แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เพื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เล่ม 7

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์
เร่ือง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 5

เล่มที่ 7 การเปลย่ี นฐานของลอการิทึม

นางศิลาพร รามันพงษ์
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะครูชานาญการ

โรงเรียนวัชรวทิ ยา อาเภอเมอื ง จังหวัดกาแพงเพชร
สานักงานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 41
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ ก

คำนำ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5 ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนในรายวชิ าคณิตศาสตร์ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รียน
เกิดการเรียนรู้เขา้ ใจบทเรียนไดด้ ียงิ่ ข้นึ สามารถจดจาเน้ือหาในบทเรียนตา่ ง ๆ ไดค้ งทน ทราบ
ความกา้ วหนา้ ของตนเอง สามารถนาแบบฝึกมาทบทวนเน้ือหาเดิมดว้ ยตนเองได้ นอกจากน้ียงั เป็ น
เคร่ืองบ่งช้ีใหค้ รูมองเห็นจุดเด่นหรือจดุ บกพร่องของนกั เรียนไดอ้ ยา่ งชดั เจน ช่วยในการฝึกทกั ษะ
แกป้ ัญหาการเรียนรูข้ องผเู้ รียนเป็ นรายบุคคลและเป็ นกลุ่มได้ รวมท้งั ใชเ้ พอ่ื ประเมินผล
ความกา้ วหนา้ ทางการเรียนรู้ และพฒั นาทกั ษะผเู้ รียน ซ่ึงแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั
เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม มีจานวน 9 เล่ม ไดแ้ ก่

เล่มท่ี 1 เลขยกกาลงั ท่ีมีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนเตม็
เล่มที่ 2 รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์
เล่มท่ี 3 เลขยกกาลงั ทีม่ ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ
เล่มท่ี 4 ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล
เล่มที่ 5 ฟังกช์ นั ลอการิทึม
เล่มท่ี 6 การหาคา่ ลอการิทึม
เล่มที่ 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ
เล่มท่ี 8 สมการเอกซโ์ พเนนเชียลและสมการลอการิทึม
เล่มท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทมึ
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 5 เล่มน้ี เป็นเล่มที่ 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทึม ประกอบดว้ ย คาแนะนา
สาหรบั ครู คาแนะนาสาหรับนกั เรียน จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั ผลการเรียนรู้ แบบทดสอบ
ก่อนเรียน และหลงั เรียน ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน และบรรณานุกรม

ผจู้ ดั ทาขอขอบพระคุณ นายจานง อินทพงษ์ ผอู้ านวยการโรงเรียนวชั รวทิ ยา และคณะครู
อาจารยท์ ุกทา่ นที่ใหค้ าแนะนาและคาปรึกษาทีด่ ี ตลอดจนการใหก้ าลงั ใจในการจดั ทา จนประสบ
ผลสาเร็จดว้ ยดี

ศิลาพร รามนั พงษ์

การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ ข

สำรบัญ หน้ำ
ก
เร่ือง ข
คานา 1
สารบญั 2
คาแนะนาสาหรับครู 3
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 4
ข้นั ตอนการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
มาตรฐานการเรียนรู้ 4
ผลการเรียนรู้ 5
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 9
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 15
ใบความรู้ เร่ือง การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 16
17
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 18
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 21
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 22
แบบทดสอบหลงั เรียน 23
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน 24
บรรณานุกรม 25
ภาคผนวก 26
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 27
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 28
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2 29
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3 30
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 31
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน
การผา่ นเกณฑก์ ารประเมิน
ตารางบนั ทึกคะแนน เล่มที่ 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทึม

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 1

คาแนะนาสาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มท่ี 7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม ใหค้ รูอ่านคาแนะนาและปฏิบตั ิตาม
ข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ใชแ้ บบฝึกทกั ษะเล่มที่ 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทึม ประกอบดว้ ยแผนการเรียนรูท้ ่ี
12 จานวน 1 ชว่ั โมง

2. ครูตอ้ งศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และอ่านเน้ือหาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ
พรอ้ มท้งั ทาความเขา้ ใจกบั เน้ือหาทุกเล่มก่อนการใชง้ าน

3. ครูเตรียมแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ใหค้ รบถว้ นและเพยี งพอกบั จานวนนกั เรียน
4. ครูเตรียมเครื่องมือวดั ผลและประเมินผล เพอ่ื ใหท้ ราบความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
5. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบลาดบั ข้นั ตอนและวธิ ีการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
อยา่ งชดั เจน และประโยชนท์ ีไ่ ดร้ ับจากการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
6. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบเก่ียวกบั บทบาทของนกั เรียนในการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ให้เขา้ ใจ และเนน้ ย้าเรื่องความซ่ือสตั ยโ์ ดยไม่ลอกเพอื่ น ไม่ใหเ้ พอ่ื นทาใหห้ รือไม่ดู
เฉลยก่อนลงมือดว้ ยตนเอง
7. แจง้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ใหน้ กั เรียนทราบ
8. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรูเ้ ดิมของนกั เรียน
9. ดาเนินการสอนตามกิจกรรมการเรียนรู้ทีก่ าหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรียนรู้
10. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 7 แลว้ เปลี่ยนกนั ตรวจตามเฉลย
11. ครูสงั เกตความต้งั ใจของนกั เรียน ความสนใจในการเรียน ถา้ มีปัญหาครูจะไดท้ าการ
ช่วยเหลือไดท้ นั ที
12. เวลาในการจดั กิจกรรมการเรียนโดยใชแ้ บบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ของนกั เรียนแตล่ ะคน
อาจไม่เทา่ กนั ครูควรยดื หยนุ่ ตามความเหมาะสมและสถานการณ์
13. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพอื่ ประเมินความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
14. ครูควรพดู สรุปบทเรียนในแต่ละเร่ืองก่อนที่จะเริ่มเรียนเร่ืองต่อไป
15. ในกรณีทน่ี กั เรียนคนใดขาดเรียน ใหน้ กั เรียนศกึ ษาเป็นรายบคุ คลดว้ ยตนเองนอกเวลา
เรียนจากแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
16. การจดั ช้นั เรียนอาจจดั ใหน้ กั เรียนศึกษาเป็ นรายบคุ คลหรือรายกลุ่มกไ็ ด้

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 2

คาแนะนาสาหรับนักเรียน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 5 เล่มท่ี 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ ใชเ้ พอื่ ฝึกทกั ษะหลงั จากเรียนเน้ือหา
ในบทเรียนเสร็จส้ินแลว้ ซ่ึงนกั เรียนควรปฏบิ ตั ิตามคาแนะนาตอ่ ไปน้ี

1. อ่านคาช้ีแจงเก่ียวกบั แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และคาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ สาหรบั นกั เรียนใหเ้ ขา้ ใจก่อนลงมือทางานหรือทาการศกึ ษาทุกคร้งั

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรูเ้ ดิมของนกั เรียน
3. ศึกษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะ เล่มท่ี 7 ถา้ ทาแบบฝึกทกั ษะไม่ได้ ใหศ้ ึกษา
ใบความรูใ้ หม่อีกคร้ัง พร้อมท้งั ศกึ ษาตวั อยา่ งหรือปรึกษาครูผสู้ อน
4. เปล่ียนกนั ตรวจแบบฝึกทกั ษะตามเฉลยและบนั ทกึ คะแนนทไ่ี ดไ้ ว้ จากน้นั ร่วมกนั สรุป
องคค์ วามรู้โดยครูคอยช้ีแนะแนวทางและอธิบายเพมิ่ เตมิ
5. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนเพอื่ ประเมินความกา้ วหนา้ ของตนเองหลงั จากศกึ ษาแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5
เล่มท่ี 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ จบแลว้
6. ในการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน ใหน้ กั เรียนพยายามทา
ดว้ ยความต้งั ใจ และมีความซื่อสตั ยต์ อ่ ตนเองใหม้ ากท่สี ุด โดยไม่เปิ ดดูเฉลยก่อน

ต้งั ใจเรียนกนั นะคะเดก็ ๆ

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 3

ข้นั ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์
เรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทมึ

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5
เล่มท่ี 7 การเปลยี่ นฐานของลอการิทมึ

1. อ่านคาแนะนาสาหรับนักเรียน

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

3. ศึกษาใบความรู้และตวั อย่าง ไม่ผ่านเกณฑ์
- ศึกษาเนือ้ หา ประเมินผล
- ทาแบบฝึ กทกั ษะ
- ตรวจแบบฝึ กทักษะ

4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน

5. ศึกษาแบบฝึ กทักษะเล่มต่อไป ผ่านเกณฑ์

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 4

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 พีชคณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั่
มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical
model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ตา่ งๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้
แกป้ ัญหา

สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสารการส่ือ
ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรูต้ ่าง ๆ
ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิด
ริเริ่มสร้างสรรค์

ผลการเรียนรู้

หาคา่ ลอการิทมึ สามญั โดยใชส้ มบตั ขิ องลอการิทึมและคานวณหาคา่ โดยประมาณดว้ ย
การใชล้ อการิทมึ ได้

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 5

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้
1. นกั เรียนสามารถนาการเปล่ียนฐานของลอการิทมึ ไปใชไ้ ด้
2. นกั เรียนสามารถหาคา่ ลอการิทมึ ธรรมชาติได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ
1. ทกั ษะการแกป้ ัญหา
2. ทกั ษะการคิด

ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์
1. ใฝ่เรียนรู้
2. มีความมุ่งมน่ั ในการทางาน
3. ซ่ือสตั ย์ สุจริต

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 6

แบบทดสอบก่อนเรียน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5
เวลา 10 นาที
รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ
เล่มที่ 7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนัย 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบุคคลเพอ่ื ประเมินความรู้ของตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คอื ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาส่ัง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถ่ี ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่องท่ีตรง

กบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

1. log e มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 0.4343
ข. 0.3443
ค. 0.3443
ง. 0.4433

2. log25200 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 1.4569
ข. 1.6459
ค. 1.6549
ง. 1.9546

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 7

3. เปลี่ยน log63 เป็น log ฐาน 4 ตรงกบั ขอ้ ใด
log3 4
ก. log 4 3

ข. log6 3
log 4 3
log 3 6
ค. log 4 6

ง. log 4 3
log 4 6

4. จงหาคา่ ของ log4 625 เม่ือกาหนด log 2 = 0.3010 และ log 5 = 0.6990
ก. 3.2517
ข. 0.9030
ค. 4.6445
ง. 2.6990

5. เมื่อกาหนด log 325 = 0.5119 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 5.1105
ข. 5.4143
ค. 5.7838
ง. 5.3836

6. จงหาคา่ ของ log 0.0072 เม่ือกาหนด log 7.2 = 0.8573
ก. –4.93
ข. 4.95
ค. –5.78
ง. 4.93

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 8

7. log6 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูป log ตรงกบั ขอ้ ใด
log2

ก. log6 2

ข. log2 2

ค. log66

ง. log 2 6

8. กาหนด log e = 0.4343, log 7.2 = 0.8573 คา่ ของ ln 0.324 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 4.0766
ข. 4.1766
ค. 4.2656
ง. 4.2766

9. จงหาค่าของ log2 3 เมื่อกาหนดให้ log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771
ก. 1.585

ข. 1.885

ค. 1.855

ง. 1.558

10. ขอ้ ใดกล่าวถูกตอ้ ง

ก. log x หมายถึง log x ฐาน e

ข. ln e = 1
1
ค. ln x = x

ง. ln 53 = log 53
e

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 9

กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
เร่ือง การเปลยี่ นฐานของลอการิทมึ

ช่ือ – สกลุ ..................................................... เลขที่.......... ช้นั ..........

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 10

ใบความรู้
เร่ือง การเปลยี่ นฐานของลอการิทมึ

ในการศกึ ษาเรื่องลอการิทึม บางคร้งั เรามีความจาเป็นทจ่ี ะตอ้ งเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ
จากฐานหน่ึงไปยงั อีกฐานหน่ึง ท้งั น้ีเพอื่ ประโยชน์ในการคดิ คานวณหรือวเิ คราะห์ปัญหาตา่ ง ๆ
เช่น เปล่ียนจาก log7 x ใหเ้ ป็ น log5 y หรือ เปลี่ยนจาก log2 a ใหเ้ ป็ น log b เป็ นตน้

ทฤษฏีบทต่อไปน้ีจะเป็ นการแสดงใหเ้ ห็นถึงวธิ ีการเปล่ียนฐานของลอการิทึม

ทฤษฏีบทที่ 1 ถา้ x, a, b เป็นจานวนจริงบวก โดยที่ a  1 และ b  1 แลว้
log bx
log a x = log ba

ทฤษฏีบทน้ีเป็นการแสดงใหเ้ ห็นถึงการเปล่ียนฐานของลอการิทมึ จากฐาน a ไปเป็นฐาน b

พสิ ูจน์ ให้ y = loga x เม่ือ a > 0 และ a  1
จะได้ x = ay

ดงั น้นั log bx = log bay เม่ือ b > 0 และ b  1

log bx = y log ba
log bx
y= log ba

สรุป logax = log bx
log ba

ตัวอย่าง ฝึกฝนการเปลี่ยนฐานลอการิทมึ
log 2 5
(1) log35 = log 3 (เปลี่ยนจากฐาน 3 เป็นฐาน 2 )
(2) log97 = log 2 7 (เปล่ียนจากฐาน 9 เป็นฐาน 5 )
5
log 5 9

ขอ้ ควรสงั เกต ถา้ เราตอ้ งการเปล่ียนเป็นลอการิทึมฐาน 10 จะไดว้ า่
log x
log a x = log a

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 11

สมบตั ทิ ส่ี าคญั เพมิ่ เติม
จากสมบตั ขิ องลอการิทมึ ทีก่ ล่าวไวแ้ ละจากความรู้เก่ียวกบั การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ

ทาใหเ้ ราไดส้ มบตั ทิ ่ีสาคญั ของลอการิทมึ บางอยา่ งเพม่ิ เติมดงั น้ี

สมบตั ทิ ี่สาคญั ของลอการิทมึ (เพมิ่ เตมิ )
llooggxaanxlog11nalxog เง่ือนไขทสี่ าคญั ของลอการิทึม
(1) ax a > 0, a  1 และ x > 0
(2) ถา้ x เป็ นฐาน x  1 ดว้ ย

(3) alogax  x

ต่อไปน้ีเป็นการพสิ ูจนใ์ หเ้ ห็นวา่ สมบตั ิเหล่าน้ีเป็ นจริง
1
การพสิ ูจน์ log a n x  n log a x

พสิ ูจน์ จาก logan x เปล่ียนเป็ นลอการิทึมฐาน 10 ไดด้ งั น้ี
log x log x
logan x = log an = n log a

= 1 log x = 1 log a x (ทฤษฏีบท)
n log a n

ตัวอย่าง ให้ x > 0 และ x  1 1 1
3 3
(1) log8 2 = log23 2 = log 2 2 =

(2) log16 4 = log42 4 = 1 log 4 4 = 1
2 2
1
(3) log x x = log x12 x = 1 log x x =2

2

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 12

ข้อควรสนใจ ถา้ นามาประยกุ ตใ์ ชจ้ ะไดค้ วามรูเ้ พม่ิ เตมิ ดงั น้ี

log 1x = log a1 x

a 1 log ax
1
=  logax

=  logax
นนั่ คือ log 1x =

a

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ ( log 6 36 )  log 25 1 
วิธีทา  5 

เน่ืองจาก log 6 36 = log662 = 2 log66 = 2
เน่ืองจาก 1 1
log 25 5 = log52 (51) = 2 log 5 51

=  1 log 5 5 = 1
2 2
1 1
ดงั น้นั ( log 6 36 )  log 25 5  = 2  2  = –1
  


ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ 2log x  5   log x2  25   log x  2   5log x10  16  1
วธิ ีทา  2   81   5   9 

เน่ืองจากฐานของลอการิทมึ ไม่เท่ากนั ดงั น้นั เราตอ้ งทาฐานใหเ้ ท่ากนั เสียก่อน ดงั น้ี

2log x  5   log x2  25   log x  2   5log x10  16  1
 2   81   5   9 

2log x  5   1 log x  25   2log x  2   5 log x  16  1
 2  2  81   5  10  9 

2 15
2
 5   25  2  2   16  10
log  2   log  81   log  5   log  9  1
x x x x

log x  25   log x  5   log x  4   log x  4  1
 4   9   25   3 
25 4 4
log x  4  25  3  = 1
  5  

9

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 13

log x  4  9  = 1
 3  5  =
= 1
log x  12  12
 5  5

นนั่ คือ x

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนด log 2.17 = 0.3365 และ log 3 = 0.4771 จงหาค่าของ log32.17
วธิ ีทา log2.17
log 3 2.17 = log3

= 0.3365
0.4771
 0.7053

ดงั น้นั log32.17 ประมาณ 0.7053

ลอการิทึมอีกฐานหน่ึงท่ีใชม้ ากและมีประโยชน์ในการศึกษาข้นั สูงต่อไปคอื ลอการิทมึ ฐาน

e เมื่อ e เป็ นสญั ลกั ษณ์แทนจานวนอตรรกยะจานวนหน่ึงซ่ึงมีค่า 2.7182818 โดยประมาณเรียก

ลอการิทมึ ฐาน e วา่ “ลอการิทึมแบบเนเปี ยร์” (Napierian logarithm) หรือ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

(natural logarithm) ในการเขียนลอการิทมึ ของ x ฐาน e นิยมเขียน ln x แทน loge x และอาจหาคา่

ลอการิทึมฐาน e โดยอาศยั ลอการิทึมฐานสิบไดด้ งั น้ี log x
log e
log e x =

หรือ ln x = log x
log e

แต่ log e  log 2.7182 (e  27182)

 0.4343
log x
ดงั น้นั ln x  0.4343

หรือ ln x  (2.3026) log x

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 14

ข้อสังเกต ln e = 1

ทบทวนกนั อีกคร้ัง ย้ากนั อีกหน นกั เรียนตอ้ งนาสมบตั เิ หล่าน้ีไปใชใ้ หเ้ ป็ น

ให้ a > 0, a  1 และ x > 0, y > 0

(1) loga1 = 0 (2) logaa = 1
(3) logaxy  logax  logay x
(4) log a y  logax  logay

(5) logaxn  n logax (6) logan x  1 log a x
n
1
(7) logxa  log a x (8) alogax = x

(9) logax  log bx (ทฤษฏบี ท)
log ba

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 15

แบบฝึ กทักษะท่ี 1

คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทมึ ต่อไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. log25 2. log59
=………………… =…………………

=………………… =…………………

=………………… =…………………

3. log78 4. log36
=………………… =…………………

=………………… =…………………

=………………… =…………………

5. log47
=…………………

=…………………

=…………………

เกณฑ์การประเมนิ
เกณฑก์ าไไไไรดดดดป้ค้คคค้้ ระะะะะแแแแเนนมนนนนนินน 5858 ––––711700คคะคะคแะแะนแนแนนนนนนแแสสแแสดดสดงงดววงงวาา่่วออา่า่ อยยอยใใูู่่ยนนใูู่่ในนรรระะระะดดดดบบัั ับับ ดพดีพอี ใอชใช้ ้
ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรบั ปรุง

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 16

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2

คาชี้แจง จงเตมิ ตวั เลขลงใจช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. ln 423 = log ...................... = =.................. ....... ……………….
log e ......................

2. ln 114 = log ...................... = =.................. ....... ……………….
log e ......................

3. ln 99 = log ...................... = =.................. ....... ……………….
log e ......................

4. ln 107 = log ...................... = =.................. ....... ……………….
log e ......................

5. ln 0.163 = log ...................... = =.................. ....... ……………….
log e ......................

เกณฑ์การประเมนิ
เกณฑก์ าไไไไรดดดดปค้ค้คค้้ ระะะะะแแแแเนนมนนนนินนน 8585 ––––171700คคะคะคแะแะนแนแนนนนนนแแสสแแสดดสดงงดววงงวาา่่วออา่า่ อยยอยใใูู่่ยนนใูู่ใ่ นนรรระะระะดดดดบบัั ับับ พดดีพอี ใอชใช้ ้
ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 17

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 3

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาหาคา่ ตอ่ ไปน้ี (6 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

1. กาหนด log65 = 0.8982 จงหาค่าของ log365
วธิ ที า log365 = ……………………………….

จากสูตร
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….

2. กาหนด log446 = 2.7617 จงหาค่าของ log6446
วธิ ที า log6446 = ……………………………….

จากสูตร
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….
= ……………………………….

เกณฑ์การประเมนิ
ไดค้ ะแนน 4 – 6 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

เกณฑ์กาไรดปค้ ระะแเมนินน 2 – 3 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้
สรุปผลกไไไาดดดรค้ค้ค้ทะะะาแแแแนนนบนนบนฝึก085ท–––กั 1ษ170ะคะคคแะะนแแนนนนนดแสีแแดสสดงดวงงวา่วอา่่าอยอยใู่ยนูใู่่ในนรระระะดพดดบั อับับใชป้ดพรีับอปใชรุ้ง  ปรบั ปรุง

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 18

แบบทดสอบหลงั เรียน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5
เวลา 10 นาที
รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม
เล่มที่ 7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบุคคลเพอื่ ประเมินความรู้ของตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คอื ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาสั่ง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถ่ี ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในช่องที่ตรง

กบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

1. เม่ือกาหนด log 325 = 0.5119 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 5.3836
ข. 5.7838
ค. 5.4143
ง. 5.1105

2. ขอ้ ใดกล่าวถูกตอ้ ง
1
ก. ln x = x

ข. ln 53 = log 53
e
ค. ln e = 1

ง. log x หมายถึง log x ฐาน e

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 19

3. กาหนด log e = 0.4343, log 7.2 = 0.8573 คา่ ของ ln 0.324 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 4.2766
ข. 4.2656
ค. 4.1766
ง. 4.0766

4. จงหาคา่ ของ log4 625 เม่ือกาหนด log 2 = 0.3010 และ log 5 = 0.6990
ก. 2.6990
ข. 3.2517
ค. 4.6445
ง. 0.9030

5. จงหาค่าของ log2 3 เมื่อกาหนดให้ log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771
ก. 1.855

ข. 1.585

ค. 1.558

ง. 1.885

6. จงหาค่าของ log 0.0072 เม่ือกาหนด log 7.2 = 0.8573
ก. 4.93
ข. 4.95
ค. –5.78
ง. –4.93

7. log6 เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูป log ตรงกบั ขอ้ ใด
log2

ก. log6 2

ข. log 2 6

ค. log2 2

ง. log66

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 20

8. เปลี่ยน log63 เป็น log ฐาน 4 ตรงกบั ขอ้ ใด
log 4 3
ก. log 4 6

ข. log6 3
log 4 3
log3 4
ค. log 4 3

ง. log 3 6
log 4 6

9. log e มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 0.3443
ข. 0.3443
ค. 0.4343
ง. 0.4433

10. log25200 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 1.4569
ข. 1.9546

ค. 1.6549
ง. 1.6459

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 21

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เรื่อง การเปลยี่ นฐานของลอการิทึม

ชื่อ – สกุล..................................................... เลขที่.......... ช้นั ..........

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 22

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และคณะ, แบบฝึ กหัดและประเมินผลการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ พนื้ ฐาน ช่วงช้ันท่ี
4 ม.5 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พเ์ ดอะบุคส์ จากดั , 2554.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง, คู่มอื ประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ เพ่ิมเตมิ ม. 4-6 เล่ม 3.
กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พฒั นา จากดั , 2554.

สมทบ เล้ียงนิรตั น์ และคณะ. แบบฝึ กหัด คณติ ศาสตร์ ม.4-6 เพม่ิ เตมิ เล่ม 3. กรุงเทพฯ : วบี คุ๊
จากดั , 2558.

สมยั เหล่าวานิชย,์ คณติ ศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 3. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ ไฮเอด็ พบั ลิชช่ิง,
2555.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์
เล่ม 1 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา
ลาดพร้าว, 2551.

________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 5. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา ลาดพรา้ ว, 2547.

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 23

ภาคผนวก

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 24

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง การเปลยี่ นฐานของลอการิทึม

ข้อ คาตอบ
1ก
2ข
3ง
4ค
5ค
6ก
7ง
8ง
9ก
10 ข

การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ 25

เฉลยแบบฝึ กทักษะท่ี 1

คาชี้แจง จงหาค่าของลอการิทมึ ต่อไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. log25 log5 2. log59 2log3
log2 log5
= =

= 0.6990 = 0.9542
0.3010 0.6990
= 2.3222 = 1.3650

3. log78 4. log36

= log2 3 = log6
log7 log3
0.9031 0.7782
= 0.8451 = 0.4771

= 1.0686 = 1.6311

5. log47 log7
log4
=

= 0.8451
0.6021
= 1.4036

การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ 26

เฉลยแบบฝึ กทักษะท่ี 2

คาชี้แจง จงเตมิ ตวั เลขลงใจช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. ln 423 = log 4.23  2 = 0.6263  2 = 6.0472
log e 0.4343

2. ln 114 = log 1.14  2 = 0.0569  2 = 4.7361
log e 0.4343

3. ln 99 = log 9.9 1 = 0.9996 1 = 4.6042
log e 0.4343

4. ln 107 = log 1.07  2 = 0.0294  2 = 4.6728
log e 0.4343

5. ln 0.163 = log 1.63 1 = 0.2122 1 = –1.8140
log e 0.4343

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 27

เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 3

คาชี้แจง จงแสดงวิธีทาหาคา่ ต่อไปน้ี (6 คะแนน ขอ้ ละ 3 คะแนน)

1. กาหนด log65 = 0.8982 จงหาค่าของ log365

วิธีทา log365 = log62 5

จากสูตร logak M  1 log a M
k

= 1 log 6 5
2

= 1 (0.8982)
2

= 0.4491

2. กาหนด log446 = 2.7617 จงหาค่าของ log6446

วธิ ีทา log6446 = log43 46

จากสูตร logak M  1 log a M
k

= 1 log 4 46
3

= 1 (2.7617)
3

= 0.9206

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 28

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง การเปลย่ี นฐานของลอการิทึม

ข้อ คาตอบ
1ข
2ค
3ก
4ค
5ข
6ง
7ข
8ก
9ค
10 ง

การเปล่ียนฐานของลอการิทึม 29

เกณฑ์การให้คะแนน

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1–2 :
- แสดงวธิ ีคิดไดถ้ ูกตอ้ ง ครบถว้ น ให้ 2 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ งบางส่วน และเขียนไม่ครบถว้ น ให้ 1 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดไม่ถูกตอ้ ง และเขยี นไม่ครบถว้ น ให้ 0 คะแนน
- ไม่เขียนแสดงวธิ ีคิด หรือไม่เขยี นใดๆ เลย ให้ 0 คะแนน
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 :
- แสดงวธิ ีคิดไดถ้ ูกตอ้ ง ครบถว้ น ให้ 3 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ ง แต่เขียนไม่ครบถว้ นให้ 1 คะแนน
- แสดงวธิ ีคิดไม่ถูกตอ้ ง และเขยี นไม่ครบถว้ นให้ 0 คะแนน
- ไม่เขยี นแสดงวธิ ีคิด หรือไม่เขียนใดๆ เลย ให้ 0 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน : ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ
- ทกั ษะการส่ือสาร
- ทกั ษะการคดิ และทกั ษะการแกป้ ัญหา
แบ่งการใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
มีวนิ ยั ใฝ่ เรียนรู้ และมุ่งมน่ั ในการทางาน
แบ่งการใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

การเปลี่ยนฐานของลอการิทมึ 30

การผ่านเกณฑ์การประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1 – 3 นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 80 ข้ึนไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้นึ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้นึ ไป

ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 80 ข้ึนไป

การเปล่ียนฐานของลอการิทมึ 31

ตารางบนั ทึกคะแนน
เรื่อง การเปลย่ี นฐานของลอการิทึม

ชื่อ ........................................................................... เลขท่ี .............. ช้นั .....................

รายการ คะแนนเตม็ คะแนนทท่ี าได้ คดิ เป็ นร้อยละ สรุปผล
ผ่าน ไม่ผ่าน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 10
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 6
10
แบบทดสอบหลงั เรียน 46
รวม

วิธีคดิ คะแนน

ใหน้ กั เรียนนาคะแนนของตนเองในแต่ละรายการคูณกบั 100 แลว้ หารดว้ ยคะแนนเตม็
ของแตล่ ะรายการ

ตวั อย่าง นายวนิ ยั ไดค้ ะแนนจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1 ได้ 7 คะแนน จากคะแนนเตม็

10 คะแนน 7  100
10
คดิ เป็นรอ้ ยละไดด้ งั น้ี  70.00

ดงั น้นั นายวนิ ยั มีคะแนน 70% และไม่ผา่ นการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1