การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

1

บทท่ี 1.2 การคูณเวกเตอร 

1.2.1 การคณู เวกเตอรดวยสเกลลาร : ถา m เปน เสกลลาร (มขี นาดเพยี งอยา งเดยี ว) m v หมายถงึ
v v A
A A
เวกเตอรท ีม่ ขี นาดเปน m เทา ของ โดยมที ิศทางไปทางเดยี วกบั ถา m เปน บวกแตจะมี

ทิศทางตรงกันขา มกบั v ถา m เปนลบ โดยที่ m อาจเปน จาํ นวนเตม็ หรือเศษสว นกไ็ ด
A

การคูณเวกเตอรด วยสเกลลาร ใชกฎการจดั หมูและกฎการแจกแจง (distributive)
v v v v v v
(r + s )( A + B) = r (A + B) + s (A + B)

= v + v + v + v v
rA rB sA sB A

การหารเวกเตอรด ว ยสเกลาร การหารเวกเตอร ดว ยสเกลลาร r ใหน าํ สวนกลบั ของ r คอื
v v
1 มาคณู กบั A ; v = A( 1 )
r A r
r

1.2.2 การคณู เวกเตอรด ว ยเวกเตอร

มี 2 แบบ คือ ผลคูณเชงิ สเกลลาร( dot Product ) และผลคณู เชงิ เวกเตอร (Crass Product )

1. การคณู แบบ Dot Product

การคณู แบบ Dot Product หรอื สเกลาร Product เปนผลคูณของคา ขนาดของเวกเตอร 2
v v
เวกเตอรใ ดๆ และคณู กบั คา COSINE ของมุมเวกเตอรท้งั สองน้ัน เชน ถา A และ B คือเวกเตอร จะ

ไดวา v v vv
A B AB
• = cos θ AB , ο≤ θ ≤ π

และใชกฎการสลับทีจ่ ะไดว า v • v = v • v
A B B A

v
A

θ AB
v
B

v v รูปแสดง v • v
A B A B

จาก • จะทําใหผลลพั ธเ ปน บวกของสเกลาร 9 เทอม แตละเทอมจะประกอบดวย Dot

Product ของเวกเตอรห น่งึ หนว ยของ 2 เวกเตอรน ี้ ถา มุมระหวางเวกเตอร 1 หนวยทแ่ี ตกตางกนั 2 ตวั

ของระบบพิกดั ฉากเทากบั 900(cos 900=0) จึงได
arx • avy = a y • avx = arx • avz = avz • avX = avY • avz = a z • avy = 0

สวนอีก 3 เทอม (cos00=1) จงึ ได
avvx •vavx = avy • avy = avz • avz = 1
ดงั นั้น A • B = Ax B x + Ay B y + Az B z

2

เวกเตอรท ่ี Dot ตัวเองจะใหคาขนาดกําลงั สองคือ v • v = A2 = v2
A A A

เวกเตอรห นงึ่ หนวยท่ี Dot ดวยตวั เองจะเทา กบั 1 ∴ av • av = 1

Vector Projection v
B
การหาสว นประกอบของเวกเตอรในทิศทางทก่ี ําหนด เชน สวนประกอบสเกลารของ ใน
ทิศทางเวกเตอรหนง่ึ หนว ย av คือ
v • av v av
B = B cos θ BA

สว นประสตกัวรออปุ บยไคาดงอื ว เชาBน สxวสavนวxปนหรประรือกะ(อกBบvอxขบอ•ขงอavงBxvB)ใvavนใxทนศิททศิ าทงาขงอขงองavxavx=คBือvB•v • avx = B x และเวกเตอรของ
avx = B
x

v v
A A
avA

θ v
B
avB v
B
v avB
A cos θ = A ⋅

∴ ACOSθ = v • v = v • avB → สวนประกอบของ v ในทศิ ทางของ v
B cos θ = A B = A → สว นประกอบของ A ในทศิ ทางของ B
v v
AvB• v v • avA B A
B B

B

ตวั อยา งท่ี 1 จงแสดงวา ถา cv = v + BváÅéÇc2 = A2 + B 2 + 2 AB cos θ เมอื่ มมุ θเปน
A
v v
มุมระหวา ง A กบั B (หาขนาดใช Dot Product )

v v
B C
v
A θ

วธิ ีทํา c 2 = c • c v
v v (A v
= (A + B) • + B)
v v v v vv v v
= A • A + AB + BA + BB

3

= A2 + vv + B 2
2(AB )

= A2 + B 2 + 2AB cos θ *จาก(Dot Product)

ตัวอยา งที่ 2 จากรูปจงแสดงวา C 2 + D 2 = 2(A2 + B 2 ) และC 2 − D 2 = 4AB cos θ

v DDvv v
C
B

v
A

จากรูป v vv
C = A+B

v vv
D =B −A
vv vv vv
∴C 2 =C •C = (A + B) • (A + B)
vv
= A2 + 2 AB +B 2 = A2 + 2AB cos θ + B 2

และD 2 vv v vv v =B2 v v + A2
=D •D = (B − A) • (B − A) − 2A B

= A2 − 2AB cos θ + B 2

ดงั นัน้ C 2 + D 2 = 2(A2 + B 2 )

C 2 − D 2 = 4 AB cos θ

v v ตวั อยา งที3่ กาํ หนดให v ข2นavาxด−ขอ3งavAyv − 6avz และ v o=favAvx +2a y − 2avz จงหา (ก)
A •B v v A= B ท่อี ยใู นทิศทางของ
A B v
(ข) มุมระหวา ง กับ (ค) (Ccomponent B

วิธีทํา v

A

v
B

v ⋅ avB
A

(ก) vv = AB cos θ AB
A •B

= (2×1)avx • avx + (-3×2)avy − avy +(-6×-2)avz • avz

v = 2-6+12 = 18
A
(ข) หา = √4+9+36 =√49 = 7

หา v = √1+4+4 = √9 =3
B

4

จาก v • v = AB cos θ AB
A B v v

cos θ AB = Av•vB =8 =8 = 0.38
AB (7 × 3) 21

∴θ AB = cos −1 (0.38) = 67 .6 o
v v v •av
(ค) ขนาดของ A ในทศิ ทางของ B คอื A B
v = avx + 2avy 2avz
หาavB ; avB = B −

v B3
A v v
∴ขนาดของ ในทศิ ทางของ B = A • avB

= (2avx − 3avy − 6avz ) • (avx + 2avy − 2avz ) × 1
3

= (2 × 1) + (−3 × 2) + (−6 × −2) = 8 = 2.67 ตอบ

33

2. การคูณแบบ Cross Product

การคณู แบบ Cross Product หรอื Vector Product ดังแสดงดังรูป ซึง่ เปน Cross Product
v v
ระหวางเวกเตอร A และ B เทา กบั
vv
A ×B = AB sin θ AB • avn v v
B A
×

v
avn A
v
θ B

avn คอื Unit Vector vv
A ×B

รูปแสดงทิศทางของ v × v
vv A B
Av × Bv
r × v = AB sin θ • avn ; θ ≤θ ≤ π , avn = A×B
A B

การ Cross Product ใชกฎการสลบั ทีไ่ มได ดังนั้น v × v = v × v
A B −(B A)

5

คณุ สมบัตขิ อง Cross Product มีดงั นี้
avx × avy = avz

avy × avz = avx และ avz × avx = avy
ขอสงั เกต avx → avy → avz → ¡ÅѺä»avx µÒÁà¢çÁ¹ÒÌÔ¡Ò

แตถากลบั ทางก็จะไดขนาดเทา เดมิ แตก ลับเคร่อื งหมายเชน
∴สBavvมyAม=v×ต×Baกิ vBาํxv×ห=a=นvxด−(วAa+vา yzBBA,vayzva=zv−y×A+AaB×vz yBzavayv=x z)a+−vaxvAx+y;aav(vyAx ×z+BavAzx z = −avy
avz x − Ax B z )avy + (Ax B y − Ay B x )avz
− Az B

เขียนใหอยใู นรูปของดเี ทอรม แิ นนทไ ดดังน้ี

v × v = ax ay az
A B Ax Ay Az = (AyBz − AzBy )avx + (AzBx − AxBz )avy + (AxBy − AyBx )avz

Bx By Bz

ตวั อยางท่1ี ถา v = 2avx − 3avy + avz และ v = −4avx − 2avy + 5avz
A avx avy avz B
2 −3 1
วธิ ที ํา v × v =
A B

−4 −2 5
= [(3)(5) − (1)( −2)]avx − [(2)(5) − (1)( −4)]avy + [(2)( −2) − (−3)( −4)]avz

= −13avx − 14avy − 16avz ตอบ

ตวั อยางที่ 2 ถา v = 2avx − 5avy + 3avz ; v = −3avx − 4avy + avz จงหา
v v A B v
A B A)
(ก) × (ข) avz × A (ค) avz × (avz ×

วิธีทาํ (ก) v × v = ax ay az
A B 2 −5 3

−3 −4 1
= [−5(1) − (3)( −4)]avx + [3(−3) − 2 × 1]avy + [2(−4) − (5)( −3)]avz

= 7avx − 11avy − 23avz ตอบ

6

(ข) avz × v = ax ay az ตอบ
A 0 0 1 = 5avx + 2avy ตอบ
−5 3
2

(ค) avz × (avz × v = ax ay az
A) 0 0 1 = −2avx − 5avy

520

ตวั อยา งท่ี 3 ถา v = 3avx + 4ary + 2avz ; v = −avx + avz จงหา
vv A v v B
A •B A B
(ก) (ข) ×

วิธีทาํ vv
A • B = (3)( −1) + (4)(0) + (2)(1)
(ก)

= −3 + 2 = −1 ตอบ

(ข) v v avx avy avz
A×B = 3 4 2 = (4 + 0)avx + (−2 − 3)avy + (0 + 4)avz

−1 0 1 ตอบ
= 4avx − 5avy + 4avz

7

แบบฝกหดั ทา ยบทที่ 1.2

1. ถา v = 3i v + 4k °áÅÐBv = v v − v จงหาคา cos θเม่ือ θ = cos −1 Avv• v
A +2j 5i + 3j 2k Bv

AB

คาํ ตอบ 13 = 66.94 °
1102

2.ถา F = ( xyz v + 3x 2 y v + (xz 2 −y 2 z v ; ∇ = v ∂ + v ∂ v ∂
)i j )k áÅÐdel i j +k
∂x ∂y ∂z
v v
จงหา ∇ × F v คาํ ตอบ − 2 × yzi + (xy − z 2)j + 2xy − xz )k
A + 1.55avzáÅÐBv = −6.93avy
3. จงหามุมระหวาง = 5.8avy + 4.0avz โดยใชท ัง้ dot product

และ cross product คําตอบ 135° และ 45° หรอื 135°
v = 2avx − 5avy 4avz v = 3avx + 5avy + 2avz
4.กําหนด F − v ..áÅÐ..G จงหา v
v G v G
(ก) องคป ระกอบของ F ในแนว (ข) เวกเตอรอ งคประกอบ ของ F ในแนว

คําตอบ (ก) -4.38 (ข) − 2.13avx − 3.55avy − 1.42avz
v −45avx + 70avy 25avz v 4avx − 3avy + 2avz
5. ถา F = v + ...áÅÐ....G = จงหา v
×F) v v G
(ก) avx × (avy (ข) (avx × avy ) ×F (ค) เวกเตอรหนวยทต่ี ั้งฉากกับ F และ
v v
คาํ ตอบ (ก) − 45ary (ข) − (70arx + 45avy ) (ค) F × G = 215avx + 190 avy − 145avz

6. กําหนดจุด A (2,5,-1), B(3,-2,4) และ C(-2,3,1) จงหา v
RเvวAกBเต•อRรกACารฉ(าขย)ขมอุมง รRะvAหBวบา งนRvRvAABCกับ R AB v
(ก) R AC (ค) ความยาวของการฉายของ บน R AC
(ง)

คาํ ตอบ (ก) 20 (ข) 61.9°(ค) 4.08 (ง) -3.33avx − 1.667avy + 1.667avz