แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เล่ม 9

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์
เรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทมึ

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5

เล่มที่ 9 การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
และฟังก์ชันลอการิทึม

ศิลาพร รามนั พงษ์
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะครูชานาญการ

โรงเรียนวัชรวทิ ยา อาเภอเมอื ง จังหวดั กาแพงเพชร
สานักงานเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ ก

คำนำ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5 ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนในรายวชิ าคณิตศาสตร์ เพอื่ ใหผ้ เู้ รียน
เกิดการเรียนรู้เขา้ ใจบทเรียนไดด้ ียง่ิ ข้ึน สามารถจดจาเน้ือหาในบทเรียนต่าง ๆ ไดค้ งทน
ทราบความกา้ วหนา้ ของตนเอง สามารถนาแบบฝึกมาทบทวนเน้ือหาเดิมดว้ ยตนเองได้ นอกจากน้ี
ยงั เป็นเคร่ืองบ่งช้ีใหค้ รูมองเห็นจุดเด่นหรือจดุ บกพร่องของนกั เรียนไดอ้ ยา่ งชดั เจน ช่วยในการฝึ ก
ทกั ษะแกป้ ัญหาการเรียนรู้ของผเู้ รียนเป็นรายบคุ คลและเป็ นกลุ่มได้ รวมท้งั ใชเ้ พอ่ื ประเมินผล
ความกา้ วหนา้ ทางการเรียนรู้ และพฒั นาทกั ษะผเู้ รียน ซ่ึงแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั
เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม มีจานวน 9 เล่ม ไดแ้ ก่

เล่มที่ 1 เลขยกกาลงั ทม่ี ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนเตม็
เล่มที่ 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์
เล่มท่ี 3 เลขยกกาลงั ทม่ี ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ
เล่มที่ 4 ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล
เล่มที่ 5 ฟังกช์ นั ลอการิทึม
เล่มท่ี 6 การหาคา่ ลอการิทมึ
เล่มที่ 7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ
เล่มที่ 8 สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทมึ
เล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 5 เล่มน้ี เป็นเล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั
ลอการิทมึ ประกอบดว้ ย คาแนะนาสาหรบั ครู คาแนะนาสาหรับนกั เรียน จุดประสงค์ การเรียนรู้
สาระสาคญั ผลการเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน และหลงั เรียน ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ เฉลย
แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน และหลงั เรียน และบรรณานุกรม

ผจู้ ดั ทาขอขอบพระคุณ นายจานง อินทพงษ์ ผอู้ านวยการโรงเรียนวชั รวทิ ยา และคณะครู
อาจารยท์ ุกทา่ นทีใ่ หค้ าแนะนาและคาปรึกษาท่ดี ี ตลอดจนการใหก้ าลงั ใจในการจดั ทา จนประสบ
ผลสาเร็จดว้ ยดี

ศลิ าพร รามนั พงษ์

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ ข

สำรบัญ หน้ำ
ก
เร่ือง ข
คานา 1
สารบญั 2
คาแนะนาสาหรบั ครู 3
คาแนะนาสาหรบั นกั เรียน 4
ข้นั ตอนการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
มาตรฐานการเรียนรู้ 5
ผลการเรียนรู้ 6
จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 10
แบบทดสอบก่อนเรียน 11
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 11
ใบความรู้ เรื่อง การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 13
1. การเตบิ โตของประชากร 15
16
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 18
2. การเติบโตของจานวนเช้ือแบคทีเรีย 19
22
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 23
3. การสลายตวั ของสารกนั มนั ตรงั สี 24
25
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 26
4. การวดั ระดบั เสียงความเขม้ เสียง 27
30
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 31
5. ระดบั ความเป็นกรด-ด่าง ของสารละลาย
6. เงนิ รวมจากการคิดดอกเบ้ียแบบทบตน้

แบบฝึกทกั ษะที่ 5
แบบทดสอบหลงั เรียน
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
บรรณานุกรม

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม ค

สำรบัญ(ต่อ) หน้ำ

เรื่อง 32
33
ภาคผนวก 34
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 36
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 39
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2 40
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3 41
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4 42
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 5 43
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 44

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 45
การผา่ นเกณฑก์ ารประเมิน
ตารางบนั ทกึ คะแนน เล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล
และฟังกช์ นั ลอการิทมึ

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 1

คาแนะนาสาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม
ใหค้ รูอ่านคาแนะนาและปฏบิ ตั ติ ามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ใชแ้ บบฝึกทกั ษะเล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั
ลอการิทมึ ประกอบดว้ ยแผนการเรียนรูท้ ี่ 15-16 จานวน 2 ชว่ั โมง

2. ครูตอ้ งศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และอ่านเน้ือหาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ
พรอ้ มท้งั ทาความเขา้ ใจกบั เน้ือหาทุกเล่มก่อนการใชง้ าน

3. ครูเตรียมแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ใหค้ รบถว้ นและเพยี งพอกบั จานวนนกั เรียน
4. ครูเตรียมเครื่องมือวดั ผลและประเมินผล เพอ่ื ใหท้ ราบความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
5. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบลาดบั ข้นั ตอนและวธิ ีการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
อยา่ งชดั เจน และประโยชน์ทีไ่ ดร้ บั จากการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
6. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบเกี่ยวกบั บทบาทของนกั เรียนในการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ให้เขา้ ใจ และเนน้ ย้าเรื่องความซื่อสตั ยโ์ ดยไม่ลอกเพอ่ื น ไม่ใหเ้ พอ่ื นทาใหห้ รือไม่ดู
เฉลยก่อนลงมือดว้ ยตนเอง
7. แจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ใหน้ กั เรียนทราบ
8. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรูเ้ ดิมของนกั เรียน
9. ดาเนินการสอนตามกิจกรรมการเรียนรู้ทีก่ าหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรียนรู้
10. ใหน้ กั เรียนศกึ ษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะเล่มท่ี 9 แลว้ เปลี่ยนกนั ตรวจตามเฉลย
11. ครูสงั เกตความต้งั ใจของนกั เรียน ความสนใจในการเรียน ถา้ มีปัญหาครูจะไดท้ าการ
ช่วยเหลือไดท้ นั ที
12. เวลาในการจดั กิจกรรมการเรียนโดยใชแ้ บบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ของนกั เรียนแตล่ ะคน
อาจไม่เท่ากนั ครูควรยดื หยนุ่ ตามความเหมาะสมและสถานการณ์
13. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพอื่ ประเมินความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
14. ครูควรพดู สรุปบทเรียนในแต่ละเรื่องก่อนท่ีจะเริ่มเรียนเรื่องตอ่ ไป
15. ในกรณีที่นกั เรียนคนใดขาดเรียน ใหน้ กั เรียนศกึ ษาเป็นรายบุคคลดว้ ยตนเองนอกเวลา
เรียนจากแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
16. การจดั ช้นั เรียนอาจจดั ใหน้ กั เรียนศึกษาเป็ นรายบคุ คลหรือรายกลุ่มกไ็ ด้

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 2

คาแนะนาสาหรับนักเรียน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ใชเ้ พอื่ ฝึกทกั ษะหลงั จากเรียนเน้ือหาในบทเรียนเสร็จสิ้นแลว้ ซ่ึงนกั เรียนควรปฏิบตั ติ ามคาแนะนา
ต่อไปน้ี

1. อ่านคาช้ีแจงเกี่ยวกบั แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และคาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ สาหรับนกั เรียนใหเ้ ขา้ ใจก่อนลงมือทางานหรือทาการศึกษาทกุ คร้งั

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรู้เดิมของนกั เรียน
3. ศึกษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะ เล่มที่ 9 ถา้ ทาแบบฝึกทกั ษะไม่ได้ ใหศ้ กึ ษา
ใบความรู้ใหม่อีกคร้งั พร้อมท้งั ศกึ ษาตวั อยา่ งหรือปรึกษาครูผสู้ อน
4. เปล่ียนกนั ตรวจแบบฝึกทกั ษะตามเฉลยและบนั ทกึ คะแนนทไ่ี ดไ้ ว้ จากน้นั ร่วมกนั สรุป
องคค์ วามรูโ้ ดยครูคอยช้ีแนะแนวทางและอธิบายเพมิ่ เตมิ
5. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนเพอ่ื ประเมินความกา้ วหนา้ ของตนเองหลงั จากศกึ ษาแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5
เล่มท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม จบแลว้
6. ในการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน ใหน้ กั เรียนพยายามทา
ดว้ ยความต้งั ใจ และมีความซ่ือสตั ยต์ ่อตนเองใหม้ ากทสี่ ุด โดยไม่เปิ ดดูเฉลยก่อน

ต้งั ใจเรียนกนั นะคะเด็กๆ

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 3

ข้นั ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์
เร่ือง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทมึ

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

เล่มท่ี 9 การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทมึ

1. อ่านคาแนะนาสาหรับนักเรียน

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

3. ศึกษาใบความรู้และตัวอย่าง ไม่ผ่านเกณฑ์
- ศึกษาเนือ้ หา ประเมนิ ผล
- ทาแบบฝึ กทักษะ
- ตรวจแบบฝึ กทกั ษะ

4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน

5. ศึกษาแบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์เล่มต่อไป ผ่านเกณฑ์

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 4

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั่
มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical
model) อ่ืนๆ แทนสถานการณ์ตา่ งๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้
แกป้ ัญหา

สาระท่ี 6 ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสารการสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ตา่ ง ๆ
ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิด
ริเริ่มสรา้ งสรรค์

ผลการเรียนรู้

1. มีความคดิ รวบยอดเก่ียวกบั ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล ฟังกช์ นั ลอกริทึม และเขียนกราฟ
ของฟังกช์ นั ที่กาหนดไวใ้ หไ้ ด้

2. นาความรูเ้ ร่ืองฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล ฟังกช์ นั ลอกริทึม ไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 5

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้
นกั เรียนสามารถนาความรู้เร่ืองฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึมไปใช้

แกป้ ัญหาได้

ด้านทักษะกระบวนการ
1. ทกั ษะการแกป้ ัญหา
2. ทกั ษะการคิด

ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์
1. ใฝ่เรียนรู้
2. มีความมุ่งมนั่ ในการทางาน
3. ซ่ือสตั ย์ สุจริต

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 6

แบบทดสอบก่อนเรียน

รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 5

เล่มที่ 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม เวลา 10 นาที

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบุคคลเพอ่ื ประเมินความรู้ของตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คอื ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาสั่ง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถี่ ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่อง

ทตี่ รงกบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

1. จากการคน้ พบเช้ือแบคทีเรียชนิดหน่ึง พบวา่ ทุกๆ หน่ึงชว่ั โมงเช้ือแบคทเี รียจะขยายตวั เป็ น 2 เทา่
ของ เช้ือแบคทเี รียท่ีมีอยใู่ นขณะน้นั ถา้ ในเวลา 12.00 น. มีเช้ือแบคทเี รียอยู่ 10,000 ตวั จงหาเวลาท่ี
เช้ือแบคทเี รียจะมี 15,000 ตวั

ก. ประมาณ 20 นาที
ข. ประมาณ 25 นาที
ค. ประมาณ 30 นาที
ง. ประมาณ 35 นาที

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ที่ 2 – 3

ให้ P0 เป็ นจานวนประชากรในปัจจบุ นั ถา้ จานวนประชากรมีจานวนเป็ นสองเท่าของ
t
จานวนประชากรในปัจจุบนั ในระยะเวลา 60 ปี โดยที่ P(t) = P0 2 60 คอื จานวนประชากรเม่ือ

ผา่ นไป t ปี ในปัจจุบนั มีประชากรจานวน 225 ลา้ นคน

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 7

2. จงหาเวลาทท่ี าใหม้ ีประชากรจานวน 250 ลา้ นคน
ก. 9.1 ปี
ข. 10.2 ปี
ค. 12.2 ปี
ง. 15.5 ปี

3. จงหาจานวนประชากรเมื่อเวลาผา่ นไปอกี 25 ปี
ก. 150,158,657 คน
ข. 250,318,697 คน
ค. 300,338,967 คน
ง. 310,318,017 คน

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ที่ 4 – 6
เดก็ ชายคณิต นาเงนิ 500 บาท ไปฝากธนาคารซ่ึงใหด้ อกเบ้ียในอตั รา 6 % จงหาจานวนเงนิ

ท้งั หมดทเ่ี ดก็ ชายคณิตจะไดร้ บั หลงั จากฝากไปแลว้ 5 ปี

4. ธนาคารจา่ ยดอกเบ้ยี เพยี งคร้งั เดียว
ก. 250 บาท
ข. 450 บาท
ค. 550 บาท
ง. 650 บาท

5. ธนาคารจ่ายดอกเบ้ยี ทุกปี ปี ละ 1 คร้ัง
ก. ประมาณ 429.11 บาท
ข. ประมาณ 549.11 บาท
ค. ประมาณ 669.11 บาท
ง. ประมาณ 919.11 บาท

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 8

6. ธนาคารจา่ ยดอกเบ้ยี ทุกๆ 3 เดือน
ก. ประมาณ 673.43 บาท
ข. ประมาณ 679.43 บาท
ค. ประมาณ 685.43 บาท
ง. ประมาณ 691.43 บาท

7. ใหค้ ร่ึงชีวติ ของอตั ราส่วนของคาร์บอน 14 ต่อคาร์บอน 12 เทา่ กบั 5,730 ปี จงหาวา่ อีกกี่ปี ท่ที า
ใหอ้ ตั ราส่วนดงั กล่าวมีค่าเทา่ กบั (3.25)10 13 ถา้ อตั ราส่วน ณ จดุ เร่ิมตน้ เท่ากบั (1.3) 10 12

ก. ประมาณ 10,160 ปี
ข. ประมาณ 11,560 ปี
ค. ประมาณ 11,460 ปี
ง. ประมาณ 15,150 ปี

8. นกั ชีววทิ ยาไดท้ าการเพาะเช้ือแบคทีเรียท่ีเป็นกลุ่มตวั อยา่ งจานวนหน่ึงพบวา่ มีอตั ราการเตบิ โต
40 % ตอ่ ชวั่ โมง ตอ้ งการทราบวา่ จะมีจานวนแบคทเี รียประมาณก่ีตวั เม่ือเวลาผา่ นไป 10 ชว่ั โมง
ถา้ มีจานวนแบคทเี รีย ณ จุดเร่ิมตน้ 500 ตวั

ก. ประมาณ 27,300 ตวั
ข. ประมาณ 25,450 ตวั
ค. ประมาณ 22,120 ตวั
ง. ประมาณ 20,300 ตวั

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ท่ี 9 – 10
ธาตุโปโลเนียม - 210 ( 210 P0 ) มีคร่ึงชีวติ 140 วนั ถา้ เดิมมีธาตุโปโลเนียมอยู่ 300 มิลลิกรัม

9. จงหา ปริมาณของธาตโุ ปโลเนียมท่เี หลืออยู่ เม่ือเวลาผา่ นไป 1 ปี
ก. ประมาณ 39 มิลลิกรัม
ข. ประมาณ 49 มิลลิกรมั
ค. ประมาณ 65 มิลลิกรัม
ง. ประมาณ 70 มิลลิกรมั

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 9

10. ใชเ้ วลานานกี่วนั จึงจะมีธาตุโปโลเนียมเหลืออยู่ 200 มิลลิกรมั
ก. 12 วนั
ข. 42 วนั b
ค. 72 วนั
ง. 82 วนั

ต้ังในทาแบบทดสอบกนั นะคะ
นักเรียน

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 10

กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทมึ

ชื่อ – สกลุ ..................................................... เลขท่ี.......... ช้นั ..........

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 11

ใบความรู้
เร่ือง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

1. การเติบโตของประชากร

การเจริญเตบิ โตของประชากร ณ เวลาหน่ึงในกรณีที่การเพมิ่ ไม่ไดเ้ ป็ นไปอยา่ งต่อเน่ือง

ตลอดเวลา มีสูตรดงั น้ี

n(t) = n0 (1 r)t
เมื่อ n(t) แทน จานวนประชากรเมื่อเวลาผา่ นไป t

n0 แทน จานวนประชากร ณ จดุ เริ่มตน้
r แทน อตั ราการเติบโตของจานวนประชากรต่อเวลา

t แทน เวลา

ตวั อย่าง 1 ในเวลา 10 ปี ฟาร์มเล้ียวกระตา่ ยแห่งหน่ึงมีกระตา่ ยจานวน 8,500 ตวั
และอตั ราการเตบิ 56% ต่อปี
1. จงหาวา่ ฟาร์มแห่งน้ีมีกระต่าย ณ จุดเริ่มตน้ ประมาณก่ีตวั
2. อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ จะมีจานวนกระตา่ ยประมาณกี่ตวั

วิธีทา 1. จงหาวา่ ฟาร์มแห่งน้ีมีกระตา่ ย ณ จุดเริ่มตน้ ประมาณกี่ตวั

จากสูตร n(t) = n0(1 r)t
แทนค่า 8500 = n0 (1 0.56)10
8500 = n0 (1.56)10
log8.5+3 = log n0 + 10log1.56

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 12

0.9294+3 = log n0 + 10(0.1931)
log n0 = 3.9294 – 1.931

log n0 = 1.9984
n0  100

ตอบ ฟาร์มแห่งน้ีมีกระต่าย ณ จุดเร่ิมตน้ ประมาณ 100 ตวั

2. อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ จะมีจานวนกระตา่ ยประมาณกี่ตวั

จากสูตร n(t) = n0(1 r)t
แทนคา่ n(20) = 100(1+0.56)20

n = 100(1.56)20

log n = 2 + 20 log1.56

= 2 + 20 (0.1931)

= 5.862

n = 7.28 × 105

n = 728,000

ตอบ อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ จะมีจานวนกระต่ายประมาณ 728,000 ตวั

ตวั อย่าง 2 ใน พ.ศ. 2546 พบวา่ มีประชากรของโลกท้งั หมด 6.1 พนั ลา้ นคน และมีอตั รา

การเตบิ โต 1.4% ตอ่ ปี อยากทราบวา่ เมื่อไรประชากรของโลกจะมีจานวนเป็ น

183 พนั ลา้ นคน

วธิ ีทา จากสูตร n(t) = n0 (1 r)t

แทนค่า 183×109 = 6.1×109 (1+0.014)t

30 = 1× (1.014)t

log3+1 = t log 1.014
t= 1.4771
= 0.00645
229 ปี

ดงั น้นั 2546 + 229 = 2779

ตอบ ปี 2779 จะมีจานวนประชากรของโลกเป็น 183 พนั ลา้ นคน

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 13

แบบฝึ กทักษะท่ี 1

คาชี้แจง จงแสดงวธิ ีทาโจทยท์ ่กี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (9 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)
ในปี พ.ศ. 2541 จานวนประชากรของจงั หวดั หน่ึงเท่ากบั 112,000 คน และมีอตั รา

การเติบโตเท่ากบั 4% ตอ่ ปี
1) จงหาจานวนประชากรของจงั หวดั น้ีเมื่อเวลาผ่านไป t ปี
2) จงหาจานวนประกรโดยประมาณหลงั จากเวลาผา่ นไป 3 ปี
3) จงั หวดั น้ี จะมีจานวนประชากร 200,000 คน เม่ือไร

1) จงหาจานวนประชากรของจงั หวดั น้ีเมื่อเวลาผ่านไป t ปี
วิธีทา

2) จงหาจานวนประกรโดยประมาณหลงั จากเวลาผา่ นไป 3 ปี
วิธีทา

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 14

3) จงั หวดั น้ี จะมีจานวนประชากร 200,000 คน เมื่อไร
วธิ ีทา

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 7 – 9 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 4 – 6 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 3 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรบั ปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 15

2. การเตบิ โตของจานวนเชื้อแบคทีเรีย

ซ่ึงเป็ นไปอยา่ งตอ่ เน่ืองตลอดเวลา มีสูตรดงั น้ี

n(t) = n0ert
แทน จานวนประชากรเมื่อเวลาผา่ นไป t
เมื่อ n(t) แทน จานวนประชากร ณ จดุ เร่ิมตน้
n0
r แทน อตั ราการเตบิ โตของจานวนประชากรต่อเวลา
t แทน เวลา

ตัวอย่าง 3 การเจริญเตบิ โตของจานวนเช้ือแบคทีเรียทีเ่ กิดข้ึนอยา่ งต่อเน่ือง n(t) เม่ือเวลาผา่ น

ไป t ชวั่ โมง คือ n(t) = n0 (2.72)0.04t เม่ือ n0 เป็ นจานวนเช้ือแบคทเี รียแรก
จงหาวา่ นานเทา่ ไรทท่ี าใหแ้ บคทีเรีย 10,000 ตวั เพม่ิ ข้ึนเป็ น 30,000 ตวั

วธิ ีทา จากสูตร n(t) = n0ert

แทนค่า 30000 = 10000(2.72)0.04t

3 = (2.72)0.04t

log 3 = 0.04 t log2.27
t= log 3

= 0.04 log2.27
0.4771

0.04 (0.4346)

= 27.44

ตอบ ตอ้ งใชเ้ วลา 27.44 ชว่ั โมงท่ที าใหแ้ บคทีเรีย 10,000 ตวั เพมิ่ ข้ึนเป็ น 30,000 ตวั

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 16

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ีก่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (6 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

จานวนแบคทีเรียในการเพาะเช้ือจลุ ินทรีย์ ใน t ชว่ั โมง มีสูตร n(t) = 500e0.45t
1) จงหาจานวนแบคทีเรีย เม่ือเวลาผา่ นไป 3 ชวั่ โมง
2) เป็นเวลากี่ชวั่ โมง จงึ จะมีแบคทีเรีย 10,000 ตวั

1) จงหาจานวนแบคทีเรีย เม่ือเวลาผา่ นไป 3 ชว่ั โมง
วธิ ีทา

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 17

2) เป็ นเวลาก่ีชวั่ โมง จงึ จะมีแบคทเี รีย 10,000 ตวั
วธิ ีทา

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 18

3. การสลายตัวของสารกนั มันตรังสี

ซ่ึงมีคร่ึงชีวติ เท่ากบั h ปริมาณสารที่เหลืออยู่ มีสูตรดงั น้ี

m(t) = m0ert

เม่ือ m(t) แทน ปริมาณของสารกนั มนั ตรังสีท่ีเหลืออยเู่ ม่ือเวลาผา่ นไป t

m0 แทน ปริมาณของสารกนั มนั ตรงั สี ณ จุดเร่ิมตน้
ln2
r แทน h

ตัวอย่างท่ี 4 ธาตุซีเซียม –137 มีคร่ึงชีวติ 30 ปี ถา้ มีธาตซุ ีเซียมทีเ่ ป็ นกลุ่มตวั อยา่ งจานวน 12 กรัม

1. จงหาปริมาณของซีเซียมที่เหลือ เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี

2. จงหาปริมาณของซีเซียมทเ่ี หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป 60 ปี

3. จะใชเ้ วลานานกี่ปี จึงจะมีซีเซียมเหลือ 6 กรมั

1. จงหาปริมาณของซีเซียมท่ีเหลือ เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี

วธิ ีทา จากสูตร m(t) = m0ert

จะได้ m(t) = 12e (l3n02 )t

2. จงหาปริมาณของซีเซียมทเี่ หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป 60 ปี 12e (l3n02 )60

วธิ ีทา จะได้ m(60) =

= 12e 2ln2

= 12e ln2  2
12
= 4

= 3 กรัม

3. จะใชเ้ วลานานก่ีปี จงึ จะมีซีเซียมเหลือ 6 กรัม 12e (l3n02 )t
วธิ ีทา จะได้ 6 = 2
e(l3n02 )t = ln 2
(l3n02)tln e = 30 ปี
t=

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 19

แบบฝึ กทักษะที่ 3

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ กี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี (9 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

ธาตุซีเซียม –137 มีคร่ึงชีวติ 30 ปี ถา้ มีธาตซุ ีเซียมท่ีเป็ นกลุ่มตวั อยา่ ง
จานวน 10 กรัม

1. จงหาปริมาณของซีเซียมทเ่ี หลือ เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี
2. จงหาปริมาณของซีเซียมทเี่ หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป 80 ปี
3. จะใชเ้ วลานานกี่ปี จงึ จะมีซีเซียมเหลือ 2 กรัม

1. จงหาปริมาณของซีเซียมท่เี หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป t ปี
วิธีทา

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 20

2. จงหาปริมาณของซีเซียมทเ่ี หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป 80 ปี
วธิ ีทา

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 21

3. จะใชเ้ วลานานก่ีปี จงึ จะมีซีเซียมเหลือ 2 กรัม
วธิ ีทา

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 7 – 9 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 4 – 6 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 3 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรบั ปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 22

4. การวดั ระดบั เสียงความเข้มเสียง

เป็นการวดั ความเขม้ เสียง โดยเทียบกบั ความเขม้ เสียงทีห่ ูคนปกติเร่ิมไดย้ นิ เป็ นเกณฑอ์ า้ งอิง
ระดบั ความเขม้ เสียง มีสูตรดงั น้ี

β= 10 log I
I0

เม่ือ β แทน ระดบั ความเขม้ เสียง มีหน่วยเป็นเดซิเบล
I
I0 แทน ความเขม้ เสียงทท่ี าการวดั

แทน ความเขม้ เสียงทห่ี ูคนปกติเร่ิมไดย้ นิ ซ่ึงเท่ากบั 10–12 วตั ต/์ ตารางเมตร

ตัวอย่างที่ 5 จงหาระดบั ความเขม้ เสียงของเคร่ืองบินไอพน่ เมอ่ื กาลงั บินข้นึ สู่ทอ้ งฟ้ ามคี วามเขม้
เสียง 150 วตั ต/์ ตารางเมตร

วิธีทา จากสูตร β= 10 log I
I0
I
150
แทนค่าจะได้ β = 10 log 10 12

= 10 log (150 × 1012)

= 10 [log 1.5 + 14]

= 10 (0.1761 + 14)

= 10(14.1761)

= 141.761

ดงั น้นั ความเขม้ เสียงของเครื่องบินไอพน่ เมื่อกาลงั บินข้ึนสู่ทอ้ งฟ้ า 141.764 เดซิเบล

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 23

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ี่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี (3 คะแนน)

ถา้ ระดบั ความเขม้ เสียงของรถไฟฟ้ า
เท่ากบั 98 เดซิเบล รถไฟฟ้ าน้ีจะมีความเขม้ เสียง
กี่วตั ตต์ อ่ ตารางเมตร

วิธีทา

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 3 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 2 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 1 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรบั ปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 24

5. ระดบั ความเป็ นกรด-ด่าง ของสารละลาย

มีสูตรดงั น้ี

pH =  log[H ]
เมื่อ pH แทน ระดบั ความเป็นกรด – ด่าง ของสารละลาย

[H ] แทน ความเขม้ ขน้ ของประจไุ ฮโดรเจนในสารละลาย 1 ลิตร มีหน่วย
เป็นโมล โดยสารละลายท่มี ี

คา่ pH เทา่ กบั 7 เป็นสารละลายท่มี ีความเป็นกลาง
ค่า pH นอ้ ยกวา่ 7 เป็ นสารละลายทมี่ ีความเป็ นกรด
คา่ pH มากกวา่ 7 เป็ นสารละลายที่มีความเป็ นด่าง

ตัวอย่างท่ี 6 กลุ่มตวั อยา่ งของคนคนหน่ึงมีความเขม้ ขน้ ของประจะไฮโดเจน H เทา่ กบั

3.99×108 โมล จงหาค่า pH พรอ้ มท้งั พจิ ารณาความเป็ นกรด – ด่างของกลุ่ม

ตวั อยา่ งเลือดน้ี

วิธีทา จากสูตร pH =  log[H ]
จะได้ pH =  log(3.99 10 8 )

= [log3.99  (8)]

= –log 3.99 + 8

= –0.6010 + 8

= 7.399

ดงั น้นั เลือดของกลุ่มตวั อยา่ งน้ีมีความเป็นด่าง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 25

6. เงินรวมจากการคดิ ดอกเบยี้ แบบทบต้น

มีสูตรดงั น้ี A= P1 r  nt
n 
เม่ือ A 
P
r แทน เงินรวม
n
t แทน เงนิ ตน้

แทน อตั ราดอกเบ้ยี

แทน จานวนคร้ังที่จ่ายต่อปี

แทน จานวนปี

ตัวอย่างท่ี 7 เงินตน้ 1,000 บาท อตั ราดอกเบ้ยี 6% โดยจา่ ยดอกเบ้ยี ปี ละ 4 คร้งั จงหาเงินรวม

เม่ือครบ 10 ปี

วิธีทา จากสูตร A= P1 r  nt
จะได้ n 


A= 10001 0.06  40
4 


= 1000 (1 + 0.015)40

= 1000 (1.015)40

log A = 3 + 40 log 1.015

= 3 + 40 (0.00645)

log A = 3.258

A = 1.81 × 103

= 1,810
ดงั น้นั เงินรวมเม่ือครบ 10 ปี 1,810 บาท

แบบฝึ กทกั ษะที่ 5

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 26

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ กี่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (3 คะแนน)
ถา้ ค่า pH ของนมชนิดหน่ึงเทา่ กบั 6.5 จงหาความเขม้ ขน้ ของประจุไฮโดรเจน H ในนมน้ี
วธิ ีทา

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั แษบะบทดสอดบี หลงั เรียน พอใช้  ปรับปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 27

รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 5

เล่มท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ เวลา 10 นาที

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนัย 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบุคคลเพอื่ ประเมินความรู้ของตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คอื ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาสั่ง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถี่ ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่องทีต่ รง

กบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ที่ 1 – 2
ธาตุโปโลเนียม - 210 ( 210 P0 ) มีคร่ึงชีวติ 140 วนั ถา้ เดิมมีธาตโุ ปโลเนียมอยู่ 300 มิลลิกรมั

1. ใชเ้ วลานานกี่วนั จึงจะมีธาตุโปโลเนียมเหลืออยู่ 200 มิลลิกรมั
ก. 82 วนั
ข. 72 วนั
ค. 42 วนั b
ง. 12 วนั

2. จงหา ปริมาณของธาตโุ ปโลเนียมทีเ่ หลืออยู่ เมื่อเวลาผา่ นไป 1 ปี
ก. ประมาณ 70 มิลลิกรมั
ข. ประมาณ 65 มิลลิกรมั
ค. ประมาณ 49 มิลลิกรัม
ง. ประมาณ 39 มิลลิกรัม

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ที่ 3 – 5

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 28

เด็กชายคณิต นาเงิน 500 บาท ไปฝากธนาคารซ่ึงใหด้ อกเบ้ียในอตั รา 6 % จงหาจานวนเงนิ
ท้งั หมดทเี่ ด็กชายคณิตจะไดร้ บั หลงั จากฝากไปแลว้ 5 ปี

3. ธนาคารจา่ ยดอกเบ้ียทกุ ปี ปี ละ 1 คร้งั
ก. ประมาณ 919.11 บาท
ข. ประมาณ 669.11 บาท
ค. ประมาณ 549.11 บาท
ง. ประมาณ 429.11 บาท

4. ธนาคารจ่ายดอกเบ้ยี เพยี งคร้งั เดียว
ก. 650 บาท
ข. 550 บาท
ค. 450 บาท
ง. 250 บาท

5. ธนาคารจ่ายดอกเบ้ียทกุ ๆ 3 เดือน
ก. ประมาณ 691.43 บาท
ข. ประมาณ 685.43 บาท
ค. ประมาณ 679.43 บาท
ง. ประมาณ 673.43 บาท

6. ใหค้ ร่ึงชีวติ ของอตั ราส่วนของคาร์บอน 14 ต่อคาร์บอน 12 เท่ากบั 5,730 ปี จงหาวา่ อีกกี่ปี ท่ีทา
ใหอ้ ตั ราส่วนดงั กล่าวมีค่าเท่ากบั (3.25)10 13 ถา้ อตั ราส่วน ณ จดุ เร่ิมตน้ เทา่ กบั (1.3) 10 12

ก. ประมาณ 15,150 ปี
ข. ประมาณ 11,460 ปี
ค. ประมาณ 11,560 ปี
ง. ประมาณ 10,160 ปี

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 29

7. นกั ชีววทิ ยาไดท้ าการเพาะเช้ือแบคทเี รียที่เป็นกลุ่มตวั อยา่ งจานวนหน่ึงพบวา่ มีอตั ราการเติบโต
40 % ต่อชว่ั โมง ตอ้ งการทราบวา่ จะมีจานวนแบคทีเรียประมาณก่ีตวั เมื่อเวลาผา่ นไป 10 ชว่ั โมง
ถา้ มีจานวนแบคทีเรีย ณ จุดเร่ิมตน้ 500 ตวั

ก. ประมาณ 27,300 ตวั
ข. ประมาณ 25,450 ตวั
ค. ประมาณ 22,120 ตวั
ง. ประมาณ 20,300 ตวั

ใชเ้ ป็นคาถามขอ้ ที่ 8 – 9

ให้ P0 เป็ นจานวนประชากรในปัจจบุ นั ถา้ จานวนประชากรมีจานวนเป็ นสองเท่าของ
t
จานวนประชากรในปัจจุบนั ในระยะเวลา 60 ปี โดยท่ี P(t) = P0 คอื จานวนประชากรเมื่อ
2 60

ผา่ นไป t ปี ในปัจจุบนั มีประชากรจานวน 225 ลา้ นคน

8. จงหาจานวนประชากรเมื่อเวลาผา่ นไปอีก 25 ปี

ก. 310,318,017 คน

ข. 300,338,967 คน

ค. 250,318,697 คน

ง. 150,158,657 คน

9. จงหาเวลาทท่ี าใหม้ ีประชากรจานวน 250 ลา้ นคน
ก. 15.5 ปี
ข. 12.2 ปี
ค. 10.2 ปี
ง. 9.1 ปี

10. จากการคน้ พบเช้ือแบคทีเรียชนิดหน่ึง พบวา่ ทกุ ๆ หน่ึงชวั่ โมงเช้ือแบคทเี รียจะขยายตวั เป็ น 2
เท่าของ เช้ือแบคทเี รียทม่ี ีอยใู่ นขณะน้นั ถา้ ในเวลา 12.00 น. มีเช้ือแบคทเี รียอยู่ 10,000 ตวั จงหา
เวลาทเี่ ช้ือแบคทเี รียจะมี 15,000 ตวั

ก. ประมาณ 35 นาที
ข. ประมาณ 30 นาที
ค. ประมาณ 25 นาที
ง. ประมาณ 20 นาที

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 30

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เรื่อง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ชื่อ – สกุล..................................................... เลขท.ี่ ......... ช้นั ..........
ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

บรรณานุกรม

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 31

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และคณะ. แบบฝึ กหัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ พนื้ ฐาน
ช่วงช้ันท่ี 4 ม.5 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พเ์ ดอะบุคส์ จากดั , 2554.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. คู่มอื ประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ เพ่ิมเติม ม. 4-6 เล่ม 3.
กรุงเทพฯ : พ.ศ. พฒั นา จากดั , 2554.

สมทบ เล้ียงนิรตั น์ และคณะ. แบบฝึ กหัด คณติ ศาสตร์ ม.4-6 เพ่มิ เติม เล่ม 3. กรุงเทพฯ : วบี คุ๊
จากดั , 2558.

สมยั เหล่าวานิชย.์ คณติ ศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชช่ิง, 2555.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี 0 สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์

เล่ม 1 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 5. กรุงเทพฯ : คุรุสภา
ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพม่ิ เติมคณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 5. กรุงเทพฯ : คุรุสภา ลาดพรา้ ว, 2547.

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 32

ภาคผนวก

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 33

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
เร่ือง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ข้อ คาตอบ
1ง
2ก
3ค
4ง
5ค
6ก
7ค
8ก
9ข
10 ง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 34

เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 1

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (9 คะแนน ขอ้ ละ 10 คะแนน)

ในปี พ.ศ. 2541 จานวนประชากรของจงั หวดั หน่ึงเท่ากบั 112,000 คน และมีอตั รา
การเตบิ โตเทา่ กบั 4% ตอ่ ปี

1) จงหาจานวนประชากรของจงั หวดั น้ีเมื่อเวลาผา่ นไป t ปี
2) จงหาจานวนประกรโดยประมาณหลงั จากเวลาผา่ นไป 3 ปี
3) จงั หวดั น้ี จะมีจานวนประชากร 200,000 คน เมื่อไร

1) จงหาจานวนประชากรของจงั หวดั น้ีเมื่อเวลาผา่ นไป t ปี

วธิ ีทา จากสูตร n(t) = n0(1 r)t
n(t) = 112,000(1+0.04)t

= 112,000(1.04)t

ดงั น้นั เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี จะมีจานวนประชากรเทา่ กบั 112,000(1.04)t

2) จงหาจานวนประกรโดยประมาณหลงั จากเวลาผา่ นไป 3 ปี
วิธีทา t = 3 จะได้ n(3) = 112,000(1+0.04)3

= 112,000(1.124864)
= 125,984.76
 126,000
ดงั น้นั จะมีจานวนประกรโดยประมาณ126,000 คน เมื่อเวลาผา่ นไป 3 ปี

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 35

3) จงั หวดั น้ี จะมีจานวนประชากร 200,000 คน เม่ือไร
200,000
วิธีทา 112,000  (1.04)t

1.79 = (1.04)t

log(1.04)t = log1.79

t log 1.04 = log1.79
log1.79
t = log1.04

= 0.2529
0.0170
 14.8765

 15

จะไดว้ า่ ปี พ.ศ. 2541 + 15 = 2556

ดงั น้นั อีก 15 ปี หรือ ปี พ.ศ. 2556 จะมีจานวนประชากร 200,000 คน

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 36

เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 2

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี (6 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

จานวนแบคทเี รียในการเพาะเช้ือจุลินทรีย์ ใน t ชวั่ โมง มีสูตร n(t) = 500e0.45t
1) จงหาจานวนแบคทเี รีย เม่ือเวลาผา่ นไป 3 ชวั่ โมง
2) เป็นเวลากี่ชว่ั โมง จึงจะมีแบคทีเรีย 10,000 ตวั

1) จงหาจานวนแบคทีเรีย เม่ือเวลาผา่ นไป 3 ชว่ั โมง

วธิ ีทา จากโจทย์ n(t) = 500e 0.45t

t= 3

จากสูตร n(t) = n 0e rt
จะได้ n(3) = 500e 0.45(3)

log n(3) = log500e1.35

= log500  log e1.35

= (log 5 + 2) + (1.35log e)

= (0.6990 + 2) + 1.35(0.4343)

= 2.6990 + 0.5863

= 3.2853

= 3 + 0.2853

จาก log n(3) = 3 + 0.2853

= log 1.9287

= log (103×1.9287)

= log 1929.7

n(3) = 1,928.7

 1,929

ดงั น้นั เม่ือเวลาผา่ นไป 3 ชว่ั โมง จะมีจานวนแบคทเี รียประมาณ 1,929 ตวั

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 37

2) เป็นเวลาก่ีชวั่ โมง จงึ จะมีแบคทเี รีย 10,000 ตวั

วธิ ีทา จากโจทย์ n(t) = 500e 0.45t

t= ?

n(t) = 10,000

จะได้ n(t) = 10,000 = 500e 0.45t

20 = e0.45t

ln20 = ln e0.45t

loge 20 = (0.45t)ln e
log20 = (0.45 t)(1)
log e =
= 0.45 t
log2 1 0.3010 1
0.4343 0.4343(0.45)
1.3010
t 0.1954
6.6581
=



7

ดงั น้นั จะมีแบคทีเรีย 10,000 ตวั เมื่อเวลา 7 ชว่ั โมง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 38

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 3

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ กี่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (9 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

ธาตซุ ีเซียม –137 มีคร่ึงชีวติ 30 ปี ถา้ มีธาตุซีเซียมทเ่ี ป็ นกลุ่มตวั อยา่ ง
จานวน 10 กรัม

1. จงหาปริมาณของซีเซียมทเ่ี หลือ เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี
2. จงหาปริมาณของซีเซียมทีเ่ หลือ เม่ือเวลาผา่ นไป 80 ปี
3. จะใชเ้ วลานานก่ีปี จึงจะมีซีเซียมเหลือ 2 กรัม

1. จงหาปริมาณของซีเซียมทีเ่ หลือ เม่ือเวลาผา่ นไป t ปี

วธิ ีทา จากสูตร m(t) = m0ert

r = ln2  0.6931
h h
h = 30

m0 = 10
r= ln2
30
 0.6931

 30
0.0231

จะได้ m(t) = m0ert

m(t) = 10e (0.0231)t

ดงั น้นั เมื่อเวลาผา่ นไป t ปี จะมีปริมาณของซีเซียมท่ี เหลือคอื 10e (0.0231)t

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 39

2. จงหาปริมาณของซีเซียมทเ่ี หลือ เมื่อเวลาผา่ นไป 80 ปี
วิธีทา จากสูตร m(t) = m0ert
แทนคา่ m(80) = 10e (0.023)(80)
= 10e 1.848
log m(80) = log10e 1.848
= log10 + log e1.848
= 1 – 1.848 log e
= 1 – (1.848) (0.4343)
= 1 – 0.8026
= 0.1974
จาก log m(80) = 0.1974
= log 1.575
m(80) = 1.575
ดงั น้นั ปริมาณของซีเซียมท่ีเหลือเมื่อเวลาผา่ นไป 80 ปี คือ ประมาณ 1.575 กรมั

3. จะใชเ้ วลานานกี่ปี จงึ จะมีซีเซียมเหลือ 2 กรมั = m0ert
วิธีทา จากสูตร m(t) 10e (0.0231)t
= e  0.0231t
m(2) = –0.0231 t ln e
= –0.0231 t
0.2 =
(2.3026) log 0.2 = t
(2.3026) log (2×10–1)
2.3026(log 2 1) = 2.3026(0.3010 1)
0.0231
0.0231
t 2.3026( 0.6990)
1.60905.0231
= 0.0231
69.68
=



การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 40

t  70
ดงั น้นั จะใชเ้ วลาประมาณ 70 ปี จงึ จะมีซีเซียมเหลืออยู่ 2 กรัม

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 4

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (3 คะแนน)

ถา้ ระดบั ความเขม้ เสียงของรถไฟฟ้ า
เท่ากบั 98 เดซิเบล รถไฟฟ้ าน้ีจะมีความเขม้ เสียง
กี่วตั ตต์ ่อตารางเมตร

วิธีทา จากสูตร β = 10 log I
โจทยก์ าหนด I0
I =
จะได้ β = ?
I0 =
98 98
=
9.8 10–12 I
=
= 10 log 10  12
=
= log I – log 10–12
=
= log I – (–12)
=
= log I + 12
=
9.8 – 12 = log I
log I
I –2.2

หรือ log I 10–2.2

–2.2

0.8 – 3

log 6.31 + log 10–3

log (6.31 × 10–3)

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 41

I = 6.31 × 10–3
ดงั น้นั รถไฟฟ้ าน้ีมีความเขม้ เสียงเทา่ กบั 10–2.2 วตั ตต์ ่อตาราเมตร

หรือ 6.31 × 10–3 วตั ตต์ ่อตาราเมตร

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 5

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาโจทยท์ ่กี าหนดใหต้ ่อไปน้ี (3 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

ถา้ คา่ pH ของนมชนิดหน่ึงเท่ากบั 6.5 จงหาความเขม้ ขน้ ของประจไุ ฮโดเจน H ในนมน้ี

วิธีทา จากสูตร pH =  log[H ]

จะได้ 6.5 =  log[H ]
6.5 = log[H ] 1
log[H ] 1
log10 6.5 = [H ]1
106.5 =

106.5 1 =  [H ] 1 1
[H ] =
10  6.5

ดงั น้นั ความเขม้ ขน้ ของประจุไฮโดเจน H ในนมน้ี คือ 106.5 โมล

คา่ pH นอ้ ยกวา่ 7 เป็ นสารละลายที่มีความเป็ นกรด

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 42

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทมึ

ข้อ คาตอบ
1ก
2ค
3ข
4ก
5ง
6ข
7ก
8ข
9ง
10 ก

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 43

เกณฑ์การให้คะแนน

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1–5 : เติมขอ้ ความลงในช่องวา่ งไดถ้ ูกตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดไดถ้ ูกตอ้ ง ครบถว้ น ให้ 3 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดไดถ้ ูกตอ้ ง แตเ่ ขียนไม่ครบถว้ น ให้ 2 คะแนน
- แสดงวธิ ีคดิ ถูกตอ้ งบางส่วน และเขยี นไม่ครบถว้ นให้ 1 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดไม่ถูกตอ้ ง และเขียนไม่ครบถว้ นให้ 0 คะแนน
- ไม่เขียนแสดงวธิ ีคดิ หรือไม่เขียนใดๆ เลย ให้ 0 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน : ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน

ด้านทักษะกระบวนการ
- ทกั ษะการสื่อสาร
- ทกั ษะการคิด และทกั ษะการแกป้ ัญหา
แบ่งการใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรบั ปรุง

ด้านคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
มีวนิ ยั ใฝ่ เรียนรู้ และมุ่งมนั่ ในการทางาน
แบง่ การใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ 44

การผ่านเกณฑ์การประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1 – 5 นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้ึนไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้ึนไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้ึนไป

ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้ึนไป

การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม 45

ตารางบนั ทกึ คะแนน
เร่ือง การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทมึ

ชื่อ ........................................................................... เลขที่ .............. ช้นั .....................

รายการ คะแนนเตม็ คะแนนท่ีทาได้ คดิ เป็ นร้อยละ สรุปผล
ผ่าน ไม่ผ่าน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 9
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 6
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 9
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 3
แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 3
10
แบบทดสอบหลงั เรียน 50
รวม

วธิ ีคดิ คะแนน

ใหน้ กั เรียนนาคะแนนของตนเองในแต่ละรายการคูณกบั 100 แลว้ หารดว้ ยคะแนนเตม็
ของแตล่ ะรายการ

ตัวอย่าง นายวนิ ยั ไดค้ ะแนนจากแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 ได้ 7 คะแนน จากคะแนนเตม็

10 คะแนน 7  100
10
คดิ เป็นร้อยละไดด้ งั น้ี  70.00

ดงั น้นั นายวนิ ยั มีคะแนน 70% และไม่ผา่ นการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะท่ี 1