แบบฝึกทักษะ-เรื่อง-อัตราส่วนตรีโกณมิติ-เล่ม-6

แบบฝก ทกั ษะ เร่อื ง อัตราสวนตรโี กณมติ ิ

วิชาคณติ ศาสตรพนื้ ฐาน รหสั วชิ า ค31102

ตรงตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551

ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

6เลมที่ ความสัมพนั ธร ะหวา ง
อตั ราสวนตรีโกณมิติ

B
AC

นางภัคจริ า กิตตสิ ิรบิ ณั ฑติ

วิทยฐานะ ครูชํานาญการ
โรงเรยี นวชั รวิทยา จังหวดั กําแพงเพชร
สาํ นกั งานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
สํานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พื้นฐาน

กระทรวงศึกษาธกิ าร

เลมท่ี 6 ความสัมพันธร ะหวา งอตั ราสวนตรโี กณมิติ ก

คาํ นํา

แบบฝก ทกั ษะ เรื่อง อตั ราสวนตรีโกณมติ ิ วิชาคณิตศาสตรพ ้นื ฐาน รหัสวิชา ค31102
ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 โรงเรียนวชั รวิทยา จังหวดั กาํ แพงเพชร สํานักงานเขตพ้ืนท่กี ารศกึ ษา
มธั ยมศกึ ษา เขต 41 จัดทาํ ขึ้นเพือ่ ใชในการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรพ้ืนฐาน มุงเนนใหผ ูเรียน
มีความรู มีทักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร สามารถแกโจทยป ญหาไดอ ยา งถูกตอง พัฒนา
ทักษะ กระบวนการคดิ คิดอยางมีเหตผุ ลเช่ือมโยงความรูไดอยา งสรางสรรค ซ่ึงเปนพื้นฐาน
การคาํ นวณ และมีทักษะกระบวนการคดิ ในระดับชัน้ ที่สูงข้ึนไป แบบฝกทักษะ เรอ่ื ง อัตราสวน
ตรโี กณมิติ วชิ าคณิตศาสตรพืน้ ฐาน รหสั วิชา ค 31102 ระดับช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 นีม้ ีท้ังหมด
8 เลม ไดแ ก

เลมท่ี 1 เรื่อง ความรูพืน้ ฐานเกีย่ วกับความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั
เลมที่ 2 เรอ่ื ง อตั ราสวนตรโี กณมิติของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก
เลมท่ี 3 เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30, 45 และ 60
เลม ที่ 4 เร่ือง อัตราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมิติ
เลมที่ 5 เร่อื ง การหาคาอตั ราสวนตรโี กณมติ ิของมุม 0  90 จากตาราง
เลมที่ 6 เรือ่ ง ความสัมพนั ธร ะหวางอตั ราสวนตรโี กณมติ ิ
เลมที่ 7 เร่อื ง การประยุกตของอตั ราสวนตรีโกณมิตเิ พื่อแกป ญ หาสามเหล่ียม
เลมท่ี 8 เร่ือง การนาํ อัตราสวนตรีโกณมิตไิ ปประยกุ ตใช

สําหรับแบบฝกทกั ษะ เลมท่ี 6 เรอ่ื ง ความสัมพันธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมิติ
ประกอบดว ย คําแนะนําในการใชแบบฝก ทกั ษะ ใบความรู แบบฝก ทักษะ แบบทดสอบกอนเรียน
และแบบทดสอบหลังเรียน เฉลยแบบฝกทักษะ และเฉลยแบบทดสอบกอ นเรียนและแบบทดสอบ
หลงั เรยี น ใชเวลาทัง้ หมด 2 ช่ัวโมง

หวงั วา แบบฝก ทักษะ เรือ่ ง อัตราสวนตรีโกณมิติ วชิ าคณิตศาสตรพ น้ื ฐาน
รหัสวชิ า ค31102 ระดับชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 จะเปนประโยชนก บั ครผู สู อนวิชาคณติ ศาสตร
ในการนําไปใชเ ปน แบบฝกทกั ษะในการเรียนใหกบั นักเรียนตอไป และมสี วนชว ยใหน ักเรียน
ไดเ กดิ การเรยี นรูอยางเปนระบบ เพื่อยกระดับคุณภาพการศกึ ษาใหม ปี ระสิทธภิ าพยิง่ ขนึ้

ภคั จิรา กิตติสิรบิ ณั ฑิต

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธระหวา งอัตราสวนตรโี กณมิติ ข

สารบัญ หนา

เรอื่ ง ก
ข
คํานํา ค
สารบญั ง
คําชี้แจงการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู จ
คําชแ้ี จงการใชแบบฝก ทักษะสําหรับนักเรยี น ฉ
เกณฑการใหคะแนนแบบฝก ทกั ษะ 1
มาตรฐานการเรียนรู ตัวชว้ี ดั และจุดประสงคการเรยี นรู 4
แบบทดสอบกอ นเรยี น 11
ใบความรูที่ 6.1 13
แบบฝก ทักษะที่ 6.1.1 14
ใบความรทู ่ี 6.2 19
แบบฝกทักษะท่ี 6.2.1 22
แบบทดสอบหลังเรยี น 23
แบบบันทึกคะแนน 24
บรรณานุกรม 25
ภาคผนวก 25
27
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น 31
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 6.1.1
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 6.2.1
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

เลมที่ 6 ความสัมพนั ธระหวา งอัตราสว นตรีโกณมติ ิ ค

คําชี้แจงการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู

1. ครเู ตรียมแบบฝก ทกั ษะ เรื่อง อัตราสวนตรโี กณมิติ สําหรับนักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปท่ี 4 ใหค รบตามจํานวนนักเรยี น

2. ศึกษาคูมอื ครูการใชแ บบฝกทกั ษะคณิตศาสตรใ หเขาใจ
3. ช้ีแจงขน้ั ตอนการเรียนโดยใชแ บบฝก ทกั ษะคณติ ศาสตรนใ้ี หน กั เรียนเขาใจ
4. ใหนักเรียนทาํ แบบทดสอบกอนเรยี น กอนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู ทําแบบฝกทักษะ

และตรวจคําตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะแบบฝก ทักษะ
5. ดูแลนกั เรียนใหปฏิบัติตามขนั้ ตอนและใหค ําแนะนาํ เมื่อนกั เรียนพบปญหา
6. ประเมนิ ผลการเรยี นของนกั เรียนอยา งตอ เน่ืองและใหแ รงเสริมในการปฏบิ ัติกจิ กรรม

ของนักเรียน
7. ใหน ักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรยี น เมือ่ ศึกษาเนื้อหาจากใบความรูและ

ทาํ แบบฝกทักษะเสรจ็ สิน้
8. บันทึกผลการประเมินหลงั การจดั การเรียนรูโดยใชแบบฝก ทกั ษะทุกคร้งั
9. แบบฝกทกั ษะเลมน้ี สามารถใชกจิ กรรมการเรียนรู หรอื ใชส อนซอ มเสรมิ กับนักเรียน

ที่เรยี นชา หรือเรียนไมท ันเพอ่ื น
10. ครูอาจปรับเปล่ียนกิจกรรมการเรียนรไู ดตามเหมาะสมกับนกั เรยี นและสถานการณ

ที่นําไปใช

เลมที่ 6 ความสัมพันธระหวา งอัตราสว นตรีโกณมิติ ง

คาํ ชี้แจงการใชแ บบฝกทักษะสาํ หรบั นกั เรยี น

แบบฝก ทักษะ เรื่อง อตั ราสวนตรีโกณมิติ สาํ หรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 มที ั้งหมด
8 เลม และเลม นเ้ี ปน เลมที่ 6 เร่อื ง ความสมั พันธร ะหวางอัตราสว นตรีโกณมติ ิ ใชสาํ หรับ
ประกอบการเรียนรูในวิชาคณติ ศาสตรพ ืน้ ฐาน รหสั วิชา ค31102 นักเรยี นควรศึกษาและอานคํา
ช้แี จงการใชแบบฝกทักษะใหเ ขา ใจและปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนดังตอ ไปน้ี

1. แบบฝก ทักษะเลม น้ีทําข้ึนเพอ่ื ใหนักเรียนไดพ ัฒนาการเรียนรขู องตนเองเพอ่ื แกปญหา
การเรยี นรู เรือ่ ง อตั ราสว นตรโี กณมิติ

2. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรแ ตล ะเลมใหนักเรียนปฏิบัติดงั น้ี
2.1 ศกึ ษาขน้ั ตอนการใชแบบฝกทกั ษะใหเขา ใจชัดเจน
2.2 นกั เรยี นศึกษาจุดประสงคก ารเรยี นรูใหเ ขาใจกอนลงมือปฏิบัติ
2.3 นักเรยี นทําแบบทดสอบกอนเรยี น จํานวน 10 ขอ ตามความเขาใจ
ของตนเองดวยความซ่ือสัตย แลว ตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอนเรียนในภาคผนวกแลวบนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
2.4 นกั เรียนศึกษาและทําความเขาใจใบความรูและทาํ แบบฝกทกั ษะดว ยตนเอง
และตรวจคาํ ตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะแบบฝกทักษะตามลาํ ดับ
เม่อื พบปญ หาใหขอคําแนะนําจากครทู ันที
2.5 เมื่อนักเรยี นศกึ ษาและฝก ทํากิจกรรมเสร็จแลว ใหทําแบบทดสอบหลงั เรียน
แลวตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียนในภาคผนวกแลวบนั ทกึ
คะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

3. การประเมินผลการเรยี น นักเรียนจะตองทาํ ถกู รอยละ 80 ข้ึนไป ของจํานวนขอ
ทง้ั หมดในแตละแบบฝก ทักษะ จึงผา นเกณฑก ารประเมินของแตละแบบฝก ทักษะ
3.1 ผา นเกณฑก ารประเมินใหศกึ ษาแบบฝกทักษะชุดตอ ไป
3.2 ไมผา นเกณฑการประเมนิ ใหย อนกลับไปศึกษาและทําความเขาใจเน้ือหา
จากใบความรแู ละทําแบบฝก ทักษะดว ยตนเองใหม

ศกึ ษาแบบฝก ทักษะดว ยความตง้ั ใจ
เพ่อื พฒั นาทักษะทางคณิตศาสตร

ใหดีย่งิ ขึ้นไป

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมิติ จ

เกณฑการใหค ะแนนแบบฝก ทักษะ

1. แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบกอ นเรียนและหลังเรยี น เปนแบบเลอื กตอบ มี 4 ตัวเลือก โดยมีเกณฑ

การใหคะแนน ดังนี้

- เลือกคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถ ูกตอ งหรือไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน

2. แบบฝกทกั ษะ

ระดบั คะแนน เกณฑก ารใหค ะแนน
1 คําตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธที าํ ทม่ี ปี ระสิทธิภาพ
โดยแสดงวธิ คี ดิ เปนระบบและการคดิ วิเคราะห
0
คําตอบไมถูกตอง มีการแสดงวธิ ีทําแตไมส มบูรณ
หรือแสดงวธิ ที ําไมถกู ตอง

เลม ที่ 6 ความสัมพนั ธระหวา งอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ ฉ

มาตรฐานการเรยี นรู ตัวชี้วดั และจุดประสงคก ารเรยี นรู

มาตรฐานการเรียนรูและตัวชวี้ ัด
สาระที่ 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพ้ืนฐานเก่ียวกับการวัด วดั และคาดคะเนขนาดของ
สง่ิ ทต่ี อ งการวัด
ตวั ช้วี ดั ม.4-6/1 ใชค วามรูเรอ่ื ง อัตราสวนตรีโกณมติ ิของมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสูง
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกย่ี วกับการวดั
ตัวช้วี ัด ม.4-6/1 แกโจทยปญหาเกี่ยวกบั ระยะทางและความสูงโดยใช
อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ

จุดประสงคการเรียนรู

ดา นความรู (Knowledge)
1. นกั เรียนสามารถพิสจู นโดยใชค วามสมั พนั ธร ะหวา งอตั ราสวนตรีโกณมิติได

ดานทกั ษะกระบวนการ (Process)
1. มีความสามารถในการแกป ญหา
2. มีความสามารถในการใหเหตผุ ล
3. มคี วามสามารถในการส่ือสาร การสอื่ ความหมายทางคณิตศาสตรแ ละการนําเสนอ

ดา นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (Attitude) พรอมเรยี นแลว คะ
1. ซือ่ สตั ยสุจรติ
2. มวี นิ ยั
3. ใฝเ รียนรู
4. มุงมั่นในการทํางาน

เลมท่ี 6 ความสมั พันธร ะหวา งอัตราสวนตรโี กณมติ ิ 1

แบบทดสอบกอ นเรียน

คาํ ช้แี จง (1.) ใหนกั เรยี นเลอื กขอที่ถูกทสี่ ดุ เพียงคําตอบเดยี ว แลวทําเคร่ืองหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑก ารใหคะแนน ดังน้ี

- เลือกคาํ ตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถูกตอ งหรอื ไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. พจิ ารณาขอความตอไปน้ี
ขอความท่ี 1 1cos2A  cosec2A  1


ขอความท่ี 2 1sin2A  sec2A  1



ขอความท่ี 3 1  tan2A  cos2A  1


ขอ ความที่ 4 1 cot2A  sin2A  1



ขอใดสรปุ ไดถูกตอง

ก. มีขอถูก 1 ขอ ข. มีขอถูก 2 ขอ

ค. มีขอถูก 3 ขอ ง. มีขอ ถูก 4 ขอ

2. กาํ หนด 0  A  90 แลว คาของ tan A  cot A เทากับขอใด
sec A cosec A
1 1
ก. 4 ข. 2

ค. 1 ง. 2

3. คา A เปน มุมแหลม คาของ 1  1  1 เทากบั ขอใด
1  sin2A cosec2A

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

4. กาํ หนด A เปน มุมแหลมใด ๆ แลว คา ของ cos A sin A2 cos A sinA2 เทากับขอใด

ตอ ไปนี้

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

เลม ที่ 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 2

5. ถา sin2 x + cos2 x = 1 แลว x มีคา เทากบั เทา ใด

ก. 30 องศา ข. 45 องศา
จํานวนใด ๆ
ค. 60 องศา ง.

6. ขอใดตอไปน้ีไมถกู ตอง

ก. sin Acot A  sec A ข. cos Atan A  sin A

ค. cot Asec A  cosec A ง. cos Acosec A  cot A

7. ขอ ใดตอ ไปน้ีไมถกู ตอง ข. cos AsecA  1
ก. sin AcosecA  1 ง. sin2 A  cos2 A  1

ค. tan AcotA  1

8. พจิ ารณาขอความตอไปนี้ cos A
sinA sec A
ขอความที่ 1 cosec A   1

ขอความท่ี 2 sec A  tan A 1
cosA cot A

ขอ ใดสรปุ ไดถูกตอง

ก. ขอ ความท่ี 1 ถกู และ ขอความที่ 2 ถูก

ข. ขอความที่ 1 ถกู และ ขอความที่ 2 ผดิ

ค. ขอความท่ี 1 ผดิ และ ขอความท่ี 2 ถูก

ง. ขอ ความท่ี 1 ผิด และ ขอ ความที่ 2 ผิด

9. sin2 7  cos2 7 มคี าเทา กบั ขอใด ข. sec2 0.35  tan20.35
ง. ไมม ขี อ ใดถูกตอ ง
ก. cos7  sin7
ค. sin2 A  cos2 B

10. พิจารณาขอความตอไปน้ี
ขอ ความท่ี 1 sin A  cot A  cosA

ขอ ความท่ี 2 cot A  sec A  cosecA

ขอ ใดสรุปไดถ ูกตอง
ก. ขอ ความท่ี 1 ถูก และ ขอความที่ 2 ถูก
ข. ขอความที่ 1 ถูก และ ขอความท่ี 2 ผดิ
ค. ขอ ความท่ี 1 ผิด และ ขอความที่ 2 ถูก
ง. ขอ ความท่ี 1 ผดิ และ ขอความท่ี 2 ผดิ

เลมที่ 6 ความสัมพันธระหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 3

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรียน

เลม ที่ 6 เรอื่ ง ความสัมพนั ธร ะหวางอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ

คําชแี้ จง : (1.) ใหนกั เรยี นเลือกขอท่ีถูกทีส่ ุดเพียงคําตอบเดยี ว แลวทาํ เครื่องหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจํานวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชือ่ เลขท่ี ชน้ั

ขอท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไี่ ด 10 ลงชอ่ื ผูต รวจ

เกณฑการประเมิน 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรุง พอใช ดี ดีมาก
ระดับคุณภาพ

เลม ท่ี 6 ความสัมพันธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 4

ใบความรทู ่ี 6.1

ในฟง กช ันตรีโกณมิติท้งั 6 ชนดิ จะแยกไดเปน 3 กลุม โดยที่
กลมุ ที่ 1 คือ sine และ cosecant
กลมุ ที่ 2 คือ cosine และ secant
กลมุ ท่ี 3 คือ tangent และ cotangent

ฟง กช ันตรีโกณมิติในกลมุ เดียวกัน จะมีสมบัตคิ ลา ยกันและจะมคี วามสัมพันธในกลมุ เดยี วกนั และ
ขามกลมุ ดังตอ ไปนี้

ความสัมพนั ธของอตั ราสวนตรโี กณมิติในกลมุ เดยี วกนั “ความสัมพนั ธท ่ีเปน สว นกลับ”

พจิ ารณาจากรปู สามเหลยี่ มมุมฉากดังรปู ที่ 6.1 ตอไปน้ี
B

ca

A  C
b

รูปท่ี 6.1 รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC

1. sin A = a และ cosec A = c
ca

ซึง่ sin A  cosec A = a  c  1
ca

 sin A  cosec A = 1
1
 sin A = cosecA

 cosec A = 1
sin A

 sin A และ cosec A เปนสว นกลบั ซงึ่ กันและกัน

เลม ที่ 6 ความสมั พันธร ะหวา งอัตราสว นตรีโกณมติ ิ 5

2. cos A = b และ sec A = c
cb

ซึ่ง cos A  sec A = b  c  1
cb

 cos A  sec A = 1
1
 cos A = sec A

 sec A = 1
cos A

 cos A และ sec A เปน สว นกลบั ซ่ึงกันและกัน

3. tan A = a และ cot A = b
ba

ซึ่ง tan A  cot A = a  b  1
ba

 tan A  cot A = 1
1
 tan A = cot A

 cot A = 1
tan A

 tan A และ cot A เปนสวนกลับซึ่งกันและกัน

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอตั ราสวนตรโี กณมติ ิ 6

ความสัมพันธข องอตั ราสว นตรโี กณมิติในกลมุ เดยี วกนั “ความสมั พนั ธขา มกลุม”

ความสัมพนั ธนี้ แยกเปน 2 กลุมยอย คือ
1. ความสมั พนั ธข ามกลมุ ในรูปเศษสว น หรือ ในรูปกําลังหน่งึ
2. ความสัมพนั ธขามกลุมในรูปเอกลักษณพิทาโกเรยี น หรอื ในรปู กําลงั สอง

1. ความสัมพันธในรปู เศษสวน หรือ ในรูปกําลังหนง่ึ
จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ดังรปู ที่ 6.2 ตอไปน้ี

B sin A = a
c
ca
cos A = b
A  C c
b
รูปที่ 6.2 รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC tan A = a
b

a

sin A  c a  tan A
cos A b b

c
b

cos A  c b  cot A
sin A a a

c

นั่นคอื

 tan A = sinA
cos A

 cot A = cos A
sin A

เลมที่ 6 ความสัมพันธร ะหวา งอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 7

2. ความสัมพนั ธข า มกลมุ ในรปู เอกลักษณพิทาโกเรียน หรอื ในรปู กาํ ลงั สอง

จากรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ดังรูปท่ี 6.3 ตอ ไปนี้

B sin A = a
c
ca
cos A = b
A  C c
b
รูปที่ 6.3 รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC tan A = a
b

(1.) จาก a2 a2 + b2 = c2
c2 b2 c2
+ c2 = c2
1
 a 2 +  b 2 =
c c

ดังนน้ั sin2 A + cos2 A = 1

(2.) จาก a2 a2 + b2 = c2
b2 b2 c2
+ b2 = b2

 a 2 + 1 =  c 2
b b
tan2 A + 1 = sec2 A

ดังนัน้ 1 + tan2 A = sec2 A

(3.) จาก a2 a2 + b2 = c2
a2 b2 c2
+ a2 = a2

1 +  b 2 =  c 2
c a

ดังนัน้ 1 + cot2 A = cosec2 A

เลม ท่ี 6 ความสัมพันธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 8

จากความสัมพันธข างตน เราสามารถดดั แปลง “ความสัมพันธหลกั ” ใหเ ปน ความสัมพนั ธย อ ย ๆ
ไดดงั น้ี

sin2 A = 1 – cos2 A
sin2 A + cos2 A = 1

cos2 A = 1 – sin2 A

1 + tan2 A = sec2 A sec2 A – tan2 A = 1
tan2 A = sec2 A – 1

1 + cot2 A = cosec2 A cosec2 A – cot2 A = 1
cot2 A = cosec2 A – 1

Note

ความสมั พนั ธเ หลานี้ (ทั้งในกลมุ และขามกลุม) นกั เรียนควรจดจําใหไ ด
เพราะจะมีประโยชนอ ยา งมากมายในการศึกษาตรโี กณมิติตอ ๆ ไป

...แลว นกั เรียนจะเรียนตรีโกณมิติรเู รอ่ื ง

เลมท่ี 6 ความสัมพนั ธร ะหวา งอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 9

ควรจาํ สตู รตรโี กณมิติเบอื้ งตน

สูตร 1 sin A = 1 cosec A = 1 sin A cosec A = 1
cosecA sin A

สตู ร 2 cos A = 1 sec A = 1 cos A sec A = 1
sec A cos A

สตู ร 3 tan A = 1 cot A = 1 tan A cot A = 1
cot A tan A

สูตร 4 tan A = sin A sin A = cos A tan A cos A = sin A
cos A tan A

สูตร 5 cot A = cos A cos A = sin A cot A sin A = cos A
sin A cot A

สูตร 6 sin2 A + cos2 A = 1 sin2 A = 1 – cos2 A sin A = 1  cos2 A
cos2 A = 1 – sin2 A cos A = 1  sin2 A

สูตร 7 1 + tan2 A = sec2 A sec2 A – tan2 A = 1 sec A = 1  tan2 A
tan2 A = sec2 A – 1 tan A = sec2 A  1

สตู ร 8 1 + cot2 A = cosec2 A cosec2 A – cot2 A = 1 cosec A = 1cot2 A
cot2 A = cosec2 A – 1 cot A = cosec2 A  1

ตัวอยางท่ี 1 จงพสิ ูจนว า sin A  cot A  cos A
วธิ ที ํา sin A  cot A = sin A  cos A
sin A
= cos A

ตวั อยา งที่ 2 จงพิสจู นวา cot A  sec A  cosec A
วธิ ีทาํ cot A  sec A = cos A  1
sin A cos A
=1
sin A

= cosec A

เลม ท่ี 6 ความสัมพนั ธร ะหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 10

ตวั อยา งที่ 3  จงพสิ ูจนวา cos2Acosec2 A sec2A 1  1 1
sin2A
 วิธที ํา cos2A cosec2 A sec2A 1 = cos2A   tan2A

= cos2A  1 A  sin2A
sin2 cos2A
=1

ตวั อยา งที่ 4 จงพสิ ูจนว า cosec2A tan2 1  tan2A sin2A
cos2 A
วธิ ีทาํ cosec2A tan2 1 = 1 A  1
sin2
1
= cos2 A 1

= sec2A 1
= tan2A

ตัวอยา งที่ 5 จงพิสูจนว า tan A  sec A2  1sinA
1  sinA
2
วิธที าํ tan A  sec A2 =  sin A  1
 cos 
 cos A A 

1 sinA2
= cos2 A

= 1 sin A2
1 sin2 A

…เขา ใจแลวใชไ หม !... = 1 sinA
1  sinA

พรอ มลุยแบบฝกทักษะตอไปเลย

เลม ท่ี 6 ความสัมพนั ธร ะหวา งอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 11

แบบฝก ทักษะที่ จุดประสงคการเรียนรู : นักเรียนสามารถพิสูจนโ ดยใชค วามสมั พันธระหวา ง
6.1.1 อตั ราสวนตรโี กณมิติได
มุมฉาก

จงพสิ ูจนแตล ะขอตอไปนี้ (ขอละ 1 คะแนน)

ขอท่ี 1 cosA tan A  sin A
จะได cosA tan A =

=

ขอ ท่ี 2 cotA sec A  cosec A
จะได cot A sec A =

=

ขอ ที่ 3 1 sin2A sec2A  1



จะได 1 sin2A sec2A =



=

ขอที่ 4 1 cos2A cosec2A  1



จะได 1 cos2Acosec2A =



=

ขอ ที่ 5 cot2A1 cos2A   cos2A
จะได


cot2A1 cos2A  =



=

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 12

ขอท่ี 6 tan2 A  1 - sin2 A   sin2 A
จะได


tan2 A  1 - sin2 A  =



=

ขอท่ี 7 1 tan2A  cos2 A  1
จะได


1 tan2A  cos2 A =



=

ขอท่ี 8 1 cot2B sin2 B  1
จะได


1 cot2B sin2 B =



=

ขอ ที่ 9 sec2B 1 cot2 B  1
จะได


sec2B 1 cot2 B =



=

ขอท่ี 10 cosec2A 1 tan2 A  1



จะได cosec2A 1 tan2 A =



=

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 13

ใบความรทู ่ี 6.2

การพิสูจนโ ดยใชค วามสัมพันธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมิติ
การแสดงใหเห็นจรงิ วาทั้งสองขา งของสมการมคี าเทา กนั ทกุ กรณี โดยท่วั ไปในการพสิ จู น เราจะทาํ

ใหไดขางใดขางหนง่ึ กอน เทากับอีกขางหนง่ึ ท่เี หลอื แตในบางครั้งโจทยซ ับซอนเราอาจตอ งพิสูจนใ หสองขาง
นั้นเทากบั ส่งิ เดียวกนั แลวจึงสรุปวาเทากัน

หลกั ท่ัวไป ในการพสิ จู นโดยใชค วามสมั พนั ธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมิติ

1. พยายามแกไขจากดา นทซ่ี ับซอ น ไปหาดา นท่ีไมซบั ซอน

2. ใชความสมั พันธระหวา งอัตราสวนตรโี กณมิติชว ยในการพิสจู น ตองจดจําสูตรตรีโกณมิตใิ หไ ด

อยางข้นึ ใจและแมน ยํา

สตู รตรโี กณมิติพื้นฐาน 8 สตู ร ดงั น้ี 1
1 sec A
1. sin A = cosecA 2. cos A =

3. tan A = 1 4. tan A = sinA
cot A cos A

5. cot A = cos A 6. sin2 A + cos2 A = 1
sin A
8. 1 + cot2 A = cosec2 A
7. 1 + tan2 A = sec2 A

3. ตองจดจํากระบวนการแยกตวั ประกอบ การบวกลบเศษสวน ไดดี

ไปทาํ แบบฝกทกั ษะกนั เลยดกี วา นะ
จะไดเขา ใจมากข้นึ

เลม ท่ี 6 ความสัมพันธร ะหวา งอัตราสวนตรโี กณมติ ิ 14

แบบฝกทักษะที่ จดุ ประสงคก ารเรยี นรู : นกั เรยี นสามารถพสิ ูจนโดยใชความสัมพนั ธระหวา ง
6.2.1 อตั ราสว นตรีโกณมิติได
มุมฉาก

จงพิสจู นแ ตล ะขอ ตอไปน้ี (ขอละ 1 คะแนน)

ขอที่ 1 cosec2 A 1  cos A
cosec A

ขอท่ี 2 cosec A - cot A   sin A 2
cosec A  cot A  
 1  cos A 

เลม ที่ 6 ความสัมพันธระหวา งอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 15

ขอท่ี 3 1  1 1
1  tan2A 1 cot2A

ขอท่ี 4 1 cot2A  sec2A 1  1 sin2A  1

เลม ที่ 6 ความสัมพนั ธร ะหวา งอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 16

ขอที่ 5 1  tan2A1sin2A  1

ขอ ที่ 6 sin A  cos A2  1  2cot2A
tan A  sin AcosA

เลมที่ 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 17

ขอท่ี 7 sin2 A  cos2A  1  cot2A
sin2 A  5cos2A 1  5cot2A

ขอ ท่ี 8 cot A  cos2 A
tan A  cot A

เลมท่ี 6 ความสัมพนั ธระหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 18

ขอ ท่ี 9 cos2 A  1  tan2 A
sin2 A 1

ขอท่ี 10 sin2 A  cos2A  tan2 A  1
tan A cosA tan A

เลมที่ 6 ความสมั พนั ธระหวา งอัตราสวนตรโี กณมติ ิ 19

แบบทดสอบหลงั เรยี น

คําชี้แจง (1.) ใหน กั เรยี นเลอื กขอที่ถูกทส่ี ดุ เพยี งคาํ ตอบเดียว แลวทําเคร่อื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลังเรียน มีจํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑการใหคะแนน ดังน้ี

- เลอื กคาํ ตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถูกตองหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. พิจารณาขอความตอไปนี้
ขอ ความที่ 1 1cos2A  cosec2A  1


ขอ ความท่ี 2 1sin2A  sec2A  1



ขอความท่ี 3 1  tan2A  cos2A  1


ขอความท่ี 4 1 cot2A  sin2A  1



ขอ ใดสรุปไดถ ูกตอง

ก. มีขอถูก 1 ขอ ข. มขี อถูก 2 ขอ

ค. มขี อถูก 3 ขอ ง. มขี อ ถูก 4 ขอ

2. พิจารณาขอความตอ ไปน้ี cos A
sinA sec A
ขอความที่ 1 cosec A   1

ขอความท่ี 2 sec A  tan A 1
cosA cot A

ขอใดสรปุ ไดถูกตอง

ก. ขอความที่ 1 ถกู และ ขอความท่ี 2 ถูก

ข. ขอความที่ 1 ถูก และ ขอความที่ 2 ผิด

ค. ขอ ความท่ี 1 ผิด และ ขอความที่ 2 ถูก

ง. ขอ ความท่ี 1 ผิด และ ขอความที่ 2 ผดิ

3. ถา sin2 x + cos2 x = 1 แลว x มคี า เทากับเทา ใด

ก. 30 องศา ข. 45 องศา
จํานวนใด ๆ
ค. 60 องศา ง.

เลม ที่ 6 ความสมั พนั ธระหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 20

4. sin2 7  cos2 7 มคี าเทากับขอใด ข. sec2 0.35  tan20.35
ง. ไมมีขอ ใดถูกตอ ง
ก. cos7  sin7
ค. sin2 A  cos2 B

5. กําหนด 0  A  90 แลวคาของ tan A  cot A เทากบั ขอใด
sec A cosec A
1 1
ก. 4 ข. 2

ค. 1 ง. 2

6. คา A เปนมุมแหลม คา ของ 1  1  1 เทากับขอใด
1  sin2A cosec2A

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

7. กําหนด A เปน มุมแหลมใด ๆ แลว คาของ cos A sin A2 cos A sinA2 เทา กับขอใด

ตอไปน้ี

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

8. ขอ ใดตอ ไปนี้ไมถูกตอง

ก. sin Acot A  sec A ข. cos Atan A  sin A

ค. cot Asec A  cosec A ง. cos Acosec A  cot A

9. ขอใดตอไปนี้ไมถกู ตอง ข. cos AsecA  1
ก. sin AcosecA  1 ง. sin2 A  cos2 A  1

ค. tan AcotA  1

10. พิจารณาขอความตอ ไปนี้
ขอ ความที่ 1 sin A  cot A  cosA

ขอความที่ 2 cot A  sec A  cosecA

ขอใดสรุปไดถูกตอง
ก. ขอความท่ี 1 ถูก และ ขอความที่ 2 ถูก
ข. ขอความท่ี 1 ถูก และ ขอความที่ 2 ผดิ
ค. ขอ ความท่ี 1 ผดิ และ ขอความท่ี 2 ถูก
ง. ขอ ความที่ 1 ผิด และ ขอความท่ี 2 ผิด

เลมท่ี 6 ความสมั พันธระหวา งอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 21

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลงั เรียน

เลมท่ี 6 เรอื่ ง ความสัมพันธร ะหวางอตั ราสวนตรโี กณมิติ

คําช้แี จง : (1.) ใหนกั เรียนเลอื กขอที่ถูกที่สดุ เพียงคําตอบเดียว แลว ทําเคร่ืองหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบหลังเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ช่ือ เลขท่ี ช้ัน

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนท่ไี ด 10 ลงช่อื ผตู รวจ

เกณฑการประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรงุ พอใช ดี ดมี าก
ระดบั คุณภาพ

เลม ท่ี 6 ความสัมพันธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 22

ชอื่ – นามสกลุ แบบบนั ทกึ คะแนน เลขที่

ชน้ั

คาํ ชี้แจง 1. ใหนกั เรยี นบันทึกผลการเรียนจากการทําแบบทดสอบกอนเรยี น แบบฝก ทกั ษะ
และแบบทดสอบหลังเรียน เพ่ือดูพัฒนาการเรียนรจู ากการเรียนดว ยแบบฝก ทกั ษะ

2. ใหทําเครอ่ื งหมาย √ ท่ชี องสรปุ ผล เมอื่ นักเรียนผา นเกณฑก ารประเมินหรือ
ไมผา นเกณฑการประเมินจากการทําแบบฝก ทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรียนและ
หลังเรยี น

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน ระดับ สรุปผล
เตม็ ท่ีได คุณภาพ ผาน ไมผ า น
1 แบบทดสอบกอ นเรียน 10
2 แบบฝกทกั ษะท่ี 6.1.1
3 แบบฝกทกั ษะท่ี 6.2.1 10
4 แบบทดสอบหลังเรียน 10
10
รวม
30

เกณฑก ารประเมนิ

9 – 10 คะแนน ระดบั คุณภาพ ดีมาก
7 – 8 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดับคณุ ภาพ ควรปรบั ปรงุ

นกั เรียนจะผา นเกณฑก ารประเมนิ เมอื่ ไดคะแนนตัง้ แต 7 คะแนนขึ้นไป

เลม ท่ี 6 ความสัมพนั ธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 23

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทีป. (2548). เทคนคิ การเรยี นคณิตศาสตร : ตรีโกณมติ ิ. กรงุ เทพฯ :
ฟส ิกสเ ซน็ เตอร.

กลุมสาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โรงเรียนเตรียมอดุ มศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรยี น
คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 เลขยกกาํ ลังและอัตราสวนตรโี กณมติ .ิ กรุงเทพฯ :
หจก. โรงพิมพวชั รนิ ทร พี.พ.ี

เจริญ ภภู ัทรพงศ และ ศรลี ดั ดา ภูภทั รพงศ. (มปป.). คูมือคณติ คิดลัดและเทคนิคทาํ โจทยเร็ว
คณติ ศาสตรพน้ื ฐานเขม ม.4 เลม 2. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER.

จักรินทร วรรณโพธิ์กลาง. (มปป.). สดุ ยอดคํานวณและเทคนิคคดิ ลัด คมู ือสาระการเรียนรู
พนื้ ฐานคณติ ศาสตร ม.4 เลม 2. กรุงเทพ ฯ : บริษัท สํานักพิมพ พ.ศ. พฒั นา จํากัด.

นพเกา เฉียวกุล. (มปป.). แบบฝกทักษะการเรยี นรูว ิชาคณติ ศาสตร เร่อื ง อตั ราสวนตรีโกณมติ ิ
สําหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลมที่ 3 เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมติ .ิ ชลบรุ ี :
โรงเรยี นเทศบาลแหลมฉบัง 3 สงั กดั เทศบาลนครแหลมฉบงั .

พรรณี ศิลปะวฒั นานนั ท. (2549). สาระการเรียนรูพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร 3 เลม 2. กรุงทพ ฯ :
ฟสิกสเ ซ็นเตอร.

สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวชิ าพื้นฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. พมิ พครั้งท่ี 3.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพรา ว.

สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2556). คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน
คณิตศาสตร เลม 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 – 6 กลุม สาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พิมพครั้งท่ี 2.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ สกสค.ลาดพรา ว.

สเุ ทพ จนั ทรส มบรู ณกุล. (2548). ส่ือเสริมทักษะการเรียนรพู ืน้ ฐาน คณิตศาสตร ม.3 เลม 2
(ชวงช้นั ที่ 3). กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.

เลมที่ 6 ความสมั พนั ธระหวา งอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 24

ภาคผนวก

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธระหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 25

 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น (หนา 1) ขอ 6 ก
ขอ 1 ง ขอ 7 ง
ขอ 2 ค ขอ 8 ก
ขอ 3 ข ขอ 9 ข
ขอ 4 ค ขอ 10 ก
ขอ 5 ง

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 6.1.1 (หนา 11) cos A  sin A
ขอ 1 cos A tan A  sin A cos A
วธิ ีทาํ cosA tan A =
sin A
=

ขอ 2 cot A sec A  cosec A cos A  1
วธิ ีทาํ cot A sec A = sin A cos A
1
= sin A
= cosec A

ขอ 3 1 sin2A sec2A  1 = cos2A  1
= cos2A


วธิ ที ํา 1 sin2A sec2A



1

ขอ 4 1 cos2Acosec2A  1 sin2A  1
sin2A
 1

วธิ ที าํ 1 cos2A cosec2A =



=

เลม ท่ี 6 ความสมั พนั ธระหวา งอตั ราสวนตรโี กณมติ ิ 26

ขอ 5 cot2A1 cos2A   cos2A cos 2 A  sin2A
sin2 A
 cos2A

วธิ ีทาํ cot2A1 cos2A =



=

ขอ 6 tan2 A  1 - sin2 A   sin2 A sin2 A  cos2A
cos 2 A
 sin2A

วธิ ีทาํ tan2 A  1 - sin2 A  =



=

ขอ 7 1 tan2A  cos2 A  1 sec2A cos2A

 1 A  cos2A
cos2
วิธที าํ 1 tan2A  cos2 A = 1



=

=

ขอ 8 1 cot2B sin2 B  1 = cosec2B sin2B
=
 1
sin2B
วิธีทาํ 1 cot2B sin2 B



 sin2B

= 1

ขอ 9 sec2B 1 cot2 B  1 = tan2B cot2B

 sin2B cos2B
cos2B sin2B
วิธีทาํ sec2B 1 cot2 B



= 

= 1

เลมท่ี 6 ความสัมพนั ธร ะหวา งอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 27

ขอ 10 cosec2A 1 tan2 A  1 cot2A tan2A

 cos 2 A  sin2 A
sin2 A cos2 A
วธิ ที ํา cosec2A 1 tan2 A = 1



=
=

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 6.2.1 (หนา 14)

ขอ 1 cosec2 A 1  cos A
cosec A

วิธีทํา cosec2 A 1 = cot2 A
cosec A =
cosec A
cot A
cosec A
cos A
= sin A  sin A
=
cos A

ขอ 2 cosec A - cot A   sin A 2
cosec A  cot A  
 1  cos A 

วิธที ํา cosec A -cot A = 1  cos A
cosec A  cot A sin1 A  csoinsAA
sin A sin A

= 1 cosA  sin A
sin A 1 cos A

= 1 cosA  1 cos A
1cos A 1 cos A

= 1 cos2A
1cos A2

=  sin A 2
 
 1 cos A 

เลม ท่ี 6 ความสัมพันธระหวา งอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 28

ขอ 3 1 1  1 1
 tan2A 1 cot2A
1 1
วิธที าํ 1  tan2A  1 cot2A

= 1  1
sin2 A cos 2 A
1  cos 2 A 1  sin2 A

= cos2A  sin2A
cos2A  sin2A sin2A  cos2A

= cos2A  sin2A
cos2A  sin2A

=1

ขอ 4 1 cot2A  sec2A 1  1 sin2A  1

วิธีทํา 1 cot2A  sec2A 1  1 sin2A
= cosec A  tan A cos A

= 1  sin A cos A
sin A cos A

= 1

ขอ 5 1  tan2A1 sin2A  1

วิธีทํา 1  tan2A1 sin2A = 1  cos2 A
cos 2 A

=1

เลม ที่ 6 ความสัมพันธร ะหวา งอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 29

ขอ 6 sin A  cos A2  1  2 cot2A
tan A  sin A cos A

วธิ ีทํา sin A  cos A2  1 = sin2A  2sinA cos A  cos2A  1
tan A  sin A cosA sin A  sin A cos A

cos A

2sin A cos A  sin2A  cos2A   1
= 
 1 
sin A cos A  cos A 



= 2cos A
1  cos A
cos A

= 2cos A cos A
1 cos2 A

= 2cos2 A
sin2 A

= 2cot2A

ขอ 7 sin2 A  cos2A  1  cot2A
sin2 A  5cos2A 1  5cot2A

sin2 A cos2A sin2 A  cos2A
sin2 A  5cos2A sin2 A sin2 A
วธิ ที าํ = sin2 5cos2A
sin2 A sin2 A
A 

= 1cot2 A
1 5cot2A

เลมที่ 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอัตราสวนตรโี กณมติ ิ 30

ขอ 8 cot A  cos2 A cos A
tan A  cot A
วธิ ที าํ cot A = sin A
tan A  cot A sin A  cos A
cos A sin A

cos A

= sin A
sin2 A  cos2 A

sin A cos A

cos A

= sin A
1

sin A cos A

= cos A sin A  cos A
sin A

= cos2 A

ขอ 9 cos2 A  1  tan2 A
sin2 A 1

cos2 A  1  1 cos2 A 
วิธที าํ sin2 A 1 = 

 1 sin2 A 


= sin2 A
cos 2 A

= tan2 A

เลมท่ี 6 ความสมั พนั ธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 31

ขอ 10 sin2 A  cos2A  tan2 A  1
tan A cos A tan A

วธิ ที าํ sin2 A  cos2A = sin2 A  cos2A
tan A cos A tancoAs2cAos A
cos2A

= sin2 A sin Accooss22 A
cos2 A A

cos A

= tan2A  1
tan A

 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน (หนา 19) ขอ 6 ข
ขอ 1 ง ขอ 7 ค
ขอ 2 ก ขอ 8 ก
ขอ 3 ง ขอ 9 ง
ขอ 4 ข ขอ 10 ก
ขอ 5 ค

แบบฝก ทักษะ เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ จาํ นวน 8 เลม

นางภคั จิรา กิตตสิ ิรบิ ัณฑิต
กลมุ สาระการเรยี นรูค ณิตศาสตร
โรงเรียนวัชรวิทยา จงั หวดั กําแพงเพชร
e-mail : [email protected]