แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

รายวิชา คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ค๒๒๑o๒ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ ๒
หน่วยการเรียนรทู้ ี่ ๒ ความเทา่ กนั ทกุ ประการ

เรื่อง รูปสามเหลี่ยมสองรปู ท่ีสมั พันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

นายสมทรง วงใหญ่

เลขประจำตวั สอบ o๒o๑oooo๑

สำนกั งานศกึ ษาธิการจังหวัด กรุงเทพมหานคร

สำนกั งานเขตพื้นท่กี ารศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน
กระทรวงศึกษาธิการ

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ ข

แผนการจัดการเรียนรู้
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
รายวชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค2210๒ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2
หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 ความเท่ากนั ทุกประการ
เรื่อง รปู สามเหล่ยี มสองรูปที่สัมพนั ธ์กนั แบบ ด้าน-มุม-ด้าน

โดย
นายสมทรง วงใหญ่
เลขประจำตัวสอบ 020100001

สำนกั งานศึกษาธิการจังหวดั กรงุ เทพมหานคร
สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ก

คำนำ

เอกสารฉบับนี้จัดทำขึ้น เพื่อเป็นเอกสารแสดงข้อมูลประกอบการสอบสาธิตปฏิบัติการสอน การประเมิน
ตำแหน่ง ครูผู้ช่วย ภาค ค ความเหมาะสมกับตำแหน่งวิชาชีพ และปฏิบัติงานในสถานศึกษา สำหรับการสอบแข่งขัน
เพื่อบรรจุ และแต่งตั้งบุคคลเข้ารับราชการ เป็นข้าราชการครูและบุคลากรทางการศึกษา ตำแหน่งครูผู้ช่วย
สงั กัดสำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน ปีการศึกษา 2564

ภายในเอกสารฉบับนี้ ประกอบด้วย คำอธิบายรายวิชา โครงสร้างรายวิชา หน่วยการเรียนรู้ แผนการจัดการ
เรียนรู้ และสื่อการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์ รหัสวิชา ค22102 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 และใช้ประกอบการ
ประเมินภาค ค การพัฒนาตนเองและวิชาชีพ และความสามารถด้านการสอน ตำแหน่งครูผู้ช่วย โดยมีการศึกษา
และวิเคราะห์หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 และมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัดฯ
(ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ซ่ึงไดจ้ ัดเรยี งหวั ข้อไวต้ รงตามเกณฑก์ ารประเมนิ ตำแหนง่ ครูผู้ช่วย ภาค ค ในคร้ังน้ี

ข้าพเจ้าหวังว่าเอกสารฉบับนี้จะเป็นประโยชน์ ในการประเมินตำแหน่ง ครูผู้ช่วย ภาค ค ของข้าพเจ้า
หากมีขอ้ ผดิ พลาดประการใด ข้าพเจ้าขอน้อมรบั ไว้ และขออภัยมา ณ ที่น้ี

นายสมทรง วงใหญ่
ผจู้ ดั ทำ

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ข

สารบัญ

เรอื่ ง หนา้

คำนำ ก
สารบัญ ข
คำอธิบายรายวิชา
1
- คำอธบิ ายรายวชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 ภาคเรยี นท่ี 1 2
- คำอธิบายรายวิชาคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 ภาคเรยี นที่ 2 3
มาตรฐานการเรียนรแู้ ละตัวช้ีวดั
โครงสร้างรายวชิ า 5
- โครงสร้างรายวิชา ภาคเรียนท่ี 1 10
- โครงสร้างรายวิชา ภาคเรียนที่ 2 16
วิเคราะหห์ น่วยการเรยี นรู้ 19
แผนการจัดการเรียนรู้ 30
ภาคผนวก
บรรณานุกรม

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 1

คำอธบิ ายรายวิชาพ้นื ฐาน

รหัสวิชา ค22101 คณติ ศาสตร์พื้นฐาน กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 60 ชว่ั โมง จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ

ศึกษา ฝึกทักษะ / การคิดคำนวณและฝึกแก้ปัญหาเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ การนำความรู้
เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใช้ในชีวิตจริง การนำ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง จำนวนตรรกยะ
และจำนวนอตรรกยะ รากที่สองและรากที่สามของจำนวนตรรกยะ การนำความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริงไปใช้ ปริซึม
และทรงกระบอก การหาปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก การนำความรู้เกี่ยวกับปริมาตรของปริซึม
และทรงกระบอกไปใช้ในการแก้ปัญหา การแปลงทางเรขาคณิต การเลื่อนขนาน การสะท้อนการหมุน การนำความรู้
เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตไปใช้ในการแก้ปัญหา พหุนาม พหุนาม การบวก การลบ และการคูณของพหุนาม
และการหารพหุนามด้วยเอกนามที่มีผลหารเป็นพหุนาม และการนำไปใช้ เลขยกกำลัง และการดำเนินการของ
เลขยกกำลงั

โดยใช้ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (Mathematical skill and process) ซึ่งได้แก่ การแก้ปัญหา
ด้วยวธิ กี ารท่ีหลากหลาย การให้เหตุผล การส่ือสาร การสอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนำเสนอ การเชื่อมโยง
ความรูต้ า่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และการเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน ๆ รวมทั้งมคี วามคิดริเริ่มสร้างสรรค์ เพื่อให้
ได้มาซงึ่ ความรู้ และสามารถนำไปประยุกต์ใชใ้ นชวี ิตประจำวันไดอ้ ย่างมปี ระสทิ ธิภาพ

เห็นคุณค่าของการนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ ไปใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวัน ได้แก่ การมีระเบียบวินัย
ในตนเอง มีความรบั ผิดชอบ มคี วามเช่อื มั่นในตนเอง ตระหนกั ในคุณคา่ และมเี จตคตทิ ่ดี ีต่อวิชาคณติ ศาสตร์

รหัสตวั ช้ีวดั
ค ๑.๑ ม.๒/๑ ม.๒/๒
ค ๑.๒ ม.๒/๑ ม.๒/๒
ค ๒.๑ ม.๒/๑ ม.๒/๒

รวมทั้งหมด 6 ตัวชี้วัด

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 2

คำอธิบายรายวิชาพน้ื ฐาน

รหัสวชิ า ค22102 คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 60 ชวั่ โมง จำนวน 1.5 หนว่ ยกิต

ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมทั้งโปรแกรม The Geometer’s
Sketchpad หรือ โปรแกรมเรขาคณิตพลวัตอื่น ๆ เพื่อสร้างรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำความรู้เกี่ยวกับการสร้างน้ี
ไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง นำความรู้เกี่ยวกับสมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยมไปใช้ในการ
แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหา
ในชีวิตจริง เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหา
ในชีวิตจริง เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง เข้าใจ
และใช้ความรู้ทางถิติในการนำเสนอข้อมูลและวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพจุด แผนภาพต้น – ใบ ฮิสโทแกรม
และค่ากลางของข้อมูล และแปลความหมาย ผลลัพธ์ รวมท้งั นำสถติ ไิ ปใช้ในชวี ติ จริง โดยใช้เทคโนโลยีท่เี หมาะสม

เพื่อให้ผู้เรียนได้ศึกษา พัฒนาทักษะกระบวนการในการคิดคำนวณ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตร์ ไปใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์ เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์
สามารถทำงานอย่างเป็นระบบระเบียบ รอบคอบ มีความรบั ผดิ ชอบ มีวิจารณญาณ และเช่ือม่นั ในตนเอง

รหสั ตวั ชี้วัด
ค ๒.๒ ม.2/๑ ม.๑/๒ ม.๒/๓ ม.๒/๔ ม.๒/๕
ค ๓.๑ ม.2/๑

รวมทั้งหมด ๖ ตัวชี้วัด

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 3

มาตรฐานการเรียนรู้และตวั ช้ีวดั

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิศาสตร์

รายวชิ า คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

สาระที่ ๑ จำนวนและพีชคณติ

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของจำนวน

ผลท่เี กิดขนึ้ จากการดำเนนิ การ สมบัติของการดำเนินการ และนำไปใช้

ตัวช้วี ัด ค 1.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้สมบัติของเลขยกกำลัง ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มในการแก้ปญหา

คณติ ศาสตร์และปญหาในชวี ติ จริง

ค 1.1 ม.2/2 เข้าใจจำนวนจริงและความสัมพันธ์ของ จำนวนจริง และใช้สมบัติของจำนวนจริงในการ

แก้ปญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปญหาในชีวิตจริง

มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะห์รปู แบบ ความสมั พนั ธ์ ฟงก์ชัน ลำดับและอนกุ รม และนำไปใช้

ตัวช้วี ัด ค 1.2 ม.2/1 เขา้ ใจหลกั การการดำเนนิ การของพหนุ าม และใชพ้ หนุ ามในการแก้ปญหาคณติ ศาสตร์

ค 1.2 ม.2/2 เขา้ ใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต

มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพ้ืนฐานเก่ียวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของส่งิ ที่ต้องการวดั และนำไปใช้

ตัวชว้ี ัด ค 2.1 ม.2/1 ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอกในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์

และปญหาในชวี ติ จริง

ค 2.2 ม.2/2 ประยกุ ตใ์ ช้ความรูเ้ ร่ืองปริมาตรของปรซิ ึม และทรงกระบอกในการแกป้ ญหาคณิตศาสตร์

และปญหาในชวี ิตจริง

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่าง

รปู เรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้

ตวั ชว้ี ัด ค 2.2 ม.2/1 ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมทั้งโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad หรือโปรแกรมเรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ เพ่ือสร้าง

รูปเรขาคณิต ตลอดจนนำความรู้เกี่ยวกับการสร้างน้ี ไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปญหา

ในชีวิตจริง

ค 2.2 ม.2/2 นำความรู้เกี่ยวกับสมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยมไปใช้ในการแก้ป ญหา

คณติ ศาสตร์

ค 2.2 ม.2/3 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับการแปลง ทางเรขาคณิตในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์

และปญหาในชวี ิตจรงิ

ค 2.2 ม.2/4 เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์

และปญหาในชีวิตจริง

ค 2.2 ม.2/5 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์ และปญหาใน

ชีวิตจริง

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 4

สาระที่ 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น

มาตรฐาน ค 3.1 เขา้ ใจกระบวนการทางสถติ ิ และใช้ความรู้ทางสถิตใิ นการแกป้ ญหา

ตัวชวี้ ดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการนำเสนอข้อมูลและวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพจุด

แผนภาพตน้ –ใบ ฮสิ โทแกรม และคา่ กลางของข้อมลู และแปลความหมายผลลัพธ์รวมทั้ง

นำสถิตไิ ปใช้ในชีวิตจรงิ โดยใช้เทคโนโลยที เ่ี หมาะสม

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 5

โครงสรา้ งรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน
รหสั วชิ า ค22101 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 60 ชว่ั โมง จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ

หน่วย ชอ่ื หน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคัญ เวลา นำ้ หนัก
ท่ี ตัวช้วี ดั (ชั่วโมง) (คะแนน)

1 ทฤษฎีบท มาตรฐานการเรยี นรู้ - รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากเปน็ รูป 10 10
พที าโกรสั
ค 2.2 เข้าใจและ สามเหล่ียมทมี่ มี ุมภายในมุมใดมมุ หนงึ่ มี

วิเคราะห์รปู เรขาคณิต ขนาด 90 องศา ด้านที่อยู่ตรงข้ามกบั มุม

สมบัตขิ องรูปเรขาคณิต ฉากเรยี กว่าดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากซงึ่ เป็น

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งรูป ด้านที่ยาวทส่ี ดุ ในรูปสามเหล่ียม อกี สอง

เรขาคณิต และทฤษฎีบท ดา้ นเรยี กว่าดา้ นประกอบมมุ ฉาก ความ

ทางเรขาคณิต และ ยาวดา้ นของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากมี

นำไปใช้ ความสัมพนั ธ์กนั คอื กำลังสองของความ

ตวั ช้ีวัด ยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉากจะเทา่ กบั

ค 2.2 ม.2/5 ผลบวกของกำลงั สองของด้านประกอบ

เขา้ ใจและใชท้ ฤษฎีบทพี มมุ ฉากอีกสองด้าน

ทาโกรัสและบทกลับใน - สำหรับรูปสามเหล่ียมใด ๆ กำลงั สอง

การแก้ปัญหา ของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

คณติ ศาสตร์และปญั หา จะเท่ากับผลบวกของกำลงั สองของความ

ในชวี ิตจริง ยาวของด้านประกอบมุมฉาก

- รปู สามเหลย่ี มใด ๆ มีความยาวของ

ดา้ นตรงข้ามมุมฉากยกกำลงั สองเท่ากบั

ผลบวกของความยาวของดา้ นประกอบ

มมุ ฉาก

- ยกกำลังสอง รปู สามเหลย่ี มนนั้ จะเปน็

รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซ่ึงเป็นบทกลับของ

ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

2 ความรู้ มาตรฐานการเรยี นรู้ - การเขยี นเศษส่วนในรูปทศนิยม และ 12 15

เบือ้ งต้น ค 1.1 เข้าใจความ การเขยี นทศนิยมในรปู แบบเศษสว่ น

เกี่ยวกับ หลากหลายของการแสดง - จำแนกจำนวนจรงิ ท่ปี รากฎ และ

จำนวนจรงิ จำนวน ระบบจำนวน ยกตวั อยา่ งจำนวนตรรกยะ และจำนวน

การดำเนินการของ อตรรกยะได้

จำนวน ผลที่เกิดขึ้นจาก

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 6

หนว่ ย ชื่อหน่วย มาตรฐานการเรยี นร/ู้ สาระสำคัญ เวลา น้ำหนัก
ท่ี ตวั ช้ีวดั (ชั่วโมง) (คะแนน)

2 ความรู้ การดำเนนิ การ และ - หารากทส่ี องและรากที่สาม ของจำนวน

เบอื้ งต้น นำไปใช้ เตม็ โดยการแยกตวั ประกอบและนำไปใช้

เกยี่ วกับ ตวั ชี้วดั ในการแกป้ ัญหาพรอ้ มทง้ั ตระหนกั ถึง

จำนวนจริง ค 1.1 ม.2/1 เขา้ ใจ ความสมเหตสุ มผลของคำตอบ

(ตอ่ ) และใชส้ มบตั ิของเลขยก - อธบิ ายผลที่เกิดขึน้ จากการหารากท่ี

กำลงั ท่มี ีเลขชก้ี ำลงั เปน็ สองและรากทีส่ ามของจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มในการ เศษส่วนและทศนิยม บอกความสมั พนั ธ์

แกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ของการยกกำลงั กับการหารากของ

และปัญหาในชวี ิตจรงิ จำนวนจรงิ

ค 1.1 ม.2/2 เขา้ ใจ - หาคา่ ประมาณของรากท่สี อง และราก

จำนวนจริงและ ทสี่ ามของจำนวนจรงิ และนำไปใช้ในการ

ความสมั พนั ธข์ องจำนวน แกป้ ญั หา พร้อมทั้งตระหนักถึงความ

จรงิ และใช้สมบตั ิของ สมเหตสุ มผลของคำตอบ

จำนวนจริงในการ - บอกความเกีย่ วข้องของจำนวนจรงิ

แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ

และปญั หาในชวี ิตจรงิ

3 ปรซิ มึ และ มาตรฐานการเรยี นรู้ - พ้นื ท่ผี วิ ของปริซึม คือ พนื้ ที่ของพื้นผิว 10 10

ทรงกระบอก ค 2.1 เข้าใจพืน้ ฐาน ทง้ั หมดของปริซึม ซ่ึงสามารถหาได้จาก

เกย่ี วกับการวัด วดั และ พน้ื ที่ของดา้ นข้างทง้ั หมดรวมกบั พ้นื ท่ี

คาดคะเนขนาดของสงิ่ ท่ี ของฐานท้ังสอง

ตอ้ งการวัด และนำไปใช้ - พื้นทข่ี องดา้ นขา้ งของปริซึมเท่ากบั ผล

ตัวชว้ี ัด คูณของความยาวรอบรปู ของฐานกับ

ค 2.1 ม.2/1 ความสงู

ประยุกต์ใช้ความร้เู รอ่ื ง - ปรมิ าตรของปริซมึ เท่ากบั

พืน้ ท่ีผิวของปรซิ มึ และ พ้นื ท่ีฐาน x ความสูง

ทรงกระบอกในการ - ทรงกระบอกท่มี รี ัศมีของฐานยาว r

แกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ และ สูง h หน่วย มพี ้ืนที่ผิว เท่ากบั

และปญั หาในชวี ิตจรงิ 2πr2 + 2πrh ตารางหน่วย

ค 2.1 ม.2/2 - ทรงกระบอกท่มี ีรศั มีของฐานยาว r

และสูง h หน่วย มีปรมิ าตรเท่ากับ

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 7

หน่วย ชื่อหน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนกั
ท่ี ตัวชว้ี ดั (ชั่วโมง) (คะแนน)

3 ปริซึมและ ประยกุ ต์ใช้ความรเู้ รือ่ ง πr2h ลูกบาศก์หนว่ ย

ทรงกระบอก ปริมาตรของปริซึมและ - ทรงกระบอกท่มี รี ศั มขี องฐานยาว r
(ตอ่ ) ทรงกระบอกในการ และ สูง h หนว่ ย มพี น้ื ทีผ่ วิ เทา่ กบั
แก้ปญั หาคณิตศาสตร์ 2πr2 + 2πrh ตารางหน่วย
และปญั หาในชวี ิตจริง - ทรงกระบอกท่มี รี ศั มขี องฐานยาว r
และสูง h หน่วย มีปริมาตรเท่ากบั

πr2h ลกู บาศก์หน่วย

4 การแปลง มาตรฐานการเรียนรู้ - การแปลงทางเรขาคณิตของรปู บน 10 5

ทาง ค 2.2 เขา้ ใจและ ระนาบ เป็นการดำเนินการจับคูก่ นั แบบ

เรขาคณติ วิเคราะหร์ ปู เรขาคณิต หน่ึงต่อหนง่ึ ท่ัวถึง (one-to-one onto)

สมบัตขิ องรปู เรขาคณติ ระหวา่ งจดุ บนรูปตน้ แบบกับจุดบนรปู ที่

ความสัมพนั ธ์ระหว่างรปู เกดิ จากการแปลง ซ่ึงทำใหร้ ูปตน้ แบบ

เรขาคณิต และทฤษฎบี ท (object) และรูปท่ี เกิดจากการแปลง

ทางเรขาคณิต และ ซึง่ เรียกว่า ภาพ (image) มีลักษณะ

นำไปใช้ เหมอื นรปู ต้นแบบเพยี งแตข่ นาดอาจเท่า

ตัวชีว้ ัด เดิม หรอื เลก็ ลง หรอื ใหญข่ ึ้นการแปลง
ค 2.2 ม.2/1 ใช้ ทางเรขาคณิต มีทั้งการเลื่อนขนาน

ความรูท้ างเรขาคณิตและ ทางเรขาคณิตโดยการเล่ือนขนาน
เครอื่ งมือ เชน่ วงเวียน การสะท้อน และการหมนุ จะทำใหร้ ปู
และสนั ตรง รวมทง้ั ต้นแบบและภาพมขี นาดเทา่ กัน

โปรแกรม The

Geometer’s Sketchpad

หรือ โปรแกรมเรขาคณติ

พลวัตอื่น ๆ เพื่อสรา้ งรูป

เรขาคณติ ตลอดจนนำ

ความรู้เก่ยี วกบั การสรา้ ง

น้ไี ปประยุกตใ์ ช้ในการ
แกป้ ญั หาในชีวิตจรงิ

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 8

หนว่ ย ช่อื หน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคัญ เวลา นำ้ หนัก
ท่ี ตวั ชวี้ ดั (ช่วั โมง) (คะแนน)

5 สมบัตขิ อง มาตรฐานการเรียนรู้ - เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็น 8 10

เลข ค 1.1 เข้าใจความ จำนวนเตม็ บวก

ยกกำลงั หลากหลายของการแสดง an = a x a x a x … x a

จำนวน ระบบจำนวน n ตวั
การดำเนินการของ - เมือ่ a เปน็ จำนวนใด ๆ ท่ไี ม่เท่ากบั 0
จำนวน ผลทเ่ี กดิ ขึน้ จาก และ n เป็นจำนวนเต็ม
การดำเนินการ สมบัติ
ของการดำเนินการ และ a-n = 1

an

นำไปใช้ - เมอื่ a เป็นจำนวนใด ๆ ท่ไี ม่เท่ากับ 0

ตัวชว้ี ัด a๐ = 1
ค 1.1 ม.2/1 เข้าใจ - สมบัตขิ องเลขยกกำลัง

และใชส้ มบัตขิ องเลขยก 1.am  an = am+n
กำลังท่มี เี ลขชกี้ ำลงั เป็น
จำนวนเต็มในการ 2.am  an = am−n
แกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์
และปญั หาในชีวิตจริง 3.(am )n = amn

4.(ab)n = anbn

5.( a )n = an
b bn

- สญั กรณ์วิทยาศาสตร์ เป็นการเขยี น
จำนวนในรปู A x 10n เม่ือ 1≤ A < 10
และ n เปน็ จำนวนเต็ม

6 พหนุ าม มาตรฐานการเรยี นรู้ - นพิ จนท์ สี่ ามารถเขยี นให้อยู่ในรูปการณ์ 10 10

ค 1.2 เขา้ ใจและ คูณของค่าคงตัวกับตวั แปรต้งั แต่หนง่ึ ตวั

วเิ คราะห์แบบรปู ขึ้นไป และเลขชีก้ ำลังของตวั แปรแต่ละ

ความสมั พันธ์ ฟังกช์ ัน ตัวเป็นศนู ยห์ รอื จำนวนเตม็ บวก เรยี กวา่

ลำดับและอนุกรม และ เอกนาม

นำไปใช้ - เอกนามสองเอกนามคล้ายกันกต็ อ่ เมอ่ื

ตัวชวี้ ดั 1. เอกนามทง้ั สองมีตัวแปรชดุ เดียวกนั

ค 1.2 ม.2/1 เข้าใจ 2. เลขชกี้ ำลงั ของตวั แปรตัวเดียวกนั ใน

หลกั การการดำเนนิ การ แตล่ ะเอกนามเท่ากนั

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 9

หนว่ ย ชอ่ื หน่วย มาตรฐานการเรียนร้/ู สาระสำคญั เวลา นำ้ หนัก
ท่ี ตวั ชี้วัด (ชัว่ โมง) (คะแนน)

6 พหุนาม(ต่อ) ของพหนุ ามและใช้ - การหาผลบวกของเอกนามท่คี ลา้ ยกนั

พหนุ ามในการแก้ปัญหา ใช้หลกั เกณฑด์ ังน้ี

คณติ ศาสตร์ = (ผลบวกของสัมประสทิ ธิ)์ x (ส่วนท่ีอยู่

ในรูปของตวั แปรหรือการคูณกนั ของตัว

แปร)

- การหาผลลบของเอกนามที่คล้ายกนั

ใช้หลักเกณฑ์ดังน้ี

= (ผลลบของสัมประสิทธ)์ิ x (สว่ นท่ีอยู่

ในรูปของตวั แปรหรือการคณู กนั ของตัว

แปร)

- นิพจนท์ ่ีอยู่ในรปู เอกนาม หรือเขยี นอยู่

ในรูปการณ์บวกกนั ของเอกนามตัง้ แต่

สองเอกนามขึ้นไป เรียกวา่ พหุนาม

และเรียกแตล่ ะเอกนามในพหุนามว่า

พจน์

สอบกลางภาค 1 20

สอบปลายภาค 1 20

รวม 60 100

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 10

โครงสรา้ งรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน
รหสั วิชา ค22102 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนท่ี 2 เวลา 60 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ

หนว่ ย ชอ่ื หน่วย มาตรฐานการเรียนรู้/ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนัก
ที่ ตัวช้ีวดั (ชัว่ โมง) (คะแนน)

1 สถิติ(2) มาตรฐานการเรยี นรู้ - แผนภาพจดุ (dot plot) เป็นการ 15 15

ค 3.1 เข้าใจ นำเสนอข้อมูลโดยใชจ้ ดุ แทนจำนวนหรอื

กระบวนการทางสถิติ ความถีข่ องขอ้ มลู แต่ละกลมุ่ ซึ่งโดยทั่วไป

และใชค้ วามรู้ทางสถิติ ใช้วงกลมขนาดเลก็ (•) แทนจุดของขอ้ มูล

ในการแกป้ ัญหา - แผนภาพต้น-ใบ เปน็ รปู แบบหน่งึ ของ

ตัวชี้วดั การนำเสนอข้อมูลเชิงปรมิ าณทีม่ ีการ
ค 3.1 ม.2/1 เรียงลำดับขอ้ มูลและช่วยให้เห็นภาพรวม
ของขอ้ มลู ไดร้ วดเรว็ ย่ิงข้นึ หลักการง่าย ๆ
เข้าใจและใชค้ วามรู้ ในการนำเสนอขอ้ มูลแผนภาพตน้ -ใบ คือ
การแบ่งตัวเลขท่ีแสดงข้อมลู เชิงปรมิ าณ
ทางสถิติในการ

นำเสนอข้อมลู และ

วิเคราะห์ข้อมลู จาก ออกเปน็ ส่วนลำตน้ และสว่ นใบ โดยส่วนใบ

แผนภาพจดุ แผนภาพ จะเป็นตัวเลขท่ีอยู่ขวาสดุ ส่วนตัวเลขท่ี

ตน้ -ใบ ฮสิ โทแกรม เหลอื จะเป็นลำตน้

และคา่ กลางของข้อมลู - ฮสิ โทแกรม มลี ักษณะคลา้ ยคลงึ แผนภมู ิ

และแปลความหมาย แท่งแตใ่ ชแ้ ท่งสเี่ หลยี่ มมุมฉากแสดง

ผลลพั ธ์ รวมทงั้ นำสถิติ ความถี่หรอื ความถี่สัมพัทธ์ของข้อมลู เชงิ
ไปใช้ในชวี ิตจรงิ โดยใช้ ปริมาณในขณะท่ีแผนภูมแิ ท่งใช้สำหรับ
เทคโนโลยีที่เหมาะสม ขอ้ มลู เชงิ คุณภาพและใช้แท่งส่เี หลย่ี มมมุ

ฉากแสดงปริมาณของข้อมูลซ่ึงมเี พยี งคา่

เดียว

- คา่ เฉล่ียเลขคณิต คอื จำนวนท่ไี ด้จาก

การหาผลบวกของข้อมลู ทงั้ หมดหารด้วย

จำนวนข้อมลู

- มธั ยฐาน คือ ค่าค่าหน่ึงซึ่งเมื่อเรียงข้อมลู

จากน้อยไปมากหรอื จากมากไปนอ้ ยแล้ว

จำนวนของข้อมลู ที่น้อยกว่าหรอื เทา่ กับคา่

นัน้ จะเท่ากบั จำนวนของข้อมูลทมี่ ากกวา่
หรือเท่ากับค่าน้นั

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 11

หนว่ ย ช่อื หน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนัก
ท่ี ตวั ชว้ี ดั (ช่วั โมง) (คะแนน)

1 สถิติ(2)(ต่อ) - ฐานนิยม (mode) คือ ข้อมูลท่ีเกดิ ข้ึนซ้ำ 10

กนั มากท่ีสดุ หรือมีความถี่สงู สุด 10

2 ความเทา่ กนั ทุก มาตรฐานการเรยี นรู้ - รปู เรขาคณติ สองรปู เทา่ กนั ทุกประการ 10

ประการ ค 2.2 เขา้ ใจและ กต็ ่อเมอื่ นำรปู เรขาคณิต รูปหนึ่งไปทบั อกี

วิเคราะห์รูปเรขาคณิต รปู หนึง่ ได้สนิทพอดี

สมบัติของรปู เรขาคณิต - สว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ เทา่ กันทกุ

ความสมั พันธ์ระหว่าง ประการ ก็ต่อเมอื่ สว่ นของเส้นตรง ท้ัง

รูปเรขาคณิต สองเส้นนัน้ ยาวเท่ากนั

และทฤษฎีบททาง - มุมสองมุม เท่ากนั ทุกประการ กต็ อ่ เมื่อ

เรขาคณิต และนำไปใช้ มุมท้ัง สองน้นั มขี นาดเทา่ กัน

ตัวชวี้ ัด - รปู สามเหลย่ี มสองรปู เทา่ กัน ทกุ ประการ

ค 2.2 ม.2/4 กต็ ่อเมอ่ื มีความสัมพันธ์ แบบ ดา้ น-มมุ -

เขา้ ใจและใช้สมบตั ขิ อง ด้าน มมุ -ดา้ น-มุม ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น และ

รปู สามเหลี่ยมที่เทา่ กนั มุม-มมุ -ดา้ น

ทกุ ประการในการ

แกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

และปญั หาในชีวติ จริง

3 เส้นขนาน มาตรฐานการเรียนรู้ - เมอื่ เส้นตรงเส้นหนงึ่ ตดั เส้นตรงคู่หนึง่ 10

ค 2.2 เข้าใจและ เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเม่ือ ขนาดของ

วิเคราะห์รูปเรขาคณติ มมุ ภายในที่อย่บู นข้างเดียวกันของเส้นตดั

สมบัติของรูปเรขาคณิต รวมกันเท่ากบั 180 องศา

ความสัมพันธ์ระหวา่ ง - เมอ่ื เสน้ ตรงเส้นหน่งึ ตดั เส้นตรงคู่หนง่ึ

รปู เรขาคณิต เสน้ ตรงคูน่ ั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มมุ แย้งมี

และทฤษฎีบททาง ขนาดเท่ากนั

เรขาคณติ และนำไปใช้ - เม่ือเส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง

ตัวชวี้ ัด เสน้ ตรงคนู่ ั้นขนานกนั ก็ต่อเม่ือ มุมภายใน

ค 2.2 ม.2/2 และมมุ ภายนอกทอี่ ยตู่ รงขา้ มบนขา้ ง

นำความร้เู กยี่ วกับ เดียวกันของเสน้ ตัดมีขนาดเท่ากนั

สมบัตขิ องเส้นขนาน

และรูปสามเหล่ยี มไป

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 12

หน่วย ชอื่ หน่วย มาตรฐานการเรียนร/ู้ สาระสำคญั เวลา น้ำหนัก
ท่ี ตวั ชวี้ ดั (ชว่ั โมง) (คะแนน)

3 เสน้ ขนาน(ตอ่ ) ใชใ้ นการแก้ปัญหา - ขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหล่ยี มว่า 10 10

คณติ ศาสตร์ มขี นาดของมมุ ท้ังสามรวมกันเท่ากบั 180

องศา

- ถ้าตอ่ ดา้ นใดดา้ นหนึ่งของรูปสามเหล่ยี ม

ออกไป มุมภายนอกทเ่ี กิดข้นึ จะมขี นาด

เทา่ กบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในท่ี

ไม่ใชม่ ุมประชิดของมุมภายนอกนัน้

- ถ้ารปู สามเหล่ยี มสองรปู มมี ุมทมี่ ีขนาด

เท่ากันสองคู่ และด้านคู่ทอี่ ย่ตู รงขา้ มกับ

มมุ คทู่ ี่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่

แล้วรปู สามเหลย่ี มสองรปู นั้นจะเท่ากนั ทุก

ประการ

4 การให้เหตผุ ลทาง มาตรฐานการเรียนรู้ - ประโยคเง่ือนไข ประกอบด้วยขอ้ ความ

เรขาคณติ ค 2.2 เขา้ ใจและ สองข้อความท่ีเช่อื มดว้ ย ถ้า...แล้ว เรยี ก

วิเคราะห์รูปเรขาคณติ ขอ้ ความทต่ี ามหลงั ถา้ ว่า เหตุ และเรียก

สมบตั ขิ องรูปเรขาคณติ ข้อความที่ตามหลัง แล้ว วา่ ผล บางคร้ัง

ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ ง ในประโยคมีเงื่อนไขอาจไม่ปรากฏในรูป

รปู เรขาคณติ และ ถ้า...แลว้ อย่างชัดเจน

ทฤษฎบี ททาง - ประโยคที่มีเงื่อนไขเปน็ จรงิ ประโยคมี

เรขาคณติ และนำไปใช้ เงื่อนไขน้ี เมื่อเหตุเปน็ จริง แล้วทำให้

ตัวช้ีวดั เกิดผลทเ่ี ป็นจริงเสมอ

ค 2.2 ม.2/2 นำ - ประโยคทม่ี เี ง่ือนไขไมเ่ ป็นจรงิ ประโยคมี

ความรู้เกยี่ วกบั สมบัติ เงอ่ื นไขนี้ เมื่อเหตเุ ปน็ จรงิ แล้วไมท่ ำให้

ของเสน้ ขนานและรูป เกดิ ผลทเ่ี ปน็ จรงิ เสมอไป

สามเหลีย่ มไปใชใ้ นการ - ถ้าเรานำผลของประโยคมเี งื่อนไขมาเป็น

แก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เหตุ และนำเหตขุ องประโยคมีเงือ่ นไขนมี้ า

เป็นผล เราจะได้ บทกลบั ของประโยคมี

เงอื่ นไข

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 13

หนว่ ย ช่อื หน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนัก
ที่ ตวั ชวี้ ดั (ช่วั โมง) (คะแนน)

4 การใหเ้ หตุผลทาง - ในทางคณติ ศาสตร์เมื่อประโยคมีเง่ือนไข 15
เรขาคณติ (ต่อ) เปน็ จรงิ และมีบทกลับเปน็ จริง อาจเขียน
เป็นประโยคเดยี วกนั โดยใช้คำวา่ กต็ ่อเมื่อ
เชือ่ มข้อความท้ังสองในประโยคมเี งื่อนไข
นน้ั ได้ และประโยคที่ได้กจ็ ะเปน็ จริงดว้ ย
- การพสิ ูจน์วา่ ข้อความเป็นจริงนนั้ จะตอ้ ง
ให้เหตุผลเพอ่ื แสดงว่า เม่ือเหตุเปน็ จรงิ
แล้ว เหตุน้ันทำให้เกดิ ผลที่เป็นจรงเสมอ
โดยเรม่ิ จากส่งิ ท่ีกำหนดให้แล้วอาศัยบท
นยิ าม สัจพจน์ ขอ้ ความทีเ่ คยพสิ จู นว์ า่
เปน็ จรงิ และสมบัติต่าง ๆ อย่างใดอย่าง
หน่ึงหรือหลายอย่างประกอบกนั มาให้
เหตผุ ล เพอื่ สรุปใหไ้ ด้วา่ ผลท่ีต้องการ
พสิ ูจนเ์ ปน็ จรงิ
- สำหรบั การพสิ จู นว์ า่ ข้อความไม่เป็นจรงิ
นนั้ เรามวี ิธีง่าย ๆ คอื ยกตัวอย่างทเ่ี ป็น
จริงตามส่ิงท่ีกำหนดให้หรอื เหตุ แต่
ผลสรปุ ทีไ่ ดไ้ มเ่ ปน็ จริง เรียกตัวอยา่ งเช่นน้ี
ว่า ตวั อยา่ งค้าน

5 การแยกตวั มาตรฐานการเรยี นรู้ - การเขียนพหนุ ามท่ีกำหนดให้ ในรปู การ 15

ประกอบของ ค 1.2 เขา้ ใจและ คูณกนั ของตวั ประกอบของพหนุ ามตั้งแต่

พหนุ ามดักรสี อง วเิ คราะห์แบบรปู สองพหุนามข้นึ ไป เรยี กว่า การแยกตวั

ความสมั พนั ธ์ ฟังก์ชัน ประกอบของหพุนาม

ลำดบั และอนุกรม และ - การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้

นำไปใช้ สมบตั ิการแจกแจง

ตวั ชวี้ ดั ถา้ a b และ c แทนพหนุ ามใด ๆ แล้ว

ค 1.2 ม2/2 เข้าใจ a(b+c) = ab+ac หรือ (b+c)a=ba+ca
และใช้การแยกตวั เรียก a ว่า ตัวประกอบร่วมของ ab และ
ประกอบของพหุนาม ac หรือตวั ประกอบรว่ มของ ba และ ca
ดีกรสี องในการ

แก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 14

หน่วย ชือ่ หน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคญั เวลา น้ำหนัก
ท่ี ตวั ช้วี ดั (ชว่ั โมง) (คะแนน)

5 การแยกตวั - การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรี
ประกอบของ สองตัวแปรเดียว
พหนุ ามดักรสี อง พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุ
(ตอ่ ) นามทเี่ ขียนไดใ้ นรูป ax2 + bx + c เมอื่

a, b, c เป็นค่าคงตัวที่ a≠0 และ x เป็น
ตวั แปร
- การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รี
สองตัวแปรเดยี วในรูป ax2+bx+c เมือ่
a, b เปน็ จำนวนเตม็ และ c=0

พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี วในกรณนี ี้
จะอยใู่ นรูป ax2+bx เราสามารถใช้สมบัติ
การแจกแจงแยกตวั ประกอบของพหุนาม
ในรปู นี้ได้
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรี
สองตวั แปรเดยี วในรปู ax2+bx+c เมอ่ื

a=1, b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c≠0
ถ้าให้ m และ n เปน็ จำนวนเตม็ สอง

จำนวน ซ่ึง mn = c และ m+n = b
จะไดว้ า่ ax2 + bx + c = (x+m)(x+n)
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รี
สองตวั แปรเดียวในรูป ax2+bx+c เมอ่ื

a, b. c เปน็ จำนวนเตม็ และ a≠1 c≠0
- การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี
สองท่เี ป็นกำลงั สองสมบูรณ์
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หนา้
และ B แทนพจนห์ ลัง จะแยกตวั ประกอบ
ของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ กำลงั สอง
สมบรู ณ์ไดต้ ามสตู ร ดังนี้

A2 + 2AB + B2 = (A+B)2
A2 - 2AB + B2 = (A-B)2

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 15

หนว่ ย ช่ือหน่วย มาตรฐานการเรียนรู้/ สาระสำคญั เวลา นำ้ หนัก
ที่ ตวั ชว้ี ดั (ชัว่ โมง) (คะแนน)

5 การแยกตวั - การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรี 1 20
ประกอบของ สองทเี่ ป็นผลตา่ งกำลังสอง 1 20
พหนุ ามดักรสี อง ในกรณีท่วั ไป ถ้าให้ A แทนพจน์หนา้ 60 100
(ตอ่ ) และ B แทนพจนห์ ลงั จงแยกตวั ประกอบ
ของพหนุ ามดีกรีสองทีเ่ ปน็ ผลต่างกำลัง
สองไดต้ ามสูตร ดังน้ี

A2 – B2 = (A+B)(A-B)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รี
สองที่เปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์
ในกรณีทว่ั ไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า
และ B แทนพจนห์ ลัง จะแยกตัวประกอบ
ของพหุนามดีกรีสองทีเ่ ปน็ กำลังสอง
สมบูรณไ์ ดต้ ามสตู ร ดงั นี้

A2 + 2AB + B2 = (A+B)2
A2 - 2AB + B2 = (A-B)2
- การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รี
สองท่ีเปน็ ผลต่างกำลงั สอง
ในกรณีทว่ั ไป ถ้าให้ A แทนพจนห์ น้า
และ B แทนพจนห์ ลงั จงแยกตัวประกอบ
ของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างกำลัง
สองได้ตามสตู ร ดงั นี้
A2 – B2 = (A+B)(A-B)

สอบกลางภาค

สอบปลายภาค

รวม

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 16

วเิ คราะหห์ น่วยการเรยี นรู้ ท่ีใชจ้ ัดทำแผนการเรยี นร้สู ำหรับการสอน

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ รายวิชา ค22102 คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 2 จำนวน 10 ชัว่ โมง

ชอ่ื หน่วย มาตรฐาน สาระการเรียนรู้ สาระสำคัญ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เวลา
การเรยี นรู้ การเรยี นรู้ / (ชว่ั โมง)

ตัวช้วี ดั

หนว่ ยการ ค 2.2 ม.2/4 1. ความเท่ากนั รปู เรขาคณติ สองรูปเทา่ กัน 1. นักเรยี นเขา้ ใจความหมายของ 2
เรียนรูท้ ่ี 2 ทุกประการของรูป ทุกประการ ก็ตอ่ เม่ือ เคลอื่ นท่ี การเทา่ กนั ทุกประการของรปู
ความเทา่ กนั เรขาคณิต รปู หนึง่ ไปทบั อีกรปู หนึง่ ได้ สามเหลย่ี มสองรปู (K)
ทุกประการ สนทิ 2. บอกไดว้ ่ารปู สามเหล่ียมสองรปู
เทา่ กันทกุ ประการ (P)
ส่วนของเสน้ ตรงสองเส้น 3. นักเรียนมีความกระตือรอื รน้ ใน
เทา่ กนั ทุกประการ กต็ อ่ เม่อื การทำงานทีไ่ ดร้ บั มอบหมาย (A)
ส่วนของเส้นตรงทัง้ เส้นนน้ั ยาว
เท่ากัน

มมุ สองมุมเท่ากนั ทุก
ประการ กต็ อ่ เม่อื มุมทง้ั สอง
น้นั มขี นาดเทา่ กัน

รูปสามเหล่ยี มสองรปู
เทา่ กันทกุ ประการ กต็ ่อเมือ่
ด้านคู่ทส่ี มนยั กนั และมมุ คู่ท่ี
สมนยั กันของรปู สามเหลย่ี มทงั้
สองรูปน้นั มีขนาดเท่ากนั เป็น
คู่ ๆ

ค 2.2 ม.2/4 2. ความเท่ากนั รูปสามเหลย่ี ม คอื รูปที่ 1. ระบดุ า้ นและมุมคู่ทมี่ ีขนาด 1

ทกุ ประการของรูป ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง เท่ากันของรปู สามเหลย่ี มสองรูปที่
สามเส้น ซ่งึ ต่อเช่อื มจดุ สามจดุ เท่ากนั ทุกประการได้ (K)
สามเหล่ียม ท่ไี มไ่ ด้อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั 2. นกั เรยี นสามารถบอกเงอื่ นไขท่ี

เรยี กจดุ แต่ละจดุ วา่ “จดุ ยอด” ทำให้รูปสามเหลย่ี มสองรูปเทา่ กัน
และเรียกสว่ นของเส้นตรงแต่ ทุกประการได้ (P)
ละเสน้ วา่ “ด้านของรูป 3. นักเรยี นมคี วามกระตือรอื ร้นใน
สามเหลย่ี ม” และเขยี นแทน
การทำงานท่ไี ดร้ บั มอบหมาย (A)

รปู สามเหล่ียมดว้ ยสญั ลกั ษณ์

∆

รปู สามเหล่ียมสองรปู

เทา่ กันทุกประการ กต็ อ่ เม่อื

มดี า้ นยาวเทา่ กัน 3 คู่ แบบ

ด้านตอ่ ดา้ นและมมี ุมที่มขี นาด

เทา่ กนั 3 คู่ แบบมมุ ตอ่ มุม

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 17

ชื่อหน่วย มาตรฐาน สาระการเรียนรู้ สาระสำคญั จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ เวลา
การเรยี นรู้ การเรยี นรู้ / (ชั่วโมง)
3. รูปสามเหล่ยี ม ถ้ารปู สามเหลี่ยมสองรูปมี
ตัวช้วี ดั สองรูปท่สี มั พันธ์ ความสัมพนั ธ์แบบ ดา้ น–มุม–
กนั แบบ ด้าน-มุม- ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ
หนว่ ยการ ค 2.2 ม.2/4 ด้าน มีดา้ นยาวเทา่ กันสองคู่ และ 1. นกั เรียนสามารถระบไุ ดว้ า่ รปู 1
เรียนร้ทู ่ี 2 มุมในระหว่างด้านคทู่ ยี่ าว สามเหลย่ี มสองรูปทสี่ มั พนั ธ์กัน
ความเท่ากนั เท่ากนั มีขนาดเท่ากัน แลว้ รปู แบบ ด้าน–มมุ –ดา้ น เท่ากันทุก
ทุกประการ สามเหล่ียมสองรปู นนั้ เท่ากัน ประการ (K)
ทุกประการ 2. นกั เรียนสามารถนำสมบัตขิ อง
ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู
สามเหลย่ี มสองรูปทส่ี มั พนั ธ์กนั
แบบ ด้าน–มุม–ดา้ น ไปใช้อ้างอิง
ในการพสิ จู นไ์ ด้ (P)
3. นกั เรยี นมีความกระตอื รือรน้ ใน
การทำงานทีไ่ ด้รบั มอบหมาย (A)

ค 2.2 ม.2/4 4. รูปสามเหลี่ยม ถา้ รปู สามเหลยี่ มสองรูปมี 1. นกั เรียนสามารถระบไุ ดว้ ่ารปู 1
ค 2.2 ม.2/4 สองรูปท่ีสัมพนั ธ์ ความสมั พันธแ์ บบ มมุ –ดา้ น– สามเหลยี่ มสองรูปทสี่ มั พนั ธ์กนั 1
ค 2.2 ม.2/4 กันแบบ มมุ -ดา้ น- มมุ (ม.ด.ม.) กล่าวคอื มีมมุ ท่มี ี แบบ มุม–ดา้ น–มมุ เทา่ กนั ทุก 1
มุม ขนาดเทา่ กนั สองคู่ และดา้ น ประการ (K)
ซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทงั้ สอง 2. นกั เรียนสามารถนำสมบตั ขิ อง
5. รูปสามเหลี่ยม ยาวเทา่ กัน แล้วรปู สามเหลย่ี ม ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู
สองรปู ทสี่ มั พันธ์ สองรปู นั้นเทา่ กนั ทกุ ประการ สามเหลี่ยมสองรปู ทสี่ ัมพนั ธก์ นั
กันแบบ ดา้ น- แบบ มมุ –ดา้ น–มมุ ไปใช้อา้ งอิงใน
ดา้ น-ด้าน ถ้ารปู สามเหลยี่ มสองรปู มี การพสิ จู นไ์ ด้ (P)
ความสัมพนั ธแ์ บบ ดา้ น– 3. นกั เรยี นมีความกระตือรอื รน้ ใน
6. รูปสามเหล่ยี ม ดา้ น–ด้าน (ด. ด. ด.) กล่าวคอื การทำงานที่ได้รบั มอบหมาย (A)
สองรปู ทส่ี มั พนั ธ์ มดี ้านยาวเทา่ กันสามคู่ แลว้
กันแบบ มมุ -มมุ - รูปสามเหล่ยี มสองรูปน้นั 1. นักเรยี นสามารถระบไุ ดว้ ่ารปู
ด้าน เท่ากนั ทุกประการ สามเหลย่ี มสองรูปทส่ี ัมพันธก์ ัน
แบบ ด้าน–ด้าน–ดา้ น เทา่ กนั ทกุ
ถา้ รปู สามเหล่ยี มสองรูปมี ประการ (K)
ความสมั พันธแ์ บบ มมุ -มมุ - 2. นกั เรียนสามารถนำสมบัติของ
ดา้ น (ม. ม. ด.) กล่าวคือ มมี ุม ความเทา่ กนั ทุกประการของรูป
ท่ีมีขนาดเทา่ กนั สองค่แู ละด้าน สามเหล่ยี มสองรูปทสี่ ัมพนั ธ์กนั
คู่ท่อี ย่ตู รงข้ามกบั มมุ คทู่ ม่ี ี แบบ ดา้ น–ด้าน–ดา้ น ไปใชอ้ ้างองิ
ในการพสิ จู น์ได้ (P)
3. นักเรยี นมคี วามกระตือรือร้นใน
การทำงานทไี่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

1. นกั เรยี นสามารถระบุได้ว่ารปู
สามเหลี่ยมสองรูปทสี่ ัมพนั ธก์ นั
แบบ มุม-มมุ -ดา้ น เทา่ กนั ทุก
ประการ (K)

กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 18

ชอื่ หน่วย มาตรฐาน สาระการเรยี นรู้ สาระสำคัญ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เวลา
การเรยี นรู้ การเรียนรู้ / (ช่ัวโมง)
7. รปู สามเหลยี่ ม
ตวั ช้วี ัด สองรูปทส่ี มั พันธ์
กันแบบ ฉาก-
หนว่ ยการ ด้าน-ดา้ น ขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหน่ึงคู่ 2. นักเรยี นสามารถนำสมบตั ขิ อง
เรยี นรทู้ ี่ 2
ความเท่ากัน 8. การนำไปใช้ แล้วรูปสามเหลีย่ มสองรปู นัน้ ความเท่ากันทกุ ประการของรูป
ทุกประการ
เทา่ กันทุกประการ สามเหล่ยี มสองรูปทสี่ ัมพันธ์กนั

แบบ มมุ –มุม–ดา้ น ไปใชอ้ ้างองิ ใน

การพสิ จู น์ (P)

3. นกั เรียนมีความกระตอื รอื รน้ ใน

การทำงานท่ไี ด้รบั มอบหมาย (A)

ค 2.2 ม.2/4 ถ้ารปู สามเหลยี่ มทส่ี มั พนั ธ์กัน 1. นกั เรยี นสามารถระบุได้วา่ รูป 1
แบบ ฉาก–ด้าน–ด้าน (ฉ.ด.ด.) สามเหลย่ี มสองรูปทสี่ ัมพนั ธก์ ัน 2
กลา่ วคอื สามเหลย่ี มทั้งสอง แบบ ฉาก–ด้าน–ด้าน เทา่ กนั ทุก
เป็นสามเหลยี่ มมมุ ฉากซึ่งมี ประการ (K)
ดา้ นประกอบมุมฉากยาว 2. นักเรียนสามารถนำสมบัตขิ อง
ความเทา่ กนั ทุกประการของรปู
เทา่ กัน และดา้ นตรงขา้ มมมุ สามเหล่ยี มสองรปู ทส่ี ัมพันธ์กนั

ฉากยาวเท่ากันหนึง่ คู่ แล้วรปู แบบ ฉาก–ด้าน–ด้าน ไปใชอ้ ้างองิ

สามเหล่ยี มสองรปู นัน้ เทา่ กนั ในการพสิ ูจน์ (P)
3. 3. นกั เรยี นมคี วามกระตอื รือรน้ ใน
ทุกประการ การทำงานทไี่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

ค 2.2 ม.2/4 เสน้ แบ่งครึ่งมมุ ยอดของรูป 1. นักเรยี นสามารถบอกสมบตั ิ
สามเหลยี่ มหน้าจั่ว จะแบ่งรูป ของรปู สามเหล่ยี มหนา้ จ่ัวได้ (K)
สามเหลี่ยมหนา้ จวั่ ออกเป็นรูป 2. ใช้สมบัติของการเทา่ กันทุก
สามเหล่ียมสองรูปทีเ่ ท่ากันทกุ ประการของรูปสามเหลย่ี มในการ
ประการ ให้เหตุผลและแก้ปญั หาได้ (P)
3. นักเรยี นมคี วามกระตือรือร้นใน
มุมทฐี่ านของรปู สามเหลย่ี ม การทำงานท่ไี ดร้ บั มอบหมาย (A)
หน้าจัว่ มีขนาดเทา่ กัน

เสน้ ที่ลากจากมมุ ยอดของ
รูปสามเหลี่ยมหน้าจวั่ มาแบง่
ครึง่ ฐาน จะแบ่งครึ่งมุมยอด
ของรปู สามเหล่ยี มหนา้ จัว่

เสน้ ทล่ี ากจากมมุ ยอดของ
รปู สามเหลยี่ มหนา้ จั่วมาแบง่
ครง่ึ ฐาน จะต้ังฉากกบั ฐานของ
รูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 19

แผนการจัดการเรยี นรู้ ระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 2
จำนวน 1 ชว่ั โมง
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ความเท่ากันทกุ ประการ ผสู้ อน นายสมทรง วงใหญ่
เรื่อง รปู สามเหลีย่ มสองรปู ที่สมั พนั ธก์ นั แบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชว้ี ัด
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูป

เรขาคณติ และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้
ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/4 เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการในการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ติ จรงิ

2. จุดประสงค์การเรียนรู้
1. นกั เรยี นสามารถระบุได้วา่ รูปสามเหลย่ี มสองรูปท่สี ัมพันธก์ นั แบบ ดา้ น–มุม–ด้าน เท่ากันทกุ ประการ (K)
2. นักเรียนสามารถนำสมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ
ดา้ น–มมุ –ด้าน ไปใชอ้ ้างองิ ในการพิสจู น์ได้ (P)
3. นกั เรยี นมคี วามกระตือรือร้นในการทำงานท่ีได้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นร้แู กนกลาง สาระการเรยี นร้ทู อ้ งถนิ่

- ความเทา่ กันทกุ ประการของรูปสามเหลย่ี ม พจิ ารณาตามหลักสูตร
- การกำหนดความรู้เก่ียวกบั ความเทา่ กนั ของสถานศึกษา
ทกุ ประการไปใช้ในการแก้ปญหา

4. สาระสำคญั
ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน–มุม–ด้าน (ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่

และมมุ ในระหวา่ งดา้ นคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน แล้วรปู สามเหล่ยี มสองรปู นน้ั เทา่ กันทุกประการ

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี น
1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคิด
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา
4. ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ิต
5. ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

6. ทกั ษะกระบวนการทางวิทยาศาสตร์
1. ทักษะการสังเกต
2. ทักษะการลงความเหน็ จากข้อมูล
3. ทักษะการตีความหมายข้อมูล และการลงข้อมูล

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 20

7. คณุ ลักษณะที่พงึ ประสงค์
1. มวี นิ ยั
2. ใฝเ่ รียนรู้
3. มุ่งม่นั ในการทำงาน

8. การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้
วธิ ีการสอนแบบ “นริ นยั บูรณาการเรียนรกู้ ับการทำกิจกรรมกลุ่ม”

ขั้นนำ

1. ครูนำเข้าสู่บทเรียนโดยการให้นักเรียนดูรูปภาพ แล้วตอบคำถามว่ารูปภาพแต่ละรูปเท่ากันหรือไม่ โดยครู
เปิดซาวเสยี งจำลองสถานการณ์เหมอื นนักมายากล เพื่อสร้างบรรยากาศใหน้ ักเรียนสนุกสนาน

2. ครูได้ถามนักเรียนว่า “จากรูปภาพที่ครูให้ดูข้างต้นทำไมถึงเท่ากันทั้ง ๆ ที่ดูด้วยตาเปล่ามันเหมือนจะไม่
เท่ากัน”

3. จากนั้นครูได้อธิบายนักเรียนเพิ่มเติมว่า “การเท่ากันของรูปสองรูปนั้นมันมีสมบัติบางประการที่ทำให้มัน
เทา่ กัน เหมอื นเร่อื งที่เราเคยเรยี นก่อนหนา้ นี้ และเหมือนเรอ่ื งทีค่ รจู ะสอนตอ่ ไปนี้”

4. ครูแบง่ กลมุ่ นกั เรียนกล่มุ ละ 4-6 คน โดยคละความสามารถ ซง่ึ สมาชกิ ภายในกลุม่ มที ั้งเดก็ เก่ง ปานกลาง
และอ่อน โดยครตู ั้งช่อื กล่มุ ดังน้ี

กลมุ่ ที่ 1 ชือ่ “ดา้ นไหนก็น่ารัก”
กลุ่มท่ี 2 ช่ือ “มุมนา่ รกั ”
กลมุ่ ท่ี 3 ชื่อ “ด้านไหนก็นา่ มอง”

ขั้นสอน
1. ครูกล่าวว่า “วันนี้ครูจะพานักเรียนเข้าสู่โลกของรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ
ดา้ น-มมุ -ด้าน กนั นะครับ” รูปสามเหล่ยี มสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ดา้ น-มมุ -ด้าน จะเท่ากันทุกประการซึ่งเป็นไป
ตามสมบัตติ ่อไปนี้

ถา้ รปู สามเหล่ยี มสองรูปมีความสมั พนั กนั แบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น (ด.ม.ด.) กลา่ วคอื มคี วามยาวด้านเท่ากัน
สองคู่ และมมุ ในระหวา่ งด้านคทู่ ี่ยาวเท่ากนั มขี นาดเทา่ กนั แลว้ รปู สามเหล่ยี มสองรปู เท่ากันทุกประการ

2. ครูกล่าวว่า “เราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับสมบัติข้างต้นมาใช้พิสูจน์ทางเรขาคณิต หรือใช้ในการหาความ
ยาวของดา้ นและขนาดของมุมของรปู เรขาคณติ ได้” ดงั ตัวอยา่ ง

ตัวอย่างที่ 1 จากรูป กำหนดให้ A̅B ตัดกับ C̅D ที่จุด O ทำให้ AO = BO และ CO = DO จงพิสูจน์ว่า
∆AOC ≅ ∆BOD

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 21

วธิ ีทำ กำหนดให้ A̅B ตัดกบั C̅D จุด O ทำให้ AO = BO และ CO = DO
ตอ้ งการพสิ ูจน์ว่า ∆AOC ≅ ∆BOD
พิสจู น์ พจิ ารณา ∆AOC และ ∆BOD
AO = BO (กำหนดให้)
AÔC = BÔD (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แลว้ มมุ มีขนาดเท่ากัน)
CO = DO (กำหนดให้)
ดงั นั้น ∆AOC ≅ ∆BOD (ม.ด.ม.)

ตวั อยา่ งที่ 2 ⬜︎ ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมมุมฉากและจุด เป็นจดุ กึ่งกลางของ D̅C จงพิสจู น์วา่ AÔD=BÔC
วิธีทำ จากโจทยเ์ ราจะสามารถสร้างรปู ได้ ดงั นี้

กำหนดให้ ⬜︎ ABCD เป็นรปู สี่เหลมี่ มุมฉากและจุด O เป็นจุดก่งึ กลางของ D̅C
ตอ้ งการพิสูจนว์ ่า AÔD = BÔC
พสิ ูจน์ พิจารณา ∆AOD และ ∆BOC

DO = CO (กำหนดให้)
AD̂O = BĈO (มุมภายในแต่ละมมุ ของรูปสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากมีขนาดเทา่ กนั )
AD = BC (ด้านตรงขา้ มของรปู สีเ่ หล่ยี มมมุ ฉากยาวเทา่ กนั )
ดงั น้ัน ∆ADO ≅ ∆BOC (ม.ด.ม.)
นั่นคือ AÔD = BÔC (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะมี

ขนาดเท่ากนั )
ตัวอย่างที่ 3 จากรูป กำหนดให้ BC = BD และ AB̂C = AB̂D จงหาขนาดของ BÂD ถา้ กาหนดให้ AB̂C = 180o

และ AB̂C + BÂC = 140o
วิธที ำ จากโจทยเ์ ราจะสามารถสรา้ งรูปได้ ดังน้ี

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 22

พจิ ารณา ∆ABC และ ∆ABD
BC = BD (กำหนดให้)
AB̂C = AB̂D (กำหนดให้)
AB = AB (A̅B เป็นดา้ นร่วม)

ดงั นน้ั ∆ABC ≅ ∆ABD (ม.ด.ม.)
จะได้ BÂC = BÂD (มุมคทู่ ่สี มนัยกนั ของรูปสามเหลีย่ มท่ีเทา่ กันทุกประการจะมี

ขนาดเทา่ กัน)
AB̂C + BÂC = 140o (กำหนดให้)
120 + BÂC = 140o (AB̂C = 120o)
ดังน้ัน BÂC = 20o
จะได้ BÂD = 20o (สมบตั ิการเท่ากนั )

3. ครแู จกสว่ นของเส้นตรงที่ทำจากฟวิ เจอรบ์ อร์ดโดยระบุความยาวไว้แลว้ ใหก้ ลมุ่ “ดา้ นไหนก็น่ารัก” และกลุ่ม
“ด้านไหนกน็ า่ มอง” และแจกมมุ ท่ีทำจากฟิวเจอรบ์ อร์ดโดยระบุองศาไวแ้ ลว้ ให้กลมุ่ “มุมน่ารัก”

4. ครูให้แต่ละกลุ่มเลือกสิ่งที่กลุ่มตัวเองได้ ออกมาติดหน้าชั้นเพื่อให้ได้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุก
ประการแบบ ดา้ น–มุม–ดา้ น (ด.ม.ด)

ขนั้ สรุป
1. ครไู ด้แนะนำให้นกั เรียนดาวนโ์ หลดแอพพลิเคชัน “GeoGebra” เพื่อใหน้ ักเรียนไดใ้ ช้ในการตรวจสอบการ
เทา่ กนั ทุกประการของรูปสามเหลยี่ ม
2. ครูให้นักเรยี นศึกษาความรู้เพ่ิมเติมจาก DLTV8 Channal
3. ครูสรุปเนอื้ ทเ่ี รยี นโดยใชแ้ ร็พ พร้อมกระตุน้ ให้นักเรียนมีสว่ นร่วม

“วนั นี้เรียนคณิตไมต่ ้องคิดอะไรมาก วนั นเ้ี รยี นคณติ ไม่ต้องคดิ อะไรมาก
คณิตศาสตรน์ ้ันมนั ...ไม่ได้เป็นวิชาทย่ี าก คณติ ศาสตร์นั้นมนั ...ไม่ได้เปน็ วชิ าท่ยี าก
เพยี งแคเ่ ราเขา้ ใจและลงมอื ทำใหม้ ันมาก คณติ ศาสตรน์ น้ั มันมันก็เป็นเหมอื นดังความรกั
ท่ไี ม่คอ่ ยเขา้ ใจแต่ก็ไม่เคยคดิ จะหยุดพัก แต่กไ็ ม่เป็นรยั เด๋ียวผมจะสอนคุณใหเ้ องครับ”

“ส่งิ ทีเ่ ราได้เรยี นในวนั น้ีน้ันคือความสัมพนั ธ์ ซงึ่ มนั สมั พันธ์กนั น้นั แบบว่า ดา้ น มมุ ดา้ น ไง
แลว้ ไอด้ ้าน มมุ ดา้ น มันหมายความวา่ อะไรกันเล่า แล้วไอด้ ้าน มุม ด้าน มันหมายความว่าอะไรกนั เลา่
เอา้ มันมีความยาวด้านเท่ากันนัน้ อย่สู องคู่ไง และมมี มุ ตรงกลางของด้านคูห่ ูทเ่ี ท่ากนั ทำใหค้ วามสมั พันธ์
มนั เทา่ กนั ทุกประการไง”

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 23

9. สื่อการเรยี นรู้/แหล่งเรยี นรู้
9.1 ส่อื การเรียนรู้
1. หนงั สอื เรียนรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 บทท่ี 2
2. ใบความรู้ เร่ือง รูปสามเหลี่ยมสองรปู ทส่ี ัมพนั ธ์กันแบบ ดา้ น-มมุ -ดา้ น
3. ใบงาน เรอื่ ง รปู สามเหลีย่ มสองรปู ทส่ี มั พนั ธก์ ันแบบ ด้าน-มุม-ดา้ น
4. สว่ นของเสน้ ตรงและส่วนของมมุ ที่ทำจากฟิวเจอร์บอร์ด
5. ใหน้ ักเรยี นศกึ ษาขอ้ มูลเพิ่มเติมจาก DLTV8Channal
แหลง่ ทม่ี า : https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21098

6. แอพพลเิ คชัน “GeoGebra”
7. Microsoft Power point
8. เพลงประกอบการสอน แหลง่ ทมี่ า : https://www.youtube.com/watch?v=ezD9U6xKReM

แหล่งทีม่ า : https://www.youtube.com/watch?v=DHy4xnDmG_E
9.2 แหล่งการเรยี นรู้

1) หอ้ งเรยี น
2) อนิ เทอร์เนต็

10. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ วิธีการ เครอ่ื งมอื
แบบบนั ทกึ การทำกิจกรรม
ด้านความรู้ความเข้าใจ (K) การสงั เกตจากการทำ เร่อื ง รปู สามเหล่ยี มสองรปู
ทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ
นักเรยี นสามารถระบุได้วา่ รูปสามเหล่ียมสอง กจิ กรรม ดา้ น-มุม-ดา้ น
ใบงาน เรอ่ื ง รูปสามเหล่ียม
รูปท่ีสมั พนั ธก์ นั แบบ ดา้ น–มุม – ด้าน เทา่ กนั ทุก สองรปู ทส่ี มั พันธก์ นั แบบ
ดา้ น-มุม-ดา้ น
ประการ
ใบงาน เรอ่ื ง รูปสามเหล่ียม
ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) การตรวจใบงาน สองรปู ทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ
ดา้ น-มมุ -ดา้ น
นกั เรียนสามารถนำสมบัติของความเทา่ กนั ทุก

ประการของรูปสามเหลีย่ มสองรปู ทส่ี ัมพันธก์ นั

แบบ ด้าน–มุม–ดา้ น ไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์ได้

ด้านคุณลกั ษณอนั พงึ ประสงค์ (A) การสง่ งาน

นักเรยี นมีความกระตือรือร้นในการทำงานที่

ไดร้ บั มอบหมาย

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 24

แบบประเมินดา้ นความรู้ความเข้าใจ (K)

โดยประเมินจากการกิจกรรม เรอื่ ง รปู สามเหลย่ี มสองรูปท่ีสัมพันธ์กนั แบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น

คำชี้แจง : ให้ผู้ประเมนิ ทำเคร่อื งหมาย ลงในช่องว่างทเ่ี ป็นจรงิ มากท่ีสุด

นักเรียนสามารถระบุไดว้ ่ารูป

เลขที่ ชือ่ -สกุล สามเหลยี่ มสองรปู ทีส่ ัมพันธ์กนั แบบ หมายเหตุ
ดา้ น–มุม–ด้าน เท่ากันทกุ ประการ

3210

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

เกณฑก์ ารประเมินดา้ นความรู้ความเขา้ ใจของผ้เู รยี น (จากแบบฝกึ หดั )

คะแนน:ระดบั คุณภาพ ผลงานท่ีปรากฎให้เหน็

3 : ดีมาก คำตอบถูกต้อง เขยี นระบุวธิ กี ารหาคำตอบได้อย่างถูกต้อง ครบถว้ น สมบรู ณ์

2 : ดี คำตอบถกู ต้อง เขยี นระบวุ ธิ กี ารหาคำตอบได้ถูกต้องเพยี งบางสว่ น

1 : พอใช้ คำตอบไม่ถกู ต้อง เขียนระบวุ ิธกี ารหาคำตอบถูกต้องเพยี งบางสว่ น

0 : ควรปรับปรงุ ไมม่ ีคำตอบท่ถี ูกต้อง

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 25

แบบประเมนิ ด้านทักษะ / กระบวนการ (P)
โดยประเมนิ จากแบบบนั ทึกการทำใบงาน เร่ือง รูปสามเหลี่ยมสองรปู ทสี่ มั พันธ์กนั แบบ ด้าน-มุม-ดา้ น

คำชี้แจง : ใหผ้ ปู้ ระเมนิ ทำเคร่อื งหมาย ลงในช่องว่างท่ีเปน็ จรงิ มากทส่ี ุด

นกั เรียนสามารถนำสมบตั ขิ องความ
เลขท่ี ชือ่ -สกุล เทา่ กันทุกประการของรูปสามเหลีย่ ม หมายเหตุ

สองรูปท่ีสัมพันธ์กนั แบบ ดา้ น–มุม–
ด้าน ไปใช้อา้ งอิงในการพสิ ูจน์ได้
3210
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

เกณฑ์การใหค้ ะแนนดา้ นทกั ษะ / กระบวนการของผู้เรยี น (จากแบบบนั ทึกการทำกิจกรรม)

คะแนน:ระดบั คุณภาพ ทักษะ / กระบวนการท่ีปรากฎใหเ้ หน็

3 : ดีมาก มกี ารแสดงทักษะวธิ ีการหาคำตอบได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ ครบถ้วน

2 : ดี มกี ารแสดงทักษะวิธีการหาคำตอบถูกตอ้ งเพียงบางส่วน

1 : พอใช้ มีการแสดงทกั ษะวิธีการหาคำตอบที่ไมถ่ ูกต้อง

0 : ควรแก้ไข ไม่แสดงทกั ษะการแสดงวิธีการหาคำตอบ

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 26

แบบประเมินดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)

โดยประเมนิ จากใบงาน เร่ือง รปู สามเหลีย่ มสองรปู ทสี่ ัมพนั ธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ดา้ น

คำชีแ้ จง : ให้ผ้ปู ระเมนิ ทำเครื่องหมาย ลงในช่องว่างทเ่ี ป็นจรงิ มากทส่ี ุด

นักเรียนมีความกระตือรือรน้ ในการ

เลขท่ี ช่อื -สกุล ทำงานที่ไดร้ บั มอบหมาย หมายเหตุ

3210

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

เกณฑ์การใหค้ ะแนนดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ของผู้เรยี น (การส่งงาน)

คะแนน:ระดับคุณภาพ คณุ ลักษณะทป่ี รากฏใหเ้ ห็น

3 : ดีมาก มีความรับผดิ ชอบ ทำงานที่ได้รบั มอบหมายดว้ ยความต้งั ใจ เสรจ็ ตรงเวลา

2 : ดี ทำงานเสร็จช้ากวา่ เวลาท่ีกำหนดเล็กนอ้ ย

1 : พอใช้ ทำงานเสรจ็ ช้ากว่าเวลาทกี่ ำหนดมาก

0 : ควรแกไ้ ข ทำงานไม่เสร็จและไมต่ ้งั ใจทำงาน

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 27

แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้ (K P A)

โดยประเมนิ จากการจัดเรียนการสอน เรอ่ื ง รปู สามเหลย่ี มสองรูปทสี่ ัมพนั ธก์ นั แบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น

คำช้แี จง : ให้ผปู้ ระเมินทำเคร่ืองหมาย ลงในช่องวา่ งท่ีเป็นจรงิ มากท่สี ุด

เลขที่ ช่อื -สกุล ด้านความรู้ ผลการ หมายเหตุ
ความเ ้ขาใจ ประเมนิ
ด้านทักษะ
กระบวนการ

ด้าน
คุณ ัลกษณะ
ัอน ึพงประสง ์ค
รวมคะแนน

(3) (3) (3) (9)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

เกณฑก์ ารประเมินผลการเรยี นรู้ (K P A)
ช่วงคะแนน 7 - 9 อย่ใู นเกณฑ์ ดมี าก
ช่วงคะแนน 4 - 6 อยใู่ นเกณฑ์ ดี
ช่วงคะแนน 1 - 3 อยูใ่ นเกณฑ์ พอใช้
ชว่ งคะแนน 0 อยใู่ นเกณฑ์ ปรับปรงุ

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 28

บนั ทึกผลหลังจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
ผลการสอน
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................ ................................................................................................
ปัญหา / อปุ สรรค
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................................................................................
ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแก้ไข
............................................................................................................ ................................................................................
............................................................................................................................. ...............................................................
...........................................................................................................................................................................................

ลงช่ือ…………………………………………………ผ้สู อน
(นายสมทรง วงใหญ่)

ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชื่อ………………….....……………………หัวหนา้ กลุ่มสาระ
()

หวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

ความคดิ เห็นและข้อเสนอแนะของผู้อำนวยการสถานศึกษา
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ ………………….....……………………ผอู้ ำนวยการสถานศึกษา
()
ผู้อำนวยการสถานศึกษา

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 29

แบบตรวจสอบคณุ ภาพของแผนการจัดการเรียนร้ขู องผ้เู ช่ยี วชาญ

การหาคา่ ดชั นคี วามสอดคล้องของวัตถปุ ระสงค์ (Index of Item Objective Congruence : IOC)

คำชี้แจง ขอให้ทา่ นผู้เช่ียวชาญได้กรุณาแสดงความคิดเหน็ ของทา่ นท่มี ีต่อการพฒั นาแผนการจัดการเรียนรู้

เรื่อง รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทสี่ มั พนั ธก์ ันแบบ ดา้ น-มุม-ด้าน โดยใสเ่ ครอ่ื งหมาย (/) ลงในช่องความคดิ เหน็

ของท่าน พรอ้ มเขยี นขอ้ เสนอแนะ ทเ่ี ปน็ ประโยชนใ์ นการนำไปพจิ ารณาปรับปรุงต่อไป

ความคดิ เหน็ ผู้เชีย่ วชาญ

ข้อ รายการพจิ ารณา เหมาะสม ไม่ ไม่ ข้อเสนอแนะ
แน่ใจ เหมาะสม

+1 0 -1

1 แผนมีองค์ประกอบสำคัญครบถว้ นและสมั พันธก์ นั

2 เนือ้ หา/สาระการเรียนรู้สอดคล้องกับจุดประสงค์

3 กิจกรรมสอดคล้องกับเน้ือหาและวตั ถปุ ระสงค์

4 กิจกรรมหลากหลายเหมาะสมและสอดคล้องกับ

ความสามารถผเู้ รียน

5 กิจกรรมเนน้ ทักษะกระบวนการคิด การลงมือปฏิบตั ิ

และสร้างความรู้ด้วยตนเอง

6 กจิ กรรมมีความยากง่ายเหมาะสมกบั ระดับชัน้

7 สอ่ื /แหล่งเรียนรู้สอดคล้องกบั กจิ กรรมและจุดประสงค์

8 สือ่ หลากหลายสอดคล้องกบั วัตถุประสงค์ วยั

และความสามารถผู้เรยี น

9 วธิ กี ารวัดผลและเครือ่ งมือสอดคล้องกบั วตั ถุประสงค์

และกิจกรรม

10 เกณฑ์การประเมินผลชัดเจน ครอบคลุมทงั้ ดา้ นความรู้

ทักษะ และเจตคติ

ข้อเสนอแนะ
............................................................................................................................. ...............................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..............................................................

(ลงช่อื )................................................................ผ้ปู ระเมิน
(..........................................................)

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 30

ภาคผนวก

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 31

ใบความรู้
เร่อื ง รูปสามเหลี่ยมสองรปู ที่สมั พันธก์ ันแบบ ด้าน - มมุ – ดา้ น

ความเท่ากันทุกประการของเรขาคณิต

รปู A รปู B
จากรูป จะเห็นว่า รูป A สามารถเคลื่อนที่ทับรูป B ได้สนิท ในทางคณิตศาสตร์เมื่อสามารถเคลื่อนที่รูป
เรขาคณิตรูปหนึ่งไปทับรูปเรขาคณิตอีกรูปหน่ึงไดส้ นิท จะกลา่ วว่ารปู เรขาคณิตสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไป
ตามบทนยิ ามของความเทา่ กันทกุ ประการของรูปเรขาคณติ บนระนาบดงั น้ี

บทนยิ าม รูปเรขาคณิตสองรปู เท่ากนั ทุกประการ ก็ต่อเมื่อเคลื่อนทร่ี ปู หนึ่งไปทับอกี รูปหน่งึ ได้สนทิ

จากบทนยิ ามข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังน้ี
ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วจะเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท

และ ถา้ เคล่ือนที่รปู เรขาคณติ รปู หน่งึ ไปทับอีกรูปหน่งึ ได้สนิท แล้วรปู เรขาคณติ สองรปู น้นั จะเทา่ กับทกุ ประการ
เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เท่ากับทุกประการ จะเขียนว่า รูป A ≅ รูป B อ่านว่า รูป A เท่ากัน

ทุกประการกับรปู B หรอื รูป A และรูป B เท่ากันทกุ ประการ
การตรวจสอบวา่ รปู เรขาคณิตสองรูปใดเทา่ กันทุกประการหรือไม่อาจทำได้โดยใช้กระดาษลอกลายลอกรูปหน่ึง

แล้วนำไปทับอกี รปู หน่งึ ถ้าพบวา่ ทบั กันได้สนิทแสดงว่ารปู เรขาคณติ สองรปู น้ันเท่ากันทุกประการ

ความเทา่ กันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
พิจารณารปู สามเหลีย่ ม ABC และรปู สามเหลยี่ ม DEF ซ่ึงเทา่ กนั ทกุ ประการ ดงั รูปต่อไปนี้

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 32

เมื่อตรวจสอบความยาวของดา้ นคู่ทีส่ มนัยกนั จะได้วา่ AB = DE, BC = EF และ CA = FD เม่อื ตรวจสอบขนาด
ของมุมคทู่ ี่สมนัยกนั จะไดว้ ่า Â = D̂, B̂ = Ê และ Ĉ = F̂

โดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกันของรูป
สามเหลี่ยมทั้งสองรูปนนั้ มขี นาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ
ในทางกลับกัน เมื่อรูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านคู่ที่สมนัยกัน ยาวเท่ากัน คือ AB = DE,
BC = EF และ CA = FD และมีมมุ คูท่ ่สี มนัยกนั มีขนาดเท่ากันคือ Â = D̂, B̂ = Ê และ Ĉ = F̂ ดงั รปู

เมื่อตรวจสอบโดยการเคลื่อนที่ ∆ABC ให้ทับกับ ∆DEF จะได้ว่ารูปสามเหลีย่ มทั้งสองรูปทับกนั ได้สนทิ นั่นคือ
∆ABC ≅ ∆DEF

โดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกัน มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ แล้วรูป
สามเหล่ยี มทง้ั สองรปู นนั้ เทา่ กันทกุ ประการ
ผลสรปุ ขา้ งต้นเปน็ ไปตามสมบัตติ อ่ ไปน้ี

รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
ทัง้ สองรปู น้นั มีขนาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ

จากสมบัติดังกล่าวนี้ เมื่อต้องการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการหรือไม่ เราจะต้อง
ตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของด้านที่สมนัยกันทุกคู่ และมุมที่สมนัยกันทุกคู่ ถ้าพบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น
มีด้านคู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ แต่ละคู่ยาวเท่ากัน และมุมคู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ แต่ละคู่มีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรปู
นน้ั เท่ากันทกุ ประการ

ในการเขียนสัญลักษณ์แสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปทีเ่ ท่ากันทุกประการ นิยมเขียนตัวอักษรเรียงตามลำดับของ
มุมคทู่ ส่ี มนยั กันและด้านคทู่ ่ีสมนยั กัน เช่น เมอื่ รปู สามเหล่ยี ม ABC เทา่ กนั ทกุ ประการกบั รูปสามเหลี่ยม DEF ดงั รปู

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 33

จากรปู มุมคู่ทีส่ มนยั กนั และด้านคูท่ ส่ี มนัยกันมีขนาดเท่ากนั ดงั น้ี
 = D̂ และ AB = DE
B̂ = Ê และ BC = EF
Ĉ = F̂ และ CA = FD
เขยี นแสดงความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม ไดด้ ังนี้ ∆ABC ≅ ∆DEF
สามเหล่ยี มทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการแบบ ด้าน–มุม–ดา้ น
ในกรณีทีต่ ้องการทราบว่าสามเหล่ียมสองรูปใดเท่ากันทุกประการโดยไม่จำเป็นต้องยกมาทบั กนั เราสามารถใช้
หลักการทางเรขาคณิตในการพิสูจน์ โดยอาศัยค้านกับมุมที่เท่ากันสามคู่ทั้งนี้ต้องขึ้นอยู่กับกรณีที่เป็นไปได้และถือเปน็
สัจพจน์ ดงั ต่อไปน้ี
ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว
ผลทตี่ ามมาคอื ดา้ นที่สมนัยทเ่ี หลืออกี 1 คจู่ ะยาวเท่ากนั และมุมที่สมนยั กนั ที่เหลอื อีก 2 คจู่ ะมขี นาดเทา่ กนั เป็นคู่ ๆ

ตัวอย่าง จากรูป กำหนดให้ A̅B ตัดกับ C̅D ท่จี ุด O ทำให้ AO = BO และ CO = DO จงพสิ ูจน์วา่
∆AOC ≅ ∆BOD

แหลง่ เรยี นรเู้ พ่ิมเติม
วิธที ำ กำหนดให้ A̅B ตัดกบั C̅D จดุ O ทำให้ AO = BO และ CO = DO

ต้องการพสิ จู น์ว่า ∆AOC ≅ ∆BOD
พิสจู น์ พิจารณา ∆AOC และ ∆BOD

AO = BO (กำหนดให้)
AÔC = BÔD (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กัน แลว้ มุมมีขนาดเท่ากนั )
CO = DO (กำหนดให้)
ดงั น้ัน ∆AOC ≅ ∆BOD (ม.ด.ม.)

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 34

ใบงาน
เร่อื ง รปู สามเหล่ยี มสองรปู ท่ีสัมพันธก์ ันแบบ ด้าน–มุม–ด้าน

1. จากรูป ∆WSN และ ∆ENS เทา่ กันทุกประการหรือไม่ เพราะเหตุใด

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

2. ⬜︎ KLMN เป็นรูปส่เี หลีย่ มจตั รุ สั มี N̅L เปน็ เส้นทแยงมุม จงพสิ จู นว์ า่ ∆NKL ≅ ∆LMN

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

3. จากรปู กำหนดให้ AC = DO, BC = EO และ = DÔE จงพสิ ูจน์วา่ AB = DE

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………..

แหลง่ เรยี นรู้เพ่ิมเติม

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 35

เฉลยใบงาน
เร่อื ง รปู สามเหลีย่ มสองรปู ที่สมั พันธก์ ันแบบ ด้าน–มุม–ด้าน

1. จากรปู ∆WSN และ ∆ENS เท่ากันทุกประการหรือไม่ เพราะเหตุใด

วิธีทำ ตอ้ งการพิสูจน์วา่ ∆WSN ≅ ∆ENS
พิสูจน์ พจิ ารณา ∆WSN และ ∆ENS
N̅S = N̅S (ดา้ นรว่ มกนั )
WŜN = EN̂S (กำหนดให้)
WS = EN (กำหนดให้)
ดงั นัน้ ∆WSN ≅ ∆ENS (ม.ด.ม.)

2. ⬜︎ KLMN เป็นรูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรสั มี N̅L เปน็ เส้นทแยงมุม จงพสิ จู น์ว่า ∆NKL ≅ ∆LMN
วธิ ีทำ ต้องการพิสจู น์ว่า ∆NKL ≅ ∆LMN
พสิ ูจน์ พิจารณา ∆NKL และ ∆LMN
NK = NM (สี่เหลี่ยมจตุรสั )
NK̂L = LM̂N (ส่เี หลย่ี มจตรุ สั )
KL = ML (ส่ีเหลี่ยมจตรุ ัส)
ดังนั้น ∆NKL ≅ ∆LMN (ม.ด.ม.)

3. จากรูปกำหนดให้ AC = DO, BC = EO และ = DÔE จงพสิ ูจนว์ า่ AB = DE
วธิ ีทำ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ AB = DE
พสิ ูจน์ พิจารณา ∆BCA และ ∆EOD
BC = EO (สีเ่ หลี่ยมจตุรสั )
BĈA = EÔD (สี่เหลี่ยมจตรุ สั )
AC = DO (สี่เหลี่ยมจตรุ ัส)
ดังนน้ั AB = DE (∆NKL ≅ ∆LMN แบบ ด้าน–มุม–ดา้ น)

ชื่อ.....................................................................ช้ัน...................เลขท.ี่ ............... แหลง่ เรียนรเู้ พิม่ เติม

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 36

ผลการตรวจสอบคณุ ภาพของแผนการจัดการเรียนรู้

จากผู้เชี่ยวชาญ ตำแหน่ง ครูชำนาญการ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
คนที่ 1 นางสาวพชิ ยา นาควรรณกจิ
คนที่ 2 นางสาวสุธดิ า ศรโี ยธา ตำแหนง่ ครชู ำนาญการ กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
คนท่ี 3 นางอรุณ สุขสวา่ ง
ตำแหน่ง ครู กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

รายการพิจารณาขอ้ ที่ คะแนนความเหน็ ของ R IOC แปลผล
ผู้เชี่ยวชาญ
1. แผนมีองคป์ ระกอบสำคัญครบถว้ นและ 3 1 ใชไ้ ด้
สมั พันธ์กนั คนที่ 1 คนท่ี 2 คนท่ี 3 3 1 ใช้ได้
2. เนอ้ื หา/สาระการเรียนรูส้ อดคล้องกบั 111 3 1 ใชไ้ ด้
จดุ ประสงค์ 111 1 0.33 ปรบั ปรุง
3. กจิ กรรมสอดคล้องกบั เน้ือหาและ 111 3 1 ใชไ้ ด้
วัตถุประสงค์ 001 3 1 ใช้ได้
4. กจิ กรรมหลากหลายเหมาะสมและ 111 3 1 ใช้ได้
สอดคลอ้ งกับความสามารถผู้เรียน 111 3 1 ใช้ได้
5.กิจกรรมเนน้ ทักษะกระบวนการคิด การ 111 3 1 ใชไ้ ด้
ลงมือปฏิบตั ิ และสรา้ งความรู้ดว้ ยตนเอง 111 3 1 ใช้ได้
6. กิจกรรมมีความยากง่ายเหมาะสมกับ 111
ระดบั ชัน้ 111
7. สือ่ /แหลง่ เรียนรูส้ อดคล้องกบั กจิ กรรม
และจุดประสงค์
8.สื่อหลากหลายสอดคล้องกับวตั ถุประสงค์
วัย และความสามารถผเู้ รียน
9. วธิ กี ารวัดผลและเครอ่ื งมือสอดคลอ้ งกบั
วตั ถุประสงค์และกิจกรรม
10. เกณฑ์การประเมนิ ผลชัดเจนครอบคลุม
ทั้งดา้ นความรู้ ทักษะ และเจตคติ

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 37

บรรณานกุ รม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, กระทรวงศึกษาธิการ. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2. พมิ พค์ รั้งท่ี 5. กรงุ เทพมหานคร : จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย.

Admin In education. (2561). การสอนแบบอุปนยั -นิรนยั . สบื ค้นเมือ่ 1 มีนาคม 2565, จาก
https://www.educatorroundtable.org/.

มูลนธิ ิการศกึ ษาทางไกลผ่านดาวเทยี ม ในพระบรมราชปู ถัมภ์ . รปู สามเหล่ยี มสองรปู มคี วามสมั พันธ์กนั แบบ ดา้ น -
มมุ - ด้าน. สืบค้นเมอ่ื 1 มีนาคม 2565, สืบค้นจาก : https://dltv.ac.th/teachplan/episode/21098

------------. Trap Type Beat.. สบื คน้ เม่อื 1 มีนาคม 2565, จาก
https://www.youtube.com/watch?v=ezD9U6xKReM.

------------. ซาวมายากลสวนสยาม.. สืบค้นเม่ือ 1 มีนาคม 2565, จาก
https://www.youtube.com/watch?v=DHy4xnDmG_E.

GeoGebra. (2565). GeoGebra (Version 6.0609) [Mobile application software]. จาก Playstore.

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 38