Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 50 3. Rajah menunjukkan sisiempat PQRS. (a) Hitung (i) panjang, dalam cm, bagi PR, (ii) PRQ. (b) Hitung luas, dalam cm2 , bagi PQR. 58 cm 62 cm 167 cm 106 P Q R S 48
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 51 4. Rajah menunjukkan sisi empat ABCD. Luas segitiga BCD adalah 15 cm2 dan BCD adalah tirus. Hitung (a) BCD, (b) panjang, dalam cm, bagi BD, (c) BAD, (d) luas, dalam cm2 , sisiempat ABCD. 40 6 cm 7 cm 10 cm A B C D
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 52 5. Rajah menunjukkan trapezium PQRS. (a) Hitung (i) QPR, (ii) panjang, dalam cm, bagi PS. (b) Garis lurus PQ dipanjangkan ke Q' dengan keadaan QR = Q R' . (i) Lakarkan trapezium P Q' RS. (ii) Hitung luas, dalam cm2 , bagi QQ R' S R P 110° Q 4cm 7cm 5cm
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 53 10. N0MBOR INDEKS 1. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga empat bahan P, Q, R dan S yang digunakan untuk membuat sejenis makanan. Rajah 1 ialah carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan-bahan P, Q, R dan S itu. Bahan Harga se kg (RM) Indeks harga tahun 2019 berasaskan tahun 2017 2019 2017 P 0·80 1·00 x Q 2·00 y 140 R 0·40 0·60 150 S z 0·40 80 Jadual 1 Rajah 1 (a) Cari nilai x, y dan z. (b) (i) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat makanan itu pada tahun 2019 berasaskan tahun 2017. (ii) Seterusnya, hitung kos membuat makanan itu yang sepadan bagi tahun 2017 jika kos membuatnya pada tahun 2019 ialah RM 2985. Bundarkan kepada ringgit terhampir. (c) Kos membuat makanan itu dijangka meningkat sebanyak 50% dari tahun 2019 ke 2021. Cari nombor indeks gubahan kos membuat makanan itu yang dijangkakan pada tahun 2021 berasaskan tahun 2017. P S R Q 110 100 70
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 54 2. Jadual 2 menunjukkan indeks harga dan peratus penggunaan tiga bahan utama dalam penghasilan sebuah gazebo. Bahan Indeks harga pada tahun 2017 (2014 = 100) Peratus penggunaan Batu Bata m 22 Simen 105 26 Pasir 108 Jadual 2 Rajah 2 (a) Hitungkan (i) harga simen yang digunakan pada tahun 2014 jika harganya pada tahun 2017 ialah RM 457, (ii) indeks harga pasir yang digunakan pada tahun 2014 berasaskan tahun 2012 jika indeks harganya pada tahun 2017 berasaskan tahun 2012 ialah 113. (b) Indeks gubahan bagi kos bahan-bahan untuk menghasilkan gazebo tersebut pada tahun 2017 berasaskan tahun 2014 ialah 112.8. Hitungkan (i) nilai m, (ii) kos bahan-bahan untuk menghasilkan sebuah pondok itu pada tahun 2017 jika kos yang sepadan pada tahun 2014 ialah RM 2560.00.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 55 3. Jadual 3 menunjukkan indeks harga dan peratus penggunaan bagi empat barangan J, K, L dan M yang digunakan dalam penghasilan sejenis kasut. Item Harga (RM) pada tahun Harga (RM) pada tahun Indeks Harga tahun 2015 berasaskan tahun 2010 Peratus (%) 2010 2015 J 16.80 x 125 25 K 15.00 12.50 120 p L 10.50 10.00 105 q M 9.00 9.90 y 40 Jadual 3 (a) Cari nilai x dan nilai y. (b) Indeks gubahan bagi kasut tersebut pada tahun 2015 berasaskan tahun 2010 ialah 116.5. Cari nilai p dan nilai q. (c) Indeks gubahan bagi kos penghasilan kasut tersebut dijangka meningkat 20% dari tahun 2015 ke tahun 2020. Hitung indeks gubahan bagi kos penghasilan kasut tersebut pada tahun 2020 berasaskan tahun 2010.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 56 4. Jadual 4 menunjukkan indeks harga pada tahun 2020 bagi empat jenis komponen yang digunakan untuk membina sebuah alat elektronik berasaskan tahun 2016. Jadual 4 Rajah 4 (a) Hitungkan harga komponen A pada tahun 2016 jika harganya pada tahun 2020 ialah RM59.95. (b) Indeks gubahan bagi alat elektronik itu pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016 ialah 112. Hitungkan (i) pemberat bagi komponen D, (ii) kos untuk membuat sebuah alat elektronik pada tahun 2016 ialah RM250. Cari harga jualan sebuah alat elektronik pada tahun 2020, jika pengeluar alat elektronik ingin mendapatkan keuntungan sebanyak 60%. Komponen A B C D Indeks harga pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016 110 120 125 105 Pemberat Komponen A B C D 1 2 4
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 57 5. Jadual 5 menunjukkan indeks harga, perubahan indeks harga dan pemberat bagi empat bahan A, B, C dan D yang merupakan bahan-bahan utama yang digunakan untuk membuat satu tin biskut. Bahan Indeks harga pada tahun 2018 berasaskan tahun 2016 Perubahan Indeks harga dari tahun 2018 ke tahun 2020 Indeks harga pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016 Pemberat A 112 Tak berubah 112 1 B 140 Menyusut 10% y 4 C x Tak berubah 90 w D 130 Menokok 5% z 3 Jadual 5 (a) Cari nilai x, y dan z, (b) Hitung (i) harga bahan B pada tahun 2016 jika harganya pada tahun 2018 ialah RM 8.40. (ii) harga bahan D pada tahun 2020 jika harganya pada tahun 2016 ialah RM 4.50. (c) Indeks gubahan bagi kos membuat satu tin biskut pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016 ialah 113.5. Cari nilai w.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 58 6. Jadual 6 menunjukkan jumlah jualan komputer riba yang direkodkan oleh sebuah syarikat komputer antarabangsa dari tahun 2015 hingga 2017. Tahun Jualan (unit) 2015 y ribu 2016 68 ribu 2017 83 ribu 2018 105 ribu Jadual 6 Hitung (a) nombor indeks jualan komputer riba pada tahun 2017 berasaskan 2016, (b) nilai y, diberi nombor indeks jualan komputer riba pada tahun 2018 berasaskan 2015 ialah 75, (c) indeks jualan komputer riba pada tahun 2020 berasakan tahun 2018 jika indeks jualan komputer riba pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015 ialah 120.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 59 11. SUKATAN MEMBULAT 1. (a) Tukarkan 45° kepada radian, dalam sebutan π. (b) Rajah menunjukkan sektor ROS bagi bulatan yang berpusat O. (i) Tukarkan sudut sektor minor ROS kepada radian. (ii) Cari panjang, dalam cm, lengkok major RS. 2. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa panjang lengkok major ST adalah 46.27 cm, cari jejari, dalam cm. 50 7 cm O R S T 1.67 rad S O O
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 60 3. Rajah menunjukkan sektor OAB, berpusat O. Diberi bahawa panjang lengkok AB adalah 2.49 cm, hitung luas sektor OAB. 4. Rajah menunjukkan sektor OPQ yang berpusat O. Diberi bahawa luas sektor OPQ ialah 28.35 cm2 , hitung panjang, dalam cm, OP. B O 0.83 rad A P O Q 0.62 rad
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 61 5. Rajah menunjukkan sektor AOB bagi sebuah bulatan berpusat O. Diberi OA = OB = 6 cm dan luas sektor AOB ialah 9 cm2 . Cari (a) nilai θ, dalam radian. (b) panjang, dalam cm, lengkok AB. 6. Rajah menunjukkan sektor ORS, berpusat O. Cari (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. A O B θ R O 56 15 cm S
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 62 7. Rajah menunjukkan sektor sebuah bulatan berpusat O dengan jejari 10 cm. Lengkok minor PQ yang dicangkum oleh sudut 60°. Cari perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. 8. Rajah menunjukkan dua sektor, OAB dan OCD, berpusat O. Diberi bahawa OA = m cm, cari (a) perimeter, dalam cm, sektor AOB, dalam sebutan m, (b) luas, dalam cm2 , rantau ABCD, dalam sebutan h dan m. P O Q A C O B h cm D 0.5 rad.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 63 9. Rajah menunjukkan sektor OPQ, berpusat O. Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 20 cm. Ungkapkan (a) h dalam sebutan α, (b) perimeter dan luas sektor OPQ , dalam sebutan α. P Q h cm α O
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 64 10. Rajah menunjukkan lengkok PQR bagi bulatan berpusat O dan lengkok PSR bagi bulatan berpusat C. Panjang lengkok PQR ialah 10 cm dan OR = OP = OC = 5 cm. Diberi bahawa = POR PCR 2 . [Gunakan = 3.142] Cari (a) PCR dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. P Q S O C R
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 65 12. PEMBEZAAN 1. Cari nilai bagi (a) 0 3 3 had x x → x + − (b) ( ) " f 1 jika ( ) 2 4 ( ) 2 3 3 f x x = − 2. Diberi 3 4 y x x = − + ( 3)((2 5) , cari nilai bagi dy dx apabila x = 1 3. Diberi persamaan suatu lengkung ialah 1 1 x y x + = − dan lengkung itu melalui P (3, 2). Cari (a) kecerunan lengkung pada titik P, (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik P.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 66 4. Lengkung 4 y px x = + 2 mempunyai titik pusingan pada (−1, q). Cari nilai p dan nilai q. 5. Diberi fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah 2 3x px − dengan keadaan p adalah pemalar. Garis lurus 7 13 0 y x − − = ialah normal kepada lengkung itu pada titik A (1, 2). Cari (a) nilai p, (b) nilai bagi x apabila lengkung itu adalah maksimum. 6. Segi empat tepat PQRS dengan panjang x cm dan lebar y cm mempunyai luas 14 cm2 . Tunjukkan perimeter, P cm segi empat tepat itu diberi oleh 28 P x2 x = + . Seterusnya, cari nilai P yang maksimum atau minimum.
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 67 7. Rajah menunjukkan sekeping kadbod berbentuk segi empat tepat ABCD.Tepi AB dan DC dicantumkan untuk membentuk silinder terbuka seperti ditunjukkan. Diberi perimeter ABCD ialah 150 cm dan isipadu bagi silinder ialah V cm3 . (a) Tunjukkan bahawa ( ) 2 75 4 x V x = − (b) Cari nilai x apabila isipadu itu adalah maksimum. 8. Diberi 2 y x x = − + 6 2 dan x menyusut pada kadar 0.5 unit s-1 apabila x = 4. Cari kadar perubahan pada y. h cm h cm C x cm D A B
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 68 9. Luas, L cm2 bagi sebuah pepejal diberi oleh 2 3 6 2 j L j = + . Diberi bahawa kadar perubahan luas pepejal itu ialah 8 cm2 s -1 . Cari kadar perubahan jejari, dalam cm s-1 , apabila jejari adalah 4 cm. 10. Sebuah bekas berbentuk kon dengan diameter 18 cm dan tinggi 16 cm dituangkan air ke dalamnya dengan kadar malar 4π cm3 s -1 . Hitung kadar perubahan jejari bagi permukaan air pada ketika tinggi aras air ialah 9.6 cm. [Isi padu air di dalam bekas ialah 16 3 27 V j = ]
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 69 11. Diberi y x = + 2 1 . Cari nilai dy dx pada titik (4,3). Seterusnya, hitung perubahan kecil bagi x apabila y menokok daripada 3 kepada 3.04. 12. Jejari, j cm, sebuah sfera menyusut daripada 8 cm kepada 7.97 cm. Hitung perubahan yang hampir bagi isi padunya, I cm3 . 13. Diberi 3 1 y x = , cari nilai dy dx apabila x =1 . Seterusnya, tentukan nilai hampir bagi (a) 3 2 (0.99) (b) 3 2 (1.02)
Modul Intervensi Pembelajaran@AKRAM (MIP 2023) Additional Mathematics 70 14. Diberi 2 s t t = − 3 ( 2) . Cari peratus perubahan hampir dalam s apabila t menokok sebanyak 2% daripada 3. 15. Diberi 2 y x x = + 2 dan terdapat tokokan kecil dalam x sebanyak m% apabila x = 4 . Cari peratus perubahan dalam y dalam sebutan m yang sepadan.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 71 13. PENGAMIRAN 1. Diberi 2 3 (9 2) 2 , x dx px x c + = + + dengan keadaan p dan c adalah pemalar, cari (a) nilai p, (b) nilai c jika 2 (9 2) 10 x dx + = bila x = 1. 2. Diberi bahawa ( ) 2 2 (3 2) , 3 2 p dx t x c x − = − + − (a) Cari nilai bagi t dan p. (b) Seterusnya, cari nilai bagi ( ) 2 1 8 3 2 dx p x− .
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 72 3. Diberi = k g x dx 1 ( ) 8 dan [2 ( )] 16 1 − = k x g x dx . Cari nilai-nilai bagi k. 4. Diberi 5 1 g x dx ( ) 4, = cari (a) nilai 5 1 2 ( ) , g x dx (b) nilai bagi k jika 2 5 1 2 g x dx g x kx dx ( ) ( ) 10. + + =
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 73 5. (a) Diberi x x y 1 3 2 − = dan f (x) dx dy = , cari 2 f (x) dx . (b) Diberi 2 3 2 4 1 d y x dx = + , apabila 1 1, , 3 2 dy x y dx = − = = , cari y dalam sebutan x. 6. Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 4x ‒ 2 4 x mempunyai satu titik pusingan (h, 6). (a) Cari nilai bagi h. (b) Tentukan sama ada titik pusingan itu adalah titik maksimum atau titik minimum. (c) Cari persamaan lengkung itu.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 74 7 Rajah menunjukkan satu garis lurus PR, 2y + x = 11 dan satu garis lengkung 2 1 3 x y = + . Diberi titik T dan Q terletak di atas lengkung manakala garis lurus QS adalah selari dengan paksi-y. Cari (a) nilai a, nilai b dan koordinat T. (b) luas rantau yang berlorek. (c) isipadu janaan, dalam sebutan , apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-y, dan garis lurus y = 3 dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. 2 1 3 x y = + x y 0 Q(3,b) S R(a,0) P T● ● ●
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 75 14. PILIH ATUR & GABUNGAN 1. Rajah menunjukkan enam kad berlainan huruf. F L O W E R Hitung bilangan cara yang berlainan untuk menyusun semua kad itu dalam satu baris jika (a) tiada syarat dikenakan, (b) kad pertama adalah huruf konsonan, (c) kad terakhir adalah huruf vokal. 2. Rajah menunjukkan kad bernombor berlainan digit. 1 4 5 6 9 Hitung (a) bilangan nombor lima digit dapat dibentuk tanpa ulangan, (b) bilangan nombor genap empat digit yang dapat dibentuk tanpa ulangan. 3. Rajah menunjukkan lima keping kad yang berlainan huruf. Hitung bilangan cara yang berlainan untuk menyusun semua kad itu dalam satu baris jika (a) tiada syarat dikenakan, (b) huruf O dan huruf I adalah sebelah menyebelah, (c) huruf O dan huruf I berasingan. C O V I D
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 76 4. Enam orang pelajar mengambil tempat duduk seperti Rajah. Cari bilangan susunan berlainan yang mungkin. 5. Enam orang tetamu termasuk sepasang suami isteri akan duduk di sebuah meja bulat. Cari bilangan untuk menyusun mereka jika suami isteri mesti duduk sebelah menyebelah. 6. 10 biji manik berlainan warna digunakan untuk membuat seutas gelang kanak-kanak. Cari bilangan cara untuk menyusun manik-manik tersebut.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 77 7. Perkataan ADDITIONAL hendak disusun dalam satu baris. Cari (a) bilangan susunan yang mungkin, (b) bilangan cara menyusun jika huruf vokal berada sebelah menyebelah. 8. Huruf-huruf dari perkataan MALAYSIA hendak disusun sebaris. Cari bilangan cara berlainan untuk menyusun semua huruf itu. 9. Satu pasukan terdiri daripada 5 pelajar. Pasukan itu dipilih daripada sekumpulan 6 lelaki dan 4 perempuan. Hitung bilangan pasukan yang dapat dibentuk dengan keadaan setiap pasukan mengandungi (a) tepat 4 lelaki, (b) tidak lebih daripada 2 perempuan.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 78 10. Satu pasukan debat terdiri daripada 5 pelajar. Pasukan itu dipilih daripada 4 ketua kelas, 2 penolong ketua kelas dan 6 pengawas. Hitung bilangan pasukan berlainan yang dapat dibentuk jika (a) tiada syarat dikenakan, (b) pasukan itu terdiri daripada seorang ketua kelas dan tepat tiga orang pengawas. 11. Terdapat 10 pelajar yang berhasrat untuk mengambil bahagian dalam tiga pertandingan. 4 peserta diperlukan untuk pertandingan koir, 3 peserta untuk pertandingan kuiz dan 2 peserta untuk pertandingan menulis esei. Cari bilangan cara untuk memilih peserta dengan keadaan setiap pelajar hanya dibenarkan untuk mengambil bahagian dalam satu pertandingan sahaja. 12. (a) Diberi 8 8 3 , 3 C C n = n , nyatakan nilai bagi n. (b) Diberi k k C C h g = , ungkapkan k dalam sebutan h dan g.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 79 13. Titik A, B, C dan titik D, E, F, G adalah titik berlainan yang berada di dua bahagian sungai berlainan. Yusri ingin membina jambatan untuk menyeberangi sungai tersebut dengan menghubungkan antara dua titik tersebut. Cari bilangan cara untuk membina sebuah jambatan, (a) jika tiasa syarat di kenakan. (b) jika titik B, E dan F tidak boleh digunakan. 14. Rajah menunjukkan 6 keping kad berhuruf. M A S T E R Aiman menyusun semua kad dalam rajah mengikut dua susunan berikut. Susunan 1 Semua kad disusun dalam bulatan dengan keadaan huruf M dan R adalah bersebelahan Susunan 2 Semua kad disusun dalam satu baris dengan keadaan huruf-huruf konsonan adalah bersebelahan Tentukan susunan yang manakah menunjukkan bilangan susunan yang paling banyak. Tunjukkan pengiraan anda.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 80 15. TABURAN KEBARANGKALIAN 1 (a) Azfar melambung tiga keping duit syiling yang adil secara serentak. X mewakili bilangan Azfar berjaya mendapat angka. (i) Senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X. (ii) Cari taburan binomial bagi bilangan berjaya mendapat angka. Seterusnya plotkan grafnya. (b) X ialah suatu pemboleh ubah rawak selanjar yang bertaburan normal dengan min 55 dan varians 36. Cari (i) skor-z jika X = 62.4 (ii) P X (52 56.5)
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 81 2. (a) Keputusan suatu kajian ialah suatu pemboleh ubah rawak binomial, X, dengan min 5 dan sisihan piawai 2. Jika X B n p ( , ) , cari nilai n dan p. (b) Kebarangkalian yang diwakili oleh luas kawasan berlorek ialah 0.3238. (i) Cari nilai k (ii) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min ialah 80 dan varians ialah 9. Cari nilai X apabila skor-z ialah k. 0 f (z) k z 0.3238
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 82 3. (a) Satu tinjauan di sebuah sekolah menunjukkan 45% daripada jumlah murid menaiki bas ke sekolah. 7 orang murid dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian (i) tepat 3 orang murid menaiki bas ke sekolah (ii) semua 7 orang murid menaiki bas ke sekolah (iii) tepat 3 orang murid tidak menaiki bas ke sekolah (b) Dalam sebuah kelas, 30 orang murid menduduki ujian kecerdasan minda. Markah yang diperoleh adalah bertaburan secara normal dengan min dan sisihan piawai 5. Cari, (i) nilai jika kebarangkalian seorang murid yang dipilih secara rawak mendapat markah kurang daripada 60 ialah 0.2676. (ii) bilangan murid yang mencapai markah lebih daripada 65.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 83 4. (a) Jadual di bawah menunjukkan taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak diskret X. (i) Cari nilai k (ii) Cari peratus bagi P X( 1) (b) Tinggi sekumpulan pelajar lelaki di sebuah sekolah bertaburan secara normal dengan min dan varians 2 . 25% daripada mereka mempunyai ketinggian lebih daripada 170 cm dan 10% daripada mereka mempunyai ketinggian kurang daripada 155 cm. Cari nilai dan . X r = 0 1 2 3 4 5 P X r ( = ) 1 4 k 1 9 k 2k 5 36 1 36
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 84 16. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. (a) Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai berikut : (i) 0 0 sin 30 tan 60 (ii) π π tan kos 4 3 π π sin tan 4 4 + (b) Diberi kos = k bagi 0 90, ungkapkan dalam sebutan k (i) sek , (ii) sin 2.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 85 2. Diberi tan x = 15 8 dan kos y = − 3 5 dengan x dan y terletak pada sukuan yang sama. Cari nilai (a) kot x, (b) sek y. (c) kos x, (d) sin y, (e) sin (x + y), (f) kos 2y. 3. (a) Selesaikan persaman 1 kos 3 x = − untuk 0 0 0 360 x . (b) Selesaikan persamaan kos sin kos x x x + = 0 bagi 0 x 360.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 86 4. (a) Selesaikan persamaan 2 2 sin kos kos x x x = + bagi 0 x 360. (b) Selesaikan persamaan 2 sin kos kos x x x = untuk 0 0 2 x π . 5. (a) Selesaikan persamaan kos 2x = 3 kos x – 2 bagi 0 x 360. (b) Selesaikan persamaan tan 2 1 A = untuk 0 2 A π .
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 87 6. (a) Lukiskan graf y x = +2 3sin 2 , menggunakan skala 2cm kepada 0 45 pada paksi – x dan 4 cm kepada 1 unit pada paksi – y untuk 0 x 360. (b) Lakarkan graf fungsi y x = + 3sin 2 1 untuk 0 x 360. 7. (a) Lakar graf bagi y x = 4sin 2 untuk 0 x 2. (b) Cari persamaan garis lurus yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan 4 sin 2 4 . x x + = (c) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus itu dan nyatakan bilangan penyelesaian bagi persamaan 4 sin 2 4 x x + = untuk 0 x 2.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 88 8. (a) Lakar graf bagi 3 2 kos 2 y x = untuk 0 x 2. (b) Cari persamaan garis lurus yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan 3 3 kos 1 2 4 x x = − . (c) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus itu dan nyatakan bilangan penyelesaian bagi persamaan 3 3 kos 1 2 4 x x = − untuk 0 x 2. 9. (a) Lakar graf bagi y = | tan x | untuk 0 x 2. (b) Seterusnya, pada paksi-paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari penyelesaian bagi persamaan | tan x | − 2 x = 1 untuk 0 x 2. Nyatakan bilangan penyelesaian.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 89 17. PENGATURCARAAN LINEAR 1. Sebuah Kelab Kecergasan Komuniti ingin mengadakan kelas aerobik dan kelas Zumba. Kelas itu akan dihadiri oleh x orang peserta kelas aerobik dan y orang perserta kelas Zumba. Pemilihan peserta adalah berdasarkan syarat-syarat berikut: I Jumlah bilangan peserta adalah sekurang-kurangnya 50 orang II Bilangan peserta kelas Zumba adalah selebih-lebihnya dua kali bilangan peserta kelas aerobik. III Peruntukan maksimum untuk perbelanjaan bengkel itu ialah RM5400. Perbelanjaan untuk seorang peserta kelas aerobik ialah RM90 manakala perbelanjaan untuk seorang peserta kelas Zumba ialah RM60. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan selain daripada x 0 dan y 0 yang memuaskan semua kekangan di atas. (b) Seterusnya, menggunakan skala 2 cm kepada 10 peserta untuk kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas. (c) Menggunakan graf di (b), cari (i) bilangan maksimum dan minimum peserta kelas aerobik apabila peserta kelas Zumba ialah 20 orang. (ii) kos minimum untuk menjalankan kursus.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 90 2. Syarikat Maju ingin membekalkan vaksin Alpha dan vaksin Beta kepada sebuah klinik bagi menyekat penularan sejenis penyakit berjangkit di Kawasan tersebut. Klinik itu bersetuju untuk membeli x dos vaksin Alpha dan y dos vaksin Beta daripada syarikat Maju. Pembelian vaksin adalah berdasarkan kekangan berikut: I Bilangan pembelian tidak boleh melebihi 100 dos II Bilangan pembelian dos vaksin Beta tidak melebihi empat kali bilangan pembelian dos vaksin Alpha. III Bilangan pembelian dos vaksin Beta mestilah melebihi pembelian dos vaksin Alpha sekurang-kurangnya 10 dos. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan selain daripada x 0 dan y 0 yang memuaskan semua kekangan di atas. (b) Seterusnya, menggunakan skala 2 cm kepada 10 dos pembelian vaksin untuk kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas. (c) Menggunakan graf di (b), cari (i) julat dos pembelian virus Beta jika pembelian virus Alpha sebanyak 30 dos (ii) jumlah bayaran maksimum yang diperolehi oleh syarikat Maju jika setiap dos vaksin Alpha dijual RM50 dan vaksin Beta pula dijual RM 60.
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 91 3. Ahmad mempunyai peruntukan sebanyak RM225 bagi membeli x buah majalah dan y buah mainan bagi memenuhi hobi masa lapangnya. Jumlah kedua-dua barangan yang hendak dibeli mestilah tidak kurang daripada 15 buah. Bilangan buku adalah selebihlebihnya 3 kali bilangan mainan yang dibeli. Harga sebuah buku ialah RM9 dan harga sebuah mainan ialah RM5. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Gunakan skala 2 cm kepada 5 buah barangan pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Jika Ahmad membeli 10 buah mainan, berapakah baki maksimum peruntukkannya itu?
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 92 18. KINEMATIK GERAKAN LINEAR 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v ms−1 , diberi oleh 2 v pt qt = + 2 , dengan keadaan p dan q ialah pemalar dan t ialah masa dalam saat. Zarah itu berhenti seketika selepas 2 saat dan pecutan pada ketika itu ialah 8 ms−2 . [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif] Cari (a) nilai p dan q, (b) masa, dalam saat, apabila zarah kembali semula ke titik tetap O,
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 93 (c) jarak yang dilalui, dalam m, oleh zarah itu dalam saat kelima. “THE ONLY WAY TO LEARN MATHEMATICS IS TO DO MATHEMATICS”
MODUL INTERVENSI PEMBELAJARAN SPM 2023 MATEMATIK TAMBAHAN PERATURAN PEMARKAHAN
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 94 0 29 (6, 29) • • x y • (3, 2) 0 −6 (2, −8) • • x y •(4, −6) 1. FUNGSI 1. (a) 2 3 − (b) 37 30 − (c) 4 3 2. (a) (i) 7 (ii) 4x – 5 (b) 3. (a) (i) 1 1 ( ) 2 x g x − + = (ii) 4x 2−1 (b) 15 4. (a) (i) f (x) (ii) y (b) (i) g(x) = 13 – 3x (b) (ii) 5. (a) (i) k = −3 (ii) h : x → x − 2 (b) m = 2 6. (a) 1 3 5 q p − = (b) 3 10 h k + = 7. (a) 3 2 − (b) 1 , 2 2 x x = = − (c) 1 , 2 2 h h = − = 8. (a) y x = + 2500 130 (b) 30 2. FUNGSI KUADRATIK 1. (a) y = – 2944, 0544 (b) p = 1 (c) p q = − −1 2 2. (a) k = −4, 8 (b) p −1 (c) k < 3 4 − , k > 3 (d) 2 x x + − = 72 0 3. (a) x = 3 (b) q = −3, r = 2, p = 3 (c) 4. 1 2 a = , h = 2, k = −8 5. (a) (i) min. value = 7, value of x is 1 (ii) p > 7 (b) (i) k = 5p, h = 2p 2 (ii) t < 6 JAWAPAN x y 0 • (0, 13)• • 13 3 (13, 0) • 13 3 x -2 0 5 4 2 y • • (−2, 13) • (2, 3)
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 95 3. SISTEM PERSAMAAN 1. x y z = = = 2, 1, 3 2. x y z = − = = 1, 3, 1 3. 1 3 , 2, 2 2 x y z = = = − 4. 5 5 , ; 2, 3 2 2 x y x y = = = = 5. x = 0.196, x = −10.196 y = 6.608, y = 27.392 6. 2 (4,5) ( , 6) 5 P dan Q − − 7. x = 1.198, x = −0.835 y = 0.0990, y = −0.917 8. x = −1.715 , x = 0 y = 3.143, y = 2 9. Panjang sisi padang SK Cenderawasih ialah 80m Panjang sisi padang SK Bentara ialah 50m. 4. INDEKS, SURD DAN LOGARITMA 1. (a) 5 16 5 m− (b) x = −7 (c) 7 1 k h = − 2. (a) 4 3 (b) ( ) 6 28 3 n 3. (a)(i)surd (ii)bukan surd (b) 3 12 2 15 7 + + 4.(a) (i) 3 5a a (ii) 12 4 3 + (b) 1 2 2 + 5. (a) 2 (b) 5 (c) 3 6. (a)(i)2p + 3(ii) 3 p (b) 0.5283 (c)(i) 273.41 (ii) 0.3709 7. (a)(i)2k (ii) 3 + k (iii) 5 k (b) 2 3 n m + (c) x y + + 2 5. JANJANG 1. (a) Beza sepunya = 4 (b) 825 2. (a) m = 3 (b) 3. n = 21 4. (a) Janjang Aritmetik kerana 1 2 d d = = 7 . (b) (c) 5. (a) (b) 6. (a) 2 3 (b) 243 7. 99 kh 8. (a) (b) 96.66 juta 9. 288 10. (a) j =15 cm (b) (i) (ii) cm 11. RM 25110 12. (a) 3 4 r = (b) (c) 6. HUKUM LINEAR 1. (a) 1 2 a = , (b) y =16 2. 5 4 m =− , 51 4 n = 3. 5(3 1) k p r + = 4. (a) p =−3 , q =12 , r = 0 (b) s =12 , t = 3
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 96 5 (a) (c) p = −22.22 , q = 13.89 6 (a) (c) (i) k = 1.30 ± 0.05 (ii) h = 13.48 ± 0.10 (iii) y = 4.02 ± 0.05 7 (a) (c) (i) y =1.25 (ii) a = 0.75 (iii) b =−3 7. GEOMETRI KOORDINAT 1. (a) y x = − − 6 9 (b) 1 5 6 4 y x = − 2. (a) 3 2 (b) 32 3 − 3. a = 4 3 − , b = −11 4. (a) R(3, 10) (b) y = 1 23 2 2 − +x (c) 2 2 x y y + − − = 8 4 0 5. m = 3 6. (a) 2x + 3y + 5 = 0 (b) Tidak kerana 3(0) + 2(0) +5 ≠ 0 7. (a) A (0, 2) (b) C (10, 7) (c) 10 unit2 8 (a) 21 2 (b) 4 9 3 2 y x = − − (c ) 21 7 , 5 5 C − − 2 2 ( ) 14 14 2 0 d x y x y + − − − = 9. (a) (i) y = 2x + 17 (ii) (−8, 1) (b) (−14, −11) (c) x 2 + y 2 + 8x −18y + 72 = 0 8. VEKTOR 1. (a) 2a b − (b) 1 4 − (c) 1 2 p = − 2. (a) (i) n m+ (ii) 2n (b) (i) h = – 3 (ii) k = 5 3. (a) k = 5, k = 1 (b) 2 : 1 4. (a) − + 6 3 i j (b) 2 i j + (c) 2 2 2 i j + 5. (a) (i) − + 2 4 x y (ii) 4 4 x y + (b) 13.42 6. (a) (i) − + 4 12 x y (ii) 3 3 x y + 7. (a) (i) − + 2 2 x y (ii) − + 2 6 x y (iii) − + 6 2 x y 8. (a) (i) a b +2 (ii) − + 4 2 a b (b) (i) h( a b +2 ) (ii) (4 4 ) 2 − + k a kb (c) 4 4 , 5 5 h k = = 9. (a) (i) − + 8 4 a b (ii) 6 4 a b + (b) (i) m( − + 8 4 a b ) (ii) n( 6 4 a b + ) (c) 4 3 , 7 7 m n = = 9. PENYELESAIAN SEGITIGA 1. (a) 109.08 (b) 5.391 (c) 38.06 2. (a) (i) 123.56 (ii) 128.68 (iii) 24.29 3. (a) (i)1337 cm (ii) 2465 (b) 2942 cm2 4. (a) 4558 (b) 5119 cm (c) 1921 (d) 3699 cm2 5. (a) (i) 44.42o (ii) 5.214 (b) (ii) 4.888 1 x 0.50 0.33 0.25 0.20 0.17 0.14 1 y 0.49 0.31 0.23 2.54 0.17 0.10 x 2 3 4 5 6 7 log 10 y 0.89 0.78 0.66 0.55 0.44 0.32 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 y 2.25 1.85 1.49 1.01 0.65 0.25
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 97 10. NOMBOR INDEKS 1. (a) x y z = = = 125, 2.80, 0.50 (b) (i) 121.11 (ii) 2465 (c) 181.67 2. (a) (i) 435.24 (ii) 104.63 (b) (i) m = 133.36 (ii) 2887.68 3. (a) x y = = 21, 110 (b) 30, 5 p q = = (c) 139.8 4. (a) 54.50 (b)(i) 3 (ii) 448 5. (a) x y z = = = 90, 126, 136.5 (b) (i) 6.00 (ii) 6.14 (c) w = 5 6. (a) 122.06 (b) y =140000 (c) 160 11. SUKATAN MEMBULAT 1. (a) 4 (b) (i) 0.8728 (ii) 37.88 2. j = 10.03 3. 3.735 4. OP = 9.563 5. (a) 0.5 (b) 3 6. (a) 28.75 (b) 16.70 7. 20.47 8. (a) 5 2 m (b) 2 2 4 h mh + 9. (a) 20 h = (b) 2h + 20, 200 Luas = 10. (a) 1 (b) 18.78 (c) 17.48 12. PEMBEZAAN 1. (a) 1 2 3 (b) 72 2. 1715 3. (a) 1 2 − (b) y x = − 2 4 4. 1 2 p = , 3 2 q =− 5. (a) p =10 (b) x = 0 6. Minimum, P = 14.97 7. 50 8. −1 9. 0.2190 10. 25 324 11. 0.12 12. −24.13 13. (a) 2.06 (b) 1.88 14. 10 % 15. 1.7m % 13. PENGAMIRAN 1. (a) p = 3 (b) c = − 5 2. (a) , (b) 4 45 − 3. k = 5 4. (a) 8 (b) 4 7 k = 5. (a) 2 − x x 1 3 2 + c (b) 5 2 16 3 5 2 5 x x y x = + + + 6. (a) h = 1 (b) minimum (c) 2 4 y x2 x = + 7. (a) a = 11, b = 4 , T ( 0 , 1 ) (b) 22 unit2 (c) 3 6 unit
Modul Intervensi Pembelajaran (MIP 2023) Additional Mathematics 2023 Akram Add Math 98 14. PILIHATUR & GABUNGAN 1. (a) 720 (b) 480 (c) 240 2. (a) 120 (b) 48 3. (a) 120 (b) 48 (c) 72 4. 120 5. 48 6. 181440 7. (a) 453600 (b) 10800 8. 6720 9. (a) 60 (b) 186 10. (a) 792 (b) 160 11. 12600 12. (a) n = 5 (b) k = h + g 13. (a) 12 (b) 4 14. Susunan 1 : 48, Susunan 2 : 144 Susunan 2 paling banyak 15. TABURAN KEBARANGKALIAN 1. (a) (i) X ={0,1,2,3} (ii) 1 3 ( 0) , ( 1) , 8 8 3 1 ( 2) , ( 3) 8 8 P X P X P X P X = = = = = = = = (b) (i) 1.233 (ii) 0.2902 2. (a) 1 , 25 5 p n = = (b)(i) k =0.93 (ii) 82.79 3. (a) (i) 0.2918 (ii) 0.003737 (iii) 0.2388 (b) (i) 63.1 (ii) 10 orang 4. (a) (i) 2 9 (ii) 83.33% (b) = 7.669 , =164.83 16. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. (a) (i) 3 6 (ii) 2 2 2 − (b) (i) 1 k (ii) 2k 2 1− k 2. (a) 8 15 (b) 5 3 − (c) 8 17 − (d) 4 5 − (e) 77 85 (f) 25 7 − 3. (a) 0 0 109.47 ,250.53 (b) 90 , 270 4. (a) 60, 180, 300 (b) 5 , 4 4 5. (a) 0, 60, 300, 360 (b) 5 9 13 , , , 8 8 8 8 7. Bilangan penyelesaian = 4 8. Bilangan penyelesaian = 3 9. Bilangan penyelesaian = 4 17. PENGATURCARAAN LINEAR 1. (a) . , (c) (i) Nilai maksimum , Nilai minimum (ii) Kos minimum = RM 3 510 2. (a) . , (c) (i) (ii) RM 5 800 3. (a) . , (c) RM 130 18. GERAKAN PADA GARIS LURUS (a) q = − 4, p = 4 (b) t = 3 (c) 45.33