คณิต สสวท. เล่ม 2

350 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

6. แนวคิด T EV
S FW
a
b D
c c
MR

C
a

P A bB Q

N

U

แนวการสรา้ ง
1. ลาก �PQ และบน �PQ สรา้ ง AB ยาว b หน่วย
2. ท่ีจดุ A สร้าง �AR ใหต้ ้ังฉากกบั AB และบน �AR สรา้ ง AC ยาว a หน่วย
3. ลาก �MN ผ่านจุด B และจดุ C
4. ทีจ่ ุด C สร้าง �CS ใหต้ ้ังฉากกบั BC และบน �CS สร้าง CD ยาว c หนว่ ย
5. ลาก �TU ผา่ นจดุ B และจดุ D
6. ทีจ่ ดุ D สร้าง �DV ใหต้ งั้ ฉากกับ BD และบน �DV สร้าง DE ยาวเทา่ กับ BD
7. ทจี่ ดุ B สร้าง �BW ใหต้ ั้งฉากกบั BD และบน �BW สร้าง BF ยาวเท่ากบั BD
8. ลาก EF
จะได้ BDEF เปน็ รูปส่เี หลยี่ มจตั ุรสั ตามต้องการ

แนวคดิ ในการให้เหตผุ ล

เนอ่ื งจาก รูปส่เี หล่ยี มจัตุรัส 3 รปู ที่กำ�หนดให้ มคี วามยาวของดา้ นเท่ากับ a, b และ c หนว่ ย

(กำ�หนดให)้

จะได ้ รปู สเี่ หลี่ยมจัตรุ สั 3 รูปน้ี จะมีพ้ืนท่ี a2, b2 และ c2 ตารางหนว่ ย ตามลำ�ดับ

(พื้นท่ขี องรูปสีเ่ หล่ยี มจตั ุรสั = ความยาวของดา้ น2)

ดงั น้นั ผลบวกของพ้นื ท่ีของรูปสเี่ หล่ียมจตั ุรัส 3 รูปนี้ เทา่ กับ a2 + b2 + c2 ตารางหน่วย

(สมบัติของการเท่ากนั )

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 351

เน่ืองจาก ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มทมี่ ี BˆAC เปน็ มุมฉาก มี AB = b หน่วย และ AC = a หน่วย

(จากการสร้าง )

จะได ้ BC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรสั )
เนอื่ งจาก ΔBCD เปน็ รูปสามเหลี่ยมทมี่ ี BˆCD เปน็ มมุ ฉาก และมี CD = c หนว่ ย

(จากการสรา้ ง )
จะได ้ BD2 = BC2 + CD2
BD2 = (a2 + b2) + c2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั )

(สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน
หรอื BC2 ดว้ ย a2 + b2 และแทน
CD2 ดว้ ย c2)
BD2 = a2 + b2 + c2
(สมบตั ิของการเทา่ กัน)

เนอ่ื งจาก BDEF เป็นรูปสเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั ทแี่ ต่ละด้านยาวเทา่ กับ BD

จะได ้ พ้ืนทข่ี อง BDEF เทา่ กบั BD2 ตารางหนว่ ย (พื้นที่ของรปู สี่เหล่ยี มจตั รุ ัส
= ความยาวของดา้ น2)

(สมบัตขิ องการเทา่ กัน)
ดังนั้น พ้นื ทข่ี อง BDEF เทา่ กบั a2 + b2 + c2 ตารางหน่วย

จะได ้ รปู สเี่ หลยี่ มจตั ุรสั BDEF เปน็ รูปทมี่ พี นื้ ที่เทา่ กับผลบวกของพื้นทีข่ องรูปส่ีเหลีย่ มจตั รุ สั ทง้ั สามรปู
ทก่ี �ำ หนดใหต้ ามตอ้ งการ

7. แนวคดิ อาจเปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มรูปวา่ ว หรอื รปู สีเ่ หล่ียมใด ๆ กไ็ ด้ ดงั น้ี

1) รปู ส่เี หล่ียมรปู วา่ ว 2) รปู สเ่ี หล่ยี มใด ๆ
ถา้ สรา้ งเสน้ ทแยงมมุ ใหต้ ง้ั ฉากกนั กอ่ น แลว้ ก�ำ หนด
4
จุดยอดบนเส้นทแยงมุมท่ีไม่ทำ�ให้มีด้านตรงข้าม
3 ขนานกนั กจ็ ะไดร้ ปู ทต่ี อ้ งการ
2

1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

352 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

8. แนวคดิ 1 m
C
A 60° E
D 60°
F1
20°

G
60°

B

เน่ืองจาก ΔABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ (กำ�หนดให)้
DˆCG = EˆAF = GˆBF = 60° (มุมภายในแต่ละมุมของรปู สามเหล่ยี มดา้ นเทา่
จะได ้ มขี นาด 60 องศา)
(ขนาดของมมุ ภายนอกของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั ผลบวก
ของขนาดของมมุ ภายในที่ไม่ใชม่ ุมประชิดของ
จาก ΔGDC จะได้ GˆDE = 20 + 60 = 80° มุมภายนอกนนั้ )
(กำ�หนดให้)
(ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมเี ส้นตัด
แล้วมุมภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ย่ตู รงข้าม
เนอ่ื งจาก // m บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตดั มีขนาดเท่ากนั )
FˆEA = GˆDE = 80° (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม
จะได้ รวมกนั เท่ากบั 180 องศา)
(สมบตั ิของการเทา่ กัน)
(ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตดั กัน แลว้ มมุ ตรงขา้ ม
มีขนาดเทา่ กัน)

จาก ΔFEA จะได้ EˆFA + 60 + 80 = 180


นน่ั คือ
ดังน้ัน EˆFA = 40°
ˆ1 = 40°



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 353

แนวคดิ 2 m

D C

E 60°

A

60°

20°

F1

G

23
60°

B

เน่ืองจาก ΔABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า n
DˆCG = EˆAF = GˆBF = 60°
จะได้ (กำ�หนดให)้
(มมุ ภายในแต่ละมุมของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า
มีขนาด 60 องศา)
(สมบัติถา่ ยทอดของการขนาน)
ท่ีจุด B สร้าง n // ดังนนั้ n // m ด้วย (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุม
ˆ3 = 20° ภายนอกและมุมภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน
จะได้ ของเส้นตัดมขี นาดเท่ากนั )
(สมบตั ขิ องการเท่ากัน)
เน่ืองจาก ˆ3 + ˆ2 = 60°
จะได ้ 20 + ˆ2 = 60 (สมบตั ิของการเท่ากนั โดยแทน ˆ3 ดว้ ย 20)

ดงั นน้ั ˆ2 = 40° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)
ˆ1 = 40° (ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แล้วมมุ แย้ง
มีขนาดเท่ากนั )

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

354 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

9. แนวคดิ B

1 2G
F w° x°

3 5

4 z° y° 6

A ED C

เนอ่ื งจาก ˆ1 + w + ˆ3 = 180 (ขนาดของมมุ ตรง)
w = 180 – ˆ1 – ˆ3 (สมบัตขิ องการเทา่ กนั )
จะได ้ x = 180 – ˆ2 – ˆ5

ในท�ำ นองเดยี วกันจะได้ y = 180 – ˆ6

z = 180 – ˆ4

และ

เน่อื งจาก w + x + y + z = 360 (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สม่ี มุ ของรปู สเี่ หลย่ี มรวมกนั

เท่ากับ 360 องศา)

จะได้ (180 – ˆ1 – ˆ3 ) + (180 – ˆ2 – ˆ5 ) + (180 – ˆ6 ) + (180 – ˆ4 )̂ = 360 (สมบัติของการเทา่ กัน โดย

แทนค่าของ w, x, y, z)
(สมบตั ิของการเท่ากนั )
ดงั น้ัน 720 – ˆ1 – ˆ2 – ˆ3 – ˆ4 – ˆ5 – ˆ6 = 360 (สมบตั ิของการเทา่ กนั )
ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 + ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = 360°

10. แนวคดิ B

n°

m° D

25° 21°

A C

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 355

เนอื่ งจาก AD = BD = CD (กำ�หนดให)้

จะได้ ΔADC, ΔBDC และ ΔADB เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั (มีดา้ นยาวเท่ากันสองด้าน)

จาก ΔADC จะได้
DˆAC = DˆCA = 25°
AˆDC + DˆAC + DˆCA = 180° (มุมทีฐ่ านของรูปสามเหลีย่ มหนา้ จวั่ มขี นาดเท่ากัน)
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
เนือ่ งจาก

จะได้ AˆDC + 25 + 25 = 180 รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา)

(สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน DAˆC และ DCˆA

AˆDC = 130° ดว้ ย 25)

(สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)
ในทำ�นองเดยี วกัน จาก ΔBDC จะได ้ BˆDC = 180 – 21 – 21 = 138°

และจาก ΔADB จะได ้ m = 180 – 2n
m + AˆDC + BˆDC = 360
เนอ่ื งจาก (มมุ รอบจดุ เท่ากบั 360 องศา)
(สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน AˆDC ดว้ ย 130 และ
m + 130 + 138 = 360 BˆDC ด้วย 138)



จะได ้ m = 92 (สมบตั ิของการเทา่ กนั )

เน่ืองจาก m = 180 – 2n (จากการพิสจู น์ข้างต้น)

จะได้ n = 44 (สมบัตขิ องการเท่ากัน)

ดังน้นั m – n = 92 – 44 = 48 (สมบตั ิของการเท่ากนั )

11. แนวคดิ O

60°

P y° z° Q
x°
70°

60° R 60°

M N

เนื่องจาก ΔMNO เป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเท่า (กำ�หนดให้)
(มมุ ภายในแตล่ ะมุมของรูปสามเหล่ียมด้านเทา่
จะได้ NMˆO = MOˆN = ONˆM = 60° มขี นาด 60 องศา)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

356 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เนื่องจาก PQ // MN (ก�ำ หนดให้)
จะได ้
x + y + 60 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
นน่ั คอื
และ ทตี่ ัดเส้นขนานรวมกนั เทา่ กับ 180 องศา)

x + y = 120 (สมบัติของการเทา่ กัน)
ดังน้นั
z = 60 (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั

แลว้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอี่ ย่ตู รงข้ามบน

ขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัดมขี นาดเทา่ กนั )

x + y – z = 120 – 60 = 60 (สมบตั ิของการเทา่ กนั โดยแทน x + y ด้วย 120 และ

แทน z ด้วย 60)

12. แนวคิด C

16 30
D

AE B
34

ΔABC มคี วามยาวของด้านเท่ากบั 34, 30 และ 16 หน่วย (กำ�หนดให)้
(บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส)
เน่อื งจาก 342 = 1,156

และ 302 + 162 = 900 + 256 = 1,156
ดังน้ัน
ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยท่ี AˆCB = 90°

พจิ ารณา ΔADE
DE // CB และ DE = –12 (30) = 15
จะได ้ (สว่ นของเสน้ ตรงที่ลากเชอื่ มจดุ ก่ึงกลางของดา้ น
สองดา้ นของรปู สามเหลย่ี มใด ๆ จะขนานกบั ดา้ นทสี่ าม
และยาวเป็นครึง่ หน่งึ ของดา้ นท่สี าม)
AˆDE = 90° (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด
แล้วมมุ ภายนอกและมุมภายในท่อี ยตู่ รงขา้ ม
บนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั มขี นาดเท่ากัน)
น่ันคือ
ΔADE เปน็ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 357

เนอ่ื งจาก AD = 8 หนว่ ย (กำ�หนดให้จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC และ
AC = 16 หนว่ ย)

ดงั นั้น พ้ืนท่ขี องรปู สามเหล่ยี ม ADE = –12 × 8 × 15 = 60 ตารางหน่วย

13. 1) แนวคิด A

DF

B EC

เนื่องจาก จุด D จดุ E และจดุ F เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB, BC และ CA ตามล�ำ ดับ (ก�ำ หนดให)้

จะได ้ DF // BC (ส่วนของเสน้ ตรงทล่ี ากเช่อื มจดุ กง่ึ กลางของ

ดา้ นสองดา้ นของรปู สามเหลีย่ มใด ๆ จะขนานกบั

ดา้ นทส่ี ามและยาวเปน็ คร่ึงหน่ึงของด้านทีส่ าม)

ดงั น้นั DF // BE (BE อย่บู น BC)

ในทำ�นองเดยี วกนั

จะได้ FE // AB

ดังนั้น FE // DB (DB อยบู่ น AB)

จะได้ DFEB เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน (มดี า้ นตรงข้ามขนานกนั สองค)ู่
เนื่องจาก AˆBC = 90° (ก�ำ หนดให้)
DˆFE = 90° (มุมตรงข้ามของรูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนานมีขนาดเท่ากัน)
ดงั นั้น

2) แนวคิด

A

10 D F

B EC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

358 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เน่อื งจาก จดุ E และจุด F เป็นจุดก่งึ กลางของ BC และ CA ตามลำ�ดบั (กำ�หนดให้)

จะได้ EF = A—2B (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชือ่ มจุดกง่ึ กลางของด้าน
สองดา้ นของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะยาวเปน็ ครึง่ หนึ่ง

ดังนั้น
ของด้านท่สี าม)
(กำ�หนดให้ AB = 10 หน่วย)
EF = —120 = 5 หนว่ ย

เนื่องจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่วั ทมี่ ี AˆBC เป็นมมุ ฉาก และ AB = 10 หนว่ ย

จะได ้ AC2 = 102 + 102 (ทฤษฎีบทพที าโกรสั )

ดงั น้ัน AC = 10√2 หน่วย

เนอ่ื งจาก CF = A—2C (กำ�หนดให้จดุ F เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ CA)
(สมบัตขิ องการเท่ากัน)
จะไ ด ้ CF = 1   0 2√  2   = 5√2 หน่วย

14. แนวคดิ

DC

EF

AB

กำ�หนดให้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน จดุ E และจุด F เป็นจดุ ก่ึงกลางของด้าน AD

และด้าน BC ตามล�ำ ดบั ลาก DF และ EB

ต้องการพสิ จู นว์ า่ DFBE เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน

พสิ ูจน์

เน่อื งจาก ED // BF (ต่างกเ็ ป็นสว่ นหนึ่งของด้านตรงข้ามที่ขนานกัน
ของรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน)
(จุด E และจุด F เป็นจดุ กึง่ กลางของ AD และ
BC ตามล�ำ ดับ และ AD = BC)
ดังนั้น และ ED = BF (รูปสีเ่ หลี่ยมท่มี ดี า้ นทีอ่ ยตู่ รงขา้ มกนั คหู่ นง่ึ ขนานกัน
และยาวเทา่ กนั เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน)


DFBE เป็นรูปสี่เหล่ยี มด้านขนาน



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 359

15. แนวคดิ DC
44

AB

1) เนือ่ งจาก ΔADB มี AD = BD = 4 หนว่ ย (กำ�หนดให)้

ดังนนั้ ΔADB เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจั่ว (มีดา้ นยาวเทา่ กนั สองดา้ น)
BˆAD = AˆBD (มุมท่ฐี านของรปู สามเหลีย่ มหน้าจวั่ มขี นาดเทา่ กนั )
จะได้ AˆDB = 2(BˆAD) (ก�ำ หนดให้)
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม

เน่อื งจาก BˆAD + AˆBD + AˆDB = 180°

BˆAD + BˆAD + 2(BˆAD) = 180 รวมกันเทา่ กับ 180 องศา)
(สมบตั ิของการเทา่ กัน โดยแทน AˆBD ดว้ ย BˆAD
และ AˆDB ด้วย 2(BˆAD)

จะได ้ BˆAD = 45° (สมบัติของการเท่ากัน)
ดงั นั้น ΔADB เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จั่วมมุ ฉาก ทม่ี ี BˆAD = AˆBD = 45° และ AˆDB = 2(45) = 90°

จะได ้ AB2 = AD2 + BD2 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส)

AB2 = 42 + 42 (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน AD และ BD

ด้วย 4)
AB = √32 หรือ 4√2 หน่วย

2) เนอื่ งจาก AB // DC (ก�ำ หนดให้)
ดังน้ัน BˆDC = AˆBD = 45° (ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเส้นตดั

แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเท่ากัน)

16. แนวคิด

MR N

P 30° 140°
L Q

30°
O

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

360 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ต่อ OQ ออกไปทางจุด Q และใหต้ ดั MN ท่ีจุด R

เนอ่ื งจาก PQ // LO (กำ�หนดให้)
PQˆR = LOˆQ = 30° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตัดแลว้
จะได ้ มมุ ภายนอกและมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดยี วกนั
ของเส้นตดั มขี นาดเท่ากัน)
(ขนาดของมุมตรง)
(ก�ำ หนดให้)
เน่อื งจาก RQˆO = 180° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั )
และ NQˆO = 140° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน)
จะได ้ RQˆN = 180 – 140 = 40° (มีด้านตรงขา้ มขนานกันสองคู่ คอื MN // PQ และ
ดังนนั้ PQˆN = 30 + 40 = 70° MP // NQ
(มุมตรงข้ามของรูปส่ีเหลย่ี มดา้ นขนานมีขนาดเทา่ กัน)
เน่อื งจาก PQNM เปน็ รูปสีเ่ หล่ียมด้านขนาน


PMˆN = 70°
ดงั น้นั

17. แนวคิด

A D
F

55°

2C

เน่อื งจาก ΔABC ≅ ΔDBE 15°

และ AB = AC = DB = DE 13 5 4
จะได้ BE
ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = ˆ4
(กำ�หนดให้)
(ก�ำ หนดให้)
(มุมท่สี มนัยกนั ของรูปสามเหล่ียมท่ีเทา่ กนั ทกุ ประการ
จะมขี นาดเท่ากนั และรูปสามเหลย่ี มทัง้ สองเป็นรปู
เนอ่ื งจาก สามเหล่ียมหน้าจวั่ )
จะได้ DˆEF = 15° (กำ�หนดให้)
ˆ5 = ˆ4 – 15 (สมบตั ขิ องการเท่ากัน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 361

จาก ΔBEC จะได้ (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของ
ขนาดของมุมภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมุมภายนอกนัน้ )
ˆ3 + ˆ5 = ˆ2 + AˆCF
(สมบตั ขิ องการเท่ากนั โดยแทน ˆ5 ด้วย ˆ4 – 15 แทน ˆ3 และ
ˆ4 + (ˆ4 – 15) = ˆ4 + 55 ˆ2 ด้วย ˆ4 และแทน AˆCF ด้วย 55)

ดงั น้ัน ˆ4 = 70° (สมบัตขิ องการเท่ากัน)

จาก ΔABC จะได้ (ขนาดมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียมรวมกันเท่ากับ
180 องศา)
BˆAC + ˆ1 + ˆ2 = 180
(สมบัติของการเทา่ กนั โดยแทน ˆ1 และ ˆ2 ดว้ ย 70)
BˆAC + 70 + 70 = 180
BˆAC = 40° (สมบตั ิของการเท่ากัน)
ดงั นน้ั

18. แนวคดิ

S

60°

Q U

60°

60° 60° 60° T

R (ดา้ นของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่ายาวเทา่ กัน)
(มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด
60° 60 องศา)
(สมบตั ิของการเทา่ กัน)
P (สมบตั ิของการเท่ากนั )
(ดา้ นของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ายาวเท่ากนั )
พจิ ารณา ΔPRS และ ΔQRT (ด.ม.ด.)
(มมุ คทู่ สี่ มนยั กนั ของรปู สามเหลย่ี มทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ
เน่ืองจาก PR = QR จะมขี นาดเทา่ กัน)

PˆRQ = SˆRT = 60°

ดังนน้ั PˆRQ + QˆRS = SˆRT + QˆRS
PˆRS = QˆRT
นน่ั คอื

และ RS = RT

ดงั น้นั ΔPRS ≅ ΔQRT
จะได ้
PˆSR = QˆTR

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

362 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จาก ΔSUT จะได้ SˆUT + UˆTS + TˆSU = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม
รวมกันเทา่ กับ 180 องศา)

(สมบัตขิ องการเทา่ กนั โดยแทน UˆTS ดว้ ย
จะได้ SˆUT + (60 – QˆTR) + (60 + PˆSR) = 180 (60 – QˆTR) แทน TˆSU ดว้ ย (60 + PˆSR))
(สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน PˆSR ดว้ ย QˆTR)

SˆUT + (60 – QˆTR) + (60 + QˆTR) = 180
SˆUT = 60°
ดังนั้น

19. แนวคดิ A

DE

84° C

BF

เนอ่ื งจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จัว่ ม ี AB = BC และ AˆBC = 84° (กำ�หนดให้)
BˆAC = BˆCA (มุมท่ฐี านของรูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ มีขนาดเท่ากัน)
จะได้
เน่อื งจาก AˆBC + BˆAC + BˆCA = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั เทา่ กบั

จะได ้ 180 องศา)
ดังน้นั
84 + 2(BˆAC) = 180 (สมบัติของการเท่ากัน)
BˆAC = 48° (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)

พิจารณา ΔDEA และ ΔEFC

เน่ืองจาก AD = EC และ AE = FC (ก�ำ หนดให)้
และ (จากการพสิ ูจน์ขา้ งต้น)
DˆAE = EˆCF = 48° (ด.ม.ด.)
(ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียมที่
ดงั นน้ั ΔDEA ≅ ΔEFC เทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

จะได ้ ED = FE

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 363

และ AˆDE = CˆEF และ AˆED = CˆFE (มุมคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท่ี

เทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเทา่ กัน)

จาก ΔADE จะได้
DˆAE + AˆDE = DˆEF + CˆEF
(ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ

ผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีไม่ใช่มุมประชิด

ของมมุ ภายนอกน้นั )
48 + CˆEF = DˆEF + CˆEF (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั โดยแทน DˆAE ดว้ ย 48 และ
จะได้ แทน AˆDE ด้วย CˆEF)

ดงั น้นั DˆEF = 48° (สมบตั ขิ องการเท่ากนั )

เนอ่ื งจาก ΔDEF เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั (มี ED = EF จากการพิสูจนข์ ้างตน้ )
EˆDF = DˆFE (มุมทฐ่ี านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั มขี นาดเท่ากัน)
จะไดว้ า่ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียม
เนื่องจาก DˆEF + EˆDF + DˆFE = 180°

จะได้ 48 + 2(DˆFE) = 180 รวมกันเท่ากับ 180 องศา)
ดังนน้ั DˆFE = 66°
(สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน DˆEF ด้วย 48
และ EˆDF ด้วย DˆFE)

(สมบตั ขิ องการเท่ากนั )

20. C

แทน� ยดึ แขนกล แท�นยึดแขนกล

BD A

A
E

F FB
C

1 2 E
D

แนวคิด
แขนกลท่ีเกษรออกแบบสามารถเคลื่อนย้ายแก้วนำ้�ได้ โดยท่ีแก้วน้ำ�ตั้งอยู่ในแนวดิ่งตลอดเวลา เพราะแขนกลนี้

มีส่วนประกอบที่เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ABEF และ BCDE ซ่ึงรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานทั้งสองน้ีสามารถโยกได้
โดยท่ี AF เป็นสว่ นที่คงท่ีและอยู่ในแนวดิ่ง BE และ CD ซึ่งขนานกบั AF จงึ อยใู่ นแนวดิ่งด้วยเสมอ ฐานวางแกว้ นำ้�
ตั้งฉากกับ CD เสมอ ดงั นั้นฐานวางแกว้ นำ้�จึงอย่ใู นแนวนอนเสมอ ทำ�ให้แกว้ น�้ำ ต้งั อยใู่ นแนวดงิ่ ตลอดเวลา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

364 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

21. 1) แนวคิด

ED
H

FC
G

A B
0.6

พน้ื โตะ๊ ED ขนานกับแนว AB เสมอ ไม่วา่ จะปรับระดับพนื้ โตะ๊ ใหส้ งู ข้นึ หรอื ต่ำ�ลง เพราะ เป็นไปตามสมบัตขิ อง

เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มขนมเปยี กปนู ทวี่ า่ เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มขนมเปยี กปนู ตง้ั ฉากกนั การปรบั ระดบั โตะ๊

ให้สูงขึ้นใช้วิธีการบังคับให้เส้นทแยงมุมในแนวนอนส้ันลง (เช่น FC) เส้นทแยงมุมที่อยู่ในแนวต้ังก็จะมีความยาว

เพมิ่ ขึน้ (เช่น GH) ทำ�ใหโ้ ต๊ะอยู่ในระดับสงู ขน้ึ ตามแนวตัง้ ทตี่ ้องการ ในทางกลับกันถา้ เพิม่ ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ

ในแนวนอนใหม้ ากขน้ึ เสน้ ทแยงมมุ ในแนวตง้ั กจ็ ะมคี วามยาวลดลง ท�ำ ใหโ้ ตะ๊ ลดระดบั ลงตามตอ้ งการ โดยทเ่ี สน้ ทแยงมมุ

ทง้ั สองจะต้ังฉากกนั เสมอ จงึ ท�ำ ใหพ้ ืน้ โตะ๊ ขนานกบั แนว AB เสมอ

2) แนวคิด

J ลากเส้นทแยงมมุ ในแนวตัง้ ดงั รปู
ED

เนอ่ื งจากเส้นทแยงมมุ ของรปู สเ่ี หลีย่ มขนมเปียกปูนต้ังฉากกัน
ΔABG เป็นรปู สามเหล่ียมทมี่ ี AˆIG เปน็ มุมฉาก
H ดงั นัน้
จะได ้ AG2 = AI2 + IG2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรสั )
F
IG2 = 0.52 – 0.32

C ดงั นนั้ IG = 0.4 เมตร

G เนอ่ื งจาก FHCG ประกอบดว้ ยรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากขนาดเดยี วกบั ΔABG จ�ำ นวน
0.5 0.5 สองรูป
ดงั นัน้ GH = 0.4 + 0.4 = 0.8 เมตร

A 0.3 I B เนอื่ งจาก ΔEHD เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉากขนาดเดียวกบั ΔABG
0.6 ดังนั้น HJ = 0.4 เมตร

ดงั นัน้ พื้นโตะ๊ ED จะอย่หู ่างจากแนว AB เท่ากบั IG + GH + HJ = 0.4 + 0.8 + 0.4 = 1.6 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 365

ตวั อย่างแบบทดสอบท้ายบท

1. จงสร้างรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว PQR ท่มี ฐี าน PQ ยาวเท่ากบั AB และมุมยอดมขี นาดเทา่ กับ a°

D (6 คะแนน)

C

a° B

A

2. ก�ำ หนดรปู สามเหล่ยี ม ABC จงสรา้ งรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน PQRS ท่มี ี PQ = AB, SˆPQ = AˆCB และมสี ว่ นสูง

ยาวเท่ากับความสูงของรูปสามเหลีย่ ม ABC ทกี่ �ำ หนดให้ พร้อมทง้ั ใหเ้ หตุผลว่าเพราะเหตใุ ดรูปส่ีเหลย่ี ม PQRS ทไี่ ด้

จงึ เป็นรูปสเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน (14 คะแนน)

C

AD B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

366 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3. ใหน้ ักเรียนศึกษาตัวอย่างแนวการสร้างรูปห้าเหลี่ยม PQRST ใหเ้ ทา่ กนั ทกุ ประการกบั รปู หา้ เหลย่ี ม ABCDE ต่อไปน้ ี

จากนนั้ ให้นักเรียนให้เหตุผลวา่ รปู ท้งั สองเท่ากนั ทกุ ประการเพราะเหตใุ ด โดยตอบคำ�ถามตามทก่ี �ำ หนดทา้ ยการสร้าง

(15 คะแนน)

แนวการสร้าง

DS

LN

E CT R

M

AB P QK

1) ลาก �PK และบน �PK สรา้ ง PQ ใหม้ ีความยาวเทา่ กบั AB

2) ที่จดุ P สร้าง LˆPQ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ EˆAB

3) ท่ีจดุ P สร้าง PT บน �PL ใหม้ คี วามยาวเท่ากบั AE
4) ลาก BE, BD และ QT
5) ที่จุด T สร้างสว่ นโค้งรัศมีเท่ากบั ED และที่จดุ Q สร้างสว่ นโคง้ รศั มเี ท่ากบั BD ตัดส่วนโค้งแรก ที่จุด S
6) ลาก TS และ QS

7) ทีจ่ ุด S สร้าง MˆSQ ให้มีขนาดเทา่ กับขนาดของ CˆDB และทีจ่ ดุ Q สร้าง SˆQN ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ
DˆBC และให ้ �QN ตัด �SM ทจ่ี ุด R

จะได ้ รูปห้าเหลยี่ ม PQRST เท่ากันทุกประการกับรูปห้าเหลย่ี ม ABCDE ที่กำ�หนดให้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 367

จากแนวการสรา้ งข้างตน้ จงตอบคำ�ถามต่อไปนี้

1) PQ = AB เพราะ
เพราะ
2) TˆPQ = EˆAB

3) PT = AE เพราะ
4) ΔPTQ ≅ ΔAEB เพราะมคี วามสมั พนั ธ์แบบ

5) QT = BE เพราะ

6) TS = ED เพราะ

7) QS = BD เพราะ
8) ΔQTS ≅ ΔBED เพราะมีความสมั พนั ธแ์ บบ
เพราะ
9) RˆSQ = CˆDB เพราะ
10) SQˆR = DˆBC เพราะมคี วามสมั พันธ์แบบ

11) ΔQRS ≅ ΔBCD

12) SR = DC เพราะ

13) QR = BC เพราะ

14) รูปหา้ เหลีย่ ม PQRST เทา่ กนั ทกุ ประการกับรูปหา้ เหลย่ี ม ABCDE เปน็ ผลมาจากรูปสามเหล่ยี มท่ี

เท่ากันทุกประการในขอ้

15) จากรูปห้าเหลีย่ มท่ีเท่ากนั ทุกประการในขอ้ 14) ท�ำ ให้ได้ด้านของรปู หา้ เหล่ียมยาวเทา่ กัน คู่

ได้แก ่

4. จงแบง่ AB ออกเปน็ 5 ส่วน ทย่ี าวเทา่ กนั โดยสรา้ งตามข้นั ตอนต่อไปนี้ (10 คะแนน)

1) ลาก AB มคี วามยาวพอสมควร

2) ทจี่ ดุ A ลาก �AC ด้านบนของ AB จะได้ BˆAC
3) ทีจ่ ุด B สรา้ ง AˆBD อีกด้านหน่งึ ของ AB ใหม้ ีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ BˆAC

4) ใชจ้ ุด A เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง ก�ำ หนดรัศมยี าวพอสมควร เขยี นส่วนโคง้ ตัด �AC ทจ่ี ุด E, F, G, H และ I

โดยเปลี่ยนจดุ ศูนยก์ ลางทุกครงั้ เพือ่ ท�ำ ให้ AE = EF = FG = GH = HI
5) ใช้จดุ B เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ เดิม เขียนส่วนโคง้ ตัด �BD ทจ่ี ดุ J, K, L, M และ N โดยเปล่ยี น

จุดศนู ยก์ ลางทุกครง้ั เพื่อท�ำ ให้ได้ว่า BJ = JK = KL = LM = MN

6) ลาก IB

7) ลาก HJ, GK, FL, EM ตัด AB ท่จี ุด O, P, Q และ R ตามลำ�ดับ

8) ลาก AN

จะได้ AR = RQ = QP = PO = OB

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

368 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

จากการสร้างข้างตน้ จงให้เหตุผลในการตอบค�ำ ถามต่อไปนี้
1) �AC และ �BD ขนานกนั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
2) AE และ MN เท่ากันหรือไม ่ เพราะเหตใุ ด

5. จงพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมที่กำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปสามเหล่ียมชนิดใด (รูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว

รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก หรอื รปู สามเหล่ียมด้านเท่า) เพราะเหตุใด (ตอบได้มากกว่า 1 ค�ำ ตอบ) (9 คะแนน)

1) C 2)

P 2

45°

1

AB QR

ΔABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ ม

เพราะ เพราะ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 369

3) G 4)

60° C

120° A 2
T 1
SP
ΔCAT เป็นรปู สามเหลีย่ ม
ΔGSP เป็นรปู สามเหลย่ี ม

เพราะ เพราะ

6. จากรปู จงหาคา่ x พร้อมทง้ั แสดงเหตุผล (3 คะแนน)

A

x°

55° 100° D

B C

7. จากรปู ท่ีก�ำ หนดให ้ ΔACD เป็นรูปสามเหล่ยี มชนดิ ใด เพราะเหตใุ ด (5 คะแนน)

A

BCD
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

370 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

8. จากรูปท่ีก�ำ หนดให ้ จงหาความยาวของ BC พร้อมทง้ั บอกเหตผุ ล (2 คะแนน)

A

D E
7 ซม.

BC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 371

9. กำ�หนดให้ ΔPQR เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ทม่ี ี PQˆR เปน็ มุมฉาก ม ี PQ และ PR ยาว 5 และ 13 เซนตเิ มตร

ตามลำ�ดบั และมจี ุด S และจุด T เป็นจดุ กึง่ กลางของ PQ และ QR ตามลำ�ดบั จงหา (10 คะแนน)

1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT

2) ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เป็นก่ีเท่าของความยาวรอบรปู ของ ΔSQT

3) พื้นทีข่ อง ΔSQT

4) พื้นที่ของ ΔPQR เป็นก่เี ท่าของพื้นทขี่ อง ΔSQT

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

372 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

10. จากรปู ก�ำ หนดให ้ AB ขนานกบั CD GH ต้ังฉากกับ EF และ CˆEF มีขนาด 55° จงหาขนาดของ GHˆB

พร้อมแสดงแนวคดิ ในการหาค�ำ ตอบ (3 คะแนน)

ED

C
G

AF B
H

11. จากรปู กำ�หนดให้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดบั จงเขียนแสดง

การให้เหตุผลในแต่ละรายการตอ่ ไปนใี้ ห้สมบรู ณ์ เพ่อื พสิ ูจน์วา่ PQRS เปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน (10 คะแนน)

E G
CS RD

110°

AP 70° B
F
Q

H

กำ�หนดให้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามลำ�ดบั

ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า PQRS เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 373

พิสจู น์ �AB // �CD ( )
เน่ืองจาก ( )
( )
จะได้ PQ // SR ( )
BQˆR = 70° ( )
เนอ่ื งจาก QˆRS = 70° ( )
( )
จะได ้ RˆSP = 110° ( )
( )
เนื่องจาก ( )
จะได ้ QˆRS + RˆSP = 70 + 110
หรอื QˆRS + RˆSP = 180°
�EF // �GH
ดงั นั้น

จะได ้ PS // QR

ดังน้นั PQRS เป็นรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนาน

12. จากรูป �AD เปน็ เส้นแบง่ ครง่ึ BˆAC จงแสดงการให้เหตผุ ลเพอื่ หาวา่ ΔAFG เปน็ รูปสามเหลย่ี มชนดิ ใดโดยเติม

เหตุผลท้ายข้อความทีก่ ำ�หนดใหใ้ นแตล่ ะข้อความให้ถูกตอ้ ง (7 คะแนน)

C
G

DE

A

BF

พจิ ารณา ΔAEF และ ΔAEG
AˆFE = AˆGE = 90°
เนอ่ื งจาก ( )
FˆAE = GˆAE ( )
)
และ AE = AE ( )
ดังน้ัน ΔAEF ≅ ΔAEG ( )
)
จะได ้ AF = AG (

ดงั นัน้ ΔAFG เปน็ รูปสามเหล่ยี ม (

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

374 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

13. จากรปู กำ�หนดให ้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหน้าจัว่ และมี AD = BE จงใหเ้ หตผุ ลว่า ΔCDE เป็นรูปสามเหลีย่ ม

หน้าจั่ว (9 คะแนน)

C

A DE B

14. 22 ซม. P จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว
M LO = 9 เซนติเมตร NP = 22 เซนตเิ มตร
N จงหาความยาวของ PO พร้อมท้ังแสดงเหตุผล
(5 คะแนน)


L O
9 ซม.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 375

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

376 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. จงสรา้ งรปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่วั PQR ที่มีฐาน PQ ยาวเทา่ กับ AB และมมุ ยอดมีขนาดเทา่ กับ a° (6 คะแนน)

D
C

แนวการสรา้ ง 1 a° B
A
D C WV
R

a° B
A U

a°

SP QT

1) ลาก �ST และก�ำ หนดจุด P บน �ST
2) ทีจ่ ุด P สรา้ ง PQ บน �ST ให้มีความยาวเทา่ กบั AB
3) ท่จี ุด P สร้าง SˆPU ใหม้ ีขนาดเทา่ กับ a° จะได้ UˆPT มขี นาดเท่ากบั 180 – a องศา

4 ) ส รา้ ง �PV แบง่ ครึ่ง UˆPT จะได้ VˆPQ มีขนาดเทา่ กับ 1802– a องศา
5) ที่จุด Q สร้าง PQˆW ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ VˆPQ

6 ) ใ ห้ �PV และ �QW ตัดกันท่ีจดุ R จะได้ PˆRQ มีขนาดเทา่ กบั 180 – 180 – a – 180 – a หรอื a°
2 2

ดังนัน้ ΔPQR เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัวตามต้องการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 377

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 1 นกั เรียนสามารถสร้างรูปตามทก่ี ำ�หนดและให้เหตุผลเกีย่ วกบั การสร้าง

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 6 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้

✤ สรา้ งฐาน PQ ให้มคี วามยาวเท่ากับ AB ถูกต้อง ได ้ 1 คะแนน
ได ้ 4 คะแนน
✤ ใชข้ นาดของมุมยอด a° สร้างมมุ ทีฐ่ าน PQ ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ สรา้ งรปู สามเหลย่ี มหน้าจั่ว PQR ได้สมบูรณ์

แนวการสร้าง 2

GT

D C Q L E
I B N F
M
a° K S
A J
H
a° P
R O

1) ลาก �RS และทีจ่ ุด R สร้าง TˆRS ให้มีขนาดเทา่ กบั a°
2) สร้าง �RE แบง่ ครง่ึ TˆRS

3) กำ�หนดจดุ F บน �RE และทจ่ี ุด F สร้าง �GH ตั้งฉากกบั �RE
4) สรา้ ง �IJ แบง่ คร่ึง AB ท่จี ดุ K
5) ใช้จุด F เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมี KA เขยี นสว่ นโค้งตัด �GH ทจี่ ดุ L และจดุ M
6) ทจ่ี ดุ L สรา้ ง �LN ต้ังฉากกับ �GH และตัด �RT ท่จี ุด Q
7) ทีจ่ ุด M สรา้ ง �MO ตง้ั ฉากกบั �GH และตดั �RS ที่จุด P
8) ลาก PQ
ดงั น้ัน ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัวตามต้องการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

378 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถสรา้ งรปู ตามท่กี �ำ หนดและใหเ้ หตผุ ลเกี่ยวกับการสร้าง

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้

✤ สรา้ งมมุ ยอด PRQ ให้มีขนาดเท่ากบั a° ถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน
ได ้ 5 คะแนน
✤ สรา้ งฐาน PQ ใหม้ ีความยาวเทา่ กับ AB หน่วย ถูกตอ้ ง

2. กำ�หนดรปู สามเหล่ียม ABC จงสร้างรปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน PQRS ทีม่ ี PQ = AB, SˆPQ = AˆCB และมีส่วนสูง

ยาวเท่ากบั ความสูงของรปู สามเหล่ียม ABC ทีก่ ำ�หนดให้ พร้อมทงั้ ใหเ้ หตผุ ลวา่ เพราะเหตใุ ดรปู ส่ีเหลีย่ ม PQRS ท่ีได้

จึงเปน็ รปู ส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน (14 คะแนน)

C

AD B

แนวการสรา้ ง UY

C WV S RX

AD BE P QF

1) ลาก �EF และก�ำ หนดจุด P บน �EF
2) ท่ีจุด P สร้าง PQ บน �EF ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับ AB

3) ทีจ่ ดุ P สร้าง YˆPQ ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ AˆCB

4) ท่ีจดุ P สรา้ ง �PU ต้ังฉากกบั �EF
5) ทีจ่ ุด P สรา้ ง PV บน �PU ให้มคี วามยาวเท่ากบั CD
6) ที่จุด V สรา้ ง �WX ตง้ั ฉากกบั �PU และให ้ �WX ตดั �PY ทจ่ี ดุ S
7) ที่จดุ S สร้าง SR บน �WX ให้มคี วามยาวเท่ากับ AB แล้วลาก QR

ดังนัน้ PQRS เปน็ รูปสเ่ี หล่ียมด้านขนานตามต้องการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต 379

แนวคิดในการใหเ้ หตุผล (จากการสรา้ งจะได ้ UˆPQ = PˆVX = 90°)
เนื่องจาก UˆPQ + PˆVX = 180°
�EF // �WX (ถ้าเสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ตดั เส้นตรงคู่หน่งึ ท�ำ ใหข้ นาด
ดงั นน้ั ของมมุ ภายในทอี่ ยูบ่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด
รวมกันได้ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่น้ันขนานกัน)
(สว่ นของเสน้ ตรงท่อี ยูบ่ นเสน้ ตรงท่ขี นานกนั จะขนานกัน)
(จากการสรา้ ง)
(จากการสรา้ ง)
(สมบตั ขิ องการเท่ากนั )
จะได้ PQ // SR (ส่วนของเสน้ ตรงท่ปี ดิ หัวท้ายของสว่ นของเส้นตรงที่ขนานกนั
และยาวเทา่ กัน จะขนานกนั และยาวเทา่ กัน)
เนื่องจาก PQ = AB (มดี ้านตรงข้ามขนานกนั สองค)ู่

และ SR = AB

จะได ้ PQ = SR

ดงั น้นั PS // QR



จะได้ PQRS เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นกั เรียนสามารถสรา้ งรูปตามท่กี �ำ หนดและใหเ้ หตุผลเกี่ยวกบั การสรา้ ง

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 14 คะแนน โดยแบง่ ออกเปน็ สว่ น ๆ ดงั น้ี

ส่วนที่ 1 การสรา้ ง 7 คะแนน

✤ สรา้ งฐานของรูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานถูกต้อง 1 คะแนน

✤ สร้างมุมที่ฐานของรปู สี่เหลยี่ มด้านขนานถกู ตอ้ ง 1 คะแนน

✤ สร้างส่วนสูงถูกตอ้ ง 2 คะแนน

✤ สร้างเส้นขนานกบั ฐานถกู ต้อง 2 คะแนน

✤ สรา้ งด้านของรูปส่ีเหลีย่ มด้านขนานทีเ่ หลอื ถูกต้อง 1 คะแนน

ส่วนที่ 2 การใหเ้ หตุผล 7 คะแนน (พิจารณาจากแนวการให้เหตผุ ลข้างตน้ รายการละ 1 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

380 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

3. ให้นกั เรียนศึกษาตวั อยา่ งแนวการสรา้ งรปู หา้ เหล่ยี ม PQRST ใหเ้ ทา่ กันทุกประการกบั รูปห้าเหลี่ยม ABCDE ตอ่ ไปน ี้

จากน้นั ให้นักเรยี นให้เหตุผลวา่ รปู ท้งั สองเท่ากนั ทุกประการเพราะเหตใุ ด โดยตอบคำ�ถามตามทก่ี �ำ หนดทา้ ยการสร้าง

(15 คะแนน)

แนวการสร้าง

DS

LN

E CT R

M

AB P QK

1) ลาก �PK และบน �PK สรา้ ง PQ ให้มคี วามยาวเทา่ กับ AB

2) ทีจ่ ุด P สรา้ ง LˆPQ ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ EˆAB

3) ที่จุด P สรา้ ง PT บน �PL ให้มคี วามยาวเท่ากับ AE
4) ลาก BE, BD และ QT
5) ที่จดุ T สรา้ งส่วนโคง้ รัศมีเท่ากบั ED และทจี่ ดุ Q สร้างส่วนโค้งรศั มเี ท่ากบั BD ตดั สว่ นโค้งแรก ทจี่ ุด S
6) ลาก TS และ QS

7) ที่จดุ S สรา้ ง MˆSQ ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ CˆDB และท่จี ดุ Q สร้าง SQˆN ให้มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ
DˆBC และให ้ �QN ตดั �SM ท่ีจดุ R

จะได้ รูปห้าเหลยี่ ม PQRST เทา่ กันทุกประการกบั รูปหา้ เหลย่ี ม ABCDE ทก่ี ำ�หนดให้

จากแนวการสร้างข้างต้น จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้

1) PQ = AB เพราะ จากการสรา้ ง PQ ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับ AB

2) TˆPQ = EAˆB เพราะ จากการสร้าง LˆPQ ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของ EˆAB และจดุ T เป็น

จดุ บน �PL

3) PT = AE เพราะ จากการสรา้ ง PT ให้มีความยาวเทา่ กับ AE
4) ΔPTQ ≅ ΔAEB เพราะมคี วามสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด.

5) QT = BE เพราะ ดา้ นคูท่ ่ีสมนยั กันของรูปสามเหลีย่ มท่ีเท่ากันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั

6) TS = ED เพราะ จากการสร้างสว่ นโค้งทีจ่ ุด T ใหม้ ีรศั มีเท่ากบั ED และตัดส่วนโค้งจาก

จุด Q ทีจ่ ดุ S

7) QS = BD เพราะ จากการสรา้ งสว่ นโค้งทีจ่ ดุ Q ใหม้ รี ศั มีเทา่ กบั BD และตัดสว่ นโค้งจาก

จุด T ทจี่ ุด S

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต 381

8) ΔQTS ≅ ΔBED เพราะมคี วามสมั พันธแ์ บบ ด.ด.ด.

9) RˆSQ = CˆDB เพราะ จากการสร้าง MˆSQ ให้มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ CˆDB และจดุ R

เปน็ จดุ บน �SM

10) SQˆR = DˆBC เพราะ จากการสร้าง SQˆN ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ DˆBC และจุด R

เปน็ จุดบน �QN
11) ΔQRS ≅ ΔBCD เพราะมคี วามสัมพันธแ์ บบ ม.ด.ม.

12) SR = DC เพราะ ดา้ นคทู่ ่ีสมนยั กันของรปู สามเหลย่ี มที่เท่ากนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั

13) QR = BC เพราะ ด้านคู่ที่สมนัยกนั ของรูปสามเหลยี่ มที่เท่ากนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั

14) รูปห้าเหลี่ยม PQRST เท่ากันทุกประการกับรูปห้าเหล่ียม ABCDE เป็นผลมาจากรูปสามเหล่ียมที่เท่ากัน

ทุกประการในข้อ 4, 8 และ 11

15) จากรูปหา้ เหล่ยี มท่ีเทา่ กนั ทกุ ประการในข้อท่ี 14) ทำ�ใหไ้ ด้ดา้ นของรปู ห้าเหลยี่ มยาวเท่ากัน 5 คู่

ได้แก่ PQ = AB, PT = AE, TS = ED, SR = DC และ QR = BC

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 1 นักเรียนสามารถสรา้ งรูปตามท่ีก�ำ หนดและใหเ้ หตุผลเก่ียวกับการสรา้ ง

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 15 คะแนน (ข้อยอ่ ยละ 1 คะแนน)

แต่ละข้อยอ่ ยใหเ้ หตุผลถกู ตอ้ งชดั เจน ได้ 1 คะแนน
ได ้ 0 คะแนน
แตล่ ะขอ้ ย่อยใหเ้ หตุผลไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ

4. จงแบ่ง AB ออกเป็น 5 สว่ นทย่ี าวเทา่ กนั โดยสรา้ งตามขัน้ ตอนต่อไปน้ี (10 คะแนน)

1) ลาก AB มคี วามยาวพอสมควร

2) ท่จี ดุ A ลาก �AC ดา้ นบนของ AB จะได้ BˆAC
3) ท่ีจุด B สรา้ ง AˆBD อีกดา้ นหนึง่ ของ AB ใหม้ ขี นาดเท่ากับขนาดของ BˆAC

4) ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง กำ�หนดรัศมียาวพอสมควร เขียนส่วนโค้งตัด �AC ที่จุด E, F, G, H และ I

โดยเปลี่ยนจุดศนู ย์กลางทกุ ครง้ั เพ่อื ทำ�ให้ AE = EF = FG = GH = HI
5) ใช้จุด B เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมียาวเทา่ เดมิ เขียนส่วนโคง้ ตดั �BD ทจ่ี ุด J, K, L, M และ N โดยเปล่ยี น

จดุ ศนู ยก์ ลางทกุ คร้งั เพ่ือทำ�ให้ BJ = JK = KL = LM = MN

6) ลาก IB

7) ลาก HJ, GK, FL, EM ตัด AB ที่จุด O, P, Q และ R ตามล�ำ ดับ

8) ลาก AN

จะได ้ AR = RQ = QP = PO = OB

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

382 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

แนวการสรา้ ง C
I
H
G

F
E

A RQPO B

J

K
L

M

N
D

จากการสร้างข้างต้น จงให้เหตผุ ลในการตอบค�ำ ถามต่อไปนี้
1) �AC และ �BD ขนานกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

ขนานกัน เพราะจากการสรา้ ง AˆBD ใหม้ ขี นาดเทา่ กับขนาดของ BˆAC จะได้วา่ มมุ ทง้ั สองเป็นมมุ แยง้ กันและ

มีขนาดเทา่ กัน ทำ�ให้ �AC // �BD
2) AE และ MN เท่ากันหรือไม ่ เพราะเหตุใด
AE = MN เพราะจากการสร้างใช้รศั มยี าวเท่ากนั (จากข้ันตอน 4) และ 5) )

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นักเรียนสามารถสร้างรปู ตามท่ีกำ�หนดและให้เหตุผลเกยี่ วกับการสรา้ ง

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้

ส่วนที่ 1 การสรา้ ง 8 คะแนน

✤ สร้างถกู ตอ้ ง ไดข้ นั้ ตอนละ 1 คะแนน
ได้ขน้ั ตอนละ 0 คะแนน
✤ สร้างไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่สร้าง
ได้ข้อละ 1 คะแนน
ส่วนที่ 2 การให้เหตุผล 2 คะแนน ได ้ 0 คะแนน

✤ ใหเ้ หตผุ ลถกู ต้องชัดเจน

✤ ให้เหตุผลไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต 383

5. จงพิจารณาว่ารูปสามเหล่ียมท่ีกำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ีเป็นรูปสามเหล่ียมชนิดใด (รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว

รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก หรอื รปู สามเหลี่ยมด้านเท่า) เพราะเหตใุ ด (ตอบได้มากกว่า 1 คำ�ตอบ) (9 คะแนน)

แนวคดิ ในการใหเ้ หตุผล C
1)

ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว

เพราะ มีด้านยาวเทา่ กันสองดา้ น

A B

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถนำ�สมบัติหรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปส่ีเหล่ียมมาใช้ในการให้เหตุผล

และนำ�ไปใชใ้ นชีวติ จริง

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารให้คะแนน ดังนี้

✤ ตอบไดว้ า่ เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว และบอกเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน

✤ ตอบได้วา่ เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จ่วั แต่ไมบ่ อกเหตผุ ลหรอื บอกเหตผุ ลไม่ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

2) P

245° 2

1 1

คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เชน่ QR

คำ�ตอบ 1 ΔPQR เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก

เพราะ มมี มุ มมุ หนึ่งเป็นมุมฉาก

คำ�ตอบ 2 ΔPQR เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจัว่

เพราะ มีมุมทีม่ ีขนาดเท่ากนั สองมุม

คำ�ตอบ 3 ΔPQR เป็นรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

เพราะ มมี ุมมมุ หน่ึงเป็นมมุ ฉาก และ ΔPQR เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว เพราะมมี มุ ท่มี ีขนาด

เท่ากันสองมุม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

384 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แนวคิด

เนอื่ งจาก ˆ11 // 2 (กำ�หนดให)้
จะได ้ = 45° (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเสน้ ตดั แล้วมุมแยง้ มีขนาดเท่ากัน)
เน่อื งจาก 90 + ˆ1 + ˆ2 = 180 (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ มรวมกนั
เทา่ กบั 180 องศา )

จะได ้ (สมบตั ขิ องการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ด้วย 45)
ดังนนั้ 90 + 45 + ˆ2 = 180
จะได ้ ˆ2 = 45° (สมบัติของการเท่ากนั )
ˆ1 = ˆ2 (สมบตั ิของการเท่ากัน)

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั ิหรือทฤษฎีบทเก่ียวกับรูปสามเหลย่ี มและรปู ส่เี หล่ียมมาใชใ้ นการให้เหตผุ ล

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ ตอบได้วา่ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉากและรูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ และบอกเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 3 คะแนน

✤ ตอบได้ว่าเป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือรปู สามเหลยี่ มหนา้ จัว่ และบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ ตอบได้วา่ เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือรูปสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ แตไ่ ม่บอกเหตผุ ลหรือ

บอกเหตผุ ลไม่ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

3)

G

60°

ΔGSP เป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า
เพราะ มมี ุมทีม่ ขี นาดเท่ากันทั้งสามมมุ
2 1 120°
(ขนาดของมมุ ตรง)
S P (สมบัติของการเท่ากัน)
(ขนาดของมุมภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหล่ียมรวมกัน
แนวคิด ˆ1 + 120 = 180 เทา่ กบั 180 องศา )
เน่ืองจาก ˆ1 = 60°
จะได้ (สมบตั ิของการเท่ากัน โดยแทน ˆ1 ดว้ ย 60)
เนื่องจาก 60 + ˆ1 + ˆ2 = 180
(สมบตั ขิ องการเท่ากัน)

จะได้ (กำ�หนดให้ Gˆ = 60 องศา และสมบัติของการเทา่ กนั )
ดงั น้ัน 60 + 60 + ˆ2 = 180
จะได้ ˆ2 = 60°
ˆ1 = ˆ2 = Gˆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 385

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบัติหรือทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหลี่ยมและรปู สี่เหล่ยี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดังนี้

✤ ตอบไดว้ ่าเป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่าและบอกเหตผุ ลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ ตอบได้ว่าเป็นรูปสามเหลยี่ มด้านเทา่ แต่ไมบ่ อกเหตผุ ลหรือบอกเหตุผลไม่ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

4)

3 C 2 ΔCAT เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จั่ว
A 1 เพราะ มมี ุมท่ีมขี นาดเท่ากนั ทง้ั สองมมุ
12

4

T

แนวคิด ˆ1 = ˆ2 และ ˆ21 =// ˆ 4 2 (กำ�หนดให)้
เน่ืองจาก ˆ1 = ˆ3 และ (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แล้วมุมแย้ง
จะได้

มขี นาดเทา่ กนั )
ดงั นั้น (สมบัติของการเท่ากนั )
ˆ3 = ˆ4

จากแนวคิดขา้ งต้น

จะได้ ΔCAT เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั เพราะมีมมุ ทม่ี ีขนาดเท่ากันสองมุม

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหล่ียมและรปู สี่เหลย่ี มมาใช้ในการใหเ้ หตุผล

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ ตอบได้ว่าเปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จั่วและบอกเหตุผลถกู ต้อง ได ้ 2 คะแนน

✤ ตอบไดว้ า่ เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว แต่ไม่บอกเหตุผลหรือบอกเหตุผลไม่ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

386 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

6. จากรปู จงหาค่า x พร้อมท้งั แสดงเหตุผล (3 คะแนน)

A
x°

55° 100° D
B C

แนวคิด 1 x + 55 = 100 (ขนาดของมมุ ภายนอกของรูปสามเหล่ียมเท่ากบั ผลบวกของ
เนอ่ื งจาก ขนาดของมมุ ภายในทไี่ ม่ใช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกน้ัน)
x = 45 (สมบัติของการเทา่ กนั )
ดงั นนั้

แนวคิด 2

A
x°

55° y° 100° D
B C

เน่อื งจาก y + 100 = 180 (ขนาดของมุมตรง)
(สมบตั ิของการเท่ากัน)
ดังน้นั y = 80 (ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เท่ากบั 180 องศา)
เนอ่ื งจาก x + y + 55 = 180 (สมบัติของการเทา่ กนั โดยแทน y ดว้ ย 80)
(สมบัตขิ องการเท่ากัน)


จะได ้ x + 80 + 55 = 180

ดงั นัน้ x = 45

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 387

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นักเรียนสามารถนำ�สมบัตหิ รอื ทฤษฎีบทเก่ียวกบั รปู สามเหล่ยี มและรปู สี่เหลย่ี มมาใชใ้ นการให้เหตุผล

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดังนี้

✤ หาคา่ x ถกู ต้อง และแสดงเหตุผลครบถว้ นสมบูรณ์ ได้ 3 คะแนน

✤ หาคา่ x ถูกตอ้ ง และแสดงเหตุผลถูกต้องบางสว่ น

หรือแสดงเหตผุ ลถูกตอ้ ง แต่คำ�นวณหาค่า x ไม่ถกู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน

✤ หาคา่ x ถกู ต้อง แตไ่ มแ่ สดงเหตุผลหรอื แสดงเหตุผลแต่ไมถ่ ูกต้อง

หรอื แสดงเหตุผลถูกต้องบางส่วน และคำ�นวณหาคา่ x ไมถ่ ูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน

7. จากรูปท่กี ำ�หนดให ้ ΔACD เป็นรูปสามเหล่ยี มชนิดใด เพราะเหตใุ ด (5 คะแนน)

A

BC D

แนวคดิ 1 A
14

23 5
BCD

เน่อื งจาก AB = BC = CA (ก�ำ หนดให)้
ดังนนั้ ΔABC เป็นรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ (มีดา้ นยาวเทา่ กันสามดา้ น)
จะได ้ (มุมภายในแตล่ ะมมุ ของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า
ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = 60° มีขนาดเท่ากบั 60 องศา)
เนือ่ งจาก (ก�ำ หนดให้)
จะได ้
ดงั นัน้ (สมบัติของการเท่ากนั โดยแทน ˆ1 ด้วย 60)
เนอื่ งจาก ˆ1 + ˆ4 = 90°
60 + ˆ4 = 90 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)
ˆ4 = 30° (ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของรปู สามเหลี่ยม
ˆ2 + ˆ1 + ˆ4 + ˆ5 = 180° รวมกนั เท่ากับ 180 องศา)



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

388 บทที่ 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

จะได ้ 60 + 60 + 30 + ˆ5 = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากัน โดยแทน ˆ2 , ˆ1 และ ˆ4 ดว้ ย 60,

ดังน้นั 60 และ 30 ตามล�ำ ดบั )
นน่ั คอื (สมบัติของการเทา่ กนั )
ˆ5 = 30° (มมี มุ ทีม่ ีขนาดเทา่ กนั สองมมุ )

ΔACD เปน็ รูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั

แนวคิด 2 A
14

2 36 5

BCD

เนื่องจาก AB = BC = CA (กำ�หนดให)้
ดังนนั้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่า (มีดา้ นยาวเทา่ กันสามด้าน)
จะได้ (มมุ ภายในแต่ละมุมของรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่
ˆ1 = ˆ2 = ˆ3 = 60°

มีขนาดเท่ากับ 60 องศา )
(ก�ำ หนดให้)
เน่ืองจาก ˆ1 + ˆ4 = 90°
60 + ˆ4 = 90 (สมบัตขิ องการเทา่ กัน โดยแทน ˆ1 ดว้ ย 60)
จะได ้
ˆ4 = 30° (สมบัตขิ องการเทา่ กัน)
ดงั นั้น ˆ3 + ˆ6 = 180° (ขนาดของมมุ ตรง)
60 + ˆ6 = 180
เนอื่ งจาก (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ3 ดว้ ย 60)
ˆ6 = 120°
จะได้ ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = 180° (สมบตั ขิ องการเทา่ กนั )
(ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรปู สามเหล่ียม
ดงั นัน้

เนอื่ งจาก

รวมกันเท่ากบั 180 องศา)
จะได้
30 + ˆ5 + 120 = 180 (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน โดยแทน ˆ4 ด้วย 30 และ
ดงั น้นั แทน ˆ6 ด้วย 120)
น่นั คือ
(สมบัตขิ องการเท่ากนั )
ˆ5 = 30° (มีมุมท่ีมขี นาดเทา่ กันสองมุม)

ΔACD เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ 389

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบัติหรอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั รูปสามเหลย่ี มและรปู สเี่ หลย่ี มมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน โดยแบ่งออกเปน็ ส่วน ๆ ดงั นี้ ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ หาขนาดของ ˆ1 , ˆ2 , ˆ3 ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน
✤ หาขนาดของ ˆ4 ถูกต้อง
✤ หาขนาดของ ˆ5 ถกู ตอ้ ง

✤ ตอบได้วา่ ΔACD เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จั่ว ได้ 1 คะแนน

✤ ให้เหตุผลได้ว่า ΔACD เปน็ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่ัวได้ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

8. จากรูปทก่ี ำ�หนดให ้ จงหาความยาวของ BC พรอ้ มทง้ั บอกเหตุผล (2 คะแนน)

A

D E
7 ซม.

แนวคิด B
เนือ่ งจาก C
และ
ดังนั้น จดุ D เปน็ จดุ กึง่ กลางของ AB (ก�ำ หนดให ้ AD = DB)

จุด E เป็นจุดก่งึ กลางของ AC (ก�ำ หนดให้ AE = EC)
เนอ่ื งจาก DE = –21BC (ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากเช่อื มจุดกง่ึ กลางของดา้ น
จะได้ สองดา้ นของรปู สามเหล่ยี มใด ๆ จะยาวเปน็ ครึง่ หนึ่ง
ดังนั้น
ของดา้ นทสี่ าม)

DE = 7 เซนตเิ มตร (ก�ำ หนดให)้

BC = 2DE = 14 เซนตเิ มตร (สมบัตขิ องการเท่ากัน)

ความยาวของ BC เทา่ กับ 14 เซนตเิ มตร

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถนำ�สมบัตหิ รือทฤษฎีบทเก่ียวกบั รูปสามเหล่ยี มและรูปสี่เหลี่ยมมาใช้ในการให้เหตผุ ล

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้

✤ หาความยาวของ BC ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงเหตผุ ลถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

390 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

9. ก�ำ หนดให้ ΔPQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทม่ี ี PQˆR เป็นมุมฉาก มี PQ และ PR ยาว 5 และ 13 เซนตเิ มตร

ตามล�ำ ดับ และมจี ดุ S และจุด T เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ PQ และ QR ตามลำ�ดบั จงหา (10 คะแนน)

1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT

2) ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เป็นก่ีเทา่ ของความยาวรอบรูปของ ΔSQT

3) พ้นื ทข่ี อง ΔSQT

4) พนื้ ท่ีของ ΔPQR เป็นกี่เทา่ ของพ้ืนท่ีของ ΔSQT

แนวคดิ วาดรูปประกอบการหาค�ำ ตอบไดด้ ังนี้

P

5 ซม. S 13 ซม.

Q TR

เน่ืองจาก ΔPQR เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก (กำ�หนดให)้
(ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส)
จะได้ QR2 = 132 – 52 (สมบัติของการเทา่ กนั )

ดังนั้น QR2 = 144

QR = 12 (สมบัติของการเท่ากนั )

เนื่องจาก จุด S เปน็ จดุ กึ่งกลางของ PQ และ PQ = 5 เซนตเิ มตร (ก�ำ หนดให้)

จะได ้ SQ = 2.5 เซนตเิ มตร (สมบัตขิ องการเทา่ กัน)

เนอื่ งจาก จดุ T เป็นจุดก่งึ กลางของ QR และ QR = 12 เซนติเมตร (ก�ำ หนดให้ และจากการพสิ ูจนข์ ้างต้น)

จะได ้ QT = 6 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากนั )

เนอ่ื งจาก จุด S และจดุ T เปน็ จุดกง่ึ กลางของ PQ และ QR ตามล�ำ ดบั และ PR = 13 เซนติเมตร

(กำ�หนดให)้
จะได้ ST = –12 PR (ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากเช่ือมจดุ กง่ึ กลาง
ของดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหล่ียม


ใด ๆ จะยาวเปน็ ครง่ึ หนง่ึ ของดา้ นทสี่ าม)
ST = –12 (13) = 6.5 เซนติเมตร
ดังนัน้ (สมบัตขิ องการเทา่ กัน)
พจิ ารณา ΔSQT
มี SQˆT เปน็ มมุ ฉาก SQ = 2.5 เซนติเมตร QT = 6 เซนตเิ มตร และ ST = 6.5 เซนตเิ มตร

จะได้ ความยาวรอบรปู ของ ΔSQT = 2.5 + 6 + 6.5 = 15 เซนติเมตร
พน้ื ท่ขี อง ΔSQT = –12 (6)(2.5) = 7.5 ตารางเซนติเมตร
และ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 391

พิจารณา ΔPQR

มี PQˆR เป็นมุมฉาก, PQ = 5 เซนตเิ มตร QR = 12 เซนติเมตร และ PR = 13 เซนตเิ มตร

จะได้ ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR = 5 + 12 + 13 = 30 เซนตเิ มตร
พื้นท่ีของ ΔPQR = –12 (12)(5) = 30 ตารางเซนติเมตร
และ

จากแนวคิดและข้อมูลท่ไี ดข้ า้ งต้น ตอบคำ�ถามไดด้ ังน้ี

1) ความยาวรอบรูปของ ΔSQT เท่ากบั 15 เซนติเมตร

2) ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR เปน็ 2 เทา่ ของความยาวรอบรูปของ ΔSQT

(เนือ่ งจาก ความยาวรอบรูปของ ΔPQR เทา่ กบั 30 เซนติเมตร และความยาวรอบรูปของ ΔSQT เทา่ กบั
1—350 = 2 เทา่ ของความยาวรอบรูปของ
15 เซนติเมตร จะได้ความยาวรอบรปู ของ ΔPQR เป็น ΔSQT)
3) พื้นท่ขี อง ΔSQT เท่ากบั 7.5 ตารางเซนตเิ มตร

4) พน้ื ท่ีของ ΔPQR เปน็ 4 เท่าของพนื้ ทขี่ อง ΔSQT

(เนอ่ื งจาก พนื้ ที่ของ ΔPQR เท่ากบั 30 ตารางเซนตเิ มตร และ พน้ื ที่ของ ΔSQT เท่ากับ 7.5
ตารางเซนตเิ มตร จะไดพ้ ้นื ทีข่ อง ΔPQR เปน็ 7—3.05 = 4 เทา่ ของพ้นื ท่ีของ ΔSQT)

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ สมบัตหิ รือทฤษฎีบทเกีย่ วกับรปู สามเหล่ียมและรูปส่ีเหลยี่ มมาใช้ในการให้เหตุผล

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน โดยแบ่งออกเป็นสว่ น ๆ ดงั น้ี

ข้อ 1) คะแนนเตม็ 5 คะแนน

✤ วาดรปู ประกอบการหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ หา QR ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ หา SQ และ QT ถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ หา ST ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ หาความยาวรอบรปู ของ ΔSQT ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

ขอ้ 2) คะแนนเต็ม 2 คะแนน

✤ หาความยาวรอบรูปของ ΔPQR ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

ข้อ 3) คะแนนเต็ม 1 คะแนน

✤ หาพนื้ ที่ของ ΔSQT ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

ข้อ 4) คะแนนเตม็ 2 คะแนน

✤ หาพนื้ ทขี่ อง ΔPQR ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

392 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

10. จากรปู กำ�หนดให้ AB ขนานกับ CD GH ตงั้ ฉากกับ EF และ CˆEF มขี นาด 55° จงหาขนาดของ GHˆB
พรอ้ มแสดงแนวคดิ ในการหาคำ�ตอบ
(3 คะแนน)

ED

C D
GE

C B
G H

AF B

แนวคดิ เขียนสัญลกั ษณแ์ ทนส่งิ ที่โจAทยก์ �ำ หนดFและส่ิงท่ที ราบว่าเทHา่ กนั ในรูป ประกอบการใหเ้ หตผุ ลไดด้ ังนี้

E D
C 55°
B
G H

AF

เน่อื งจาก AB // CD และ CˆEF = 55° (กำ�หนดให)้
จะได้ CˆEF = EˆFH = 55°
(ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเสน้ ตดั แล้วมุมแยง้

มขี นาดเท่ากัน)
เน่ืองจาก FGˆH = 90° (ก�ำ หนดให้ GH ⊥ EF)
ดังน้นั GHˆB = 55 + 90 = 145°
(ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลยี่ มเท่ากับผลบวกของ

ขนาดของมุมภายในทไี่ ม่ใช่มมุ ประชดิ ของมุมภายนอกนน้ั )

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั ิหรอื ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับรปู สามเหลี่ยมและรูปสเ่ี หลี่ยมมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดังน้ี

✤ ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ แสดงแนวคดิ ถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 393

11. จากรูปกำ�หนดให้ �AB ขนานกับ �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดับ จงเขยี นแสดง

การให้เหตผุ ลในแตล่ ะรายการตอ่ ไปนีใ้ ห้สมบูรณ์ เพ่อื พิสจู นว์ า่ PQRS เปน็ รปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน (10 คะแนน)

E G
CS RD

110°

AP 70° B
F
Q
H

กำ�หนดให ้ �AB ขนานกบั �CD BQˆR และ RˆSP มขี นาด 70° และ 110° ตามล�ำ ดับ

ต้องการพิสูจนว์ ่า PQRS เป็นรปู สี่เหลย่ี มดา้ นขนาน

พิสูจน์ �AB // �CD (กำ�หนดให ้ )
เนื่องจาก PQ // SR (PQ อยบู่ น �AB และ SR อยูบ่ น �CD )
จะได้ (กำ�หนดให ้ )
เน่ืองจาก BQˆR = 70° (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ มมุ แย้ง
จะได้ QˆRS = 70°

มขี นาดเทา่ กนั )
RˆSP = 110° (ก�ำ หนดให ้ )
เนื่องจาก (สมบัตขิ องการเทา่ กัน )
จะได ้ QˆRS + RˆSP = 70 + 110 (สมบตั ิของการเทา่ กัน )
หรอื QˆRS + RˆSP = 180° (ถา้ เสน้ ตรงเส้นหน่ึงตดั เส้นตรงคหู่ นึ่ง ทำ�ใหข้ นาดของ
�EF // �GH
ดังน้ัน

มมุ ภายในท่ีอยูบ่ นข้างเดยี วกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ

180 องศา แล้วเสน้ ตรงคู่นนั้ ขนานกนั )
PS // QR (PS อย่บู น �EF และ QR อยู่บน �GH )
จะได้

ดงั นั้น PQRS เปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นขนาน (มดี ้านตรงข้ามขนานกันสองค ู่ )

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบัติหรอื ทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั รูปสามเหลย่ี มและรูปสีเ่ หลี่ยมมาใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน

เติมเหตุผลในแตล่ ะช่องถูกตอ้ ง ได้ช่องละ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

394 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

12. จากรูป �AD เป็นเส้นแบ่งครงึ่ BˆAC จงแสดงการใหเ้ หตุผลเพอ่ื หาว่า ΔAFG เป็นรปู สามเหลยี่ มชนิดใดโดยเตมิ

เหตุผลทา้ ยข้อความที่กำ�หนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ความให้ถูกต้อง (7 คะแนน)

C

G

DE

A

BF

พิจารณา ΔAEF และ ΔAEG
AˆFE = AˆGE = 90°
เน่อื งจาก (กำ�หนดให้ )
FˆAE = GˆAE )
(�AD เปน็ เสน้ แบง่ ครึ่ง BˆAC

และ AE = AE (AE เปน็ ดา้ นรว่ ม )
ดังน้ัน ΔAEF ≅ ΔAEG
(ม.ม.ด. )

จะได้ AF = AG (ด้านคู่ทสี่ มนัยกนั ของรปู สามเหลี่ยมท่เี ทา่ กันทุกประการ

จะยาวเทา่ กัน )

ดงั นนั้ ΔAFG เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว (มีด้านยาวเท่ากันสองดา้ น )

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับรูปสามเหล่ียมและรูปสี่เหลย่ี มมาใชใ้ นการให้เหตผุ ล

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 7 คะแนน

เตมิ เหตผุ ลในแตล่ ะชอ่ งถกู ต้อง ไดช้ ่องละ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ตอ้ งหรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

13. จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จัว่ และมี AD = BE จงใหเ้ หตุผลว่า ΔCDE เปน็ รูปสามเหล่ียม

หนา้ จ่วั C (9 คะแนน)

A DE B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตผุ ลทางเรขาคณติ 395

แนวคดิ เขยี นสญั ลักษณ์แทนส่ิงที่ทราบวา่ เทา่ กนั จากเงือ่ นไขทโ่ี จทย์กำ�หนดลงในรปู เพ่อื ความสะดวกในการให้เหตผุ ล

แนวคิด 1

C

1 D 2
A EB

พิจารณา ΔACD และ ΔBCE (ก�ำ หนดให)้
เน่ืองจาก ΔABC เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่ัว (ด้านประกอบมุมยอดของรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั ยาวเท่ากนั )
จะได ้ AC = BC (มมุ ทฐี่ านของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่ัวมีขนาดเทา่ กนั )
และ (กำ�หนดให้)
ˆ1 = ˆ2 (ด.ม.ด.)
ดงั นนั้ (ด้านคู่ท่สี มนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมทเ่ี ทา่ กันทุกประการ
จะได ้ AD = BE จะยาวเทา่ กนั )
ΔACD ≅ ΔBCE (มดี ้านยาวเท่ากันสองดา้ น)
ดงั น้ัน CD = CE

ΔCDE เป็นรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั

แนวคดิ 2

C

1 35 64 2
A D EB

พิจารณา ΔACD และ ΔBCE (ก�ำ หนดให)้
เนอื่ งจาก ΔABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว (ด้านประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลยี่ มหน้าจั่วยาวเทา่ กนั )
จะได ้ (มุมทฐี่ านของรูปสามเหลย่ี มหนา้ จัว่ มีขนาดเทา่ กนั )
และ AC = BC (ก�ำ หนดให้)
(ด.ม.ด.)
ดังนั้น ˆ1 = ˆ2
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
AD = BE
ΔACD ≅ ΔBCE

396 บทท่ี 4 | การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

จะได ้ ˆ3 = ˆ4 (มมุ คทู่ ส่ี มนยั กันของรูปสามเหล่ียมทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการ
จะมขี นาดเท่ากัน)
(ขนาดของมมุ ตรง)
เนอ่ื งจาก ˆ3 + ˆ5 = ˆ4 + ˆ6 = 180° (สมบตั ิของการเท่ากัน)
ˆ5 = ˆ6 (มมี ุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองมมุ )
จะได้

ดงั นั้น ΔCDE เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จัว่

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั รูปสามเหลีย่ มและรูปสเ่ี หล่ยี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ได ้ 5 คะแนน
ใหเ้ หตุผลได้ว่า ΔACD ≅ ΔBCE แบบ ด.ม.ด. ถกู ตอ้ งชัดเจน ได ้ 2 คะแนน

สรปุ ไดว้ ่า CD = CE หรือ CˆDE = CˆED และให้เหตุผลถูกต้องชดั เจน

สรุปได้วา่ ΔCDE เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ และใหเ้ หตุผลถกู ต้องชัดเจน ได้ 2 คะแนน

14. N 22 ซม. P
M
จากรูป ก�ำ หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหล่ยี มหนา้ จ่วั
L 9 ซม. O LO = 9 เซนตเิ มตร NP = 22 เซนตเิ มตร
จงหาความยาวของ PO พรอ้ มทงั้ แสดงเหตุผล
(5 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | การให้เหตุผลทางเรขาคณติ 397

แนวคิด 1

N 1 4 22 ซม. 7 P
6M

9

2

L 5 8O
9 ซม.

พิจารณา ΔLMN ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 = 180°

เนอื่ งจาก (ขนาดของมมุ ภายในท้ังสามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม

รวมกนั เท่ากบั 180 องศา)
จะได้
ดั้งนั้น ˆ1 + ˆ2 + 90 = 180 (ก�ำ หนดให ้ ˆ3 = 90 องศา)
ˆ1 + ˆ2 = 90°
(สมบตั ิของการเท่ากัน)

เนอ่ื งจาก NP // LO (ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ ท�ำ ใหข้ นาดของมมุ ภายใน

ทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา แลว้

เสน้ ตรงคูน่ นั้ ขนานกัน)
จะได้ (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้น
ˆ4 + ˆ1 + ˆ2 + ˆ5 = 180°

ดงั นั้น ˆ4 + ˆ5 = 90° ขนาน รวมกันเท่ากับ 180 องศา)

(ˆ1 + ˆ2 = 90 องศา และสมบตั ขิ องการเท่ากัน)

พจิ ารณา ΔNMP ˆ4 + ˆ6 + ˆ7 = 180°

เน่อื งจาก (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม รวมกนั เทา่ กบั

180 องศา)

จะได้ ˆ4 + ˆ6 + 90 = 180 (กำ�หนดให ้ ˆ7 = 90 องศา)
ˆ4 + ˆ6 = 90°
ดงั นั้น ˆ4 + ˆ5 = ˆ4 + ˆ6 (สมบตั ิของการเทา่ กนั )
ˆ5 = ˆ6 (สมบตั ขิ องการเท่ากนั )
เนื่องจาก (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)

จะได้

พิจารณา ΔNMP และ ΔMLO
ˆ6 = ˆ5
เนอ่ื งจาก (จากการพิสูจน์ขา้ งตน้ )
ˆ7 = ˆ8 = 90° (ก�ำ หนดให้)


NM = ML (ก�ำ หนดให้ ΔLMN เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ )

ดงั น้นั ΔNMP ≅ ΔMLO (ม.ม.ด.)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

398 บทที่ 4 | การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จะได ้ MP = LO = 9 (ด้านคู่ทีส่ มนยั กันของรปู สามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการ

และ จะยาวเท่ากัน)

ดงั น้นั NP = MO = 22 (ดา้ นคทู่ ี่สมนัยกนั ของรูปสามเหลีย่ มที่เทา่ กันทกุ ประการ

จะยาวเทา่ กนั )

PO = PM + MO = 9 + 22 = 31 เซนติเมตร

แนวคดิ 2 (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม รวมกนั เทา่ กบั

จาก ΔNMP จะได ้ ˆ4 + ˆ6 + 90 = 180

180 องศา)
(ขนาดของมมุ ตรง)
ทจี่ ดุ M จะได้ ˆ9 + ˆ6 + 90 = 180 (สมบัตขิ องการเท่ากนั )
ˆ4 = ˆ9
ดงั น้นั

พิจารณา ΔNMP และ ΔMLO

NM = ML (กำ�หนดให้ ΔLMN เป็นรปู สามเหล่ยี มหน้าจว่ั )
ˆ7 = ˆ8 = 90° (ก�ำ หนดให้)
ˆ4 = ˆ9
ดังนน้ั (จากการพิสูจนข์ ้างตน้ )

ΔNMP ≅ ΔMLO (ม.ม.ด)

จะได ้ MP = LO = 9 (ดา้ นคทู่ ี่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ

จะยาวเทา่ กนั )

NP = MO = 22 (ด้านคู่ท่ีสมนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมที่เทา่ กนั ทุกประการ

จะยาวเทา่ กัน)

ดงั นัน้ PO = PM + MO = 9 + 22 = 31 เซนตเิ มตร

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ สมบตั หิ รอื ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับรูปสามเหล่ียมและรปู สเี่ หลย่ี มมาใช้ในการใหเ้ หตผุ ล

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ออกเป็นส่วน ๆ ดงั น้ี

✤ ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ ใหเ้ หตุผลได้ว่า ΔNMP ≅ ΔMLO แบบ ม.ม.ด. ถกู ตอ้ งชัดเจน ได ้ 3 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง 399

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ในบทการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องนี้ ประกอบด้วย
หวั ข้อย่อย ดงั ต่อไปนี้

5.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้ 1 ช่ัวโมง
สมบตั กิ ารแจกแจง 3 ชั่วโมง
5.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 3 ชว่ั โมง
ตัวแปรเดียว 2 ช่วั โมง
5.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง
ท่เี ป็นกำ�ลังสองสมบรู ณ์
5.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง
ทเ่ี ป็นผลตา่ งของก�ำ ลงั สอง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระ จ�ำ นวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรปู ความสมั พนั ธ์ ฟังก์ชนั ลำ�ดับและอนุกรม และน�ำ ไปใช้

ตัวชวี้ ดั

เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

จุดประสงคข์ องบทเรยี น

นักเรียนสามารถ
1. แยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
2. แยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว พหุนามดีกรีสองท่ีเปน็ กำ�ลงั สองสมบรู ณ์ และพหุนามดกี รสี อง

ที่เปน็ ผลต่างของก�ำ ลงั สอง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี