BAHAN AJAR KELAS: X TRIGONOMETRI Oleh: Rizka Meyni Sari, S.Pd Rangkuman materi dan pembahasan soal
1 A. Perbandingan Trigonometri Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudut dalamnya adalah 90o . Hubungan sisi dan sudut pada segitiga siku-siku dipelajari dalam trigonometri. Sebelum mempelajari perbandingan trigonometri pahamilah ketiga sisi pada segitiga siku-siku. Sisi depan: Sisi yang berada di depan sudut yang diketahui. Sisi samping: Sisi yang berada di samping sudut yang diketahui. Sisi miring: Sisi yang berada di depan sudut siku-siku dan sisi terpanjang dari segitiga. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku digunakan untuk mengetahui panjang sisi atau sudut segitiga. Berikut ini rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. sin = = csc = 1 sin = = cos = = sec = 1 cos = = tan = = cot = 1 tan = = Ayo berlatih! Tentukan nilai sin, cos, dan tan dari segitiga ABC! Penyelesaian: tentukan sisi miring menggunakan teorema Pythagoras. 2 = 2 + 2 = √(2) 2 + (√5) 2 = √4 + 5 = √9 = 3 Jadi nilai perbandingan trginometrinya adalah: sin = = √5 3 cos = = 2 3 tan = = √5 2
2 B. Aplikasi Trigonometri Hubungan trigonometri dan pengukuran banyak dimanfaatkan untuk berbagai macam profesi. Tukang kayu, pekerja konstruksi, perancang, arsitek, dan lain-lain yang berurusan dengan objek segitiga. Perbandingan trigonometri bisa diterapkan dalam kehidupan nyata yaitu untuk mengetahui ketinggian atau kedalaman suatu objek, mengetahui jarak terhadap objek. Pada aplikasi trigonometri akan banyak istilah mengenai sudut elevasi dan sudut depresi. Berikut penjelasannya. Sudut elevasi adalah sudut yang terbentuk jika seseorang melihat ke atas. Sudut elevasi terbentuk dari garis horizontal dengan garis pandang mata terhadap objek yang berada di atas. Sudut depresi adalah sudut yang terbentuk jika seseorang melihat ke bawah. Sudut depresi terbentuk antara garis horizontal dengan garis pandang mata terhadap objek yang ada di bawah. Contoh Soal: Mengukur Tinggi Gedung Seorang arsitek mengamati gedung pada jarak 40 untuk mengetahui ketinggiannya. Tinggi arsitek sampai mata adalah 1,72 m. Kemiringan garis pandang ke puncak
3 gedung dan jarak arsitek terhadap gedung membentuk sudut elevasi = 46,79 . Berapakah tinggi gedung tersebut? Penyelesaian: Gambar ilustrasi segitiga siku-siku yang terbentuk Perhatikan segitiga siku-siku yang terbentuk. Dengan menggunakan trigonometri dapat diketahui tinggi gedung dari atas mata arsitek (x). Tinggi gedung sebenarnya adalah nilai x ditambah tinggi arsitek sampai mata. Jarak arsitek dengan gedung adalah sisi samping segitiga. Diketahui sudut, sisi samping, dan ditanya sisi depan segitiga siku-siku. Maka konsep perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah (depan, samping): tan 46,79o = 40 1,0645 = 40 = 1,0645 × 40 ≈ 42,58 adalah tinggi gedung dari atas mata arsitek Tinggi arsitek sampai mata: 1,72 m Tinggi gedung: 42,58 + 1,72 = 44,3 m Jadi setelah menentukan tinggi menggunakan tangen ditambah tinggi arsitek sampai mata maka tinggi gedung adalah 44,3 m C. Sudut-sudut Istimewa Pada topik sebelumnya nilai sudut pada perbandingan trigonometri tidak diketahui, bisa bernilai , , dan lain sebagainya. Selanjutnya akan dibahas tentang perbandingan trigonometri dengan nilai sudut yang diketahui. Beberapa hal yang penting untuk dipahami tentang sudut dirangkum pada poin berikut ini. note: pada soal cerita akan lebih mudah memahami konsep yang akan digunakan dengan menggambarkan segitiga siku-siku yang terbentuk dan informasi yang diketahui.
4 Sudut dapat diukur dengan dua cara yaitu derajat dan radian. Derajat adalah satuan sudut yang terbentuk dari bagian 1 putaran lingkaran yaitu 360 . Setiap satu bagian lingkaran adalah 1 360 = 1 . Radian adalah satuan sudut di mana panjang busurnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran (1 rad). 1 lingkaran penuh adalah 2 radian 2 = 360 = 180 1 o = 180 dan 1 = 180o Mengubah sudut derajat ke radian dan sebaliknya 45o = 45 × 180 = 4 2 5 = 2 5 × 180o = 72 Nilai perbandingan trigonometri pada sudut istimewa Pada perbandingan trigonometri dikenal istilah sudut-sudut istimewa yaitu sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa menggunakan kalkulator. Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa yang harus diingat adalah sudut 0 , 30 , 45 , 60 , 90 . Dinamakan istimewa karena pada sudut-sudut tertentu, nilai perbandingan trigonometri bersifat special sehingga lebih mudah diingat tanpa harus menggunakan kalkulator. Oleh sebab itu sudut istimewa ini harus dihapalkan agar dapat menghitung perbandingan trigonometri dengan mudah. 0 1 2 1 2 √2 1 2 √3 1 1 1 2 √3 1 2 √2 1 2 0 0 1 3 √3 1 √3 Tak terdefinisi
5 Pembuktian nilai perbandingan trigonometri pada sudut istimewa dapat dilakukan dengan Unit Circle yang bisa diakses pada link berikut: https://www.geogebra.org/m/txgy5atx Sudut Sebuah lingkaran dengan jari-jari = satuan membentuk sebuah segitiga siku-siku. adalah sisi miring pada segitiga. Sisi depan sudut adalah nilai koordinat yang ditandai dengan warna biru. Sisi samping pada segitiga adalah koordinat yang ditandai dengan warna merah. sin30o = = = 1 2 cos 30o = = √ = 1 2 √3 tan 30o = = √ = 1 √3 = 1 3 √3 itulah salah satu cara pembuktian untuk sudut-sudut istimewa. Anda dapat mencoba membuktikan perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa menggunakan Unit Circle (https://www.geogebra.org/m/txgy5atx). Lakukan cara yang sama untuk membuktikan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa lainnya. Anda juga dapat menghapal perbandingan trigonometri pada sudut istimewa menggunakan jari tangan. Sin nilai semakin menuju 1 dan Cos kebalikannya yaitu nilai semakin menuju 0.
6 Sudut Sudut 0 , 90 , 180 , 360 adalah sudut yang terletak pada sumbu atau sumbu sehingga tidak terlihat bentuk segitiga siku-siku untuk dibuktikan nilai perbandingan trigonometrinya. Sebagai contoh perhatikan gambar unit circle untuk sudut 90 . Ingat bahwa kita asumsikan sisi miring adalah = satuan. Sisi depan sudut adalah nilai koordinat yang ditandai dengan warna biru. Sisi samping pada segitiga adalah koordinat yang ditandai dengan warna merah sehingga: sin90o = = = 1 cos 90o = = = 0 tan 90o = = = tak terdefinisi The more that you read, the more things you will know The more that you learn, the more places you will go. - Dr. Seuss-