E-book LKS Berbasis Multi Representasi Materi Lingkaran Kelas VIII

1

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNDIKSHA

Lembar Kerja Siswa

Matematika

Untuk SMP Kelas VIII

Tim Penyusun:
Ni Made Rupita Widyastiti
Dr. Putu Wisna Ariawan, M. Si.
Made Juniantari, S. Pd., M. Pd.

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, dengan rahmat dan
perkenan-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan lembar kerja siswa ini sebagai media
pembelajaran untuk menunjang kegiatan pembelajaran. Lembar kerja siswa ini merupakan
salah satu bahan ajar yang dapat digunakan siswa Sekolah Menengah Pertama (SMP) kelas
VIII untuk mempelajari materi lingkaran dengan menggunakan berbagai representasi.

Pada LKS ini terdiri dari 4 subbab materi, yaitu 1) Lingkaran dan Unsur-Unsurnya, 2)
Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran, 3) Panjang Busur dan Luas Juring
Lingkaran, dan 4) Garis Singgung Lingkaran. Setiap subbab terdiri dari beberapa kegiatan
yaitu:
1. Kegiatan Mari Menyimak, pada kegiatan ini siswa diinstruksikan untuk menyaksikan

video yang telah disajikan.
2. Kegiatan Mari Kerjakan, pada kegiatan ini siswa akan melakukan observasi yang akan

digunakan dalam menemukan konsep.
3. Kegiatan Mari Menalar, pada kegiatan ini siswa dituntun untuk menemukan konsep.
4. Kegiatan Mari Menyimpulkan, pada kegiatan ini siswa diberikan kesempatan untuk

menyimpulkan konsep yang telah dipelajari.
5. Kegiatan Mari Berlatih, pada kegiatan ini siswa akan melatih konsep yang telah dipelajari

dengan menjawab soal.
Dengan terbentuknya LKS ini, kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

yang telah bekerja sama dalam penyusunan LKS ini. Kami berharap lembar kerja siswa ini
dapat membantu baik siswa maupun guru dalam mempelajari materi lingkaran dan LKS ini
dapat menjadi alternatif bahan ajar yang inovatif. Kritik dan saran senantiasa kami harapkan
guna penyempurnaan lebih lanjut.

Singaraja, Mei 2021

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Halaman Judul ....................................................................................................................i
Kata Pengantar ...................................................................................................................ii
Daftar Isi ..............................................................................................................................iii
Kompetensi Inti, Kompetensi Dasar, dan Indikator Pencapaian....................................1
A. Lingkaran dan Unsur-Unsurnya .................................................................................4

A.1 Pengertian Lingkaran ............................................................................................4
A.2 Unsur-Unsur Lingkaran ........................................................................................5
B. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran ............................................8
C. Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran ..............................................................12
C.1 Panjang Busur Lingkaran .....................................................................................12
C.2 Luas Juring Lingkaran ..........................................................................................15
D. Garis Singgung Lingkaran ...........................................................................................20
D.1 Pengertian Garis Singgung Lingkaran ................................................................20
D.2 Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran .........................................21
D.3 Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran ...........................................25
DAFTAR PUSTAKA

iv

KOMPETENSI INTI, KOMPETENSI DASAR,
DAN INDIKATOR PENCAPAIAN

KOMPETENSI INTI
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleran, gotong royong),

santun, dan percaya diri dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan
alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural)
berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait
fenomena dan kejadian tampak mata
4. Mengolah, mengaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai,
merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca,
menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan
sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN
Kompetensi Dasar:
3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, luas juring, serta hubungannya
Indikator Pencapaian:
a. Membedakan unsur-unsur lingkaran
b. Membedakan sudut pusat dan bukan sudut pusat
c. Membedakan sudut keliling dan bukan sudut keliling
d. Menentukan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama
e. Menentukan hubungan panjang busur, keliling, dan sudut pusat lingkaran
f. Menentukan hubngan luas juring, luas daerah, dan sudut pusat lingkaran
Kompetensi Dasar:
3.8 Menjelaskan garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran
Indikator Pencapaian:
a. Mengidentifikasi sifat-sifat garis singgung lingkaran
b. Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
c. Menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

1

Kompetensi Dasar:
4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur,

dan luas juring lingkaran, serta hubungannya
Indikator Pencapaian:
a. Menerapkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

dalam menyelesaikan masalah
b. Menerapkan hubungan panjang busur, keliling, dan sudut pusat lingkaran dalam

menyelesaikan masalah
c. Menerapkan hubungan luas juring, luas daerah, dan sudut pusat lingkaran dalam

menyelesaikan masalah
Kompetensi Dasar
4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan dalam dan

persekutuan luar dua lingkaran
Indikator Pencapaian:
a. Menerapkan konsep garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dalam menyelesaikan

masalah
b. Menerapkan konsep garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dalam menyelesaikan

masalah

TUJUAN PEMBELAJARAN
a. Siswa dapat mengenal unsur-unsur lingkaran
b. Siswa mampu membedakan sudut pusat dan bukan sudut pusat
c. Siswa mampu membedakan sudut keliling dan bukan sudut keliling
d. Siswa dapat menentukan hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur

yang sama
e. Siswa dapat menentukan hubungan panjang busur, keliling, dan sudut pusat lingkaran
f. Siswa dapat menentukan hubungan luas juring, luas daerah, dan sudut pusat lingkaran
g. Siswa dapat mengidentifikasi sifat-sifat garis singgung lingkaran
h. Siswa dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
i. Siswa dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
j. Siswa dapat menerapkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur

yang sama dalam menyelesaikan masalah
k. Siswa dapat menerapkan hubungan panjang busur, keliling, dan sudut pusat lingkaran

dalam menyelesaikan masalah
2

l. Siswa dapat menerapkan hubungan luas juring, luas daerah, dan sudut pusat lingkaran
dalam menyelesaikan masalah

m. Siswa dapat menerapkan konsep garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dalam
menyelesaikan masalah

n. Siswa dapat menerapkan konsep garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dalam
menyelesaikan masalah

3

A. LINGKARAN DAN
UNSUR - UNSURNYA

KEGIATAN A.1

Video 1 Pengertian Lingkaran
Video dapat diakses pada: https://youtu.be/KHblFzTVHHg

4

KEGIATAN A.2

Berdasarkan Video 1, maka kesimpulan dari pengertian lingkaran yaitu:
KESIMPULAN:
Lingkaran adalah .................…………………………………………...........................
………………………………………………………………………………………….

KEGIATAN A.3

Kita telah mempelajari mengenai pengertian lingkaran dengan mengenal 2 unsur
lingkaran yaitu pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Untuk mengenal unsur-unsur lingkaran
lebih banyak, simaklah video 2 berikut ini.

Video 2 Unsur-Unsur Lingkaran
Video dapat diakses pada: https://youtu.be/EA2b7iFwgyA

5

KEGIATAN A.4

Berdasarkan video 2 mengenai unsur-unsur lingkaran, lengkapilah gambar lingkaran
berikut ini sesuai dengan nama unsur-unsur lingkarannya.

KEGIATAN A.5

Berikan tanggapan (Benar atau Salah) terhadap pernyataan pada tabel 1 berikut.
Tabel 1

No. Pernyataan Benar/Salah
1 Panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari

lingkaran
2 Jumlah panjang busur besar dengan busur kecil sama

dengan keliling lingkaran
3 Diameter adalah tali busur terpanjang
4 Setiap tali busur adalah diameter

6

5 Setiap diameter adalah tali busur
6 Pada tali busur yang berhimpit dengan diameter, tali

busur tersebut tidak memiliki apotema
7 Apotema selalu tegak lurus dengan suatu tali busur
8 Luas tembereng sama dengan luas juring dikurangi

segitiga yang sisinya adalah dua jari-jari yang
membatasi juring dan tali busur pembatas tembereng

7

B. HUBUNGAN SUDUT
PUSAT DAN SUDUT KELILING

KEGIATAN B.1

Video 3 Hubungan Sudut Pusat dengan Sudut Keliling
Video dapat diakses pada: https://youtu.be/0V5ivBu4DmY

8

KEGIATAN B.2

Lengkapi tabel 2 dengan berbantuan geogebra yang telah disediakan berikut ini. Seperti

pada video 3, geser slider sudut pusat sesuai dengan besar sudut pusat pada tabel dan tulis besar

sudut keliling pada kolom ukuran sudut keliling pada tabel 2 berikut.

Geogebra dapat diakses pada: https://www.geogebra.org/m/dqcdgres

Bandingkan ukuran sudut pusat dengan ukuran sudut keliling dan carilah sampai

dibentuk yang paling sederhana kemudian hasilnya ditulis pada kolom ketiga seperti contoh 1.

Tabel 2

Ukuran Ukuran
Sudut Sudut
Pusat Keliling
90 : 45 = 2
90o 45o 45 : 45 1

100o

70o

66o

KEGIATAN B.3

Berdasarkan tabel 2, perbandingan sudut pusat dengan sudut keliling yaitu:

…
= …

(persamaan 1)

Lakukanlah perkalian silang persamaan 1, hingga memperoleh

Ukuran sudut pusat = ….. ukuran sudut keliling

9























KEGIATAN D.2

Apa itu garis singgung persekutuan dalam? Bagaimanakah cara menentukan jarak dua
titik singgung persekutuan dalam lingkaran? Pada kegiatan berikut kita akan menentukan
hubungan mengenai jarak antara kedua titik singgung, jari-jari kedua lingkaran, dengan jarak
titik pusat kedua lingkaran.

Misalkan kita memiliki dua lingkaran dengan pusat A dan B. Jari-jari lingkaran A
adalah r1 dan jari-jari lingkaran B adalah r2 . Garis singgung persekutuan dalam lingkaran A
dan B adalah ruas garis terpendek yang menyinggung kedua lingkaran tersebut dan melalui
daerah di antara kedua lingkaran tersebut. Perhatikan gambar 1.

Gambar 1

Ruas garis CD adalah salah satu dari dua garis singgung persekutuan dalam lingkaran
A dan B. Titik C merupakan titik singgung pada lingkaran A dan titik D adalah titik singgung
pada lingkaran B. Ruas garis AB merupakan jarak antara pusat lingkaran A dan pusat lingkaran
B. Bagaimanakah cara mencari panjang garis singgung CD pada gambar 1. Simaklah video
berikut ini.

Video 6 Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Video dapat diakses pada: https://youtu.be/xwuuqqwHxbw

21

KEGIATAN D.3

Berdasarkan video 6, lengkapilah pernyataan berikut.

Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, yaitu garis singgung tegak lurus
dengan diameter/jari-jari maka dari gambar … diketahui bahwa:

CD tegak lurus dengan …….. dan ……..
Atau dengan pengertian lain bahwa:

∠ACD = ∠CDB = ........o
Dari hasil simulasi dengan membuat ruas garis yang berhimpit dengan CD dengan panjang
yang sama, kemudian digeser sejauh r2 = 1 cm sehingga diperoleh ruas garis FB yang sejajar
dengan CD .
Karena CD = FB , maka untuk mencari panjang garis singgung CD , kita dapat mencari
panjang FB dengan memperhatikan ∆AFB .
Dari gambar, kita ketahui bahwa ∆AFB adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik F
Untuk dapat menentukan panjang FB , maka digunakan rumus pytagoras yaitu:

FB 2 = ........ − ..........

22

AF merupakan ruas garis yang terdiri dari AC dan CF , sehingga dapat ditulis:
AF = .........+ .........

Karena AC merupakan jari-jari dari lingkaran A dan CF panjangnya sama dengan
jari-jari lingkaran B, maka:

AF = .........+ .........
Substitusi AF pada persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga:

FB 2 = ........ − ....................

FB = . ....... − ....................
Karena CD = FB , maka diperoleh panjang garis singgung CD yaitu:

CD = . ....... − ....................

KEGIATAN D.4

Mari kita simpulkan rumus garis singgung lingkaran dalam dua lingkaran berdasarkan
kegiatan D.2 dan D.3 yang telah dilakukan.

Gambar 2
Rumus dalam mencari panjang garis singgung AB pada gambar 2 yaitu:

AB = ...............................................................................................

23

KEGIATAN D.5

Berdasarkan rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang telah ditemukan,
jawablah pertanyaan berikut ini.
1. Perhatikan gambar berikut ini.

Panjang MN = 10 cm, panjang jari-jari lingkaran M adalah 4 cm, dan panjang jari-jari N
adalah 2 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan AB!
Penyelesaian:

AB adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
Jarak pusat kedua lingkaran = Panjang MN = …………………..
Jari-Jari Lingkaran M = r1 = ………….
Jari-Jari Lingkaran N = r2 = ………….
Panjang garis singgung persekutuan dalam
AB = . ....... − ....................
AB = . ....... − ....................
AB = . ....... − ....................
AB = .................................
Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam AB = …………………….

24

KEGIATAN D.6

Pada kegiatan sebelumnya, kita telah membahas mengenai cara menentukan jarak dua
titik singgung pada garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. Pada kegiatan berikut kita
akan menentukan jarak dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dengan
mencari hubungan mengenai jarak antara kedua titik singgung, jari-jari kedua lingkaran,
dengan jarak titik pusat kedua lingkaran.

Misalkan kita memiliki dua lingkaran dengan pusat A dan B. Jari-jari lingkaran A
adalah r1 dan jari-jari lingkaran B adalah r2 . Garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan
B adalah ruas garis terpendek yang menyinggung kedua lingkaran tersebut dan tidak melalui
daerah di antara kedua lingkaran tersebut. Perhatikan gambar 2 di bawah ini.

Gambar 3
Ruas garis CD adalah salah satu dari dua garis singgung persekutuan luar lingkaran A
dan B. Titik C merupakan titik singgung pada lingkaran A dan titik D adalah titik singgung
pada lingkaran B. Ruas garis AB merupakan jarak antara pusat lingkaran A dan pusat lingkaran
B. Bagaimanakah cara mencari panjang garis singgung CD pada gambar 3? Simaklah video 7
berikut ini.

25

Video 7 Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Video diakses pada: https://youtu.be/jCgut-QCIys
KEGIATAN D.7

Berdasarkan video 7, lengkapilah pernyataan berikut.

Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, yaitu garis singgung tegak lurus dengan
diameter/jari-jari maka dari gambar … diketahui bahwa:

CD tegak lurus dengan …….. dan ……..
Atau dengan pengertian lain bahwa:

∠ACD = ∠CDB = ........o
26

Dari hasil simulasi dengan membuat ruas garis yang berhimpit dengan CD dengan panjang
yang sama, kemudian digeser sejauh r2 = 1 cm sehingga diperoleh ruas garis FB yang sejajar
dengan CD .
Karena CD = FB , maka untuk mencari panjang garis singgung CD , kita dapat mencari
panjang FB dengan memperhatikan ∆AFB .
Dari gambar, kita ketahui bahwa ∆AFB adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik F.
Untuk dapat menentukan panjang FB , maka digunakan rumus pytagoras yaitu:

FB 2 = ........ − ..........
AF merupakanruas garis yang panjangnya diperoleh dengan mengurangkan panjang AC
dengan panjang CF , sehingga dapat ditulis:

AF = .........− .........

Karena AC merupakan jari-jari dari lingkaran A dan CF panjangnya sama dengan jari-
jari lingkaran B, maka:

AF = .........− .........

Substitusi AF pada persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga:

FB 2 = ........ − ....................

FB = . ....... − ....................

Karena CD = FB , maka diperoleh panjang garis singgung CD yaitu:

CD = . ....... − ....................

27

KEGIATAN D.8
Mari kita simpulkan rumus garis singgung lingkaran luar dua lingkaran berdasarkan

kegiatan D.6 dan D.7 yang telah dilakukan.

Gambar 4
Rumus dalam mencari panjang garis singgung AB pada gambar 4 yaitu:

AB = ...............................................................................................
KEGIATAN D.9

Berdasarkan rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang telah ditemukan,
jawablah pertanyaan berikut ini.
1. Perhatikan gambar berikut ini.

28

Panjang PQ = 25 cm, panjang jari-jari lingkaran P adalah 13 cm, dan panjang jari-jari Q
adalah 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar AB!
Penyelesaian:

AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
Jarak pusat kedua lingkaran = Panjang PQ = …………………..
Jari-Jari Lingkaran P = r1 = ………….
Jari-Jari Lingkaran Q = r2 = ………….
Panjang garis singgung persekutuan dalam
AB = . ....... − ....................
AB = . ....... − ....................
AB = . ....... − ....................
AB = .................................
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar AB = …………………….

29

DAFTAR PUSTAKA

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Buku Siswa Matematika SMP/MTs Kelas
VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud