan memahami.

5) Periksalah jawaban tes formatif kalian bersama guru atau cocokkan dengan kunci jawaban yang
diberikan.

6) Apabila tingkat penguasaan 75% atau lebih, kalian dikatakan tuntas dan dapat melanjutkan ke kegiatan
belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan kurang dari 75%, kalian harus mempelajari kembali
submateri pada kegiatan belajar ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.

7) Keberhasilan pembelajaran kalian dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, sangat

tergantung pada kesungguhan kalian dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu,
berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Selanjutnya, ibu ucapkan selamat belajar, semoga kalian sukses mampu mengimplementasikan
pengetahuan yang diberikan dalam materi ajar ini.

A. DESKRIPSI MATERI
Anak-anak, kalian telah mempelajari cara penyelesaian sistem persamaan linear (SPL) dengan

menggunakan cara substitusi dan eliminasi di kelas X. Untuk SPL dengan tiga peubah, cara tersebut masih
dapat digunakan. Akan tetapi, untuk SPL dengan empat peubah atau lebih cara tersebut kurang efektif.
Penyelesaian SPL tersebut akan lebih efektif jika menggunakan matriks.

Saat ini, matriks banyak digunakan di berbagai
bidang. Di dalam kehidupan sehari-hari, banyak
informasi atau data yang ditampilkan dalam
bentuk tabel. Tabel ini bisa dibuat pada salah satu
perangkat lunak pengolah angka MS Excel.
Lembar kerja (worksheet) pada pengolah angka
(spreadsheet) terdiri atas baris dan kolom. Bagian
kolom ditandai dengan hurus A, B, C dan
seterusnya, sedangkan bagian baris ditandai
dengan 1, 2, 3 dan seterusnya.

Gambar a.1. Fotografer Surasta Sari Dewi, S.Pd. (22/09/2021)

Setiap anggota data ditulis dalam sebuah sel yang koordinatnya ditunjukkan dengan urutan kolom dan
urutan barisnya, misalnya sel A1 (baris pertama kolom pertama), sel B3 (baris ketiga kolom kedua) atau sel
C2 (baris kedua kolom ketiga) dan seterusnya.

Nah, bentuk lembar kerja dan cara pengolahan data pada MS Excel memang memiliki kemiripan
dengan bentuk matriks dan aljabar matriks yang akan kalian pelajari di KD ini.

Kemudian, masalah yang paling dekat
dengan kalian, misalnya denah tempat duduk di
kelas. Pernahkah kalian mengamati denah tempat
duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada
baris dan kolom berapakah kalian berada? Nah,
dengan menggunakan matriks, kalian dapat
meringkas penyajian denah tersebut untuk
mengetahui letak tempat duduk kalian dan teman-
teman di kelas dengan sangat mudah.

Gambar a.2. Fotografer Surasta Sari Dewi, S.Pd. (20/08/2018)

Selanjutnya, beberapa contoh matriks lainnya yang dapat kalian jumpai dalam kehidupan sehari-hari
antara lain gedung bertingkat, lemari susun tipe matriks maupun rak buku yang terdapat di perpustakaan
sekolah. Tahukah kalian arti matriks itu dalam matematika? Apakah ada hubungannya dengan baris dan
kolom juga? Sebagai gambaran awal tentang matriks, perhatikan permasalahan berikut!

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Seorang statistikawan sedang melakukan penelitian pada sebuah perpustakaan yang ada di Jakarta
mengenai minat baca anggota perpustakaan berdasarkan usia dan jenis buku. Ia mengelompokkan usia
menjadi tiga bagian, yaitu anak-anak (≤ 12 tahun), remaja (12 tahun < ≤ 20 tahun dan dewasa lebih dari
> 20 tahun, sedangkan jenis buku dikelompokkan menjadi buku fiksi, non fiksi dan pengetahuan umum.
Hasil penelitian yang diperoleh dituliskan dalam tabel pada gambar a.1.

Angka yang ada dalam kotak merupakan jumlah orang yang meminjam buku berdasarkan jenis buku
yang dipinjam dan usia peminjam. Ternyata, bentuk tabel di atas dapat dibuat lebih sederhana lagi menjadi

25 9 5
[40 35 20]
30 50 45
Bentuk ini disebut sebagai matriks, yang terdiri atas sejumlah baris dan kolom. Baris pertama, yaitu
[25 9 5] merupakan banyaknya peminjam dari kalangan anak-anak, angka 25 menunjukkan banyak anak
yang minjam buku fiksi, angka 9 menunjukkan banyaknya anak-anak yang meminjam buku non fiksi dan
25
seterusnya. Kolom pertama, yaitu [40] merupakan banyaknya buku fiksi yang dipinjam angka 40
30
menunjukkan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh remaja, angka 30 menunjukkan banyaknya buku
fiksi yang dipinjam oleh dewasa dan seterusnya pada bentuk matriks di atas memiliki 3 baris dan 3 kolom
dan selanjutnya dinamakan matriks berordo tiga.
Dengan menggunakan matriks, bentuk yang lebih kompleks dapat ditampilkan menjadi lebih
sederhana. Mungkin matriks merupakan hal yang baru bagi kalian, tetapi mempelajari matriks tidaklah sulit.
Selama kalian teliti dalam perhitungan dan memahami rumus yang diberikan, permasalahan mengenai
matriks tentu dapat kalian atasi. Ada beberapa sifat matriks yang perlu kalian perhatikan. Untuk
mengetahuinya, dapat kalian pelajari pada KD ini.
Materi pokok matriks adalah materi baru yang menarik karena belum pernah dipelajari di lingkungan
pendidikan sebelumnya di (SD maupun SMP). Untuk itu siswa diharapkan belajar dengan sungguh-sungguh
agar selain mampu memahami konsep matriks dengan baik juga harus mampu menyelesaikan permasalahan-
permasalahan yang diberikan. Selanjutnya, penyelesaian masalah dengan menggunakan representasi
matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

B. CAPAIAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini diharapkan kalian sebagai peserta didik mampu memahami,

mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah
dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan
matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi
dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan
masa depan.

1. Pemetaan Kompetensi
Kompetensi Dasar 3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah

kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan,
pengurangan, perkalian skalar dan perkalian, serta transpose.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Indikator Pencapaian 3.3.1. Menjelaskan pengertian dan notasi matriks.
Kompetensi 3.3 3.3.2. Menjelaskan transpos matriks dan kesamaan dua matriks.
3.3.3. Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks.
3.3.4. Melakukan operasi perkalian skalar dan matriks.
3.3.5. Melakukan operasi perkalian dua matriks.

Kompetensi Dasar 4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan
operasinya.
Indikator Pencapaian 4.3.1. Menggunakan prosedur untuk melakukan operasi pada matriks.
Kompetensi 4.3 4.3.2. Menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual

yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.

2. Tujuan Pembelajaran
Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Problem Based Learning

dengan mengembangkan sikap teliti, rasa ingin tahu dan bertanggungjawab serta dapat mengembangkan
kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi (4C) peserta didik dapat:

1. Menjelaskan pengertian dan notasi matriks.
2. Menjelaskan transpos matriks dan kesamaan dua matriks.
3. Menjelaskan operasi pada matriks.
4. Menggunakan prosedur untuk melakukan operasi pada matriks.
5. Menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks

dan operasinya.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

URAIAN MATERI

A. RINCIAN MATERI

1. Definisi dan Notasi Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita dihadapkan pada masalah untuk menampilkan data atau

informasi dalam bentuk tabel atau daftar. Perhatikan data atau informasi hasil pertandingan antara Ali

dengan Badu pada tabel a.1.1 dan data absensi suatu kelas dalam rentang waktu satu semester pada tabel

a.1.2.

Tabel a.1.1

Pertandingan Set I Set II Set III Judul ini disebut
Ali 17 13 15 Baris

Badu 16 15 1

Judul ini disebut
Kolom

Tabel a.1.2 Sakit Izin Tanpa Keterangan Judul ini disebut
Absensi 3 2 4 Baris
2 1 0
Budi 3 1 2
Carli
Dodi

Judul ini disebut
Kolom

Sekarang marilah kita amati kembali kelompok-kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel a.1.1 dan

tabel a.1.2.

• Kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel a.1.1 adalah

17 13 15 susunan bilangan ini berbentuk persegi panjang
16 15 1

• Kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel a.1.2 adalah

324 susunan bilangan ini berbentuk persegi
210
312

Berdasarkan permasalahan nyata di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa:

Definisi

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut
baris dan kolom, dan ditempatkan dalam tanda kurung biasa atau kurung siku. Matriks diberi
nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, dan C.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Coba Sendiri
Berikut adalah data atau informasi banyaknya hewan ternak yang dimiliki oleh beberapa peternak.
1. Pak Hasan mempunyai 2 ekor sapi, 7 ekor kambing, 10 ekor itik dan 8 ekor ayam.
2. Pak Ahmad mempunyai 5 ekor kambing, 3 ekor sapi, 8 ekor itik dan 6 ekor ayam.
3. Pak Danu mempunyai 12 ekor ayam 7 ekor itik 4 ekor sapi dan 1 ekor kambing.
4. Pak Arman mempunyai 4 ekor kambing, 8 ekor ayam, 3 ekor sapi dan 5 ekor itik.

Tulislah data tersebut dalam bentuk matriks!
Jawab: ________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
__________________________
➢ Bentuk umum matriks :

➢ Baris, Kolom, dan Elemen
1. Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal
dalam matriks.
2. Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.
3. Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun
matriks.
Contoh :

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

➢ Ordo Maktriks
Pada bentuk matriks mn tersebut, terlihat hal-hal sebagai berikut.
1. Banyaknya baris dan kolom matriks A berturut-turut adalah m dan n buah.
2. a11, a12, a13, . . . , amn = disebut dengan elemen-elemen matriks A, amn = elemen A pada baris ke-
m, kolom ke-n.

Secara umum berlaku: Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka matriks A berordo
m × n atau ordo matriks A adalah m × n, ditulis: m×n (dibaca: ”A m kali n”).

Contoh :

➢ Jenis Matriks

1. Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom

a. Matriks Baris, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja dan banyaknya kolom n,

mempunyai ordo 1 × .
Contoh : = (3 1 7 0) adalah matriks baris berordo 1 × 4.

b. Matriks Kolom, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja dan banyaknya baris m,

mempunyai ordo × 1.

4
Contoh : = (3) adalah matriks baris berordo 3 × 1.

8

c. Matriks Persegi Panjang, yaitu matriks yang banyaknya baris tidak sama dengan banyaknya

kolom, mempunyai ordo × .

Contoh : = (21 2 31) adalah matriks baris berordo 2 × 3.
1

d. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar, yaitu matriks yang mempunyai banyaknya baris

sama dengan banyaknya kolom, mempunyai ordo × .

Contoh :

adalah matriks persegi berordo 3 × 3.

e. Matriks Tegak merupakan matriks dengan banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan

banyak kolom. −3
4)
2 6
Contoh : = (−5

2

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

f. Matriks Datar merupakan matriks dengan banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan

matriks baris.

Contoh : = (12 3 −5 14)
−2 3

2. Matriks Berdasarkan Pola Elemen-Elemen

a. Matriks Diagonal, yaitu matriks persegi berordo × , dengan semua elemen di luar diagonal

utamanya bernilai nol.

200 300

Contoh : = (0 7 0) , = (0 0 0)

005 000

b. Matriks Segitiga Atas, yaitu matriks persegi × , dan semua elemen-elemen di bawah

diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh :

c. Matriks Segitiga Bawah, yaitu matriks persegi n x n, dan semua elemen-elemen di atas diagonal
utamanya bernilai nol.
Contoh :

d. Matriks Identitas (matriks satuan), yaitu matriks diagonal dengan ordo n x n, dan semua elemen
pada diagonal utamanya bernilai satu, dinotasikan dengan huruf ’’I”.
100
Contoh : = (0 1 0)
001

e. Matriks Nol, yaitu matrik berordo m x n dengan semua elemennya bernilai nol.
000

Contoh : = (0 0 0)
000

f. Matriks Simetris merupakan matriks persegi dengan elemen pada baris ke-i kolom ke j sama

dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i.
−3 2 5

Contoh : = ( 2 0 −4)
5 −4 3

g. Matriks Skalar jika A merupakan matriks diagonal dan komponen pada diagonal utama sama.
300

Contoh: = (0 3 0)
003

➢ Transpos Matriks

Transpose dari suatu matriks A berordo × adalah sebuah matriks baru yang berordo × yang

diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom dan sebaliknya.
Transpose suatu matriks dinotasikan dengan At = AT.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Agar lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:
Transpose matriks A dinotasikan dengan

Contoh :

1. Jika Matriks 2 3 = (41 2 36) maka matriks transposenya adalah 3x2 t = 1 4
5 (2 5)
6
3

2. Jika Matriks 2 2 = (−73 95) maka matriks transposenya adalah 2x2 = (−53 97)
3. Jika Matriks 1x3 = (3 0
3
−2)maka matriks transposenya adalah 3x1 = ( 0 )

−2

Sifat-Sifat Transpos Matriks

Jika ukuran matriks sedemikian sehingga operasi berikut ini dapat dilakukan, maka:
a. ( ) = (transpos dari transpos suatu matriks adalah matrik itu sendiri).
b. ( + ) = + .
c. ( ) = . ( ) , dengan k sebarang skalar.
d. ( ) = .
e. = (transpos dari matriks identitas adalah matrik identitas itu sendiri).

*Temukan konsep dari sifat-sifat di atas dengan mengisi LPKD terlampir.

Coba Sendiri

Teguh, siswa kelas XI SMA Panca Budi, akan menyusun anggota keluarganya berdasarkan
umur dalam bentuk matriks. Dia memiliki Ayah, dan Ibu, berturut-turut berumur 46 tahun dan
43 tahun. Selain itu dia juga memiliki kakak dan adik, secara berurut, Ningrum (22 tahun),
Sekar (19 tahun), dan Wahyu (12 tahun). Dia sendiri berumur 14 tahun. Berbekal dengan
materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan dia dalam berlatih, dia mampu
mengkreasikan susunan matriks yang merepresentasikan umur anggota keluarga Teguh
(berdasarkan urutan umur dalam keluarga Teguh). Berdasarkan ilustrasi cerita ini:

a. Ada berapakah alternatif susunan matriks yang mungkin tercipta oleh Teguh? Dapatkah
kalian menentukan alternatif susunan matriks yang diciptakan oleh Teguh? Jika Ya, tuliskan!
Jawab:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Coba Sendiri

b. Tentukan ordo, jenis dan transpos dari masing-masing matriks yang mungkin tercipta!
Jawab:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

➢ Kesamaan Matriks
Perhatikan untuk matriks berikut ini!

3 seletak dengan √9 = 3
4 + 1 seletak dengan 5

9 seletak dengan 32 = 9

Kedua matriks pada contoh a dan b adalah sama. Entry/elemen masing-masing matriks juga sama, bukan?
Bagaimana dengan ordo kedua matriks? Dari kedua contoh di atas tampak bahwa entry-entry seletak
dari kedua matriks yang berordo sama mempunyai nilai yang sama. Nah, bagaimana untuk matriks
berikut ini?

Menurut kalian apakah matriks-matrik di atas sama? Apakah kedua matriks memiliki ordo yang sama?
Apakah entry-entry seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama? Jika kalian telah memahami
kasus di atas maka kita dapat menyatakan kesamaan matriks jika memenuhi sifat berikut ini.

KESIMPULAN
Matriks A dan matriks B dikatakan sama, jika dan hanya jika:
a. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B;
b. semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B nilainya sama.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Coba Sendiri

Berdasarkan sifat tersebut, carilah nilai , dan untuk (5 2 ++ ) = (180 142).
Jawab:

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

2. Operasi Aljabar pada Matriks
➢ Penjumlahan Matriks
Sebagai gambaran awal mengenai operasi penjumlahan dua matriks, mari kita cermati contoh
masalah berikut ini.
Toko kue berkonsep waralaba ingin mengembangkan usaha didua kota yang berbeda. Manajer
produksi ingin mendapatkan data biaya yang akan diperlukan. Biaya untuk masing-masing kue
seperti pada tabel berikut.

Tabel Biaya Toko di Kota A (dalam Rupiah)

Brownies Bika Ambon
1.200.000
Bahan kue 1.000.000 3.000.000

Juru masak/Chef 2.000.000

Tabel Biaya Toko di Kota B (dalam Rp)

Brownies Bika Ambon
1.700.000
Bahan kue 1.500.000 3.500.000

Juru masak/Chef 3.000.000

Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?
Alternatif Penyelesaian:
Jika kita misalkan matriks biaya di Kota A, sebagai matriks A dan matriks biaya di Kota B
sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut.

Total biaya yang dikeluarkan oleh untuk kedua toko kue tersebut dapat diperoleh sebagai berikut.
♦ Total biaya bahan untuk brownies = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000
♦ Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.000
♦ Total biaya chef untuk brownies = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000
♦ Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks adalah sebagai berikut.

Total Biaya Untuk Kedua Toko (dalam Rupiah)

Brownies Bika Ambon

Bahan kue 2.500.000 2.900.000

Juru masak/Chef 5.000.000 6.500.000

Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks A dan B.

Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkan kedua matriks biaya
memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita
tidak dapat melakukan operasi penjumlahan terhadap kedua matriks. Nah, melalui pembahasan di
atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan dua matriks dalam konteks matematis.

KESIMPULAN
Apabila dua buah matriks memiliki ordo yang sama, penjumlahan dua matriks itu adalah
penjumlahan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks itu.

Contoh : Diberikan tiga buah matriks berikut ini:

= (62 47), = (30 −82) dan = (26 1 −03)
5

Tentukan + dan + .

Jawab : + = (62 74) + (03 −82) = (62 + 3 4 +7 +(−82)) = ( )
+ = (62 47) + (62 + 0

1 −03) = tidak terdefinisi
5

karena ordo matriks A dan matriks C tidak sama.

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
1) + = + (sifat komutatif).
2) ( + ) + = + ( + ) (sifat asosiatif).
3) + = + = , dengan O adalah matriks nol.
4) + (− ) = , dengan − adalah lawan atau negatif dari matriks .
*Temukan konsep dari sifat-sifat di atas dengan mengisi LPKD terlampir.

➢ Pengurangan Matriks
Sebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh
berikut ini.
Contoh : Diberikan matriks-matriks berikut ini:

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

= (34 −01), = (−13 24) dan = (56)

Tentukan − dan − .

Jawab : − = + (− ) = (34 −01) + (−31 −−42)

= (3 + (−1) −10++(−2 4)) = ( − )
4+3

− = (43 −01) − (56) = tidak terdefinisi

karena ordo matriks A dan matriks C tidak sama.

➢ Perkalian Skalar Matriks

Perkalian bilangan real (skalar) k dengan matriks A ditulis kA adalah sebuah matriks baru yang
didapat dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k.

KESIMPULAN
Jika matriks A dan B berordo sama, dan k, m ∈ R (bilangan real), maka berlaku sifat-sifat:
1. kA= Ak
2. (k + m)A = kA + mA
3. k(A + B) = kA + kB
4. k(mA) = (km)A

Contoh : Diketahui matriks-matriks sebagai berikut.
= (32 −01), = (−11 32) dan = (−31 24)
Tentukan nilai 4 − 3 + 2 .

Jawab : 4 − 3 + 2 = 4 (23 −01) − 3 (−11 32) + 2 (−31 42)
= (182 −04) − (−33 69) + (−62 48)
= (155 −−190) + (−62 84) = ( −− )

➢ Perkalian Dua Matriks

Perhatikan ilustrasi masalah sebagai berikut:
Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang besar dipulau
Sumatera, yaitu cabang pertama di kota Palembang, cabang kedua di kota Padang dan cabang
ketiga di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran
usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan
mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Rincian data tersebut disajikan dapat disajikan sebagai berikut:

Handphone (unit) Komputer (unit) Sepeda Motor (unit)

Cabang 1 7 8 3

Cabang 2 5 6 2

Cabang 3 4 5 2

Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang.

Alternatif Penyelesaian:

Kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep matriks.

Harga Handphone (juta) 2

Harga Komputer (juta) 5

Harga Sepeda Motor (juta) 15

783
Kita misalkan matriks 3×3 = (5 6 2) yang merepresentasikan jumlah unit setiap

452
2

perusahaan yang dibutuhkan di setiap cabang, dan matriks 3×1 = ( 5 ) yang
15

merepresentasikan harga per unit setiap peralatan.

Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang, kita peroleh

sebagai berikut.
• Total biaya Cabang 1

= (7 unit handphone × 2 juta) + (8 unit komputer × 5 juta) + (3 unit sepeda motor 15 juta)

= Rp99.000.000,00
• Total biaya Cabang 2

= (5 unit handphone × 2 juta) + (6 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta)

= Rp70.000.000,00
• Total biaya Cabang 3

= (4 unit handphone × 2 juta) + (5 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta)

= Rp63.000.000,00

Jadi, total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks berikut.
. .

× = ( . . )
. .

Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris

pada matriks A sama dengan banyak kolom pada matriks B. Banyak perkalian akan berhenti jika

setiap elemen baris ke-n pada matriks A sudah dikalikan dengan setiap elemen kolom ke-n pada

matriks B.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

KESIMPULAN
Sehingga jika kita misalkan Matriks × dan Matriks × , matriks A dapat dikalikan dengan
matriks B jika banyaknya kolom pada matrik A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

Hasil perkalian dua matriks A x B adalah sebuah matrik baru yang elemen-elemennya diperoleh

dari penjumlahan hasil perkalian antara elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada

matriks B.

Jika = ( ) dan = maka secara umum berlaku
( )

sehingga

× = ( ) × = ( + )
( ) +

Contoh : Diketahui matriks-matriks sebagai berikut. −01.1.1++53.6.6)
= (−01 53) dan = (−29 16)
Tentukan .

Jawab : = × = (−01 35) × (−29 16) = (−01.2.2++53. .((−−99))
= (0−+2(−−2475) −01++3108) = (−− )

B. TUGAS
1. Penugasan Mandiri 1
Untuk lebih meningkatkan pemahaman tentang matriks, kalian diberikan tugas mandiri sebagai
berikut: Carilah 3 permasalahan nyata dalam sehari-hari kalian, kemudian buatlah:
1. Bentuk matriksnya.
2. Ordo atau ukuran matriks.

2. Penugasan Mandiri 2
Untuk lebih meningkatkan pemahaman tentang matriks, kalian diberikan tugas mandiri sebagai
berikut: Carilah 3 permasalahan nyata dalam sehari-hari kalian, kemudian buatlah:
1. Transpose matriks nya.
2. Apakah dari ketiga bentuk matriks yang kalian buat ada dua buah matriks yang sama?
Jelaskan!

3. Penugasan Mandiri 3
Buatlah 4 buah matriks yang mempunyai ordo 2 x 2 (2 matriks), 2 x 3 dan 3 x 1, kemudian
kerjakanlah hasil dari :

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

1. Dua penjumlahan matriks
2. Dua pengurangan matriks
3. Perkalian matriks yang berordo 2 x 3 dengan skalarnya (k) = 2 dan matriks yang berordo 3 x 1

dengan skalarnya (k) = -2
4. Perkalian dua matriks mana saja yang dapat dilakukan, sesuai dengan syarat perkalian dua

buah matriks?

C. FORUM DISKUSI
1. Forum Diskusi 1
Untuk memperkuat pemahaman kalian silahkan diskusikan soal berikut!
Diketahui permasalahan sebagai berikut: Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa
tempat wisata yang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak
antara kota-kota tersebut sebagai berikut.
Bandung–Semarang 324 km
Semarang – Yogyakarta 225 km
Bandung – Yogyakarta 484km
Dapatkah kalian membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebut, jika wisatawan tersebut
memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap angka dalam susunan
tersebut. Dari permasalahan di atas, jawablah soal di bawah ini dengan jelas dan benar!

1. Buatlah dalam matriksnya!
2. Berapakah banyaknya baris, banyaknya kolom, sebutkan ordo atau ukuran matriksnya?
3. Sebutkan elemen-elemen matrik baris ke 1, elemen matrik kolom ke 2, elemen matrik baris ke

2 kolom ke 1?
4. Sebutkan jenis matriksnya dan berikan alasannya?

2. Forum Diskusi 2
Untuk memperkuat pemahaman kalian silahkan diskusikan soal berikut.
Diketahui permasalahan sebagai berikut: Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa
tempat wisata yang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak
antara kota-kota tersebut sebagai berikut.
Bandung–Semarang 324 km
Semarang – Yogyakarta 225 km
Bandung – Yogyakarta 484 km
Dapatkah kalian membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebut, jika wisatawan tersebut
memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap angka dalam susunan
tersebut. Dari permasalahan di atas, jawablah soal di bawah ini dengan jelas dan benar!
1. Transpose matriks nya .
2. Buatlah matriks yang lain agar terjadi kesamaan dua matriks.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

3. Forum Diskusi 3
Untuk memperkuat pemahaman kalian silahkan diskusikan soal berikut.

1) Diberikan matriks = (−2 1 4 56 ) dan = (−14 −4 −−56) yang memenuhi
3 9

persamaan + = . Nilai + − = ⋯

2) Diberikan matriks sebagai berikut :

Tentukan : c. 5 e. 3 +
a. + d. × f. × 2
b. −

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

PENUTUP

A. RANGKUMAN
Setelah selesai membahas dan mempelajari uraian materi di atas, beberapa hal penting yang dapat

disimpulkan dalam rangkuman ini adalah sebagai berikut:
1. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris

dan kolom, dan ditempatkan dalam tanda kurung biasa atau kurung siku. Matriks diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital, seperti A, B, dan C.
2. Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom.
3. Jenis-jenis matriks berdasarkan banyak baris dan banyak kolom meliputi matriks baris, matriks
kolom, matrik persegi panjang, matriks persegi (matriks bujur sangkar).
4. Jenis-jenis matriks berdasarkan pola elemen-elemen meliputi matriks diagonal, matriks segitiga
bawah, matriks segitiga atas, matriks identitas, matriks nol, matriks tegak, matriks datar, matriks
simetris dan matriks skalar.
5. Transpos Matriks (Matriks Transpose) : Transpose dari suatu matriks A berordo m x n adalah sebuah
matriks baru yang berordo n x m yang diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi
elemen-elemen kolom dan sebaliknya, dan dinotasikan dengan T .
6. Kesamaan Dua Matriks: Matriks A dan matriks B dikatakan sama, jika dan hanya jika: a) ordo
matriks A sama dengan ordo matriks B; b) semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks
B nilainya sama.
7. Penjumlahan matriks Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen-
elemen A dan B yang seletak, yaitu c = a + b untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri.
Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.
8. Pengurangan matriks. Jika A−B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-
elemen A dan B yang seletak, yaitu c = a −b atau pengurangan dua matriks dapat dipandang
sebagai penjumlahan matriks lawannya, yaitu A + (-B).
9. Perkalian suatu Bilangan real dengan Matriks. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau
suatu bilangan real k akan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki
elemen-elemen k kali elemen-elemen matriks semula. Misalkan A adalah suatu Matriks berordo
× dengan elemen-elemen aij dan k adalah suatu bilangan Real. Matriks C adalah hasil perkalian
bilangan real K terhadap matriks A, dan di notasikan: C = k., bila matriks C berordo × dengan
elemen-elemennya di tentukan oleh : Cij = k .aij untuk semua i dan j.
10. Misal jika p×q dan q×r adalah dua matriks, maka berlaku p×q × q×r = P×r . Dua buah matriks
hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikali sama dengan banyaknya baris
matriks pengalinya. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, hasilnya adalah
matriks A.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

B. TES FORMATIF

Pilihlah salah satu jawaban yang benar!

1. Tes Formatif 1

Jika diketahui matriks = (30 1 −32).
−5

Data di atas untuk menjawab soal nomor 1-5.
1. Ordo dari matriks A adalah…

A. 2 x 2 B. 3 x 2 C. m x n D. 2 x 3 E. n x m
E. -2, 3
2. Elemen baris kedua matriks A adalah… E. -2, 3
E. 5
A. 3, 1, -2 B. 0, -5, 3 C. 3, 0 D. 1, 5
E. 3
3. Elemen kolom ketiga matriks A adalah…

A. 3, 1, -2 B. 0, -5, 3 C. 3, 0 D. 1, 5

4. Elemen baris kedua kolom pertama matriks A adalah…

A. -2 B. 0 C. 1 D. 3

5. Elemen baris ketiga kolom ketiga matriks A adalah…

A. – 5 B. – 2 C. 0 D. 1

2. Tes Formatif 2

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

Kunci jawaban Soal Formatif 2 4. Jawaban. D
1. Jawaban. D 5. Jawaban. D

2. Jawaban. B
3. Jawaban. D

3. Tes Formatif 3

3.
.

4.
.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd. , SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

5.
.

Kunci jawaban Soal Formatif 3
1. Jawaban. B

2. Jawaban. C
3. Jawaban. E
4. Jawaban. D
5. Jawaban. E

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada

bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di

bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Rumus tingkat penguasaan = × %


Kriteria:
90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik
70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali seluruh

pembelajaran.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd.– SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

PENILAIAN DIRI

Berilah tanda V pada kolom “Ya” jika kalian mampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan

berikut:

No Pertanyaan Jawaban

Ya Tidak

1 Apakah kalian sudah menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks?

2 Apakah kalian telah mampu memahami konsep tentang matriks?

3 Apakah kalian telah mampu menyebutkan jenis-jenis matriks?

4 Apakah kalian sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam

kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks?

5 Apakah dalam mengerjakan soal-soal kalian bekerja secara mandiri dan jujur

tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang

lain?

6 Apakah kalian sudah menuliskan permasalahan nyata dalam bentuk matriks?

7 Apakah kalian telah mampu memahami konsep tentang matriks?

8 Apakah kalian sudah mampu menentukan Transpose Matriks?

9 Apakah kalian sudah mampu menentukan Kesamaan dua matriks?

10 Apakah kalian sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam

kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks?

11 Apakah dalam mengerjakan soal-soal kalian bekerja secara mandiri dan jujur

tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang

lain?

12 Apakah kalian sudah dapat menentukan operasi penjumlahan dua matriks?

13 Apakah kalian sudah dapat menentukan operasi pengurangan dua matriks?

14 Apakah kalian sudah dapat menentukan operasi perkalian sklar dengan matriks?

15 Apakah kalian sudah dapat menentukan operasi perkalian dua matriks?

16 Apakah kalian sudah mampu menyelesaikan operasi kombinasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian dari persamaan matriks?

17 Apakah kalian sudah mampu mampu menyelesaikan permasalahan dalam

kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Matriks?

18 Apakah dalam mengerjakan soal-soal kalian bekerja secara mandiri dan jujur

tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan atau bertanya kepada orang

lain?

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd.– SMAN 1 Tualang

Materi Ajar Matematika Umum Kelas XI KD 3.3.

DAFTAR PUSTAKA
Irfan, Yusdi. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum Kelas XI. Jakarta: Kemendikbud.
Manullang, Sudianto, dkk. 2017. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta: Kemendikbud.
Sajaka, Kamta Agus, dkk. 2010. Matematika SMA Kelas XII Program IPS. Jakarta Timur: Yudhistira.
Wijayanti, Kristina. 2019. Pendalaman Materi Matematika Modul 2 Aljabar dan Program Linear. Jakarta:

Kemendikbud.
Aksin, Nur, Anna Y.A, Miyanto. 2017. Pegangan Guru PR Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI

Semester 1. Klaten: PT Intan Pariwara.
Tampomas, Husein. 1999. Seribupena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: Erlangga.
Cahyo, Adi Nur, dkk. 2013. Belajar Praktis Matematika Mata Pelajaran Wajib SMA/MA Kelas XI Semester 1.

Klaten: Viva Pakarindo.
Kanginan, Marthen. 2007. Matematika untuk Kelas XII Semester 1 Sekolah Menengah Atas Program Ilmu

Pengetahuan Alam. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta: Erlangga.

©2021, Surasta Sari Dewi, S.Pd.– SMAN 1 Tualang