แบบฝึกทักษะ-เรื่อง-อัตราส่วนตรีโกณมิติ-เล่ม-8

แบบฝึกทกั ษะ เร่ือง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ

วิชาคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน รหสั วิชา ค31102

ตรงตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551

ระดบั ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4

8เล่มที่ การนาอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ
ไปประยกุ ตใ์ ช้

C

60 B

A 150 เมตร

นางภัคจิรา กิตตสิ ริ บิ ณั ฑิต

วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา จังหวัดกาแพงเพชร
สานกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41
สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

เลมท่ี 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช ก

คาํ นํา

แบบฝก ทกั ษะ เร่ือง อตั ราสว นตรีโกณมติ ิ วิชาคณิตศาสตรพ นื้ ฐาน รหสั วชิ า ค31102
ระดับชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 โรงเรยี นวัชรวิทยา จังหวัดกาํ แพงเพชร สํานกั งานเขตพืน้ ทีก่ ารศึกษา
มธั ยมศกึ ษา เขต 41 จดั ทาํ ขึ้นเพ่อื ใชใ นการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตรพืน้ ฐาน มงุ เนนใหผ ูเรยี น
มคี วามรู มีทักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร สามารถแกโจทยป ญ หาไดอ ยางถูกตอง พฒั นา
ทกั ษะ กระบวนการคดิ คดิ อยา งมีเหตุผลเชอื่ มโยงความรูไดอยางสรา งสรรค ซึ่งเปน พืน้ ฐาน
การคาํ นวณ และมที ักษะกระบวนการคิดในระดับช้ันท่สี ูงข้ึนไป แบบฝก ทักษะ เร่อื ง อตั ราสวน
ตรีโกณมติ ิ วิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน รหสั วิชา ค 31102 ระดบั ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 นีม้ ที ้ังหมด
8 เลม ไดแก

เลม ที่ 1 เรือ่ ง ความรูพื้นฐานเกยี่ วกับความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส
เลม ท่ี 2 เรอื่ ง อตั ราสว นตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
เลม ที่ 3 เรอ่ื ง อัตราสวนตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60
เลม ที่ 4 เรือ่ ง อตั ราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมิติ
เลม ที่ 5 เรอ่ื ง การหาคาอัตราสว นตรโี กณมิตขิ องมมุ 0  90 จากตาราง
เลมที่ 6 เร่อื ง ความสัมพนั ธระหวางอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ
เลมที่ 7 เร่อื ง การประยุกตของอัตราสว นตรีโกณมิตเิ พื่อแกปญ หาสามเหล่ียม
เลมที่ 8 เรอ่ื ง การนาํ อัตราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใช

สาํ หรับแบบฝก ทกั ษะ เลม ท่ี 8 เรอ่ื ง การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช
ประกอบดวย คาํ แนะนาํ ในการใชแ บบฝกทกั ษะ ใบความรู แบบฝก ทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรียน
และแบบทดสอบหลังเรียน เฉลยแบบฝก ทักษะ และเฉลยแบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบ
หลังเรียน ใชเวลาทัง้ หมด 3 ชวั่ โมง

หวงั วา แบบฝก ทกั ษะ เรื่อง อัตราสวนตรโี กณมติ ิ วิชาคณติ ศาสตรพ น้ื ฐาน
รหัสวชิ า ค31102 ระดบั ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 4 จะเปน ประโยชนกบั ครูผูสอนวชิ าคณติ ศาสตร
ในการนาํ ไปใชเ ปนแบบฝก ทกั ษะในการเรยี นใหกับนักเรียนตอ ไป และมีสว นชว ยใหน ักเรียน
ไดเ กิดการเรียนรูอยางเปนระบบ เพอ่ื ยกระดบั คุณภาพการศึกษาใหมีประสทิ ธภิ าพย่งิ ข้นึ

ภัคจิรา กิตตสิ ริ บิ ณั ฑิต

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช ข

สารบญั หนา

เรอ่ื ง ก
ข
คาํ นํา ค
สารบญั ง
คําช้ีแจงการใชแ บบฝก ทักษะสําหรบั ครู จ
คําชี้แจงการใชแ บบฝก ทักษะสาํ หรับนกั เรียน ฉ
เกณฑการใหคะแนนแบบฝก ทกั ษะ 1
มาตรฐานการเรยี นรู ตวั ช้ีวดั และจุดประสงคก ารเรียนรู 4
แบบทดสอบกอ นเรียน 10
ใบความรูท ี่ 8.1 15
แบบฝกทกั ษะท่ี 8.1.1 18
แบบฝก ทักษะที่ 8.1.2 23
แบบฝกทักษะท่ี 8.1.3 26
แบบฝกทักษะท่ี 8.1.4 29
แบบทดสอบหลังเรยี น 30
แบบบนั ทกึ คะแนน 31
บรรณานุกรม 32
เฉลยแบบฝก ทักษะ 32
36
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น 38
เฉลยแบบฝกทักษะที่ 8.1.1 41
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 8.1.2 43
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 8.1.3
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 8.1.4
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

เลม ที่ 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช ค

คําช้แี จงการใชแบบฝกทกั ษะสาํ หรบั ครู

1. ครูเตรียมแบบฝกทักษะ เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมิติ สําหรบั นักเรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษา
ปที่ 4 ใหครบตามจาํ นวนนักเรียน

2. ศึกษาคมู อื ครกู ารใชแบบฝก ทักษะคณติ ศาสตรใ หเ ขา ใจ
3. ชแี้ จงขัน้ ตอนการเรยี นโดยใชแ บบฝก ทกั ษะคณติ ศาสตรนีใ้ หน ักเรียนเขาใจ
4. ใหนักเรียนทาํ แบบทดสอบกอ นเรียน กอนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู ทาํ แบบฝก ทักษะ

และตรวจคําตอบตามเฉลยในภาคผนวกทีละแบบฝกทักษะ
5. ดแู ลนกั เรียนใหปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนและใหคําแนะนาํ เมื่อนกั เรียนพบปญหา
6. ประเมินผลการเรียนของนกั เรียนอยางตอเนื่องและใหแ รงเสริมในการปฏบิ ัติกจิ กรรม

ของนกั เรยี น
7. ใหนกั เรยี นทาํ แบบทดสอบหลงั เรยี น เมอื่ ศึกษาเนื้อหาจากใบความรูและ

ทําแบบฝกทกั ษะเสรจ็ สิน้
8. บันทกึ ผลการประเมนิ หลังการจดั การเรียนรูโดยใชแ บบฝกทกั ษะทุกครงั้
9. แบบฝก ทกั ษะเลมนี้ สามารถใชกจิ กรรมการเรียนรู หรือใชสอนซอ มเสริมกับนักเรียน

ทเ่ี รยี นชา หรือเรยี นไมทนั เพ่ือน
10. ครอู าจปรับเปลย่ี นกจิ กรรมการเรยี นรไู ดตามเหมาะสมกบั นักเรยี นและสถานการณ

ทีน่ ําไปใช

เลม ที่ 8 การนําอตั ราสวนตรโี กณมติ ไิ ปประยุกตใ ช ง

คาํ ช้ีแจงการใชแบบฝกทักษะสาํ หรับนักเรียน

แบบฝก ทักษะ เรื่อง อัตราสวนตรโี กณมติ ิ สาํ หรับนักเรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 4 มีท้ังหมด
8 เลม และเลมนี้เปนเลม ที่ 8 เร่อื ง การนาํ อตั ราสวนตรโี กณมติ ิไปประยกุ ตใช เพ่อื ใชสําหรบั
ประกอบการเรียนรูในวชิ าคณิตศาสตรพ ้ืนฐาน รหสั วชิ า ค31102 นกั เรียนควรศกึ ษาและ
อา นคําชแี้ จงการใชแ บบฝกทักษะใหเ ขาใจและปฏิบตั ติ ามข้ันตอนดังตอ ไปนี้

1. แบบฝกทกั ษะเลม นี้ทําขน้ึ เพ่ือใหน ักเรียนไดพัฒนาการเรียนรขู องตนเองเพอื่ แกป ญ หา
การเรียนรู เรือ่ ง อัตราสว นตรีโกณมิติ

2. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรแตล ะเลม ใหน ักเรียนปฏบิ ัติดังน้ี
2.1 ศึกษาขนั้ ตอนการใชแบบฝกทักษะใหเขาใจชัดเจน
2.2 นกั เรียนศกึ ษาจุดประสงคการเรยี นรใู หเ ขาใจกอนลงมือปฏิบัติ
2.3 นกั เรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน จํานวน 10 ขอ ตามความเขาใจ
ของตนเองดว ยความซ่อื สัตย แลว ตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอ นเรียนในภาคผนวกแลวบันทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน
2.4 นกั เรียนศกึ ษาและทาํ ความเขาใจใบความรแู ละทําแบบฝกทกั ษะดว ยตนเอง
และตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะแบบฝกทักษะตามลําดับ
เมอ่ื พบปญ หาใหขอคําแนะนําจากครทู นั ที
2.5 เมอื่ นกั เรียนศกึ ษาและฝก ทาํ กจิ กรรมเสร็จแลว ใหท ําแบบทดสอบหลังเรยี น
แลว ตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียนในภาคผนวกแลวบนั ทึก
คะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

3. การประเมนิ ผลการเรียน นักเรยี นจะตองทําถกู รอยละ 80 ข้นึ ไป ของจาํ นวนขอ
ทง้ั หมดในแตล ะแบบฝก ทักษะ จึงผา นเกณฑการประเมินของแตละแบบฝก ทักษะ
3.1 ผา นเกณฑการประเมนิ ใหศกึ ษาแบบฝกทักษะชดุ ตอไป
3.2 ไมผา นเกณฑการประเมินใหยอ นกลบั ไปศึกษาและทําความเขา ใจเน้ือหา
จากใบความรแู ละทําแบบฝกทักษะดวยตนเองใหม

ศึกษาแบบฝก ทักษะดวยความต้ังใจ
เพ่ือพฒั นาทักษะทางคณิตศาสตร

ใหด ีย่งิ ข้นึ ไป

เลมท่ี 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใ ช จ

เกณฑการใหค ะแนนแบบฝก ทกั ษะ

1. แบบทดสอบกอนเรยี นและแบบทดสอบหลงั เรียน

แบบทดสอบกอ นเรียนและหลงั เรยี น เปนแบบเลอื กตอบ มี 4 ตัวเลือก โดยมเี กณฑ

การใหค ะแนน ดงั น้ี

- เลอื กคําตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลือกคําตอบไมถูกตอ งหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

2. แบบฝก ทกั ษะ

แบบฝกทักษะในแตละขอมีการใหค ะแนนไมเทากนั ใหเ ลือกใชใ หถ ูกตอง ดังน้ี

ระดบั คะแนน เกณฑการใหคะแนน
1
คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธีทาํ ทมี่ ปี ระสิทธภิ าพ
0 โดยแสดงวิธีคดิ เปน ระบบและการคดิ วิเคราะห

คาํ ตอบไมถูกตอง มกี ารแสดงวธิ ที าํ แตไมสมบูรณ
หรอื แสดงวิธที ําไมถ กู ตอง

ระดบั คะแนน เกณฑการใหค ะแนน
2
1 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทําที่มีประสิทธภิ าพ
0 โดยแสดงวิธคี ดิ เปน ระบบและการคดิ วิเคราะห

คาํ ตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทําแตไ มสมบรู ณ
คาํ ตอบไมถกู ตอง มีการแสดงวธิ ที าํ แตไ มสมบรู ณ
หรอื แสดงวธิ ที าํ ไมถ กู ตอ ง

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมติ ิไปประยุกตใ ช ฉ

มาตรฐานการเรยี นรู ตวั ชีว้ ัด และจดุ ประสงคการเรยี นรู

มาตรฐานการเรียนรูแ ละตัวชี้วัด
สาระท่ี 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา ใจพนื้ ฐานเกย่ี วกับการวัด วดั และคาดคะเนขนาดของ
สิ่งทตี่ องการวัด
ตวั ช้วี ัด ม.4-6/1 ใชค วามรูเรื่อง อัตราสวนตรีโกณมิติของมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสูง
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเก่ยี วกับการวดั
ตัวชว้ี ัด ม.4-6/1 แกโ จทยป ญหาเกี่ยวกบั ระยะทางและความสงู โดยใช
อัตราสวนตรีโกณมติ ิ

จุดประสงคการเรียนรู

ดา นความรู (Knowledge)
1. นักเรยี นสามารถใชอ ัตราสว นตรีโกณมิติแกปญหาโจทยบ างอยา งเกี่ยวกบั
การหาความสูงและการหาระยะทางได

ดา นทักษะกระบวนการ (Process)
1. มคี วามสามารถในการแกป ญหา
2. มคี วามสามารถในการใหเ หตุผล
3. มีความสามารถในการส่ือสาร การส่อื ความหมายทางคณิตศาสตรแ ละการนําเสนอ

ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (Attitude) พรอมเรยี นแลว ครบั
1. ซอ่ื สตั ยส จุ ริต
2. มีวนิ ยั
3. ใฝเรยี นรู
4. มงุ ม่นั ในการทาํ งาน

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมิตไิ ปประยุกตใช 1

แบบทดสอบกอนเรยี น

คําชแี้ จง (1.) ใหน ักเรียนเลือกขอท่ีถูกทส่ี ดุ เพยี งคาํ ตอบเดียว แลวทําเคร่อื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑการใหคะแนน ดงั นี้

- เลือกคาํ ตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถูกตอ งหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. สามเหลีย่ มมุมฉากรูปหน่งึ มมี มุ แหลมมมุ หนึง่ กาง 30 องศา และดานท่ยี าวท่ีสดุ ยาว 4 3

ขอ ใดเปนดานทสี่ ัน้ ทสี่ ุด

ก. 2 3 หนวย ข. 4 3 หนว ย

ค. 2 หนว ย ง. 4 หนวย

2. ชายคนหนึง่ ตองการวัดสว นกวา งของแมนํ้า เขายนื อยรู ิมฝงท่ีจุด A หลงั มองขามไปจุด B ซง่ึ อยูตรง

ขามเปน ระยะที่สัน้ ทส่ี ดุ แลวเขาเดินเลียบฝง แมน ํ้าไปเปน ระยะทาง 100 เมตร ซ่ึงก็หยุดอยทู จ่ี ุด C
วัดมุม ACB ได 40 องศา จงหาความกวางของแมนํ้า (กําหนด tan 40= 0.839)

ก. 0.839 เมตร ข. 8.390 เมตร

ค. 83.90 เมตร ง. 839 เมตร

3. สวุ ัฒนย นื อยูบนพ้ืนดิน ณ จดุ หนงึ่ มองดยู อดเสาธงเปนมมุ เงย 60 องศา ถาสุวฒั นย ืนอยูหางจากเสาธง

เปนระยะ 100 เมตร ขอ ใดเปนความสงู ของเสาธง ข. 100 เมตร
ก. 100 เมตร 3

ค. 100 3 เมตร ง. 3 เมตร
100

4. ณเดชยืนอยบู นหนาผาสงู 100 เมตร มองเห็นเรอื ลอยอยูในทะเลในแนวเดียวกบั เชงิ ผาเปนมมุ กม

30 องศา จงหาวาเรือลํานีอ้ ยหู างจากเชงิ ผากเี่ มตร ข. 100 เมตร
ก. 100 เมตร 3

ค. 100 3 เมตร ง. 3 เมตร
100

เลม ที่ 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมิติไปประยุกตใช 2

5. กปั ตนั นําบนั ไดยาว 60 ฟุต พาดเขา กับกําแพงใหป ลายบนของบนั ไดอยชู ดิ กบั ขอบบนของกําแพงพอดี

เขาสังเกตเหน็ วาบันไดทาํ มุม 30 องศา กบั พืน้ ราบ ขอ ใดเปนความสูงของกาํ แพง

ก. 30 ฟุต ข. 60 ฟุต

ค. 120 ฟตุ ง. 150 ฟตุ

6. เนตรนารีคนหนง่ึ สูง 170 เมตร ยนื หา งเสาธง 120 เมตร เธอมองดยู อดเสาธงเปน มุมเงย 45 องศา

ขอใดเปน ความสงู ของเสาธง

ก. 120 เมตร ข. 290 เมตร

ค. 320 เมตร ง. 490 เมตร

7. ฉันมองเห็นตน ไมซ ึ่งอยูบนฝง ตรงขามกบั แมน ้ํา เมือ่ ฉันเดินเลยี บฝง ไปไดทาง 150 เมตร กม็ องเห็นตน ไม

ตน เดิมทาํ มุมกบั ฝง 30 องศา ดังน้ันแมน ํ้ากวา งกเ่ี มตร

ก. 50 2 เมตร ข. 50 3 เมตร

ค. 60 2 เมตร ง. 60 3 เมตร

8. เม่อื ญาญายนื อยูบนดาดฟาตึกหลงั หนงึ่ มองเห็นรถยนตคันหนง่ึ จอดอยูริมถนนในแนวเดยี วกันกบั ตกึ และ

อยหู างจากตกึ 50 เมตร เปนมมุ กม 60 องศา จงหาความสูงของตึกหลังนี้
50
ก. 3 เมตร ข. 25 เมตร

ค. 25 3 เมตร ง. 50 3 เมตร

9. ถาเงาของเสาธงทอดไปยาว 5 3 เมตร และมุมเงยขึน้ ของดวงอาทิตยเปน 60 องศา แลว เสาธงสงู กเี่ มตร

ก. 5 เมตร ข. 15 เมตร

ค. 15 3 เมตร ง. 45 เมตร

10. ปลองไฟปลอ งหนึ่งสูงกวา อกี ปลอ งหนงึ่ 15 ฟุต ชายคนหนงึ่ ยนื อยหู า งจากปลองไฟปลอ งเต้ีย 50 ฟุต

สงั เกตเหน็ วา เสนตรงที่เชือ่ มระหวางยอดปลองไฟทั้งสองเอียงทํามมุ 27 องศา กับพนื้ ราบ จงหาความสูง
ของปลองไฟปลองทสี่ งู ที่สดุ ( tan 27  0.51)

ก. 25.5 เมตร ข. 30.5 เมตร

ค. 40.5 เมตร ง. 45.5 เมตร

****************************************

เลม ที่ 8 การนําอัตราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยุกตใ ช 3

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรยี น

เลมท่ี 8 เรื่อง การนําอตั ราสว นตรีโกณมิตไิ ปประยุกตใ ช

คาํ ชี้แจง : (1.) ใหน ักเรยี นเลือกขอที่ถูกที่สุดเพยี งคาํ ตอบเดยี ว แลว ทาํ เครอื่ งหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มจี าํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชือ่ เลขที่ ช้ัน

ขอ ที่ ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนที่ได 10 ลงช่อื ผูตรวจ

เกณฑการประเมิน 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรงุ พอใช ดี ดมี าก
ระดับคุณภาพ

เลมที่ 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมิติไปประยุกตใ ช 4

ใบความรูท ี่ 8.1

ในการแกปญ หาเกี่ยวกับการหาระยะทางและความสงู ซึง่ บางครั้งใชเครื่องมือวัดโดยตรงไมได
เชน การวัดความสูงของภเู ขา การหาความกวางของแมนํ้า สามารถทาํ ไดโ ดยอาศัยความรูเรื่อง อัตราสว น
ตรีโกณมติ ิ ซึง่ มีขนาดของมมุ เขามาเกย่ี วของรวมท้ัง มุมกม (angle of depression) และ มมุ เงย
(angle of elevation)

มุมกม (angle of depression)

คอื มุมทเ่ี กดิ จาก แนวเสน ระดับสายตา กับแนวเสน จากตาไปยังวัตถุ โดยวตั ถอุ ยใู ตแ นวเสน
ระดบั สายตา ดังรปู ที่ 8.1

ตาของ แนวเสน ระดับ
ผูสงั เกต
มมุ กม

วตั ถุ
รูปที่ 8.1 มุมกม
1. มองวตั ถุจากจดุ A ไปยังพื้นดานลา งทจี่ ุด B เปน มุมกม 30 องศา ดังรปู ที่ 8.2
A 30

C 30 B
รปู ที่ 8.2 สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC
2. จากยอดเขา มองเห็นรถยนต 2 คันบนพืน้ ราบดานลา งเปนมุมกม 30 องศา และ 60 องศา
ตามลาํ ดบั จะวาดรปู ไดด งั รูปท่ี 8.3

E 30

60

F HG
รูปท่ี 8.3 สามเหลี่ยมมุมฉาก EFG

เลมที่ 8 การนําอัตราสวนตรโี กณมิตไิ ปประยกุ ตใ ช 5

2.1 มมุ กม มขี นาดเล็ก วตั ถทุ ่มี องเห็นจะอยูไกลจากจุดสังเกต
มมุ กม มขี นาดใหญ วตั ถทุ ี่มองเหน็ จะอยูใกล

2.2 โจทยประเภทมมี ุมกม 2 ชุด หากเกรงวาจะสบั สน ใหว าดรปู แยกออกมาเปน 2 รูป
ดงั รูปท่ี 8.4 และรปู ที่ 8.5

E 60 E

30

F 60 H F 30 G
รปู ที่ 8.4 สามเหลีย่ มมุมฉาก EFH รูปที่ 8.5 สามเหลยี่ มมุมฉาก EFG มุม 30

มุมเงย (angle of elevation)

คอื มุมท่เี กดิ จาก แนวเสนสายตากบั แนวเสน จากตาไปยังวตั ถุ โดยวตั ถอุ ยเู หนือแนวเสน
ระดับสายตา ดงั รปู ท่ี 8.6

วัตถุ

ตาของ มมุ เงย
ผสู ังเกต แนวเสนระดับ

รปู ที่ 8.6 มมุ เงย

1. จากพ้ืนราบ ณ จุด A มองเหน็ ยอดเสาธงตน หนง่ึ เปนมุมเงย 60 องศา จะเขยี นรูปไดดงั รูปที่ 8.7
MM

หรือ O

O 60 N N 60
รปู ท่ี 8.7 รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก MON

เลม ที่ 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยุกตใ ช 6

2. จากพืน้ ราบ ณ จุด A มองเห็นชัน้ ท่ี 10 และช้นั ท่ี 17 ของคอนโดมเิ นียมหลังหน่งึ เปนมุมเงย
28 และ 42 ตามลาํ ดบั จะเขียนรปู ไดด งั รปู ที่ 8.8

J ชั้น 17

ช้ัน 10

L 42 28 K
รูปท่ี 8.8 สามเหลีย่ มมมุ ฉาก JKL

หรอื แยกเปน 2 รปู ดังรปู ที่ 8.9 และรูปท่ี 8.10 J ช้นั 17
J ช้ัน 10

28 L 42 K
LK รปู ท่ี 8.10 สามเหล่ียมมุมฉาก JKL มุม 42

รูปท่ี 8.9 สามเหล่ียมมมุ ฉาก JKL มุม 28

หลกั การทว่ั ไป... ในการทําโจทยเ ก่ยี วกับระยะทางและความสูง

1. เขียนรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก แทนโจทยป ญหา
2. นาํ สงิ่ ทีโ่ จทยถ ามหา และสิ่งที่โจทยก ําหนดคาให มาสรา งใหเ ปนสมการในรูปฟงกช ัน sine ,
cosine และ tangent
3. แกส มการ หาสงิ่ ทต่ี องการ

ขอตกลง

1. ใหถอื วา วัตถทุ ีอ่ ยูในแนวด่ิง “ความสูงของวตั ถนุ ้ันตั้งฉากกบั พ้นื ราบเสมอ”
2. หากมิไดกําหนดความสูงของผสู ังเกต ใหถอื วา “ความสูงของผสู ังเกตเปน ศูนย”
3. ขนาดของมมุ กม และมมุ เงยเปน จาํ นวนบวกเสมอ

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมิตไิ ปประยกุ ตใช 7

ตวั อยางที่ 1 เอมอรยนื หางจากตกึ แหงหนึ่ง 150 เมตร เมื่อมองขน้ึ ไปบนยอดตกึ เปนมมุ เงยขนาด

36 องศา อยากทราบวา ตกึ นีส้ ูงประมาณก่ีเมตร โดยไมค ดิ ความสงู ของเอมอร

วิธที ํา ใหตกึ สงู h เมตร
จากรูป h = tan 36
h 150
36
จะได h = 150 tan 36
 150  0.727

150  109

ดงั นน้ั ตกึ นี้สงู ประมาณ 109 เมตร ตอบ

ตัวอยางที่ 2 หน่งึ ยืนอยบู นฝง แมน ํ้าและอยากทราบวา แมน าํ้ ชวงนก้ี วา งเทาใด จึงใชต นไมท่ีอยูบนฝง
ตรงกันขามของแมน ้ํา (จุด C) เปนจุดสังเกต แลว จึงเดินจากจดุ B ซงึ่ อยูตรงขามกับตนไม
ไปตามแนวฝง แมนํา้ ถึงจุด A จะได ABC เปนรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากท่มี ีมมุ B เปน มมุ
ฉาก AB ยาว 50 เมตร และ CAˆB มีขนาด 25 องศา อยากทราบวา แมน ํ้ากวางก่ีเมตร

C

25 B
A 50 เมตร

วธิ ีทาํ จากรปู BC = tan 25 ตอบ
AB
BC = AB tan 25

BC = 50  0.466

BC = 23.30
นน่ั คอื แมนาํ้ กวางประมาณ 23.30 เมตร

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมิติไปประยกุ ตใช 8

ตัวอยางท่ี 3 นาวินยืนอยบู นหนาผาแหง หนึ่ง ซึ่งสงู จากระดับนํ้าทะเล 48.30 เมตร เม่ือเขามองลงไป

ยังเรอื ลําหนึ่ง โดยมุมที่แนวสายตาทํากบั แนวเสนระดับเปน มุมกม มขี นาด 60 องศา

ถา ตาของนาวินสงู จากพื้นของหนา ผา 1.70 เมตร เรอื ลาํ น้อี ยหู า งจากเชงิ หนา ผา

ประมาณกเี่ มตร
A Y 60
D แนวเสนระดับ

แนวสายตา

CB

วิธที ํา ให A เปน ตาํ แหนงทน่ี าวินยืน

AC เปนความสงู ของหนา ผาจากระดบั นํา้ ทะเลซ่งึ เทากบั 48.30 เมตร

YA เปน ความสูงจากพืน้ หนา ผาถึงตาของนาวินซึ่งเทากบั 1.70 เมตร
C เปน จุดทเ่ี ชิงหนา ผาทีร่ ะดับนา้ํ ทะเล และ ACˆB เปน มุมฉาก

BC เปน ระยะท่ีเรือ (B) อยหู างจากเชงิ หนา ผา
DYˆB มขี นาด 60 องศา

เนอื่ งจาก YD BC
ดังนนั้ DYˆB = YBˆC = 60
YC
จะได BC = tan 60

YC = YA + AC

= 48.30 + 1.70

50 = 50
BC
ดังน้ัน = 3

BC = 50
3

 28.87

นน่ั คอื เรืออยูหางจากเชิงหนา ผาประมาณ 28.87 เมตร ตอบ

เลมที่ 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช 9

ตัวอยา งที่ 4 นักทอ งเทย่ี วคนหนงึ่ ยืนอยบู นประภาคารสังเกตเห็นเรอื สองลาํ จอดอยใู นทะเลทาง

ทศิ ตะวนั ออกของประภาคารในแนวเสน ตรงเดียวกัน โดยทํามุมกมขนาด 30 องศา

และ 60 องศา กับแนวระดบั ประภาคารแหงนี้อยสู ูงจากระดบั นํา้ ทะเลประมาณเทาใด

ถาเรือท้ังสองลํานอี้ ยหู า งกัน 200 เมตร

A 30 E

60

C D
B

วธิ ที ํา ให A เปนตําแหนง ทน่ี ักทองเทีย่ ว

AB แทนความสูงของประภาคาร

C แทนเรือลาํ ท่ีหน่ึง

D แทนเรือลําท่ีสอง
EAˆD = 30
EAˆC = 60
CD = 200

เน่ืองจาก AE BD ACˆB = 60
ดงั นนั้ ADˆB = 30 และ AB tan 60
 ABC จะได BC =
พิจารณา

AB = 3 BC

พิจารณา  ABD จะได AB = tan 30
BC  200
1 BC  200
AB = 3

พจิ ารณาคาของ AB จะได 3 BC = 1 BC  200
3

3BC = BC + 200

2BC = 200

จะได BC = 100

ดงั นัน้ AB = 100 3

 173.21 ตอบ
ดงั นั้น ประภาคารอยสู ูงจากระดบั นา้ํ ทะเลประมาณ 173.21 เมตร

เลมที่ 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมิตไิ ปประยกุ ตใ ช 10

แบบฝกทกั ษะที่ จุดประสงคการเรยี นรู : สามารถใชอตั ราสว นตรโี กณมิตแิ กปญ หาโจทย
8.1.1 บางอยางเกี่ยวกบั การหาความสูงและการหาระยะทางได
มุมฉาก

จงแสดงวิธีการหาคาํ ตอบแตละขอ ตอ ไปนี้ (ขอละ 1 คะแนน)

ขอท่ี 1 เม่อื ดวงอาทติ ยทาํ มมุ 30 องศา กับแนวระนาบแลว ตึกสูง 150 เมตร
จะทอดเงายาวเทา กบั เทาใด

เขยี นรูปตามโจทย

ขอ ที่ 2 ตน ไมตน หนึง่ ทอดเงายาว 40 เมตร แนวของเสนตรงทล่ี ากผานจุดปลายของเงา
ตนไมและยอดตน ไมทาํ มุม 45 องศา กับเงาของตน ไม จงหาความสงู ของตนไม
ตนน้ี

เขยี นรปู ตามโจทย

เลมที่ 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใช 11

ขอที่ 3 ถามุมเงยของสายตาของสนุ ขั ท่ีมองนกซง่ึ เกาะอยูบนกิ่งไมเทากบั 30 องศา และ
สุนัขอยูหา งจากโคนตนไม 16 ฟตุ จงหาระยะหา งระหวางสุนัขตวั นี้กบั นกทเ่ี กาะ
อยูบนก่ิงไม

เขียนรูปตามโจทย

ขอที่ 4 สธุ ยี นื อยูห า งจากบานหลงั หน่ึงเปนระยะทาง 100 เมตร เขามองเห็น
เฮลคิ คอปเตอรเคร่ืองหนง่ึ บินอยูเหนอื หลงั คาบานพอดี และแนวท่ีเขามอง
เปนมุมเงย 60 องศา จงหาวา เฮลคิ คอปเตอรอ ยูสูงจากพน้ื ดินกี่เมตร

เขียนรูปตามโจทย

เลม ท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมิติไปประยุกตใ ช 12

ขอที่ 5 พทิ กั ษไทยยนื อยบู นหนาผารมิ ทะเล ซ่งึ สูงจากระดบั น้ําทะเล 75 เมตร
มองเหน็ เรือลาํ หนง่ึ เปนมมุ กม 30 องศา จงหาวาเรือลาํ นี้อยหู า งจากหนาผา

ประมาณก่ีเมตร

เขยี นรปู ตามโจทย

ขอที่ 6 เสาตนหนึ่งตัง้ อยูบนพน้ื ระนาบ จากจุดสงั เกตบนพืน้ ดินซ่งึ อยหู างจากเสาธง 30
ฟตุ มองเหน็ ยอดเสาธงเปนมุมเงย 60 องศา จงหาความสูงของเสาธง

เขยี นรูปตามโจทย

เลมที่ 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมิตไิ ปประยกุ ตใ ช 13

ขอท่ี 7 พาดบันไดไวกบั กําแพงแหง หน่งึ โดยปลายบันไดตอนบนจรดกับขอบกําแพงพอดี
ถา บันไดยาว 45 ฟุต และมุมระหวางบันไดกับกาํ แพงเปน 60 องศา ความสูงของ
กาํ แพงมีคาเทา กับเทาใด

เขยี นรูปตามโจทย

ขอ ที่ 8 จากจุดหนง่ึ ซง่ึ สูงจากระดบั น้ําทะเล 16 เมตร มองเหน็ เรือลําหนึง่ ทาํ มมุ กม
30 องศา ดงั นั้นเรอื ลํานน้ั อยหู า งจากจดุ ดังกลาวเทากับเทาใด

เขยี นรปู ตามโจทย

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมิตไิ ปประยุกตใ ช 14

ขอท่ี 9 ณชั ชายนื หา งจากตกึ หลงั หน่งึ 18 เมตร มองเหน็ ยอดตึกและเสาอากาศซงึ่ อยูบน
ยอดตกึ เปนมุมเงย 30 องศา และ 60 องศา ตามลําดบั จงหาความสูงของ

เสาอากาศ

เขียนรปู ตามโจทย

ขอที่ 10 เครอ่ื งบนิ ลาํ หนงึ่ บนิ อยใู กลห อบงั คับการบนิ ถา มุมเงยจากระดบั สายตาของณเดช
ซึ่งมองจากหอเทา กับ 30 องศา เห็นเครื่องบินอยูไกลออกไป 2 กิโลเมตร อยาก
ทราบวาเครอ่ื งบนิ ลาํ นอ้ี ยสู ูงจากหอกีเ่ มตร

เขยี นรปู ตามโจทย

เลมที่ 8 การนําอตั ราสวนตรโี กณมิตไิ ปประยุกตใช 15

แบบฝกทกั ษะท่ี จดุ ประสงคก ารเรยี นรู : สามารถใชอตั ราสว นตรโี กณมติ แิ กปญ หาโจทย
8.1.2 บางอยา งเกยี่ วกับการหาความสงู และการหาระยะทางได
มมุ ฉาก

จงแสดงวธิ กี ารหาคําตอบแตล ะขอ ตอไปน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 กนกซง่ึ อยูบนยอดเสากระโดงเรือลําหนึง่ ซ่งึ สูง 160 ฟุต มองเห็นเรอื อีกลาํ หนงึ่ ที่
ลอยอยใู นทะเลเปนมุมกม 30 แลวระยะหางของเรือ 2 ลํา เทากับเทาใด

เขียนรปู ตามโจทย

ขอ ท่ี 2 ปลองไฟปลองหน่ึงสงู กวา อกี ปลองหนึ่ง 30 ฟุต ชายคนหน่ึงยืนอยูหางจากปลอง
เตี้ย 100 หลา เห็นแนวของเสน ตรงทล่ี ากผานปลองทั้ง 2 เอียงเปนมุม 27
กบั พืน้ ราบ จงหาผลบวกของความสูงของปลองไฟท้งั สอง (tan 27 = 0.51)

เขยี นรปู ตามโจทย

เลมท่ี 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมติ ิไปประยุกตใ ช 16

ขอท่ี 3 เม่อื เวลา 14.00 น. แสงของดวงอาทิตยทาํ มุม 15กบั พนื้ ดิน เสาตน หนงึ่ ทอด
เงาลงพ้นื ดินยาว 30 เมตร ครั้นถึงเวลา 15.00 น. ลาํ แสงของดวงอาทิตยทํามมุ
10 กบั พนื้ ดิน จงหาวา เมื่อเวลา 15.00 น. เสาตน น้ีทอดเงาลงบนพ้ืนดินยาว
เทาใด (กําหนด sin 15 = 0.26 , cos 15 = 0.97 , tan 15 = 0.97 ,
tan 10 = 0.27 , sin 10 = 0.17 , cos 10 = 0.99 , tan 10 = 0.18)

เขียนรปู ตามโจทย

ขอท่ี 4 จากรปู ABCD เปนรปู สเี่ หล่ียมจัตรุ ัสมดี านยาวยาวดานละ 6 เซนติเมตร
D มมุ DAB ถูกแบงออกเปนสามมมุ ท่ีเทากนั ทุกประการดว ยเสนตรง AE และ AF
จงหาพ้ืนที่ของรูป AECF (กําหนด 3 = 1.732)

FC

E

AB

เลมที่ 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมิติไปประยกุ ตใช 17

ขอท่ี 5 จากรปู จงหาวา ตึกสูงประมาณกเ่ี มตร
(กาํ หนด tan 35 = 0.70)

ตึก

35

150 ม.

เลมที่ 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมติ ไิ ปประยกุ ตใช 18

แบบฝก ทกั ษะท่ี จดุ ประสงคการเรยี นรู : สามารถใชอัตราสวนตรโี กณมิติแกปญ หาโจทย
8.1.3 บางอยา งเกี่ยวกบั การหาความสงู และการหาระยะทางได
มมุ ฉาก

จงแสดงวธิ ีการหาคําตอบแตละขอตอ ไปน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

ขอท่ี 1 ชายคนหน่ึงยนื อยูห า งจากเสาธงตน หน่งึ เปน ระยะทาง 100 ฟุต สงั เกตเห็น
มุมยกข้นึ ของยอดเสาธงเปน 30แตเ มอ่ื เดินตรงเขาไปใกลเ สาธงได 2 นาที
เขาเห็นมมุ ยกขน้ึ ของยอดเสาธงเปน 60จงหาวาชายผนู เ้ี ดินดว ยอตั ราเร็ว
กฟี่ ุตตอนาที

เขยี นรปู ตามโจทย

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยุกตใ ช 19

ขอที่ 2 เรอื ลําหนึ่งจอดอยใู นทะเล จากดาดฟาเรือซ่ึงอยูสูงในแนวต้งั ฉากกับพ้นื นํา้ 50
ฟุต มองเห็นเรอื 2 ลํา จอดอยใู นทะเลแนวเดยี วกันเปนมุมกม 30 และ 60
ตามลาํ ดับ เรอื 2 ลํา อยูห างกันเทาไร (กําหนด 3 = 1.732)

เขียนรปู ตามโจทย

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสว นตรโี กณมติ ิไปประยุกตใช 20

ขอ ที่ 3 ชายคนหน่งึ มองตน ไมซึ่งอยูหา งจากบา นเปน ระยะทาง 38 เมตร ถา มุมกม
ซึ่งมองไปยังโคนตน ไม เทา กบั 60 และมมุ เงยซ่งึ มองไปยงั ยอดตนไม
เทากบั 45 จงหาความสงู ของตน ไมต นนี้ (กาํ หนด 3 = 1.732)

เขียนรปู ตามโจทย

เลม ท่ี 8 การนําอตั ราสวนตรโี กณมิตไิ ปประยกุ ตใ ช 21

ขอ ที่ 4 ชายคนหน่ึงยืนหางจากตึกหลังหนง่ึ 165 เมตร สงั เกตเห็นยอดตกึ เปนมุมเงย
30 เมอ่ื เขาเดนิ ไปอกี ระยะหนึ่ง แลว สงั เกตเหน็ ยอดตึกหลงั เดิมเปน มมุ เงย
60 จงหาวา เขาเดินเขาไปอีกประมาณก่เี มตร (กําหนด 3 = 1.732)

เขียนรปู ตามโจทย

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมิติไปประยุกตใ ช 22

ณ จดุ หนงึ่ ทอี่ ยูห า งจากโคนเสาไฟเปน ระยะทาง 86.6 ฟุต มองเหน็
ยอดเสาไฟฟาเปนมุมเงย 30 ถา

a เปนความสูงของเสาไฟฟา
b เปน ระยะหางระหวา งยอดเสาไฟฟากับผูส งั เกต

แลว a + b มคี าเทา กบั เทา ไร (กาํ หนด 3 = 1.732)

เลม ที่ 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมติ ิไปประยุกตใช 23

จุดประสงคการเรียนรู : สามารถใชอตั ราสว นตรโี กณมติ แิ กปญหาโจทย
บางอยา งเกี่ยวกับการหาความสูงและการหาระยะทางได
มุมฉาก

จงแสดงวิธีการหาคําตอบแตละขอตอไปน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 เดก็ คนหนึง่ กาํ ลังเลน วา วอยมู ือทเ่ี ขาถือเชือกอยูส ูงจากพ้ืนดนิ 1.2 เมตร และ
เสนเชือกของวาวทาํ มุมกบั แนวระดับเทา กบั 59 โดยทีค่ วามยาวของเชอื ก
จากมือถึงวา ว เทากบั 10 เมตร อยากทราบวา วาวตัวนอี้ ยูสูงจากพนื้ ดินเทา ใด
(กําหนด tan 59 = 1.64)

เขียนรูปตามโจทย

ขอที่ 2 ลูกเสอื คนหนง่ึ สูง 170 เมตร ยืนหางเสาธง 120 เมตร เธอมองดูยอดเสาธงเปน
มมุ เงย 45 องศา จงหาความสูงของเสาธง

เลม ท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใช 24

ขอที่ 3 ชายคนหน่งึ สูง 1.64 เมตร ยืนอยูบ นพน้ื ระดบั เดียวกบั เสาธงตน หน่ึง สังเกตเหน็
ยอดเสาธงเปนมุมเงย 40 องศา เมื่อเขาเดินเขา หาเสาธงอีก 10 เมตร ปรากฎวา

เหน็ ยอดเสาธงเปนมมุ เงย 45 องศา จงหาความสงู ของเสาธง
(ให tan 40 = 0.84)

เขียนรูปตามโจทย

ขอที่ 4 เด็กคนหนึ่งสงู 150 เซนตเิ มตร ยืนหา งจากโคนเสาธงในแนวราบเปนระยะทาง
16 เมตร เขามองเห็นเสาธงเปนมมุ เงยจากระดับสายตาเปนขนาด 60 องศา

ความสูงของเสาธงมคี าเทา กบั เทา ใด (กําหนด 3 = 1.732)

เขยี นรปู ตามโจทย

เลมที่ 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิไปประยุกตใ ช 25

ขอที่ 5 เนตรนารีคนหนง่ึ ตองการหาความสงู ของเสาธงของคา ยพกั แรม ถาขณะทเ่ี ธอมอง
ยอดเสาธงเปน มุมเงยจากระดับสายตาไปยงั ยอดเสาธงเทา กับ 45 องศา เม่อื เธอ
ยืนหางจากเสาธงเปน ระยะทาง 12 เมตร และความสงู จากพื้นดนิ ถึงระดบั สายตา
ของเธอเปน 1.5 เมตร จงหาความสงู ของเสาธงเปนเทาใดจากพื้นดนิ

เขียนรปู ตามโจทย

เลมที่ 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช 26

แบบทดสอบหลงั เรยี น

คาํ ชีแ้ จง (1.) ใหนักเรยี นเลือกขอท่ีถกู ทส่ี ดุ เพียงคําตอบเดียว แลวทําเคร่ืองหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรียน มีจํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑการใหคะแนน ดังนี้

- เลอื กคาํ ตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถูกตองหรือไมต อบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. ณเดชยืนอยบู นหนา ผาสงู 100 เมตร มองเหน็ เรอื ลอยอยูในทะเลในแนวเดยี วกบั เชงิ ผาเปนมุมกม

30 องศา จงหาวาเรือลํานอี้ ยหู า งจากเชิงผาก่เี มตร ข. 100 เมตร
ก. 100 เมตร 3

ค. 100 3 เมตร ง. 3 เมตร
100

2. กัปตนั นาํ บนั ไดยาว 60 ฟุต พาดเขากับกาํ แพงใหป ลายบนของบันไดอยูชดิ กับขอบบนของกาํ แพงพอดี

เขาสงั เกตเห็นวาบนั ไดทํามมุ 30 องศา กบั พน้ื ราบ ขอ ใดเปนความสงู ของกําแพง

ก. 30 ฟตุ ข. 60 ฟุต

ค. 120 ฟตุ ง. 150 ฟตุ

3. สามเหลีย่ มมมุ ฉากรูปหน่งึ มมี ุมแหลมมุมหน่งึ กาง 30 องศา และดานทีย่ าวที่สุดยาว 4 3

ขอใดเปนดา นท่สี ั้นท่สี ดุ

ก. 2 3 หนว ย ข. 4 3 หนวย

ค. 2 หนว ย ง. 4 หนวย

4. เนตรนารคี นหน่ึงสงู 170 เมตร ยนื หา งเสาธง 120 เมตร เธอมองดยู อดเสาธงเปนมุมเงย 45 องศา

ขอใดเปนความสงู ของเสาธง

ก. 120 เมตร ข. 290 เมตร

ค. 320 เมตร ง. 490 เมตร

5. ฉันมองเหน็ ตนไมซ่ึงอยูบนฝงตรงขามกบั แมนาํ้ เมื่อฉันเดินเลยี บฝงไปไดทาง 150 เมตร กม็ องเห็นตน ไม

ตนเดมิ ทาํ มุมกับฝง 30 องศา ดงั นน้ั แมน ้ํากวางกีเ่ มตร

ก. 50 2 เมตร ข. 50 3 เมตร

ค. 60 2 เมตร ง. 60 3 เมตร

เลม ท่ี 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมิติไปประยุกตใช 27

6. เม่ือญาญายนื อยบู นดาดฟาตึกหลังหนึ่ง มองเห็นรถยนตคันหนง่ึ จอดอยูร ิมถนนในแนวเดียวกนั กบั ตึกและ

อยูห า งจากตกึ 50 เมตร เปนมมุ กม 60 องศา จงหาความสงู ของตึกหลงั น้ี
ก. 50 เมตร
3 ข. 25 เมตร

ค. 25 3 เมตร ง. 50 3 เมตร

7. ถา เงาของเสาธงทอดไปยาว 5 3 เมตร และมุมเงยขึน้ ของดวงอาทิตยเ ปน 60 องศา

แลวเสาธงสงู กีเ่ มตร

ก. 5 เมตร ข. 15 เมตร

ค. 15 3 เมตร ง. 45 เมตร

8. ชายคนหน่งึ ตองการวัดสว นกวา งของแมน ้าํ เขายนื อยูริมฝงทจ่ี ดุ A หลงั มองขา มไปจุด B ซึง่ อยตู รง

ขามเปน ระยะทส่ี ้นั ท่สี ดุ แลวเขาเดินเลียบฝงแมนํ้าไปเปนระยะทาง 100 เมตร ซึง่ กห็ ยดุ อยทู จ่ี ุด C
วดั มุม ACB ได 40 องศา จงหาความกวางของแมน ํา้ (กําหนด tan 40= 0.839)

ก. 0.839 เมตร ข. 8.390 เมตร

ค. 83.90 เมตร ง. 839 เมตร

9. สวุ ัฒนย ืนอยบู นพืน้ ดิน ณ จดุ หน่งึ มองดูยอดเสาธงเปน มุมเงย 60 องศา ถาสวุ ฒั นยืนอยูหา งจาก

เสาธงเปนระยะ 100 เมตร ขอ ใดเปน ความสงู ของเสาธง 100
3
ก. 100 เมตร ข. เมตร

ค. 100 3 เมตร ง. 3 เมตร
100

10. ปลองไฟปลองหนึ่งสงู กวาอีกปลอ งหนึ่ง 15 ฟุต ชายคนหนง่ึ ยืนอยูหางจากปลองไฟปลอ งเตี้ย 50 ฟุต

สังเกตเห็นวาเสน ตรงทเ่ี ชือ่ มระหวา งยอดปลองไฟท้ังสองเอียงทาํ มุม 27 องศา กบั พ้ืนราบ จงหาความสงู
ของปลองไฟปลองทีส่ ูงทส่ี ุด ( tan 27  0.51)

ก. 25.5 เมตร ข. 30.5 เมตร

ค. 40.5 เมตร ง. 45.5 เมตร

****************************************

เลม ที่ 8 การนําอัตราสว นตรีโกณมิติไปประยกุ ตใ ช 28

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลังเรียน

เลมท่ี 8 เรือ่ ง การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ิไปประยุกตใ ช

คาํ ชีแ้ จง : (1.) ใหนักเรยี นเลือกขอที่ถกู ท่ีสุดเพียงคําตอบเดียว แลวทาํ เครื่องหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบหลังเรียน มจี ํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ช่อื เลขที่ ชัน้

ขอท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนที่ได 10 ลงชื่อ ผูตรวจ

เกณฑก ารประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรบั ปรงุ พอใช ดี ดมี าก
ระดับคุณภาพ

เลมที่ 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมิติไปประยุกตใช 29

ชอ่ื – นามสกุล แบบบันทึกคะแนน เลขที่

ชนั้

คาํ ช้แี จง 1. ใหนกั เรียนบนั ทึกผลการเรยี นจากการทาํ แบบทดสอบกอนเรยี น แบบฝก ทักษะ
และแบบทดสอบหลังเรียน เพอื่ ดูพัฒนาการเรียนรจู ากการเรียนดว ยแบบฝกทกั ษะ

2. ใหท ําเครอ่ื งหมาย √ ทีช่ อ งสรุปผล เม่อื นักเรียนผา นเกณฑก ารประเมนิ หรือ
ไมผ า นเกณฑก ารประเมนิ จากการทําแบบฝก ทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรยี นและ
หลงั เรียน

ที่ รายการ คะแนน คะแนน ระดับ สรุปผล
เตม็ ที่ได คุณภาพ ผาน ไมผา น
1 แบบทดสอบกอ นเรยี น 10
2 แบบฝก ทักษะท่ี 8.1.1
3 แบบฝก ทกั ษะท่ี 8.1.2 10
4 แบบฝกทกั ษะท่ี 8.1.3 10
5 แบบฝก ทกั ษะท่ี 8.1.4 10
6 แบบทดสอบหลังเรียน 10
10
รวม
50

เกณฑการประเมนิ

9 – 10 คะแนน ระดบั คุณภาพ ดีมาก
7 – 8 คะแนน ระดบั คุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดบั คุณภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดับคุณภาพ ควรปรบั ปรุง

นักเรยี นจะผานเกณฑก ารประเมนิ เมอื่ ไดค ะแนนต้งั แต 7 คะแนนขน้ึ ไป

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ิไปประยุกตใ ช 30

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทีป. (2548). เทคนคิ การเรียนคณิตศาสตร : ตรโี กณมติ ิ. กรงุ เทพฯ :
ฟส ิกสเ ซน็ เตอร.

กลุมสาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โรงเรยี นเตรยี มอุดมศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรียน
คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลขยกกําลังและอัตราสวนตรีโกณมิต.ิ กรงุ เทพฯ :
หจก. โรงพิมพวชั รนิ ทร พี.พ.ี

เจริญ ภภู ัทรพงศ และ ศรลี ดั ดา ภูภัทรพงศ. (มปป.). คมู ือคณติ คดิ ลดั และเทคนคิ ทําโจทยเ ร็ว
คณติ ศาสตรพน้ื ฐานเขม ม.4 เลม 2. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER.

จักรินทร วรรณโพธิ์กลาง. (มปป.). สดุ ยอดคํานวณและเทคนคิ คดิ ลดั คมู อื สาระการเรยี นรู
พนื้ ฐานคณติ ศาสตร ม.4 เลม 2. กรุงเทพ ฯ : บรษิ ัท สาํ นักพมิ พ พ.ศ. พัฒนา จาํ กัด.

นพเกา เฉียวกลุ . (มปป.). แบบฝกทักษะการเรยี นรวู ชิ าคณติ ศาสตร เรือ่ ง อตั ราสวนตรีโกณมติ ิ
สําหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 เลมที่ 3 เรือ่ ง อตั ราสวนตรโี กณมติ .ิ ชลบุรี :
โรงเรยี นเทศบาลแหลมฉบัง 3 สงั กดั เทศบาลนครแหลมฉบัง.

พรรณี ศิลปะวฒั นานนั ท. (2549). สาระการเรียนรพู ้ืนฐาน คณติ ศาสตร 3 เลม 2. กรุงทพ ฯ :
ฟสิกสเ ซ็นเตอร.

สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2554). หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพครัง้ ท่ี 3.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพราว.

สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2556). คูมือครรู ายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร เลม 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พมิ พค รง้ั ท่ี 2.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ สกสค.ลาดพราว.

สเุ ทพ จนั ทรส มบรู ณกุล. (2548). ส่ือเสริมทักษะการเรยี นรพู ้ืนฐาน คณิตศาสตร ม.3 เลม 2
(ชวงช้นั ที่ 3). กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.

เลม ที่ 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใช 31

ภาคผนวก

เลม ท่ี 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใช 32

 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น (หนา 1) ขอ 6 ข
ขอ 1 ก ขอ 7 ข
ขอ 2 ก ขอ 8 ง
ขอ 3 ค ขอ 9 ข
ขอ 4 ค ขอ 10 ค
ขอ 5 ก

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 8.1.1 (หนา 10)

ขอ 1 150 3 เมตร

วิธีทาํ จากโจทยว าดรูปไดด งั น้ี 150

จากรปู จะไดวา tan 30 = x

x = 150
tan 30

150 = 150 3
ดังนนั้ ตึกหลังนท้ี อดเงายาว 150 3 เมตร
30

x

ขอ 2 40 เมตร

วิธที ํา จากโจทยวาดรูปไดด ังน้ี x

จากรปู จะไดวา tan45 = 40

x = 40 tan 45

x = 401
ดังนนั้ ตน ไมต น น้สี งู 40 เมตร
45

40

เลมที่ 8 การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ิไปประยุกตใ ช 33

ขอ 3 32 3 ฟุต
3
วิธีทาํ จากโจทยว าดรปู ไดด ังนี้
16
จากรปู จะไดวา cos 30 =
x

x = 16
cos 30
x
16
=
 3 
30 2

16

= 16  2 
 3 

= 32
3

= 32 3
3

ดังนั้น ระยะหางระหวา งสนุ ัขตัวนี้กบั นกที่เกาะอยูบ นกงิ่ ไม เทากับ 32 3 ฟุต
3

ขอ 4 100 3 เมตร = x
วธิ ที ํา จากโจทยวาดรูปไดด งั นี้
จากรปู จะไดวา tan60 100

x = 100 tan 60

x = 100 3
60 ดังนนั้ เฮลคิ คอปเตอรอยสู ูงจากพนื้ ดิน 100 3 เมตร

100

เลม ท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิไปประยกุ ตใช 34

ขอ 5 75 3 เมตร

วิธที ํา จากโจทยว าดรปู ไดด ังน้ี 75

จากรปู จะไดวา tan 30 = x

30 x = 75
30 tan 30

x = 75

 1 
 3 

= 75 3

ดงั นน้ั เรือลํานีอ้ ยหู างจากหนาผาประมาณ 75 3 เมตร

ขอ 6 30 3 เมตร

วิธีทาํ จากโจทยว าดรูปไดด ังน้ี x

จากรูปจะไดว า tan 60 = 30

x = 30 tan60

x = 30 3

60 = 30 3
ดงั นน้ั ความสงู ของเสาธง เทากับ 30 3 เมตร
30

ขอ 7 22.5 เมตร

วิธีทาํ จากโจทยว าดรปู ไดด งั นี้ x

จากรูปจะไดวา cos 60 = 45

60 x = 45 cos60

45 = 45 1 
2 
x 

= 22.5

ดังนน้ั ความสงู ของกําแพง เทา กับ 22.5 เมตร

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใช 35

ขอ 8 16 3 เมตร

วธิ ที ํา จากโจทยวาดรปู ไดดงั น้ี 16

จากรูปจะไดว า tan 30 = x

30 x = 16
tan 30

16 = 16  3

30 ดงั นั้น เรือลาํ น้นั อยหู างจากจุดดงั กลา ว เทากบั 16 3 เมตร

x

ขอ 9 12 3 เมตร

วิธที ํา จากโจทยว าดรูปไดด งั น้ี h
18
จากรปู จะไดวา tan 60 =

x h = 18 tan 60

B h = 18  3

60 30 = 18 3
AB
18 A และ tan 30 = 18

AB = 18 tan 30

= 18
3

จะได x = 18 3 – 18 3

= 18318
3
36
= 3

= 12 3

ดังนั้น ความสูงของเสาอากาศ เทากับ 12 3 เมตร

เลม ที่ 8 การนําอัตราสวนตรโี กณมิติไปประยกุ ตใ ช 36

ขอ 10 1,000 เมตร = x
วิธีทาํ จากโจทยว าดรูปไดดงั นี้
จากรปู จะไดวา sin30 2

x = 2 sin 30

2x = 2  1 
 2 

30 = 1

ดงั น้ัน เคร่อื งบนิ ลําน้ีอยูส งู จากหอ เทา กบั 1,000 เมตร

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 8.1.2 (หนา 15)

ขอ 1 160 3 เมตร

วิธีทํา จากโจทยว าดรปู ไดดังน้ี 160

จากรปู จะไดว า tan 30 = x

30 x = 160
tan 30
160
= 160 3
30 ดงั นัน้ ระยะหางของเรอื 2 ลาํ เทา กับ 160 3 เมตร

x

ขอ 2 132 ฟตุ

วธิ ีทํา จากโจทยว าดรูปไดด งั น้ี x

จากรปู จะไดวา tan27 = 100

x = 100 tan27

x x +3 = 1000.51

27 = 51
จะได ปลองไฟเต้ยี สงู 51 ฟตุ
100
ปลอ งไฟสูง สงู 51 + 30 เทากบั 81 ฟุตเมตร

ดังนน้ั ผลบวกของความสูงของปลองไฟทัง้ สอง เทา กบั 51 + 81 = 132 ฟุต

เลมที่ 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช 37

ขอ 3 11.17 เมตร

วธิ ีทาํ จากโจทยว าดรปู ไดด งั นี้ h
30
จากรูปจะไดวา tan 15 =

h = 30 tan 15

15 10 h = 300.97
และจะได tan 10 =
30 2.01
x =
h
x=
x
=
h
tan10

2.01
0.18

= 11.17
ดงั นั้น เม่ือเวลา 15.00 น. เสาตน นี้ทอดเงาลงบนพน้ื ดินยาว เทา กับ 11.17 เมตร

ขอ 4 15.12 ตารางเซนตเิ มตร ดด
วิธีทํา จากโจทยจะไดว า พืน้ ท่ีของ พท. จัตรุ สั =

D F C= 66
2 6
= 36 ตารางเซนตเิ มตร
6 6 E และ tan 30 = EB
6
A 303030 6 1 EB = 6 tan30
=
B 6  1 
 3 

= 6  1 
 3 
=
= 6 0.58
จะไดว า DF =
3.48
3.48

เลมท่ี 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใช 38

พื้นที่ของ พท. 1 และ 2 =  1  ฐาน  สูง  2
2

=  1  6 3.48  2
2

= 20.88 ตารางเซนตเิ มตร

ดังน้ัน พ้นื ทีข่ องรูป AECF = 36 – 20.88

= 15.12 ตารางเซนตเิ มตร

ขอ 5 105 เมตร

วิธที าํ จากโจทยว าดรูปไดดงั น้ี h
150
จากรปู จะไดว า tan 35 =
ตกึ
h = 150 tan 35

35 = 1500.70

150 ม. = 105
ดังน้ัน ตึกนสี้ ูงประมาณ 105 เมตร

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 8.1.3 (หนา 18)

ขอ 1 33.34 ฟตุ ตอนาที

วธิ ที าํ จากโจทยว าดรูปไดด ังน้ี h
100
จากรูปจะไดวา tan 30 =

h = 100 tan 30

h = 100 1 
3 
= 100 ฟุต
30 60 3

100
yx

เลมที่ 8 การนําอัตราสว นตรีโกณมิติไปประยุกตใช 39

และจะได tan 60 = 100
x= 3

x

100

3
tan 60

= 100  1 
3  3 
100
= 3

= 33.33 ฟุต

และ จะได y = 100 – 33.33

= 66.67 ฟุต

ดังนน้ั ชายผนู เี้ ดนิ ดว ยอตั ราเร็ว 33.34 ฟุตตอนาที

ขอ 2 57.73 ฟตุ

วิธีทาํ จากโจทยวาดรูปไดด ังนี้ 50
CB
จากรปู จะไดวา tan 30 =

A CB = 50
tan 30

30 60 50 = 50 3

C xD = 50 3

B = 86.6 ฟตุ
50
และ tan 60 = DB

DB = 50
tan 60

= 50
3

= 28.87 ฟุต
ดังนน้ั เรือ 2 ลํา อยูหา งกัน = 86.6 – 28.87

= 57.73 ฟตุ

เลมที่ 8 การนําอตั ราสวนตรโี กณมิตไิ ปประยุกตใ ช 40

ขอ 3 103.82 เมตร = BC
วธิ ที ํา จากโจทยว าดรูปไดด ังน้ี 38
จากรปู จะไดว า tan 45 = 38 tan 45
=
B BC 38

C 38 4650 A และ tan 60 = CD
D BC 38
= 38 tan 60
= 38 3
=
65.82

ดังน้นั ความสงู ของตนไมต น นี้ = 38 + 65.82
= 103.82 เมตร

ขอ 4 110 เมตร = AB
วิธที ํา จากโจทยวาดรปู ไดด งั น้ี = 165
จากรูปจะไดว า tan 30 = 165 tan 30

AB =

165 1 
3 

95.27 เมตร

และ tan 60 = 95.27

BD = BD

= 95.27
= tan 60

ดังน้ัน เขาเดินเขา ไปอีกประมาณ = 95.27
= 3

55

165 – 55
110 เมตร

เลม ที่ 8 การนําอัตราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยุกตใ ช 41

ขอ 5 150 = a
วิธีทาํ จากโจทยว าดรปู ไดดงั น้ี 86.6
C จากรูปจะไดวา tan30
= 86.6 tan 30
a
= 86.6  1 
ba 3

A 30 B = 50 ฟุต
86.6 86.6
และ cos 30 = b

b = 86.6
cos 30

= 86.6 2 
3 

ดงั น้ัน a + b = 100 ฟตุ
= 50 + 100
= 150

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 8.1.4 (หนา 23) = h
10
ขอ 1 17.6 เมตร
วิธีทาํ จากโจทยว าดรูปไดด ังนี้ = 10 sin 59
จากรูปจะไดว า sin 59

C BC

10 h = 10 1.64

A 59 = 16.4 เมตร
1.2
B ดงั นน้ั ความสงู ของเสาธง = 16.4 + 1.2
1.2 = 17.6 เมตร

D

เลมท่ี 8 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิไปประยุกตใ ช 42

ขอ 2 290 เมตร

วิธีทาํ จากโจทยว าดรปู ไดดงั น้ี BC
120
จากรูปจะไดว า tan 45 =

C BC = 120 tan 45

A 45 C h = 120 เมตร
ดงั น้นั ความสูงของเสาธง = 120 + 170
170
E 120 B = 290 เมตร
170

D

ขอ 3 54.14 เมตร

วิธีทํา จากโจทยว าดรูปไดดงั นี้ AB
DB
จากรูปจะไดวา tan40 =

A 0.84 = x

10  x

D 40 C 45 x 8.4 + 0.84 x = x
1.64
x = 52.5 เมตร
10 x B ดงั นน้ั ความสงู ของเสาธง = 52.5 + 1.64
1.64 = 54.14 เมตร
E

เลม ที่ 8 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปประยกุ ตใ ช 43

ขอ 4 29.21 เมตร = BC
วิธีทํา จากโจทยว าดรูปไดด ังนี้ 16
จากรปู จะไดวา tan60
= 16tan60
C BC

h = 16 3
= 27.71 เมตร

A 60 B ดังนัน้ ความสงู ของเสาธง = 27.71 + 1.5
1.5 = 29.21 เมตร
1.5
E 16 D

ขอ 5 13.5 เมตร

วิธีทํา จากโจทยวาดรูปไดดงั นี้ BC
12
จากรูปจะไดวา tan 45 =

C BC = 12tan 45

A 45 C h = 12 เมตร
ดงั นน้ั ความสงู ของเสาธง = 12 + 1.5
1.5
E 12 B = 13.5 เมตร
1.5

D

 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น (หนา 26) ขอ 6 ง
ขอ 1 ค ขอ 7 ข
ขอ 2 ก ขอ 8 ค
ขอ 3 ก ขอ 9 ค
ขอ 4 ข ขอ 10 ค
ขอ 5 ข